Принадлежит ли плоскости точка – Точка А принадлежит плоскости α, точка В не принадлежит плоскости α. Принадлежит ли плоскости середина отрезка АВ. С

Принадлежность точки плоскости | Начертательная геометрия

Принадлежность точки плоскости на комплексном чертеже определяется согласно аксиоме инцидентности или отношения принадлежности между элементами евклидова пространства, которая гласит: — если точка E принадлежит прямой k, а прямая k принадлежит плоскости α, то точка E принадлежит плоскости α: E ∈ k ∧ k ∈ α ⇒ E ∈ α.

Задача на принадлежность точки плоскости может быть выражена следующим образом: — заключить точку E(E`, E») в; — провести через точку E(E`, E») плоскость α общего положения

Принадлежность точки плоскости

Положение плоскости α в пространстве определяется тремя точками — вершинами ΔABC. Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой k, которая принадлежит плоскости α, потому что две ее точки

Принадлежность точки плоскости

доказываем тем самым ее принадлежность заданной плоскости. Заключить точку M в плоскость α заданную параллельными прямыми a и b

Принадлежность точки плоскости

Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой k, которая принадлежит плоскости α, потому что две ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости. Построение искомой плоскости α: — проводим прямую через точку M; — через точки 1 и 2 взятые на прямой k проводим взаимно параллельные прямые a и b соответственно.

Через точку M провести плоскость α заданную следами

Принадлежность точки плоскости

Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой h, которая, в то же время, принадлежит плоскости α и является ее горизонталью. Построение искомой плоскости α: — проводим прямую h (горизонталь искомой плоскости) через точку K; — проводим горизонтальный след α_H // h` ⇒ α_x; — через точки α_x и h_V проводим фронтальный след α_V.

+

2.3. Принадлежность точки и прямой плоскости

Признаки принадлежности хорошо известны из курса планиметрии. Наша задача рассмотреть их применительно к проекциям геометрических объектов.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Принадлежность прямой плоскости определяется по одному из двух признаков:

а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.

Используя эти свойства, решим в качестве примера задачу. Пусть плоскость задана треугольником АВС. Требуется построить недостающую проекцию D₁ точки D, принадлежащей этой плоскости. Последовательность построений следующая (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К построению проекций точки, принадлежащей плоскости

Через точку D₂ проводим проекцию прямой d, лежащей в плоскости АВС, пересекающую одну из сторон треугольника и точку А₂. Тогда точка 1₂ принадлежит прямым А₂D₂ и C₂В₂. Следовательно, можно получить ее горизонтальную проекцию 1₁ на C₁В₁ по линии связи. Соединив точки 1₁ и А₁, получаем горизонтальную проекцию d₁. Ясно, что точка D₁ принадлежит ей и лежит на линии проекционной связи с точкой D₂.

Достаточно просто решаются задачи на определение принадлежности точки или прямой плоскости. На рис. 2.6 показан ход решения таких задач. Для наглядности изложения задачи плоскость задаем треугольником.

Рис. 2.6. Задачи на определение принадлежности точки и прямой плоскости.

Для того, чтобы определить принадлежит ли точка Е плоскости АВС, проведем через ее фронтальную проекцию Е₂ прямую а₂. Считая, что прямая а принадлежит плоскости АВС, построим ее горизонтальную проекцию а₁ по точкам пересечения 1 и 2. Как видим (рис. 2.6, а), прямая а₁ не проходит через точку Е₁. Следовательно, точка Е АВС.

В задаче на принадлежность прямой в плоскости треугольника АВС (рис. 2.6, б), достаточно по одной из проекций прямой

2.4. Линии уровня в плоскости

Определение линий уровня было дано ранее. Линии уровня, принадлежащие данной плоскости, называются главными. Эти линии (прямые) играют существенную роль при решении ряда задач начертательной геометрии.

Рассмотрим построение линий уровня в плоскости, заданной треугольником (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Построение главных линий плоскости, заданной треугольником

Горизонталь плоскости АВС начинаем с вычерчивания ее фронтальной проекции h₂, которая, как известно, параллельна оси ОХ. Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоскости, то она проходит через две точки плоскости

Фронталь плоскости АВС строится аналогично (рис. 2.7) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f₁, так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f₃ фронтали должна быть параллельна оси ОZ и пройти через проекции С₃, 2₃ тех же точек С и 2.

Профильная линия плоскости АВС имеет горизонтальную р₁ и фронтальную р₂ проекции, параллельные осям OY и OZ, а профильную проекцию р₃ можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 с  АВС.

При построении главных линий плоскости необходимо помнить лишь одно правило: для решения задачи всегда нужно получить две точки пересечения с данной плоскостью. Построение главных линий, лежащих в плоскости, заданной иным способом, ничуть не сложнее рассмотренного выше. На рис. 2.8 показано построение горизонтали и фронтали плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми аив.

Рис. 2.8. Построение главных линий плоскости, заданной пересекающимися прямыми.

Принадлежность прямой и точки плоскости

Большинство задач на принадлежность точек и прямых плоскостям можно решить, руководствуясь двумя положениями.

1) Прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадлежат этой плоскости или, если она имеет общую точку с плоскостью и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости (рисунок 23, прямая l ).

2) Точка принадлежит плоскости, если она находится на некоторой прямой, находящейся в этой плоскости (рисунок 23, точки N и K ).

Проиллюстрируем эти положения примером.

Построить горизонтальную проекцию прямой l, лежащей в плоскости ∆АВС (рисунок 23).

Находим две общие точки для прямой l и плоскости ∆АВС. Это проекция точки A₂и точки пересечения 1₂ проекции прямой l₂ с проекцией стороны В₂С

Рисунок 23

Главные линии плоскости или линии уровня плоскости (рисунок 24)

В плоскости можно провести бесчисленное множество горизонталей, фронталей и профильных прямых (см. задачу №16 в рабочей тетради по ИГ).

1) Фронталь(f) – прямая принадлежащая плоскости и //П₂;

2)Горизонталь(h) – прямая принадлежащая плоскости и //П₁;

3) Профильная(p) – прямая принадлежащая плоскости и //П₃;

Рисунок 24

Взаимное положение прямых и плоскостей

Необходимо определять и строить на эпюре прямую параллельную плоскости и прямую, пересекающуюся с плоскостью, две параллельные плоскости и две пересекающиеся плоскости, прямые перпендикулярные плоскостям и перпендикулярные плоскости.

Похожие статьи:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182

Program gold;
uses crt,graphABC;
const m=3;
      nmax=100;
 
type mtr=array[1..nmax,1..m] of longint;
 
var b,c,d:boolean;{глобальные переменные для фиксации создания матрицы, круга и файла}
 
procedure matrix(var a:mtr;var n:integer);
var i:integer;
begin
clrscr;
randomize;
repeat
write('Количество проб до ',nmax,' n=');
readln(n);
until n in [1..nmax];
for i:=1 to n do
 begin
  a[i,1]:=1+random(640);
  a[i,2]:=1+random(480);
  a[i,3]:=random(50);
 end;
b:=true;
end;
 
procedure krug(a:mtr;n:integer;var ox,oy,r:longint;var k:integer);
var i:integer;
begin
clrscr;
if not b then
 begin
  writeln('Матрица точек не создана, вернитесь к пункту 1');
  readln;
  exit
 end;
repeat
write('Радиус круга от 10 до 200 r=');
readln(r);
until r in [10..200];
repeat
write('Координата Х центра круга от ',r,' до ',640-r,' x=');
readln(ox);
until(ox>=r)and(ox<=640-r);
repeat
write('Координата Y центра круга от ',r,' до ',480-r,' y=');
readln(oy);
until(oy>=r)and(ox<=480-r);
c:=true;
k:=0;
for i:=1 to n do
if sqr(ox-a[i,1])+sqr(oy-a[i,2])<r*r then k:=k+1;
writeln('В выделенный круг попало точек=',k);
readln
end;
 
procedure fail(a:mtr;n:integer;var f:text);
var nz:string;
    i:integer;
begin
clrscr;
if not b then
 begin
  writeln('Матрица точек не создана, вернитесь к пункту 1');
  readln;
  exit
 end;
assign(f,'data.txt');
rewrite(f);
for i:=1 to n do
 begin
  write(f,a[i,1]:4,a[i,2]:4,a[i,3]:3);
  write('Введите название породы: ');
  readln(nz);
  writeln(f,' ',nz);
 end;
close(f);
writeln('Данные записаны в файл data.txt');
d:=true;
readln
end;
 
procedure spisok(var f:text);
var a:array[1..nmax] of string[30];
    m,i,k:integer;
    s:string;
begin
clrscr;
if not d then
 begin
  writeln('Файл данных не создан, вернитесь к пункту 3');
  readln;
  exit
 end;
reset(f);
readln(f,s);
while pos(' ',s)>0 do
delete(s,1,1);
m:=1;
a[m]:=s;
while not eof(f) do
 begin
  readln(f,s);
  while pos(' ',s)>0 do
  delete(s,1,1);
  k:=0;
  for i:=1 to m do
  if a[i]=s then k:=1;
  if k=0 then
   begin
    m:=m+1;
    a[m]:=s;
   end;
 end;
close(f);
writeln('Список пород участка опробования');
for i:=1 to m do
writeln(a[i]);
readln
end;
 
procedure plan(a:mtr;n:integer;ox,oy,r:longint);
var g,d,i:integer;
begin
clrscr;
if not b then
 begin
  writeln('Матрица точек не создана, вернитесь к пункту 1');
  readln;
  exit
 end;
if not c then
 begin
  writeln('Круг еще не задан, вернитесь к пункту 2');
  readln;
  exit
 end;
g:=DETECT;
d:=VHAGI;
initgraph(g,d,'');
setcolor(14);
circle(ox,oy,r);
for i:=1 to n do
 begin
  if sqr(ox-a[i,1])+sqr(oy-a[i,2])<r*r then setcolor(12)
  else setcolor(9);
  circle(a[i,1],a[i,2],2);
 end;
readln;
restorecrtmode
end;
var a:mtr;
    n,k:integer;
    ox,oy,r:longint;
    f:text;
    w:char;
begin
b:=false;
c:=false;
d:=false;
clrscr;
repeat
clrscr;
writeln('Выберите действие');
writeln('1-создание матрицы');
writeln('2-задать круг и определить число точек в нем');
writeln('3-создать файл');
writeln('4-показать список пород');
writeln('5-Показать план опробования');
writeln('другое выход');
readln(w);
case w of
'1':matrix(a,n);
'2':krug(a,n,ox,oy,r,k);
'3':fail(a,n,f);
'4':spisok(f);
'5': plan(a,n,ox,oy,r);
else exit
end;
until not(w in ['1'..'6']);
end.