| (Ф. Хаусдорф.) ‘ quotes[1]='»Математика — это язык, на котором написана книга природы.»(Г. Галилей) ‘ quotes[2]='»Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.»(А. Маркушевич) ‘ quotes[3]='»Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.»(А.Н. Крылов) ‘ quotes[4]='»Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.»(М.И. Калинин) ‘ quotes[5]='»Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?»(Платон) ‘ quotes[6]='»Математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение природы.»(Д.И. Писарев) ‘ quotes[7]='»Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.»(А.С. Пушкин) ‘ quotes[8]='»Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.»(Н.Е. Жуковский) ‘ quotes[10]='»Химия – правая рука физики, математика – ее глаз.»(М.В. Ломоносов) ‘ quotes[11]='»Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.»(М.В. Ломоносов) ‘ quotes[12]='»Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.»(Н.И. Лобачевский) ‘ quotes[13]='»Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств.»(Л. Эйлер) ‘ quotes[14]='»Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир.»(И. Гете) ‘ quotes[15]='»Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике или свести параллели к схождению…»(В.Ф. Каган) ‘ quotes[16]='»Счет и вычисления — основа порядка в голове.»(Песталоцци) ‘ quotes[17]='»Величие человека — в его способности мыслить.»(Б. Паскаль) ‘ quotes[18]='»Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.»(Д.Пойа) ‘ quotes[19]='»Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.»(Б. Паскаль) ‘ quotes[20]='»В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.»(И. Ньютон) ‘ quotes[21]='»Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым.»(Л. Карно) ‘ quotes[22]='»Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.»(М.В. Остроградский) ‘ quotes[23]='»Математика — это цепь понятий: выпадет одно звенышко — и не понятно будет дальнейшее.»(Н.К. Крупская) ‘ quotes[24]='»Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.»(Ю.А. Шиханович) ‘ quotes[26]='»В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.»(И. Кант) ‘ var whichquote= Math.floor(Math.random()*(quotes.length)) document.write(quotes[whichquote]) |
Урок 37. формулы приведения — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №37. Формулы приведения.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- формулы приведения;
- мнемоническое правило для формул приведения;
- преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул приведения;
- вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул приведения;
- доказательство тригонометрические тождества на основе формул приведения;
- решение уравнения с использованием формул приведения.
Глоссарий по теме
Формулы приведения
– это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Для вычисления углов больше 90 используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.
Пример: Вычислить и.
Представим число .
Рассмотрим точку А(1;0) на единичной окружности. При повороте вокруг начала координат на угол она сделает 2 полных оборота и ещё повернётся на угол . Переместится в точку В, в которую могла бы попасть, сделав поворот на угол . Значит, , .
А так как , то ,
Количество полных оборотов по 360 или по может выражаться любым целым числом k, как положительным, так и отрицательным и нулём. При повороте точки А(1;0) на угол , где k получается та же самая точка, что при повороте на угол
Рисунок 1 – точки А и В на единичной окружности
Справедливы равенства:
, где , , где
Пусть точка А(1;0) переместилась в точку В1 при повороте на угол и в точку В при повороте на угол (рис. 2).
Рисунок 2 – точки А, В, В1 на единичной окружности
Запишем в виде: . На единичной окружности точки В1 и В симметричны относительно оси Оу, значит их ординаты (синусы) равны, абсциссы (косинусы)- противоположные числа.
Поэтому , а .
А так как , то , .
Помним, что , тогда , .
Докажем, что для всех углов справедливы формулы:
, .
Воспользуемся формулой синуса и косинуса разности:, подставим известные значения в формулу, получаем:
.
(1)
(2)
Аналогично доказываются формулы:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Эти формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса.
Пример: вычислите . Представим , тогда .
Выведем формулы для тангенса, используя его определение
,
Найдём
Получаем формулы для тангенса и котангенса:
, где и , где (13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Пример: вычислите .
Преобразуем выражение в скобке
.
Обратите внимание, что все эти формулы связывают синусы с синусами или косинусами, а тангенсы с тангенсами или котангенсами. В одних случаях синус меняется на косинус и наоборот, в других – нет. Так, например, в формулах 1,2,3,8 и 13, где в левой части присутствуют синусы, косинусы и тангенсы не меняются.
В остальных формулах, где в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус и наоборот, а тангенс на котангенс.
Формул приведений много и их не обязательно каждый раз выводить и запоминать.
Для этого придумали мнемоническое правило.
- Если в левой части присутствуют и т.д. синусы, косинусы и тангенсы не меняются.
Если в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс.
- Знак в правой части ставим тот же, который имело исходное число в левой части, при условии .
Существует легенда про рассеянного математика, который всё время забывал менять или не менять синус на косинус и наоборот. Он смотрел на свою сообразительную лошадь и она кивала головой вдоль той оси, где стояли числа и , . (рис. 3)
Рисунок 3 – «правило лошади»
Если аргумент содержал или , лошадь кивала вдоль оси Оу. Это означало «да, менять». А если , кивала вдоль оси Ох – «не менять».
Так же помните: чётные числа вида и т.д. находятся на оси Ох справа от нуля на единичной окружности, а нечётные и т. д. слева от нуля.
Если в выражении перед стоит плюс, то точка перемещается по окружности по часовой стрелке, если стоит минус, то против часовой стрелке.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1: упростите выражение .
находится на оси Ох, слева от нуля, косинус не меняем. Перед минус, точка перемещается против часовой стрелке и попадает во вторую четверть, здесь косинусы отрицательные (рис.4)
Рисунок 4 – перемещение точки по единичной окружности
Значит =.
Пример 2: вычислите
Преобразуем выражение в скобке: . находится слева на оси Ох, синус не меняем. Угол в третьей четверти, синусы отрицательные.
Урок 34. формулы сложения — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №34. Формулы сложения.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- формулы синуса суммы и разности аргументов; косинуса суммы и разности аргументов; тангенс суммы и разности аргументов;
- преобразование тригонометрических выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности аргументов;
- вычисление значения тригонометрических выражений на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности аргументов;
- доказательство тригонометрических тождеств на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности аргументов.
Глоссарий по теме
Формулы сложения — это формулы синуса суммы и разности аргументов; косинуса суммы и разности аргументов; тангенс суммы и разности аргументов.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу. (рис. 1)
Рисунок 1 – единичная окружность
Точка получена поворотом точки Мₒ(1;0) на угол , а точка на угол и точка на угол .
Углы и равны, отрезки . Значит, треугольник равен треугольнику , следовательно у них одинаковые стороны и .
Так как синус это ордината точки на единичной окружности, а косинус её абсцисса, то точки имеют координаты
;
;
).
Подставим координаты точек и в формулу для нахождения расстояния между ними. Получим:
.
Преобразуем левую часть, используя формулы квадрата суммы и разности двух выражений и тригонометрические тождества:
Преобразуем правую часть:
Соединим левую и правую части:
Разделим на каждое слагаемое :
Получили формулу косинуса суммы.
Заменим и учтём, что , получим формулу косинуса разности
Докажем, что
Так как , , то по формуле косинуса разности получаем:
Заменим получим
Так, например,, потому что .
Докажем, что
Подставим в формулу значение , получим:
Для тангенса и котангенса тоже справедливы формулы
Выведем формулу синуса суммы и разности:
.
В этой формуле заменим и получим формулу синуса разности:
Для тангенса тоже есть формула суммы и разности. По определению .
Тогда tg , разделим числитель и знаменатель на
Получаем формулу тангенса суммы .
Заменим в ней и учтём, что tg〖(-α)=〖-tg〗α 〗, получим формулу тангенса разности
.
Пример. Вычислим .
Для котангенса суммы и разности применяют формулы:
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Найти
Решение: Представим , так как нам известны значения косинуса углов и Подставим в формулу косинуса суммы. Получаем:
.
Ответ: .
Пример 2. Найти .
Решение: Представим , так как нам известны значения синуса углов и Подставим в формулу синуса суммы. Получаем:
.
Ответ: .
Пример 3. Вычислите .
Решение: Применяем формулу синуса разности: .
Ответ: .
| 1. |
Формулы приведения (синус)
Сложность: лёгкое |
1 |
| 2. |
Формулы приведения (косинус)
Сложность: лёгкое |
2 |
| 3. |
Формулы приведения (тангенс и котангенс)
Сложность: лёгкое |
2 |
| 4. |
Использование формул приведения, синус и косинус тупого угла
Сложность: среднее |
2 |
| 5. |
Использование формул приведения
Сложность: среднее |
1 |
| 6. |
Нахождение значения выражения (тангенс и котангенс)
Сложность: среднее |
1 |
| 7. |
Использование формул приведения для нахождения значения выражения
Сложность: сложное |
1 |
| 8. |
Вычисление значения выражения (синус, косинус, тангенс)
Сложность: сложное |
3 |
| 9. |
Упрощение выражения
Сложность: сложное |
1 |
Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Формулы сокращенного умножения
К оглавлению…
Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Разность квадратов:
Разность кубов:
Сумма кубов:
Куб суммы:
Куб разности:
Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:
Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
К оглавлению…
Пусть квадратное уравнение имеет вид:
Тогда дискриминант находят по формуле:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:
Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:
Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:
Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:
Парабола
График параболы задается квадратичной функцией:
При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
Игрек вершины параболы:
Свойства степеней и корней
К оглавлению…
Основные свойства степеней:
Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.
Основные свойства математических корней:
Для арифметических корней:
Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:
Для корня четной степени имеется следующее свойство:
Формулы с логарифмами
К оглавлению…
Определение логарифма:
Определение логарифма можно записать и другим способом:
Свойства логарифмов:
Логарифм произведения:
Логарифм дроби:
Вынесение степени за знак логарифма:
Другие полезные свойства логарифмов:
Арифметическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена арифметической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:
Формула суммы арифметической прогрессии:
Свойство арифметической прогрессии:
Геометрическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена геометрической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:
Формула суммы геометрической прогрессии:
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Свойство геометрической прогрессии:
Тригонометрия
К оглавлению…
Пусть имеется прямоугольный треугольник:
Тогда, определение синуса:
Определение косинуса:
Определение тангенса:
Определение котангенса:
Основное тригонометрическое тождество:
Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:
Формулы двойного угла
Синус двойного угла:
Косинус двойного угла:
Тангенс двойного угла:
Котангенс двойного угла:
Тригонометрические формулы сложения
Синус суммы:
Синус разности:
Косинус суммы:
Косинус разности:
Тангенс суммы:
Тангенс разности:
Котангенс суммы:
Котангенс разности:
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
Сумма синусов:
Разность синусов:
Сумма косинусов:
Разность косинусов:
Сумма тангенсов:
Разность тангенсов:
Сумма котангенсов:
Разность котангенсов:
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
Произведение синусов:
Произведение синуса и косинуса:
Произведение косинусов:
Формулы понижения степени
Формула понижения степени для синуса:
Формула понижения степени для косинуса:
Формула понижения степени для тангенса:
Формула понижения степени для котангенса:
Формулы половинного угла
Формула половинного угла для тангенса:
Формула половинного угла для котангенса:
Тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения задаются в виде таблицы:
Тригонометрическая окружность
По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:
Тригонометрические уравнения
К оглавлению…
Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
Для тангенса:
Для котангенса:
Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:
Геометрия на плоскости (планиметрия)
К оглавлению…
Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы:
Свойство биссектрисы:
Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника:
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Геометрия в пространстве (стереометрия)
К оглавлению…
Главная диагональ куба:
Объем куба:
Объём прямоугольного параллелепипеда:
Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
Объём призмы:
Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
Объём кругового цилиндра:
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Объём пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):
Объем кругового конуса:
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
Длина образующей прямого кругового конуса:
Объём шара:
Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):
Координаты
К оглавлению…
Длина отрезка на координатной оси:
Длина отрезка на координатной плоскости:
Длина отрезка в трёхмерной системе координат:
Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):
Таблица умножения
К оглавлению…
Таблица квадратов двухзначных чисел
К оглавлению…
Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:
К оглавлению…
Формулы приведения, тригонометрия, 10 класс. алгебра, урок и презентация
Дата публикации: .
Урок и презентация на тему: «Применение формул приведения при решении задач»
Что будем изучать:
1. Немного повторим.
2. Правила для формул приведения.
3. Таблица преобразований для формул приведения.
4. Примеры.
Повторение тригонометрических функций
Ребята, с формулами привидения вы уже сталкивались, но так их еще не называли. Как думаете: где?
Посмотрите на наши рисунки. Правильно, когда вводили определения тригонометрических функций.
Правило для формул приведения
Давайте введем основное правило: Если под знаком тригонометрической функции содержится число вида π×n/2 + t, где n – любое целое число, то нашу тригонометрическую функцию можно привести к более простому виду, которая будет содержать только аргумент t. Такие формулы и называют формулами привидения.
Вспомним некоторые формулы:
- sin(t + 2π*k) = sin(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- sin(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- sin(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tg(t + π*k) = tg(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
Ребята, формул привидения очень много, давайте составим правило по которому будем определять наши тригонометрические функции при использовании формул привидения:
- Если под знаком тригонометрической функции содержатся числа вида: π + t, π — t, 2π + t и 2π — t, то функция не изменится, то есть, например, синус останется синусом, котангенс останется котангенсом.
- Если под знаком тригонометрической функции содержатся числа вида: π/2 + t, π/2 — t,
3π/2 + t и 3π/2 — t, то функция изменится на родственную, т. е. синус станет косинусом, котангенс станет тангенсом. - Перед получившийся функцией, надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии 0
Эти правила применимы и когда аргумент функции задан в градусах!
Так же мы можем составить таблицу преобразований тригонометрических функций:
Примеры применения формул приведения
1.Преобразуем cos(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим cos(t). Далее предположим, что π/2
2. Преобразуем sin(π/2 + t). Наименование функции изменяется, т.е. получим cos(t). Далее предположим что 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. Преобразуем tg(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим tg(t). Далее предположим, что 0
4. Преобразуем ctg(2700 + t). Наименование функции изменяется, то есть получим tg(t). Далее предположим что 0 0, тогда (2700 + t) попадет в четвертую четверть, а там преобразуемая функция котангенс отрицательная, согласно третьему пункту нашего правила следует
поставить минус перед нашей функцией: ctg(2700 + t)=-tg(t).
Задачи с формулами приведения для самостоятельного решения
Ребята, преобразуйте самостоятельно, используя наши правила:
1) tg(π + t),2) tg(2π — t),
3) ctg(π — t),
4) tg(π/2 — t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 — t),
9) sin(2π — t),
10) cos(2π — t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 — t),
13) cos(π — t).
Вариант №1 Используя основное тригонометрическое тождество, вычислить sin α, tg α, сtg α, если cosα = 0,8. . Дописать формулу: sin2 = tg = = cos ( )= sin2 = sin + sin = sin 600= cos = cos 450= Знаки тригонометрических функций : Записать ответ, используя формулу приведения: 1) cos(π + x)= 2) sin(½π – x)= 3) tg(2π + x)= 4) ctg(3/2π –x)= 5. Указать табличные значения тригонометрических функций для углов . 6. Записать формулы сложения для косинуса. 7. Из формулы , выразить косинус двойного угла через синус. 8. ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВО: cos2 (α — β) — cos2 (α + β) = tg α . tg β 4 cos2 α cos2 β 9. УПРОСТИТЬ: tg β . 10. Вычислить: . 11. ВЫЧИСЛИТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ: (cos 150 + sin 150)2 . | Вариант №2 Используя основное тригонометрическое тождество, вычислить cosα, tg α, сtg α, если sin α = 0,6. . Дописать формулу: cos 2= ctg = = sin ( )= cos 2 = cos + cos = cos 600= cos = sin 450= Знаки тригонометрических функций : Записать ответ, используя формулу приведения: 1) cos(½π – x)= 2) sin(π–x)= 3) tg(3/2π –x)= 4) ctg(2π — x)= 5. Указать табличные значения тригонометрических функций для углов . 6. Записать формулы сложения для синуса. 7. Из формулы , выразить косинус двойного угла через косинус. 8. ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВО: sin α + tg α == tg α 1 + cos α 9. УПРОСТИТЬ: 10. Вычислить: . 11. ВЫЧИСЛИТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ: cos 270 cos 180 — sin 270 sin 180. 9 |
математических формул для класса 10 CBSE: важные математические формулы
Математические формулы для 10-го класса : Математика — один из наиболее важных предметов для учеников 10-го класса, поскольку она становится одним из решающих факторов при выборе различных профессий в дальнейшей жизни.Хороший результат по математике на настольном экзамене 10 класса открывает двери для различных вариантов. Студент, который хочет изучать инженерное дело, финансы, экономику, информатику и т. Д., Должен иметь высокий балл по математике, поскольку все эти варианты карьеры в значительной степени количественны. Кроме того, различные конкурсные экзамены на государственные должности, работу в банковском секторе, SSC и т. Д. Требуют от кандидатов хороших математических знаний до 10 класса.
Итак, кандидаты, которые появляются на экзамене совета 10 класса, должны уделять первостепенное внимание программе по математике.В этой статье мы предоставили все важные математические формулы для класса 10 , которые вы должны помнить, чтобы получить хорошие оценки по математике на предстоящем экзамене CBSE Board.
СКАЧАТЬ РЕШЕНИЯ NCERT ДЛЯ КЛАССА 10 МАТЕМАТИКА И НАУКА
Математические формулы для класса 10 (по главам)
Прежде чем перейти к списку формул, давайте проверим основные главы математики 10 класса, для которых необходимы формулы:
Математические формулы для арифметической прогрессии класса 10
Если a1, a2, a3, a4….. — члены AP, а d — общая разница между каждым термином, тогда последовательность может быть записана как: a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d …… a + nd. где a — первый член, а (a + nd) — (n — 1) -й член. Итак, формула для вычисления n-го члена AP имеет следующий вид:
n th член = a + (n-1) d
Сумма для n-го члена AP, где a — 1-й член, d — общая разница, и l — последний член, задается как:
S n = n / 2 [2a + (n-1) d] или S n = n / 2 [a + l]
Загрузить
Математические формулы для линейных уравнений класса 10
Линейные уравнения с одной, двумя и тремя переменными имеют следующий вид:
| Линейное уравнение с одной переменной | ax + b = 0 | Где a ≠ 0 и a & b — действительные числа |
| Линейное уравнение с двумя переменными | ax + by + c = 0 | Где a ≠ 0 и b ≠ 0 и a, b и c — действительные числа |
| Линейное уравнение в трех переменных | ax + by + cz + d = 0 | Где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 а, b, c, d — действительные числа |
Пара линейных уравнений с двумя переменными задается как:
a 1 x + b 1 + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 + c 2 = 0
Где a 1 , b 1 , c 1 , & a 2 , b 2 , c 2 — действительные числа и a 1 2 + b 1 2 ≠ 0 и a 2 2 + b 2 2 ≠ 0
Quick Note: Линейные уравнения также могут быть представлены в графической форме.
Формулы тригонометрии для математики 10 класса
Тригонометрические формулы для класса 10 охватывают основные тригонометрические функции для прямоугольного треугольника, то есть синуса (sin), косинуса (cos) и тангенса (tan), которые могут использоваться для получения косеканса (cos), секанса (сек), и Котангенс (детская кроватка).
Пусть прямоугольный треугольник ABC расположен под прямым углом в точке B, а \ (\ angle \ theta \) является одним из двух других углов.
sin θ = \ (\ frac {Сторона \, противоположная \, к \, угол \, \ theta} {Гипотенуза} \) = \ (\ frac {Перпендикуляр} {Гипотенуза} \) = P / H
cos θ = \ (\ frac {Соседняя \, сторона \, к \, угол \, \ theta} {Гипотенуза} \) = \ (\ frac {Смежная сторона} {Гипотенуза} \) = B / H
tan θ = \ (\ frac {Сторона \, противоположная \, до \, угол \, \ theta} {Соседняя \, сторона \, до \, угол \, \ theta} \) = P / B
сек θ = \ (\ frac {1} {cos \, \ theta} \)
Детская кроватка θ = \ (\ frac {1} {tan \, \ theta} \)
сек θ = \ (\ frac {1} {sin \, \ theta} \)
загар θ = \ (\ frac {Sin \, \ theta} {Cos \, \ theta} \)
Тригонометрическая таблица , содержащая значения этих тригонометрических функций для стандартных углов, выглядит следующим образом:
| Угол | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° |
| sinθ | 0 | 1/2 | 1 / √2 | √3 / 2 | 1 |
| cosθ | 1 | √3 / 2 | 1 / √2 | ½ | 0 |
| tanθ | 0 | 1 / √3 | 1 | √3 | Не определено |
| cotθ | Не определено | √3 | 1 | 1 / √3 | 0 |
| secθ | 1 | 2 / √3 | √2 | 2 | Undefined |
| cosecθ | Undefined | 2 | √2 | 2 / √3 | 1 |
Некоторые другие тригонометрические формулы приведены ниже:
- sin (90 ° — θ) = cos θ
- cos (90 ° — θ) = sin θ
- tan (90 ° — θ) = детская кроватка θ
- детская кроватка (90 ° — θ) = tan θ
- сек (90 ° — θ) = cosecθ
- cosec (90 ° — θ) = secθ
- sin 2 θ + cos 2 θ = 1
- сек 2 θ = 1 + загар 2 θ для 0 ° ≤ θ <90 °
- Cosec 2 θ = 1 + кроватка 2 θ для 0 ° ≤ θ ≤ 90 °
Математические формулы класса 10 для алгебры и квадратных уравнений
Чтобы узнать формулы алгебры для класса 10, сначала вам нужно познакомиться с квадратными уравнениями.2-4ac}} {2a} \)
Теперь вы знаете основное квадратное уравнение.
Давайте теперь рассмотрим список формул алгебры для класса 10:
- (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
- (ab) 2 = a 2 + b 2 — 2ab
- (a + b) ( ab) = a 2 — b 2
- (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
- (x + a) (x — b) = x 2 + (a — b) x — ab
- (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b)
- (a — b) 3 = a 3 — b 3 — 3ab (a — b)
- (x — a) (x + b) = x 2 + (b — a) x — ab
- (x — a ) (x — b) = x 2 — (a + b) x + ab
- (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz
- (x + y — z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy — 2yz — 2xz
- (x — y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 — 2xy — 2yz + 2xz 900 03 (x — y — z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 — 2xy + 2yz — 2xz
- x 3 + y 3 + z 3 — 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 — xy — yz -xz)
- x 2 + y 2 = ½ [(x + y) 2 + (x — y) 2 ]
- (x + a) (x + b) (x + c) = x 3 + (a + b + c) x 2 + (ab + bc + ca) x + abc
- x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 — xy + y 2 )
- x 3 — y 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2 )
- x 2 + y 2 + z 2 -xy — yz — zx = ½ [(xy) 2 + (yz) 2 + (zx) 2 ]
Краткое примечание : Эти формулы будут важны в старших классах и на различных сопутствующих экзаменах.Так что запомните их и хорошо поймите.
Математические формулы класса 10 для круга
Круговые формулы служат основой для измерения. Формулы круга 10 по математике для круга радиусом r приведены ниже:
- 1. Окружность круга = 2 π r
- 2. Площадь круга = π r 2
- 3. Площадь сектора угла θ = (θ / 360) × π r 2
- 4. Длина дуги сектора угла θ = (θ / 360) × 2 π r
Математические формулы класса 10 для площади и объема поверхности
Эти формулы очень важны для успешного решения вопросов измерения.2h \)
r = радиус,
l = наклонная высота,
h = высота
TSA: 2 (фунт + bh + hl )
Объем: фунтов / ч
l = длина,
b = ширина,
h = высота
TSA: 6a 2
Объем: a 3
a = стороны куба
Класс 10 Математические формулы для статистики
Статистикав классе 10 в основном связана с нахождением среднего значения, медианы и режима данных.{n} f_ {i}} \ times h \)
(II) Режим сгруппированных данных: Mode = l + \ (\ frac {f_ {i} -f_ {0}} {2f_ {1 } -f_ {0} -f_ {2}} \ times h \)
(III) Медиана для сгруппированных данных: Медиана = l + \ (\ frac {\ frac {n} {2} -cf} {f} \ times h \)
Некоторые часто задаваемые вопросы по математическим формулам Class 10
Вот несколько часто задаваемых вопросов учащимися о математических формулах для 10 класса.
Вопрос 1: Как вы запоминаете математические формулы?Ответ: Изучение или запоминание математических формул требует большой практики.Сначала ознакомьтесь с главой и концепциями, затем попытайтесь понять, как выводится формула, а затем запомните ее.
Квест 2: В чем разница между формулой и уравнением?Ответ: Формальный — это набор инструкций, который дает желаемый результат, тогда как уравнение содержит числовые операторы. Для уравнения и LHS должно быть равно RHS.
Вопрос 3: Как мне легко выучить математические формулы для 10 класса?Ответ: Чтобы легко выучить математические формулы, воспользуйтесь формулами, приведенными в этой статье.Вы можете узнать их прямо из статьи или взять распечатку.
Вопрос 4: Где я могу получить математические формулы для площади поверхности и объема?Ответ: Студенты, которым нужны формулы площади поверхности и объема, могут просмотреть их в этой статье.
РЕШИТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ КЛАССА 10 СЕЙЧАС
Это некоторые из важных формул для математики 10 класса. Эти математические формулы для 10 класса окажутся полезными в процессе обучения.Вы найдете их полезными при пересмотре учебной программы по математике 10 класса CBSE.
Решите бесплатные вопросы по математике для класса 10 и используйте эти формулы, чтобы получить более высокие баллы на экзаменах для класса 10:
Если у вас есть какие-либо вопросы относительно этой статьи по математическим формулам для класса 1 0, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время.
Embibe желает вам всего наилучшего!
21813 ПросмотрыОбщие основные государственные стандарты по математике
% PDF-1.3 % 468 0 объект > / Metadata 464 0 R / Names 471 0 R / OpenAction 469 0 R / Outlines 399 0 R / OutputIntents [>] / PageLayout / SinglePage / Pages 454 0 R / StructTreeRoot 724 0 R / Type / Catalog / ViewerPreferences >>> эндобдж 470 0 объект > / Шрифт >>> / Поля [] >> эндобдж 464 0 объект > поток 2010-10-29T12: 56: 38-04: 002018-01-16T10: 03: 45-08: 002018-01-16T10: 03: 45-08: 00Adobe InDesign CS4 (6.0.4)
Ответы на вышеперечисленные вопросы
|
| Кубоид | |
| Объем кубоида (LSA) | \ (\ begin {align} l \ times b \ times h \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности кубоида (LSA) | \ (\ begin {align} 2h \ left ({l + b} \ right) \ end {align} \) |
| Общая площадь кубовида (TSA) | \ (\ begin {align} 2 \ left ({lb + bh + hl} \ right) \ end {align} \) |
| Куб | |
| Объем куба | \ (\ begin {align} x ^ 3 \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности куба (LSA) | \ (\ begin {align} 4x ^ 2 \ end {align} \) |
| Общая площадь куба (TSA) | \ (\ begin {align} 6x ^ 2 \ end {align} \) |
| Сфера | |
| Объем сферы | \ (\ begin {align} \ frac {4} {3} \ times \ pi r ^ 3 \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности сферы (LSA) | \ (\ begin {align} 4 \ pi r ^ 2 \ end {align} \) |
| Общая площадь поверхности сферы (TSA) | \ (\ begin {align} 4 \ pi r ^ 2 \ end {align} \) |
| Правый круговой цилиндр | |
| Объем правого кругового цилиндра | \ (\ begin {align} \ pi r ^ 2 h \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности правого кругового цилиндра (LSA) | \ (\ begin {align} 2 \ times \ left ({\ pi rh} \ right) \ end {align} \) |
| Общая площадь правого кругового цилиндра (TSA) | \ (\ begin {align} 2 \ pi r \ times \ left ({r + h} \ right) \ end {align} \) |
| Правая пирамида | |
| Объем правой пирамиды | \ (\ begin {align} \ frac {1} {3} \ times \ begin {bmatrix} \ text {Область} \\\ text {База} \ end {bmatrix} \ times h \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности правой пирамиды (LSA) | \ (\ begin {align} \ frac {1} {2} \ times p \ times L \ end {align} \) |
| Общая площадь правой пирамиды (TSA) | \ (\ begin {align} {\ text {LSA}} + \ begin {bmatrix} \ text {Область} \\\ text {База} \ end {bmatrix} \ end {align} \) |
| Правый круговой конус | |
| Объем правого кругового конуса | \ (\ begin {align} \ frac {1} {3} \ times \ left ({\ pi r ^ 2 h} \ right) \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности правого кругового конуса (LSA) | \ (\ begin {align} \ pi rl \ end {align} \) |
| Общая площадь правого кругового конуса (TSA) | \ (\ begin {align} \ pi r \ times \ left ({r + L} \ right) \ end {align} \) |
| Полусфера | |
| Объем полушария | \ (\ begin {align} \ frac {2} {3} \ times \ left ({\ pi r ^ 3} \ right) \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности полушария (LSA) | \ (\ begin {align} 2 \ pi r ^ 2 \ end {align} \) |
| Общая площадь полушария (TSA) | \ (\ begin {align} 3 \ pi r ^ 2 \ end {align} \) |
| Призма | |
| Объем призмы | \ (\ begin {align} B \ times h \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности призмы (LSA) | \ (\ begin {align} p \ times h \ end {align} \) |
| Общая площадь призмы (TSA) | \ (\ begin {align} \ pi \ times r \ times \ left ({r + L} \ right) \ end {align} \) |
| \ (\ begin {align} l & = \ text {Длина,} \\ h & = \ text {Высота,} \\ b & = \ text {Ширина} \\ r & = \ text {Радиус Сфера} \\ L & = \ text {Slant Height} \ end {align} \) | |
CBSE Class 10 Maths Chapter-Wise Важные формулы для быстрого пересмотра
Математика — один из таких предметов, от которого учащимся часто снятся кошмары.Хотя математика немного сложна, это несложно. Для получения высоких оценок по математике требуется только полное понимание концепций, регулярная практика и хорошее владение важными формулами.
Чтобы помочь студентам собрать все важные формулы, теоремы и свойства в одном месте, мы сопоставили формулы по главам вместе с важными терминами и свойствами, встречающимися в классе 10 по математике. Студенты должны усвоить все формулы и теоремы, включенные в такие главы, как треугольники, многочлены, координатная геометрия, тригонометрия и измерение, поскольку эти главы имеют большой вес для экзамена на доску по математике 2021-2022.
Проверьте ниже важные формулы, термины и свойства для математики класса 10 CBSE:
1. Реальные числа:
Алгоритм деления Евклида (лемма): согласно лемме Евклида о делении, если у нас есть два положительных целых числа a и b, то существуют уникальные целые числа q и r такие, что a = bq + r, где 0 ≤ r ≤ b. (Здесь a = делимое, b = делитель, q = частное и r = остаток.)
2. Полиномы:
(i) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(ii) (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
(iii) a 2 — b 2 = (a + b) (a — b)
(iv) (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b)
(v) (a — b) 3 = a 3 — b 3 — 3ab (a — b)
(vi) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )
(vii) a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 )
(viii) a 4 — b 4 = (a 2 ) 2 — (b 2 ) 2 = (a 2 + b 2 ) (a 2 — b 2 ) = (a 2 + b 2 ) (a + b) (a — b)
(ix) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
(x) (a + b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab — 2bc — 2ca
(xi) (a — b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2ab — 2bc + 2ca
(xii) (a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2ab + 2bc — 2ca
(xiii) a 3 + b 3 + c 3 — 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 — ab — bc — ca)
CBSE Class 10 Maths Важные вопросы с решениями
3.Линейные уравнения с двумя переменными:
Для пары линейных уравнений
a 1 + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 + b 2 y + c 2 = 0,
характер корней (нулей) или решений определяется следующим образом:
(i) Если a 1 / a 2 ≠ b 1 / b 2 , то мы получаем уникальное решение, и пара линейных уравнений с двумя переменными согласована.Здесь график состоит из двух пересекающихся линий.
(i) Если a 1 / a 2 ≠ b 1 / b 2 ≠ c 1 / c 2 , то решения не существует и пара линейных уравнений с двумя переменными говорят, что это непоследовательно. Здесь график состоит из параллельных линий.
(iii) Если a 1 / a 2 = b 1 / b 2 = c 1 / c 2 , то существует бесконечно много решений, и пара линий совпадают, и поэтому , зависимый и последовательный.Здесь график состоит из совпадающих линий.
4. Квадратичное уравнение:
Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0
• Сумма корней = –b / a
• Продукт корней = с / у
• Если даны корни квадратного уравнения, то квадратное уравнение может быть представлено как:
x 2 — (сумма корней) x + произведение корней = 0
• Если Дискриминант> 0, то корни квадратного уравнения действительны и не равны / уникальны.
• Если Дискриминант = 0, то корни квадратного уравнения действительны и равны.
• Если Дискриминант <0, то корни квадратного уравнения мнимые (не действительные).
• Важные формулы — лодки и ручьи
(i) Ниже по течению В воде направление вдоль потока называется вниз по течению. (ii) Вверх по течению В воде направление против течения называется вверх по течению. (iii) Пусть скорость лодки в стоячей воде равна u км / час, а скорость потока — v км / час, тогда Скорость вниз по течению = (u + v) км / час |
CBSE Class 10 Математика Решенные вопросы за предыдущие годы (2010-2020)
5. Арифметическая прогрессия:
• n-й член арифметической прогрессии: Для данной AP, где a — первый член, d — общая разница, n — количество членов, его n-й член ( n ) задается как
a n = a + (n − 1) × d
• Сумма первых n членов арифметической прогрессии, S n задается как:
6.Подобие треугольников:
• Если два треугольника подобны, то отношения их сторон равны.
• Теорема о площади одинаковых треугольников: Если два треугольника похожи, то отношение площадей обоих треугольников пропорционально квадрату отношения их соответствующих сторон.
7. Координатная геометрия:
• Формулы расстояния: Рассмотрим прямую, имеющую две точки A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ), тогда расстояние между этими точками определяется как:
• Формула сечения: Если точка p делит линию AB с координатами A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) в соотношении m: n, то координаты точки p задаются как:
• Формула средней точки: Координаты средней точки линии AB с координатами A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) задаются как :
• Площадь треугольника: Рассмотрим треугольник, образованный точками A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) и C (x 3 , y 3 ), то площадь треугольника равна —
.NCERT Примеры задач и решений Математика класса 10: все главы
8.Тригонометрия:
В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора утверждает:
(перпендикулярно) 2 + (основание) 2 = (гипотенуза) 2
Важные тригонометрические свойства: (с P = перпендикуляр, B = основание и H = гипотенуза)
• SinA = P / H
• CosA = B / H
• TanA = P / B
• CotA = B / P
• CosecA = H / P
• SecA = H / B
Тригонометрические идентичности:
• sin 2 A + cos 2 A = 1
• желто-коричневый 2 A +1 = сек 2 A
• детская кроватка 2 A + 1 = cosec 2 A
Соотношения между тригонометрическими тождествами приведены ниже:
Тригонометрические отношения дополнительных углов приведены следующим образом:
• sin (90 ° — A) = cos A
• cos (90 ° — A) = sin A
• желто-коричневый (90 ° — A) = детская кроватка A
• детская кроватка (90 ° — A) = желто-коричневый A
• сек (90 ° — A) = cosec A
• cosec (90 ° — A) = sec A
Значения тригонометрических соотношений 0 ° и 90 ° приведены в таблице ниже:
9.Кругов:
Важные свойства, связанные с кругами:
• Равные хорды окружности равноудалены от центра.
• Перпендикуляр, проведенный из центра окружности, делит хорду окружности пополам.
• Угол, образованный дугой в центре = удвоение угла в любой части окружности.
• Углы, образуемые одной и той же дугой в одном сегменте, равны.
• К окружности, если проводится касательная и хорда проводится от точки контакта, то угол между хордой и касательной равен углу, полученному в альтернативном сегменте.
• Сумма противоположных углов кругового четырехугольника всегда равна 180 o .
Важные формулы, относящиеся к кругам:
• Площадь сегмента круга: Если AB — хорда, которая делит круг на две части, то большая часть называется большим сегментом, а меньшая — второстепенным сегментом.
Здесь Площадь сегмента APB = Площадь сектора OAPB — Площадь ∆ OAB
Решения NCERT для математики класса 10 CBSE: все главы
10.Измерение:
Проверьте ниже важные формулы для определения площадей и объемов твердых тел:
11. Статистика:
Для разгруппированных данных:
Среднее: Среднее значение переменной определяется как сумма всех значений переменной, деленная на количество значений.
Медиана: Медиана набора значений данных является средним значением набора данных, когда он упорядочен по возрастанию.То есть от наименьшего значения к наибольшему значению.
Медиана рассчитывается как
Где n — количество значений в данных. Если количество значений в наборе данных четное, то медиана является средним из двух средних значений.
Mode: Режим статистических данных — это значение той переменной, которая имеет максимальную частоту
Для сгруппированных данных:
Среднее значение: Если x 1 , x 2 , x 3 ,…… x n — это наблюдения с соответствующими частотами f1, f2, f3, ….. fn, тогда среднее значение задается как:
Медиана: Для данных данных нам необходимо иметь интервал классов, частотное распределение и совокупное частотное распределение. Тогда медиана рассчитывается как
Где
l = нижний предел среднего класса,
n = количество наблюдений,
cf = совокупная частота класса, предшествующего среднему классу,
f = частота среднего класса,
h = размер класса (при условии, что размер класса равен )
Режим: Модальный класс : Интервал класса, имеющий самую высокую частоту, называется модальным классом, а режим получается с использованием модального класса.
Где
l = нижний предел модального класса,
h = размер интервала классов (при условии, что все размеры классов равны),
f 1 = частота модального класса,
f 0 = частота класс, предшествующий модальному классу,
f 2 = частота класса, следующего за модальным классом.
12. Вероятность:
Понимания основных понятий и изучения всех важных формул в высшей степени достаточно, чтобы успешно сдать экзамен по математике.Если вы очень хорошо знаете формулы, вам не понадобится много времени, чтобы решить вопросы в экзаменационной работе. Итак, продолжайте практиковаться со списком важных формул, приведенным выше в этой статье.
Важно * CBSE Class 10 Maths Best Study Package for Academic Session 2021-2022
| Коэффициенты тригонометрии | `sin alpha = (opp.) / (Hip.)` | `opp.`: напротив ` hip.`: гипотенуза | |
| `cos alpha = (прилаг.2-2bc cos A` | |||
| Формула Герона | `A = sqrt (s (sa) (sb) (sc))` `s = (a + b + c) / 2` | ||
| Точные значения | ` sin (pi / 6) = 1/2` | `cos (pi / 6) = sqrt (3) / 2` | ` tan (pi / 6) = sqrt (3) / 3` |
| `sin (pi / 4) = sqrt (2) / 2` | `cos (pi / 4) = sqrt (2) / 2` | ` tan (pi / 4) = 1` | |
| `sin (pi / 3 ) = sqrt (3) / 2` | `cos (pi / 3) = 1 / 2` | ` tan (pi / 3) = sqrt (3) ` | |
| Угловые отношения | ` sin (- alpha) = — sin alpha` | `cos (- alpha) = cos alpha` | ` tan (-alpha) = — tan alpha` |
| `sin (pi — alpha) = sin alpha` | ` cos (pi — alpha) = — cos alpha` | `tan (pi — alpha) = — tan alpha` | |
| ` sin (pi + alpha) = — sin alpha` | `cos (pi + alpha) = -cos alpha` | `tan (pi + alpha) = tan alpha` | |
| ` sin (pi / 2 — alpha) = cos alpha` | `cos (pi / 2 — al pha) = sin alpha` | `tan (pi / 2 — alpha) = 1 / (tan alpha)` | |
| `sin (pi / 2 + alpha) = cos alpha` | ` cos (pi / 2 + alpha) = — sin alpha` | `tan (pi / 2 + alpha) = — 1 / (tan alpha)` | |
| `sin ((3pi) / 2 — alpha) = — cos alpha` | `cos ((3pi) / 2 — alpha) = — sin alpha` | ` tan ((3pi) / 2 — alpha) = 1 / (tan alpha) ` | |
| ` sin ((3pi) / 2 + альфа) = — cos alpha` | `cos ((3pi) / 2 + alpha) = sin alpha` | ` tan ((3pi) / 2 + alpha) = — 1 / (tan alpha) ` | |
| Тригонометрические уравнения | `sin x = sin alpha hArr x = alpha + 2kpi vv x = pi — alpha + 2kpi, k in ZZ` | ||
| `cos x = cos alpha hArr x = alpha + 2kpi vv x = — alpha + 2kpi, k в ZZ ` | |||
| ` tan x = tan alpha hArr x = alpha + kpi, k in ZZ ` | |||
| Sum Formulas | ` sin (a + b) = sin a xx cos b + sin b xx cos a` | ||
| `cos (a + b) = cos a xx cos b — sin a xx sin b` | |||
| `tan (a + b) = (tan a + tan b) / (1 — tan a xx tan b)` | |||
| Формулы разности | `sin (ab ) = sin a xx cos b — sin b xx cos a` | ||
| `cos (ab) = cos a xx cos b + sin a xx sin b` | |||
| ` tan (ab) = (tan a — tan b) / (1 + tan a xx tan b) ` | |||
| Формулы двойных углов | ` sin (2a) = 2xxsin a xx cos a` | ||
| `cos (2a) = cos ^ 2 a — sin ^ 2 a` | |||
| `tan (2a) = (2 xx tan a) / (1 — tan ^ 2 a)` | |||
