Егэ задачи на движение профильный уровень – Задачи на движение. ЕГЭ по математике

Решение текстовых задач В14 ЕГЭ по математике

Смотрите также другие типы Задач №11 ЕГЭ по математике: 1 (на среднюю скорость), 3 (движение по воде), 4 (на работу), 5 (на движение по прямой), 6 (на прогрессии), 7 (на смеси и сплавы).

Также смотрите видеолекцию «Текстовые задачи».

Задача 1.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 19 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?

Решение: + показать

Задача 2.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 3.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

Задача 4.

Часы со стрелками показывают 6 часов 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

Решение: + показать

---

Смотрите фрагмент видеолекции «Текстовые задачи»

---

Вы можете пройти тест по Задачам №11, задачи на движение по окружности.

egemaximum.ru

Задача 11 — текстовые задачи

Для текстовых задач не существует единого алгоритма решения — в этом вся их сложность. Фактически, каждую задачу приходится решать «с нуля». Зубрить их тоже бесполезно, потому что текстовых задач слишком много.

Тем не менее, существуют типовые задачи, которые вполне стандартно решаются и постоянно встречаются на ЕГЭ по математике. Ими мы и займемся.

§ 1.

Вебинар по задачам B14: движение, работа, смеси и сплавы

Глава 1.

Классические задачи на движение

§ 1.

Особенности решения текстовых задач

§ 2.

Задача B14: движение навстречу

§ 3.

Движение вдогонку и сравнение времени

§ 4.

Тест по задачам B14: легкий уровень, 1 вариант

§ 5.

Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариант

§ 6.

B14 и эскалаторы: считаем скорость

§ 7.

Задача B14 про эскалаторы: считаем ступеньки

Глава 2.

Работа и производительность труда

§ 1.

Производительность совместного труда

§ 2.

B14: количество вопросов в тесте

§ 3.

Трубы и резервуары: одинаковый объем

§ 4.

Трубы и резервуары: разный объем

§ 5.

Более сложные задачи на производительность

Глава 3.

Движение по воде

§ 1.

Решение задач на движение по воде

§ 2.

Тест по задачам B14: средний уровень, 1 вариант

§ 3.

Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

Глава 4.

Смеси и сплавы

§ 1.

Как решать задачи про смеси и сплавы

§ 2.

Простая задача B14 на смеси и сплавы

§ 3.

Сложная задача B14 на смеси и сплавы

§ 4.

Смеси и сплавы в задаче B14: неизвестна масса

Глава 5.

Проценты и нестандартные задачи

§ 1.

Задача B14: сложные проценты

§ 2.

Семья из трех человек (нестандартная задача)

§ 3.

Сложная задача B14: работа трех исполнителей

§ 4.

Изюм и виноград (смеси и сплавы)

Задачи на проценты, смеси, сплавы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

Задачи на движение по прямой

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

Задачи на движение по окружности

74

75

76

77

78

79

80

Задачи на движение по воде

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

Задачи на совместную работу

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

Задачи на прогрессии

141

142

143

144

145

146

147

148

149

www.berdov.com

Решение текстовых задач на движение при подготовке к ЕГЭ

Часть B единого государственного экзамена содержит текстовые задачи, в частности, задачи на движение.

В большинстве задач на движение используется формула s = vt, где v – это скорость движения, t – время движения, s – длина пройденного пути. При этом надо учитывать, что указанные величины должны быть в одной системе единиц. Из данной формулы можно получить еще две: v = s/t, t = s/v. Если в задаче говорится о нескольких движущихся объектах, то формулы следует записать для каждого.

Если в явном виде заданы не все величины, часть из них дана в сравнении (меньше – больше, позже – раньше и т.п.), то используя эти сравнения, можно записать соответствующие уравнения. Как правило, число уравнений совпадает с числом сравнений, содержащихся в условии задачи.

Решить задачу можно с помощью системы уравнений, а можно с помощью одного уравнения. Рассмотрим несколько примеров задач на движение по дороге и на движение по воде.

Движение по дороге

Задача 1.

Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 15 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 54 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

При решения текстовых задач эффективно построение схем и составление таблиц.

Используя сравнение скоростей, указанное в задаче, и обозначая скорость первого автомобилиста v, запишем скорость второго автомобилиста на протяжении всего пути: первую половину пути он прошел со скоростью (v – 15) км/ч, а вторую половину со скоростью 90 км/ч.

Таблица будет иметь такой вид:

Объект	Путь, км	Скорость, км/ч	Время, ч
Автомобилист 1	S	v	t
Автомобилист 2	S	I половина пути   v – 15 II половина пути  90	t

Условие, что автомобилисты прибыли в пункт назначения одновременно, используем для составления уравнения. Выражаем время первого автомобилиста, которое он затратил на весь путь через S и v: S/v, время второго (учитывая, что первую и вторую половину пути он проезжал с разной скоростью) 1/2S/(v – 15) + 1/2S/90, и приравниваем их. Получаем уравнение относительно скорости первого автомобилиста:

S/v = 1/2S / (v – 15) + 1/2S/90.

Сокращаем его на множитель S ≠ 0 и умножаем обе части уравнения на 2. В результате получаем

2/v = 1/(v – 15) + 1/90.

Для решения последнего уравнения умножаем обе его части на произведение 90v(v – 15) ≠ 0. После всех преобразований получаем квадратное уравнение:

v² – 105v + 2700 = 0.

Откуда v₁ = 60, v₂ = 45. Условию задачи (v > 54 км/ч) удовлетворяет только корень v₁ = 60, следовательно, скорость первого автомобилиста 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

Решая задачи на движение, полезно выяснитьсколько раз в условии задачи сравниваются однородные величины. В нашей задаче два сравнения: скоростей автомобилистов и времени их движения на одном и том же пути. Первое сравнение используем для выражения одной скорости через другую. Итоговое уравнение – это сравнение времени движения автомобилистов.

Задача 2.

Велосипедист и пешеход вышли из пунктов А и В, расстояние между которыми 12 км, и встретились через 20 мин. Пешеход прибыл в пункт А на 1ч 36 мин позже, чем велосипедист в пункт В. Найти скорость пешехода. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Из первого условия задачи найдем зависимость между скоростями велосипедиста и пешехода. Пусть v₁ – скорость пешехода, v₂ – скорость велосипедиста. Тогда 20/60(v₁ + v₂) = 12, откуда v₁ + v₂ = 36. Заполним таблицу, принимая за х км/ч скорость пешехода, тогда скорость велосипедиста (36 – х) км/ч.

Объект	Путь, км	Скорость, км/ч	Время, ч
Велосипедист	12	36 – х	12/(36 – х)
Пешеход	12	х	12/х

Сравнение, что пешеход прибыл в пункт А на 1ч 36 мин позже, чем велосипедист в пункт В, используем для составления уравнения

12/x – 12/(36 – x) = 1 – 36/60.

Откуда получаем квадратное уравнения 1,6x² – 81,6x + 432 = 0, корни которого х₁ = 45, х₂ = 6. Так как х – скорость пешехода, следовательно, подходит только х = 6. Скорость пешехода 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

Движение по реке

Особенность движения по реке состоит в том, что течение реки увеличивает или уменьшает скорость плывущего объекта. Это изменение равно скорости течения.

Задача 3.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 384 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Обозначим буквой х – скорость теплохода. Скорость течения (4 км/ч) дает возможность выразить скорость теплохода по течению (х + 4) км/ч и против течения (х – 4) км/ч. Заполним таблицу:

Направление	Путь, км	Скорость, км/ч	Время, ч
По течению	384	х + 4	384/(х + 4)
Против течения	384	х – 4	384/(х – 4)

Общее время, затраченное на путь туда и обратно, составляет 48 – 8 = 40 часов. Это условие и есть ключевым для составления уравнения

384/(x + 4) + 384/(x – 4) = 40.

После сокращения на 8 уравнение принимает вид

48/(x + 4) + 48/(x – 4) = 5.

Откуда получаем квадратное уравнение 5x² – 96x – 80 = 0, положительным корнем которого является х = 20. Значит, скорость теплохода в неподвижной воде составляет 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

Таким образом, составление таблицы и анализ условий позволяет упростить решение задачи на движение.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на движение?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

«Задачи на движение для учеников 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике».

Элективный курс 10 класс.

Задачи на движение

Для педагогов не секрет, что решение текстовых задач вызывало и вызывает затруднение у большей части учащихся. Умение анализировать условие и составлять математическую модель оказывается далеко не под силу каждому. Задачи на движение, совместную работу, смеси и сплавы рассматриваются в школьном курсе математики не один год. Но многие учащиеся из года в год при выполнении домашних работ, контрольных и диагностических работ выбирают задания повышенного уровня С, игнорируя текстовые задачи. Ограниченность во времени при контроле знаний, напряжение и насыщенный объем работ не позволяет полностью свободно поразмыслить над схемой решения задания. С другой стороны развитое логическое мышление, приемы моделирования позволяет остальным учащимся успешно справиться с задачами такого типа. Вашему вниманию предложены задания по теме, которые можно использовать при различных формах организации работы по подготовке к ЕГЭ.

1. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение. Скорость сближения поездов 65 + 35 = 100 (км/ч) = (м/с). Общий путь за 36 с составляет * 36 = 1000 (м). Тогда 1000 – 700 = 300 (м) — длина скорого поезда.

Ответ: 300 м

2. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Комментарий. Не уставайте напоминать учащимся формулу:

Средняя скорость = .

Ответ: 72 км/ч

3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Важно объяснить, что в отличие от задачи 1, придорожный столб зафиксирован. Поезд за 36 с проезжает расстояние, равное собственной длине, со скоростью 80 км/ч = 80 * (м/с) = (м/с). Длина поезда * 36 = 800 (м).

Ответ: 800 м

Комментарий. Учащиеся при переводе км/ч в м/с часто путают деление с умножением величины на 3,6. Не пытайтесь заставить их выучить нужное действие. Проще в соответствии с наименованием (км/ч) умножить величину на 1000 м и разделить на 3600с. Ошибок будет намного меньше.

4. Дальнобойщик, погрузив груз в фуру, отправился в путь со скоростью 60 км/ч. Через 1 ч он сделал остановку на заправке на 30 мин, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через 1 ч после отправки фуры диспетчер склада обнаружил, что он забыл отдать дальнобойщику сопроводительные документы на груз и выехал вдогонку на мотоцикле со скоростью 100 км/ч. Какое расстояние (в километрах) проедет мотоциклист до места встречи?

Решение. Задачи на движение вдогонку встречаются часто. Собака догоняет шляпу, унесенную ветром, ребенок проезжает на велосипеде путь, возвращаясь от конечной точки до равномерно движущихся вслед за ним родителей и т. д.

В данной задаче путь дальнобойщика равен пути мотоциклиста. Важно не забыть, что дальнобойщик двигался (1+х–0,5) часа, где х ч – время движения мотоциклиста. Решив уравнение 60(х + 0,5) = 100х, х = 0,75, найдем путь мотоциклиста, который равен 75 км.

Ответ: 75 км

5. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение. Пусть х км/ч –скорость второго сухогруза, у км/ч -скорость первого сухогруза. Необходимо найти величину (х–у) км/ч. За 12 мин = 0,2 ч второй сухогруз прошел 0,2х км, что составляет (0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у) км. (Необходимо помнить о длине второго сухогруза, как в задачах о поездах).

Из уравнения 0,2х = 0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у находим х — у = 5,6.

Ответ: на 5,6 км/ч скорость первого сухогруза меньше скорости второго.

6. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

7. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

8. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого  — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

9. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Трудность для учащихся — в круговой трассе. Пусть х км/ч – скорость второго автомобиля, его путь за 40 мин равен х км. Путь первого автомобиля составил 80* км, что на 1 круг больше. Уравнение 80* — х = 14. Часть учащихся обратят внимание на скорость удаления и составят более простое уравнение: (80 – х) = 14.

Ответ: скорость второго автомобиля 59 км/ч.

10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

11. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 м меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

12. Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

13. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

14. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

15. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

16. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

17. Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое может проплыть по этой реке 9 км. Во сколько раз скорость катера больше скорости реки?

Решение. Как и в задаче 5, не нужно стремиться найти скорости катера и течения реки. Необходимо вычислить отношение , где х км/ч – собственная скорость катера, у км/ч – скорость течения реки. Уравнение + = после преобразований примет вид: 5у² + 44 ху – 9х² = 0. Разделив обе части уравнения на у² ≠ 0 и обозначив = m, имеем 9m² — 44m – 5 = 0. m₁ = 5, m₂ = — – не соответствует условию задачи. В 5 раз скорость катера больше скорости реки.

Ответ: в 5 раз

    Продолжаем рассматривать задачи на движение. Есть группа задач, которая отличается от обычных задач на движение – это задачи на круговое движение (круговая трасса, движение стрелок часов).  Принципы решения те же самые, формула используется та же (формула закона прямолинейного движения). Но есть небольшие нюансы в подходах к решению.

Рассмотрим задачи:

1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

На первый взгляд, кому-то задачи на круговое движение могут показаться сложными и какими-то запутанными в сравнении с обычными задачами на прямолинейное движение. Но это только на первый взгляд. Данная задача легко превращается в задачу на прямолинейное движение. Как?

Мысленно развернём круговую трассу в прямую. На ней стоят два мотоциклиста. Один из них отстаёт от другого  на 11 км, так как сказано в условии, что длина трассы 22 километра.

Скорость отстающего на 20 километров в час больше (он догоняет того, кто впереди). Вот вам и задача на прямолинейное движение.

Итак, искомую величину (время, через которое они поравняются) примем за х часов. Скорость первого (находящегося впереди) обозначим у км/ч, тогда скорость второго (догоняющего) будет  (у + 20)км/ч.

Занесем скорость и время в таблицу.

Заполняем графу «расстояние»:

Второй проезжает расстояние (до встречи) на 11 км больше, значит

11/20 часа это то же, что и 33/60 часа. То есть, до их встречи прошло 33  минуты.

Как видим, сама скорость мотоциклистов в данном случае  не имеет значения.

Ответ: 33

2)Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

3)Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг.  Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 112 км/ч. Через 25 минут он опережает второго на 25 км (т.к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго.

Решение:

Очень важно в задачах на движение представить сам процесс этого движения.

Сравнение произведем по расстоянию, так как нам известно, что один опередил другого на 25 км.

За x принимаем искомую величину – скорость второго. Время движения 25 минут (25/60 часа) для обоих.  Заполним графу «расстояние»:

Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 25 км. То есть:

Скорость второго автомобиля 52  (км/ч).

Ответ: 52

3) Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг.  Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

4) Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Данная задача представляет относительную сложность. Что сразу стоит отметить? Это то, что мотоциклист  проходит  с велосипедистом одинаковое расстояние, догоняя его первый раз. Затем он снова догоняет его второй раз, причём разница пройденных расстояний после первой встречи составляет 30 километров (длина круга). Таким образом, можно будет составить два уравнения и решить их систему. Нам не даны скорости участников движения, поэтому можно будет ввести две переменные. Система из двух уравнений с двумя переменными решается.

Итак, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч.

Сорок минут это 2/3 часа, 8 минут это 8/60 часа, 36 минут это 36/60 часа.

Скорости участников обозначим за х км/ч (у велосипедиста) и у км/ч (у мотоциклиста).

В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 8 минут, то есть через 8/60 часа после старта.

До этого момента велосипедист был в пути уже  40+8=48 минут, то есть  48/60 часа.

Запишем эти данные в таблицу:

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть

Затем мотоциклист второй раз догнал велосипедиста. Произошло это через 36 минут, то есть через 36/60 часа после первого обгона.

Составим вторую таблицу, заполним графу «расстояние»:

Так как сказано, что через 36 минут мотоциклист снова догнал велосипедиста. Значит, он (мотоциклист)  проехал расстояние равное 30 километрам (один круг) плюс расстояние, которое за это время проехал велосипедист. Это ключевой момент для составления второго уравнения.

Один круг — это длина трассы, она равна 30 км.

Получаем второе уравнение:

Решаем систему их двух уравнений:

Значит   у = 6 ∙10 = 60.

То есть скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.

Ответ: 60

5) Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Следующий тип задач на круговое движение вообще «уникален». Есть задачи, которые решаются устно. И есть такие, которые без глубокого понимания и большой внимательности при рассуждениях решить крайне сложно. Речь идёт о задачах про стрелки часов.

Вот пример простейшей задачи:

1. Часы со стрелками показывают 11 часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?

Ответ очевиден, через 40 минут, когда будет ровно двенадцать. Даже если сразу не смогли понять, то нарисовав  циферблат (сделав эскиз) на листке, вы без труда определите ответ.

Примеры других задач (непростых):

2. Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

3. Часы со стрелками показывают 2 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

4. Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой? 

5. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Вообще, можно дать совет, так как на ЕГЭ с такой задачей можно легко запутаться, вычислить неверно или просто потерять много времени на решение, можно взять с собой на ЕГЭ механические часы со стрелками… Догадались?

Если вам попадёт такая задач, то берёте часы, ставите исходное время оговоренное в условии  (например, 6:35) и прокручиваете заданное число раз. А затем смотрите: сколько «отмотали» минут от исходного времени. Вот и всё.

infourok.ru

Методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему: Готовимся к ЕГЭ. В13: Задачи на движение

Готовимся к ЕГЭ. В13: Задачи на движение                

Е.С.Пухова,

учитель математики МБОУСОШ №2

г. Апшеронск Краснодарский край

Для педагогов не секрет, что решение текстовых задач вызывало и вызывает затруднение у большей части учащихся. Умение анализировать условие и составлять математическую модель оказывается далеко не под силу каждому. Задачи на движение, совместную работу, смеси и сплавы рассматриваются в школьном курсе математики не один год. Но многие учащиеся из года в год при выполнении домашних работ, контрольных и краевых диагностических работ выбирают задания повышенного уровня С, игнорируя текстовые задачи. Ограниченность во времени при контроле знаний, напряжение и насыщенный объем работ не позволяет полностью свободно поразмыслить над схемой решения задания. С другой стороны развитое логическое мышление, приемы моделирования  позволяет остальным учащимся успешно справиться с задачами такого типа. Вашему вниманию предложены задания по теме, которые можно использовать при различных формах организации работы по подготовке к ЕГЭ.

1. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.  Скорость сближения поездов 65 + 35 = 100 (км/ч) =  (м/с). Общий путь за 36 с составляет   * 36 = 1000 (м). Тогда 1000 – 700 = 300 (м) — длина скорого поезда.

Ответ: 300 м

2. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Комментарий. Не уставайте напоминать учащимся формулу:

Средняя скорость =  .

Ответ: 72 км/ч

3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.  Важно объяснить, что в отличие от задачи 1, придорожный столб зафиксирован. Поезд за 36 с проезжает расстояние, равное собственной длине, со скоростью 80 км/ч = 80 *  (м/с) =   (м/с). Длина поезда * 36 = 800 (м).

Ответ: 800 м

Комментарий. Учащиеся при переводе км/ч в м/с часто путают деление  с умножением величины на 3,6. Не пытайтесь заставить их выучить нужное действие. Проще в соответствии с наименованием (км/ч) умножить величину на 1000 м  и разделить на 3600с. Ошибок будет намного меньше.

4. Дальнобойщик, погрузив груз в фуру, отправился в путь со скоростью 60 км/ч. Через 1 ч он сделал остановку на заправке на 30 мин, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через 1 ч после отправки фуры диспетчер склада обнаружил, что он забыл отдать дальнобойщику сопроводительные документы на груз и выехал вдогонку на мотоцикле со скоростью 100 км/ч. Какое расстояние (в километрах) проедет мотоциклист до места встречи?

Решение. Задачи на движение вдогонку встречаются часто. Собака догоняет шляпу, унесенную ветром, ребенок проезжает на велосипеде путь, возвращаясь от конечной точки до равномерно движущихся вслед за ним родителей и т. д.

   В данной задаче путь дальнобойщика равен пути мотоциклиста. Важно не забыть, что дальнобойщик двигался (1+х–0,5) часа, где х ч – время движения мотоциклиста. Решив уравнение 60(х + 0,5) = 100х, х = 0,75, найдем путь мотоциклиста, который равен 75 км.

Ответ: 75 км

5. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение. Пусть х км/ч –скорость второго сухогруза, у км/ч -скорость первого сухогруза. Необходимо найти величину (х–у) км/ч. За 12 мин = 0,2 ч второй сухогруз прошел 0,2х км, что составляет (0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у) км. (Необходимо помнить о длине второго сухогруза, как в задачах о поездах).

Из уравнения 0,2х = 0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у  находим х-у = 5,6.

Ответ: на 5,6 км/ч скорость первого сухогруза меньше скорости второго.

6. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
7. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
8. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого  — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
9. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Трудность для учащихся — в круговой трассе.  Пусть х км/ч – скорость второго автомобиля, его путь за 40 мин равен х км. Путь первого автомобиля составил 80* км, что на 1 круг больше. Уравнение 80* — х = 14. Часть учащихся обратят внимание на скорость удаления и составят более простое уравнение: (80 – х) = 14.

Ответ: скорость второго автомобиля 59 км/ч.

10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
11. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 м меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
12. Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
13. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
14. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
15. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
16. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.
17. Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое может проплыть по этой реке 9 км. Во сколько раз скорость катера больше скорости реки?

Решение. Как и в задаче 5, не нужно стремиться найти скорости катера и течения реки. Необходимо вычислить отношение , где х км/ч – собственная скорость катера, у км/ч – скорость течения реки. Уравнение + =  после преобразований примет вид: 5у² + 44 ху – 9х² = 0. Разделив обе части уравнения на у² ≠ 0 и обозначив  = m, имеем 9m² — 44m – 5 = 0. m1 = 5, m2 = —  – не соответствует условию задачи. В 5 раз скорость катера больше скорости реки.

Ответ: в 5 раз

   Анализируя работы учащихся, результаты КДР, ГИА, ЕГЭ выпускников, четко прослеживаю более высокий процент выполнения текстовых задач у ребят, обучающихся по УМК А.Г.Мордковича в средней и старшей школе. Эти дети, как правило, успешно справляются с  задачами. Нарастание сложности математических моделей идет постепенно, разнообразен уровневый подбор материала. Учителю необходимо разнообразить подбор материала из других пособий и источников.

nsportal.ru

Подборка материала к ЕГЭ по математике В 11 классе профильный уровень»Задачи на движение по окружности» №11

Задачи на движение по окружности№11 ЕГЭ

1. Задание 11 № 99596

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Решение.

Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через  часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Таким образом, мотоциклисты поравняются через  часа или через 20 минут.

 

Ответ: 20.

 

Приведём другое решение.

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

2. Задание 11 № 99598

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть скорость второго автомобиля равна  км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем

 

Ответ: 59.

3. Задание 11 № 99599

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

 

Ответ: 80.

4. Задание 11 № 99600

Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Решение.

Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок:

 

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

 

Ответ: 240.

 

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

 

По просьбам читателей помещаем общее решение.

Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через t₁ минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t₁ = 30h + 0,5m + 0,5t₁, т. е. t₁ = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t₁ = 30h + 0,5m + 0,5t₁ + 360, откуда t₁ = (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во второй раз стрелки встретятся через t₂ минут после первого, тогда 0,5t₂ = 6t₂ − 360, откуда t₂ = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.

Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: t_n = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или t_n = (60h − 11m + 720n)/11.

5. Задание 11 № 323856

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Первый обогнал второго на 3 км за четверть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика  км/ч, тогда скорость первого  км/ч. Составим и решим уравнение:

 

Таким образом, скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

 

Ответ: 108.

infourok.ru

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ. МАТЕМАТИКА.ЕГЭ ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ.

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ. МАТЕМАТИКА.ЕГЭ ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ.

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 240 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 1 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 1 час. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипед иста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Два велосипедиста одновременно отправились в 154-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег.

Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

infourok.ru