Тест представление чисел в компьютере: Представление чисел в компьютере. Целые числа

Ответы (пробелы добавлены для облегчения чтения, но не обязательны).

• 101 с 7 битами: 110 0101
• 28 с 10 битами: 00 0001 1100
• 7 с 3 битами: 111
• 18 с 4 битами: Невозможно (недостаточно бит для представления значения)
• 28232 с 16 битами: 0110 1110 0100 1000

Важным понятием двоичных чисел является диапазон значений, который может быть представлен с использованием заданного числа битов. Когда у нас есть 8 бит, двоичные числа становятся полезными — они могут представлять значения от 0 до 255, поэтому достаточно сохранить чей-то возраст, день месяца и так далее.

Группы из 8 бит настолько полезны, что имеют собственное имя: байт. Компьютерная память и дисковое пространство обычно делятся на байты, а большие значения сохраняются с использованием более одного байта. Например, двух байтов (16 бит) достаточно для хранения чисел от 0 до 65 535. Четыре байта (32 бита) могут хранить числа до 4 294 967 295. Вы можете проверить эти числа, вычислив разрядные значения битов. Каждый добавленный бит удваивает диапазон числа.

На практике компьютеры хранят числа с 16, 32 или 64 битами. Это связано с тем, что это полные числа байтов (байт равен 8 битам) и позволяет компьютерам узнать, где каждое число начинается и заканчивается.

В свечах на праздничных тортах используется система нумерации с основанием 1, в которой каждое место стоит на 1 больше, чем то, что находится справа. Например, число 3 — 111, а 10 — 1111111111. Это может вызвать проблемы по мере взросления — если вы когда-либо видели торт со 100 свечами, вы знаете, что это серьезная опасность возгорания.

К счастью, для свечей на день рождения можно использовать двоичное представление — каждая свеча либо горит, либо не горит. Например, если вам 18 лет, двоичное представление — 10010, и вам нужно 5 свечей (при этом горят только две из них).

Есть видео об использовании двоичной системы счисления для подсчета до 1023 на руках, а также об использовании ее для праздничных тортов.

В большинстве случаев двоичные числа хранятся в электронном виде, и нам не нужно беспокоиться об их осмыслении.Но иногда бывает полезно записывать и обмениваться числами, такими как уникальный идентификатор, присвоенный каждому цифровому устройству (MAC-адрес), или цвета, указанные на странице HTML.

Запись длинных двоичных чисел утомительна — например, предположим, что вам нужно скопировать 16-битное число 0101001110010001. Широко используемый ярлык — разбить число на 4-битные группы (в данном случае 0101 0011 1001 0001), а затем записать цифру, которую представляет каждая группа (что дает 5391).Есть только одна небольшая проблема: каждая группа из 4 бит может доходить до 1111, что составляет 15, а цифры могут доходить только до 9.

Решение простое: мы вводим символы для цифр от 1010 (10) до 1111 (15), которые представляют собой просто буквы от A до F. Так, например, 16-битное двоичное число 1011 1000 1110 0001 можно более кратко записать как B8E1. Буква «B» представляет двоичное число 1011, которое является десятичным числом 11, а буква E представляет двоичное число 1110, которое является десятичным числом 14.

Поскольку теперь у нас 16 цифр, это представление с основанием 16 и известно как шестнадцатеричное (или для краткости шестнадцатеричное).Преобразование между двоичным и шестнадцатеричным числами очень просто, и поэтому шестнадцатеричный — очень распространенный способ записи больших двоичных чисел.

Вот полная таблица всех 4-битных чисел и их шестнадцатеричного эквивалента:

Например, наибольшее 8-битное двоичное число — 11111111. Это можно записать как FF в шестнадцатеричном формате. Оба этих представления означают 255 в нашей обычной десятичной системе (вы можете проверить это, преобразовав двоичное число в десятичное).

Какие обозначения вы используете, будет зависеть от ситуации; двоичные числа представляют то, что на самом деле хранится, но могут затруднять чтение и запись; шестнадцатеричные числа — хорошее сокращение двоичного; а десятичные числа используются, если вы пытаетесь понять значение числа или выполняете обычные вычисления.Все три широко используются в информатике.

Однако важно помнить, что компьютеры только представляют числа в двоичном формате. Они не могут представлять числа непосредственно в десятичном или шестнадцатеричном формате.

Обычно числа хранятся на компьютерах в электронных таблицах или базах данных. Они могут быть введены либо с помощью программы электронных таблиц или базы данных, либо с помощью программы, написанной вами или кем-то другим, либо с помощью дополнительного оборудования, такого как датчики, для сбора данных, таких как температура, давление воздуха или сотрясение земли.

Некоторые вещи, которые мы можем рассматривать как числа, например номер телефона (03) 555-1234, на самом деле не хранятся как числа, поскольку они содержат важные символы (например, дефисы и пробелы), а также ведущий 0. который был бы потерян, если бы он был сохранен как число (указанное выше число получилось бы как 35551234, что не совсем верно). Они сохраняются как текст , что обсуждается в следующем разделе.

С другой стороны, вещи, которые не похожи на числа (например, «30 января 2014 года»), часто сохраняются с использованием значения, которое преобразуется в формат, понятный для читателя (попробуйте ввести две даты в Excel, а затем вычтите одно из другого — результат будет полезным числом).В базовом представлении используется число. Программный код используется для преобразования базового представления в значимую дату в пользовательском интерфейсе.

Разница между двумя датами в Excel — это количество дней между ними; сама дата (как и во многих системах) сохраняется как время, прошедшее с фиксированной даты (например, 1 января 1900 г. ). Вы можете проверить это, введя дату типа «1 января 1850 года» — есть вероятность, что она не будет отформатирована как обычная дата.Точно так же дата, находящаяся достаточно далеко в будущем, может вести себя странно из-за ограниченного количества битов, доступных для хранения даты.

Числа используются для хранения таких разнообразных вещей, как даты, оценки учащихся, цены, статистика, научные данные, размеры и размеры графики.

При сохранении чисел на компьютере необходимо учитывать следующие моменты:

• Какой диапазон чисел должен быть представлен?
• Как работать с отрицательными числами?
• Как работать с десятичными знаками и дробями?

На практике нам нужно выделить фиксированное количество битов для числа, прежде чем мы узнаем, насколько велико это число.Часто это 32 или 64 бита, хотя при необходимости можно установить 16 или даже 128 бит. Это потому, что в противном случае компьютер не знает, где начинается и где заканчивается число.

Любая система, которая хранит числа, должна идти на компромисс между количеством бит, выделенных для хранения числа, и диапазоном значений, которые могут быть сохранены.

В некоторых системах (например, в языках программирования и базах данных Java и C) можно указать, насколько точно должны храниться числа; в других — заранее (например, в таблицах).

Некоторые из них могут работать с произвольно большими числами, увеличивая пространство, используемое для их хранения по мере необходимости (например, целые числа на языке программирования Python). Однако вполне вероятно, что они все еще работают с кратным 32 бит (например, 64 бит, 96 бит, 128 бит, 160 бит и т. Д.). Если число становится слишком большим, чтобы поместиться в 32 бита, компьютер перераспределяет его, чтобы иметь до 64 бита.

В некоторых языках программирования нет проверки, когда число становится слишком большим (переполнение).Например, если у вас есть 8-битное число с использованием дополнения до двух, то 01111111 является наибольшим числом (127), и если вы добавите его без проверки, оно изменится на 10000000, что оказывается числом -128. (Не беспокойтесь о дополнении до двух, об этом позже в этом разделе.) Это может вызвать серьезные проблемы, если не будет проверено, и является причиной варианта проблемы 2000 года, называемой проблемой 2038 года, связанной с переполнением 32-битного числа для дат во вторник, 19 января 2038 года.

На крошечных компьютерах, таких как те, что встроены в вашу машину, стиральную машину или крошечный датчик, который едва ли больше песчинки, нам может потребоваться более точно указать, насколько большим должно быть число.Хотя компьютеры предпочитают работать с фрагментами по 32 бита, мы могли бы написать программу (в качестве примера для датчика землетрясения), которая знает, что первые 7 бит — это широта, следующие 7 бит — это долгота, следующие 10 бит — глубина. , а последние 8 бит — это сила.

Даже на стандартных компьютерах важно хорошо подумать о количестве бит, которое вам понадобится. Например, если у вас есть поле в вашей базе данных, которое может быть «0», «1», «2» или «3» (возможно, представляя четыре основания, которые могут встречаться в последовательности ДНК), и вы использовали 64-битное число для каждого, которое будет увеличиваться по мере роста вашей базы данных. Если в вашей базе данных 10 000 000 элементов, вы потратите 62 бита для каждого из них (для представления 4 чисел в примере требуется только 2 бита), всего 620 000 000 бит, что составляет около 74 МБ. Если вы часто делаете это в своей базе данных, это действительно складывается — человеческая ДНК содержит около 3 миллиардов пар оснований, поэтому использовать более 2 бит для каждой из них невероятно расточительно.

А для таких приложений, как Google Maps, которые хранят астрономический объем данных, тратить пространство впустую — вообще не вариант!

Действительно полезно знать примерно, сколько битов вам понадобится для представления определенного значения.Подумайте о следующих сценариях и выберите наилучшее количество бит из представленных вариантов. Вы хотите убедиться, что максимально возможное число поместится в число битов, но вы также хотите убедиться, что вы не тратите впустую пространство.

1. Сохранение дня недели — а) 1 бит — б) 4 бита — в) 8 бит — d) 32 бита
2. Запоминание количества людей в мире — а) 16 бит — б) 32 бита — в) 64 бита — d) 128 бит
3. Сохранение количества дорог в Новой Зеландии — а) 16 бит — б) 32 бита — в) 64 бита — d) 128 бит
4. Сохранение количества звезд во Вселенной — а) 16 бит — б) 32 бита — в) 64 бита — г) 128 бит

1. b (на самом деле 3 бита достаточно, так как он дает 8 значений, но с суммами, которые равномерно помещаются в 8-битные байты, легче работать)
2. c (32 бита немного слишком мало, поэтому вы будете требуется 64 бита)
3. b (Это сложный вопрос, но разработчику баз данных придется задуматься. В Новой Зеландии около 94 000 км дорог, поэтому, если бы средняя длина дороги составляла 1 км, было бы слишком много дорог для 16 бит. В любом случае, 32 бита было бы безопасным выбором.)
4. d (Даже 64 бит недостаточно, но 128 бит — это достаточно! Помните, что 128 бит — это не вдвое больше диапазона 64 бит.)

Представление двоичных чисел, которое мы рассмотрели до сих пор, позволяет нам представлять только положительные числа. На практике мы также захотим иметь возможность представлять отрицательные числа, например, когда баланс аккаунта становится отрицательным или температура падает ниже нуля.В нашем обычном представлении чисел с основанием 10 мы представляем отрицательные числа, помещая знак минус перед числом. Но в двоичном формате это так просто?

Мы рассмотрим два возможных подхода: добавление простого знакового бита, очень похожего на десятичную дробь, а затем более полезную систему, называемую дополнением до двух.

На компьютере у нас нет знаков минус для чисел (не очень хорошо использовать текст на основе одного при представлении числа, потому что вы не можете выполнять арифметические операции с символами), но мы можем сделать это, выделив один дополнительный бит, называемый знаком , бит, представляющий знак минус. Как и в случае с десятичными числами, мы помещаем отрицательный индикатор слева от числа — когда бит знака установлен на «0», это означает, что число положительное, а когда бит знака установлен на «1», число равно отрицательный (как будто перед ним стоит знак минус).

Например, если бы мы хотели представить число 41 , используя 7 бит вместе с дополнительным битом, который является битом знака (чтобы получить всего 8 битов), мы бы представили его как 00101001 . Первый бит равен 0, что означает положительное число, затем оставшиеся 7 бит дают 41 , то есть число +41 .Если бы мы хотели получить -59 , это было бы 10111011 . Первый бит равен 1, что означает отрицательное число, а оставшиеся 7 бит представляют 59 , то есть число -59 .

Используя 8 битов, как описано выше (один для знака и 7 для действительного числа), каковы будут двоичные представления для 1, -1, -8, 34, -37, -88 и 102?

Пробелы не обязательны, но добавлены для облегчения чтения двоичных чисел

• 1 — 0000 0001
• — 1 — 1000 0001
• — 8 — 1000 1000
• 34 — 0010 0010
• -37 — 1010 0101
• -88 — 1101 1000
• 102 — 0110 0110

Так же легко пойти другим путем. Если у нас есть двоичное число 10010111 , мы знаем, что оно отрицательное, потому что первая цифра — 1. Числовая часть — это следующие 7 битов 0010111 , что составляет 23 . Это означает, что это номер -23 .

Какими будут десятичные значения для следующего, если предположить, что первый бит является битом знака?

• 00010011
• 10000110
• 10100011
• 01111111
• 11111111

• 00010011 равно 19
• 10000110 это -6
• 10100011 равно -35
• 01111111 равно 127
• 11111111 равно -127

А как насчет 10000000? Это преобразуется в -0 .И 00000000 — это +0 . Поскольку -0 и +0 равны нулю, очень странно иметь два разных представления для одного и того же числа.

Это одна из причин, по которой мы не используем на практике простой знаковый бит. Вместо этого компьютеры обычно используют более сложное представление отрицательных двоичных чисел, называемое дополнением до двух .

Существует альтернативное представление, называемое два дополнения , которое позволяет избежать двух представлений для 0 и, что более важно, упрощает арифметические операции с отрицательными числами.

Представление положительных чисел с дополнением до двух

Представление положительных чисел — это тот же метод, который вы уже изучили. При использовании 8 битов крайний левый бит — это ноль, а остальные 7 бит — обычное двоичное представление числа; например, 1 будет 00000001 , а 50 будет 00110010 .

Представление отрицательных чисел с дополнением до двух

Здесь все становится интереснее. Чтобы преобразовать отрицательное число в его представление с дополнением до двух, используйте следующий процесс. 1. Преобразуйте число в двоичное (не используйте знаковый бит и представляйте, что это положительное число). 2. Инвертируйте все цифры (т.е. замените 0 на 1 и 1 на 0). 3. Добавьте 1 к результату (добавить 1 в двоичном формате легко; вы можете сделать это, сначала преобразовав в десятичное, но хорошо подумайте о том, что произойдет, когда двоичное число увеличивается на 1, попробовав несколько; в панель ниже).

Например, предположим, что мы хотим преобразовать -118 в его представление с дополнением до двух. Мы будем использовать этот процесс следующим образом. 1. Двоичное число для 118 — 01110110 . 2. 01110110 с перевернутыми цифрами будет 10001001 . 3. 10001001 + 1 это 10001010 .

Следовательно, представление в виде дополнения до двух для -118 будет 10001010 .

Правило прибавления единицы к двоичному числу довольно простое, поэтому мы позволим вам выяснить это сами.Во-первых, если двоичное число заканчивается на 0 (например, 1101010), как изменится число, если вы замените последний 0 на 1? Теперь, если он заканчивается на 01, насколько он увеличится, если вы измените 01 на 10? А как насчет того, чтобы закончить на 011? 011111?

Метод добавления настолько прост, что легко собрать компьютерное оборудование, которое сделает это очень быстро.

Каким будет представление в виде дополнения до двух следующих чисел: с использованием 8 битов ? Следуйте процедуре, описанной в этом разделе, и помните, что вам не нужно делать ничего особенного для положительных чисел.

1. 19
2. -19
3. 107
4. -107
5. -92

1. 19 в двоичном формате — это 0001 0011 , которое является дополнением до двух для положительного числа.
2. Для -19 мы берем двоичное положительное значение 0001 0011 (см. Выше), инвертируем его в 1110 1100 и добавляем 1, получая представление 1110 1101 .
3. 107 в двоичном формате — это 0110 1011 , которое является дополнением до двух для положительного числа.
4. Для -107 мы берем двоичное положительное значение, равное 0110 1011 (см. Выше), инвертируем его в 1001 0100 и добавляем 1, получая представление 1001 0101 .
5. Для -92 мы берем двоичное положительное значение, равное 0101 1100, инвертируем его в 1010 0011 и добавляем 1, получая представление 1010 0100 . (Если у вас это неверно, дважды проверьте, правильно ли вы увеличили на 1).

Преобразование двоичного дополнения обратно в десятичное

Чтобы обратить процесс вспять, нам нужно знать, является ли число, на которое мы смотрим, положительным или отрицательным.Для положительных чисел мы можем просто преобразовать двоичное число обратно в десятичное. Но для отрицательных чисел нам сначала нужно преобразовать их обратно в нормальное двоичное число.

Итак, как мы узнаем, положительное или отрицательное число? Оказывается (по причинам, которые вы поймете позже в этом разделе), отрицательные числа в дополнительном коде всегда начинаются с 1, а положительные числа всегда начинаются с 0. Вернитесь к предыдущим примерам, чтобы еще раз проверить это.

Итак, если число начинается с 1, используйте следующий процесс для преобразования числа обратно в отрицательное десятичное число.

1. Вычтите 1 из числа.
2. Обратить все цифры.
3. Преобразует полученное двоичное число в десятичное.
4. Поставьте перед ним знак минус.

Итак, если бы нам нужно было преобразовать 11100010 обратно в десятичное, мы бы сделали следующее.

1. Вычтем 1 из 11100010 , что даст 11100001 .
2. Инвертируйте все цифры, получая 00011110 .
3. Преобразуйте 00011110 в двоичное число, получив 30 .
4. Добавьте отрицательный знак, получив -30 .

Преобразуйте следующие два дополнительных числа в десятичные числа.

1. 00001100
2. 10001100
3. 10111111

1. 12
2. 10001100 -> (-1) 10001011 -> (инвертированный) 01110100 -> (в десятичный) 116 -> (добавлен отрицательный знак) -116
3. 10111111 -> (-1) 10111110 — > (инвертированный) 01000001 -> (в десятичный) 65 -> (добавлен отрицательный знак) -65

Сколько чисел можно представить с помощью дополнения до двух?

Хотя поначалу может показаться, что в качестве знакового бита нет бита, самый левый бит ведет себя как единичный.С 8 битами вы все еще можете создать только 256 возможных шаблонов из 0 и 1. Если вы попытаетесь использовать 8 бит для представления положительных чисел до 255 и отрицательных чисел до -255, вы быстро поймете, что некоторые числа были отображены на один и тот же набор битов. Очевидно, это сделает невозможным узнать, какое число на самом деле представлено!

На практике могут быть представлены числа в следующих диапазонах. Беззнаковый диапазон — это количество чисел, которые вы можете представить, если вы разрешаете только положительные числа (знак не нужен), а два дополнения. Диапазон — это количество чисел, которые вы можете представить, если вам нужны как положительные, так и отрицательные числа.Вы можете решить это, потому что диапазон 8-битных значений, если они хранятся с использованием беззнаковых чисел, будет от 00000000 до 11111111 (то есть от 0 до 255 в десятичном формате), а диапазон дополнения до двух со знаком составляет от 10000000 (наименьшее число, — 128 в десятичной системе счисления) до 01111111 (наибольшее число, 127 в десятичной системе). Это может показаться немного странным, но это работает очень хорошо, потому что можно использовать обычное двоичное сложение, если вы используете это представление, даже если вы добавляете отрицательное число.

Прежде чем добавлять отрицательные двоичные числа, мы рассмотрим сложение положительных чисел.Это в основном то же самое, что и методы сложения, используемые для десятичных чисел, за исключением того, что правила намного проще, потому что вы можете добавить только две разные цифры!

Вы, наверное, узнали о сложении столбцов. Например, следующее добавление столбца будет использоваться для получения 128 + 255 .

  1 (несет)
 128
+255
----
 383  

Когда вы добавляете 5 + 8, результат больше 9, поэтому вы помещаете 3 в столбец с единицей и переносите 1 в столбец с десятками.Точно так же работает двоичное сложение.

Сложение положительных двоичных чисел

Если вы хотите сложить два положительных двоичных числа, например 00001111 и 11001110 , вы должны выполнить аналогичный процесс сложения столбцов. Вам нужно только знать 0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, и 1 + 1, и 1 + 1 + 1. Первые три — это то, что вы могли ожидать. Добавление 1 + 1 вызывает цифру переноса, поскольку в двоичном формате 1 + 1 = 10, что переводится в «0, переносить 1» при добавлении столбца.Последнее, 1 + 1 + 1, в двоичном формате складывается до 11, что можно выразить как «1, переносить 1». Для двух наших примеров чисел сложение работает следующим образом:

 111 (несет)
 11001110
+00001111
---------
 11011101  

Помните, что цифры могут быть только 1 или 0. Таким образом, вам нужно будет перенести 1 в следующий столбец, если сумма, которую вы получите для столбца, составляет (десятичное) 2 или 3.

Добавление отрицательных чисел с помощью простого знакового бита

С отрицательными числами, использующими знаковые биты, как мы делали раньше, это не работает.Если вы хотите сложить +11 (01011) и -7 (10111) , вы ожидаете получить ответ +4 (00100) .

  11111 (несет)
 01011
+10111
100010  

То есть -2 .

Один из способов решения проблемы — использовать вместо этого вычитание столбцов. Но для этого потребовалось бы предоставить компьютеру аппаратную схему, которая могла бы это сделать. К счастью, в этом нет необходимости, потому что сложение с отрицательными числами работает автоматически с использованием дополнения до двух!

Сложение отрицательных чисел с дополнением до двух

Для вышеуказанного сложения (+11 + -7) мы можем начать с преобразования чисел в их 5-битную форму дополнения до двух. Поскольку 01011 (+11) — положительное число, изменять его не нужно. Но для отрицательного числа 00111 (-7) (знаковый бит из перед удален, поскольку мы не используем его для дополнения до двух), нам нужно инвертировать цифры, а затем добавить 1, получив 11001 .

Сложение этих двух чисел работает следующим образом:

  01011
 11001
100100  

Любые лишние биты слева (помимо того, что мы используем, в данном случае 5 бит) были усечены.Остается 00100 , что составляет 4 , как мы и ожидали.

Мы также можем использовать это для вычитания. Если мы вычитаем положительное число из положительного, нам нужно будет преобразовать вычитаемое число в отрицательное. Затем мы должны сложить два числа. Это то же самое, что и для десятичных чисел, например 5-2 = 3 то же самое, что 5 + (-2) = 3.

Это свойство дополнения до двух очень полезно. Это означает, что положительные и отрицательные числа могут обрабатываться одной и той же компьютерной схемой, а сложение и вычитание можно рассматривать как одну и ту же операцию.

Идею использования «дополнительного» числа для замены вычитания на сложение можно увидеть, проделав то же самое в десятичной системе счисления. Дополнением к десятичной цифре является цифра, которая в сумме дает 10; например, дополнение до 4 равно 6, а дополнение до 8 равно 2. (Слово «дополнение» происходит от корня «полный» — оно завершает его до красивого круглого числа.)

Вычитание 2 из 6 — это то же самое, что добавление дополнения и игнорирование лишней 1 цифры слева.Дополнение до 2 равно 8, поэтому мы прибавляем 8 к 6, получая (1) 4.

Для больших чисел (таких как вычитание двух трехзначных чисел 255–128) дополнение — это число, которое складывается до следующей степени 10, то есть 1000–128 = 872. Убедитесь, что добавление 872 к 255 дает (почти) тот же результат, что и вычитание 128.

Вычислить дополнения в двоичном формате намного проще, потому что нужно работать только с двумя цифрами, но вычисление их в десятичном формате может помочь вам понять, что происходит.

Мы рассмотрели два различных способа представления отрицательных чисел на компьютере. На практике простой знаковый бит используется редко из-за того, что он имеет два разных представления нуля и требует другой компьютерной схемы для обработки отрицательных и положительных чисел, а также для выполнения сложения и вычитания.

Дополнение до двух широко используется, поскольку оно имеет только одно представление для нуля и позволяет обрабатывать положительные и отрицательные числа одинаково, а сложение и вычитание — как одну операцию.

Существуют и другие системы, такие как «Дополнение до одного» и «Избыток-k», но на практике наиболее широко используется дополнение до двух.

границ | Оценка программы компьютерного обучения для улучшения навыков арифметики и представления пространственных чисел у детей начальной школы

Введение

Уже на ранней стадии развития между детьми наблюдаются значительные различия в обработке чисел и вычислении (Dowker, 2005). Трудности и недостатки, возникающие на раннем этапе обучения, потенциально могут отрицательно повлиять на дальнейший курс обучения и являются прогностическим признаком «неуспеваемости» (Jordan et al., 2003; Morgan et al., 2009). Базовые числовые навыки особенно важны для прогнозирования будущего процесса обучения (Kaufmann et al., 2005; Jordan et al., 2007; Krajewski and Schneider, 2009), а ранние различия в основных числовых навыках становятся более выраженными с возрастом во время обучения. начальная школа (Aunola et al., 2004; Гири, 2006). Результаты показывают, что помимо базовых навыков работы с числами, владение основными арифметическими операциями имеет важное значение для дальнейшего развития математических способностей в начальной школе (Mercer, Miller, 1992; Van Luit and Naglieri, 1999; Duncan et al., 2007). Эти результаты демонстрируют актуальность целевых мероприятий, которые обеспечивают достаточное развитие базовых математических навыков на ранней стадии, чтобы заложить прочную основу для будущих процессов обучения. Это исследование направлено на оценку адаптивной программы, построенной на теоретических моделях обработки чисел и численного развития.Он предлагает детям на раннем этапе возможность обучить именно тем аспектам обработки чисел и арифметическим навыкам, в которых они все еще нуждаются в поддержке.

Теоретические модели обработки чисел и численного развития

В последние годы были предложены различные модели обработки и вычисления чисел (например, McCloskey et al., 1985; Cipolotti and Butterworth, 1995). Модель тройного кода (Dehaene, 1992) в настоящее время является наиболее влиятельной моделью. Он предполагает интегративную сеть, которая определяется тремя различными модулями (вербальный, арабский и аналоговый модуль), связанных с обработкой чисел.Модули характеризуются различными репрезентативными свойствами и функциями чисел и связаны двунаправленными ссылками перекодирования. Устный модуль поддерживает подсчет и поиск фактов, визуально-арабский модуль требуется для решения письменной арифметики, а модуль аналоговой величины — для семантической обработки чисел. Dehaene et al. (1999) показали, что с помощью функциональной нейровизуализации основные компоненты математического развития можно отнести к определенным областям мозга.Что касается оценки и точного расчета, авторы выделили различные области мозга, задействованные во время обработки. Эти данные подтверждают предположения об «аналоговом представлении величин» и «слухово-вербальном представлении» (Jacobs and Petermann, 2003). Основываясь на своем метаанализе фМРТ, Арсалиду и Тейлор (2011) предложили расширение модели тройного кода. Авторы продемонстрировали актуальность вспомогательных и предметно-общих функций, задействованных при решении арифметических задач.Более того, недавние исследования показывают, что совпадение представлений чисел в различных обозначениях чисел увеличивается с возрастом, опытом и образованием (Kucian and Kaufmann, 2009; Kaufmann et al., 2011). Другие исследования фМРТ показывают, что ментальная числовая линия появляется в течение первых школьных лет в теменной доле в результате практики и опыта (Rivera et al. , 2005; Kucian et al., 2008).

Модель с тройным кодом представляет собой конечную стадию развития численных и вычислительных возможностей.Несколько теоретических моделей обращаются к вопросу о том, как численное познание развивается в детстве (например, von Aster, 2005; Krajewski and Schneider, 2009; Kaufmann et al., 2011). Модель развития Krajewski (2008) описывает, как способность к счету связана с количественными и количественными операциями и как приобретаются количественно-числовые компетенции на трех уровнях. Однако эта модель не отображает весь процесс развития числового познания, поскольку она ограничена младшим школьным возрастом.Четырехступенчатая модель развития (фон Астер и Шалев, 2007) основана на последних открытиях психологии развития и когнитивных наук. Он предполагает развитие различных когнитивных представлений (количество элементов, вербальная система счисления, арабская система счисления, порядковый номер), релевантных для обработки и вычисления чисел, как нейропластический процесс, который переплетается с дополнительным развитием других когнитивных областей и общих способностей области, таких как внимание или рабочая память (фон Астер и Шалев, 2007; Кауфманн и фон Астер, 2012). Согласно этой модели унаследованное представление основной системы кардинальной величины (шаг 1), которое позволяет выполнять такие функции, как субитизация и аппроксимация, обеспечивает основное значение чисел. Следующий шаг включает в себя процесс обучения ассоциированию воспринимаемого числа с устным символом, усваивающим вербальные системы (числовые слова, шаг 2) и более поздние арабские системы (цифры, шаг 3). Символизация начинается с начала развития языка. Интернализация этих систем является предпосылкой для формирования абстрактного пространственного представления чисел (ментальная числовая линия) (шаг 4) в начальной школе, что, как было установлено, необходимо для арифметического мышления (von Aster, 2005).Предполагается, что эта мысленная числовая линия развивается параллельно с освоением систем символизации и, как следствие, с растущим числом арифметических операций. Описанные в этой модели процессы нельзя рассматривать в отрыве от развития других когнитивных способностей, таких как письмо и чтение, или общих функций предметной области, таких как рабочая память или внимание. Кроме того, разработка различных модулей зависит от опыта и является продуктом индивидуальной и социально-культурной истории обучения.Согласно этой модели, задержки или дефицит в развитии ранних способностей и функций приводят к трудностям в построении пространственного представления чисел, независимо от того, есть ли у ребенка дефицит базовых числовых способностей или недостатки в отображении систем символизации (словесных и / или арабских). ) (фон Астер, 2005). Основное преимущество этой модели состоит в том, что можно картировать типичное развитие, а также различные пути патологического развития (фон Астер и Шалев, 2007). Кроме того, модель позволяет предсказывать этиологические созвездия и возможные нейропсихологические дисфункции при дискалькулии, связанной с развитием (von Aster et al., 2007). Задержки и недостатки в развитии ранних способностей и функций могут происходить на разных этапах, что приводит к индивидуальным потребностям в обучении (von Aster, 2005). Более того, становится очевидным, что подходы к обучению, которые сосредоточены только на одном аспекте, например, тренировке базовых числовых способностей или повторяющейся практике арифметических операций, не решают проблем этого многоуровневого процесса. Эффективный подход к обучению требует курса действий, в котором иерархически организованные и частично параллельные процессы постулируемых шагов обучаются в соответствии с индивидуальным профилем способностей и знаний.

Компьютерные вмешательства для улучшения навыков обработки чисел и арифметики

Разработка программы для улучшения навыков обработки чисел и арифметики включает рассмотрение ряда сложных аспектов. Дети различаются по скорости обучения (Brown et al., 2003) и в разной степени получают пользу от практики (Schoppek and Tulis, 2010), что приводит к различным математическим показателям и профилям дефицита (von Aster, 2000; Geary, 2004; Wilson and Dehaene, 2007).Кроме того, дети поступают в обычную школу с очень разными предпосылками к успеваемости (Hair et al., 2006). Чтобы адекватно отреагировать на эти факторы, необходима значительная индивидуализация.

Компьютерное обучение, адаптирующееся к индивидуальному профилю обучения и уровню развития ребенка, может способствовать выполнению этих требований. Он обеспечивает оптимальный уровень сложности и скорость обучения за счет индивидуального выбора задач. Еще одно ключевое преимущество — возможность моментального отклика о правильности решаемой задачи.Прямая хронологическая близость имеет решающее значение для приобретения знаний (Krajewski and Ennemoser, 2010) и позволяет правильно моделировать решение задачи.

Кроме того, компьютер представляет собой привлекательную среду обучения (Кулик и Кулик, 1991; Шоппек и Тулис, 2010), обеспечивающую интенсивное обучение в стимулирующей среде (Кулик, 2004). Компьютеризированные учебные программы могут быть специально разработаны для детей и связаны скорее с игрой, чем с обучением (Lenhard et al., 2011).

В частности, для детей, испытывающих трудности с математикой, компьютеризированное обучение обеспечивает возможность создания учебной среды, независимой от давления успеваемости и сравнения сверстников в школьном контексте, и, следовательно, предлагает менее стрессовую и безопасную среду для изучения математики (Käser and von Aster, 2013 ).

Эффективность компьютерных программ обучения

Различные метаанализы изучили влияние компьютерных инструкций по математике, выявив положительные эффекты.Например, Кулик (Кулик и Кулик, 1991; Кулик, 1994) сообщил о средней величине эффекта 0,47 для компьютерного обучения математике в начальной школе. Ли и Ма (2010) указали, что компьютерное обучение особенно полезно для учащихся с особыми потребностями, и что более значительный эффект наблюдается в начальной школе, чем в высшем образовании. Аналогичным образом, другие исследования выявили положительный эффект для компьютерного обучения математике с величиной эффекта от 0,13 до 0,8 (Khalili and Shashaani, 1994; Fletcher-Flinn and Gravatt, 1995; Kroesbergen and van Luit, 2003; Slavin and Lake, 2008; Ise и другие., 2012; Chodura et al., 2015). Помимо этих многообещающих эффектов, исследования, сравнивающие эффективность компьютерных программ с другими методами обучения математике, показали, что компьютерное обучение менее эффективно, чем прямое обучение учителя (Kroesbergen and van Luit, 2003; Ise et al. , 2012). Однако недавний метаанализ, проведенный Chodura et al. (2015) показали, что компьютерные вмешательства столь же эффективны, как и вмешательства с участием тренеров.

Хотя существует ряд различных компьютеризированных программ обучения математике, в большинстве программ отсутствует эмпирический анализ их эффективности (Butterworth and Laurillard, 2010; Butterworth et al., 2011) либо на теоретически обоснованной основе. Существуют компьютерные программы, которые показали свою эффективность в улучшении обработки чисел или знания арифметических фактов (Fuchs et al., 2006; Wilson et al., 2006; Lenhard and Lenhard, 2010; Kucian et al., 2011) , но доступные программы в основном ориентированы на конкретные навыки и предлагают лишь ограниченную адаптируемость. Кроме того, оценочные исследования включают только небольшие размеры выборки (Räsänen et al., 2009), а дизайн исследований включает только сравнение с нетренированной контрольной группой (Räsänen et al., 2009; Ленхард и Ленхард, 2010; Kucian et al. , 2011), тогда как сравнения с группами, получающими альтернативное обучение, отсутствуют.

Далее представлена ​​подборка компьютеризированных тренингов, прошедших эмпирическую оценку. «Rechenspiele mit Elfe und Mathis I» (Ленхард и Ленхард, 2010) — это программа обучения математике для детей с первого по третий класс на основе национальных образовательных стандартов. Программа состоит из пяти компонентов (количества, чисел, геометрии, словесных задач, арифметики), которые относятся к областям содержания математического класса.Оценочное исследование выявило положительный эффект обучения на успеваемость детей по математике в стандартизированном тесте по сравнению с контрольным условием у детей, посещающих обычные занятия по математике. Однако следует отметить, что управление последовательностями задач и игр не следует теоретической иерархии целей обучения, что препятствует адаптации к индивидуальным трудностям ребенка в обучении (Käser and von Aster, 2013).

Программа «Числовая гонка» (Wilson et al. , 2006) основан на предположении, что дискалькулия является результатом дефицита ядра в смысле числа или дефицита связи между чувством числа и символическим представлением чисел. Адаптивное программное обеспечение предназначено для обучения числовым сравнениям и улучшения представления количественных характеристик. Оценка программы на небольшой выборке детей в возрасте 7–9 лет с трудностями в математическом обучении продемонстрировала значительные улучшения в базовых числовых познаниях, но эффекты не распространялись на счет или арифметику (Wilson et al., 2006). Räsänen et al. (2009) сравнили «Числовую гонку» с игрой (Graphogame-Math; Mönkkönen et al., В стадии подготовки), которая тренирует соответствие словесных меток визуальным образцам и числовым символам небольших наборов точных чисел. В этом исследовании дети детского сада с низким уровнем навыков счета ( n = 30) были случайным образом отнесены к одному из двух условий обучения. Дети тренировались ежедневно в течение 3 недель. По сравнению с группой типично выступающих детей ( n = 30) обе обучающие группы продемонстрировали улучшенные навыки сравнения чисел, но не в других областях числовых навыков (словесный счет, сравнение чисел, счет предметов, арифметика).

Цель программы «Rescue Calcularis» (Kucian et al., 2011) — улучшить построение и доступ к ментальной числовой линии. Обучены базовым аспектам обработки чисел, а также сложения и вычитания. Детям предлагается арабская цифра, задача на сложение / вычитание или количество точек, и задача состоит в том, чтобы с помощью джойстика расположить результат каждой задачи на числовой строке. Оценка программы выявила положительные эффекты для детей с дискалькулией развития и без нее, что было измерено с помощью нейропсихологических тестов и функциональной магнитно-резонансной томографии (фМРТ) (Kucian et al., 2011). Дети показали улучшенное пространственное представление чисел, а также улучшенные арифметические способности. Кроме того, анализ с помощью фМРТ показал, что обе группы показали снижение набора областей мозга, поддерживающих обработку чисел после обучения, что можно отнести к модуляции нейронной активации, которая облегчает обработку числовых задач.

Calcularis использует основные элементы Rescue Calcularis (Kucian et al., 2011), но представляет собой более полное обучение математическим навыкам и использует пользовательскую модель, позволяющую гибкую адаптацию.Как и в «Спасении Calcularis», программа Calcularis уделяет особое внимание созданию и доступу к ментальной числовой линии. Однако он расширен обучающими элементами для автоматизации различных представлений чисел и их взаимосвязей, а также арифметических операций при расширении диапазонов чисел. Calcularis оценивался в пилотном исследовании с небольшой выборкой ( N = 32) швейцарских детей с трудностями в изучении математики (Käser et al., 2013). Обучение представлению и вычитанию чисел принесло значительную пользу детям.

В данной статье представлена ​​оценка Calcularis в большой выборке исследования ( N = 138) с использованием дизайна исследования с двумя контрольными группами.

Цели исследования

Основная цель настоящего исследования — оценить эффективность компьютерной обучающей программы Calcularis путем объединения двух различных подходов. Во-первых, мы стремились определить общую немедленную эффективность, сравнивая тренировочную группу Calcularis с нетренированной контрольной группой.Внедрение необученной ожидающей контрольной группы позволяет контролировать эффекты развития и обучения, а также арифметическое развитие в обычных условиях. Во-вторых, мы сравнили эффективность обучающей группы Calcularis с группой, которая прошла компьютеризированное обучение правописанию, чтобы изучить предметную специфичность обучающих эффектов. Таким образом, эффективность тренировки можно определить, принимая во внимание новизну и эффекты Хоторна, а также неспецифические эффекты тренировки на общие функции предметной области.Мы предположили, что группа Calcularis продемонстрирует повышенную арифметическую производительность (сложение, вычитание) и представление пространственных чисел (в диапазоне чисел 0–10 и 0–100) по сравнению с обеими группами с малым (компьютерное обучение правописанию) и средним (неподготовленный контроль). группа) размеры эффекта.

Материалы и методы

Введение в Calcularis

Calcularis — это адаптивная компьютерная программа обучения. Теоретическая основа численного познания и развития программы основана на модели трех кодов (Dehaene, 1992) и четырехступенчатой ​​модели развития (von Aster, 2005; von Aster and Shalev, 2007).Он направлен на автоматизацию различных представлений чисел и их взаимосвязей, поддержку формирования числовой строки в уме и доступ к ней, а также на отработку арифметических операций, а также на знание арифметических фактов при расширении диапазонов чисел. Таким образом, обучение охватывает широкий спектр аспектов числового познания, что увеличивает адаптируемость программ к индивидуальным дефицитам и потребностям ребенка в обучении. Calcularis состоит из различных обучающих игр, которые иерархически структурированы в соответствии с диапазонами номеров и могут быть разделены на две части.Первая область фокусируется на различных представлениях чисел, а также на обработке чисел в целом. Обучаются перекодировке между альтернативными представлениями, и дети изучают три принципа понимания чисел: количество элементов, порядковость и относительность. Игры в этой области иерархически упорядочены в соответствии с четырехступенчатой ​​моделью развития (фон Астер и Шалев, 2007). Примером первой области является игра ПОСАДКА, показанная на рисунке 1A. В этой игре детям нужно указать положение данного числа на числовой строке.Для этого необходимо управлять падающим конусом с помощью джойстика. Вторая область охватывает когнитивные операции и процедуры с числами. В этой области дети обучаются концепциям и автоматизации арифметических операций. Сложность задач определяется сложностью задачи, количеством задействованных чисел и наглядными пособиями, доступными для решения задачи. Например, в игре ПЛЮС-МИНУС (см. Рис. 1B) дети решают задачи на сложение и вычитание, используя блоки из десятков и единиц.

Рисунок 1.Скриншоты из компьютерной программы обучения Calcularis . В игре «ПОСАДКА» (A) позиция отображаемого числа (29) должна быть указана в числовой строке. В игре ПЛЮС-МИНУС (B) отображаемая задача должна быть смоделирована блоками десятков и единиц.

Ключевые компоненты (представление чисел, арифметические операции) обучаются основной и вспомогательной играм. В то время как основные игры требуют сочетания способностей, вспомогательные игры тренируют определенные навыки, которые служат предпосылками для основных игр.Последовательная система обозначений чисел, подчеркивающая их свойства, используется на протяжении всей программы обучения. Обозначения кодируются по цвету, форме и топологии. Предполагается, что такой дизайн числовых стимулов усиливает различные числовые модальности и усиливает связь между ними. Более подробное описание обучения, включая выборку примеров игр, можно найти в Käser et al. (2013), а также в Räsänen et al. (2015).

Calcularis включает пользовательскую модель, позволяющую гибкую адаптацию на основе внутренней карты обучения и профиля знаний отдельного ребенка. Все дети начинают обучение с одной и той же игры. После каждого выполненного элемента программа оценивает фактическое состояние знаний ребенка и отображает новую задачу, адаптированную к этому состоянию. Математическая структура Calcularis представляет собой модель когнитивных процессов математического развития динамической байесовской сетью. Сеть Байеса представляет собой ориентированный ациклический граф, который представляет различные математические навыки и их взаимосвязи. Модель пользователя основана на модели студента и алгоритме управления, представленном в Käser et al.(2012). Кроме того, повторение освоенных навыков (например, субитизация или арифметические операции в уже освоенных диапазонах чисел) реализовано для усиления тренированных способностей. Библиотека ошибок с типичными шаблонами ошибок позволяет предлагать целевые игры для исправления конкретных ошибок.

Инструменты

Базовая диагностика специфических нарушений развития у детей младшего школьного возраста (BUEGA)

BUEGA (Esser et al. , 2008) служил для оценки вербального и невербального интеллекта, а также навыков чтения, письма и арифметики.Эффективность чтения оценивается по скорости чтения и точности чтения. Качество письма оценивается по правильному написанию слов / графем. Подшкала «Арифметические способности» оценивает выполнение четырех основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и деление), когда ребенок решает серию математических задач со словами. Коэффициенты внутренней согласованности, определенные для каждого школьного класса, достаточно высоки (от α = 0,81 до α = 0,95).

HAWIK-IV (Детский тест на интеллект Гамбурга-Векслера)

Два подтеста (сходство, блочный дизайн) HAWIK-IV (тест интеллекта Гамбурга-Векслера для детей; Петерманн и Петерманн, 2007), немецкой версии WISC-IV (Шкала интеллекта Векслера для детей; Векслер, 2003) были используется для измерения вербального и невербального интеллекта.Оба субтеста показывают хорошие психометрические характеристики для детей в возрасте от 7 до 11 лет с надежностью r = 0,84–0,88 для блочного дизайна и r = 0,85–0,89 для сходства (коэффициенты разделения на половину, скорректированные Спирмена-Брауна).

Heidelberger Rechentest 1–4 (HRT)

Арифметические действия оценивались на основе двух подшкал «сложение» и «вычитание» HRT (Haffner et al., 2005). HRT разработан как тест скорости и специально предназначен для беглости вычислений.Детям предлагается список из 40 задач на сложение / вычитание с целью решить как можно больше задач за 2 минуты. В качестве показателя надежности была рассчитана надежность повторного тестирования за двухнедельный период с высокими коэффициентами сложения ( r _tt = 0,82) и вычитания ( r _tt = 0,86).

Арифметический тест производительности

Тест производительности арифметики (Kucian et al., 2011) служил в качестве теста мощности, проверяющего производительность арифметики в диапазоне чисел до 100.Детям предлагается 20 заданий на сложение / вычитание без ограничения по времени. В качестве теста на мощность этот тест по арифметике нацелен на вычисление степени мастерства детей в сложении и вычитании в условиях нулевого давления времени.

Тест числовой линии

В качестве меры пространственного представления чисел дети указали расположение 20 словесно и визуально представленных чисел на числовой строке от 0 до 100. Пункты теста числовой прямой были равномерно распределены по диапазону чисел от 0 до 100 как два. были отобраны номера каждого подростка.Была рассчитана процентная абсолютная ошибка оценки (PAE) для целевого числа и указанного местоположения (оценочного числа) на числовой прямой (PAE = | оценочное число — целевое число | / шкала оценок, см. Siegler and Booth, 2004). Кроме того, чтобы оценить линейность пространственного представления, мы рассчитали коэффициент корреляции линейного соответствия ( R ² лин) для каждого ребенка.

Компьютер-тест

Компьютерный математический тест (Käser et al., 2013) проводилась оценка арифметических характеристик и пространственного представления чисел. Этот тест на скорость включает в себя подтесты на сложение / вычитание с диапазоном чисел от 0 до 1000. Детей просят решить задачи на сложение / вычитание возрастающей сложности в течение 10 минут. Максимальное количество заданий — 76 для каждого подтеста.

Подтест для пространственного представления чисел состоит из теста числовой прямой с диапазоном чисел от 0 до 10. Число отображается на экране устно и визуально, и детей просят указать положение в числовой строке щелчком мыши.Всего в субтест 10 пунктов. Мы вычислили процентную абсолютную ошибку оценки (PAE), а также R ² lin шаблона оценки индивидуальных числовых линий (NLE).

Мы использовали три разных теста (HRT, арифметический тест и компьютерный математический тест), исследуя производительность в задачах сложения и вычитания. Эти инструменты были реализованы, поскольку они ориентированы на конкретные аспекты (например, беглость вычислений, степень мастерства) арифметики в различных диапазонах чисел.Кроме того, они используются для сравнения результатов с результатами предыдущих исследований, изучающих эффективность компьютерных тренингов по представлению и вычислению пространственных чисел (Kucian et al., 2011; Käser et al., 2013). Для обеспечения высокой сопоставимости с предыдущими результатами Käser et al. (2013) применительно к обработке пространственных чисел была реализована задача двух числовых линий с разными диапазонами чисел (0–10, 0–100).

Анкета обратной связи

В конце исследования дети и их родители заполнили анкету для оценки обучения.Анкета включает 4 пункта, касающихся самооценки удовольствия от обучения, улучшения самооценки арифметических навыков и изменений в отношении уверенности в себе. Например, детям было предложено сказать: «Мне понравилось обучение», и они ответили по 4-балльной шкале Лайкерта в диапазоне от «не согласен» до «полностью согласен» (0–3). Коэффициенты внутренней согласованности, определенные для детей, которые тренировались с Calcularis, являются удовлетворительными (α = 0,83). Кроме того, дети оценивали уровень сложности обучения по 5-балльной шкале Лайкерта в диапазоне от «слишком просто» до «слишком сложно».Кроме того, родителей попросили оценить, насколько их ребенку понравилось обучение («Моему ребенку понравилось обучение»).

Дизайн исследования и выборка

Дизайн исследования включал три группы (группа Calcularis, группа ожидания, группа обучения орфографии). Детей случайным образом распределили в одну из трех групп. Группа Calcularis завершила 6-8-недельное обучение, в то время как ожидающая группа начала тренировку с 6-недельного периода отдыха. Группа обучения орфографии служила второй контрольной группой, проходившей обучение орфографии на компьютере (Dybuster; Kast et al., 2007) с той же продолжительностью и частотой тренировок, что и у Calcularis. Dybuster — это компьютерная программа обучения, предназначенная для улучшения навыков правописания. Оценочные исследования программы показали, что дети с дислексией, а также обычно успешные дети улучшают свои навыки правописания (Kast et al., 2007, 2011).

Дети тренировались по программе 5 раз в неделю с ежедневными 20-минутными тренировками в их собственной домашней среде. Первоначальная диагностика ( t ₁ ) включала оценку арифметических действий (BUEGA, HRT, арифметический тест, компьютерный тест), а также интеллекта (HAWIK-IV, BUEGA), чтения и орфографии (BUEGA) и пространственного представление чисел (числовой тест, компьютерный тест).Все показатели арифметической производительности и пространственного представления чисел, за исключением BUEGA и HAWIK-IV, были повторно оценены во второй точке измерения ( t ₂ ).

Детей набирали с помощью листовок, разосланных в начальные школы и психотерапевтические амбулатории. Все дети ходили в обычные начальные школы. Критерии включения включали как минимум средние значения IQ (минимум: 16-й процентиль, T-балл ≥ 40) (BUEGA, HAWIK-IV) и возраст 7; от 0 до 10; 11 лет.

В исследование были включены сто пятьдесят пять немецкоязычных детей. Детей случайным образом распределили по группам (группа Calcularis: n = 54, группа ожидания: n = 50, группа обучения правописанию: n = 51). В анализ данных были включены только дети, прошедшие как минимум 24 сеанса Calcularis / Dybuster в течение максимум 10-недельного периода обучения. Из-за этих критериев включения, а также других причин, таких как болезнь во время тренировки или тестовой сессии, были исключены 11 детей из группы Calcularis, 1 ребенок из группы ожидания и 5 детей из группы обучения правописанию.

Статистический анализ

Групповые различия были проанализированы с помощью дисперсионного анализа (ANOVA) и критериев хи-квадрат. Была проведена серия анализов общей линейной модели (GLM) с повторными измерениями для оценки тренировочных эффектов с точкой оценки ( t ₁ — t ₂ ) в качестве внутрисубъектного фактора и группы (Calcularis / ожидание / орфографии) как межпредметный фактор. Сообщается об основных эффектах группы или времени (в целом).Взаимодействие группа × время было основным интересным эффектом. В случае значительного общего взаимодействия группа × время (сравнение всех трех групп) были рассчитаны дополнительные GLM для определения эффектов взаимодействия пар групп (Calcularis против ожидания / Calcularis против обучения правописанию). Величина эффекта выражается как частные коэффициенты η ² . Коэн (1988) постулировал, что значения η ² от 0,06 до 0,13 являются средними эффектами, а значения η ² больше 0.14 — большие эффекты.

Результаты

Окончательная выборка исследования состояла из 138 детей в возрасте от 7; от 0 до 10; 11 лет. Средний возраст составил 8,46 ( SD, = 0,79) года. Большинство детей посещали второй ( n = 69, 50%) и третий ( n = 53, 38,4%) классы. Четвероклассников было 13 (9,4%) и только трое пятиклассников (2,2%). В исследуемой популяции было больше девочек ( n = 95), чем мальчиков ( n = 43). Дети тренировались по программе в течение средней продолжительности обучения 6 человек.95 ( SD, = 1,23, min = 4,71, max = 9,86) недель и завершено в среднем 29,57 ( SD, = 1,75, min = 25, max = 35) тренировок. Статистический анализ не выявил существенных различий между тремя группами по полу, возрасту, арифметическим / числовым показателям или контрольным переменным (интеллект, письмо, чтение) в начальной диагностической процедуре ( t ₁ ) (см. Таблицу 1). Анализ среднего интеллекта и арифметических показателей продемонстрировал высокую дисперсию в пределах выборки (средний T-показатель IQ: 50.13, SD = 5,38, мин = 41,33, макс = 73,42; математический средний T-балл: 41,90, SD = 10,22, минимум = 21,67, максимум = 71,00).

Таблица 1. Демографические и когнитивные (контрольные) характеристики [Средние, ( SD )] группы Calcularis (CAL), группы ожидания (WG) и группы обучения правописанию (ST) до вмешательства .

Используя наивысший уровень образования любого из родителей в качестве индекса социально-экономического статуса (SES), результаты показали, что 44% закончили университет ( n = 55), 21% имели право учиться в университете ( n = 26) 32% ( n = 39) получили Mittlere Reife [квалификация, полученная после 10 лет средней школы] и 3% ( n = 4) закончили Hauptschule [неполное среднее образование].Данные об уровне образования родителей отсутствовали у 14 детей. Не было значительных различий в уровне образования родителей между тремя группами с использованием критерия хи-квадрат [χ (6) 2 = 8,57, p = 0,200].

Таблица 2 суммирует средние значения и стандартные отклонения математических показателей эффективности до ( t ₁ ) и после периода обучения или ожидания ( t ₂ ) для трех групп.

HRT

GLM с повторными измерениями для задачи добавления HRT продемонстрировал значительный главный эффект времени [ F ​​ _{(1, 135)} = 29.34, p <0,001, p = 0,028], но нет основного эффекта группы [ F ​​ _{(2, 135)} = 0,062, p = 0,940]. Взаимодействие группа × время также не было значимым [ F ​​ _{(2, 135)} = 1,92, p = 0,150].

Для вычитания ЗГТ результаты продемонстрировали значительный главный эффект времени [ F ​​ _{(1, 135)} = 27,01, p <0,001, η ² = 167], но никакого основного эффекта группы [ F _{(2, 135)} = 0.11, p = 0,895]. Взаимодействие группа × время достигло значимых значений [ F ​​ _{(2, 135)} = 7,94, p = 0,001, η ² = 0,110], что указывает на то, что прогресс в обучении различается между группами во времени. Дальнейший анализ показал, что дети из группы Calcularis показали более высокий рост успеваемости, чем дети из ожидающей группы [ F ​​ _{(1, 90)} = 11,07, p = 0,001, η ² = 0,110] и группа обучения правописанию с умеренной величиной эффекта [ F ​​ _{(1, 87)} = 13.64, p = 0,001, η ² = 0,136].

Арифметический тест производительности

GLM выявил значительный главный эффект времени [ F ​​ _{(1, 135)} = 6,89, p = 0,01], но не обнаружил главного эффекта группы [ F ​​ _{(2, 135)} = 0,83 , p = 0,438] для сложения. Взаимодействие группа × время также не было значимым [ F ​​ _{(1, 135)} = 1,77, p = 0,173].

Для вычитания результаты продемонстрировали значительный главный эффект времени [ F ​​ _{(1, 135)} = 13.34, p <0,001, η ² = 0,09], но нет основного эффекта группы [ F ​​ _{(2, 135)} = 0,21, p = 0,813]. Было значимое взаимодействие группа × время [ F ​​ _{(2, 135)} = 4,27, p = 0,016, η ² = 0,06]. Последующий анализ показал, что дети из группы Calcularis продемонстрировали значительно большее улучшение успеваемости, чем дети из ожидающей группы [ F ​​ _{(1, 90)} = 8.88, p = 0,001, η ² = 0,09, средний эффект] и группа обучения правописанию [ F ​​ _{(1, 87)} = 4,14, p = 0,045, η ² = 0,045 , малая величина эффекта].

Тест числовой линии

Абсолютная ошибка в процентах (PAE)

Анализ числовой прямой не выявил основных эффектов времени [ F ​​ _{(1, 135)} = 1,40, p = 0,239] и группы [ F ​​ _{(2, 135)} = 0.81, p. = 0,445]. Взаимодействие группа × время было значимым [ F ​​ _{(2, 135)} = 3,99, p = 0,021, η ² = 0,056]. Дети из группы Calcularis показали более высокий прирост по сравнению с детьми из группы орфографии со средней величиной эффекта [ F ​​ _{(1, 87)} = 6,21, p = 0,015, η ² = 0,067]. Взаимодействие между группой × время не было значимым для сравнения между Calcularis и ожидающей группой [ F ​​ _{(1, 90)} = 3.42, p = 0,068].

Линейность

Первоначальный анализ исследовал, лучше ли пространственное представление объяснять линейной или логарифмической функцией. Регрессии оценок детей для каждого из 20 представленных чисел были рассчитаны для каждого ребенка. Был проведен тест t с парной выборкой, сравнивающий среднее абсолютное значение остатков линейного и логарифмического соответствия для каждого ребенка. Результаты показывают, что пространственное представление чисел лучше объясняется линейным, чем логарифмическим соответствием [ t ₍₁₃₇₎ = -16, 97, p <0.001], так как невязки для линейной аппроксимации меньше, чем для логарифмической. Поэтому для GLM мы использовали R ² лин на каждого дочернего элемента. Чтобы получить представление о соответствии каждой группы, средние оценки были рассчитаны отдельно для каждой обучающей группы и нанесены на график как функция от целевого числа (рис. 2).

Рисунок 2. Шаблоны оценки для теста числовой прямой 0–100 для трех групп . Функции регрессии и коэффициенты корреляции для линейной аппроксимации (средние оценки, рассчитанные для каждой группы отдельно) показаны до (левый столбец) и после периода обучения или ожидания (правый столбец).

Анализ индивидуального R ² lin (см. Таблицу 2) показал, что не было основного эффекта времени [ F ​​ _{(1, 135)} = 0,20, p = 0,667] и нет основного эффекта группы [ F ​​ _{(2, 135)} = 0,64, p = 0,531]. Взаимодействие группа × время не было значимым [ F ​​ _{(2, 135)} = 1,12, p = 0,331].

Таблица 2. Влияние обучения (средние значения и стандартные отклонения) группы Calcularis (CAL), группы ожидания (WG) и группы обучения правописанию (ST) на арифметические показатели и пространственное представление чисел .

Компьютер-тест

Сложение и вычитание

Анализ для дополнительной задачи не выявил значимых основных эффектов времени [ F ​​ _{(1, 100)} = 0,82, p = 0,365] или группы [ F ​​ _{(2, 100)} = 1,56 , p = 0,215]. Взаимодействие группа × время также не было значимым [ F ​​ _{(2, 135)} = 2,44, p = 0,093].

Для вычитания нет значимых основных эффектов времени [ F ​​ _{(1, 100)} = 2.34, p = 0,129] или группы [ F ​​ _{(2, 100)} = 0,73, p = 0,486]. Для вычитания наблюдалось значительное взаимодействие группа × время [ F ​​ _{(2, 135)} = 6,82, p = 0,002, η ² = 0,120]. Группа Calcularis показала улучшения в вычитании, тогда как ожидающая группа продемонстрировала снижение производительности в компьютерной задаче вычитания [ F ​​ _{(1, 66)} = 14,01, p <0.001, η ² = 0,175]. Взаимодействие группа х время не было значимым для сравнения между Calcularis и группой обучения правописанию [ F ​​ _{(1, 66)} = 2,46, p = 0,122]. Кроме того, для сравнения между группой обучения правописанию и группой ожидания было значимое взаимодействие «группа х время» [ F ​​ _{(1, 68)} = 4,55, p = 0,037, η ² = 0,06]. Группа обучения правописанию продемонстрировала повышение успеваемости, в то время как дети из группы ожидания показали снижение успеваемости.

Номерная строка

Абсолютная ошибка в процентах (PAE)

Не было значимых основных эффектов времени [ F ​​ _{(1, 87)} = 1,32, p = 0,254] ​​и группы [ F ​​ _{(2, 87)} = 2,44, p = 0,093 ]. Взаимодействие группа × время было значимым [ F ​​ _{(2, 87)} = 7,76, p = 0,001, η ² = 0,151]. Последующий анализ показал, что дети из группы Calcularis продемонстрировали значительно большее улучшение, чем дети из ожидающей группы [ F ​​ _{(1, 59)} = 15.04, p <0,001, η ² = 0,203, большая величина эффекта] и дети группы обучения правописанию [ F ​​ _{(1, 56)} = 6,80, p = 0,012, η ​​ ² = 0,108, умеренная величина эффекта].

Линейность

Размер ² лин определялся на каждого ребенка индивидуально. GLM показал, что не было никакого основного эффекта времени [ F ​​ _{(1, 87)} = 0,03, p = 0,868] и никакого основного эффекта группы [ F ​​ _{(2, 87)} = 1 .48, p. = 0,233]. Взаимодействие группа × время было значимым [ F ​​ _{(2, 87)} = 6,85, p = 0,002, η ² = 0,136]. Последующий анализ показал, что дети из группы Calcularis продемонстрировали значительно более сильное улучшение, чем дети из ожидающей группы [ F ​​ _{(1, 59)} = 10,99, p = 0,002, η ² = 0,157] с большим эффектом. размер и группа обучения правописанию [ F ​​ _{(1, 56)} = 9.39, p = 0,003, η ² = 0,144] с большой величиной эффекта.

Хотя не было значительных различий между группами по возрасту, мы должны учитывать большие различия в возрасте. Поэтому мы повторно проанализировали данные, используя возраст в качестве ковариаты в GLM. Однако результаты показали, что не было никаких существенных изменений в результатах любого взаимодействия группа × время.

Описательный анализ анкеты обратной связи показал, что обучение было хорошо принято ( M = 2.22, SD = 0,91, n = 41): 73,2% детей указали, что им понравилось обучение. Кроме того, 78,5% детей сообщили об улучшении самооценки арифметических навыков ( M, = 2,21, SD, = 0,84), а 57,5% детей указали на более высокую уверенность в себе ( M, = 1,68, SD). = 1,12). 83,3% родителей (20 из 24) сообщили, что их ребенку понравилось обучение. Большинство детей оценили уровень сложности обучения как соответствующий (75.6%), при этом лишь немногие дети считают уровень сложности слишком высоким (7,3%) или слишком низким (17,1%).

Обсуждение

Несколько исследований демонстрируют, что значительная часть детей демонстрирует недостаточные базовые знания математики, что позволяет прогнозировать дальнейшие трудности в обучении математике (Jordan et al., 2003; Aubrey et al., 2006). Исследования развития числового познания и типичных и атипичных траекторий развития все еще находятся в зачаточном состоянии. В данной статье представлены более подробные сведения о подходах к обучению и механизмах действий, направленных на совершенствование навыков обработки чисел и арифметики на раннем этапе освоения математики.Calcularis — это программное обеспечение для адаптивного обучения, разработанное для поддержки детей в процессе обучения математике. Программа основана на прочной теоретической базе численного познания и численного развития (модель тройного кода, Dehaene, 1992; четырехступенчатая модель развития, фон Астер и Шалев, 2007) и недавних нейробиологических открытиях. Целью этого оценочного исследования было выяснить, эффективна ли программа обучения Calcularis для улучшения арифметических навыков и представления пространственных чисел.Наш план исследования дает возможность сравнить производительность обученной группы с нетренированной контрольной группой, а также с группой, прошедшей альтернативное компьютеризированное обучение.

Эффект от программы тренировок Calcularis

Calcularis Group против ожидающей группы

Результаты являются многообещающими и показали значительные улучшения по половине проанализированных мер. Это согласуется с результатами пилотного исследования с меньшей выборкой ( N = 32) швейцарских детей с трудностями в изучении математики (Käser et al., 2013). По сравнению с группой ожидания, группа Calcularis продемонстрировала большие улучшения, особенно в отношении вычитания, с умеренной и большой величиной эффекта по всем параметрам. Этот вывод считается весомым преимуществом обучения, поскольку вычитание считается сильным индикатором развития пространственного представления чисел (Dehaene, 2011). Умственная арифметика, такая как сложение и, в частности, вычитание, облегчается растущей числовой линией в уме. Это облегчает не только мысленные движения вперед и назад, но и эффективное использование стратегий вычитания, таких как «непрямое сложение» (т.е., 42 — 37 можно поменять на 37+? = 42), что требует быстрой оценки, чтобы решить, достаточно ли близки эти два числа друг к другу, чтобы косвенное добавление являлось экономической стратегией (Kaufmann and von Aster, 2012; Linsen et al., 2014).

Результаты не показали влияния на арифметические показатели производительности для сложения. Чтобы объяснить это открытие, необходимо рассмотреть иерархическую структуру Calcularis. Обучение сложению / вычитанию выполняется в возрастающих диапазонах чисел, начиная с диапазона младших чисел 0–10.Следующий более высокий диапазон чисел (0–10, 0–20, 0–100 и т. Д.) Не разблокируется до того, как ребенок продемонстрирует арифметические способности (сложение / вычитание) с определенной вероятностью. Поскольку предварительные предварительные оценки продемонстрировали, что дети лучше справляются с сложением, чем с вычитанием, программа в своем адаптивном дизайне предусмотрела больше тренировок по вычитанию, что привело к большему эффекту вычитания, чем сложения.

Что касается обработки пространственных чисел, были оценены две задачи числовой строки с разными диапазонами чисел (0–10, 0–100), чтобы получить более дифференцирующую информацию об улучшениях пространственного представления чисел, поскольку программа начинает обучение задачам мысленной числовой строки внутри числа. диапазон 0–10, а затем переходит к диапазону чисел 0–100.Группа Calcularis показала более сильные улучшения в PAE и R ² лин, чем группа ожидания в компьютеризированном тесте числовой линии в диапазоне от 0 до 10 с большим размером эффекта. В некомпьютеризированном тесте с числовой линией группа Calcularis продемонстрировала увеличение PAE в диапазоне чисел от 0 до 100, но это увеличение не было значительно выше, чем в группе ожидания. Более того, результаты показывают, что во всех трех группах дети уже демонстрируют довольно хорошее линейное пространственное представление чисел в диапазоне чисел от 0 до 100.Этот результат согласуется с предыдущими исследованиями (например, Siegler and Booth, 2004; Kucian et al., 2011; Link et al., 2014). Однако мы не обнаружили значительного улучшения или взаимодействия группа × время для линейности в диапазоне чисел от 0 до 100. Из-за иерархической структуры программы детям предлагается серия игр, которые тренируют пространственное представление чисел в диапазоне чисел 0–10 и переходят к следующему более высокому диапазону чисел 0–100 только тогда, когда установлена ​​определенная точность.Таким образом, эти результаты могут свидетельствовать о том, что сильные эффекты обучения были получены в отношении диапазона чисел 0–10 в течение довольно короткой продолжительности обучения, составляющей 6–8 недель, в то время как требуется дополнительное обучение, чтобы добиться значительного преимущества для представления пространственных чисел в пределах диапазон более высоких чисел 0–100. Это соответствует мнению Käser et al. (2013), которые продемонстрировали, что продление обучения с 6 недель до 3 месяцев приводит к более сильным эффектам, особенно для задачи числовой линии в диапазоне чисел от 0 до 100.Тем не менее, эти результаты показывают положительное влияние программы на построение и доступ к линии мысленных чисел, приводящее к улучшенному пространственному представлению чисел.

Этот результат особенно важен, поскольку формирование мысленной числовой линии представляет собой жизненно важный шаг в численном развитии (фон Астер и Шалев, 2007), и исследования продемонстрировали важность мысленной числовой линии для пространственного представления чисел и арифметических навыков (Зиглер и Ramani, 2009; Kucian et al., 2011). Однако следует учитывать, что это улучшение в задаче числовой линии может быть связано не только с улучшением этой основной мысленной числовой линии. Результаты недавних исследований (Ashcraft, Moore, 2012; Hurst et al., 2014; Link et al., 2014; Peeters et al., 2016) показывают, что улучшение может отражать все более широкое использование полезных стратегий, таких как использование контрольных точек. на числовой прямой (например, представив середину числовой прямой).

Поскольку исследования, которые оценивают компьютеризированные обучающие программы для улучшения арифметических действий или представления пространственных чисел, сильно различаются в отношении выборок исследования (например,g., учащиеся из группы риска или дети с дискалькулемой) и целевые показатели результатов, для адекватных сравнений доступно лишь очень ограниченное количество исследований. Обучающие исследования, демонстрирующие высокую степень сопоставимости с нашим исследованием, например, Lenhard et al. (2011) сообщили о величине эффекта от умеренного до большого для арифметической производительности для согласованных групп. Исэ и др. (2012) проанализировали исследование Fischer et al. (2008) и сообщили об улучшении арифметических навыков с большим размером эффекта после ежедневных тренировок по субитализации и визуальному счету.По сравнению с этими исследованиями и величиной эффекта, описанной в метаанализах Кулика (1994), Ли и Ма (2010), а также Славина и Лейка (2008), тренировка с Calcularis показала значительную величину эффекта: все величины эффекта (из значимых группа × время взаимодействия) продемонстрировали средние и большие размеры (η ² = 0,06–0,20). Кроме того, наша выборка продемонстрировала высокую вариативность арифметических действий с низким и высоким уровнем успеваемости (минимум: 1-й процентиль, максимум: 98-й процентиль). Поэтому мы ожидали, что эффекты обучения будут меньше, чем размеры эффекта исследований с детьми из группы риска или с детьми с трудностями в обучении.Необходим дальнейший анализ, чтобы выяснить, кто отвечает на тренинг, а кто нет, и какие факторы влияют на наблюдаемые улучшения.

Calcularis Group против группы обучения правописанию

По сравнению с группой обучения правописанию, группа Calcularis продемонстрировала более сильные улучшения в вычитании. В отличие от результатов группы Calcularis по сравнению с группой ожидания, размер эффекта меньше. Что касается представления числовой прямой, дети из группы Calcularis продемонстрировали улучшения в диапазоне чисел от 0 до 10 (PAE, R ² lin) и от 0 до 100 (PAE) со средней величиной эффекта по сравнению с группой, обучающей орфографии.Адекватные сравнения с другими исследованиями невозможны, поскольку в большинстве исследований отсутствует сравнение тренировочных эффектов с контрольной группой, а также с группой детей, получающих альтернативную компьютеризированную программу обучения. Однако можно принять во внимание два многообещающих исследования: Obersteiner et al. (2013), а также Fuchs et al. (2006). Obersteiner et al. (2013) использовали две модифицированные версии программы Number Race (Wilson et al., 2006) и сравнили обучающие группы с контрольной группой, получившей компьютерную программу языковой подготовки.Они сообщили, что обученные группы показали большие улучшения, чем контрольная группа, в отношении арифметических достижений с размером эффекта d = 0,40. Поскольку дизайн не включает нетренированную контрольную группу, дифференцированные сравнения с результатами нашего исследования невозможны. Обе тренировочные программы «Числовая гонка» и «Калькулярис» делают упор на мысленную числовую линию и реализовывают задачи числовой линии, но сопоставимость «Числовой гонки» и «Калькулярис» довольно ограничена. «Числовая гонка» сосредотачивается на числовых сравнениях и тренирует чувство числа у детей детского сада и дошкольного возраста, в то время как «Calcularis» стремится автоматизировать различные представления чисел и их взаимосвязь и практиковать арифметические операции, а также знание арифметических фактов в расширении диапазонов чисел у детей младшего школьного возраста. .

Fuchs et al. (2006) провели тренинг для улучшения знания арифметических фактов и сравнили обучающую группу с группой, прошедшей компьютеризированный тренинг по орфографии. Авторы сообщают, что программа была эффективна в продвижении сложения с большим размером эффекта ( d = -0,82), тогда как не было найдено никаких результатов для задач вычитания или арифметической истории. Также в этом исследовании не использовалась нетренированная контрольная группа. Что касается этих исследований, заявленные величины эффекта настоящего исследования сопоставимы.

Мы ожидали меньших размеров эффекта для сравнения Calcularis с группой обучения орфографии, чем для сравнения Calcularis с группой ожидания. Мы предполагаем, что на различные когнитивные и аффективные факторы можно повлиять, что приведет к улучшению показателей арифметических результатов в обеих группах обучения (Calcularis и обучение правописанию). Однако результаты показали, что дети из группы обучения орфографии не увеличились больше, чем группа ожидания, почти по всем заданиям, за исключением компьютерного теста на вычитание.Тем не менее, мы предполагаем, что на результаты обучения влияют некоторые важные факторы. Во-первых, ежедневные компьютеризированные тренировки могут повлиять на внимание или объем рабочей памяти. Следовательно, программа влияет на вышестоящие когнитивные функции, которые имеют решающее значение для обработки информации (например, обучение, извлечение фактов, решение проблем), что также может отражаться в улучшении арифметической производительности. Во-вторых, ежедневная практика с программой может повлиять на аффективные переменные (например,g., отношение, беспокойство, самооценка), которые также могут способствовать повышению успеваемости детей. Существует обширное исследование, демонстрирующее актуальность отношения к школьным предметам и связанных с ним академических достижений по соответствующим предметам (Ma and Kishor, 1997; Abu-Hilal, 2000). Кроме того, оценочные исследования показали, что компьютеризированные обучающие программы положительно влияют на отношение к школе (Ke, 2008) и приводят к повышению мотивации (Christmann and Badgett, 2003).Тем не менее, необходимы дальнейшие исследования, чтобы выявить, какие аспекты компьютеризированных программ обучения могут влиять на аффективные переменные, особенно на мотивацию, и какую роль эти аффективные изменения играют в отношении целей обучения и результатов обучения.

Таким образом, для получения более полной картины отдельных механизмов действий, лежащих в основе эффективного компьютеризированного обучения, необходимо принимать во внимание специфические и общие аспекты области обработки чисел и арифметики, а также аффективные переменные (Kaufmann and von Астра, 2012).

Кроме того, при интерпретации результатов необходимо учитывать, что могут существовать дополнительные факторы, влияющие на наблюдаемое прогрессирование в трех группах, которые не входили в объем данного исследования. Возможны факторы развития, которые способствуют, например, нелинейному прогрессу развития. Эти изменения в развитии могут быть обнаружены не сразу после тренировки, а позже.

Анкета обратной связи детей и их родителей показала положительные результаты, которые соответствуют опыту и впечатлениям исследовательской группы во время обучающих супервизий.Это особенно важно, поскольку Calcularis — это обучающая система, которая не встроена в сюжетную игру и не имеет реализованной системы вознаграждений. Большинство детей оценили общий уровень сложности обучения как соответствующий. Это служит индикатором качества адаптации к индивидуальному уровню и профилю успеваемости, скорости обучения и сохранения детской зоны ближайшего развития (Выготский, 1978). Кроме того, углубленный анализ пути детей через сеть навыков показал, что дети демонстрируют очень разные профили математических знаний и недостатки, ведущие к очень разным траекториям обучения, которые оптимизируют процесс обучения (Käser et al., 2012, 2013). Эти результаты подчеркивают необходимость адаптации к индивидуальному уровню знаний ребенка, с одной стороны, и доказывают эффективность и адаптируемость модели ученика и алгоритма управления, с другой.

Ограничения и показания к дальнейшим исследованиям

Следует отметить несколько важных ограничений этого исследования. Во-первых, Calcularis сочетает в себе обучение базовым навыкам работы с числами, представлению пространственных чисел и арифметическим операциям. Оценочные данные показали хорошие эффекты вычитания и пространственного представления чисел.Однако базовые навыки работы с цифрами (например, сравнение числа / количества, субитизация) не оценивались. Таким образом, невозможно определить эффекты обучения в отношении базовых числовых навыков. Кроме того, не было оценки успеваемости детей в умножении и делении, которая могла бы служить мерой для переноса обучения. Во-вторых, различимую передачу обучения невозможно было оценить, поскольку мы не оценивали нечисловые меры (например, чтение, правописание) после обучения.В-третьих, полученные результаты реагируют на немедленную эффективность. Таким образом, настоящие результаты не позволяют делать выводы о повышении математической компетентности или переносе на другие арифметические действия в долгосрочной перспективе. В-четвертых, в настоящем исследовании более двух третей исследуемой популяции составляли девочки, но соотношение полов существенно не отличалось по группам. Участников набирали с помощью рекламы, распространяемой среди профессионалов и школ. Таким образом, предложение компьютеризированной программы обучения для улучшения числового познания оказалось особенно привлекательным для девочек.Дальнейшие исследования с более крупными выборками и равным гендерным соотношением необходимы для более дифференцированного анализа возможных эффектов пола. После этого первого этапа оценки Calcularis в настоящее время проводится дополнительное оценочное исследование, которое включает в себя проведение контрольной группы, получающей традиционную интегративную обучающую терапию для детей с дискалькулией развития. Таким образом, мы стремимся понять основные процессы и механизмы действия компьютеризированной программы обучения по сравнению с некомпьютеризированными подходами к обучению.

Заключение

Это исследование демонстрирует, что адаптивную программу обучения Calcularis можно эффективно использовать для поддержки детей в их численном развитии, а также для улучшения вычитания и представления пространственных чисел. В то время как другие компьютеризированные обучающие программы показали хорошие результаты обучения арифметической деятельности (например, Fischer et al., 2008; Lenhard et al., 2011) или пространственному представлению чисел (например, Kucian et al., 2011), Calcularis продемонстрировал даже после довольно большой короткий период обучения (6–8 недель) положительный эффект для обоих.В статье поднимаются вопросы об общем принципе действия компьютеризированных программ. Необходимы дальнейшие исследования, чтобы выявить, на какие когнитивные, аффективные и мотивационные переменные влияют компьютеризированные программы, ведущие к повышению арифметической производительности. Наконец, следует отметить, что Calcularis был разработан для поддержки процессов обучения. Мы полностью согласны с Козмой (2001), который утверждает, что не существует инструмента (компьютерных программ и т. Д.), Который заменил бы хорошее обучение. Учебная программа Calcularis не ставит своей целью заменить традиционные методы обучения, но она может быть ценной возможностью дополнить и поддержать учителей и создать более дифференцированную и инклюзивную среду обучения.

Авторские взносы

GE, KK, MV и JK разработали исследование. GE, KK, MV, JK, UM, VM и TK разработали исследование. JK, LR, VM, KK, TK и UM проводили исследования. JK, LR и MV проанализировали данные. JK и LR написали рукопись.

Финансирование

Работа поддержана исследовательским грантом 01GJ1011 Федерального министерства образования и исследований Германии (BMBF).

Заявление о конфликте интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

Авторы выражают благодарность детям и их родителям за участие. Мы также хотели бы поблагодарить студентов-ассистентов, которые помогли собрать данные исследования.

Список литературы

Абу-Хилал, М. М. (2000). Структурная модель отношения к школьным предметам, академическим устремлениям и достижениям. Educ. Psychol. 20, 75–84. DOI: 10.1080 / 014434100110399

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Арсалиду, М., и Тейлор, М. Дж. (2011). 2 + 2 = 4? Мета-анализ областей мозга, необходимых для чисел и вычислений. Нейроизображение 54, 2382–2393. DOI: 10.1016 / j.neuroimage.2010.10.009

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Обри К., Даль С. и Годфри Р. (2006). Раннее развитие математики и более поздние достижения: дополнительные доказательства. Math. Educ. Res. J. 18, 27–46. DOI: 10.1007 / BF03217428

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Аунола, К., Лескинен, Э., Леркканен, М.-К., Нурми, Ж.-Э. (2004). Динамика развития математической успеваемости от дошкольного до 2 класса. J. Educ. Psychol. 96, 699–713. DOI: 10.1037 / 0022-0663.96.4.699

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Браун, М., Аскью, М., Ходген, Дж., Родс, В., и Уильям, Д. (2003). «Индивидуальный и когортный прогресс в обучении математике в возрасте от 5 до 11 лет: результаты 5-летнего лонгитюдного исследования Леверхалма», в материалах Proceedings of the International Conference on Science and Mathematics Learning , eds F.Л. Линь и Дж. Го (Тайбэй: Национальный Тайваньский педагогический университет), 81–109.

Баттерворт, Б., и Лорилард, Д. (2010). Низкая способность считать и дискалькулия: выявление и вмешательство. ZDM Math. Educ. 42, 527–539. DOI: 10.1007 / s11858-010-0267-4

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Чодура, С., Кун, Дж. Т., и Холлинг, Х. (2015). Вмешательства для детей с математическими трудностями: метаанализ. Zeitschrift für Psychologie 223, 129.DOI: 10.1027 / 2151-2604 / a000211

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кристманн Э. и Баджетт Дж. (2003). Мета-анализ влияния компьютерных инструкций на успеваемость учащихся начальной школы. Информ. Technol. Детство просвещ. 1, 91–104.

Google Scholar

Cipolotti, L., and Butterworth, B. (1995). К модели обработки чисел с несколькими маршрутами: нарушение перекодировки номеров с сохраненными навыками вычисления. J. Exp. Psychol. Gen. 4, 375–390. DOI: 10.1037 / 0096-3445.124.4.375

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Коэн, Дж. (1988). Статистический анализ мощности для поведенческих наук . Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Dehaene, S. (2011). Чувство числа: как разум создает математику . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.

Google Scholar

Dehaene, S., Spelke, E., Pinel, P., Stanescu, R., and Tsivkin, S.(1999). Источники математического мышления: данные о поведении и изображениях мозга. Наука 284, 970–974. DOI: 10.1126 / science.284.5416.970

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Даукер, А. (2005). Индивидуальные различия в арифметике: значение для психологии, нейробиологии и образования . Хоув: Psychology Press. DOI: 10.4324 / 9780203324899

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Дункан, Дж. Дж., Доусетт, К. Дж., Классенс, А., Магнусон, К., Хьюстон, А.С., Клебанов, П. и др. (2007). Готовность к школе и последующие достижения. Dev. Psychol. 43, 1428–1446. DOI: 10.1037 / 0012-1649.43.6.1428

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Esser, G., Wyschkon, A., and Ballaschk, K. (2008). Basisdiagnostik Umschriebener Entwicklungsstörungen im Grundschulalter (BUEGA) . Геттинген: Hogrefe.

Фишер Б., Конгетер А. и Хартнегг К. (2008). Влияние ежедневной практики на субитизацию, визуальный счет и базовые арифметические навыки. Optom. Vis. Dev. 39, 34.

Google Scholar

Флетчер-Флинн, К. М. и Граватт, Б. (1995). Эффективность обучения с помощью компьютера (CAI): метаанализ. J. Educ. Comput. Res. 12, 219–241. DOI: 10.2190 / 51D4-F6L3-JQHU-9M31

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Фукс, Л. С., Фукс, Д., Гамлет, К. Л., Пауэлл, С. Р., Капицци, А. М., и Зиталер, П. М. (2006). Влияние компьютерных инструкций на умение комбинировать числа у первоклассников из группы риска. J. ЖЖ. Disabil. 39, 467–475. DOI: 10.1177 / 002221940603

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Гири, Д. К. (2006). «Развитие математического понимания» в Справочнике по детской психологии : Том 2. Познание, восприятие и язык, 6-е изд. . Редакторы серии У. Дэймон и Р. М. Лернер и редакторы тома Д. Кун и Р. С. Сиглер (Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Wiley), 777–810.

Хаффнер, Дж., Баро, К., Парзер, П., и Реш, Ф.(2005). Heidelberger Rechentest (HRT): Erfassung Mathematischer Basiskompetenzen im Grundschulalter . Геттинген: Hogrefe.

Волос, Э., Галле, Т., Терри-Хьюмен, Э., Лавель, Б., и Калкинс, Дж. (2006). Готовность детей к школе в ECLS-K: прогнозы академических, медицинских и социальных результатов в первом классе. Ранний ребенок. Res. Q. 21, 431–454. DOI: 10.1016 / j.ecresq.2006.09.005

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Херст, М., Монахан, К.Л., Хеллер Э. и Кордес С. (2014). 123s и ABC: сдвиги в развитии логарифмической реакции на линейную отражают беглость со значениями последовательности. Dev. Sci. 6, 892–904. DOI: 10.1111 / desc.12165

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Исэ, Э., Долле, К., Пикснер, С., и Шульте-Кёрне, Г. (2012). Effektive Förderung rechenschwacher Kinder: eine metaanalyse. Kindheit Entwicklung 21, 181–192. DOI: 10.1026 / 0942-5403 / a000083

CrossRef Полный текст

Джейкобс, К., и Петерманн, Ф. (2003). Dyskalkulie- Forschungsstand und Perspektiven. Kindheit Entwicklung 12, 197–211. DOI: 10.1026 // 0942-5403.12.4.197

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Джордан, Н. К., Ханич, Л. Б., и Каплан, Д. (2003). Усвоение арифметических фактов у детей раннего возраста: продольное исследование. J. Exp. Детская психол. 85, 103–119. DOI: 10.1016 / S0022-0965 (03) 00032-8

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Джордан, Н.К., Каплан Д., Локуняк М. Н. и Раминени К. (2007). Прогнозирование успеваемости по математике в первом классе на основе траекторий развития. Узнай. Disabil. Res. Практик. 22, 36–46. DOI: 10.1111 / j.1540-5826.2007.00229.x

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Käser, T., Baschera, G.-M., Kohn, J., Kucian, K., Richtmann, V., Grond, U., et al. (2013). Разработка и оценка компьютерной обучающей программы Calcularis для улучшения числового познания. Фронт.Psychol. 4: 489. DOI: 10.3389 / fpsyg.2013.00489

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст

Käser, T., Busetto, A. G., Baschera, G.-M., Kohn, J., Kucian, K., von Aster, M., et al. (2012). «Моделирование и оптимизация процесса обучения математике», Труды 11-й Международной конференции по интеллектуальным системам обучения , ред. С.А. Черри, В.Дж. Кланси, Г. Пападуракис и К. Панургиа (Берлин; Гейдельберг: Springer), 389– 398. DOI: 10.1007 / 978-3-642-30950-2_50

CrossRef Полный текст

Кезер, Т., и фон Астер, М. Г. (2013). «Computerbasierte Lernprogramme für Kinder mit Rechenschwäche», в Rechenstörungen bei Kindern: Neurowissenschaft, Psychologie, Pädagogik , ред. М. Г. фон Астер и Й. Х. Лоренц (Göttingen: Vandenhoeck and Ruprecht275). DOI: 10.13109 / 9783666462580.259

CrossRef Полный текст

Каст, М., Башера, Г.-М., Гросс, М., и Мейер, М. Дженке, Л. (2011). Компьютерное обучение орфографическим навыкам у детей с дислексией и без нее. Ann. Дислексия 61, 177–200. DOI: 10.1007 / s11881-011-0052-2

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Каст, М., Мейер, М., Фогели, К., Гросс, М., и Дженке, Л. (2007). Компьютерное мультисенсорное обучение у детей с дислексией развития. Рестор. Neurol. Neurosci. 25, 355–369.

PubMed Аннотация | Google Scholar

Kaufmann, L., Delazer, M., Pohl, R., Semenza, C., and Dowker, A. (2005). Эффекты специальной образовательной программы по математике у детей дошкольного возраста: экспериментальное исследование. Educ. Res. Eval. 11, 405–431. DOI: 10.1080 / 13803610500110497

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кауфманн, Л., Вуд, Г., Рубинштейн, О., и Хеник, А. (2011). Мета-анализ разработки, обработка и расчет. Dev. Neuropsychol. 36, 763–787. DOI: 10.1080 / 87565641.2010.549884

CrossRef Полный текст

Ке, Ф. (2008). Пример компьютерных игр для математики: увлеченное обучение на основе игрового процесса? Comput. Educ. 51, 1609–1620. DOI: 10.1016 / j.compedu.2008.03.003

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Халили А. и Шашаани Л. (1994). Эффективность компьютерных приложений: метаанализ. J. Res. Comput. Educ. 27, 48–61. DOI: 10.1080 / 08886504.1994.10782115

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Козьма Р. (2001). «Learning with media», в Classic Writings on Instructional Technology , ред. Д. П. Эли и Т. Пломп (Колорадо: Libraries Unlimited, Inc.), 155–188.

Krajewski, K. (2008). «Prävention der Rechenschwäche», в Handbuch der Pädagogischen Psychologie , ред. W. Schneider и M. Hasselhorn (Göttingen: Hogrefe), 360–370.

Krajewski, K., and Ennemoser, M. (2010). «Die Berücksichtigung beginzter Arbeitsgedächtnisressourcen in Unterricht und Lernförderung», в Brennpunkte der Gedächtnisforschung , ред. Х. П. Тролльдениер, В. Ленхард и П. Маркс (Göttingen: Hogrefe), 337–337.

Краевский, К., и Шнайдер, W. (2009). Раннее развитие количества к связи числа-слова как предвестник достижений математической школы и математических трудностей: результаты четырехлетнего лонгитюдного исследования. Узнай. Инструктировать. 19, 513–526. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2008.10.002

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Крезберген, Э. Х., и ван Луит, Дж. Э. Х. (2003). Математическое вмешательство для детей с особыми образовательными потребностями: метаанализ. Лечебно-специальное образование. 24, 97–114. DOI: 10.1177 / 07419325030240020501

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Kucian, K., Grond, U., Rotzer, S., Henzi, B., Schönmann, C., Plangger, F., et al. (2011). Тренировка умственной числовой линии у детей с дискалькулией развития. Нейроизображение 57, 782–795. DOI: 10.1016 / j.neuroimage.2011.01.070

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Куциан, К., и Кауфманн, Л. (2009). Модель развития числовых представлений. Behav. Brain Sci. 32, 313–373. DOI: 10.1017 / S0140525X099

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Куциан, К., фон Астер, М., Лоеннекер, Т., Дитрих, Т., и Мартин, Э. (2008). Разработка нейронных сетей для точного и приближенного расчета: исследование фМРТ. Dev. Neuropsychol. 33, 447–473. DOI: 10.1080 / 87565640802101474

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кулик, К.-Л. К. и Кулик Дж. А. (1991).Эффективность компьютерного обучения: обновленный анализ. Comput. Человеческое поведение. 7, 75–94. DOI: 10.1016 / 0747-5632 (91) -5

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Кулик, Дж. А. (1994). «Метааналитические исследования результатов компьютерного обучения», в Оценка технологий в образовании и обучении , ред. Э. Л. Бейкер и Х. Ф. О’Нил (Хиллсдейл, Нью-Джерси: LEA Publishers), 9–34.

PubMed Аннотация

Кулик У. (2004).«Computerunterstützte Rechentrainingsprogramme», в Interventionen bei Lernstörungen , ред. W. Lauth, M. Grünke и J. C. Brunstein (Göttingen: Hogrefe), 329–337.

Ленхард А., Ленхард В., Шуг М. и Ковальски А. (2011). Computerbasierte Mathematikförderung mit den «Rechenspielen mit Elfe und Mathis I». Zeitschrift Entwicklungspsychologie Pädagogische Psychologie 43, 79–88. DOI: 10.1026 / 0049-8637 / a000037

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ленхард, В., и Ленхард, А. (2010). Rechenspiele mit Elfe und Mathis I [CD-ROM] . Геттинген: Hogrefe.

Ли, К., и Ма, X. (2010). Метаанализ влияния компьютерных технологий на изучение математики школьниками. Educ. Psychol. Ред. 22, 215–243. DOI: 10.1007 / s10648-010-9125-8

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Link, T., Huber, S., Nuerk, H.-H., and Moeller, K. (2014). Освобождение мысленной числовой линии — новое свидетельство детского пространственного представления чисел. Фронт. Psychol. 4: 1021. DOI: 10.3389 / fpsyg.2013.01021

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Линсен, С., Вершаффель, Л., Рейнвоет, Б., и Де Смедт, Б. (2014). Связь между обработкой числовой величины у детей и умственным вычитанием многозначных чисел. Acta Psychol. 145, 75–83. DOI: 10.1016 / j.actpsy.2013.10.008

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ма, X., и Кишор, Н.(1997). Оценка взаимосвязи между отношением к математике и достижениями в математике: метаанализ. J. Res. Математика. Educ. 28, 26–47. DOI: 10.2307 / 749662

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Макклоски, М., Карамазза, А., и Басили, А. (1985). Когнитивные механизмы в обработке чисел и вычислении: данные о дискалькулии. Brain Cogn. 4, 171–196. DOI: 10.1016 / 0278-2626 (85) -7

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Мерсер, К.Д. и Миллер С. П. (1992). Обучение студентов с проблемами обучения математике усвоению, пониманию и применению основных математических фактов. Remed. Спец. Educ. 13, 19–35. DOI: 10.1177 / 07419325₀₀₃₀₃

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Морган П. Л., Фаркас Г. и Ву К. (2009). Пятилетние траектории роста детей детского сада с трудностями в обучении математике. J. ЖЖ. Disabil. 42, 306–321. DOI: 10.1177 / 0022219408331037

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Оберштайнер, А., Рейсс, К., Уфер, С. (2013). Как обучение точному или приблизительному представлению чисел в уме может улучшить базовые навыки обработки чисел и арифметические навыки первоклассников. Узнай. Инструктировать. 23, 125–135. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2012.08.004

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Петерс, Д., Дегранде, Т., Эберсбах, М., Вершаффель, Л., и Лювель, К. (2016). Использование детьми стратегий оценки числовой прямой. Eur. J. Psychol. Educ. 31, 117–134.DOI: 10.1007 / s10212-015-0251-z

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Петерманн, Ф., и Петерманн, У. (2007). Hamburg-Wechsler-Intelligenztest für Kinder IV (HAWIK-IV) . Берн: Хубер.

Google Scholar

Рясанен, П., Кезер, Т., Уилсон, А., фон Астер, М., Маслов, О., Маслова, У. (2015). «Вспомогательные технологии для поддержки обучения математике», в Вспомогательные технологии для познания: Справочник для клиницистов и разработчиков , ред.О’Нил и А. Гиллеспи (Бембо: «Восход солнца»), 112–127.

Рясанен, П., Саминен, Дж., Уилсон, А. Дж., Аунио, П., и Дехаен, С. (2009). Компьютерное вмешательство для детей с низким уровнем навыков счета. Cogn. Dev. 24, 450–472. DOI: 10.1016 / j.cogdev.2009.09.003

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ривера, С. М., Рейс, А. Л., Эккерт, М. А., и Менон, В. (2005). Изменения в развитии ментальной арифметики: свидетельства повышенной функциональной специализации левой внутренней теменной коры. Cereb. Cortex 15, 1779–1790. DOI: 10.1093 / cercor / bhi055

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

Шоппек, В., Тулис, М. (2010). Повышение эффективности арифметики и навыков решения словесных задач с помощью индивидуальной компьютерной практики. J. Educ. Res. 103, 239–252. DOI: 10.1080 / 00220670

2962

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Зиглер, Р. С., и Рамани, Г. Б. (2009). Игра в настольные игры с линейными числами, но не в круговые, улучшает понимание чисел дошкольниками из малообеспеченных семей. J. Educ. Psychol. 101, 545–560. DOI: 10.1037 / a0014239

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Славин Р., Лейк К. (2008). Эффективные программы по элементарной математике; синтез наилучших доказательств. Rev. Educ. Res. 78, 427–515. DOI: 10.3102 / 0034654308317473

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Ван Луит, Дж. Э. Х. и Наглиери, Дж. А. (1999). Эффективность программы МАСТЕР для обучения специальных детей умножению и делению. J. ЖЖ. Disabil. 32, 98–107. DOI: 10.1177 / 002221949

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

фон Астер, М. Г. (2000). Когнитивная нейропсихология развития обработки и вычисления чисел: разновидности дискалькулии развития. Eur. Ребенок-подростокc. Психиатрия 9, 41–57. DOI: 10.1007 / s007870070008

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

фон Астер, М. Г. (2005). «Wie kommen Zahlen in den Kopf?» Ein Modell der normalen und abweichenden Entwicklung zahlenverarbeitender Hirnfunktionen », в Rechenstörungen bei Kindern.Neurowissenschaft, Psychologie, Pädagogik , ред. М. Г. фон Астер и Й. Х. Лоренц (Геттинген: Ванденхек и Рупрехт), 13–33.

фон Астер, М. Г., Швайтер, М., и Вайнхольд-Зулауф, М. (2007). Rechenstörungen bei Kindern: Vorläufer, Prävalenz und Psychische Symptome. Zeitschrift Entwicklungspsychologie Pädagogische Psychologie 39, 85–96. DOI: 10.1026 / 0049-8637.39.2.85

CrossRef Полный текст | Google Scholar

Выготский, Л. С. (1978). Разум в обществе: развитие высших психологических процессов .Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.

Векслер Д. (2003). Шкала интеллекта Векслера для детей. 4-е изд. Техническое и пояснительное руководство. Сан-Антонио, Техас: Психологическая корпорация.

Уилсон, А. Дж., И Дехейн, С. (2007). «Чувствительность к числам и дискалькулия развития», в «Поведение человека, обучение и развивающийся мозг: типичное развитие», , ред. Д. Кох, Г. Доусон и К. Фишер (Нью-Йорк: Нью-Йорк: Guilford Press), 212– 238.

Author: alexxlab