Физика задачи на блоки: Блоки, нити, грузы и перегрузки

Блоки, нити, грузы и перегрузки

Задача 1.  К телу массой кг подвешено на веревке тело массой кг. Масса веревки кг. Вся система движется ускоренно вверх под действием силы Н, приложенной к верхнему телу (рис.1). Найти натяжение веревки в ее центре и в точках крепления тел и .

Рисунок 1

Представим всю систему единым телом массой . Будем действовать на эту систему с силой . Тогда по второму закону Ньютона

   

Откуда найдем ускорение системы:

   

Теперь вернемся к первому рисунку и запишем уравнения по второму закону Ньютона для верхнего  и нижнего грузов:

   

   

Откуда

   

   

Очевидно, что посередине веревки сила ее натяжения будет средним арифметическим найденных двух сил:

   

Ответ: Н, Н, Н.

Задача 2. Маляр массой кг работает в подвесном кресле. Ему понадобилось срочно подняться вверх. Он начинает тянуть веревку с такой силой, что сила давления на кресло уменьшается до Н.

Масса кресла кг. Чему равно ускорение маляра? Чему равна нагрузка на блок?

Рисунок 2

Расставим силы. Отметим все силы, действующие не маляра, и силы, действующие на люльку:

Теперь можно написать уравнения:

   

   

Вычитаем уравнения:

   

   

Ответ: м/с.

Задача 3. Через легкий неподвижный блок перекинута невесомая нерастяжимая нить с двумя грузами на концах, массы которых и , . Система приходит в движение, причем нить не проскальзывает относительно блока. Определить ускорение грузов, силу натяжения нити и силу давления на ось блока.

Рисунок 3

Понятно, что больший груз перетянет и начнет двигаться вниз, а меньший – подниматься. Запишем для них уравнение по второму закону:

   

   

Сложим уравнения:

   

Откуда

   

Теперь можно найти и силу натяжения нити:

   

Сила давления на блок равна :

   

Ответ: , ,
.


Задача 4. Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами . Одновременно на каждый из грузов кладут по перегрузку: справа  массой , слева (рис. 2). Определить ускорение системы, силу натяжения нити и силу давления перегрузков на основные грузы.

Рисунок 4

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для обоих грузов с учетом массы перегрузков:

   

   

Сложение уравнений даст нам

   

   

Сила натяжения нити найдется подстановкой найденного ускорения в любое уравнение системы:

   

Определим силу давления меньшего перегрузка массой на груз :

   

   

Для большего перегрузка

   

   

Ответ: , , , .

Задача 5. Через неподвижный блок перекинута нить, к которой подвешены три одинаковых груза массой кг каждый (рис. 3). Найти ускорение системы и силу натяжения нити между грузами 1 и 2. Какой путь пройдут грузы за первые с движения? Трением пренебречь.

Рисунок 5

Сначала мысленно объединим два груза слева в один и запишем уравнение по второму закону:

   

Для правого грузика

   

Складываем уравнения:

   

   

Определим силу натяжения нити между грузиками. Обозначим ее . Тогда для самого нижнего грузика слева:

   

   

Определяем путь грузиков за 4 с:

   

Ответ: м/с, Н, м.

 

Задача 6. Определить ускорение грузов и силы натяжения всех нитей в системе, изображенной на рисунке. Масса каждого груза , массой блока пренебречь.

Рисунок 6

Сначала определяем ускорение. Для этого записываем уравнение по второму закону для грузиков справа и слева, пока не вспоминая о том, что их там несколько. Для нас сейчас это  груз массой  справа и слева. Силу натяжения основной нити обозначим :

   

   

Складываем уравнения:

   

   

Тогда

   

Рассмотрим теперь грузы, висящие справа. Обозначим натяжение нити между ними . Для нижнего груза справа

   

   

Осталось определить и . Для верхнего грузика слева

   

Откуда

   

А для нижнего грузика слева

   

   

Ответ: , , , , .

Задача 7. Два груза массами г и г соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис.). Грузы прижимаются друг к другу с постоянными силами Н. Коэффициент трения между ними . Найти ускорение, с которым движутся грузы.

Рисунок 7

Записываем уравнение по второму закону:

   

   

Тогда

   

   

Ответ: .

Задача

8. Невесомая нить, перекинутая через неподвижный блок, пропущена через щель (рис.). При движении нити на нее действует постоянная сила трения . На концах нити подвешены грузы, массы которых и . Определить ускорение грузов.

Рисунок 8

Давайте предположим, что . Тогда левый груз начинает движение вверх, правый – вниз. Записываем для них уравнение  по второму закону с учетом наличия силы трения:

   

   

Складывая уравнения, имеем:

   

Откуда

   

Но, если бы , тогда

   

Тогда, чтобы учесть обе возможности, запишем ответ так:

Ответ: .

Задача 9. Через невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить, к одному концу которой привязан груз массой г, а по другому
скользит кольцо массой г (рис.). С каким ускорением движется кольцо, если груз  неподвижен?

Рисунок 9

Сила трения кольца в данном случае и порождает силу натяжения нити, то есть это одна и та же сила. Поэтому для неподвижного груза

   

А для кольца

   

   

Ответ: 6 м/с.

Подвижные и неподвижные блоки. Физика, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Блок, определение экономии силы

Сложность: лёгкое

1
2.
Блок, показания динамометров в системе блоков

Сложность: лёгкое

3
3. Показания динамометров в разных положениях

Сложность: лёгкое

2
4. Системы неподвижных блоков

Сложность: лёгкое

1
5. Показания динамометров в системах неподвижных блоков с одним или двумя грузиками

Сложность: лёгкое

1
6. Системы из двух блоков

Сложность: лёгкое

2
7. Рычаг и подвижный блок

Сложность: среднее

4
8. Неподвижный и подвижный блоки

Сложность: среднее

2
9. Вес подвижного блока и груза

Сложность: среднее

2
10. Система неподвижного и подвижного блока

Сложность: среднее

2
11. Масса груза (подвижный блок)

Сложность: среднее

4
12. Сила, с которой давит на землю строитель (неподвижный блок)

Сложность: среднее

3
13. Система из двух подвижных и двух неподвижных блоков

Сложность: сложное

2
14. Давление на опору (подвижный блок)

Сложность: сложное

5
15. Простые механизмы

Сложность: сложное

5

Простые механизмы. Блок — Класс!ная физика

Простые механизмы. Блок

В современной технике для переноса грузов на стройках и предприятиях широко используются грузоподъемные механизмы, незаменимыми составными частями которых можно назвать простые механизмы. Среди них древнейшие изобретения человечества: блок и рычаг. Древнегреческий ученый Архимед облегчил труд человека, дав ему при использовании своего изобретения выигрыш в силе, и научил менять направление действия силы.

Блок — это колесо с желобом по окружности для каната или цепи, ось которого жестко прикреплена к стене или потолочной балке.

Грузоподъемные устройства обычно используют не один, а несколько блоков. Система блоков и тросов, предназначенная для повышения грузоподъемности, называется полиспаст.

Подвижный и неподвижный блок — такие же древнейшие простые механизмы, как и рычаг. Уже в 212 г.до н.эры с помощью крюков и захватов, соединенных с блоками, сиракузцы захватывали у римлян средства осады. Сооружением военных машин и обороной города руководил Архимед.

Неподвижный блок Архимед рассматривал как равноплечий рычаг.

Момент силы, действующей с одной стороны блока, равен моменту силы, приложенной с другой стороны блока. Одинаковы и силы, создающие эти моменты.

Выигрыш в силе при этом отсутствует, но такой блок позволяет изменить направление действия силы, что иногда необходимо.

Подвижный блок Архимед принимал за неравноплечий рычаг, дающий выигрыш в силе в 2 раза. Относительно центра вращения действуют моменты сил, которые при равновесии должны быть равны.


Архимед изучил механические свойства подвижного блока и применил его на практике. По свидетельству Афинея, «для спуска на воду исполинского корабля, построенного сиракузским тираном Гиероном, придумывали много способов, но механик Архимед, применив простые механизмы, один сумел сдвинуть корабль с помощью немногих людей. Архимед придумал блок и посредством него спустил на воду громадный корабль».

Блок не дает выигрыша в работе, подтверждая золотое правило механики. В этом легко убедиться, обратив внимание на расстояния, пройденные рукой и гирей.

Спортивные парусные суда, как и парусники прошлого, не могут обойтись без блоков при постановке парусов и управлении ими. Современным судам нужны блоки для подъема сигналов, шлюпок.

Эта комбинация подвижных и неподвижных блоков на линии электрофицированной железной дороги для регулировки натяжения проводов.

Такой системой блоков могут пользоваться планеристы для подъема в воздух своих аппаратов.


СМОЖЕШЬ ЛИ СООБРАЗИТЬ?

1. Через неподвижный блок перекинута веревка. Один конец ее прикреплен к поясу монтажника, а второй он тянет вниз с некоторой силой. Какова эта сила, если вес рабочего 700 Н? Трением в блоке и массой веревки пренебречь.

2. При проверке динамометром оказывается, что сила, удерживающая груз на неподвижном блоке, немного меньше силы тяжести груза, а при равномерном подъеме больше ее. Чем это объясняется?

3.Почему у подъемных строительных кранов крюк, который переносит груз, закреплен не на конце троса, а на обойме подвижного блока?


Ответы./ Но сначала подумай сам!/



Блоки в физике — виды, формулы и определения с примерами

Содержание:

Блоки:

Всегда ли удобно использовать рычаг

Поднять груз на значительную высоту с помощью рычага очень сложно. Чем высота больше, тем длиннее должен быть рычаг. Такого недостатка нет у блока.

Что такое блок

Блок — это устройство, состоящее из веревки, переброшенной через колесо, которое может вращаться на оси.

Обод колеса, как правило, имеет желоб, в котором прокладывается трос или веревка.

Ось блока может быть неподвижной или перемещаться вместе с колесом. В связи с этим блоки бывают подвижными и неподвижными.

Какой блок называют неподвижным

У неподвижного блока ось вращения не изменяет своего положения в пространстве. Она с помощью специальной обоймы закреплена на балке или на другой опоре (рис. 70). Если на конец веревки, переброшенной через блок, подействовать силой, то другой конец начнет двигаться вверх. Если к этому концу прикрепить груз определенной массы, то он будет подниматься вверх. Если на свободный конец веревки действует сила, направленная вниз, то на груз действует сила, направленная вверх. Измерение этих сил показывает, что они равны.

Почему неподвижный блок не дает выигрыша в силе

Неподвижный блок выигрыша в силе не дает, он только изменяет направление действия силы.

Такую особенность можно легко объяснить, учитывая, что неподвижный блок похож на равноплечий рычаг. Для этого перенесем точки действия сил вверх к точкам А к В, где веревка касается блока (рис. 71). Плечи этих сил OA и ОВ будут одинаковыми, как радиусы окружности. Согласно условию равновесия рычага силы F1 и F2 также должны быть одинаковыми. Опыт подтверждает эти выводы.

Какой блок называют подвижным

Подвижным называют блок, ось которого перемещается в пространстве. При использовании такого блока обычно один конец веревки или троса закрепляют на опоре, а груз — на обойме, в которой блок закреплен. На рисунке 72 показан опыт с таким блоком. К оси легкого подвижного блока подвешен груз массой 102 г. Итак, на ось блока действует сила 1 Н. Стрелка динамометра, присоединенного к свободному концу веревки, показывает примерно 0,5 Н. Некоторые небольшие различия связаны с тем, что блок сам имеет вес и на него действует сила трения.

Почему подвижный блок дает выигрыш в силе

Такую особенность подвижного блока можно объяснить, учитывая свойства рычага (рис. 73). Диск блока можно считать рычагом длиной 2R (где R — радиус колеса). Ось вращения такого рычага проходит через точку А на ободе колеса, а точками приложения сил являются точки О и В. Так как то  Описанные выше свойства блоков используют во время решения практических задач.

                

Пример решения задачи

Определить вес груза, который удерживается системой подвижного и неподвижного блоков, если на свободный конец троса действует сила 300 Н (рис. 74).

Дано:

Решение

Неподвижный блок выигрыша в силе не дает. Поэтому вычисления производим с учетом только подвижного блока, который дает выигрыш в силе в два раза. О массе блока в условии задачи не сказано, поэтому весом блока можно пренебречь по сравнению с весом груза. Таким образом,

Ответ. Вес груза равен 600 Н.

Блоки. Условие равновесия блоков

«Кто овладел творениями Архимеда,

будет меньше удивляться открытиям

самых великих людей нашего времени»

Г.В. Лейбниц

Данная тема посвящена решению задач на тему «Блоки. Условие равновесия блоков».

Задача 1. Какую минимальную силу нужно приложить к концу веревки для подъема мешка цемента массой 50 кг с помощью данной системы блоков? На какую высоту будет поднят мешок при совершении этой силой работы в 2500 Дж? Считать блоки идеальными.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ:

Подвижный блок, позволяет получить выигрыш в силе в два раза. Значит, минимальная сила, которую нужно приложить к концу веревки для подъема мешка цемента, равна половине веса этого мешка

Вес мешка цемента:

Тогда минимальная сила

Работа силы определяется по формуле

Согласно «Золотому правилу механики», если мы выигрываем в силе, то во столько же раз проигрываем в пути. Так как подвижный блок дает нам выигрыш в силе в два раза, то в пути мы проиграем также в два раза, то есть высота подъема мешка цемента будет в два раза меньше высоты подъема точки приложения силы

Высоту подъема точки приложения силы определим как отношение работы, совершенной силой, к модулю этой силы

Тогда искомая высота

Ответ: 250 Н; 5 м.

Задача 2. В системе, изображенной на рисунке, масса самого правого груза равна 1,5 кг, а массы всех блоков одинаковы и равны 0,4 кг. Система уравновешена и неподвижна. Определите массы остальных грузов, если массой троса и трением в блоках можно пренебречь.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ:

Если трос является невесомым и нерастяжимым, а так же при отсутствии трения в блоках, силы натяжения троса должны быть равны между собой

Поскольку система уравновешена, то:

С другой стороны, трос  передает производимое на него воздействие равномерно по всей своей длине. Так как на блоки с обеих сторон действуют силы натяжения T, а на ось каждого блока действует вес подвешенного на него груза и вес самого блока, то получаем, что в равновесии сила тяжести, действующая на каждый из блоков с грузом, уравновешивается удвоенной силой натяжения троса

Поскольку система уравновешена, то:

Ответ: 2,6 кг.

Задача 3. Плита массой 120 кг была равномерно поднята с помощью подвижного блока на высоту 16 м за 40 с. Считая КПД механизма 80%, а массу блока — 10 кг, определите полную работу и развиваемую мощность. Считать, что в блоке отсутствуют силы трения.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ:

Коэффициента полезного действия механизма определяется отношением полезной работы механизма ко всей затраченной им работе

Полезная работа:

Сила тяжести плиты и блока:

Тогда

Затраченная работа:

Затраченная мощность:

Ответ: 26 кДж; 650 Вт.

Задача 4. На рисунке изображена система грузов. Массы тел соответственно равны 0,2 кг и 0,4 кг. Определите силу натяжения нити. Считать нить и блоки идеальными?

ДАНО:

РЕШЕНИЕ:

Так как нить и блоки идеальны, то:

На основании II закона Ньютона:

Так как блок 2 подвижный:

Тогда получаем

Выразим из второго уравнения ускорение a2, подставим полученное выражение в первое уравнение

Преобразуем полученное уравнение и выразим из него искомую силу натяжения нити

 

Ответ: 2 Н.

Урок физики в 7 классе по теме «Блоки»

Тема урока: «Блоки»

Класс 7

Тип урока: комбинированный.

Вид урока: традиционный с элементами исследовательской работы.

Цели урока: введение понятия блока, объяснение, почему блок является разновидностью рычага, знакомство с различными видами блоков, применением блоков.

Задачи:

Образовательные:

  • закрепить уже имеющиеся знания по теме “Простые механизмы”;

  • ввести понятие блока;

  • объяснить, почему блок – разновидность рычага;

  • рассмотреть различные виды блоков, их применение.

Воспитательные:

  • формирование коммуникативных качеств, культуры общения;

  • формирование интереса к изучаемому предмету;

  • стимулирование любознательности, активности на уроке;

  • развитие работоспособности.

Развивающие:

  • развитие познавательного интереса;

  • развитие интеллектуальных способностей;

  • развитие умений оценивать себя;

  • развитие умений работы по инструкции.

Формы работы: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.

Средства обучения.

  1. Учебник “Физика 7” А.В. Перышкин

  2. Раздаточный материал (тесовые листы, лист самооценки, инструкции к исследовательским заданиям).

  3. Динамометры.

  4. Набор грузов.

  5. Штатив с муфтой и лапкой.

  6. Подвижный и неподвижный блоки.

  7. Презентация “Блоки”.

  8. Компьютер.

План урока

  1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Вы все готовы к уроку, давайте начинать.

  1. Актуализация знаний.

Многие из вас задают мне вопрос: зачем мы изучаем физику? Пригодится ли она нам когда-нибудь? И я не устаю повторять, что да, конечно, физика и жизнь неотделимы друг от друга. Вот уже несколько уроков мы с вами говорим о простых механизмах и их значении в жизни человека.

Давайте вспомним, что вам известно. В листах самооценки, пожалуйста, продолжите фразы. Не забудте подписать лист самооценки.

Простые механизмы – это…

Рычаг – это…

Плечо силы – это…

Чтобы найти плечо силы, нужно…

Рычаг находится в равновесии, если…

(Записывают ответы)

Давайте проверим ваши ответы. (Называют свои ответы и сверяют с правильными).

-Вспомните, кто установил правило равновесия рычага?

— Архимед.

III. Изучение нового материала.

Постановка проблемы

С именем Архимеда связано множество легенд. С некоторыми мы уже знакомились на уроках физики. Вот еще одна.

Архимед как-то раз написал царю Гиерону, с которым был в родстве и дружбе, что маленькая сила, при соблюдении определенных условий, может сдвинуть любой груз. Гиерон, конечно, изумился и попросил претворить эту мысль в действие и показать какую-либо тяжесть, перемещаемую малым усилием. Тогда Архимед велел наполнить обычной кладью царскую триеру (трехпарусное судно), недавно с огромным трудом вытащенную на берег целою толпою людей, посадил на него большую команду матросов, а сам сел поодаль и, безо всякого напряжения вытягивая конец каната, пропущенного через неизвестное собравшимся людям устройство, придвинул к себе корабль так медленно и ровно, точно тот плыл по морю, а не по земле.

Что это за устройство могло быть?

Учащиеся выдвигают свои предположения:

— Блок — один из видов простых механизмов.

— Что вы знаете о блоке?

— Блок – разновидность рычага.

— Сегодня на уроке мы продолжим изучение простых механизмов, познакомимся с разновидностью рычага – блоком. Запишите тему урока «Блоки».

Как вы думаете, какие цели мы поставим сегодня на уроке?

Выдвигают цели.

  1. Как к блоку применяется закон равновесия рычага?

  2. Какой выигрыш в силе дает неподвижный блок?

  3. Какой выигрыш в силе дает подвижный блок?

Учитель демонстрирует блок. Просит учащихся сформулировать его определение.

— Что же представляет собой блок?

— Блок представляет собой колесо с желобом, укрепленное в обойме.

Запись в тетради: “Блоком называют устройство, имеющее форму диска с желобом, по которому пропускают веревку, трос или цепь”

Учитель демонстрирует установки с подвижным и неподвижным блоками.

— Посмотрите на установки. Чем отличаются эти блоки?

— У одного ось не движется вместе с грузом, а у другого – движется.

— Блок может быть двух видов: подвижный и неподвижный.

Запись в тетради: Виды блоков:

  • неподвижный (ось закреплена и не движется при подъёме груза)

  • подвижный (ось движется вместе с грузом).

Задаёт вопрос:

“Так как блок является простым механизмом, то, для чего он может использоваться?”

Возможный ответ: “С помощью блока можно преобразовать силу”.

Каким образом преобразовывает блок силу, вы узнаете, проведя исследования в парах. Раздаёт инструкции к практическим работам.

  1. Практическая работа. Выполняют практические работы.

  2. Подведение итогов практической работы. Объяснение нового материала. Предлагает учащимся проверить правильность сделанных выводов.

  1. Пожалуйста, сформулируйте получившийся вывод те группы, которые работали с неподвижным блоком.

Давайте докажем его, используя условие равновесия рычага.

Изобразим на неподвижном блоке соответствующий рычаг. Отметим точку опоры и приложенные силы. Чему равны плечи этих сил? (r и r).Сформулируйте условие равновесия рычага. (Ученик записывает на доске: F1= F2, Неподвижный блок не дает выигрыш в силе, он изменяет направление силы)

  1. Пожалуйста, сформулируйте получившийся вывод те группы, которые работали с подвижным блоком.

Давайте докажем его, используя условие равновесия рычага.

Изобразим на подвижном блоке соответствующий рычаг. Отметим точку опоры и приложенные силы. Чему равны плечи этих сил? (r и 2r).Сформулируйте условие равновесия рычага. (Ученик записывает на доске: Р= 2F, F = . Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза)

 

Т.о., комбинируя определенным числом подвижных и неподвижных блоков, можно получить значительный выигрыш в силе. Устройства, которые позволяют это делать называются полиспастами. О применении блоков мы с вами подробнее поговорим на следующем уроке, а сейчас давайте применим полученные знания при решении задач.

  1. Решение задач.

Задание 1. Какие блоки изображены на рисунках?

Задание 2. Какую силу необходимо приложить, чтобы поднять груз весом 600 Н?

770. Вес подвижного блока равен 1,2 н. Его груз весит 6 Н (рис.226). Чему будет равно показание динамометра при равномерном подъеме груза? (Трение не учитывать.)

Дано: Решение:

Рбл=1,2 Н F= =; F=3,6 Н

Ргр=6 Н

F — ? Ответ: 3,6 Н.

  1. Тест на первичное закрепление

Для того, чтобы понять насколько вы усвоили материал сегодняшнего урока, ответьте на ряд вопросов. Свои ответы отмечайте в тетради.

  1. Блок – это…

  1. Разновидность ворота

  2. Разновидность рычага

  3. Разновидность винта

  4. Среди ответов А-В нет правильного

  1. С помощью неподвижного блока можно…

  1. Выиграть в силе в два раза

  2. Выиграть в расстоянии в два раза

  3. Проиграть в силе в два раза

  4. Изменить направление силы

  1. С помощью подвижного блока можно…

  1. Выиграть в силе в два раза

  2. Выиграть в расстоянии в два раза

  3. Изменить направление силы

  4. Проиграть в силе в два раза

  1. К левому концу троса, перекинутого через неподвижный блок, подвешен груз весом 100 Н. Какую примерно силу нужно приложить к правому концу троса, чтобы удержать груз?

  1. 100 Н

  2. 10 Н

  3. 10 кг

  4. 50 Н

  1. Для подъёма одного и того же груза используются две системы блоков. Равные ли силы нужно приложить к точке А (трением и весом блока пренебречь)?

  1. Да. Груз один и тот же.

  2. Нет. В случае 1 в два раза больше.

  3. Да. Системы состоят из двух блоков.

  4. Нет. В случае 1 в два раза меньше.

Подсчитайте полученные баллы и поставьте оценку в лист самооценки.

    1. Рефлексия.

Давайте вспомним, какие цели мы ставили в начале уроке. Достигли ли их?

Что нового, интересного и важного вы узнали на уроке?

  1. Итог урока.

Физика наука, подарившая нам много открытий, но непознанного вокруг еще много. Какое поле деятельности для пытливого ума, умелых рук и любознательных натур. Пусть сегодняшний урок разбудит у вас жажду новых познаний.

Домашнее задание. §-61, № 764, 773, сообщение о применении блоков (по желанию).

Оценки.

Примеры решения задач — ЗФТШ, МФТИ

Пример 1. Какие силы действуют на человека во время ходьбы? Какая сила приводит его в движение?

Рис. 15

Решение: На человека всегда действует сила тяжести (mg→)(m\vec g). Она приложена ко всем частям организма, но принято её изображать приложенной к центру масс (на рис. 15 это не так). Во время ходьбы человек мышечными усилиями толкает ногу назад, относительно центра масс (туловища). На рисунке эта сила обозначна как F→м\vec F_\mathrm{м}. Нога бы начала такое движение, если бы не было сцепления протектора подошвы и поверхности асфальта (пола). Вдоль поверхности возникает сила трения покоя.\circ к горизонту?










Рис. 16

Решение. Расставим силы. При расстановке сил пользуются, преимущественно, двумя моделями: 1) все силы прикладывают к центру масс тела, который символизирует материальную точку, в качестве которой рассматривается тело; 2) точки приложения сил изображают там, где сила приложена. Во втором случае требуется применять ряд дополнительных правил, которые на первых порах излишне усложняют решение. На данном рисунке 16 применены правила первой модели.

Далее запишем 2-ой закон Ньютона в векторной форме:

mg→+F→тр+N→+F→=ma→m\vec g + \vec F_\mathrm{тр} + \vec N + \vec F = m\vec a.

Теперь пишем проекции этого уравнения на оси OxOx и OyOy. Отметим, что оси удобнее всего выбирать из принципа удобства, что чаще всего соответствует направлению одной из осей вдоль ускорения, а второй оси перпендикулярно первой.2}.

Рассмотрим способ с другими направлениями осей (рис. 18) (неудобными)

Ox:  -Fтр·cosα+N·sinα=ma·cosα,Ox:\quad -F_\mathrm{тр}\cdot\cos\alpha + N\cdot\sin\alpha = ma\cdot\cos\alpha,

Oy:  -mg+N·cosα=-a·sinαOy:\quad -mg+N\cdot\cos\alpha = -a\cdot\sin\alpha.

Добавим формулу Кулона-Амонтона: Fтр=μ·NF_\mathrm{тр} = \mu\cdot N.

Решение этой системы уравнений так же приведёт к тому же ответу (проверьте самостоятельно), но путь достижения цели будет и длиннее, и сложнее.

Пример показывает рациональность предлагаемого принципа удобства.










Рис. 19

Пример 4. Коэффициент трения между резиной и асфальтом 0,70,7. Какой должна быть ширина дороги, чтобы на ней смог развернуться мотоциклист без уменьшения скорости, если его скорость равна 54 км/ч54\ \text{км}/\text{ч}?

Если мотоциклист планирует развернуться, не уменьшая скорости, то движение его будет равномерным по окружности.2}{\mu g};\quad l = 64,3\ \text{м}

Из ответа видим, что для разворота на реальной дороге необходимо сниизить скорость.

Пример 5. Два тела массами m1=2 кг, m2=3 кгm_1 = 2\ \text{кг}, \ m_2 = 3\ \text{кг} связаны нитью. Первое тело тянут вправо с силой F=15 НF = 15\ \text{Н} по поверхности с коэффициентом трения μ=0,1\mu = 0,1. Определите силу натяжения нити, связывающей тела. С каким ускорением движутся тела? Оборвётся ли нить, если поместить тела на поверхность с коэффициентом трения 0,30,3, а максимальная сила натяжения нити  10 Н10\ \text{Н}?

Решение. Расставим силы, действующие на тела (рис. 21):

Рис. 21

Выберем ось OxOx вдоль силы F→\vec F и ось OyOy перпендикулярно ей.

Второй закон Ньютона для двух тел в проекции на ось OxOx:

F-Fтр1-T+T-Fтр2=(m1+m2)aF — F_\mathrm{тр1} — T + T — F_\mathrm{тр2} = (m_1 + m_2)a,

для первого тела на ось OyOy:

N1-m1g=0, тогда Fтр1=μm1gN_1 — m_1g = 0,\ \mathrm{тогда}\ F_\mathrm{тр1} = \mu m_1 g;

для второго тела:

N2-m2g=0⇒ Fтр2=μm2gN_2 — m_2g = 0 \Rightarrow \ F_\mathrm{тр2} = \mu m_2g.\circ укреплён неподвижный блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить . К нити привязаны два тела: m1=3 кгm_1 = 3\ \text{кг} со стороны плоскости и m2=4 кгm_2 = 4\ \text{кг} с другой. Коэффициент трения при движении тела по поверхности равен 0,20,2. Какова сила натяжения нити и ускорения тел?

Решение. Силы, действующие на тела, представлены на рисунке 22.

 Рис. 22

Запишем 2-ой закон Ньютона для первого тела в проекциях:

Ox:  T1-Fтр-m1gsinα=m1a1Ox:\quad T_1 — F_\mathrm{тр} — m_1 g\sin \alpha = m_1 a_1,

Oy:  N-m1gcosα=0O_y:\quad N-m_1g\cos\alpha = 0.

С учётом, что Fтр=μNF_\mathrm{тр} = \mu N, получим T1-μm1gcosα-m1gsinα=m1a1T_1 — \mu m_1 g\cos\alpha — m_1g\sin\alpha = m_1 a_1.

Для второго тела в проекции на OzOz:

m2g-T2=m2a2m_2g — T_2 = m_2a_2.

Решая совместно два уравнения, получим (учитывая, что a1=a2=aa_1 = a_2 = a и T1=T2=TT_1 = T_2 = T)

a=m2-m1sinα-μm1cosαm1+m2ga = \frac{m_2 — m_1\sin\alpha — \mu m_1\cos\alpha}{m_1 + m_2}g,

a≈2,83 м/с2a \approx 2,83\ \text{м}/\text{с}^2.










Рис. 23

Из этих же уравнения получим силу натяжения нити:

T=gm1m2m1+m2(1+sinα+μcosα)T = g\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}(1 + \sin\alpha + \mu\cos\alpha)

T≈28,7 НT \approx 28,7\ \text{Н}.

Пример 7. Какую горизонтальную силу FF нужно приложить к тележке массой MM, чтобы бруски массой 2m2m и 3m3m (рис. 23) относительно неё не двигались? Трением пренебречь.

Решение. На рисунке 24 изображены силы, действующие на тела.

Рис. 24

Если трения нет и бруски неподвижны относительно тележки, то 2-й закон Ньютона в проекциях для тел примет вид:

1) для тележки:

Ox:  F-P1-T4=Ma0Ox:\quad F — P_1 — T_4 = Ma_0,

Oy:  N1+N2-Mg-P2-T3=0Oy:\quad N_1 + N_2 — Mg — P_2 — T_3 = 0;

2) для бруска 3m3m:

Ox:  T2=3ma2Ox:\quad T_2 = 3ma_2,

Oy:  N3-3mg=0,  N3=P2Oy:\quad N_3 — 3mg = 0,\quad N_3 = P_2;

3) для бруска 2m2m:

Ox:  N4=2ma1Ox:\quad N_4 = 2ma_1,

Oy:  T1-2mg=0,  N4=P1Oy:\quad T_1-2mg = 0, \quad N_4 = P_1;

4) T1=T2=T3=T4  (нить невесома),T_1 = T_2 = T_3 = T_4\quad \text{(нить невесома)},

5) a1=a2=a0  (нить нерастяжима)a_1 = a_2 = a_0\quad \mathrm{(нить}\ \mathrm{нерастяжима)} 

Решая совместно получим:









Рис. 25

F=a0(M+5m)F = a_0 (M+5m).

Рассматривая уравнения двух брусков совместно, получим:

3ma0=2mg или a0=23g.3ma_0 = 2mg\ \text{или}\ a_0 = \frac 23 g.

Тогда F=23g(M+5m)F = \frac 23 g(M+5m).

Пример 8. Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью ω=20 рад/с\omega = 20\ \text{рад}/\text{с} вокруг вертикальной оси OO’OO’ (рис. 25). На поверхности диска в гладкой радиальной канавке находятся грузы 11 и 22 массами m1=0,2 кгm_1 = 0,2\ \text{кг} и m2=0,1 кгm_2 = 0,1\ \text{кг}, радиусы их вращения R1=0,1 мR_1 = 0,1\ \text{м}, R2=0,2 мR_2 = 0,2\ \text{м}. Найти силы натяжения н и тей.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на тела, и ускорения тел (рис. 26). Уравнение 2-го закона в проекциях имеет вид:










Рис. 26

1) T1-T2=m1ω2R1T_1 — T_2 = m_1\omega^2R_1.2(l_2+l_1\sin\beta + 3l_1\sin\beta)

ω=2gtg βl2+4l1sinβ\omega = \sqrt{\frac{2g\text{tg}\beta}{l_2 + 4l_1\sin\beta}}.










Рис. 29

Пример 10. Найдите ускорения тел системы, изображённой на рисунке 29. Сила FF приложена по направлению нити к одному из тел массы mm. Участки нити по обе стороны от лёгкого блока, прикреплённого к телу массы MM параллельны.

Решение. Силы, действующие на тела, изображены на рисунке 30.

Рис. 30

Для первого тела:

Ox:  F-T=ma1Ox: \quad F — T = m a_1.

Для второго тела:

Ox:  -T=-ma2Ox:\quad -T = -ma_2.

Для третьего тела:

Ox:  2T=Ma3Ox:\quad 2T = Ma_3.

Т. к. нить нерастяжима, то смещение второго тела к блоку (l2)(l_2) равно смещению первого тела от блока (l1)(l_1). Т. к. блок сам смещается с ускорением, то к смещению первого блока добавится смещение 2l32l_3:

a1=a2+2a3a_1 = a_2 + 2a_3.

Из (2) и (3) следует a1=a3M2ma_1 = a_3\frac{M}{2m}.

Тогда, решая совместно (1), (4) и (2), получим:

a3=FM+2ma_3 = \frac{F}{M+2m},

тогда

a2=F(M+2m)·M2m и a1=FM+2mM+4m2ma_2 = \frac{F}{(M+2m)}\cdot\frac{M}{2m}\ и\ a_1 = \left(\frac{F}{M+2m}\right)\left(\frac{M+4m}{2m}\right).

Примеры физики двух и трех вертикально уложенных ящиков с трением

На главную »Математические руководства» Сложенные блоки Физические задачи

Как именно вы решаете физические задачи, когда у вас есть несколько ящиков, уложенных друг на друга, и вам нужно найти все уравнения и силы в системе? Вам просто нужно разобраться с этим поэтапно.

2 сложенных ящика. Проработанный пример. Задача

Пример: . Давайте рассмотрим диаграмму выше, которая показывает два уложенных друг на друга ящика или массы.Масса 1 составляет 15 кг, а масса 2 — 5 кг. Под массой 1 находится пол с коэффициентами статического и кинетического трения 0,3 и 0,2 соответственно. Коэффициенты статического и кинетического трения между блоками 1 и 2 составляют 0,4 и 0,32 соответственно.

Вопрос: Какую максимальную силу вы можете приложить к массе 1, прежде чем две массы начнут двигаться вместе?

Когда они собираются двигаться вместе, вы можете рассматривать их как единый объект. Используйте коэффициент статического трения между коробкой 1 и полом, не путайте всю информацию, которую вам дали!

Для силы трения:

\ [{F_F} = {\ mu _S} {F_N} \]

Нормальная сила нижнего ящика — это вес всех ящиков.

\ [{F_F} = (0,3) (15 + 5) (9,81) \]

\ [{F_F} = 58,86N \]

И помните, что m * a = сумма всех сил

\ [ ma = {F_ {application}} — {F_F} \]

Теперь «просто начните двигаться» означает, что ускорение равно 0.

\ [{F_ {application}} = {F_F} \]

\ [ {F_ {application}} = 58,86N \]

Таким образом, максимальное усилие, которое вы можете приложить до того, как система начнет двигаться, составляет примерно 58,86 N.

Вопрос: Какое максимальное усилие вы можете приложить к нижнему блоку не заставляя верхнюю коробку начать соскальзывать с нижнего блока? (Иногда они скажут это как «сколько силы вам нужно, чтобы использовать начало, чтобы вытолкнуть нижний блок», это точно такой же тип вопроса, научитесь распознавать, как они могут формулировать вопросы по-разному!)

Уловка заключается в том, что для того, чтобы верхний ящик не начал скользить, ускорение верхнего ящика должно быть равно ускорению нижнего ящика.

Вы можете выполнить балансировку вертикальной силы на втором поле, помните, что он суммируется до 0, потому что верхний ящик не «отлетит» от нижнего поля:

\ [{F_N} — {m_2} g = m {a_y } = 0 \]

\ [{F_N} = {m_2} g \]

\ [{F_N} = (5) (9.81) \]

\ [{F_N} = 49.05N \]

сила на верхнем ящике может быть равна силе трения сверху без проскальзывания. Используйте коэффициент статического трения между ячейками 1 и 2 прямо сейчас!

\ [{F_F} = {\ mu _S} {F_N} \]

\ [{F_F} = (0.4) (49.05N) \]

\ [{F_F} = 19.62N \]

\ [{m_2} a = {F_F} = 19.62 \]

\ [a = \ frac {{19.62}} { 5} \]

\ [a = 3.92 \]

Таким образом, верхний ящик может иметь максимальное ускорение 3,92 м / с2, которое также будет ускорением для нижнего ящика, так что условие «без проскальзывания» встречается. Теперь составим уравнения для нижнего ящика:

Есть еще одна хитрость при балансировке сил нижнего ящика! У вас есть трение с полом, но у вас также есть трение между коробками 1 и 2, действующее на коробку 1!

Представьте, что вы пихаете коробку 1 вправо.

Что ж, у него будет обычная кинетическая сила трения слева, которая противоположна направлению движения.

Если ящик 1 сдвинуть вправо, то ящик 2 наверху переместится влево, в направлении, противоположном ящику 1.

Но это означает, что ящик 2 будет иметь силу трения вправо.

Теперь, когда есть трение между двумя прямоугольниками, член силы трения появится в обоих прямоугольниках в противоположных направлениях! Таким образом, если у прямоугольника 2 сила трения справа, то у прямоугольника 1 сила трения слева.Это статическая сила, потому что она происходит до того, как ящик 2 начинает скользить или двигаться.

Для баланса вертикальных сил в ячейке 1 (обратите внимание, теперь используйте кинетическое трение между ячейкой 1 и полом и используйте статическое трение для трения между ячейкой 1 и ячейкой 2):

\ [{F_N} — ({ m_1} + {m_2}) g = 0 \]

\ [{F_N} = (15 + 5) g = 0 \]

\ [{F_ {F, floor}} = (0,2) (15 + 5 ) (9.81) \]

\ [{F_ {F, floor}} = 39.24N \]

Трение между ящиками такое же, как и в верхнем ящике:

\ [{F_ {F , между боксами}} = 19.62N \]

Теперь просуммируйте все горизонтальные силы для нижнего блока, помните, что ускорение совпадает с верхним блоком для отсутствия проскальзывания:

\ [{F_ {application}} — {F_ {F, floor}} — {F_ {F, betweenboxes}} = {m_1} a \]

\ [{F_ {application}} = (15) (3.92) + 39.24 + 19.62 \]

Вы получите 117.67 N. Это максимальная сумма силы, которую вы можете приложить к нижнему блоку, не вызывая скольжения верхнего блока.

Вопрос: Теперь к нижней коробке приложено усилие 150 Н.Какое ускорение у каждой коробки?

Теперь 150> 117, поэтому верхняя коробка начнет скользить, и каждая коробка будет иметь собственное ускорение. Теперь вы будете использовать коэффициент кинетического трения для верхней коробки.

Для верхней коробки:

\ [{F_ {F, betweenboxes}} = {\ mu _k} {F_ {N, top}} = {\ mu _k} {m_2} g \]

\ [{ F_ {F, промежуточные боксы}} = (0,32) (5) (9,81) \]

\ [{F_ {F, промежуточные боксы}} = 15.70 \]

\ [15.70 = {m_2} {a_2} \]

\ [{a_2} = \ frac {{15.70}} {5} = 3,14 \]

Сила трения между полом и нижним ящиком такая же, как и раньше:

\ [{F_ {F, floor}} = (0,2) (15 + 5) (9.81) \]

\ [{F_ {F, floor}} = 39.24N \]

Выполните балансировку горизонтальных сил на нижнем блоке:

\ [{F_ {application}} — {F_ {F, floor}} — {F_ {F, betweenboxes}} = {m_1} {a_1} \]

\ [150 — 39,24 — 15,70 = (15) {a_1} \]

Получаем a1 = 6,33 м / с2, и мы нашли a2 ранее как 3,14 м / с2, которые представляют собой ускорения нижнего и верхнего ящиков, соответственно.2} = 8 \]

Решение, примерно t = 2,24 секунды. По истечении этого времени верхний блок не успевает за нижним блоком и падает с нижнего блока.

3 сложенных ящиками Пример решения проблемы

Пример: Теперь рассмотрим систему из трех вертикально уложенных ящиков на диаграмме ниже:

Рассмотрим ящики 1, 2 и 3, сложенные, как показано выше, массы равны 9 кг, 6 кг и 3 кг соответственно. Коэффициенты статического трения между полом и коробкой 1, 0 0,3.2 между ячейками 1 и 2 и 0,25 между ячейками 2 и 3.

Вопрос : Каковы ускорения ящиков при приложении силы 10 Н к ячейке 2?

\ [{F_F} = {\ mu _S} {F_N} \]

\ [{F_F} = (0,2) (3 + 6) (9,81) \]

\ [{F_F} = 17,66N \ ]

А также добавьте силу трения от верхней коробки, (0,25) (3) (9,81)

Вы увидите, что эти силы трения покоя превышают приложенную силу, превышающую 10 Н.

Поскольку сила трения превышает приложенную силу, коробки будут двигаться вместе с одинаковым ускорением, поэтому вы применяете 10 Н для всех масс одновременно.2} \).

Вопрос : Каковы ускорения коробок при приложении силы 30 Н к коробке 2?

Теперь эта приложенная сила превышает силу трения, удерживающую коробку 2.

Вы можете найти чистое ускорение второй коробки, используя чистую силу. Но помните, что у верхнего блока также будет сила трения, которая применяется к блоку 2. Теперь каждый блок будет иметь разное значение ускорения, будьте осторожны!

\ [{F_F} = (0,25) (3) (9,81) \]

\ [{F_F} = 7.2} \).

Итак, обратите внимание, как у нас были силы трения 17,66 Н и 7,36 Н, действующие на блок 2? Каждый из них действует на блок 3 и блок 1 соответственно.

Это третий закон Ньютона для трения, трение будет иметь равные и противоположные направления между интерфейсами. В данном случае интерфейсами являются поверхности между коробками.

Других горизонтальных сил для ящика 3 нет.

Для ящика 3 верхний ящик:

\ [{a_3} = \ frac {{7.36}} {3} = 2,45 \]

Для ящика 1, нижнее поле:

\ [{F_F} = (0.3) (3 + 6 + 9) (9.81) \]

\ [{F_F} = 52.97N \]

Сила трения от блока 2, которая идет к блоку 1, составляет всего 17,66 Н и ниже значения, указанного выше . Итак, блок 1 не движется и имеет ускорение 0. Если бы у нижнего блока не было трения, он бы тоже ускорялся.

Просто помните, что в такого рода задачах член силы трения всегда будет сопряжен в противоположном направлении на границе раздела между блоками. Исключением является блок на полу, который будет иметь собственное трение без пары, потому что пол ничего не делает.Но если у вас есть блок поверх этого блока, его трение будет сопряжено с блоком под ним.

Скажите, что правое положительное значение, а левое отрицательное. Скажем, у вас уложено 2 блока — вы толкаете нижний блок вправо, и у этого блока будет трение влево, ну, верхний блок будет иметь собственное трение вправо, которое также возвращается к нижнему блоку. В конце концов, у нашего нижнего блока будет ma = положительная сила, которую вы толкнули, минус его собственное трение, минус трение от верхнего блока.Верхний блок будет иметь ma = положительное собственное трение.

Если вы сдвинули верхний блок вправо, то он имеет трение влево. Нижний блок будет иметь трение вправо, которое должно превышать статическое трение нижнего блока, если нижний блок должен двигаться. Если оно превышает, то нижний блок представляет собой трение верхнего блока за вычетом его собственного трения.

Попробуйте решить физическую задачу с несколькими шкивами, используя концепцию «сохранения струны».

Вернитесь на главную страницу руководства по математике здесь.

Пример проблемы инерции — два соединенных блока

Сложные системы могут вызвать затруднения у учащихся. Когда две разные системы соединены вместе, есть некоторые общие факторы. Выявление этих связей может облегчить решение проблем. Этот пример задачи представляет собой сложную систему из двух блоков, соединенных безмассовой струной.

Пример задачи:
Два блока соединены безмассовой струной вокруг шкива без трения. Блок A скользит по поверхности без трения и притягивается вторым блоком при падении блока B.
а) Какое ускорение системы?
б) Какое натяжение струны?

Решение:
На этом рисунке показано расположение блоков.

Эта система соединена безмассовой струной. Поскольку блок A перемещается вправо на расстояние Δd за некоторое время t, блок B перемещается вниз на Δd. Это означает, что скорости блока одинаковы.

v A = Δd t = v B

Направления скорости можно регулировать с помощью системы координат, выбранной для каждой системы.Поскольку скорости всегда одинаковы, их ускорения одинаковы.

a = a A = a B

Поскольку струна безмассовая, натяжение равномерно по всей системе. Натяжение, тянущее Блок A в сторону, такое же, как натяжение, тянущее Блок B вверх.

Найдем силы обеих систем.

Старт с блока A. Блок A ускоряется в положительном направлении оси x.

ΣF x = T = m A a
ΣF y = N — m A g

Поскольку блок A не движется в вертикальном направлении, сумма сил в этом направлении равна до 0.

ΣF y = Н — м A g = 0
Н = м A g

Теперь найдите силы на блоке B. Блок B ускоряется вниз в положительном направлении y, без сил действуют в x’-направлении.

ΣF y ‘ = m B a
ΣF y’ = m B g — T

Установите эти два уравнения равными друг другу

m B a = M B g — T

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными переменными.Самый простой способ решить эту проблему — решить одно уравнение для одной из переменных, а затем подставить этот результат во второе уравнение, чтобы найти другую переменную. Решим последнее уравнение относительно T.

m B a = M B g — T
m B a — m B g = -T
T = m B g — m B a

Подставьте это выражение в уравнение силы, учитывающее натяжение струны из блока A, и решите для ускорения.

T = m A a
m B g — m B a = m A a

Добавить м B a с обеих сторон

м B g = m A a + m B a

Вычтите ускорение

m B g = (m A + m B ) a

Разделите обе стороны на (m A + M B )

Теперь, когда у нас есть ответ на часть а вопроса.Мы можем использовать это, чтобы найти напряжение. Подставьте решение в одно из уравнений, содержащих натяжение. Давайте воспользуемся простым:

T = m A a

Обратите внимание, что ускорение всегда будет меньше g. Также обратите внимание, что натяжение всегда будет меньше веса блока B (m B г). Одна из распространенных ошибок в задачах этого типа — предположить, что натяжение струны равно весу блока B. Это было бы верно, только если бы блок B находился в равновесии.Поскольку блок ускоряется, он не находится в равновесии.

Похожие сообщения

Контактные силы — Физика средней школы

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

2.4: Решение проблем — Физика LibreTexts

Далее мы сосредоточимся на элементах решения проблем. У нас есть все необходимые инструменты, так что это не будет связано с какой-либо новой физикой, но идея состоит в том, чтобы познакомить вас с некоторыми общими темами, которые возникают в задачах физики и механики.

Шкивы

Одно из любимых устройств для физических задач — шкив. Как было сказано в описании силы натяжения, для начала мы используем простейшую модель, что означает, что мы будем предполагать, что шкивы безмассовые и без трения. Шкивы становятся особенно интересными в ситуациях, подобных следующему примеру, когда хотя бы один из шкивов может двигаться. Два блока остаются неподвижными в системе тросов и шкивов, показанной на схеме. Учитывая эту информацию, можете ли вы сделать вывод, как сравниваются две массы?

Рисунок 2.4.1 — Блоки, подвешенные на нескольких шкивах

К настоящему времени мы знаем, что когда дело доходит до анализа сил, присутствующих в системе, нет лучшего инструмента, чем FBD. Начнем там:

Рисунок 2.4.2 — FBD блока и шкива

[Мы взяли на себя смелость определять системы координат в наших FBD — вверх — это направление \ (+ y \) — для обоих — что нам понадобится в ближайшее время.]

Может возникнуть вопрос, почему для шкива нарисованы два вектора силы натяжения.Самый простой ответ — подумать о том, что вы почувствуете, если перережете веревку с обеих сторон шкива и держите по одному концу в каждой руке. Очевидно, вы почувствуете, как оба конца веревки тянут вниз. Следовательно, согласно третьему закону Ньютона, оба конца веревки натягиваются на шкиве. Для шкива, не имеющего массы и трения, эти две силы натяжения также должны быть равны, что объясняет, почему они обозначены одинаково. Обратите внимание, что вектор натяжения на блоке также помечен тем же именем переменной. Это связано с тем, что это та же веревка и , и наше предположение о безмассовых шкивах без трения гарантирует, что везде, где мы измеряем натяжение одного куска веревки, оно будет одинаковым.

Предупреждение

Если бы мы изобразили вектор силы натяжения, тянущий вверх на правом шкиве, мы не смогли бы обозначить его так же. Не все векторы натяжения в одной физической системе равны, только величины всех векторов натяжения, полученные от одной и той же веревки.

Еще один любопытный аспект этого FBD — это весовая этикетка левого шкива. Технически эта сила действует на блок, и блок тянет за шкив. В этом случае сила натяжения шкива блоком равна весу блока, а сам шкив не имеет собственного веса, поэтому мы вправе пойти по этому пути.Другой способ обосновать это — рассматривать блок + шкив как единую систему, а сила тяжести, действующая на систему, — это показанный вектор силы.

Следующим шагом в нашем анализе является суммирование сил для каждого объекта и применение второго закона Ньютона, который в данном случае предполагает нулевое ускорение. При вычислении суммы сил мы должны позаботиться о том, чтобы правильно использовать нашу систему координат:

\ [\ left. \ begin {array} {l} 0 = a_1 = \ dfrac {F_ {net \; 1}} {m_1} = \ dfrac {2T — m_1 g} {m_1} \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; T = \ dfrac {m_1 g} {2} \\ 0 = a_2 = \ dfrac {F_ {net \; 2}} {m_2} = \ dfrac {T — m_2 g} {m_2} \; \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; T = m_2 g \\ \ end {array} \ right \} \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; м_1 = 2 м_2 \]

Обратите внимание, что легкий \ (m_2 \) выдерживает более тяжелый, потому что размещение шкива позволяет нам использовать натяжение одной и той же веревки дважды на более тяжелую массу.Этот трюк можно повторять сколько угодно раз (на шкиве может быть несколько дорожек), и это позволяет нам поднимать очень тяжелые веса с очень небольшой силой. Данное изобретение называется блоком и снастью . Они используются для плавания на парусных судах (тяжелые паруса и гика можно затянуть сильнее), подъема блоков двигателей и многих других применений.

Ограничения

Затем мы рассмотрим сложную концепцию, известную как ограничение s. Ограничение — это условие, которое существует для физической системы, которое ограничивает ее поведение.Что делает концепцию «сложной», так это то, что они, в конечном счете, играют математическую роль в решении проблемы, но эту роль часто трудно выделить из формулировки проблемы. Проще говоря, ограничения связывают переменные в задаче друг с другом, обеспечивая дополнительные уравнения (помимо второго закона Ньютона), с которыми можно работать. Мы уже видели пример ограничения. Это соотношение между силой трения и нормальной силой. Для кинетического трения это дает уравнение, которое связывает эти две силы, в то время как для статического трения он устанавливает верхний предел величины трения для данной нормальной силы.

Один из наиболее распространенных примеров ограничения относится к канатам, движущимся через шкивы. Это ограничение связывает движение одного объекта с движением другого, когда они соединены системой шкивов. Вернемся к системе, показанной на рисунке 2.4.1, и зададим следующий вопрос: если блок \ (m_2 \) падает на расстояние \ (\ Delta y \), что происходит с блоком \ (m_1 \)?

Прежде всего, должно быть ясно, что \ (m_1 \) возрастает по мере того, как \ (m_2 \) падает, поэтому вопрос только в том, как далеко? Поначалу это может быть не очевидно, но подумайте об этом так: когда шкив, удерживающий \ (m_1 \), перемещается на 1 единицу вверх, оба сегмента струны, идущие вверх от шкива, становятся короче на 1 единицу.Эти две единицы строки не просто исчезают, и фактически они принимаются свободным концом строки, который прикреплен к \ (m_2 \). Это означает, что когда \ (m_2 \) опускается на расстояние \ (\ Delta y \), \ (m_1 \) должен подниматься только на половину этого расстояния.

Что это говорит о сравнении скоростей и ускорений двух блоков? Что ж, они должны двигаться одновременно, поэтому каждая единица длины, отброшенная на \ (m_2 \), соответствует увеличению \ (m_1 \) на половину, что означает, что \ (m_1 \) всегда перемещается на половину скорость и разгоняется вдвое меньше, чем \ (m_2 \).Если эта система не сбалансирована (как было выше), то применение второго закона Ньютона к обоим блокам включает в себя два ускорения, но они ограничены, связаны друг с другом в два раза, что дает нам дополнительное ограничение уравнение :

\ [2 \ left | a_1 \ right | = \ left | a_2 \ справа | \]

Что с абсолютными значениями, спросите вы? Что ж, эти переменные могут иметь положительные или отрицательные значения, и мы должны быть осторожны, когда дело касается знаков.в частности, мы должны посмотреть, как наше ограничение связано с нашим выбором систем координат для двух блоков. На рисунке 2.4.2 мы выбрали «вверх» в качестве положительного направления для обоих блоков. Поэтому нам нужно спросить себя: «Если один блок испытывает положительное смещение, каков знак смещения другого блока?» В этом случае ясно, что смещения двух блоков имеют противоположные знаки. Следовательно, уравнение ограничения для ускорений блока:

\ [2a_1 = -a_2 \]

Обратите внимание, что совершенно нормально установить разные системы координат для двух блоков — каждый FBD имеет право на свою собственную индивидуальную систему координат.То, как системы координат соотносятся друг с другом, влияет на уравнение связи. Так, например, если бы мы вместо этого выбрали нисходящее направление + \ (y \) — для блока № 2 (но оставили вверх как положительное значение для другого блока), тогда не было бы необходимости в знаке минус в ограничении уравнение — положительные смещения одного блока соответствуют положительным смещениям другого блока. Мы видим, что поэтому нет «правильного» выбора системы координат, но мы должны позаботиться о том, чтобы когда придет время объединить уравнения из двух FBD, чтобы уравнения связей правильно связывали переменные.В следующем примере мы увидим еще более яркий пример выбора системы координат.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Высота двух блоков на схеме ниже отличается на 36 см. Когда они выходят из состояния покоя, верхний блок падает, а нижний блок поднимается. Один из блоков имеет массу, в три раза превышающую массу другого блока, шкивы безмассовые и без трения, а струна не растягивается.

  1. Какой блок тяжелее? Объяснять.
  2. Найдите расстояние, на которое поднимается нижний блок, когда два блока выровнены.
  3. Найдите время, необходимое для выравнивания двух блоков.
    Решение

    а. Натяжение струны, продетой через шкивы, везде одинаково, поэтому сила натяжения, действующая на нижний блок, в три раза больше, чем на верхний. Если бы нижний блок был в три раза тяжелее верхнего блока, тогда система была бы сбалансирована, и ни одна масса не могла бы ускоряться.[Вы должны попробовать выполнить математику части (c) с массами другим способом и продемонстрировать себе, что это ускорение должно быть равно нулю.] Учитывая, что система ускоряется, это должен быть более высокий блок с большим масса.

    г. Когда верхний блок тянет струну вниз с одной стороны большого шкива, то же количество струны, которое набирается с левой стороны шкива, теряется с правой стороны. Струна с правой стороны большого шкива разделена между тремя сегментами, удерживающими другой блок.Следовательно, нижний блок перемещается на одну треть вверх по мере того, как верхний блок перемещается вниз. Если нижний блок поднимается на расстояние \ (y \), то верхний блок опускается на расстояние \ (3y \), и, поскольку они достигают той же высоты, сумма этих изменений составляет 36 см, что означает, что нижний блок поднимается на расстояние длины \ (y = 9 \) см.

    г. Чтобы узнать время, необходимое им для выравнивания, нам нужно использовать их ускорения. Мы уже знаем их относительные ускорения: нижний блок ускоряется на одну треть скорости верхнего блока.Поэтому мы будем называть ускорение верхнего блока «\ (3a \)», делая ускорение нижнего блока равным \ (a \). Но нам нужны законы Ньютона, чтобы пойти дальше. FBD двух задействованных систем выглядит так:

    Более высокая масса в три раза больше меньшей массы, поэтому мы будем называть \ (m_2 \) просто «\ (m \)», что делает \ (m_1 \) равным \ (3m \). Включение всего во второй закон Ньютона для обоих FBD дает следующие уравнения:

    \ [\ left.\ begin {array} {l} a_1 = \ dfrac {F_ {net \; 1}} {m_1} \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; 3a = \ dfrac {-T + 3mg} {3m} \\ a_2 = \ dfrac {F_ {net \; 2}} {m_2} \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; a = \ dfrac {3T — mg} {m} \\ \ end {array} \ right \} \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; a = \ frac {2} {7} g \ nonumber \]

    С учетом ускорения нижнего блока, расстояния, которое он проходит, и того факта, что он стартует из состояния покоя, мы можем вычислить время, необходимое для совершения поездки:

    \ [y = v_o t + \ frac {1} {2} at ^ 2 \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; t = \ sqrt {\ dfrac {7y} {g}} = \ в коробке {0.25 сек} \ nonumber \]

    Наклонные плоскости

    Шкивы

    (и, в частности, блокирующий механизм) являются примером того, что часто называют простой машиной . Это потому, что мы можем использовать такое устройство для подъема тяжелого веса с силой, меньшей, чем сам вес. Другой пример простой машины — наклонная плоскость . Эти устройства также позволяют выполнять задачу по подъему тяжелого объекта на более высокое положение с использованием меньшего усилия, чем было бы необходимо при прямом подъеме.Основная особенность задач, связанных с наклонными плоскостями, — это система координат, используемая для объекта на наклонной плоскости. Давайте посмотрим на пример. Как обычно, мы начинаем с самого простого примера и усложняем его по ходу дела — блок массы \ (M \) на плоскости без трения, наклоненной под углом \ (\ theta \):

    Рисунок 2.4.3 — Блок на наклонной плоскости

    Начнем наш анализ, как всегда, с диаграммы свободного тела.Ни один FBD не будет полным без выбора системы координат, поэтому мы должны выбрать ее здесь. Если мы выберем нашу систему координат горизонтальной и вертикальной, как мы обычно делаем, тогда, когда блок скользит по плоскости, его ускорение будет иметь как компоненты \ (x \), так и \ (y \). Это, конечно, нормально, но работать с этим может быть немного неудобно. В горизонтальном и вертикальном направлениях нет ничего священного, так почему бы не выбрать систему координат, параллельную и перпендикулярной плоскости?

    Рисунок 2.4.4 — Система координат наклонной плоскости

    На средней диаграмме на рис. 2.4.4 показана сумма нормальных и гравитационных сил между хвостом и головой, приводящая к результирующей силе, параллельной плоскости и вниз по плоскости, как и должно быть, поскольку мы знаем, в каком направлении будет двигаться блок. ускоряться. На правой диаграмме показана сила тяжести, разбитая на ее компоненты \ (x \) и \ (y \) в выбранной системе координат (вы должны сами проверить геометрию, которая приводит к заключению, что угол на этой диаграмме совпадает с углом наклон составляет горизонталь).Обратите внимание: поскольку блок не ускоряется перпендикулярно плоскости, мы можем заключить, что \ (N = Mg \ cos {\ theta} \). Также ясно, что чистая сила — это \ (x \) — компонент силы тяжести, в результате чего ускорение вниз по плоскости равно \ (a = g \ sin {\ theta} \).

    Предположим, мы хотим поднять этот блок на новую высоту. Чтобы заставить его двигаться вверх по плоскости, нам нужно приложить силу, превышающую чистую силу, показанную выше, которая меньше силы, которую нам пришлось бы приложить, чтобы поднять его прямо вверх.Как и в случае с блоком и снастью, эта «простая машина» помогает нам выполнять работу с меньшими усилиями, чем требуется, если она выполняется более непосредственно. В случае блока и снасти, чтобы поднять груз на некоторое расстояние, другой конец веревки нужно было протянуть на большее расстояние. В этом случае мы видим аналогичную вещь — расстояние, на которое мы должны толкнуть блок, является гипотенузой треугольника, чтобы поднять его на высоту вертикального катета треугольника. Это обычная тема для простых машин — требуется меньшее усилие, но оно должно применяться на большем расстоянии.В следующей главе мы увидим, почему это так.

    Мы можем значительно усложнить этот простой пример. Самая естественная регулировка — включить трение. Из-за природы двух типов трения добавление статического трения (которое входит в неравенство) может быть особенно проблематичным. Чтобы понять, почему, давайте рассмотрим следующую проблему:

    Система, изображенная на рисунке 2.4.5, показывает два блока, которые остаются в состоянии покоя, которые прикреплены безмассовой струной к безмассовому шкиву без трения.Плоскость наклонена под углом \ (тета \) вверх от горизонтали, а ее поверхность шероховатая (т. Е. Не лишенная трения). Приведены масса подвесного блока, угол наклона и коэффициент статического трения. По этим величинам определите минимально возможное значение массы блока на плоскости.

    Рисунок 2.4.5 — Механическая система

    Начиная (как всегда) с FBD (включая систему координат) для каждого блока, мы имеем:

    Рисунок 2.4.6 — Схемы блоков со свободным телом

    Давайте прокомментируем направление силы статического трения. Напомним, что сила статического трения просто реагирует на «попытку» движения объекта по поверхности. В этом случае, если блок «пытался» скользить по плоскости, то сила статического трения должна быть вверх по плоскости. Здесь он направлен вниз по плоскости, что означает, что другие силы должны быть такими, чтобы ускорять его вверх по плоскости… Как мы узнаем, что это так? Ответ заключается в постановке вопроса: мы ищем минимальную массу блока на плоскости. Представьте себе блок, масса которого уравновешивает систему. если к блоку добавляется или вычитается небольшая масса, система может оставаться в покое, поскольку статическое трение удерживает баланс. Если мы добавим этому блоку слишком много массы, статическое трение достигнет своего предела, и блок начнет скользить вниз, а если мы уберем слишком много массы, он будет скользить вверх по плоскости.Статическое трение будет противодействовать намеченному движению, поэтому для минимальной массы сила статического трения должна быть направлена ​​вниз по плоскости.

    Предупреждение

    Хотя мы можем определить направление статического трения для этой проблемы, во многих задачах это невозможно. Если вы знаете, что сила статического трения присутствует (или может быть), просто втяните ее в любом направлении. Когда проблема решена, если вы решите значение этой силы, она будет положительной, если вы выбрали правильное направление, и отрицательной, если вы этого не сделали.FBD — это просто инструмент, и в конечном итоге вы получите ответ, поэтому не тратьте энергию на то, чтобы получить правильное направление на диаграмме.

    Разбиение векторов на компоненты в выбранных нами системах координат и применение второго закона Ньютона (для нулевого ускорения) дает:

    \ [\ begin {array} {l} блок \; на \; плоскости: \; \; \ begin {array} {l} x — направление \; силы: \; \; 0 = a_x = \ dfrac {f — T + Mg \ sin {\ theta}} {M} \\ y — направление \; силы: \; \; 0 = {a_y} = \ dfrac {N — Mg \ cos {\ theta}} {M} \ end {array} \\ висит \; блок: \; \; \; y — направление \; силы: \; \; 0 = {a_y} = \ dfrac {T — mg} {m} \ end {array} \]

    Затем примените ограничение, которое связывает максимальную силу трения покоя (которая возникает, когда минимальная масса находится на плоскости) и нормальную силу:

    \ [f \ le \ mu_S N \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; (максимум \; f \; для \; минимум \; M) \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; f = \ mu_S N \]

    Остальное — это алгебра с четырьмя системами уравнений, результат которых:

    \ [M_ {min} = \ frac {m} {\ mu _S \ cos \ theta + \ sin \ theta} \]

    Теперь мы должны проверить, имеет ли этот ответ смысл.o \) случае (горизонтальная поверхность, где нормальная сила равна весу блока на поверхности) потребует, чтобы сила трения равнялась весу подвесного блока. То есть мы должны иметь \ (mg = f = \ mu_S N = \ mu_S Mg \; \; \ Rightarrow \; \; m = \ mu_S M \), что мы получаем, когда подставляем ноль для \ ( \ тета \).

    Эта задача могла бы так же легко запросить максимальное возможное значение для \ (M \). Читателю предлагается попробовать это в качестве упражнения.

    С этой проблемой было связано много всего, но главное — делать это шаг за шагом и выполнять следующие предписанные шаги:

    1. нарисовать схему
    2. выделите соответствующие объекты и начертите для них диаграммы свободного тела
    3. выберите системы координат для схем, которые удобны
    4. разбить силы на компоненты в выбранной системе координат
    5. суммируйте силы в направлениях \ (x \) и \ (y \) и примените второй закон Ньютона для обоих направлений
    6. применить ограничения
    7. решить алгебру

    Пример \ (\ PageIndex {2} \)

    Трос закреплен на 50.Блок 0 кг в двух местах и ​​проходит через систему из двух шкивов, как показано на схеме ниже. Блок опирается на шероховатую (коэффициент трения покоя 0,400) горизонтальную поверхность. Затем больший шкив тянет вверх с постепенно увеличивающейся силой. Оба шкива безмассовые и без трения, канат также безмассовый. Меньший шкив прикреплен к полу, и оба шкива расположены так, что веревка перпендикулярна полу с одного конца и параллельна ему с другого.Когда тяговое усилие достигает определенной величины, блок едва начинает скользить вправо. Вычислите величину этой тянущей силы.

      Раствор

      В этой задаче нет наклонной плоскости (хотя она может быть!), Но это хороший пример важности следования указанным выше предписаниям. Начните с диаграмм свободного тела и систем координат. FBD меньшего шкива не принесет нам ничего полезного, поэтому нужно нарисовать только два FBD.Обратите внимание, что натяжение на стороне блока происходит от той же веревки, что и натяжение на верхней части блока, поэтому они равны:

      Блок вообще не ускоряется (как и шкив), поэтому сумма сил в каждом из направлений \ (x \) и \ (y \) равна нулю.

      \ [\ begin {array} {l} block: \; \; \ begin {array} {l} x — направление \; силы: \; \; 0 = T — f \\ y — направление \; силы: \; \; 0 = T + N-mg \ end {array} \\ шкив: \; \; y — направление \; силы: \; \; 0 = тянуть — 2T \ end {array} \ nonumber \]

      Если нам нужно тянуть «достаточно сильно», чтобы блок двигался, то это происходит, когда горизонтальное тяговое усилие равно максимальной силе статического трения, что дает нам уравнение ограничения:

      \ [f = \ mu_S N \ nonumber \]

      Обратите внимание, что блок должен начать скользить, прежде чем он начнет подниматься, потому что для подъема требуется, чтобы нормальная сила была равна нулю, и он будет скользить, когда сила статического трения мала, но не равна нулю.Теперь решите уравнения одновременно, чтобы получить:

      \ [тянуть = \ в штучной упаковке {280N} \ nonumber \]

      Включая движение

      Мы сделали два примера с системами, для которых ускорение равно нулю. Но, конечно, возможно, что проблема действительно связана с ускорением объектов. Иногда нас просят найти это ускорение, а иногда ускорение — это часть информации, которая дается. Ускорение может быть задано напрямую, или, возможно, оно может быть вычислено другим способом, возможно, исходя из кинематики или если движение является круговым.Знание чего-либо о движении объекта подпадает под категорию «ограничений», потому что движение задано (ограничено), что приводит к уравнениям, которые не являются результатом второго закона Ньютона. Мы рассмотрим пример, в котором используются шаги для решения задач механики, которые также включают дополнительное ограничение кругового движения. Прежде чем мы это сделаем, попробуйте следующий пример:

        Пример \ (\ PageIndex {3} \)

        Блок прикреплен к одному концу безмассовой пружины, другой конец которой прикреплен к вертикальному неподвижному штифту на горизонтальной поверхности без трения.Блок вращается по кругу, и в результате этого движения пружина растягивается. Фактически, чем быстрее движение, тем больше растягивается пружина. Чтобы растянуть любую пружину, нужно одновременно тянуть за оба конца. Ясно, что колышек натягивает один конец пружины, когда блок движется по кругу, но какая сила тянет блок наружу, чтобы растянуть пружину?

          Раствор

          Колодка , а не , вытягивается наружу! Он только втягивается внутрь (пружиной).Чтобы растянуть пружину, нужно вытянуть наружу не блок, а пружину, которую нужно вытянуть таким образом. Пружина втягивает блок внутрь (поддерживая его центростремительное ускорение), и сила третьего закона пары блока на пружине — это то, что тянет пружину наружу.

          Это, возможно, лучше, чем любой другой пример, указывает на важность изоляции объектов с помощью силовых диаграмм. Блок здесь не является проводником для какой-то таинственной силы, вытягивающей пружину — это объект, вытягивающий пружину.Вам нужно полностью доверять третьему закону, чтобы получить силу между пружиной и блоком, и вам нужно полностью доверять второму закону, чтобы понять, что блок не требует дополнительной силы, воздействующей на него наружу, чтобы уравновесить силу пружины, потому что это ускоряется.

          Теперь об обещанном примере, который включает движение в соответствии с пошаговыми инструкциями, приведенными ранее. Что делает эту проблему интересной, так это информация, которая скрыта внутри формулировки …

          Камень на тетиве летает по кругу в вертикальной плоскости (при наличии земной силы тяжести) так, что едва достигает вершины (струна остается натянутой на всю длину, но нет натяжения) продолжая свой круговой путь.Найдите скорость камня по длине струны.

          • выделите соответствующие объекты и начертите для них диаграммы свободного тела

          • выбираем системы координат для схем, которые удобны

          В качестве положительного направления \ (y \) выберем вниз.

          • силы разрыва на компоненты в выбранной системе координат

          Здесь нет необходимости.

          • суммируйте силы в направлениях \ (x \) и \ (y \) и примените второй закон Ньютона в обоих направлениях

          \ [a = \ dfrac {\ sum {F_y}} {m} = \ dfrac {T + mg} {m} \]

          Первое ограничение состоит в том, что скала почти не перемещается. Что это значит? Чтобы ответить на этот вопрос, подумайте, что бы произошло, если бы камень двигался медленнее … Он бы выпал из круга, а это значит, что струна не останется прямой. Это означало бы, что напряжение равно нулю.2} {l} \]

          Достаточно просто:

          \ [v = \ sqrt {gl} \]

          Хотя это довольно простой пример с точки зрения предпринятых шагов, он указывает на один очень важный аспект этих проблем. Если вы не тратите некоторое время на размышления о том, что происходит физически, вы, скорее всего, упустите из виду «скрытую» информацию в формулировке проблемы. Это не уловка, чтобы сбить вас с толку — это именно то, с чем вы сталкиваетесь в реальном мире, когда вам нужно решить реальную проблему.Вам необходимо уметь преобразовывать описательные аспекты системы в математически анализируемые величины.

          Пример \ (\ PageIndex {4} \)

          Тетербол вращается вокруг шеста, делая полный круг каждые 1,5 секунды. Общая длина веревки — 2,4 м. Вычислите угол θ, который веревка образует с шестом. Веревка имеет незначительную массу.

            Раствор

            Начните с диаграммы силы мяча, включая систему координат:

            Затем сложите силы по осям \ (x \) и \ (y \) и примените второй закон Ньютона:

            \ [\ begin {array} {l} a_x = \ dfrac {T \ sin \ theta} {m} \\ a_y = \ dfrac {T \ cos \ theta — mg} {m} \ end {array} \ nonumber \]

            Ускорение в направлении \ (x \) центростремительное, с радиусом его кругового движения, равным горизонтальному катету прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна длине струны.o} \ nonumber \]

            Двойные проблемы: две проблемы тела

            Наше исследование до сих пор ограничивалось анализом отдельных объектов, движущихся под действием законов Ньютона. Но что произойдет, если два объекта так или иначе связаны вместе? Например, эвакуатор может тянуть машину по шоссе. Как проводится такой анализ? Как определяется ускорение эвакуатора и автомобиля? А как насчет силы, действующей между эвакуатором и автомобилем? В этой части Урока 3 мы попытаемся проанализировать такие ситуации.Мы обнаружим, что анализ проводится таким же общим образом, как и при наличии одного объекта — с использованием диаграмм свободного тела и законов Ньютона.

            Базовый подход

            Ситуации с двумя объектами часто называют ситуациями двух тел. Будучи физическими задачами, задачи двух тел характеризуются набором двух неизвестных величин. Чаще всего (хотя и не всегда) двумя неизвестными являются ускорение двух объектов и сила, передаваемая между двумя объектами.К двум телесным проблемам обычно можно подойти, используя один из двух основных подходов. Один из подходов включает комбинацию системного анализа и индивидуального анализа тела. В системном анализе два объекта рассматриваются как один объект, движущийся (или ускоряющийся) вместе как единое целое. Масса системы — это сумма масс двух отдельных объектов. Если задействовано ускорение, ускорение системы такое же, как и у отдельных объектов. Системный анализ обычно выполняется для определения ускорения системы.Системный анализ совмещен с анализом отдельного объекта. При анализе отдельных объектов один из двух объектов изолирован и рассматривается как отдельный независимый объект. Строится диаграмма свободного тела, определяются и вычисляются отдельные силы, действующие на объект. Анализ отдельного объекта обычно выполняется для определения значения любой силы, действующей между двумя объектами, например, контактных сил или сил натяжения.

            Двойная комбинация системного анализа и анализа отдельного объекта — это один из двух подходов, которые обычно используются для анализа задач двух тел.Второй подход предполагает использование двух отдельных анализов отдельных объектов. При таком подходе диаграммы свободного тела строятся независимо для каждого объекта, и второй закон Ньютона используется для связи отдельных значений силы с массой и ускорением. Анализ каждого отдельного объекта генерирует уравнение с неизвестным. В результате получается система двух уравнений с двумя неизвестными. Система уравнений решается с целью определения неизвестных значений.


            В качестве первого примера из двух подходов к решению задач двух тел рассмотрим следующий пример задачи.

            Пример задачи 1:

            Коробка 5,0 кг и коробка 10,0 кг соприкасаются друг с другом. К ящику массой 5,0 кг прилагается горизонтальная сила 45,0 Н для ускорения обоих ящиков по полу. Не обращайте внимания на силы трения и определите ускорение коробок и силу, действующую между коробками.

            Первый подход к этой проблеме предполагает двойное сочетание системного анализа и анализа отдельного объекта.Как уже упоминалось, системный анализ используется для определения ускорения, а анализ отдельных объектов используется для определения сил, действующих между объектами. В системном анализе два объекта рассматриваются как один объект. Разделительная линия, разделяющая объекты, игнорируется. Масса системы из двух объектов 15,0 кг. Схема свободного тела для системы показана справа. На систему действуют три силы — сила тяжести (Земля тянет вниз на 15.0 кг массы), нормальная сила (пол толкает систему вверх, чтобы выдержать ее вес) и приложенная сила (рука давит на заднюю часть системы). Сила, действующая между коробкой 5,0 кг и коробкой 10,0 кг, не учитывается в системном анализе, так как это внутренняя сила . Так же, как силы, удерживающие вместе атомы внутри объекта, не включены в диаграмму свободного тела, так и силы, удерживающие вместе части системы, игнорируются. Это считается внутренними силами; при построении диаграмм свободного тела учитываются только внешние силы.Величина силы тяжести составляет m • g или 147 Н. Величина нормальной силы также составляет 147 Н, поскольку она должна выдерживать вес (147 Н) системы. Приложенная сила составляет 45,0 Н. Второй закон Ньютона (a = F net / м) можно использовать для определения ускорения. При 45,0 Н для F , нетто и 15,0 кг для м, ускорение составляет 3,0 м / с 2 .

            Теперь, когда ускорение определено, для каждого объекта можно выполнить анализ отдельного объекта, чтобы определить силу, действующую между ними.Неважно, какой объект выбран; результат будет одинаковым в любом случае. Здесь анализ отдельного объекта проводится на объекте массой 10,0 кг (только потому, что на него действует на одну силу меньше). Справа показана диаграмма свободного тела для объекта весом 10,0 кг. На него действуют только три силы: сила тяжести на 10,0 кг, сила опоры (от пола, толкающая вверх) и сила правого контакта (F , контакт ). По мере того как объект весом 5,0 кг ускоряется вправо, он будет толкать вправо на 10.0-кг объект; это известно как контактная сила (или нормальная сила, или приложенная сила, или…). Вертикальные силы уравновешивают друг друга, поскольку нет вертикального ускорения. Единственная неуравновешенная сила, действующая на объект весом 10,0 кг, — это Fcontact. Эта сила представляет собой чистую силу и равна m • a, где m равно 10,0 кг (поскольку этот анализ предназначен для объекта весом 10,0 кг), а a уже было определено равным 3,0 м / с 2 . Чистая сила равна 30,0 Н. Эта чистая сила представляет собой силу, с которой объект массой 5,0 кг толкает 10.Объект весом 0 кг справа; она имеет величину 30,0 Н. Таким образом, ответы на два неизвестных для этой проблемы: 3,0 м / с 2 и 30,0 м / с

            Теперь рассмотрим решение этой же проблемы, используя второй подход — использование двух отдельных объектных анализов. В процессе этого второго подхода мы проигнорируем тот факт, что знаем ответы, и будем предполагать, что решаем проблему впервые. При таком подходе выполняются два отдельных анализа диаграмм свободного тела.На диаграммах ниже показаны диаграммы свободного тела для двух объектов.

            Обратите внимание, что на объект массой 5,0 кг сзади действуют четыре силы. Две вертикальные силы — F grav и F norm — очевидные силы. Приложенная сила 45,0 Н (F приложение ) является результатом надавливания рукой на задний объект, как описано в формулировке проблемы и показано на диаграмме. Сила левого контакта на 5.Объект весом 0 кг — это сила, с которой объект весом 10,0 кг толкает влево объект весом 5,0 кг. Когда делается попытка подтолкнуть задний объект (объект весом 5,0 кг) вперед, передний объект (объект весом 10,0 кг) толкает его назад. Эта сила равна и противоположна заднему объекту, толкающему вперед передний объект. Эта сила просто обозначена как F , контакт для обеих диаграмм свободного тела. На диаграмме свободного тела для объекта массой 10,0 кг присутствуют только три силы. Еще раз, две вертикальные силы — F grav и F norm — очевидные силы.Горизонтальная сила — это просто объект весом 5,0 кг, толкающий вперед объект весом 10,0 кг. Приложенная сила 45,0 Н не действует на этот объект весом 10,0 кг; оно применяется к объекту массой 5,0 кг и уже было рассмотрено на предыдущей диаграмме свободного тела.

            Теперь цель этого подхода состоит в том, чтобы создать систему двух уравнений, которую можно решить для двух неизвестных значений. Использование F net = m • a с диаграммой свободного тела для объекта массой 5,0 кг дает уравнение 1 ниже:

            45.0 — F контакт = 5,0 • a

            Использование F net = m • a с диаграммой свободного тела для объекта массой 10,0 кг даст уравнение 2 ниже:

            F контакт = 10,0 • a

            (Обратите внимание, что единицы были исключены из Уравнений 1 и 2, чтобы очистить уравнения до .) Если выражение 10.0 • a подставляется в Уравнение 1 для F контакта , то Уравнение 1 сводится к единственному уравнение с одной неизвестной.Уравнение становится

            45,0 — 10,0 • a = 5,0 • a

            Пара шагов алгебры приводит к значению ускорения 3,0 м / с 2 . Это значение a можно подставить обратно в уравнение 2, чтобы определить контактное усилие:

            Контакт F = 10,0 • a = 10,0 • 3,0
            Контакт F = 30,0 Н

            Как можно видеть, использование второго подхода для решения двух задач тела дает те же два ответа для двух неизвестных.Теперь мы попробуем те же два подхода к очень похожей задаче, которая включает в себя силу трения.


            Пример задачи 2:

            Коробка 5,0 кг и коробка 10,0 кг соприкасаются друг с другом. К ящику массой 5,0 кг прилагается горизонтальная сила 45,0 Н для ускорения обоих ящиков по полу. Коэффициент кинетического трения 0.200. Определите ускорение и контактное усилие.

            Наше первое решение этой проблемы будет включать двойную комбинацию системного анализа и анализа отдельного объекта. Как вы, вероятно, заметили, пример проблемы 2 аналогичен примеру проблемы 1, за исключением того, что поверхность не лишена трения в примере задачи 2. Поэтому при проведении анализа системы в этом втором примере необходимо учитывать трение в системе весом 15 кг. . Итак, диаграмма свободного тела для системы теперь включает четыре силы — те же три, что и в примере задачи 1, плюс левую силу трения.Сила трения в системе может быть рассчитана как μ • F norm , где F norm — нормальная сила, испытываемая системой. Норма F системы равна силе тяжести, действующей на систему массой 15,0 кг; это значение 147 Н. Итак,

            F frict = μ • F norm = (0.200) • (147 N) = 29.4 N

            Вертикальные силы уравновешивают друг друга — в соответствии с тем фактом, что нет вертикального ускорения.Горизонтальные силы не уравновешивают друг друга. Чистая сила может быть определена как векторная сумма F app и F frict . То есть F net = 45,0 N, правая + 29,4 N, левая; они добавляют к 15,6 Н, верно. Теперь ускорение можно рассчитать, используя второй закон Ньютона.

            a = F нетто / м = (15,6 Н / 15,0 кг) = 1,04 м / с 2

            Теперь, когда системный анализ был использован для определения ускорения, можно выполнить анализ отдельного объекта для любого объекта, чтобы определить силу, действующую между ними.Опять же, не имеет значения, какой объект выбран; результат будет одинаковым в любом случае. Объект массой 10 кг выбран для анализа отдельного объекта, поскольку на него действует на одну силу меньше; это упрощает решение. На объект весом 10,0 кг действуют четыре силы. Две вертикальные силы очевидны — сила тяжести (98,0 Н) и нормальная сила (равная силе тяжести). Горизонтальные силы — это сила трения слева и сила 5,0-килограммового объекта, толкающего 10.0-килограммовый объект вперед; на схеме свободного тела он обозначен как F , контакт . Чистую силу — векторную сумму всех сил — всегда можно найти, сложив силы в направлении ускорения и вычтя те, которые действуют в противоположном направлении. Этот F net равен F contact — F frict . Применение второго закона Ньютона к этому объекту дает уравнение:

            F контакт — F frict = (10,0 кг) • (1.04 м / с 2 )

            Сила трения на этом объекте массой 10,0 кг отличается от силы трения в системе (поскольку система весила кг и ). Значение F frict можно вычислить как μ • F norm , где F norm — нормальная сила, испытываемая объектом весом 10,0 кг. Норма F для 10,0-кг объекта равна силе тяжести, действующей на 10-килограммовый объект; это значение 98.0 Н. Итак,

            F frict = μ • F norm = (0.200) • (98.0 N) = 19.6 N

            Итак, теперь значение 19,6 Н может быть подставлено в приведенное выше уравнение и может быть вычислено F контакт :

            Контакт F — 19,6 Н = (10,0 кг) • (1,04 м / с 2 )
            Контакт F = (10,0 кг) • (1,04 м / с 2 ) + 19,6 Н
            Контакт F = 30,0 Н

            Таким образом, использование двойной комбинации системного анализа и индивидуального анализа тела позволяет нам определить два неизвестных значения — 1.04 м / с 2 для ускорения и 30,0 Н для контакта F . Теперь мы увидим, как два анализа отдельных объектов могут быть объединены, чтобы сгенерировать систему из двух уравнений, способных разрешить две неизвестные. Мы еще раз начнем анализ, предполагая, что мы решаем проблему впервые и не знаем ни ускорение, ни контактную силу. Диаграммы свободного тела для отдельных объектов показаны ниже.

            Теперь пять сил на 5.Объект весом 0 кг сзади. Две вертикальные силы — F grav и F norm — очевидные силы. Приложенная сила 45,0 Н (F , приложение ) является результатом давления руки на задний объект. Сила левого контакта с объектом массой 5,0 кг — это сила, с которой объект массой 10 кг толкает влево объект массой 5,0 кг. Его значение такое же, как сила контакта, прилагаемая к переднему объекту весом 10,0 кг задним объектом весом 5,0 кг. Эта сила просто обозначена как F , контакт для обеих диаграмм свободного тела.Наконец, сила трения влево является результатом трения о пол, по которому движется объект весом 5,0 кг. На диаграмме свободного тела для объекта весом 10,0 кг теперь четыре силы. Две вертикальные силы — F grav и F norm — очевидны. Правое контактное усилие (F contact ) — это просто 5-килограммовый объект, толкающий 10-килограммовый предмет вперед. А сила трения влево — это результат трения о пол. И снова на этот 10 не действует приложенная сила 45,0 Н.0-кг объект; оно применяется к объекту массой 5,0 кг и уже было рассмотрено на предыдущей диаграмме свободного тела. Сила трения для каждого объекта может быть определена как μ • Fnorm, где F norm — нормальная сила, испытываемая отдельными объектами. Каждый объект испытывает нормальную силу, равную его весу (поскольку вертикальные силы должны уравновешиваться). Таким образом, силы трения для объекта весом 5,0 кг (вес 49,0 Н) и объекта весом 10,0 кг (вес 98,0 Н) составляют 0,200 • 49,0 Н и 0,200 • 98,0 Н, соответственно.

            Используя эти значения F frict и второй закон Ньютона, можно записать систему двух уравнений, позволяющую найти два неизвестных значения. Использование F net = m • a с диаграммой свободного тела для объекта массой 5,0 кг даст уравнение 3 ниже:

            45,0 — F контакт — 9,8 = 5,0 • a

            Использование F net = m • a с диаграммой свободного тела для объекта массой 10,0 кг даст уравнение 4 ниже:

            Ф. контакт -19.6 = 10,0 •

            (Обратите внимание, что единицы были исключены из Уравнений 3 и 4, чтобы очистить уравнения до .) Из Уравнения 4, F контакт = 10,0 • a + 19,6. Подставляя это выражение для контакта F в уравнение 3 и выполняя правильные алгебраические манипуляции, получаем значение ускорения:

            45,0 — (10,0 • a + 19,6) — 9,8 = 5,0 • a
            45,0 — 19,6 — 9,8 = 15,0 •
            15,6 = 15,0 •
            а = (15,6 / 15.0) = 1,04 м / с 2

            Это значение ускорения можно подставить обратно в выражение для F contact , чтобы определить контактное усилие:

            Контакт F = 10,0 • a + 19,6 = 10,0 • (1,04) + 19,6
            Контакт F = 30,0 Н

            Снова мы обнаруживаем, что второй подход с использованием анализа двух отдельных объектов дает один и тот же набор ответов для двух неизвестных. Последний пример задачи будет включать вертикальное движение.Подходы останутся прежними.

            Пример задачи 3:

            Мужчина входит в лифт с двумя коробками, одна над другой. Верхний ящик имеет массу 6,0 кг, а нижний — 8,0 кг. Мужчина ставит две коробки по метрической шкале на пол. При ускорении вверх из состояния покоя мужчина замечает, что шкала показывает значение 166 Н; это сила, направленная вверх на нижнюю коробку.Определите ускорение лифта (и ящиков) и определите силы, действующие между ящиками.

            Для решения этой проблемы будут использоваться оба подхода. Первый подход предполагает двойное сочетание системного анализа и анализа отдельного объекта. Для системного анализа две коробки считаются единой системой массой 14,0 кг. На эту систему действуют две силы — сила тяжести и нормальная сила. Схема свободного тела показана справа.Сила тяжести рассчитывается обычным образом с использованием массы 14,0 кг.

            F grav = m • g = 14,0 кг • 9,8 N / кг = 137,2 N

            Поскольку существует вертикальное ускорение, вертикальные силы не уравновешиваются; значение F grav не равно значению нормы F . Нормальная сила указана в формулировке задачи. Эта нормальная сила 166 Н представляет собой направленную вверх силу, действующую на нижнюю коробку; он служит силой для системы, поскольку нижний ящик является частью системы.Чистая сила — это векторная сумма этих двух сил. Итак

            F net = 166 N, вверх + 137,2 N, вниз = 28,8 N, вверх

            Ускорение можно рассчитать по второму закону Ньютона:

            a = F нетто / м = 28,8 Н / 14,0 кг = 2,0571 м / с 2 = ~ 2,1 м / с 2

            Теперь, когда системный анализ был использован для определения ускорения, можно выполнить анализ отдельного объекта на любом блоке, чтобы определить силу, действующую между ними.Как и в предыдущих задачах, не имеет значения, какой ящик выбран; результат будет одинаковым в любом случае. Верхний ящик используется в этом анализе, поскольку он встречает на одну силу меньше. Схема свободного тела показана справа. Сила тяжести на верхнем ящике равна m • g, где m = 6,0 кг. Сила тяжести составляет 58,8 Н. Сила, направленная вверх, неизвестна, но может быть рассчитана, если F net = m • уравнение применяется к диаграмме свободного тела. Поскольку ускорение направлено вверх, сторона Fnet уравнения будет равна силе в направлении ускорения (F контакт ) минус сила, которая ему противодействует (F grav ).Итак

            F контакт — 58,8 Н = (6,0 кг) • (2,0571 м / с2)

            (Обратите внимание, что здесь используется неокругленное значение ускорения; округление произойдет, когда будет определен окончательный ответ.) Решение для контакта F дает 71,14 Н. Это число может быть округлено до двух значащих цифр — 71 Н. Таким образом, двойное Комбинация системного анализа и индивидуального анализа тела приводит к ускорению 2,1 м / с 2 и силе контакта 71 Н.

            Теперь второй подход к решению проблемы будет использован для решения той же проблемы. В этом решении два анализа отдельных объектов будут объединены для создания системы двух уравнений, способных решить для двух неизвестных. Мы начнем этот анализ с предположения, что мы решаем проблему впервые и не знаем ни ускорение, ни контактную силу. Диаграммы свободного тела для отдельных объектов показаны ниже.

            Обратите внимание, что значения F grav для двух ящиков были включены в диаграмму.Они были рассчитаны с использованием F grav = m • g, где m = 6,0 кг для верхнего ящика и m = 8,0 кг для нижнего ящика. Контактная сила (F контакт ) на верхнем ящике направлена ​​вверх, поскольку нижний ящик толкает его вверх, когда система из двух объектов ускоряется вверх. Контактное усилие (F контакт ) на нижнем блоке направлено вниз, поскольку верхний блок толкает вниз нижний блок, когда происходит ускорение. Эти две контактные силы равны друг другу, поскольку они возникают в результате взаимодействия между двумя коробками.Третья сила на нижнем ящике — это сила, с которой весы толкают его вверх с силой 166 Н; это значение было указано в постановке задачи.

            Применение второго закона Ньютона к этим двум диаграммам свободного тела приводит к уравнению 5 (для ящика весом 6,0 кг) и уравнению 6 (для ящика весом 8,0 кг).

            F контакт — 58,8 = 6,0 • a

            166 — F контакт — 78,4 = 8,0 • a

            Теперь, когда разработана система двух уравнений, алгебру можно использовать для решения двух неизвестных.Уравнение 5 можно использовать для записи выражения для контактной силы (F , контакт ) через ускорение (a).

            F контакт = 6,0 • a + 58,8

            Это выражение для контакта F можно затем подставить в уравнение 6. Уравнение 6 тогда принимает вид

            166 — (6,0 • a + 58,8) — 78,4 = 8,0 • a

            Следующие алгебраические шаги выполняются над приведенным выше уравнением, чтобы найти ускорение.

            166 — 6,0 • a — 58,8 — 78,4 = 8,0 • a
            166 — 58,8 — 78,4 = 8,0 • a + 6,0 • a
            28,8 = 14,0 а
            a = 2,0571 м / с 2 = ~ 2,1 м / с 2

            Теперь значение ускорения (a) можно подставить обратно в выражение для F контакт (F контакт = 6.0 • a + 58.8), чтобы найти F контакт . Контактное усилие составляет 71,14 Н (~ 71 Н).

            Следует отметить, что второй подход к этой проблеме дает те же численные ответы, что и первый подход.Студентам предлагается использовать наиболее удобный для них подход.

            Для дополнительной практики рассмотрим следующие задачи с двумя телами. Для каждой проблемы была предоставлена ​​сокращенная версия решения . К теме задач двух тел мы вернемся в следующей главе, когда мы рассмотрим ситуации, в которых шкивы и объекты движутся в разных направлениях.

            Проверьте свое понимание

            1.Грузовик везет машину по пересеченной местности. Масса автомобиля составляет 4,00х10 3 кг, а масса автомобиля — 1,60х10 3 кг. Если сила тяги, возникающая в результате поворота колес грузового автомобиля, составляет 2,50×10 4 Н, тогда определите ускорение автомобиля (или грузовика) и силу, с которой грузовик тянет на автомобиль. Предположим, что силы сопротивления воздуха незначительны.

            2. Ящик массой 7 кг прикреплен к 3.Ящик массой 00 кг на веревке 1. Ящик массой 7,00 кг тянут веревкой 2 с усилием 25,0 Н. Определите ускорение ящиков и натяжение веревки 1. Коэффициент трения между землей и ящиками составляет 0,120 .

            3. Трактор тащит два больших бревна через поле. Цепочка соединяет бревна друг с другом; переднее бревно соединяется с трактором отдельной цепью. Масса лобового бревна 180 кг.Масса заднего бревна 220 кг. Коэффициент трения между бревнами и полем составляет примерно 0,45. Натяжение цепи, соединяющей трактор с передним бревном, составляет 1850 Н. Определите ускорение бревен и натяжение цепи, соединяющей два бревна.

            4. Два ящика скреплены прочной проволокой и прикреплены к потолку лифта вторым проводом (см. Схему).Масса приставки 14,2 кг; масса нижнего ящика 10,4 кг. Лифт поднимается вверх со скоростью 2,84 м / с 2 . (Предположим, что провод относительно безмассовый .)

            (a) Найдите натяжение верхнего троса (точки соединения A и B).

            (b) Найдите натяжение нижней проволоки (точки соединения C и D).

            Проблемы двух тел

            В блоке законов Ньютона введена тема задач двух тел.Была обсуждена пара стратегий решения проблем, которые были применены для решения трех примеров проблем. Такие проблемы с двумя телами обычно включают решение для ускорения объектов и силы, действующей между объектами. Одна из стратегий решения задач двух тел включает использование системного анализа для определения ускорения в сочетании с анализом отдельного объекта для определения силы, передаваемой между объектами. Вторая стратегия заключалась в использовании анализа двух отдельных объектов с целью разработки системы из двух уравнений для решения двух неизвестных величин.При необходимости найдите время, чтобы просмотреть страницу о решении задач двух тел. Эта страница будет основываться на уроках, извлеченных ранее в разделе «Законы Ньютона».

            В этом уроке мы проанализируем задачи о двух телах, в которых объекты движутся в разных направлениях. В этих задачах два объекта связаны цепочкой, которая передает силу одного объекта другому. Струна наматывается на шкив, который изменяет направление приложения силы без изменения величины.В качестве иллюстрации того, как работает шкив, рассмотрим схему справа. Объект A связан с объектом B строкой. Веревка наматывается на шкив в конце стола. Объект A подвешен в воздухе, а объект B лежит на столе. В этой ситуации объект А упадет вниз под действием силы тяжести, потянув вниз один конец струны, к которой он подсоединен. Согласно закону действия-противодействия Ньютона, этот нижний конец струны будет тянуть вверх на объект А.Противоположный конец нити соединен с объектом B. Этот конец нити тянет вправо за объект B. Таким образом, нить, соединяющая два объекта, тянет оба объекта с одинаковой силой, но в разных направлениях. Трос тянет вверх на объект A и вправо на объект B. Шкив изменил направление приложения силы.

            Проблемы, связанные с двумя объектами, соединительными цепями и шкивами, характеризуются объектами, которые движутся (или даже ускоряются) в разных направлениях.Они движутся или ускоряются с одинаковой скоростью, но в разных направлениях. Таким образом, при решении таких проблем становится важным выбрать другую систему отсчета и систему осей для каждого объекта. Следует обратить внимание на такой выбор системы осей, чтобы оба объекта ускорялись вдоль оси в положительном направлении. С осями, правильно определенными для каждого отдельного объекта, можно построить диаграмму свободного тела. Затем к каждой диаграмме можно применить законы Ньютона, чтобы получить систему из двух уравнений для решения двух неизвестных.Этот процесс решения проблем будет продемонстрирован на трех различных примерах задач.

            Пример задачи 1

            Масса 200,0 грамма (m 1 ) и масса 50,0 грамма (m 2 ) соединены веревкой. Струна натягивается на шкив. Определите ускорение масс и натяжение струны.

            Как это часто бывает, в этом примере проблема запрашивает информацию о двух неизвестных — ускорении объектов и силе, действующей между объектами.В такой ситуации, как эта, когда два объекта подвешены на шкиве, более массивный объект будет ускоряться вниз, а наименее массивный объект будет ускоряться вверх. Величина ускорения будет одинаковой для каждого объекта. Система координат, выбранная для m 1 , имеет положительную ось y, направленную вниз; система координат, выбранная для m 2 , имеет положительную ось y, направленную вверх. При таком выборе осей направление ускорения будет положительным для каждого объекта.Диаграммы свободного тела для каждой индивидуальной массы показаны ниже. На каждый объект действует сила тяжести, направленная вниз, которая рассчитывается как 1 • g и 2 • g соответственно. Каждый объект также испытывает восходящую силу натяжения, которая притягивает два объекта друг к другу.

            Уравнение второго закона Ньютона (F net = m • a) можно применить к обеим диаграммам, чтобы написать два уравнения для двух неизвестных. F net будет выражаться как сила в направлении ускорения за вычетом силы, которая ему противодействует.Таким образом, для массы 200,0 грамм F net записывается как 1,960 N — F десятков . Для массы 50,0 грамм F net записывается как F десятки — 0,490 Н. Уравнения 1 и 2 являются результатом применения уравнения второго закона Ньютона к массам 200,0 и 50,0 граммов. (Обратите внимание, что значения массы преобразуются в стандартные килограммы перед использованием в уравнениях. Также обратите внимание, что единицы измерения были опущены, чтобы уравнения читались более четко.)

            1.960 — F десятков = 0,2000 • a

            F десятков — 0,490 = 0,0500 • a

            С этого момента несколько шагов по алгебре приведут к ответам на проблему. Уравнение 2 можно переформулировать, чтобы получить выражение для F десятков , записанное в терминах ускорения.

            F десятков = 0,0500 • a + 0,490

            Это выражение для F tens теперь можно подставить в уравнение 1, чтобы преобразовать его в уравнение с одним неизвестным.Это уравнение и последующие шаги алгебры, приводящие к значению ускорения, показаны ниже.

            1,96 — (0,0500 • a + 0,490) = 0,2000 • a
            1,96 — 0,0500 • а — 0,490 = 0,2000 • а
            1,47 = 0,2500 •
            a = 1,47 / 0,2500 = 5,88 м / с 2

            Теперь, когда ускорение было найдено из уравнения 1, его значение можно подставить в уравнение 3, чтобы определить натяжение.

            F десятков = 0.0500 • (5,88) + 0,490
            F десятков = 0,784 N

            Проанализированную здесь систему шкивов иногда называют машиной Атвуда. Подход к решению проблем — это стандартный подход, который будет использоваться на этой странице для решения двух неизвестных. Он будет повторен в примере проблемы 2, чтобы решить то, что обычно называют модифицированной машинной проблемой Этвуда.


            Пример задачи 2

            Рассмотрим ситуацию с двумя телами справа.20-граммовый подвесной груз (m 2 ) прикреплен к 250-граммовому планеру с воздушным гусеничным ходом (m 1 ). Определите ускорение системы и натяжение струны.

            Как и в примере проблемы 1, эта система должна быть сначала проанализирована концептуально, чтобы определить направление ускорения двух объектов. Это позволит назначить оси координат для каждого объекта. Поскольку ничто не толкает m 1 влево, мы можем предположить, что он будет ускоряться вправо из-за натяжения струны.Висящая масса (m 2 ) будет явно ускоряться вниз под действием силы тяжести. Таким образом, система координат выбрана для m 2 имеет положительную ось y, направленную вниз; система координат, выбранная для m 1 , имеет положительную ось x, направленную вправо. При таком выборе осей направление ускорения будет положительным для каждого объекта.

            Диаграмма свободного тела для каждой отдельной массы показана ниже. На каждый объект действует направленная вниз сила тяжести (F grav ), рассчитываемая как m 1 • g и m 2 • g соответственно.Планер (m 1 ) испытывает восходящую опорную силу (воздух толкает его вверх), чтобы уравновесить силу тяжести. На параплан также действует горизонтальная сила — сила натяжения (F десятки ) вправо. Висящая масса (m 2 ) испытывает восходящую силу натяжения (F десятки ), которая оказывает некоторое сопротивление нисходящей силе тяжести.

            Уравнение второго закона Ньютона (F net = m • a) можно применить к обеим диаграммам свободного тела, чтобы написать два уравнения для двух неизвестных.F net будет выражаться как сила в направлении ускорения за вычетом любой силы, которая ему противодействует. Для параплана массой 250,0 грамм (0,250 кг) F net — это просто неуравновешенная сила натяжения (F десятки ). Для подвешенной массы 20,0 грамм (0,020 кг) F net записывается как 0,196 N — F десятков . Уравнения 4 и 5 являются результатом применения уравнения второго закона Ньютона к 250,0-граммовому планеру и 20,0-граммовой висящей массе. (Обратите внимание, что значения массы преобразуются в стандартные килограммы перед использованием в уравнениях.Также обратите внимание, что единицы измерения были опущены, чтобы уравнения читались более четко.)

            F десятков = 0,2500 • a

            0,196 — F десятки = 0,0200 • a

            С этого момента несколько шагов по алгебре приведут к ответам на проблему. Уравнение 4 выражает значение F десятков в единицах ускорения. Это выражение для F десятков можно подставить в уравнение 5, чтобы преобразовать его в уравнение с одним неизвестным.Это уравнение и последующие шаги алгебры, приводящие к значению ускорения, показаны ниже.

            0,196 — 0,2500 • a = 0,0200 • a
            0,196 = 0,2700 •
            a = 0,196 / 0,2700 = 0,72593 м / с 2
            а = ~ 0,726 м / с 2

            Теперь, когда ускорение было найдено из уравнения 5, его значение можно подставить в уравнение 4, чтобы определить натяжение.

            F десятков = 0,2500 • (0.72593) = 0,18148
            F десятков = ~ 0,181 Н

            Система шкивов, проанализированная в примере задачи 2, иногда упоминается как модифицированная машина Атвуда. Анализ немного сложнее, чем машина Атвуда в примере задачи 1. Последний пример задачи будет представлять собой случай модифицированной машины Атвуда с поверхностью, наклоненной, как показано ниже. Подход к решению проблем будет таким же.


            Пример задачи 3

            Рассмотрим ситуацию с двумя телами справа.Ящик 2,50×10 3 кг (м 1 ) стоит на наклонной плоскости и соединен кабелем с массой 4,00×10 3 кг (м 2 ). Эта вторая масса (m 2 ) подвешена на шкиве. Угол наклона 30,0 °, поверхность не имеет трения. Определите ускорение системы и натяжение троса.

            Как и в предыдущей задаче, первая задача включает анализ ситуации, чтобы определить, в каком направлении объекты будут ускоряться.Такой анализ позволит присвоить каждому объекту систему координатных осей. В этом случае висящая масса (m 2 ) могла ускоряться вверх или вниз. Направление его ускорения зависит от сравнения его веса (силы тяжести) с противоположной силой, действующей на другую массу (m 1 ). Масса на наклонной плоскости сталкивается с тремя силами — силой тяжести, нормальной силой и силой натяжения. Сила тяжести направлена ​​вниз (как обычно) и рассчитывается как m 1 • g.Нормальная сила направлена ​​перпендикулярно поверхности (как обычно). Сила натяжения направлена ​​вверх и вправо — параллельно наклонной плоскости и в той же ориентации, что и струна, обеспечивающая эту силу. Как обсуждалось на предыдущей странице, объекты, размещенные на наклонных плоскостях, анализируются путем разделения силы тяжести на две составляющие. Один компонент направлен параллельно плоскости (и вниз под этим углом), а другой компонент направлен перпендикулярно плоскости (и вверх под этим углом).Это параллельный компонент силы тяжести, который пытается тянуть m 1 вниз по наклонной плоскости. Как упоминалось ранее, этот компонент может быть вычислен путем умножения веса объекта (m 1 • g) на синус угла наклона (30 °). Значение для F parallel равно

            .

            F параллельно = м 1 • g • синус (θ) = (2500 кг) • (9,8 Н / кг) • синус (30 °)
            F параллельно = 12250 Н

            Этот параллельный компонент силы тяжести пытается тянуть m 1 вниз по наклонной плоскости.Поскольку m 1 прикреплен тросом к m 2 , подвесная масса будет тянуться вместе с ним. Однако есть противоположное действие силы тяжести, тянущее m 2 вниз; это противоположное действие, если оно будет доминирующим, потянет объект m 1 вверх по наклонной плоскости. Сила тяжести на м 2 составляет

            F grav-2 = m 2 • g = (4000 кг) • (9,8 Н / кг) = 39200 Н

            Эта сила тяжести на m 2 является доминирующей силой.Таким образом, m 1 будет ускоряться вверх по наклонной плоскости, а m 2 будет ускоряться вниз. Оси координат назначаются соответственно так, чтобы каждый объект имел положительное ускорение.

            На схемах ниже показаны эти оси координат и силы, действующие на два объекта. Три силы на m 1 уже обсуждались. На схеме показаны два компонента F grav . Как упоминалось на предыдущей странице, перпендикулярная составляющая силы тяжести рассчитывается как

            .

            F перпендикуляр = m 1 • g • cosθ = (2500 кг) • (9.8 Н / кг) • cos (30 °)
            F перпендикуляр = 21218 Н

            Нормальная сила (F норма ), действующая на m 1 , уравновешивает F перпендикуляр , так что нет ускорения, перпендикулярного наклонной плоскости. Значение нормы F также составляет 21218 Н. Висящая масса (m 2 ) испытывает только две силы — силу тяжести, направленную вниз, и силу натяжения вверх.

            Теперь уравнение второго закона Ньютона (F net = m • a) можно применить к обеим диаграммам свободного тела, чтобы написать два уравнения для двух неизвестных.Нетто F выражается как сила в направлении ускорения за вычетом любой силы, которая ему противодействует. Для груза массой 2500 кг на уклоне (m 1 ), F net — это просто сила натяжения (F десятки ) за вычетом параллельной составляющей силы тяжести. Для подвешенной массы 4000 кг (м 2 ) F net — это сила тяжести (39200 Н) за вычетом силы натяжения (F десятки ). Уравнения 6 и 7 являются результатом применения уравнения второго закона Ньютона к m 1 и m 2 .(Обратите внимание, что единицы измерения были опущены, чтобы уравнения читались более четко.)

            F десятков — 12250 = 2500 • a

            39200 — F десятков = 4000 • a

            С этого момента несколько шагов по алгебре приведут к ответам на проблему. Уравнение 6 можно изменить, чтобы получить выражение для F десятков , выраженное в единицах ускорения.

            F десятков = 2500 • a + 12250

            Это выражение для F tens можно подставить в уравнение 7, чтобы преобразовать его в уравнение с одним неизвестным.Это уравнение и последующие шаги алгебры, приводящие к значению ускорения, показаны ниже.

            39200 — (2500 • a + 12250) = 4000 • a
            39200 — 2500 • a — 12250 = 4000 • a
            26950 = 6500 •
            a = 26950/6500 = 4,1462 м / с 2
            а = ~ 4,15 м / с 2

            Теперь, когда ускорение было найдено из уравнения 7, его значение можно подставить в уравнение 8, чтобы определить силу натяжения (F десятки ).

            F десятков = 2500 • a + 12250 = 2500 • (4,1462) + 12250 = 22615 N
            F десятков = ~ 2,26 x 10 4 N

            Проблемы с двумя телами, подобные этим трем примерам задач, могут быть довольно сложной задачей. Системный подход, применяемый к каждой проблеме, упрощает анализ. Хорошее концептуальное понимание, приверженность использованию диаграмм свободного тела и твердое понимание второго закона Ньютона — вот основные составляющие успеха.

            Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего симулятора машины Этвуда. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Тренажер позволяет исследовать двухмассовые системы, ускоряемые подвешенной массой.


            Проверьте свое понимание

            1. Рассмотрим ситуацию с двумя телами справа. 100,0-граммовая подвешенная масса (m2) прикрепляется к 325,0-граммовой массе (m1), покоящейся на столе. Коэффициент трения между 325,0-граммовой массой и столом составляет 0,215. Определите ускорение системы и натяжение струны.

            2. Рассмотрим ситуацию с двумя телами справа.Ящик 3,50×10 3 кг (м 1 ) стоит на наклонной плоскости и соединяется кабелем с массой 1,00×10 3 кг (м 2 ). Эта вторая масса (m 2 ) подвешена на шкиве. Угол наклона составляет 30,0 °, а поверхность имеет коэффициент трения 0,210. Определите ускорение системы и натяжение троса.

            Задача из пяти блоков.| Скачать научную диаграмму

            Контекст 1

            … специальности в типичных университетских курсах. Ожидается, что студенты, изучавшие гидростатику на начальном этапе физики, смогут объяснить опускание и плавание в терминах чистой силы и законов Ньютона. В типичном курсе инструктор и учебник объясняют, что подъемная сила возникает из-за изменения давления между верхней и нижней поверхностями объекта. Студентов явно учат, что выталкивающая сила, действующая на объект, равна весу вытесненной жидкости, и выводится уравнение B ϭ ␳ gV disp.Однако мы обнаружили, что многие студенты не могут применить принцип Архимеда даже в очень простых ситуациях. Ясных объяснений преподавателя и практики решения стандартных домашних заданий явно недостаточно, чтобы помочь студентам преодолеть проблемы, возникающие у них с основными концепциями и линиями рассуждений. В таких обстоятельствах крайне важно попытаться точно определить основные трудности, чтобы их можно было систематически решать. В этой статье представлена ​​информация о мышлении учащихся, которую мы сочли необходимой в наших усилиях по разработке инструкции, которая более эффективно решала бы эту задачу.В сопутствующей статье описывается разработка и оценка учебных материалов. 4 В нашем исследовании приняли участие более 2000 студентов. Самая большая группа состояла из студентов UW во втором квартале вводного курса физики, основанного на алгебре, который охватывает жидкости, теплофизику, электричество и магнетизм. Механика — обязательное условие. Число участников отдельных лекционных разделов этого курса колеблется от 50 до более чем 200. Курс не имеет небольших разделов и, в частности, не включает в себя Учебники по вводной физике, которые наша группа разработала в качестве дополнения к стандартному вводному курсу. .5,6 Примерно половина студентов проходят дополнительный лабораторный курс. Также были включены студенты UW, которые прошли второй год обучения по гидростатике и теплофизике. На этот курс зачисляются от менее 20 до более 60 студентов, из которых обычно около 30% — физики. Нет лабораторной составляющей. Обязательным условием является год вводного курса физики, основанной на исчислении, которая не включает гидростатику. Как на курсах, основанных на алгебре, так и на курсах второго года обучения, количество времени, посвященного гидростатике, варьировалось от нескольких дней до примерно двух недель, в зависимости от преподавателя.Это исследование также включало курсы в других университетах, включая физику на основе алгебры в Университете Мэриленда, Колледж-Парк, и физику на основе вычислений в Университете Пердью. Мы начали наше исследование с предположения, что научные сотрудники университетов смогут дать простые физические объяснения повседневным явлениям, включающим погружение и плавание. Поэтому мы основали наши первоначальные попытки исследовать их понимание гидростатики на более сложном явлении: поведении декартова дайвера.7 Мы провели индивидуальные демонстрационные интервью с семью волонтерами второго года обучения после того, как все инструкции по гидростатике были завершены. У студентов были итоговые оценки по курсу не ниже среднего. Интервью записывались на аудиозаписи и видеозаписи для последующего анализа. Студентов попросили предсказать, что произойдет с едва плавающим дайвером, когда запечатанная пластиковая бутылка, в которой он содержался, была сжата. 8 Хотя все студенты признали, что давление в контейнере будет увеличиваться, все, кроме двоих, предсказали, что водолаз поднимется.Ни один из студентов не мог объяснить последующее наблюдение, что ныряльщик затонул. Увидев, как ныряльщик тонет, некоторые ученики нарисовали диаграммы свободного тела, на которых была показана как восходящая «выталкивающая сила», так и дополнительная нисходящая «сила давления», иногда описываемая как «вес воды над дайвером». ‘͒. 9 Несколько студентов предсказали, что тонущий ныряльщик остановится, прежде чем достигнет дна. Похоже, они полагали, что явление плавающих под водой объектов относительно распространено.Хотя такое поведение возможно, мы подозревали, что студенты не имели четкого представления об условиях, при которых это могло произойти. Степень путаницы в ответах студентов во время собеседований с картезианскими дайверами была такова, что мы не смогли определить природу их трудностей. Чтобы глубже изучить их понимание, мы разработали серию письменных задач, которые касались гораздо более простых ситуаций. Задачи задавались либо в виде обычных викторин ͑ продолжительностью около 10 минут, либо в виде экзаменационных вопросов.10 В таких условиях трудно оценить влияние многих переменных, а тем более контроль. Однако эти данные позволяют оценить распространенность определенных трудностей и могут служить руководством для определения приоритетов в обучении. 11 Задача описывает пять блоков одинакового размера и формы, но разной массы, причем блок 1 является самым легким, а блок 5 — самым тяжелым ͑ см. Рис. 1. Каждый блок удерживается примерно наполовину в воде в аквариуме и отпускается. Конечные положения блоков 2 и 5 показаны на сопроводительном рисунке и описаны в тексте ͑ блок 2 едва плавает, а блок 5 опирается на дно резервуара ͒.12 студентов попросили набросать окончательные позиции трех других блоков и объяснить свои рассуждения. Правильный ответ на эту проблему требует вывода из данной информации о том, что блок 2 почти не плавает, как показано в цитате студента: «Так как m 1 Ͻ m 2, а m 2 имеет плотность, примерно равную плотности H 2 O, m 1 должен иметь меньшую плотность и, следовательно, будет больше плавать. Плотность блока 3 будет больше, чем у H 2 O и м 2, и поэтому он будет тонуть ». Проблема не указывает подробно, как меняются массы блоков.Поэтому ответы, согласующиеся с предположением, что плотность блока 3, хотя и больше, чем у блока 2, меньше или точно равна плотности воды, также считались правильными. Например, ответ: «Если 2 едва плавает, то 3, вероятно, тонет, но он может быть точно плавучим и оставаться там, где его выпустили» »был признан правильным ͑ см. Рис. 2 ͒. Эта проблема была дана в двух разделах вводного курса, в которых обучение плавучести еще не началось.Правильно ответили около 25% студентов (N 218). В двух классах, в которых была завершена стандартная лекционная инструкция, около 10% ответили правильно (N 151) 13 ͑, учитывая ожидаемый размер случайных колебаний и большое количество задействованных переменных, мы не придаем значения очевидной разнице в результаты, полученные до и после инструкции ͒. 14 Около 50% студентов второго курса UW дали правильный ответ (N 101) после стандартного обучения. На вводном курсе в Purdue уровень успеха после стандартного обучения составил около 40% (N 765).Во всех классах наиболее распространенной неправильной реакцией были блоки 3 и 4 на промежуточных глубинах в воде ͑ см. Рис. 3 ͒. Мы называем это ответом «нисходящая линия». Этот ответ можно было бы считать правильным только в том случае, если бы предполагалось, что плотность воды меняется так, что каждый объект разной плотности может соответствовать средней плотности окружающей воды на разной глубине. Однако на курсах, на которые обучались студенты, вода рассматривалась как несжимаемая.15 Более того, хотя некоторые студенты явно связали конечное положение блоков с их относительной плотностью, ни один из них не упомянул плотность окружающей жидкости. Во всех версиях этой задачи, кроме начальной, мы старались напомнить студентам, что нужно относиться к воде как к несжимаемой. Это предупреждение не повлияло на результат. Объяснения, в которых упоминаются силы, несколько более распространены после формального обучения, чем прежде. Однако даже после обучения только от 10% до 20% вводных студентов UW ссылались на силы, в то время как примерно от 20% до 30% ссылались на плотность блоков фрагментарный, несвязный характер многих из них. ответы студентов допускают только грубую категоризацию ͒.Большинство студентов просто ссылались на массу или вес блоков. Например, один студент написал: «Блок 4 тяжелее 3, но легче 5, поэтому он опускается где-то на полпути между 3 и 5». Не существует очевидной корреляции между показателем успеха и типом предлагаемого объяснения. Задание из пяти блоков также было использовано в качестве основы для индивидуальных собеседований с 12 студентами второго года обучения после того, как все соответствующие инструкции были завершены. Студентам раздали пять маленьких кубиков одинакового объема, но из разного материала, и попросили рассортировать их по весу.Затем интервьюер поместил блоки 2 ͑ нейлон ͒ и 5 железо в стакан с водой и попросил каждого студента предсказать окончательное положение других блоков дерева, алюминия и люцита и объяснить свои рассуждения. Примерно половина студентов ответили по нисходящей линии. Эти студенты, казалось, были твердо привержены своему прогнозу. Несмотря на частые длительные обсуждения, все студенты, которые изначально давали такой ответ, утверждали, что блоки 3 и 4 будут «плавать» над дном.Ни один не упомянул градиент плотности или сжимаемость. Когда им показали результат эксперимента, они выразили удивление и не смогли разрешить несоответствие между своим предсказанием и наблюдением. В своих ответах на задачу из пяти блоков некоторые студенты явно связали подъемную силу на блоке с его глубиной или массой.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.