Теория по тригонометрии – Основные формулы по тригонометрии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Содержание

Тригонометрические функции

Величины углов (аргументы функций): α, x 
Тригонометрические функции: sinα, cosα, tanα, cotα, secα, cscα
Множество действительных чисел: R 
Координаты точки окружности: x, y 

Радиус круга: r 
Целые числа: k 

1.      Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2.      К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синускосинустангенс

,котангенссеканс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3.      Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4.      Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r: 
sinα=y/r. 
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5.      Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r: 
cosα=x/r 

6.      Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x: 
tanα=y/x,x≠0 

7.      Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y: 
cotα=x/y,y≠0 

8.      Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y): 
secα=r/x=1/x,x≠0 

9.      Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y): 
cscα=r/y=1/y,y≠0 

10.  В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом: 
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему. 
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему. 
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету. 
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету. 

11.  График функции синус 
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1 

12.  График функции косинус 
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1 

13.  График функции тангенс 
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞<tanx<∞ 

14.  График функции котангенс 
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞<cotx<∞ 

15.  График функции секанс 
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪[1,∞) 

16.  График функции косеканс 
y=cscx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: cscx∈(−∞,−1]∪[1,∞) 

 

 

Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии:

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

Достижения Виета в тригонометрии 
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

 

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний,   — полная фаза колебаний, r  — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Механические колебания . Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

Многофункциональная тригонометрия

·         Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

·         К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

·         Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

·         Одно из фундаментальных свойств живой природы — это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

·         Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

·         Основной земной ритм – суточный.

·         Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

·         Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

·         Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

Связь биоритмов с тригонометрией

·         Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Возникновение музыкальной гармонии

·         Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

·         Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

·         диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

·         Детская школа Гауди в Барселоне

·         Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

·         Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

 

Значения тригонометрических функций

Ключевые слова: радиан, радианная мера угла, тригонометрическая окружность, знаки тригонометрических функций

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. 
При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота
Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. 
Пусть одна сторона угла  с вершиной в начале координат O идет по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. 
Из геометрии известно, что отношение длины дуги l , на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла: =lR.

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. 
Говорят, что угол равен определенному числу радиан. 
Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу. 
В самом деле: =RR=1 радиан. Обозначение радиана – «рад». 
Так как длина всей окружности радиуса R равна 2R , то всей окружности соответствует угол =R2R=2 радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует 2360=180 градусов: 
1рад=1805717. И наоборот, 1=180рад.

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному: 
=180рад 

и от радианного измерения к градусному: 
=180 .

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° =  рад пишут просто 180° = .

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Угол, градусы

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

Угол, радианы

0

6

4

3

2

 

23

2

Так как, синус по определению равен ординате точки на единочной окружности, а косинус — абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

 

I

II

III

IV

sin

+

+

cos

+

+

tg

+

+

ctg 

+

+

Вычисление тригонометрических функций некоторых углов.

 

Тригонометрические функции числового и углового аргументов

 

Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции числового аргумента t  – это функции вида y = cos t, 
y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.

Пояснения.

1) Возьмем формулу cos2 t + sin2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.

Для этого разделим обе части формулы на cos2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk). Итак:

  cos2 t        sin2 t             1
——— + ———  =  ———
 cos2 t        cos2 t          cos2 t

Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:

                                                          1                        π
                                  1 + tg2 t  =  ———,     где t ≠ — + πkk – целое число.
                                                       cos2 t                    2

 

2) Теперь разделим cos2 t + sin2 t = 1 на sin2 t (при t ≠ πk):

  cos2 t        sin2 t             1
——— + ———  =  ———,   где t ≠ πk + πkk – целое число
  sin2 t         sin2 t          sin2 t

Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:

                                                          1
                                 1 + ctg2 t  =  ———,   где t ≠ πk, k – целое число.
                                                        sin2 t


Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:

                           sin2 t         1         sin2 t          cos2 t + sin2 t             1
1 + tg2 t  =  1 + ———  =  —  +  ———  =  ——————  =  ———
                          cos2 t         1          cos2 t               cos2 t                cos2 t

Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.

 

Тригонометрические функции углового аргумента.

В функциях  у = cos t, у = sin t, у = tg t, у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.

С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия: 
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x.

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.

Пояснение. Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x, а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:

   √3       1
 ——; ——
    2        2

  А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.

Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

 

Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:

                                                  πα
                             sin αº = sin ——
                                                 180

                                                  πα
                            cos αº = cos ——
                                                  180

Пример: найти синус и косинус угла, равного 60º.

Решение:

                        π · 60                π         √3
sin 60º  =  sin ———  =  sin —— = ——
                         180                  3          2

                           π        1
cos 60º  =  cos —— = —
                           3        2

 

ya-znau.ru

Тригонометрия

         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Тригонометрия  
   
 
  •  Репетитор: Васильев Алексей Александрович

     Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

  •  Репетитор: Крюков Илья Хассанович

     Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

  •  Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

     Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

  •  Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

     Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

  •  Репетитор: Тверской Василий Борисович

     Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.

  •  Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

     Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.

  •  Репетитор: Ершикова Марина Львовна

     Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.

 
 
   1.Тригонометрия.
   2.Тригонометрические функции.

 

     
     
  1 2 3 4 5 6 7 8 9  
     

   1.  Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости между углами и сторонами в треугольниках и тригонометрические функции.

   Основная задача тригонометрии — вычисление неизвестных величин треугольника, если известны значения других его величин. В тригонометрии также решают задачу о вычислении углов треугольника, если известны его стороны, задачу о вычислении сторон треугольника и т.д.

 
 

   Для измерения углов между сторонами треугольника используется такая  единица измерения, как градус. Вся окружность с центром в точке О составляет 360°. Помимо градусной меры углов, также используется  радианная мера. 1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

   Радианная  и  градусная меры связаны зависимостью 180°=π   радиан.  Угол  в n°  равен    πn/ 180  радиан.

   Для того, чтобы рассчитать длину дуги угла α, используется следующая формула:

                        l= αr
   где  
     l  – длина дуги окружности
     α – угол в радианах
     r  – радиус окружности.
 

   Площадь S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит α радиан, рассчитывается так:

                        S = αr² / 2
    где
      S – площадь сектора круга радиуса r

 

Площадь сектора круга.

 

2. Тригонометрические функции.

   Тригонометрические функции — математические функции от величины угла. Они используются при изучении геометрии, а также при исследовании переодических процессов в разных областях науки.  Тригонометрические функции определяют  отношения сторон прямоугольного треугольника  в единичной окружности.

   Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и OY . Возьмем в этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OМ поворачивается на произвольный угол α вокруг центра O. Так как треугольник ОМВ прямоугольный, то тригонометрические функции угла α определяется из соотношений в прямоугольном треугольнике. Тогда:

 
     Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе или отношение координаты y точки М к длине отрезка OМ=R, где R — радиус окружности. Синус угла α обозначают sinα. Так как длина отрезка OМ=1, следовательно sinα = y.
   Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе или отношение координаты х точки М к длине отрезка OМ. Косинус угла α обозначают cosα. Так как ОМ=1, то cosα = х.
   Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему или координаты y точки М к x. Тангенс угла α обозначают tgα. Так как y = sin α и x = cos α, то tgα= sin α / cos α.
   Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему или отношение координаты х точки М к y. Котангенс угла α обозначают ctgα. Так как y = sin α и x = cos α, то ctgα= cosα / sinα. Из последних двух соотношений следует: ctg α= 1 / tg α
 

sin, cos, tg, ctg на тригонометрическом круге.

 
     
 

   y = sin x


   Область определения функции sin x  — множество всех действительных чисел. Областью значений функции синус является отрезок [-1;1].

 

График функции sin.

 
     
 

   y = cos x


   Область определения функции cos x  — множество всех действительных чисел. Областью значений функции синус является отрезок [-1;1].

 

График функции cos.

 
     
 

   y = tg x


   Область определения функции tg x  — (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)

 

График функции tg.

 
     
 

  y = ctg x


   Область определения функции ctg x  — (πn, π + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)

 

График функции сtg.

 
     
 

 
 

    Значения синуса и косинуса для некоторых углов.

 
   
   
     Значения тангенса и котангенса для углов 30, 45 и 60 находятся аналогично.  
 

Пример 1

 
   
  Пример 2      
   
 
     
  1 2 3 4 5 6 7 8 9  
     

www.mathtask.ru

Тригонометрия — Циклопедия

Титульная страница «Тригонометрии» (переиздание 1612) В. Питиска, давшая название одноименному разделу математики Основы тригонометрии // KhanAcademyRussian (CC) [9:25] Основы тригонометрии Часть 2 // KhanAcademyRussian [12:22]

Тригонометрия — раздел классической математики, лежащий на пересечении алгебры и геометрии: система законов-функций, по которым на евклидовой плоскости соотносятся стороны и углы треугольников.

Тригонометрия основывается на соотношении подобия. Треугольники с двумя равными углами подобны, поэтому подобны прямоугольные треугольники, в которых равен один острый угол. Отношение длин сторон у подобных треугольников одинаковое, поэтому отношение сторон прямоугольных треугольников зависит только от одного параметра — величины острого угла. Это обстоятельство позволяет обозначить тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, через отношение различных сторон прямоугольного треугольника.

[править] Исторические сведения

Некоторые сведения о науке, позже получившей название «тригонометрия», были еще у древних египтян. В папирусе Ахмеса есть пять задач, касающихся измерения пирамид, в которых упоминается какая-то функция угла — «сект». Есть мнение, что «сект» обозначает котангенс угла. Применение этой функции носило сугубо практическую причину: египетские архитекторы строили пирамиды, строго придерживаясь одного и того же значения угла наклона боковой грани к основанию (52°) и угла между ребром и диагональю основания (42°). А для этого надо было знать соответствующие отношения между линейными элементами четырехугольной пирамиды.

Вавилоняне так же имели некоторые знания об этой области математики: они ввели разделение круга на 360° и разделение градуса на 60 частей, что соответствовало принятой в древней Месопотамии шестидесятеричной системе счисления. Для измерения углов вавилоняне пользовались примитивной астролябией.

Древние греки умели решать многие тригонометрические задачи, но они применяли геометрические, а не алгебраические методы.

Тригонометрическую функцию синус впервые ввели древние индийцы в трактате «Сурья-сиддханта». Свойства этой функции исследовал индийский математик 5 века Ариабхата[1]. Дальнейший вклад в развитие тригонометрии сделали арабские математики. До 10 века они апеллировали всеми тригонометрическими функциями и протабулировали их. В Европу понятие тригонометрических функций пришло с переводами трудов ал-Баттани и Ат-Туси. Одной из первых работ европейской математики, посвященных тригонометрии была книга «De Triangulis» немецкого математика 15 века Региомонтана. Однако, еще в 16 веке тригонометрия была мало известна. Коперник вынужден был посвятить ее описанию 2 отдельных раздела в своей работе «Об обращении небесных сфер» (лат. «De revolutionibus orbium coelestium»).

Быстрое дальнейшее развитие тригонометрии было обусловлено требованиями навигации и картографии[2]. Сам термин тригонометрия ввел, опубликовав в 1595 книгу под таким же названием, немецкий математик Варфоломей Питиск (нем. Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613)[3]. Гемма Фризий описал метод триангуляции.

Со становлением математического анализа тригонометрия получила новые методы. Благодаря трудам Брука Тейлора и Колина Маклорена тригонометрические функции получили представление в виде рядов[4]. Формула Муавра установила связь между тригонометрическими функциями и экспонентой. Леонард Эйлер расширил определение тригонометрических функций на комплексную плоскость.

  • Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  • Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  • Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
  • Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
  • Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
  • Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до [math]\pi \over 2[/math] радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол [math]\theta[/math] (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

[править] Свойства функции синус

Синус
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: [math]D(y) = R[/math].
  2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: [math]E(y)[/math] = [−1;1].
  3. Функция [math] y = \sin \left( \alpha \right) [/math] является нечётной: [math] \sin \left( — \alpha \right) = — \sin \alpha[/math].
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен [math]2\pi[/math]: [math] \sin \left( \alpha + 2 \pi \right) = \sin \left( \alpha \right) [/math].
  5. График функции пересекает ось Ох при [math] \alpha = \pi n \,, n \in Z[/math].
  6. Промежутки знакопостоянства: [math]y \gt 0[/math] при [math] \left( 2\pi n + 0; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math] и [math] y \lt 0 [/math] при [math]\left( \pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math].
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: [math]( \sin \alpha )’ = \cos \alpha[/math]
  8. Функция [math] y = \sin \alpha [/math] возрастает при [math] \alpha \in \left( — \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math], и убывает при [math] \alpha \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math].
  9. Функция имеет минимум при [math] \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z [/math] и максимум при [math] \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z [/math].

[править] Свойства функции косинус

Косинус
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: [math]D(y) = R[/math].
  2. Множество значений — промежуток [−1; 1]: [math]E(y)[/math] = [−1;1].
  3. Функция [math] y = \cos \left( \alpha \right) [/math] является чётной: [math] \cos \left( — \alpha \right) = \cos \alpha[/math].
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен [math]2\pi[/math]: [math] \cos \left( \alpha + 2 \pi \right) = \cos \left( \alpha \right) [/math].
  5. График функции пересекает ось Ох при [math] \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z[/math].
  6. Промежутки знакопостоянства: [math]y \gt 0[/math] при [math] \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z [/math] и [math] y \lt 0 [/math] при [math]\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z .[/math]
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: [math]( \cos \alpha )’ = -\sin \alpha[/math]
  8. Функция [math] y = \cos \alpha [/math] возрастает при [math] \alpha \in \left( -\pi + 2\pi n; 2\pi n \right) \,, n \in Z ,[/math] и убывает при [math] \alpha \in \left( 2\pi n; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z .[/math]
  9. Функция имеет минимум при [math] \alpha = \pi + 2\pi n \,, n \in Z [/math] и максимум при [math] \alpha = 2\pi n \,, n \in Z .[/math]

[править] Свойства функции тангенс

Тангенс
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: [math]D(y) = R[/math], кроме чисел [math] \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n . [/math]
  2. Множество значений — множество всех действительных чисел: [math] E(y) = R . [/math]
  3. Функция [math] y = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) [/math] является нечётной: [math] \mathrm{tg} \left( — \alpha \right) = — \mathrm{tg}\ \alpha[/math].
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен [math]\pi[/math]: [math] \mathrm{tg} \left( \alpha + \pi \right) = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) [/math].
  5. График функции пересекает ось Ох при [math] \alpha = \pi n \,, n \in Z[/math].
  6. Промежутки знакопостоянства: [math] y \gt 0 [/math] при [math] \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z [/math] и [math] y \lt 0 [/math] при [math]\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right) \,, n \in Z [/math].
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: [math]( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )’ = \frac{1}{\cos ^2 x}.[/math]
  8. Функция [math] y = \mathrm{tg}\ \alpha [/math] возрастает при [math] \alpha \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z [/math].

[править] Свойства функции котангенс

Котангенс
  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: [math]D(y) = R,[/math] кроме чисел [math] \alpha = \pi n .[/math]
  2. Множество значений — множество всех действительных чисел: [math] E(y) = R .[/math]
  3. Функция [math] y = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) [/math] является нечётной: [math] \mathop{\operatorname{ctg}} \left( — \alpha \right) = — \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha \,.[/math]
  4. Функция периодическая, наименьший положительный период равен [math]\pi[/math]: [math] \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha + \pi \right) = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) .[/math]
  5. График функции пересекает ось Ох при [math] \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z \,.[/math]
  6. Промежутки знакопостоянства: [math] y \gt 0 [/math] при [math] \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z [/math] и [math] y \lt 0 [/math] при [math]\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .[/math]
  7. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: [math]( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )’ = -\frac{1}{\sin ^2 x}.[/math]
  8. Функция [math] y = \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha [/math] убывает при [math] \alpha \in \left( \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .[/math]

[править] Основные теоремы тригонометрии

Определенные для прямоугольного треугольника тригонометрические функции позволяют решать произвольные треугольники с использованием основных теорем: теоремы синусов, теоремы косинусов и теоремы тангенсов.

[править] Теорема синусов

Теорема синусов утверждает, что отношение синуса угла к длине противоположной стороны треугольника одинакова для всех углов треугольника. Для плоского треугольника со сторонами [math]a, b, c[/math] и соответствующими противоположными них углами [math]A, B, C[/math] можно записать:

[math]\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,[/math]

где [math]R[/math] — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

[math]R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.[/math]

[править] Теорема косинусов

По теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами [math]a, b, c[/math] и углом [math]C[/math], между сторонами [math]a, b[/math]:

[math]c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,[/math]

или:

[math]\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,[/math]

Теорема косинусов позволяет определить длину третьей стороны треугольника, если известны длины двух сторон и значение угла между ними.

[править] Теорема тангенсов

Теорема тангенсов — теорема о соотношении между двумя сторонами произвольного треугольника и тангенса полусуммы и полуразности противоположных к ним углов, которая записывается уравнением (формула Региомонтана):

[math]\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}[/math]

[править] Площадь треугольника

Площадь треугольника тоже может быть определена через тригонометрические функции: она равна половине произведения прилегающих сторон на синус угла между ними:

[math]A = \frac{1}{2}ab\sin C .\,[/math]

[править] Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнения, в которых фигурируют тригонометрические функции, называют тригонометрическими. Самые простые из них имеют аналитические решения, благодаря существованию обратных тригонометрических функций. Поскольку тригонометрические функции периодические, такие решения не единственные, а определяются с точностью до периода.

[math]\begin{matrix} \sin x=a & (|a|\le1) & x=(-1)^n \arcsin a + \pi n \\ \cos x=a & (|a|\le1)& x=\pm \arccos a + 2 \pi n \\ \text{tg}\, x=a & & x=\text{arctg}\, a + \pi n \\ \text{ctg}\, x=a & & x=\text{arcctg}\, a + \pi n \\ \end{matrix}[/math]

[править] Формулы преобразования тригонометрических выражений

Синус и косинус суммы/разности:

[math]\sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y \![/math]
[math]\sin(x-y)=\sin x \cos y — \cos x \sin y \![/math]
[math]\cos(x+y)=\cos x \cos y — \sin x \sin y \![/math]
[math]\cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y \![/math]

Сумма/разность синусов и косинусов:

[math]\sin x + \sin y = 2 \sin{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} \![/math]
[math]\sin x — \sin y = 2 \sin{\frac{x-y}{2}} \cos{\frac{x+y}{2}} \![/math]
[math]\cos x + \cos y = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} \![/math]
[math]\cos x — \cos y =-2 \sin{\frac{x+y}{2}} \sin{\frac{x-y}{2}} \![/math]

Сферическая тригонометрия — раздел сферической геометрии, главными объектами которого являются многоугольники (особенно треугольники) на сфере и соотношение между сторонами и углами. Возникновение сферической геометрии связано с задачами сферической астрономии.

Основными элементами сферической геометрии являются точки и большие круги сферы. Большие круги являются геодезическими линиями сферы, поэтому они в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Расстояние между двумя точками в сферической геометрии измеряется углом между радиусами сферы, проведенными в эти точки. Угол между двумя «прямыми» равен двугранному углу между плоскостями больших кругов, которые определяют эти «прямые». Две любые «прямые» в сферической геометрии пересекаются в двух точках и разбивают поверхность сферы на 4 двуугольника. Три «прямые», пересекаясь попарно, образуют 8 сферических треугольников. Эти треугольники имеют много необычных свойств, которые отличают их от плоских треугольников. Например, сумма углов сферического треугольника всегда больше 180° и меньше 540°.

Стороны и углы сферического треугольника связаны зависимостями:

[math]\frac{\sin\frac{a}{R}}{\sin A}=\frac{\sin\frac{b}{R}}{\sin B}=\frac{\sin\frac{c}{R}}{\sin C};[/math]
[math]\cos\frac{c}{R}=\cos\frac{a}{R}\cos\frac{b}{R}+\sin\frac{a}{R}\sin\frac{b}{R}\cos C;[/math]
[math]\cos\frac{a}{R}=\frac{\cos A + \cos B\cos C}{\sin B\sin C}.[/math]

где [math]a, b, c[/math] — стороны сферического треугольника; [math]A, B, C[/math] — углы, противоположные этим сторонам; [math]R[/math] — радиус сферы.

Сферическая тригонометрия очень важна в астрономических вычислениях (небесной механике), а также в орбитальной, космической навигации и навигации на поверхности Земли.

  • Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. — М.: Просвещение, 1967. — 648 с.
  • Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 136 с.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. — 830 c.

cyclowiki.org

Основные формулы по тригонометрии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Знание формул по тригонометрии является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по тригонометрии, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении тригонометрических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной тригонометрии.

 

Изучать основные формулы по школьной тригонометрии онлайн:

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

educon.by

Тригонометрия — математика и искусство

Область применения тригонометрии охватывает самые разные сферы математики, некоторые разделы естествознания и техники.

Тригонометрия имеет несколько разновидностей:

  • Сферическая тригонометрия занимается изучением сферических треугольников.

  • Прямолинейная или плоская тригонометрия изучает обычнее треугольники.


Значительно развили тригонометрию древнегреческие и эллинистические ученые. Однако в работах Евклида и Архимеда тригонометрия представлена в геометрическом виде. Теоремы о длине хорд применяются в законах синусов. А теорема Архимеда для деления хорд соответствует формулам для синусов суммы и разности углов.

В настоящее время математики используют новую запись известных теорем, например, sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Предположительно первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом Никейским, которого по праву считают «отцом тригонометрии». Ему принадлежит заслуга в создании сводной таблицы величин дуг и хорд для серии углов. Более того именно Гиппарх Никейский впервые стал использовать 360° окружности.

Клавдий Птолемей значительно развил и расширил учение Гиппарха. Теорема Птолемея гласит: сумма произведений противоположных сторон циклического четырехугольника равна произведению диагоналей. Следствием теоремы Птолемея стало понимание эквивалентности четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса. Кроме того, Птолемей вывел формулу половинного угла. Все свои результаты Птолемей использовал при составлении тригонометрических таблиц. К сожалению, ни одной подлинной тригонометрической таблицы Гиппарха и Птолемея не сохранилось до наших дней.

Тригонометрические вычисления нашли свое применение почти во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
С помощью тригонометрии (техника триангуляции) можно измерять расстояния между звездами, между ориентирами в географии, производить контроль над системами навигации спутников.

Тригонометрия успешно применяется в технике навигации, теории музыки, акустике, оптике, при анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятности, статистике, биологии и медицине, химии и теории чисел (криптографии), сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, топографии и геодезии, архитектуре и фонетике, машиностроении и компьютерной графике.

matematikaiskusstvo.ru

Тригонометрические формулы

         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Тригонометрические формулы  
   
 
  •  Репетитор: Васильев Алексей Александрович

     Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

  •  Репетитор: Крюков Илья Хассанович

     Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

  •  Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

     Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

  •  Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

     Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

  •  Репетитор: Тверской Василий Борисович

     Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.

  •  Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

     Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.

  •  Репетитор: Ершикова Марина Львовна

     Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.

 
 

    1.Знаки тригонометрических функций.
    2.Значения тригонометрических функций для некоторых углов.
    3.Основные тригонометрические тождества.
    4.Формулы приведения.
    5.Формулы преобразования суммы
    6.Формулы сложения.
    7.Формулы половинного аргумента.
    8.Формулы понижения степени.
    9.Формулы двойного угла.
    10.Переход от произведения к сумме.
    11.Формулы тройного угла.

 

 
         
1 2 3 4 5 6 7 8
         

     
   

Знаки тригонометрических функций по четвертям в тригонометрическом круге

 
   

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

 
   
   

Основные тригонометрические тождества

 

Формулы приведения

 
     
   

Формулы преобразования суммы

 

Формулы сложения

 
     
   

Формулы половинного аргумента

 

Формулы понижения степени

 
     
   

Формулы двойного угла

 

Переход от произведения к сумме

 
   

Формулы тройного угла

 
         

         
1 2 3 4 5 6 7 8
         

www.mathtask.ru

Тригонометрия Википедия

Ссылки на статьи о тригонометрии
Тригонометрия
  • Обзор тригонометрии (англ.)
  • История
  • Использование (англ.)
  • Функции (Обратные)
  • Обобщённая тригонометрия (англ.)
Справочник
  • Тождества
  • Точные константы (англ.)
  • Таблицы
  • Единичная окружность
Законы и теоремы
  • Теорема синусов
  • Теорема Пифагора
  • Теорема косинусов
  • Теорема тангенсов
  • Теорема котангенсов
  • Решение треугольников
Математический анализ
  • Тригонометрическая подстановка (англ.)
  • Интегралы (обратные функции)
  • Производные (англ.)

Тригономе́трия (от др.-греч. τρίγωνον «треугольник» и μετρέω «измеряю», то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли).

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролирова

ru-wiki.ru

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.