Posted in Подготовка к ЕГЭ

Метод координат при решении задач егэ – «Применение метода координат при решении задач группы С в ЕГЭ по математике Агаджанян Степан Владимирович, учитель математики МОУ СОШ 26 г. Новороссийска.». Скачать бесплатно и без регистрации.

Метод координат при решении стереометрических задач ЕГЭ

Сущность метода координат, как метода решения задач, состоит в том, что, выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно применять геометрию к решению алгебраических задач, при этом осуществляется межпредметная связь.

Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:

1.                     дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;

2.                     показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;

3.                      способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

С помощью  метода координат многие задачи решаются более рационально, доступно.  Решение задач С2  методом координат, на мой взгляд, алгоритмитизировано, что в большинстве случаев упрощает решение задачи.

При подготовке к задачи С2 в этом году мною был сделан упор на  решение этих задач именно методом координат.

Были выделены основные типы задач С2, это задачи на нахождение:

  Угла между двумя  прямыми

  Угла между прямой и плоскостью

  Расстояние от точки до плоскости

  Угла между двумя плоскостями

Причины трудностей учащихся при решении подобных задач, я вижу в   

 1.Отсутствие пространственного воображения.

2.Сложности в усвоении понятий: угла между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, линейного угла, взаимного расположения плоскостей.

3.Недостатка  разнообразия   задач подобного типа в учебнике.

4.Недостатка учебного времени на изучение этого метода. 

 

В помощь учащимся мною были разработаны справочники  так называемые (шпаргалки-помощницы), которыми учащиеся пользовались при подготовке к экзамену

В эти книжки помещён справочный материал,  примеры разнообразных задач С2,    разработаны алгоритмы их решения и показаны  решения этих задач по алгоритму. В справочнике рассмотрены задачи на все выделенные ранее типы, причём, по одному и тому же типу предложены две задачи, на разных многогранниках.

Причём, решение задач, содержащихся в этом справочнике, рассмотрено  доступно, но с разной степенью подробности. Это позволяет ученику сравнивать решение с алгоритмом, со справочным материалом и  проявлять самостоятельность в той или иной мере.

Учащийся, рассматривая решение данных задач, запоминает алгоритм их решения, имеет возможность обратится к справочному материалу. Считаю, что когда такой компактный справочник находится на столе ученика, это экономит его время, даёт возможность классифицировать задачу восстановить и в итоге запомнить алгоритм решения задачи.

Одной из сложных задач являлась задача на определение угла между двумя плоскостями, но при решении её методом координат, она становится доступной учащимся. Уравнению плоскости  в нашем учебнике геометрии практически не уделяется внимания, поэтому мне пришлось обратиться к курсу высшей математики, где подобного типа задачи изложены достаточно просто.  («Высшая математика в упражнениях и задачах»  П.Е.Данко, А.Г.Попов и др.)

Хотелось бы обратить ваше внимание коллеги на то, что в учебник «Геометрия 10-11», Л.С.Атанасяна, В.Ф.Бутузова, издания 2010 года внесён новый  п.53* Уравнение плоскости.

 В итоге своего выступления назову положительные и отрицательные стороны метода координат.

Метод координат:

1.                     Избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.  Для ученика это +

2.                     При решении задач этим методом не нужна высокая степень сообразительности, что, конечно, негативно сказывается на творческих способностях учащихся.  Это —

3.                     И ещё один минус. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат, это усложняет вычислительную часть при решение задачи. И здесь перед учителем встаёт необходимость научить учащихся делать рациональный выбор системы координат.

4.                     Метод даёт возможность «натаскивания» учащихся на решение подобного типа задач. Понятно, что это и +, и –. Но, к сожалению, мы сегодня находимся в таких условиях, когда «натаскивание» является одной из составляющих подготовки учащихся к ЕГЭ.

5.                     При решении задач методом координат нет необходимости в дополнительных построениях, что особенно трудно учащимся, каких-либо сечений, линейных углов, линий пересечения плоскостей. Полностью отсутствуют доказательства, обоснования того или иного применения теорем стереометрии. А это огромный +.

6.                     Экономит время и место в оформлении задачи на экзамене.  Это +

7.                     Метод, легко усваиваемый большинством учащихся с разной математической подготовкой. Это  + не только для ученика, но и для учителя.

 

   Как видите  + больше, чем -,   но это на мой взгляд.  Конечно, в зависимости от уровня подготовки учащихся в классе можно предлагать и другой способ решения задач — классический, требующий глубокого понимания и умения не только представлять, но и изображать сложные пространственные проекции на плоскость.

 

Спасибо за внимание!

infourok.ru

Координатно-векторный метод решения стереометрических задач при подготовке к ЕГЭ

Разделы: Математика

Цели:

  • выработать умение рассматривать различные подходы к решению задач и проанализировать “эффект” от применения этих способов решения;
  • выработать умение учащегося выбирать метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями, базирующимися на более прочных знаниях и уверенных навыка;
  • выработать умение составить план последовательных этапов для достижения результата;
  • выработать умение обосновать все предпринимаемые шаги и вычисления;
  • повторить и закрепить различные темы и вопросы стереометрии и планиметрии, типовые стереометрические конструкции, связанные с решением текущих задач;
  • развить пространственное мышление.

Задачи:

  • анализ различных методов решения задачи: координатно-векторный метод, применение теоремы косинусов, применение теоремы о трех перпендикулярах;
  • сравнение преимуществ и недостатков каждого метода;
  • повторение свойств куба, треугольной призмы, правильного шестигранника;
  • подготовка к сдаче ЕГЭ;
  • развитие самостоятельности при принятии решения.

Схема урока

Задача 1.

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точка О – центр грани ABCD.

Найти:

а) угол между прямыми A1D и BO;

б) расстояние от точки B до середины отрезка A1D.

Решение пункта а).

1 способ. Координатно-векторный метод

Поместим наш куб в прямоугольную систему координат как показано на рисунке, вершины A1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Направляющие векторы прямых A1D и B1O:

{0; 1; -1} и {½; ½; -1};

искомый угол φ между ними находим по формуле:

cos∠φ = ,
откуда∠φ = 30°.

2 способ. Используем теорему косинусов.

1) Проведем прямую В1С параллельно прямой A1D. Угол CB1O будет искомым.

2) Из прямоугольного треугольника BB1O по теореме Пифагора:

B1O = .

3) По теореме косинусов из треугольника CB1O вычисляем угол CB1O:

cos CB1O = , искомый угол составляет 30°.

Замечание. При решении задачи 2-м способом можно заметить, что по теореме о трех перпендикулярах COB1 = 90°, поэтому из прямоугольного ∆ CB1O также легко вычислить косинус искомого угла.

 Решение пункта б).

1 способ. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками

Пусть точка E – середина A

1D, тогда координаты E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE = .

2 способ. По теореме Пифагора

Из прямоугольного ∆ BAE с прямым BAE находим BE = .

Задача 2.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны a. Найти угол между прямыми AB и A1C.

Решение.

1 способ. Координатно-векторный метод

Координаты вершин призмы в прямоугольной системе при расположении призмы, как на рисунке: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A1(0; 0; a), C (0; a; 0).

Направляющие векторы прямых A1C и AB:

{0; a; -a} и {a; ; 0} ;

cos φ = ;

φ = arccos .

2 способ. Используем теорему косинусов

Рассматриваем ∆ A1B1C, в котором A1B1 || AB. Имеем

 cos φ = .

Задача 3.

(Из сборника ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко)

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E до прямой B1C1.

Решение

1 способ. Координатно-векторный метод

1) Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные оси, как показано на рисунке. СС1, СВ

и СЕ попарно перпендикулярны, поэтому можно направить вдоль них координатные оси. Получаем координаты:

С1 (0; 0; 1), Е (; 0; 0), В1 (0;1;1).

2) Найдем координаты направляющих векторов для прямых С1В1 и С1Е:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Найдем косинус угла между С1В1 и С1Е, используя скалярное произведение векторов и :

 cos β = = 0 => β = 90° => C1E – искомое расстояние.

4) С1Е = = 2.

Вывод: знание различных подходов к решению стереометрических задач позволяет выбрать предпочтительный для любого учащегося способ, т.е. тот, которым ученик владеет уверенно, помогает избежать ошибок, приводит к успешному решению задачи и получению хорошего балла на экзамене. Координатный метод имеет преимущество перед другими способами тем, что требует меньше стереометрических соображений и видения, а основывается на применении формул, у которых много планиметрических и алгебраических аналогий, более привычных для учащихся.

Форма проведения урока – сочетание объяснения учителя с фронтальной коллективной работой учащихся.

На экране с помощью видеопроектора демонстрируются рассматриваемые многогранники, что позволяет сравнивать различные способы решения.

Домашнее задание: решить задачу 3 другим способом, например, с помощью теоремы о трех перпендикулярах.

Литература

1. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса.– М.: ИЛЕКСА, – 2010. – 208 с.

2. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с.

3. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов/ под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное образование, 2011. – 112 с. – (ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе).

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Видеотека. Стереометрия. Метод координат.

1. Введение в метод координат.

2. Решение стереометрических задач методом координат.

 

3. Дан правильный тетраэдр MABC  с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL  и MO,   где L — середина MC, О- центр грани АВС.

 

4. Как решать С2. Урок 1. (Координатный метод).

 

5. Как решать С2. Урок 2. (Координатный метод).

 

6. Как решать С2. Урок 3. (Координатный метод).

 

7. Как решать С2. Урок 4. (Координатный метод).

 

8. Как решать С2. Урок 5. (Координатный метод).

 

9. Как решать С2. Урок 6. (Координатный метод).

 

10. Как решать С2. Урок 7. (Координатный метод).

 

11. Как решать С2. Урок 8. (Координатный метод).

 

ege-ok.ru

Координатный метод решения задач С-2

Задачи элементарные, если следовать алгоритму решения С2 и помнить про основные тригонометрические свойства, как например свойства диагоналей или площадь поверхности многогранника. Опорные задачи вам помогут вспомнить эти основные свойства.

Теперь перейдем непосредственно к алгоритмам.

1. Для определения расстояния между двумя точками А и В используем один из двух способов:

При чем координатный метод на мой взгляд наиболее прост, надо только аккуратно определить координаты каждой точки.

2. Для определения расстояния от точки до прямой вычисляется

при помощи координатного метода используя формулы вычисления площади, в которых искомым расстоянием будет высота и

3. Расстояние от точки до плоскости равно

Уравнение находится путем подстановки координат трех точек, принадлежащих этой плоскости

Для этого надо вспомнить правила сложения и вычитания векторов, что произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

4.1. Поэтапно-вычислительного метода:

4.2. Векторно-координатного метода

Задачу сводим к определению длины вектора, принадлежащего перпендикуляру являющемуся общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых


5.Угол между двумя прямыми определяется несколькими способами
5.1 Поэтапно-вычислительным методом

, при этом надо достроить до треугольника, в котором одна из сторон является той, расстояние от которой находится (с), а вторая сторона (в) параллельна скрещивающейся прямой

5.2. Векторно-координатный метод

Используют формулу или где векторы p и q параллельны заданным прямым, определены их координаты

5.3. Метод опорных задач

6. Угол между прямой и плоскостью определяется путем включения его в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов, либо векторно-координаторным методом

или

Либо методом опорных задач

Как определяется угол между плоскостями рассмотрим в следующем уроке. Данные алгоритмы решения С2 способствуют комплексному пониманию метода решения поставленной задачи. Источник » В помощь школьнику журнал для школьников и их родителей». Read more: http://education-club.ru/#ixzz2IXf5GOJU

7. Угол между плоскостями(геометрический метод)

  • 1. Найти прямую, по которой пересекаются плоскости. 
  • 2. Выбрать на этой прямой точку и провести к ней два перпендикуляра, лежащих в этих плоскостях. Или провести плоскость, перпендикулярную линии пересечения плоскостей. 
  • 3. Найти тригонометрическую функцию угла, образованного перпендикулярами к линии пересечения плоскостей. Как правило, мы делаем это через треугольник, в который входит искомый угол. 
  • 4. В ответе записать значение угла, или тригонометрической функции угла.

Угол между плоскостями. Метод координат. Задание С2

Подробный алгоритм нахождения уравнения плоскости по трем точкам я описывала здесь.

После того, как мы найдем коэффициенты в уравнениях плоскости и плоскости , подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол.

Предлагаю вам посмотреть подробное видеорешение этой задачи:


Еще одна задача от Инны Владимировны Фельдман


  Видео уроки «Координатный метод решения задач с-2»

ddomashka66.blogspot.com

III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

КООРДИНАТНО-ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОГО УРОВНЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ

Валиуллина Я.А. 1

1

Курмашева А.А. 1

1

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

В ходе подготовки к ЕГЭ по математике мне приходилось решать стереометрические задачи. Среди них были задачи на нахождение углов между скрещивающимися прямыми в кубе, призмах, пирамидах. При этом я использовал вычислительный метод. Однако возникали трудности, связанные с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, сопровождающими эти построения. Мне показалась интересной тема « Координатно-векторный метод решения стереометрических задач повышенного уровня при подготовке к ЕГЭ». Данная тема актуальна, так как этот метод позволяет избежать такого рода трудностей. Решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи. Координатно-векторный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических, и технических задач. Кроме того, координатно-векторный метод в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно. Поэтому в своей исследовательской работе я решил стереометрические задачи повышенного уровня с помощью координатно-векторного метода.

Цель: изучить координатно-векторный метод решения стереометрических задач

Задачи исследования: 1. Рассказать об истории появления этого метода решения задач.

2.Раскрыть содержание метода, показать основные формулы и теоремы.

3.Решить сложные стереометрические задачи с использованием векторно-координатного метода, сравнить и показать его преимущества.

Объектом данного исследования является координатно-векторный метод решения стереометрических задач.

Предметом исследования является использование данного метода при решении стереометрических задач повышенного уровня.

Методы исследования:

  • Теоретический (работа с научной литературой, материалами электронных ресурсов)

  • Эмпирический (анализ и сравнения полученных результатов)

  • Математический

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что оно является вкладом в дальнейшее развитие вопроса о подготовке к ЕГЭ по геометрии, позволяет выбирать метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями.

Прикладная значимость результатов исследования определяется вкладом в развитие логического математического мышления учеников, развитие умения самостоятельного решения типовых задач. Результаты исследования могут быть использованы при подготовке к ЕГЭ по математике, а также на факультативных и элективных курсах по математике.

Глава 1.Введение системы координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

История открытия системы координат

Рене Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с Пьером Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя. В XVIII-XIX веках на основе метода координат Декарта возникли многомерная, а затем и бесконечная геометрия. Сегодня без метода координат невозможно представить себе ни математику, ни физику.

Декартова система координат в пространстве

Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой О, а координатные прямые обозначаются Ox, Oy,Oz

и называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

Угол между скрещивающимися прямыми

 

a

Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

 

Алгоритм векторно-координатного метода:

1). Введём прямоугольную систему координат и единицу измерения

2). Найдём координаты нужных точек

3).Найдём координаты направляющих векторов скрещивающихся прямых

4). Найдём угол между векторами.

Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и

b = (x2; y2; z2):

Глава 2 .Применение метода координат при решении геометрических задач повышенного уровня

Наобразовательном портале для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ» из январьских вариантов 2017 года я выбрал 14 задание . Точка — се­ре­ди­на ребра куба Най­ди­те угол между пря­мы­ми и

Сначала я решил вычислительным методом.

Решение. При­мем ребро куба за Тогда Про­ведём через точку пря­мую, па­рал­лель­ную Она пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние ребра в точке причём Ис­ко­мый угол равен углу (или смеж­но­му с ним).

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

В тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

от­ку­да а тогда

Ответ: .

Далее я решил координатно-векторным методом.

Решение: Введем прямоугольную систему координат.

B (1; 1; 0), Е (0; 1; 0,5), В1 (1; 1; 1), D (0; 0; 0).

Найдем направляющие векторы прямых BE и B1D:

BE{-1;0;0,5} и B1D{-1;-1;-1}

Ответ: arccos

Сравнивая решения, можно сделать вывод о целесообразности использования координатно-векторного метода в данной задаче, так как дополнительных построений в первом методе намного больше, вычислений и обоснований тоже больше.

А теперь решил задачу № 2 координатно-векторным методом.

№2 В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и СB1.

Решение: Введем прямоугольную систему координат.

Найдем направляющие векторы прямых AС1 и СB1:

Ответ: Также я решил задачу № 3 координатно-векторным методом.

№3 № 4. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВF1 .

Решение: Введем прямоугольную систему координат.

F1 (- 1; 0;1)

, — направляющие векторы прямых

Ответ:

Выводы

Метод координат — это, конечно, хороший метод. Для его использования достаточно усвоить несколько формул и чётко знать алгоритм. Далее сделать правильные вычисления.

Однако у него есть недостаток. Иногда приходится много считать. И чем сложнее многогранник — тем больше объем вычислений. Это становится особенно заметно, когда в дело вступают иррациональные координаты. И к большому сожалению, в школе этой теме уделяется недостаточно внимания.

Заключение

Проанализировав решения стереометрических задач повышенного уровня, я пришел к заключению, что координатно-векторный метод является наиболее удобным для решения отдельных задач. Это позволяет экономить время при решении подобных задач и получить заветные баллы на ЕГЭ. Однако в некоторых случаях приходится делать громоздкие вычисления и могут возникнуть проблемы с оформлением. Результат проведенного исследования –это то, что ученик может рационализировать решение стереометрических задач повышенного уровня, используя координатно-векторный метод.

Список использованной литературы

1. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с.

2. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов/ под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное образование

3.А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев .Лекция 6 «Использование координатного и векторного методов для решения задач С2». Педагогический университет «первое сентября»,2012.-100с.

4.Математика.11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений: (базовый уровень)/ А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова (и др.) 6-е изд.,стер.- М.: Мнемозина,2011.- 416с.

5.Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ» https://ru.reshuege.ru

6.ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия. https://ru.wikipedia.org/wiki

Просмотров работы: 641

school-science.ru

«Координатный метод в пространстве» (при решении задач №14 из ЕГЭ)

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лицей г.Козьмодемьянска»

Урок по геометрии в 11а классе по теме

«Координатный метод в пространстве»

Эпиграф:

«Умение решать задачи-практическое искусство,подобное плаванию,или катанию на лыжах,или игре на фортепиано:научиться этому можно,лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…» Д.Пойа.

Нюхнина Р.Л.,учитель

математики высшей квалификационной категории.

Конспект урока-исследования по геометрии по теме:

Применение метода координат при решении стереометрических задач.

  • Цели урока: Закрепить навыки учащихся в использовании формул для решения задач координатно – векторным методом,показать преимущество данного метода при решении стереометрических задач.

  • Задачи:

  • 1.показать учащимся возможность и целесообразность использования векторной алгебры при решении задач.

  • 2. Развитие мыслительной деятельности и ее активизации путем различных вопросов и задач.

  • 3.Воспитание собранности,аккуратности,четкости,потребности мыслить.

  • Знание и умение формируемые на уроке:

  • Учащиеся должны знать,что применение векторной алгебры дает в некоторых случаях возможность найти или упростить решение задач.

Основные методы обучения: проблемно- поисковый; исследовательский.

  • Оборудование

  • Ход урока.

  • Организационный момент:

  • 1.Историческая справка Презентация(метод координат)

  • Актуализация знаний , умений и навыков учащихся:

  • а)Блиц опрос-разминка.(по знанию формул по теме «Векторы»)

б)Решение задач с применением методов исследования.

в) Мастер-класс по построению сечений разными способами и нахождению площади этих сечений.(ученик 11 А класса-Эльдыков Денис).

г) Тест в форме устных ответов.

Подведение итогов урока.

Дискуссия по решению задач разными способами.

Домашнее задание:

ППппппп

33

Ход

  • Д показать учащимся возможность и целесообразность использования векторной алгебры при решении з

  • И.

  • ПППРПцель: развитие мыслительной деятельности и ее

П

  1. История возникновения понятия «вектор».

 Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике. 

     Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

     Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

     Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками. В соответствии с требованиями новой программы по математике и физике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса.

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Векторы-они удобны, использование их весьма естественно, и обычно думают, что ими оперируют давно. Но это неверно. Даже в книге Максвелла, о которой уже говорилось, вы не найдете векторных обозначений для производных в декартовой системе координат, с помощью которых обычно записывают полученные им уравнения. Это — вторая половина XIX в., но даже тогда векторная символика еще не привилась.

Гораздо раньше векторов в науку были введены кватернионы. Эти и в самом деле странные величины придумал Гамильтон. Создатели квантовой механики очень обязаны трудам Гамильтона и Лагранжа , бывших не только физиками, но и превосходными математиками.

Несколько позже Гамильтона жил известный вам в другой связи американский ученый Гиббс. По моему мнению, из американских физиков он самый великий; правда, это утверждение не согласуется с другими оценками. Его можно назвать младшим Ньютоном. Почему? Всю жизнь он словно в башне из слоновой кости прожил в маленьком городке Нью-Хейвене и преподавал в Йельском университете. Работы его безупречны. Как и работы Ньютона, они совсем не содержат неверных утверждений.

Сохранились записи лекций, прочитанных Гиббсом около 1880 г. в Йельском университете. Хотя векторы и не обозначались в них с помощью жирных букв но там дано определение скалярного и векторного произведений и введены символы, соответствующие современным круглым скобкам, в сущности, впервые механика изложена на языке векторов.

Идеи Гиббса об использовании векторов не получили немедленного признания. Например, уже упоминавшийся английский ученый Тейт утверждал, что пользоваться векторами неудобно.Но на использовании векторов основано изложение механики во многих школах Англии.

Уильям Гамильтон

Жозеф Луи Лагранж.

2.Блиц опрос-разминка.

На доске написаны формулы по теме «Метод координат». Учащиеся должны выяснить какие компоненты входят в формулы и что можно найти с их помощью.

3.Решение задач разными способами с применением методов исследования.

Класс разделен на 6 групп (по 3 человека в каждой группе).Задачи подобраны на разные темы.Учащиеся должны были решить их разными способами,увидеть преимущество каждого способа и убедить аудиторию в значимости каждого из них .Поработать с интернетом посмотреть видио фильм.

3.Решение задач с применением методов исследования.

1тема: Нахождение расстояния от точки до прямой.

Задача: В прямоугольном параллелепипеде АВСDАВСD АВ=ААı=а, АD=3а. На ребре АıВı взята точка P-середина этого ребра, а на ребре АD-точка Q такая, что АQ:АD=2:3. Найти расстояние от вершине D ı до прямой PQ.

2тема: Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Задача:Ребро куба АВСDАıВıСıD равно а. Найти расстояние от точки С до плоскости (ВDCı).

Пояснение: Если обьем пирамиды равен V,то расстояние от точки М до плоскости 3VABCM

содержащей ▲АВС вычисляется по формуле ρ(М; АВС) = ————- В общем случае

SABC

рассматривается равенство обьемов одной фигуры,выраженных 2-мя независимыми способами.

3 тема: Угол между скрещивающимися прямыми.

Задача:Все боковые грани призмы АВСDАıВıСıDı -квадраты. На ее ребрах АВ, АıСı ,АıВı ,ССı взяты соответственно точки Р,Q,R,N-середины ребер. Найти угол между прямыми РQ и NR.

4тема: Угол между прямой и плоскостью.

Задача:В правильной шестиугольной призме АВСDEFAıВCıDıEıFı сторона основания равна 1, высота 6. Найти угол между прямой FıBı и плоскостью АFıCı.

5 тема:Угол между плоскостями.

Задача: В правильной четырехугольной призме АBCDADCD стороны основания равны 3, боковые ребра равны 5.На ребре DD отмечена точка F так, что DF:FD=2:3.Найти угол между плоскостями ABC и AFC.

6 тема:Мастер-класс по применению метода координат для построения и нахождения площади сечения.(проводит Эльдыков Денис-ученик 11 А класса)

Задача:На ребре CD куба ABCDAıBıCıDı взята точка P-середина этого ребра. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через вершину Вı перпендикулярно прямой AıP и , считая ребро куба равным 1 ,найти площадь полученного сечения.

5.Дисскуссия по решению задач различными способами.

6 тема: Тест в форме устных ответов на сообразительность и пространственное воображение.

№ 1.Основание прямой четырехугольной призмы является ромб со стороной6 и острым углом 60ͦ .Меньшая диагональ призмы равна 10. Найти боковое ребро.

  1. 6

  2. 8

  3. 5

№ 2.В единичном кубе ABCDABCD найти расстояние от точки В до прямой AD.

  1. 2

  2. 3

  3. 1

№ 3.В правильной шестиугольной призме ABCDEFAıBıCıDEıFı все ребра которой равны 3, найти расстояние от точки В до плоскости (ABC).

  1. 4

  2. 3

  3. 2

№ 4.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра которой √2, найти расстояние от точки В до плоскости SAC.

1) 2

2) 1

3) 3

№ 5.В кубе ABCDAıBıCıDı найти угол между прямой АВı и плоскостью АВС.

  1. 30ͦ

  2. 45ͦ

  3. 60ͦ

показать учащимся возможность и целесообразность использования векторной алгебры при решении задач.

Воспитательная цель: Воспитание собранности, аккуратности, четкости потребности мыслить.

infourok.ru

Метод координат при решении стереометрических задач ЕГЭ


МЕТОД КООРДИНАТ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С2 ЕГЭ-2010Алфёрова Наталья Васильевна, учитель математики высшей категорииМОУ «Горячеключевская СОШ»Омского района Омской области Немного из истории координатного метода Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Суть метода координатСущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно применять геометрию к решению алгебраических задач.Метод координат обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.В некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. Цели изучения метода координат показать учащимся эффективность метода решения задач и доказательства ряда теорем; показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии; способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся. Главное преимущество метода координатРешение задач С2 ЕГЭ-2010 при помощи метода координат алгоритмитизировано, а значит становится более простым для учащихся. Основные виды задач С2 ЕГЭ — 2010Угол между двумя прямымиУгол между прямой и плоскостьюРасстояние от точки до плоскостиУгол между двумя плоскостями Причины трудностей учащихся при решении подобных задачОтсутствие пространственного воображения.Сложность в усвоении понятий: угла между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, линейного угла, взаимного расположения плоскостей.Недостаток разнообразия такого типа задач в учебниках.В школьной программе по математике методу координат уделяется сравнительно мало внимания. АЛГОРИТМЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С2 ЕГЭ – 2010 (шпаргалка-помощница) Все условия для знаний создаются вам сейчас, До ЕГЭ ещё есть время, но наступит этот час! Так что нужно потрудиться, изучить и закрепить, Мой совет вам — не лениться, а математику учить!Н.В.Алфёрова УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ Задача. В кубе АВСДА1В1С1Д1 точка Е – середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВD1.  Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат2.Ввести направляющие векторы данных прямых и определить их координаты. 3. Найти косинус угла между векторами по формуле сosα = УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИЗадача. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точки G и H — середины ребер соответственно А1В1 и В1С1. Найдите косинус угла между прямыми AG и BH. Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат2.Рассмотреть правильный шестиугольник на плоскости, вычислить длину его диагонали АЕ по т. косинусов.3.Ввести направляющие векторы данных прямых и определить их координаты.4.Найти косинус угла между векторами по формуле  сosα = УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮЗадача. В кубе АBCДА1В1С1Д1 точка Е – середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВДД1. Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат2.Ввести направляющий вектор данной прямой, определить его координаты: АЕ (х1;у1;z1) 3.Вывести уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0, где N (A; В; С) – вектор нормали4.Найти синус угла между векторами по формуле: sinα = РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИЗадача. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 5, высота 5. Найти расстояние от вершины A до плоскости BДM, где M середина ребра CC1. Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат, определить координаты данной точки A (х0;у0;z0).2. Вывести уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0, где N (A; В; С) – вектор нормали3.Найти расстояние от точки A (х0;у0;z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 по формуле: d = УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИЗадача. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями А1В1С и АВ1С1. Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат. 2. Вывести уравнения плоскостей: А1х+В1у+С1z+D1=0, где N1 (A1; В1; С1) – вектор нормали одной плоскости, А2х+В2у+С2z+D2=0, где N2(A2; В2; С2) – вектор нормали второй плоскости. 3.Вычислите косинус угла между плоскостями по формуле: сosα = | | Прямоугольная система координат в правильной треугольной призме Прямоугольная система координат в правильной четырёхугольной пирамиде Учебник «Геометрия 10-11», Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.В издание 2010 г.введён п.53 Уравнение плоскости Метод координат, его плюсы и минусыИзбавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. +При решении не нужна высокая степень сообразительности, что негативно сказывается на творческих способностях учащихся. -Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. — Нацелен на результат ЕГЭ, т.е. в рамках учебного времени, даёт возможность «натаскивания» учащихся на решение подобного типа задач. + и –Нет необходимости в дополнительных построениях каких-либо сечений, линейных углов, линий пересечения плоскостей. Полностью отсутствует доказательства, обоснование того или иного применения теорем стереометрии. +Экономит время и место в оформлении задачи. +Легко усваиваемый большинством учащихся с разной математической подготовкой. + Желаю успехов в выборе.Спасибо за внимание! 

lib-5.ru

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *