Подготовка к ЕГЭ «Решение задач на смеси и сплавы»
Хочу поделиться опробованным и получившим положительный отзыв учителей, работающих в 11 классах, приемом решения задач на «смеси и сплавы». Задачи на смеси и сплавы одни из самых трудных. Ребята неохотно приступают к их решению. Подход, который предлагается при решении этих задач, на мой взляд, очень удачный.
Просмотр содержимого документа
«Подготовка к ЕГЭ «Решение задач на смеси и сплавы»»
Подготовка к ЕГЭ
Практикум по математике
«Решение задач на смеси и сплавы»
Учитель математики
МБОУ «Усть-Нерская гимназия»
Аршина А.Г.
Задача №1.
Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Свинец Медь
Свинец Медь
Свинец Медь
+
=
15%
65%
30%
200 г
(200 – Х) г
Х г
0,15Х + 0,65(200 – Х) = 0,3 * 200
Х = 140 (г) – первый сплав
200 – Х = 200 – 140 = 60 (г) – второй сплав
Ответ: 140г, 60г.
Задача №2.
В 4 кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70% ?
Олово Медь
Олово
Олово Медь
+
=
40%
100%
70%
(4+Х)кг
Х кг
4 кг
0,4 * 4 + Х = 0,7 * (4 + Х)
Х = 4 (кг)
Ответ: 4 кг.
К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?
Медь
Медь Цинк
Медь Цинк
+
=
2/5
1
2/3
Х кг
4 кг
(Х – 4) кг
2/5*(Х – 4) + 4 = 2/3*Х
Х = 9 (кг)
Ответ: 9 кг.
Замечание: Можно было составить уравнение на основе подсчета массы цинка в обеих частях неравенства.
К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?
Медь
Медь Цинк
Медь Цинк
+
=
3/5
1/3
Х кг
(Х – 4) кг
4 кг
3/5*(Х – 4) = 1/3*Х
Х = 9 (кг)
Ответ: 9 кг.
Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 1:2, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:3, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:1. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 11:3:8?
А С
В С
А В С
А В
+
+
=
8/22
3/22
11/22
2/3
1/3
3/4
1/4
2/3
1/3
(X+Y+Z)ед.в.
Y ед.в.
Z ед.в.
Х ед.в.
Ответ: 3:4:15
Задача №5:
Для консервирования 10кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80% раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус, добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобиться хозяйке для консервирования 20кг баклажан?
Для консервирования 20кг баклажан понадобиться 1л или 1000мл столового уксуса. Для получения его из Хмл уксусной эссенции необходимо добавить воду, тогда схема для решения задачи имеет вид
вода укс.кисл.
вода укс.кисл.
вода
+
=
80%
10%
100%
Х мл
1000мл
(1000-Х)мл
0,8*Х = 100
Х = 125мл
Ответ: 125мл.
kopilkaurokov.ru
Задачи В14 егэ по математике. Текстовые задачи на смеси и сплавы
Категория: Тесты по темам
Елена Репина 2013-07-11 2015-09-04Лимит времени: 0
0 из 12 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
Информация
Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Задание 1 из 12
В сосуд, содержащий 8 литров 11-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 3 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задание 2 из 12
Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Неправильно16
Задание 3 из 12
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
НеправильноЗадание 4 из 12
Смешав 11-процентный и 72-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 31-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 51-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 11-процентного раствора использовали для получения смеси?
Задание 5 из 12
Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Неправильно18
Задание 6 из 12
В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 3%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Правильно44 908
Неправильно44 908
Задание 7 из 12
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Неправильно20
Задание 8 из 12
Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
Неправильно15
Задание 9 из 12
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Неправильно27
Задание 10 из 12
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
Неправильно11
Задание 11 из 12
Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 82 килограммов изюма?
Неправильно779
Задание 12 из 12
Дима, Андрей, Саша и Женя учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Дима внес 15% уставного капитала, Андрей — 55 000 рублей, Саша — 0,22 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Женя. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 600 000 рублей причитается Жене? Ответ дайте в рублях.
Правильно213 000
Неправильно213 000
Автор: egeMax | комментария 4
egemaximum.ru
Метод Пирсона в решении задач на сплавы и смеси
В этой статье я расскажу о методе Пирсона, применяемом для решения задач на растворы, сплавы и смеси. Метод этот может сильно облегчить жизнь многим школьникам, однако применять его надо не бездумно. Поэтому давайте разберемся, как это работает.
Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В нашем распоряжении имеется два раствора: один с более высокой, чем требуемая, другой с менее высокой концентрацией, чем нужно.
Если обозначить массу первого раствора через , а второго – через , то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс:
Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – , во втором – , а в их смеси – .
При решении задач на сплавы-смеси мы обычно составляем таблицу и пользуемся ею для получения уравнения или системы уравнений. Сделаем так и в этот раз:
| Массы растворов | Массовая доля вещества в растворе | Процентное содержание вещества в растворе | ||
| 1раствор или сплав | m1 | q1 | q1*100 | m1*q1 |
| 2 раствор или сплав | m2 | q2 | q2*100 | m2*q2 |
| Смесь | m1+m2 | q | m1*q1+m2*q2 |
Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах:
Или
Далее находим отношение масс:
Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.
При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения, или квадрат Пирсона.
При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.
Эти разности и показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Делаем такой рисунок: в первой строке концентрация первого раствора, а под ней – второго. Посередине, между известными концентрациями растворов, расположим неизвестную нам концентрацию смеси, обозначив ее за . Теперь проводим стрелки, как показано на рисунке, и на конце стрелочек записываем разности. При записи разностей правило простое: надо вычитать из большего меньшее. В конце каждой строчки впишем массу растворов 1 и 2.
Рисунок 1
Теперь обратимся к этой части рисунка. Чтобы составить пропорцию, надо провести черточки дробей и поставить знак равно, как показано рыжим цветом.
Рисунок 2
Решаем полученную пропорцию:
Ответ: концентрация смеси равна %.
Задача 2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Рисунок 3
Снова записываем концентрации растворов 1 и 2 друг под другом, затем правее посерединке неизвестную нам концентрацию смеси (пусть снова будет ), а дальше проводим стрелки и записываем разности концентраций, только не забываем: надо вычитать из большего меньшее. Концентрация смеси никак не может быть больше 19 %, и не может быть меньше 15 %. То есть и , следовательно, первая разность будет , а вторая – (вычли из большего меньшее).
Еще правее надо записать массы растворов. Они нам неизвестны, но одинаковы, поэтому просто обозначим их за . В правой части рисунка проводим дробные черты и ставим знак равно, как показано здесь:
Рисунок 4
Тогда полученная пропорция:
Ответ: концентрация смеси равна %.
Задача 3. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Проделываем все те же операции, и снова составляем пропорцию.
Рисунок 5
Известно также, что , поэтому
Тогда и масса первого меньше массы второго на 100 кг.
Ответ: 100 кг.
Рисунок 6
Задача 4. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте
Глядя на рисунок, составляем пропорцию. Причем сразу вместо давайте запишем :
Масса третьего сплава, очевидно, сумма первых двух: .
Ответ: 9 кг.
easy-physic.ru
решение задач на смеси, растворы и сплавы
Разделы: Математика, Внеклассная работа
Тип урока: урок обобщения систематизации знаний.
Цели урока:
- Обобщить решение задач на сплавы, растворы и смеси различными способами.
- Воспитывать интерес к предмету через межпредметные связи с химией, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность.
- Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.
Оборудование:
- компьютер и проектор;
- тексты задач на смеси, растворы и сплавы для решения в классе и дома.
Подготовка к уроку: повторение способов решения задач на смеси и сплавы.
Комментарий к уроку: использование презентации Microsoft Power Point
План урока:
- Оргмомент (сообщение необходимости решения задач на смеси и сплавы, связь темы урока с КИМами ЕГЭ по математике).
- Актуализация опорных знаний (повторение определения процента и концентрации).
- Закрепление материала (решение задач на смеси, растворы и сплавы разными способами).
- Итоги урока. Домашнее задание.
Презентация
Слайд 1: Решение задач на смеси, растворы и сплавы.
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике ГИА и ЕГЭ.
«Закон сохранения объема или массы»
Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V1 + V2 – сохраняется объем; m = m1+ m2 – сохраняется масса.
Примеры: Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди.
Немного теории. Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.)
Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси. Часто относительное содержание вещества в смеси называют концентрацией или процентным содержанием. Сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1. Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4.
Слайд 2: Задача №1
Смешивают 300г 90%-ного раствора соли 900г 30%-ного раствора той же соли. Определить содержание соли в полученном растворе.
Слайд 3: Задача №2
Какой раствор получится при смешивании 300 граммов 50%-ного раствора соли и раствора, в котором 120 граммов соли составляют 60%?
Слайд 4: Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?
По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.
Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение
Аналогично массу серебра и получаем уравнение
Записываем одну из систем:
Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875
Ответ: 125 г и 875 г.
Слайд 5: Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
х = 140 и у = 60
Ответ: 140 г меди и 60 г свинца
Слайд 6: Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?
Решение 1: Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго
(600 — x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 — x) = 600 *15
x = 150
Решение 2: Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15x = 5 (600- x)
x =150
Ответ: 150 г 30% и 450 г 10% раствора
Слайд 7: Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля?
С использованием графика:
(приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)
10*х = 25*(140 – х)
х = 100
140 – 100 = 40
Ответ: 100 т и 40 т
Слайд 8: Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?
Так как первый раствор 20 % — й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.
Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.
При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.
Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%. Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%
Слайд 9: Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?
Аналитическая модель:
Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08
Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 — х) т меди.
Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение:
0,06х + 0,11(20 — х) = 20*0,08.
Решив уравнение, получим х = 12.
Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди
Слайд 10: Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ
У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?
Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/4.
Слайд 11: Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?
Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен
Слайд 12: Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.
Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему:
Получаем: (864 – х): (х – 600) = 75: 150
1728 – 2х = х – 600
х = 776.
Ответ: сплав 776-й пробы.
Слайд 13: «Правило креста»
При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей:
Например, для приготовления 30 г 80%-го раствора h4PO4 требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.
Слайд 14: От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?
Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления
0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х
х = 1,2
Ответ: 1,2 кг
Слайд 15: Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?
Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его
содержание меди составляет процентов. Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем:
Слайд 16: В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
Обозначим искомую величину за х.
По правилу квадрата получим: Составим пропорцию:
Слайд 17: Тренировочные варианты ЕГЭ — 2009 и задачи на смеси и сплавы (для самостоятельной работы)
1. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. Ответ: 65% меди в новом сплаве.
2. Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350 г воды
Слайд 18:
«Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи».
Антуан Де Сент-ЭкзюпериПри единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается.
Саллюстий Гай Крисп
Домашнее задание:
Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Урок математики в 11 классе по подготовке ЕГЭ по теме «Решение текстовых задач на смеси и сплавы»
Урок алгебры
Наименование УО: МБОУ Лицей №8 г. Кисловодск Ставропольский край
Учитель: Чунихина Наталия Александровна
Предмет: Математика
Класс: 11
Тема урока: Решение задач на смеси и сплавы
Цели урока: Образовательные:
1.Создание условий для систематизации, обобщения и углубления знаний учащихся при решении текстовых задач.
2.Повышение практической направленности предмета через решение практических задач.
Воспитательные:
3.Формирование математической грамотности учащихся.
Развивающие:
4.Развитие навыков логического, творческого мышления,
сообразительности и наблюдательности.
Тип урока: урок закрепления материала.
Оборудование урока: раздаточный материал, мультимедийный проектор, экран, презентация.
План урока:
Организационный момент
Сообщение темы урока.
Устная разминка
Способы решения задач
Практическая часть урока
Самостоятельное решение
Итог урока. Домашнее задание.
Ход урока
1.Организационный момент (Приветствие и посадка учащихся. Проверка готовности учащихся к уроку. )
2. Сообщение темы урока:
Здравствуйте! Итак, начинаем урок алгебры с эпиграфа: «Незнающие пусть научатся, знающие — вспомнят еще раз». Античный афоризм.
Человеку часто приходится часто смешивать различные жидкости, порошки, газообразные и твердые вещества, или разбавлять что-то водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы включены в работы по математике ЕГЭ. Эти задачи под №11.
Как вы думаете, какова цель нашего урока? (ответы учащихся)
Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами рассмотрим такие задачи. Начнем наше занятие с повторения понятий, необходимых нам для решения задач. Для этого вы должны разгадать небольшой кроссворд. Внимание на экран.
3. Устная разминка
Сотая часть числа называется …(процент)
Кроссворд:
1. | п | р | ц | е | н | т | ||||||||
2. | о | т | н | ш | е | н | и | е | ||||||
3. | п | р | о | п | р | ц | и | я | ||||||
р | а | с | т | в | р | |||||||||
5. | к | н | ц | е | н | р | а | ц | и | я |
Разминка:
Соотнести проценты и соответствующие им дроби: 3% — 0,03; 24% — 0,24;
157% — 1,57; 0,7% — 0,007; 30% — 0,3 45%- 0,45
45% | 3% | 0,7% | 157% | 24% | 30% | |||||
0,007 | 1,57 | 0,45 | 0,3 | 0,03 | 0,24 |
Частное двух чисел называют …(отношение)
Верное равенство двух отношений называют …(пропорция)
В химии определение этого понятия звучало бы так: гомогенная смесь, образованная не менее чем двумя компонентами … (раствор). Один из которых называется растворителем, а другой растворимым веществом.
Отношение массы растворимого вещества к массе раствора называют массовой долей вещества в растворе или …(концентрация)
1. | п | р | ц | е | н | т | ||||||||
2. | о | т | н | ш | е | н | и | е | ||||||
3. | п | р | о | п | р | ц | и | я | ||||||
р | а | с | т | в | р | |||||||||
5. | к | н | ц | е | н | р | а | ц | и | я |
Все эти понятия «процент», «отношение, «пропорция», «концентрация» связаны
с задачами на смеси, сплавы и растворы.
Долей (концентрацией, процентным содержанием) α основного вещества в смеси
будем называть отношение массы основного вещества m в смеси к общей массе
смеси M:
Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах.
В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при
их решении использовать схемы, рисунки, таблицы. Современные психологи
утверждают, что решение одной задачи несколькими способами часто бывает
более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.
Поэтому мы с вами рассмотрим несколько способов решения задач на смеси и
сплавы.
4.Способы решения задач
Рассмотрим следующие способы решения задач:
1.С помощь таблицы.
2. С помощью схемы.
3. Решение задач с помощью системы уравнений
4. С помощью приравнивания равных площадей
5.Старинный способ решения задач. (Метод рыбки).
5.Практическая часть
I. Рассмотрим решения задач с применением таблицы.
Таблица для решения задач имеет вид.
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов | % содержание вещества (доля содержания вещества) | Масса раствора (смеси, сплава) | Масса вещества |
Задача №1 Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 г, содержащий 25% никеля. На сколько граммов масса первого сплава меньше массы второго?
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов | % содержание меди (доля содержания вещества) | Масса раствора (смеси, сплава) | Масса вещества |
Первый сплав | 10%=0,1 | хг | 0,1х |
Второй раствор | 30%=0,3 | (200 – х)г | 0,3*(200–х)=60–0,3х |
Получившийся раствор | 25%=0,25 | 200 г | 200*0,25=50 |
Сумма масс никеля в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе никеля в полученном сплаве (третья строка таблицы):
Решив это уравнение, получаем х=50. При этом значении х выражение
200 – х=50. Это означает, что первого сплава надо взять50 г, а второго 150г.
150-50=100 г.
Ответ:100г.
II.Решение задач с помощью систем уравнений
Условно разделим сплав на никель и еще какой-то металл.
Пусть х кг масса первого сплава, у кг – второго.
Так как масса третьего сплава 200 кг, то получим уравнение
Масса никеля в первом сплаве (0,1х) кг, во втором – (0,3у) кг, а в новом — 200·0,25=50 кг. Получим второе уравнение
Получим систему уравнений:
50 кг – масса первого сплава.
150 кг – масса второго сплава.
150 – 50 = 100 (кг)
Ответ: на 100 кг.
III. Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:
Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:
никель
медь
медь
65%
=
+
30%
15%
200г
Решение.
Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
Сумма масс никеля в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе никеля в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200-х=600. Это означает, что первого сплава надо взять 140г, а второго-60г.
IV. Решение задач с помощью приравнивания площадей равновеликих фигур.
Задача №2 Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10% раствором и получили 600 г. 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?
% 30
S1
S1= S2
15
S2
10
Х 600 m(г)
На оси х мы отмечаем массу растворов, на оси у процентное содержание растворов. Находим площади полученных прямоугольников и приравниваем их.
В данной задаче нам неизвестна масса первого вещества. Обозначим её за хг., тогда масса второго вещества равна (600-х) г. Находим площади прямоугольников. S1=15x S2=5(600-x). Приравниваем эти площади. Решаем уравнение 15х=5(600-х). Получаем х=150 г- масса первого раствора.
Находим массу второго раствора 600-150=450г.
Ответ: 150г. 30%-го раствора и 450г. 10%-го раствора.
V. Старинный способ решения задач. ( Метод рыбки)
Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.
Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо словесно описывалась последовательность действий- поступай так и получишь ответ.
Задача №3 Сплавили два слитка серебра: 75г. 600-й пробы и 150г. 864-й пробы. Определите пробу получившегося сплава серебра.
Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему.
600 (75г) 864-х
864 (150г) х-600
Получаем
1728-2х=х-600
-2х-х=-600+1728
3х=2328
х=776
Ответ: 776 проба
Самостоятельная работа
Итак, мы с вами разобрали несколько способов решения текстовых задач.
У вас на столах лежат карточки с задачами. Вы должны решить эти задачи любым подходящим и понравившемся вам способом.
Вариант 1
1.Имеется два сплава. Первый содержит 25% меди, второй 30% меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 28% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
1.Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. Ответ: 65% меди.
Вариант 2
1.Имеется два сплава. Первый содержит 5% олова, второй 25% олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 20% олова. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
2.Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Вариант 3
1. При смешивании 30 процентного раствора серной кислоты с10 процентным раствором серной кислоты получилось 400 г 15 процентного раствора. Сколько граммов 30 процентного раствора было взято?
2.Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?
Ответ: 9 кг и 6 кг.
Вариант 4
1.Имеется 2 сплава. Первый содержит 5% меди, второй -11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в граммах.
2.Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой – 65 %, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47 % серебра. Чему равна масса каждого из этих слитков?
7.Итог урока. Домашнее задание.
Шел мудрец, а я навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал вопрос каждому. У первого спросил: «А что ты делал целый день?». И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», тот ответил: «А я добросовестно выполнил свою работу.» А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!»
Сделайте для себя вывод, кто какую работу выполнил сегодня на уроке.
Вернёмся к поставленным в начале урока целям. Какие из них вы выполнили? (дети отвечают) — Молодцы, ребята, вы успешно справились с заданиями. Мне очень приятно было с вами работать.
– Посмотрите на содержание всех решенных сегодня задач. Что их объединяет? (Задачи на смеси и сплавы)
– Действительно, во всех задачах фигурируют смеси и сплавы; и если вы обратили внимание, задачи касаются разных сторон нашего быта.
– Посмотрите на эти задачи с точки зрения математики. Что их объединяет? (Задачи на проценты). Сделаем итог:
Что нового вы узнали на уроке?
Можете ли вы решать задачи на растворы?
Что вы можете сказать о том, как часто встречаются такие задачи в реальной жизни?
Дидактические материалы для тренировки:
Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?
Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?
Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25% — го раствора нашатырного спирта?
Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?
Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.
11
multiurok.ru
Задача B14: смеси и сплавы
Многие ученики ненавидят эту задачу и даже не пытаются ее решать. И совершенно зря, потому что смеси и сплавы — одни из самых легких задач B14.
Для решения требуется выполнить три простых шага:
- Составляем таблицу, в которой указываем общую массу и массу «чистого» вещества для каждой смеси или сплава. Все данные берутся прямо из условия задачи. Например, 50 литров кислоты с концентрацией 15% — это m 0 = 50 литров общей массы и m 1 = 0,15 · 50 = 7,5 литров «чистого» вещества;
- Если какие-то ячейки таблицы остались не заполненными, обозначаем их переменными x, y и т.д. Чаще всего в качестве неизвестной величины выступает масса, реже — концентрация;
- Составить уравнения по правилу: при объединении двух смесей/сплавов их массы складываются. Другими словами, масса полученной смеси равна сумме масс исходных смесей. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ.
Если все сделать правильно, то получится одно-два линейных уравнения. Решаем их — получаем ответ. А вот фиг! После того, как решите уравнение, никогда (слышите, никогда!) не записывайте ответ. Запомните:
Прежде чем записать ответ, вернитесь к задаче и еще раз прочитайте, что требуется найти. Потому что решить уравнение — это еще не значит решить текстовую задачу.
Это правило работает для всех текстовых задач, а не только для B14. Многие ученики сосредотачиваются на решении уравнения, но совершенно забывают, что, собственно, требовалось найти. Получается, что по существу задача решена верно, а ответ — неправильный.
Задача. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
Итак, у нас есть три вещества:
- 4 литра 15-процентного раствора;
- 6 литров 25-процентного раствора;
- Третий раствор с неизвестной концентрацией.
Составим таблицу:
| Смесь | Общая масса, кг | Масса чистого вещества, кг |
| Раствор 1 (15%) | 4 | 0,15 · 4 = 0,6 |
| Раствор 2 (25%) | 6 | 0,25 · 6 = 1,5 |
| Раствор 3 | x | y |
По условию, нам не дана ни масса нового раствора, ни масса чистого вещества в нем. Поэтому обозначим общую массу x, а массу основного вещества y.
Поскольку при смешивании все массы складываются, получаем уравнения:
4 + 6 = x ⇒ x = 10;
0,6 + 1,5 = y ⇒ y = 2,1.
Уравнения получились настолько простыми, что даже не пришлось составлять систему. Но это еще не ответ! В задаче требуется найти концентрацию нового раствора. Чтобы найти ее, разделим массу чистого вещества на общую массу раствора:
y : x = 2,1 : 10 = 0,21
Итак, доля чистого вещества равна 0,21. Чтобы перевести долю в проценты, умножим на сто:
0,21 · 100 = 21
Задача. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Обозначим массу 30-процентного раствора x, а массу 60-процентного раствора y. Получим таблицу:
| Смесь | Общая масса, кг | Масса чистого вещества, кг |
| Раствор 1 (30%) | x | 0,3x |
| Раствор 2 (60%) | y | 0,6y |
| Чистая вода | 10 | 0 |
| Раствор 3 (50%) | 10 | 0,5 · 10 = 5 |
| Смесь «30% + 60% + вода» | x + y + 10 | 0,3x + 0,6y + 0 |
| Смесь «30% + 60% + 50%» | x + y + 10 | 0,3x + 0,6y + 5 |
По условию, концентрация смеси «30% + 60% + вода» равна 36%. Получаем уравнение:
0,3x + 0,6y + 0 = 0,36 · (x + y + 10)
Аналогично, концентрация смеси «30% + 60% + 50%» равна 41%. Отсюда получаем еще одно уравнение:
0,3x + 0,6y + 5 = 0,41 · (x + y + 10)
Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго:
Теперь вспомним, что надо найти. А нужна масса 30-процентного раствора. Та самая, которую мы обозначили за x. Следовательно, x = 60 — это и есть ответ.
В заключение — два слова об уравнениях. Взгляните на задачи, приведенные выше: все уравнения — линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на смеси и сплавы считаются очень легкими.
Смотрите также:
- Простая задача B14 на смеси и сплавы
- Сложная задача B14 на смеси и сплавы
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
- Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 8 (без производных)
- Показательные функции в задаче B15
- Формулы приведения: ускоряем вычисления в тригонометрии
www.berdov.com
m (m=M∙d) | M | d | |
1 | |||
2 | |||
3 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 1000г | 0,45(олово) | |
2 | |||
3 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 1000г | 0,45(олово) | |
2 | +хг | 0 | |
3 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 1000г | 0,45(олово) | |
2 | +хг | 0 | |
3 | 1000+х | 0,15 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 450 | 1000г | 0,45(олово) |
2 | 0 | +хг | 0 |
3 | (1000+х)∙0,15 | 1000+х | 0,15 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 160 | 1000г | 0,16(соль) |
2 | 0 | -200г | 0 |
3 | 800х | 800г | х | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 1,2 | 30кг | 0,04(соль) |
2 | 0 | -х | 0 |
3 | (30-х)∙0,12 | 30-х | 0,12 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 84 | 700г | 0,12(уксус) |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | (700+х)∙0,07 | 700+х | 0,07 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 4,8 | 80 | 0,06(соль) |
2 | 0 | -х | 0 |
3 | (80-х)∙0,08 | 80-х | 0,08 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 420 | 1000 | 0,42(медь) |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | (1000+х)∙0,2 | 1000+х | 0,2 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 240 | 1000 | 0,24(соль) |
2 | 0 | -200 | 0 |
3 | 800х | 800 | х | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 2 | 40 | 0,05(соль) |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | (40+х)∙0,02 | 40+х | 0,02 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 120 | 1000 | 0,12(соль) |
2 | 0 | -400 | 0 |
3 | 600х | 600 | х | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 80 | 500 | 0,16(уксус) |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | (500+х)∙0,1 | 500+х | 0,1 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 6 | 10 | 0,6 с |
2 | 0 | +х | О с |
3 | 4+0,4х | 10+х | 0,4 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 7 | 84 | 1/12 |
2 | 1/10х | +х | 1/10 |
3 | 84/11+1/11х | 84+х | 1/11 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 2,5 | 5 | 0,5 с |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | 1+0,2х | 5+х | 0,2 с | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 1 | 3 | |
2 | +2 | ||
3 | 5х | 5 | х | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 0,4-0,8х | 0,5-х | 0,8 |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | 0,05 | 0,5 | 0,1 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 8 | 96 | 1/12 |
2 | 1/10х | +х | 1/10 |
3 | 96/11+1/11х | 96+х | 1/11 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 0,3х | х | 0,3 к |
2 | 60-0,1х | 600-х | 0,1 к |
3 | 90 | 600 | 0,15 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 960 | 1000 | 0,96 с |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | 400+0,4х | 1000+х | 2/5 ( 0,4) | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 5 | 500 | 0,01 к |
2 | 0 | -х | 0 |
3 | 20-0,04х | 500-х | 0,04 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 16,2 | 36 | 0,45 м |
2 | х | +х | 1 м |
3 | 21,6+0,6х | 36+х | 0,6 м | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 8+0,8х | 10+х | 0,8 |
2 | х | -х | 1 |
3 | 1,2 | 10 | 0,12 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 0,8-0,8х | 1-х | 0,8 |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | 0,1 | 1 | 0,1 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 0,192-0,8х | 0,24-х | 0,8 к |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | 0,024 | 0,24 | 0,1 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 0,05х | х | 0,05 |
2 | 56-0,4х | +140-х | 0,4 |
3 | 42 | 140 | 0,3 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 108 | 120 | 0,9 в |
2 | х | -х | 1 в |
3 | 100,8-0,84х | 120-х | 0,84 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 0,4х | х | 0,4 к |
2 | 50-0,1х | 500-х | 0,1 к |
3 | 140 | 500 | 0,28 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 0 | 1400-х | 0 |
2 | 0,7х | +х | 0.7 |
3 | 84 | 1400 | 0,06 | m (m=M∙d) | M | d |
1 | 147 | 210 | 0,7 |
2 | 0 | +х | 0 |
3 | 12,6+0,06х | 210+х | 0,06 |
doc4web.ru
