Решение иррациональных неравенств и уравнений – Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (11 класс) на тему: Решение иррациональных уравнений и неравенств 11 класс | скачать бесплатно

Математика: Иррациональные уравнения и неравенства

6.

Иррациональные уравнения и неравенства

Комментарий. Сущность процесса решения уравнений можно описать следующим образом: исходное уравнение упрощается посредством определенных преобразований, т.е. выстраивается цепочка от исходного к некоторому итоговому уравнению, решение которого очевидно или способ (алгоритм) решения которого хорошо известен. При этом возможны три типа преобразований, три принципиально разные ситуации.

1. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множества корней исходного и итогового уравнений совпадают; в этом случае исходное и итоговое уравнения называют равносильными; соответствующие преобразования также называют равносильными.

2. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множество корней итогового уравнения «шире», чем множество корней исходного уравнения; в этом случае говорит, что в процессе решения применены неравносильные преобразования, которые могли привести к появлению посторонних корней.

3. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множество корней итогового уравнения «уже», чем множество корней исходного уравнения; в этом случае говорят, что в процессе решения применены неравносильные преобразования, которые могли привести к потере корней.

Проиллюстрируем сказанное примерами.

Пример 6.1.

а) Дано уравнение:

Перепишем уравнение, разложив на множители знаменатели:

Умножим обе части уравнения на выражение x² + 4; это равносильное преобразование, т.к. x² + 4 ≠ 0 при любом значении х:

б) Дано уравнение:

Возведем обе его части в квадрат:

Так как , то получаем . Множество корней этого уравнения — все действительные числа. При этом простая проверка показывает, что отрицательное число не может быть корнем исходного уравнения. Таким образом, в процессе решения были применены неравносильные преобразования и появились посторонние корни. Действительно, возведение обоих частей уравнения в четную степень является равносильным преобразованием только в том случае, если обе части уравнения неотрицательны.

в) Дано уравнение: x² — 2х – 3 = 4х + 5 + x².

Перепишем уравнение, разложив квадратные трехчлены на множители:

(х + 1)(х — 3) = (5 — х)(х + 1).

Разделим обе части уравнения на выражение х + 1 : х – 3 = 5 — х.

Последнее уравнение имеет единственный корень х = 4, в то время как исходное уравнение имеет два корня: x₁ = 4 и x₂ = -1. Таким образом, в процессе решения уравнения было применено неравносильное преобразование, которое привело к потере корней. Действительно, проводя деление на выражение х + 1, мы не потребовали, чтобы х + 1 ≠ 0.

Как видно из примеров неравносильные преобразования могут стать причиной неверного решения уравнения, привести к ошибке. Так может быть запретить неравносильные преобразования?! Можно запретить. Это один из возможных подходов. Он снимает проблему посторонних и потерянных корней, но приводит, как правило, к некоторому техническому усложнению процесса решения уравнения: появляются смешанные системы (уравнение и неравенство) и совокупности таких систем.

Так, уравнение из примера 6.1, б равносильно совокупности:

Уравнение x² — 2х – 3 = 4х + 5 — x² из примера 6.1, в равносильно совокупности

Рассмотренные совокупности решаются просто, но в более сложных случаях обязательное соблюдение условия равносильности преобразований может привести к серьезным техническим трудностям, сделать решение слишком ветвящимся и громоздким. Поэтому, не будем строго запрещать применение любых неравносильных преобразований. Все ли они одинаково опасны? Понятно, что более опасны неравносильные преобразования, приводящие к потере корней. В примере 6.1, в нам удалось легко понять причину потери корня и исправиться, но в большинстве случаев потерянные корни отыскать весьма трудно (заметим также, что малоопытный решающий, а абитуриент часто именно таков, может вовсе не заметить факта потери корня, и не будет пытаться его отыскать, хотя это, может быть, и получилось бы).

Итак, на не равносильные преобразования, приводящие к потере корней, мы накладываем строгий и категорический запрет. При решении уравнений, таким образом, мы не будем применять деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в ноль в области определения уравнения, и не будем применять преобразования, приводящие к сужению области определения уравнения.

Что же касается, неравносильных преобразований, приводящих к появлению посторонних корней, то такие преобразования вполне допустимы. Но при этом, обязательным заключительным этапом решения должна быть проверка всех найденных в итоге корней. Заметим, что тактика проверки зависит непосредственно от класса уравнений (рациональные, иррациональные, логарифмические и т.д.), ибо в каждом случае свои причины появления посторонних корней. В этой связи, тактика проверки конечно должна быть гибкой, но можно пользоваться и универсальным приемом: подстановка всех корней итогового уравнения в исходное с последующим вычислением или «прикидкой».

Пример 6.2.

Решим уравнение:

Комментарий. При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования при обязательной проверке корней. Решая уравнения вида, следует перед возведением в квадрат уединить один из корней, перенеся его в правую часть уравнения. Уединить можно любой из корней, и в большинстве случаев, все равно какой. Но иногда уединение определенного корня приводит к более простому решению, чем уединение других. Поэтому всегда следует анализировать ситуацию в указанном аспекте.

Решение

В нашем уравнение сумма коэффициентов при х в первом и третьем подкоренных выражениях равна коэффициенту при х во втором подкоренном выражении. Поэтому уединить целесообразно именно корень . Полученное после возведения в квадрат уравнение будет содержать х только под корнем. Если бы мы уединяли любой из других корней, то после возведения в квадрат получали бы уравнения, содержащие х и под корнем, и вне корня, что менее удобно для последующего решения.

Итак, имеем:

Комментарий. При решении иррационального уравнения мы осуществляем так называемую рационализацию уравнения, т.е. избавляемся от радикалов (корней). Но, избавляясь от корней, мы избавляемся и от ограничений на подкоренные выражения: Иными словами, происходит расширение области определения уравнения. Это причина появления посторонних корней. Поэтому все корни итогового уравнения, полученного в ходе решение, следует проверить на принадлежность области определения исходного уравнения. В нашем случае область определения исходного уравнения задается системой:

Решив эту систему, получаем область определения уравнения:

Очевидно, что  — посторонний корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований, приведших к расширению области определения уравнения, а x₂ = 0 —– принадлежит области определения уравнения и является его корнем (что легко проверить непосредственной подстановкой).

Ответ: х = 0.

Комментарий. Но единственная ли причина появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений с радикалами четной степени — расширение области определения исходного уравнения? Не кроется ли в возведении обеих частей уравнения в четную степень еще одна, менее очевидная, но не менее опасная в смысле ошибки, причина появления посторонних корней?

Пример 6.3.

а) Решим уравнение:

При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования, т.е. возведем обе части уравнения в квадрат, решим полученное рациональное уравнение и сделаем проверку корней.

Итак,

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

Пусть х = -1, тогда левая часть исходного уравнения равна -6. Таким образом, х = -1 — посторонний для исходного уравнения корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований. Пусть теперь, х = 7. Тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Исходное уравнение, таким образом, имеет единственный корень х = 7.

б) Решим теперь уравнение (его чрезвычайно, малое отличие от предыдущего уравнения очевидно).

Поступая так же, как в случае «а», получаем:

Итоговое уравнение имеет такие же корни, что и уравнение из случая «а». Проверим их подстановкой в исходное уравнение . Пусть х = -1, тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Пусть, далее, х = 7. Тогда левая часть исходного уравнения равна -2. Таким образом, х = 7 — посторонний для исходного уравнения корень.

В процессе решения следствием уравнений «а», «б» является одно и тоже уравнение имеющее два корня: x₁ = -1 и x₂ = 7. Корень x₁ = -1 — есть корень уравнения «б», но посторонний для уравнения «а»; корень x₂ = 7 — наоборот, корень уравнения «а», посторонний для уравнения «б».

В каждом из случаев «а» и «б» корни, оказавшиеся посторонними, принадлежат области определения данного уравнения. Значит, расширение области определения исходного уравнения — не единственная причина появления посторонних корней. В чем же дело? Заметим, что и в случае «а», и в случае «б» при подстановке в исходное уравнение корень, оказывающийся посторонним, приводит к ситуации: левая и правая части уравнения равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Это не случайно. Уравнение является следствием не только уравнения , но и следствием уравнения . Какие следует сделать из этого выводы?

Во-первых, поскольку появление посторонних корней при решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четной степени может быть и не связано с областью определения исходного уравнения, то и проверка корней не может осуществляться только по области определения, или условиям ее задающим.

Во-вторых, проверка корней иррационального уравнения, должна учитывать обе причины появления посторонних корней; универсальный прием, как уже говорилось, состоит в непосредственной подстановке в исходное уравнение, но могут быть реализованы и другие подходы.

1. Сначала отсечь те корни, которые не принадлежат области определения исходного уравнения, а оставшиеся проверить непосредственной подстановкой во все уравнения левая и правая части которых возводились в квадрат в процессе решения.

2. Опять же исключить все корни, не принадлежащие области определения, а затем проанализировать все случаи возведения в квадрат обеих частей уравнения, выделить те случаи, где было нарушено условие равносильности:

   Далее только в эти уравнения подставить корни итогового уравнения, принадлежащие области определения исходного уравнения.

3. Если решать иррациональные уравнения, применяя только равносильные преобразования, то в каждом случае возведения в квадрат следует предусматривать условие равносильности, сформулированное выше, и изначально следует зафиксировать условия, задающие область определения исходного уравнения.

Рассмотрим схемы равносильных преобразований для иррациональных уравнений основных видов.

Заметим, что важно, конечно, не выучить наизусть эти схемы, а понять их, уметь самостоятельно составлять схемы равносильности для других случаев.

Не надо думать, что в процессе решения иррационального уравнения обязательно появляются посторонние корни. Рассмотрим пример.

Пример 6.4.

Решим уравнение:

Решение

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем 1 + 3х = x² + 2х + 1, т.е. уравнение x² – х = 0. Его корни x₁ = 0 и x₂ = 1. Подставляя каждый из найденных корней в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются его корнями.

Пример 6.5.

Решим уравнение:

Решение

Уединим радикалы:

Возведем обе части уравнения в квадрат (дважды):

Корни последнего уравнения:

Далее следует провести проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями т.е. 1 ≤ x ≤ 3. Как нетрудно проверить, полагая приближенно равным 1,7, что оба корня x₁ и x₂ принадлежат области определения исходного уравнения. Значит, если среди x₁ и x₂ есть посторонний корень, то причина его появления связана с нарушением условия равносильного возведения обеих частей уравнения в квадрат. Ясно, также, что первое из проделанных в данном решении возведений в квадрат — равносильное преобразование, поэтому если и появились посторонние корни, то при возведении в квадрат обеих частей уравнения Непосредственной подстановкой именно в это уравнение проверим наши корни x₁ и x₂.

Итак, пусть тогда:

Мы пришли к верному числовому равенству. Значит  — корень данного уравнения.

Пусть теперь

Тогда

Ясно, что левая часть уравнения отрицательна, а правая положительна. Поэтому  — посторонний корень.

Пример 6.6.

Решим уравнение:

Распределим радикалы следующим образом:

Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слагаемые:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Проведем проверку корней. Сразу замечаем, что корень не имеет смысла при x = -0,5. Поэтому единственный возможный корень исходного уравнения — это х = 2, удовлетворяющий всем условиям области определения. Поскольку, возводя обе части уравнения в квадрат, мы всякий раз соблюдали условие равносильности, то х = 2 — единственный корень исходного уравнения.

Пример 6.7.

Решим уравнение: .

При решении этого уравнения покажем применение метода введения новой переменной при решении иррациональных уравнений.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Пусть теперь , тогда уравнение можно переписать в виде:

.

Это уравнение имеет два корня: . Таким образом, следствием исходного уравнения является совокупность систем:

.

Решим первую систему совокупности.

Обозначим: и .

Тогда имеем:

Таким образом,

Корни этой совокупности систем:

Аналогично, решая вторую систему исходной совокупности, получаем:

.

Пример 6.8.

Решим уравнение:

Подкоренные выражения и представляют из себя полные квадраты:

Тогда:

Пусть , тогда уравнение можно переписать в виде:

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, затем воспользуемся тождеством и формулой разности квадратов:

Если у = 0, то , т.е. х = 1. Если у = 2, то , т.е. х = 5. Если у = 1, то , т.е. х = 2. Если у = -1, то уравнение не имеет корней.

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение всех найденных значений х, приходим к выводу, что только х = 5 является корнем данного уравнения.

Рассмотрим далее примеры решения иррациональных уравнений с корнями степени, большей, чем вторая.

Пример 6.9.

Решим уравнение:

Перераспределим радикалы

Возведем обе части уравнения в третью степень:

Выражение в скобках, очевидно, есть — , т.е.:

Снова возведем обе части уравнения в третью степень:

Далее имеем:

В процессе решения, был применен прием, связан ный с заменой суммы на выражение , что могло привести к появлению посторонних корней (такой вывод позволяет сделать определенная искусственность этого приема). Поэтому проверим все найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Если х = -2, то исходное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Для подстановки значений возьмем приближенное значение: Тогда и .

Если х = -0,4, то:

Ясно, что это числовое равенство неверно, поскольку все три значения корней положительны, а сумма положительных чисел не может быть равна 0.

Если х = -2,6, то:

Ясно, что эта сумма не может быть равна 0, т.к. уже Заметим, что довольно часто, «прикидка» при проверки корней позволяет сделать необходимый вывод на определенном промежуточном этапе вычислений, и доводить их до явного числового равенства или неравенства совсем не обязательно (это снова к вопросу о гибкой тактике проверки корней).

Таким образом, х = -2 — единственный корень данного уравнения.

Ответ: -2.

Комментарий. Запишем в общем виде прием решения, рассмотренный в этом примере:

По аналогичной схеме решаются уравнения вида .

Большие трудности у абитуриентов вызывают иррациональные уравнения, содержащие радикалы разных степеней. Рассмотрим примеры.

Пример 6.10.

а) Решим уравнение: .

Это уравнение легко рационализируется возведением обеих его частей в шестую степень:

И далее:

Подстановкой выясняем, что только х = 2 является корнем данного уравнения.

б) Решим уравнение:

В этом случае возведение обеих частей уравнения в шестую степень уже нецелесообразно. Проведем замену переменных.

Пусть и тогда a + b = 1. Возведем в куб первое уравнение системы ,и в квадрат второе уравнение этой системы; затем почлено сложим полученные уравнения. В итоге получаем: a³ + b² = 1.

Таким образом, имеем систему уравнений:

Решая ее, получаем: т.е. совокупность систем:

В итоге Непосредственная подстановка в исходное уравнение показывает, что среди этих корней нет посторонних.

Комментарий. Заметим, что описанный в случае «б» прием является достаточно распространенным. Рассмотрим его применение при решении уравнений с радикалами высших степеней.

Пример 6.11.

Решим уравнение:

Пусть Тогда . Возведем в четвертую степень обе части каждого из уравнений системы , и почленно сложим полученные уравнения. В итоге получаем:

Таким образом, имеем систему уравнений:

Это симметрическая система уравнений, стандартно решающаяся заменой переменных a + b = y и ab = z.

Имеем корни: . Отсюда x₁ = 2, x₂ = 6. Проверка показывает, что это действительно корни данного уравнения.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 6.

Пример 6.12.

Решим уравнение:

Аналогично предыдущему примеру получаем симметрическую систему относительно переменных и :

Корни этой системы легко угадываются: Далее получаем корни исходного уравнения: x₁ = 1 и x₂ = 32.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 32.

Комментарий. Рассмотрим далее несколько примеров решения иррациональных неравенств. Все они, как мы уже обсуждали, решаются применением исключительно равносильных преобразований. Поэтому приведем схемы основных равносильных переходов (.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

Комментарий. Представленные схемы принципиально не изменяются, если исходно рассматривать нестрогие неравенства.

Пример 6.13.

Решим неравенство:

Решение

Применим схему V:

Таким образом, решение неравенства:

Ответ: 

Пример 6.14.

Решим неравенство:

Решение

Применим схему III:

Таким образом, решение неравенства:

Ответ: 

Пример 6.15.

Решим неравенство:

Решение

Перераспределим радикалы: и, воспользовавшись в качестве принципиального ориентира схемой I, получаем:

Таким образом, решение неравенства: [4, 5).

Ответ: [4, 5).

Пример 6.16.

Решим неравенство:

Решение

Преобразуем первую дробь, и будем решать неравенство, применяя метод введения новой переменной:

Таким образом, решение неравенства: (2, 8).

Ответ: (2, 8).

Пример 6.17.

Решим неравенство:

На этом примере мы также как и в предыдущем случае посмотрим особенности применения метода введения новой переменной при решении иррациональных неравенств.

Пусть , тогда Таким образом:

Итак, решение неравенства:

Ответ: 

Комментарий. Можно было решить это неравенство и без применения метода введения новой переменной, рассмотрев отдельно (в совокупности) случаи, задаваемые условиями х > 0 и x < 0. Приводим запись такого решения:

Результат, естественно не зависит от способа решения:

В заключение рассмотрим пример решения иррационального неравенства с двумя переменными (группа С).

Пример 6.18.

Решим неравенство:

Решение

Пусть , тогда неравенство можно записать в виде:

По известной нам схеме это неравенство равносильно системе:

Итак, условия должны выполняться одновременно, т.е. должна выполняться система:

Из нее следует, что т.е. Это означает, что y = 0.

Подставим найденное значение в исходное неравенство; получим неравенство, из которого следует, что x = 1.

Таким образом, решение данного неравенства: x = 1, y = 0.

Ответ: x = 1, y = 0

www.e-biblio.ru

Решение иррациональных неравенств

Автор Сергей

Четверг, Август 11, 2016

В этой статье я расскажу об одном эффективном способе решения иррациональных неравенств. То есть таких неравенств, которые содержат неизвестную величину под знаком корня. Данный материал очень редко изучается в школа. Разве что в школе с углублённым изучением математики, да и то не всегда. А ведь научиться решать иррациональные неравенства, используя этот способ, очень важно. Поэтому дочитайте эту статью до конца или посмотрите мой видеоурок (ссылка ниже в тексте). Информация, которую вы получите, может очень пригодиться при сдаче ОГЭ, ЕГЭ или вступительных экзаменов по математике.

Иррациональные неравенства, как и любые другие, изучаемые в школьном курсе математики, можно решить с помощью метода интервалов. Но есть более простой и эффективный способ. Разберёмся, в чём он заключается. Все наиболее часто встречающиеся иррациональные неравенства из школьного курса математики можно условно разделить на два типа:

1. или .

2. или .

Здесь  и  — некоторые выражения относительно переменной . Разберём отдельно решение каждого из этих двух типов иррациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств первого типа

Рассмотрим внимательно неравенство . Как уже отмечалось,  и — это некоторые выражения относительно переменной . Но при определённых значениях  эти выражения будут принимать какие-то определённые значения. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения переменной , при которых значение выражения будет больше значения выражения . Извините, что я говорю очевидные вещи. В данной статье я решил объяснить всё предельно подробно. Если эти разъяснения кажутся вам излишними, вы можете пропустить их и перейти непосредственно к примерам в красных рамочках.

Чтобы избавиться от корня, нужно возвести обе части неравенства в квадрат. Тогда неравенство примет вид: . Но просто так, без соблюдения определённых правил, этого делать нельзя. Почему? Представьте, что при каком-то значении значение выражения  равно, скажем, , а значение выражения равно, например, . Такое возможно? Вполне. Тогда, подставив эти значения в неравенство , получившееся после возведения обеих частей в квадрат, мы получим верное неравенство . Всё будет хорошо, и мы воспримем то значение , которое взяли, как решение нашего иррационального неравенства.

Но проблема в том, что если значение подставить вместо  в исходное неравенство, то всё уже не будет так прекрасно. Потому что любой школьник знает, что под корнем не может находиться отрицательных чисел! Как видите, возведение обеих частей неравенства в квадрат — операция вовсе не равносильная. Она может привести к появлению лишних решений. Поэтому делая это, нужно обязательно убедиться, что под знаком корня не находится отрицательного числа. То есть, что .

Теперь представим ситуацию, что при каком-то значении значение выражения  равно , а значение выражения  равно, например, . Верно ли наше исходное неравенство? Конечно, нет. Всем понятно, что корень из , то есть , не меньше . Но что будет если мы вновь возведём обе части нашего неравенства в квадрат? Получим неравенство . А вот это уже верно. И снова мы получили лишнее решение, которое не удовлетворяет исходном неравенству. Чтобы этого не случилось, нужно сказать дополнительно, что .

Есть ли ещё какие-нибудь неприятные моменты, которые мы не учли при возведении обеих частей неравенства в квадрат? Разве что один. Что делать, если найдётся такое значение , при котором и значение выражения , и значение выражения  равны нулю? Что ж, если неравенство строгое, как в нашем случае, когда , то этот случай ничего не меняет, ведь нуль не меньше нуля. А вот если исходное неравенство нестрогое, то есть , тогда это уже имеет значение, ведь нуль меньше или равен нулю! В этом случае все условия также должны быть нестрогими, поэтому .

Итак, исходя из всех этих долгих пояснений, мы делаем вывод, что иррациональное неравенство вида равносильно следующей системе неравенств:

   

А иррациональное неравенство вида , в свою очередь, равносильно следующей системе неравенств:

   

Пример 1. Требуется решить неравенство:

Для решения иррационального неравенства переходим к равносильной системе неравенств:

   

yourtutor.info

Решение иррациональных неравенств

Решение иррациональных неравенств

В этой статье я расскажу,  как решать иррациональные неравенства.

Сначала мы рассмотрим решение неравенства вида 

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным — тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа: 

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие:

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие:

Возведение в квадрат может привести к появлению  посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение   должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: 

Итак, неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Аналогично, нестрогое неравенство   равносильно системе неравенств:

Иррациональные неравенства второго типа:   .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

Итак, неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:

Нестрогое неравенство вида  равносильно совокупности:

.

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

1. Решить неравенство:

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

Решим каждое неравенство:

1.

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2.   Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

2. Решить неравенство:

 

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

Решим каждое неравенство:

1. 

2. 

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. 

,  

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Иррациональные неравенства и их решение

Определение и формулы иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства в основном решаются возведением обеих частей неравенства в нужную степень. При возведении в степень важно учитывать некоторые особенности. Например, возводить в четную степень можно только те неравенства, у которых обе части неотрицательные.

Виды и примеры решения иррациональных неравенств

Рассмотрим несколько видов иррациональных неравенств.

1. Неравенство . Подкоренная функция должна быть неотрицательной, а функция может быть любой, поэтому заданное неравенство равносильно совокупности неравенств

2. Неравенство . Подкоренная функция должна быть неотрицательна,левая часть неравенства также неотрицательна и меньше, чем правая, а значит . Следовательно, заданное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств

3. Неравенство . Обе подкоренные функции должны быть неотрицательны, т.е. . Возведем в квадрат обе части неравенства и получим . Таким образом, заданное неравенство эквивалентно системе неравенств

или

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения

Рассмотрим теперь понятие рационального неравенства.

Определение 1

Уравнение, в котором неизвестная величина находится под радикалами или в дробных степенях будем называть иррациональным.

Здесь надо всегда помнить о том, что не под любым корнем может быть отрицательное число. В связи с этим здесь будет появляться понятие области определения уравнения (ООУ). Оно заключается в том, что под корнями с четными степенями не может быть отрицательных величин.

Решение классических иррациональных уравнений заключается в следующем: Вначале мы находим ООУ, с помощью простейших преобразований приводим уравнение к виду $\sqrt[n]{P(x)}=\sqrt[n]{Q(x)}$. Возводим в $n$-ю степень и находим корни получившегося уравнения. Выкидываем корни, не попадающие в ООУ.

Пример решения иррационального уравнения

Пример 1

Решить

$\sqrt[5]{x^2-4x+4}-\sqrt[5]{x-2}=2$

Решение.

Применяя формулу квадрата суммы, получим:

$\sqrt[5]{(x-2)^2}-\sqrt[5]{x-2}-2=0$

Так как степень корня нечетна, то нам здесь не требуется нахождения ООУ.

Сделаем замену $\sqrt[5]{x-2}=t$, получим

$t^2-t+2=0$

Это уравнение имеет своими корнями числа $-1$ и $-2$.

Получим два уравнения:

$\sqrt[5]{x-2}=-1$ и $\sqrt[5]{x-2}=-2$

$x-2=-1$ и $x-2=-32$

$x=1$ и $x=-30$

Ответ: $1$ и $-30$.

Иррациональные неравенства

Рассмотрим теперь понятие иррационального неравенства.

Определение 2

Неравенство, которое имеет вид $\sqrt[n]{P(x)}>(≥)\sqrt[n]{Q(x)}$ будем называть иррациональным неравенством.

Чаще всего неравенства решаются методом промежутков (интервалов). В основе этого метода лежит следующее рассуждение.

Пусть нам дана функция $f(x)=\frac{(x-n)(x-m)}{(x-l)(x-k)}$, причем $n

$x∈(-∞,n)$: Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)

Четыре минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x)>0$.

$x∈(n,m)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)

Три минуса, в общем, нам дадут минусовое значение, то есть $f(x)

$x∈(m,l)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)0$.

$x∈(l,k)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)>0,(x-k)

Один минус дает нам минусовое значение, то есть $f(x)

$x∈(k,+∞)$:

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)>0,(x-k)>0$.

Все плюсы нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x)>0$

Это рассуждение можно иллюстрировать на числовой прямой (рис. 1).

Эта иллюстрация называется кривой знаков и используется для решения рациональных и других неравенств $q(x)>(≥)0$ методом промежутков.

Замечание 1

На самом деле знаки на такой кривой не всегда чередуются. К примеру такое может быть при наличии в уравнение квадратного множителя.

Суммируя, получим:

Метод промежутков (интервалов)

1. Вначале необходимо найти все корни уравнения $q(x)=0$ и значения, в которых область определения имеет разрыв.
2. И всех полученных в пункте $1$ числовых значений составляем кривую знаков для данного уравнения.
3. Записываем ответ из кривой знаков, с учетом знака неравенства.

Пример решения иррационального неравенства методом промежутков

Пример 2

Решить

$\sqrt[4]{z-1}≤\sqrt[8]{z+5}$

Решение.

Найдем ООУ:

$z-1 ≥0$ и $z+5 ≥0$

$z ≥1$ и $z ≥-5$

ООУ: $[1,∞)$.

Решим для начала следующее уравнение и найдем точки разрыва ее области определения:

$\sqrt[4]{z-1}-\sqrt[8]{z+5}=0$

$\sqrt[4]{z-1}=\sqrt[8]{z+5}$

$z^2-2z+1=z+5$

$z^2-3z-4=0$

Корни: $z=-1$ и $z=4$

Изобразим все полученные точки и ООУ на числовой прямой и построим кривую знаков:

Так как у нас знак неравенства «меньше или равно», то нам нужно выбрать промежуток со знаком минус.

Ответ: $[1,4]$.

spravochnick.ru

Решение иррациональных уравнений и неравенств

Решение иррациональных уравнений и неравенств

методические рекомендации для учащихся

Составитель

преподаватель математики

Мочалова Е.В.

Иваново 2015

Составители: Мочалова Е.В. – преподаватель математики

От авторов-составителей: Одной из нелегких и трудно усваиваемых тем на уроках математики являются иррациональные уравнения и неравенства. В работе рассмотрены основные понятия и формулы, которые нужно знать для успешного решения иррациональных уравнений и неравенств. Приведены подробные примеры решения некоторых уравнений и неравенств. Подобраны задания для самостоятельного решения и тест для проверки усвоения теоретических основ. Методические рекомендации призваны помочь при самостоятельном изучении и повторении данной темы.

Часть I. Иррациональные уравнения.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменные или рациональные функции находятся под знаком корня.

Примерами таких уравнений могут служить:

Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных уравнений определяют так же, как и для рациональных.

Умение решать иррациональные неравенства может пригодиться на практике. Попробуйте определить глубину ущелья, замерив время падения камня (см. рис.1).

Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими.

Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла, если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любых действительных значениях подкоренного выражения.

Функции и являются возрастающими на своей области определения.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Пример 1. Докажите, что уравнение не имеет решения.

Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

2) не имеет решений, т.к. сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только если каждое выражение равно нулю, а данные выражения одновременно в ноль не обращаются.

3) Выражение определено при , а выражение определено при . Следовательно, не существует x, при котором оба выражения имеют смысл, поэтому уравнение решений не имеет.

Одним из стандартных приемов решения иррациональных неравенств является освобождение от радикалов путем возведения обеих частей в соответствующую степень. Но следует помнить, что подобное преобразование не всегда является равносильным. т.е. необходима проверка корней.

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень  мы можем не опасаться  получить посторонние корни.

Пример 2. Решим уравнение  

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x₁=0; x₂=1; x₃=2

Ответ: {0;1;2}

2.Причина появления посторонних корней.

Решение иррациональных уравнений основано на следующем утверждении:

Теорема.

Если n>0 — нечетное число (n=2k+1), то уравнения fⁿ(x)=gⁿ(x) и f(x)=g(x) равносильны.

Если n>0 — четное число (n=2k), то любой корень уравнения fⁿ(x)=gⁿ(x) удовлетворяет хотя бы одному из уравнений: f(x)=g(x) и f(x)=-g(x).

Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе части в степень с четным показателем, то могут появиться «посторонние» корни уравнения.

Итак, что же происходит, каковы причины посторонних корней:

а) за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т.е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения).

б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна.

3.Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием.

Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно производить следующим образом:

1. Найти ОДЗ исходного уравнения.

2. Перейти от уравнения к его следствию.

3. Найти корни полученного уравнения.

4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

4.Проверка корней.

Проверка корней подстановкой найденного значения в исходное уравнение сама по себе может оказать сложной задачей. Однако, чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные корни в данное уравнение. Иногда возможна проверка корней по ОДЗ уравнения.

При решении иррациональных уравнений удобно и полезно следующие утверждения:

Равносильно

Системе / совокупности систем уравнений

Одной из равносильных систем:

или

Выбирается та система, в которой проще неравенство.

Пример 3.

<=>

Ответ: 3.

b) <=> <=> <=> <=> x=2.  Ответ: 2

5.Формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.

Пусть f и g — некоторые функции, к- целое число, тогда:

1.

2.

3.

4.

5.

Для каждой из формул 1-5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнений с формальным использованием формул 1-5 “слева–направо”, приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного.

В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразование уравнений с формальным использованием формул 1-5 “справа – налево” недопустимо, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно и потеря корней.

Так, например, если заменить уравнение (ОДЗ: ) уравнением (ОДЗ: ), то произойдет сужение ОДЗ исходного уравнения и потеря корня x=-1.

 Пример 4.

a) <=> <=>

<=>

 <=> <=> <=>

<=> <=>

Ответ: 3; 1,4 .

b) <=>

<=> <=> <=> x=6,5 ∨ x=-3,5

Ответ: 6,5 ; -3,5.

6. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 5. 

a)

Пусть тогда исходное уравнение примет вид: корни которого y=6 и . Решая уравнение , получаем x=3 и x=-4,5.

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

b)

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:

Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются y=1 и y=-2

Осталось решить совокупность двух уравнений:

<=> <=> <=> x=0

Ответ: {0}

7. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема. Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример 6.

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 7.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения 2x+4=0 т.е. число x=-2 при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ: {-2}.

8. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула .

Пример 8.

Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи , находим, что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

Часть II. Иррациональные неравенства и методы их решения.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

Рассмотрим решение неравенства вида  .

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным – тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида  равносильно системе неравенств: .

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа:  .

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие: g(x)>0.

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие: f(x)<(g(x))² .

Возведение в квадрат может привести к появлению  посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение   должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: .

Итак, неравенство вида   равносильно системе неравенств:

Аналогично, нестрогое неравенство   равносильно системе неравенств:

Иррациональные неравенства второго типа:  .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

если g(x)<0, то неравенство выполняется при любом допустимом значении x, то есть при .

если , то мы можем обе части неравенства возвести в квадрат, получим , и условие на ОДЗ будет автоматически следовать из этого неравенства.

Итак, неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:

Нестрогое неравенство вида  равносильно совокупности:

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

Пример 9.

a) Решить неравенство:

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

Решим каждое неравенство:

1. <=>

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2.   Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

b) Решить неравенство:

 

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

Решим каждое неравенство:

1.  <=>

2. <=> <=>

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. 

 

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.

c)

Решение.

Таким образом необходимо рассмотреть два квадратных и одно линейное неравенство. Их решение не представляет никаких сложностей.

Объединением этих неравенств будет {-2} [1/3, 1.5].

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Укажите решение уравнения 

1. 9

2. 12

3. 8

4. 3

2. Иррациональным называется уравнение, где переменная находится:

1. В знаменателе дроби

2. В степени числа

3. Под знаком модуля

4. Под знаком корня

3. Укажите решение уравнения

1. 4

2. -4

3. -4; 4

4. 9

4. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня положительно?

1. Четной

2. Нечетной

3. Четной и нечетной

4. Все существуют

5. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня отрицательно?

1. Четной

2. Нечетной

3. Четной и нечетной

4. Все существуют

6. Укажите решение неравенства .

1. x

2. x<-3

3. x

4. x>-3

7. Укажите решение неравенства .

1. x

2. x<-1/2

3. x

4. -2

Задачи для самостоятельного решения.

1. Укажите, какому промежутку принадлежит сумма корней уравнения (или корень, если он один):

2. Укажите количество корней уравнения.

3. Решите неравенства:

Литература

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений / [А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.]: под ред. А.Н.Колмогорова.- М.: Просвещение, 2008

2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. — М.: Мнемозина, 2009

3. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. — М.: Мнемозина, 2009

4. Алгебра и начала анализа: сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич, Б.П.Пигарев и др.;под ред. С.А. Шестакова. — М.: Внешсигма-М, 2007

5. ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические выражения, функции, уравнения и неравенства / Е.А.Семенко, М.В.Фоменко; под ред. Е.А.Семенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2012

6. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие / под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. — Ростов-наДону: Легион, 2010.

Ключ к тесту

infourok.ru

Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных неравенств.

Урок по теме: «Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных уравнений с помощью возведения обеих частей уравнения в n-ю степень». УМК Мордковича (профильный уровень), 11 класс.

Учитель первой квалификационный категории: Максименко Светлана Александровна, МАОУ «Лицей № 28 имнеи Н.А.Рябова» г.Тамбова.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных уравнений; подготовка к ЕГЭ, воспитать трудолюбие.

Определение. Уравнение с одной переменной  называют иррациональным, если хотя бы одна из функций  или  содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

1. Метод подбора

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число  входит в множество значений, то уравнение  имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

1) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

2) Записать область определения данной функции.

3) Доказать ее монотонность в области определения.

4) Угадать корень уравнения.

5) Обосновать, что других корней нет.

6) Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 2. 

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для  эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения  (1) в натуральную степень , то уравнение  (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство  справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения  приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение  равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида  При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

Ответ: 

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть  тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого  и  Решая уравнение , получаем  и 

Ответ: 

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена  приводит уравнение к виду  корнями которого являются  и 

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ: 

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений 

Пример1.

При  уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений: 

Ответ: 

Иррациональные неравенства. Решение иррациональных неравенств.

УОСЗ

Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных неравенств; подготовка к ЕГЭ, воспитать активность.

Теория:

A1. Неравенство

равносильно совокупности систем

Замечание. Из утверждения A1 следует что неравенство

при b ≥ 0 равносильно неравенству f(x) > [b]²ⁿ, а при b < 0, равносильно неравенствуf(x) ≥ 0.

A2. Неравенство

равносильно следующей системе неравенств

Замечание.. Из утверждения A2 следует, что если правая часть неравенства есть числоb (g(x) = b), то A3. Неравенство

равносильно системе неравенств

A4. Неравенство

равносильно системе неравенств

A5. Неравенство

равносильно следующей совокупности систем

A6. Неравенство

равносильно совокупности

где D(g) означает область определения функции g.

A7. Неравенство

равносильно совокупности

A8. Неравенства

   и   f(x) < [g(x)]²ⁿ⁺¹

равносильны.

A9. Неравенства

   и   f(x) > [g(x)]²ⁿ⁺¹

равносильны.

Замечание. Если m нечетное число, то

f(x) < g(x)      [f(x)]^m < [g(x)]^m,

f(x) > g(x)      [f(x)]^m > [g(x)]^m,

т.е. при возведении в нечетную степень знак неравенства не изменяется.

Расмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенства

Подведение итогов. Выставление отметок.

Домашнее задание: № 30.8 а)б), 30.9 а), 30.14 а), 30.16 а), 30.20 а), 30.34 а)б)

Литература:

1. http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.htm

2. http://ege-ok.ru/2012/02/20/reshenie-irratsionalnyih-uravneniy-2

3. http://yukhym.com/ru/matematika/irratsionalnye-uravneniya-na-primerakh.html

infourok.ru