Компьютерная система счисления – 6. Системы счисления. Виды и применение. Двоичная система счисления. Перевод из

xn—-7sbfhivhrke5c.xn--p1ai

Конспект урока «Компьютерные системы счисления» для учащихся 10 класса

Цели:

Образовательные:

• изучение и усвоение нового материала: компьютерные СС – 2,8,16 СС;
• изучение и усвоение нового материала: перевод чисел из 2СС в 8,16 СС и наоборот.

Воспитательные:

• повышение мотивации учащихся путем использования нестандартных задач;
• обеспечение сознательного усвоения материала.

Развивающие:

• развитие мышления при помощи задач, в том числе из КИМ ЕГЭ;
• совершенствование умственной деятельности с привлечением устного счета.

Опорные понятия:

• система счисления
• позиционная и непозиционная системы
• основание системы
• алфавит
• кодирование информации

Задачи учителя:

• познакомить с компьютерными системами счисления;
• научить переводу чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и наоборот.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Проверка пройденного материала. (Фронтальный опрос)

• Что такое системы счисления?
• Какие бывают системы счисления? Приведите примеры.
• Основные характеристики позиционной системы счисления (0, разряд)
• Что такое основание и алфавит позиционной системы счисления?
• С помощью какого носителя осуществляется кодирование в компьютере? Какие два устойчивых состояния есть?

В основе кодирования информации в компьютере лежит то, что электрический ток имеет всего два устойчивых состояния – есть ток и нет тока. Для удобства принято обозначать наличие тока 1, а отсутствие – 0.
0 и 1 это цифры какой системы счисления?
И так, основная компьютерная система счисления – двоичная, основание 2, цифры 0 и 1. Что же в ней такого особенного? Используя известные правила перевода, переведите число 37₁₀ в 2СС (все в тетради, один у доски). Ответ: 100101₂. Обратите внимание на то, что у двузначного числа 3710 двоичное представление получилось 6-тиразрядным. Давайте посмотрим, как увеличится разрядность двоичного числа, если десятичное увеличится всего на один разряд. Переведем число 389₁₀ в 2СС (один у доски). Ответ: 110000101.
Мы видим, что разрядность увеличилась основательно. А ведь 398 не самое большое число, обрабатываемое на компьютере. Основная проблема, возникающая при работе с двоичными числами, это их длинная запись. Поэтому ученые – теоретики решили ввести промежуточные компьютерные системы счисления. Как вы думаете, какие основания предложили использовать? (8,16).

Оценки за урок, ДЗ

Используется литература:
«ЕГЭ 2009. Информатика. Сборник экзаменационных материалов». Москва, Эксмо, 2009 г.

04.10.2010

Дополнительно:

Слайд 3

Слайд 9

Здесь представлены лишь скриншот презентации. Полный вариант содержит 13 слайдов.

www.metod-kopilka.ru

Урок информатики. Тема: «Компьютерные системы счисления»

Разделы: Информатика

Цели:

• Образовательные:
  • изучение и усвоение нового материала: компьютерные СС – 2,8,16 СС;
  • изучение и усвоение нового материала: перевод чисел из 2СС в 8,16 СС и наоборот.
• Воспитательные:
  • повышение мотивации учащихся путем использования нестандартных задач;
  • обеспечение сознательного усвоения материала.
• Развивающие:
• развитие мышления при помощи задач, в том числе из КИМ ЕГЭ;
• совершенствование умственной деятельности с привлечением устного счета.

Опорные понятия:

• система счисления
• позиционная и непозиционная системы
• основание системы
• алфавит
• кодирование информации

Задачи учителя:

• познакомить с компьютерными системами счисления;
• научить переводу чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и наоборот.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. (Презентация. Слайд 1)

2. Проверка пройденного материала. (Фронтальный опрос)

• Что такое системы счисления?
• Какие бывают системы счисления? Приведите примеры.
• Основные характеристики позиционной системы счисления (0, разряд)
• Что такое основание и алфавит позиционной системы счисления?
• С помощью какого носителя осуществляется кодирование в компьютере? Какие два устойчивых состояния есть?

3. Тема урока: Компьютерные системы счисления. (Слайд 2)Объяснение нового материала.

В основе кодирования информации в компьютере лежит то, что электрический ток имеет всего два устойчивых состояния – есть ток и нет тока. Для удобства принято обозначать наличие тока 1, а отсутствие – 0.
0 и 1 это цифры какой системы счисления? (Слайд 3)
Итак, основная компьютерная система счисления – двоичная, основание 2, цифры 0 и 1. Что же в ней такого особенного?

Используя известные правила перевода, переведите число 37₁₀ в 2СС (все в тетради, один у доски). Ответ: 100101₂.

Обратите внимание на то, что у двузначного числа 37₁₀ двоичное представление получилось 6-тиразрядным. Давайте посмотрим, как увеличится разрядность двоичного числа, если десятичное увеличится всего на один разряд. Переведем число 389₁₀ в 2СС (один у доски). Ответ: 110000101.

Мы видим, что разрядность увеличилась основательно. А ведь 398 не самое большое число, обрабатываемое на компьютере. Основная проблема, возникающая при работе с двоичными числами, это их длинная запись. Поэтому ученые – теоретики решили ввести промежуточные компьютерные системы счисления. Как вы думаете, какие основания предложили использовать? (8,16).

Мы с вами составим таблицу, которая содержит основную информацию о СС с основаниями 2,8 и 16. (Слайд 4)

Естественно, для перевода чисел ил 10СС в 8 и 16 СС и обратно, можно использовать знакомые вам правила. Но чаще приходится выполнять переводы из 2СС в 8 и 16 СС и обратно. Как это можно сделать?

Когда я спросила, какие основания взяли для промежуточных СС, вы предположи 8 и 16. Совершенно не зря взяли эти числа. Дело в том, что они очень удачно связаны со степенями двойки.

Связь между основаниями компьютерных СС. (Слайд 5)

2СС – 8СС
2³ = 8

Правила перевода: заданное двоичное число делят на группы по три разряда, начиная с права. Каждую группу переводят в десятичную цифру. Полученные десятичные цифры образуют искомое восьмеричное число.

(На слайде – пример перевода. Использование шпоргалки: обратить внимание на то, что цифры больше чем 7 не получится.)
Обратный перевод: (Слайд 6)

Каждая цифра восьмеричного числа представляется тремя двоичными цифрами. Они составляют двоичное представление заданного числа. (На слайде пример перевода).

Задание для самостоятельной работы (все в тетради, один у доски) (Слайд 7)

(Слайд 8)

2СС – 16СС
2⁴ = 16

На какие группы в данном случае будет делиться двоичное число?

Предлагаю вам самостоятельно попробовать перевести число 10111010101111₂ в 16СС и доработать шпоргалку для работы с 16ричными цифрами. (1 минута сами работают, потом 1 к доске проверять).

Итак, восьмеричная и шестнадцатеричная СС используются для более короткой записи чисел в двоичном коде. Вы могли видеть такие записи при выводе сообщения об ошибке по адресу.

4. Попробуем решить задачи из контрольно – измерительных материалов ЕГЭ по информатике. (Слайд 9)

5. Рефлексия: задания 2 варианта (Слайд 10), взаимопроверка (Слайд 11) (3 ответа – 5, 2 ответа – 4, 1 ответ – 3, нет ответов – неуд).

6. Оценки за урок, ДЗ (Слайд 12)

7. Если остается время на уроке, можно порассуждать  на тему: почему 10система счисления принята во всем мире. И какая система скорей всего принята у героев фантастического фильма «Аватар»? (Слайд 13)

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

4. Представление числовой информации в компьютере

4.1. Компьютерная система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Алфавит системы: I,V,X,L,C,D,M. Изменение весовых значений цифр алфавита определяется циклической последовательностью: умножить на 5, а затем удвоить, тогда таблица весовых значений имеет вид:

Число 672 можно представить в римском изображении: 600+70+2=DCLXXII. Возможна запись любых положительных чисел в диапазоне от 1 до 3999. Для изображения чисел больших по весу используется над- или подстрочный индекс. Например,: 5325=V^MCCCXXV=V_MCCCXXV.

Достоинства непозиционных систем:

• использование в качестве цифр букв основной для римлян разговорной системы;

• возможность выделения некоторой информации в ряду другой нетрадиционной.

Недостатки:

• громоздкость записи;

• непонятность выполнения правил действий над числами, даже простейших арифметических.

Исходя из изложенного, римская, как и другие непозиционные системы, используется редко, в основном для обозначения веков, знаменательных дат.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

В качестве основания системы счисления можно использовать любое значение Р в диапазоне:

.

Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ … + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + … + a_-m q^-m,

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1, 1₂ = 1∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰+1∙2^-1 = 10,5₁₀

Разряды 2 1 0 -1 -2

Число 2 7 6, 5 4₈ = 2∙8²+7∙8¹+6∙8⁰+5∙8^-1+ 4∙8^-2 = 190,6875₁₀

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т. д.

Промежуточная – это система счисления, основание которой кратно 2 в целой положительной степени (n). Следовательно, основания любой промежуточной системы вычисляются зависимостью: Р=2ⁿ, т.е. Р=4, Р=8, Р=16, Р=32 и т.д. В настоящее время широко используются 2 промежуточные системы: восьмеричная (Р=8) и шестнадцатиричная (Р=16).

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвинуть цифру 1, значит, заменить её на 2, продвинуть цифру 2, значит, заменить её на 3 и т. д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, можно записать первые десять целых чисел

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

в десятичной системе 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В шестнадцатеричной системепервые 36 числел:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22₁₆.

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т. п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, но для человека же наоборот неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Полезно запомнить запись в различных системах счисления первых семнадцати целых чисел:

studfiles.net

Системы счисления — Компьютер для новичков

В настоящее время подавляющее число людей являются грамотными и умеют считать. Тем не менее, далеко не все в курсе, что за время человеческой цивилизации было придумано большое количество самых разнообразных систем счисления. Разные народы в различные исторические периоды использовали разные системы счета, которые видоизменялись с течением времени.

Считается, что самая первая система счета у всех народов состояла всего из одного числа, единицы. Соответственно для обозначения, какого то другого числа ее следовало повторить соответствующее количество раз. В качестве обозначения могло выступать что угодно, черточки, крестики и любые другие символы. Отсутствие письменности тоже не помеха, ведь можно использовать камешки, ракушки, плоды, веточки, делать зарубки, вязать узелки и так далее.

Таким образом, для записи числа 4 требовалось собрать 4 камешка или поставить 4 черточки: ||||. Это так называемая единичная система счисления, из которой впоследствии сформировались остальные. Все предельно просто, но очень не удобно для более менее больших чисел. Через какое то время люди догадались упростить запись, объединяя какое то количество элементов в группы и обозначая их другим символом. Чаще всего встречалась группировка по 3 и 5 элементов.

Таким образом, если договориться, что черные камни обозначают единицы, а один белый камень равен 3 черным, то для обозначения допустим 8 чужаков надо показать ●●●●●●●● черных камней или ○ белый и ●●●●● черных или ○○ белых и ●● черных. Любая из этих комбинаций обозначает в нашей условной системе число 8. Такой прием, конечно, заметно упрощал счет. Впоследствии многие народы использовали в качестве обозначения чисел буквы своего алфавита.

Римская система счисления

Одной из таких систем счисления является римская, которая до сих пор находит применение, например, для обозначения веков, цифр на циферблате аналоговых часов, разделов в документе и так далее. В ее основе лежат следующие числа и соответствующие им буквы латинского алфавита.

• 1 — I
• 5 — V
• 10 — X
• 50 — L
• 100 — C
• 500 — D
• 1000 — M

Все остальные числа получаются их комбинацией в соответствии с определенными правилами, причем 0 в римской системе отсутствует. Хотя сейчас правила довольно вольные и существует множество вариантов их трактовки отличающиеся различной степенью строгости. Мы не будем их расписывать, желающие могут найти их самостоятельно. Приведем лишь несколько примеров записи чисел в римской системе счисления.

• II — 2
• IV — 4
• XVI — 16
• XXIII — 23
• XLVIII — 48

Десятичная система счисления

Однако сейчас нам привычна система счисления основанная на цифрах от 1 до 9 и 0, это так называемые арабские цифры, хотя с исторической точки зрения это не совсем так. В итоге получается 10 цифр, поэтому она называется десятичной системой счисления с основанием системы равным 10. Считается, что она обязана своему появлению количеству пальцев на руках, что сильно упрощало жизнь. Ее особенностью является то, что в зависимости от местоположения цифры в числе меняется ее значение. Например, в числе 152 цифра 5 имеет значение 50, поскольку стоит в разряде десятков, а цифра 1 имеет значение 100 так как обозначает сотни. Это так называемая позиционная система счисления.

Так же существуют непозиционные системы, где значение цифр не зависит от их места в числе, а так же смешанные системы. Примером непозиционной системы может служить единичная система счета и с некоторой оговоркой римская.

Впрочем, еще относительно недавно в историческом масштабе, вплоть до конца XVIII века на Руси применялась пятеричная система, в которой были только цифры 0, 1, 2, 3, 4 и вытесненная из обихода современной десятичной.

Помимо уже названных систем счисления имеется множество других существовавших в разное время, а так же использующих в настоящее время в разных сферах деятельности человека. Для пересчета чисел из одной системы счисления в другую, вы можете воспользоваться онлайн конвертером систем счисления в конце статьи. Дальше мы рассмотрим несколько таких систем счисления применяющихся в компьютерной технике и программном обеспечении.

Двоичная система счисления

Почти все электронные вычислительные устройства, в том числе компьютеры используют вовсе не привычную для нас десятичную, а двоичную систему счисления, где основанием системы является 2. В ее основе лежит использование всего двух чисел 0 и 1. Это очень удобно для электронных устройств в силу технических причин, поскольку соответствует всего двум состояниям включено (1) и выключено (0) или высокий и низкий сигнал или «истина» и «ложь» и так далее. Наличие всего двух состояний упрощает техническую реализацию, повышает надежность работы, уменьшает габариты и обеспечивает высокую помехоустойчивость цифровых схем, в сравнение с аналоговыми.

В итоге любые числа представлены в виде комбинаций нулей и единиц. Например, число 4 в двоичной системе счисления записывается как 100, но читается каждый символ в отдельности, то есть «один ноль ноль». Это может запутать, поскольку запись числа 4 в двоичной системе счисления внешне не отличается от числа 100 из десятичной. В некоторых ситуациях из-за этого может возникнуть путаница. В таких случаях справа от числа подстрочным шрифтом принято указывать систему счисления, к которой относится данной число в десятичном формате. Числа из нашего примера можно записать следующим образом 4₁₀ и соответственно 100₂. Так же встречается вариант указания перед двоичным числом префиксов 0b или &, то есть 0b100 или &100.

Чтобы перевести десятичное число в двоичное, можно воспользоваться калькулятором расположенным ниже или применить метод Горнера. Для этого нужно десятичное число последовательно делить на основание системы, в данном случае 2. Если результат получается с остатком, то остаток отбрасываем, пишем 1 и снова делим на 2. Если результат получается без остатка, то пишем 0 и снова делим на 2. Запись нулей и единиц осуществляется справа налево, а деление продолжается пока в частном не получится ноль. Рассмотрим это на примере и преобразуем число 11₁₀ в двоичный вид.

11/2=5 остаток 1
5/2=2 остаток 1
2/2=1 остаток 0
1/2=0 остаток 1

В частном получился ноль, осталось записать получившиеся цифры справа налево от первой к последней и в итоге получаем, что 11₁₀=1011₂

Для обратной конвертации двоичных в десятичные, можно складывать последовательно цифры слева на право, умножая получившейся в предыдущем шаге результат на 2. Пересчитаем наш пример в обратную сторону.

Дано: &1011
1+0*2=1 (на первом шаге предыдущая сумма отсутствует, поэтому 0*2 )
0+1*2=2
1+2*2=5
1+5*2=11
Результат: 1110

Чтобы окончательно вас запутать, стоит упомянуть, что для записи чисел может применяться двоичный код, а система счета при этом использоваться десятичная. Такая комбинация называется двоично-десятичное кодирование и так же находит применение в вычислительной технике.

Шестнадцатеричная система счисления

Неудобством двоичных чисел является их громоздкость и трудность визуального восприятия человеком. Поэтому для представления двоичного кода в информатике широко используется шестнадцатеричная система счисления. Как вы уже наверно догадались, в ней используется шестнадцать символов, цифры от 0 до 9 и латинские буквы A, B, C, D, E, F соответствующие числам от 10 до 15 в десятичной системе. Шестнадцатеричное число может обозначаться словом hex.

Благодаря основанию системы равному 16 для записи 1 байта требуется всего 2 цифры в этой системе, для символов юникода требуется 4 шестнадцатеричных числа (иногда больше). Может использоваться для обозначения цветов в цветовой модели RGB, в програмировании, записи адресов IPv6, представления MAC-адреса сетевого оборудования, кодов ошибок операционных систем, записи хешей,  и так далее.

Чтобы перевести десятичное число в шестнадцатеричное используйте онлайн калькулятор систем счисления в конце статьи или воспользуйтесь алгоритмом, приведенным в примере с двоичной системой. Для примера пересчитаем число 382₁₀

382/16=23 остаток 14, пишем E
23/16=1 остаток 7, пишем 7
1/16=0 остаток 1, пишем 1
Результат: 17E16=38210

Чтобы пересчитать шестнадцатеричное число в десятичное, нужно разбить его на разряды и цифру каждого разряда умножить на 16 в степени соответствующего разряда и сложить получившиеся числа. Проще понять на примере, для этого выполним обратную операцию: 17E₁₆=1*16²+7*16¹+14*16⁰=1*256+7*16+14*1=382₁₀

Кроме рассмотренных систем существует и большое количество позиционных систем счисления с другими основаниями. Так в компьютерах одно время использовалась система с основанием 8, а такая древняя система счисления как шестидесятеричная, используется и в наше время для обозначения времени, координат и углов.

Калькулятор систем счисления

Работает только с целыми положительными числами.

beginpc.ru