Теория по алгебре – Теория по алгебре

Вся алгебра: 5-9 кл. [wiki.eduVdom.com]

videouroki:mathematics:вся_алгебра_5-9

У нас присутствуют следующие темы¹⁾:

Алгебра — подготовка к ГИА (5-9 кл.)

1. Дроби

2. Начало алгебры

3. Неравенства (простые)

4. Квадратные уравнения и неравенства

5. Алгебраические выражения

6. Степенные выражения

7. Квадратный корень

8. Системы уравнений

9. Другие уравнения

10. Модуль

11. Прогрессии

12. Теория вероятности

13. Тригонометрия (начало)

14. Графики

15. Задачи

Алгебра 5-6 класс (повторение)

Алгебра 7 класс

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

3. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА

4. МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ

5. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

6. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

7. ФУНКЦИЯ у = х²

8. Задачи

Алгебра 8 класс

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ

2. ФУНКЦИЯ $у = \sqrt{x}$. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ

3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = k/x

4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5. НЕРАВЕНСТВА

6. Графики

7. Задачи

Алгебра 9 класс

1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ

2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИ

4. ПРОГРЕССИИ

5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

6. Задачи

7. Теория вероятности

videouroki/mathematics/вся_алгебра_5-9.txt

· Последние изменения: 2013/04/02 16:51 (внешнее изменение)

www.wiki.eduvdom.com

Основная теория алгебры

Основная теория алгебры

 

 

«Основная теорема алгебры в виде утверждения: алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его степень, высказана Жираром и Декартом, — отмечает в своей книге «В мире уравнений» В.А. Никифоровский. — Ее формулировка, состоящая в том, что алгебраический многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение действительных линейных и квадратичных множителей, принадлежит д’Аламберу и Эйлеру. Эйлер впервые сообщил об этом в письме Николаю 1 Бернулли (1687-1759) от 1 сентября 1742 года. Отсюда следовало, что корни алгебраических уравнений с действительными коэффициентами принадлежат полю комплексных чисел».

Первое доказательство теоремы предпринял в 1746 году д’Аламбер (1717-1783). Доказательство основной теоремы алгебры, выполненное д’Аламбером, было, однако, аналитическим, а не алгебраическим. Французский математик воспользовался не оформившимися еще в то время понятиями анализа, такими, как степенной ряд, бесконечно малая. Неудивительно, что доказательство теоремы страдало погрешностями и позднее подверглось разгромной критике Гаусса, а затем было забыто.

Новый и значительный шаг в доказательстве основной теоремы алгебры сделал Эйлер.

Леонард Эйлер (1707-1783) родился в Базеле. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базельский университет для слушания философии.

Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.

Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его все больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме своего учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли — Николаем и Даниилом — возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Леонарда.

В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук. Они способствовали тому, что и Эйлер переехал в Россию.

Открытия Эйлера, которые благодаря его оживленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук: в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т. е. действительным членом Академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д. Бернулли, возвратившийся в этом году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашел своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «ученейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году — к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году-к «несравненному Леонарду Эйлеру-главе математиков».

В 1736 году появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая. Немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике еще не имелось.

В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году — новая теория музыки.

В конце 1740 года власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что «положение начало представляться довольно неуверенным», приглашение принял.

В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной королевской Академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере остается и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа — вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж, и сложилась новая наука.

Доказательство Эйлера основной теоремы алгебры опубликовано в 1751 году в работе «Исследования о воображаемых корнях уравнений».

Эйлер выполнил наиболее алгебраическое доказательство теоремы. Позднее его основные идеи повторялись и углублялись другими математиками. Так, методы исследования уравнений получили развитие сначала у Лагранжа, а затем вошли составной частью в теорию Галуа.

Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.

Значения чисел, не являющиеся действительными, «Эйлер называл воображаемыми, — пишет Никифоровский, — и указывал, что обычно считают их такими, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа. Следовательно, если воображаемых корней будет 2т, то это даст т действительных квадратичных множителей в представлении многочлена. Эйлер пишет: «Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, еще не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи».

Такой же концепции придерживались Лагранж, Лаплас и некоторые другие последователи Эйлера. Не согласен с ней был Гаусс.

Эйлер сформулировал три теоремы, вытекающие из свойств непрерывных функций.

1. Уравнение нечетной степени имеет, по меньшей мере, один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечетно.
2. Уравнение четной степени либо имеет четное число действительных корней, либо не имеет их совсем.

3. Уравнение четной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет, по меньшей мере, два действительных корня разных знаков.

Вслед за этим Эйлер доказал теоремы о разложимости на линейные и квадратичные действительные множители многочленов с действительными коэффициентами…

При доказательстве основной теоремы Эйлер установил два свойства алгебраических уравнений: 1) рациональная функция корней уравнения, принимающая при всех возможных перестановках корней А различных значений, удовлетворяет уравнению степени А, коэффициенты которого выражаются рационально через коэффициенты данного уравнения; 2) если рациональная функция корней уравнения инвариантна (не меняется) относительно перестановок корней, то она рационально выражается через коэффициенты исходного уравнения».

П.С. Лаплас в лекциях по математике 1795 года, вслед за Эйлером и Лагранжем, допускает разложение многочлена на множители. При этом Лаплас доказывает, что они будут действительными.

Таким образом, и Эйлер, и Лагранж, и Лаплас строили доказательство основной теоремы алгебры на предположении существования поля разложения многочлена на множители.

Особая роль в доказательствах основной теоремы принадлежит «королю математиков» Гауссу.

Карл Фридрих Гаусс родился (1777-1855) в Брауншвейге. Он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. В семь лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную школу. В 1788 году Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не знает, кем он хочет стать — математиком или филологом.

О Гауссе узнают при дворе. В 1791 году его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду — герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 года поступить в Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.

В 1795 году Гаусса охватывает страстный интерес к целым числам. Осенью того же года Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в его руки литературу: работы Эйлера и Лагранжа.

«30 марта 1796 года наступает для него день творческого крещения, — пишет Ф. Клейн, — Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории «первообразных» корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника… Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике».

Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей неевклидовой геометрии Янош Бойяи называл его «самым блестящим открытием нашего времени или даже всех времен». Только трудно было это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину великого норвежского математика Абеля, доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем о трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 году Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс — величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли…» Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой «столько замечательных теорем, что просто не верится». Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.

Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю жизнь.

30 марта 1796 года, в день, когда был построен правильный семнадцатиугольник, начинается дневник Гаусса — летопись его замечательных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы квадратичного закона взаимности, которую он назвал «золотой». Частные случаи этого утверждения доказали Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс нашел полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал о работах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к «золотой теореме» он прошел самостоятельно!

Два великих открытия Гаусс сделал на протяжении всего 10 дней, за месяц до того, как ему исполнилось 19 лет! Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.

В 1801 году вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса. «Арифметические исследования» оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел.

В Брауншвейге Гаусс не имел возможности знакомиться с литературой, необходимой для работы над «Арифметическими исследованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 году Гаусс подготовил диссертацию, посвященную доказательству основной теоремы алгебры.

Гаусс оставил после себя сразу четыре доказательства основной теоремы алгебры. Первому доказательству он посвятил выпущенную в 1799 году докторскую диссертацию под названием «Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одного непременного может быть разложена на действительные множители первой и второй степени».

Гаусс не преминул обратить внимания на пробелы у Эйлера, а главное, подверг критике саму постановку вопроса, когда заранее предполагалось существование корней уравнений.

Первое доказательство Гаусса, как и д’Аламбера, было аналитическим. Во втором доказательстве, выполненном им в 1815 году, знаменитый математик опять вернулся к критике доказательства основной теоремы алгебры при помощи рассуждения, когда заранее предполагается существование корней уравнения.

Гаусс так пояснил во вводном параграфе необходимость нового доказательства: «Хотя доказательство о разложении целой рациональной функции на множители, которое я дал в мемуаре, опубликованном 16 лет тому назад, не оставляет желать лучшего в отношении строгости и простоты, надо надеяться, что математики не будут считать нежелательным, что я вновь возвращаюсь к этому чрезвычайно важному вопросу и предпринимаю построение второго не менее строгого доказательства, исходя из совершенно иных принципов. А именно, это первое доказательство зависело частично от геометрических рассмотрений, тогда как то, которое я здесь начинаю объяснять, покоится на чисто аналитических принципах». Надо заметить, то, что Гаусс называет аналитическим методом, сегодня именуется алгебраическим.

Для доказательства Гаусс использовал построения поля разложения многочлена. Прошло более шестидесяти лет, когда и Л. Кронекер усовершенствовал и развил метод Гаусса для построения поля разложения любого многочлена. Впоследствии Гаусс дал еще два доказательства основной теоремы алгебры. Четвертое и последнее относится к 1848 году.

Главный итог доказательств основной теоремы алгебры Эйлером, Лагранжем и Гауссом, считает И.Г. Башмакова, было то, что «алгебраические доказательства основной теоремы алгебры ценны именно тем, что для их проведения были развиты новые глубокие методы самой алгебры и были испробованы силы уже созданных методов и приемов».

Понравилась статья? Расскажи друзьям!

< Предыдущая		Следующая >

Добавить комментарий

megaznanie.ru

Лекции по алгебре и геометрии — ПриМат

Отображения и алгоритмические структуры

Отображения, алгебраические операции, группы, кольца, поля (простейшие свойства)

Комплексные числа

Построение поля комплексных чисел. Свойства операций. Корни из единицы.

Многочлены над полем

Делимость многочленов. Корни многочленов. Основная теорема алгебры.

Спойлер

• Многочлен от одной буквы над полем.
• Степень многочлена.
• Равенство многочленов.
• Операции над многочленами.
• Теорема об аддитивной группе многочленов.
• Лемма о степени суммы двух многочленов.
• Лемма о степени произведения двух многочленов.
• Кольцо многочленов над полем.
• Обратимые элементы.
• Теорема о делении с остатком для многочленов.
• Делимость многочленов.
• Критерий делимости.
• Свойства делимости.
• НОД двух многочленов.
• Алгоритм Евклида.
• Линейное представление НОД.
• Взаимно простые многочлены.
• Критерий взаимной простоты.
• Свойства взаимно простых многочленов.
• Неприводимость над полем.
• Свойства неприводимых многочленов.
• Основная теорема о неприводимых многочленах.
• Каноническое разложение многочлена над полем.
• Корни многочлена.
• Теорема Безу.
• Алгоритм Горнера.
• Производная многочлена и ее свойства.
• Формула Тейлора.
• Кратные корни многочлена.
• Критерий кратности корня.
• Основная теорема алгебры (б/д).
• Следствия из основной теоремы для многочленов над полем и над полем .

[свернуть]

Матрицы и определители

Действия над матрицами. Свойства определителей и их применения (в частности к системам линейных уравнений). Групповые свойства матриц.

Спойлер

• Системы линейных алгебраических уравнений.
• Частное и общее решение.
• Виды систем. Эквивалентность систем.
• Элементарные преобразования системы.
• Теорема об эквивалентности.
• Метод Гаусса.
• Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Операции над матрицами.
• Теорема об аддитивной группе матриц.
• Лемма об ассоциативности умножения матриц.
• Кольцо квадратных матриц.
• Операция транспонирования матриц и ее свойства.
• Определители n-го порядка.
• Определители малых порядков.
• Свойства определителей.
• Критерий равенства определителя нулю.
• Вычисление определителей приведением к треугольному виду.
• Теорема Лапласа (б/д).
• Теорема о разложении определителя по строке.
• Теорема о «чужих дополнениях».
• Теорема об умножении определителей.
• Определитель Вандермонда.
• Полная линейная группа.
• Обратимость матриц.
• Критерий обратимости.
• Элементарные матрицы.
• Теорема о приведении квадратной матрицы к диагональному виду при помощи элементарных матриц.
• Теорема Крамера.

[свернуть]

Линейные пространства

Конечномерное линейное пространство, его свойства и структура.

Спойлер

• Направленные отрезки.
• Равенство направленных отрезков.
• Операция сложения.
• Аддитивная группа направленных отрезков.
• Величина вектора на оси.
• Лемма о величине суммы векторов.
• Умножение направленного отрезка на вещественное число и его свойства.
• Связь между операциями сложения и умножения векторов.
• Абстрактное линейное пространство. Простейшие следствия из аксиом.
• Подпространство.
• Критерий подпространства.
• Линейная комбинация, линейная оболочка системы векторов.
• Лемма о транзитивности линейных комбинаций.
• Линейная зависимость и независимость системы векторов.
• Критерии ЛЗ и ЛНЗ.
• Свойства ЛЗ и ЛНЗ систем.
• Эквивалентные системы векторов.
• Теорема сравнения.
• База системы векторов, свойства.
• Ранг системы векторов и его свойства.
• Элементарные преобразования системы векторов.
• Конечномерность.
• Базис и размерность линейного пространства, свойства.
• Координаты вектора в заданном базисе.
• Переход к новому базису.
• Суммы и пересечения подпространств.
• Формула Грассмана.
• Прямая сумма подпространств.
• Критерии прямой суммы.
• Изоморфизм линейных пространств, свойства.
• Критерий изоморфности конечномерных пространств.
• Арифметические пространства.
• Понятие о линейном многообразии.
• Простейшие свойства.
• Размерность.
• Факторпространство.
• Гиперплоскость.

[свернуть]

Общая теория систем линейных алгебраических уравнений

Существование и структура решений систем линейных алгебраических уравнений.

Спойлер

• Ранг матрицы.
• Теорема о ранге матрицы.
• Теорема о ранге произведения матриц.
• Умножение на невырожденную матрицу.
• Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли.
• Общий подход к решению СЛАУ.
• Теорема о числе решений СЛАУ над числовым полем.
• Критерий определенности.
• Структура общего решения однородной СЛАУ.
• Фундаментальная система решений.
• Структура общего решения неоднородной СЛАУ.

[свернуть]

Линейные образы на плоскости и в пространстве

Системы координат. Аналитическая геометрия линейных объектов на плоскости и в пространстве. Произведение векторов (скалярное, векторное, смешанное).

Спойлер

• Пространства направленных отрезков.
• Условия линейной зависимости.
• Аффинные и декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.
• Простейшие задачи аналитической геометрии:
  1. координаты вектора;
  2. координаты проекций вектора на оси координат и координатные плоскости;
  3. расстояние между двумя точками;
  4. угол между двумя векторами;
  5. деление отрезка в заданном отношении;
  6. ортогональные проекции вектора на прямую и плоскость.
• Скалярное произведение векторов, свойства, координатное представление.
• Векторное произведение векторов, свойства, координатное представление.
• Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление.
• Общее уравнение прямой на плоскости, частные виды уравнений, производные виды.
• Каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве, производные виды уравнений.
• Общее уравнение плоскости, частные виды уравнений.
• Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
• Взаимное расположение прямой и плоскости.
• Условия параллельности и перпендикулярности.
• Углы между прямыми и плоскостями.
• Уравнение прямой, задаваемой парой пересекающихся плоскостей.
• Расстояние от точки до прямой (плоскости).
• Нормальные уравнения прямой и плоскости.

[свернуть]

Эвклидовы пространства

Линейные пространства со скалярным произведением. Метрики в евклидовом пространстве.

Спойлер

• Скалярное произведение в произвольном вещественном пространстве.
• Следствия из аксиом.
• Евклидово пространство.
• Отношение ортогональности векторов.
• Ортогональные системы векторов.
• Теорема об ортогональной системе.
• Нормированные векторы.
• Ортонормированные системы, ортонормированные базисы.
• Простейшие свойства.
• Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
• Существование ОНБ.
• Ортогональные множества.
• Ортогональные подпространства.
• Критерий ортогональности пространств.
• Ортогональные суммы, лемма о прямоте.
• Ортогональное дополнение, свойства.
• Основная теорема о разложении евклидова пространства.
• Неравенство Коши-Буняковского; случай равенства.
• Измерения в евклидовом пространстве.
• Понятие о метрическом пространстве.
• Задача ортогонального проектирования на подпространство.
• Геометрические и алгебраические свойства функций и .
• Евклидов изоморфизм.
• Критерий евклидовой изоморфности.
• Определитель Грама и его свойства.
• Критерий линейной зависимости.
• Задача о пересечении гиперплоскостей.
• Проекция вектора на гиперплоскость.
• Понятие об унитарном пространстве.

[свернуть]

Линейные операторы в конечномерных пространствах

Свойства линейных отображений. Структура линейных операторов в комплексных пространствах. Жорданова нормальная форма матрицы.

Спойлер

• Понятие линейного оператора.
• Равенство операторов.
• Операции над операторами.
• Теорема об аддитивной группе операторов.
• Линейное пространство линейных операторов.
• Кольцо линейных операторов.
• Операторный многочлен.
• Кольцо операторных многочленов.
• Образ и ядро линейного оператора.
• Ранг и дефект.
• Соотношение между рангом и дефектом.
• Невырожденные операторы.
• Теорема об условиях невырожденности оператора.
• Мультипликативная группа линейных операторов.
• Матрица линейного оператора.
• Простейшие свойства.
• Координатное равенство.
• Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами.
• Теорема об изоморфизме пространств операторов и матриц.
• Изменение матрицы оператора при переходе к другому базису.
• Эквивалентность матриц.
• Критерии эквивалентности.
• Подобие матриц.
• Критерий подобия.
• Собственные векторы.
• Собственные подпространства линейного оператора.
• Теорема о линейной независимости системы собственных векторов.
• Спектр линейного оператора.
• Собственные базисы.
• Диагонализируемые операторы, критерий диагонализируемости.
• Характеристический многочлен линейного оператора.
• Матрица Фробениуса.
• Инвариантные подпространства.
• Индуцированный оператор и его свойства.
• Теорема о характеристическом многочлене индуцированного оператора.
• Леммы об операторном многочлене.
• Треугольная форма матрицы оператора в комплексном пространстве.
• Порог стабилизации ядер степеней оператора.
• Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств.
• Теорема Гамильтона-Кели.
• Построение канонического корневого базиса оператора.
• Циклические подпространства.
• Разложение корневого подпространства в прямую сумму циклических.
• Жорданова клетка.
• Жорданова нормальная форма матрицы оператора.
• Теорема о ЖНФ.
• Критерий подобия.
• Практическое построение ЖНФ.

[свернуть]

Линейные операторы в унитарных пространствах

Сопряженный оператор и его свойства. Нормальные операторы. Специальные матрицы.

Спойлер

• Сопряженный оператор: существование и единственность.
• Свойства сопряженного оператора.
• Сопряженная матрица.
• Лемма о матрице сопряженного оператора в ОНБ.
• Свойства сопряженной матрицы.
• Двойственные базисы.
• Теорема о матрице оператора в двойственном к данному базисе.
• Следствие о собственных значениях сопряженного оператора.
• Нормальные операторы.
• Лемма Шура.
• Лемма о перестановочных сопряженных треугольных матрицах.
• Критерий нормальности.
• Унитарные операторы.
• Критерии унитарности.
• Эрмитовы операторы.
• Критерий эрмитовости.
• Положительные операторы.
• Критерий положительности.
• Матрицы специального вида.

[свернуть]

Линейные, билинейные и квадратичные формы

Линейные формы. Сопряженное пространство. Билинейные формы и их матрицы. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Аффинная классификация квадратичных форм. Положительная определенность.

Спойлер

• Линейные формы.
• Понятие о сопряженном пространстве.
• Теорема об изоморфизме.
• Билинейные формы.
• Пространство билинейных форм.
• Матрица билинейной формы.
• Закон изменения матрицы формы при переходе к новому базису.
• Левое и правое ядро формы.
• Теорема о размерности.
• Квадратичные формы.
• Полярная билинейная форма.
• Матрица квадратичной формы и закон ее преобразования.
• Ранг формы.
• Канонический вид квадратичной формы, нормальный вид (вещественный случай).
• Приведение квадратичной формы к главным осям.
• Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
• Закон инерции вещественных квадратичных форм.
• Индексы инерции.
• Аффинная эквивалентность квадратичных форм.
• Критерий аффинной эквивалентности.
• Положительная определенность квадратичных форм.
• Критерии положительной определенности.

[свернуть]

Кривые и поверхности второго порядка

Классификация кривых и поверхностей второго порядка. Свойства.

Спойлер

• Уравнение гиперповерхности второго порядка.
• Приведение уравнения гиперповерхности к классификационному каноническому виду.
• Эллипс. Каноническое уравнение. Простейшие свойства эллипса.
• Гипербола. Каноническое уравнение. Простейшие свойства гиперболы.
• Парабола. Каноническое уравнение. Простейшие свойства параболы.
• Классификация кривых второго порядка.
• Классификация поверхностей второго порядка.
• Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
• Простейшие свойства поверхностей.
• Метод секущих плоскостей.

[свернуть]

Арифметика кольца целых рациональных чисел

Арифметические функции, конгруэнции, квадратичные остатки, первообразные корни.

Спойлер

• Делимость целых чисел. Свойства делимости.
• Теорема о делении с остатком.
• НОД и НОК двух целых чисел, свойства.
• Простые числа. Решето Эратосфена.
• Теоремы о простых числах
• Основная теорема арифметики.
• Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах.
• Арифметические функции.
• Мультипликативность. Теоремы о мультипликативных функциях.
• Функция Мебиуса.
• Формула обращения Мебиуса.
• Функция делителей.
• Функция Эйлера.
• Соотношение Гаусса.
• Числовые сравнения. Свойства сравнений.
• Полная и приведенная системы вычетов.
• Кольцо классов вычетов по заданному модулю.
• Теоремы Эйлера и Ферма.
• Сравнения с неизвестным.
• Теорема существования решения сравнения первой степени.
• Системы сравнений первой степени.
• Китайская теорема об остатках.
• Сравнения по простому модулю.
• Критерий Вильсона.
• Квадратичные вычеты.
• Символ Лежандра и его свойства.
• Квадратичный закон взаимности.
• Символ Якоби.
• Первообразные корни по заданному модулю.
• Теорема существования первообразного корня по простому модулю , , .
• Построение первообразных корней.
• Дискретный логарифм и его свойства.
• Приложения.

[свернуть]

Группы

Дополнительные начальные сведения о группах. Конечные циклические группы. Классы смежности группы по подгруппе. Факторгруппа.

Спойлер

• Порядок элемента в группе. Свойства порядка элемента.
• Теоремы о конечных циклических группах.
• Циклические подстановки.
• Разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов.
• Вычисление порядка подстановки.
• Изоморфизм групп. Теорема об изоморфизме циклических групп.
• Теорема Кэли.
• Смежные классы группы по подгруппе.
• Индекс подгруппы.
• Теорема Лагранжа.
• Нормальные подгруппы, критерии нормальности.
• Факторгруппа.

[свернуть]

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Шпоры по алгебре (теория) [DOC]

Линейные пространства, элементы теории множеств, матрица, система линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса, векторы, уравнения прямой, уравнения плоскости, канонические поверхности 2-го порядка, числовая последовательность, функции, замечательные пределы, производные функций, производные и дифференциалы выс. порядков, теорема Ролля, криволинейный интеграл.

• 1,77 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 20.10.2016 18:30

37 задач по начертательной геометрии. Задачи, начиная с построения недостающей проекции и заканчивая пересечением поверхностей. Скан (фото) листов тетради с подробными графическими решениями.

• 5,59 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 06.02.2008 18:03

Введение в математический анализ и функциональный анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.Функции многих переменных.

• 40,20 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 27.01.2008 17:07

Числовой ряд, его сходимость. Критерий Коши сходимости ряда. Теорема о сходимости остатка ряда. Следствие о роли конечного числа членов ряда. Необходимые признаки сходимости. Теорема о линейных операциях с рядами. Критерий сходимости положительного ряда. Признаки сходимости положительных рядов. Признак сравнения в форме неравенства. Признак сравнения в предельной форме….

• 190,83 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 09.12.2005 19:17

Тригонометрия (основные тождества, двойной угол, понижение степени, тангенс половинного аргумента, sin, cos, tan суммы(разности), сумма(разность) sin, cos, tan, произведение sin, cos, таблицы значений для sin, cos, tan, ctan, формулы приведения, чётность и нечётность, знаки по четвертям, arcsin, arccos, arctan, arcctan), Преобразования (степень, корень, формулы сокращённого…

• 62,04 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 08.06.2008 18:13

Ответы на экзаменационные вопросы за 1 семестр в УГАТУ. Предмет и задачи химии. Водородная связь. Комплексные соединения. Химическая термодинамика. Энтальпия образования вещества. Свободная энергия Гиббса. Энтропия. Химическая кинетика. Влияние температуры на реакцию. Гомогенный и гетерогенный катализ. Химическое равновесие. Строние атома. Растворы. Способы выражения…

• 152,11 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 17.01.2007 10:47

www.twirpx.com