Решу егэ тригонометрические уравнения: 404 | Университет СИНЕРГИЯ - Управленческое образование

Содержание

Решу егэ решение тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры. Методы решения тригонометрических уравнений

Аналогично, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4 \frac\pi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac{3\sqrt 2}5,\,

b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac{3\sqrt 2}5\Bigg). При этом -2\pi
2\pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left(-2\pi , -\frac{3\pi }2\right).
При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac{7\pi }2.
Ответ
а) \frac\pi4\pm arccos\frac{3\sqrt2}5+2\pi k, k\in\mathbb Z;
б) -\frac{7\pi}4\pm arccos\frac{3\sqrt2}5.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред.2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x , получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Решим неравенства
1) -\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,
2) -\frac{3\pi }2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi {2,}
3) -\frac{3\pi }2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 ,
m, n, k \in \mathbb Z.
1) -\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac{11}6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac{11}{12} \leqslant m \leqslant -\frac5{12}.
\left [-\frac{11}{12};-\frac5{12}\right]
.
2) -\frac {3\pi} 2 \leqslant -\frac{\pi }3+2\pi n \leqslant -\frac{\pi }{2}, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1{6}, -\frac7{12} \leqslant n \leqslant -\frac1{12}.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7{12} ; -\frac1{12} \right].

3) -\frac{3\pi }2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac{\pi }2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.
Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-\pi.
Ответ
а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;
б) -\pi .
Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение `sin x=a`.
При `|a|>1` не имеет решений.n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
с помощью преобразовать его до простейшего;

решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
Задача №1
Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:
То мы бы записали вот такой ответ:
Или (так как)
Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:
Тогда можно записать:
Наша с тобою цель — сделать так, чтобы слева стоял просто, без всяких «примесей»!
Давай постепенно от них избавляться!
Вначале уберём знаменатель при: для этого домножим наше равенство на:
Теперь избавимся от, разделив на него обе части:
Теперь избавимся от восьмёрки:
Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать.
Рассмотрим вначале первую серию:
Ясно, что если мы будем брать то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют.
Значит нужно брать отрицательным. Пусть.
При корень будет уже:
А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен.
Теперь рассматриваем вторую серию:
И опять подставляем: , тогда:
Не интересует!
Тогда увеличивать больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть, тогда:
Подходит!
Пусть. Тогда
Тогда — наибольший отрицательный корень!
Ответ:
Задача №2
Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:
Теперь снова выражаем слева:
Умножаем обе стороны на
Делим обе стороны на
Всё, что осталось — это перенести вправо, изменив её знак с минуса на плюс.
У нас опять получается 2 серии корней, одна с, а другая с.
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:
Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при, он будет равен и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии.

Для второй серии
Первый отрицательный корень будет получен также при и будет равен. Так как, то — наибольший отрицательный корень уравнения.
Ответ: .
Задача №3
Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.
Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?
Как и раньше, выражаем в левой части:
Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.
Ясно, что он получается, если положить. И корень этот равен.
Ответ:
Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.
Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.
Ре-ши-те урав-не-ние.
Ре-ши-те урав-не-ние.
В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.
Ре-ши-те урав-не-ние.
В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.
Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!
Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!
Сверься с решениями и ответами:
Задача №1
Выразим
Наименьший положительный корень получится, если положить, так как, то
Ответ:
Задача №2
Наименьший положительный корень получится при.
Он будет равен.
Ответ: .
Задача №3
При получаем, при имеем.
Ответ: .
Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.
Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

Тригонометрические уравнения для начального уровня (см выше).
Более сложные тригонометрические уравнения — это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.
Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:
Решение уравнения
Отбор корней
Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать — это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.
Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.
Четыре категории задач повышенной сложности (ранее С1)
Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
Уравнения, сводящиеся к виду.
Уравнения, решаемые заменой переменной.

Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.
Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов , то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.
Если же тебе попалось уравнение 4 типа , то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.
Уравнения, сводящиеся к разложению на множители
Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это
Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:
Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения и синуса двойного угла
Ре-ши-те урав-не-ние
Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку
Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:
Тогда мое уравнение примет следующую форму:
Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на, получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!
Решу егэ тригонометрические уравнения исследование одз
решу егэ тригонометрические уравнения исследование одз Ege. sdamgia. ru
01.02.2018 7:06:39
2018-02-01 07:06:39
Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1179
Условие
А) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac2;\,3\pi \right].
Решение
А) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
Б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac2;\, 3\pi \right].2 x+\cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:
(\cos x)_=\frac4=\frac4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi, k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac3+2s\pi, s \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi, m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi, n \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения:
X=m\pi, m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi, s \in \mathbb Z.
Б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =\frac3, x_2=4\pi, x_3 =\frac3.
Ответ
А) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi, s \in \mathbb Z;
Б) \frac3, 4\pi, \frac3.
Задание №1176
Условие
А) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac2-x\right) >.2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac.
Заметим, что \frac= \frac= 5+\frac, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac. Отсюда \cos x =\frac, \cos x+\sin x =\frac65.
2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
Или x-\frac\pi 4= — arc\cos \frac5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
Или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
Б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac5.2=\frac значит \frac5
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
Отсюда \frac\pi 4+0
Аналогично, -\frac\pi 4
0=\frac\pi 4-\frac\pi 4 \frac\pi 4
При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.
\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac5,\, b-2\pi =-\frac74\pi — arccos \frac5\Bigg). При этом -2\pi
-2\pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi, -\frac2\right).
При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac2.
Ответ
А) \frac\pi4\pm arccos\frac5+2\pi k, k\in\mathbb Z;
Б) -\frac4\pm arccos\frac5.
Задание №1175
Условие
А) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).
Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];
Решение
А) Преобразуем уравнение:
\cos x+2 \sin x \cos x=0,
X =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;
X=(-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x, получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.
Б) Решим неравенства
1) -\frac2 \leqslant \frac3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,
2) -\frac2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi
3) -\frac2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.
1) -\frac2 \leqslant \frac3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac \leqslant m \leqslant -\frac5.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac;-\frac5\right] .
2) -\frac 2 \leqslant -\frac3+2\pi n \leqslant -\frac, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1, -\frac7 \leqslant n \leqslant -\frac1.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7 ; -\frac1 \right].2. Получим:
T_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
X=\pm \frac\pi +\frac2, n \in \mathbb Z.
Решим второе уравнение.
Tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 — я и 3 — я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi +\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac+\pi m, m \in \mathbb Z.
Б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac2\right].
Ответ
А) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi +\pi n, n \in \mathbb Z; \frac+\pi m, m \in \mathbb Z.
Б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac2;\, 3\pi \right].
Ответ
Аналогично, — frac pi 4.
Academyege. ru
04.02.2017 14:32:32
2017-02-04 14:32:32
Ege. sdamgia. ru
04.02.2017 14:32:32
2017-02-04 14:32:32
Источники:
Https://rus-ege. sdamgia. ru/
Https://rus-ege. sdamgia. ru/
Https://ege. sdamgia. ru/
Https://reshu-ege-oge. com/ege_matematika_bazovyj_uroven. html
Https://ege. sdamgia. ru/
Https://rus-ege. sdamgia. ru/
Https://mathb-ege. sdamgia. ru/
Https://mathb-ege. sdamgia. ru/
Https://ege. sdamgia. ru/
Https://ege. sdamgia. ru/
Https://mathb-ege. sdamgia. ru/
Https://ege. sdamgia. ru/
Http://os. fipi. ru/
Https://ege. sdamgia. ru/
Https://ege. sdamgia. ru/
Https://academyege. ru/theme/trigonometricheskie-uravneniya-3.html
Https://ege. sdamgia. ru/test? theme=202
Решу егэ тригонометрические уравнения. Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры
Автор статьи — репетитор-профессионал Лада Борисовна Есакова .
ЕГЭ по информатике позади. Мои ученики сдали экзамен хорошо: 79, 81, 88 баллов. Это достойный результат. При этом самые сильные могли претендовать на 90-100. Так в чем же дело? Где «потерялись» недостающие баллы?
Вот закономерность: все эти ученики выполнили ВСЕ задания с развернутым ответом (часть С) на высший или почти высший балл. То есть высший балл за всю С-часть и потеря 20 и более баллов на ерундовых задачах. Ситуация повторяется из года в год, а потому я не считаю ее случайной. Эта ситуация характерна именно для ЕГЭ по информатике.
Структура ЕГЭ по информатике
Давайте рассмотрим структуру экзаменационной работы ЕГЭ по информатике. Всего в работе 27 заданий. Из них 23 с кратким ответом (бывшая часть B) и 4 с развернутым ответом (бывшая часть С).
В экзаменационной работе есть задания, требующие хорошего знания математики, логики, умения анализировать и абстрактно мыслить. Есть также задачи, основанные на аккуратном, монотонном исполнении алгоритма или переборе вариантов. То есть ученику предоставляется возможность поработать, как компьютер.
Задания с кратким ответом оцениваются в 1 балл, задания с развернутым ответом – в 3, 2, 3 и 4 балла. Таким образом, за первую часть можно получить максимально 23 балла, а за вторую 12.
Видите, насколько велик вес первой части?
В спецификации Единого государственного экзамена по информатике и ИКТ указано рекомендованное время на выполнение каждого задания.
На первую часть ЕГЭ по информатике рекомендовано потратить полтора часа (включая проверку и переписывание на бланк). На вторую часть остается 2,5 часа. Это очень правильная рекомендация. Если планируешь сделать всю вторую часть, больше часа на решение первой части тратить нельзя. Еще полчаса уйдут на проверку и переписывание!
Но что такое час на 23 задания? Правильно, это меньше 3 минут на каждое! Я считаю, что задания первой части довольно простые для большей части учеников, но они часто требуют аккуратного перебора и анализа большого объема данных. Даже в случае отличного понимания предмета требования почти невыполнимые! При полном понимании хода решения задачи просто не хватает времени.
И что же – значит, невозможно решить всю часть 1 на ЕГЭ по информатике быстро и без ошибок, при этом оставив достаточный ресурс времени на сложные задачи части 2?
Конечно же, возможно. Нам поможет опыт подготовки спортсменов к соревнованиям. Я часто говорю ученикам: «Если вы хорошо знаете, как забить гол в ворота из любой позиции, просмотрели много матчей и знаете наизусть все рекомендации лучших тренеров, — это не значит, что вас можно отправлять на чемпионат»!
Здесь понимания недостаточно. Важна практика, безошибочность действий, почти автоматизм в решении конкретного типа задач. А такую практику, как известно, можно получить только большим количеством повторений одинаковых, монотонных действий.
Итак, рецепт достижения нужных временных характеристик есть. Методических материалов, подборок всех типов задач у меня достаточно. Приступаем к делу. И вот здесь ключевой момент…
Аккуратисты и креативщики. Кому из них проще сдать ЕГЭ по информатике?
Вспомним, что людей по восприятию информации, мыслительному процессу, способу построения причинно-следственных связей можно отнести к разным типам: интроверты — экстраверты, рационалы — иррационалы, сенсорики – интуиты и т.д. Не буду заходить на территорию психологов, лишь отмечу в общем, что сильные ученики, претендующие на 90-100 баллов на ЕГЭ по информатике, по способу мышления бывают двух полярно различных типов: Аккуратисты и Креативщики.
Аккуратист: Кропотливый, исполнительный, усидчивый.
Креативщик: Быстрый, оригинальный, нестандартно мыслящий.
Аккуратисты обладают хорошим почерком, редко делают вычислительные ошибки, получают удовольствие от идеально выполненной и оформленной работы, даже от рутинного труда. Они замечательно справляются со сложнейшими задачами, основанными на постепенных выводах, расчетах и доказательствах. Однако их ставит в тупик задание неизвестного им типа.
Креативщики — пишут быстро и неразборчиво, обладают развитым абстрактным мышлением, большим спектром знаний в различных областях, умением находить красивые и неожиданные решения самых необычных задач. Однако они категорически не приемлют рутинный монотонный труд. Им сложно и скучно заставить себя выполнять понятные действия.
В жизни эти типы выражены не так резко. Ученик может обладать и теми, и другими качествами.
Что же происходит на экзамене по информатике?
Те ученики, которые безошибочно выполняют сложные задания второй части ЕГЭ по информатике (особенно 27-ю задачу), ближе к Креативщикам. А потому заставить их выполнять большое домашнее задание, состоящее из простых, однотипных, но очень объемных заданий, очень сложно. Их раздражает необходимость тратить время на многократное повторение одних и тех же понятных действий.
Сильные ученики на вопрос о выполнении домашнего задания обычно отвечают: «Сделал первые 3 задачи, остальные точно такие же, и так ясно, как их делать». То есть изучил технику забивания гола вместо того, чтобы часами бегать по стадиону.
В результате я снова после экзамена слышу одну и ту же фразу: «Задания были очень простые, мне просто не хватило времени».
Вывод очевиден. Нужно осознать, что ЕГЭ по информатике отличается от ЕГЭ по другим техническим дисциплинам наличием объемных, нетворческих, монотонных задач, требующих аккуратности и быстроты выполнения. А потому при подготовке наряду с изучением нового материала, решением сложных интересных задач, нужно больше «бегать по стадиону», нарабатывая нужные автоматические навыки.
И вот тогда ваш блистательный гол, ваши 100 баллов за ЕГЭ по информатике станут вполне реальной целью.
ЕГЭ по информатике является одним из экзаменов по выбору для выпускников школ. Изменений по сравнению с прошлым годом в новом варианте КИМ ЕГЭ 2017 практически нет.
Его нужно сдавать тем, кто планирует поступать в вузы на самые перспективные специальности (информационная безопасность, автоматизация и управление, нанотехнологии, системный анализ и управление, ракетные комплексы и космонавтика, ядерные физика и технологии и многие другие).
Представляю общую информацию об ЕГЭ по информатике 2017.
Так как изменений по сравнению с прошлым годом в новом варианте КИМ ЕГЭ 2017 практически нет, то для подготовки можно использовать и материалы прошлого года.
Оценка ЕГЭ по информатике
Минимальный проходной балл по информатике в 2017 году равен 40 тестовым баллам, для того чтобы их набрать, достаточно верно решить первые 6 заданий.
Продолжительность и структура теста ЕГЭ по информатике 2017
Информатика – это один из самых продолжительных экзаменов, длительность составляет 235 минут.
В 2016 году тест состоит из двух частей, включающих в себя 27 заданий.
Часть 1: 23 задания (1–23) с кратким ответом, который является числом, последовательностью букв или цифр.
Часть 2: 4 задания (24–27) с развернутым ответом, полное решение заданий записывается на бланке ответов 2.
Все задания так или иначе связаны с компьютером, но на экзамене пользоваться им для написания программы в задачах второй части не разрешается. Кроме того, задачи не требуют сложных математических вычислений и калькулятором пользоваться тоже не разрешается.
Минимальный балл ЕГЭ по информатике по годам
2009 — 36
2010 — 41
2011 — 40
2012 — 40
2013 — 40
2014 — 40
2015 — 40
2016 — 40
2017 — 40
Подготовка к ЕГЭ по информатике
Скачайте , который позволит лучше подготовиться к экзамену и легче его сдать. Все предложенные тесты разработаны и одобрены для подготовки к ЕГЭ Федеральным институтом педагогических измерений (ФИПИ). В этом же ФИПИ разрабатываются все официальные варианты ЕГЭ.
Задания, которые вы увидите в демонстрационном варианте, скорее всего, не встретятся на экзамене, но будут аналогичные задания, по той же тематике или просто с другими данными.
Поделитесь статьей с друзьями:
Похожие статьи
Задание 13 логарифмические уравнения решу егэ. Что нужно знать о показательных и логарифмических уравнениях для решения задач ЕГЭ по математике
В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.
Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант2018)
а) Решите уравнение cos2x = 1-cos(п/2-x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п/2;-п].
Алгоритм решения:
t
Делаем обратную замену и решаем простейшие тригонометрические уравнения.
Строим числовую ось.
Наносим на нее корни.
Отмечаем концы отрезка.
Выбираем те значения, которые лежат внутри промежутка.
Записываем ответ.
Решение:
1. Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения cos(π/ 2−x )=sinx . Имеем:
сos2x = 1 – sin x .
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:
cos(2х)=1−2sin 2 х
Получаем такое уравнение: 1−sin 2 x =1− sinx
Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx .
2. Вводим замену: t = sinx . Решаем получившееся квадратное уравнение:
1−2t 2 =1−t,
−2t 2 +t =0,
t (−2t +1)=0,
t = 0 или -2t + 1 = 0 ,
t 1 = 0 t 2 = 1/2.
3. Делаем обратную замену:
sin x = 0 или sin x = ½
Решаем эти уравнения:
sin x =0↔x =πn, nЄZ
sin(x )=1/2↔x = (-1) n ∙(π/6) + πn, nЄZ .
Следовательно, получаем два семейства решений.
1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.
2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).

3. Красным цветом помечаем концы промежутка.
4. В указанном промежутке расположены три корня что три корня: −2π ;−11π/ 6 и −7π/ 6.
а) πn, nЄZ; (-1) n ∙(π/6) + πn, nЄZ
б) −2π ;−11π 6;−7π 6
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
Алгоритм решения:
Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, потом тригонометрические уравнения.
Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.
Записываем ответ.
Решение:
1. Вводим замену t = 4 cos х. тогда уравнение примет вид:
Решаем квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:
D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,
t 1 = (9 – 7)/8= ¼, t 2 = (9+7)/8=2.
3. Возвращаемся к переменной х:
1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка..
Это корни . Их два.
а)
б)
Третий вариант задания (из Ященко, № 6)
Алгоритм решения:
При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, а затем тригонометрические уравнения.
Решаем неравенства для каждого случая.
Записываем ответ.
Решение:
1. По формулам приведения .
2. Тогда данное уравнение примет вид:
3. Вводим замену . Получаем:
Решаем обычное квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:
Главная
Что нужно знать о показательных и логарифмических уравнениях для решения задач ЕГЭ по математике?

Уметь решать показательные и логарифмические уравнения очень важно для успешной сдачи единого государственного экзамена по математике профильного уровня. Важно по двум причинам :
Во-первых , задание № 13 варианта КИМ ЕГЭ пусть нечасто, но все же иногда представляет собой именно такое уравнение, которое нужно не просто решить, но и (аналогично заданию по тригонометрии) выбрать корни уравнения, удовлетворяющие какому-либо условию.
Так, один из вариантов 2017 года включал следующее задание:
а) Решите уравнение 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а) 2; log 2 7 и б) log 2 7.
В другом варианте было такое задание:
а) Решите уравнение 6log 8 2 x – 5log 8 x + 1 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Ответ: а) 2 и 2√2 ; б) 2.
Встречалось и такое:
а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cos x ) – 5log 3 (2cos x ) + 2 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].
Ответ: а) {π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z} и б) 11π/6; 13π/6.
Во-вторых , изучение методов решения показательных и логарифмических уравнений является хорошей , так как в основных методах решения и уравнений, и неравенств фактически используются одни и те же математические идеи.
Основные методы решения показательных и логарифмических уравнений несложно запомнить, их всего пять: сведение к простейшему уравнению, использование равносильных переходов, введение новых неизвестных, логарифмирование и разложение на множители. Отдельно стоит метод использования свойств показательной, логарифмической и других функций при решении задач: иногда ключом к решению уравнения является область определения, область значений, неотрицательность, ограниченность, четность входящих в него функций.
Как правило, в задаче № 13 встречаются уравнения, требующие применения перечисленных выше пяти основных методов. Каждый из этих методов имеет свои особенности, которые необходимо знать, так как именно их незнание приводит к ошибкам при решении задач.
Какие типичные ошибки совершают экзаменуемые?
Нередко при решении уравнений, содержащих показательно-степенную функцию, школьники забывают рассмотреть один из случаев выполнения равенства. Как известно, уравнения такого вида равносильны совокупности двух систем условий (см. ниже), речь идет о случае, когда a(x ) = 1

Данная ошибка связана с тем, что решая уравнение экзаменуемый формально использует определение показательной функции (y = ax , a>0, a ≠ 1): при а ≤ 0 показательная функция действительно не определена,
А вот при а = 1 определена, но не является показательной, так как единица в любой действительной степени тождественно равна самой себе. А значит если в рассматриваемом уравнении при а (x ) = 1 возникает верное числовое равенство, то соответствующие значения переменной будут корнями уравнения.
Еще одна ошибка – применение свойств логарифмов без учета области допустимых значений. Например, хорошо знакомое многим свойство «логарифм произведения равен сумме логарифмов», оказывается, имеет обобщение:
log a (f (x )g (x )) = log a │f (x )│ + log a │g(x )│, при f (x )g (x ) > 0, a > 0, a ≠ 1
Действительно, для того, чтобы было определено выражение в левой части этого равенства, достаточно, чтобы произведение функций f и g было положительным, но сами функции при этом могут быть как одновременно больше, так и одновременно меньше нуля, поэтому при применении данного свойства необходимо использовать понятие модуля.
И таких примеров можно привести немало. Поэтому для эффективного освоения методов решения показательных и логарифмических уравнений лучше всего воспользоваться услугами , который сумеет рассказать о подобных «подводных камнях» на примерах решения соответствующих экзаменационных задач.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно .
Вы можете:

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 13 в экзамене ЕГЭ, задачи на логарифмы, ким ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ профиль математика, Математика профиль, решение уравнений и логарифмов, решение задач на показательные уравнения ЕГЭ, вычисление свойств логарифмов, показательно-степенная функция, задачи по математике профильного уровня, применение свойств логарифмов, решение задач на корни, задачи ЕГЭ 2017 по показательным уравнениям, подготовка к егэ выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

егэ тригонометрические уравнения
Вы искали егэ тригонометрические уравнения? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и задания тригонометрические уравнения, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «егэ тригонометрические уравнения».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как егэ тригонометрические уравнения,задания тригонометрические уравнения,как решать тригонометрические уравнения егэ 13 задание,решу егэ тригонометрические уравнения,тригонометрические уравнения егэ,тригонометрические уравнения задания,тригонометрические уравнения примеры с решениями егэ,тригонометрические уравнения решу егэ,тригонометрия в егэ по математике профильный уровень,тригонометрия решу егэ. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и егэ тригонометрические уравнения. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать тригонометрические уравнения егэ 13 задание).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же егэ тригонометрические уравнения Онлайн?
Решить задачу егэ тригонометрические уравнения вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Задача 13 (С1). Показательные и логарифмические уравнения. — Математика
Решение показательных уравнений
Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A 0).
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение a^f⁽^x⁾ = a^g⁽^x⁾ (где a 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

Простейшие показательные уравнения
Тип уравнения
Вид уравнения
Метод решения
1

2

b = a

b
b0
b
b
=
f(x) = 1
f(x) =
Решений нет
Решение остальных показательных уравнений основывается на сведении их к простейшим.
Методы решения показательных уравнений
Методы преобразования показательных уравнений к простейшим.
A. Метод уравнивания оснований.
Пример 1. Решите уравнение:
В. Уравнения, решаемые разложением на множители.
Пример 2 . Решите уравнение:
С. Уравнения, которые с помощью подстановки преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).
Пример 3 . Решите уравнение: 2^2+x — 2^2-x = 5.
Пример 4. Решите уравнение:
Пример 5. Решите уравнение:
Пример 6. Решите уравнение:
D. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции.
Пример 7. Решите уравнение: ^.
Задачи к уроку:
1. Решите уравнение:
2 . Решите уравнение:
3 . Решите уравнение: 2^2+x — 2^2-x = 5.
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение:
6. Решите уравнение:
7. Решите уравнение: .
На перерыв:
8. Решите уравнение, введя новую переменную:
9. Решите уравнение, применяя метод уравнивания оснований:
10. Решите уравнение, применяя метод разложения на множители:
11.Решите уравнение, применяя метод введения новой переменной:
12.Решите уравнение
13.Решите уравнение вида
14. Решите уравнение:
15. Найти сумму решений уравнения:
Дополнительно:
16. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:
17. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
18. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Образовательная программа кружка по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике
Вычисление значений степенных выражений
3
Действия со степенями
3
Решение простейших текстовых задач
3
Задачи на проценты
3
Задачи на округление с избытком и с недостатком
3
Преобразования числовых логарифмических выражений
3
Преобразования буквенных логарифмических выражений
3
Преобразования числовых тригонометрических выражений
3
Преобразования буквенных тригонометрических выражений
3
Вычисление значений тригонометрических выражений
3
Тригонометрические выражения
3
Комбинированные выражения
3
Чтение графиков и диаграмм — 6
Определение величины по графику
3
Определение величины по диаграмме
3
Простейшие уравнения- 18
Логарифмические и уравнения
3
Тригонометрические уравнения
3
Рациональные уравнения
3
Иррациональные уравнения
3
Линейные, квадратные, кубические уравнения
3
Показательные уравнения
3
Функции — 12
Возрастание, убывание, экстремум функции.
3
График функции
3
Производная функции
3
Первообразная функции
3
Текстовые задачи — 12
Проценты, сплавы, смеси
3
Задачи на движение по прямой
3
Задачи на прогрессии
3
Задачи на движение по окружности
3
Задачи на движение по воде
3
Задачи на совместную работу
3
Разные задачи
3
Планиметрия — 24
Вписанная и описанная окружность, треугольник
3
Прямоугольный треугольник
3
Треугольник
3
Параллелограмм. Квадрат. Ромб
3
Трапеция
3
П-угольник
3
Окружность, касательная, секущая
3
Разные задачи
3
Стереометрия — 21
Пирамида
3
Призма. Параллелепипед
3
Куб
3
Конус
3
Цилиндр
3
Шар
3
Комбинации тел
3
Задачи теории вероятностей — 6
Классическое определение вероятностей
3
Теоремы о вероятностях событий
3
Задачи с прикладным содержанием — 24
Линейные уравнения и неравенства
3
Квадратные и степенные уравнения и неравенства
3
Рациональные уравнения и неравенства
3
Иррациональные уравнения и неравенства
3
Показательные уравнения и неравенства
3
Логарифмические уравнения и неравенства
3
Тригонометрические уравнения и неравенства
3
Разные задачи
3
Наибольшее и наименьшее значение функций — 18
Исследование степенных и иррациональных функций
3
Исследование частных
3
Исследование произведений
3
Исследование показательных и логарифмических функций
3
Исследование тригонометрических функций
3
Исследование функций без помощи производной
3
Уравнения — 15
Рациональные и иррациональные уравнения
3
Логарифмические и показательные уравнения
3
Тригонометрические уравнения
3
Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
3
Уравнения смешанного типа
3
Стереометрическая задача — 24
Расстояние между прямыми и плоскостями
3
Расстояние от точки до прямой и до плоскости
3
Сечения многогранников
3
Угол между плоскостями
3
Угол между прямой и плоскостью
3
Угол между скрещивающимися прямыми
3
Объёмы многогранников
3
Круглые тела: цилиндр, конус, шар
3
Неравенства -21
Рациональные неравенства
3
Иррациональные неравенства
3
Показательные неравенства
3
Логарифмические неравенства
3
Неравенства с логарифмами по переменному основанию
3
Неравенства с модулем
3
Смешанные неравенства
3
Планиметрическая задача — 12
Многоугольники и их свойства
3
Окружности и системы окружностей
3
Окружности и четырёхугольники
3
Окружности и треугольники
3
Финансовая математика — 6
Задачи на оптимальный выбор
3
Банки, вклады, кредиты
3
Задачи с параметром — 33
Комбинация «кривых»
Комбинация прямых
3
Координаты (x, a)
3
Кусочное построение графика функции
3
Перебор случаев
3
Подвижная галочка
3
Расстояние между точками
3
Симметрия в решениях
3
Уравнение окружности
3
Функции, зависящие от параметра
3
Расположение корней квадратного трехчлена
3
Итого
315
Решение тригонометрических уравнений с бесконечными решениями — видео и стенограмма урока
Бесконечные решения
Тригонометрические уравнения обладают одной интересной характеристикой. И это то, что у них есть бесконечное количество решений. Вы можете подумать, что это звучит странно, тем более, что ваш калькулятор возвращает только один ответ. Давайте посмотрим на график функции синуса, и вы увидите кое-что интересное:
График синусоидальной функции
Вы видите волны? Да, наша синусоидальная функция отображается в виде волн.Вы видите, что эти волны продолжают пересекать нашу ось x ? Что ж, каждый раз, когда наш график пересекает ось x , когда y = 0, это дает нам другое решение. Этот график продолжается вечно. Когда вы вычисляете обратные триггерные функции в своем калькуляторе, вы получаете ответ, наиболее близкий к исходному. Итак, если бы я хотел решить sin x = 0 , я бы взял обратный синус 0. Я получаю ответ 0 на моем калькуляторе, но на самом деле sin x = 0 имеет бесконечное количество решений.Как вы можете видеть на графике, я получаю 0 для sin x каждые 2 пробела. Итак, мои ответы на самом деле x = 0 + 2 * pi * n , где n означает количество дополнительных решений, которые у нас есть. N увеличивается на 1 каждый раз. Мы получаем x = 0 + 2 * pi * 0 = 0 для нашего первого решения. Следующее решение: x = 0 + 2 * pi * 1 = 2pi . Следующий — x = 0 + 2 * pi * 2 = 4pi . И так далее.
Период
Этот интервал — период .Это зависит от используемой триггерной функции. Функции синуса и косинуса имеют период 2 пикселя. Это означает, что ваши ответы находятся на расстоянии 2 пикселей друг от друга. С другой стороны, тангенциальная функция имеет период пи. Это означает, что эти ответы разделены пробелами пи. Это стандартные периоды наших триггерных функций. Эти периоды можно изменить, если наше тригонометрическое уравнение будет более сложным. Но мы не будем обсуждать это в этом видеоуроке.
Итак, в этом видеоуроке сконцентрируйтесь на изучении стандартного периода функций синуса, косинуса и тангенса.Просто помните, что синус и косинус имеют общий период 2 пи , в то время как тангенс (который не похож на два других) имеет период только пи .
Пример
Давайте теперь посмотрим, как мы используем эту информацию.
Решить 2 cos x — 1 = 0.
Чтобы решить эту проблему, мы используем наши навыки алгебры, чтобы сначала выделить cos x. Сначала мы прибавляем 1 к обеим сторонам, затем делим на 2. Получаем cos x = 1/2 . Теперь мы можем использовать наш калькулятор для выполнения функции обратного косинуса, чтобы изолировать x , или мы можем перейти к нашему единичному кругу, чтобы посмотреть, какие углы дадут ответ 1/2 для нашей функции косинуса.-1 (1/2) = 1,047 или пи / 3 . Однако, глядя на нашу единичную окружность, мы видим, что на самом деле есть два угла, которые дадут нам ответ 1/2 для нашей функции косинуса. У нас есть pi / 3 и 5pi / 3 . Почему это? Что ж, перейдем к графику:
График функции косинуса
Посмотрите на часть графика, которая пересекает ось y , часть графика, которая изгибается вверх от y = 0, а затем снова возвращается к y = 0, и вы увидите обратите внимание, что есть два места, где мы получаем y = 1/2.Это означает, что у нас есть два основных решения. Итак, нахождение ответов в единичном круге дает нам общее количество решений.
Помните, нам нужно учитывать период нашей функции косинуса. Наши решения повторяются каждые 2 пикселя. Итак, наш полный ответ: x = pi / 3 + 2 * pi * n и x = 5pi / 3 + 2 * pi * n .
Если бы наша точка была просто пи, то вместо a + 2 * pi * n у нас было бы a + pi * n .
Итоги урока
Давайте рассмотрим то, что мы узнали. Тригонометрические уравнения — это уравнения, которые включают тригонометрические функции. Наши триггерные функции — это функции синуса, косинуса, тангенса и обратных им величин: косеканс, секанс и котангенс.
Одна интересная особенность тригонометрических уравнений состоит в том, что они имеют бесконечное количество решений. Для функций синуса и косинуса решения повторяются через каждые 2 пикселя. Для касательной функции он повторяет каждые числа пи. Этот интервал называется периодом .При решении тригонометрических уравнений лучше использовать единичный круг, чтобы можно было найти все ответы.
Иногда есть два основных решения. Найдя первичное решение, мы должны принять во внимание период и записать + 2 * pi * n для функции синуса и косинуса или + pi * n для функции касательной. Этот период, этот интервал может измениться для более сложных тригонометрических уравнений.
Результаты обучения
После этого видеоурока вы должны уметь:
Определить тригонометрические уравнения и период
Определите триггерные функции и период для синуса, косинуса и тангенса
Опишите способы решения тригонометрических уравнений
Объясните, почему для решения тригонометрических уравнений лучше всего использовать единичный круг.
законов косинусов и синусов
Сначала опустите перпендикулярную линию AD от A до основания BC треугольник.Основание D этого перпендикуляра будет лежать на краю BC треугольника, когда оба угла B и C острые. Но если угол B тупой, то стопа D будет лежать на BC , продолженном в направлении B. Но если угол C тупой, то D будет выровнен. на г. до н.э. простирался в направлении г. до н. э. К счастью, аргумент одинаков во всех трех случаях.
Пусть h обозначает длина этой линии г. н.э., то есть высота (или высота) треугольника.
Если угол B острый, то sin B = ч / ц. Но это верно, даже когда B — тупой угол, как на третьей диаграмме. Там, угол ABC тупой. Но синус тупого угла — это то же, что и синус его дополнения. Это означает sin ABC совпадает с sin ABD, , то есть они оба равны h / c.
Точно так же не имеет значения, является ли угол C острым или тупым, sin C = h / b в любом случае.
Эти два уравнения говорят нам, что h равно c sin B и b sin C. Но из уравнения c sin B = b sin C, мы можем легко получить закон синусов:
Закон косинусов
Есть две другие версии закона косинусов,
a ² = b ² + c ² — 2 до н.э. cos A а также b ² = a ² + c ²-2 ac cos B.
Поскольку три версии различаются только маркировкой треугольник, достаточно проверить один только один из них. Учтем изложенную версию первый.
Чтобы понять, почему эти законы действуют, нам нужно рассмотреть три случая. Для случая 1 мы будем считать угол C тупым. В случае 2 угол C будет прямым. В случае 3, угол C будет острым.
Корпус 1. В данном случае примем угол C тупым. В этом случае есть сморщите его, так как косинус тупого угла отрицателен. Посмотрим, как это пойдет.
Сначала опустите перпендикулярную линию AD от A до основания BC треугольник. В этом случае основание D этого перпендикуляра будет лежать вне треугольник. Пусть h обозначает высоту треугольника, пусть d обозначает BD, и пусть e обозначает CD.
Из рисунка можно вывести следующие уравнения:
c ² = d ² + h ²
б ² = e ² + h ²
г = a + e
cos C = — э / б
В общем, косинус тупого угла — это отрицание косинуса его дополнения.В данном случае это означает косинус угол C, , то есть угол ACB, является отрицанием косинус угла ACD. Вот почему в последнем уравнении стоит знак минус.
Эти уравнения и простая алгебра завершают рассуждение следующим образом:
c ² = d ² + h ²
= ( a + e ) ² + h ²
= a ² + 2 ae + e ² + h ²
= a ² + b ² + 2 ae
= a ² + b ² — 2 ab cos C
Таким образом, закон косинусов справедлив, когда C — тупой угол.
Случай 2. Теперь рассмотрим случай, когда угол при C прямой. Косинус прямого угла равен 0, поэтому закон косинусы c ² = a ² + b ²-2 ab cos C, упрощается до пифагорейской идентичности, c ² = a ² + b ², для прямоугольных треугольников, что, как мы знаем, действительно.
Случай 3. В этом случае мы предполагаем, что угол C является острым треугольником. Бросьте перпендикулярная линия AD от A до основания BC треугольника. Ступня D перпендикуляра (1) будет лежать на краю BC , если угол B острый, (2) совпадают с точкой B , если угол B прямой, или (3) лежат на стороне BC удлинен, если угол B тупой.
Пусть h обозначает высоту треугольника, пусть d обозначают BD, и e обозначают CD.
Тогда мы можем прочитать следующие отношения из диаграммы:
c ² = d ² + h ²
б ² = e ² + h ²
cos C = э / б
d ² = ( e — a ) ²
Последнее уравнение требует объяснения.Если точка D лежит на стороне BC, тогда d = a — e, , но если D лежит на BC расширенный, то d = e — a. В любом случае, d ² = ( e — a ) ².
Эти уравнения и небольшая алгебра завершают доказательство следующим образом:
c ² = d ² + h ²
= d ² — e ² + b ²
= ( d — e ) ( d + e ) + b ²
= ( a -2 e ) a + b ²
= a ² + b ² — 2 ae
= a ² + b ² — 2 ab cos C
Таким образом, теперь мы знаем, что закон косинусов справедлив, когда оба угла C острые, а мы Доделал все три дела.
Между прочим, Евклид включил в свой Elements пару предложений, II.12 и II.13, которые очень похожи на закон косинусов, но на самом деле они, конечно, не являются законом косинусов, поскольку тригонометрия не была развита во времена Евклида.
Функции и обозначения функций · Алгебра и тригонометрия
Функции и обозначения функций · Алгебра и тригонометрия
В этом разделе вы:
Определите, представляет ли отношение функцию.
Найдите значение функции.
Определите, является ли функция взаимно однозначной.
Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
Изобразите функции, перечисленные в библиотеке функций.
Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета. Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования.В этом разделе мы разберем такие отношения.
Определение того, представляет ли отношение функцию
Отношение — это набор упорядоченных пар. Набор, состоящий из первых компонентов каждой упорядоченной пары , называется доменом , а набор, состоящий из вторых компонентов каждой упорядоченной пары, называется диапазоном . Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел.Второе число в каждой паре вдвое больше первого.
{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}
Домен: {1, 2, 3, 4, 5}.
Диапазон: {2, 4, 6, 8, 10}.
Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой x.
Каждое значение в диапазоне также известно как выходное значение , или зависимая переменная , и часто обозначается строчной буквой y.
Функция f
— это отношение, которое назначает один элемент в диапазоне каждому элементу в домене . Другими словами, значения x не повторяются. В нашем примере, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене, {1, 2, 3, 4, 5},
сопряжен ровно с одним элементом из диапазона {2, 4, 6, 8, 10}.
Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами.Будет отображаться как
{(нечетное, 1), (четное, 2), (нечетное, 3), (четное, 4), (нечетное, 5)}
Обратите внимание, что каждый элемент в домене, {четный, нечетный}
— это , а не в паре с ровно одним элементом в диапазоне, {1, 2, 3, 4, 5}.
Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из домена {1, 3, 5}
, а термин «даже» соответствует двум значениям из диапазона {2, 4}.
Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.
[ссылка] сравнивает отношения, которые являются функциями, а не функциями.
Функция
Функция — это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход — это функция входа».
Входные значения составляют область , а выходные значения составляют диапазон .
Учитывая взаимосвязь между двумя величинами, определите, является ли взаимосвязь функцией.
Определите входные значения.
Определите выходные значения.
Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.
Определение того, являются ли прайс-листы меню функциями
Меню кофейни, показанное в [ссылке], состоит из позиций и их цен.
Цена зависит от товара?
Товар зависит от цены?
Давайте начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню.Выходные значения — это цены. У каждого элемента в меню есть только одна цена, поэтому цена зависит от элемента.
Два пункта меню имеют одинаковую цену. Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных. См. [Ссылка].
Следовательно, товар не зависит от цены.
Определение того, являются ли правила оценки класса функциями
В конкретном математическом классе общая оценка в процентах соответствует средней оценке.Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? [ссылка] показывает возможное правило присвоения баллов.
Процентное содержание 0–56 57–61 62–66 67–71 72–77 78–86 87–91 92–100
Средний балл 0.0 1.0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Для любой процентной оценки существует соответствующий средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.
В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу.Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.
[ссылка] перечисляет пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.
Игрок Рейтинг
Бейб Рут 1
Вилли Мейс 2
Тай Кобб 3
Уолтер Джонсон 4
Хэнк Аарон 5
Является ли ранг функцией имени игрока?
Имя игрока зависит от ранга?
а.да; б. да. (Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, за 4-е место, то имя не зависело бы от ранга.)
Использование обозначения функций
Как только мы определим, что отношение является функцией, нам нужно отобразить и определить функциональные отношения, чтобы мы могли их понять и использовать, а иногда также, чтобы мы могли запрограммировать их в графических калькуляторах и компьютерах. Есть разные способы представления функций. Стандартное обозначение функций — это одно из представлений, которое упрощает работу с функциями.
Чтобы представить «рост является функцией возраста», мы начнем с определения описательных переменных h
для высоты и
для возраста. Буквы f, g,
и h
часто используются для представления функций так же, как мы используем x, y,
.
и
для обозначения чисел и A, B,
и C
для обозначения наборов.
h — это f из a. Назовем функцию f; высота является функцией возраста. h = f (a) Мы используем круглые скобки для обозначения входных данных функции.f (a) Назовем функцию f; выражение читается как «f из a».
Помните, мы можем использовать любую букву для названия функции; обозначение h (a)
показывает нам, что h
зависит от файла.
Значение
необходимо поместить в функцию h
, чтобы получить результат. Скобки указывают, что возраст вводится в функцию; они не указывают на умножение.
Мы также можем дать алгебраическое выражение в качестве входных данных для функции.Например f (a + b)
означает «сначала сложите a и b , и результат будет входом для функции f ». Для получения правильного результата операции необходимо выполнять именно в таком порядке.
Обозначение функций
Обозначение y = f (x)
определяет функцию с именем f.
Читается как «y
является функцией x ».
Письмо х
представляет входное значение или независимую переменную.Буква y,
или f (x),
представляет собой выходное значение или зависимую переменную.
Использование обозначения функций для дней в месяце
Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход — количеством дней в этом месяце. Предположим, что домен не включает високосные годы.
Количество дней в месяце является функцией названия месяца, поэтому, если мы назовем функцию f,
пишем дней = f (месяц)
или d = f (м).
Название месяца — это вход для «правила», которое связывает определенное число (выход) с каждым входом.
Например, f (март) = 31,
.
, потому что в марте 31 день. Обозначение d = f (m)
напоминает нам, что количество дней, d
(выход), зависит от названия месяца, м
(вход).
Анализ
Обратите внимание, что входные данные функции не обязательно должны быть числами; входные данные функции могут быть именами людей, метками геометрических объектов или любым другим элементом, определяющим какой-либо вид вывода.Однако большинство функций, с которыми мы будем работать в этой книге, будут иметь числа как входы и выходы.
Интерпретация обозначений функций
Функция N = f (y)
дает количество сотрудников полиции, N,
в городе в году у.
Что означает f (2005) = 300
представляете?
Когда мы читаем f (2005) = 300,
мы видим, что входным годом является 2005. Значение выхода, количество полицейских (N),
— это 300.Помните, N = f (y).
Утверждение f (2005) = 300
сообщает нам, что в 2005 году в городе было 300 полицейских.
Используйте обозначение функции, чтобы выразить вес свиньи в фунтах как функцию ее возраста в днях d.
ш = е (г)
** Вместо таких обозначений, как y = f (x),
можем ли мы использовать тот же символ для вывода, что и для функции, например y = y (x),
означает «y
»
— это функция x
? »**
* Да, это часто делается, особенно по прикладным предметам, использующим высшую математику, таким как физика и инженерия.Однако, исследуя математику, нам нравится различать такие функции, как f,
.
, которое является правилом или процедурой, а результат y
получаем, применяя f
на конкретный вход x.
Вот почему мы обычно используем такие обозначения, как y = f (x), P = W (d),
и т. Д. *
Представление функций с помощью таблиц
Общий метод представления функций — в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения.В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.
[ссылка] перечисляет входное число каждого месяца (январь = 1, февраль = 2 и т. Д.) И выходное значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце f
где D = f (м)
определяет месяцы целым числом, а не именем.
(ввод) ** 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
** Дней в месяце, D
(выход) ** 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
[ссылка] определяет функцию Q = g (n).
Помните, это обозначение говорит нам, что g
— это имя функции, которая принимает вход n
и дает выход Q.
[ссылка] отображает возраст детей в годах и соответствующий им рост. В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Мы сразу видим, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма.
Возраст в годах, a (ввод) 5 5 6 7 8 9 10
Высота в дюймах, h (на выходе) 40 42 44 47 50 52 54
Учитывая таблицу входных и выходных значений, определите, представляет ли таблица функцию.
Определите входные и выходные значения.
Убедитесь, что каждое входное значение сопряжено только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.
Определение таблиц, представляющих функции
Какая таблица, [ссылка], [ссылка] или [ссылка] представляет функцию (если есть)?
Ввод Выход
–3 5
0 1
4 5
[ссылка] и [ссылка] определяют функции.В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. [ссылка] не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.
Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.
Функция, представленная [ссылка], может быть представлена как
f (2) = 1, f (5) = 3 и f (8) = 6
Аналогично выписки
g (−3) = 5, g (0) = 1 и g (4) = 5
представляют функцию в [ссылка].
[ссылка] не может быть выражена аналогичным образом, потому что не представляет функцию.
Представляет ли [ссылка] функцию?
Вход Выход
1 10
2 100
3 1000
Поиск входных и выходных значений функции
Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию.Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.
Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем для входа. Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение.
Вычисление функций в алгебраических формах
Когда у нас есть функция в форме формулы, обычно очень просто вычислить функцию.Например, функция f (x) = 5−3×2
можно вычислить, возведя в квадрат входное значение, умножив на 3, а затем вычтя произведение из 5.
Учитывая формулу функции, оцените.
Замените входную переменную в формуле указанным значением.
Рассчитайте результат.
Оценка функций при определенных значениях
Вычислить f (x) = x2 + 3x − 4
в
2
а + ч
f (a + h) −f (a) h
Заменить x
в функции с каждым заданным значением.
Поскольку входное значение представляет собой число 2, мы можем использовать простую алгебру для упрощения.
f (2) = 22 + 3 (2) −4 = 4 + 6−4 = 6
В данном случае входным значением является буква, поэтому мы не можем дальше упрощать ответ.
f (а) = a2 + 3a − 4
При входном значении a + h,
мы должны использовать свойство распределения.
f (a + h) = (a + h) 2 + 3 (a + h) −4 = a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4
В этом случае мы применяем входные значения к функции более одного раза, а затем выполняем алгебраические операции над результатом.Мы уже обнаружили, что
f (a + h) = a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4
, и мы знаем, что
f (а) = a2 + 3a − 4
Теперь объединим результаты и упростим.
f (a + h) −f (a) h = (a2 + 2ah + h3 + 3a + 3h − 4) — (a2 + 3a − 4) h = 2ah + h3 + 3hh = h (2a + h + 3) hFactor out h. = 2a + h + 3 Упростить.
Оценка функций
Учитывая функцию h (p) = p2 + 2p,
оценить h (4).
Для оценки h (4),
подставляем значение 4 для входной переменной p
в данной функции.
h (p) = p2 + 2ph (4) = (4) 2 + 2 (4) = 16 + 8 = 24
Следовательно, для входа 4 у нас есть выход 24.
Учитывая функцию g (m) = m − 4,
оценить g (5).
г (5) = 1
Решающие функции
Учитывая функцию h (p) = p2 + 2p,
решить относительно h (p) = 3.
h (p) = 3p2 + 2p = 3 Подставим исходную функцию h (p) = p2 + 2p.p2 + 2p − 3 = 0 Вычтем по 3 с каждой стороны.(p + 3) (p − 1) = 0 Фактор.
Если (p + 3) (p − 1) = 0,
либо (p + 3) = 0
или (p − 1) = 0
(или оба равны 0). Мы установим каждый коэффициент равным 0 и решим для p
в каждом случае.
(p + 3) = 0, p = −3 (p − 1) = 0, p = 1
Это дает нам два решения. Выход h (p) = 3
, когда вход p = 1
или p = −3.
Мы также можем проверить, построив графики, как в [ссылка].График проверяет, что h (1) = h (−3) = 3
и h (4) = 24.
Учитывая функцию g (m) = m − 4,
решите g (m) = 2.
м = 8
Вычисление функций, выраженных в формулах
Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения . Если возможно выразить выход функции с помощью формулы , включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме.Например, уравнение 2n + 6p = 12
выражает функциональную связь между n
и стр.
Мы можем его переписать, чтобы решить, п
— это функция от n.
Для функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.
Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства с другой стороной как выражение, которое включает только входную переменную.
Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или от них, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одинаковую величину.
Нахождение уравнения функции
Выразите соотношение 2n + 6p = 12
как функция p = f (n),
, если возможно.
Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно уметь записать отношение, где p
— это функция n,
, что означает его запись как p = [выражение, включающее n].
2n + 6p = 126p = 12−2n Вычтем 2n с обеих сторон.p = 12−2n6 Разделите обе части на 6 и упростите. p = 126−2n6p = 2−13n
Следовательно, п.
как функция от n
записывается как
p = f (n) = 2−13n
Выражение уравнения круга как функции
Выполняет ли уравнение x2 + y2 = 1
представляют функцию с x
как вход и y
как выход? Если это так, выразите взаимосвязь как функцию y = f (x).
Сначала вычитаем x2
с обеих сторон.
у2 = 1 — х2
Теперь мы пытаемся решить для
y
в этом уравнении.
y = ± 1 − x2 = + 1 − x2 и −1 − x2
Мы получаем два выхода, соответствующие одному и тому же входу, поэтому это отношение не может быть представлено как единственная функция y = f (x).
Если мы построим график обеих функций на графическом калькуляторе, мы получим верхнюю и нижнюю полукруги.
Если x − 8y3 = 0,
экспресс у
как функция от x.
у = е (х) = х32
Существуют ли отношения, выраженные уравнением, которые действительно представляют функцию, но по-прежнему не могут быть представлены алгебраической формулой?
* Да, такое бывает. Например, учитывая уравнение x = y + 2y,
, если мы хотим выразить y
как функция от x,
не существует простой алгебраической формулы, содержащей только x
, что равно y.
Однако каждый x
действительно определяет уникальное значение для y,
и есть математические процедуры, с помощью которых y
можно найти с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для y
как функция от x,
, даже если формулу нельзя записать явно. *
Оценка функции, заданной в табличной форме
Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц.И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев. И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.
Функция, которая связывает тип домашнего животного с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. [Ссылка].
ПЭТ Объем памяти в часах
Щенок 0,008
Взрослая собака 0,083
Кот 16
Золотая рыбка 2160
Бета рыба 3600
Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений.Здесь вызовем функцию P.
Область функции — это тип домашнего животного, а диапазон — это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память домашнего животного. Мы можем оценить функцию P
при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали P (золотая рыбка) = 2160.
Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции P
кажется идеально подходящим для этой функции, больше, чем запись ее в виде параграфа или функции.
Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.
Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.
Оценка и решение табличной функции
Используя [ссылка],
Оценить г (3).
Решить г (п) = 6.
n 1 2 3 4 5
г (н) 8 6 7 6 8
Оценка g (3)
означает определение выходного значения функции
g
для входного значения
п = 3.
Выходное значение таблицы, соответствующее
n = 3
равно 7, поэтому
г (3) = 7.
Решение g (n) = 6
означает идентификацию входных значений,
n,
, что дает выходное значение 6. [ссылка] показывает два решения:
2
и
4.
n 1 2 3 4 5
г (н) 8 6 7 6 8
Когда мы вводим 2 в функцию g,
, наш результат — 6.Когда мы вводим 4 в функцию g,
наш выход тоже 6.
Используя [ссылка], оцените g (1).
г (1) = 8
Поиск значений функций из графика
Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график. Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.
Чтение значений функций из графика
Учитывая график в [ссылка],
Оценить f (2).
Решить е (х) = 4.
Оценить f (2),
найдите точку на кривой, где
x = 2,
, затем считайте координату y этой точки. Точка имеет координаты
. (2,1),
так
f (2) = 1.
См. [Ссылка].
Решить f (x) = 4,
находим выходное значение
4
по вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по линии
y = 4,
находим две точки кривой с выходным значением
4: (- 1,4)
и
(3,4).
Эти точки представляют два решения для
f (x) = 4: −1
или
3.
Это означает
f (−1) = 4
и
f (3) = 4,
или когда ввод
−1
или
3,
на выходе будет
4.
См. [Ссылка].
Определение того, является ли функция взаимно однозначной
Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям. Например, на биржевой диаграмме, показанной в [ссылка] в начале этой главы, цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять различных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.
Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа.Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как указано в [ссылка].
Буквенная оценка Средний балл
А 4,0
B 3,0
С 2,0
D 1.0
Эта система оценок представляет собой функцию «один к одному», потому что каждая вводимая буква дает один конкретный средний результат оценки, а каждая средняя оценка соответствует одной вводимой букве.
Чтобы наглядно представить эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, описанные в [link] (a) и [link] (b) . Функция в части (а) показывает взаимосвязь, которая не является взаимно однозначной, поскольку входы q
и r
оба дают вывод n.
Функция в части (b) показывает взаимно-однозначную функцию, поскольку каждый вход связан с одним выходом.
Индивидуальная функция
Однозначная функция — это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению. Нет повторяющихся значений x или y .
Определение того, является ли отношение взаимно однозначной функцией
Является ли площадь круга функцией его радиуса? Если да, то функция взаимно однозначная?
Окружность радиуса r
имеет уникальную меру площади, равную A = πr2,
.
так для любого входа, r,
есть только один выход, A.
Площадь является функцией радиуса r.
Если функция является взаимно однозначной, выходное значение, площадь, должно соответствовать уникальному входному значению, радиусу. Любая мера площади A
задается формулой A = πr2.
Поскольку площади и радиусы являются положительными числами, существует только одно решение: Aπ.
Таким образом, площадь круга однозначно зависит от радиуса круга.
Является ли остаток функцией номера банковского счета?
Является ли номер банковского счета функцией баланса?
Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?
а.да, потому что на каждом банковском счете в любой момент времени имеется единый баланс; б. нет, потому что несколько номеров банковских счетов могут иметь одинаковый баланс; c. нет, потому что один и тот же выход может соответствовать более чем одному входу.
Если каждая процентная оценка, полученная на курсе, соответствует одной буквенной оценке, является ли буквенная оценка функцией процентной оценки?
Если да, то функция взаимно однозначная?
Да, буквенная оценка является функцией процентной оценки;
Нет, не один на один.Мы могли бы получить 100 различных процентных чисел, но только около пяти возможных буквенных оценок, поэтому не может быть только одного процентного числа, соответствующего каждой буквенной оценке.
Использование теста вертикальной линии
Как мы видели в некоторых примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают огромное количество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений. По соглашению, графики обычно строятся с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.
Наиболее распространенные графики называют входное значение x
и выходное значение y,
и мы говорим y
— это функция от x,
или y = f (x)
, когда функция называется f.
График функции — это множество всех точек (x, y)
в плоскости, которая удовлетворяет уравнению y = f (x).
Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции состоит только из нескольких точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки — соответствующее выходное значение.Например, черные точки на графике в [ссылка] говорят нам, что f (0) = 2
и f (6) = 1.
Однако набор всех точек (x, y)
, удовлетворяющее y = f (x)
— кривая. Показанная кривая включает (0,2)
и (6,1)
, потому что кривая проходит через эти точки.
Тест вертикальной линии может использоваться для определения того, представляет ли график функцию. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию, которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.См. [Ссылка].
Для графика используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.
Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная вертикальная линия кривую более одного раза.
Если такая линия есть, определите, что график не представляет функцию.
Применение теста вертикальной линии
Какой из графиков в [ссылка] представляет функцию y = f (x)?
Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией.Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) [link]. Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальном значении x вертикальная линия будет пересекать график более чем в одной точке, как показано в [ссылка].
Представляет ли график в [ссылка] функцию?
Использование теста горизонтальной линии
После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли это взаимно однозначной функцией, — это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет собой взаимно однозначную функцию.
Учитывая график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию взаимно однозначного соответствия.
Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
Если такая линия есть, определите, что функция не взаимно однозначна.
Применение теста горизонтальной линии
Рассмотрим функции, показанные в [ссылка] (a) и [ссылка] (b) . Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?
Функция в [ссылка] (a) не является однозначной. Горизонтальная линия, показанная в [link], пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках).
Функция в [ссылка] (b) является взаимно однозначной.Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.
График показан в [ссылка] один к одному?
Нет, потому что он не проходит проверку горизонтальной линии.
Определение основных функций набора инструментов
В этом тексте мы будем исследовать функции — формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем. Учимся читать, начинаем с алфавита.Изучая арифметику, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать x
в качестве входной переменной и y = f (x)
в качестве выходной переменной.
Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования на протяжении всей этой книги. Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблицы включены в каждую функцию, показанную в [ссылка].
Ключевые уравнения
Постоянная функция f (x) = c, где c — постоянная
Функция идентификации f (x) = x
Функция абсолютного значения f (x) = \ | x \ |
Квадратичная функция f (x) = x2
Кубическая функция f (x) = x3
Возвратная функция f (x) = 1x
Функция обратного квадрата f (x) = 1×2
Функция квадратного корня f (x) = x
Функция кубического корня f (x) = x3
Ключевые понятия
Отношение — это набор упорядоченных пар.Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу. См. [Ссылка] и [ссылка].
Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода с выводом в форме у = f (х).
См. [Ссылка] и [ссылка].
В табличной форме функция может быть представлена строками или столбцами, которые относятся к входным и выходным значениям. См. [Ссылка].
Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения.Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением. См. [Ссылка] и [ссылка].
Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение. См. [Ссылка].
Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения. См. [Ссылка] и [ссылка].
Входные и выходные значения функции можно определить по таблице. См. [Ссылка].
Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию.См. [Ссылка].
Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению. См. [Ссылка].
График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке. См. [Ссылка].
График функции «один к одному» проходит проверку горизонтальной линии. См. [Ссылка].
Упражнения по разделам
Словесный
В чем разница между отношением и функцией?
Отношение — это набор упорядоченных пар.Функция — это особый вид отношения, в котором никакие две упорядоченные пары не имеют одинаковой первой координаты.
В чем разница между вводом и выводом функции?
Почему тест с вертикальной линией говорит нам, представляет ли график отношения функцию?
Если вертикальная линия пересекает график отношения более одного раза, это означает, что для этого входа существует более одного выхода. При любом конкретном входном значении может быть только один выход, если отношение должно быть функцией.
Как определить, является ли отношение взаимно-однозначной функцией?
Почему тест горизонтальной линии говорит нам, является ли график функции взаимно однозначным?
Если горизонтальная линия пересекает график функции более одного раза, это указывает на то, что для этого выхода существует более одного входа. Функция взаимно однозначна, если каждый выход соответствует только одному входу.
Алгебраические
В следующих упражнениях определите, представляет ли отношение функцию.
Для следующих упражнений определите, представляет ли отношение y
как функция от x.
Для следующих упражнений оцените функцию f
при указанных значениях f (−3), f (2), f (−a), — f (a), f (a + h).
f (х) = 2x − 5
f (−3) = — 11; f (2) = — 1; f (−a) = — 2a − 5; −f (a) = — 2a + 5; f (a + h) = 2a + 2h − 5
е (х) = 2 − х + 5
f (−3) = 5 + 5; f (2) = 5; f (−a) = 2 + a + 5; −f (a) = — 2 − a − 5; f (a + h) = 2 − a − h + 5
f (x) = \ | x − 1 \ | — \ | x + 1 \ |
f (−3) = 2; f (2) = 1−3 = −2; f (−a) = \ | −a − 1 \ | — \ | −a + 1 \ |; −f (a) = — \ | a − 1 \ | + \ | а + 1 \ |; f (a + h) = \ | a + h − 1 \ | — \ | a + h + 1 \ |
Учитывая функцию g (x) = 5 − x2,
упростим g (x + h) −g (x) h, h ≠ 0.
Учитывая функцию g (x) = x2 + 2x,
упростим g (x) −g (a) x − a, x ≠ a.
g (x) −g (a) x − a = x + a + 2, x ≠ a
Для функции k (t) = 2t − 1:
Оценить к (2).
Решить к (т) = 7.
Учитывая функцию f (x) = 8−3x:
Оценить f (−2).
Решить f (x) = — 1.
а. f (-2) = 14;
г.х = 3
Учитывая функцию p (c) = c2 + c:
Оценить p (−3).
Решить р (с) = 2.
Учитывая функцию f (x) = x2−3x:
Оценить f (5).
Решить е (х) = 4.
а. f (5) = 10;
г. х = -1
или x = 4
Учитывая функцию f (x) = x + 2:
Оценить f (7).
Решить е (х) = 4.
Рассмотрим соотношение 3r + 2t = 18.
Запишите отношение как функцию г = f (t).
Оценить f (−3).
Решить f (t) = 2.
а. f (t) = 6−23t;
г. f (-3) = 8;
г. т = 6
графический
В следующих упражнениях используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, какие графики показывают отношения, являющиеся функциями.
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_201.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_202.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_203.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_204.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_205.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_206.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_207.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_208.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_209.jpg)
! [График отношения.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_210.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_211.jpg)
! [График отношений.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_212.jpg)
Учитывая следующий график,
Оценить f (-1).
Решить для е (х) = 3.
Учитывая следующий график,
Оценить f (0).
Решить для f (x) = — 3.
а. f (0) = 1;
г. f (x) = — 3, x = −2
или x = 2
Учитывая следующий график,
Оценить f (4).
Решить для е (х) = 1.
Для следующих упражнений определите, является ли данный график взаимно однозначной функцией.
! [Круговой график.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_216.jpg)
не является функцией, поэтому это также не взаимно однозначная функция
! [График параболы.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_232.jpg)
! [График повернутой кубической функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_217.jpg)
! [График половины 1 / x.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_218.jpg)
! [График взаимно однозначной функции.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_01_233.jpg)
, но не индивидуально
Числовой
В следующих упражнениях определите, представляет ли отношение функцию.
{(−1, −1), (- 2, −2), (- 3, −3)}
{(2,5), (7,11), (15,8), (7,9)}
Для следующих упражнений определите, представляет ли отношение, представленное в виде таблицы, y
как функция от x.
Для следующих упражнений используйте функцию f
представлен в [ссылка].
| x | f (x) | | 0 | 74 | | 1 | 28 | | 2 | 1 | | 3 | 53 | | 4 | 56 | | 5 | 3 | | 6 | 36 | | 7 | 45 | | 8 | 14 | | 9 | 47 |
Для следующих упражнений оцените функцию f
при значениях f (−2), f (−1), f (0), f (1),
и f (2).
f (x) = 8−3x
f (−2) = 14; f (−1) = 11; f (0) = 8; f (1) = 5; f (2) = 2
е (х) = 3 + х + 3
f (-2) = 4; f (-1) = 4,414; f (0) = 4,732; f (1) = 5; f (2) = 5.236
f (x) = 3x
f (−2) = 19; f (−1) = 13; f (0) = 1; f (1) = 3; f (2) = 9
Для следующих упражнений вычислите выражения с заданными функциями f, g,
.
и h:
е (х) = 3х − 2
г (х) = 5 − х2
ч (х) = — 2×2 + 3x − 1
Технологии
Для следующих упражнений график y = x2
в данном окне просмотра. Определите соответствующий диапазон для каждого окна просмотра.Покажите каждый график.
[−10, 10]
[0, 100]
Для следующих упражнений график y = x3
в данном окне просмотра. Определите соответствующий диапазон для каждого окна просмотра. Покажите каждый график.
[-0,1, 0,1]
[-0,001, 0,001]
[−100, 100]
[-1,000,000, 1,000,000]
Для следующих упражнений график y = x
в данном окне просмотра.Определите соответствующий диапазон для каждого окна просмотра. Покажите каждый график.
[0, 100]
[0, 10]
Для следующих упражнений график y = x3
в данном окне просмотра. Определите соответствующий диапазон для каждого окна просмотра. Покажите каждый график.
[-0,001,0,001]
[-0,1,0,1]
[-1,000,000,1,000,000]
[−100, 100]
Реальные приложения
Количество мусора, Г,
произведено городом с населением
р.
определяется как G = f (p).
G
измеряется в тоннах в неделю, а p
измеряется тысячами человек.
Город Тола с населением 40 000 человек производит 13 тонн мусора каждую неделю. Выразите эту информацию в терминах функции f.
Объясните значение утверждения f (5) = 2.
Количество кубометров земли, D,
необходимо для покрытия сада площадью
квадратных футов дает D = g (a).
Для сада площадью 5000 футов ² требуется 50 ярдов ³ земли. Выразите эту информацию в терминах функции грамм.
Объясните значение утверждения г (100) = 1.
а. г (5000) = 50;
г. Количество кубических ярдов земли, необходимое для сада площадью 100 квадратных футов, составляет 1.
Пусть f (t)
— количество уток в озере т
года после 1990 года.Объясните значение каждого утверждения:
f (5) = 30
f (10) = 40
Пусть h (t)
— высота ракеты в футах над землей. T
.
секунды после запуска. Объясните значение каждого утверждения:
ч (1) = 200
ч (2) = 350
а. Высота ракеты над землей через 1 секунду составляет 200 футов. B. высота ракеты над землей через 2 секунды составляет 350 футов.
Покажите, что функция f (x) = 3 (x − 5) 2 + 7
— это , а не индивидуально.
Глоссарий
зависимая переменная
выходная переменная
домен
набор всех возможных входных значений для отношения
функция
отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение
тест горизонтальной линии
метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза
независимая переменная
входная переменная
вход
каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция
индивидуальная функция
функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода
выход
каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию
диапазон
набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении
отношение
комплект заказанных пар
тест вертикальной линии
метод проверки того, представляет ли график функцию путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.(-5)};
FindRoot требует хороших начальных оценок. Графическое изображение часто бывает полезным.
ContourPlot [Evaluate @ eqns, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, PlotPoints -> 50]
Используйте пересечения для оценки решений
FindRoot [eqns, {{x, -2}, {y, #}}] & / @ Range [-6, 10, 4] (* {{x -> -2.02027, y -> -6.07562}, {x -> -2.02979, y -> -2.02563}, {x -> -2.02979, y -> 2.02556}, {x -> -2.02027, г. y -> 6.07556}, {x -> -2.00207, y -> 10.1222}} *)
Если вы используете 2.71828 как E , используйте E везде. Тогда Log [E] — это всего лишь 1
.
Единичный круг — решение тригонометрических уравнений
Мы поднимаем ситуацию на новый уровень. Теперь внутри триггерных функций будут всевозможные выражения, а не только t сам по себе. Как вы думаете, вы справитесь? Если нет, сделайте перерыв и вернитесь к нему завтра.Мы будем здесь, мы можем подождать.
Пример задачи
Решите sec (4 t ) = 2 на интервале [0, π].
Вторая важная вещь, которую нужно знать об этой проблеме, это то, что не имеет значения, сколько t находится внутри триггерной функции: они не изменяют правую часть уравнения. У нас есть sec (something) = 2, и мы решаем это так же, как и в прошлый раз.

Путем проверки единичной окружности. Секанс обратен косинусу (не синусу! Никогда не синусу!), Поэтому он будет равен 2, когда или (плюс или минус 2π).

Не надо, не надо, не надо не сказать, что этот материал равен т . Это самое важное, что нужно знать об этой проблеме. Об этом очень легко забыть; мы сами это сделали, когда писали эту задачу, как бы неловко это ни было. Вместо этого наше (что-то) должно быть 4 t :
Теперь разделим каждую часть этих уравнений на 4, чтобы получить t само по себе:
Да, даже 2π n делится.Это тоже легко забыть. Не делайте этого, иначе появится Призрак математического будущего и расскажет, как ужасно вы все испортили.
(Кстати, это тот, кто умер в будущем и путешествовал во времени, чтобы рассказать нам об этом, или кто-то, кто сейчас является призраком и может видеть будущее? Мы просто не знаем.)
В любом случае. , теперь мы подставляем некоторые значения для n , чтобы найти другие решения в пределах интервала. Когда n = 1:
попадает в интервал [0, π], но не попадает.Проверка n = 2 дает, что тоже слишком много.
Если пойти в другом направлении, с n = -1, мы получим:
Мы добавляем в нашу стойку правильных ответов, отбрасывая в сторону. Если мы вычтем еще одно, мы получим еще одно отрицательное число, что означает, что мы исчерпали наш запас углов.
Значит, наш окончательный ответ. Мы продолжаем получать правильные ответы, но Регис отказывается дать нам наш миллион долларов.
Пример задачи
Решите sin (π — t) = cos (π — t)
Здесь мы следуем нашей стандартной процедуре.Изолируйте функцию триггера с помощью t ; найти то, что (что-то) равно; найти все решения; отпраздновать фейерверком.
Однако здесь мы видим двойное. Есть две функции с t в них. В этом случае мы можем исправить это небольшим разделением. Зная, что синус, разделенный на косинус, равен тангенсу, мы просто делим:
tan (π — t ) = 1
Так лучше. Однако это сработало только потому, что содержимое каждой триггерной функции (π — t ) было одинаковым.Если бы они не были идентичными, нам бы не повезло.
Чтобы найти, где синус и косинус равны (и поэтому касательная будет равна 1), мы проверяем единичную окружность.

Неужели единичный круг когда-нибудь перестанет быть таким полезным? Надеемся, что нет. Нам нужны углы: ^π/₄ и ^5π/₄; помните, что касательная положительна в квадрантах I и III.
Есть уловка, которую мы можем использовать, прежде чем идти дальше, которая немного облегчит эту проблему.

Наши два базовых решения находятся на противоположных сторонах круга, на расстоянии π друг от друга в обоих направлениях. Вместо двух наборов решений, повторяющихся каждые 2π, мы можем иметь один набор решений, повторяющихся через каждые π.
В любом случае мы можем получить правильный ответ. Это похоже на выбор между двумя разными маршрутами до пункта назначения, где один маршрут короче и с более хорошей погодой.
Теперь нам нужно заменить это (что-то) на (π — t ), следя за этим отрицательным знаком.
Если вы смотрели на указатели, то уже заметили, что мы не меняли его на π n . Это потому, что n может быть любым целым числом, положительным или отрицательным, поэтому он просто поглощает отрицательный знак. Это действительно мерзко.
В любом случае, у нас есть свои решения. Мы можем вернуться к исходной проблеме и дважды проверить, все ли мы сделали правильно. Например, когда:
А теперь мы ложимся в кресло и наблюдаем за стрелой.
Награды по тригонометрии — 1211300 | CPALMS.org
Круглогодичные школьные дебаты: выявление ошибочных рассуждений — часть вторая:
Попрактикуйтесь в выявлении ошибочных рассуждений в этом интерактивном учебном пособии по английскому языку, состоящем из двух частей. Вы узнаете, что некоторые эксперты говорят о круглогодичных школах, какие исследования были проведены относительно их эффективности и как можно привести аргументы за и против круглогодичного образования.Затем вы прочитаете речь в пользу круглогодичных школ и определите ошибочные аргументы в аргументе, в частности, использование поспешных обобщений.
Обязательно заполните первую часть перед второй!
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Круглогодичные школьные дебаты: выявление ошибочных рассуждений — Часть первая:
Научитесь определять ошибочные аргументы в этом интерактивном учебнике по английскому языку, состоящему из двух частей.Вы узнаете, что некоторые эксперты говорят о круглогодичных школах, какие исследования были проведены относительно их эффективности и как можно привести аргументы за и против круглогодичного образования. Затем вы прочитаете речь в пользу круглогодичных школ и определите ошибочные аргументы в аргументе, в частности, использование поспешных обобщений.
Обязательно завершите обе части этой серии! Щелкните, чтобы открыть Часть вторую.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Оценка аргумента — Часть четвертая: инаугурационная речь JFK:
Изучите президента Джона Ф.Инаугурационная речь Кеннеди в этом интерактивном руководстве. Вы изучите аргумент Кеннеди, основное утверждение, более мелкие утверждения, причины и доказательства.
В четвертой части вы будете использовать то, что вы узнали из этой серии статей, чтобы оценить общую аргументацию Кеннеди.
Обязательно завершите предыдущие части этой серии, прежде чем начинать Часть 4.
Щелкните, чтобы запустить Часть первую.
Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы запустить вторую часть.
Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы запустить третью часть.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Оценка аргумента — Часть третья: инаугурационная речь Джона Кеннеди:
Изучите инаугурационную речь президента Джона Ф. Кеннеди в этом интерактивном руководстве. Вы изучите аргумент Кеннеди, основное утверждение, более мелкие утверждения, причины и доказательства.К концу этой серии из четырех частей вы сможете оценить его аргументы в целом.
В третьей части вы прочитаете больше из речи Кеннеди и определите меньшее утверждение в этом разделе его речи. Вы также оцените релевантность этого небольшого утверждения основному утверждению и оцените причины и доказательства Кеннеди.
Обязательно завершите все четыре части этой серии!
Щелкните, чтобы запустить Часть первую.
Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы запустить вторую часть.
Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы запустить Часть четвертую.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Готовы к взлету! — Часть вторая:
Хотите узнать об Амелии Эрхарт, одной из самых известных женщин-авиаторов всех времен? Если да, то это интерактивное руководство для ВАС! Это руководство является второй частью серии, состоящей из двух частей.В этой серии вы изучите выступление Амелии Эрхарт. Вы попрактикуетесь в определении цели ее речи и потренируетесь в определении того, как она использует риторические призывы (этос, логотипы, пафос, Кайрос). Вы также оцените эффективность риторического выбора Эрхарт в зависимости от цели ее выступления.
Пожалуйста, заполните Часть первую перед тем, как приступить к Части второй. Щелкните, чтобы просмотреть первую часть.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Готовы к взлету! — Часть первая:
Хотите узнать об Амелии Эрхарт, одной из самых известных женщин-авиаторов всех времен? Если да, то это интерактивное руководство для ВАС! Это руководство является первой частью серии, состоящей из двух частей.В этой серии вы изучите выступление Амелии Эрхарт. Вы попрактикуетесь в определении цели ее речи и потренируетесь в определении того, как она использует риторические призывы (этос, логотипы, пафос, Кайрос). Вы также оцените эффективность риторического выбора Эрхарт в зависимости от цели ее выступления.
Завершите вторую часть после прохождения этого руководства. Щелкните, чтобы просмотреть Часть вторую.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Вокруг света с прямоугольными треугольниками:
Узнайте, как использовать тригонометрические отношения, чтобы найти высоты известных памятников и решить реальное приложение в этом интерактивном руководстве.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Колесо обозрения:
Узнайте об измерении угла в радианах, о поиске измерения угла в радианах с учетом длины дуги и длины радиуса и о преобразовании между градусами и радианами в этом интерактивном руководстве.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Теорема Пифагора: самая элегантная теорема геометрии:
Этот урок знакомит студентов с историей теоремы Пифагора, а также с доказательствами и приложениями.Он предназначен для учащихся средней школы, занимающихся геометрией, которые закончили год обучения алгебре, и соответствует следующим национальным стандартам Национального совета учителей математики и исследований Среднего континента в области образования и обучения: 1) Анализ характеристик и свойств двух- и трехмерные геометрические формы и разработка математических аргументов о геометрических отношениях; 2) Используйте визуализацию, пространственное мышление и геометрическое моделирование для решения задач; 3) понимать и применять основные и дополнительные свойства концепций геометрии; и 4) Используйте теорему Пифагора и ее обратную теорему, а также свойства специальных прямоугольных треугольников для решения математических и реальных задач.Ролик длится около тридцати минут, а с перерывами можно завершить за 50 минут. (Вы можете рассмотреть возможность прохождения более двух занятий, особенно если вы хотите выделить больше времени для занятий или выполнения некоторых дополнительных материалов). Эти действия можно выполнять индивидуально, парами или группами. Думаю, 2 или 3 студента — это оптимально. Материалы, необходимые для занятий, включают ножницы, скотч, веревку и маркеры.
Тип: презентация / слайд-шоу
Монеты по круговой схеме:
Используя диаграмму диаметров монет разного достоинства, учащихся просят выяснить, сколько монет умещается вокруг центральной монеты.
Тип: Задача по решению проблем
От горы Уитни до Долины Смерти:
Это задание вовлекает студентов в открытое задание по моделированию, в котором используется подобие прямоугольных треугольников.
Тип: Задача по решению проблем
Самый короткий отрезок линии от точки P до линии L:
Это базовое задание по геометрии, разработанное для того, чтобы дать учащимся маршрут для развития некоторых фундаментальных геометрических свойств, которые на первый взгляд могут показаться довольно очевидными.В этом случае основное рассматриваемое свойство состоит в том, что кратчайший путь от точки до линии пересекает линию под прямым углом, что имеет решающее значение для многих дальнейших разработок в этой области.
Тип: Задача по решению проблем
Семь кругов III:
Это дает возможность смоделировать конкретную ситуацию с помощью математики.После того, как нарисована репрезентативная картина ситуации, описанной в задаче (при необходимости, учитель может дать здесь указания), решение задачи требует понимания определения синусоидальной функции.
Тип: Задача по решению проблем
Установка спринклеров:
Эта задача моделирования включает в себя несколько различных типов геометрических знаний и решения проблем: поиск областей секторов кругов, использование тригонометрических соотношений для решения прямоугольных треугольников и разложение сложной фигуры, состоящей из нескольких дуг окружности, на части, области которых можно найти.
Тип: Задача по решению проблем
Пренебрегая кривизной Земли:
Эта задача применяет геометрические концепции, а именно свойства касательных к окружностям и прямоугольных треугольников, в ситуации моделирования. Ключевым геометрическим моментом в этой задаче является распознавание того, что линия взгляда от вершины горы к горизонту касается земли.Затем мы можем использовать прямоугольный треугольник, в котором одна сторона касается круга, а другая сторона — радиус круга, чтобы исследовать эту ситуацию.
Тип: Задача по решению проблем
Лисицы и кролики 3:
В этом задании для решения задач учащимся предлагается использовать тригонометрические функции для моделирования количества кроликов и лисиц как функции времени.
Тип: Задача по решению проблем
Лисицы и кролики 2:
Эта задача для решения задач предлагает учащимся использовать тригонометрические функции для моделирования популяций кроликов и лисиц с течением времени, а затем построить график этих функций.
Тип: Задача по решению проблем
Когда колесо вращается:
В этом задании учащиеся используют тригонометрические функции для моделирования движения точки вокруг колеса и в пространстве. Студенты также интерпретируют особенности графиков с точки зрения данного реального контекста.
Тип: Задача по решению проблем
Комплексное расстояние:
Эта задача предназначена для усиления геометрической интерпретации расстояния между комплексными числами и средними точками как модуля разности и среднего значения соответственно.
Тип: Задача по решению проблем
Введение в единичный круг:
Этот учебник знакомит с единичной окружностью. Он также расширяет знания студентов SOH CAH TOA, чтобы они могли определять тригонометрические функции для более широкого класса углов.
Тип: Учебное пособие
Использование тригонометрии для поиска недостающей информации:
Из этого туториала Вы узнаете, как использовать тригонометрию для поиска недостающей информации в прямоугольных треугольниках. В этом видео показаны рабочие примеры с использованием тригонометрических соотношений для поиска недостающей информации и оценки других тригонометрических соотношений.
Тип: Учебное пособие
Базовая тригонометрия:
Этот учебник дает введение в тригонометрию. В этом ресурсе обсуждаются три основные функции тригонометрии: синус, косинус и тангенс.
Тип: Учебное пособие
Снаряд под углом:
В этом видео обсуждается, как вычислить горизонтальное смещение для снаряда, выпущенного под углом.
Тип: Учебное пособие
Преломление света:
Этот ресурс исследует электромагнитный спектр и волны, позволяя учащемуся наблюдать преломление света при его переходе из одной среды в другую, изучать связь между преломлением света и показателем преломления среды, выбирать из списка материалов с различные показатели преломления, измените световой луч с белого на монохроматический и обратите внимание на разницу.
Тип: Учебное пособие
Размещение человеческого глаза:
Наблюдайте, как мышцы глаза меняют форму линзы в соответствии с расстоянием до просматриваемого объекта
Укажите части глаза, отвечающие за зрение
Посмотрите, как формируются изображения в глазу
Тип: Учебное пособие
Вогнутые сферические зеркала:
Узнайте, как вогнутое сферическое зеркало создает изображение
Наблюдайте, как размер и положение изображения меняются в зависимости от расстояния объекта от зеркала
Узнайте, чем реальное изображение отличается от виртуального
Изучите некоторые применения вогнутых зеркал
Тип: Учебное пособие
Выпуклые сферические зеркала:
Узнайте, как выпуклое зеркало формирует изображение объекта
Понять, почему выпуклые зеркала образуют маленькие виртуальные изображения
Наблюдать за изменением размера и положения изображения при изменении расстояния объекта от зеркала
Изучите практическое применение выпуклых зеркал
Тип: Учебное пособие
Цветовая температура в виртуальном радиаторе:
Наблюдать за изменением цвета радиатора черного тела при изменении температуры
Поймите, что при 0 Кельвина или абсолютном нуле движение молекул отсутствует
Тип: Учебное пособие
Работа солнечных батарей:
Этот ресурс объясняет, как солнечный элемент преобразует энергию света в электрическую.Пользователь также узнает о различных компонентах солнечного элемента и увидит взаимосвязь между интенсивностью фотонов и количеством производимой электроэнергии.
Тип: Учебное пособие
Распространение электромагнитных волн:
Обратите внимание, что свет состоит из колеблющихся электрических и магнитных волн
Исследуйте распространение электромагнитной волны через ее векторы электрического и магнитного полей
Обратите внимание на разницу в распространении света с разной длиной волны
Тип: Учебное пособие
Основные свойства электромагнитных волн:
Изучите взаимосвязь между длиной волны, частотой, амплитудой и энергией электромагнитной волны
Сравнить характеристики волн с разной длиной волны
Тип: Учебное пособие
Геометрическое построение лучевых диаграмм:
Научитесь отслеживать путь распространения световых волн с помощью геометрической оптики
Обратите внимание на влияние изменения параметров, таких как фокусное расстояние, размеры и положение объекта, на свойства изображения
Изучите уравнения, используемые для определения размера и местоположения изображений, формируемых тонкими линзами
Тип: Учебное пособие
Будет ли кубик льда таять быстрее в пресной или соленой воде ?:
Благодаря часто неожиданному результату простого эксперимента учащиеся могут обнаружить факторы, которые вызывают и влияют на термохалинную циркуляцию в наших океанах.В течение двух 45-минутных занятий учащиеся выполняют задания, в которых они наблюдают за таянием кубиков льда в соленой и пресной воде, используя основные материалы: прозрачные пластиковые стаканчики, кубики льда, воду, соль, пищевые красители и термометры. Для этого урока нет предварительных условий, но полезно, если учащиеся знакомы с понятиями плотности и плавучести, а также солености морской воды. Также будет полезно, если учащиеся поймут, что растворение соли в воде снижает температуру замерзания воды.Существуют дополнительные последующие исследования, которые помогают учащимся оценить и понять важность влияния океана на климат Земли.
Тип: видео / аудио / анимация
MIT BLOSSOMS — Сказочные фракталы и разностные уравнения:
Это обучающее видео знакомит студентов с миром фрактальной геометрии с помощью разностных уравнений.В качестве предварительного условия к этому уроку ученикам потребуется два года обучения алгебре в старших классах (комфорт с уравнениями с одной переменной) и мотивация для изучения основ сложной арифметики. Г-жа Загер включила полное вводное руководство по сложной арифметике с домашними заданиями, которые можно загрузить здесь. Также можно загрузить некоторые дополнительные задачи. Время, необходимое для завершения основного урока, составляет примерно один час, и необходимые материалы включают классную доску / белую доску, а также место для работы учащихся в небольших группах.Во время занятий в классе этого интерактивного урока учащиеся проведут мозговой штурм по поводу результатов игры в хаос и потренируются в вычислении траекторий разностных уравнений.
Тип: видео / аудио / анимация
Функциональный флаер:
В этом онлайн-инструменте учащиеся вводят функцию для создания графика, на котором константы, коэффициенты и показатели можно регулировать с помощью ползунков.Этот инструмент позволяет учащимся изучать графики функций и то, как изменение чисел в функции влияет на график. Используя вкладки в верхней части страницы, вы также можете получить доступ к дополнительным материалам, включая справочную информацию о затронутых темах, описание того, как использовать приложение, и вопросы исследования для использования с java-апплетом.
Тип: виртуальный манипулятор
Калькулятор треугольников
Укажите 3 значения, включая как минимум одну сторону, в следующие 6 полей и нажмите кнопку «Рассчитать».Если в качестве единицы угла выбраны радианы, он может принимать такие значения, как пи / 2, пи / 4 и т. Д.
Треугольник — это многоугольник с тремя вершинами. Вершина — это точка, в которой встречаются две или более кривых, линий или ребер; в случае треугольника три вершины соединены тремя отрезками, называемыми ребрами. Треугольник обычно называют его вершинами. Следовательно, треугольник с вершинами a, b и c обычно обозначается как Δabc. Кроме того, треугольники обычно описывают на основе длины их сторон, а также их внутренних углов.Например, треугольник, в котором все три стороны имеют равную длину, называется равносторонним треугольником, а треугольник, в котором две стороны имеют равную длину, называется равнобедренным. Когда ни одна из сторон треугольника не имеет одинаковой длины, он называется разносторонним, как показано ниже.
Отметки на краю треугольника — это обычное обозначение, которое отражает длину стороны, где одинаковое количество отметок означает одинаковую длину. Аналогичные обозначения существуют для внутренних углов треугольника, обозначаемых различным количеством концентрических дуг, расположенных в вершинах треугольника.Как видно из треугольников выше, длина и внутренние углы треугольника напрямую связаны, поэтому логично, что равносторонний треугольник имеет три равных внутренних угла и три стороны равной длины. Обратите внимание, что треугольник, представленный в калькуляторе, не показан в масштабе; хотя он выглядит равносторонним (и имеет отметки угла, которые обычно воспринимаются как равные), он не обязательно является равносторонним и представляет собой просто представление треугольника. После ввода фактических значений выходные данные калькулятора будут отражать форму входного треугольника.
Треугольники, классифицируемые на основе их внутренних углов, делятся на две категории: прямые и наклонные. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен 90 °, и обозначается двумя отрезками прямой, образующими квадрат в вершине, составляющей прямой угол. Самый длинный край прямоугольного треугольника, противоположный прямому углу, называется гипотенузой. Любой треугольник, который не является прямоугольным, классифицируется как наклонный треугольник и может быть тупым или острым. В тупоугольном треугольнике один из углов треугольника больше 90 °, а в остром треугольнике все углы меньше 90 °, как показано ниже.
Факты, теоремы и законы о треугольнике
Учитывая длины всех трех сторон любого треугольника, каждый угол можно вычислить с помощью следующего уравнения. Обратитесь к треугольнику выше, предполагая, что a, b и c — известные значения.
Площадь треугольника
Существует несколько различных уравнений для вычисления площади треугольника в зависимости от того, какая информация известна. Вероятно, наиболее известное уравнение для вычисления площади треугольника включает его основание, b , и высоту, h .«Основание» относится к любой стороне треугольника, где высота представлена длиной отрезка линии, проведенного от вершины, противоположной основанию, до точки на основании, образующей перпендикуляр.
Учитывая длину двух сторон и угол между ними, следующую формулу можно использовать для определения площади треугольника. Обратите внимание, что используемые переменные относятся к треугольнику, показанному на калькуляторе выше. Для a = 9, b = 7 и C = 30 °:
Другой метод вычисления площади треугольника основан на формуле Герона.В отличие от предыдущих уравнений, формула Герона не требует произвольного выбора стороны в качестве основания или вершины в качестве начала координат. Однако для этого требуется, чтобы длина трех сторон была известна. Опять же, со ссылкой на треугольник, представленный в калькуляторе, если a = 3, b = 4 и c = 5:
Медиана, внутренний радиус и радиус окружности
Медиана
Медиана треугольника определяется как длина отрезка прямой, который проходит от вершины треугольника до середины противоположной стороны.Треугольник может иметь три медианы, каждая из которых будет пересекаться в центре тяжести (среднее арифметическое положение всех точек в треугольнике) треугольника. См. Рисунок ниже для пояснения.
Медианы треугольника представлены отрезками m _a, m _b и m _c. Длину каждой медианы можно рассчитать следующим образом:
Где a, b и c обозначают длину стороны треугольника, как показано на рисунке выше.
В качестве примера, учитывая, что a = 2, b = 3 и c = 4, медиана m _a может быть рассчитана следующим образом:
Inradius
Inradius — это радиус наибольшего круга, который помещается внутри данного многоугольника, в данном случае треугольника. Внутренний радиус перпендикулярен каждой стороне многоугольника. В треугольнике внутренний радиус можно определить, построив две биссектрисы угла, чтобы определить центр треугольника. Внутренний радиус — это расстояние по перпендикуляру между центром вращения и одной из сторон треугольника.Можно использовать любую сторону треугольника, если определено перпендикулярное расстояние между стороной и центром, поскольку центр, по определению, находится на равном расстоянии от каждой стороны треугольника.
В данном калькуляторе внутренний радиус рассчитывается с использованием площади (площади) и полупериметра (ов) треугольника по следующим формулам:
где a, b и c — стороны треугольника
.
Круговой радиус
Радиус описанной окружности определяется как радиус окружности, проходящей через все вершины многоугольника, в данном случае треугольника.Центр этой окружности, где пересекаются все срединные перпендикуляры каждой стороны треугольника, является центром описанной окружности и точкой, от которой измеряется радиус описанной окружности. Центр описанной окружности треугольника не обязательно должен находиться внутри треугольника. Стоит отметить, что у всех треугольников есть описанная окружность (окружность, проходящая через каждую вершину) и, следовательно, радиус описанной окружности.
В данном калькуляторе радиус описанной окружности рассчитывается по следующей формуле:
Где a — сторона треугольника, а A — угол, противоположный стороне a
Хотя используются сторона a и угол A, в формуле можно использовать любую из сторон и их соответствующие противоположные углы.

Тип уравнения	Вид уравнения	Метод решения
1
2		b = a	b b0	b b
2		= f(x) = 1	f(x) =	Решений нет

c ²	=	d ² + h ²
	=	( a + e ) ² + h ²
	=	a ² + 2 ae + e ² + h ²
	=	a ² + b ² + 2 ae
	=	a ² + b ² — 2 ab cos C

c ²	=	d ² + h ²
б ²	=	e ² + h ²
cos C	=	э / б
d ²	=	( e — a ) ²

c ²	=	d ² + h ²
	=	d ² — e ² + b ²
	=	( d — e ) ( d + e ) + b ²
	=	( a -2 e ) a + b ²
	=	a ² + b ² — 2 ae
	=	a ² + b ² — 2 ab cos C

Процентное содержание	0–56	57–61	62–66	67–71	72–77	78–86	87–91	92–100
Средний балл	0.0	1.0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0

Игрок	Рейтинг
Бейб Рут	1
Вилли Мейс	2
Тай Кобб	3
Уолтер Джонсон	4
Хэнк Аарон	5

Возраст в годах, a (ввод)	5	5	6	7	8	9	10
Высота в дюймах, h (на выходе)	40	42	44	47	50	52	54

ПЭТ	Объем памяти в часах
Щенок	0,008
Взрослая собака	0,083
Кот	16
Золотая рыбка	2160
Бета рыба	3600

Постоянная функция	f (x) = c, где c — постоянная
Функция идентификации	f (x) = x
Функция абсолютного значения	f (x) = \ \| x \ \|
Квадратичная функция	f (x) = x2
Кубическая функция	f (x) = x3
Возвратная функция	f (x) = 1x
Функция обратного квадрата	f (x) = 1×2
Функция квадратного корня	f (x) = x
Функция кубического корня	f (x) = x3