Тригонометрия формулы таблица – Тригонометрические формулы. Свойства функций, основные тождества, сумма углов. Сумма функций, формулы приведения, особые случаи, степени, половинные, двойные и тройные углы. Обратные функции.

Содержание

Формулы тригонометрии

Формулы тригонометрии (тригонометрические формулы) для решения математических задач. Основные тригонометрические тождества, формулы понижения степени, сложения, вычитания и умножения, а также другие формулы. Дополнительно приведены значения тригонометрических функций для наиболее распространённых углов.

Основные тождества

... Подготовка формул ...

Формулы двойного угла

... Подготовка формул ...

Формулы тройного угла

... Подготовка формул ...

Формулы понижения степени

... Подготовка формул ...

Формулы понижения степени

... Подготовка формул ...

Формулы понижения степени

... Подготовка формул ...

Формулы половинного аргумента

Формулы понижения степени
половинного аргумента

... Подготовка формул ...

Формулы сложения

... Подготовка формул ...

Формулы вычитания

... Подготовка формул ...

Формулы преобразования суммы
в формулы произведения

... Подготовка формул ...

Формулы преобразования разности
в формулы произведения

... Подготовка формул ...

Формулы преобразования суммы

... Подготовка формул ...

Формулы преобразования произведения
в формулы суммы и разности

... Подготовка формул ...

Формулы преобразования произведения
функций в степени

... Подготовка формул ...

Формулы понижения степени

... Подготовка формул ...

Универсальная
тригонометрическая подстановка

... Подготовка формул ...

Значения тригонометрических функций

α 0
α° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
sin α 0 1 0 −1 0
cos α 1 0
−1
0 1
tg α 0 1 −1 0 1 −1 0
ctg α 1 0 −1 1 0 −1

Теория

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Функция – это правило, описывающее зависимость одной величины от другой.

Тождество – это равенство, справедливое при любых значениях, входящих в него переменных

Тригонометрические тождества (равенства) описывают зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.




Скачать тригонометрические формулы

Вы можете скачать тригонометрические формулы в виде картинки:

Формулы тригонометрии Формулы тригонометрии Формулы тригонометрии Формулы тригонометрии
Формулы тригонометрии Формулы тригонометрии Формулы тригонометрии Формулы тригонометрии

doza.pro

Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества

  • sin² α + cos² α = 1
  • tg α · ctg α = 1
  • tg α = sin α ÷ cos α
  • ctg α = cos α ÷ sin α
  • 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
  • 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

  • sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
  • sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
  • cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
  • cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
  • tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
  • tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
  • ctg (α + β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
  • ctg (α - β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

Формулы двойного угла

  • cos 2α = cos² α - sin² α
  • cos 2α = 2cos² α - 1
  • cos 2α = 1 - 2sin² α
  • sin 2α = 2sin α · cos α
  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
  • ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

  • sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
  • cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
  • tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
  • ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формулы понижения степени

  • sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
  • sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
  • cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
  • cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
  • sin² α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
  • sin³ α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

  • sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
  • sin α · sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
  • cos α · cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Переход от суммы к произведению


Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru

73 формулы тригонометрии

На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.

Все формулы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

{\tg \alpha = \dfrac {\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \dfrac{1}{\ctg \alpha}}


{\ctg \alpha = \dfrac {\cos \alpha}{ \sin \alpha} = \dfrac{1}{\tg \alpha}}
{\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1}
{1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}}
{1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}}
{\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1}

Формулы двойного угла (аргумента)

{\sin(2\alpha)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha}


{\sin(2\alpha)=\dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{1+\ctg ^2 \alpha}=\dfrac{2}{\tg \alpha + \ctg \alpha}}
{\cos(2\alpha)=\cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha = 2 \cdot \cos ^2 \alpha- 1 = 1- 2 \cdot \sin ^2 \alpha}
{\cos(2\alpha)=\dfrac{1 -\tg ^2 \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{\ctg ^2 \alpha- 1}{\ctg ^2 \alpha +1}=\dfrac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha + \tg \alpha}}
{\tg(2\alpha) = \dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1-\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{\ctg ^2 \alpha- 1}=\dfrac{2}{\ctg \alpha- \tg \alpha}}
{\ctg(2\alpha) = \dfrac{\ctg ^2 \alpha-1}{2 \cdot \ctg \alpha}=\dfrac{\ctg \alpha- \tg \alpha}{2}}

Формулы тройного угла (аргумента)

{\sin(3\alpha)=3 \cdot \sin \alpha- 4 \cdot \sin ^3 \alpha}


{\cos(3\alpha)= 4 \cdot \cos ^3 \alpha- 3 \cdot \cos \alpha}
{\tg(3\alpha)= \dfrac{3 \cdot \tg \alpha- \tg ^3 \alpha}{1-3 \cdot \tg ^2 \alpha}}
{\ctg(3\alpha)= \dfrac{\ctg ^3 \alpha- 3 \cdot \ctg \alpha}{3 \cdot \ctg ^2 \alpha -1}}

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Вторая степень

{\sin ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}}
{\cos ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}}
{\tg ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}}
{\ctg ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)}}
{(\sin \alpha- \cos \alpha)^2=1-\sin(2 \alpha)}
{(\sin \alpha+ \cos \alpha)^2=1+\sin(2 \alpha)}

Третья степень

{\sin ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin(\alpha)-\sin(3 \alpha)}{4}}
{\cos ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos(\alpha)+\cos(3 \alpha)}{4}}
{\tg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}}
{\ctg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}}

Четвёртая степень

{\sin ^4 \alpha = \dfrac{3-4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}}
{\cos ^4 \alpha = \dfrac{3+4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}}

Пятая степень

{\sin ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \sin(\alpha)-5 \cdot \sin(3 \alpha)+\sin(5 \alpha)}{16}}
{\cos ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \cos(\alpha)+5 \cdot \cos(3 \alpha)+\cos(5 \alpha)}{16}}

Формулы половинного угла (аргумента)

{\sin \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}}


{\cos \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}}
{\tg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}}
{\ctg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}}

Формулы понижения степени половинного угла (аргумента)

{\sin ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}


{\cos ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}
{\tg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}
{\ctg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}

Формулы сложения аргументов

{\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}


{\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta- \sin \alpha \cdot \sin \beta}
{\tg(\alpha + \beta)= \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}}
{\ctg(\alpha + \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta-1}{\ctg \alpha + \ctg \beta}}

Формулы вычитания аргументов

{\sin(\alpha- \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta- \cos \alpha \cdot \sin \beta}


{\cos(\alpha- \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+ \sin \alpha \cdot \sin \beta}
{\tg(\alpha- \beta)= \dfrac{\tg \alpha- \tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta}}
{\ctg(\alpha- \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta+1}{\ctg \alpha- \ctg \beta}}

Формулы суммы тригонометрических функций

{\sin \alpha+ \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}


{\cos \alpha+ \cos \beta=2 \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}
{\tg \alpha + \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\ctg \alpha + \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\sin (\alpha)+\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha+ \dfrac{\pi}{4} \Big)}

Формулы разности тригонометрических функций

{\sin \alpha- \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha+ \beta}{2} \big)}


{\cos \alpha- \cos \beta=-2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}
{\tg \alpha- \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\ctg \alpha- \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}}
{\sin (\alpha)-\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha- \dfrac{\pi}{4} \Big)}

Формулы произведения тригонометрических функций

{\sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)-\cos(\alpha + \beta)}{2}}


{\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha- \beta)+\sin(\alpha + \beta)}{2}}
{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)+\cos(\alpha + \beta)}{2}}
{\tg \alpha \cdot \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta}}
{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\ctg \alpha + \ctg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}}
{\tg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)+ \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+ \beta)- \sin(\alpha-\beta)}}

Формулы произведения тригонометрических функций в степени

{\sin ^2 (\alpha) \cdot \cos ^2 (\alpha) = \dfrac{1-\cos(4 \alpha)}{8}}


{\sin ^3 (\alpha) \cdot \cos ^3 (\alpha) = \dfrac{3 \cdot \sin(2 \alpha)- \sin(6 \alpha)}{32}}
{\sin ^4 (\alpha) \cdot \cos ^4 (\alpha) = \dfrac{3-4 \cdot \cos(4 \alpha)+ \cos(8 \alpha)}{128}}
{\sin ^5 (\alpha) \cdot \cos ^5 (\alpha) = \dfrac{10 \cdot \sin (2 \alpha)-5 \cdot \sin(6 \alpha)+\sin (10 \alpha)}{512}}

Все формулы тригонометрии на одном листе

На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Листо можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.

Все формулы тригонометрии на одном листе

Ваша оценка

[Оценок: 8 Средняя: 5]

Просмотров страницы: 451

mnogoformul.ru

Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Уравнения разложения тригонометрических функций:квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.

 

 

 

 

 

Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)

 

sin(2α)- через sin и cos:

 

sin(2α)- через tg и ctg:

 

cos(2α)- через sin и cos:

 

cos(2α)- через tg и ctg:

 

 

tg(2α) и сtg(2α):

 

 


Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):

 

 

 

 


Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов

 

 

 

 

 

 


sin(α)=OA

cos(α)=OC

tg(α)=DE

ctg(α)=MK

R=OB=1

 

Значения функций для некоторых углов, α

 


В таблице показаны формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).

 

 

www-formula.ru

Полная таблица всех тригонометрических формул приведения

01)

Основные тригонометрические тождества

01.1)
Основное тригонометрическое тождество
формула основного тригонометрического тождества
01.2)
Основное тождество через тангенс и косинус
формула основного тождества через тангенс и косинус
01.3)
Основное тождество через котангенс и синус
формула основного тождества через котангенс и синус
01.4)
Соотношение между тангенсом и котангенсом
формула соотношения между тангенсом и котангенсом
02)

Формулы двойного аргумента (угла)

02.1)
Синус двойного угла
формула синуса двойного угла
02.2) формула синуса двойного угла
02.3)
Косинус двойного угла
формула синуса двойного угла
02.4) формула синуса двойного угла
02.5)
Тангенс двойного угла
формула синуса двойного угла
02.6)
Котангенс двойного угла
формула синуса двойного угла
03)

Формулы тройного аргумента (угла)

03.1)
Синус тройного угла
формула синуса тройного угла
03.2)
Косинус тройного угла
формула косинуса тройного угла
03.3)
Тангенс тройного угла
формула тангенса тройного угла
03.4)
Котангенс тройного угла
формула котангенса тройного угла
04)

Формулы половинного аргумента (угла)

04.1)
Синус половинного угла
формула синуса половинного угла
04.2)
Косинус половинного угла
формула косинуса половинного угла
04.3)
Тангенс половинного угла
формула тангенса половинного угла
04.4)
Котангенс половинного угла
формула котангенса половинного угла
04.5)
Тангенс половинного угла
формула тангенса половинного угла
04.6)
Котангенс половинного угла
формула котангенса половинного угла
05)

Формулы квадратов тригонометрических функций

05.1)
Квадрат синуса
формула квадрата синуса
05.2)
Квадрат косинуса
формула квадрата косинуса
05.3)
Квадрат тангенса
формула квадрата тангенса
05.4)
Квадрат котангенса
формула квадрата котангенса
05.5)
Квадрат синуса половинного угла
формула квадрата синуса половинного угла
05.6)
Квадрат косинуса половинного угла
формула квадрата косинуса половинного угла
05.7)
Квадрат тангенса половинного угла
формула квадрата тангенса половинного угла
05.8)
Формулы кубов тригонометрических функций
формула квадрата котангенса половинного угла
06)

Формулы кубов тригонометрических функций

06.1)
Куб синуса
формула куба синуса
06.2)
Куб косинуса
формула куба косинуса
06.3)
Куб тангенса
формула куба тангенса
06.4)
Куб котангенса
формула куба котангенса
07)

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

07.1)
Четвертая степень синуса
формула четвертой степени синуса
07.2)
Четвертая степень косинуса
формула четвертой степени косинуса
08)

Формулы сложения и вычитания аргументов

08.1)
Сложение аргументов синуса
формула сложения аргументов синуса
08.2)
Сложение аргументов косинуса
формула сложения аргументов косинуса
08.3)
Сложение аргументов тангенса
формула сложения аргументов тангенса
08.4)
Сложение аргументов котангенса
формула сложения аргументов котангенса
08.5)
Вычитание аргументов синуса
формула вычитания аргументов синуса
08.6)
Вычитание аргументов косинуса
формула вычитания аргументов косинуса
08.7)
Вычитание аргументов тангенса
формула вычитания аргументов тангенса
08.8)
Вычитание аргументов котангенса
формула вычитания аргументов котангенса
09)

Формулы суммы тригонометрических функций

09.1)
Сумма синусов
формула суммы синусов
09.2)
Сумма косинусов
формула суммы косинусов
09.3)
Сумма тангенсов
формула суммы тангенсов
09.4)
Сумма котангенсов
формула суммы котангенсов
09.5)
Сумма синуса и косинуса
формула суммы синуса и косинуса
10)

Формулы разности тригонометрических функций

10.1)
Разность синусов
формула разности суммы синусов
10.2)
Разность косинусов
формула разности суммы косинусов
10.3)
Разность тангенсов
формула разности суммы тангенсов
10.4)
Разность котангенсов
формула разности котангенсов
10.5)
Разность синуса и косинуса
формула разности синуса и косинуса
11)

Формулы произведения тригонометрических функций

11.1)
Произведение синусов
формула произведения синусов
11.2)
Произведение косинусов
формула произведения косинусов
11.3)
Произведение синуса и косинуса
формула произведения синуса и косинуса
11.4)
Произведение тангенсов
формула произведения тангенсов
11.5)
Произведение котангенсов
формула произведения котангенсов
11.6)
Произведение тангенса и котангенса
формула произведения тангенса и котангенса
12)

Формулы понижения степени

12.1)
Понижение степени синуса
формула понижения степени синуса
12.2)
Понижение степени косинуса
формула понижение степени косинуса
13)

Формулы суммы и разности разных тригонометрических функций

13.1)
Сумма синуса и косинуса
формула суммы синуса и косинуса
13.2)
Разность синуса и косинуса
формула разности синуса и косинуса
13.3)
Сумма синуса и косинуса с коэффициентами
формула суммы синуса и косинуса с коэффициентами
13.4)
Разность синуса и косинуса с коэффициентами
формула разности синуса и косинуса с коэффициентами
14)

Формулы общего вида

14.1)
Формула понижения nй четной степени синуса
формула формулы формулы понижения n четной степени синуса
14.2)
Формула понижения nй четной степени косинуса
формула формулы понижения nй четной степени косинуса
14.3)
Формула понижения nй нечетной степени синуса
формула формулы понижения nй нечетной степени синуса
14.4)
Формула понижения nй нечетной степени косинуса
формула формулы понижения nй нечетной степени косинуса

cae-cube.ru

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Содержание статьи:

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

Таблица арксинусов

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арктангенсов

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арккотангенсов

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2  x/2=0`,

`2sin  x/2 cos  x/2-2sin^2  x/2=0`,

`2sin  x/2 (cos  x/2-sin  x/2)=0`,

  1. `sin  x/2 =0`,  `x/2 =\pi n`,  `x_1=2\pi n`.
  2. `cos  x/2-sin  x/2=0`, `tg  x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg  x`:  `a  tg  x+b=0` и `a  tg^2 x + b  tg  x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin  4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin  2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n  arcsin  2/5-` `arcsin  4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin  2/5-` `arcsin  4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

Тригонометрические формулы функций, более 100 шт

Тригонометрия в буквальном переводе означает измерение треугольников. Но это надо понимать как решение треугольников, то есть определения их сторон, углов или других элементов. Возникновение тригонометрии связано с землеизмерением, астрономией и строительством.

Основные тригонометрические формулы

Основное тригонометрическое тождество

   

   

   

Эти тождества используются для преобразования тригонометрических выражений; позволяют по значению одной из тригонометрических функций найти значения всех остальных.

Знаки тригонометрических функций

Отсюда можем сделать вывод, что значения синусов углов лежащих в первой и второй четверти положительны (так как ординаты точек в этих четвертях больше нуля), а лежащих в третьей и четвёртой четверти – отрицательны.

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.

Формулы, выражающие тригонометрические функции через другие тригонометрические функции

Данные формулы позволяют находить одну тригонометрическую функцию угла если известная какая-нибудь иная функция этого угла. Используются при упрощениях и вычислениях:

   

   

   

   

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента

Эти формулы находят свое широкое применение в интегральном исчислении.

   

   

Формулы двойных и тройных аргументов

Данные формулы довольно легко получить при помощи формул сложения аргументов тригонометрических функций, заменой на Используются при тригонометрических упрощениях и преобразованиях.

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

   

   

   

   

Формулы половинного аргумента

Названные формулы выражают функции половинного аргумента через тригонометрические функции аргумента При меняются в тригонометрических преобразованиях.

   

   

   

   

Формулы сложения и вычитания аргументов

Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух углов и Данные формулы позволяют по известным тригонометрическим функциям аргументов и определять значения этих функций для сумм или разностей указанных аргументов.

   

   

   

   

   

   

   

   

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Формулы для разложения тригонометрических выражений на множители.

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Эти формулы получаются из сложения/вычитания соответствующих формул сложения и вычитания аргументов и дальнейшего упрощения:

   

   

   

Используются при тригонометрических преобразованиях.

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Данные формулы используются при различных тригонометрических преобразованиях:

   

   

   

   

   

   

Другие формулы

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

ru.solverbook.com

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *