задачи: Построение таблиц истинности логических выражений
Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.
Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.
Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».
Алгоритм построения таблицы истинности:
1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2. определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n — количество переменных;
3. подсчитать количество логических операций в формуле;
4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;
6. выписать наборы входных переменных;
7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.
Заполнение таблицы:
1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;
2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;
3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.
Задача 1.
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
X | Y | Z | F |
1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 |
1) X Ù ¬Y Ù ¬Z 2) X Ù Y Ù Z 3) ¬X Ù ¬Y Ù ¬Z 4) X Ú ¬Y Ú ¬Z
Решение:
1) перепишем ответы в других обозначениях: 1) 2) 3) 4)
2) в столбце F есть единственная единица для комбинации , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид .
3) таким образом, правильный ответ – 1.
Задача 2.Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 0 | 0 | |||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Каким выражением может быть F?
- ¬x1 ˄ x2 ˄ x3 ˄ ¬x4 ˄ x5 ˄ ¬x6 ˄ ¬x7
- x1 ˅ ¬x2 ˅ ¬x3 ˅ x4 ˅ ¬x5 ˅ x6 ˅ ¬x7
- x1 ˄ ¬x2 ˄ x3 ˄ ¬x4 ˄ ¬x5 ˄ ¬x6 ˄ x7
- x1 ˅ x2 ˅ ¬x3 ˅ ¬x4 ˅ x5 ˅ x6 ˅ ¬x7
- Решение:Обратите внимание на столбец F, в нём присутствует два нуля и одна единица. Выходит, что выражение не может быть дизъюнкцией, так как дизъюнкция ложна только в одном случае — когда все переменные равны нулю, у нас же в таблице два ложных результата и один истинный, значит выражением может быть только конъюнкция.
То есть ответы 2 и 4 однозначно не подходят, и мы можем проверить только варианты с конъюнкцией.
Проверим первое выражение по последней (единственно истинной) строке таблицы. Так как выражение является конъюнкцией, то для получения истины все переменные в выражении должны быть истинны. Для первого выражение это условие не выполняется, так как ¬x1 изменит 1 в таблице на 0, х2 в таблице ложно, ¬x7 изменит 1 в таблице на 0.
Остаётся единственным возможным ответ 3, но для уверенности лучше проверить и его:
x1 в таблице истинно, x2 в таблице ложно, но в выражении эта переменная отрицается, x4 в таблице ложно, но в выражении эта переменная отрицается, x7 в таблице истинно.
Ответ: 3
Задача 3.
Логическая функция F задаётся выражением (x ≡ z ) ˅ (x ˄ y). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция ??? ??? ??? F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая 1-му столбцу; затем – буква, соответствующая 2-му столбцу; затем – буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно. разделителей между буквами ставить не нужно.
- Решение:
Сложность данного задания заключается в наличии в выражении эквиваленции.
F будет ложна только в случае, если каждая скобка в выражении (x ≡ z ) ˅ (x ˄ y) будет ложна. Это значит, что для того, чтобы F была равна нулю, выражение (x ≡ z ) должно давать 0, то есть переменные x и z не должны быть равнозначны. Рассмотрим все строки в таблице, результат для которых равен нулю:
Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция ??? ??? ??? F 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 Как мы видим по первой и третьей строкам, переменные x и z не могут находиться в 1 и 2 столбце. По второй строке видно, что переменные x и z не могут находиться в 1 и 3 столбце. Значит переменные x и z могут находиться только в 2 и 3 столбце. Это значит, что первый столбец соответствует переменной y.
Теперь нужно определить, какому столбцу соответствует x, а какому z.
Рассмотрим такую строку таблицы, в которой выражение (x ≡ z ) ˅ (x ˄ y) будет истинно, и при этом первая скобка будет ложна. В этом случае переменные x и y должны быть равны 1.
Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция Y ??? ??? F 1 0 1 1 Как мы видим, значения 2 и 3 столбца неравнозначны, то есть выражение (x ≡ z ) = 0. При этом функция F = 1, значит выражение (x ˄ y) = 1. Это возможно только в том случае, если x=1 и y=1. Переменной Y соответствует первый столбец, значит столбец 3 — это x, а столбец 2 — это z.
Ответ: YZX
Решение логических задач с помощью таблиц истинности
Цели:
- создание комфортных психологических условий для обучения;
- развитие, поощрение и стимулирование интересов у школьников к самостоятельной творческой деятельности;
- практическое применение знаний;
- систематизация знаний и умений учащихся по теме “Логика”.
Задачи:
Образовательные:
- обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Логика”;
- подготовить учащихся к контрольной работе;
- продолжить развитие навыков логического анализа;
- выработать умение корректно и логически безупречно формулировать определение понятий;
- продолжить решение логических задач;
- развивать умение строить логические выражения.
Развивающие:
- развитие внимания, наблюдательности, критичности;
- развитие активности и самостоятельности;
- развитие умений и навыков работы при решении логических задач.
Воспитательные:
- привитие интереса к приобретению новых знаний, умений и навыков;
- изучение основных исторических этапов развития логики и знакомство с историческими личностями, связанными с развитием данной науки с Древних времен и по сей день.
Оборудование урока:
- Интерактивная доска.
- Компьютер, проектор.
- Карточки с заданиями для учащихся.
- Тест.
- Презентации по теме урока.
План урока
| № | Вид работы | Время (мин) |
1 | Организационный момент | 1 |
2 | Опрос (презентация) | 5 |
3 | Диктант | 3 |
4 | Исправь ошибки / Тест | 5 |
5 | Работа в парах | 5 |
6 | Решение задач на Законы логики | 7 |
7 | Новая тема | 7 |
8 | Решение задач | 10 |
9 | Рефлексия | 2 |
10 | Д/з | 1 |
|
| 45 |
ХОД УРОКА
1. Оргмомент — 1 мин.2. Опрос (презентация) – 5 мин.- Кто заложил основы формальной логики?
- Что такое высказывание?
- Выберете из предложенных вариантов высказывания:
- Завтра будет дождь.
- Вчера было солнечно.
- Земля – спутник Юпитера.
- Петя вчера хотел бы пойти в кино.
- У кого есть сотовый телефон?
- Урок длится 45 минут.
- Ура, каникулы!
- Каким методом пользовался великий сыщик Шерлок Холмс? Дайте определение.
Записать высказывания:
- Не А и В.
- Отрицание А или не В.
- Из не В следует А и С.
- Если А то не С.
- Инверсия А или В эквивалентно не А и не В.
Тест – 5 мин. | Логические функции – 5 мин. |
1. Какой из перечисленных законов является переместительным для «И»?
- X+Y = Y+X
- X*Y=Y*X
- Х*(Y*Z)=(X*Y)*Z
- X+(Y+X)=(X+Y)+Z
- X*(Y+Z)= X*Y + X*Z
2. Какой из перечисленных законов является сочетательным для «И»?
- X+Y = Y+X
- X+Y*Z=(X+Y)*(X+Z)
- Х*(Y*Z)=(X*Y)*Z
- X+(Y+X)=(X+Y)+Z
- X*(Y+Z)= X*Y + X*Z
3. Какой из перечисленных законов является сочетательным для «ИЛИ»?
- X+Y = Y+X
- X+Y*Z=(X+Y)*(X+Z)
- Х*(Y*Z)=(X*Y)*Z
- X+(Y+X)=(X+Y)+Z
- X*(Y+Z)= X*Y + X*Z
Каждой группе выдается лист с заданием (таблица с простыми высказываниями и их обозначения). Необходимо записать сложные высказывания на языке алгебры логики.
N | Ветер северный | T | Температура плюсовая |
S | Ветер южный | I | На деревьях иней |
D | Идёт дождь | U | На улице туман |
C | Идёт снег | P | Небо пасмурное |
M | На улице мороз | Z | Налипание снега на провода |
O | На улице оттепель | G | На дорогах гололедица |
1. «На улице мороз, небо пасмурное, но снег не идёт»;
2. «На улице температура плюсовая и туман или на деревьях иней»;
3. «Если северный ветер или идёт снег, то на улице мороз»;
4. «На дорогах нет гололедицы, если дует северный ветер при морозе»;
5. «На улице оттепель или на деревьях иней, если температура плюсовая»;
6. Решение задач на «Законы логики» — 7 мин.Упростить:
7. Новая тема – 7 мин.Нами это уже пройдено…
Мы рассмотрели с вами решение нескольких задач-софизмов:
- Ахилл и черепаха.
- Спичка длиннее столба.
- Зависит ли скорость свободного падения от массы тела.
- Парадокс парикмахера.
Методом логических рассуждений.
Для решения логической задачи методом таблиц истинности необходимо:
- «разобрать» задачу на простые высказывания и обозначить их;
- записать задачу на языке алгебры логики;
- составить таблицу истинности;
- сделать вывод.
Рассмотрим это на примере:
Задача 1. Кто из подозреваемых участвовал в преступлении, если известно:
1) если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал;
2) если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал.
(объяснение с помощью презентации)
8. Закрепление. Решение задач – 10 мин.Задача 2. В нарушении правил обмена валюты подозреваются 4 работника банка А, В, С, Д.
Известно:
1) если А нарушил, то В нарушил;
2) если В нарушил, то и С нарушил или А нет
3) если Д не нарушил, то А нарушил, а С нет
4) если Д нарушил, то и А нарушил
Наш урок подошел к концу. Выразите свои ощущения после урока с помощью пословиц. Выберите из предложенных ту, которая соответствует вашему настроению.
- Без хорошего труда нет плода.
- Терпенье и труд все перетрут.
- И швец, и жнец, и на дуде игрец.
- Упорно трудиться — будет хлеб в закромах водиться.
- Трудовая денежка плотно лежит, чужая ребром торчит.
- Была б лишь охота — наладится каждая работа.
- Маленькое дело лучше большого безделья.
- Глаза страшатся, а руки делают.
- Не боги горшки обжигают.
- Хлеб даром не даётся.
Намечаются экскурсии в три города А, В и С. Руководитель фирмы сказал:
- «Неверно, что если будет экскурсия в город В, то не будет экскурсии в город С.
- Если будет экскурсия в город С, то не будет экскурсии в город А.»
В какие города будет проводиться экскурсия?
Приложение 1
Применение стандартных функций Mathcad для решения логических задач по информатике
В данной статье предлагается и рассматривается метод решения логических уравнений, синтеза логических выражений с помощью встроенных стандартных функций математического пакета Mathcad.
В данной статье предлагается и рассматривается метод решения логических уравнений, синтеза логических выражений с помощью встроенных стандартных функций математического пакета Mathcad. Задачи математической логики у школьников и учителей информатики вызывают немало вопросов, опасений за получение конечного положительного результата, а при сдаче ЕГЭ по информатике уровень тревожности в обеих группах значительно возрастает, что приводит к снижению процента (до 13%) правильно решенных задач [1-3].
Организуя поиск простых и верных решений логических задач для обеспечения информационной поддержки учителей школ, нами было предложено использовать возможности математических пакетов, в частности, Mathcad [5,6,7].
При первом знакомстве с его модулем Boolean, в котором представлены основные логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, сложение по модулю 2), убеждаемся в существовании ограниченных возможностей пакета для построения таблиц истинности. Данная проблема была решена при представлении каждого логического выражения (ЛогВ) в виде вектора возможных значений (0 или 1). Последнее позволило применять к ЛогВ все операции над векторами, составлять таблицы истинности, расширять возможности встроенных логических функций пакета при решении различных логических задач. Продемонстрируем сказанное на примере.
На рис. 1 представлена операция импликации (функция F2), значения которой определены в виде вектора-столбца. Для формирования таблицы истинности, с включением в нее F2, применяется операция присваивания каждому столбцу матрицы TI значений соответствующего вектора-столбца функции или переменной. Из рисунка 1 видно, что значения функции F2 разместились в пятом столбце, функции F1 – в третьем, а в четвертом разместились значения инверсии F1.
Рисунок 1. Формирование таблицы истинности TI.На рисунке 2 продемонстрированы возможные варианты задания логических функций двух переменных, в том числе, и эквиваленции. Аналогичные операции можно выполнить для функций 3-х и более переменных.
Таким образом, можно сделать первый вывод, что в пакете Mathcad имеются необходимые инструменты для формирования таблиц истинности и задания логических функций нескольких переменных.
Рассмотрим операции синтеза логических выражений. Известно, что существует несколько основных способов их синтеза. Разберем пример задачи ЕГЭ по информатике.
Рисунок 2. Пример формирования логических функций двух переменных.Пример. B 2 № 911 (Задание взято из задач сайта «Решу ЕГЭ»). Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. табл. 1):
Таблица 1. Фрагмент таблицы истинности выражения F.
X | Y | Z | F |
1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 0 |
Какое выражение соответствует F? Даны четыре варианта ответа:
- (0 ∧ Y) ∧ (X ≡ Z)
- (1 ∧ Y) ∧ (X ≡ Z)
- (0 ∨ ¬Z) ∧ (X ≡ Y)
- (¬1 ∧ Y) ∧ (X ≡ Z)
Решение.
- Заметим, что первый вариант дает в результате 0 во всех случаях, так как конъюнкция ложна, если ложен хотя бы один из её аргументов, а это не соответствует значениям F.
- Выражение в варианте 2, как и в варианте 4, принимает ложные значения, если X не эквивалентно Z, а значит, по первой и третьей строчке и 2, и 4 вариант удовлетворяют F.
- Остается сравнить их по второй строке, в которой F – истинно. В этой строке X=0, Y=1, Z=0, значит, выражение в варианте 2 здесь истинно.
- Так как значения F и значения функции в варианте 2 сошлись по всем трем строкам, вариант 2 является ответом к данной задаче.
Для решения рассматриваемой задачи в Mathcad зададим X, Y, Z, F как векторы. Используем ранее описанную логическую операцию эквиваленции (см. рис.3). Представляя каждое ЛогВ в виде вектора, можно увидеть, что у второго выражения значения по строкам совпадают с значениями функции F. Присвоим второму ЛогВ имя FLV и проверим правильность решения логической задачи операцией «булево равенство» (обозначается в модуле «Boolen» жирным знаком «=»), связав ее с функцией F, тем самым, получим простое логическое уравнение. Если это уравнение связать обычным знаком равенства с 1, т.е. вывести все его решения, при которых это уравнение принимает истинные значения, то получим вектор решений. В данном случае их будет три (все три строки вектора-столбца решений приняли единичное значение).
Рисунок 3. Пример решения задачи ЕГЭ.Таким образом, сравнивая полученную логическую функцию FLV с исходной функцией F (производим проверку решения), получаем результирующий вектор с единичными значениями, что доказывает правильность решения задачи.
Установлено, что данный способ также весьма удобен для составления различных таблиц истинности, доказательства логических тождеств, решения логических уравнений и их систем [4].
Урок №7 Решение логических задач
Тема урока: Решение логических задач
Образовательная – изучение способов решения логических задач средствами алгебры логики, формирование умений и навыков решения логических задач;Развивающая — создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;
Воспитательная: способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других, воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
Тип урока: комбинированный урок
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация 7.
Ход урока
Повторение и актуализацию опорных знаний. Проверка домашнего задания (10 минут)
На предыдущем уроке мы познакомились с основными способами решения логических уравнений. Выполним проверку домашнего задания по решению логических уравнений.
По заданной таблице истинности составить логическое выражение и
упростить его.
b
c
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
Решение:
Решить логическое уравнение
Решение: упростим выражение
Ответ: 1001.
3. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?
Решение:
Упростим выражение
Построим СДНФ для данной логической функции:
В итоге получаем СДНФ, содержащую 6 конъюнкций. Следовательно таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 6 строках из 24=16 наборов значений переменных. Следовательно остальные 10 строк таблицы истинности имеют значения 0.
Ответ: 10
Ознакомление с темой урока, изложение нового материала (30 минут)
Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Решение логических задач». Изучив данную тему, вы узнаете способы решения логических задач путем использования языка алгебры логики.
Логические задачи — текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может быть истинной или ложной.
Язык алгебры высказываний позволяет решать логические задачи путем построения таблиц истинности или путем составления и упрощения логического выражения.
Обычно используется следующая схема решения:
1. изучается условие задачи;
2. вводится система обозначений для логических высказываний;
3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
4. определяются значения истинности этой логической формулы;
5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
Решение логических задач с помощью таблиц истинности.
Задача 1. По обвинению в преступлении перед судом предстали Иванов, Петров и Сидоров. Следствием установлено:
если Иванов не виновен или Петров виновен, то Сидоров виновен;
если Иванов не виновен, то Сидоров не виновен.
Виновен ли Иванов?
Решение. Запишем на языке алгебры высказываний факты установленные следствием. Пусть
A= «Иванов виновен», B= «Петров виновен», C= «Сидоров виновен», тогда факты, установленные следствием имеют вид
1) ;
2) .
Таким образом, обобщая, сведения, получим информацию .
Составим таблицу истинности для полученного высказывания
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
Проанализируем все строки, где . Во всех случаях, когда сложное высказывание истинно , т.е. Иванов виновен.
Решение логических задач путем составления и упрощения логического выражения.
Задача 2. Четыре студента Денис, Коля, Рустам и Соня по итогам сессии стали лучшими, но пока неизвестно кто на каком месте находится. Сокурсники высказали предположения:
первым будет Денис, вторым Коля;
Вторым будет Рустам, четвертой Соня;
Денис будет вторым, Соня – третьей.
Оказалось, что в каждом предположении одно высказывание было ложным, другое истинным. Как распределились места? В ответе укажите буквы имен студентов
Решение: формализуем высказывания
Все три высказывания должны выполняться одновременно, следовательно, итоговое выражение будет иметь вид:
Ответ: ДРСК
Задача 3. Друзья попытались выяснить, собака какой породы стала победителем выставки. Ребята сделали следующие высказывания:
Паша: «Победила такса»;
Борис: «Победила либо овчарка, либо такса»;
Аня: «Борис неправ»;
Коля: «Овчарка точно не победила»;
Ира: «Ни лабрадор, ни овчарка не победили»;
Вася: «Ни лабрадор, ни такса не победили»;
Маша: «Лабрадор точно не победил»;
Коля: «Ира ошибается»;
Оля: «Победила овчарка».
Собака какой породы победила на выставке, если известно, что из девяти высказываний истинны только три? Ответ запишите в виде первой буквы породы.
Ответ: Л
3. Задание на дом.
Задача 1. Один из братьев поставил на скатерть кляксу.
— Кто запачкал скатерть? – спросила бабушка.
— Витя не ставил кляксу, — сказал Алёша, — это сделал Боря.
— Ну а ты что скажешь? – спросила бабушка Борю.
— Это Витя поставил кляксу, — сказал Боря, — а Алёша не пачкал скатерть.
— Так я и знала, что вы друг на друга сваливать будете, — рассердилась бабушка. – Ну а каков твой ответ? – спросила она Витю.
— Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог этого сделать.– сказал Витя.
Оказалось, что два мальчика сказали правду, а один сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?
Задача 2. Девять ребят нашли на улице бездомного котенка. Один из них взял котенка домой. Кто из ребят взял котенка домой, если они утверждают:
Паша: «Это сделал Вася»;
Борис: «Это сделал либо Вася, либо Паша»;
Аня: «Паша неправ»;
Сергей: «Маша этого не делала»;
Андрей: «Ни Маша, ни Паша этого не делали»;
Вася: «Ни Вася, ни Паша этого не делали»;
Маша: «Паша этого не делал»;
Коля: «Андрей не прав»;
Ирина: «Это сделала Маша».
Кто взял котенка домой, если известно, что из девяти высказываний истинны только четыре.
решение задач с помощью алгебры логики.
Одним из мощных методов решения логических задач является решение с помощью законов алгебры логики.
Алгоритм решения логических задач с помощью алгебры логики: 1) внимательно изучить условие; 2) выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами; 3) записать условие задачи на языке алгебры логики; 4) составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице; 5) упростить формулу, проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых F = 1, проанализировать результаты.
Задача1 » Кто преступник»
Определить участника преступления, исходя из двух
посылок:
1) «Если Иванов не участвовал или Петров участвовал,
то Сидоров участвовал»;
2) «Если Иванов не участвовал, то Сидоров не
участвовал».
Рассмотрим решение этой несложной задачи двумя способами: с помощью таблиц истинности и с помощью алгебраических преобразований.
1 способ
Составим выражения:
I — «Иванов участвовал в преступлении»;
P — «Петров участвовал в преступлении»;
S — «Сидоров участвовал в преступлении»
.
Запишем посылки в виде формул:
¬I˅P→S и ¬I→¬S
Из таблицы видно, что совершил преступление Иванов
Способ 2
Применим для решения этой же задачи преобразования с
помощью законов алгебры логики:
( ¬I˅P→S) &( ¬I→¬S)=(¬(¬I˅P)˅S) & (I˅¬S) =
= (I & ¬P ˅S) &(I ˅¬S) = I&¬P˅ I & S˅ I &¬P &¬S ˅0=
= I&¬P ˅ I & S =I & (¬P˅S)
Из последнего выражения видно, что выражение верно, если I=1, значит преступник — Иванов.
Задача 2 «Прогноз погоды»
Решим эту задачу средствами алгебры логики.
1. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»
B – «Пасмурно»
С – «Дождь» 2. Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:
A → B & C
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:
С → B & A
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра
B → C &
в) Запишем произведение указанных функций:
F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A)
Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):
= (¬A v B & ¬C) & (¬C v B&A) & (¬B v C&A) =
= (¬A v B & ¬C) & (¬B v C&A) & (¬C v B&A) =
= (¬A &¬ B v B&¬C&¬B v ¬A&C&A v B&¬C&C&A) &
(C v B&A)=
Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.
Задача 3 «История с амфорой».
Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд.
Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения.
Введем следующие обозначения:
«Это сосуд греческий» — G;«Это сосуд финикийский» — F;
«Сосуд изготовлен в III веке» — V3;
«Сосуд изготовлен в IV веке» — V4;
«Сосуд изготовлен в V веке» — V5. Формализуем задачу, записав в данных обозначениях условия задачи. Со слов учителя следует, что Алеша прав только в чем-то одном: или G = 1, или V5 = 1. Таким образом, тождественно истинным будет высказывание: G¬V5 v ¬GV5.=1 Аналогично, из слов Бори и учителя следует: F¬V3 v ¬FV3 = 1, а из слов Гриши и учителя: ¬G¬V4 v GV4 = 1. Кроме того, ясно, что сосуд может быть изготовлен только в одном из веков и только в одной из стран. Эти условия можно записать так: V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5 = 1, Итак, мы получили пять тождественно истинных высказываний. Их нужно логически перемножить. Результат должен быть также тождественно истинным высказыванием: 1 = (G¬V5 v ¬GV5) & (F¬V3 v ¬FV3) & (¬G¬V4 v GV4) & (F¬G v ¬FG) & (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5) = (упростим: сначала перемножим первую и третью скобки и вторую и четвертую скобки) =(G¬V5¬G¬V4˅¬GV5¬G¬V4 ˅ G¬V5GV4 ˅ ¬GV5 GV4)&( F¬V3 F¬G˅¬FV3 F¬G˅ F¬V3 ¬FG ˅ ¬FV3¬FG) & (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5) = учитывая, что, G¬G = 0, GG = G,¬ G¬G =¬ G, упростим выражения в первой и второй скобках: =(¬GV5¬V4 ˅ ¬V5GV4 ) &( ¬FV3G ˅¬V3 F¬G)& (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5) = (перемножим первую и вторую скобки и упростим полученное выражение) (¬GV5¬V4 ¬FV3G˅¬V5GV4¬FV3G˅¬GV5¬V4 ¬V3 F¬G ˅ ¬V5GV4¬V3 F¬G) & (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ (¬V3¬V4V5)= (¬V5V4¬FV3G˅¬GV5¬V4 ¬V3 F) & (V3¬V4¬V5 ˅ ¬V3V4¬V5 ˅ ¬V3¬V4V5)= ¬GV5¬V4 ¬V3 F ¬GV5¬V4 ¬V3 F=1, если ¬G=1, V5=1, ¬V4 =1, ¬V3=1, F=1 Итак, сосуд финикийский и изготовлен в V веке.
Задача 4 «Поход в кино».
Андрей, Аня и Маша решили пойти в кино. Каждый из них высказал свои пожелания по поводу выбора фильма. Андрей сказал: «Я хочу посмотреть французский боевик». Маша сказала: «Я не хочу смотреть французскую комедию». Аня сказала: «Я хочу посмотреть американскую мелодраму». Каждый из них слукавил в одном из двух пожеланий. На какой фильм пошли ребята? 1. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные: А — «Французский фильм» С — «Комедия» 2. Запишем логические функции (сложные высказывания). Учтем условие о том, что каждый из ребят оказался прав в одном предположении: а) «Французский боевик» ¬A&B˅A&¬B б) «Американскую мелодраму» ¬¬A&¬B˅¬ А &¬¬В
в) «Нефранцузская комедия» ¬¬A&C˅¬A&¬C
3. Запишем произведение :(¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)=1. Упростим формулу: (¬A&B˅A&¬B) & (¬¬A&¬B˅¬ А&¬¬В)&( ¬¬A&C˅¬A&¬C)= (¬A&B˅A&¬B) & (A&¬B˅¬ А&В)&( A&C˅¬A&¬C)= =(¬A&B& A&¬B˅ A&¬B& A&¬B˅¬A&B &¬А&В˅ A&¬B&¬A&B)&( A&C˅¬A&¬C)= =(A&¬B ˅¬A&B)&( A&C˅¬A&¬C)= A&¬B& A&C˅¬A&B& A&C˅ A&¬B&¬A&¬C˅¬A&B&¬A&¬C= = ¬A&B&¬C˅ A&¬B&C =1 6. Составим таблицу истинности для выражения:
¬A&B&¬C˅ A&¬B&C:
Ответ: ребята выбрали американский боевик.
А
Решение задач типа 2 (теория)
В качестве примера рассмотрим решение задачи 2 из демоверсии ГИА 2013 года:
Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
НЕ (Первая цифра чётная) И (Последняя цифра нечётная)?
1) 1234 2) 6843 3) 3561 4) 4562
Решение:
В данной задаче у нас два высказывания и две логические операции — отрицание и конъюнкция. Обозначим первое высказывание буквой A, а второе — буквой B:
A = «Первая цифра чётная»
B = «Последняя цифра нечётная»
Представим высказывание из условия задачи в виде логического выражения:
¬A/\B
| A | B | ¬A | ¬A/\B |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Как видно из таблицы, логическое выражение принимает истинное значение только в одном случае (он выделен цветом) — когда высказывание A ложно, а высказывание B истинно. Высказывание A у нас звучит так — «Первая цифра чётная«. Но оно должно быть ложным — т. е. получим «Первая цифра нечётная«. Высказывание B должно быть истинным, т. е. будет звучать так — » Последняя цифра нечётная«. Осталось найти из предложенных ответов число, у которого первая цифра нечетная и последняя цифра нечетная. И это число 3561, т. е. правильный ответ — 3.
Рассмотрим решение задачи 2 демоверсии ГИА по информатике 2012:
Для какого из приведённых имён истинно высказывание:
НЕ(Первая буква гласная) И НЕ(Последняя буква согласная)?
1) Емеля 2) Иван 3) Михаил 4) Никита
Решение
Алгоритм решения аналогичен предыдущей задаче. У нас есть два простых высказывания и две логические операции — отрицание и конъюнкция (отрицание используется дважды). Обозначим высказывания:A = «Первая буква гласная»
B = «Последняя буква согласная»
Построим логическое выражение:
¬A /\ ¬B
Строим таблицу истинности:
| A | B | ¬A | ¬B | ¬A /\ ¬B |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Как мы видим выражение принимает истинное значение только когда оба исходных высказывания ложные. Т. е. нужно взять отрицание исходных высказываний и получим, что первая буква должна быть согласной, а последняя — гласной. Это условие удовлетворяет только слово Никита — правильный ответ 4.
Дополнение (ГИА 2014)
Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:
НЕ (число > 50) ИЛИ (число чётное)?
1) 123 2) 56 3) 9 4) 8
Решение:
Вспомним, что такое отрицание и дизъюнкция. Итак, наше высказывание состоит из двух простых. Обозначим их A и B:A = «число > 50″
B = «число чётное»
Тогда высказывание можно записать в виде
¬A \/ B
| A | B | ¬A | ¬A \/ B |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Как мы видим, исходное высказывание ложно только в одном случае (выделено зеленым) — когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Т. е. число должно быть больше 50 (т. к. высказывание А истинно) инечетное (так как высказывание B ложное). Из предложенных вариантов подходит только 123. Правильный ответ: 1
Предлагаю продолжить подготовку к ГИА разбором еще одной похожей задачи. На этот раз это задача из диагностической работы от 18.10.2013 года
Для какого из данных слов истинно высказывание:
НЕ (третья буква гласная) И (последняя согласная)?
1) слива 2) инжир 3) ананас 4) киви
| A | B | ¬A | ¬A /\ B |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Зеленым цветом я выделил интересующий нас вариант когда высказывание истинно. Как видим, оно будет истинным если высказывание A ложное, а высказывание B истинное. Т. е. третья буква должна быть согласная, и последняя согласная. Из предложенных вариантов подходит только инЖиР. Это и есть правильный вариант.Ответ — 2.
Задача 2 Диагностической работы 19 декабря 2013 года (вариант ИНФ90301)
Для какого из приведённых значений числа X ложно высказывание:
(X = 9) ИЛИ НЕ (X < 10)?
1) 8 2) 9 3) 10 4) 11
Решение:
Давайте попробуем решить эту задачу без использования таблиц истинности. Итак, нужное число должно быть таким, что оно
(равно 9) ИЛИ НЕ (меньше 10).
НЕ меньше 10 заменим на больше или равно 10. Тогда получим
(равно 9) ИЛИ (больше или равно 10)
Чтобы это высказывание было ложным, необходимо, чтобы оба высказывания, входящие в него были ложными (смотрим дизъюнкцию). Т. е. число не должно равняться 9 и при этом не должно быть больше или равно 10. Такое число одно — это 8. Правильный ответ 1.Применение инструмента алгебры логики при решении логических задач
История с амфорой
Антон, Борис и Григорий нашли в земле сосуд, о котором каждый высказал по два предположения:
Антон: «Сосуд греческий и изготовлен в V столетии»;
Борис: «Сосуд финикийский и изготовлен в III столетии»;
Григорий: «Сосуд не греческий и изготовлен в IV столетии».
Специалист сказал ученикам, что каждый из них не ошибся только в одном из двух предположений. Определить место и столетие изготовления сосуда.
Решение:
Введем следующие обозначения:
$G$ — «Сосуд греческий»;
$F$ — «Сосуд финикийский»;
$S_3$ — «Сосуд изготовлен в $III$ столетии»;
$S_4$ — «Сосуд изготовлен в $IV$ столетии»;
$S_5$ — «Сосуд изготовлен в $V$ столетии».
Запишем условие задачи с помощью обозначений:
Антон прав только в одном предположении: $G = 1$ или $S_5 = 1$. Тогда $G\overline{S_5}\vee \overline{G}S_5=1$.
Аналогично для слов Бориса: $F\overline{S_3}\vee \overline{F}S_3=1$.
Для слов Григория: $\overline{G}\overline{S_4}\vee GS_4=1$.
Т.к. сосуд может быть изготовлен только в одном из столетий и только в одной из стран, запишем условия:
\[S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5=1,\] \[F\overline{G}\vee \overline{F}G=1.\]Применим операцию логического умножения к полученным тождественно истинным высказываниям, результат которого также должен быть тождественно истинным:
\[\left(G\overline{S_5}\vee \overline{G}S_5\right)\wedge \left(F\overline{S_3}\vee \overline{F}S_3\right)\wedge \left(\overline{G}\overline{S_4}\vee GS_4\right)\wedge \left(F\overline{G}\vee \overline{F}G\right)\wedge \] \[\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\]Перемножим первую на третью скобку и вторую на четвертую:
\[=\left(G\overline{S_5}\overline{G}\overline{S_4}\vee \overline{G}S_5\overline{G}\overline{S_4}\vee G\overline{S_5}GS_4\vee \overline{G}S_5GS_4\right)\wedge \] \[\wedge \left(F\overline{S_3}F\overline{G}\vee \overline{F}S_3F\overline{G}\vee F\overline{S_3}\overline{F}G\vee \overline{F}S_3\overline{F}G\right)\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\]Т.к. $G\overline{G}=0$, $GG=G$, $\overline{G}\overline{G}=\overline{G}$, упростим выражения:
\[=\left(\overline{G}S_5\overline{S_4}\vee G\overline{S_5}S_4\right)\wedge \left(F\overline{S_3}\overline{G}\vee \overline{F}S_3G\right)\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\]Перемножим первые две скобки и упростим выражение:
\[=\left(\overline{G}S_5\overline{S_4}\overline{F}S_3G\vee G\overline{S_5}S_4\overline{F}S_3G\vee \overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3}\overline{G}\vee G\overline{S_5}S_4F\overline{S_3}\overline{G}\right)\wedge \] \[\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\] \[=\left(G\overline{S_5}S_4\overline{F}S_3\vee \overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3}\right)\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\] \[=\left(G\overline{S_5}S_4\overline{F}S_3\vee \overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3}\right)\wedge \left(S_3\overline{S_4}\overline{S_5}\vee \overline{S_3}S_4\overline{S_5}\vee \overline{S_3}\overline{S_4}S_5\right)=\overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3};\]$\overline{G}S_5\overline{S_4}F\overline{S_3}=1$, что возможно только в случае:
\[\overline{G}=1, S_5=1, \overline{S_4}=1, F=1, \overline{S_3}=1.\]Ответ: сосуд финикийский и изготовлен в $V$ столетии.
таблиц истинности, тавтологий и логических эквивалентностей
таблиц истинности, тавтологий и логических эквивалентностейМатематики обычно используют двузначное число . логика : Каждый оператор либо Истина , либо Неверно . Это называется . Закон Исключенного Среднего .
Утверждение в логике предложений строится из простых утверждений с использованием логические связки,,, и. Правда или ложь утверждения, построенного с помощью этих связок, зависит от истины или ложность его составляющих.
Например, составной оператор строится с использованием логических связок, и. Правда или ложь зависит от правды или ложность P, Q и R.
Таблица истинности показывает, как правда или ложь составного утверждения зависит от истинности или ложности простого утверждения, из которых он построен. Итак, мы начнем с рассмотрения таблицы истинности для пяти логических связок.
Вот таблица для отрицания:
Эта таблица проста для понимания.Если P равно , истинно , его отрицание ложно . Если P ложно , то истинно .
должно быть истинно , когда и P, и Q равны истинно и ложно иначе:
равно истинно , если либо P равно истинно , либо Q равно правда (или оба — помните, что мы используем «или» в инклюзивном смысле). Только ложно , если и P, и Q равны ложь .
Вот таблица для логического вывода:
Чтобы понять, почему эта таблица такая, как она есть, рассмотрим следующие пример:
«Если вы получите пятерку, я дам вам доллар».
Утверждение будет истинным , если я сдержу свое обещание и ложно , если я этого не сделаю.
Предположим, что истинно , что вы получили пятерку, и это истинно что я даю вам доллар.Поскольку я сдержал свое обещание, подразумевается правда . Это соответствует первой строке в таблице.
Предположим, что истинно , что вы получили пятерку, но это ложно что я даю вам доллар. Поскольку я не сдержал свое обещание , подразумевается ложное . Это соответствует второму строка в таблице.
Что, если вы получите пятерку неверно? Независимо от того, даю ли я вам доллар, я не нарушил свое обещание.Таким образом, значение не может быть false, поэтому (поскольку это двузначная логика) оно должно быть истинным. Этот объясняет последние две строки таблицы.
означает, что P и Q равны эквивалент . Таким образом, двойное значение истинно , если P и Q оба истинны или если P и Q оба ложны ; в противном случае двойная импликация ложна.
Вы должны помнить — или уметь составлять — таблицы истинности для логических связок.Вы будете использовать эти таблицы для построения таблицы для более сложных предложений. Проще продемонстрировать что делать, чем описывать словами, чтобы вы увидели порядок действий отработано в примерах.
Замечание. (а) Когда вы конструируете истину таблице, вы должны рассмотреть все возможные назначения True (T) и Ложь (F) для операторов компонента. Например, предположим, что операторы компонентов — это P, Q и R. Каждый из этих операторов может быть либо правда, либо ложь, значит, есть возможности.
Когда вы перечисляете возможности, вы должны присваивать значения истинности к операторам компонентов систематическим образом, чтобы избежать дублирования или упущение. Самый простой подход — использовать лексикографическая упорядоченность . Таким образом, для составного оператора с три компонента P, Q и R, я бы перечислил возможности этого способ:
(б) Существуют разные способы составления таблиц истинности. Вы можете для например, запишите значения истинности «под» логическим связки составного высказывания, постепенно наращивая столбец для «первичной» связки.
Я напишу подробности, построив столбцы для каждого «кусок» составного высказывания и постепенно наращивая к составному оператору. Любой стиль хорош, пока ты показываешь достаточно работы, чтобы оправдать ваши результаты.
Пример. Постройте таблицу истинности для формула.
Сначала я перечисляю все альтернативы для P и Q.
Затем в третьем столбце я перечисляю значения, основанные на значениях P.Я использую таблицу истинности для отрицание: когда P истинно ложно, а когда P ложно, правда.
В четвертом столбце я перечисляю значения для. Убедитесь сами, что это только ложь («F»), если P истинно («T») и Q ложно («F»).
Пятый столбец дает значения для моего составного выражения. Это «и» (третий столбец) и (четвертый столбец). «И» верно, только если обе части «и» верны; в противном случае это ложь. Итак, я смотрю на третья и четвертая колонки; если оба верны («T»), я ставлю T в пятом столбце, иначе я поставил F.
тавтология — это формула, которая «всегда истина «— то есть верно для каждого присвоения истины ценности к его простым компонентам. Вы можете думать о тавтологии как о правило логики .
Противоположность тавтологии — . противоречие , формула, которая «всегда ложна». В другими словами, противоречие ложно для каждого присвоения истины ценности к его простым компонентам.
Пример. Показать, что это тавтология.
Я составляю таблицу истинности и показываю, что формула всегда верна.
Последний столбец содержит только буквы T. Следовательно, формула представляет собой тавтология.
Пример. Создайте таблицу истинности для.
Вы можете видеть, что построение таблиц истинности для утверждений с множеством связок или множества простых утверждений довольно утомительно и подвержен ошибкам.Хотя могут быть некоторые применения этого (например, для цифровых схем), в какой-то момент лучше всего было бы написать программа для построения таблиц истинности (и это, безусловно, было сделано).
Дело здесь в том, чтобы понять, как истинное значение сложного утверждение зависит от истинности его простых утверждений и его логические связки. В большинстве работ математики обычно не используйте операторы, которые очень сложны с логической точки зрения Посмотреть.
Пример. (a) Предположим, что P ложно и истинно. Скажите, является ли Q истинным, ложным или его истинным значение не может быть определено.
(b) Предположим, что это неверно. Рассказывать является ли Q истинным, ложным или его истинное значение не может быть определено.
(a) Поскольку истинно, либо P истинно, либо истинно. Поскольку P ложно, должно быть верно. Следовательно, Q должно быть ложным.
(b) Утверждение «если-то» неверно, когда часть «если» истина, а часть «тогда» — ложь.Поскольку ложно, верно. Утверждение «и» верно только когда обе части верны. В частности, должно быть истинным, поэтому Q ложно.
Пример. Предположим
» » правда.
«» ложно.
«У Кэлвина Баттерболла фиолетовые носки» — правда.
Определите истинность утверждения
Для простоты пусть
P = «».
Q = «».
R = «У Кэлвина Баттерболла фиолетовые носки».
Я хочу определить истинное значение. Поскольку мне были даны конкретные значения истинности для P, Q, и R, я установил таблицу истинности с единственной строкой, используя данную значения для P, Q и R:
Следовательно, утверждение верно .
Пример. Определите истинное значение утверждение
Утверждение «» ложно. Ты не можешь сказать есть ли в заявлении «Икабод Ксеркс шоколад» кексы «верно или неверно, но это не имеет значения.Если «если» часть утверждения «если-то» ложна, тогда утверждение «если-то» верно. (Проверить правду таблица, если вы не уверены в этом!) данное утверждение должно быть верным.
Два оператора X и Y логически равны . эквивалент , если это тавтология. Другой способ сказать это: Для каждого присвоения значений истинности простому операторы , которые составляют X и Y, операторы X и Y имеют идентичные значения истинности.
С практической точки зрения вы можете заменить выражение в доказательство любым логически эквивалентным утверждением.
Чтобы проверить, являются ли X и Y логически эквивалентными, вы можете настроить таблица истинности, чтобы проверить, является ли тавтология — это есть ли «все ли Т в его столбце». Однако проще создать таблицу, содержащую X и Y, а затем проверьте, совпадают ли столбцы для X и для Y.
Пример. Покажите, что и логически эквивалентны.
Поскольку столбцы для и идентичны, два оператора логически эквивалент.Эта тавтология называется условной . Дизъюнкция . Вы можете использовать эту эквивалентность для замены условно дизъюнкцией.
Существует бесконечное количество тавтологий и логических эквивалентностей; Я перечислил несколько ниже; более обширный список приведен в конце эта секция.
Когда тавтология имеет форму двусмысленного выражения, два утверждения составляющие двусмысленность, логически эквивалентны. Следовательно, вы может заменить одну сторону на другую без изменения логического имея в виду.
Вам часто нужно будет отрицать математическое утверждение. К посмотрим, как это сделать, мы начнем с того, что покажем, как отрицать символическое заявления.
Пример. Запишите отрицание следующие утверждения, упрощающие так, чтобы только простые утверждения отрицается.
(а)
(б)
(а) Я отвергаю данное утверждение, а затем упрощаю, используя логические эквивалентности. Я привел названия логических эквивалентов на правильно, чтобы вы могли видеть, какие из них я использовал.
(б)
Я показал это и логически эквивалентен в предыдущем примере.
В следующих примерах мы будем отрицать утверждения, написанные словами. Это более типично для того, что вам нужно делать по математике. В идея состоит в том, чтобы преобразовать слово-утверждение в символическое утверждение, тогда используйте логические эквивалентности, как в предыдущем примере.
Пример. Используйте закон ДеМоргана, чтобы написать отрицание следующего утверждения, упрощая так, чтобы отрицаются только простые утверждения:
«Кальвина нет дома, или Бонзо в кино.»
Пусть C будет утверждением «Кальвин дома» и пусть B будет заявление «Бонзо в движении». Данное заявление . Я должен опровергнуть это утверждение, затем упростите:
Результат: «Кальвин дома, а Бонзо нет в доме. фильмы ».
Пример. Используйте закон ДеМоргана, чтобы написать отрицание следующего утверждения, упрощая так, чтобы отрицаются только простые утверждения:
«Если Фиби покупает пиццу, то Кэлвин покупает попкорн.»
Пусть P будет утверждением «Фиби покупает пиццу» и пусть C будет заявление «Кэлвин покупает попкорн». Данное заявление . Чтобы упростить отрицание, я буду использовать тавтологию Conditional Disjunction , которая гласит
То есть я могу заменить на (или наоборот).
Итак, вот отрицание и упрощение:
Результат: «Фиби покупает пиццу, а Кэлвин не покупает. Попкорн».
Далее мы применим нашу работу с таблицами истинности и отрицательными утверждениями к задачи, связанные с построением обратного, обратного и противоположность утверждению «если-то».
Пример. Заменить следующую инструкцию на его противоположность:
«Если x и y рациональны, то рационально».
В силу контрапозитивной эквивалентности это утверждение совпадает с утверждением «Если нерационально, значит, это не так. что и x, и y рациональны «.
Этот ответ верен в его нынешнем виде, но мы можем выразить его в немного лучший способ, который удаляет некоторые явные отрицания. Большинству людей легче понять положительное утверждение, чем отрицательное заявление.
По определению действительное число иррациональное , если это не рационально. Так что я мог бы заменить часть «если» в противоположно выражению «иррационально».
«Тогда» часть контрапозитива — это отрицание «и» заявление.Вы могли бы повторить это так: «Это не случай, когда и x рационально, и y рационально «. (Слово «оба» гарантирует, что отрицание применимо ко всему «И», а не только «х рационально».)
По закону ДеМоргана это эквивалентно: «x нерационально или y не рационально «. В качестве альтернативы я мог бы сказать:» x есть иррационально или y иррационально ».
Объединив все вместе, я мог бы выразить контрапозитив как: «Если иррационально, то либо x иррационально или y иррационально «.
(Как обычно, я добавил слово «либо», чтобы было ясно, что часть «затем» — это целое «или».)
Пример. Покажите, что обратное и обратное условному выражению логически эквивалентны.
Позвольте быть условным. Обратное. Обратное.
Я мог бы показать, что обратное и обратное эквивалентны построение таблицы истинности для. Вместо этого я воспользуюсь некоторыми известными тавтологиями.
Начнем с:
Помните, что я могу заменить выражение логическим эквивалент.Например, на последнем шаге я заменил Q, потому что два оператора эквивалентны Двойное отрицание.
Пример. Предположим, что x — действительное число. Рассмотреть возможность заявление
«Если, то.»
Постройте обратное, обратное и противоположное. Определите истинность или ложность четырех утверждений — исходное утверждение, обратное, обратное и противоположное — используя свои знания алгебры.
Обратное — «Если, то».
Обратное — «Если, то».
Контрапозитив — «Если, то».
Исходное утверждение неверно:, но. Поскольку исходное утверждение эквивалентно контрапозитивный, контрапозитивный тоже должен быть ложным.
Верно и обратное. Обратное логически эквивалентно наоборот, поэтому верно и обратное.
\новая страница
\ centerline {\ bigssbold Список тавтологий}
Контактная информация
Домашняя страница Брюса Икенаги
Авторские права 2019 Брюс Икенага
Learning R: Создание таблиц истинности
Коротко на сегодня: в этом посте мы узнаем, как легко создать таблиц истинности с помощью R, и внесем наш код в растущий репозиторий Rosetta code .Я надеюсь, что по пути вы научитесь нескольким трюкам, так что читайте дальше!
Мы уже рассмотрели в этом блоге фрагменты кода, которые я ранее внес в Rosetta Code (см. Категория: Rosetta Code). На этот раз мы хотим решить следующую задачу:
Таблица истинности
Таблица истинности — это отображение входов и выходных данных логической функции, организованной в виде таблицы, где каждая строка дает одну комбинацию входных значений и соответствующее значение функции.Задача
- Введите логическую функцию от пользователя в виде строки, затем вычислите и распечатайте отформатированную таблицу истинности для данной функции.
(можно предположить, что пользовательский ввод правильный).- Распечатать и показать вывод для логических функций от двух и трех входных переменных, но любая программа не должна ограничиваться таким количеством переменных в функции.
- Допускаются выражения как с обратной полировкой, так и с инфиксной нотацией.% D)) ## 1 ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ## 2 ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ## 3 ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ## 4 ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ## 5 ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ## 6 ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ## 7 ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ## 8 ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ## 9 ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ## 10 ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ## 11 ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ## 12 ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ## 13 ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ## 14 ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ## 15 ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ## 16 ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ
Выглядит хорошо! Полный код также можно найти здесь: Rosetta Code: Truth Table: R.
Подозреваю, что эта функция пригодится для решения дальнейших задач в будущем, так что следите за обновлениями!
СвязанныеТаблицы истинности булевой алгебры и логические выражения
Цифровые схемы реализуют логику с помощью «if-операторов». Простейшие логические операции — И, ИЛИ, НЕ.
Операция И обозначается знаком «*», операция ИЛИ — символом «+», операция НЕ — операцией «¯».Пример оператора И: Z = X AND Y, это означает, что если X истинно И Y истинно, то Z истинно, в противном случае Z ложно.Утверждение верно, когда оба элемента X и Y верны.
Пример ИЛИ: Z = X ИЛИ Y, если X истинно или Y истинно, то Z истинно, в противном случае Z ложно. Утверждение истинно, когда один из элементов X или Y истинен.
Каждое логическое выражение может быть описано с помощью таблицы истинности. Таблица истинности нумерует все возможные входные значения и все возможные выходные значения с помощью логических функций. Каждое ИСТИНА соответствует логической «1», каждое ЛОЖЬ соответствует логическому «0». Итак, если мы рассмотрим логическое утверждение C = A + B¯, это означает, что C истинно («1»), если A истинно («1»), ORB ложно («0»), в противном случае C ложно (« 0 ”).Таблица истинности для этого утверждения показывает все возможности этого утверждения в его логическом представлении, то есть
Давайте посмотрим, что происходит в таблице истинности выше:
1 строка: A — истина («1»), B — истина («1»), затем C — истина («1»).
2 строка: A — истина («1»), B — ложь («0»), затем C — истина («1»).
3 строка: A ложно («0»), B неверно («0»), затем C истинно («1»).
4 строка: A — ложь («0»), B — истина («1»), затем C — ложь («0»).
Таблица истинности для утверждения B = A¯, что означает, что B истинно («1»), если A ложно («0»), иначе B ложно («0»).
1 строка: A истинно («1»), затем B ложно («0»).
2 строка: A ложно («0»), затем B истинно («1»).
Таблица истинности для A + B = C. Здесь, если A истинно («1») или B истинно («1»), тогда C истинно («1»), иначе C ложно («0»).
1 строка: A верно («1»), B верно («1»), затем C верно («1»).
2 строка: A истинно («1»), B ложно («0»), затем C истинно («1»).
3 строка: A ложно («0»), B верно («1»), затем C истинно («1»).
4 строка: A — ложь («0»), B — ложь («0»), затем C — ложь («0»).
Таблица истинности может содержать любое количество входных значений, она создаст большее количество выходных значений. Большее количество входных значений — большее количество выходных значений.
I101: Введение в информатику — Лаборатория 7: Логические схемы
ВведениеЦифровые логические схемы — основа компьютерного дизайна.Процессор такие чипы, как Intel Pentium или AMD Athlon, представляют собой кремниевые пластины, в которых миллионы схем встроены. Все, что делает ваш компьютер, зависит от их. В этой лабораторной работе мы узнаем, как использовать апплет LogicGates для рисования и тестирования цифровых логических схем. Производители микросхем, такие как Intel и AMD, использовать сложное (и чрезвычайно дорогое) программное обеспечение, чтобы помочь им разрабатывать и тестировать их фишки. Но основная идея та же. LogicGates можно также использовать как автономное приложение Java.Если вы используете его как приложение (а не как апплет), вы можете загружать и сохранять свои программы.
Чтобы запустить его независимо, загрузите zip-файл с приложением LogicGates.
Распакуйте архив в папку на рабочем столе или в любую папку, в которой вы есть собственность.
Перейдите в папку, содержащую файлы классов LogicGates и дважды щелкните файл run_application.bat.
Сначала запустите LogicGates заявление.Вы можете загрузить несколько примеров, потянув пример выпадающее меню выбора.
Пример загрузки 1 простой , как показано здесь:Каждый логический вентиль имеет отличительную форму. Провод выходит из ворота показывают его текущее значение. Ворота ориентированы так, чтобы их входы приходили входят с левой стороны, а их выходы выходят с правой стороны. Это не может в этом апплете нельзя изменить и повернуть ворота. Существуют два специальных окна для ввода и вывода.Модель В распределительной коробке есть рычаг вместе с 1 или 0. Чтобы перевернуть рычаг и изменить значение, щелкните число прямо в центре. В другом поле только 1 или 0. Это вывод коробка , которая принимает провод от ворот и отображает его значение. К для распространения новых значений по цепи нажмите кнопку «Выполнить». Он меняется на скажем Stop , чтобы при повторном нажатии симулятор перестает работать. Когда цепь работает, вы можете нажать на переключатели и наблюдайте за изменением значений по всей цепи.
Кому попрактиковавшись в симуляторе, мы построим логическую схему, показанную ниже.
Во-первых, если ваш простой пример схемы все еще работает, нажмите кнопку Stop . Теперь очистите экран, нажав нажав кнопку Очистить . Для построения схемы вам понадобятся три переключателя, два ворот И, один ИЛИ ворота и один выходной ящик. Чтобы создать их, нажмите на кнопку New , откройте меню ворот и выберите ворота или другой предмет, который вы хотите.Затем щелкните один раз в том месте, где хотите переключатель, ворота или выходной ящик, чтобы сидеть. Вы можете изменить положение ворот, переключателей и выходы, перетаскивая их в новое место.
Обратите внимание, что когда вы добавляете ворота, кнопка «Создать» меняется на скажите * New. Большинство кнопок в этом апплете работают следующим образом: они показывают, что они все еще активен, отображая звездочку перед меткой на кнопке. Поскольку кнопка остается активной, вы можете нажимать на разные ворота, не имея чтобы повторно нажимать кнопку «Создать» снова и снова.Нажмите кнопку «Создать» еще раз, чтобы остановить добавление компонентов. Звездочка исчезнет.
Давайте также прикрепим ярлыки к коробкам, чтобы имитировать схему. диаграмма выше. Сначала нажмите на этикетку кнопка, позволяющая маркировать ворота и выключатели. Затем нажмите сверху выключатель. Текстовое поле открывается прямо над переключателем. Тип A в него и нажмите Return. Вот что вы должны увидеть:
Обозначьте средний переключатель как B и нижний переключатель как C .Также отметьте вывод X . Если хотите быть полными, пометьте верхний вентиль И как D , а нижний И ворота как E . Когда закончите маркировку, нажмите на Обозначьте кнопку , чтобы звездочка не появляться. Теперь пришло время соединить ворота, поэтому нажмите на Подключите кнопку . Щелкните один раз на переключателе A. Красный В поле зрения мигает линия, закрепленная в центре переключателя и следующая за указатель мыши по экрану.Нажмите на верхние ворота И. Повторите этот процесс и соедините все коробки так, чтобы они соответствовали снимку экрана ниже. Если вы сделаете ошибка, нажмите кнопку «Отключить», затем нажмите на ворота. Все строки между эти ворота и все другие компоненты будут удалены. На выходе ворот может выходить любое количество проводов, поэтому что он соединяется более чем с одними воротами. Просто выберите те же ворота, что и левый конец провода более одного раза.Автоматические колена разбивают провода на горизонтальные и вертикальные сегменты.Чтобы увидеть версию, в которой используются диагональные линии, нажмите на кнопку «Пошаговый». Однако в большинстве технологий изготовления схем все провода должны лежать на сетке, поэтому диагональные провода либо невозможны, либо дорогие. Чтобы снова увидеть изогнутые линии, нажмите нижнюю кнопку, на которой изменено со ступенчатого на диагональное. Иногда из-за локтей трудно увидеть перекрывающиеся провода, и что поражает эту схему. Так что переместите нижнюю часть ворот и немного влево пока провода не станут более четкими.Вот финальное изображение:
Теперь запустите схему, нажав кнопку Выполнить кнопка. Щелкните переключатели, чтобы изменить их значения. Запишите результаты в таблица истинности и посмотрите, дает ли схема такие же результаты, как показано ниже. Им лучше согласиться! (Они будут, не волнуйтесь.)
А В С D = (A Λ Б) E = (A Λ В) (Выход) X = (D V E) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Представляете, как было бы ужасно, если бы крупная микросхема программное обеспечение для моделирования производителя не дало правильных значений, и они отправили чип в производство с изъянами в нем.Вообще-то, не беспокойтесь: Это уже произошло! В начале 1990-х годов Intel отозвала свой новый Pentium процессор, когда ученые и инженеры указали, что в некоторых расчетах чип дал неправильный ответ! По оценкам аналитиков, эта ошибка в Алгоритм разделения чипа обошелся компании примерно в 500 миллионов долларов.Ваша первая задача — составить простую схему и понаблюдать за ее поведением.
- Запустите апплет «LogicGates».
- Добавьте два переключателя, один XOR и один выход, и подключите их.
- Нажмите кнопку Run и попробуйте все четыре комбинации входы для переключателей, наблюдая за результатами.
- Теперь вставьте блок НЕ между XOR и выходом.
- Нажмите кнопку Run и попробуйте все четыре значения, изменив значения переключателя. Запишите результаты в таблицу истинности, чтобы вы могли видеть ценности.
- Что делает эта схема? Изучите свою таблицу истинности, чтобы определить его функцию.(Подсказка: он дает истинный результат только тогда, когда вводы A и B разделяют определенные отношения. Что это за отношения? )
Сделайте снимок экрана вашей схемы и разместите это в вашем блоге, с таблицами истинности. Объясните в посте функцию этой схемы.
Многие студенты просто не верят Лаве ДеМоргана, так что давайте посмотрим, сможет ли симулятор LogicGates доказать одно из них.
- Запустите апплет «LogicGates».
- Добавьте 2 переключателя и расположите их вертикально слева. панели. Верхний назовем A, а нижний — B.
- Добавьте два выхода. Мы реализуем как (AB) ’, так и (A’ OR B ’) в одном и том же схема. Один выход будет иметь значение (AB) ’, а другой — имеют значение (A ’OR B’). Если поля вывода одинаковы для всех входов, то мы знайте, что (AB) ’= (A’ OR B ’).
- Поскольку (AB) ’- это просто логический элемент И-НЕ, добавьте один вентиль И-НЕ и подключите к нему как A, так и B. Затем подключите вентиль И-НЕ к верхнему выходу.
- Для части (A ’OR B’) нам понадобятся два логических элемента НЕ, соединенных к A и B. Выход этих вентилей НЕ переходит в логический элемент ИЛИ, который затем переходит в нижний вывод.
- Просмотрите все четыре комбинации двоичных значений A и B, записывая два выхода.Они одинаковы? Верен ли закон ДеМоргана?
Сделайте снимок экрана вашей схемы и разместите это в вашем блоге, с таблицами истинности.
Убедитесь, что вы выполнили свои результаты, прежде чем оставлять.
Учебное пособие по таблице истинности логической алгебры — объяснение XOR, NOR и логических символов
Все мы любим компьютеры. Они могут делать так много удивительных вещей. За пару десятилетий компьютеры полностью изменили почти все аспекты жизни человека.
Они могут выполнять задачи разной степени сложности, просто переворачивая нули и единицы. Замечательно видеть, как такое простое действие может привести к такой сложности.
Но я уверен, что вы все знаете, что такая сложность не может быть достигнута (практически) простым случайным переворачиванием чисел. Это действительно имеет какое-то обоснование. Существуют правила, которые регулируют то, как это должно быть сделано. В этой статье мы обсудим эти правила и увидим, как они управляют «мышлением» компьютеров.
Что такое булева алгебра?
Правила, о которых я говорил выше, описаны в области математики, называемой булевой алгеброй.
В своей книге 1854 года британский математик Джордж Буль предложил систематический набор правил для манипулирования ценностями истины. Эти правила дали математическую основу для работы с логическими предложениями. Эти наборы основ привели к развитию булевой алгебры.
Чтобы лучше понять булеву алгебру, мы сначала должны понять сходства и различия между булевой алгеброй и другими формами алгебры.
Алгебра, в общем, занимается изучением математических символов и операций, которые могут быть выполнены с этими символами.
Эти символы не имеют самостоятельного значения. Они представляют собой какое-то другое количество. Именно эта величина придает значение этим символам, и именно с этой величиной фактически выполняются операции.
Логическая алгебра также имеет дело с символами и правилами, которые управляют операциями с этими символами, но разница заключается в , что эти символы представляют .
В случае обычной алгебры символы представляют действительные числа, тогда как в булевой алгебре они представляют значения истины.
На изображении ниже показан весь набор вещественных чисел. Набор действительных чисел включает натуральные числа (1, 2, 3, 4 ….), целые числа (все натуральные числа и 0), целые числа (…..- 2, -1, 0, 1, 2, 3 …) и так далее. Обычная алгебра имеет дело со всем этим набором чисел.
Значения «Истина» для сравнения состоят из набора только двух значений: «Ложь» и «Истина».Здесь я хотел бы указать на тот факт, что мы можем использовать любой другой символ для представления этих значений.
Например, в информатике мы чаще всего представляем эти значения, используя 0 и 1. 0 используется для False и 1 для True.
Вы также можете сделать это более изящными способами, представив значения истинности некоторыми другими символами, такими как Кошки и Собаки или Бананы и Апельсины.
Дело в том, что внутреннее значение этих символов останется неизменным независимо от того, какой символ вы используете.Но убедитесь, что вы не меняете символы при выполнении операций.
Теперь вопрос в том, что если (Истина и Ложь), (0 и 1) — это просто представления, то что они пытаются представить?
Значение, лежащее в основе значений истинности, исходит из области логики, где значения истинности используются, чтобы определить, является ли предложение «Истинным» или «Ложным». Здесь значения истинности представляют отношение предложения к истине, то есть, является ли предложение истинным или ложным.
Предложение — это просто утверждение типа «Все кошки милые».
Если вышеприведенное утверждение верно, то мы присваиваем ему значение истинности «Истина» или «1», в противном случае мы присваиваем ему «Ложь» или «0».
В цифровой электронике истинные значения используются для представления состояний «включено» и «выключено» электронных схем. Мы обсудим это подробнее позже в этой статье.
Логические операции и таблицы истинности
Как и в обычной алгебре, в логической алгебре есть операции, которые можно применять к значениям для получения некоторых результатов.Хотя эти операции не похожи на операции в обычной алгебре, потому что, как мы обсуждали ранее, булева алгебра работает со значениями истины, а не с действительными числами.
Булева алгебра имеет три основных операции.
ИЛИ : Также известен как Disjunction . Эта операция выполняется с двумя логическими переменными. Результат операции ИЛИ будет 0, когда оба операнда равны 0, в противном случае будет 1.
Чтобы получить более четкое представление о том, что делает эта операция, мы можем визуализировать ее с помощью приведенной ниже таблицы истинности .
Таблицы истинности дают нам подробное представление о том, что делают логические операции, а также они служат удобным инструментом для выполнения логических операций. ИЛИ Операция Переменная-1 Переменная-2 Выход 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1И : Также известна как Соединение . Эта операция выполняется с двумя логическими переменными. Результатом операции И будет 1, когда оба операнда равны 1, в противном случае — 0. Таблица истинности представлена следующим образом.
И Работа Переменная-1 Переменная-2 Выход 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1НЕ : Также известно как Отрицание . Эта операция выполняется только с одной переменной. Если значение переменной равно 1, то эта операция просто преобразует его в 0, а если значение переменной равно 0, то оно преобразует его в 1.
Not Operation Выход переменной-1 0 1 1 0Булева алгебра и цифровые схемы
После своего первоначального развития булева алгебра в течение очень долгого времени оставалась одним из тех понятий в математике, которые не имели каких-либо значительных практических приложений.
В 1930-х годах американский математик Клод Шеннон понял, что булеву алгебру можно использовать в схемах, где двоичные переменные могут представлять сигналы «низкого» и «высокого» напряжения или состояния «включено» и «выключено».
Эта простая идея создания схем с помощью булевой алгебры привела к развитию цифровой электроники, которая внесла большой вклад в разработку схем для компьютеров.
Цифровые схемы реализуют булеву алгебру с помощью логических вентилей.Логические ворота — это схемы, которые представляют собой логическую операцию. Например, вентиль ИЛИ будет представлять операцию ИЛИ. То же самое касается ворот НЕ и И.
Наряду с основными логическими вентилями у нас также есть логические вентили, которые могут быть созданы с использованием комбинации базовых логических вентилей.
И-НЕ : вентиль И-НЕ образован комбинацией вентилей НЕ и И. Логический элемент И-НЕ дает на выходе 0, если оба входа равны 1, в противном случае — 1.
Элемент И-НЕ содержит свойство функциональной полноты, что означает, что любая логическая функция может быть реализована только с использованием комбинации элементов И-НЕ.
ворота NAND Переменная-1 Переменная-2 Выход 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0NOR : ворота NOR образованы комбинацией элементов NOT и OR. Элемент ИЛИ-НЕ дает на выходе 1, если оба входа равны 0, в противном случае — 0.
Элемент ИЛИ-НЕ, как и элемент И-НЕ, имеет свойство функциональной полноты, что означает, что любая логическая функция может быть реализована просто с помощью комбинации элементов ИЛИ-НЕ. Только.
NOR Ворота Переменная-1 Переменная-2 Выход 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0Большинство цифровых схем построено с использованием логических элементов И-НЕ или ИЛИ-ИЛИ из-за их функциональной полноты, а также из-за того, что их легко изготовить.
Помимо вышеупомянутых ворот, у нас также есть некоторые особые ворота, которые служат определенной цели. Это следующие элементы:
XOR : вентиль XOR или вентиль Исключающее ИЛИ — это особый тип логического элемента, который дает 0 на выходе, если оба входа равны 0 или 1, в противном случае он дает 1.
XOR Ворота Переменная-1 Переменная-2 Выход 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0XNOR : вентиль XNOR или вентиль Exclusive-NOR — это особый тип логического элемента, который дает 1 на выходе, когда оба входа равны 0 или 1, в противном случае он дает 0.
Ворота XNOR Переменная-1 Переменная-2 Выход 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1Заключение
Итак, со всем этим мы можем теперь завершить наше обсуждение булевой алгебры здесь. Я надеюсь, что теперь у вас есть достойное представление о том, что такое булева алгебра.
Это определенно не все, что вам нужно знать о булевой алгебре. Булева алгебра содержит множество концепций и деталей, которые мы не смогли обсудить в этой статье.
дискретная математика — Решить задачу таблицы истинности
дискретную математику — Решить задачу таблицы истинности — Mathematics Stack ExchangeСеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange
- 0
- +0
- Авторизоваться Подписаться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществуКто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено 349 раз
$ \ begingroup $Решаю следующую задачу: $$ \ left (x \ vee y \ right) \ rightarrow \ bar {x} $$
Я предполагаю, что строка над $ \ bar {x} $ противоположна $ x $, и я решил следующее: $$ \ begin {array} {| cc | c | c | c |} \ hline x & y & x \ lor y & x & \ left (x \ vee y \ right) \ rightarrow \ bar {x} \\ \ hline \ text {T} & \ text {T} & \ text {T} & \ text {T} & \ text {F} \\ \ text {T} & \ text {F} & \ text {T} & \ text {F} & \ text {F} \\ \ text {F} & \ text {T} & \ text {T} & \ text {T} & \ text {T} \\ \ text {F} & \ text {F} & \ text {F} & \ text {T} & \ text {T} \\ \ hline \ end {array} $$ Верны ли мои расчеты? Если нет, то почему?
ИЗМЕНЕНО
Нат1,40411 золотых знаков99 серебряных знаков1414 бронзовых знаков
Создан 04 фев.
IntoTheDeepIntoTheDeep29944 серебряных знака1414 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $$$ \ begin {align} & x & y && x \ lor y && \ bar x && (x \ vee y) \ to \ bar x \\ & T & T && T && \ color {красный} F && F \\ & T & F && T && F && F \\ & F & T && T && T && T \\ & F & F && F && T && T \ end {align} $$
$ (x \ vee y) $ — это ваша гипотеза, условное утверждение неверно только тогда, когда гипотеза $ (x \ vee y) $ истинна, а ваш вывод ($ \ bar x $) ложен.Когда ваша гипотеза ложна, условное утверждение по умолчанию истинно.
Создан 04 фев.
Итикар1,985 11 золотой знак55 серебряных знаков2020 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $$$ \ begin {align} & x & y && x \ lor y && \ bar {x} && (x \ vee y) \ rightarrow \ bar {x} \\ & T & T && T && F && F \\ & T & F && T && F && F \\ & F & T && T && T && T \\ & F & F && F && T && T \ end {align} $$
Подумайте об этом так: если посылка верна, то вывод также должен быть верным.Чтобы заключение было верным, необходимо, чтобы посылка была истинной. Чтобы ваш аргумент был действительным, если посылка верна, то заключение не может быть ложным.
Создан 04 фев.
ОГКОГК2,14522 золотых знака2020 серебряных знаков3636 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ 2 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScriptВаша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
Логика генератора таблицы истинности
Ghost recon 1
Вставки часов Seiko
Карта парковок для жителей Бостона
Почтовый адрес Port harcourt
Chess download pcПодержанный cummins 4bt для продажи Jw public talk mp3 скачать
Тест сопротивления изоляции трансформатора
Последний вздох без сценария roblox
S10 fabtech long travel kit
Digital Circuits (Logic Gates) 3.3 Соберите схему ниже. Постройте логическую таблицу или таблицу истинности. В логической таблице представлены состояния входа (X, Y) и выхода (F). Любой ток, протекающий через вход или выход, представляет состояние «1». Следовательно, когда переключатель на входе замкнут (ВКЛ), состояние входа равно «1». Точно так же, когда
Prediksi shio sgp hari ini
Pioneer vsx lx503 сабвуфер не работает
Undefined symbol vs undefined reference
Play risk online
Phone tracker apk
Не совсем ответ на этот вопрос, поскольку он не Не вовлекайте Cheetah.Однако, если кто-то ищет таблицу истинности, потенциально ему может понадобиться макрос таблицы истинности, поэтому я опубликую это по этой причине. Макрос \ truetable {
} { } (компилируется с LuaLaTeX) принимает два аргумента: Первый аргумент — это список примитивов, разделенных запятыми … 2.1. Логика управления входом Низкий логический уровень на любом из шести входов приводит к переходу соответствующего выхода в высокий уровень, как показано в таблицах истинности (таблицы 1 и 2). Внутренние подтягивающие резисторы 50 кОм к V CC гарантируют низкий уровень на всех выходах, если входы разомкнуты.Входы TTL и CMOS совместимы с V IH, установленным на 2,2 В, и V IL на 0,8 В. A 500 нс … В следующем уроке о цифровых логических вентилях мы рассмотрим функцию цифрового логического логического элемента ИЛИ, используемую в логических схемах TTL и CMOS, а также ее определение логической алгебры и таблицы истинности.
Научитесь создавать схему и компоновку печатной платы, которые позволили бы создать генератор случайных чисел. … Таблицы истинности. Логические утверждения … Логические утверждения. Заключительная логика. Hatt — это программа командной строки, которая печатает таблицы истинности для выражений в классической логике высказываний, и библиотека, позволяющая использовать ее синтаксический анализатор, вычислитель и генератор таблицы истинности в других программах.
Любое логическое уравнение или комбинационная логическая сеть может быть полностью и точно охарактеризована таблицей истинности. В таблице истинности перечислены все возможные комбинации значений входных переменных и соответствующее выходное значение функции для каждой комбинации. В таблице истинности есть 2 n строк для функции или сети с n входом …
Кремень зажигалки рядом со мной
Мором, что означает на хинди
Ford 302, образец болтов для колокола
Объявления о недвижимости в усадьбе
Диаграмма Венна в виде диаграммы Диаграммы Венна в таблице истинности — это иллюстрации, используемые в области математики, известной как теория множеств.Они показывают математические или логические отношения между различными группами вещей (наборами). Диаграмма Венна показывает все возможные логические отношения между множествами. Теги истина, таблица, таблица истинности, таблица истинности, генератор, логика, тавтология, ttg. генератор таблицы истинности — это инструмент, который позволяет генерировать таблицу истинности. Это вилка истин от tr3buchet. Он объединяет некоторые запросы на вытягивание в исходных и других внешних помощниках. Таблица истинности — это математическая таблица, используемая для выполнения логических операций в математике.
