Физика колебания формулы: Ошибка: 404 Материал не найден

Содержание

Механические колебания (Основные формулы)

Механические колебания

Основные формулы

Всякое колебательное движение, в том числе и гармоническое, характеризуется амплитудой \(A\), периодом колебаний \(T\), частотой \(\nu\), циклической (круговой) частотой \(\omega\) и фазой колебаний \(\varphi\).

Амплитудой \(A\) называют наибольшее значение колеблющейся величины.

Число полных колебаний в единицу времени называют частотой:

\(\nu=\frac{n}{t}\).

Циклическая (круговая) частота — это число полных колебаний в течении \(2\pi\) с:

\(\omega=\frac{2\pi{n}}{t}=2\pi{\nu}\).

Периодом называю время, в течении которого совершается одно полное колебание:

\(T=\frac{t}{n}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{\nu}\).

Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями

\(x=A\sin(\omega{t}+\varphi_0)\),

\(v=\dot x=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)\),

\(a=\ddot x=-A\omega^2\sin(\omega{t}+\varphi_0)=-\omega^2x\).2}\).

————-

Источник: sfiz.ru

Урок 1. механические колебания — Физика — 11 класс

Физика, 11 класс

Урок 1. Механические колебания

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Механические колебания;

Виды механических колебаний;

Характеристики колебательных движений;

Явление резонанса.

Глоссарий по теме

Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания, происходящие под действием внутренних сил в колебательной системе, называют свободными.

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически меняющейся силы.

Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

Период – это время одного полного колебания.

Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.

Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему с частотой свободных колебаний.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 53 – 73.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс. — М.: Дрофа, 2009. – С. 59 – 61.

  • Степанова. Г.Н. Сборник задач по физике. 10-11 класс. М., Просвещение 1999 г.
  • Е.А. Марон, А.Е. Марон. Контрольные работы по физике. М., Просвещение, 2004

Основное содержание урока

Мир удивителен и многообразен. Мы каждый день наблюдаем разные движения тел. Все мы видели, как раскачивается ветка на ветру, лодка на волнах, качели, деревья при ветре. Чем эти движения отличаются от движения тележки движущейся прямолинейно? Мы видим, что в отличие от движения тележки движущейся прямолинейно, движения всех этих тел повторяются через определенный промежуток времени.

Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания играют огромную роль в нашей жизни. Примерами колебаний в нашем организме являются биение сердца, движение голосовых связок. Колебания происходят и в жизни нашей планеты (приливы, отливы, землетрясения) и в астрономических явлениях (пульсации звезд). Одним из грозных явлений природы является землетрясение – колебание земной поверхности. Строители рассчитывают возводимые ими сооружения на устойчивость при землетрясении.

Без знания законов колебаний нельзя было бы создать, телевидение, радио и многие современные устройства и машины. Неучтенные колебания могут привести к разрушению сложных технических сооружений и вызвать серьезные заболевания человека. Все это делает необходимым их всестороннее изучение.

Основным признаком колебательного движения является его периодичность. Колеблющееся тело за одно колебание дважды проходит положение равновесия. Колебания характеризуются такими величинами как период, частота, амплитуда и фаза колебаний.

Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

При малых амплитудах путь пройденный телом за одно полное колебание равен примерно четырем амплитудам.

Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называют периодом колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

Чтобы найти период колебаний нужно разделить время колебаний на число колебаний.

[T] = 1с

Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.

[v] = 1 Гц (герц)

Единица частоты названа в честь немецкого ученого Г. Герца.

Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.

[ω] = 1 рад/ с

Во всех колебательных системах действуют силы, стремящиеся вернуть тело в состояние устойчивого равновесия. Существуют несколько типов маятников: нитяные и, пружинные и т.д. Под словом «маятник» понимают твердое тело способное совершать колебания под действием приложенных сил около неподвижной точки или вокруг оси.

Мы с вами будем рассматривать пружинный и математический маятники.

Пружинный маятник. Колебательная система в этом случае представляет собой тело, прикрепленное к пружине. Колебания в таком маятнике возникают под действием силы упругости пружины и силы тяжести.

Период колебаний пружинного маятника:

T- период колебаний пружинного маятника

m – масса подвешенного груза

𝑘 – жесткость пружины

Математический маятник.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной нерастяжимой нити.

Математический маятник — это идеализированная модель. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного тела и масса нити ничтожна по сравнению с массой тела. Колебания такого маятника происходят под действием силы натяжения нити и силы тяжести. Формула для расчета периода колебаний математического маятника была выведена Гюйгенсом.

T – период колебаний математического маятника

𝑙 – длина нити маятника

𝑔 – ускорение свободного падения

Гюйгенс доказал, что период малых колебаний маятника не зависят от времени. Используя это свойство, названное изохронностью маятника Гюйгенс в тысяча шестьсот пятьдесят седьмом году, сконструировал первые маятниковые часы. Это свойство маятника было открыто 19-летним Галилеем более чем за 20 лет до открытия Гюйгенса. Наблюдая за тем, как раскачиваются в соборе светильники, подвешенные на нитях одинаковой длины, он заметил, что их период колебаний не зависит от времени. Наручных часов тогда не было, и юный Галилей пришёл к решению, которое для многих поколений будет служить образцом блеска и остроумия человеческой мысли: он сравнил колебания маятника с частотой биения собственного сердца.

Гармоническими являются колебания, происходящие под действием силы пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению. Уравнение гармонических колебаний:

x – координата колеблющейся величины

– амплитуда колебаний

ω — циклическая частота

При наличии сил трения в системе колебания затухают. Амплитуда колебаний в этом случае со временем уменьшается. Иногда возникает необходимость в гашении колебаний, к примеру колебания кузова, на рессорах при езде на автомобиле. Для гашения колебаний применяют специальные амортизаторы. С кузовом связывают поршень, который при колебаниях движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Большое сопротивление жидкости приводит к гашению колебаний.

Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Если частота изменения внешней силы не равна частоте свободных колебаний системы, то внешняя сила будет действовать не в такт со свободными колебаниями самой системы. В этом случае амплитуда колебаний будет определяться максимальным значением действующей на систему внешней силы.

Если частота изменения внешней силы совпадет с частотой свободных колебаний, то будет наблюдаться резкое возрастание амплитуды колебаний, так как внешняя сила в этом случае будет действовать в такт со свободными колебаниями этой системы.

ω — частота изменения внешней силы.

ω0 – частота свободных колебаний системы.

Впервые явление резонанса было описано Галилеем. Явление резонанса играет большую роль в природе, технике и науке. Большинство сооружений и машин обладая определенной упругостью, способно совершать свободные колебания. Поэтому внешние периодические воздействия могут вызвать их резонанс, что может стать причиной катастроф. Известно много случаев, когда источником опасных колебаний были люди, идущие в ногу. Так, в 1831 году в городе Манчестер при прохождении по мосту колонны солдат строевым шагом мост разрушился. Аналогичный случай был в г. Петербурге в 1905 году. При прохождении моста через реку Фонтанка эскадроном гвардейской кавалерии мост обрушился. Для предотвращения резонансных явлений используют разные способы гашения вынужденных колебаний. Один способ состоит в изменении частоты свободных колебаний в системе. Другой способ состоит в увеличении силы трения в системе: чем больше сила трения, тем меньше амплитуда резонансных колебаний

Разбор тренировочных заданий

1. Найдите массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.

Дано:

𝑘=250 Н/м

N= 20

t= 16 с

_______

m=?

Решение:

Напишем формулу периода пружинного маятника

T=2π√(m/k)

Из этой формулы выразим массу

Период колебаний груза найдём через время колебаний и число колебаний по формуле:

Подставляем числовые значения величин

T=0,8 с.

Следовательно масса равна:

m=4 кг

Ответ: m=4 кг

2. На нити подвешен шарик массой 0,1 кг. Шарик отклонили на высоту 2,5 см (по отношению к положению равновесия) и отпустили. Определите максимальную скорость шарика.

Дано:

m= 0,1 кг

h=2,5 см = 0.025 м

_________

vm=?

Решение:

Скорость колеблющегося шарика максимальна в момент прохождения положения равновесия.

Для решения задачи применим закон сохранения энергии:

Подставляем числовые значения величин:

Ответ:

Механические колебания в физике: основные формулы и законы

Механическими колебаниями называются механические движения или процессы, повторяющиеся во времени.

Если колебания происходят через равные промежутки времени, они называются периодическими.

Смещение х — это расстояние от маятника до положения равновесия. Амплитуда А — это наибольшее смещение. При гармонических колебаниях амплитуда — постоянная величина. В одном полном колебании содержится 4 амплитуды.

Период Т — время одного полного колебания. Период при гармонических колебаниях — постоянная величина.

Частота v — это число полных колебаний в единицу времени. Частота — величина, обратная периоду. Частота гармонических колебаний не изменяется в процессе колебаний.

Циклическая частота — это величина, равная числу полных колебаний, совершенных за время, равное . Циклическая частота гармонических колебаний не изменяется в процессе колебаний.

Фаза — это величина под знаком косинуса или синуса в уравнении гармонических колебаний, показывающая, какая доля периода прошла от начала колебания. Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.

Гармонические колебания — это колебания, в которых данный параметр изменяется по закону косинуса или синуса. Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с максимальным отклонением маятника от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными и их начальная фаза равна нулю. Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с прохождением маятником положения равновесия, то колебания являются синусоидальными и их начальная фаза тоже равна нулю.

Графики косинусоидальных гармонических колебаний смещения х, скорости v, ускорения а, силы F, потенциальной , кинетической и полной Е энергий, когда начальная фаза равна нулю, изображены на рис. 307.

Ниже приведены уравнения механических колебаний и волн.

У равнения гармонических колебаний:

Здесь х — смещение маятника (м), А — амплитуда колебаний (м), — фаза (рад), — циклическая (угловая) частота (рад/с), t — время колебаний (с), — начальная фаза (рад).

Формула фазы колебаний:

Здесь — фаза (рад), — циклическая частота (рад/с), t — время (с), — начальная фаза (рад).

Формулы циклической частоты:

Здесь —циклическая частота (рад/с), v —частота колебаний (Гц), Т — период (с), k — жесткость пружинного маятника (Н/м), m — масса маятника (кг), g — ускорение свободного падения , I — длина математического маятника (м).

Формулы периода колебаний:

Здесь Т — период (с), t — время колебаний (с), N — число колебаний за это время (безразмерное), v — частота колебаний (Гц). Остальные величины названы в предыдущей формуле.

Формулы частоты колебаний:

Здесь v — частота (Гц), N — число колебаний, Т — период (с), л = 3,14 — число «пи», t — время колебаний (с), k — жесткость пружинного маятника (Н/м), m — масса маятника (кг), g — ускорение свободного падения , I — длина математического маятника.

Формулы скорости гармонических колебаний:

Здесь v — мгновенная скорость (м/с), — первая производная смещения по времени (м/с), — циклическая частота (рад/с), А — амплитуда колебаний (м), — начальная фаза (рад), — максимальная скорость колебаний (м/с).

Формулы ускорения при гармонических колебаниях

Здесь а — мгновенное ускорение — первая производная скорости по времени , — максимальное ускорение . Остальные величины названы в предыдущей формуле.

Формулы длины волны:

Здесь — длина волны (м), v — скорость волны (м/с), Т — период (с), v — частота (Гц).

Условия максимума и минимума при интерференции волн:

Здесь — разность хода волн (м), k = 0; 1; 2; 3;… — целое число (безразмерное), — длина волны (м).

Гармонические колебания

Гармонические колебания происходят под действием переменной силы, пропорциональной смещению маятника от положения равновесия и всегда направленной к положению равновесия. Поскольку в процессе колебаний эта сила изменяется, изменяется и ускорение маятника, возникающее под действием этой силы. Поэтому к колебательному движению нельзя применять формулы равномерного или равноускоренного движений, с их помощью можно определять только средние скорость и ускорение за определенный промежуток времени. Чтобы найти мгновенную скорость, надо брать первую производную смещения по времени, а чтобы найти мгновенное ускорение — первую производную скорости по времени.

Если дано уравнение гармонических колебаний с цифровыми значениями параметров и требуется из него найти какую-либо величину, то запишите рядом уравнение гармонических колебаний в общем виде и сопоставьте его с данным уравнением. Та величина, что стоит между знаком «равно» и синусом или косинусом, есть амплитуда, в каком бы виде она ни была записана. Та, что стоит между синусом или косинусом и временем t, есть циклическая частота, а та, что без t, есть начальная фаза. Например, дано уравнение:

и требуется найти амплитуду и период колебаний. Запишем это уравнение в общем виде:

Теперь раскроем скобки в данном нам уравнении и сравним его с уравнением в общем виде:

Из сравнения с предыдущим уравнением видно, что амплитуда А = 0,4 м, циклическая частота рад/с и начальная фаза . А поскольку

и частота .

Если наоборот, даны числовые значения параметров, а требуется записать уравнение колебаний, подставьте в уравнение в общем виде все числа, а время t оставьте в буквенном виде.

Например, вам даны амплитуда 5 см, период 2 с и начальная фаза 30° и требуется записать уравнение гармонических косинусоидальных колебаний. Найдите сначала циклическую частоту по формуле

Поскольку , значит, .

С учетом этого требуемое уравнение примет вид:

К свободным гармоническим колебаниям применим закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия маятника Е в процессе гармонических колебаний сохраняется. При этом она равна его максимальной потенциальной энергии , или его максимальной кинетической энергии , или сумме мгновенных потенциальной и кинетической энергий маятника в любой промежуточной точке его траектории:

Применительно к пружинному маятнику это равенство можно записать еще и так:

а применительно к математическому:

Здесь х, v и h — мгновенные смещение, скорость и высота подъема математического маятника над положением равновесия.

Если математический маятник движется вверх с ускорением или вниз с замедлением, то период его свободных (или собственных) колебаний определяется по формуле

Если он движется вниз с ускорением или вверх с замедлением, то период его свободных колебаний определяет формула

а если он движется горизонтально с ускорением или замедлением, то его период

Если математический маятник поднят над Землей на высоту Н, сравнимую с радиусом Земли или превосходящую его, где ускорение свободного падения g меньше, чем ускорение свободного падения на Земле, то там маятник за время t отстанет от земного на время , поскольку увеличится его период колебания на величину . При этом выполняется соотношение

где Т — период на высоте Н, а — период его колебаний на Земле.

Если пружинный маятник состоит из двух последовательных пружин с жесткостями , как на рис. 308, а), то силы упругости, действующие на каждую пружину, одинаковы, а деформации пружин разные, и при этом общая амплитуда колебаний маятника равна сумме амплитуд колебаний каждой пружины:

а соотношение между амплитудами колебаний вследствие равенства сил упругости имеет вид:

Если пружины соединены параллельно, как на рис. 308, б), то амплитуды колебаний пружин будут одинаковы, а силы упругости, возникающие в пружинах при деформации, — разные, поэтому справедливым будут соотношения

Если маятник не является ни пружинным, ни математическим, то к такому — физическому — маятнику формулы периода и частоты пружинного и математического маятников неприменимы. Для решения задач на физический маятник следует пользоваться законами Ньютона, сохранения импульса и сохранения энергии. Свободные колебания реального маятника, на который действуют внешние силы сопротивления, являются затухающими. Затухающие колебания не являются ни периодическими, ни гармоническими. График затухающих колебаний изображен на рис. 309.

Если на реальный маятник действует периодически изменяющаяся внешняя сила, то такие колебания называются вынужденными. Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Если частота собственных колебаний маятника равна частоте вынужденных колебаний, то при малом сопротивлении внешней среды наступает механический резонанс — явление резкого возрастания амплитуды колебаний, когда частота вынужденных колебаний становится равной собственной частоте маятника.

На рис. 310 изображено семейство резонансных кривых для сред с разным сопротивлением колебаниям. Чем меньше внешнее сопротивление, т.е. чем ближе реальный маятник к идеальному, тем выше и острее резонансная кривая.

Механические волны

Механической волной называют распространение механических колебаний в упругой среде.

Механические волны бывают поперечные и продольные. Поперечной волной называют волну, в которой частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, а продольной — в которой частицы колеблются вдоль направления распространения волны.

В вакууме механические волны распространяться не могут. Поэтому, каким бы сильным ни был взрыв в космосе, на Земле его не услышат.

Вследствие отставания колебаний одних частиц среды от других в поперечных волнах возникают гребни и впадины (как в резиновом шнуре на рис. 311), а в продольных — сгущения и разрежения (как в упругой пружине на рис. 312).

Механические волны не переносят вещество среды, но переносят ее форму: гребни и впадины в поперечной волне и сгущения и разрежения в продольной.

Механические волны переносят механическую энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Расстояние, пройденное волной за один период колебания ее частиц, называется длиной волны.

На расстоянии длины волны располагаются соседние гребни или соседние впадины в поперечной волне, а также соседние сгущения или соседние разрежения в продольной. На расстоянии длины волны расположены частицы, колеблющиеся с разностью фаз рад.

На рис. 313 изображена графически поперечная волна и показана ее длина волны . В отличие от графика колебаний маятника здесь по оси абсцисс отложено не время колебаний t, а модуль перемещения волны S.

Скорость волны v — это скорость перемещения гребней или впадин в поперечной волне и сгущений или разрежений в продольной. Скорость волны в данной среде — постоянная величина, т.к. волны в однородной среде распространяются равномерно и прямолинейно. Скорость волны не равна скорости колебаний ее частиц, т.к. частицы волны колеблются с переменной скоростью.

Подтверждением волнового процесса в среде являются интерференция, дифракция, дисперсия и поляризация волн.

Волны, частицы которых колеблются с постоянной разностью фаз или с одинаковой частотой, называются когерентными. При наложении когерентных волн друг на друга возникает интерференция волн.

Интерференция

Интерференция — это наложение волн друг на друга, в результате которого в пространстве, охваченном волной, перераспределяется волновая энергия и возникают усиления волн (максимумы) и их ослабления (минимумы). При максимуме амплитуды налагающихся волн складываются (рис. 314, а), а при минимуме — вычитаются (рис. 314, б). Если при минимуме амплитуды волн одинаковы, то волны полностью погасят друг друга.

Наилучшим условием максимума интерференции является наложение волн с одинаковой фазой или с разностью фаз, равной целому числу рад. Так будет, когда разность хода волн от их источников до места наложения М содержит четное число полуволн или целое число длин волн (рис. 315).

Наилучшим условием минимума интерференции является наложение волн в противофазе, т.е. когда разность фаз равна радиан. В этом случае разность хода волн содержит нечетное число полуволн.

Дифракция

Дифракцией волн называется загибание волн в область геометрической тени при прохождении мимо препятствия или сквозь отверстие размером порядка нескольких длин волн.

Дифракцию волн объясняет принцип Гюйгенса: каждая точка среды, до которой добежала волна, сама становится источником такой же волны.

Дисперсию и поляризацию волн мы повторим в теме «Оптика».

Продольные волны звуковой частоты называются звуковыми волнами. Звуковой частотой, т.е. частотой, при которой человеческое ухо слышит звук, является частота от 16 Гц до 20 000 Гц. Звук с частотой меньше 16 Гц называется инфразвуком, а звук с частотой выше 20 000 Гц — ультразвуком.

Высота тона звука зависит от частоты колебаний звучащего тела (вибратора). Чем больше частота колебаний, тем выше тон. Частота колебаний крыльев мухи меньше частоты колебаний крыльев комара, поэтому муха жужжит, а комар пищит.

Громкость (интенсивность) звука зависит от амплитуды колебаний звучащего тела. Чем больше амплитуда колебаний, тем громче звук.

Скорость звука зависит от среды, в которой он распространяется, и от ее температуры. В более плотных и упругих средах звук распространяется быстрее. Скорость звука в воздухе составляет примерно 340 м/с. С повышением температуры скорость звука увеличивается.

Эта теория со страницы подробного решения задач по физике, там расположена теория и подробное решения задач по всем темам физики:

Задачи по физике с решением

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Механические, периодические колебания, характеристики: частота, период, фаза, амплитуда, Виды колебаний, резонанс, примеры

Тестирование онлайн

Колебательное движение

Особый вид неравномерного движения — колебательное. Это движение, которое повторяется с течением времени. Механические колебания — это движения, которые повторяются через определенные промежутки времени. Если промежутки времени одинаковые, то такие колебания называются периодическими.

Колебательная система

Это система взаимодействующих тел (минимум два тела), которые способны совершать колебания. Простейшими колебательными системами являются маятники.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A — это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T — это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний — это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными. Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические, затухающие, нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Вынужденные колебания

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор — это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других — вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 — разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Основные формулы и методические рекомендации по решению задач на электромагнитные колебания

«Все, что казалось трудным нам сначала,

к концу обычно трудным не бывало».

Данная тема посвящена рассмотрению основных формул и методических рекомендаций по решению задач на электромагнитные колебания.

В данном разделе будут рассматриваться случаи, в которых колеблющиеся величины совершают гармонические колебания. Итак, гармонические колебания – это повторяющийся во времени процесс отклонения системы от положения равновесия, при котором не происходят потери энергии, и который подчиняется синусоидальному закону. Соответственно, зависимости от времени таких величин, как напряжение, заряд, сила тока и так далее будут представлять собой синусоиды.

Колебательный контур – это осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока и напряжения.

Следует отметить, что контур, в котором не происходят потери энергии, называется идеальным колебательным контуром или контуром Томсона. В соответствии с определением идеального контура, Томсон вывел формулу, по которой вычисляется период колебаний в таком контуре. В реальных контурах, конечно, существует активное сопротивление, а, значит, происходят потери энергии. Поэтому, без дополнительного поступления энергии, колебания являются затухающими.

Рассмотрим параметры и характеристики этих колебаний.

В электромагнитных колебаниях амплитудой колебаний называется максимальное значение колеблющейся величины. Для примера рассмотрим график, описывающий гармонические колебания. Максимальные значения колеблющейся величины соответствуют пикам синусоиды. Что касается фазы, то это величина, определяющая смещение в любой момент времени (то есть, состояние системы). Если мы обозначим на графике вторую синусоиду, то фазой будет расстояние между двумя ближайшими пиками этих синусоид (хотя, чаще фаза измеряется в радианах).

Периодом колебаний называется время одного полного колебания (то есть, за это время повторяются какие-либо показатели системы). Для примера рассмотрим график, описывающий гармонические колебания. Расстояние между двумя ближайшими пиками синусоиды – это и будет промежуток времени, по прошествии которого повторились показатели системы (в данном случае, это отклонение от положения равновесия). Частота колебаний – это величина, обратная периоду, то есть, число колебаний в единицу времени.

Циклическая частота – это физическая величина, численно равная количеству колебаний за 2p секунд. То есть, это тоже самое, что и частота, только в качестве единиц времени взято 2p (таким образом, циклическая частота измеряется в радианах в секунду).

Собственная частота – это частота колебаний системы при отсутствии сил сопротивления в среде (в случае электромагнитных колебаний это подразумевает отсутствие активного сопротивления).

С электромагнитными колебаниями, конечно, связано понятие переменного тока. Переменный ток с успехом используется в трансформаторах. Трансформатор – это устройство, служащее для преобразования силы инапряжения переменного тока принеизменной частоте. Простейший трансформатор состоит их двух катушек индуктивности, соединённых сердечником. Работа трансформаторов основана на явлении электромагнитной индукции. За счёт неравного количества витков в катушках можно повышать или понижать напряжение, подаваемое на первичную обмотку.

Сведём в таблицу основные формулы электромагнитных колебаний.

Формула

Описание формулы

Уравнение гармонических колебаний, где q(t) – заряд на конденсаторе, изменяющийся со временем t,  – циклическая частота,  – фаза колебаний, qm – максимальный (амплитудный) заряд.

Колебание напряжения, где Um – максимальное (амплитудное) напряжение.

Колебание силы тока, где Im – максимальная 9амплитудная) сила тока.

Период колебаний, где L – индуктивность катушки, С – электроёмкость конденсатора

Частота колебаний

Циклическая частота колебаний

Соотношения между амплитудными значениями заряда, напряжения и силы тока

Действующее значение напряжения и силы тока

Ёмкостное сопротивление конедсатора

Индуктивное сопротивление катушки

Активное сопротивление цепи

Полное сопротивление цепи переменному току, где R – активное сопротивление.

Разность фаз в цепи переменного тока

Активная мощность в цепи переменного тока

Закон Ома для цепи переменного тока, где Z – полное сопротивление цепи переменному току.

Коэффициент трансформации трансформатора, где U1, U2 – напряжение на зажимах обмоток, N1, N2 – количество витков в обмотках, ,  – ЭДС в обмотках.

Коэффициент полезного действия трансформатора, где P1 – мощность потребителя в первичной цепи, P2 – мощность, выделяемая на нагрузке.

Методические рекомендации по решению задач на применение общих уравнений гармонических колебаний

1. Записать общее уравнение гармонических колебаний.

2. Если в задаче есть заданное уравнение колебаний, сопоставить его с общим уравнением и определить параметры электромагнитных колебаний.

3. Если в задаче даны характеристики электромагнитных колебаний, составить соответствующее уравнение, опираясь на них.

Методические рекомендации по решению задач на ёмкостное, индуктивное и активное сопротивление.

1. При необходимости начертить схему цепи.

2. Использовать формулы для нахождения соответствующего сопротивления.

3. В случае надобности, использовать действующие значения силы тока и напряжения.

4. На основании применённых формул составить систему уравнений и решить её относительно искомых величин.

Методические рекомендации по решению задач на закон Ома для цепей переменного тока.

1. Начертить схему цепи.

2. Использовать формулу для нахождения полного сопротивления.

3. Применить закон Ома для цепей переменного тока.

4. В случае надобности, найти разность фаз.

5. На основании применённых формул составить систему уравнений и решить её относительно искомых величин.

Методические рекомендации по решению задач на трансформаторы.

1. Рассмотреть напряжения или токи в обмотках, мощность нагрузки, рабочий или холостой ход трансформатора.

2. Применить формулу для коэффициента трансформации.

3. В случае надобности воспользоваться законом Ома для замкнутой цепи.

4. При необходимости, применить формулу для КПД трансформатора.

5. На основании применённых формул составить систему уравнений и решить её относительно искомых величин.

Гармонические колебания

Определение 1

Техника и окружающий мир являются примерами того, что существуют такие процессы, которые повторяются через определенные промежутки времени, то есть периодически. Их называют колебательными.

Колебательные движения. Формулы

Такие движения относят к явлениям с разной физической природой с подчинением общим закономерностям. Запись колебания тока в электрической цепи и математического маятника производится одним и тем же уравнением. Различная природа колебательных движений позволяет рассматривать их с единой точки зрения, исходя из общности закономерностей.

Определение 2

Механические колебания – это периодические или непериодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение и так далее).

Когда в заданной среде атомы располагаются очень близко или молекулы испытывают силовое воздействие, наблюдается возбуждение механических колебаний. Это говорит о том, что процесс будет иметь конечную скорость, зависящую от свойств среды, которая распространяется от точки к точке. Так возникают механические волны. Явный пример – звуковые волны в воздухе.

Волновые процессы и колебания разной природы имеют много общего, а их распространение может быть описано аналогичными математическими уравнениями. Это подтверждает единство материального мира.

Гармонические колебания. Определение

В механике предусмотрено движение поступательно, вращательно и с наличием колебаний.

Определение 3

Механические колебания – это движения тел, которые повторяются точно или приблизительно за определенные одинаковые временные промежутки.

Функция x=f(t) объясняет закон движения тела с наличием колебаний. При графическом изображении дается представление о протекании колебательного процесса во времени. Рисунок 2.1.1 наглядно показывает принцип простых колебательных систем груза на пружине или математического маятника.

Рисунок 2.1.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

Определение 4

Действия внутренних сил системы после выведения из равновесия порождают свободные колебания. Примером могут служить колебания груза на пружине или маятника. Если их действие происходит под воздействием внешних сил, тогда их называют вынужденными.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением x=xmcos (ωt+φ0), где x– смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, ω– циклическая или круговая частота, t – время.

Величина, располагаемая под знаком косинуса, получила название фазы гармонического процесса: φ=ωt+φ0. Если t=0, φ=φ0, тогда φ0 рассматривается в качестве начальной фазы.

Период колебаний Т – это минимальный промежуток времени, через который происходят повторения движения тела. Величина, обратная периоду колебаний, называют частотой колебаний f=1T.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Частота гармонических колебаний показывает их количество, совершаемое за единицу времени, измеряемая в герцах (Г). Связь с циклической частотой ω и периодом T выражается с помощью формулы:

ω=2πf=2πT.

Рисунок 2.1.2 показывает гармонические колебания тел с разными положениями тел. Данный эксперимент наблюдается в специальных условиях при наличии периодических вспышек освещения, называемого стробоскопическим. Для изображения векторов скорости тела в разные моменты времени используют стрелки.

Рисунок 2.1.2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ0=0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T12.

На графике 2.1.3. показаны изменения, происходящие во время гармонического процесса, при изменении амплитуды колебаний xm, или периода Т (частоты f), или начальной фазы φ0.

Рисунок 2.1.3. Во всех трех случаях для синих кривых φ0=0: a – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x’m>xm); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T’=T2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы  φ0’=-π2 рад.

Гармонический закон

Если колебания совершаются вдоль прямой Ох, тогда направление вектора скорости аналогично. Определение скорости движения тела υ=υx определяют из выражения υ=∆x∆t; ∆t→0.

Отношение ∆x∆t при ∆t→0 математика трактует как вычисление производной функции x(t) за определенное время t. Обозначение принимает вид dx (t)dt, x'(t) или x˙.

Гармонический закон движения записывается в качестве x=xmcos (ωt+φ0). После вычисления производной формула приобретает вид:

υ=x˙(t)=-ωxmsin (ωt+φ0)=ωxmcos ωt+φ0+π2.

Слагаемое +π2 считают изменением начальной фазы. Достижение максимального значения скорости по модулю υ=ωxmпроизводится при прохождении тела через положение равновесия, то есть x=0. Аналогично определяют ускорение a=ax. Тогда a=∆υ∆t, ∆t→0. Отсюда следует, что a равняется производной функции υ(t) за время t или второй производной функции x(t). Подставив выражения, получим

a=υ˙(t)=x¨(t)=-ω2xmcos (ωt+φ0)=-ω2x(t).

Наличие отрицательного знака указывает на то, что ускорение a(t) имеет противоположный смещению x(t) знак. Исходя из второго закона Ньютона, сила, которая заставляет совершать колебательные движения, направляется в сторону положения равновесия x=0.

На рисунке 2.1.4 изображены графики, где имеются зависимости скорости, ускорения, совершающие гармонические колебания.

Рисунок 2.1.4. Графики координаты x (t), скорости υ (t) и ускорения a (t) тела, совершающего гармонические колебания.

Рисунок 2.1.5. Модель гармонических колебаний.

Колебания — universe-matrix

  Колебания — повторяющийся процесс изменения с течением времени значения физической величины около ее среднего значения.

Колебания характеризуются амплитудой, периодом, частотой и фазой.

 

Частота — это количество циклов за определенный промежуток времени.

Период колебаний (обозначение -T)- между двумя последовательными прохождениями тела через одно и то же положение в одном и том же направлении.  Величина, обратная частоте. 

Амплитуда — модуль максимального отклонения тела от положения равновесия.

По характеру физических процессов колебания разделяются на:

механические

электромагнитные

и их комбинации (как например, колебания в плазме.)

 Колебаниям различной физической природы присущи общие закономерности, изучение которых составляет предмет теории колебаний.  


Частота колебаний

Величина, обратная периоду Т и равная числу колебаний в единицу времени, называется частотой колебаний.

f=1/T,            

   где Т период колебаний

Частота измеряется в герцах (ГЦ)

При частоте 1Гц совершается одно полное колебание за 1с.

Частота колебаний в контуре

определяется индуктивностью L катушки контура и емкостью C конденсатора


Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. 

Период колебаний

Формула Томсона определяет период колебаний в колебательном контуре.

T=2*Pi*корень(LC)

T — период колебаний

Pi — число Пи,

L — индуктивность катушки в колебательном контуре,

C — емкость конденсатора в контуре.

либо:

T = (2*pi)/w


Задача:

В колебательном контуре к конденсатору присоединили параллельно другой конденсатор, ёмкость которого в n=49 раз больше. После этого собственная частота колебаний контура уменьшилась на f=113рад/с. Какая частота колебаний контура f была до присоединения второго конденсатора? Потерями в контуре пренебречь.  Ответ дайте в рад/с, округлив его до целого числа.

Дано:

Решение:

Период затухающих колебаний 


Добротность колебательного контура

Q=1/R *  √ L/C 

 Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

По способу возбуждения колебания делят на: свободные или собственные, происходящие после какого-либо первоначального воздействия в представленной самой себе системе;

вынужденные, происходящие при переодическом внешнем воздействии;

параметрические, происходящие при периодическом изменении какого-либо параметра колебательной системы.

Колебательные системы по сложности делят на:

простые системы (с одной степенью свободы)

системы с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы)

системы с распределенными параметрами, имеющие бесконечный набор собственных частот.

Вынужденные колебания. Резонанс.

 

Автоколебания

— отличаются от остальных колебательных процессов тем, что для их поддержания не требуется периодических воздействий извне.

Характерные элементы простых автоколебательных систем — резонатор, постоянный источник энергии и устройство обратной связи между резонатором и источником энергии.

 
 Резона́тор — колебательная система, в которой происходит накопление энергии колебаний за счёт резонанса с вынуждающей силой. Обычно резонаторы обладают дискретным набором резонансных частот.

7. Трение и колебания — Введение в статистическую механику

В 1827 году Роберт Браун рассматривал в микроскоп пыльцевые зерна в воде. Он заметил, что самые маленькие частицы находились в постоянном движении, казалось бы, беспорядочно покачиваясь. Это стало известно как броуновский. движение . Долгие годы причина этого оставалась неразгаданной загадкой.

Наконец, в 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал статью с запоминающимся названием «О движении мелких взвешенных частиц. в неподвижной жидкости, требуемой молекулярно-кинетической теорией тепла », который показал, что броуновское движение может быть объясняется случайными столкновениями молекул воды с зернами, когда они претерпевают тепловое движение.Этот документ был важно по двум причинам. Во-первых, это послужило окончательным убедительным доказательством существования атомов. Это замечательно чтобы понять, что еще в 1905 году само существование атомов было спорной темой. Большинство химиков давно с тех пор признал реальность атомов, но некоторые физики продолжали отрицать, что материя каким-либо образом дискретна.

Во-вторых, он помог сформировать основу для изучения трения и колебаний равновесия на основе статистических данных. механика.Цель этой главы — научиться описывать броуновское движение и понять глубокую связь между, казалось бы, несвязанными явлениями трения и колебаний.

7.1. Трение и диссипация

Трение — привычный жизненный факт. Потрите два предмета вместе, и вы почувствуете силу, сопротивляющуюся движению. Поместите поставьте предмет на пол и толкните его; он проскользнет на небольшое расстояние, а затем остановится. Опять же есть сила сопротивление его движению: трение. И еще кое-что: движущиеся друг против друга предметы становятся теплее, как когда вы потираете руки, чтобы согреть их, или когда вы зажигаете спичку.То же самое происходит и в других контекстах. Например, электрическое сопротивление — это просто еще один вид трения. Если пропустить ток через проводник, сила сопротивляется движению электронов, и проводник становится теплее.

Трение — такая универсальная часть нашего опыта, что кажется, что оно должно отражать что-то фундаментальное в законах природы. Тем не менее, если вы посмотрите на основные уравнения классической или квантовой механики, признаков трения нет. Один Изолированная частица будет продолжать двигаться по прямой, не замедляясь.Если две частицы сталкиваются, они отскакивать друг от друга с такой же энергией, как и в начале. Оказывается, трение случается только с макроскопические объекты. И есть даже ситуации, когда макроскопические системы от него свободны, например, сверхпроводимость и сверхтекучесть. Что такое трение и откуда оно берется?

Ответ, конечно же, — статистическая механика. В разделе 4.1 мы видели, что когда Система находится в равновесии, ее кинетическая энергия равномерно распределена по всем ее степеням свободы.Макроскопический объект в движении явно находится в состоянии равновесия , а не . Он имеет одну степень свободы (движение центра масс) с большим больше энергии, чем любой другой. Если эта степень свободы взаимодействует с другими, система будет стремиться к равновесие. Энергия будет передаваться из этой одной степени свободы (чтобы объект замедлился) и во все остальные (чтобы объект стал теплее).

Вот и все, чем на самом деле является трение: тенденция систем двигаться к равновесию, когда разные степени свободы разрешено взаимодействовать друг с другом.

В процессе его энергия становится менее полезной. Кинетическая энергия движущегося макроскопического объекта — это полезная энергия. Это легко может использоваться для выполнения механических работ. Тепловая энергия менее полезна. Вам нужна тепловая машина с отдельным холодным ванна, чтобы работать с ним, и теорема Карно устанавливает строгий верхний предел того, сколько работы он может сделать. Это преобразование От полезной механической энергии к меньшей полезной тепловой энергии называется диссипация . Мы говорим, что трение «рассеивается. энергия ».То есть он преобразует механическую энергию в тепловую.

7.2. Теория линейного отклика

Теперь мы готовы сделать еще один шаг в сторону от равновесия и исследовать, что происходит с системой, испытывающей трение. Но с чего начать? Все наши результаты до сих пор применимы только к системам, находящимся в равновесии. Даже когда мы учились В главе 5 о термодинамических процессах мы рассматривали только переходы между двумя состояниями равновесия. Мы предположили, что если мы подождем достаточно долго, система в конечном итоге вернется к равновесию, но мы ничего не сказали о как происходил этот процесс.Трение — это этого процесса. Система, испытывающая трение, по определению является системой из равновесия.

В разделе 4.4 мы видели, что когда система находится в равновесии, все механические и термодинамические силы в точности уравновешиваются. Его макроскопические переменные, как правило, остаются фиксированными. Обратное также верно: если система находится в равновесии , а не , механические и термодинамические силы в целом будут отменять , а не . наружу, и система ощутит чистую силу, толкающую ее обратно к равновесию.Интуитивно мы ожидаем, что чем дальше система находится от равновесия, тем сильнее будет сила. Но как именно он меняется? Мы просто сделаю предположение:

Допущение (линейный ответ)

Если макроскопическая переменная смещена от равновесия на расстояние \ (\ Delta x \), система будет испытывать результирующую восстанавливающую силу, которая линейно пропорциональна смещению: \ (F = -C \ Delta x \), где \ (C \) — постоянная.

Это предположение лежит в основе теории линейного отклика .Макроскопической переменной может быть скорость пыльцы. зерно, погруженное в воду, объем надутого воздушного шара или электрический ток, проходящий по цепи. Все Важно то, что он взаимодействует со многими микроскопическими степенями свободы, которые могут действовать как термостат.

Как мы можем обосновать это предположение? Если система не находится в равновесии, результирующая сила почти наверняка будет иметь тенденцию толкать он вернулся к равновесию. Например, пыльцевое зерно будет сталкиваться с молекулами воды, которые его замедляют.Или воздушный шар будет подвергаться бомбардировке молекулами воздуха, которые оказывают на него давление. Но нет фундаментальной причины, по которой сила должна быть линейным по перемещению.

Мы оправдаем это двумя способами. Во-первых, предположим, что сила равна , а не линейной по смещению. В этом случае мы можем разложить его в ряд по степеням равновесного значения. Если \ (\ Delta x \) достаточно мало, все члены после линейный будет незначительным. Таким образом, даже если предположение не совсем правильное, оно все же является хорошим приближением. пока смещения достаточно малы.

Второе обоснование — это просто экспериментальное наблюдение: линейный отклик оказывается очень хорошим описанием. многих важных систем. Наше предположение не всегда верно, но оно верно во многих ситуациях; и наши выводы будет применяться только к этим ситуациям.

7.3. Колебания

Трение вызывается взаимодействием с тепловой ванной. Давайте проясним это. Движущийся объект замедляется потому что он сталкивается с молекулами своего окружения.При этом энергия рассеивается: кинетическая энергия перераспределяется между огромным количеством микроскопических степеней свободы. Эти два явления, трение и диссипация, на самом деле одно и то же.

Но это не , а эффект от контакта с тепловой ванной. Предположим, пыльцевое зерно изначально не двигается. вообще. В этом случае столкновения с молекулами воды заставят его начать движение . В конце концов, в равновесии каждая степень свободы должна иметь кинетическую энергию \ (kT / 2 \).Если он начинается с меньшего, эффект нагревать ванну будет для увеличения ее кинетической энергии.

Таким образом, в равновесии пыльцевое зерно будет находиться в постоянном движении. Его скорость и направление движения будут постоянно изменяется, поскольку его толкают окружающие молекулы воды. Но в среднем его кинетическая энергия будет равна значению дается теоремой о равнораспределении.

Мы называем этот эффект колебаниями равновесия . Любая переменная, находящаяся в равновесии с термостатом, будет постоянно меняется.Изменения будут казаться случайными, но они будут подчиняться статистическим правилам, определяемым природой тепла. ванна.

Эти два эффекта, флуктуации и диссипация, неотделимы друг от друга. Оба они вызваны именно тем тот же механизм: взаимодействие переменной с термостатом. Это центральное послание этого глава. И поскольку у них одна и та же причина, они гарантированно подчиняются определенным отношениям. Все, что осталось, это чтобы узнать, что это за отношения.

7,4. Уравнение Ланжевена

Запишем второй закон Ньютона для частицы, совершающей броуновское движение в воде: \ (F = m \ ddot {x} \). (Для простота, мы будем работать в одном измерении, но обобщение на большее количество измерений тривиально. Просто поверните \ (x \) и \ (F \) в векторы.) В этом уравнение \ (F \) — сила, действующая на частицу со стороны окружающих молекул воды. Детали тех взаимодействия чрезвычайно сложны и постоянно меняются, поэтому нам нужно искать приблизительное описание Это.{- \ frac {\ gamma} {m} t} \]

Для действительно макроскопической системы этого описания может быть достаточно. С какой бы скоростью ни начинал объект, он экспоненциально спадает к нулю. Но броуновское движение — не совсем макроскопическое явление. Это относится к частицы, которые намного крупнее молекулы воды, но все же достаточно малы, чтобы их можно было увидеть под микроскопом. И все дело в том, что их скорость , а не , падает до нуля. Они остаются в движении из-за постоянного столкновения с молекулами воды.Игнорируя силы, возникающие в результате этих случайных столкновений, мы упростили ситуацию. очень далеко.

Мы все еще можем предположить линейный отклик, но теперь мы будем принимать это только как утверждение о средней силе на частица. В любой момент сила могла быть разной. Это приводит к следующему уравнению, известному как Уравнение Ланжевена :

(2) \ [m \ ddot {x} = — \ gamma \ dot {x} + R \]

\ (R \) — «случайная» сила, описывающая быстро флуктуирующие взаимодействия между частицей и водой. молекулы.Мы не можем надеяться написать для него точную функцию, но мы все же можем описать его статистически. Мы сделаем следующие предположения по этому поводу:

  1. \ (\ langle R \ rangle = 0 \). Мы уже выделили среднюю силу на отдельный член, поэтому \ (R \) должен иметь среднее значение 0,

  2. Не зависит от \ (x \). Взаимодействие между частицей и водой одинаково независимо от того, где находится на водяной бане расположена частица.

  3. Поскольку он изменяется так быстро и хаотично, мы предполагаем, что он не коррелирует сам с собой, за исключением очень короткого времени. пролеты.Точнее, мы предполагаем, что существует некоторое максимальное время \ (\ tau \), в течение которого он имеет какие-либо корреляции, так что

    (3) \ [\ begin {split} \ langle R (t) R (t + \ delta t) \ rangle = 0 \ text {if} \ delta t> \ tau \ end {split} \]

  4. Мы также предполагаем, что скорость , при которой затухание корреляций не зависит от времени, так что \ (\ langle R (t) R (t + \ delta t) \ rangle \) не зависит от \ (t \). Это зависит только от \ (\ delta t \). В общие статистические свойства случайной силы всегда одинаковы.{3 \ tau} R (t ‘) dt’ + \ dots \]

    Таким образом, интеграл представляет собой сумму независимых членов, взятых из одного и того же распределения. Это именно та случай, который мы изучили в главе 3, поэтому мы можем сразу применить центральную предельную теорему и сделать вывод что интеграл подчиняется нормальному распределению со средним 0 (потому что \ (\ langle R \ rangle = 0 \)), а стандартное отклонение масштабируется с помощью \ (\ sqrt {t} \). И все это, не оценивая ни единого интеграла и ничего не зная о подробности о \ (R (t) \)!

    Прежде чем мы погрузимся в математику, давайте взглянем на уравнение Ланжевена и попытаемся понять его интуитивно.С правой стороны есть два термина. Первый всегда направлен против скорости, поэтому он стремится к замедлить частицу. Если бы это был единственный член, это привело бы к экспоненциальному убыванию скорости, как в уравнении (1). Второй член предотвращает это, постоянно применяя случайные удары ногами по частица. По сути, есть один термин, который удаляет энергию, и один термин, который добавляет энергию. Когда система в При равновесии два члена будут точно уравновешены, поэтому средняя энергия останется постоянной.Величина случайного сила, конечно, будет зависеть от температуры: чем горячее система, тем быстрее будут двигаться молекулы воды, и тем сильнее они ударят по частице. Поэтому мы ожидаем, что должна быть некоторая взаимосвязь между температурой, коэффициент трения и величину случайной силы. Как мы скоро увидим, это действительно так.

    7,5. Диффузия броуновской частицы

    Теперь, когда у нас есть детали, пора посмотреть, что мы можем вычислить.Для начала умножьте обе стороны уравнение (2) на \ (x \), тогда возьмем среднее по ансамблю:

    (5) \ [m \ langle x \ ddot {x} \ rangle = — \ gamma \ langle x \ dot {x} \ rangle + \ langle x R \ rangle \]

    Поскольку \ (R \) не зависит от \ (x \), последний член обращается в нуль: \ (\ langle x R \ rangle = \ langle x \ rangle \ langle R \ rangle = 0 \). Чтобы объединить два других термина, мы можем использовать идентичность

    (6) \ [\ frac {d} {dt} \ langle x \ dot {x} \ rangle = \ langle x \ ddot {x} \ rangle + \ langle \ dot {x} ^ 2 \ rangle \]

    (Это тождество использует тот факт, что операции взятия производной и взятия среднего по ансамблю коммутируют друг с другом.2 \ rangle = \ frac {2kT} {\ gamma} t \]

    Итак, с течением времени средний квадрат расстояния, пройденного частицей, увеличивается с постоянной скоростью. Это был один из Основные выводы статьи Эйнштейна о броуновском движении 1905 года, хотя он и сделал их несколько иным методом. Используемый здесь подход был опубликован несколькими годами позже, в 1908 году, Полем Ланжевеном.

    Этот результат не вызывает особого удивления. Фактически, это именно то, что мы, вероятно, предсказали бы, если бы у нас подумал об этом заранее.Частица движется неравномерно, поскольку ее скорость постоянно снижается за счет трения и заменяется случайной силой. Движение можно представить как серию независимых перемещений, взятых наугад, один за другим. По центральной предельной теореме они должны поэтому складываться в нормальное распределение, стандартное распределение которого отклонение растет как \ (\ sqrt {t} \). Этот вид движения называется диффузия . Его также иногда называют случайное блуждание , потому что оно строится из множества независимых случайных перемещений.

    То, как он масштабируется с температурой, тоже неудивительно. Если бы нас заставили предсказывать заранее, мы, вероятно, мог бы предположить, что среднее смещение будет пропорционально средней скорости, и по равнораспределению теорема, которая масштабируется как \ (\ sqrt {T} \). Мы также, вероятно, догадались бы, что больший коэффициент трения приводят к меньшему среднему смещению.

    С другой стороны, в уравнении (13) есть одна странность. Похоже, полностью не зависит от случайной силы.Фактически, \ (R \) выпал из вывода после самого первого шага. и больше никогда не появлялся. Но случайная сила — это то, что заставляет частицу диффундировать! Наверняка водоизмещение среднее должно зависеть от величины \ (R \)?

    Фактически, этот результат действительно зависит от \ (R \), но косвенно. Используя теорему о равнораспределении, мы Предполагается, что система находится в равновесии при температуре \ (T \). Это равновесие достигается за счет взаимодействия между силой трения и случайной силой, а \ (R \) зависит от \ (T \).{- \ frac {\ gamma} {m} (t-t ‘)} R (t’) dt ‘\]

    Первый член идентичен уравнению (1). Он представляет собой затухающую начальную скорость. экспоненциально до нуля. Но на этот раз у нас также есть второй член, представляющий действие случайной силы. Оно может можно рассматривать как серию бесконечно малых толчков, каждый из которых затем затухает со временем. Интегральные суммы по всем этим удары ногами, взвешивая каждый по экспоненциальному коэффициенту, основанному на времени \ (t-t ‘\), которое прошло с момента его возникновения.

    Нас интересует поведение при больших значениях \ (t \), когда у системы будет достаточно времени, чтобы равновесие.{- \ frac {\ gamma} {m} (t-t ‘)} R (t’) dt ‘\]

    Обратите внимание, что \ (t \) по-прежнему появляется в экспоненте. У вас может возникнуть соблазн заменить его на \ (\ infty \), но это было бы неправильно. С увеличением \ (t \) увеличивается и верхняя граница области интегрирования. В экспонента зависит только от разницы \ (t-t ‘\), и независимо от того, насколько большим становится \ (t \), всегда есть часть области интегрирования, для которой показатель мал.

    Мы хотим вычислить среднюю кинетическую энергию в состоянии равновесия, поэтому возведите каждую сторону в квадрат и возьмите среднее по ансамблю.{- \ frac {\ gamma} {m} s} \ langle R (0) R (s) \ rangle ds \]

    В разделе 7.4 мы предположили, что случайная сила не коррелировала сама с собой, за исключением некоторых «очень коротких» время \ (\ тау \). Давайте уточним это предположение. Из уравнения (14) мы видим, что \ (m / \ gamma \) устанавливает шкалу времени, в которой действует трение. По прошествии времени \ (m / \ gamma \) начальная скорость уменьшилась в \ (е \) раз. Будем считать, что \ (\ tau \ ll m / \ gamma \). Шкала времени по которой случайная сила коррелирует сама с собой, очень мала по сравнению с временной шкалой, в которой трение работает.{\ infty} \ langle R (0) R (s) \ rangle ds \]

    Этот очень важный результат называется теоремой флуктуационно-диссипации . Это дает связь между \ (T \), \ (\ gamma \) и \ (R \). Любая система, контактирующая с тепловой ванной, будет испытывать как трение, так и колебания, и величины этих двух эффектов напрямую связаны друг с другом. Вы не можете получить его без Другие.

    Правая часть уравнения (19) представляет собой интеграл от автокорреляционной функции случайная сила.Это зависит как от величины \ (R \), так и от времени \ (\ tau \), в течение которого оно остается. коррелирован. Чем сильнее сила, тем сильнее она действует на частицу. И чем длиннее временной интервал когда частица ускоряется в одном направлении до изменения силы, тем быстрее она будет двигаться.

    7.6: Колебания — Физика LibreTexts

    Теперь мы вычислим флуктуации значений энергии и числа частиц, заданные каноническим и большим каноническим ансамблями.2 \ label {7.6.2} \]

    Свободная энергия Гиббса определяется как \ (G = µ \ bar {N} \), и она также подчиняется

    \ [dG = −SdT + V dp + µd \ bar {N} \]

    Они следуют из уравнения 5.1.16 и уравнения 5.1.10. Поскольку \ (T \) фиксировано в рассматриваемых нами дифференцированиях, это дает

    \ [\ frac {\ partial µ} {\ partial \ bar {N}} = \ frac {V} {\ bar {N}} \ frac {\ partial p} {\ partial \ bar {N}} \ label {7.6.4} \]

    Уравнение состояния дает p как функцию числовой плотности \ (ρ ≡ \ frac {\ bar {N}} {V} \) при фиксированной температуре.2} = \ frac {1} {\ bar {N}} \ frac {kT} {\ frac {\ partial p} {\ partial ρ}} \]

    Это стремится к нулю, когда \ (\ bar {N} \) становится большим в термодинамическом пределе. Исключение может произойти, если \ (\ left (\ frac {∂p} {∂ρ} \ right) \) станет очень маленьким. Это может произойти в точке фазового перехода второго рода. В результате колебания чисел становятся очень большими при переходе. Теоретическое рассмотрение такой ситуации требует более специализированных методов.

    Обратимся теперь к флуктуациям энергии в каноническом ансамбле.2} ∼ \ frac {1} {N} \]

    Еще раз, колебания малы по сравнению со средним значением, поскольку \ (N \) становится большим.

    Термодинамическая теория флуктуаций равновесия

    https://doi.org/10.1016/j.aop.2015.09.015Получить права и содержание

    Аннотация

    Постулирующая основа классической термодинамики была расширена за счет включения флуктуаций равновесия. Основными дополнительными элементами предлагаемой термодинамической теории являются концепция квазиравновесных состояний, определение неравновесной энтропии, фундаментальное уравнение состояния в энтропийном представлении и флуктуационный постулат, описывающий распределение вероятностей макроскопических параметров изолированного система.Хотя эти элементы вводят статистический компонент, которого нет в классической термодинамике, логическая структура теории отличается от структуры статистической механики и представляет собой расширенную версию термодинамики. На основе этой теории мы представляем регулярную процедуру расчета равновесных флуктуаций экстенсивных параметров, интенсивных параметров и плотностей в системах с любым количеством флуктуирующих параметров. Предлагаемый формализм флуктуаций демонстрируется четырьмя приложениями: (1) вывод полного набора флуктуационных соотношений для простой жидкости в трех различных ансамблях; (2) флуктуации в системах с конечным резервуаром, интерполирующие между каноническим и микроканоническим ансамблями; (3) вывод флуктуационных соотношений для избыточных свойств границ зерен в бинарных твердых растворах и (4) вывод распределения ширины границ зерен для предварительно расплавленных границ зерен в сплавах.Последние два приложения предлагают эффективный флуктуационный подход к расчетам избыточных свойств поверхности раздела и извлечению расклинивающего потенциала на границах предварительно расплавленных зерен. Намечаются возможные будущие расширения теории.

    Ключевые слова

    Термодинамика

    Колебания

    Энтропия

    Граница зерен

    Предварительная плавка

    Рекомендуемые статьиЦитирующие статьи (0)

    Copyright © 2015 Автор. Опубликовано Elsevier Inc.

    Рекомендуемые статьи

    Ссылки на статьи

    Квантовые флуктуации, эффект Казимира и уравнение Дирака.

    Когда произносится термин «вакуум», идея «пустого пространства» сразу же относится к мышлению собеседника. В обычных исследованиях вакуум просто рассматривается как отсутствие материи, но, хотя и является общим и консолидированным, такое значение неверно в контексте квантовой механики.

    Относительно простая и элегантная формулировка описания квантовых систем, опубликованная Эрвином Шредингером в 1926 году посредством знаменитого «уравнения Шредингера» (уравнение I), недостаточна для описания некоторых случаев, таких как частицы, движущиеся со скоростью, близкой к легкий (~ 3X10 ^ 8 м / с).Специальная теория относительности, опубликованная в работах Альберта Эйнштейна в 1905 году, предлагает объяснение эффектов, испытываемых материей, когда она приближается к скорости света. Когда тело демонстрирует такую ​​скорость, говорят, что оно находится под релятивистскими эффектами, поэтому время растягивается (как показано в уравнении II), а материя оказывает увеличивающееся сопротивление ускорению, поскольку скорость тела имеет тенденцию к увеличению. Уравнение Шредингера не рассматривало релятивистские эффекты, поэтому был начат поиск способа объединить специальную теорию относительности с квантовой механикой.В 1928 году гениальный Поль Дирак представил свое уравнение (уравнение III), объединившее квантовую физику со специальной теорией относительности. Его работа также предсказала существование античастиц за 10 лет до их обнаружения.

    В формулировке Дирака ученый впервые предложил то, что стало называться «морем Дирака», теоретическую модель, которая рассматривает вакуум как бесконечное «море» частиц с отрицательной энергией, предотвращая его посредством принципа исключения Паули ( кто отмечает, что два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии одновременно), что реальные электроны не теряют постоянно энергию в поисках «абсолютного основного состояния».Море Дирака возникло из уравнения Дирака как объяснение квантовых состояний с отрицательной энергией, предсказываемых этим уравнением. Проще говоря, механизм электронного моря — это набор частиц с отрицательной энергией (называемых виртуальными частицами), которые в присутствии возмущения (например, поглощения виртуальных фотонов) позволяют виртуальному электрону иметь положительный энергии, таким образом, временно становясь реальной частицей. «Дыра», оставленная в море Дирака в результате «удаления» частицы с отрицательной энергией, представляет собой другую частицу той же массы, что и электрон, но с противоположным электрическим зарядом (+1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ C), которая является «античастицей» электрона, называемой «позитроном». Вся эта картина изображает глубокое противоречие в одном из столпов физики — сохранении энергии. Частица с отрицательной энергией спорадически поглощает такое количество энергии, которое позволяет частицам перейти в «мир» реальных частиц. Каково происхождение этой энергии? Как созерцать принцип энергосбережения? Ответ пришел с принципом неопределенности Гейзенберга.

    Квантовая механика имеет прочную основу в математических объектах, называемых «операторами», которые описываются на основе линейной алгебры в форме матриц. Есть несколько типов операторов, таких как вращение, создание / разрушение (широко используется в квантовой теории поля), перестановка и эрмитовы операторы, которые описывают наблюдаемые физические величины (такие как гамильтониан, положение и импульс). Более формально, оператор — это объект, который воздействует на физическое состояние, чтобы предоставить его собственные значения (как в общих чертах показано в уравнении IV с использованием произвольного гамильтониана).Операторы могут взаимодействовать друг с другом, так что между ними существует определение коммутационного отношения. Такое отношение обозначается как [A, B] = AB-BA (где A и B — два произвольных оператора), если результат этой операции равен 0, говорят, что операторы «коммутируют» друг с другом; если результат отличен от 0, операторы не коммутируют и, таким образом, имеют коммутационный остаток C следующим образом: [A, B] = iC. В самом известном случае с операторами импульса и положения [x, p] = iℏ. В общем, говорят, что две наблюдаемые являются «несовместимыми», то есть они не могут быть измерены одновременно, если коммутационное отношение между операторами возвращает ненулевое значение (т.е. когда есть коммутационный перерыв).Такая теоретическая формулировка процветает в знаменитом «принципе неопределенности Гейзенберга», известность которого лежит в связи между неопределенностями количества движения и положения (как показано в уравнении V). Однако принцип неопределенности не ограничивается наблюдаемыми величинами, как показано на примере, но также распространяется на случай энергии и времени (их нельзя измерить одновременно). Это подразумевает возможность того, что в течение коротких промежутков времени возможны спонтанные флуктуации энергии в полном вакууме, по существу, из ничего.Короче говоря, квантово-механические условия позволяют на короткое время «создавать» энергию, однако со временем полная энергия сохраняется из-за аннигиляции между «созданной» частицей и соответствующей ей античастицей, «возвращая» энергию, «заимствованную». Другими словами, аналогично банковским счетам (как показано Стивеном Хокингом в «Краткой истории времени»), у человека может быть отрицательный баланс на некоторых своих банковских счетах, если общий баланс положительный.

    Несмотря на невероятные успехи Поля Дирака, море Дирака имеет некоторые теоретические недостатки и больше не рассматривается как реальное физическое описание.«Разборка» начинается с того, что для того, чтобы иметь бесконечную отрицательную плотность электрического заряда, заполняющую все пространство, нужно предположить «пустой вакуум», плотность электрического заряда которого положительна и бесконечна, чтобы отменить соответствующие контрагенты. Поскольку абсолютная плотность становится неизмеримой, бесконечная плотность электрического заряда не описывает реального физического описания. Позже, с появлением квантовой теории поля (как будет объяснено здесь), к вопросам, поднятым уравнением Дирака, была добавлена ​​новая интерпретация.В новой формулировке позитрон стал рассматриваться как частица, а не просто как отсутствие электрона.

    Уместно упомянуть, что первичная формулировка Поля Дирака рассматривала только фермионы (частицы с полуцелым спином, такие как кварки (и, следовательно, протоны), электроны, нейтрино …) и, следовательно, является конкретизацией квантового поля. теория (QFT). Проще говоря, КТП связывает каждую частицу с полем, и колебания в этих полях на самом деле являются самими частицами.В QFT взаимодействия частиц обычно описываются в терминах операторов создания и разрушения (изображены на фото 3). Кроме того, квантовая теория поля позволяет количественно оценить (то есть измерить с помощью набора параметров) электромагнитное поле, что приводит к «квантовому электромагнетизму». Когда электромагнитное поле квантовано, (ненулевая) амплитуда магнитного поля получается даже в «пустом состоянии» / состоянии без частиц (вакуум) (проиллюстрировано в уравнениях VI и VII).Наличие таких амплитуд даже в отсутствие частиц (фотонов в нашем случае электромагнитного поля) называется «флуктуациями квантового вакуума». Следовательно, КТП сохраняет фундаментальные аспекты уравнения Дирака, обеспечивая более «элегантную» и правдоподобную формулировку.

    Квантовые флуктуации вакуума были использованы Стивеном Хокингом в его объяснении так называемого «излучения Хокинга», которое включает «постепенное исчезновение» черной дыры из-за появления более миллиардов виртуальных частиц на границах такого небесного тела. лет (в случае немикроскопических черных дыр).

    При таком большом количестве теоретического содержания, «расходящегося» с повседневным миром, становится легко усомниться в правдивости явлений, связанных с квантовой сферой. Однако наука основана на жестких и эмпирических основаниях. В 1948 году Казимир провел эксперимент, раз и навсегда доказавший существование квантовых флуктуаций вакуума и существование виртуальных частиц. Этот эксперимент состоит из двух металлических пластин, разделенных всего на несколько нанометров, вставленных в вакуум. В небольшом пространстве между пластинами существует ограничение на длину волны, которую могут принимать виртуальные фотоны, тогда как в космическом пространстве, где нет ограничений, фотоны могут принимать больший диапазон длин волн.Таким образом, ожидается, что фотоны падают на внешние стенки чаще, чем на внутренние, что создает силу на пластинах, способствуя сближению / смещению между ними. Проведенный эксперимент соответствовал теоретическим предсказаниям, чтобы эффективно подтвердить достоверность виртуальных частиц.

    Справочные материалы: квантовая механика для ученых и инженеров (Дэвид А.Б. Миллер), краткая история времени (Стивен Хокинг), вселенная в двух словах (Стивен Хокинг), квантовая вселенная (Брайан Кокс и Джефф Форшоу), современная квантовая механика (Дж. Дж. Сакураи и Джим Наполитано), 50 идей квантовой физики (Джоанн Бейкер).

    https://www.youtube.com/watch?v=ngeqtEwD3J0&list=PLJW8NLXW9In7B332Ra8Kft-rHDcy9d0M6&index=5&fbclid=IwAR2SahsaFB94uE8kkh_JOwLJ-tCEIqkwbEvnyfwLPdNs2SSin6W89-a5yNU Профессор Дэвид Б. Миллер из Стэнфордского университета имеет полный и свободный курс по квантовой механике, в которой он подробно описывает основные темы в такой сфере исследований.

    Ссылка на курс: https://lagunita.stanford.edu/courses/course-v1:Engineering+EEX0001A+Y01/about?fbclid=IwAR3j_k_vvWXqBQJHucB-8ttnyB65GXgJ_PPRccUk6oWsk9/libb65GXgJ_PPRccUk6oWsk9/http: //www.html .stanford.edu/courses/course-v1:Engineering+QMSE02+Winter2019/about?fbclid=IwAR1VFux3i0asAbeJUtetxsKHWtfg0WGWswHQPwCtLIEwMHnxMq6wSwHQPwCtLIEwMHnxMq6wC

    , вторая часть фото 9000 Casio 9000, 9000, 9000 упоминается в тексте 9QP_z, вторая часть

    000 9000 2 операторы

    Фото 4: Поль Дирак

    Энергия вакуума. Колебания квантового вакуума и… | Марко Тавора, доктор философии.

    В этой статье я опишу некоторые важные последствия квантовой энергии вакуума.Последний существует на заднем плане по всей Вселенной. Более конкретно, я объясню так называемый эффект Казимира в квантовой теории поля (КТП). Эффект Казимира представляет собой небольшую силу притяжения, которая действует между двумя близко расположенными параллельными незаряженными проводящими пластинами из-за квантовых вакуумных флуктуаций электромагнитного поля. В частности, флуктуирующие виртуальные частицы, которые постоянно появляются и исчезают (и нарушают сохранение энергии системы на короткие периоды, согласно принципу неопределенности Гейзенберга), оказывают своего рода радиационное давление на две параллельные пластины.

    Рисунок 1: Иллюстрация сил Казимира между параллельными пластинами (источник).

    Эффект Казимира является следствием изменения Δε в вакуумном математическом ожидании ε электромагнитного поля из-за наличия идеально проводящих пластин. Изменение — это то, что создает силу Казимира между пластинами (поскольку само ожидание вакуума не наблюдается).

    Рис. 2: Колеблющиеся виртуальные частицы, которые появляются и исчезают и, следовательно, нарушают закон сохранения энергии на короткие периоды в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга (источник).

    Для простоты я последую за Зи и вычислю силу Казимира для реального безмассового скалярного поля φ вместо электромагнитных полей . Причина в том, что скалярное поле — это простейшее возможное квантовое поле. Он описывается скалярной функцией φ ( x , t ), где аргументы x и t являются, соответственно, пространственными и временными координатами. Поле подчиняется уравнению Клейна-Гордона (KG):

    Уравнение 1: уравнение Клейна-Гордона для массивного скалярного поля φ ( x , t).

    Если поле φ безмассовое, это уравнение принимает вид:

    Уравнение 2: Уравнение Клейна-Гордона для безмассового поля φ ( x , t).

    Классический гамильтониан в данном случае имеет вид:

    Уравнение 3: Свободный гамильтониан классического реального безмассового скалярного поля.

    Каноническое квантование

    В этом разделе я буду следовать процедуре квантования классической теории поля, называемой каноническим квантованием. Для тех, кто знаком с квантованием в обычной (нерелятивистской) квантовой механике, процесс аналогичен.В КТП мы обрабатываем переменные, а именно поле и его сопряженный импульс

    Уравнение 4: Поле φ и его сопряженный импульс π.

    как операторы и налагают канонические коммутационные соотношения:

    Уравнение 5: Канонические коммутационные соотношения, налагаемые на операторы в соответствии со стандартной процедурой канонического квантования.

    Примером квантовой скалярной частицы является бозон Хиггса.

    Рисунок 3: Обнаружение бозона Хиггса. В этом случае создается частица с массой 126 ГэВ, а затем она распадается на два Z-бозона, как и ожидалось, если бы наблюдаемая частица была бозоном Хиггса (источником).

    Энергия вакуума получается путем взятия математического ожидания относительно состояния вакуума:

    Уравнение 6: Энергия вакуума.

    Выражая поле в терминах создания и уничтожения, и после некоторых простых алгебраических манипуляций мы приходим к:

    Уравнение 7: Полная энергия вакуума, заданная интегралом по всем импульсам нулевой энергии гармонического осциллятора и по всему пространству. .

    Это энергия нулевой точки гармонического осциллятора, интегрированная по всем импульсам и всему пространству.Отметим, что интеграл расходится. На практике, чтобы получить гамильтониан с конечной энергией, мы обычно вычитаем это математическое ожидание из H , поскольку это ожидание не наблюдается.

    Уравнение 8: Вычитание из гамильтониана его бесконечного математического ожидания. Последний расходится.

    Несмотря на то, что энергия вакуума не наблюдается, можно измерить ее вариаций . Эти вариации получаются при условии, что мы правильно настроим граничные условия для поля. Это основа эффекта Казимира, который мы обсудим количественно в этом разделе.Эффект Казимира был назван в честь голландского физика Хендрика Казимира.

    Рисунок 4: Голландский физик Хендрик Казимир (источник). Справа его оригинал статьи (источник).

    Чтобы рассчитать это изменение энергии, рассмотрите следующую экспериментальную установку, показанную на рисунке ниже. Есть два металлических места I и II, разделенных расстоянием L с дополнительной пластиной III между ними. Расстояние между пластинами I и III составляет x , как показано на рисунке.

    Рис. 5: Два металлических места I и II, разделенные знаком L, с дополнительной пластиной III между ними (на основе источника).

    Рассмотрим на мгновение, что поле между пластинами — это электромагнитное поле (в наших расчетах мы для простоты вернемся к скалярным полям). Наличие проводящих пластин накладывает условия на волновой вектор поля. Импульсные моды квантуются до:

    Уравнение 9: Импульсы поля квантуются наличием металлических пластин.

    Давайте также проигнорируем размеры y и z , чтобы избежать ненужного загромождения. Полная энергия нулевой точки составляет

    Уравнение 10: Полная энергия нулевой точки с импульсами, квантованными наличием металлических пластин.

    , поскольку мы знаем, что соответствующими режимами являются

    Уравнение 11: Режимы, которые вносят вклад в энергию системы.

    Теперь просачиваются высокочастотные моды. Это можно объяснить, введя в моды убывающий экспоненциальный множитель. Другими словами, высокочастотные волны не могут удерживаться внутри пластины (они их не «видят»). Затем мы удаляем моды с λ << a (где a — неизвестный параметр), выбирая следующую регуляризацию:

    Уравнение 12: Использование экспоненты для отсечения высокоэнергетических мод.

    Давайте оценим f ( x ), используя уравнение. 12:

    Уравнение 13: Вычисление суммы f (x).

    Чтобы получить энергию в уравнении. 10, рассчитываем f ( L -x) аналогично. Чтобы найти силу Казимира между пластинами, мы дифференцируем E относительно x :

    Уравнение 14: Приближенное выражение силы притяжения Казимира между пластинами I и III на рис. 5.

    Следует отметить, что Параметр регуляризации исчез из окончательного выражения для силы.Это (к счастью) позволяет экспериментаторам измерить F.

    Несколько быстрых наблюдений:

    • Сила Казимира между двумя пластинами привлекательна (в уравнении 14 стоит знак минус)
    • Используемая нами экспоненциальная регуляризация имеет физическая интерпретация. Согласно Зи, если волны колеблются с достаточно высокой частотой, электроны «не успевают», и пластины перестают быть «идеально» проводящими.

    Квантовые флуктуации и их энергия

    Мэтт Страсслер [29 августа 2013 г.]

    В этой статье я собираюсь рассказать вам кое-что о том, как работает квантовая механика, в частности об удивительном явлении, известном как «квантовые флуктуации», и о том, как оно применяется в квантовой теории поля, из которой Стандартная модель (уравнения, которые мы используем для предсказывать поведение известных элементарных частиц и сил) является примером.Глубокое понимание этого явления и связанной с ним энергии приведет нас к непосредственному столкновению с одной из самых драматических нерешенных проблем науки: проблемой космологической постоянной. Это также приведет нас к загадке, известной как проблема естественности или иерархии, хотя я объясню это в другом месте.

    В стороне: в квантовой теории поля квантовые флуктуации иногда называют или приписывают «появлению и исчезновению двух (или более)« виртуальных частиц »».Этот технический жаргон вызывает сожаление, поскольку эти вещи (как бы мы их ни называли) определенно не являются частицами — например, у них нет определенной массы — а также, более технически, потому что понятие «виртуальная частица» »Точно определяется только при наличии относительно слабых сил.

    Рис. 1: Нормальная интуиция заставляет нас ожидать, что что-то вроде мрамора, сидящего в чем-то вроде чаши, спокойно будет сидеть на дне. Но квантово-механическая частица в какой-то ловушке будет иметь положение и движение, которые постоянно колеблются.Эти колебания обладают энергией; энергия движения квантовой частицы в ловушке никогда не равна нулю.

    Квантовые флуктуации глубоко связаны с принципом неопределенности Гейзенберга. Вот классический и простейший пример (рис. 1): если вы положите шарик на дно чаши, он будет оставаться там на неопределенное время, насколько вы можете судить. Это то, чего вы ожидаете от повседневного опыта. И это было бы правдой, если бы не было квантовой механики. Но если вы поместите очень легкую частицу в крошечную миску или в ловушку другого типа, вы обнаружите, что она не находится на дне.Если бы она стояла неподвижно внизу, это нарушило бы принцип неопределенности — принцип, который гарантирует, что вы не можете точно знать, где находится частица (то есть внизу) и как она движется (в данном случае не движется вообще. ) в тот же момент. Вы можете думать об этом — неидеально, но с пользой — как об этом из-за своего рода дрожания, которое поражает частицу и мешает ей успокоиться, как подсказывает вам интуиция о шариках в чашах. Один полезный аспект этого несовершенного изображения заключается в том, что он дает вам интуитивное представление о том, что с этим джиттером может быть связано энергии .

    В квантовой теории поля — квантовые уравнения для полей, например электрического поля, есть аналогичный эффект. Позвольте мне теперь объяснить это.

    Колебания квантовых полей

    Каждая элементарная частица (сейчас я говорю о реальных частицах) в нашей Вселенной представляет собой рябь — небольшую волну, волна наименьшей возможной интенсивности — в соответствующем элементарном квантовом поле (рис. 2). W-частица — это рябь в W-поле; фотон [частица света, которую вы можете представить как самой тусклой из возможных вспышек ] — это рябь в электрическом поле; Вверх-кварк — это рябь в поле верхнего кварка.

    А если вокруг нет частиц? Даже в том, что мы считаем пустым, поля все еще там , тихо сидящие в пустом пространстве, так же, как в пруду есть вода, даже если на его поверхности нет ветра или гальки, и в комнате все еще есть воздух, даже если нет звука.

    Рис. 2: (Слева) Частицу можно рассматривать как небольшую рябь в поле, которое вдали от любых частиц просто сидит тихо — наивно — как мрамор на дне чаши.(Справа) Но на самом деле значение поля в каждой точке пространства постоянно колеблется, точно так же, как частица в чаше всегда дрожит.

    Но вот что: Эти поля никогда не бывают совсем тихими. Квантовые поля никогда не поддерживают постоянное значение; их ценность в любой точке пространства всегда немного колеблется. Этот джиттер называется «квантовыми флуктуациями», и, как и для частицы в крошечной чаше, он является следствием знаменитого «принципа неопределенности» Гейзенберга.(Вы не можете знать значение поля и то, как оно изменяется в одно и то же время; ваше знание хотя бы одного, а обычно обоих, неизбежно должно быть несовершенным.) Опять же, эти квантовые флуктуации иногда описываются как происходящие из-за две или более «виртуальных частиц», но это название действительно отражает техническую проблему (то есть, как вы можете рассчитать свойства флуктуаций с использованием знаменитых диаграмм Фейнмана) больше, чем оно подсказывает вам, как вы должны думать о них на самом деле.

    Очевидный вопрос: вы уверены, что действительно существуют квантовые флуктуации для полей? Ответ: Да, но сейчас объяснять не буду.Один пример: известно, что квантовые флуктуации вызывают дрейф силы сил, когда вы измеряете их на все меньших и меньших расстояниях, и мы не только наблюдаем такой дрейф в данных, то, что мы наблюдаем, совпадает с высокой точностью, с тем, что мы вычисляем, используя Стандартная модель. Этот успех подтверждает не только наличие квантовых флуктуаций, но и детальную структуру Стандартной модели, вплоть до расстояний до миллионных долей миллионной доли миллионной метра. Другой пример: реакция электрона на магнитное поле может быть измерена с точностью до одной триллионной части; его также можно вычислить, используя Стандартную модель, с точностью до одной триллионной доли, если допустить существование этих флуктуаций известных полей природы.Удивительно, но результат измерения согласуется с расчетом по Стандартной модели.

    Важно отметить, что джиттер создает определенное количество энергии — много энергии. Сколько? Чем лучше ваш микроскоп (или ускоритель частиц), тем больше джиттера вы можете обнаружить и тем больше энергии вы обнаружите у джиттера. Если вы хотите узнать, как мы оцениваем количество этой энергии, нажмите здесь (извините, страница еще не написана) . Если нет или вы просто хотите понять суть дела, а затем вернуться, чтобы изучить эту оценку, просто примите то, что я собираюсь вам сказать.

    Энергия этих колебаний и космологическая постоянная

    Давайте рассмотрим коробку размером один метр на один метр на один метр и спросим: сколько энергии, грубо говоря, мы рассчитываем, находится внутри коробки из-за джиттера в одном элементарном поле? (См. Рисунок 3.)

    Расчет 1: Предположим, как показывают наши экспериментальные измерения на Большом адронном коллайдере [LHC], что Стандартная модель является достоверным описанием всех процессов, которые происходят на расстояниях, превышающих одну миллионную долю миллионной доли метра — давайте назовем это «расстояние в стиле LHC», примерно 1/1000 радиуса протона, потому что это примерно тот масштаб, который могут исследовать эксперименты на LHC, и процессы, включающие столкновения элементарных частиц с энергиями, которые примерно в 1000 раз меньше, чем у протона. масса-энергия [я.е. это E = mc² энергия]. Эта энергия является типичной массой-энергией самой тяжелой частицы, которую мы могли бы надеяться обнаружить в протон-протонных столкновениях LHC, поэтому назовем ее «энергией, подобной LHC». Тогда количество энергии в колебаниях каждого поля в Стандартной модели (скажем, например, электрического поля) таково: в каждом кубе, стороны которого находятся на расстоянии типа LHC, есть что-то вроде энергии типа LHC внутри. Другими словами, плотность энергии составляет примерно одну энергию типа LHC на объем типа LHC.Сравните это с обычным веществом, плотность энергии которого составляет несколько энергий массы-энергии протона или нейтрона (масса атомного ядра равна массе-энергии) для каждого атома, объем которого, поскольку протон или нейтрон в 100000 раз меньше по радиусу, чем атом, примерно в 1 000 000 000 000 000 (тысячу миллионов миллионов) раз больше объема протона. (Помните, что атом, условно говоря, более пуст, чем Солнечная система.) Это означает, что плотность энергии квантовых флуктуаций электрического поля примерно в миллион миллионов миллионов раз больше, чем у обычного вещества, и поэтому масса-энергия флуктуаций электрическое поле внутри куба со стороной один метр примерно в миллион миллионов миллионов раз больше, чем масса-энергия, накопленная в кубе из сплошного кирпича, по одному метру с каждой стороны.Сколько это энергии? Достаточно легко взорвать планету или даже звезду! Фактически, это сравнимо с полной массой-энергией Солнца. (Эгад!) Нельзя высвободить эту энергию из космического вакуума ни к добру, ни к злу — так что не беспокойтесь о ее наличии, она не представляет прямой опасности. Но этого уже достаточно, чтобы поставить под сомнение проблему космологической постоянной.

    Вычисление 2: Предположим, что применимо к вопросу о проблеме иерархии и естественности Вселенной, что Стандартная модель описывает все процессы физики элементарных частиц вплоть до масштаба, в котором гравитация становится сильной силой — так называемой длины Планка. , что еще в миллиард миллионов миллионов раз меньше, чем расстояние, учитываемое в расчете 1.Тогда количество энергии от колебаний электрического поля внутри куба на метр со всех сторон больше, чем в Расчет 1, на

    .
    • (1 000 000 000 000 000) 4 = 1 с 60 нулями после него.

    Если вы возьмете это число и умножите на число, указанное в Вычислении 1, вы легко получите достаточно энергии, чтобы взорвать каждую звезду в каждой галактике в видимой части Вселенной… много-много-много-много раз. И вот сколько энергии содержится в каждом кубическом метре — если Стандартная модель верна для физических процессов размера вплоть до планковской длины.

    Рис. 3: Количество энергии из-за квантовых флуктуаций любого поля огромно. В Стандартной модели полная энергия в метре пустого пространства намного больше (Расчет 1), чем в кубическом метре обычного вещества; и даже невообразимо больше (Расчет 2), если Стандартная модель верна на всем протяжении вплоть до длины Планка. Но медленное расширение Вселенной (измерение 0) предполагает, что полная энергия пустого пространства куба (часто называемая «темной энергией») намного меньше, чем та, которая хранится в кубе из обычной материи.Это проблема космологической постоянной: глубокий очевидный провал в остальном весьма успешных уравнений, используемых в физике элементарных частиц и гравитации.

    В более общем плане, если Стандартная модель (или любая типичная квантовая теория поля без особых симметрий) верна вплоть до шкалы расстояний L, энергия флуктуаций в кубе размером L³ приблизительно равна hc / L (для каждого поля), где h — постоянная квантовой механики Планка, а c — универсальный предел скорости, обычно известный как «скорость света».Это означает, что плотность энергии составляет примерно hc / L 4 — если L уменьшается в 10 раз, плотность энергии увеличивается в 10 000 раз! Вот почему эти числа в расчетах 1 и 2 такие чертовски большие.

    Эти утверждения должны показаться вам действительно странными. Они — это причудливые, но эй — квантовая физика во многих отношениях причудлива. Более того, ни квантовая механика в целом, ни квантовая теория поля в частности не вводили нас в заблуждение. Как я упоминал ранее, у нас есть много доказательств того, что самые простые вычисления, подобные тем, которые здесь требуются, прекрасно работают в квантовой теории поля.Тот факт, что существуют квантовые флуктуации и связанная с ними энергия, настолько глубоко встроен в квантовую механику, что для того, чтобы объявить его просто ложным, необходимо объяснить целую библиотеку экспериментальных результатов, для которых квантовая механика дала правильные предсказания. Итак, как у ученых, у нас нет другого выбора, кроме как очень серьезно отнестись к нашим расчетам и попытаться понять их.

    Вы можете задать несколько очевидных вопросов: Почему мы не можем легко определить, присутствует вся эта энергия или нет? Почему все это огромное количество энергии не оказывает огромного воздействия на обычную материю, в том числе и на нас ?! Ответ, часть 1: Потому что в каждом кубическом метре пространства (рис. 4) содержится одинаковое количество энергии как внутри, так и снаружи каждой коробки, которую вы можете нарисовать.Аналогия: внутри дома есть давление воздуха, но оно не приводит к взрыву дома, пока давление воздуха снаружи дома одинаковое. Точно так же тот факт, что эта плотность энергии крошечных квантовых флуктуаций постоянна во всем пространстве и времени, означает, что нет никакого воздействия на объекты, которые находятся внутри нее и движутся через нее. Только изменения энергии от места к месту или с течением времени будут влиять на частицы и атомы, состоящие из таких частиц, а также на людей и планеты, состоящие из таких атомов.И действительно, эта энергия квантовых флуктуаций везде и всегда одинакова, поэтому ее невозможно ни почувствовать, ни толкнуть, ни высвободить во благо или во зло.

    Рис. 4. Энергия, накопленная в пустом пространстве, не влияет на обычные объекты, потому что она везде и всегда одинакова. Однако гравитация (в теории Эйнштейна) действительно реагирует на постоянную плотность энергии; он меняет способ расширения Вселенной.

    Однако! Ответ, часть 2: В то время как в законе тяготения Ньютона, где гравитация воздействует на массу, эта энергия пустого пространства не будет иметь никакого эффекта, то же самое не верно в версии Эйнштейна, где гравитация притягивает энергию и импульс.Независимо от того, верен ли расчет 1, или расчет 2, или что-то среднее, такое огромное количество энергии в каждом кубе пространства — то, что часто называют «темной энергией» — заставило бы Вселенную расширяться с невероятной скоростью! (Фактически, это механизм, лежащий в основе «космической инфляции», которая является фазой, которую Вселенная, возможно, прошла давным-давно, что делает ее довольно однородным местом, которое мы видим сегодня.) Тот факт, что Вселенная не расширяется в огромная скорость означает, что плотность энергии пространства должна быть на меньше , чем массовая плотность обычной материи, вместо того, чтобы быть на больше. На каждый кубический метр пустого пространства приходится примерно одна энергия-масса атома, тогда как в кубике из кирпичей масса-энергия равна массе-энергии огромного количества атомов — это число примерно равно 1 с 30 нулями после него. Тот факт, что в пустом пространстве явно так мала плотность энергии, несмотря на то, что вся энергия, которую мы вычисляем, должна быть обусловлена ​​квантовыми флуктуациями полей, о которых мы уже знаем, является отцом и отцом всех великих загадок в физике элементарных частиц: космологический постоянная проблема .

    Следующий очевидный вопрос: Вы уверены, что квантовые флуктуации действительно обладают энергией, или, возможно, они не имеют, что устраняет проблему космологической постоянной? Ответ: Да, я уверен, что квантовые флуктуации обладают энергией; это то, что называется энергией нулевой точки, и это абсолютно фундаментально для квантовой механики, и опять же благодаря принципу неопределенности. И это можно проверить: в умном эксперименте энергия в небольшой области может иметь измеримое воздействие, называемое «эффектом Казимира», который был предсказан в 1940-х годах, впервые обнаружен в 1970-х и более тщательно испытан в 1990-х. .[Однако есть некоторые разногласия по поводу того, действительно ли это имеет отношение к вопросу.]

    Проблема космологической постоянной — очень серьезная. Мы знаем экспериментально, что Вселенная не расширяется с поразительной скоростью; расширяется довольно медленно; это Измерение 0 на Рисунке 3. Итак,

    • либо этот расчет (даже расчет 1, который не предполагает ничего из того, что мы не знаем экспериментально о Стандартной модели) каким-то образом неверен, и энергии просто нет, либо
    • влияние этой энергии на расширение Вселенной не то, что мы думаем, потому что наше понимание гравитации неверно, или
    • это правильный расчет, но он отвечает на неправильный вопрос каким-то образом, которого мы не понимаем.

    Точно никто не знает. О возможных решениях этой проблемы я расскажу в отдельной статье, посвященной космологической постоянной. Но позвольте мне упомянуть одно решение, которое интересно, но определенно не работает, потому что оно будет актуально в другом месте.

    Может ли погаснуть энергия из разных полей?

    А теперь есть интересная идея, как избавиться от всей этой энергии. Получается, что

    Так что, может быть, даже если энергия каждого поля огромна, когда вы складываете энергию всех полей, полная энергия равна нулю — или, по крайней мере, действительно крошечная?

    Что ж, вы можете провести этот расчет, и в стандартной модели вы увидите, что он не работает; фермионов слишком много, а в пустом пространстве должна быть огромная отрицательная энергия.

    Одна замечательная вещь в спекулятивной теории, называемой «суперсимметрией», заключается в том, что она заставляет вас добавлять именно те частицы («частицу суперпартнера» для каждого известного типа частиц), так что вы автоматически получаете отмену! Фактически, это единственный вид спекулятивной теории, известной в настоящее время людям, в которой такое могло бы произойти.

    К сожалению, на самом деле не решает проблему космологической постоянной . Если суперсимметрия не явно проявляется [а в нашем мире это не может быть — известные частицы в этом случае имели бы массы, идентичные их гипотетическим частицам-суперпартнерам, и были бы обнаружены давно], то сокращение будет лишь частичным. .И это частичное отмена, которое может сделать Расчет 2 недействительным, в лучшем случае оставляет вас с огромной плотностью энергии, упомянутой в Расчете 1. Как отмечено на Рисунке 3, этого гигантского количества плотности энергии все еще достаточно, чтобы заставить Вселенную вести себя совершенно по-другому. из того, что мы наблюдаем, если только что-то не так с теорией гравитации Эйнштейна.

    Короче говоря, в настоящее время никто не знает умного способа автоматически компенсировать плотность энергии от флуктуаций различных полей в мире, который, вплоть до расстояний типа LHC, описывается Стандартной моделью.Фактически, никто не знает, как это сделать в любой даже слегка несуперсимметричной квантовой теории поля (и даже в этом случае сочетание суперсимметрии с гравитацией, как правило, вновь вызывает проблему).

    Другими словами: хотя возможно, что существует особое сокращение между бозонными полями природы и фермионными полями природы, похоже, что такое сокращение могло произойти только случайно, и только в очень крошечных мизерная часть квантовых теорий поля или квантовых теорий любого типа (включая теорию струн).Таким образом, только крошечная крошечная крошечная часть вообразимых вселенных даже отдаленно напоминала бы нашу собственную (или, по крайней мере, ту часть нашей собственной, которую мы можем наблюдать своими глазами и телескопами). В этом смысле космологическая постоянная — это проблема «естественности», как используют этот термин физики элементарных частиц и их коллеги: поскольку в ней так мало темной энергии по сравнению с тем, что мы ожидали, Вселенная, в которой мы живем, кажется в высшей степени нетипичный, нетипичный.

    [Как я упоминал в начале, есть вторая большая проблема, связанная с квантовыми флуктуациями, о которой вы, возможно, захотите прочитать.С разных точек зрения она известна как проблема естественности Стандартной модели или проблема иерархии. Поскольку это немного сложнее описать и заслуживает отдельного обсуждения, я написал об этом здесь специальную статью.]

    Как это:

    Like Loading …

    Симметрии в колебаниях вдали от равновесия

    Abstract

    Флуктуации возникают универсально в природе как отражение дискретного микроскопического мира на макроскопическом уровне.Несмотря на их очевидное шумное происхождение, флуктуации кодируют фундаментальные аспекты физики рассматриваемой системы, которые имеют решающее значение для понимания необратимости и неравновесного поведения. Чтобы выдержать данное колебание, система проходит точный оптимальный путь в фазовом пространстве. Здесь мы показываем, что, требуя инвариантности оптимальных траекторий относительно преобразований симметрии, раскрываются новые и общие флуктуационные соотношения, справедливые сколь угодно далеко от равновесия. Это открывает неизведанный путь к более глубокому пониманию неравновесной физики путем переноса принципов симметрии в область флуктуаций.Мы проиллюстрируем эту концепцию изучением симметрии распределения тока вне равновесия. В частности, мы выводим соотношение изометрических флуктуаций, которое поразительно просто связывает вероятности любой пары изометрических флуктуаций тока. Это соотношение, которое является результатом обратимости во времени динамики, включает в качестве частного примера теорему Галлавотти – Коэна о флуктуациях в этом контексте, но добавляет совершенно новый взгляд на высокий уровень симметрии, налагаемый обратимостью во времени на статистику неравновесных состояний. колебания.Новая симметрия подразумевает замечательную иерархию уравнений для текущих кумулянтов и коэффициентов нелинейного отклика, выходящую далеко за рамки соотношений взаимности Онзагера и формул Грина-Кубо. Мы подтверждаем справедливость нового соотношения симметрии в обширном численном моделировании и предполагаем, что идея симметрии флуктуаций как инвариантности оптимальных траекторий имеет далеко идущие последствия в различных областях.

    Ключевые слова: больших отклонений, редкие события, гидродинамика, перенос, производство энтропии

    Большие флуктуации, хотя и редкие, играют важную роль во многих областях науки, поскольку они решающим образом определяют судьбу системы (1).Примеры варьируются от кинетики химических реакций или ускользания метастабильных электронов в наноэлектронных устройствах до конформационных изменений в белках, мутаций в ДНК и событий зародышеобразования в изначальной вселенной. Примечательно, что статистика этих больших флуктуаций содержит глубокую информацию о физике интересующей системы (2, 3). Это особенно важно для систем, далеких от равновесия, где на сегодняшний день не существует общей теории, способной предсказывать макроскопическое и флуктуирующее поведение с точки зрения микроскопической физики, аналогично равновесной статистической физике.Все согласны с тем, что изучение колебаний вне равновесия может открыть дверь для такой общей теории. Поскольку большинство неравновесных систем характеризуются токами локально сохраняемых наблюдаемых, понимание текущей статистики с точки зрения микроскопической динамики стало одной из основных целей неравновесной статистической физики (2–17). Проведение исследований в этом направлении имеет как фундаментальное, так и практическое значение. На теоретическом уровне функция, управляющая флуктуациями тока, может быть идентифицирована как неравновесный аналог функционала свободной энергии в равновесных системах (2–5), из которого могут быть получены макроскопические свойства неравновесной системы (включая ее наиболее характерные особенности, как, например, повсеместные корреляции дальнего действия (18, 19) и т. д.) С другой стороны, физика большинства современных мезоскопических устройств характеризуется большими флуктуациями, которые определяют их поведение и функцию. Таким образом, понимание текущей статистики в этих системах имеет большое практическое значение.

    Несмотря на значительный интерес и усилия по этим вопросам, точных и общих результатов, имеющих силу произвольно далеко от равновесия, все еще очень мало. Причина в том, что, в то время как в равновесных явлениях динамика не имеет значения и распределение Гиббса предоставляет всю необходимую информацию, в неравновесной физике динамика играет доминирующую роль даже в простейшей ситуации неравновесного стационарного состояния (2–5).Однако есть замечательное исключение из этого отсутствия общих результатов, которое вызвало значительный всплеск активности с момента его формулирования в середине девяностых годов. Это флуктуационная теорема, впервые обсуждаемая в контексте моделирования сдвиговых жидкостей (14) и строго сформулированная Галлавотти и Коэном при очень общих предположениях (15). Эта теорема, которая подразумевает связь между вероятностями данной флуктуации тока и обратного события, является глубоким утверждением тонких последствий симметрии относительно обращения времени для микроскопической динамики на макроскопическом, необратимом уровне.Особенно важным здесь является наблюдение, что симметрии отражаются на флуктуирующем макроскопическом уровне, произвольно далеком от равновесия. Вдохновленные этим ярким результатом, мы исследуем в этой статье поведение распределения тока при преобразованиях симметрии (20). Ключом к нашему анализу является наблюдение, что для облегчения данной флуктуации тока система проходит четко определенный оптимальный путь в фазовом пространстве (2–8, 21). Этот путь в очень общих условиях инвариантен относительно некоторых преобразований симметрии на токе.Используя эту инвариантность, мы показываем, что для d -мерных систем с обратимым временем, описываемых локально сохраняющимся полем и, возможно, подверженных граничному градиенту и внешнему полю E , вероятность P τ ( J ) наблюдения тока J , усредненного за долгое время τ подчиняется соотношению изометрических флуктуаций (IFR)

    [1]

    для любой пары изометрических векторов тока, | J | = | Дж |.Здесь ϵ = ε + E — постоянный вектор, напрямую связанный со скоростью производства энтропии в системе, которая зависит от граничных ванн через ε (см. Ниже).

    Приведенное выше уравнение, которое включает в качестве частного случая результат Галлавотти-Коэна (GC) для J = — J , поразительно просто связывает вероятность данной флуктуации J с вероятность любого другого колебания тока на d -мерной гиперсфере радиуса | J |, см. Проецирование сложной d -мерной задачи на гораздо более простую одномерную теорию.В отличие от отношения GC, которое представляет собой недифференцируемую симметрию, включающую инверсию знака тока, J → — J , уравнение. 1 действительно для произвольных изменений ориентации текущего вектора. Это делает экспериментальную проверку вышеуказанного соотношения возможной проблемой, поскольку данные для текущих флуктуаций, включающих различные ориентации вокруг среднего, могут быть собраны с достаточной статистикой для обеспечения экспериментальной точности. Также важно отметить, что соотношение изометрических флуктуаций справедливо для произвольно больших флуктуаций; я.е., даже для негауссовских далеких хвостов распределения тока. Мы подтверждаем здесь справедливость этой симметрии в обширном численном моделировании двух различных неравновесных систем: ( i ) простая и очень общая решеточная модель диффузии энергии (7, 8, 22) и ( ii ) жестко- дисковая жидкость в температурном градиенте (23).

    Краткий обзор соотношения изометрических флуктуаций. Набросок распределения тока в двух измерениях с максимумом около среднего 〈 J ϵ , а также изометрические контурные линии для разных | J | с.Соотношение изометрических флуктуаций, уравнение. 1 , устанавливает простое соотношение для вероятности колебаний тока вдоль каждой из этих контурных линий.

    Результаты

    Изометрическая флуктуационная связь

    Нашей отправной точкой является уравнение неразрывности, которое описывает макроскопическую эволюцию широкого класса систем, характеризующихся локально сохраняющейся величиной (например, энергией, плотностью частиц, импульсом и т. Д.)

    [2]

    Здесь ρ ( r , t ) — поле плотности, j ( r , t ) ≡ Q E [ ρ ( r , t )] + ξ ( r , t ) — флуктуирующий ток со средним локальным значением Q E [ ρ ( r , t )], и ξ ( r , t ) — гауссовский белый шум, характеризующийся дисперсией (или подвижностью) σ [ ρ ( r , t )].Этот (сохраняющийся) шумовой член учитывает микроскопические случайные флуктуации на макроскопическом уровне. Обратите внимание, что текущий функционал, как правило, включает эффект консервативного внешнего поля, Q E [ ρ ( r , t )] = Q [ ρ ( r , т )] + σ [ ρ ( r , т )] E . Примеры систем, описываемых формулой. 2 Диапазон из диффузионных систем (2–9), где Q [ ρ ( r , t )] определяется законом Фурье (или эквивалентным ему законом Фика), Q [ ρ ( r , t )] = — D [ ρ ] ρ ( r , t ), для жидкостей с наиболее взаимодействующими частицами (24, 25), характеризуемые теорией типа Гинзбурга – Ландау для локально сохраняющейся плотности частиц.Чтобы полностью определить проблему, приведенное выше уравнение эволюции должно быть дополнено соответствующими граничными условиями, которые могут включать внешний градиент.

    Нас интересует вероятность P τ ( J ) наблюдения усредненного по пространству и времени эмпирического тока J , определяемого как

    [3]

    Эта вероятность подчиняется большому отклонению принцип для больших времен (26, 27), P τ ( J ) ∼ exp [+ τL d G ( J )], где L — система линейный размер и G ( J ) ≤ 0 — текущая функция большого отклонения (LDF), что означает, что отклонения тока от среднего значения во времени экспоненциально маловероятны.Согласно гидродинамической теории флуктуаций (2, 4–6),

    [4]

    , которая выражает локально-гауссову природу колебаний (6–8). Оптимальный профиль ρ 0 ( r ; J ) решение вышеуказанной вариационной задачи можно интерпретировать как профиль плотности, который система принимает для облегчения флуктуации тока J (7, 8, 21). Чтобы вывести уравнение. 4 мы предположили, что ( i ) оптимальные профили, связанные с данной флуктуацией тока, не зависят от времени (2–9, 21), и ( ii ) оптимальное поле тока не имеет пространственной структуры ( SI Text ).Однако эта последняя гипотеза, которая значительно упрощает расчет текущей статистики, может быть ослаблена для наших целей (как показано ниже). Вероятность P τ ( J ), таким образом, является просто гауссовым весом, связанным с оптимальным профилем. Обратите внимание, однако, что процедура минимизации порождает нелинейную проблему, которая в общем случае приводит к распределению тока с негауссовыми хвостами (2–8).

    Оптимальный профиль — это решение следующего уравнения:

    [5]

    , где обозначает функциональную производную, и

    [6]

    Примечательно, что оптимальный профиль ρ 0 ( r ; J ) решение уравнения. 5 зависит исключительно от J и J 2 . Такая простая квадратичная зависимость, унаследованная от локально гауссовского характера флуктуаций, имеет важные последствия на уровне симметрии распределения тока. Фактически, это ясно из уравнения. 5 , что условие

    [7]

    подразумевает, что ρ 0 ( r ; J ) будет зависеть исключительно от величины вектора тока, через J 2 , а не по его ориентации.Таким образом, все изометрические колебания тока характеризуются постоянным | J | будет иметь такой же ассоциированный оптимальный профиль, ρ 0 ( r ; J ) = ρ 0 ( r ; | J |), независимо от того, является ли текущий вектор J точек по направлению градиента, против него или по любому произвольному направлению. Другими словами, оптимальный профиль инвариантен относительно текущих поворотов, если уравнение. 7 трюмов.Оказывается, что условие [ 7 ] следует из обратимости динамики во времени в том смысле, что оператор эволюции в формулировке Фоккера – Планка уравнения 2 подчиняется локальному условию детального баланса (16, 17). В этом случае с гамильтонианом системы и выполняется условие [ 7 ]. Теперь инвариантность оптимального профиля может быть использована в формуле. 4 для простой связи тока LDF любой пары изометрических колебаний тока J и J , с | J | = | J |,

    [8]

    где θ и θ — углы, образованные векторами J и J , соответственно, с постоянным вектором ϵ = ε + E ; см. ниже.Уравнение 8 — это просто альтернативная формулировка соотношения изометрических флуктуаций [ 1 ]. Если позволить J и J отличаться на бесконечно малый угол, IFR может быть преобразован в простую дифференциальную форму: ∂ θ G ( J ) = | || J | sin θ , что отражает высокий уровень симметрии, налагаемый обратимостью во времени на распределение тока.

    Условие δ ω 1 [ ρ ( r )] / δρ ( r ) = 0 можно рассматривать как закон сохранения.Это означает, что наблюдаемая ω 1 [ ρ ( r )] на самом деле является константой движения, ϵ ω 1 0 [ ρ ρ ρ r )], независимо от профиля ρ ( r ), который можно связать со скоростью производства энтропии с помощью теоремы Галлавотти – Коэна (15–17). Подобно теореме Нётер, закон сохранения для ϵ подразумевает симметрию для оптимальных профилей при вращении тока и флуктуационное соотношение для текущего LDF.Эта константа может быть легко вычислена при очень общих предположениях ( SI Text ).

    Последствия и обобщения

    Изометрические флуктуационные отношения, уравнение. 1 , имеет далеко идущие и нетривиальные последствия. Во-первых, IFR подразумевает замечательную иерархию уравнений для кумулянтов текущего распределения, см. Уравнение. 13 в Материалы и методы . Эта иерархия может быть получена, начиная с преобразования Лежандра текущего LDF, μ ( λ ) = max J [ G ( J ) + λ · J ], из которого могут быть получены все кумулянты (3), и записать IFR для μ ( λ ) в пределе бесконечно малых вращений.Например, иерархия кумулянтов в двух измерениях подразумевает следующие отношения:

    [9]

    [10]

    для первых кумулянтов с Δ J α J α — 〈 J α ϵ . Стоит подчеркнуть, что иерархия кумулянтов действует сколь угодно далеко от равновесия. Аналогичным образом IFR подразумевает набор иерархий для коэффициентов нелинейного отклика, см. Уравнения. 15 17 в Материалы и методы . В нашем двумерном примере пусть будет коэффициент отклика кумулянта на заказ, с n = n x + n y и k = k x + к y . В самом низком порядке эти иерархии подразумевают симметрии взаимности Онзагера и соотношения Грина – Кубо для коэффициентов линейного отклика тока.Далее они предсказывают, что на самом деле матрица линейного отклика пропорциональна единице, так что тогда как. Первые нелинейные коэффициенты тока могут быть просто записаны в терминах линейных коэффициентов вторых кумулянтов как и, тогда как перекрестный коэффициент читается (симметричные результаты сохраняются для n x = 0, n y = 1). Коэффициенты линейного отклика для кумулянтов второго порядка также подчиняются простым соотношениям (например,g., и) и набор отношений продолжается до произвольных высоких порядков. Таким образом, иерархии [ 15 17 ], которые проистекают из микрообратимости, отраженной в IFR, обеспечивают глубокое понимание теории нелинейного отклика для неравновесных систем (28).

    IFR и вышеупомянутые иерархии следуют из инвариантности оптимальных профилей при определенных преобразованиях. Эта идея может быть использована в более общих условиях. Фактически, записывая явно зависимость от внешнего поля E в формуле. 5 для оптимального профиля, каждый понимает, что если вместе с условием обратимости времени, уравнение. 7 , полученные оптимальные профили инвариантны относительно независимых поворотов тока и внешнего поля. Отсюда следует, что текущие LDF для пар ( J , E ) и с независимыми вращениями подчиняются обобщенному изометрическому соотношению флуктуаций

    [11]

    , где мы явно записываем зависимость текущего LDF от внешнее поле.Вектор ν ≡ ∫ Q [ ρ ( r )] d r теперь еще одна постоянная движения, не зависящая от ρ ( r ), которую можно легко вычислено ( SI Text ). Для фиксированного граничного градиента приведенное выше уравнение связывает любое колебание тока Дж, в присутствии внешнего поля E с любым другим изометрическим колебанием тока Дж в присутствии произвольно повернутого внешнего поля E , и сводится к стандартному IFR для E = E .Условие является довольно общим, так как большинство обратимых во времени систем с локальной подвижностью σ [ ρ ] действительно удовлетворяют этому условию (например, диффузионные системы).

    IFR может быть дополнительно обобщен на случаи, когда текущий профиль непостоянен, что ослабляет гипотезу ( ii ) выше. Позвольте быть вероятностью наблюдения усредненного по времени текущего поля. Это векторное поле должно иметь нулевую дивергенцию, поскольку оно связано уравнением неразрывности с оптимальным профилем плотности, который предполагается не зависящим от времени; см. SI Текст и гипотезу ( i ) выше.Из-за обратимости по времени, и в уравнении для оптимального профиля плотности легко показать, что член линейный по равен нулю, поэтому остается инвариантным относительно (локальных или глобальных) вращений; см. SI Текст . Таким образом, для любого бездивергентного токового поля, локально изометрического относительно r , мы можем записать обобщенное соотношение изометрических флуктуаций

    [12]

    , где интеграл (результат которого не зависит от ρ ( r )) берется по границе ∂Λ области Λ, в которой задана система, и является единичным вектором, нормальным к границе в каждой точке.Уравнение 12 обобщает IFR на ситуации, когда гипотеза ( ii ) нарушается, открывая дверь к изометриям, основанным на локальных (в дополнение к глобальным) поворотам. Как следствие, мы показываем в SI Text , что аналогичное обобщение симметрии изометрических флуктуаций не существует, когда оптимальные профили становятся зависимыми от времени, поэтому IFR нарушается в режиме, когда гипотеза ( i ) нарушается. Таким образом, мы можем использовать нарушения IFR и его обобщения для обнаружения нестабильностей, которые характеризуют флуктуирующее поведение рассматриваемой системы (2, 9).

    Проверка отношения изометрической флуктуации

    Мы проверили применимость IFR в обширном численном моделировании двух различных неравновесных систем. Первая представляет собой простую и очень общую модель диффузии энергии (7, 8, 22), заданную на двумерной (2D) квадратной решетке с L 2 узлами. Каждый узел характеризуется энергией e i , i ∈ [1, L 2 ] и моделирует гармонический осциллятор, который механически развязан со своими ближайшими соседями, но взаимодействует с ними через стохастический процесс перераспределения энергии.Таким образом, динамика происходит посредством случайного обмена энергией между случайно выбранными ближайшими соседями. Кроме того, левый и правый граничные участки могут обмениваться энергией с граничными ваннами при температурах T L и T R соответственно, в то время как периодические граничные условия сохраняются в вертикальном направлении. Для T L T R система достигает неравновесного стационарного состояния, характеризуемого в отсутствие внешнего поля (рассмотренный здесь случай) линейным профилем энергии ρ st ( r ) = T L + x ( T R T L ) и ненулевой средний ток, заданный законом Фурье.Эта модель играет фундаментальную роль в неравновесной статистической физике в качестве испытательного стенда для оценки новых теоретических достижений и представляет на крупном уровне большой класс диффузионных систем, представляющих технологический и теоретический интерес (7, 8). Модель описывается на макроскопическом уровне формулой. 2 с диффузионным током Q [ ρ ( r , t )] = — D [ ρ ] ρ с и σ [ σ [ ρ ] = ρ 2 , и он оказывается оптимальным кандидатом для проверки IFR, потому что: ( i ) соответствующая теория гидродинамических флуктуаций может быть решена аналитически (29) и ( ii ) его динамика достаточно проста, чтобы позволить детальное численное исследование колебаний тока.

    Для проверки IFR в этой модели мы выполнили большое количество стационарных симуляций большой продолжительности τ > L 2 (единица времени — шаг Монте-Карло) для L = 20, T L = 2 и T R = 1, накопление статистики для вектора тока, усредненного по пространству и времени J . Измеренное распределение тока показано на нижней вставке вместе с точным полярным биннингом, который позволяет нам сравнивать вероятности изометрических флуктуаций тока вдоль каждой полярной короны, см. Уравнение. 1 . Принимая G ( J ) = ( τL d ) -1 ln P τ ( J ), подтверждает прогноз IFR, что G ( J 903 — G ( J ), после масштабирования | J | -1 , коллапсирует на линейную функцию от cos θ — cos θ для всех значений | J |, см. Уравнение. 8 . Здесь θ , θ — углы, образованные изометрическими векторами тока J , J с осью x (в нашем случае E = 0).Мы также измерили профиль средней энергии, связанный с каждым колебанием тока, ρ 0 ( r ; Дж ), см. , верхняя вставка . Как предсказывалось выше, все профили для различных, но изометрических флуктуаций тока сводятся к единой кривой, подтверждая инвариантность оптимальных профилей при вращении тока.

    Подтверждение IFR в диффузионной системе. IFR предсказывает, что | J | -1 [ G ( J ) — G ( J )] коллапсирует на линейную функцию от cos θ — cos θ для всех значений | J |.Этот коллапс подтверждается здесь в модели диффузии энергии для широкого диапазона значений | J |. ( Нижняя вставка ) Измеренное распределение тока вместе с полярным бином, используемым для проверки IFR. ( Верхняя вставка ) Средние профили для различных, но изометрических флуктуаций тока все сворачиваются на отдельные кривые, подтверждая инвариантность оптимальных профилей при вращении тока. Диапазон углов составляет | θ | ≤ 16,6 °, см. Отмеченную область на гистограмме.

    Стандартное моделирование позволяет нам исследовать умеренные колебания тока вокруг среднего значения.Чтобы проверить IFR в дальних хвостах распределения тока, соответствующих экспоненциально маловероятным редким событиям, мы реализовали элегантный метод, недавно введенный для измерения функций больших уклонений в системах многих частиц (30). Метод, который дает преобразование Лежандра для текущего LDF, μ ( λ ), основан на модификации динамики так, чтобы редкие события, ответственные за большое отклонение, больше не были редкостью (30) , и недавно был успешно использован для подтверждения гипотезы об аддитивности относительно больших флуктуаций в неравновесных системах (7, 8).С помощью этого метода мы измерили μ ( λ ) в возрастающих многообразиях постоянной | λ + ϵ |, см. IFR подразумевает, что μ ( λ ) постоянно вдоль каждого из этих коллекторов, или, что эквивалентно, ∀ ϕ ∈ [0,2 π ], с поворотом в 2D на угол ϕ . показывает измеренное значение μ ( λ ) для различных значений | λ + ϵ | соответствующие очень большим колебаниям тока, различным углам вращения ϕ и увеличению размеров системы вместе с теоретическими предсказаниями (29).В результате конечного дискретного характера изучаемой здесь решетчатой ​​системы мы наблюдаем слабые нарушения ИСО в дальних хвостах распределения тока, особенно для токов, ортогональных к ϵ . Эти слабые нарушения ожидаются, потому что предварительным условием для выполнения IFR является наличие макроскопического предела (т.е. уравнение 2 должно выполняться строго), что не относится к относительно небольшим значениям L , изучаемым здесь. Однако по мере того, как L увеличивается, наблюдается явная конвергенция к предсказанию IFR, поскольку эффекты, связанные с основной решеткой, исчезают, что убедительно подтверждает достоверность IFR в макроскопическом пределе.

    IFR для больших колебаний тока. Преобразование Лежандра текущего LDF для модели диффузии энергии для различных значений | λ + ϵ | что соответствует очень большим колебаниям тока, различным углам вращения ϕ , таким образом, и увеличивающимся размерам системы. Линии — это теоретические предсказания. IFR предсказывает, что ϕ ∈ [0,2 π ]. Изометрическая флуктуационная симметрия проявляется в макроскопическом пределе, когда исчезают эффекты, связанные с основной решеткой.

    Мы также измерили флуктуации тока в гамильтоновой жидкости жесткого диска, подверженной температурному градиенту (23). Эта модель представляет собой парадигму теории жидкого состояния, конденсированного состояния и статистической физики и широко изучается в течение последних десятилетий. Модель состоит из N жестких дисков единичного диаметра, взаимодействующих посредством мгновенных столкновений и заключенных в коробку линейного размера L , так что плотность частиц фиксируется на Φ = N / L 2 = 0.58. Здесь мы выбираем N = 320. Блок разделен на три части: центральная, объемная область шириной L — 2 α с периодическими граничными условиями в вертикальном направлении и две боковые полосы шириной α = L /4, которые действуют как детерминированные термостаты, см. , нижняя вставка . Это достигается за счет поддержания постоянной общей кинетической энергии в каждой боковой полосе посредством глобального мгновенного изменения масштаба скорости частиц ванны после столкновений частиц ванны с объемными частицами.Было показано, что этот механизм термостата эффективно термостатирует жидкость (23) и имеет важное преимущество — детерминированность. Как и для предыдущей диффузионной модели, мы выполнили большое количество стационарных имитаций большой продолжительности ( τ > 2 N столкновений на частицу) для T L = 4 и T R = 1, накопление статистики для текущего Дж и измерение профиля средней температуры, связанного с каждым Дж .показывает линейный коллапс | J | –1 [ G ( J ) — G ( J )] как функция cos θ — cos θ для различных значений | J |, подтверждая применимость IFR для этой жидкости для жесткого диска в умеренном диапазоне колебаний тока, к которому мы можем получить доступ. Более того, все измеренные оптимальные профили для различных изометрических флуктуаций тока красиво складываются в отдельные кривые, см. , верхняя вставка , подтверждая их вращательную инвариантность.

    IFR в гидродинамической жидкости жесткого диска. Подтверждение IFR в двумерной жидкости жесткого диска при градиенте температуры после полярного биннинга измеренного распределения тока. Как предсказано IFR, разница текущих LDF для различных изометрических флуктуаций тока, однажды масштабированная по текущей норме, сжимается в линию при построении графика относительно cos θ — cos θ . ( Верхняя вставка ) Оптимальные температурные профили, связанные с различными колебаниями тока.Профили для заданного | J | и разные углы θ ∈ [-7,5 °, + 7,5 °] все схлопываются на единую кривую, тем самым подтверждая инвариантность оптимальных профилей при текущих поворотах. Обратите внимание, что профили плавно входят в термостаты. ( Нижняя вставка ) Снимок 2D-жидкости жесткого диска с гауссовыми термостатами.

    Интересно отметить, что жидкость жесткого диска представляет собой полностью гидродинамическую систему с 4 различными локально сохраняющимися связанными полями, которые, возможно, подвержены эффектам памяти, что определяет гораздо более сложную ситуацию, чем та, которая изучается здесь, см. Уравнение. 2 . Следовательно, применимость IFR в этом контексте предполагает, что это флуктуационное соотношение, основанное на инвариантности оптимальных профилей относительно преобразований симметрии, на самом деле является довольно общим результатом, справедливым для произвольных флуктуирующих гидродинамических систем.

    Теперь сделаем несколько замечаний. Во-первых, в качестве следствия IFR следует отметить, что для систем с обратимым во времени и аддитивными флуктуациями (т. Е. С постоянной, не зависящей от профиля подвижностью σ ) оптимальный профиль, связанный с данной флуктуацией тока, фактически не зависит. Дж , см. 5 , а значит, равняется стационарному профилю. В этом случае легко показать, что колебания тока являются гауссовыми, с. Так обстоит дело, например, с моделью B в классификации Хоэнберга – Гальперина (25) * . С другой стороны, следует отметить, что условие обратимости во времени для выполнения IFR, уравнение. 7 , является достаточным, но не необходимым условием. Фактически, мы не можем отбросить возможность необратимых во времени систем таких, что только для оптимальных профилей δ ω 1 [ ρ ( r )] / δρ ( r ) | ρ 0 = 0.

    Обсуждение

    IFR является следствием обратимости времени для систем в пределе гидродинамического масштабирования и обнаруживает неожиданно высокий уровень симметрии в статистике неравновесных флуктуаций. Он обобщает и включает флуктуационную теорему Галлавотти – Коэна для токов, связывая вероятности события не только с его обращением времени, но и с любыми другими изометрическими флуктуациями. Это имеет важные последствия в виде иерархий для текущих кумулянтов, а также линейных и нелинейных коэффициентов отклика, которые произвольно далеки от равновесия и могут быть легко проверены в экспериментах.Таким образом, возникает естественный вопрос об уровне общности соотношения изометрических флуктуаций. В этой статье мы продемонстрировали IFR для широкого класса систем, характеризуемых на макроуровне одним сохраняющимся полем, с использованием инструментов гидродинамической теории флуктуаций (HFT). Эта теоретическая основа, резюмированная в функционале большого отклонения траектории, Ур. S3 , был строго доказан для ряда систем взаимодействующих частиц (2–5), но считается, что он остается верным для гораздо более широкого класса систем.Ключевым моментом является то, что гауссовский характер локальных флуктуаций, лежащий в основе подхода, как ожидается, проявится в большинстве ситуаций в соответствующем макроскопическом пределе в результате центральной предельной теоремы: хотя микроскопические взаимодействия могут быть чрезвычайно сложными, Последующие флуктуации медленных гидродинамических полей являются результатом суммы огромного количества случайных событий на микромасштабе, которые приводят к гауссовой статистике. Конечно, существуют аномальные системы, для которых локальные флуктуации на макроуровне могут быть негауссовыми.В этих случаях мы не можем исключить возможность сохранения измененной версии IFR, хотя анализ, безусловно, был бы более сложным. Кроме того, наши численные результаты показывают, что IFR остается верным даже в тех случаях, когда неясно, применяется ли HFT, что убедительно подтверждает справедливость этой симметрии для произвольных флуктуирующих гидродинамических систем.

    Связанный с этим вопрос — демонстрация IFR, исходя из микроскопической динамики. Методы, аналогичные тем, что описаны в исх.16 и 31, которые выводят флуктуационную теорему Галлавотти – Коэна из спектральных свойств микроскопического оператора стохастической эволюции, могут оказаться полезными для этой задачи. Однако, чтобы доказать IFR, эти методы должны быть дополнены дополнительными сведениями об асимптотических свойствах микроскопических скоростей переходов по мере приближения к макроскопическому пределу. Таким образом, мы ожидаем поправок конечного размера к ИСО, которые затухают с размером системы, как это фактически наблюдается в наших расчетах для модели диффузии энергии, см.Также интересна возможность IFR для дискретных изометрий, связанных с базовой решеткой в ​​стохастических моделях. Эти открытые вопросы требуют дальнейшего изучения.

    В этой статье мы показали, как принципы симметрии проявляются в колебаниях, далеких от равновесия. Требуя неизменности оптимального пути, ответственного за данную флуктуацию при преобразованиях симметрии, мы открыли замечательное и очень общее соотношение изометрических флуктуаций для систем с обратимым временем, которое простым образом связывает вероятность любой пары изометрических флуктуаций тока.Принципы инвариантности такого рода могут применяться в самых разных областях, где флуктуации играют фундаментальную роль, открывая дверь для дальнейших точных и общих результатов, справедливых сколь угодно далеко от равновесия. Это особенно актуально в мезоскопических биофизических системах, где отношения, подобные соотношению изометрических флуктуаций, могут быть использованы для эффективного измерения разностей свободной энергии с точки зрения распределения работы (32). Другие интересные вопросы касаются изучения общих флуктуационных соотношений, возникающих из инвариантности оптимальных траекторий в полных гидродинамических системах с несколькими сохраняющимися полями, или квантового аналога изометрического флуктуационного соотношения в полной статистике подсчета.

    Материалы и методы

    Теперь мы используем IFR (1) для получения набора иерархий для текущих кумулянтов и коэффициентов линейного и нелинейного отклика. Функция создания момента, связанная с P τ ( J ), определенная как Π τ ( λ ) = ∫P τ ( J ) exp ( τL d λ · J ) d J , на долгое время масштабируется как Π τ ( λ ) ∼ 18 expL [+ ) ∼18 d μ ( λ )], где μ ( λ ) = макс. J ] — преобразование Лежандра текущего LDF.Кумулянты текущего распределения могут быть получены из производных μ ( λ ), оцененных при λ = 0 (т.е. для), где Δ Дж α Дж α — (1 — δ n , 1 ) 〈 J α ϵ и δ n символ Кронекера.IFR для преобразования Лежандра текущего LDF может быть определен как, где — любое d -мерное вращение. Используя это соотношение в определении кумулянта n -го порядка в пределе бесконечно малых вращений, легко показать, что

    [13]

    где — любой генератор d -мерных вращений, и суммирование по повторяющимся греческим индексам (∈ [1, d ]). Вышеупомянутая иерархия простым образом связывает кумулянты порядков n и n + 1 ∀ n ≥1 и действительна произвольно вдали от равновесия.Например, уравнения. 9 и 10 выше показывают первые два набора отношений ( n = 1,2) вышеупомянутой иерархии в двух измерениях. Аналогичным образом мы можем исследовать последствия IFR для линейных и нелинейных коэффициентов отклика. Для этого разложим кумулянты тока в степени ϵ

    [14]

    Вставив разложение [ 14 ] в иерархию кумулянтов, уравнение. 13 и сопоставление порядка за порядком в k , мы выводим другую интересную иерархию для коэффициентов отклика различных кумулянтов.Для k = 0 это читается как

    [15]

    , что является соотношением симметрии для равновесных ( ϵ = 0) текущих кумулянтов. Для k ≥1 получаем

    [16]

    , которое связывает k -й коэффициенты отклика порядка n кумулянтов порядка с коэффициентами порядка ( k — 1) ( n + 1) — кумулянты порядка. Соотношения [ 15 ] и [ 16 ] для коэффициентов отклика являются результатом IFR в пределе бесконечно малых вращений.Для конечного вращения, которое эквивалентно инверсии тока, мы имеем μ ( λ ) = μ (- λ — 2 ϵ ), и мы можем использовать это в определение коэффициентов отклика, см. 14 , чтобы получить дополнительное соотношение для коэффициентов отклика

    [17]

    где. Аналогичное уравнение было получено в (28) из стандартной теоремы о флуктуациях, хотя IFR добавляет дополнительные соотношения.Все вместе уравнения. 15 17 подразумевают глубокие отношения между коэффициентами отклика в произвольных порядках, которые выходят далеко за рамки отношений взаимности Онзагера и формул Грина – Кубо. В качестве примера мы обсуждаем в основном тексте некоторые из этих соотношений для двумерной системы.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *