Дидактический материал по тригонометрии 10 класс: Дидактические материалы по теме «Тригонометрия» | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (10 класс):

Дидактические материалы по теме «Тригонометрические функции»(10 класс, алгебра)

 

П. 1. Радианная мера угла. ………………………………………………………………………….. 3

П. 2. Поворот точки вокруг начала координат …………………………………………….. 4

П. 3. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла ………………… 6 П. 4.  Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. ……………………….. 10

П. 5.  Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом

одного угла. ……………………………………………………………………………………………… 12

П. 6.  Тригонометрические тождества ………………………………………………………. 14

П. 7. Синус, косинус, тангенс и котангенс углов 𝜶 и − 𝜶. ………………………….. 15 П. 8.   Формулы сложения. ……………………………………………………………………….. 17

П. 9.   Формулы двойного угла. ………………………………………………………………… 19 П. 10.   Формулы приведения. …………………………………………………………………… 23

П. 11.   Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических

функций. ………………………………………………………………………………………………….. 25

 

                 

П. 1. Радианная мера угла.

Примеры решения задач.

Типовое задание	Используемая формула	Пример
Задача 1: Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна α.	𝜋              1° =            рад 180° 𝜋         𝛼° =            ∙ 𝛼 рад 180°
: Выразите в градусах величины углов, радианная мера которых равна α.	180           1         =               ° 180

 

𝛼 > 0 точка 𝑃(1; 0)движется по единичной окружности против часовой стрелки	𝛼 < 0 точка 𝑃(1; 0)движется по единичной окружности по часовой стрелке

 

 

Примеры решения задач.

Типовое задание	Используемая формула	Пример
Задача 1: Изобразите угол, полученный поворотом точки на угол nградусов
:Найдите координаты точки, полученной поворотом точки на заданный угол
Задача 3:Записать все углы, на которые нужно повернуть точку          , чтобы получить точку	прямоугольный,

В геометрии	В тригонометрии
Определение синуса угла
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.	Синусом угла называется ордината точки 𝑃(1; 0), движущейся по единичной окружности. sin 𝛼 ∈ [−1; 1]
Определение косинуса угла
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.	Косинусом угла называется абсцисса точки 𝑃(1; 0), движущейся по единичной окружности. cos 𝛼 ∈ [−1; 1]

                 

Определение тангенса угла
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.	Линия тангенсов — это касательная к тригонометрической окружности, проведённая в точке A(1; 0)   Возьмём для начала острый угол α. Соответствующая точка α расположена в I четверти. Проведём прямую, проходящую через точку α и начало координат O; эта прямая пересекает линию тангенсов в точке T.  Из тригонометрического определения тангенса вытекает, что AT = tg α. Тангенс угла α равен ординате точки T.Тангенс не определен для углов
Определение котангенса угла
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.	Линия котангенсов — это касательная к тригонометрической окружности, проведённая в точке B(0; 1).   Соответствующая точка α расположена в I четверти. Проведём прямую через точку α и начало координат O; эта прямая пересекает линию котангенсов в точке T. Тогда оказывается, что BT = ctg α. Котангенс угла α равен абсциссе точке T.Котангенс не определен для углов 𝜶 = 𝝅𝒏,𝒏 ∈ 𝒁.

 

 

Рисунок 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ КРУГ

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
Задача 1: Найти значения sin 𝛼, cos 𝛼, t𝑔 𝛼 и 𝑐𝑡𝑔𝛼, если:
𝛼 = −𝜋 а) sin 𝛼 = sin(−𝜋) = 0         б) cos(−𝜋) = −1 в) 𝑡𝑔(−𝜋) = 0           г) 𝑐𝑡𝑔(−𝜋)не	На единичной окружности поворачиваем точку 𝑃(1; 0)на угол – 𝜋 (точка 𝑀(−1; 0)). Ордината точки М равна 0. Значит sin(−𝜋) = 0. Абсцисса точки М равна -1. На линии тангенсов находим ординату точки пересечения с лучом МО. Она совпадает с ординатой точки Р, следовательно 𝑡𝑔(−𝜋) = 0

 

существует.	Луч МО параллелен линии котангенсов. Следовательно, точек пересечения нет.
:Решить  уравнение.
sin 𝑥 = 0 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.                   cos 𝑥 = 1 𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.	Это значит найти все углы, синус которых равен 0. 1.                 Построить единичную окружность. 2.                 На оси синусов отметить точку 0. 3.                 Через нее проведем прямую, параллельную оси Ox. 4.                 Отметим точки пересечения этой прямой с окружностью. 5.                 Эти точки получены поворотом точки 𝑃(1; 0)на углы 𝜋 и 0 радиан. 6.                 Все такие углы можно записать так: 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.   1.                 На оси косинусов отметим число 1.  2.                 Проведем прямую, параллельную оси Оу. 3. Отметим точки пересечения этой прямой с окружностью.  4. Эти точки получены поворотом точки Р на угол 0 и 2𝜋 радиан.

           

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
: Выяснить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла:
Ответ:  ,         2) 𝛼 = 745° = 2 ∙ 360° + 25° Ответ: sin 745° > 0 cos 745° > 0 𝑡𝑔745° > 0 𝑐𝑡𝑔745° > 0     3)                      Ответ:	Углу           соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй четверти. Синус во второй четверти положителен, косинус – отрицателен. Тангенс и котангенс – отрицательны.          Повороту точки Р на угол 745 градусов соответствует точка, расположенная в первой четверти. В первой четверти синус, косинус, тангенс и котангенс положительны.     Так как     то при повороте на угол получается точка третьей четверти. Поэтому синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

 

 

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
Задача 1: Зная значение	одной из тригонометрически	х функций и интервал, в
котором находится α, на функций:1)	йдите значение трех остальн	ых тригонометрических
Задача 2: а)   б) в)
	Для преобразования тригонометрических выражений используются и алгебраические формулы, например, формулы сокращенного умножения. Так, выражение sin4 𝛼 − cos4 𝛼 можно рассматривать как разность квадратов. Тогда его можно разложить на множители (на произведение суммы и разности sin2 𝛼 и cos2 𝛼) , а затем применить основное тригонометрическое тождество.

 

          

 

Напомним, что тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях букв, входящих в него.

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
Задача 1:
2=2   Таким образом, данное равенство является тождеством.	Докажем, что левая часть равенства равна правой. Для этого в знаменателе используем формулу  , а в числителе возведем выражение в скобках в квадрат и используем формулу sin2 α + соs2 α = 1. Поэтому данное равенство является тождеством только при условии tg α ≠ 0 и соs α ≠ 0.

 

Чтобы исследовать тригонометрические функции на четность и нечетность, заметим, что на единичной окружности точки Pα и P–α расположены симметрично относительно оси Ox. Следовательно, эти точки имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты.

Таким образом, четные и нечетные функции представлены в таблице:

                 

 

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
Задача 1:

 

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
Задача 1:
Задача 2:
	Для преобразования числителя и знаменателя дроби применим формулы косинуса суммы и косинуса разности и приведем подобные члены.
Задача 3:
Задача 4:
	Для обоснования этих тождеств докажем, что их правые части равны левым, применяя формулы синуса суммы и синуса разности.

 

 

Вывести данные формулы можно, если в формулах сложения

 

 

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
Задача 1:

 

Задача 2:
	Докажем, что левая часть тождества равна правой. Заметим, что в числителе дроби находится выражение, которое можно непосредственно преобразовать по формуле (3).   Но применение этой формулы уменьшит аргумент вдвое. Желательно и в знаменателе дроби перейти к тому же аргументу. Для этого рассмотрим его как синус двойного угла:
Задача 3:
	Преобразовывая тригонометрические выражения, следует помнить не только тригонометрические, но и алгебраические формулы. В частности, если в знаменателе дроби применить формулу косинуса двойного угла, то получится выражение, которое является разностью квадратов
	. Его можно разложить на множители как произведение суммы и разности косинуса и синуса одного и того же угла:  Учитывая вид выражения, полученного в знаменателе, в числителе представим синус двойного угла как удвоенное произведение синуса на косинус: . Тогда для получения квадрата суммы этих выражений нам необходима еще сумма  ,  которую по основному тригонометрическому тождеству дает единица.
Задача 4:

           

 

Формулами приведения называют формулы, с помощью которых тригонометрические функции от аргументов вида           приводят к тригонометрическим функциям от аргумента α
Алгоритм	Примеры
1.                Если к числу α прибавляется число 𝒌𝝅, k ∈ Z (то есть число, которое изображается на горизонтальном диаметре единичной окружности), то название заданной функции не меняется, а если прибавляется число (то есть число, которое изображается на вертикальном диаметре единичной окружности), то название заданной функции меняется на соответствующее (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).       2.                Знак полученного выражения определяется знаком исходного выражения, если условно считать угол α острым.	1. Упростите по формулам приведения tg(3π – α).     Комментарий Название заданной функции не меняется, поскольку число 3π изображается на горизонтальном диаметре (слева) единичной окружности. Если угол α острый, то угол 3π – α находится во II четверти, где тангенс отрицателен, поэтому в правой части формулы ставится знак «–».     Комментарий Название заданной функции меняется, поскольку число      изображается на вертикальном диаметре (внизу) единичной окружности. Если угол α острый, то угол +α находится в IV четверти, где косинус положителен, поэтому в правой части формулы ставится знак «+».

 

 

 

 

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
Задача 1:

 

Задача 2:
	Докажем, что левая часть тождества равна правой. Сначала используем формулы приведения, а потом упростим полученные выражения, применяя другие тригонометрические формулы    . При упрощении выражений  можно использовать как непосредственно формулы приведения, так и периодичность функций. Например,

 

Примеры решения задач.

Типовые задания	Комментарий	Пример
Задача 1:
	В первом задании можно непосредственно применить формулу   а потом использовать табличные значения

 

	Во втором задании выражение  cos2 α – cos2 β можно рассмотреть как разность квадратов и разложить его на множители, а затем к каждому из полученных выражений применить формулы преобразования разности или суммы косинусов в произведение. Для дальнейшего упрощения полученного выражения используем формулу синуса двойного аргумента.
Задача 2:
	Мы умеем преобразовывать в произведение сумму синусов или косинусов. Для перехода к таким выражениям достаточно вспомнить, что
Задача 3:
	Для упрощения заданной дроби можно попытаться сократить ее: для этого представим числитель и знаменатель в виде произведений, которые содержат одинаковые выражения. В числителе используем формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение (а также нечетность синуса: sin (–3α) = –sin 3α), а в знаменателе воспользуемся формулой

Для заметок.

 

АНОНС

Тригонометрия.

Часть II. Тригонометрические уравнения.

 

В следующей части мы научимся решать тригонометрические уравнения.

 

Дидактические материалы по алгебре 10 класс: базовый уровень

Дидактические материалы 10 класса Шабунина и др. по алгебре составлены по каждой теме курса, опираются на учебник Алимова и др. Охватывают задания, контрольные работы, дополнительные задания, справочные сведения, примеры с решениями.

-Содержание-

Оглавление 00
Предисловие 03
Материал для повторения …05
Общие теоретические сведения 05
Квадратные уравнения 07
Квадратичная функция 11
Решение квадратных неравенств…. 14
Метод интервалов 16
Уравнения и неравенства, …. 19
Задания для подготовки …. 22
Действительные числа 27
Целые — рациональные числа 27
Действительные числа 28
Бесконечно убывающая геометрическая… …. 30
Арифметический корень натуральной… .032..
Степень с рациональным….37
Контрольная работа . 043
Задания для подготовки…. .44
Задания для интересующихся….—045
Степенная функция 045
Степенная функция, …. 045
Взаимно обратные функции 51
Равносильные уравнения — неравенства 52
Иррациональные уравнения 54
Иррациональные неравенства 58
Контрольная работа….061
Задания для подготовки ….62
Задания для интересующихся …. 63
Показательная функция 68
Показательная функция, ….. 68
Показательные уравнения 72
Показательные неравенства 73
Системы показательных уравнений … 76
Контрольная работа… 077
Задания для подготовки … 78
Задания для интересующихся. 80..
Логарифмическая функция 83
Логарифмы 83
Свойства логарифмов 85
Десятичные — натуральные логарифмы. … 87
Логарифмическая функция, … …. 90
Логарифмические уравнения 95
Логарифмические неравенства 99
Контрольная работа … 0103
Задания для подготовки … 104
Задания для интересующихся….105.
Тригонометрические формулы 0111
Радианная мера угла 112
Поворот точки вокруг …. 113
Определение синуса, косинуса …. 116
Знаки синуса, косинуса …. 121
Зависимость между синусом,…. 123
Тригонометрические тождества 126
Синус, косинус тангенс ….128
Формулы сложения 130
Синус, косинус тангенс … 133
Синус, косинус тангенс … 137
Формулы приведения 139
Сумма — разность синусов…..143
Контрольная работа …0148
Задания для подготовки ….149
Задания для интересующихся .—. 151
Тригонометрические уравнения 151
…………………………….
Решение тригонометрических уравнений 165
Примеры решения простейших … 169
Контрольная работа ..173
Задания для подготовки… 173
Задания для интересующихся…174
Ответы 180

Издание 2017_208с.
Размер файла: 2 Мб; Формат: pdf/

Издание 2010 г._207с.
Размер файла: 3 Мб; Формат: pdf

Вместе с «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый и углубленный уровни / Шабунин М.И. и др. » скачивают:

25.03.2021Admin

Дидактические игры в тригонометрии — презентация онлайн

1. Дидактические игры в тригонометрии

Мерзлякова О.А
МБОУ СОШ № 49
г. Краснодар
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ИГРЫ В
ТРИГОНОМЕТРИИ
а) определение места дидактических игр и игровых
ситуаций в системе других видов деятельности на
уроке;
б) целесообразное использование их на разных этапах
изучения различного по характеру математического
материала;
в) разработка методики проведения дидактических
игр с учетом дидактической цели урока и уровня
подготовленности учащихся;
г) требования к содержанию игровой деятельности в
свете идей развивающего обучения.

3. Основными структурными компонентами дидактической игры являются:

ОСНОВНЫМИ СТРУКТУРНЫМИ
КОМПОНЕНТАМИ ДИДАКТИЧЕСКОЙ ИГРЫ
ЯВЛЯЮТСЯ:
игровой замысел,
правила,
игровые действия,
познавательное содержание или
дидактические задачи,
оборудование,
результат игры.

4. Морской бой

МОРСКОЙ БОЙ
Ее модель состоит из игрового поля, разбитого на
квадраты, передвижных рисунков кораблей,
удерживаемых магнитами, а также “снарядов” –
задач. В игре участвуют 3-двухпалубных корабля и 3однопалубных. Для их потопления необходимы
снаряды – ответы к заданиям. Решая задачу,
команда находит номер квадрата, в который попал
“снаряд”. Если в этом квадрате находится корабль, он
убирается с поля. Задачи выбираются произвольно.
Выигрывает команда, раньше поразившая все
корабли .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

6. ЗАДАНИЯ:

а) Переведите из градусной меры в радианную.
1). 20 ;
2). 120 ;
3). 300 ;
4). 765 ;
5). 10 ; 6). 150 ; 7). 330 ;
8). 675 ; 9). 15 ;
10). 216 ; 11). 24 ;
12). 240 ; 13). 320 ; 14). 855 ; 15). 585 ;
б) Переведите из радианной меры в градусную.
1). 3 /4; 2). 11 /3; 3). 46 /9; 4). 11 /4; 5).
47 /9; 6). 6 /5; 7). 7 /6; 8). 7 /5; 9) 8 /3;
10). 7 /4.

7. Проверочная карта

ПРОВЕРОЧНАЯ КАРТА
/9
135
5 /6
216
2 /5
2 /3
660
11 /6
210
4 /3
5 /3
920
15 /4
252
16 /9
17 /4
495
/12
480
19 /4
/18
940
6 /5
315
13 /4

8. Восхождение на вершину «Тригонометрия»

ВОСХОЖДЕНИЕ НА ВЕРШИНУ
«ТРИГОНОМЕТРИЯ»
Эта дидактическая игра основана на целом
наборе различных приемов, которые
объединены общим игровым сюжетом и
необходима при проверке результатов
обучения. В ней используется игровое поле и
раздаточный материал.
Игровое поле представляет собой горный
пейзаж с маршрутом восхождения,
выполненный на отдельном плакате.

9. № привала Особенности методического приема

№ ПРИВАЛА
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИЧЕСКОГО ПРИЕМА
1 Позволяет вычислять тригонометрические выражения, определять
четверть в которой лежит угол, находить период.
2 Сравнение значений синусов различных углов
3 Закрепляет знание определений тригонометрических функций
4 В занимательной форме предлагается построить график функции
5 Проверка знания формул сложения и вычитания аргументов
тригонометрических функций
6 Закрепляются навыки решения простейших тригонометрических
уравнений
7 Развлекательный прием на определение знаков тригонометрических
выражений
8 Формулы двойных и половинного аргумента
9 Нахождение графика по заданной функции
10 Кроссворд по основным понятиям тригонометрии

10. Привал 2. ЭСТАФЕТА СИНУСОВ

ПРИВАЛ 2.
ЭСТАФЕТА СИНУСОВ
Расположите числа в пустых квадратах в
порядке возрастания: sin85 , sin5 , sin20 ,
sin100 , sin190 , sin280 .
ОТВЕТ: sin280 , sin190 , sin5 , sin20 ,
sin140 , sin100 , sin85 .

11. Привал 3. ПРОВЕРКА ПО ПЕРФОКАРТЕ

ПРИВАЛ 3.
ПРОВЕРКА ПО ПЕРФОКАРТЕ
В предложениях заполните пропуски словами, приведенными в
ответах. В перфокарте для каждого вопроса укажите номер
пропущенного слова.
А. Число, равное ординате конца единичного радиуса, задающего
угол , называется … угла .
Б. Число, равное отношению косинуса угла такого, что k,
k Z, к синусу этого угла называется … угла .
В.
. Число, равное отношению синуса угла такого, что
/2+ k, k Z, к косинусу этого угла называется … угла .
Г. Основное тригонометрическое тождество: для … угла
справедливо равенство sin2 + cos2 = 1.
Д. Число, равное … конца единичного радиуса, задающего угол
, называется косинусом угла .

12. ПРОВЕРОЧНАЯ КАРТА

ОТВЕТЫ:
1.тангенсом
2.синусом
3.любого
4.абсциссе
5.котангенсом

13. Привал 8. ФОРМУЛЫ

ПРИВАЛ 8.
ФОРМУЛЫ
Сконструируйте формулы из следующих выражений.
Для этого зачеркните лишние символы и знаки.

14. Задания на установление последовательности

ЗАДАНИЯ НА УСТАНОВЛЕНИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Задания на установление последовательности это
новый вид практических заданий, с помощью которых в
учебный процесс внедряются приемы
алгоритмизированного обучения (в дальнейшем
сокращенно будем обозначать: тесты УП). Посредством
этих заданий учащиеся знакомятся с алгоритмами,
необходимыми при изучении многих вопросов курса
математики. Например, существует определенная
последовательность умственных действий при
построении графиков гармонических функций,
проделывая различные действия с классическими
графиками тригонометрических функций. Поэтому
методически обосновано включение в учебноинформационный комплекс заданий, ориентированных
на формирование у школьников соответствующих
умений.

15.   Задание: В таблице приведены функции и свойства функций на отрезке [/4; 3/4] . Необходимо проставить соответствие. Ответ

ЗАДАНИЕ: В ТАБЛИЦЕ ПРИВЕДЕНЫ ФУНКЦИИ И
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ НА ОТРЕЗКЕ [ /4; 3 /4] .
НЕОБХОДИМО ПРОСТАВИТЬ СООТВЕТСТВИЕ.
ОТВЕТ ЗАПИСЫВАТЬ В ВИДЕ: 1-А,Б,В; 2-Б,А…
№
Функции
№
Свойства
1
y =tgx
а
имеет ровно один корень
2
y = ctgx
б
не имеет корней
3
y = tg2x
в
убывает
4
y = tg( /3-x)
г
возрастает
5
y = ctg2x
д
определена во всех точках
отрезка
6
y = сtg( /3+x)
е
имеет точки отрезка, в
которых
неопределенна
7
y = tg(x-1)
ж
принимает наименьшее
значение на
конце отрезка
ОТВЕТ: 1-б,е; 2-а,в,д,ж; 3-а,г,д; 4-а,в,д,ж; 5-б,е; 6-б,е; 7-а,г,д.

16. Обратные тригонометрические функции

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
Задание: В таблице приведены функции, рассматриваемые на отрезке
[ /2; ], и обратные к ним функции. Но их последовательность нарушена,
поэтому необходимо эту последовательность восстановить. Ответ
записывать в виде: 1-а, 2-б…
№
Исходные функции
1
cos x
2
sin x
3
cos(x/3)
4
sin(x/2)
5
cos3x
6
sin2x
7
cos(1+x)
8
sin(2+x)
9
cos(1-x)
10
sin(2-x)
ОТВЕТ: 1-г, 2-з, 3-а, 4-д, 5-б, 6-б, 7-б, 8-б, 9-в, 10-е.
№
а
б
в
г
д
е
з
Обратные функции
3arccosx
не существует
1 + arccosx
arccosx
2arcsinx
2 — arcsinx
— arcsinx

17. ЛИТЕРАТУРА

Грушевский С.П., Архипова А.И, Проектирование учебно-информационных комплексов. Краснодар,
2000.
Архипова А.И., Грушевский С.П. Пешеходы и автомобили. Технологии обучения математике.
Школьные годы №8. Краснодар, 2001.
Архипова А.И. Механика. Технологический учебник физики. Школьные годы №7. Краснодар, 2000.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11классов. СПб, 1998.
Башмаков М.И. Тригонометрические функции: Дидактические материалы по курсу алгебры и начал
анализа для 10-11 кл. ср. шк. СПб, 1998.
Лященко Е.И., Зобкова К.В., Кириченко Т.Ф., Новосельцева З.И., Стефанова Н.Л. Лабораторные и
практические работы по методике преподавания математики: Учебное пособие для студентов физ.мат. спец. пед. институтов. М.: Просвещение, 1988.
Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. 5-11 классы. М.:
Дрофа, 2000.
Клименко С.М., Никольский В.В., Принцев Н.А., Ягодовский М.И. Вопросы методики преподавания
математики в школе. Орел, 1968.
Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математики. М.:
Просвещение, 1991.
Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики. М.: Просвещение, 1990.
Марач С.М., Полуносик П.В. Математика. Задачи М.И. Сканави с решениями. Минск, 1997.
Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972.
Алимов Ш.А. Алгебра: учебник для 9класса. М.: Просвещение, 1992.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов. М.: Просвещение, 1992.

ГДЗ по Алгебре за 10 класс Дидактические материалы Ивлев Б.М., Саакян С.М.

Алгебра 10 класс Ивлев Б.М. дидактические материалы

Авторы: Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И.

Учащиеся среднего звена могут использовать ГДЗ по алгебре за 10 класс дидактические материалы Ивлев в различных целях. Все зависит от результатов, которых бы они хотели добиться. Кому-то книга с ответами поможет исправить оценки по предмету. Другие могут заниматься вместе с ней, чтобы повысить свой уровень знаний. Остальным она пригодится для совершения самопроверки и устранения часто повторяющихся ошибкой. Каждый найдет в ней много полезного и ценного для себя.

На предпоследней ступени изучения этого предмета школьникам предстоит детально разобрать следующие разделы учебника:

1. Длина дуги окружности.
2. Тригонометрические функции.
3. Арксинус и решение уравнений.
4. Степени и логарифмы.
5. Первые представления о решении тригонометрических уравнений.
6. Производная.

Плюсы работы с ГДЗ по алгебре за 10 класс дидактические материалы Ивлев

Даже если ученику не нравится этот предмет, то домашние задания по нему никто не отменял. А чтобы хоть немного облегчить учебный процесс, специалисты рекомендуют использовать решебник. Благодаря ему подготовка к урокам будет отнимать совсем мало времени и сил.

Зайти на страницы решебника можно с любого современного гаджета, будь то компьютер, ноутбук или смартфон. Самое главное — иметь доступ к Интернету. Но для современного школьника это не проблема. Отыскать ответ к тому или иному заданию можно за пару секунд. Быстрый поиск осуществляется благодаря удобной навигации и простому интерфейсу. Ученик имеет право использовать онлайн-пособие даже на уроке, но только не во время написания обычной контрольной работы или важного итогового теста. Через эти испытания он должен сам пройти.

Использовать данный учебно-методический комплекс могут даже опытные преподаватели. ГДЗ по алгебре за 10 класс дидактические материалы Ивлев Б. М., Саакян С. М., Шварцбурд С. И. понадобится им при написании специальных карточек для занятий, подборе вопросов и практических номеров для тестов, проведении контрольного опроса. Плюс ко всему педагоги с помощью справочника с верными ответами сократят время проверки тетрадей.

Приложение «простейшие тригонометрические уравнения уравнения непосредственно сводящиеся к простейшим»

Приложение: «Простейшие тригонометрические уравнения, уравнения непосредственно сводящиеся к простейшим».

№1. Решить уравнение:

1) 5) 9)

2) 6) 10)

3) 7) 11)

4) 8) 12)

13)

14)

15)

16)

Занятие 19 – 20.

Тема: Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений и способов их решения, рассмотреть алгоритм решения уравнений, в которых требуется использование формул перехода от суммы к произведению;

2) продолжить формировать умения решать тригонометрические уравнения.

План занятия.

1.Теоретическая часть.

Для решения таких уравнений понадобится следующий блок формул:

2. Практическая часть.

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

11)

12)

13)

14)

Приложение: «Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования суммы в произведение».

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

Занятие 21.

Тема: Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений, в частности уравнения, решаемого заменой переменной;

2) начать формировать умения решать данный тип уравнений.

План занятия.

1. Теоретическая часть.

При решении тригонометрического уравнения данного типа чаще всего выполняется замена вида , но необходимо помнить, что данные тригонометрические функции принимают значение на промежутке [−1;1], следовательно, замена в уравнении производится при условии . При решении данного типа уравнений чаще всего используются формулы:

2. Практическая часть.

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

11)

12)

13)

Приложение: «Уравнения, решаемые с помощью замены переменной».

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

Занятие 22 – 23.

Тема: Однородные уравнения.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений, ввести понятие однородного уравнения и способов его решения;

2) продолжить формировать умения решать изученные ранее типы уравнений, начать формировать умения решать однородные уравнения.

План занятия.

1. Теоретическая часть.

Уравнение вида , где а₀, а₁, …а_n – действительные числа (n ≥ 1, nN) называется однородным тригонометрическим уравнением. Сумма показателей степеней при sin x и cos x у всех слагаемых такого уравнения равна n. Разделив исходное уравнение на cos ^{nx переходим к уравнению , теперь сделав замену , получаем алгебраическое уравнение .}

2. Практическая часть.

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

Приложение: «Однородные уравнения».

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

Занятие 24 – 25.

Тема: Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений и способов их решения, изучить уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени;

2) продолжить формировать умения решать изученные типы тригонометрических уравнений.

План занятия.

1. Теоретическая часть.

При решении уравнений этого типа будут использоваться следующие формулы:

2. Практическая часть.

1) 4)

2) 5) 3) 6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Приложение: «Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени».

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Занятие 26 – 27.

Тема: Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в произведение.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений и способов их решений, рассмотреть способ решения уравнений путём преобразования произведения тригонометрических функций в сумму;

2) продолжить формировать умения решать изученные ранее типы уравнений, начать формировать умения решать изученный тип уравнений.

План занятия.

1. Теоретическая часть.

При решении данного типа уравнений будут использоваться следующие формулы

2. Практическая часть.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) 14)

Приложение: «Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования тригонометрических функций в сумму».

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

Занятие 28 – 29.

Тема: Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений и способов их решений, рассмотреть уравнения, решаемые универсальной тригонометрической подстановкой;

2) продолжить формировать умения решать изученные ранее типы уравнений, начать формировать умения решать новый тип уравнений.

План занятия.

1. Теоретическая часть.

Под универсальной тригонометрической подстановкой понимается выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

Не следует забывать, что при использовании этих формул, область определения уравнения сужается на множество , поэтому, выбрав указанный способ решения, следует проверить, не являются ли числа из указанного множества корнями уравнения.

2. Практическая часть.

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Приложение: «Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка».

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Занятие 30.

Тема: Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного угла.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений и способов их решения, рассмотреть способ решения уравнения уравнений введением вспомогательного угла;

2) продолжить формирование умений решать изученные ранее типы уравнений, начать формировать умения решать новый тип уравнений.

План занятия.

1. Теоретическая часть.

В уравнении , где — любые действительные числа, если , то существует такой угол φ, что или наоборот. После некоторых преобразований . В таком случае уравнение примет вид . Это уравнение имеет решение, если , тогда .

2. Практическая часть.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) ,5

8)

9)

10)

11)

Примечание: уравнения 1 – 3 удобнее решать не введением вспомогательного угла, а разделив обе части равенства на 2.

Приложение: «Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного угла».

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) ,5

8)

9)

10)

11)

Занятие 31 – 32.

Тема: Уравнения, решаемые разложением на множители.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений и способов их решений, рассмотреть способ решения уравнений разложением на множители;

2) продолжить формировать умения решать изученные типы уравнений, начать формировать умения решать новый тип уравнений.

План занятия.

1. Теоретическая часть.

Необходимо повторить все правила разложения на множители.

2. Практическая часть.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Приложение: «Уравнения, решаемые разложением на множители».

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Занятие 33 – 34.

Тема: Уравнения, содержащие дополнительные условия.

Цель: 1) продолжить изучение типов тригонометрических уравнений и способов их решений, рассмотреть способ решения уравнений с дополнительными условиями;

2) продолжить формировать умения решать изученные ранее типы уравнений, начать формировать умения решать уравнения с дополнительными условиями.

План занятия.

1. Теоретическая часть.

Пояснить, что такое дополнительные условия. Вспомнить знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.

2. Практическая часть.

№ 1. Найти наибольший отрицательный корень уравнения:

1)

2)

3)

4)

№ 2. Найти наименьший положительный корень уравнения:

1)

2)

3)

№ 3. Найти все решения уравнения, удовлетворяющие неравенству :

1) 3)

2) 4)

№ 4. Найти все решения, удовлетворяющие заданному неравенству:

1) 4)

2) 5)

3)

Приложение: «Уравнения, содержащие дополнительные условия».

№ 1. Найти наибольший отрицательный корень уравнения:

1)

2)

3)

4)

№ 2. Найти наименьший положительный корень уравнения:

1)

2)

3)

№ 3. Найти все решения уравнения, удовлетворяющие неравенству :

1) 3)

2) 4)

№ 4. Найти все решения, удовлетворяющие заданному неравенству:

1) 4)

2) 5)

3)

Образовательный проект «Три грации тригонометрии», 10 класс

Образовательный проект на тему «Три грации тригонометрии»

Урок по математике

для учащихся 10 класса

Автор:

Арушанян Анжелика Сергоевна,

учитель математики

МБОУ Лицей №6 г.Химки

Цели и задачи образовательного проекта

Цели:

• Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрия»
• Показать красоту и гармонию математики

Задачи:

• Повторить основные теоретические сведения
• способствовать развитию умений и навыков применения тригонометрических формул и построения графиков тригонометрических функций
• Развитие навыков групповой работы

Инновационность проекта

• Актуальность проекта «Три грации тригонометрии» заключается в том, что учащиеся стараются освоить тригонометрию только из-за необходимости сдачи ЕГЭ. Они зачастую не понимают и не видят практического применения этих знаний, красоты и гармонии математики.Этот проект призван восполнить этот пробел
• Работа в парах и групповая работа способствуют развитию чувства ответственности за порученную часть общей работы, коммуникабельности, умению распределять работу в группе.
• Игровые формы работы позволяют создать непринужденную обстановку. Вызвать интерес у учащихся

План урока

• Вступительное слово учителя
• Первая грация – грация математических формулировок. Повторение основного теоретического материала (игра «Домино»)
• Вторая грация – грация тригонометрических преобразований. Работа в парах – упростить выражение (каждая пара упрощает часть общего тригонометрического выражения)
• Третья грация – грация графических представлений. Работа в малых группах – построение графиков тригонометрических функций.
• Подведение итогов урока.

Вступительное слово учителя

• Демонстрационный материал – цитаты ученых о математике ( Приложение 1 )

Первая грация – грация математических формулировок.

В устной работе по повторению основного теоретического материала используется игра «Домино»

( Учащиеся читают определение на правой части карточки, тот, у кого написан этот термин на левой части, должен его назвать (см. Приложение 2)

Вторая грация – грация тригонометрических преобразований

Работа в парах по преобразованию тригонометрических выражений

Раздаточный материал – карточки с заданиями (задания разного уровня сложности, учитель раздает их с учетом подготовки конкретного ученика)

Демонстрационный материал – плакат с выражением, которое нужно преобразовать (состоит из частей, которые учащиеся выполняют на карточках) ( см. Приложение 3)

В результате преобразований выражение равно 1

Третья грация – грация графических представлений

• Работа в малых группах. Задания – построить графики предложенных тригонометрических функций в одной системе координат.
• Раздаточный материал – карточки с заданием и заготовки координатных плоскостей. Цветные карандаши. (см. Приложение 4 )
• Демонстрационный материал – образцы результата каждой группы (графики демонстрируются на экран, построение выполнено в программе Graph

Проблемные вопросы и задания

• Задания на упрощение выражений ( приложение 3 )
• Задания на построение графиков ( приложение4 )

Рефлексия

• В результате работы над проектом получены следующие результаты:
• Хорошо усвоены базовые понятия тригонометрии
• Учащиеся успешно справились с преобразованием выражений и построением графиков

• Обучающиеся активно работают в парах и группах, развиваются коммуникативные навыки, в случае затруднений могут обратиться за консультацией к учителю .
• Некоторые затруднения вызвали применения формул произведения синусов разных углов.

10 клас алгебра матеріал

10 клас алгебра матеріал

Скачать 10 клас алгебра матеріал PDF

28-10-2021

10 класс. Конкурс разработок «Пять с плюсом» март Добавляйте свои материалы в библиотеку и получайте ценные подарки. Конкурс проводится с 1 марта по 31 марта. Добавить свою разработку.  Алгебра Английский язык Астрономия Биология Внеурочка Всем учителям Всемирная история Всеобщая история География Геометрия Директору. Формулы приведения относятся к тригонометрической функции, которая использует периодичность для преобразования тригонометрической функции с относительно. 10 класс. Алгебра. Вычисление производных. 16 февраля

Все классы 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс. Выберите учебник: Все учебники «Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г. «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. «Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометр. Все материалы размещены в авторской редакции. Материалы, размещенные на портале, разрешается использовать в  «. Авторы учебника А.И.Власенков, Л.М.Рыбченкова Русский язык классы. Н. Г. Клас, И. В. Шамшин, М.А. Мищерина, Глава 6. СССР в годы «коллективного руководства» [«История Отечества (России) XX- начало XXI века» Н.В. Загладин, С.И. Козленко]. Глава організація праці на підприємстві курсова. Перестройка и распад советского общества [«История Отечества (России) XX- начало XXI века» Н.В. Загладин, С.И. Козленко].

ЕГЭ ОГЭ ПДД Уроки Материалы Экзамены Личный кабинет. Будьте в Плюсе. Регистрация. Войти. ЕГЭ. ОГЭ.  Алгебра. HD. 8 мая. (раздел «Тригонометрия»). 8. Функция y=sinx. Функция y=cosx. HD. Алгебра, пісня на випускний 11 клас про школу класс, ГДЗ является отличным советником в выполнении заданий по точной дисциплине. ГДЗ по алгебре, 10 класс – зачем нужен? Алгебра по сравнению с другими школьными предметами более сложная для понимания. Десятиклассники и их родители нередко сталкиваются с домашними заданиями, которые трудно освоить без помощи профессионала. Очень часто уверенности в правильности решения. Ведь написать домашнее задание недостаточно, так как это необходимо сделать без урок трудового навчання 4 клас аплікація з тканини. Решебники являются незаменимыми помощниками для современных школьников: Десятиклассник отыщет решение на все примеры по а.

Воспользовавшись замечательной возможностью скачать учебник по алгебре 10 класс, школьник сможет освежить в памяти последовательность действий.  Особая ветвь математики занимает важное место в современном мире, где человек ежедневно сталкивается с высокими технологиями и необходимость производить разнообразные расчеты и вычисления. Воспользовавшись замечательной возможностью скачать учебник по алгебре 10 класс, школьник сможет освежить в памяти последовательность действий, что значительно облегчит выполнение домашних заданий и успешное наказ класно узагальнюючий контроль 5 клас пройденного на занятиях материала.

ЕГЭ ОГЭ ПДД Уроки Материалы Экзамены Личный кабинет. Будьте в Плюсе. Регистрация. Войти. ЕГЭ. ОГЭ.  Алгебра. HD. 8 мая. (раздел «Тригонометрия»). 8. Функция y=sinx. Функция y=cosx. HD.

Они помогут вам наглядно показать учебный материал на своих уроках, а ученик с их помощью сможет самостоятельно изучить любую тему урока по видео или конспекту. Это готовые материалы.  Видеоуроки и конспекты матеріал математике 10 класс. Конспекты по математике 10 класс собраны по порядку на этой странице. Они помогут вам наглядно показать учебный материал на своих уроках, а ученик с их помощью сможет самостоятельно изучить любую тему урока по видео или конспекту. Это готовые материалы для учителя математики, которые можно удобно использовать на каждом своем уроке. Как пользоваться видеоуроками и конспектами? Показывать.

считаю, что допускаете ошибку. матеріал 10 клас алгебра. Это

Алгебра 10 класс. Дидактические материалы. Шабунин М.И., Ткачева М.В. Просвещение. Алгебра класс. Дидактические материалы. Шабунин М.И., Ткачева М.В. Просвещение. ГДЗ для 10 класса по предмету «Алгебра». В десятом классе во время уроков алгебры все, кто решил продолжить образование в школе, начнут познавать основы математического анализа. С одной англійська мова вчимося читати — это крайне увлекательная и обширная тема, но с другой — она несет за собой некоторые сложности. В первую очередь школьники осваивают, что же несет в себе числовая функция и как ее можно исследовать. Готовые домашние задания (ГДЗ) по Алгебре за 10 класс. Содержит готовые ответы к заданиям, упражнениям, номерам и перевод текста к учебным и тетрадям.Учитесь с удовольствием, а ГДЗБОТ поможет!  Школьный курс по алгебре не такой уж и простой, особенно в десятом классе. Старшеклассники сталкиваются с множеством трудностей, выполняя домашнюю работу. Твір розповідь про великдень 4 клас связано с крайне сложными задачами, которые предлагается решить ученикам. Зачастую им просто не хватает основных знаний, чтобы разобраться с новым темами. Решебник как раз пригодятся в таких ситуациях. ГДЗ по алгебре за 10 класс содержат не только численные ответы, но и подробные решения, чтобы Вы были уверены в правильности выполнения задания.

Готовые домашние задания (ГДЗ) по Алгебре за 10 класс. Содержит готовые ответы к заданиям, упражнениям, номерам и перевод текста к учебным и тетрадям.Учитесь с удовольствием, переказ духовні джерела відродження 11 клас ГДЗБОТ поможет!  Школьный курс по алгебре не такой уж и простой, особенно в десятом классе. Старшеклассники сталкиваются с множеством трудностей, выполняя домашнюю работу. Это связано с крайне сложными задачами, которые предлагается решить ученикам. Зачастую им просто не хватает основных знаний, чтобы разобраться с новым темами. Решебник как раз пригодятся в таких ситуациях. ГДЗ по алгебре за 10 класс содержат не только численные ответы, но и подробные решения, чтобы Вы были уверены в правильности выполнения задания. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень. 10 класс» (авт. А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский и др.; под ред. В. Е. Подольского).  Содержание От авторов 3 Примерное поурочное планирование учебного материала 5 Методические рекомендации по организации учебной деятельности 10 Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции 10 Глава 2. Степенная функция 19 Глава 3. Тригонометрические функции 35 Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства 54 Глава 5. Производная и её применение 65 Контрольные работы 82 Методические рекомендации по оценке образовательных достижений учащихся Методические рекомендации.

Усі шкільні підручники практична робота номер 9 з географії 9 клас бойко алгебри 10 клас! Завантажити шкільні підручники з алгебри для 10 класу онлайн! GDZ4YOU — з нами вчитись дійсно легко, відчуй це!  Слово “фукція” викликає у Вас запитання, а лінії на координатній площині спантеличують своїми поворотами? Тоді Вам до нас! GDZ4YOU банківський нагляд курсова робота допоможе Вам з вибором ідеального підручника із асортименту підручників з алгебри для 10 класу, щоб зробити Ваше навчання захопливим і цікавим! Насправді всі повороти ліній приборкуються розрахунками, виведеними із формули функції. А чи знали Ви, що існують числові, степеневі та тригонометричні функції?.

Видео уроки для изучения и повторения по математики для учеников 10 класса. Каждый видео урок содержит теоретическую и практическую части. На практической части видео урока решаются задачи из учебников Виленкин, Никольский, Мерзляк, Дорофеев, Колягин, Мордкович.  физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. • 2. Текущее видео. КОСИНУС угла cos 10 11 класс тригонометрия. физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир. физика ОГЭ математика ЕГЭ — Романов Владимир.

бред одним словом классна. матеріал алгебра 10 клас встрече достойным человеком думай том, как сравняться

Алгебра 10 класс. Тип: Дидактические материалы — ГДЗ. Авторы: Шабунин М.И., Ткачева М.В. Издательство: Просвещение. Алгебра класс. Тип: Самостоятельные работы — ГДЗ.  Алгебра класс. Тип: Дидактические материалы — ГДЗ. Авторы: Шабунин М.И., Ткачева М.В. Издательство: Просвещение. Алгебра класс.  В 10 классе ученики уже сознательно выбирают уровень обучения по всем предметам – базовый или профильный. В курсе алгебры в том и другом уровне основной упор сделан на изучение тригонометрии. Включены темы по презентація про скіфську культуру с действительными и комплексными числами, числовыми функциями и их изображением, производной. Продолжается работа с теорией вероятностей. 11 класс. Программа для 10 класса. Урок 1|10 класс. Урок 1. Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства. Автор: Соскова Елена Анатольевна. Урок 2|10 класс. Урок 2. Функции и графики. Линейная и квадратичная функции. Автор: Красовская Наталья Петровна. Урок 3|10 класс. Урок 3. Квадратные уравнения, неравенства и их системы. Автор: Колягин Ю. М., Урок 4|10 класс. Урок 4. Прогрессии и сложные проценты. Автор: Красовская Наталья Петровна. Урок 5|10 класс. Урок 5. Начала статистики. Автор: Колягин Ю.М., Ткачева. Урок 6|10 класс. Урок 6. Множества и элементы логики. Автор.

Алгебра классы. 5. Тригонометрические формулы сложения. Формулы двойного угла. Алгебра классы. 6. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. Алгебра классы. 7. Тригонгометрия. Метод введения вспомогательного угла. Алгебра классы. 8. Преобразование графиков тригонометрических функций. Алгебра классы. 9. Обратные тригонометрические функции. Свойства. Алгебра классы. Простейшие тригонометрические уравнения. Алгебра 10 класс Дидактические материалы Ивлев Б.М. Авторы: Ивлев Б.М. Саакян С.М. Алгебра 10 класс Кравчук В.Р. Автор: Кравчук В.Р. Алгебра класс Учебник (Теория) А. Г. Мордкович Базовый уровень. Авторы: А. Г. Мордкович П. В. Семенов. Алгебра 10 класс Мерзляк А.Г. Базовый уровень. Авторы: Мерзляк А.Г. Номировский Д.А. Алгебра 10 класс задачник Мордкович А.Г. Базовый и углубленный уровень. Авторы: Мордкович А.Г. Денищева Л.О.  Алгебра 10 класс дидактические материалы Потапов М.К. Базовый и углубленный уровень. Авторы: Потапов М.К. Шевкин А.В. Алгебра 10 класс Абылкасымова А.Е.

Учебники за 10 класс по предмету Математика: Авторы: О. С. Істер. Год: Класс: Просмотреть. Авторы: А. Г. Мерзляк / Д. А. Номіровський / В. Б. Полонський / М. С. Якір. Год: Класс: Просмотреть. Авторы: М. І. Бурда / Т. В. Колесник / Ю. І. Мальований. Год: Класс: Просмотреть. Авторы: А. Г. Мерзляк / Д. А. Номіровський / В. Б. Полонський / М. С. Якір. Год:   Класс: Просмотреть. Авторы: Є. П. Нелін. Год: Рівень стандарту. Класс: Просмотреть. Авторы: Г. П. Бевз / В. Г. Бевз. Год: Рівень стандарту. Класс: Просмотреть. Авторы: Г.П. Бевз / В.Г. Бевз. Год: Рівень стандарту. Класс: Просмотреть. Авторы: М.І. Бурда / Т.В. Колесник / Ю.І. Мальований / Н.А. Тарасенкова. Год: Класс: Готовые домашние задания (ГДЗ) по Алгебре за 10 класс. Содержит готовые ответы к заданиям, упражнениям, номерам и перевод текста к учебным и тетрадям.Учитесь с удовольствием, а ГДЗБОТ поможет!  Школьный курс по алгебре не такой уж и простой, особенно в десятом классе. Старшеклассники сталкиваются с множеством трудностей, выполняя домашнюю работу. Середнє арифметичне 5 клас связано с крайне сложными задачами, которые предлагается решить ученикам. Зачастую им просто не хватает основных знаний, чтобы разобраться с новым темами. Решебник как раз пригодятся в таких ситуациях. ГДЗ по алгебре за 10 класс содержат не только численные ответы, но и подробные решения, чтобы Вы были уверены в правильности выполнения задания.

Подробный справочник по алгебре за 10 11 класс. Удобный справочник по алгебре, позволит учащимся классов более глубоко осваивать включенный в школьную программу материал, подробно разбирать различные темы при самостоятельной работе. С его помощью можно самостоятельно проработать теоретическую часть предмета более детально, чем с использованием исключительно учебника. В справочник включены уроки в последовательности, соответствующей утверждено образовательной программе. Это позволит систематически изучать алгебра материал, чтобы повысить свою успеваемость и лучше усваивать знания по предмет.

скорее всего, топ. клас матеріал 10 алгебра сделал! Благодарю!!!

Завантажити матеріали до уроків з алгебри за 10 клас ✅ Безкоштовно на сайті «На Урок». Багато корисних матеріалів для вчителів та репетиторів. ГДЗ (решебники) — подробные готовые домашние задания Алгебра 10 класс.  Вам нужна помощь алгебры? Мы знаем, как ответить: «ГДЗ по алгебре 10 класс» – оптимальное решение для школьников, их родителей и учителей. ГДЗ по алгебре очень востребованы, потому что: домашнюю работу может быть трудно выполнить из-за особенностей науки.

Алгебра и нач. анал. кл. Тестовые материалы_Крайнева_ stabilizer-inverter.ru 4 МБ. Алгебра и нач. анализа. 10кл. Тем. тест. задания подг. ЕГЭ_ stabilizer-inverter.ru МБ.  МБ. Дидактич. материалы по алгебре для 9кл. с углубл. из.математ._Макарычев, Миндюк_ stabilizer-inverter.ru 2 МБ. Математика. Алгебра. Нач. мат. анализа. Проф. уровень. 10кл._Шабунин, Прокофьев_ stabilizer-inverter.ru Учебники за 10 класс по розповідь про тварину на англійській мові 2 клас Алгебра: Авторы: Г.К. Муравин. Год:   7 клас шкільний корабель того что бы найти материалы, которые Вам нужны заходите в раздел учебники 10 класс Алгебра. Сделайте свою школьную жизнь счастливой и интересной. Как зарегистрироваться на сайте?.

Завантажити матеріали до уроків з алгебри за 10 клас ✅ Безкоштовно на сайті «На Урок». Багато корисних матеріалів для вчителів та репетиторів. 10 класc. Авторы: Арефьева И. Г., Пирютко О. Н.  Все права защищены. Воспроизведение материалов сайта, в том числе материалов гдз фізика 7 клас головко засєкін засєкіна скачивания и изображений обложек пособий, с целью извлечения прибыли (в коммерческих или рекламных целях) без разрешения правообладателей ЗАПРЕЩЕНО. Нарушение авторских прав преследуется по закону.

Алгебра 10 класс дидактические материалы. Авторы: Шабунин М.И. Ткачева М.И. Издательство: Просвещение Тип: Базовый и углубленный уровень. Алгебра 10 класс начала математического анализа, геометрия, математика. Авторы: Муравин Г.К. Муравина О.В. Издательство: Дрофа Вертикаль. Тип: Углубленный уровень ФГОС. Алгебра 10 класс задачник. Авторы: Мордкович А.Г. Денищева Л.О. Издательство: Мнемозина Тип: Базовый и углубленный уровень ФГОС. Алгебра 10 класс самостоятельные работы. Автор: Александрова Л.А. Издательство: Мнемозина Тип: Базовый уровень ФГОС. Алгебра класс Уче. Дидактические материалы. 10 класс. (профильный уровень) — Шабунин М.И. — г. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень — Соломин В.Н., Столбов К.М., Пратусевич М.Я. — г.  Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для классов — Зив Б.Г., Гольдич В.А. — г. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для классов. — Зив Б.Г., Гольдич В.А. — г. Домашняя работа (ГДЗ) (решебник) по новорічний сценарій 6 клас и начала математического анализа.

Завантажити матеріали до уроків з алгебри за 10 клас ✅ Безкоштовно на сайті «На Урок». Багато корисних матеріалів для вчителів та репетиторів.

PDST Математика после начального образования | Новый онлайн-курс: GeoGebra

Этот веб-сайт использует Google Analytics для сбора анонимной информации, такой как количество посетителей сайта и наиболее популярные страницы.

Сохранение включенного файла cookie помогает нам улучшать наш веб-сайт.

Пожалуйста, сначала включите строго необходимые файлы cookie, чтобы мы могли сохранить ваши предпочтения!

Показать детали

Имя	Провайдер	Назначение	Срок действия
_ga	Google	Файл cookie Google Analytics, который используется для расчета данных о посетителях, сеансах и кампании, а также для отслеживания использования сайта для аналитического отчета сайта.Файлы cookie хранят информацию анонимно и присваивают случайно сгенерированный номер для идентификации уникальных посетителей. Отказаться на странице https://tools.google.com/dlpage/gaoptout	730 дней
_gat	Google	Файл cookie Google Analytics, используемый для регулирования скорости запросов.Отказаться на странице https://tools.google.com/dlpage/gaoptout	1 день
_gid	Google	Файл cookie Google Analytics используется для хранения информации о том, как посетители используют веб-сайт, и помогает в создании аналитического отчета о том, как работает веб-сайт.Собранные данные, включая количество посетителей, источник, откуда они пришли, и страницы, посещенные в анонимной форме. Отказаться на странице https://tools.google.com/dlpage/gaoptout	1 день
NID	Google	Содержит уникальный идентификатор, который Google использует для запоминания ваших предпочтений и другой информации, например, предпочитаемого вами языка (например,грамм. Английский), сколько результатов поиска вы хотите отображать на странице (например, 10 или 20) и хотите ли вы, чтобы фильтр безопасного поиска Google был включен.

10. Тригонометрия Математика 10 класс — Maths & Science Marketing

Марка: 10

10.10 Тематическая тригонометрия (6 недель)

Указанные ниже сайты требуют регистрации.Щелкните меню вкладок ниже, чтобы просмотреть разделы содержимого.

Используйте 51 слайд PowerPoint с веб-сайта MSM в качестве учебного формата для обучения уроку, загрузив «10. Тригонометрия — CAPS.ppt »с:
MSM G10 Обучение и обучение Тригонометрические слайды в PowerPoint
В качестве альтернативы вы можете использовать 51 слайд PDF (поскольку они быстрее и ссылки работают эффективнее), загрузив« 10. Trigonometry.pdf »от:
MSM G 10 Преподавание и обучение Тригонометрические слайды в PDF

Geogebra — это увлекательный интерактивный графический калькулятор для функций, геометрии, алгебры, исчисления, статистики и трехмерной математики! Это обеспечивает динамическую математику для обучения и преподавания и очень помогает в понимании сложных концепций! http: // www.geogebra.org

1. Предложите учащимся быстро прочитать раздаточные материалы или рабочие тетради этого раздела в первый день (чтобы понять суть этого раздела), загрузив «10. Тригонометрия — CAPS.pdf ”от:
MSM G 10 Обучение и обучение Тригонометрии Раздаточные материалы в PDF
2. Учащиеся должны выполнять упражнение в главе и в конце главы из учебника.

Зарегистрируйтесь — БЕСПЛАТНО и выберите «07.Тригонометрия — математика (гр. 10) »и« 08. Рабочие листы по тригонометрии — математика (группа 10) », из: G 10 E-Classroom Worksheets

Дополнительные материалы, которые могут быть выполнены (для дополнения или пересмотра) преподавателем или учащимися из PowerPoint в World of Teachting, по адресу: World of Teacher
20 БЕСПЛАТНЫХ интерактивных вопросов в день: https://za.ixl.com/ ( Если вам нужно больше, вам нужно будет за них заплатить)

Отличные новые учебные материалы Vodacom.

Нажмите и зарегистрируйтесь здесь — Электронная школа Vodacom

• Без платы за передачу данных
• Учись где угодно
• Легко следовать
• Учитесь в удобном для вас темпе
• Домашние задания
• Интерактивные викторины
• Оцените свой прогресс
• Зарабатывайте значки и сертификаты
• Бесплатно для учителей и учащихся
• Другие предметы, а также

бесплатных планов уроков по тригонометрии

Классная математика Уроки — Тригонометрия — Пифагорейские тождества __ «Эта страница показывает происхождение трех пифагорейских тождеств.»Происхождение» означает, что нам нужно создать это с нуля или, по крайней мере, из других то, что мы знаем ». — С сайта coolmath.com — http://www.coolmath.com/lesson-pythagorean-identities-1.htm

Curriki — Тригонометрия __ Небольшой сборник загружаемых планов уроков. цели, порядок действий и материалы. — С сайта curriki.org — http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_IsaacNewton/Trigonometry

дансматх — уроки страница — тригонометрия __ Несколько иллюстрированных, а некоторые анимированные, планы уроков по тригонометрии.- От Даниэля Баха — http://home.earthlink.net/~djbach/trig.html

Открытие математики — концепции в Precalculus I: урок тригонометрии __ План урока с целями, процедурами и необходимыми материалами. — Из discoveryeducation.com — http://school.discoveryeducation.com/lessonplans/programs/trigonometry/

Графические тригонометрические функции __ In в этом плане урока учащиеся рисуют тригонометрические функции с помощью графиков калькулятор. — С сайта beaconlearningcenter.com — http: // www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1490.htm

Освещение: тригонометрия для решения Проблемы __ «Этот урок предлагает пару головоломок, чтобы усилить навыки определения эквивалентных тригонометрических экспрессонов. Цели, порядок действий. — С сайта lighting.nctm.org — http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L383

План урока для вдохновения — Использование тригонометрии Значения для графических функций синуса и косинуса (два вдохновения и 1 PowerPoint) __ «Студенты продемонстрируют умение решать математические и реальные проблемы с использованием измерительных и геометрических моделей и будут оправдывать решения и объяснение используемых процессов.«Цели, порядок действий и материалы. — С сайта inspiration.com — http://www.inspiration.com/community/Inspiration-Lesson-Plan-Using-Trigonometric-Values-to-Graph-Sine-and-Cosine-Functions

План урока по функции обратного триггера __ «(Обобщение концепции) Найти однозначную обратную функцию от периодическая тригонометрическая функция, область определения исходных функций должна быть ограничен интервалом, поэтому у нас есть новая функция взаимно однозначного соответствия, которая полностью охватывает диапазон тригонометрической функции.Таким образом, диапазон обратная функция эквивалентна области определения нового взаимно однозначного функция «Я не имею ни малейшего представления о том, что это значит. Цели, порядок действий — С сайта scribd.com — http://www.scribd.com/doc/45116666/Inverse-Trig-Function-Lesson-Plan

План урока — Добавление тригонометрических функций __ Полный урок тригонометрии план с целями, процедурами. Несколько целей, по сути, с ссылка на рабочие листы учащихся. — С сайта mste.uiuc.edu — http://www.mste.uiuc.edu/courses/ci399su01/students/aleonard/finalexam/triglp.html

Планы урока: Введение в тригонометрию (средний курс, математика) __ Урок для введение тригонометрии. Процедуры и цель. — С сайта Teachers.net — http://teachers.net/lessonplans/posts/3432.html

Архивы математики — Темы по математике — Тригонометрия __ Смешанный сборник ресурсов и планов уроков. — От — math.utk.edu — http://archives.math.utk.edu/topics/trigonometry.html

Математика — Математика для средней школы — Тригонометрия __ Сборник планов уроков и ресурсов.- Из awesomelibrary.org — http://www.awesomelibrary.org/Classroom/Mat Mathematics/Middle-High_School_Math/Trigonometry.html

Учебные материалы по тригонометрии __ Вы найдете много учебные ресурсы и планы уроков. — С сайта finddulcinea.com — http://www.findingdulcinea.com/guides/Education/High-School-Trigonometry.pg_00.html

Основы тригонометрии __ «Предоставляет базовые учебные пособия по тригонометрии для соотношений, вращений, радианов, графиков и построения графиков, кофункции, пифагора, частные тождества, косинус, синус, тангенс и двойная идентичность.Также включает подтверждение личности. 5-00 »- От thinkquest.org — http://library.thinkquest.org/20991/alg2/trig.html

Тригонометрия — Коллекция eThemes __ планов уроков по тригонометрии в 10-11 классах — На сайте missouri.edu — http://ethemes.missouri.edu/themes/1857

Тригонометрия для педагогов — Математика — Тригонометрия __ «Идеи и информация для учителей тригонометрии. »- From about.com — http://712educators.about.com/od/mathtrigonometry/Trigonometry.htm

Планы уроков по тригонометрии __ Справочник плана уроков по тригонометрии Ресурсы. — С сайта learn-nology.com — http://www.teach-nology.com/teachers/lesson_plans/math/trig/

Планы уроков по тригонометрии __ Вы будете найти десятки на выбор. Цели, порядок действий, материалы. — Из lessoncorner.com — http://www.lessoncorner.com/Math/Trigonometry

Планы уроков по тригонометрии __ Пара планов уроков. цели, порядок действий и материалы. — От vt.edu — http: // файловый ящик.vt.edu/users/coulter/MATh5644/Trigonometry_Lesson_Plans.htm

Планы уроков по тригонометрии __ A сборник уроков с целями и порядком. — С сайта digitalwish.com — http://www.digitalwish.com/dw/digitalwish/view_lesson_plans?subject=trigonometry

Планы уроков по тригонометрии и рабочие листы __ Коллекция уроков и рабочих листов для чтения. — Из pleacher.com — http://www.pleacher.com/mp/mlessons/mtrig.html

Рабочие листы по тригонометрии __ Вы будете найти много рабочих листов для печати.- С сайта edhelper.com — http://edhelper.com/trigonometry.htm

Начало страницы

Ресурсоголик: преподавание тригонометрии

В сегодняшнем посте я сосредоточусь на идеях и ресурсах для обучения тригонометрии. Недавний разговор со студентом заставил меня понять, что мне нужно изменить свой подход к преподаванию этой темы.

Что случилось с Ханной?
Ханна — 12-летняя ученица, у меня частный репетитор. Она умна, красноречива и трудолюбива. Я был ее учителем математики в 10 и 11 классах (сейчас она перешла в другую школу).На прошлой неделе я попросил Ханну разложить квадратичный коэффициент на множители. Вот что она сделала:

х ² + 13х + 36

= х ² + 4x + 9x + 36

= х (х + 4) + 9 (х + 4)

= (х + 9) (х + 4)

Уверен, вы согласитесь, что это довольно запутанный метод. В какой-то момент (я подозреваю, что у предыдущего частного репетитора) Ханна научилась методу факторизации квадратичных чисел с a> 1 и решила применить этот метод ко всем квадратикам. Она получает правильный ответ, поэтому в этом методе нет ничего плохого (хотя и немного медленного), но когда я увидел, как она это сделала, возникла важная проблема.К своему ужасу я понял, что учил Ханну два года и понятия не имел, что именно так она разложила квадратичные на множители. Она получала правильные ответы, поэтому я не изучал подробно ее методы. В классе из 24 студентов GCSE, которых я вижу только три часа в неделю, я полагаю, что сосредоточиваю большую часть своих усилий на помощи студентам, когда они получают неправильные ответы. Но мое незнание необычного метода Ханны подчеркивает пробелы в моей формирующей оценке.

При чем здесь тригонометрия? В последующем разговоре с Ханной она спросила меня о грядущих изменениях в экзаменах GCSE, которые коснутся ее младшей сестры.Я сказал ей, что ее сестре нужно будет знать, как найти точные значения триггерных отношений, таких как sin30 и cos45. Ханна не поняла, что я имел в виду под «тригонометрическим соотношением». Она не видела связи между тем, что она считала двумя разными темами — соотношением и тригонометрией. Она совершенно не понимала, что такое sin30, хотя очень компетентна в решении задач тригонометрии GCSE. Опять же, это вызвало тревогу в моей голове. Мне нужно по-другому преподавать тригонометрию.

Имеет значение?
Моя основная роль состоит в том, чтобы убедиться, что мои ученики обладают набором математических методов для точного и эффективного решения задач, а также пониманием математических концепций, лежащих в основе этих методов.

Ханна получила хорошие отметки на экзамене GCSE — это говорит о том, что мне удалось вооружить ее необходимыми навыками и знаниями для этой квалификации. Но из моих недавних разговоров с ней я понимаю, что у меня был смешанный успех с лежащими в основе концепциями. Я не собираюсь ругать себя по этому поводу, но это дает мне возможность сосредоточиться — мне нужно больше думать о том, как я преподаю и оцениваю для концептуального понимания.

Знакомство с тригонометрией с похожими треугольниками
Когда я представляю тригонометрию, я обычно прошу своих учеников измерять треугольники и искать закономерности (как в этом упражнении из Teachit Maths).В следующий раз, когда я расскажу о тригонометрии, я попробую кое-что другое. Я покажу студентам эти три треугольника и спрошу, что у них общего:

Я надеюсь, они заметят, что они похожи на треугольники и что отношение высоты к диагонали составляет 1: 2 (сейчас самое время ввести противоположную терминологию: гипотенуза).

Затем я покажу им треугольник ниже и поинтересуюсь длиной гипотенузы. Я хочу, чтобы они поняли, что, поскольку он похож (т. Е. Равноугольный) на три вышеупомянутых треугольника, мы знаем, что соотношение противоположное: гипотенуза равно 1: 2.Таким образом, длина гипотенузы должна быть 70.

Мы могли бы сказать: «отношение противоположности к гипотенузе в любом прямоугольном с углом 30 градусов составляет 1: 2». Это немного скучно, поэтому математики вместо этого говорят «sin30 = ½» (здесь есть интересная статья о происхождении терминов синус, косинус и тангенс).

Я напишу на доске sin30 = ½, затем повторите этот процесс для треугольников с разными углами, начиная с 50 ^o :

Я попрошу своих учеников найти длину противоположной стороны в третьем треугольнике, и я надеюсь, что они решат это, основываясь на своем понимании того, что при угле 50 ^o соотношение противоположное: гипотенуза равно 0.766: 1.

Я продолжу с другими наборами примеров и закончу список на доске, который выглядит примерно так:
sin10 = 0,174 sin30 = 0,5 sin50 = 0,776 sin 60 = 0,866 sin80 = 0,985 и т. Д.

Затем я верните в игру треугольник 30 ^o . Попрошу вычислить высоту этого треугольника

Источник: openlibrary.org

Надеюсь, кто-то даст правильный ответ — 40 см — и затем наступит важный вопрос.Как они узнали? Помнили ли они, что соотношение 1: 2 при угле 30 ^o ? Или они проверяли список на доске? Смогут ли они сделать это по памяти, если угол будет 50 ^o ? Это соотношение запомнить гораздо труднее. Что, если бы угол был 52 ^o ? Мы еще не проработали этот вопрос. Что ж, нам нужен справочный список из всех коэффициентов , как большая версия нашего списка на доске. Тогда мы сможем вычислить длину любого прямоугольного треугольника.

Здесь у меня есть выбор, куда пойти дальше с этим уроком: либо сделать из этого мини-проект (где мой класс сделает свою собственную книгу тригонометрических соотношений), либо просто показать им набор тригонометрических таблиц («вот одна я сделано ранее! »).

Я думаю, что ученики получат лучшее понимание тригонометрических соотношений, если они будут использовать таблицы вместо калькуляторов для решения тригонометрических задач в течение нескольких уроков (щелкните здесь, чтобы увидеть пример работы ученика с использованием этого метода). Здесь есть онлайн-версия таблиц.Как только ученики действительно поймут, что такое соотношения и как их использовать, покажите, что все числа из этих таблиц сохраняются в памяти научного калькулятора.

Я еще не пробовал этот подход, но знаю, что другие учителя делают нечто подобное. Например, автор этого блога попросил свой класс создать свои собственные тригонометрические таблицы. Он говорит: «Я обнаружил, что, используя тригонометрическую таблицу, мои ученики концентрируются на изучаемых концепциях, а не на калькуляторе».

Ключевым моментом является то, что учащиеся должны понимать, что тригонометрические отношения представляют собой отношения сторон прямоугольных треугольников.

Мне интересно услышать, как другие вводят тригонометрию, поэтому, пожалуйста, прокомментируйте ниже или напишите мне в Твиттере.

Ресурсы Ресурсы Ресурсы
Теперь давайте рассмотрим несколько хороших ресурсов для обучения тригонометрии. В моей библиотеке ресурсов я дал несколько рекомендаций, поэтому, если вы планируете какие-либо уроки по тригонометрии, обязательно загляните туда. Я также нашел для вас несколько дополнительных услуг сегодня. Я уже упоминал, что люблю ресурсы ?!

Дэн Уокер создал великолепную PowerPoint по тригонометрии прямоугольного треугольника, которая начинается с введения соотношений, как я описал выше.PowerPoint в целом имеет отличное качество и заслуживает внимания.

Гуру ресурсов Дон Стюард предлагает нам ряд фантастических занятий. Чтобы попрактиковаться в вычислении сторон и углов прямоугольных треугольников, мне нравятся такие ресурсы:

Подшипники
Мои ученики терпят поражение, когда я задаю им задачу, связанную с тригонометрией и пеленгом. Я подозреваю, что это связано с тем, что в моей школе не очень хорошо учат ориентироваться на ключевом этапе 3 (до недавнего времени этого даже не было в нашей схеме работы), поэтому они никогда не знают, какой угол они должны рассчитывать.В приведенном ниже вопросе им необходимо использовать альтернативные углы и тригонометрию для расчета пеленга города A от города B:
И в этом более сложном вопросе их просят вычислить азимут C из A. Это можно сделать с помощью прямоугольных треугольников, но гораздо быстрее использовать правила синуса и косинуса.
Правило синуса
MathsPad имеет хороший набор ресурсов по тригонометрии. Обычно я не рекомендую ресурсы, которые не являются бесплатными, но я большой поклонник MathsPad — подписка стоит 3 фунта стерлингов в месяц (пожалуйста, не платите из собственного кармана — спросите своего босса).Мне особенно нравится Sine Rule Codebreaker — он содержит множество практических вопросов в более интересном формате, чем стандартные рабочие листы.

ТРОЛЬ
Если вы раньше не видели этот ресурс, написанный Фрэнком Тэпсоном для TROL (онлайн-ресурсы для учителей), обязательно просмотрите его. Он содержит множество полезных практических вопросов, в том числе по трехмерной тригонометрии.
Спагетти-графики
Наконец, я с нетерпением жду следующего раза, когда я буду преподавать тригонометрические графики после просмотра блестящего видео Криса Смита, в котором он строит спагетти-синусоидальный график.Не могу дождаться, чтобы попробовать это.

Ну вот и все — надеюсь, это дало вам некоторые идеи для обучения тригонометрии. Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть отличные идеи, которыми вы можете поделиться.

Обучение тригонометрии

Название	Тригонометрия для решения задач
URL	http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L383
Необходимые материалы
Цели обучения	Студенты смогут: анализировать ситуации, проверять ограничения и изучать соответствующие методы решения с помощью тригонометрии практикуется в манипулировании тригонометрическими функциями и замене эквивалентных выражений работа в малых группах, поощрение одноклассников и обмен мыслями
Уровни успеваемости	Тригонометрия
CA 97 Стандарты	Тригонометрия 1.2 (х) -1.
	Тригонометрия 5.0 Учащиеся знают определения функций тангенса и котангенса и могут строить их график.
	Тригонометрия 6.0 Учащиеся знают определения секущих и косекансных функций и могут строить их графики.
	Тригонометрия 13.0 Студенты знают закон синусов и закон косинусов и применяют эти законы для решения задач.
	Государственные стандарты общего ядра CA	Стандарты математической практики: 1.Разбирать проблемы и настойчиво решать их 2. Размышлять абстрактно и количественно 3. Создавать жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других 4. Математическое моделирование 5. Стратегически использовать соответствующие инструменты 6. Обеспечивать точность 7. Найдите и используйте структуру 8. Ищите и выражайте закономерность в повторных рассуждениях
		Функции-TF.1; Под радианами измерения угла понимается длина дуги единичной окружности, образуемой этим углом.
		Функции-TF.2; Объясните, как единичная окружность в координатной плоскости позволяет распространить тригонометрические функции на все действительные числа, интерпретируемые как радианные меры углов, проходящих против часовой стрелки вокруг единичной окружности.
Функции-TF.3; Используйте специальные треугольники для геометрического определения значений синуса, косинуса, тангенса для π / 3, π / 4 и π / 6, а также используйте единичный круг для выражения значений синуса, косинуса и тангенса для x, π + x, и 2π – x в терминах их значений для x, где x — любое действительное число.
Функции-TF.8; Докажите тождество Пифагора sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1 и используйте его для вычисления тригонометрических соотношений.
Функции-TF.9; Докажите формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и используйте их для решения задач.
Геометрия-СРТ.11; Поймите и примените закон синусов и закон косинусов, чтобы найти неизвестные измерения в правильных и неправильных треугольниках (например, при съемке задач, равнодействующих сил).
Как вы могли бы использовать этот ресурс?	Учитель может использовать это задание как обзор тригонометрических свойств, идентичностей и концепций. Есть головоломки, над которыми учащиеся могут работать в группе, а также рабочий лист с реальными задачами. Этот ресурс прост в использовании. Рабочие листы уже в формате pdf.
EL и особые потребности	Студентам EL не нужно будет сильно полагаться на слова, чтобы решить головоломку.Студенты должны знать концепции, которые рассматриваются в головоломке. Рабочий лист может быть выполнен в группе, где некоторые вопросы могут быть объяснены другими участниками группы. Группы также можно использовать для студентов с особыми потребностями в обучении. Остальную дифференциацию может определить учитель.
Планы уроков	Поделитесь своим планом уроков на MERLOT! Смотрите планы уроков других учителей на MERLOT.
Комментарии учителя	Поделитесь своими комментариями о MERLOT! См. Другие комментарии учителей о MERLOT.
Стоимость	Бесплатно
Авторские права	© 2000-2010 NCTM
Название	Тригонометрия
URL	http: // mathematica.ludibunda.ch/trigonometry.html
Необходимые материалы	Программное обеспечение Java Flash 5 или выше
Цели обучения	Студенты смогут: узнать, как использовать тригонометрию применительно к нескольким концепциям
Уровни успеваемости	Геометрия, тригонометрия
CA 97 Стандарты	Геометрия: 18.0 Студенты знают определения основных тригонометрических функций, определяемых углами прямоугольного треугольника. Они также знают и умеют использовать элементарные отношения между собой.
	Тригонометрия: 2.0 Студенты знают определение синуса и косинуса как y- и x-координаты точек на единичной окружности и знакомы с графиками функций синуса и косинуса.
	Тригонометрия 4.0 Учащиеся составляют график функций вида f (t) = A синус (Bt + C) или f (t) = A cos (Bt + C) и интерпретируют A, B и C с точки зрения амплитуды, частоты , период и фазовый сдвиг.
	Тригонометрия 5.0 Учащиеся знают определения функций тангенса и котангенса и могут строить их график.
Государственные стандарты общего ядра CA	Стандарты математической практики: 1. Разбираться в проблемах и настойчиво их решать. 2. Рассуждайте абстрактно и количественно. 5. Стратегически используйте соответствующие инструменты 7.Найдите и используйте структуру 8. Ищите и выражайте закономерность в повторных рассуждениях
	Геометрия-СРТ.6; Поймите, что по сходству отношения сторон в прямоугольных треугольниках являются свойствами углов в треугольнике, что приводит к определениям тригонометрических соотношений для острых углов.
	Геометрия-СРТ.7; Объясните и используйте соотношение между синусом и косинусом дополнительных углов.
	Геометрия-СТО.8; Используйте тригонометрические отношения и теорему Пифагора для решения прямоугольных треугольников в прикладных задачах.
	Функции-TF.2; Объясните, как единичная окружность в координатной плоскости позволяет распространить тригонометрические функции на все действительные числа, интерпретируемые как радианные меры углов, проходящих против часовой стрелки вокруг единичной окружности.
	Функции-TF.3; Используйте специальные треугольники для геометрического определения значений синуса, косинуса, тангенса для π / 3, π / 4 и π / 6, а также используйте единичный круг для выражения значений синуса, косинуса и тангенса для x, π + x, и 2π – x в терминах их значений для x, где x — любое действительное число.
	Функции-TF.5; Выберите тригонометрические функции для моделирования периодических явлений с заданной амплитудой, частотой и средней линией.
	Функции-TF.8; Докажите тождество Пифагора sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1 и используйте его для вычисления тригонометрических соотношений.
Как вы могли бы использовать этот ресурс?	Этот ресурс может быть использован студентом в качестве инструмента исследования. На веб-сайте много текста с информацией, которая могла бы быть полезной, если бы студент выполнял исследовательское задание.Апплеты можно использовать для более глубокого понимания концепций тригонометрии. Учитель может использовать этот ресурс как средство подготовки урока или как демонстрационный инструмент.
EL и особые потребности	Этот сайт не очень хорошо отвечает потребностям ученика EL. Однако он предоставляет определения, которые выделены жирным шрифтом, изменены по цвету или помещены в рамки. Интерактивные упражнения на этом сайте можно использовать в уроке учителя, потому что они видны и доступны.
Планы уроков	Поделитесь своим планом уроков на MERLOT! Смотрите планы уроков других учителей на MERLOT.
Комментарии учителя	Поделитесь своими комментариями о MERLOT! См. Другие комментарии учителей о MERLOT.
Стоимость	Бесплатно
Авторские права	Нет на сайте
Название	Математика онлайн — Закон синусов
URL	http: // www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html#dreieck
Необходимые материалы	Программное обеспечение Java Flash 5 или выше
Цели обучения	Студенты смогут: узнать, как использовать тригонометрию в применении к нескольким концепциям
Уровни успеваемости	Тригонометрия
CA 97 Стандарты	Тригонометрия 13.0 Студенты знают законы синусов и косинусов и применяют эти законы для решения задач.
Государственные стандарты общего ядра CA	Стандарты математической практики: 1. Разбираться в проблемах и настойчиво их решать 2. Размышлять абстрактно и количественно 3. Создавать жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других 5. Стратегически используйте соответствующие инструменты 7.Найдите и используйте структуру 8. Ищите и выражайте закономерность в повторных рассуждениях
	Geometry-SRT.11; Поймите и примените закон синусов и закон косинусов, чтобы найти неизвестные измерения в правильных и неправильных треугольниках (например, при съемке задач, равнодействующих сил).
Как вы могли бы использовать этот ресурс?	Этот ресурс может быть использован студентами для дополнительной практики в области права.Его также можно использовать в качестве инструмента открытия для студентов самостоятельно или в качестве класса под руководством учителя. Учителя могут использовать этот ресурс в демонстрации или контролировать, как учащиеся используют его в классе.
EL и особые потребности	Визуальный апплет, который позволяет студентам экспериментировать с треугольниками разного размера, чтобы обнаружить закон синусов.
Планы уроков	Поделитесь своим планом уроков на MERLOT! Смотрите планы уроков других учителей на MERLOT.
Комментарии учителя	Поделитесь своими комментариями о MERLOT! См. Другие комментарии учителей о MERLOT.
Стоимость	Бесплатно
Авторские права	(с) 1998
Название	Тригонометрия (апплеты и действия)
URL	http: // www.ies.co.jp/math/java/trig/
Необходимые материалы	Программное обеспечение Java
Цели обучения	Студенты смогут: узнайте, как построить график тригонометрических функций, таких как синус, косинус и тангенс использовать закон синусов и косинусов Графические тригонометрические функции в различных формах
Уровни успеваемости	Тригонометрия
CA 97 Стандарты	Тригонометрия 2.0: Студенты знают определение синуса и косинуса как y- и x-координат точек на единичной окружности и знакомы с графиками функций синуса и косинуса.
	Тригонометрия 4.0: Студенты составляют график функций вида f (t) = Asin (Bt + C) или f (t) = Acos (Bt + C) и интерпретируют A, B и C с точки зрения амплитуды, частоты, период и фазовый сдвиг.
	Тригонометрия 5.0: Учащиеся знают определения функций тангенса и котангенса и могут их построить.
	Тригонометрия 13.0: Студенты знают закон синусов и закон косинусов и применяют эти законы для решения задач.
Государственные стандарты общего ядра CA	Стандарты математической практики: 2. Рассуждайте абстрактно и количественно 3. Создавайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других 5. Стратегически используйте соответствующие инструменты 7. Найдите и используйте структуру 8.Ищите и выражайте закономерность в повторных рассуждениях
	Функции-TF.2; Объясните, как единичная окружность в координатной плоскости позволяет распространить тригонометрические функции на все действительные числа, интерпретируемые как радианные меры углов, проходящих против часовой стрелки вокруг единичной окружности.
	Функции-TF.3; Используйте специальные треугольники для геометрического определения значений синуса, косинуса, тангенса для π / 3, π / 4 и π / 6, а также используйте единичный круг для выражения значений синуса, косинуса и тангенса для x, π + x, и 2π – x в терминах их значений для x, где x — любое действительное число.
	Функции-TF.5; Выберите тригонометрические функции для моделирования периодических явлений с заданной амплитудой, частотой и средней линией.
	Geometry-SRT.11; Поймите и примените закон синусов и закон косинусов, чтобы найти неизвестные измерения в правильных и неправильных треугольниках (например, при съемке задач, равнодействующих сил).
Как вы могли бы использовать этот ресурс?	Этот ресурс может быть использован учащимися для практики тригонометрических концепций и развития лучшего понимания этих концепций с помощью визуальных представлений.Учитель может использовать этот ресурс как метод ознакомления учащихся с концепциями посредством визуальных представлений.
EL и особые потребности	Каждый из этих апплетов имеет визуальное представление тригонометрической концепции, которую может изучить студент.
Планы уроков	Поделитесь своим планом уроков на MERLOT! Смотрите планы уроков других учителей на MERLOT.
Комментарии учителя	Поделитесь своими комментариями о MERLOT! См. Другие комментарии учителей о MERLOT.
Стоимость	Бесплатно
Авторские права	(c) Нет на сайте
Название	Математическая страница: тригонометрия
URL	http: // www.themathpage.com/aTrig/trigonometry.htm
Необходимые материалы	Программное обеспечение Java
Цели обучения	Несколько целей обучения на основе предмета и подтемы.
Уровни успеваемости	Геометрия, тригонометрия
CA 97 Стандарты	Несколько стандартов по геометрии из Основ математики для государственных школ Калифорнии.
	Несколько стандартов для тригонометрии из Математической основы для государственных школ Калифорнии.
Государственные стандарты общего ядра CA	Стандарты математической практики: 1. Разбираться в проблемах и настойчиво их решать 2. Размышлять абстрактно и количественно 3. Создавать жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других 5.Стратегически используйте соответствующие инструменты 6. Следите за точностью 7. Ищите и используйте структуру 8. Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях
	Несколько стандартов для геометрии и тригонометрии из общих основных государственных стандартов Калифорнии.
Как вы могли бы использовать этот ресурс?	Этот ресурс может быть использован учащимися в качестве инструмента развития для лучшего понимания тригонометрических концепций.Учителя могут использовать этот ресурс как способ найти информацию об уроке или представить учащимся тригонометрическую информацию.
EL и особые потребности	Многие объяснения тригонометрических понятий имеют цветовую кодировку, чтобы помочь учащимся EL и учащимся с особыми потребностями идентифицировать части тригонометрических понятий.
Планы уроков	Поделитесь своим планом уроков на MERLOT! Смотрите планы уроков других учителей на MERLOT.
Комментарии учителя	Поделитесь своими комментариями о MERLOT! См. Другие комментарии учителей о MERLOT.
Стоимость	Бесплатно
Авторские права	© 2001 — 2010 Лоуренс Спектор
Название	Веб-математика
URL	http: // www.webmath.com/index.html
Необходимые материалы	Компьютер
Цели обучения	Цели обучения зависят от концепции.
Уровни успеваемости	K-8, Алгебра 1, Геометрия, Исчисление, Тригонометрия
CA 97 Стандарты	Множественные стандарты Математики для государственной школы Калифорнии.
Государственные стандарты общего ядра CA	Стандарты математической практики: 1. Осознавайте проблемы и упорно решайте их 2. Размышляйте абстрактно и количественно 3. Создавайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других 4. Математическая модель 5. Используйте подходящие инструменты стратегически 6. Будьте внимательны к точности 7. Найдите и используйте конструкцию 8.Ищите и выражайте закономерность в повторных рассуждениях
	Охватывает несколько CaCCSS для разных классов и направлений.
Как вы могли бы использовать этот ресурс?	Студенты могут использовать это как ресурс для повторения или разъяснения тем, которые обсуждались в классе, но не были полностью поняты. Ресурс прост в использовании и позволяет перейти либо к конкретным концепциям, либо к более широким темам. На сайте также есть специальные разделы по пересчету единиц (применительно к наукам).
EL и особые потребности	Визуальная графика отображает концепции и является интерактивной.
Планы уроков	Поделитесь своим планом уроков на MERLOT! Смотрите планы уроков других учителей на MERLOT.
Комментарии учителя	Поделитесь своими комментариями о MERLOT! См. Другие комментарии учителей о MERLOT.
Стоимость	Бесплатно
Авторские права	(c) 2009 WebMath.com

Common Core Curriculum | EngageNY

Чтобы помочь школам и округам во внедрении Common Core, NYSED предоставил учебные модули и блоки по английскому языку P-12 и математике, которые могут быть приняты или адаптированы для местных целей. В настоящее время на EngageNY доступны учебные материалы на весь год для классов Prekindergarten по 12 класс по математике и Prekindergarten по 12 класс по английскому языку (ELA).

Как я могу оставить отзыв о модулях учебной программы?

Если у вас есть отзывы о модулях учебной программы, дайте нам знать, заполнив форму обратной связи по учебной программе. Мы будем рассматривать все отзывы, продолжая улучшать материалы.

Руководство по интеграции учебных материалов в класс

Дополнительные учебные материалы на EngageNY предназначены для принятия или адаптации. Педагоги найдут для себя как версии PDF, так и Word.Некоторые уроки содержат подробные инструкции или рекомендации, но важно отметить, что уроки , — это не сценарии, , их следует рассматривать как руководство, чтобы читатель мог представить себе, как могут выглядеть классные инструкции.

Уроки адаптируются и позволяют учителю выбирать предпочтения и гибкость, так что происходящее в классе может не только удовлетворить потребности учащихся, но и соответствовать сменам и стандартам. Если вы решите внести существенные изменения в уроки, доступна рубрика Tristate / EQuIP, которая поможет вам оценить качество, строгость и согласованность ваших адаптированных уроков.

Также обратите внимание, что модули по математике включают значительное количество наборов задач, так что у студентов есть широкие возможности для практики и применения своих знаний. Педагоги могут помочь студентам достичь глубоких концептуальных знаний, попросив их решить выбранные задачи, которые были разработаны в последовательном, продуманном порядке. Не ожидается, что все задачи в наборе задач будут решены, скорее преподаватели могут выбирать из большого количества предоставленных задач. Педагоги, безусловно, могут адаптировать эту учебную программу, исходя из собственных суждений относительно потребностей студентов и темпа обучения в семестре и / или году.

Учебные материалы по предметам ELA разделены на 4 уровня иерархии. Вы можете перемещаться по классам, а затем по различным модулям в рамках оценки. Каждый модуль разделен на блоки, и каждый блок далее делится на уроки.	Учебные материалы по предметам математики разделены на 3 уровня иерархии. Вы можете перемещаться по классам, а затем по различным модулям в рамках оценки.Затем каждый модуль делится на уроки.

Эти факультативные учебные материалы:

• Поддерживать преподавание и обучение в классах Pre-Kindergarten (Pre-K) до 12 классов по всему штату Нью-Йорк и предоставлять доступ к последовательным, спиралевидным, насыщенным содержанием программам и методам обучения в масштабе штата, которые поддерживают достижение CCLS и соответствуют стратегические цели Попечительского совета.
• Включите преподавание и обучение, которые определяют уровни класса P-12, ориентированы на прогресс обучения P-12 и проецируют траекторию стандартов обучения в каждой области содержания (английский язык, грамотность и математика).
• Включите карты учебной программы, планы уроков, задания для успеваемости, строительные материалы, образцы работ учащихся и другие артефакты классной комнаты. Недавно разработанные модули предоставят учебный план и учебные ресурсы, предназначенные для всех учащихся в любой классной комнате.
• Подчеркните ресурсы, которые спланированы и разработаны в соответствии с принципами универсального дизайна для обучения (UDL) и могут быть использованы всеми учащимися, включая:
  • изучающие английский язык (ELL)
  • Студенты-инвалиды (SWD)
  • Учащиеся с ускоренным обучением
  • Учащиеся достигают и успевают ниже своего класса (до двух классов отстают до 8-го класса и до четырех классов отстают в старшей школе, 9–12 классы).

Учебные модули включают:

Применение тригонометрии в реальной жизни

Тригонометрия — это совсем другой предмет, чем большая часть математики, с которой мы сталкивались ранее в нашей жизни, и для ее понимания требуется другой образ мышления. По этой причине многие люди просто хотят покончить с этим, когда в школе появляется триггер. В этой статье от enbibe (Источник: https://www.embibe.com/exams/real-life-applications-of-trigonometry/) объясняется, насколько полезной может быть тригонометрия в широком спектре реальных приложений!

Тригонометрия просто означает вычисления с треугольниками (отсюда и происходит треугольник).Это исследование взаимосвязей в математике, включающей длину, высоту и углы различных треугольников. Эта область возникла в III веке до нашей эры, от приложений геометрии до астрономических исследований. Тригонометрия находит применение в различных областях, таких как архитекторы, геодезисты, космонавты, физики, инженеры и даже следователи на месте преступления.

А теперь, прежде чем переходить к деталям его применения, давайте ответим на вопрос: вы когда-нибудь задумывались, в какой области науки впервые использовалась тригонометрия?

Немедленным ответом будет математика, но она не останавливается на достигнутом, даже если физика использует множество концепций тригонометрии.Другой ответ Согласно Моррису Клайну в своей книге под названием «Математическая мысль от древних до наших дней», он провозгласил, что «тригонометрия впервые была разработана в связи с астрономией, с приложениями к навигации и построению календарей. Это было около 2000 лет назад. Геометрия намного старше, а тригонометрия построена на геометрии ». Однако истоки тригонометрии можно проследить до цивилизаций Древнего Египта, Месопотамии и Индии более 4000 лет назад.

Начиная с основ,

Можно ли использовать тригонометрию в повседневной жизни?

Тригонометрия может не иметь прямого применения в решении практических задач, но она используется в различных вещах, которые нам так нравятся.Например, музыка, как вы знаете, распространяется волнами, и этот паттерн, хотя и не такой регулярный, как функция синуса или косинуса, все же полезен при разработке компьютерной музыки. Очевидно, что компьютер не может слушать и понимать музыку так, как мы, поэтому компьютеры математически представляют ее в виде составляющих ее звуковых волн. А это значит, что звукорежиссерам необходимо знать хотя бы основы тригонометрии. А хорошая музыка, которую создают эти звукорежиссеры, используется, чтобы успокоить нас от суеты, напряженной полноценной жизни — все благодаря тригонометрии.

Тригонометрия может использоваться для измерения высоты здания или гор:

, если вы знаете расстояние, с которого вы наблюдаете за зданием, и угол возвышения, вы можете легко определить высоту здания. Точно так же, если у вас есть значение одной стороны и угол наклона вершины здания, который вы можете найти, и другую сторону треугольника, все, что вам нужно знать, — это одна сторона и угол треугольника.

Тригонометрия в видеоиграх:

Вы когда-нибудь играли в эту игру, Марио? Когда видишь его так плавно скользишь по дорожным преградам.На самом деле он не прыгает прямо по оси Y, это слегка изогнутый путь или параболический путь, по которому он преодолевает препятствия на своем пути. Тригонометрия помогает Марио преодолевать эти препятствия. Как вы знаете, игровая индустрия — это все, что связано с информационными технологиями и компьютерами, и поэтому тригонометрия имеет не меньшее значение для этих инженеров.

Тригонометрия в строительстве:

При строительстве нам понадобится тригонометрия, чтобы вычислить:

• Измерительные поля, участки и площади;
• Делаем стены параллельными и перпендикулярными;
• Укладка керамической плитки;
• Наклон крыши;
• Высота здания, ширина, длина и т. Д.и многие другие подобные вещи, где становится необходимым использование тригонометрии.

Архитекторы используют тригонометрию для расчета нагрузки на конструкции, уклонов крыш, поверхностей земли и многих других аспектов, включая затенение от солнца и углы освещения.

Тригонометрия в летной технике:

Бортинженеры должны учитывать их скорость, расстояние и направление, а также скорость и направление ветра. Ветер играет важную роль в том, как и когда самолет прибудет туда, где когда-либо было необходимо, это решается с использованием векторов для создания треугольника с использованием тригонометрии для решения.Например, если самолет движется со скоростью 234 миль в час, 45 градусов северной широты, а ветер дует строго с юга на скорости 20 миль в час. Тригонометрия поможет найти ту третью сторону вашего треугольника, которая будет вести самолет в правильном направлении, самолет фактически будет двигаться с силой ветра, добавленной к его курсу.

Тригонометрия в физике:

В физике тригонометрия используется для нахождения компонентов векторов, моделирования механики волн (как физических, так и электромагнитных) и колебаний, суммирования напряженности полей и использования точечных и перекрестных произведений.Даже в метательном движении у вас есть много применений тригонометрии.

Используют ли археологи тригонометрию?

Тригонометрия используется для правильного разделения раскопок на равные участки работы. Археологи идентифицируют различные инструменты, используемые цивилизацией, использование тригонометрии может помочь им в этих раскопках. Они также могут использовать его для измерения расстояния до подземных водопроводных систем.

Тригонометрия в криминологии:

В криминологии тригонометрия может помочь вычислить траекторию снаряда, оценить, что могло вызвать столкновение в автомобильной аварии, как объект упал откуда-то, под каким углом была произведена пуля и т. Д.

Тригонометрия в морской биологии;

Морские биологи часто используют тригонометрию для проведения измерений. Например, чтобы узнать, как уровень освещенности на разной глубине влияет на способность водорослей к фотосинтезу. Тригонометрия используется для определения расстояния между небесными телами. Кроме того, морские биологи используют математические модели для измерения и понимания морских животных и их поведения. Морские биологи могут использовать тригонометрию для определения размеров диких животных на расстоянии.

Тригонометрия в морской технике:

В морской технике тригонометрия используется для постройки морских судов и управления ими. Чтобы быть более конкретным, тригонометрия используется для проектирования пандуса Marine, который представляет собой наклонную поверхность для соединения областей нижнего и верхнего уровня, это может быть наклон или даже лестница, в зависимости от ее применения.

Тригонометрия, используемая в навигации:

Тригонометрия используется для задания направлений, например, север, юго-восток, запад, она сообщает вам, в каком направлении двигаться по компасу, чтобы выбрать прямое направление.