Номер 13 егэ математика профильный уровень: Показательные уравнения | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия - Управленческое образование

Содержание

Показательные уравнения | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Рассмотрим уравнение 2^x = 8. В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8? Ясно, что в степень 3.

Более того, x = 3 — единственное решение данного уравнения. Почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции y = 2^x: данная функция монотонно возрастает и потому каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, не существует других
значений x, кроме 3, таких, что 2^x = 8.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида

где a > 1 или 0 < a < 1.

Если b > 0, то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно, при a > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 — монотонно убывает; в любом случае она принимает каждое своё значение ровно один раз.

А вот если b ⩽ 0, то уравнение (1) не имеет решений: ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших.

В задачах достаточно представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием.

Вспоминаем, что 125 = 5³. Уравнение приобретает вид: 5^x−7 = 5⁻³

В силу монотонности показательной функции показатели степени равны: x − 7 = −3, откуда x = 4.

2.
Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Дальнейшее ясно:

Теперь рассмотрим более сложные уравнения.

Здесь лучше всего вынести за скобку двойку в наименьшей степени:

4.

Делаем замену

Тогда и относительно t мы получаем квадратное уравнение: Его корни: и

В первом случае имеем: откуда

Во втором случае: решений нет.

Ответ: 3.

Замечаем, что а :

Делим обе части на положительную величину :

Делаем замену
Полученное квадратное уравнение имеет корни −1 и .
В случае
решений нет.
В случае

имеем единственный корень
Ответ:
Вообще, показательные уравнения вида

называются однородными. Для них существует стандартный приём решения — деление обеих частей на (эта величина не равна нулю, так как показательная функция может принимать только положительные значения). Именно этим приёмом мы в данной задаче и воспользовались.
С однородными уравнениями, кстати, мы уже встречались — в тригонометрии. Это были уравнения вида
Их мы решали похожим приёмом — делением на
Тригонометрические уравнения | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия
Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
Поэтому ответ:

3. Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).
Решим уравнение:

Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов:

Ответ:
4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:
Здесь используем формулу понижения степени:
(которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойного
угла). Получаем:
и дальше ясно.
5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:
Переносим косинус влево и применяем формулу приведения
Дальше — дело техники.
6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:
Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:
Цель достигнута.
Рассмотрим уравнение:
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на . Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?
Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.
Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию , и мы можем поделить обе его части на .
В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:
и дальнейший ход решения трудностей не представляет

1. Рассмотрим уравнение
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :
и дело сделано.
2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
откуда
(3)
Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.
Введение дополнительного угла
Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.
1. Рассмотрим уравнение
Делим обе части на 2:
Замечаем, что :

В левой части получили синус суммы:
,
откуда и

2. Другой пример:
Делим обе части на
Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:
3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение
Делим обе части на :
(4)
Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

Соотношение (4) тогда приобретает вид:
,
или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .
4. Снова решим уравнение
Делим обе части на :
Существует угол такой, что . Например, . Получаем:

,
,
,
,

В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!
Универсальная подстановка
Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.
1. Решим уравнение
Выражаем , используя универсальную подстановку:
Делаем замену :
Получаем кубическое уравнение:
Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .
2. Рассмотрим уравнение
А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем и применяем универсальную подстановку:
После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:
Следовательно, и .
Ответ: .
Метод оценок
В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .
3. Рассмотрим уравнение
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π
:
Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.
Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:
Ответ: .
4. Рассмотрим уравнение
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.
Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
Имеем:
Ищем пересечение:
Умножаем на 21 и сокращаем на π:
Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
Ответ: решений нет.

5. Страшное с виду уравнение
также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует, что . Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.
Учёт тригонометрических неравенств
Рассмотрим уравнение:

Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:
,
,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
Ответ: .
Специальные приёмы
В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.
1. Рассмотрим уравнение

Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:
,
,
,

Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.
2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить через t? Имеем:
,
откуда . Получаем:
,
,
,

Как действовать дальше, мы знаем.
3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):
,
Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :
,
,

Дальше всё понятно.
4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение

Выделяем полный квадрат!
,
,
,
,
,
,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .
Получим:
,

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.
Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.
В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике
Квадратное уравнение – уравнение вида , где
Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения: .
Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .
Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .
Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.
1)
В этом уравнении , , .
Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.
2)
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.
Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.
Уравнение имеет единственный корень .
3) .
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.
4) Решим уравнение .
Дискриминант уравнения равен > 0.
Уравнение имеет два корня.
Корни уравнения
Теорема Виета
Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.
Если и – корни уравнения , то , .
Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .
Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.
Неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.
1) Рассмотрим уравнение .
В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.
2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.
Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Значит, или .
3) Вот похожее уравнение:
.
Поскольку , уравнение можно записать в виде:
Отсюда или
.
4) Пусть теперь не равно нулю и .
Рассмотрим уравнение
.
Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:
.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Значит, или .
Разложение квадратного трехчлена на множители
.
Здесь и – корни квадратного уравнения .
Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.
Например, наше уравнение
.
Его корни
,
.
.
Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.
1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».
Например, уравнение
.
Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.
Дискриминант этого уравнения равен
.
Корни уравнения .
2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?
Вот, например, уравнение
.
Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:
.
Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.
3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.
Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:
.
Корни этого уравнения равны 1 и -6.

Смотри также: Квадратичная функция
Как решить 13 задание ЕГЭ по математике, профильная математика Ростов-на-Дону
Учащиеся, приступающие к решению заданий повышенной сложности ЕГЭ по математике, чаще всего берутся за решение первого задания второй части, задания 13, из-за того, что оно проще остальных как по идейным соображениям, так и по техническому исполнению. Однако не всем удаётся избежать ошибок, а это влечёт снижение балла.
На реальных экзаменах последних лет в задании 13 требуется решить тригонометрическое уравнение и осуществить отбор корней, попадающих в заданный промежуток.
Эксперт, проверяющий выполнение учащимся задание, выставляет баллы в строгом соответствии с критериями, приведёнными в таблице:
Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответы в пункте а

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Обращаем внимание на то, что в критериях нет ни слова о способах решения задания. Это означает, что выбор способа решения и формы записи остаётся за учащимся, и не оценивается, оценивается математическая грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа, а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.
Полнота и правильность приведённого решения и ответа определяются:
1. Выбором метода решения уравнения.
2. Соответствием выбранному методу верной последовательности всех необходимых шагов решения.
3. Обоснованием основных моментов решения уравнения и отбора корней.
4. Правильным применением формул, выполнением преобразований и вычислений.
5. Верным ответом и его соответствием условию задачи.
Что нужно знать для успешного решения задания 13.
Пример 1. (Задание 13 ЕГЭ 2020 основная волна)
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Так как то преобразуем первое слагаемое следующим образом: (конечно, можно сразу применить формулу понижения степени). Исходное уравнение примет вид
, , откуда
Если , то
Если , то = или = то есть = или =
б) Произведём отбор корней уравнения, принадлежащих отрезку с помощью неравенств (можно осуществить отбор корней с помощью единичной окружности).
1.
откуда k=3, k =4. .
2. . , . Нет целых n, удовлетворяющих этому неравенству.
3.
, , m=1,
Корни уравнения , принадлежат отрезку .
Ответ. а) ; б) , .
Обращаем внимание на то, что в критериях нет ни слова о способах решения задания. Это означает, что выбор способа решения и формы записи остаётся за учащимся, и не оценивается, оценивается математическая грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа, а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.
Приведём пример решения задания 13 учащимся и комментарии эксперта.
Комментарий эксперта.
В пункте б) на тригонометрической окружности не установлено соответствие между обозначенными точками и найденными решениями (на окружности не отмечена точка В соответствии с критериями оценивается в 1 балл.
Пример 2.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение. а) Обозначим Уравнение примет вид t+
или .
Вернёмся к исходной переменной.
x=
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку .
В указанном промежутке содержатся три корня
Ответ. а) x=
РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТОВАРЫ
ЕГЭ. Задание 13. Тригонометрические (и не только) уравнения
Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по тригонометрии, большие теоретические видеолекции, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.
Полезные материалы
Подборки видео и онлайн-курсы
Тригонометрические формулы
Геометрическая иллюстрация тригонометрических формул
Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения

а) Решите уравнение $\sin x + \left(\cos \dfrac{x}{2} — \sin \dfrac{x}{2}\right)\left(\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}\right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.
Подборка заданий прошлых лет
а) Решите уравнение $\dfrac{\sin x}{\sin^2\dfrac{x}{2}} = 4\cos^2\dfrac{x}{2}$.2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)

а) Решите уравнение $2 \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right) — \sqrt{3} \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)

а) Решите уравнение $2\sqrt3 \sin\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) — \cos 2x = 3\cos x — 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)

а) Решите уравнение $2\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) — \cos x = \sqrt3\sin 2x — 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)

а) Решите уравнение $\sqrt2\sin\left( \dfrac{\pi}{4} + x \right) + \cos 2x = \sin x — 1$.2 x + 5\sin\left( \dfrac{\pi}{2} — x\right) — 2 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -5\pi; \ — \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2012, вторая волна)

Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня 🐲 СПАДИЛО.РУ
Уравнения
В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.
Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант2018)
а) Решите уравнение cos2x = 1-cos(п/2-x) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п/2;-п].
Алгоритм решения:
Пункт а)
При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
Делаем обратную замену и решаем простейшие тригонометрические уравнения.
Пункт б)
Строим числовую ось.
Наносим на нее корни.
Отмечаем концы отрезка.
Выбираем те значения, которые лежат внутри промежутка.
Записываем ответ.
Решение:
Пункт а) 1. Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения cos(π/2−x)=sinx. Имеем:
сos2x = 1 – sin x.
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:
cos(2х)=1−2sin² х
Получаем такое уравнение: 1−sin ²x=1− sinx Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx. 2. Вводим замену: t = sinx. Решаем получившееся квадратное уравнение:
1−2t²=1−t,
−2t²+t=0,
t (−2t+1)=0,
t = 0 или -2t + 1 = 0,
t₁= 0 t₂= 1/2.
3. Делаем обратную замену:
sin x = 0 или sin x = ½
Решаем эти уравнения:
sin x =0↔x=πn, nЄZ
sin(x)=1/2↔x= (-1)ⁿ∙(π/6)+ πn, nЄZ.
Следовательно, получаем два семейства решений. Пункт б):
1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.
2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).
3. Красным цветом помечаем концы промежутка. 4. В указанном промежутке расположены три корня что три корня: −2π;−11π/6 и −7π/6. Ответ: а) πn, nЄZ; (-1)ⁿ∙(π/6)+ πn, nЄZ б) −2π;−11π6;−7π6
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Алгоритм решения:
Пункт а)
Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, потом тригонометрические уравнения.
Пункт б)
Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.
Записываем ответ.
Решение:
Пункт а) 1. Вводим замену t = 4^{cos х}. тогда уравнение примет вид: Решаем квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:
D=b² – c = 81 – 4∙4∙2 =49,
t₁= (9 – 7)/8= ¼, t₂ = (9+7)/8=2.
3. Возвращаемся к переменной х: Пункт б) 1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней. 2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка. 3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.. Это корни . Их два. Ответ: а) б)
Третий вариант задания (из Ященко, № 6)
а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Алгоритм решения:
Пункт а)
При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, а затем тригонометрические уравнения.
Пункт б)
Решаем неравенства для каждого случая.
Записываем ответ.
Решение:
а) 1. По формулам приведения . 2. Тогда данное уравнение примет вид: 3. Вводим замену . Получаем: Решаем обычное квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней: Оба корня положительны. 3. Возвращаемся к переменной х: Получили четыре семейства корней. Их бесконечно много. б) 4. С помощью неравенств находим те корни, которые принадлежащие отрезку : Для корней Получаем одно значение . Для корней ни одного значения корней нет. Для корней есть одно значение ; Для корней есть одно значение . Ответ: а) ; ; б) .
ЕГЭ|ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ|Уравнения и системы уравнений
1. Целые рациональные уравнения
2. Уравнения, содержащие переменную

под знаком абсолютной величины (модуля)
3. Дробно-рациональные уравнения
4. Иррациональные уравнения
5. Тригонометрические уравнения
6. Показательные уравнения
7. Логарифмические уравнения
1. Системы целых алгебраических уравнений
2. Системы, содержащие

дробно-рациональные уравнения
3. Системы, содержащие

иррациональные уравнения
4. Системы, содержащие

тригонометрические уравнения
5. Системы, содержащие

показательные уравнения
6. Системы, содержащие

логарифмические уравнения
Математика — Школа Святого Павла
Математический факультет школы Святого Павла имеет международную репутацию. Мы не обучаем экзамену, мы преподаем математику — и это следствие успешной сдачи экзамена.
Наши ученики не только высококвалифицированы, но и проявляют энтузиазм и настоящее понимание, а в школе существует жизненно важная математическая культура. В любой день вы услышите, как ученики всех возрастов со знанием дела и с интересом обсуждают математику, а математический персонал в равной степени находит время, чтобы каждый день обсуждать математические идеи.Сильное интеллектуальное любопытство, характерное для школы Святого Павла, подтверждается страстью к математике, проявляемой как преподавателями, так и учениками.
Центральная часть школьного образовательного кредо состоит в том, что мы не ускоряем процесс обучения наших учеников, рано вводя их на государственные экзамены. Вместо этого мы расширяем их, добавляя дополнительную глубину и, в частности, используя широкий спектр более сложных вопросов и проблем. Мы неизменно добиваемся выдающихся успехов в национальных соревнованиях, таких как Британская математическая олимпиада, и в этом столетии мы предоставили больше членов британской команды для Международной математической олимпиады, чем любые другие две школы вместе взятые.
Математика является основным предметом экзамена GCSE. На уровне A Level это очень популярно: как правило, более 80% учеников изучают математику в восьмом младшем (12 класс), а в любой годовой группе от 50 до 75 мальчиков изучают математику дополнительно.
GCSE
В четвертых, пятых и шестых классах (9–11 классы) все мальчики проходят курс, ведущий к EdExcel International GCSE. Учебная программа включает инновационную программу повышения квалификации, основанную на навыках решения задач, необходимых для соревнований по математике и олимпиад.
A Level
На уровне A мы следуем спецификации OCR A Linear как для отдельной математики, так и для дополнительной математики. Все экзамены сдаются в конце двухлетнего курса. Единый математический уровень A Level включает трехчасовые двухчасовые работы, которые включают чистую математику, механику и статистику. Все наши последующие математики сдают варианты статистики и механики, а самые способные ученики сдают дополнительные варианты чистой математики. Те математики, которые изучают информатику A Level, также могут дополнительно выбрать вариант дискретной математики.
Подготовка предлагается как для тех, кто хочет читать математику в ведущих университетах, так и для тех, для кого математика является важным элементом предполагаемого курса обучения, например, физика, естественные науки или инженерное дело. Неудивительно, что у нас в Оксбридже высокие показатели успеха.
Совместная программа
Центральное место в математическом профиле школы занимают различные национальные математические соревнования, проводимые UK Mathematics Trust (UKMT) — промежуточные и старшие математические задания, промежуточная олимпиада (Кэли, Гамильтон и Маклорен) и Британская математическая олимпиада. 1-й и 2-й туры олимпиады.Кафедра математики также предлагает широкий спектр внеклассных математических обществ. Более подробную информацию можно найти здесь.
Тестирование математического образования в Нидерландах
16.2.1 Голландская система образования
На рисунке 16.3 показаны основные элементы голландской системы образования. Начальное образование включает восемь лет, начиная с двух лет детского сада. Дети могут ходить в школу с четырех лет. С пятилетнего возраста обучение в школе обязательно. 16.3
Голландская школьная система
Учащиеся заканчивают начальное образование в возрасте около двенадцати лет и поступают в среднюю школу.Среднее образование подразделяется на три типа школ:
VMBO: Предпрофессиональное среднее образование, продолжительность 4 года, разделенное на разные уровни
HAVO: Общее среднее образование, продолжительность 5 лет
VWO: довузовское образование среднее образование, продолжительность 6 лет.
Далее студенты могут перейти на разные уровни дальнейшего образования:
MBO: Среднее профессиональное образование, продолжительность 1–4 года, разделенное на разные уровни
HBO: Высшее профессиональное образование (также называемое «прикладными университетами»). наук ‘)
Университет.
В конце каждого школьного уровня ученики должны достичь определенных стандартов успеваемости по математике / арифметике (рис. 16.3).
16.2.2 Начальное образование
Основная цель начального образования, предназначенного для учащихся в возрасте 4–12 лет, состоит в том, чтобы учащиеся (1) постепенно и в значимом контексте узнали числа, меры, формы, структуры и их соответствующие отношения и расчеты; (2) научиться использовать язык математики; и (3) могут иметь дело с различными источниками контента, включая повседневную жизнь, другие курсы и чистую математику (OCW, 2015).³
По окончании начального образования учителя консультируют учащихся в отношении их среднего образования. Чтобы подтвердить этот совет, школы обязаны проводить тест по голландскому языку и математике. Школы могут выбирать между различными тестами. Когда учитель рекомендует более низкий уровень образования, чем указано в тесте, совет учителя может быть пересмотрен. Тест по окончании начальной школы также определяет, освоили ли учащиеся базовые (1F) или амбициозные (1S) стандарты по математике (и голландскому языку).
Помимо основной функции теста, заключающейся в указании уровня среднего образования или проверке рекомендаций учителя, агрегированные результаты теста для всех учащихся также могут использоваться для выявления областей, в которых школа нуждается в улучшении (Béguin & Ehren, 2010). Например, их можно использовать для определения того, какие темы требуют большего внимания, и для определения эффективности мер по улучшению. Большинство школ используют тест для окончания начальной школы, разработанный Cito, национальным институтом оценки образования Нидерландов.CvTE уполномочено правительством Нидерландов обеспечивать качество и надлежащее проведение этих национальных тестов и экзаменов.
Для более конструктивного мониторинга развития учащихся начальной школы большое количество школ использует систему мониторинга и оценки. Одна из часто используемых систем — это LOVS ⁴, разработанная Cito. Эта система содержит тесты по различным предметным областям и поддоменам (например, по голландскому словарю и орфографии, а также по математике) для 1–6 классов с оценками дважды в год.Существует также система для дошкольников (дети 4 и 5 лет) по голландскому языку и математике. Система мониторинга математики в начальной школе представляет собой смесь в основном открытых заданий, охватывающих разные области. Результатом каждой оценки является оценка способностей.
Поскольку все тесты по математике в системе мониторинга коррелированы друг с другом, учителя могут сравнивать результаты тестов с результатами ранее проведенного теста, чтобы отслеживать рост учащихся. Тесты стандартизированы по всей стране, что позволяет учителям сравнивать результаты индивидуальных или классных тестов и рост со средними показателями по стране.Помимо определения общих математических способностей учащегося, тесты также предоставляют информацию для дальнейшего анализа. Например, учитель может проанализировать, имеет ли ученик очень низкий или очень высокий балл в определенных областях. Если результат для чисел и операций подобласти относительно низкий, а для измерения подобласти высокий, то это может указывать на то, что числа и операции требуют дополнительного внимания.
Вступительный тест Cito для учащихся 4–5 классов с оценкой один раз в год является альтернативой системе мониторинга учащихся.В этом тесте используется формат с множественным выбором. Он предоставляет полный обзор навыков учащегося в математике, а также в различных поддоменах голландского языка. В пятом классе вступительный тест Cito также предоставляет информацию, позволяющую указать соответствующий курс среднего образования. Все вышеупомянутые тесты также подходят для студентов с особыми образовательными потребностями.
Cito LOVS не оценивает математическую беглость (быстрое и правильное решение задач). Поэтому школы используют несколько других тестов для контроля этого аспекта математики.
Наряду с национальными стандартизированными тестами от Cito и других поставщиков тестов, школы используют другие тесты по математике, такие как тесты, включенные в учебники, различные упражнения и (цифровые) тестовые системы.
В Приложении A показаны некоторые примеры типов заданий, которые включены в тест Cito End для начальной школы и тесты Cito LOVS.
16.2.3 Среднее образование
Математика преподается по-разному в разных направлениях среднего образования.В первые несколько лет VMBO, начальных ступеней среднего образования, основное внимание уделяется приобретению понимания и навыков в подобластях чисел и операций, форм и фигур, количеств и мер, закономерностей, отношений и функций. Из-за профессиональной направленности этого направления среднего образования важно предоставить контексты, в которых может применяться математика: контексты, связанные с повседневной жизнью, другими предметами, дальнейшим образованием, рабочим местом и самой математикой. В более поздние годы существования VMBO математика стала обязательным предметом только в технических секторах; для других студентов это факультативный предмет.
На направлениях высшего среднего образования, охватывающих HAVO и VWO, высшие оценки которых подразделяются на профили «Природа и технологии», «Природа и здоровье», «Экономика и общество» и «Культура и общество», математика является обязательным предметом. ⁵ Существуют разные курсы математики, ориентированные на разные профили:
Математика A, нацеленные на профили общества, но также разрешенные для учащихся профиля «Природа и здоровье»; основное внимание уделяется использованию математических методов и приложений математики.
Математика B, нацелена на профили «Природа» и обязательна для студентов профиля «Природа и технологии»; основное внимание уделяется абстрактной природе математики.
Математика C, исключительно для студентов довузовского образования по профилю «Культура и общество»; курс частично пересекается с математикой A.
Математика D, дополнительный курс математики в специализированном или факультативном компоненте их профиля для студентов, уже изучающих математику B.Школы не обязаны предлагать курс математики D.
Среднее образование заканчивается выпускным экзаменом по каждому предмету. По большинству предметов выпускной экзамен включает школьный экзамен и национальный экзамен; по некоторым предметам, например физическому воспитанию, можно сдать только школьные экзамены. Школьный экзамен готовится отдельной школой и проводится в последний учебный год или годы. Тесты могут быть письменными, устными и практическими. Национальный выпускной экзамен является одинаковым для всех школ определенного типа и проводится одновременно во всех школах.Итоговая оценка учащегося по предмету — это средняя оценка школьных и национальных экзаменов. В Приложениях C, D и E показаны примеры экзаменационных заданий по различным курсам математики. Эти задания иллюстрируют существенные различия между курсами математики.
Национальные выпускные экзамены в Нидерландах разрабатываются Cito под контролем CvTE. В программе неполного среднего образования (VMBO) есть три национальных выпускных экзамена по математике, различающихся по уровню.Эти экзамены существуют как в бумажной, так и в компьютерной версиях. На направлениях высшего среднего образования (HAVO и VWO), как упоминалось ранее, есть национальные выпускные экзамены по математике по математике A, B и C для каждого школьного уровня. Математика D проходит только школьный экзамен. Все экзамены проводятся исключительно на бумажных носителях.
Для среднего образования существуют также системы мониторинга и оценки по математике. Примером такой системы является система среднего образования Cito Monitoring.Эта система содержит четыре теста, которые можно проводить в течение первых трех лет среднего образования. Учащиеся могут оцениваться по вертикальной приравненной шкале (Béguin & Ehren, 2010). Школы должны контролировать успеваемость учащихся стандартизированным образом, но могут выбирать (или разрабатывать) свою собственную систему тестов. В дополнение к этим стандартным тестам в средних школах используются, как и в начальных школах, другие тесты, например, подготовленные учителем.
Курсы — математика
Нажмите, чтобы открыть PDF

Номер курса: MATH 1
Pre-Calculus
Units: 4
Class: 4-часовая лекция (GR)
Предварительные требования: Math 203 или 211D
Допускается зачет CSU, UC
Описание: Подготовка к математической последовательности или другим курсам, требующим хорошей алгебраической подготовки: неравенства, теория уравнений, последовательности и ряды, матрицы, функции и отношения, а также логарифмические и экспоненциальные функции; понятие функции используется как объединяющее понятие.1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 2
Precalculus with Analytic Geometry
Units: 5
Class: 5-часовая лекция (GR)
Предварительные требования: Math 50 или 52C
Допускается зачет CSU, UC
Описание: Продвинутая алгебра и аналитическая геометрия: линейные, квадратичные, полиномиальные, рациональные, экспоненциальные, логарифмические и обратные функции; определители, матрицы и линейные системы; нули многочленов, арифметические и геометрические последовательности, математическая индукция; перестановки и комбинации, биномиальная теорема; векторы, конические сечения, перемещение и вращение осей, полярные координаты, линии и поверхности в пространстве и квадратичные поверхности.1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 3A
Calculus I
Единицы: 5
Класс: 5-часовая лекция (GR)
Предварительные требования: Math 2; или Math 1, и 50 или 52C
Допускается зачисление: CSU, UC
Описание: Теоремы о пределах и непрерывных функциях, производных, дифференциалах и приложениях: основные теоремы исчисления и приложений; свойства экспоненциальных, логарифмических и обратных тригонометрических функций, а также гиперболических функций.1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 3B
Calculus II
Единицы: 5
Класс: 5 часов лекций (GR)
Предварительные требования: Математика 3A
Допускается зачетный курс CSU:
Описание: Приложения определенного интеграла: методы интегрирования, полярные координаты, параметрические уравнения, бесконечные и степенные ряды. 1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 3C
Calculus III
Единицы: 5
Класс: 5 часов лекций (GR)
Предварительные требования: Математика 3B
Допускается зачетный курс CSU:
Описание: Частичное дифференцирование: якобианы, преобразования, множественные интегралы, теоремы Грина и Стокса, дифференциальные формы, векторы и векторные функции, геометрические координаты и векторное исчисление.1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 3D
Линейная алгебра и дифференциальные уравнения
Единицы: 5
Класс: 5 часов лекции (GR)
Предварительные требования: Math 3B
Math 3D эквивалентен Math 3D 3E плюс 3F.
Не предоставляется зачет для студентов, которые завершили или в настоящее время обучаются по математике 3E или 3F.
Приемлемо для кредита: CSU, UC
Описание: Линейная алгебра и дифференциальные уравнения: обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения первого и второго порядка, однородные линейные дифференциальные уравнения, неоднородные линейные дифференциальные уравнения, метод решений с преобразованием Лапласа, бесконечные серии решений и системы линейных дифференциальных уравнений.1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 13
Введение в статистику
Единицы: 4
Класс: 4 часа лекции (GR)
Предварительные требования: Математика 203 или 211D
Допускается зачет: CSU, UC
Описание: Введение в теорию и практику статистики: Сбор данных: выборочные, наблюдательные и экспериментальные исследования. Организация данных: одномерные и двумерные таблицы и графики, гистограммы.Описание данных: меры местоположения, распространения и корреляции. Теория: вероятность, случайные величины, биномиальные и нормальные распределения. Делаем выводы на основе данных: доверительные интервалы, проверка гипотез, z-тесты, t-тесты и тесты хи-квадрат; односторонний дисперсионный анализ. Регрессионные и непараметрические методы. 1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 15
Математика для студентов, изучающих гуманитарные науки
Единицы: 3
Класс: 3-х часовая лекция (GR)
Предварительные требования: Математика 203 или 211D
Допускается зачет : CSU, UC
Описание: Фундаментальные идеи, лежащие в основе современной математики: элементы логики, множеств и систем счисления; понятия элементарной алгебры, геометрии, топологии и комбинаторики.1701.00
AA / AS область 4b; Зона ЧСУ В4

Номер курса: MATH 16A
Расчет для бизнеса и жизни / социальных наук
Единицы: 3
Класс: 3 часа лекции (GR)
Предварительные требования: Математика 1 или 2
Принимается за кредит: CSU, UC
Описание: Введение в аналитическую геометрию и дифференциальное и интегральное исчисление алгебраических функций с особым вниманием к простым приложениям.1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 16B
Calculus For Business and Life / Social Sciences
Units: 3
Class: 3-часовая лекция (GR)
Предварительные требования: Math 16A или 3A
Допускается зачисление: CSU, UC
Описание: Продолжение дифференциального и интегрального исчисления: трансцендентные функции, методы интегрирования, частичное дифференцирование и множественное интегрирование с особым вниманием к приложениям.1701.00
AA / AS область 4b; CSU область B4; IGETC area 2

Номер курса: MATH 48NA-TZ
Избранные темы по математике
Единицы: .5-5
Класс: Лекция 0-5 часов, лаборатория 0-15 часов (GR или P / NP)
Допускается зачисление: CSU
Описание: См. Раздел «Избранные темы». 1701,00

Номер курса: MATH 49
Независимое изучение математики
Единицы: .5-5
Класс: (GR)
Изучение курса по этому разделу может быть повторено три раза, максимум 5 единиц.
Допускается зачисление: CSU
Описание: См. Раздел о независимом исследовании. 1701,00

Номер курса: MATH 50
Тригонометрия
Единицы: 3
Класс: 3-х часовая лекция (GR)
Предварительные требования: Математика 202 и 203 или 211D
Невозможно зачислить студенты, которые закончили или в настоящее время обучаются по математике 52ABC.
Допускается зачисление: CSU
Описание: Введение в функциональную тригонометрию: основные определения, тождества, графики, обратные функции, тригонометрические уравнения и приложения, решение треугольников и приложения, полярные координаты, комплексные числа и теорема Де Муавра. 1701.00
AA / AS область 4b; Зона ЧСУ В4

Номер курса: MATH 113
Математический семинар по статистике
Единицы: 1
Класс: 1-часовая лекция (P / NP)
Предварительные требования: Математика 203 или 211D
Рекомендуемая подготовка: Математика 13 (рекомендуется заниматься одновременно)
Принимается за кредит: CSU
Описание: Укрепление навыков решения задач в статистике: Практикум по решению рутинных задач, связанных с теорией и практикой статистики; Сбор данных: выборочные, наблюдательные и экспериментальные исследования; Организация данных: одномерные и двумерные в таблицы и графики, гистограммы; Описание данных: меры местоположения, распространения и корреляции; Теория: вероятность, случайные величины, биномиальное и нормальное распределение; Делаем выводы на основе данных: доверительные интервалы, проверка гипотез, z-тесты, t-тесты и тесты хи-квадрат, односторонний дисперсионный анализ; и регрессионные и непараметрические методы.1701,00

Номер курса: MATH 201
Элементарная алгебра
Единицы: 4
Класс: 5 часов лекции (GR)
Предварительные требования: Математика 225 или 250 или 251D или 253 или соответствующее размещение через Многократное оценивание
Не подлежит зачету учащимся, которые завершили или в настоящее время обучаются по математике 210ABCD.
Описание: Основные алгебраические операции: линейные уравнения и неравенства, отношения и функции, факторизация квадратичных многочленов, решение квадратных уравнений, дроби, радикалы и показатели степени, задачи со словами, построение графиков и системы счисления.1701,00

Номер курса: MATH 202
Геометрия
Единицы: 3
Класс: 3-х часовая лекция (GR)
Предварительные требования: Математика 201 или 210D или соответствующее размещение с помощью оценки по нескольким критериям
Описание: Введение в геометрию плоскости с упором на математическую логику и доказательства: геометрические конструкции, совпадающие треугольники, параллельные линии и параллелограммы, пропорции, похожие треугольники, круги, многоугольники и площади.1701.00
AA / AS зона 4b

Номер курса: МАТЕМАТИКА 203
Промежуточная алгебра
Единицы: 4
Класс: 5-часовая лекция (GR)
Предварительные требования: Математика 201 или 210D или соответствующее размещение с помощью оценки по нескольким критериям
Рекомендуемая подготовка: Математика 202
Не подлежит зачету учащимся, которые завершили или в настоящее время обучаются по математике 211ABCD.
Право на зачет по экзамену.
Описание: Промежуточные алгебраические операции: свойства и операции с вещественными числами; решения и графики линейных уравнений с одной и двумя переменными; уравнения абсолютных значений; расширенный факторинг; комплексные числа; квадратные уравнения и системы квадратных уравнений; коники; детерминанты; решения и графики первой степени, квадратичных и рациональных неравенств; экспоненциальные и логарифмические функции; и последовательности и серии. 1701.00
AA / AS зона 4b

Номер курса: MATH 248NA-TZ
Избранные темы по математике
Единицы: .5-5
Класс: 0-5 часов лекций, 0-15 часов лабораторных (GR или P / NP)
Описание: См. Раздел «Избранные темы». 1701,00

Номер курса: MATH 250
Арифметика
Единицы: 3
Класс: 3-х часовая лекция (GR)
Не подлежит зачету для студентов, которые завершили или одновременно обучаются по математике 251ABCD.
Без степени
Описание: Курс повышения квалификации по основам арифметики: целые числа, дроби, десятичные дроби и проценты; метрическая система введена и включена во все арифметические материалы.4930,41

Номер курса: MATH 253
Pre-Algebra
Единицы: 3
Класс: 3-х часовая лекция (GR)
Рекомендуемая подготовка: Math 250 или 251D или подходящее размещение с помощью оценки по нескольким критериям
Без степени
Описание: Основы преалгебры: свойства действительных чисел, факторинг и кратные, соотношение и пропорции, числа со знаком, линейные уравнения и формулы, степени и корни, проценты и средние, а также английские и метрические измерения .4930,41

Номер курса: MATH 270
Математический семинар по арифметике
Единицы: 1
Класс: 1-часовая лекция (P / NP)
Рекомендуемая подготовка: Math 250 (рекомендуется проходить одновременно)
Без степени
Описание: Укрепление навыков решения задач в арифметике: Практикум по решению рутинных задач, связанных с целыми числами и арифметическими операциями, дробями, десятичными знаками, отношениями, пропорциями, процентами, измерениями и шкалами, интерпретациями обозначений, и простые уравнения и формулы.4930,41

Номер курса: MATH 271
Math Workshop for Pre-Algebra
Units: 1
Class: 1-часовая лекция (P / NP)
Рекомендуемая подготовка: Math 250 или 251D или подходящее размещение через несколько -оценка мер; и математика 253 (рекомендуется принимать одновременно)
Без степени
Описание: Укрепление навыков решения задач в преалгебре: Практикум по решению рутинных задач, связанных с действительными числами, факторингом и умножением, соотношением и пропорцией, со знаком числа, линейные уравнения и формулы, степени и корни, проценты и средние значения, а также английские и метрические измерения.4930,41

Номер курса: MATH 272
Математический семинар по элементарной алгебре
Единицы: 1
Класс: 1-часовая лекция (P / NP)
Предварительные требования: Math 250 или 251D или 225 или 253 или соответствующее размещение через оценку по нескольким критериям
Рекомендуемая подготовка: Математика 201 (рекомендуется выполнять одновременно)
Без степени
Описание: Укрепление навыков решения проблем в элементарной алгебре: Практикум по решению рутинных задач с основными алгебраическими операциями, линейными уравнениями и неравенствами, отношениями и функциями, факторизацией квадратных многочленов, решением квадратных уравнений, дробей, радикалами и показателями, задачами со словами, а также графическими и числовыми системами.1701,00

Номер курса: MATH 273
Математический семинар для промежуточной алгебры
Единицы: 1
Класс: 1-часовая лекция (P / NP)
Предварительные требования: Математика 201 или 210D или соответствующее размещение через оценку по нескольким критериям
Рекомендуемая подготовка: Математика 202; и математика 203 (рекомендуется принимать одновременно)
Применимо без степени
Описание: Укрепление навыков решения задач в промежуточной алгебре: Практикум по решению рутинных задач, связанных со свойствами и операциями вещественных чисел, решениями и графиками линейных уравнений в одна и две переменные; уравнения абсолютных значений, расширенный факторинг, комплексные числа, квадратные уравнения и системы квадратных уравнений, конические сечения, определители; решения и графики первой степени, квадратичных и рациональных неравенств; экспоненциальные и логарифмические функции, а также последовательности и ряды.1701,00

Номер курса: MATH 348NA-TZ
Избранные темы математики
Единицы: .5-5
Класс: Лекция 0-5 часов, лаборатория 0-15 часов (GR или P / NP)
Без степени
Описание: См. Раздел «Избранные темы». 4930,40
Контрольный зачет по математике
| Кафедра математики
Кузов
ВНИМАНИЕ! Если вы поступили на осенний семестр 2021 года, тест теперь доступен.Пожалуйста, найдите ссылку на свой тест прямо через Buckeyelink. Если тест на размещение находится в вашем списке дел, вы должны пройти онлайн-тест до ориентации. Если академический консультант в вашей программе заявил, что вам больше не нужен тест, , пожалуйста, проигнорируйте приглашение , и он автоматически выпадет из вашего списка дел в начале семестра. Для удаления подсказки не требуется дальнейших контактов с математическими советами.
Онлайн-тест по математике — важный инструмент, который определяет начальный уровень успеваемости учащегося на курсах математики и естествознания.За тест не выдается никаких зачетных единиц, но он может удовлетворить базовые математические навыки, необходимые для общего образования. Во время ознакомительной академической консультации консультанты используют уровень размещения, чтобы определить, с какой последовательности курса математики студенты должны начать в течение первого семестра в штате Огайо. Распределительные тесты других учебных заведений не используются вместо установочного теста OSU по математике.
Часто задаваемые вопросы
Внимательно прочтите — здесь вы найдете ответы на свои вопросы.
Я потерял ссылку на тест. Могу я запросить ссылку?
Когда вы будете готовы пройти тест, войдите в систему со своим именем пользователя и паролем штата Огайо здесь.
Можно ли удалить подсказку о тестировании из моего списка дел?
№ Не обращайтесь за консультациями по математике, потому что мы не контролируем подсказки Buckeyelink. Если научный руководитель вашей программы определил, что вам больше не нужен тест, подсказка будет отображаться до тех пор, пока она не исчезнет автоматически в начале семестра.
Могу ли я пересдать тест по математике?
Вступительный тест по математике — это одноразовый тест с баллами , действительный в течение 5 лет . Запросы на повторную сдачу теста, скорее всего, будут отклонены. Отсутствие подготовки к тесту не является основанием для повторной сдачи теста. Пожалуйста, внимательно просмотрите тест и пройдите тест в тихом месте с хорошим подключением к Интернету. Если с момента последней попытки тестирования прошло более 5 лет, напишите письмо на mathadvisors @ math.osu.edu для сброса.
Какой тест по математике?
Существует две версии 75-минутного веб-теста: B-тест (арифметика, алгебра и геометрия) и D-тест (предварительное исчисление). Когда учащиеся входят в систему тестирования, компьютер автоматически выбирает правильный тест для учащихся на основе их наивысшего квалификационного балла ACT / SAT или теста B по умолчанию, если вы не отправили стандартизированный тестовый балл. Если вы поступаете на первый курс или переезжаете, ваш уровень теста по математике уже установлен в базе данных через приемную комиссию. Пройдите назначенный вам тест.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: Студенты , набравшие достаточно высокие баллы на тесте B , автоматически получат компьютеризированное приглашение на пройти тест D по математике , что может привести к более высокому уровню размещения. Если вы не получили предложение продолжить тестирование, значит, вы не прошли тест D. Ваше тестирование завершено.
Ege Mat Profile.Подготовка к экзамену по математике (профильный уровень): задания, решения и пояснения
Среднее общее образование
Линия Укк Г. К. Моравина. Алгебра и начало математического анализа (10-11) (угл.)
Линия Мерзляк. Алгебра и стартовый анализ (10-11) (у)
Математика
Разбираем задачи и решаем примеры с преподавателем
Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).
Минимальный порог — 27 баллов.
Экзаменационная работа состоит из двух частей, различающихся по содержанию, сложности и количеству заданий.
Отличительной чертой каждой части работы является форма задач:
часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
часть 2 содержит 4 задачи (задачи 9-12) с кратким ответом в виде целой или конечной десятичной дроби и 7 задач (задачи 13-19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий) .
Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:
«Для получения школьного аттестата выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена. Один из которых — математика.В соответствии с концепцией развития математического образования в Российской Федерации Эге по математике делится на два уровня: базовый и профильный.Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня.«
Задание № 1. — проверяет у участников экзамена навыки применения навыков, полученных в ходе 5 — 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональные числа, Чтобы иметь возможность округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие
Пример 1. В квартире, где живет Петр, установлен прибор учета расхода холодной воды (счетчик).1 мая счетчик показал расход 172 кубометра. м воды, а на первое июня — 177 кубометров. Какую сумму должен заплатить Питер за холодную воду на май, если цена 1 куб. C холодной водой 34 рубля 17 копеек? Дайте ответ в рублях.
Решение:
1) Находим количество воды, потраченной за месяц:
177 — 172 = 5 (м.куб.)
2) Найдем сколько денег заплатят за израсходованную воду:
34.17,5 = 170,85 (руб)
Ответ: 170,85.
Задание №2. — Это одно из самых простых заданий ЕГЭ. С ним успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении понятием функции. Тип задания № 2 кодификатора требований — это задание на использование полученных знаний и навыков в практической деятельности и повседневной жизни. Задача № 2 состоит из описания с использованием функций различных фактических зависимостей между значениями и интерпретации их графиков.Задача № 2 проверяет возможность извлечения информации, представленной в таблицах в диаграммах, диаграммах. Выпускникам необходимо уметь определять значение функции по значению аргумента при различных методах настройки функции и описывать поведение и свойства функции в соответствии с ее графиками. Также необходимо уметь находить наибольшую функцию на расписании или наименьшее значение и строить графики изучаемых функций. Допустимые ошибки случайны при чтении условий задания, чтении таблицы.
# Advertising_insert #
Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одного продвижения горнодобывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрел 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько бизнесменов потеряли в результате этих операций?

Решение:
2) 1000 · 3/4 = 750 (долей) — это 3/4 всех приобретаемых долей.
6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) — предприниматель получил после продажи 1000 акций.
7) 340000 — 325000 = 15000 (руб) — Утерянный бизнесмен в результате всех операций.
Ответ: 15000.
Задание № 3. — Является ли задание базового уровня первой частью, проверяет умение выполнять действия с геометрическими фигурами Согласно содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусы углов, вычислять периметры и т. Д.
Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером ячейки 1 см на 1 см (см. Рис.). Ответьте в квадратных сантиметрах.
Решение: Для расчета площади этой цифры можно использовать формулу пика:
Для расчета площади этого прямоугольника воспользуемся формулой пика:
где B = 10, r = 6, поэтому
Ответ: 20.

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ: ЕГЭ по физике: решение задач о флуктуациях

Задача № 4. — Задание по курсу «Теория вероятностей и статистика». Проверено умение рассчитывать вероятность события в простейшей ситуации.
Пример 4. На круге отмечены 5 красных и 1 синяя точки. Определите, каких многоугольников больше: те, у которых все вершины красные, или те, у которых одна из вершин синего цвета. В ответ укажите на сколько больше других.
Решение: 1) Воспользуемся формулой количества комбинаций из n. Элементы в к. :
у которых все вершины красные.
3) Один пятиугольник, у которого все вершины, красный.
4) 10 + 5 + 1 = 16 полигонов, у которых все вершины красные.
, в котором вершины красные или с одной синей вершиной.
, в котором вершины красные или с одной синей вершиной.
8) Один шестиугольник, вершины которого красные с одной синей вершиной.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоугольника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.
10) 42 — 16 = 26 полигонов, в которых используется синяя точка.
11) 26 — 16 = 10 полигонов — до полигонов, у которых одна из вершин — синяя точка, больше полигонов, у которых все вершины только красные.
Ответ: 10.
Задание № 5. — Базовый уровень первой части проверяет умение решать простейшие уравнения (иррациональные, ориентировочные, тригонометрические, логарифмические).
Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x. = 0,4 · 5 3 + х. .
Решение. Мы разделили обе части этого уравнения 5 3 + h. ≠ 0, получаем

2 3 + х. = 0,4 или 2 3 + ч. знак равно 2 ,
5 3 + ч. 5 5
откуда следует, что 3 + x. = 1, х. = –2.
Ответ: –2.
Задание № 6. Планиметром найти геометрические значения (длины, углы, квадраты), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Изучение построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей, как правило, является незнание или неправильное применение необходимых теорем планиметров.
Площадь треугольника ABC равна 129. DE. — средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите квадрат трапеции Abed. .

Решение. Треугольник CDE Как треугольник Кабина. на два угла, так как угол вверху C. Общий, угол SDE равен углу Cab. как соответствующие углы с DE. || AB Продажа AC . Как DE. — средняя линия треугольника по условию, затем по средней линии свойств | DE. = (1/2) AB . Следовательно, коэффициент подобия равен 0,5. Квадрат таких фигур включает в себя квадрат отношения сходства, поэтому
Следовательно, S Abed. = S. Δ ABC — S. Δ CDE = 129 — 32,25 = 96,75.
Задача № 7. — Проверяет использование производной для изучения функции. Для успешной реализации необходимо иметь осмысленное, а не формальное владение концепцией производного инструмента.
Пример 7. Чтобы построить график г. = ф. ( x. ) в точке с абсциссой x. 0 проводился по касательной, перпендикулярной прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; -1) этого расписания. Найдите f. ′ ( х. 0).
Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямого прохождения через две точки И найдем уравнение прямого прохождения через точки (4; 3) и (3; -1).
( y. — y. 1) ( x. 2 — x. 1) = ( x. — x. 1) ( y. 2 — y. 1)
( г. — 3) (3 — 4) = ( x. — 4) (- 1 — 3)
( г. — 3) (- 1) = ( x. — 4) (- 4)
— г. + 3 = –4 x. + 16 | · (-Один)
г. — 3 = 4 х. — 16
г. = 4 х. — 13, где к. 1 = 4.
2) найти тангенциальный угловой коэффициент k. 2, которая перпендикулярна прямой y. = 4 х. — 13, где к. 1 = 4, по формуле:
3) Угловой коэффициент касательной — производная функция в точке касания. Значит ф. ′ ( x. 0) = k. 2 = –0,25.
Ответ: –0,25.
Задача № 8. — Проверяет участников экзамена на знание элементарной стереометрии, умение применять формулы для нахождения поверхностей поверхностей и объемов фигур, углов Дуграни, сравнивать объемы таких фигур, уметь выполнять действия с геометрические фигуры, координаты и векторы и т. д.
Объем куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) В. Куба =. а. 3 (где , но — длина ребра Кубы), поэтому
, но 3 = 216
, но = 3 √216
2) поскольку сфера записана в кубе, это означает, что длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d. = а. , г. = 6, г. = 2 пр. , пр. = 6: 2 = 3.
Задание № 9. — требуется дипломное преобразование и упрощение навыков алгебраических выражений.Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задачи из раздела «Расчеты и преобразования» в УО делятся на несколько типов:
преобразование числовых рациональных выражений;
преобразований алгебраических выражений и дробей;
преобразование числовых / буквенных иррациональных выражений;
действие с градусами;
преобразование логарифмических выражений;
преобразование числовых / буквенных тригонометрических выражений.
Пример 9. Вычислить TGα, если известно, что cos2α = 0,6 и
Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α — 1 и находим
ТГ 2 α = 1 — 1 = 1 — 1 = 10 — 1 = 5 — 1 = 1 1 — 1 = 1 = 0,25.
COS 2 α. 0,8 8 4 4 4
Итак, ТГ 2 α = ± 0,5.
3) по условию
Итак, α — это угол II королевы и TGα
Ответ: –0,5.
# Advertising_insert # Задание № 10. — Проверяет способность учащихся использовать полученные ранее знания и навыки в практической деятельности и повседневной жизни.Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и значения приведены в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения либо линейного или квадратного неравенства. Следовательно, необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства и определять ответ. Ответ должен быть в виде целой или конечной десятичной дроби.
Масса двух тел м. = по 2 кг, движущиеся с одинаковой скоростью v. = 10 м / с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом столкновении, определяется выражением Q. = мВ 2 SIN 2 α. На какой меньший угол 2α (в градусах) должно двигаться тело, чтобы в результате столкновения было видно не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи необходимо решить неравенство q ≥ 50 на интервале 2α ∈ (0 °; 180 °).
мВ 2 SIN 2 α ≥ 50
2 · 10 2 SIN 2 α ≥ 50
200 · SIN 2 α ≥ 50
Поскольку α ∈ (0 °; 90 °), мы решим только
Я изображу решение о неравенстве графически:

Так как по условию α ∈ (0 °; 90 °) это означает 30 ° ≤ α
Задача № 11. — Типично, но студентам оказывается сложно. Основной источник трудностей — построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задания.
Пример 11. На весенних каникулах 11-класснику Васе для подготовки к ЕГЭ было решено 560 учебных заданий. 18 марта, в последний учебный день, Вася решил 5 заданий. В следующий день он решил на столько же задач больше, чем в предыдущий день. Определите, сколько задач решил Вася 2 апреля в последний день отпуска.
Решение: Обозначить а. 1 = 5 — количество задач, которые решил Вася 18 марта г. — Ежедневное количество решаемых задач Вася, n. = 16 — количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, с. 16 = 560 — общее количество задач, а. 16 — количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на такое же количество задач больше, чем в предыдущий день, то можно использовать формулы суммированной арифметической прогрессии:
560 = (5 + а. 16) · 8,
5 + а. 16 = 560: 8,
5 + а. 16 = 70,
а. 16 = 70 — 5
а. 16 = 65.
Ответ: 65.
Задание № 12. — Проверить у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производные к изучению функции.
Найдите точку максимума г. = 10LN ( х. + 9) — 10 х. + 1.
Решение: 1) Найдите область определения функции: x. + 9> 0, х. > -9, то есть x ∈ (-9; ∞).
2) Найдите производную функцию:
4) Найденная точка принадлежит промежутку (-9; ∞). Определяем знаки производной функции и изображаем поведение функции:

Желаемая точка максимума х. = –8.
Скачать бесплатно Рабочую программу по математике на линию УМК Г.К. Муравина, К.С. Маравина, О. Зарядка 10-11 Скачать бесплатно уроки по алгебре

Задача № 13. — Уровень сложности Мудак с развернутым ответом, который проверяет возможность решения уравнений, наиболее успешно решенных среди задач с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
a) решить уравнение 2Log 3 2 (2cos x. ) — 5log 3 (2cos x. ) + 2 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
Решение: a) Пусть Log 3 (2COS x. ) = t. , затем 2 т. 2 — 5 т. + 2 = 0,

Журнал 3 (2COS x. ) = 2 ⇔
2cos. х. = 9 ⇔
кос. х. = 4,5 ⇔ T.K. | Cos. х. | ≤ 1,
Журнал 3 (2COS x. ) = 1 2cos. х. = √3 кос. х. = √3
2 2

х. = π + 2π. к.
6
х. = — π + 2π. к. , к. ∈ З.
6
б) Найдем корни, лежащие на отрезке.

Из рисунка видно, что указанный отрезок принадлежит корням
Ответ: а) π + 2π. к. ; — π + 2π. к. , к. ∈ Z. ; б) 11π. ; 13π. .
6 6 6 6
Задача № 14. -Уровень уровня относится к задачам второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умение выполнять действия с геометрическими фигурами.Задание содержит два пункта. В первом пункте задача должна быть доказана, а во втором пункте — рассчитана.
Диаметр основания основания цилиндра 20, образующего цилиндра 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длиной 12 и 16. Расстояние между хордами 2√197.
а) Докажите, что центры основания цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и базовой плоскостью цилиндра.
Решение: а) длина хорды 12 находится на расстоянии = 8 от центра основания основания, а длина хорды 16, аналогично, находится на расстоянии 6.Следовательно, расстояние между их выступами на плоскости, параллельной основаниям цилиндров, равно либо 8 + 6 = 14, либо 8-6 = 2.
Тогда расстояние между хордами равно
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
По условию был реализован второй случай, в нем проекции поясов лежат по одну сторону от оси цилиндра. Итак, ось не пересекает эту плоскость внутри цилиндра, то есть основания лежат с одной стороны от него.Что требовалось доказать.
б) Обозначим центры оснований для 1 и 2. Проведем от центра основания с длиной хорды 12 середины перпендикулярно этой хорде (она имеет длину 8, как уже отмечалось) и от центр другой базы — к другому аккорду. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды b, большей A и проекцию A на вторую основу — h (h ∈ β). Тогда AB, ah ∈ β и затем AB, AH, перпендикулярные хорде, т. Е. Прямое пересечение основания с этой плоскостью.
Итак, искомый угол равен
.
abh = Arctg. хиджры. = Arctg. 28 год = arctg14.
Bh. 8–6
Задача № 15. — Повышенная сложность с развернутым ответом, проверяет возможность решения неравенств, наиболее удачно решаемая среди задач с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
Пример 15. Определить неравенство | х. 2-3 х. | · Журнал 2 ( x. + 1) ≤ 3 x. — х. 2.
Решение: Область определения этого неравенства — интервал (-1; + ∞). Рассмотрим отдельно три случая:
1) Пусть х. 2-3 х. = 0, т.е. ч. = 0 или ч. = 3. В этом случае это неравенство превращается в верное, следовательно, в решение входят эти значения.
2) Пусть сейчас х. 2-3 х. > 0, т.е. х. ∈ (-1; 0) ∪ (3; + ∞). В этом случае это неравенство можно переписать в виде ( x. 2 — 3 x. ) · Log 2 ( x. + 1) ≤ 3 x. — х. 2 и делится на положительное выражение x. 2-3 х. . Получаем Log 2 ( x. + 1) ≤ –1, x. + 1 ≤ 2 –1, x. ≤ 0,5 -1 или X. ≤ -0,5. Учитывая поле определения, имеем x. ∈ (–1; –0,5].
3) Наконец, рассмотрим x. 2-3 х. х. ∈ (0; 3). В этом случае исходное неравенство перепишется в виде (3 x. — x. 2) · Log 2 ( x. + 1) ≤ 3 x. — х. 2. После деления положительного выражения 3 x. — х. 2, получаем Log 2 ( x. + 1) ≤ 1, x. + 1 ≤ 2, х. ≤ 1. Учитывая площадь, получаем x. ∈ (0; 1].
Объединяя полученные решения, получаем х. ∈ (–1; –0,5] ∪ ∪ {3}.
Ответ: (–1; –0,5] ∪ ∪ {3}.
Задача № 16. — Повышенный уровень относится к задачам второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задача должна быть доказана, а во втором пункте — рассчитана.
В одинаково торгуемом треугольнике ABC с углом 120 ° при вершине A проведена биссектриса BD.Прямоугольник DEFH вписан в треугольник ABC, так что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке ab. а) Докажите, что fh = 2dh. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Решение: а)

1) ΔBef прямоугольная, EF⊥BC, ∠B = (180 ° — 120 °): 2 = 30 °, то EF = BE по свойству категории угла 30 °.
2) Пусть EF = DH = x. , тогда будет = 2 x., Bf =. х. √3 по теореме Пифагора.
3) Поскольку получено ΔABC, значит, ∠b = ∠c = 30˚.
BD — биссектриса B, значит ∠abd = ∠dbc = 15˚.
4) Рассмотрим Δdbh — прямоугольный, потому что DH⊥BC.
2 х. = 4-2 х.
2 х. (√3 + 1) 4
√3 — 1 = 2 — х.
х. = 3 — √3
EF = 3 — √3
2) S. DEFH = ED · EF = (3 — √3) · 2 (3 — √3)
S. DEFH = 24 — 12√3.
Ответ: 24 — 12√3.

Задание № 17. — Задание с развернутым ответом, данное задание проверяет использование знаний и навыков в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это текстовое задание с экономическим содержанием.
Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть сроком на четыре года. В конце каждого года Банк увеличивает размер взноса на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвертого года вкладчик ежегодно пополняет вклад до ч. млн руб., Из них л. — весь номер . Найдите наибольшее значение ч. , в котором банку будет начислено менее 17 млн рублей за четыре года.
Решение: По итогам первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн руб., А по окончании второго — 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн руб. В начале третьего года вклад (в млн руб.) Составит (24,2 + ч. ), а в конце — (24,2 + х) + (24,2 + х ) · 0,1 = (26,62 + 1,1 ч. ). В начале четвертого года размер взноса составит (26,62 + 2.1 х) , а в конце — (26,62 + 2,1 ч. ) + (26,62 + 2,1 ч. ) · 0,1 = (29,282 + 2,31 ч. ). При выполнении условия необходимо найти наибольшее целое число, для которого выполняется неравенство
(29,282 + 2,31 х. ) — 20-2 х.
29,282 + 2,31 х. — 20 — 2 х.
0,31 х.
0,31 х.
Наибольшее решение этого неравенства — число 24.
Ответ: 24.

Задание № 18. — Задание повышенной сложности с развернутым ответом. Данное задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задача высокого уровня сложности — это задача не об использовании одного метода решения, а о сочетании различных методов. Для успешного выполнения задания 18, кроме длительных математических знаний, еще и высокий уровень математической культуры.
С любым a. Система неравенств
х. 2 + г. 2 ≤ 2 год. — а. 2 + 1
г. + а. ≤ | х. | — а.
имеет ровно два решения?
Решение: Эту систему можно переписать как
х. 2 + ( г. — г. ) 2 ≤ 1
г. ≤ | х. | — а.
Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, то получится внутренняя часть круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, , но ). Многие решения второго неравенства — часть плоскости, лежащая под графиком функции y. = | х. | — а. , г. и последняя функция расписания
у. = | х. | сместился на , но на . Решение этой системы является пересечением множеств решений каждого из неравенств.
Следовательно, два решения эта система будет иметь только в случае, изображенном на рис. 1.

Обведите точки касания с прямыми и будут двумя решениями системы.Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45 °. Итак, треугольник Pqr. — Получен прямоугольный. Точка Q. имеет координаты (0, , но ), а точка R. — координаты (0, — , но ). Кроме того, отрезки Пр. и PQ. равняется радиусу окружности равному 1. Итак
QR = 2 a. = √2, а. = √2 .
2

Задание № 19. — Задание повышенной сложности с подробным ответом. Данное задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задача высокого уровня сложности — это задача применить не один метод решения, а комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задачи 19 необходимо уметь искать решения, выбирая различные подходы из числа известных путем модификации изучаемых методов.
Пусть будет SN. сумма p членов арифметической прогрессии ( a P. ). Известно, что S N. + 1 = 2 n. 2-21 п. — 23.
а) укажите формулу р — член данной прогрессии.
б) Найдите наименьшую сумму в модуле S N. .
c) найти наименьшее p , в котором S N. Это будет квадрат целого числа.
Решение : a) очевидно a N. = S N. — S N. — один. Используя эту формулу, получаем:
S N. = S. ( n. — 1) + 1 = 2 ( n. — 1) 2 — 21 ( n. — 1) — 23 = 2 n. 2-25 п. ,
S N. — 1 = S. ( n. — 2) + 1 = 2 ( n. — 1) 2 — 21 ( n. — 2) — 23 = 2 n . 2-25 п. + 27
означает a N. = 2 n. 2-25 п. — (2 n. 2-29 n. + 27) = 4 n. — 27.
B) начиная с S N. = 2 n. 2-25 п. , затем рассмотрим функцию S. ( x. ) = | 2 х. 2 — 25 x | . Его график можно увидеть на картинке.

Очевидно, наименьшее значение достигается в целых точках, расположенных ближе всего к нулю функции. Очевидно, это точки ч. = 1, ч. = 12 я. ч. = 13. Поскольку S. (1) = | S. 1 | = | 2 — 25 | = 23, С. (12) = | S. 12 | = | 2 · 144 — 25 · 12 | = 12, С. (13) = | S. 13 | = | 2 · 169 — 25 · 13 | = 13, тогда наименьшее значение — 12.
c) из предыдущего пункта означает, что SN. Положительный, начиная с n. = 13. Так как S N. = 2 n. 2-25 п. = п. (2 n. -25), то очевидный случай, когда это выражение представляет собой полный квадрат, реализуется на n. = 2 п. — 25, то есть при p = 25.
Осталось проверить значения от 13 до 25:
S. 13 = 13 · 1, S. 14 = 14 · 3, S. 15 = 15 · 5, S. 16 = 16 · 7, S. 17 = 17 · 9, с. 18 = 18 · 11, с. 19 = 19 · 13, S. 20 = 20 · 13, S. 21 = 21 · 17, S. 22 = 22 · 19, S. 23 = 23 · 21, С. 24 = 24 · 23.
Получается, что при меньших значениях p Полный квадрат не достигается.
Ответ: но) a N. = 4 n. — 27; б) 12; в) 25.
________________
* С мая 2017 года Объединенная издательская группа «Дроп-Вентана» входит в Russian Tutorial Corporation.В состав корпорации также входят издательство Astrel и цифровая образовательная платформа Lecta. Генеральный директор Александр Брыкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель проектов издательства Innovative Drop в области цифрового образования (электронные формы учебников, Российская электронная школа, платформа цифрового образования Lecta). До прихода в издательство Drop занимал должность вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям Издательского холдинга «Эксмо-АСТ».На сегодняшний день наибольший портфель учебников, включенных в федеральный список, принадлежит РАО «Российская корпорация по выпуску учебников» — 485 наименований (примерно 40% без учета учебников для коррекционной школы). Издатели корпорации принадлежат к наиболее востребованным российским школам Комплекты учебников по физике, рисованию, биологии, химии, технологии, географии, астрономии — областям знаний, которые необходимы для развития производственного потенциала страны. В портфолио корпорации — учебники и учебные пособия для начальной школы, отмеченные Премией Президента в области образования.Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и промышленного потенциала России.
На экзамене по математике профильного уровня в 2019 году нет изменений в программе экзамена, как и в предыдущие годы, составленной из материалов основных математических дисциплин. Будут представлены математические, геометрические и алгебраические задачи.
Изменения в КИМ ЕГЭ 2019 по математике нет профильного уровня.
Особенности заданий ЕГЭ по математике-2019
Осуществляя подготовку к ЕГЭ по математике (профильная), обратите внимание на основные требования экзаменационной программы. Она предназначена для проверки знаний по углубленной программе: векторные и математические модели, функции и логарифмы, алгебраические уравнения и неравенства.
Отдельно потренируйтесь решать программные задачи.
Важно проявлять не постоянство мышления.
Структура экзамена
Задания ege Profile Mathematics разделены на два блока.
Часть — Краткие ответы Сюда входят 8 заданий, проверяющих базовую математическую подготовку и умение применять знания математики в повседневной жизни.
Часть — краткая I. развернутые ответы . Он состоит из 11 задач, 4 из которых требуют краткого ответа, а 7 — развернутых с аргументацией выполненных действий.
Повышенная сложность — Задачи 9-17 второй части ким.
Высокая сложность — Задания 18-19 -. Эта часть экзаменационных заданий проверяет не только уровень математических знаний, но и наличие или отсутствие творческого подхода к решению сухих «галстуковых» задач, а также эффективность умения использовать знания и умения в качестве профессионального инструмента.
Важно! Препарат-фанетрант К.Например, теория. В математике всегда подкрепляйте решение практичностью.
Как распределить баллы
Задания первого кима ким близки к базовому уровню тестов eEE, поэтому высокий балл По ним невозможно забить.
Баллы за каждое задание по математике профильного уровня распределялись следующим образом:
за правильные ответы на задания № 11-12 — 1 балл;
№13-15-2;
№16-17 — 3;
№18-19 — по 4.
Продолжительность экзамена и правила поведения на экзамене
Для выполнения экзаменационной работы -2019 Студент зарезервирован 3 часа 55 минут (235 минут).
В это время студент не должен:
вести себя шумно;
пользоваться гаджетами и другими техническими средствами;
списать;
пытаетесь помочь другим или просите помощи для себя.
За такие действия экзаменующий может быть исключен из зала.
На госэкзамен по математике разрешено принести С собой только линейка, остальные материалы будут выданы непосредственно перед экзаменом. оформлен на месте.
Эффективная подготовка — это решение онлайн-тестов по математике 2019. Выбирайте и набирайте максимальный балл!
Оценка
две штуки в том числе 19 задач . Часть 1 Часть 2
3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы
Но можно сделать Circul Калькуляторы На экзамене не использовал .
паспорт ), проход и капилляр или! Разрешено брать с собой воды (в прозрачной бутылке) и продуктов питания
Экзаменационная работа состоит из двух частей в том числе заданий 19 . Часть 1 Содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 Моделирует 4 задачи повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 задач высокого уровня сложности с развернутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы К задачам 1-12 записываются в виде целой или конечной десятичной дроби . Цифры запишите в поле ответов в тексте работы, а затем перенесите в форму ответа No.1, выдается на ЕГЭ!
При выполнении работы можно использовать оформленные с работой. Разрешено использовать только линейку , но можно сделать Circul своими руками. Запрещается использовать инструменты со справочными материалами. Калькуляторы На экзамене не использовались .
На экзамен при себе необходимо иметь документ, удостоверяющий личность (паспорт , ), , пропуск и капиллярную или гелевую ручку с черными чернилами ! Разрешено брать с собой воды (в прозрачной бутылке) и еды (Фрукты, шоколад, булочки, бутерброды), но могут попросить оставить в коридоре.
Лучшие карьеры для людей, увлекающихся математикой: советы экспертов и ресурсы
Сегодня многие успешные карьеры связаны с числами. Числа могут не быть в центре внимания этих профессий, но они могут служить важными строительными блоками более крупного и значимого целого. Например, инженеры-механики работают с числами при проектировании и производстве всех типов простых и сложных машин. Актуарии используют числа для расчета и оценки последствий финансового риска.А экономисты анализируют и интерпретируют количественные данные, чтобы различать макро- и микроэкономические модели. Если вам нравится работать с числами, будь то постоянное вычисление или вычисление, широкий спектр профессий даст вам возможность удовлетворить ваши потребности в числах.
Подходит ли вам карьера в цифрах?
Не все профессии, связанные с числами, одинаковы. На самом деле, многие из них сильно различаются и привлекают широкий круг людей с очень разным набором навыков, черт характера и интересов.Однако есть и определенные общие черты. Люди, работающие с числами, могут обладать одним или несколькими из следующего:
Возможность рассуждений и обратных рассуждений
Рассуждение касается способности мыслить логически, используя аналитические, дедуктивные и индуктивные концепции. Обратное (или обратное рассуждение) проблемы, начиная с заявленной цели или решения, а затем возвращаясь назад, чтобы определить метод достижения этой цели.
Понимание пространственных, количественных и абстрактных отношений
Люди, которые работают с числами, должны уметь применять математические концепции помимо чисел в уравнениях или написанных на странице.
Умение думать и общаться символами
Умение понимать, применять и общаться с помощью числовых и других связанных с математикой символов — или, проще говоря, знание языка математики — очень важно.
Способность анализировать, оспаривать и критиковать свою работу и работу других.
Часть работы с числами в совместной среде — это возможность сопоставить и обосновать свои концепции и выводы.
Математическое моделирование
Работа с числами означает моделирование с помощью чисел для решения практических задач.Специалисты в области Numbers должны иметь возможность выбирать из множества математических методов для создания, анализа и пересмотра концепций моделирования.
Способность определять закономерности и структуры посредством наблюдения и анализа математических взаимосвязей.
Специалисты в области Numbers часто сталкиваются со сложными проблемами, которые требуют от них разбить проблемы на более мелкие и простые части и обнаружить лежащие в основе структуры для их решения.
Талант рисковать с математическими понятиями
Специалисты в области чисел должны уметь не только определять закономерности и структуры в математических отношениях, но и видеть за пределами этих закономерностей и структур для разработки новых концепций и стратегий.
Внимание к деталям и точность
Точность — фундаментальная необходимость в математической работе.Специалисты в области чисел должны уметь составлять точные формулы, используя как математические структуры и символы, так и письменное слово и устную речь.
Умение уверенно использовать числа и математику
Специалисты в области чисел должны иметь прочное и полезное знание основ математики.
Терпение
Терпение, о котором часто забывают, — это абсолютная необходимость для профессионалов в области чисел. Достижение успешного математического решения требует возможности исследовать и тщательно анализировать иногда большое количество разрозненных элементов.
Совокупность чисел карьеры против других
Хорошая новость для всех, кто интересуется карьерой, связанной с числами, — это то, что есть много вакансий, которые хорошо оплачиваются.Ни для кого не секрет, что выпускники со степенями, связанными с STEM, сегодня пользуются большим спросом и, как ожидается, будут оставаться востребованными в ближайшие годы. Высокий спрос на людей, которые работают с числами, приводит к более высоким зарплатам. Приведенная ниже диаграмма иллюстрирует этот момент, сравнивая профессии, для которых требуется степень по математике или математике, с профессиями, в которых этого не требуется:
Номера Карьера Другие вакансии
Бухгалтер Типичная степень:
Диплом бакалавра бухгалтерского учета
Бухгалтеры обладают высокой квалификацией в подготовке и анализе финансовых и налоговых документов.
Диетолог Типичная степень:
Бакалавр по диетологии или питанию
Диетологи оценивают потребности пациентов в отношении здоровья и диеты и консультируют их о более здоровых привычках питания.
Актуарий Типичная степень:
Бакалавр математики или статистики
Актуарии обладают специальной подготовкой и навыками, необходимыми для анализа финансовых затрат, связанных с риском и неопределенностью.
Техник скорой медицинской помощи Типичная степень:
Диплом младшего специалиста или другая программа послесреднего образования
ЕМТ оказывают помощь больным и раненым в условиях неотложной медицинской помощи.
Инженер-строитель Типичная степень:
Степень бакалавра гражданского строительства или одной из специальностей; требуется лицензия
Инженерам-строителям требуются точные навыки в проектировании, строительстве и обслуживании крупных строительных объектов и систем.
Косметолог Типичная степень:
Ассоциированная степень или утвержденная государством программа косметологии или эстетики
Косметологи специализируются на уходе за кожей для улучшения внешнего вида пациента.
Ученый-компьютерщик Типичная степень:
Кандидат информатики
Ученые-информатики обладают навыками, необходимыми для разработки новых подходов в компьютерных технологиях для науки, медицины, бизнеса и других областей.
Специалист по персоналу Типичная степень:
Степень бакалавра в области человеческих ресурсов или бизнеса
Специалисты по персоналу нанимают, проводят собеседования и трудоустраивают работников, а также решают другие вопросы, связанные с трудоустройством.
Экономист Типичная степень:
Магистр или кандидат экономических наук
Экономисты изучают производство и распределение товаров и услуг с помощью исследовательской оценки и анализа данных.
Брак и семейный терапевт Типичная степень:
Магистр брака и семейной терапии или психологии
Брачные и семейные терапевты диагностируют и лечат психические и эмоциональные проблемы в контексте системы брака и семьи.
Специалист по финансовому планированию Типичная степень:
Бакалавр или магистр финансов или бухгалтерского учета
Специалисты по финансовому планированию консультируют клиентов по всем финансовым вопросам, включая налоги, инвестиции и страхование.
Мастер по ремонту медицинского оборудования Типичная степень:
Диплом младшего специалиста в области биомедицинских технологий или инженерии
Мастера по ремонту медицинского оборудования устанавливают, обслуживают и ремонтируют медицинское оборудование.
Математик Типичная степень:
Магистр математики.
Математики используют передовые математические концепции для решения практических задач в таких областях, как бизнес, наука и инженерия.
Радиолог / Технолог МРТ Типичная степень:
Диплом младшего специалиста по радиографии.
Радиологи и технологи МРТ проводят диагностические визуальные исследования пациентов.
Метеоролог Типичная степень:
Степень бакалавра в области метеорологии или смежного предмета.
Метеорологи собирают и анализируют данные для изучения и прогнозирования климата и погоды.
Репортер Типичная степень:
Степень бакалавра в области журналистики или коммуникаций.
Репортеры работают в газетах, журналах, на телевидении и радио, информируя общественность о текущих новостях и других интересных событиях.
Статистик Типичная степень:
Степень магистра математики, статистики или методологии опросов.
Статистики собирают и анализируют данные для решения проблем в таких областях, как бизнес, инженерия, физические и социальные науки.
Логопед Типичная степень:
Магистр патологии речи и языка.
Речевой язык Патологи-патологи диагностируют и лечат пациентов с нарушениями коммуникации и глотания.
Источник для диаграммы: Бюро статистики труда США
окупается ли степень магистра?
Это вопрос, который задает каждый студент, приближающийся к получению степени бакалавра: «Должен ли я остаться в школе и получить степень магистра, или пора искать работу?» Ответ обязательно будет личным, но необходимо учитывать ряд объективных факторов.Главные из них — это потенциальный карьерный рост и деньги. Одна ошибка, которую делают многие студенты, — это полагать, что получение степени магистра автоматически окажет значительное влияние на их карьеру. Хотя, в самом широком смысле, получение диплома о высшем образовании обычно означает более высокую заработную плату и большую мобильность, правда в том, что на самом деле все зависит от конкретной профессии.
Суть в том, что вам нужно посмотреть на конкретную работу, чтобы определить, действительно ли получение степени магистра окупается.Ниже приведен список профессий, связанных с числами, для которых степень магистра, скорее всего, окажет положительное влияние в начале карьеры, используя в качестве ориентира среднюю начальную зарплату:
Бухгалтерский учет / Компьютеры и
Производство электроники
Бакалавриат: 55000 долларов
Магистратура: 66000 долларов США
Компьютерная инженерия / Информация
Бакалавриат: 61 305 долларов США
Магистратура: $ 70 523
Финансы / Производство компьютеров и электроники
Бакалавриат: 55000 долларов
Магистратура: 69 500 долларов США
Финансы / Производство продуктов питания и напитков
Бакалавриат: 55000 долларов
Магистратура: 100000 долларов США
Математика и статистика / Финансы, страхование и недвижимость
Бакалавриат: 50 500 долларов США
Магистратура: 53000 долларов США
Источник: Исследование заработной платы Национальной ассоциации колледжей и работодателей (NACE) (январь 2015 г.).
Самые высокооплачиваемые рабочие места в Кремниевой долине
«Технологический бум» длится уже несколько десятилетий — настолько долго, что называть его бумом больше не уместно. Независимо от того, как он называется, эпицентр технологической индустрии можно проследить до географической области к югу от Сан-Франциско, известной как Силиконовая долина. Технологии по-прежнему являются здесь королем, как и рабочие места в сфере высоких технологий, а это означает, что высокообразованные и квалифицированные специалисты по-прежнему пользуются большим спросом.Вот лишь несколько высокооплачиваемых рабочих мест, которые можно найти в Кремниевой долине:
Инженер по алгоритмам
Алгоритмы и структуры данных лежат в основе разработки всех компьютерных приложений. Инженеры по алгоритмам работают во всех секторах индустрии высоких технологий для разработки, анализа и оценки компьютерных алгоритмов. Инженеры по алгоритмам обычно имеют степень бакалавра в области математики, инженерии, статистики или смежных областях и должны владеть одним или несколькими языками программирования.Бурный рост больших данных увеличил спрос на инженеров-алгоритмов как в Кремниевой долине, так и во всем мире. Хотя исчерпывающих данных о заработной плате нет, инженеры-алгоритмы, вероятно, будут зарабатывать от 80 до 100 000 долларов в год, а иногда и намного больше в Кремниевой долине. [Источник: Glassdoor].
Специалист по данным
Опять же, большие данные играют важную роль в повышении спроса на квалифицированных специалистов по данным.Работа специалистов по данным — погрузиться в океан больших данных, привнеся в них структуру, которая, в свою очередь, позволяет эффективно анализировать эти данные. Специалисты по обработке данных обычно имеют ученую степень по таким предметам, как информатика или прикладная математика, а многие из них дополнительно имеют докторскую степень. Заработная плата специалистов по данным может начаться в середине 90-х [Источник: Glassdoor]. Лучшие работники могут зарабатывать более 200 000 долларов в год. [Источник: Fortune.com.]
Инженер-программист iOS / Android
iOS — мобильная операционная система, разработанная Apple, на которой работает несколько ее мобильных устройств, включая iPhone и iPad.Android, операционная система, разработанная Google, используется в мобильных устройствах сторонних производителей, таких как смартфоны и планшеты. Инженеры-программисты iOS и Android проектируют и разрабатывают программное обеспечение, а также многие приложения, которые работают в двух операционных системах. Большинство работающих инженеров-программистов имеют степень бакалавра или бакалавра в области компьютерных наук или тесно связанного предмета, такого как математика, но для трудоустройства также может потребоваться некоторый уровень практического опыта в этой области.
Разработчик математического моделирования
Некоторые словари определяют математическую модель как «представление в математических терминах поведения реальных устройств и объектов.»[Источник: Вахид Даббагян: Что такое математическое моделирование, стр. 3.] Разработчики математических моделей затем разрабатывают модели для описания процессов устройств и объектов и решения сложных проблем, связанных с этими устройствами и объектами. Работа в качестве разработчика математического моделирования обычно требует Соискатель работы, чтобы иметь докторскую степень в области математики, прикладной математики или тесно связанной области. Однако в некоторых случаях может быть достаточно степени магистра вместе с опытом работы в этой области. [Источник: Мишель Бертон: разработчик математического моделирования — Профиль карьеры, Обзор карьеры в анимации (2011).]
Найди свои номера Карьера
Число вакансий везде — в каждом бизнесе и отрасли, во всех секторах экономики. Чтобы сузить список вариантов карьеры до нескольких практических, нужно, чтобы люди серьезно обдумали свои профессиональные цели. Это также требует некоторого времени для изучения имеющихся вакансий. Соискателям работы следует не ограничиваться цифрами заработной платы, чтобы получить полное представление о реальных задачах и рабочей среде любой карьеры, которую они серьезно рассматривают.Ниже приводится обзор нескольких отраслей и профессий, которые в значительной степени полагаются на солидные математические знания и навыки.
Математика
Люди, занятые в области математики, используют математические концепции и теории для решения задач, которые включают количественные и качественные отношения.
[Источник: Университет Мэри Вашингтон: «Что я могу сделать со специализацией по математике?».]

Диапазон заработной платы: $ 40 000 — $ 200 000

Типичные программы получения степени: Степень бакалавра в области математики, актуарных наук, статистики или другой аналитической области; степень магистра математики, теоретической математики или прикладной математики; для некоторых должностей может потребоваться докторская степень по теоретической или прикладной математике.
Актуарий
Актуарии анализируют и прогнозируют финансовые издержки риска и неопределенности. Они применяют математические концепции и теории для прогнозирования вероятности будущих событий и уменьшения влияния негативных будущих событий.
Диапазон заработной платы: 58080 долларов — 180 680 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 26%
Лучшие работодатели: Towers Watson, The Traveler’s Companies, Mercer, Aon Hewitt, Liberty Mutual Group
Аналитик по информационной безопасности
Аналитики информационной безопасности несут ответственность за защиту компьютерных программ и сетей предприятий, правительств и других организаций.Их нанимают непосредственно корпорации и государственные учреждения, а также частные консалтинговые фирмы.
Диапазон заработной платы: $ 50 300 — $ 140 460
Ожидаемый рост рабочих мест: 37%
Лучшие работодатели: Northrop Grumman, Booz Allen Hamilton, PricewaterhouseCoopers, General Dynamics, ManTech International, Hewlett-Packard
Математик
Математики используют передовые концепции и теории для разработки математических принципов, анализа данных и решения реальных проблем.Математики работают в двух основных областях: теоретическая математика и прикладная математика.
Диапазон заработной платы: 54 830 долларов — 157 000 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 23%
Лучшие работодатели: State Farm Insurance, Boeing, Qualcomm, Google, Edward Jones, U.S. правительство
Бизнес и финансы
Люди, которые делают карьеру в сфере финансов, помогают определить финансовые результаты компании, анализируя балансы, отчеты о доходах и движении денежных средств. Карьера Numbers в бизнесе и финансах сочетает в себе концепции финансового анализа с математической теорией, вероятностью и статистикой.

Диапазон заработной платы: $ 39 000 — $ 250 000 +

Типичная степень бакалавра: Степень младшего специалиста может быть достаточной для должностей бухгалтеров начального уровня и бухгалтера; степень бакалавра экономики, бухгалтерского учета, математики или смежных предметов; степень магистра финансов или MBA для многих рабочих мест; Доктор философии требуется для продвинутых академических и исследовательских должностей.
Бухгалтер
Бухгалтеры проверяют финансовые отчеты и готовят финансовые документы для предприятий, некоммерческих организаций, фирм и частных лиц. Они несут ответственность за точность создаваемых документов и за своевременную уплату налогов.
Диапазон заработной платы: 40850 долларов — 115 950 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 13%
Лучшие работодатели: PricewaterhouseCoopers, Deloitte, KPMG, Ernst & Young, BDO Unibank, Inc., Бейкер Тилли
Экономист
Экономисты проводят исследования по производству и распределению природных ресурсов, товаров и услуг. Они используются во всех секторах экономики для анализа и отслеживания экономических моделей и тенденций с целью точного прогнозирования будущих событий и поведения в экономике.
Диапазон заработной платы: 50 440 долларов — 170 780 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 14%
Лучшие работодатели: Bank of America, Burroughs, Ernst & Young, Merrill Lynch, TRW, Westinghouse
Финансовый аналитик
Финансовые аналитики оценивают инвестиционные возможности для юридических и физических лиц.Они следят за тенденциями рынка, бизнес-новостями и многим другим, чтобы эффективно консультировать клиентов по вопросам покупки и продажи инвестиционных продуктов.
Диапазон заработной платы: 48 170 долл. США — 154 680 долл. США
Ожидаемый рост рабочих мест: 16%
Лучшие работодатели: Goldman Sachs, TD Waterhouse, Charles Schwab, JP Morgan Chase, Citigroup, Morgan Stanley
Вычислительная техника и ИТ
Специалисты в области компьютерных наук и ИТ сочетают теоретические концепции с практическими приложениями для проектирования и создания компьютерных систем, распознавания и оценки рисков и создания практических решений компьютерных проблем.

Диапазон заработной платы: $ 55 000 — $ 200 000

Типичная степень бакалавра: Степень бакалавра в области компьютерных наук, программной инженерии, информатики, математики или смежных предметов; для продвижения в менеджмент может потребоваться степень магистра информатики или MBA; на высшие исследовательские и академические должности требуется степень доктора компьютерных наук.
Ученый, занимающийся компьютерными и информационными исследованиями
Ученые, занимающиеся компьютерными и информационными исследованиями, проектируют и разрабатывают новые вычислительные технологии и приложения существующих технологий.Карьера в этой области обычно требует докторской степени.
Диапазон заработной платы: 66 030 долл. — 165 600 долл. США
Ожидаемый рост рабочих мест: 18%
Лучшие работодатели: Intel, Samsung, Microsoft, Google, исследовательские колледжи и университеты, правительство США
Менеджер компьютерных и информационных систем
Менеджеры компьютерных и информационных систем планируют, координируют и направляют связанную с компьютером деятельность предприятий, фирм и других организаций.
Диапазон заработной платы: 78 470 долларов — 161 520 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 15%
Лучшие работодатели: Microsoft, IBM, Google, Verizon, Intel, Oracle
Разработчик программного обеспечения
Разработчики программного обеспечения исследуют, проектируют, создают и тестируют программы на уровне ОС практически для всех отраслей и секторов рынка компьютерного программирования.Разработчики должны эффективно применять принципы и методы информатики, инженерного и математического анализа.
Диапазон заработной платы: 56 310 долл. США — 149 480 долл. США
Ожидаемый рост рабочих мест: 23%
Лучшие работодатели: Juniper Networks, Google, Twitter, Facebook, Apple, LinkedIn
Аналитика данных
Специалисты по анализу данных занимаются сбором, организацией и анализом необработанных данных, чтобы добиться положительных изменений и повысить эффективность.Бум больших данных привел к большему спросу на людей с образованием и подготовкой, чтобы взяться за дело.

Диапазон заработной платы: $ 32 000 — $ 135 000

Типичные программы получения степени: Степень бакалавра в области математики, информатики, статистики или смежных областей для должностей начального уровня; MBA или степень магистра математики или статистики, часто требующаяся для продвижения по службе; Для академической и исследовательской карьеры требуется докторская степень.
Аналитик по маркетинговым исследованиям
Аналитики по исследованию рынка — это специалисты, которые исследуют и оценивают рыночные условия и их влияние на продажу и маркетинг определенных брендов и продуктов. Аналитики маркетинговых исследований сочетают традиционные методы сбора данных о потребительских товарах с новыми технологиями, чтобы прийти к своим выводам.
Диапазон заработной платы: 33460 долларов — 116740 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 27%
Лучшие работодатели: Nielsen, J.D. Power and Associates, Google, GFK, Ipsos, Information Resources, Inc.
Аналитик по операционным исследованиям
Аналитики операционных исследований изучают операционные структуры предприятий и других организаций с целью повышения эффективности и результативности за счет использования передовых математических и аналитических методов.
Диапазон заработной платы: 42 820 долларов — 132 220 долларов США
Ожидаемый рост рабочих мест: 27%
Лучшие работодатели: Proctor & Gamble, General Electric, Ortec, Innovative Decisions, Inc., Operation Research Consultants, Inc., Агентство национальной безопасности (NSA)
Статистик
Статистики собирают и анализируют данные в поисках структур и закономерностей для решения проблем.Статистики работают во всех отраслях и секторах экономики, чтобы повысить эффективность и добиться положительных изменений.
Диапазон заработной платы: 43 840 долларов — 129 830 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 27%
Лучшие работодатели: Google, Facebook, Microsoft, Berkshire Hathaway, Alliance, Aflac, U.S. правительство
Инженерное дело
Инженеры «применяют принципы науки и математики для разработки экономических решений технических проблем». [Источник: Университет штата Калифорния в Лонг-Бич: Чем занимаются инженеры?] Профессия инженера охватывает широкий спектр областей, включая электротехнику, машиностроение, аэрокосмическую инженерию, гражданское строительство и экологическую инженерию.

Диапазон заработной платы: 45 000–200 000 долларов США

Типичные программы получения степени: Бакалавр в области инженерии, математики или смежных областях; степень магистра в конкретной области (электрика, механика, химия, гражданское дело и т. д.) может потребоваться для продвижения по службе; Доктор философии требуется для продвинутых академических и исследовательских должностей.
Инженер-строитель
Инженеры-строители проектируют, строят, контролируют и обслуживают крупные строительные объекты, такие как здания, плотины, дороги и мосты.Инженеры-строители работают в основном в крупных консалтинговых компаниях по строительству и гражданскому строительству или в государственных учреждениях.
Диапазон заработной платы: 52 570 долларов — 128 110 долларов США
Ожидаемый рост рабочих мест: 20%
Лучшие работодатели: Bechtel, URS Corporation, Jacobs Engineering Group, HDR, Inc., AECOM Technology, Инженерный корпус армии США
Инженер-электрик
Инженеры-электрики проектируют, разрабатывают и испытывают электрическое оборудование и изделия всех видов, используя концепции электричества, электроники и электромагнетизма.
Диапазон заработной платы: 59 140 долл. США — 143 200 долл. США
Ожидаемый рост рабочих мест: 5%
Лучшие работодатели: General Electric, Boeing, Lockheed Martin, IBM, Google, Apple, Shell Oil
Инженер-ядерщик
Инженеры-ядерщики проектируют и разрабатывают процессы, системы и приборы с использованием ядерной энергии и радиационных ресурсов.Инженеры-ядерщики работают в различных отраслях промышленности, включая энергетику, медицину и оборону.
Диапазон заработной платы: 66 890 долларов — 151 710 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 9%
Лучшие работодатели: AEP, First Energy, Westinghouse, Tennessee Valley Authority, Duke Energy, Exelon
наук
Физические науки и науки о жизни требуют твердого понимания математики для успешного выполнения исследовательских проектов и экспериментов.Степень бакалавра математики или тесно связанного предмета часто является эффективной отправной точкой в различных областях научной карьеры.

Диапазон заработной платы: $ 40 000 — $ 150 000

Типичная степень бакалавра: Степень бакалавра по одному из ряда предметов, таких как химия, геология, биология или математика, обычно достаточно для должностей начального уровня; степень магистра в конкретной области жизни или физических наук обычно требуется для карьерного роста; Кандидат наук необходим для продвинутых исследований и академических должностей в большинстве областей науки, а также для любой карьеры в области физики.
Химик
Химики занимаются изучением свойств, состава и структуры материи, особенно на молекулярном и атомном уровнях. Они часто используются предприятиями для проведения фундаментальных и прикладных исследований при разработке продуктов.
Диапазон заработной платы: 41560 долларов — 126220 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 6%
Лучшие работодатели: BASF, Dow Chemical, Royal Dutch Shell, ExxonMobil, DuPont, Mitsubishi, Bayer
Геофизик
Геофизики сосредоточены на изучении состава, процессов и структуры физической Земли.Геофизиков нанимают исследовательские фирмы, университеты, правительственные учреждения и частные корпорации, занимающиеся разработкой природных ресурсов (нефть, газ, биотопливо).
Диапазон заработной платы: 46 400 долл. США — 200 000 долл. США +
Ожидаемый рост рабочих мест: 16%
Лучшие работодатели: ExxonMobil, BP, Shell Oil, Geoscience Consulting Services, ENGEO Limited
Физик
Физики «исследуют и определяют основные принципы, управляющие структурой и поведением материи, генерацией и передачей энергии, а также взаимодействием материи и энергии.»[Источник: Мемориальный университет: Чем занимаются физики?]
Диапазон заработной платы: 54 930 долларов — 184 650 долларов
Ожидаемый рост рабочих мест: 10%
Лучшие работодатели: Raytheon, IBM, Lockheed Martin, Lucent Technologies, Boeing, Eastman Kodak
[Источник диапазона заработной платы и ожидаемого роста числа рабочих мест: U.С. Бюро статистики труда.]
Интервью с актуарием: Боб Моранд
Какой путь образования вы бы порекомендовали тем, кто хочет стать актуарием?
В первую очередь математика. Это должен быть кто-то, кто имеет большой интерес и желание изучать математику на самом высоком уровне. Это может быть степень бакалавра математики, статистики или любых точных наук, таких как инженерия или физика.Это будет хорошим началом.
Как насчет ученой степени?
Им не нужно получать степень магистра.
Есть другие предложения для колледжа?
Уникальность актуарной профессии заключается в том, что даже в колледже студенты могут начать сдавать необходимые профессиональные экзамены. Чтобы стать сертифицированным актуарием, вам необходимо сдать все экзамены.Это принесет вам стипендию либо в Общество актуариев, которое охватывает рынки страхования жизни и пенсий, либо в Общество актуариев по несчастным случаям, которое охватывает рынок имущества и страхования от несчастных случаев.
Вы бы порекомендовали студенту пройти стажировку в актуарной фирме во время учебы в колледже?
Совершенно верно. Это, безусловно, может помочь. Что наиболее важно, вы закончили колледж не только со степенью по математике или другим смежным точным наукам, но и сдали хотя бы пару актуарных экзаменов.Это демонстрирует работодателям, что у вас есть все, что нужно для успешной сдачи экзаменов, и вы можете добиться успеха в качестве актуария.
Кто нанимает актуариев?
Страхование. Именно там работает большинство актуариев — страховые компании или фирмы, консультирующие страховые компании. Актуарии иногда также работают в банковской сфере — инвестиционном банкинге или других финансовых услугах.
Что бы вы посоветовали студенту, который только что закончил колледж и ищет работу актуарием?
Убедитесь, что у вас впечатляющий средний балл успеваемости и, опять же, вы сдали пару актуарных экзаменов перед выпуском. Это пригодится вам при собеседовании.
Для студентов, которые не заинтересованы в том, чтобы стать актуарием, но имеют степень математика, например, какие родственные профессии они могут рассмотреть?
Есть и другие возможности для выпускников математики в страховой отрасли.Например, они могут работать в таких областях, как управление рисками. Растет область, называемая предиктивной аналитикой. Есть еще моделирование катастроф. Итак, есть ряд важных областей, в которых человек с математическим образованием может работать в страховой отрасли, но не следовать традиционным курсам актуарных экзаменов.
Сайтов поиска работы
Чтобы изучить возможности карьерного роста, нужно по-настоящему покопаться, но, к счастью, существуют сотни приложений и веб-сайтов, призванных значительно облегчить копание.Источники включают академические и профессиональные ассоциации и организации; университетские факультеты математики, бизнеса, науки и инженерии; государственные органы; частный бизнес; и сайты рекрутеров. Ниже приведены некоторые из самых полезных сайтов для ищущих карьеру номеров:
Карьера
Сайт поиска работы, специализирующийся на стажировках, подработке и вакансиях начального уровня.Возможности включают статьи, связанные с трудоустройством, и блог о вакансиях и стажировках.
Dice.com
Для определенных профессий и отраслей, таких как технологии, здравоохранение и финансовые услуги. Включает в себя полезный «Медиа-центр» с опросами о заработной плате, отчетами о технологических тенденциях и другими статьями, связанными с работой в сфере технологий.
Glassdoor.com
Поисковый сайт, который обеспечивает свободный доступ к информации, анонимно размещаемой сотрудниками и соискателями работы, включая обзоры компаний, зарплаты и вопросы для собеседований.
HigherEdJobs
HigherEdJobs специализируется на вакансиях для профессоров и других преподавателей во всех академических областях, включая математику и связанные с математикой области.
Indeed.com
Базовый веб-сайт поиска работы, который позволяет работодателям размещать предложения о работе, а соискателям работы — просматривать предложения о работе и размещать резюме.
Mathclassifieds.org
Полезный поисковый сайт для обладателей математических степеней в таких областях, как образование, инженерия, статистика, актуарные науки и экономика. Поиск по интересам области, типу работодателя и государству. Спонсируется Математической ассоциацией Америки.
Math-Jobs.com
Базовый сайт для поиска работы, на котором представлены возможности трудоустройства как в Соединенных Штатах, так и по всему миру, с упором на академические вакансии.
MathJobs.org
Автоматизированное заявление о приеме на работу, спонсируемое Американской математической ассоциацией, предназначенное для соискателей с ученой степенью в области математики и работодателей, желающих нанять математиков.
Другие ресурсы
Американское математическое общество (AMS)
Профессиональная ассоциация, занимающаяся продвижением интересов математических исследований и стипендий посредством своих публикаций, встреч, информационно-пропагандистских и других программ.
Американская статистическая ассоциация (ASA)
Ведущий веб-сайт ассоциации статистиков, который предоставляет посетителям информацию о карьере и ресурсы, новостные статьи, доступ к ее публикациям и многое другое.
Ассоциация финансовых аналитиков (AFA)
Профессиональная ассоциация, посвященная новостям, вакансиям и установлению контактов среди профессионалов финансового аналитика со всего мира.Сайт содержит обширную информацию по макроэкономике и управлению портфелем.
Ассоциация женщин-математиков (AWM)
Профессиональная ассоциация, направленная на поощрение женщин и девочек к обучению и поиску активной карьеры в области математики, а также на поощрение равного обращения и возможностей для женщин в математических науках.
Быть актуарием
Высокоинформативный сайт, охватывающий практически все в мире актуарной науки.Ресурсы включают информацию о том, как стать актуарием, учиться в колледже и найти работу.
DW Симпсон
Рекрутинговая компания в области актуариев и аналитики со штаб-квартирой в Чикаго, которая обслуживает набор актуариев и аналитиков в США и во всем мире.
Математика для Америки
Профессиональная ассоциация, миссия которой состоит в том, чтобы «сделать обучение жизнеспособным, полезным и уважаемым выбором карьеры для лучших умов в области естественных наук и математики.«
Математический форум
Подробный информационный сайт по математике и математическому образованию. Сайт предоставляет широкий спектр ресурсов по преподаванию и обучению для студентов, преподавателей, исследователей и других.
Математическая ассоциация Америки (MAA)
Профессиональная ассоциация, специализирующаяся на математике на уровне бакалавриата.Посетители могут получить доступ к различным ресурсам, в том числе к новостным статьям, публикациям ассоциаций и дискуссионным группам.
Математика для колледжа
Сайт, предназначенный для помощи студентам колледжей в освоении основных курсов математики с помощью открытого программного обеспечения.
MathOverflow
Сайт вопросов и ответов для профессиональных математиков.
WeUseMath.org
Отличный общий сайт, посвященный важности математики. Включает раздел о широком спектре профессий, связанных с математикой.
Размещение по математике — AB705 — Колледж Бьютта
Понимание вашего размещения по математике

Butte College стремится помочь вам пройти

по математике переводного уровня в первый год обучения.
Большинство студентов поступят на переводной уровень математики; однако важно понимать какая математика требуется для вашей программы перед зачислением. Наша новая карьера в Butte College и инструмент «Академический профиль» собирает такую информацию, как данные о вашей средней школе, колледже пройденные курсы и прошлый академический опыт, чтобы дать рекомендации по вашей математике и курсы английского языка.Даже имея низкий средний балл средней школы, вы можете успешно пройти перевод уровень математики. Ниже вы найдете полезную информацию, которая поможет вам понять варианты вашего курса математики.
Размещение по математике
Показатели успеваемости в средней школе
Рекомендации по зачислению в колледж Бьютт
Пройдено предварительное исчисление с оценкой C или выше
МАТЕМАТИКА 4, 5, 11, 12, 13, 18, 30
Сдал по алгебре 2 или по математике 3 с C или выше
МАТЕМАТИКА 4, 5, 11, 12, 13, 18, 20, 26
Не сдал по алгебре 2 или интегрированной математике 3 с C или выше
MATH 4, 5, 11, 18, 116 или 124
MATH 116 или 124 требуется до прохождения любого из курсов уровня Business или STEM: 12, 13, 20, 26
Возможные варианты
Ниже вы найдете полезную информацию, чтобы понять варианты вашего курса математики на основе на вашу академическую цель.Наведите курсор на каждую строку или столбец (или нажмите на мобильном телефоне) для гидов и дополнительной информации.
Бизнес, наука, технологии, инженерия и математика (BSTEM)
Гуманитарные науки и другие специальности
Ассоциированная степень (без перевода)
Математика высшего уровня
Математика 30 (5 единиц)
Исчисление I: Первый курс высшей математики
Уроки математики более высокого уровня не требуются
Уроки математики более высокого уровня не требуются
Математика уровня передачи
_{* Проверьте вашу специальность на соответствие требованиям к переводу программы}
Математика 12 (3 единицы)
Конечная математика для бизнеса
Математика 13 (4 единицы)
Обзор исчисления
Math 20 (3 единицы)
Тригонометрия
Математика 26 (4 единицы)
Колледж Алгебра
Математика 11 (3 единицы)
Математика для гуманитарных наук
Math 18 (4 единицы)
Статистика
_OR Math 118/18 (8 единиц)
Предварительная статистика и статистика (Fast Track)
Математика 4 (3 блока)
Концепции математики для учителей I
Математика 5 (4 блока)
Концепции математики для учителей II
Никаких переносных уроков математики не требуется
Подготовительные курсы
_{* Может соответствовать предварительным требованиям}
Математика 124 (5 единиц)
Промежуточная алгебра
_OR Математика 116 (6 единиц)
Ускоренная алгебра (математика 108/124 комбинированная)
Математика 110 (3 единицы)
Геометрия
Математика 118 (4 единицы)
Предварительная статистика
Математика 110 (3 единицы)
Геометрия
Математика 116 (6 единиц) Ускоренная алгебра
(108/124 комбинированная)
_OR Математика 124 (5 единиц)
Промежуточная алгебра
Математика 118 (4 единицы)
Предварительная статистика
_{* Подготовительные курсы математики соответствуют требованиям AA / AS.}
Применимо без степени
Математика 108 (4 единицы)
Начальная алгебра
Математика 108 (4 единицы)
Начальная алгебра
Математика 108 (4 единицы)
Начальная алгебра
Некредитный
Математика 318 (3 единицы)
Основы математики
Математика 318 (3 единицы)
Основы математики
Математика 318 (3 единицы)
Основы математики

* Эта информация может отличаться в зависимости от вашего переводимого вуза.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответы в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

2 3 + х.	= 0,4 или		2		3 + ч.	знак равно	2	,
5 3 + ч.			5				5

ТГ 2 α =	1	— 1 =	1	— 1 =	10	— 1 =	5	— 1 = 1	1	— 1 =	1	= 0,25.
	COS 2 α.		0,8		8		4		4		4

Журнал 3 (2COS x. ) =	2	⇔	2cos. х. = 9	⇔	кос. х. =	4,5	⇔ T.K. \| Cos. х. \| ≤ 1,

Журнал 3 (2COS x. ) =	1		2cos. х. = √3		кос. х. =	√3
	2					2

Ответ: а)	π	+ 2π. к. ; —	π	+ 2π. к. , к. ∈ Z. ; б)	11π.	;	13π.	.
	6		6		6		6

abh = Arctg.	хиджры.	= Arctg.	28 год	= arctg14.
	Bh.		8–6

	х. 2 + г. 2 ≤ 2 год. — а. 2 + 1

	г. + а. ≤ \| х. \| — а.

Показатели успеваемости в средней школе	Рекомендации по зачислению в колледж Бьютт
Пройдено предварительное исчисление с оценкой C или выше	МАТЕМАТИКА 4, 5, 11, 12, 13, 18, 30
Сдал по алгебре 2 или по математике 3 с C или выше	МАТЕМАТИКА 4, 5, 11, 12, 13, 18, 20, 26
Не сдал по алгебре 2 или интегрированной математике 3 с C или выше	MATH 4, 5, 11, 18, 116 или 124 MATH 116 или 124 требуется до прохождения любого из курсов уровня Business или STEM: 12, 13, 20, 26

	Бизнес, наука, технологии, инженерия и математика (BSTEM)	Гуманитарные науки и другие специальности	Ассоциированная степень (без перевода)
Математика высшего уровня	Математика 30 (5 единиц) Исчисление I: Первый курс высшей математики	Уроки математики более высокого уровня не требуются	Уроки математики более высокого уровня не требуются
Математика уровня передачи _{* Проверьте вашу специальность на соответствие требованиям к переводу программы}	Математика 12 (3 единицы) Конечная математика для бизнеса Математика 13 (4 единицы) Обзор исчисления Math 20 (3 единицы) Тригонометрия Математика 26 (4 единицы) Колледж Алгебра	Математика 11 (3 единицы) Математика для гуманитарных наук Math 18 (4 единицы) Статистика _OR Math 118/18 (8 единиц) Предварительная статистика и статистика (Fast Track) Математика 4 (3 блока) Концепции математики для учителей I Математика 5 (4 блока) Концепции математики для учителей II	Никаких переносных уроков математики не требуется
Подготовительные курсы _{* Может соответствовать предварительным требованиям}	Математика 124 (5 единиц) Промежуточная алгебра _OR Математика 116 (6 единиц) Ускоренная алгебра (математика 108/124 комбинированная) Математика 110 (3 единицы) Геометрия	Математика 118 (4 единицы) Предварительная статистика	Математика 110 (3 единицы) Геометрия Математика 116 (6 единиц) Ускоренная алгебра (108/124 комбинированная) _OR Математика 124 (5 единиц) Промежуточная алгебра Математика 118 (4 единицы) Предварительная статистика _{* Подготовительные курсы математики соответствуют требованиям AA / AS.}
Применимо без степени	Математика 108 (4 единицы) Начальная алгебра	Математика 108 (4 единицы) Начальная алгебра	Математика 108 (4 единицы) Начальная алгебра
Некредитный	Математика 318 (3 единицы) Основы математики	Математика 318 (3 единицы) Основы математики	Математика 318 (3 единицы) Основы математики