Факториал х 2 – Факториал Суперфакториалы гиперфакториал примориал — Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Факториал

ФАКТОРИАЛ.

Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n!. Знак факториала «!» был введён в1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.

Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n.

Например:

4! = 1*2*3*4 = 24.

Для удобства полагают по определению 0! = 1. О том, что нуль – факториал должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».

Функция n! растёт с увеличением n очень быстро. Так,

1!=1,

2!=2,

3!=6,

4!=24,

5!=120,

…..,

10!=3 628 800.

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство

(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)! (1)

Английский математик Дж. Стирлинг в 1970г. предложил очень удобную формулу для приближённого вычисления функции n!:

n! ≈ (

n

)

n

* √ 2¶ n ,

е

где е = 2,7182... — основание натуральных логарифмов.

Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа n.

Способы решения выражений, содержащих факториал, рассмотрим на примерах.

Пример 1. (n! + 1)! = (n! + 1) • n!.

Пример 2. Вычислить 10! 8!

Решение. Воспользуемся формулой (1):

10! =10*9*8! = 10*9=90 8! 8!

Пример 3. Решить уравнение (n + 3)! = 90 (n + 1)!

Решение. Согласно формуле (1) имеем

= (n + 3)(n + 2) = 90.

(n + 3)! =(n + 3)(n + 2)(n+1)! (n + 1)! (n + 1)!

Раскрыв скобки в произведении, получаем квадратное уравнение

n2 + 5n - 84 = 0, корнями которого являются числа n = 7 и n = -12. Од нако факториал определен только для неотрицательных целых чисел, т. е. для всех целых чисел n ≥ 0. Поэтому число n = -12 не удовлетворя ет условию задачи. Итак, n = 7.

Пример 4. Найти хотя бы одну тройку натуральных чисел х, у и z, для которой верно равенство х! = y! • z!.

Решение. Из определения факториала натурального числа n сле дует, что

(n+1)! = (n + 1) • n!

Положим в этом равенстве n + 1 = у! = х, где у — произвольное нату ральное число, получим

x!=y! • (x-1)!

Теперь видим, что искомые тройки чисел можно задать в виде

(y!;y;y!-1) (2)

где y- натуральное число, больше 1.

Например, справедливы равенства

2! = 2! • 1!

6! = 3! • 5!

24! = 4! • 23!

Пример 5. Определить, сколькими нулями оканчивается деся тичная запись числа 32!.

Решение. Если десятичная запись числа Р = 32! оканчивается k нулями, то число Р можно представить в виде

Р = q • 10k,

где число q не делится на 10. Это означает, что разложение числа q на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, попробуем опреде лить, с какими показателями в произведение 1 • 2 • 3 • 4 • ... • 30 • 31 • 32 входят числа 2 и 5. Если число k — наименьший из найденных показателей, то число Р будет оканчиваться k нулями.

Итак, определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 2. Очевидно, что их количество равно 32/2 = 16. Затем определим, какое количество среди найденных 16 чисел делится на 4; затем — какое количество из них делится на 8 и т. д. В результате получим, что среди тридцати двух первых натуральных чисел на 2 делится 16 чисел,

из них на 4 делятся 32/4 = 8 чисел, из них на 8 делятся 32/8 = 4 числа, из них на 16 делятся 32/16 = 2 числа и, наконец, из них на 32 делятся 32/32=1, т.е. одно число. Понятно, что сумма полученных количеств:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

равна показателю степени, с которым число 2 входит в 32!.

Аналогично определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 5, а из найденного количества на 10. Разделим 32 на 5.

Получим 32/5 = 6,4. Следовательно, среди натуральных чисел от 1 до 32

существует 6 чисел, которые делятся на 5. Из них на 25 делится одно

число, так как 32/25 = 1,28. В результате число 5 входит в число 32! с пока зателем, равным сумме 6+1 = 7.

Из полученных результатов следует, что 32!= 23157т, где число т не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число 32! содержит множитель

107 и, значит, оканчивается на 7 нулей.

Итак, в данном реферате определено понятие факториала.

Приведена формула английского математика Дж Стирлинга для приближённого вычисления функции n!

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство

(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!

На примерах подробно рассмотрены способы решения задач с факториалом.

Факториал используется в различных формулах в комбинаторике, в рядах и др.

Например, количество способов выстроить n школьников в одну шеренгу равняется n!.

Число n! равно, например, количеству способов, которыми можно n различных книг расставить на книжной полке, или, например, число 5! равно количеству способов, которыми пять человек можно рассадить на одной скамейке. Или, например, число 27! равно количеству способов, которыми наш класс из 27 учеников можно выстроить в ряд на уроке физкультуры.

Литература.

  1. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А.

Математика. 5-11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики. –М.:Дрофа, 2001.- (Библиотека учителя).

  1. Энциклопедический словарь юного математика. /Сост. А.П.Савин.-М.:Педагогика, 1985

  1. Математика. Справочник школьника. /Сост. Г.М. Якушева.- М.: Филолог. об-во «Слово», 1996.

studfiles.net

Факториал — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

Из определения факториала следует соотношение (n−1)!=n!n{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}, откуда при n=1{\displaystyle n=1} формально находим

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
nn!
01
11
22
36
424
5120
6720
75040
840

ru.wikipedia.org

Таблица факториалов

Таблица факториалов
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5 040
8!40 320
9!362 880
10!3 628 800
11!39 916 800
12!479 001 600
13!6 227 020 800
14!87 178 291 200
15!1 307 674 368 000
16!20 922 789 888 000
17!355 687 428 096 000
18!6 402 373 705 728 000
19!121 645 100 408 832 000
20!2 432 902 008 176 640 000
21!51 090 942 171 709 440 000
22!1 124 000 727 777 607 680 000
23!25 852 016 738
884 976 640 000
24!620 448 401 733
239 439 360 000
25!15 511 210 043
330 985 984 000 000
26!403 291 461 126
605 635 584 000 000
27!10 888 869 450 418
352 160 768 000 000
28!304 888 344 611 713
860 501 504 000 000
29!8 841 761 993 739 701
954 543 616 000 000
30!265 252 859 812 191 058
636 308 480 000 000

— версия для печати
Определение (что такое факториал)
Факториал числа - результат последовательного умножения числа на все натуральные числа меньшие данного числа и большие единицы. Обозначается факториал восклицательным знаком после числа — «n!».
Факториал натурального числа n можно также определить как рекуррентную функцию F (n). Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1; F (n) = n * F (n-1).
Пример:
7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040
Не стоит забывать
По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов.
Полезный факт
Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н. Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи Π! приблизительно равен 2.28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e) ~ 1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).
Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

scolaire.ru

Таблица факториалов до 50

Таблица факториалов до 50

Главная > ф >

 Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
Например: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Принято: 0! = 1.

В таблице приведены значения факториалов для чисел от 0 до 50.

число факториал числа
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5040
8! 40320
9! 362880
10! 3628800
11! 39916800
12! 479001600
13! 6227020800
14! 87178291200
15! 1307674368000
16! 20922789888000
17! 355687428096000
18! 6402373705728000
19! 121645100408832000
20! 2432902008176640000
21! 51090942171709440000
22! 1124000727777607680000
23! 25852016738884976640000
24! 620448401733239439360000
25! 15511210043330985984000000
26! 403291461126605635584000000
27! 10888869450418352160768000000
28! 304888344611713860501504000000
29! 8841761993739701954543616000000
30! 265252859812191058636308480000000
31! 8222838654177922817725562880000000
32! 263130836933693530167218012160000000
33! 8683317618811886495518194401280000000
34! 295232799039604140847618609643520000000
35! 10333147966386144929666651337523200000000
36! 371993326789901217467999448150835200000000
37! 13763753091226345046315979581580902400000000
38! 523022617466601111760007224100074291200000000
39! 20397882081197443358640281739902897356800000000
40! 815915283247897734345611269596115894272000000000
41! 33452526613163807108170062053440751665152000000000
42!
1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43! 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44! 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45! 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
46! 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47! 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48! 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49! 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50! 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

 



 

comments powered by HyperComments

tab.wikimassa.org

Двойной факториал - это... Что такое Двойной факториал?

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Свойства

Комбинаторное определение

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = Γ(n + 1)

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

Таким образом,

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

  • x!2 > xx > x! > = x, при x>1

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,

n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Основная статья: Большие числа

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

В общем

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0) равны:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1)-уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Онлайн калькулятор: Факториал

Факториал числа n (обозначается n!) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Поскольку в вычислениях иногда бывает довольно трудно перемножать все числа входящие в факториал, используется так называемая формула Стирлинга:

приближенная формула для вычисления факториала.

Во многих случаях для упрощения рассматривают только главный член формулы

При этом утверждается, что

Калькулятор рассчитывает "честный" факториал, факториал по формуле Стирлинга, а также нижнюю и верхнюю границу (из неравенства). К сожалению, из-за ограниченных вычислительных способностей Javascript максимально возможный факториал для калькулятора — 170!

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Граница снизу

 

Формула Стирлинга

 

Граница сверху

 

Сохранить share extension

planetcalc.ru

Десять букв: Факториал дробных чисел

Вычислим факториалы нескольких натуральных чисел и отметим точки (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24) и т.д.на прямоугольной системе координат.

Что если попробовать плавной линией соединить эти точки и найти функцию, график которой имел бы такой вид? Тогда можно было бы вычислять факториал от любых чисел, не только от натуральных.
Об этом математики задумались в начале XVIII века. Если такая функция f(x) существует, она должна удовлетворять условию f(x) = x f(x-1), т.е. рекурсивному определению факториала. В 1729 году Леонард Эйлер нашёл способ получить факториал в виде бесконечного произведения, в которое в качестве аргумента можно было подставлять и дробные числа.

Вот как будет работать эта формула для n = 4, например:

Сходится произведение довольно медленно, я проверил в Экселе. Для того, чтобы произведение превысило 23, нужно взять 139 множителей, а чтобы добраться до 23,5, множителей нужно уже 283. На 1435-м шагу произведение доходит до 23,4, ну а в бесконечности будет равно 24

Я выложил лист для вычисления факториала в гугл доки. Меняете n и смотрите, к чему будут стремиться частичные произведения.

Чуть позже Эйлер выразил факториал в виде несобственного интеграла:

Применим к нему метод интегрирования частями, взяв u = (-ln x)n, dv = dx:

Требуемое свойство выполняется.

Заменой t = −ln x этот интеграл принимает используемый в настоящее время вид и известен как гамма-функция.

Аргументами её могут быть не только дробные или даже отрицательные числа, но и комплексные.

Для натуральных аргументов Г(n) = (n-1)!

Шотландский математик Джеймс Стирлинг был современником Эйлера и вывел формулу, позволяющую приближённо вычислять факториал для больших чисел.

.

desyatbukv.blogspot.com

Author: alexxlab

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о