Формулы сложения тригонометрия самостоятельная работа: Самостоятельная работа по формулам сложения тригонометрических функций

Контрольная работа по теме «Основные тригонометрические формулы»

Самостоятельная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы». Вариант 1. 1.Вычислите: 2 costg 2.Упростите выражение: 1- cos²α·tg²α 3.Найдите sinα, если известно, что cosα = —, π˂α˂ 4. Упростите выражение: + 5.Докажите тождество: (1+tg²α+)·sin²α·cos²α=1	Самостоятельная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы». Вариант 2. 1.Вычислите: sin 2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα 3.Найдите sinα, если известно, что cosα = , ˂α˂2π 4. Упростите выражение: — 5.Докажите тождество: (1-cos²α)·(1+ctg²α)=1
Самостоятельная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы». Вариант 1. 1.Вычислите: 2 costg 2.Упростите выражение: 1- cos²α·tg²α 3.Найдите sinα, если известно, что cosα = — , π˂α˂ 4. Упростите выражение: + 5.Докажите тождество: (1+tg²α+)·sin²α·cos²α=1	Самостоятельная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы». Вариант 2. 1.Вычислите: sin 2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα 3.Найдите sinα, если известно, что cosα = , ˂α˂2π 4. Упростите выражение: — 5.Докажите тождество: (1-cos²α)·(1+ctg²α)=1

Тема «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 1.

1.Вычислите: 2 costg

2.Упростите выражение: 1- cos²α·tg²α

3.Найдите sinα, если известно, что cosα= —, π˂α˂

4. Упростите выражение:

+

5.Докажите тождество:

(1+tg²α+)·sin²α·cos²α=1

Вариант 2.

1.Вычислите: sin

2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα

3.Найдите sinα, если известно, что cosα= , ˂α˂2π

4. Упростите выражение:

—

5.Докажите тождество:

(1-cos²α)·(1+ctg²α)=1

Контрольная работа №1 по теме: «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 1.

1.Докажите тождество: sin²α+ctg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите sin x, если cos x= ,˂x˂π

4.Упростите выражение:

5.Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме: «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 2.

1.Докажите тождество: sin²α+tg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите cos x, если sin x=-0,8; -˂x˂0

4.Упростите выражение: — sinα

5.Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме: «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 1.

1.Докажите тождество: sin²α+ctg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите sin x, если cos x= ,˂x˂π

4.Упростите выражение:

5.Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме: «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 2.

1.Докажите тождество: sin²α+tg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите cos x

, если sin x=-0,8; -˂x˂0

4.Упростите выражение: — sinα

5.Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Тема «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 1.

1.Докажите тождество: sin²α+ctg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите sin x, если cos x= ,˂x˂π

4.Упростите выражение:

5.Найдите значение выражения:

а) ; б)

Вариант 2.

1.Докажите тождество: sin²α+tg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите cos x, если sin x=-0,8; -˂x˂0

4.Упростите выражение:

— sinα

5.Найдите значение выражения:

а) ; б)

Контрольная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 1.

1.Вычислите: 2 costg

2.Упростите выражение: 1- cos²α·tg²α

3.Найдите sinα, если известно, что cosα = —, π˂α˂

4. Докажите тождество:

sin²α+ctg²α+cos²α=

5. Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 2.

1.Вычислите: sin

2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα

3.Найдите sinα, если известно, что cosα = , ˂α˂2π

4. Докажите тождество:

sin²α+tg²α+cos²α=

5. Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 1.

1.Вычислите: 2 costg

2.Упростите выражение: 1- cos²α·tg²α

3.Найдите sinα, если известно, что cosα = — , π˂α˂

4. . Докажите тождество:

sin²α+ctg²α+cos²α=

5. Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 2.

1.Вычислите: sin

2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα

3.Найдите sinα, если известно, что cosα = , ˂α˂2π

4. Докажите тождество:

sin²α+tg²α+cos²α=

5. Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 кл. Ершова А.П.

Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ:
1. Сборник содержит полный набор самостоятельных и контрольных работ по всему курсу алгебры и начал анализа 10—11 классов, как основному, так и углубленному. Контрольные работы рассчитаны на один урок, самостоятельные работы — на 25—40 минут, в зависимости от темы и уровня подготовки учащихся.
2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б — среднему уровню сложности, задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено два расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте.

3. Как правило, на одном развороте книги приводятся оба варианта всех трех уровней сложности. Благодаря этому учащиеся могут сравнить задания различных уровней и, с разрешения учителя, выбрать подходящий для себя уровень сложности.
4. В книгу включены домашние самостоятельные и практические работы, содержащие творческие, нестандартные задачи по каждой изучаемой теме, а также задачи повышенной сложности. Эти задания могут в полном объеме или частично предлагаться учащимся в качестве зачетных, а также использоваться как дополнительные задания для проведения контрольных работ. По усмотрению учителя выполнение нескольких или даже одного такого задания может оцениваться отличной оценкой. Ответы к контрольным и домашним самостоятельным работам приводятся в конце книги.
5. Тематика и содержание работ охватывают требования всех основных отечественных учебников алгебры и начал анализа 10—11 класса. Для удобства пользования книгой приводится таблица тематического распределения работ по учебникам А. Н. Колмогорова и др., Н. Я. Виленкина и др.

СОДЕРЖАНИЕ
Тригонометрия
С-1. Определение и свойства тригонометрических функций. Градусная и радианная меры угла 
С-2. Тригонометрические тождества
С-3. Формулы приведения. Формулы сложения 
С-4. Формулы двойного и половинного угла
С-5. Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму 
С-6*. Дополнительные тригонометрические задачи (домашняя самостоятельная работа) 
К-1. Преобразование тригонометрических выражений 

С-7. Общие свойства функций. Преобразования графиков функций 
С-8. Четность и периодичность функций
С-9. Монотонность функций. Экстремумы С-10*. Исследование функций. Гармонические колебания (домашняя практическая работа) 
К-2. Тригонометрические функции
С-11. Обратные тригонометрические функции __
С-12*. Применение свойств обратных тригонометрических функций (домашняя самостоятельная работа)
С-13. Простейшие тригонометрические уравнения 
С-14. Тригонометрические уравнения
С-15. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Системы тригонометрических уравнений 
С-16*. Методы решения тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа) 
С-17*. Системы тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа) 
С-18. Простейшие тригонометрические неравенства 
С-19*. Методы решения тригонометрических неравенств (домашняя самостоятельная работа)
К-3. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы 
Алгебра
С-20. Корень n-ой степени и его свойства
С-21. Иррациональные уравнения
С-22. Иррациональные неравенства. Системы иррациональных уравнений
С-23*. Методы решения иррациональных уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
С-24. Обобщение понятия степени
К-4. Степени и корни
С-25. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений 
С-26. Показательные неравенства
С-27*. Методы решения показательных уравнений и неравенств (домашняя самостоятельная работа)
С-28*. Показательно-степенные уравнения и неравенства (домашняя самостоятельная работа) 
К-5. Показательная функция
С-29. Логарифм. Свойства логарифмов
С-30. Логарифмические уравнения и системы
С-31*. Применение логарифмов в решении трансцендентных уравнений и систем (домашняя самостоятельная работа)
С-32. Логарифмические неравенства
С-33*. Методы решения логарифмических уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
К-6. Логарифмическая функция
С-34. Обобщение понятия модуля. Уравнения и неравенства с модулем 
Начала анализа
С-35. Вычисление пределов числовых последовательностей и функций. Непрерывность функции
С-36. Определение производной. Простейшие правила вычисления производных 
С-37. Производные тригонометрических и сложных функций
С-38. Геометрический и механический смысл производной
К-7. Производная 
С-39. Исследование функции на монотонность и экстремумы
С-40*. Дополнительное исследование функции (домашняя самостоятельная работа)
С-41*. Построение графиков функций (домашняя практическая работа)
С-42. Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремальные задачи
С-43*. Избранные задачи дифференциального исчисления (домашняя самостоятельная работа)
К-8. Применение производной
С-44. Первообразная. Вычисление первообразных
С-45. Определенный интеграл. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
С-46. Применение первообразной и интеграла 
С-47*. Избранные задачи интегрального исчисления (домашняя самостоятельная работа) 
К-9. Первообразная и интеграл
С-48. Производная и первообразная показательной функции
С-49. Производная и первообразная логарифмической функции
С-50. Степенная функция
С-51*. Дополнительные задачи математического анализа (домашняя самостоятельная работа)
К-10. Производная и первообразная показательной, логарифмической и степенной функций

Комплексные числа
С-52. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме
С-53. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия с комплексными числами в геометрической форме
С-54. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра
С-55*. Дополнительные задачи с комплексными числами (домашняя самостоятельная работа) 
К-11. Комплексные числа
Комбинаторика
С-56. Множества. Операции над множествами 
С-57. Основные формулы комбинаторики. Простейшие комбинаторные задачи 
С-58. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов 
С-59. Комбинаторные задачи. Правило суммы и правило произведения 
С-60*. Дополнительные задачи по комбинаторике (домашняя самостоятельная работа) 
К-12. Элементы комбинаторики
Теория вероятностей
С-61. Классическая вероятность. Использование формул комбинаторики при вычислении вероятности 
С-62. Теоремы сложения и умножения вероятностей 
С-63. Вероятность осуществления хотя бы одного из независимых событий. Схема Бернулли 
С-64*. Дополнительные главы теории вероятностей (домашняя самостоятельная работа) 
К-13. Элементы теории вероятностей
ОТВЕТЫ 
Ответы к контрольным работам
Ответы к домашним самостоятельным
работам 
ЛИТЕРАТУРА

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса математики 10-11 классов. Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся.

Конспект урока по Алгебре «Формулы сложения» 10 класс

Конспект открытого урока

Класс 10

Тема урока: Формулы сложения

Тип урока – обобщение и систематизация знаний

Цели урока:

• образовательные – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы, создать условия контроля усвоения знаний и умений

• развивающие – содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, сравнивать; формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения; отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

• воспитательные – вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке; способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Оборудование: доска; карточки для индивидуальной работы учащихся; таблица ответов для проверки индивидуальных заданий, оценочные листы на каждого ученика.

Краткий план урока:

1.Оргмомент, цель урока – 2 мин

2.Устная работа – 6 мин

3. Проверка домашнего задания – 2 мин

4. Домашнее задание – 2 мин

5.Фронтальное решение задачи, « Найди ошибку» – 3-4 мин

6.Самостоятельная работа по карточкам – 10 мин

7.Самоконтроль– 2 мин

8.Разбор различных типов заданий – 10 мин.

9. Синквейн -3-4 мин

10.Подведение итогов урока, выставление оценок.- 2-3 мин

1. Оргмомент.

Применяю структуру МЭНЭДЖ МЭТ(учащиеся рассаживаются по 4 человека за столы, образуя команды)

— Добрый день! Я рада всех Вас видеть. Как у Вас настроение? Давайте улыбнемся друг другу, расправим плечи, пожелаем удачи в работе, настроимся на поиск и творчество, и начнём урок.

Не бойтесь формул!

Учитесь владеть этим инструментом

Человеческого гения!

В формулах заключено величие и могущество

Человеческого разума! ( 1 слайд) Андре́й Андре́евич Ма́рков , академик

Как вы считаете, почему эпиграфом урока выбраны эти слова?

— Речь на уроке пойдет о формулах. Сегодня мы будем работать с тригонометрическими формулами, будем учиться их использовать в тригонометрических преобразованиях, будем применять их при упрощении тригонометрических выражений. (2 слайд)

 Устные упражнения:

Если мы будем знать все формулы,, тогда будет у нас результат. Давайте, проверим свои знания,вспомним основные тригонометрические формулы, для этого проведём математичекий диктант :

( сималтиниус релли тэйбл-2 участника в команде одновременно выполняют письменную работу на отдельных листочках и по окончанию одновременно передают друг-другу для взаимопроверки, сверка по готовым ответам)

Вариант 1

ответы (3 слайд)

Вариант 1

3.Проверка домашнего задания.( 4 слайд)

— Вспомним домашнее задание (заранее на экране написано ответы домашнего задания, ученики сверяются).У кого есть вопросы?

За правильные решения ставите себе по 1 баллу за каждое задание.

4. Дифференцированное домашнее задание. Задание будет прикреплено отдельным файлом в факультатив(прописываем в дневниках)( 5 слайд)

«3»

«4»

«5»

а) Ре­ши­те урав­не­ние .

 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку 

5.Фронтальная работа

На доске написано задание «Найди ошибку».Сначала исправления делаем в тетрадях, после этого 2 ученика исправляют на доске.

№2 Найди ошибку ( 6 слайд)

5. Тест

Теперь проверьте свои знания и умения по данной теме.

Учащимся предлагается выполнить тест по карточкам . Каждое правильное решенное уравнение оценивается 1 баллом.

I вариант

А) ; Б) ; В) ; Г)

А) ; Б) ; В) ; Г)

3.

А); Б); В); Г)

4.

А); Б); В); Г)

5. Найти , если

А) -0,3; Б) -0,3 ;

В) 0,3- 0,4; Г) 0,3 + 0,4

6.Упростите выражение: 

А.

  B.

7.) Упростите выражение: 

 A.

II вариант

А) ; Б) ; В); Г)

А) ; Б) ; В) ; Г)

3.

А); Б); В); Г)

4.

А); Б); В); Г)

5. Найти , если

А) 0,4 + ; Б) 0,3 ;

В) -0,3; Г)- 0,4 +0,3

6.)Упростите выражение: 

 A.

7) простите выражение: 

 A.

6. Самоконтроль.( 7 слайд)

— На партах- таблица ответов.

— Проверьте результаты своей работы по таблице и оцените ее.

Проводится сравнительный анализ результатов работы.

Ответы на тест

Первый вариант:

1.В; 2.А; 3.А; 4. Б; 5.Б; 6. С ; 7.В

Второй вариант:

1.Б; 2.А; 3 В; 4.А; 5. Г; 6. Д ; 7.В

7.Физкультминутка(8 слайд)

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте вы – птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

8. Разбор различных типов заданий (подготовка к ЕГЭ)

2 сильных ученика приглашаются к доске для индивидуальной работы. Им выдаются карточки с заданиями, которые они решают на доске.

№1. Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ответ: а) ,  б) 

№2. Ре­ши­те урав­не­ние 

 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ответ: а)  б) 

9 . Подведение итогов.

Задание командам: Составить синквейн на слово «Формула».( 9 слайд)

(Раунд тейбл-структура, в которой учащиеся по очереди выполняют письменную работу по кругу на одном листе бумаги)

Проверка синквейнов, составленных учащимися:

• Формула

• Точна, проста

• Облегчает, уточняет, объясняет

• С ней решать задания легче

• Тождество

• Формула

• Легкая, тригонометрическая

• Решать , применять, выводить

• Комбинация, математических и буквенных знаков

• Тождество

• Формула

• Легкая, тригонометрическая

• Преобразовывать, вычислять, выводить

• Инструмент человеческого гения

• Тождество

• Формула

• Сложная, тригонометрическая

• Помогает, вычисляет, доказывает

• Учит применять при упрощении выражений

• Равенство

Работа команд оцениваются.

10 слайд

10.Рефлексия

Ребята, в начале урока Вы мне сказали, что у Вас отличное настроение , и сейчас в конце урока я вновь хочу узнать о вашем настроении. А узнаю я его так: на своих оценочных листах имеется синусоида , на которой Вы отмечаете точками своё настроение.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ

Дата 16.12 Ф.И. ______________________________

Матем.диктант

(1-8)

15-22 баллов- «3»

23-26 баллов- «4»

27-30 баллов — «5»

Собираются тетради для проверки домашнего задания и Оценочные листы учеников

Учитель: Спасибо вам за насыщенную работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!

1-я строка – название синквейна — одно слово, обычно существительное, отражающее главную идею;

2-я строка – два прилагательных, описывающих основную мысль;

3-я строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы;

4-я строка – фраза на тему синквейна;

5-я строка – существительное, связанное с первым, отражающее сущность темы.

Убеждаю в том, что каждый из них вполне может быть автором такого “интересного” стихотворения. Привожу ещё несколько примеров синквейнов, написанных старшими ребятами, называю имена авторов. За это время, более сообразительные ученики уже проводят “пробу собственного пера” и, обычно, к концу моего пояснения в классе уже готово несколько “стихотворных шедевров”. С разрешения авторов начинаем подробно разбирать стихотворения, выясняем, на что при написании синквейна необходимо обратить особое внимание. Затем предлагаю всем написать синквейн по теме сегодняшнего урока, даю 5 — 8 минут. Сначала работа вызывает затруднения. Наиболее эффективные синквейны получаются при работе а парах, в группах. Каждый ученик может обсудить свой синквейн с соседом и вдвоём из двух синквейнов они могут составить один, который устраивает обоих. Потом все знакомятся с синквейнами в своей группе. В результате очень часто возникает дискуссия, и рождаются новые, более усовершенствованные синквейны. Это даёт возможность рассуждать ученикам и критически рассматривать ту или иную тему. В дальнейшем ученики пишут синквейны не только на уроках, но и дома. Дети с удовольствием красочно оформляют и иллюстрируют свои стихи. У нас есть целые книжки синквейнов по различным темам, красочно оформленные и на компьютере и вручную.

Этот методический приём вписывается в концепцию взаимодействия и сотрудничества в образовательном процессе, расширяя арсенал парных и групповых форм деятельности. Кроме того, он требует, чтобы учащиеся слушали друг друга и извлекали из произведений товарищей, идеи, которые они могут сопоставить со своими.

Синквейн – эффективный и мощный инструмент для рефлексирования, синтеза и обобщения понятий и информации. Он способствует развитию творческого, критического мышления у учащихся. Детям нравится эта работа. Обычно первое знакомство с синквейном провожу в конце 6 класса, но с большим удовольствием пишем мы их до конца 11 класса.

Приложения

Примеры синквейнов:

1. Теорема Пифагора

2. Строгая, логичная.

3. Строим, доказываем, вычисляем.

4. Квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

5. Прямоугольный треугольник.

Вариант 2
1+tg2  =	cos(/2+)=
tg (3/2+)=	1+ctg2=
1- sin2 =	sin(+)=
sin(-)=	tg.ctg=
sin2 + cos2=	cos(+)=
sin2=	сos2=
cos (-)=	1-cos2=
cos( +)=	sin(+)=
Вариант 2
1+tg2  =1/( sin2 )	cos(/2+)=-sin
tg (3/2+)= -ctg	1+ctg2=1/( cos2)
1- sin2 = cos2	sin(+)= — sin
sin(-)=sin α cos β — cos α sin β	tg.ctg=1
sin2 + cos2=1	cos(+)= cos α cos β – sin α sin β
sin2=2 sin cos 	сos2= cos2 — sin2
cos (-)= — cos	1-cos2= sin2
cos( -)= cos α cos β + sin α sin β	sin(+)=sin α cos β + cos α sin β
C.
D.
B.
C.
D.
B.
C.
D.
B.
C.
D.
Д/з (1-5)	Найди ошибку (8)	тест (1-7)	ЕГЭ (1-2 б)	Итог

Контрольная работа по теме «Формулы тригонометрии» (10 класс, алгебра)

Контрольная работа по теме «Формулы тригонометрии» В – 1 1.Найдите значение sinα , если cosα = ― 0,8 и π < α < 2π. А) 0,2 Б) 0,6 В) – 0,6 Г) – 0,36 sin2α−cos2α 2.Упростите выражение sin 2α . А) – ctg α Б ) ctg α B) – tg 2 α Г ) 1 sin 2α 3.Найдите значение выражения cos 11π 2 А) 0,5 Б) – 0,5 В) – 1 Г) 0 4.Упростите выражение sin2α 1−cos2α + tg2α 1 cos α−β 4. 2 sinα+β 2 Д sinα+sinβ 6. Упростите выражение: 2 = Г sin2α 1) sin6α−sin2α cos 6α+cos2α 2)2 π 3 (¿+α) cos¿ ― cosα + √3 sinα 7.Найдите значение выражения cos240° ― ctg 135° 8.Доказать тождество: 1) tg х― cosх 1−sinх = ― 1 cosх А) 1 Б) sin2α В) tg2α Г) cos2α 5.Установите соответствие для формул: 1. sin2α+cos2α = А sin(α−β) 2. 2 sinαcosα = Б 1 3. sinαcosβ−cosαsinβ = В sin(α+β) 2) 3π 2 (¿+5α) 9π 2 3π 2 ¿ ¿ ¿ 1+sin(¿−6α) cos (2π−α)+sin ¿cos(¿−3α) = sin2α 9.Вычислить π 8 sin π 8 −cos¿ ¿ ¿ ¿ 10.Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения : 1) 4 cos2α ―5 tg α ctg α 2) √3sinα + cosα Контрольная работа по теме «Формулы тригонометрии» В – 2 1.Найдите значение cosα , если sinα = — 0,6 и π 2 < α < А) 0,4 Б) 0,8 В) – 0,8 Г) – 0,64 3π 2 . 2.Упростите выражение 2sinα−sin2α (1−cosα)cosα . 4. Упростите выражение (1 + сtg2α ) · cos2α А) 1 Б) сtg2α В) tg2α Г) sin2α 5. Установите соответствие для формул : 1. tg α ctg α = А sin2α 2. cos2α−sin2α Б cosα+cosβ 3. cosαcosβ+sinαsinβ = В 1 4. 2 cos α+β 2 cos2α Д cos(α−β) 6.Упростите выражение: cosα−β 2 = Г 1) sin 2α+sin8α cos 2α−cos8α 2)2 ― cosα + π 6 (¿−α) sin ¿ А) sinα Б) 1 + cosα В)2 cosα Г) 2 tg α 3.Найдите значение выражения sin 11π 2 А) 1 Б) 0,5 В) 0 Г) – 1 √3 sinα 7.Найдите значение выражения sin210° + tg 135° 8. Доказать тождество : 1) ctg х ― 1−cosх = ― sinх 1 sinх 2) (sin (π−3α)−cos( 3π 2 +α))cos(5π 2 −α) = cos2α 9. Вычислить ( ( cos π 12−sin π 12 ¿ 1+cos(π−2α) 12 +cos π π 12 sin ¿¿ 10.Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения : 1)3 tg α ctg α + 2 sin2α 2) cosα−¿ √3sinα

Тригонометрических идентичностей

Тригонометрические тождества — это уравнения, содержащие тригонометрические функции которые верны для каждого значения задействованных переменных.

Некоторые из наиболее часто используемых тригонометрических тождеств получены из Теорема Пифагора , например, следующее:

грех 2 ( Икс ) + потому что 2 ( Икс ) знак равно 1

1 + загар 2 ( Икс ) знак равно сек 2 ( Икс )

1 + детская кроватка 2 ( Икс ) знак равно csc 2 ( Икс )

Есть также взаимные идентичности :

грех ( Икс ) знак равно 1 csc ( Икс ) потому что ( Икс ) знак равно 1 сек ( Икс ) загар ( Икс ) знак равно 1 детская кроватка ( Икс )

csc ( Икс ) знак равно 1 грех ( Икс ) сек ( Икс ) знак равно 1 потому что ( Икс ) детская кроватка ( Икс ) знак равно 1 загар Икс

В частные тождества :

загар ( ты ) знак равно грех ( ты ) потому что ( ты )

детская кроватка ( ты ) знак равно потому что ( ты ) грех ( ты )

В совместные тождества :

грех ( π 2 — Икс ) знак равно потому что ( Икс ) потому что ( π 2 — Икс ) знак равно грех ( Икс ) загар ( π 2 — Икс ) знак равно детская кроватка ( Икс )

csc ( π 2 — Икс ) знак равно сек ( Икс ) сек ( π 2 — Икс ) знак равно csc ( Икс ) детская кроватка ( π 2 — Икс ) знак равно загар ( Икс )

В четно-нечетные тождества :

грех ( — Икс ) знак равно — грех ( Икс ) потому что ( — Икс ) знак равно потому что ( Икс ) загар ( — Икс ) знак равно — загар ( Икс )

csc ( — Икс ) знак равно — csc ( Икс ) сек ( — Икс ) знак равно сек ( Икс ) детская кроватка ( — Икс ) знак равно — детская кроватка ( Икс )

В Бхаскарачарья формулы суммы и разности :

грех ( ты ± v ) знак равно грех ( ты ) потому что ( v ) + потому что ( ты ) грех ( v )

потому что ( ты ± v ) знак равно потому что ( ты ) потому что ( v ) ∓ грех ( ты ) грех ( v )

загар ( ты ± v ) знак равно загар ( ты ) ± загар ( v ) 1 ∓ загар ( ты ) загар ( v )

В формулы двойного угла :

(На самом деле это просто частные случаи формул Бхаскарачарьи, когда ты знак равно v .)

грех ( 2 ты ) знак равно 2 грех ты потому что ты

потому что ( 2 ты ) знак равно потому что 2 ( ты ) — грех 2 ( ты )

знак равно 2 потому что 2 ( ты ) — 1

знак равно 1 — грех 2 ( ты )

загар ( 2 ты ) знак равно 2 загар ( ты ) 1 — загар 2 ( ты )

В полуугловые формулы или формулы уменьшения мощности :

(Опять же, особый случай Бхаскарачарьи.)

грех 2 ( ты ) знак равно 1 — потому что ( 2 ты ) 2

потому что 2 ( ты ) знак равно 1 + потому что ( 2 ты ) 2

загар 2 ( ты ) знак равно 1 — потому что ( 2 ты ) 1 + потому что ( 2 ты )

В формулы суммы к произведению :

грех ( ты ) + грех ( v ) знак равно 2 грех ( ты + v 2 ) потому что ( ты — v 2 )

грех ( ты ) — грех ( v ) знак равно 2 потому что ( ты + v 2 ) грех ( ты — v 2 )

потому что ( ты ) + потому что ( v ) знак равно 2 потому что ( ты + v 2 ) потому что ( ты — v 2 )

потому что ( ты ) — потому что ( v ) знак равно — 2 грех ( ты + v 2 ) грех ( ты — v 2 )

И формулы произведения к сумме :

грех ( ты ) грех ( v ) знак равно 1 2 [ потому что ( ты — v ) — потому что ( ты + v ) ]

потому что ( ты ) потому что ( v ) знак равно 1 2 [ потому что ( ты — v ) + потому что ( ты + v ) ]

грех ( ты ) потому что ( v ) знак равно 1 2 [ грех ( ты + v ) + грех ( ты — v ) ]

простых триггерных тождеств с формулой Эйлера — лучшее объяснение

Идентификаторы

Trig, как известно, трудно запомнить: вот как выучить их, не теряя рассудка.

Исходя из теоремы Пифагора и подобных треугольников, мы можем найти связи между sin, cos, tan и друзьями (прочтите статью о триггерах).

Можем ли мы пойти глубже? Может быть, мы сможем соединить синус с самим (вариант). С точки зрения математики, нам нужны такие формулы (полная шпаргалка):

Вместо того, чтобы запоминать эти плохие мамочки, давайте научимся рисовать формулы. Формула Эйлера упрощает задачу.2, а, б $. Это полезно для разложения на множители, упрощения уравнений и т. Д.

Соединения в триггере

Давайте превратим триггер в простой английский. Что это значит?

Помня, что синус — это «высота (в процентах от максимума)», это уравнение спрашивает: Если мы сложим два угла, какова их общая высота?

Быстрое предположение — объединить отдельные высоты:

Выглядит чистым, но не совсем правильным. Если мы продолжаем складывать углы, их высота увеличивается до максимума (100%), а затем начинает уменьшаться.

Соотношение между углом и высотой не может быть простым сложением.

А вот что странно: я могу нарисовать, какой должна быть новая высота ( Вот здесь! ), но не могу превратить свой рисунок в уравнение.

Или можно?

Рисунок с формулой Эйлера

Формула Эйлера

позволяет создать круговой путь, используя комплексные числа:

Что особенно важно, умножение комплексных чисел выполняет ротацию.2 $, умножим на части:

Теперь поговорим! Эта версия легко разделяет горизонтальное положение (реальный компонент) и вертикальное положение (мнимый компонент):

• Общая высота: $ \ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ sin (b) \ cos (a) $
• Комбинированная ширина: $ \ cos (a + b) = \ cos (a) \ cos (b) — \ sin (a) \ sin (b) $

Бум: две раздражающие, запоминающиеся триггерные идентичности в одном вычислении.Неплохая сделка.

Понимание уравнения

Теперь, когда мы нашли уравнение, давайте разберемся в его значении. Когда мы складываем высоты, получаем следующее:

• Полная высота синего треугольника ($ \ sin (a) $) не может быть использована, так как красный треугольник не простирается так далеко. (Почему? Когда мы добавляем угол $ b $, мы движемся под более крутым углом с той же гипотенузой. Мы увеличили расстояние по вертикали и потеряли расстояние по горизонтали.) Мы эффективно «скользим назад» $ \ sin (a) $, уменьшив его в $ \ cos (b) $ раз.
• Красный треугольник ($ \ sin (b) $) во всю высоту также не может быть использован, так как он расположен под углом. Мы «переворачиваем» $ \ sin (b) $, уменьшая его в $ \ cos (a) $ раз.

Помните, что синус и косинус — это проценты. В данном случае

или

Конечно, нам нужно , например, , чтобы получить полную высоту каждого треугольника. Но из диаграммы мы видим, что $ a $ скользит назад, а $ b $ скручивается, поэтому высота, которую мы получаем на самом деле , уменьшается.Думайте о каждом косинусе как о налоге на ваш рост, уменьшая сумму, которую вы забираете домой. ( У вас рост 0,90? Это хорошо, Папа Косин оставит вам 75%. Оплатите остальное, sucka! ).

Что же происходит с маленькими углами, такими как $ \ sin (.01 + .02)? $

Можно воткнуть и выпить. Но я предполагаю, что результат будет примерно:

Почему? Моя мысленная диаграмма для малых углов такая:

Нет заметной разницы между идеальной высотой ($ \ sin (a) $ и $ \ sin (b) $) и «облагаемой налогом» версией ($ \ sin (a) \ cos (b) $ и $ \ sin ( б) \ cos (a) $).

• Для крошечных углов $ \ sin (a + b) $ представляет собой вертикальную линию. Он почти не теряет высоты из-за скольжения или скручивания деталей.
• Для малых углов косинус (процент, который мы сохраняем) близок к 100%. Мы сохраняем огромную, подавляющую часть своей высоты.
• $ \ sin (x) \ sim x $ — обычное приближение для малых углов (часто используется в исчислении). По сути, он говорит, что $ \ sin (x) $ — это линия на короткий период времени. Для малых углов $ \ sin (a + b) \ sim \ sin (a) + \ sin (b) \ sim a + b $.

Для косинуса имеем аналогичную диаграмму:

• На этот раз коэффициент преобразования совпадает (косинус с косинусом, синус с синусом).
• Полная ширина первого треугольника ($ \ cos (a) $) уменьшается, чтобы соответствовать ширине второго.
• Синусоидальный член отрицательный, поскольку он толкает нас назад, уменьшая наш рост. Мы можем использовать похожие треугольники, чтобы извлечь этот кусок.

Обычно я не думаю о частях на диаграмме, хотя приятно несколько раз увидеть, как они работают.Если вам просто нужно триггерное тождество, проанализируйте его алгебраически с помощью формулы Эйлера.

Почему нам важны триггерные идентификаторы?

Хороший вопрос. Несколько причин:

1. Потому что надо (худшая причина). Многие триггерные классы заставляют вас запоминать эти личности, чтобы потом вас можно было расспросить (argh). Вам не нужно запомнить их, вы можете разработать формулу примерно за минуту. Сохраните свое драгоценное место в мозгу для чего-нибудь еще.

2.Теперь мы можем «разложить» триггерные функции на более простые части. Теперь мы можем разделить синус на более мелкие части, что полезно в исчислении.

Например, чтобы найти производную синуса, нам нужно:

, и мы позволяем $ dx $ равняться нулю. С этим сложно работать напрямую, но, используя формулу $ \ sin (a + b) $, мы имеем

Когда $ dx $ стремится к нулю, $ \ cos (dx) = 1 $ (нулевой угол соответствует полной ширине), поэтому мы имеем:

И когда $ dx $ стремится к нулю, $ \ sin (dx) $ и $ dx $ становятся равными:

Подключив это, мы получим $ \ cos (a) $ как производную от $ \ sin (a) $.Уф! Работать с триггерами не всегда легко, но, по крайней мере, это управляемо.

3. Вычислительная эффективность. Если вы занимаетесь компьютерной графикой и часто вычисляете синус / косинус (скажем, для точечных произведений), триггерные идентификаторы — полезные сокращения. В прошлом эти идентификаторы использовались аналогично таблицам журналов, чтобы упростить ручные вычисления.

4. Математика — это наблюдение за связями. Поскольку триггерные функции являются производными от кругов и экспоненциальных функций, они, кажется, появляются повсюду.Иногда вы упрощаете сценарий, переходя от триггера к показателям или наоборот.

5. Углубите свои знания формулы Эйлера. Освойте формулу Эйлера, и вы освоили круги. И оттуда мир! ( Примечание редактора: кажется, что мизинец Калида прикреплен ко рту. Мы работаем над этим. )

Видите ли, формула Эйлера позволяет нам нарисовать круг и считать позицию. Это восхитительно! С помощью нескольких умножений мы можем избежать множества болезненных геометрических форм.Если вы занимаетесь какой-либо сложной математикой, позволить Леонарду Эйлеру глубоко проникнуть в вашу душу стоит того. Он хорошая компания.

На сегодня все. Счастливая математика.

Приложение: ресурсы и расширенные формулы

Вы можете изменить параметры $ a $ и $ b $ для создания новых идентификаторов.

Формула вычитания: замените b на -b

Формула двойного угла: замените b на

Формула полуугла: заменить и решить

Начните с формулы двойного угла и решите для $ \ sin (a) $, что составляет половину угла, используемого в $ \ sin (2a) $.Триг без слез (отличный ресурс и название) имеет более подробную информацию:

http://brownmath.com/twt/double.htm

Еще несколько полезных ссылок:

Другие сообщения в этой серии

1. Как научиться тригонометрии интуитивно
2. Простые триггерные тождества с формулой Эйлера
3. Интуиция к закону косинусов
4. Интуиция к закону синуса

тригонометрия — Почему при проверке идентичности триггера необходимо работать с обеих сторон независимо?

Предположим, вам нужно подтвердить идентификацию триггера:

$$ \ frac {\ sin \ theta — \ sin ^ 3 \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} = \ sin \ theta $$

Мне всегда говорили, что я должен манипулировать левой и правой частями уравнения отдельно, пока я не преобразовал их каждую во что-то идентичное.2 \ theta} $$ $$ = \ sin \ theta $$

И затем, поскольку левая часть равна правой части, я доказал тождество. Моя проблема: почему я не могу манипулировать всем уравнением? В этой ситуации это, вероятно, не упростит задачу, но для некоторых идентичностей я вижу способы «доказать» идентичность, манипулируя всем уравнением, но не могу доказать это, удерживая обе стороны изолированными.

Я, конечно, понимаю, что не могу просто предположить, что личность верна. Если я допущу ложное утверждение, а затем выведу из него истинное утверждение, я все равно не докажу исходное утверждение.2 \ theta) $, а затем работают в обратном направлении , чтобы прийти к тождеству триггера. Теперь я начну с утверждения, которое, очевидно, истинно, и выведу другое утверждение (тождество), которое также должно быть истинным — разве это не правильно?

Еще один аргумент, который я слышал в пользу изолирования двух сторон, заключается в том, что манипулирование уравнением позволяет делать вещи, которые не всегда верны в каждом случае. 2 \ theta} $$ $$ = \ sin \ theta $$

недопустимо, например, когда theta равно $ \ pi / 2 $, потому что тогда оно представляет собой деление на ноль.

Что такое тригонометрия? | Живая наука

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников. Тригонометрия встречается повсюду в геометрии, поскольку каждая прямолинейная форма может быть разбита на набор треугольников. Более того, тригонометрия имеет поразительно сложные отношения с другими разделами математики, в частности с комплексными числами, бесконечными рядами, логарифмами и исчислением.

Слово тригонометрия является латинским производным 16-го века от греческих слов, обозначающих треугольник ( trigōnon ) и меру ( metron ).Хотя эта область возникла в Греции в третьем веке до нашей эры, некоторые из наиболее важных вкладов (например, функция синуса) были внесены в Индию в пятом веке нашей эры. Поскольку ранние тригонометрические работы Древней Греции были утеряны, неизвестно, были ли индийские ученые разработали тригонометрию независимо или под влиянием Греции. Согласно Виктору Кацу в «Истории математики (3-е издание)» (Пирсон, 2008), тригонометрия возникла в первую очередь из потребностей греческих и индийских астрономов.

Пример: Высота мачты парусника

Предположим, вам нужно знать высоту мачты парусника, но вы не можете подняться на нее для измерения. Если мачта перпендикулярна палубе и верх мачты прикреплен к палубе, то мачта, палуба и такелажный трос образуют прямоугольный треугольник. Если мы знаем, как далеко проложен канат от мачты и какой угол наклона каната встречается с палубой, то все, что нам нужно для определения высоты мачты, — это тригонометрия.

Для этой демонстрации нам нужно изучить несколько способов описания «наклона.Первый — это наклон , который представляет собой коэффициент, который сравнивает, на сколько единиц линия увеличивается по вертикали (ее подъем , ) по сравнению с тем, на сколько единиц она увеличивается по горизонтали (его запускает ). Таким образом, уклон рассчитывается делением подъема на пробег. Предположим, мы измеряем точку крепления на расстоянии 30 футов (9,1 метра) от основания мачты (прогона). Умножив пробег на уклон, мы получим подъем — высоту мачты. К сожалению, мы не знаем наклона. Однако мы можем найти угол такелажного троса и использовать его для определения уклона . Угол — это часть полного круга, равная 360 градусам. Это легко измерить транспортиром. Предположим, угол между такелажным канатом и палубой составляет 71/360 окружности, или 71 градус.

Нам нужен наклон, но все, что у нас есть, это угол. Что нам нужно, так это отношения, которые связывают их. Эта связь известна как «функция касательной » и обозначается как tan (x). Тангенс угла дает его наклон. Для нашей демонстрации уравнение: tan (71 °) = 2.90. (Мы объясним, как мы получили этот ответ позже.)

Это означает, что наклон нашей такелажной веревки составляет 2,90. Поскольку точка крепления находится в 30 футах от основания мачты, мачта должна иметь высоту 2,90 × 30 футов или 87 футов. (Это работает так же в метрической системе: 2,90 x 9,1 метра = 26,4 метра.)

Синус, косинус и тангенс

В зависимости от того, что известно о различных длинах сторон и углах прямоугольного треугольника, существуют две другие тригонометрические функции. это может быть более полезным: « функция синуса », записанная как sin (x), и «функция косинуса », записанная как cos (x).Прежде чем мы объясним эти функции, потребуется дополнительная терминология. Соприкасающиеся стороны и углы описываются как смежные . У каждой стороны есть два смежных угла. Стороны и углы, которые не соприкасаются, обозначаются как напротив . Для прямоугольного треугольника сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (от греческого «растягивающаяся под»). Две оставшиеся стороны называются ножками .

Обычно нас интересует (как в примере выше) угол, отличный от прямого.То, что мы назвали «подъемом» в приведенном выше примере, принимается за длину ноги, противоположной исследуемому углу; аналогично, за «пробег» принимается длина соседней ноги. Применительно к угловой мере три тригонометрические функции производят различные комбинации соотношений сторон.

Другими словами:

• Тангенс угла A = длина противоположной стороны, деленная на длину соседней стороны
• Синус угла A = длина противоположной стороны, деленная на длину гипотенузы
• Косинус угла A = длина прилегающей стороны, деленная на длину гипотенузы

Из нашего предыдущего примера с судовой мачтой соотношение между углом и его тангенсом можно определить по его графику, показанному ниже.Также включены графики синуса и косинуса.

Три основных тригонометрических функции. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)

Стоит упомянуть, хотя и выходит за рамки данной статьи, что эти функции связаны друг с другом посредством большого разнообразия сложных уравнений, известных как тождества, уравнений, которые всегда верны.

Каждая тригонометрическая функция также имеет обратную функцию, с помощью которой можно найти угол по отношению сторон. Обратные к sin (x), cos (x) и tan (x), являются arcsin (x), arccos (x) и arctan (x) соответственно.

Обратные трем основным тригонометрическим функциям. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)

Фигуры, отличные от прямоугольных

Тригонометрия не ограничивается только прямоугольными треугольниками. Его можно использовать со всеми треугольниками и всеми формами с прямыми сторонами, которые рассматриваются как набор треугольников. Для любого треугольника по шести размерам сторон и углов, если известны хотя бы три, остальные три обычно могут быть определены. Из шести конфигураций трех известных сторон и углов только две из этих конфигураций не могут быть использованы для определения всего, что касается треугольника: три известных угла (AAA) и известный угол, смежный и противоположный известным сторонам (ASS).Неизвестные длины сторон и углы определяются с помощью следующих инструментов:

• Закон синусов, который гласит, что если известны обе меры одной из трех противоположных пар угол / сторона, другие могут быть определены только из одного известного: sin (A) / a = sin (B) / b = sin (C) / c
• Закон косинусов, который гласит, что неизвестная сторона может быть найдена с двух известных сторон и угла между ними. По сути, это теорема Пифагора с поправочным коэффициентом для углов, отличных от 90 градусов: c2 = a2 + b2 — 2ab ∙ cos (C)
• Тот факт, что все углы в треугольнике должны составлять в сумме 180 градусов: A + B + C = 180 °

История тригонометрии

Тригонометрия идет по тому же пути, что и алгебра: она была разработана на древнем Ближнем Востоке и через торговлю и иммиграцию переместилась в Грецию, Индию, средневековую Аравию и, наконец, в Европу (где, следовательно, , колониализм сделал его версией, которой учат сегодня большинство людей).Хронология тригонометрических открытий осложняется тем фактом, что Индия и Аравия продолжали преуспевать в исследованиях на протяжении столетий после передачи знаний через культурные границы. Например, открытие Мадхавой в 1400 году бесконечного ряда синусов было неизвестно Европе до независимого открытия Исаака Ньютона в 1670 году. Из-за этих сложностей мы сосредоточимся исключительно на открытии и прохождении синуса, косинуса и тангенса.

Начало на Ближнем Востоке, седьмой век до нашей эры.Ученые из Неовавилонии определили методику вычисления времени восхода неподвижных звезд на зодиаке. Перед рассветом другой неподвижной звезде требуется около 10 дней, и в каждом из 12 зодиакальных знаков есть три неподвижных звезды; 10 × 12 × 3 = 360. Число 360 достаточно близко к 365,24 дня в году, но с ним гораздо удобнее работать. Почти идентичные подразделения можно найти в текстах других древних цивилизаций, таких как Египет и долина Инда. Согласно Уте Мерцбах в «Истории математики» (Wiley, 2011), эта вавилонская техника была адаптирована греческим ученым Гипсиклом из Александрии около 150 г. до н. Э.К. был, вероятно, вдохновением для Гиппарха Никейского (190–120 до н. Э.), Который начал тенденцию разрезать круг на 360 градусов. Используя геометрию, Гиппарх определил тригонометрические значения (для функции, которая больше не используется) для приращений в 7,5 градусов (48 ^-х круга). Птолемей Александрийский (90–168 гг. Н. Э.) В своем «Альмагесте» 148 г. н. Э. Продолжил работу Гиппарха, определив тригонометрические значения для приращений в 0,5 градуса (720 ^th круга) от 0 до 180 градусов.

Самая старая запись о синусоиде происходит из Индии V века в работах Арьябхаты (476–550). Стих 1.12 «Арьябхатии» (499), вместо представления углов в градусах, содержит список последовательных разностей синусов в двадцать четвертых прямого угла (с шагом 3,75 градуса). Это было отправной точкой для большей части тригонометрии на долгие века.

Следующая группа великих ученых, унаследовавших тригонометрию, была из Золотого века ислама.Аль-Мамун (813–833), седьмой халиф Аббасидского халифата и создатель Дома мудрости в Багдаде, спонсировал перевод «Альмагеста» Птолемея и «Арьябхатия» Арьябхаты на арабский язык. Вскоре после этого Аль-Хваризми (780–850) составил точные таблицы синусов и косинусов в «Зидж аль-Синдхинд» (820). Именно благодаря этой работе в Европу впервые пришли знания о тригонометрии. Согласно Джеральду Тумеру в «Словаре научной биографии 7», хотя исходная арабская версия была утеряна, ее отредактировал около 1000 г. аль-Маджрити из Аль-Андалуса (современная Испания), который, вероятно, добавил таблицы касательных перед Аделардом из Бат (в Южной Англии) перевел его на латынь в 1126 году.

Дополнительные ресурсы

Добавление вектора

С векторами и над векторами можно выполнять различные математические операции. Одна из таких операций — сложение векторов. Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результирующий). Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе. Вспомните в нашем обсуждении законов движения Ньютона, что результирующая сила , испытываемая объектом, была определена путем вычисления векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект.То есть чистая сила была результатом (или результатом) сложения всех векторов силы. Во время этого блока правила суммирования векторов (например, векторов силы) оставались относительно простыми. Обратите внимание на следующие суммы двух векторов силы:

Эти правила суммирования векторов были применены к диаграммам свободного тела, чтобы определить результирующую силу (т. Е. Векторную сумму всех отдельных сил). Примеры приложений показаны на схеме ниже.

В этом модуле задача суммирования векторов будет расширена на более сложные случаи, в которых векторы направлены в направлениях, отличных от чисто вертикального и горизонтального направлений. Например, вектор, направленный вверх и вправо, будет добавлен к вектору, направленному вверх и влево. Векторная сумма будет определена для более сложных случаев, показанных на диаграммах ниже.

Существует множество методов определения величины и направления результата сложения двух или более векторов.В этом уроке будут обсуждаться два метода, которые будут использоваться на протяжении всего модуля:

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — полезный метод для определения результата сложения двух (и только двух) векторов , образующих прямой угол друг к другу. Этот метод неприменим для добавления более двух векторов или для сложения векторов , а не под углом 90 градусов друг к другу.Теорема Пифагора — это математическое уравнение, которое связывает длину сторон прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.

Чтобы увидеть, как работает метод, рассмотрим следующую задачу:

Эрик покидает базовый лагерь и отправляется в поход на 11 км на север, а затем на 11 км на восток. Определите результирующее смещение Эрика.

В этой задаче требуется определить результат сложения двух векторов смещения, расположенных под прямым углом друг к другу.Результат (или результат) ходьбы на 11 км на север и 11 км на восток — это вектор, направленный на северо-восток, как показано на диаграмме справа. Поскольку смещение на север и смещение на восток расположены под прямым углом друг к другу, теорема Пифагора может использоваться для определения результирующей (то есть гипотенузы прямоугольного треугольника).

Результат сложения 11 км, север плюс 11 км, восток — вектор с величиной 15,6 км. Позже будет обсуждаться метод определения направления вектора.

Давайте проверим ваше понимание с помощью следующих двух практических задач. В каждом случае используйте теорему Пифагора, чтобы определить величину векторной суммы . По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

Использование тригонометрии для определения направления вектора

Направление результирующего вектора часто можно определить с помощью тригонометрических функций.Большинство студентов вспоминают значение полезной мнемоники SOH CAH TOA из своего курса тригонометрии. SOH CAH TOA — мнемоника, которая помогает запомнить значение трех общих тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Эти три функции связывают острый угол в прямоугольном треугольнике с отношением длин двух сторон прямоугольного треугольника. Синусоидальная функция связывает меру острого угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы.Функция косинуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. Функция касательной связывает меру угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей к углу. Три уравнения ниже суммируют эти три функции в форме уравнения.

Эти три тригонометрические функции могут быть применены к задаче туриста, чтобы определить направление общего перемещения туриста.Процесс начинается с выбора одного из двух углов (кроме прямого) треугольника. После выбора угла любую из трех функций можно использовать для определения меры угла. Напишите функцию и выполните соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти меру угла. Работа представлена ​​ниже.

После определения меры угла можно определить направление вектора. В этом случае вектор составляет угол 45 градусов относительно востока.Таким образом, направление этого вектора записывается как 45 градусов. (Вспомните ранее в этом уроке, что направление вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который вектор делает относительно востока.)

Расчетный угол не всегда соответствует направлению

Мера угла, определяемая с помощью SOH CAH TOA, составляет , а не всегда в направлении вектора. Следующая векторная диаграмма сложения является примером такой ситуации.Обратите внимание, что угол внутри треугольника определен как 26,6 градуса с использованием SOH CAH TOA. Этот угол представляет собой угол поворота на юг, который вектор R делает по отношению к Западу. Тем не менее, направление вектора, выраженное условным обозначением CCW (против часовой стрелки с востока), составляет 206,6 градуса.

Проверьте свое понимание использования SOH CAH TOA для определения направления вектора, попробовав следующие две практические задачи.В каждом случае используйте SOH CAH TOA для определения направления результирующего. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

В приведенных выше задачах величина и направление суммы двух векторов определяется с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических методов (SOH CAH TOA). Процедура ограничивается сложением двух векторов, образующих прямые углы друг к другу.Когда два вектора, которые должны быть добавлены, не находятся под прямым углом друг к другу, или когда необходимо сложить более двух векторов, мы будем использовать метод, известный как метод сложения векторов голова к хвосту. Этот метод описан ниже.

Использование масштабированных векторных диаграмм для определения результата

Величину и направление суммы двух или более векторов можно также определить с помощью точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы.Используя масштабированную диаграмму, метод «голова-к-хвосту» используется для определения векторной суммы или результата. Обычная физическая лаборатория включает векторных прогулок . Либо используя смещения сантиметрового размера на карте, либо смещения метрового размера на большой открытой местности, ученик выполняет несколько последовательных смещений, начиная с назначенной начальной позиции. Предположим, вам дали карту вашего района и 18 направлений, по которым вам нужно следовать. Начиная с домашней базы , эти 18 векторов смещения могут быть сложены вместе последовательно, чтобы определить результат сложения набора из 18 направлений.Возможно, первый вектор измеряется 5 см, восток. Когда это измерение закончится, начнется следующее измерение. Процесс будет повторяться для всех 18 направлений. Каждый раз, когда одно измерение заканчивалось, начиналось следующее измерение. По сути, вы использовали бы метод сложения векторов «голова к хвосту».

Метод «голова к хвосту» включает рисование вектора для масштабирования на листе бумаги, начиная с заданной начальной позиции.Там, где заканчивается голова этого первого вектора, начинается хвост второго вектора (таким образом, метод «голова к хвосту» ). Процесс повторяется для всех добавляемых векторов. После того, как все векторы были добавлены по направлению «голова к хвосту», результирующий результат протягивается от хвоста первого вектора к началу последнего вектора; т.е. от начала до конца. Как только результат нарисован, его длину можно измерить и преобразовать в реальных единиц, используя заданный масштаб. Направление полученного результата можно определить, используя транспортир и измерив его угол поворота против часовой стрелки с востока.

Пошаговый метод применения метода «голова к хвосту» для определения суммы двух или более векторов приведен ниже.

1. Выберите масштаб и укажите его на листе бумаги. Наилучший выбор масштаба — такой, при котором диаграмма будет как можно больше, но при этом умещается на листе бумаги.
2. Укажите начальную точку и нарисуйте первый вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление шкалы на диаграмме (например,г., МАСШТАБ: 1 см = 20 м).
3. Начиная с того места, где заканчивается голова первого вектора, нарисуйте второй вектор , чтобы масштабировать в указанном направлении. Обозначьте величину и направление этого вектора на диаграмме.
4. Повторите шаги 2 и 3 для всех добавляемых векторов
5. Проведите результат от хвоста первого вектора к голове последнего вектора. Обозначьте этот вектор как Resultant или просто R .
6. Используя линейку, измерьте длину полученного результата и определите его величину путем преобразования в действительные единицы с помощью шкалы (4.4 см х 20 м / 1 см = 88 м).
7. Измерьте направление результирующей, используя условное обозначение против часовой стрелки, о котором говорилось ранее в этом уроке.

Пример использования метода «голова к хвосту» проиллюстрирован ниже. Задача заключается в сложении трех векторов:

20 м, 45 град. + 25 м, 300 град. + 15 м, 210 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Метод «голова к хвосту» используется, как описано выше, и определяется результат (выделен красным).Его величина и направление обозначены на схеме.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Интересно, что порядок, в котором добавляются три вектора, не влияет ни на величину, ни на направление результирующего. Результирующий по-прежнему будет иметь ту же величину и направление. Например, рассмотрим сложение тех же трех векторов в другом порядке.

15 м, 210 град.+ 25 м, 300 град. + 20 м, 45 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

При сложении в этом другом порядке эти же три вектора по-прежнему дают результат с той же величиной и направлением, что и раньше (20. м, 312 градусов). Порядок, в котором векторы добавляются с использованием метода «голова к хвосту», не имеет значения.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Дополнительные примеры сложения векторов методом «голова к хвосту» приведены на отдельной веб-странице.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», нашего интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» нашего веб-сайта и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.

Ебать тригонометрию | mathbabe

Я встречаюсь с множеством людей в аэропортах и ​​на музыкальных фестивалях. Я дружелюбный, разговорчивый человек (по крайней мере, когда я не спал в мокрой палатке две ночи подряд). Когда меня спрашивают, чем я зарабатываю на жизнь, я часто отвечаю, что я математик. Потом они почти всегда говорят мне, как сильно ненавидят математику.Когда я спрашиваю, почему, они часто предполагают, что именно тригонометрия убила любой интерес, который у них мог быть к этому предмету.

Согласен, тригонометрия — отстой. К черту тригонометрию. Это ужасно немотивированный предмет, и, как ученик, вы должны запоминать формулы двойного угла без каких-либо доказательств. Непонятно, зачем вы его изучаете, за исключением возможности позже запомнить интегралы и производные указанных функций. Это почти пример того, как заставить кого-то почувствовать, что математика должна быть загадочной.Несколько комментариев, прежде чем вы решите, что я несправедлив.

Во-первых, да, тригонометрические функции необходимы в анализе Фурье, который в настоящее время чрезвычайно важен для музыкальных файлов и сжатия информации. Но к тому времени, когда вы начнете работать с анализом Фурье, у вас будет больше математических технологий, и, в частности, вы знаете волшебную формулу, которая делает все таинственные формулы двойного и половинного угла сверхлегкими, а именно формула Эйлера:

Понимая эту формулу, Фурье-аналитик может работать с тригонометрическими функциями без всякой загадки и абсолютно без запоминания.На самом деле моя мама оказала мне услугу, объяснив мне вышеприведенную формулу, когда я учился в старшей школе, чтобы я мог избежать запоминания. Это помогло, но даже тогда я запомнил это, и только в колледже я понял это.

Далее, это не первый раз, когда я какаю на триггере. Некоторое время назад я написал пост о статистике и преподавании алгебры в старших классах, и в этом посте я предложил исключить триггеры из учебной программы. Несколько человек встали на защиту триггера в комментариях. Вот что они сказали.

• Кто-то упомянул, что это нужно в «магазинном классе». Но затем они объяснили, что классов магазинов больше не существует.
• Кто-то упомянул, что триггерные функции — отличные примеры периодических функций. Хотя это правда, нам не нужно углубляться в предмет — не говоря уже о формулах двойного угла — чтобы объяснить это. Даже просто поговорить о муравье, идущем по единичному кругу, будет достаточно, особенно если мы запросим координаты x и y муравья в данный момент времени.Достаточно сказано. Мы могли бы закончить урок историческим замечанием о том, как эти функции имеют имена, они называются функциями синуса и косинуса, и вы узнаете о них больше, когда узнаете о комплексной плоскости и анализе Фурье. .
• Кто-то упомянул, что они используют триггерные функции каждый день на работе в области физических наук. Опять же, я готов поспорить, что они также знают о комплексной плоскости.
• Никто не упоминал, что капитанам кораблей нужен триггер, но снова у нас есть GPS.

Когда я упомянула мужу о своей ненависти к тригонометрии, он возразил аргументом, который до сих пор не упоминался. А именно, что у нас действительно нет причин учить старшеклассников какому-либо конкретному предмету, поэтому мы просто выбираем кучу вещей наугад. Более того, он предположил, что если мы удалим триггер, то встреча с людьми в аэропорту просто вызовет другую причину ненависти к математике. Мы просто заменим триггер какой-нибудь другой дрянной темой.

Я не согласен. Хотя не очевидно, что всем нужна алгебра более высокого уровня в повседневной жизни (хотя им определенно нужно решать системы линейных уравнений), все же более оправданно научить их множить квадратные многочлены на множители, чем вводить арктангенс.И хотя большинство людей в конечном итоге запоминают квадратную формулу, ее, по крайней мере, можно вывести с помощью простого дополнения квадрата. Другими словами, по крайней мере ясно, что есть объяснение, даже если оно у вас не под рукой.

Нравится:

Нравится Загрузка …

Связанные

% PDF-1.2 % 2 0 obj > транслировать 0 г / GS1 GS 1 я 40,65 757,29 0,12 -25.2 рэ ж 0 G 0 Дж 0 j 0,12 w 10 M [] 0 d 40,53 757,41 0,36 -25,44 об. S 12,33 729,45 25,2 -0,12 об. ж 12,21 729,57 25,44 -0,36 об. S 571,65 757,29 0,12 -25,2 об. ж 571,53 757,41 0,36 -25,44 об. S 574,53 729,45 25,2 -0,12 об. ж 574,41 729,57 25,44 -0,36 об. S 40,65 60,09 0,12 -25,2 об ж 40,53 60,21 0,36 -25,44 об. S 12,33 63,33 25,2 -0,12 об. ж 12,21 63,45 25,44 -0,36 об. S 571,65 60.09 0,12 -25,2 об ж 571,53 60,21 0,36 -25,44 об. S 574,53 63,33 25,2 -0,12 об. ж 574,41 63,45 25,44 -0,36 об. S BT / F1 1 Тс 36,12 0 0 36,12 143,97 672,33 тм 0 Tc 0 Tw (4) Tj 25,08 0 0 25,08 178,05 672,33 тм -0,004 Тс [(T) 81 (r) -3 (игонометр) -12 (y) -352 (и) -355 (C) 0 (полный) 11 (x)] TJ 0 -1,1914 TD [(Число) 17 (s)] TJ / F2 1 Тс 10,08 0 0 10,08 178,05 557,85 тм -0,003 Тс [(T) 37 (r) -3 (ig) 9 (on) 9 (om) 13 (etry) -241 (d) 9 (e) 24 (v) 21 (elop) 9 (e) 1 (d) » -241 (f) -3 (r) 9 (o) -3 (m) -237 (t) 1 (h) 9 (e) -238 (s) -7 (t) 1 (u) 9 (d) -3 (y) -241 (o) 9 (f) -241 (t) 1 (rian) 9 (gles,) — 241 (p) -3 (a) 12 (r) -3 (ticular) 9 (ly ) -241 (буровая) 9 (h) -3 (t) -237 (t) 1 (rian) 9 (gles,) — 241 (a) 1 (nd) -229 (t) -11 (h) 9 ( д)] TJ Т * [(отношение) 9 (нс) -304 (между) 12 (д) 1 (п) -313 (т) 1 (он) -297 (л) -11 (д) 12 (нг) 9 (т) -11 (h) 9 (s) -304 (o) -3 (f) -313 (t) 1 (h) 9 (eir) -313 (стороны) -304 (a) 1 (n) 9 (d) -313 (the) -309 (s) 5 (izes) -304 (of) -301 (их) -313 (a) 12 (n) -3 (g) 9 (l) -11 (e) 12 (s) — 7 (.) -491 (T) 1 (h) 9 (e) -309 (триго) 9 (n) -3 (o)] TJ / F3 1 Тс 34.2619 0 TD 0 Tc (\ 255) Tj -34,2619 -1,1786 ТД -0,003 Тс [(метр) 9 (ic) -357 (fu) 9 (nctio) 9 (ns) -352 (tha) 12 (t) -356 (Measu) 9 (r) -3 (e) -357 (t) 1) (h) 9 (e) -357 (re) 12 (l) -11 (a) 12 (ti) -11 (o) 9 (n) -3 (sh) 9 (ips) -352 (b) -3 (e) 12 (t) -11 (w) 17 (een) -348 (t) -11 (h) 9 (e) -357 (s) 5 (ide) 12 (s) -364 (o) 9 ( е) -360 (аналог) -349 (триан) 9 (глес)] TJ 0 -1,1905 ТД [(ha) 24 (v) 21 (e) -261 (f) 9 (a) 1 (r) 20 (\ 255) 9 (reac) 12 (hing) -253 (ap) 9 (plicatio) 9 (ns ) -257 (th) 9 (at) -261 (e) 12 (x) 9 (тенд) -253 (f) 9 (ar) -253 (be) 24 (yo) 9 (nd) -253 (их) -253 (использовать) -261 (i) 1 (n) -253 (t) 1 (he) -261 (stu) 9 (d) -3 (y) -253 (o) -3 (f) -253 ( т) 1 (риан) 9 (гл.)] TJ Т * [(Co) 9 (mp) 9 (le) 12 (x) -277 (n) 9 (um) 13 (ber) 9 (s) -281 (wer) 9 (e) -273 (de) 24 (v) ) 21 (elo) 9 (ped) 9 (,) — 289 (in) -277 (p) 9 (a) 1 (rt,) — 277 (b) -3 (eca) 12 (use) -273 (t ) 1 (он) 12 (у) -265 (в) 1 (ом) 13 (плет,) — 277 (в) -277 (а) -273 (у) -3 (сефу) 9 (л) -273 ( а) 1 (nd) -265 (ele \ 255)] TJ 0 -1,1786 TD [(г) 10 (а) 2 (нт) -260 (е) 21 (а) 2 (с) -6 (з) 10 (ион) 10 (,) — 264 (т) -248 (с) -6 (tu) 10 (dy) -252 (of) -252 (the) -260 (s) 6 (o) 10 (l) -10 (u) 10 (tion) 10 (s) -256 (of) -252 (po) 10 (l) -10 (y) 10 (no) 10 (mial) -260 (e) 13 (q) -2 (u) 10 (ation) 10 (s) -6 (.) — 347 ( C) 10 (om) 14 (Ple) 25 (x) -264 (n) 10 (u) -2 (m) 14 (b) -2 (er) 10 (s) -268 (a) 13 (re) ] TJ 0 -1.1905 TD -0,004 Тс [(usefu) 8 (l) -250 (n) 8 (o) -4 (t) -250 (o) 8 (nly) -242 (i) 0 (n) -242 (математика) 8 (ematics,) -254 (b) 32 (ut) -250 (in) -242 (the) -239 (o) -4 (th) 8 (er) -254 (scien) 8 (ces) -246 (as) -246 ( хорошо.)] TJ / F1 1 Тс 12 0 0 12 82,41 449,37 тм -0,001 Тс [(Т) 80 (р) -2 (иг) 10 (онометр) -12 (у)] ТДж / F3 1 Тс 10,08 0 0 10,08 178,05 426,81 тм -0,003 Тс [(Most) -225 (of) -230 (th) 9 (e) -226 (t) 1 (rigo) 9 (no) 9 (metr) 9 (ic) -226 (com) 13 (p) -3) (u) 9 (tati) -11 (o) 9 (n) -3 (s) -221 (i) 1 (n) -229 (t) 1 (h) 9 (i) -11 (s) -221 (c) 1 (h) 9 (a) 1 (pter) -230 (u) 9 (s) 5 (e) -238 (s) 5 (ix) -229 (b) 9 (a) 1 (sic) -238 (t) 1 (r) 9 (i) 1 (go) 9 (no) 9 (метрическая система) -226 (f) 9 (u) -3 (n) 9 (c) 1 (\ 255)] TJ Т * [(тион) 9 (s) -304 (Th) 9 (e) -297 (t) 1 (wo) -289 (fu) 9 (nd) 9 (аминь) 9 (tal) -308 (tr) 9 ( igo) 9 (n) -3 (o) 9 (метрическая) -297 (f) 9 (unc) 12 (ti) -11 (o) 9 (n) -3 (s,) — 313 (синус) -297 (an) 9 (d) -301 (c) 1 (osin) 9 (e,) — 313 (can) -301 (b) 9 (e) -309 (d) 9 (e)] TJ / F4 1 Тс 31.5476 0 TD 0 Tc (\ 277) Tj / F3 1 Тс 0,5476 0 TD -0,002 Тс [(ned) -288 (i) 2 (n)] TJ -32,0952 -1,1786 ТД [(член) 13 (s) -316 (o) 9 (f) -313 (th) 9 (e) -309 (u) 9 (nit) -308 (cir) 9 (cle \ 227) 9 (the) -309 (s) 5 (et) -308 (o) 9 (f) -313 (p) 9 (o) -3 (in) 9 (ts) -316 (in) -301 (the) -297 (E ) 1 (uc) 12 (li) -11 (d) 9 (ean) -301 (план) 9 (e) -309 (o) 9 (f) -313 (d) 9 (is) -7 (tan) 9 (ce) -309 (o) 9 (n) -3 (e) -309 (f) 9 (ro) 9 (m)] TJ 0 -1,1905 ТД [(the) -273 (o) 9 (rigin) 9 (.) — 396 (A) -269 (p) 9 (oin) 9 (t) -285 (o) 9 (n) -277 (th) 9 (is) -281 (cir) 9 (cle) -273 (has) -269 (c) 1 (o) 9 (ord) 9 (ina) 12 (t) -11 (e) 12 (s)] TJ / F5 1 Тс 19.6429 0 TD 0 Tc [(+) 12 (frv)] TJ / F6 1 Тс 1,869 0 TD (w>) Tj / F5 1 Тс 0,7976 0 TD (vlq) Tj / F6 1 Тс 1,381 0 TD (w) Tj / F5 1 Тс 0,3571 0 TD (,) Tj / F3 1 Тс 0,381 0 TD 0,274 Тс [(, w) 282 (h) 274 (e) 278 (r) 286 (e)] TJ / F6 1 Тс 3,2143 0 TD 0 Tc (w) Tj / F3 1 Тс 0,631 0 TD 0,002 Тс [(i) -6 (s) -264 (a) -268 (m) 6 (e) 17 (a) 6 (su) 14 (re) -268 (\ () 14 (i) 6 (n)]) TJ -28.2738 -1.1905 ТД -0,003 Тс [(рад) 9 (ians \)) — 277 (o) 9 (f) -277 (the) -273 (a) 1 (n) 9 (g) -3 (le) -273 (at) -273 ( the) -273 (o) 9 (rigin) -265 (b) -3 (etwee) 12 (n) -277 (t) 1 (he) -273 (p) 9 (o) -3 (siti) 25 ( v) 9 (e)] TJ / F6 1 Тс 22 0 TD 0 Tc ({) Tj / F3 1 Тс 0.5595 0 TD -0,012 Тс [(\ 255) -12 (а) -8 (xi) -8 (s) -290 (а) -8 (nd) -286 (t) -8 (h) 0 (e) -282 (r) — 12 (а) -8 (у) -286 (ф) -12 (о) -12 (м) -270 (т) -8 (з) -12 (д) -282 (о) -12 (ри) — 8 (\ 255)] TJ -22,5595 -1,1786 ТД -0,003 Тс [(джин) -265 (t) 1 (h) 9 (rou) 9 (gh) -265 (th) 9 (e) -273 (p) 9 (oin) 9 (t) -273 (me) 12 ( as) -7 (u) 9 (r) -3 (ed) -265 (in) -265 (th) 9 (e) -273 (c) 1 (o) 9 (u) -3 (n) 9 ( terclo) 9 (ckwise) -261 (Direc) 12 (t) -11 (io) 9 (n.) — 372 (T) 13 (h) -3 (e) -261 (o) -3 (th) 9 (er) -265 (fou) 9 (r) -265 (b) -3 (asic)] TJ 0 -1,1905 ТД [(триго) 10 (n) -2 (o) 10 (метр) 10 (ic) -248 (fu) 10 (nc) 13 (t) -10 (i) 2 (o) 10 (n) -2 ( s) -244 (c) 2 (a) 13 (n) -252 (b) 10 (e) -248 (d) 10 (e)] TJ / F4 1 Тс 13.2857 0 TD 0 Tc (\ 277) Tj / F3 1 Тс 0,5476 0 TD -0,004 Тс [(ned) -242 (i) 0 (n) -242 (термин) 12 (s) -258 (o) 8 (f) -242 (t) -12 (h) 8 (ese) -250 (t) ») 0 (w) 16 (o) -4 (\ 227) 8 (n) 8 (ame) 11 (ly) 56 (,)] TJ / F5 1 Тс -3,4048 -1,8333 TD -0,012 Тс [(wd) -12 (q)] TJ / F6 1 Тс 1,5952 0 TD 0 Tc ({) Tj / F5 1 Тс 0,8333 0 TD (@) Tj 1,2143 0,6667 TD (vlq) Tj / F6 1 Тс 1,3809 0 TD ({) Tj ET 319,41 339,21 20,4 -0,12 об. ж 319,29 339.33 20,64 -0,36 об S BT / F5 1 Тс 10,08 0 0 10,08 319,41 329,73 тм [(фр) 12 (в)] ТДж / F6 1 Тс 1.4881 0 TD ({) Tj / F5 1 Тс 3,0476 0,6786 ТД (VHF) Tj / F6 1 Тс 1,4405 0 TD ({) Tj / F5 1 Тс 0,8333 0 TD (@) Tj 1,9405 0,6667 ТД (4) Tj ET 399,81 339,21 20,4 -0,12 об. ж 399,69 339,33 20,64 -0,36 об. S BT 10,08 0 0 10,08 399,81 329,73 тм [(фр) 12 (в)] ТДж / F6 1 Тс 1.4881 0 TD ({) Tj / F5 1 Тс -13.0595 -1,6071 ТД [(fr) 12 (w)] TJ / F6 1 Тс 1,4762 0 TD ({) Tj / F5 1 Тс 0,8452 0 TD (@) Tj 1,1548 0,6667 TD (frv) Tj / F6 1 Тс 1.4881 0 TD ({) Tj ET 318,33 316,29 20,4 -0,12 об. ж 318,21 316,41 20,64 -0,36 об. S BT / F5 1 Тс 10,08 0 0 10,08 318,81 306,69 тм (vlq) Tj / F6 1 Тс 1,381 0 TD ({) Tj / F5 1 Тс 3,2143 0,6786 ТД (fvf) Tj / F6 1 Тс 1,4405 0 TD ({) Tj / F5 1 Тс 0.8333 0 TD (@) Tj 1,8929 0,6667 TD (4) Tj ET 399,81 316,29 19,32 -0,12 об. ж 399,69 316,41 19,56 -0,36 об. S BT 10,08 0 0 10,08 399,81 306,69 тм (vlq) Tj / F6 1 Тс 1,381 0 TD ({) Tj / F3 1 Тс -23,381 -1,3929 TD -0,02 Тс [(Fo) -20 (r)] TJ / F5 1 Тс 1,5833 0 TD 0 Tc (3) Tj / F6 1 Тс 0,7738 0 TD 0,274 Тс (? ш?) тиджей 2,8333 0,6786 ТД 0 Tc (\ 034) Tj ET 230,49 295,41 5.76 -0,12 об. ж 230,37 295,53 6 -0,36 рэ S BT / F5 1 Тс 10,08 0 0 10,08 230,97 285,81 тм (5) Tj / F3 1 Тс 0,6548 0,6786 ТД -0,003 Тс [(,) — 241 (t) 1 (h) 9 (e) 1 (se) -226 (fu) 9 (nctio) 9 (ns) -221 (can) -229 (b) 9 (e) -226 (fo) 9 (un) 9 (d) -229 (a) 1 (s) -221 (a) -226 (r) 9 (atio) -229 (of) -218 (определенный) -217 (si) — 11 (d) 9 (e) 1 (s) -221 (o) -3 (f) -218 (a) -226 (справа) 9 (t) -225 (t) 1 (rian) 9 (gle)] TJ -5,9048 -1,4405 TD [(тот) -237 (имеет) -245 (o) 9 (ne) -249 (a) 12 (n) -3 (g) 9 (l) -11 (e) -238 (o) -3 (f ) -241 (r) -3 (ad) 9 (ian) -241 (Measu) 9 (r) -3 (e)] TJ / F6 1 Тс 14.6905 0 TD 0 Tc (w) Tj / F3 1 Тс 0,3571 0 TD (.) Tj / F1 1 Тс 12 0 0 12 178,05 241,41 тм [(T) 81 (r) -1 (ig) 11 (онометрический) -274 (F) 1 (u) 11 (n) 1 (ctio) 11 (ns)] TJ / F3 1 Тс 10,08 0 0 10,08 178,05 218,85 тм -0,003 Тс [(Th) 9 (e) -369 (s) -7 (y) 9 (m) 1 (b) 9 (o) -3 (ls) -364 (использованный) -372 (f) 9 (o) — 3 (r) -372 (t) 1 (h) 9 (e) -369 (si) -11 (x) -360 (b) -3 (asic) -369 (trig) 9 (on) 9 (om) 13 (etric) -369 (fu) 9 (nctio) 9 (ns \ 227)] TJ / F5 1 Тс 25.2024 0 TD 0 Tc (vlq) Tj / F3 1 Тс 1,2143 0 TD (,) Tj / F5 1 Тс 0.6429 0 TD (frv) Tj / F3 1 Тс 1,3333 0 TD (,) Tj / F5 1 Тс 0,6429 0 TD -0,012 Тс [(wd) -12 (q)] TJ / F3 1 Тс 1,4286 0 TD 0 Tc (,) Tj / F5 1 Тс 0,6429 0 TD (frw) Tj / F3 1 Тс 1,3214 0 TD (,) Tj / F5 1 Тс 0,6548 0 TD -0,012 Тс [(vh) -12 (f)] TJ / F3 1 Тс 1,2619 0 TD 0 Tc (,) Tj / F5 1 Тс -34,3452 -1,1905 ТД (fvf) Tj / F3 1 Тс 1,2738 0 TD -0,003 Тс [(\ 227) 9 (a) 1 (r) 9 (e) -273 (ab) 9 (br) 9 (e) 24 (v) 9 (i) -11 (a) 12 (ti) -11 ( о) 9 (n) -3 (s) -257 (для) -265 (th) 9 (e) -273 (w) 17 (o) 9 (r) -3 (d) 9 (s) -269 ( косинус) 12 (,) — 277 (s) 5 (ine,) — 277 (ta) 12 (nge) 12 (nt,) — 277 (c) 1 (o) 9 (tan) 9 (gen) 9 (t ) 1 (,) — 277 (s) 5 (ecant,) — 265 (and) -265 (c) 1 (o) 9 (s) 5 (e \ 255)] TJ -1.