Задача 28 — условия возврата кредита
Условие
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна S. По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшиться до нуля равномерно, то есть 19 раз на одну и ту же величину $\frac{S}{19}$ :
$\ \left( S-\frac{S}{19} \right),\left( \frac{18S}{19}-\frac{S}{19} \right),…,\left( \frac{3S}{19}-\frac{S}{19} \right),\left( \frac{2S}{19}-\frac{S}{19} \right),\left( \frac{S}{19}-\frac{S}{19} \right),0.$
Первого числа каждого месяца долг возрастает на $r$% Пусть коэффициент увеличения равен $k=1+\frac{r}{100}$, тогда последовательность размеров долга на 1-ое число каждого месяца (вместе с процентами) такова:
\[kS,\ k\frac{18S}{19},…,k\frac{2S}{19},\ k\frac{S}{19}.\]
Значит со 2-го по 14-ое число при выплате части долга, размер выплаты $x$ в первый раз получим как разность $kS-x=S-\frac{S}{19};$
\[x=kS-S+\frac{S}{19};\]
\[x=(k-1)S+\frac{S}{19};\]
Во второй раз выплата $x$ получится так же: $k\frac{18S}{19}-x=\frac{18S}{19}-\frac{S}{19};$
\[x=k\frac{18S}{19}-\frac{18S}{19}+\frac{S}{19};\]
$x=\frac{18S(k-1)+S}{19}$и так далее.
Следовательно, все выплаты должны быть следующими:
\[\left( k-1 \right)S+\frac{S}{19},\ \frac{18S\left( k-1 \right)+S}{19},…,\frac{2S\left( k-1 \right)+S}{19},\ \frac{S\left( k-1 \right)+S}{19}.\]
Всеговсуммеследуетвыплатить
\[\frac{S}{19}\cdot 19+S\left( k-1 \right)\left( 1+\frac{18}{19}+…+\frac{2}{19}+\frac{1}{19} \right)=S+S(k-1)\cdot 10;\]
Общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, поэтому
\[\frac{S+S(k-1))\cdot 10-S}{S}=0,3;\]
\[10(k-1)=0,3;\]
$k=1,03$, а так как $k=1+\frac{r}{100}$, то $r=3%$.
Примечание Дмитрия Гущина
Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на $n$ платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма $S$, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты $P$ и полная величина выплат $V$ за всё время выплаты кредита даются формулами
\[\text{P}=\frac{r}{100}\cdot \frac{n+1}{2}S,\ \text{V}=S+\text{}=S\left( 1+\frac{r\left( n+1 \right)}{200} \right).\]
В условиях нашей задачи получаем: $\frac{r\left( n+1 \right)}{200}S=0,3S$, откуда для $n=19$ устно находим $r=3$.
Доказательство формул, например, немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 19 месяцев на $n$ месяцев и использования формулы суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии.
Правильный ответ
3
Смотрите также:
- Задача про бизнес-планы — новый тип
- Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
- Как решать квадратные уравнения
- Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
- Задачи B6 с монетами
- Задача B5: площадь кольца
www.berdov.com
Пример №27 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс
`15` января планируется взять кредит в банке на `5` месяцев. Условия его возврата таковы:
– `1`–го числа каждого месяца долг возрастает на `5%` по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со `2`–го по `14`–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– `15`–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на `15`–е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Источник: ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-80 с.(вариант №4) (Купить книгу)
Решение №1:
Пусть `A_0` — сумма кредита, а `A_n` — сумма долга через `n` месяцев. Тогда получается, что через месяц сумма долга будет равной `A_1=A_0*1,05-x_1` (умножаем на `1,05` потому что каждый месяц долг возрастает на `5%`), где `x_1` — выплата долга за первый месяц.Посчитаем сумму долга в конце второго месяца:
`A_2=A_1*1,05-x_2`, где `x_2` — выплата долга за второй месяц.
Аналогично будут следующие выплаты. Т.к. кредит планируется брать на `5` месяцев, то в пятый месяц долг будет полностью погашен (`A_5=0`) и сумма выплаты будет следующей: `A_5=A_4*1,05-x_5`.
В условии сказано, что сумма долга уменьшается каждый месяц на одну и ту же сумму, значит, сумма долга уменьшается по арифметической прогрессии.
Общая сумма кредита, которую выплатят `x_1+x_2+…+x_5`.
Нам необходимо найти процент выплат от общей суммы кредита `(x_1+x_2+…+5_x)/A_0 *100%`.
Найдем общую сумму выплат. Для этого выразим `x_1`, `x_2` и т.д. из суммы долга: `x_1+x_2+…+x_5=` `1,05(A_0+…+A_4)-(A_1+…+A_5)`.
Через формулу суммы арифметической прогрессии `S_n=((a_1+a_n))/2 *n` можно записать `A_0+…+A_4` в виде `(A_0+A_4)/2 *5`. Но т.к. у нас `A_5=0`, то можно к этому выражению прибавить его, т.к. сумма от этого не изменится. Получится следующее выражение `(A_0+A_5)/2 *6`.
`1,05(A_0+…+A_4)-(A_1+…+A_5)=` `1,05*(A_0+A_5)/2 *6-(A_1+A_5)/2 *5=` `0,525*6A_0-2,5A_1`. `A_1` по формуле `n` — го члена члена арифметической прогрессии можно записать в виде `A_1=A_0+d`.
Найдем `d` по формуле `n` — го члена арифметической прогрессии `A_5=A_0+5d`, т.к. `A_5=0`, то `A_0=-5d`. Отсюда `d=-(A_0)/5`.
Подставим все известные значения и посчитаем:
`3,15A_0-2,5(A_0+d)=` `3,15A_0-2,5A_0-2,5d=` `0,65A_0-2,5*(-(A_0)/5)=` `0,65A_0+0,5A_0=` `1,15A_0`.
Подставим известные значения в формулу для нахождения процента выплат от общей суммы кредита: `(1,15A_0)/(A_0) *100%=` `115%`.
Получается, что банку нужно вернуть `115%` от суммы кредита.
Решение №2:
Пусть сумма кредита равна `S`. По условию, долг перед банком по состоянию на `15` число должен уменьшаться до нуля равномерно:`S`; `(4S)/5`; `(3S)/5`; `(2S)/5`; `S/5`; `0`.
Первого числа каждого месяца долг возрастает на `5%`, значит, последовательность размеров долга по состоянию на `1` число такова:
`1,05S`; `1,05*(4S)/5`; `1,05*(3S)/5`; `1,05*(2S)/5`; `1,05*S/5`.
Значит, выплаты должны быть следующими:
`0,05S+S/5`; `(4*0,05S)/5+S/5`; `(3*0,05S)/5+S/5`; `(2*0,05S)/5+S/5`; `(0,05S)/5+S/5`.
Всего следует выплатить:
`S+S*0,05(1+4/5+…+1/5)=` `S(1+(6*0,05)/2)=` `1,15S`.
Получается, что банку нужно вернуть `115%` от суммы кредита.
Ответ: `115%`.
www.ege-math.ru
Решение 15-го января планируется взять кредит в банке на 39…
Ответ оставил Гость
И так, пусть сумма кредита «S». Согласно условия долг перед банком равномерно уменьшается до нуля.
Первого числа каждого месяца долг возрастает на некоторый процент «r»
Пусть банковский коэффициент тогда последовательность погашения кредита принимает вид
Значит выплаты должны быть такими:
Значит всего следует выплатить:
Общая сумма выплат на 20 % больше суммы взятой в кредит, значит
20(k-1)=0.2
k=1.01
r=1
Ответ: r=1
Оцени ответ
1000melocey.ru
