Тангенс на тригонометрическом круге: Тригонометрический круг. Значения тангенса и котангенса на круге - Управленческое образование

Содержание

Тригонометрический круг. Значения тангенса и котангенса на круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Изучаем картинку:

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Решение:

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Решение:

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Решение:

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Решение:

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Решение:

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройти тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс основное тригонометрическое тождество тригонометрический круг числовая окружность

Содержание

Определение тригонометрических функций произвольного угла

Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале прямоугольной системой координат Oxy.

Рис.1

Положительным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении движения против часовой стрелки (рис.1).

Рис.2

Отрицательным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки (рис. 2).

Если для координат точки M₀, лежащей на окружности радиуса R с центром в начале координат O (рис. 3),

Рис.3

ввести обозначение

M₀ = ( x₀; y₀),

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство:

x₀² + y₀² = R²,

и можно сформулировать следующее общее определение тригонометрических функций произвольного угла.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом произвольного угла α называют числа, определяемые по формулам:

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отметим следующее важное свойство тригонометрических функций синуса и косинуса произвольного угла:

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Определение тригонометрических функций произвольного угла является естественным обобщением определения тригонометрических функций острого угла, данного в разделе справочника «Тригонометрические функции острого угла».

Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если для координат точки M₁ (рис. 4), лежащей на этой окружности,

Рис.4

ввести обозначение

M₁ = ( x₁; y₁) ,

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство

x₁² + y₁² = 1 ,

а синус, косинус, тангенс и котангенс угла α будут вычисляться по формулам

Из этих формул, в частности, вытекает основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1 .

Таким образом, основное тригонометрическое тождество является теоремой Пифагора, сформулированной с помощью тригонометрических функций.

Окружность радиуса 1, изображенную на рисунке 4, называют тригонометрическим кругом или числовой окружностью.

Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг

Интерактивная таблица значений тригонометрических функций

α
sin α =		cos α =
tg α =		ctg α =

Пояснения к интерактивной таблице значений тригонометрических функций

Угол α — это угол между лучом, проведённым из центра единичной окружности с координатами (0;0) через выбранное вами положение указателя компьютерной мыши (эта линия обозначена красными точками), и положительным направлением горизонтальной оси (эта линия обозначена синим цветом).

Значение синуса угла α обозначено красной точкой на красной прямой.Эта горизонтальная прямая совпадает с осью X декартовой системы координат.
Значение косинуса угла α обозначено синей точкой на синей прямой. Эта вертикальная прямая совпадает с осью Y декартовой системы координат.
Значение тангенса угла α обозначено зелёной точкой на зелёной прямой. Эта вертикальная прямая параллельна оси Y и проходит через точку с координатами (1;0).
Значение котангенса угла α обозначено жёлтой точкой на жёлтой прямой. Эта горизонтальная прямая параллельна оси X и проходит через точку с координатами (0;1).
Для углов, кратных π/12 или 15 градусов, приведены точные значения тригонометрических функций в виде дроби с корнями. Для остальных углов — приблизительные, округленные до трех знаков после запятой.

Эта красивая тригонометрическая таблица с тригонометрическим кругом взята с сайта Летопись МИФИ без разрешения владельцев. За что приношу им свои извинения и выражаю искреннюю благодарность :)))

05 марта 2011 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Отсчёт углов на тригонометрическом круге. Положительные и отрицательные углы. Распределение углов по четвертям

В прошлом уроке мы с вами успешно освоили (или повторили — кому как) ключевые понятия всей тригонометрии. Это тригонометрический круг, угол на круге, синус и косинус этого угла, а также освоили знаки тригонометрических функций по четвертям. Освоили подробно. На пальцах, можно сказать.

Но этого пока мало. Для успешного практического применения всех этих простых понятий нам необходим ещё один полезный навык. А именно — правильная работа с углами в тригонометрии. Без этого умения в тригонометрии — никак. Даже в самых примитивных примерах. Почему? Да потому, что угол — ключевая действующая фигура во всей тригонометрии! Нет, не тригонометрические функции, не синус с косинусом, не тангенс с котангенсом а именно

сам угол. Нет угла — нету и тригонометрических функций, да…

Как правильно работать с углами на круге? Для этого нам надо железно усвоить два пункта.

1) Как отсчитываются углы на круге?

2) В чём они считаются (измеряются)?

Ответ на первый вопрос — и есть тема сегодняшнего урока. С первым вопросом мы детально разберёмся прямо здесь и сейчас. Ответ на второй вопрос здесь не дам. Ибо достаточно развёрнутый он. Как и сам второй вопрос очень скользкий, да.) Вдаваться в подробности пока не буду. Это — тема следующего отдельного урока.

Приступим?

Как отсчитываются углы на круге? Положительные и отрицательные углы.

У прочитавших название параграфа, возможно, уже волосы встали дыбом. Как так?! Отрицательные углы? Разве такое вообще возможно?

К отрицательным числам мы с вами уже попривыкли. На числовой оси их изображать умеем: справа от нуля положительные, слева от нуля отрицательные. Да и на градусник за окном поглядываем периодически. Особенно зимой, в мороз.) И денежки на телефоне в «минус» (т.е. долг) иногда уходят. Это всё знакомо.

А что же с углами? Оказывается, отрицательные углы в математике тоже бывают! Всё зависит от того, как отсчитывать этот самый угол… нет, не на числовой прямой, а на числовой окружности! То бишь, на круге. Круг — вот он, аналог числовой прямой в тригонометрии!

Итак, как же отсчитываются углы на круге? Ничего не поделать, придётся нам для начала этот самый круг нарисовать.

Я нарисую вот такую красивую картинку:

Она очень похожа на картинки из прошлого урока. Есть оси, есть окружность, есть угол. Но есть и новая информация.

Во-первых, я добавил номера четвертей (или квадрантов). Напоминаю, что четверти всегда нумеруются против часовой стрелки.

Также я добавил циферки 0°, 90°, 180°, 270° и 360° на осях. Вот это уже поинтереснее.) Что это за циферки? Правильно! Это значения углов, отсчитанные от нашей неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси. Вспоминаем, что неподвижная сторона угла у нас всегда крепко-накрепко привязана к положительной полуоси ОХ. И любой угол в тригонометрии отсчитывается именно от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов надо держать в голове железно. А оси — они же под прямым углом пересекаются, верно? Вот и прибавляем по 90° в каждой четверти.

И ещё добавлена красная стрелочка. С плюсом. Красная — это специально, чтобы в глаза бросалась. И в память хорошенько врезалась. Ибо это надо запомнить надёжно.) Что же означает эта стрелочка?

Так вот оказывается, если наш угол мы будем крутить по стрелочке с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным! В качестве примера на рисунке показан угол +45°. Кстати, обратите внимание, что осевые углы 0°, 90°, 180°, 270° и 360° также отмотаны именно в плюс! По красной стрелочке.

А теперь посмотрим на другую картинку:

Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак «минус».) Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Эта стрелочка — направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она нам показывает, что, если мы будем откладывать наш угол по ходу часовой стрелки, то угол будет считаться отрицательным. Для примера я показал угол -45°.

Кстати, прошу заметить, что нумерация четвертей никогда не меняется! Неважно, в плюс или в минус мы мотаем углы. Всегда строго против часовой стрелки.)

Запоминаем:

1. Начало отсчёта углов — от положительной полуоси ОХ. По часам — «минус», против часов — «плюс».

2. Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.

Кстати говоря, подписывать углы на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, каждый раз рисуя круг — вовсе не обязаловка. Это чисто для понимания сути сделано. Но эти циферки обязательно должны присутствовать в вашей голове при решении любой задачи по тригонометрии. Почему? Да потому, что эти элементарные знания дают ответы на очень многие другие вопросы во всей тригонометрии! Самый главный вопрос — в какую четверть попадает интересующий нас угол? Хотите верьте, хотите нет, но правильный ответ на этот вопрос решает львиную долю всех остальных проблем с тригонометрией. Этим важным занятием (распределением углов по четвертям) мы займёмся в этом же уроке, но чуть позже.

Величины углов, лежащих на осях координат (0°, 90°, 180°, 270° и 360°), надо запомнить! Запомнить накрепко, до автоматизма. Причём как в плюс, так и в минус.

А вот с этого момента начинаются первые сюрпризы. И вместе с ними и каверзные вопросы в мой адрес, да…) А что будет, если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным? Выходит, что одну и ту же точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным???

Совершенно верно! Так и есть.) Например, положительный угол +270° занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол -90°. Или, например, положительный угол +45° на круге займёт то же самое положение, что и отрицательный угол -315°.

Смотрим на очередной рисунок и всё видим:

Точно так же положительный угол +150° попадёт туда же, куда и отрицательный угол -210°, положительный угол +230° — туда же, куда и отрицательный угол -130°. И так далее…

И что теперь делать? Как именно считать углы, если можно и так и сяк? Как правильно?

Ответ: по-всякому правильно! Ни одно из двух направлений отсчёта углов математика не запрещает. А выбор конкретного направления зависит исключительно от задания. Если в задании ничего не сказано прямым текстом про знак угла (типа «определите наибольший отрицательный угол» и т.п.), то работаем с наиболее удобными нам углами.

Конечно, например, в таких крутых темах, как тригонометрические уравнения и неравенства направление исчисления углов может колоссально влиять на ответ. И в соответствующих темах мы эти подводные камни рассмотрим.

Запоминаем:

Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом. Любым! Каким хотим.

А теперь призадумаемся вот над чем. Мы выяснили, что угол 45° в точности совпадает с углом -315°? Как же я узнал про эти самые 315°? Не догадываетесь? Да! Через полный оборот.) В 360°. У нас есть угол 45°. Сколько не хватает до полного оборота? Отнимаем 45° от 360° — вот и получаем 315°. Мотаем в отрицательную сторону — и получаем угол -315°. Всё равно непонятно? Тогда смотрим на картинку выше ещё раз.

И так надо поступать всегда при переводе положительных углов в отрицательные (и наоборот) — рисуем круг, отмечаем примерно заданный угол, считаем, сколько градусов не хватает до полного оборота, и мотаем получившуюся разность в противоположную сторону. И всё.)

Чем ещё интересны углы, занимающие на круге одно и то же положение, как вы думаете? А тем, что у таких углов совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс! Всегда!

Например:

sin45° = sin(-315°)

cos120° = cos(-240°)

tg249° = tg(-111°)

ctg333° = ctg(-27°)

И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли… Кстати, прошу заметить, что углы в этих парочках различны. Зато тригонометрические функции у них — одинаковы! Идея ясна?

А вот это уже крайне важно! Зачем? Да всё за тем же!) Для упрощения выражений. Ибо упрощение выражений — ключевая процедура успешного решения любых заданий по математике. И по тригонометрии в том числе.

Итак, с общим правилом отсчёта углов на круге разобрались. Ну а коли мы тут заикнулись про полные обороты, про четверти, то пора бы уже покрутить и порисовать эти самые углы. Порисуем?)

Начнём пока с положительных углов. Они попроще в рисовании будут.

Рисуем углы в пределах одного оборота (между 0° и 360°).

Нарисуем, например, угол 60°. Тут всё просто, никаких заморочек. Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично: у нас не черчение с вами. Никаких ГОСТов соблюдать не надо, не накажут.)

Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часов. Ведь мы же в плюс откладывать собираемся?) Можно этого и не делать, но в голове держать всяко надо.

И теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла. В какой четверти? В первой, разумеется! Ибо 60 градусов — это строго между 0° и 90°. Вот и рисуем в первой четверти. Под углом примерно 60 градусов к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно 60 градусов без транспортира? Легко! 60° — это две трети от прямого угла! Делим мысленно первую чертвертинку круга на три части, забираем себе две трети. И рисуем… Сколько у нас там по факту получится (если приложить транспортир и померить) — 55 градусов или же 64 — неважно! Важно, что всё равно где-то около 60°.

Получаем картинку:

Вот и всё. И инструментов не понадобилось. Развиваем глазомер! В задачах по геометрии пригодится.) Этот неказистый рисунок бывает незаменим, когда надо нацарапать круг и угол на скорую руку, не особо задумываясь о красоте. Но при этом нацарапать правильно, без ошибок, со всей необходимой информацией. Например, как вспомогательное средство при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Нарисуем теперь угол, например, 265°. Прикидываем, где он может располагаться? Ну, ясное дело, что не в первой четверти и даже не во второй: они на 90 и на 180 градусов оканчиваются. Можно сообразить, что 265° — это 180° плюс ещё 85°. То есть, к отрицательной полуоси ОХ (там, где 180°) надо добавить примерно 85°. Или, что ещё проще, догадаться, что 265° не дотягивает до отрицательной полуоси OY (там, где 270°) каких-то несчастных 5°. Одним словом, в третьей четверти будет этот угол. Очень близко к отрицательной полуоси OY, к 270 градусам, но всё-таки в третьей!

Рисуем:

Повторюсь, абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получился, скажем 263 градуса. Но на самый главный вопрос (какая четверть?) мы ответили безошибочно. Почему этот вопрос самый главный? Да потому, что любая работа с углом в тригонометрии (неважно, будем мы рисовать этот угол или не будем) начинается с ответа именно на этот вопрос! Всегда. Если этот вопрос проигнорировать или пробовать на него ответить мысленно, то ошибки почти неизбежны, да… Оно вам надо?

Запоминаем:

Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает этот угол.

Теперь, я надеюсь, вы уже безошибочно изобразите углы, например, 182°, 88°, 280°. В правильных четвертях. В третьей, первой и четвёртой, если что…)

Четвёртая четверть заканчивается углом 360°. Это один полный оборот. Ясен перец, что этот угол занимает на круге то же самое положение, что и 0° (т.е. начало отсчёта). Но углы на этом не заканчиваются, да…

Что делать с углами, большими 360°?

«А такие разве бывают?» — спросите вы. Бывают, ещё как! Бывает, например, угол 444°. А бывает, скажем, угол 1000°. Всякие углы бывают.) Просто визуально такие экзотические углы воспринимаются чуть сложнее, чем привычные нам углы в пределах одного оборота. Но рисовать и просчитывать такие углы тоже надо уметь, да.

Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое — выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от 0° до 360°! Сама процедура определения четверти усложняется всего одним шагом. Каким, скоро увидите.

Итак, например, нам надо выяснить, в какую четверть попадает угол 444°. Начинаем крутить. Куда? В плюс, разумеется! Угол-то нам дали положительный! +444°. Крутим, крутим… Крутанули на один оборот — дошли до 360°.

Ну и крутим себе дальше!

Сколько там осталось до 444°? Считаем оставшийся хвостик:

444°-360° = 84°.

Итак, 444° — это один полный оборот (360°) плюс ещё 84°. Очевидно, это первая четверть. Итак, угол 444° попадает в первую четверть. Полдела сделано.

Осталось теперь изобразить этот угол. Как? Очень просто! Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё 84°.

Вот так:

Здесь я уж не стал загромождать рисунок — подписывать четверти, рисовать углы на осях. Это всё добро уже давно в голове быть должно.)

Зато я «улиткой» или спиралькой показал, как именно складывается угол 444° из углов 360° и 84°. Пунктирная красная линия — это один полный оборот. К которому дополнительно прикручиваются 84° (сплошная линия). Кстати, обратите внимание, что, если этот самый полный оборот отбросить, то это никак не повлияет на положение нашего угла!

А вот это важно! Положение угла 444° полностью совпадает с положением угла 84°. Никаких чудес нет, так уж получается.)

А можно ли отбросить не один полный оборот, а два или больше?

А почему — нет? Если угол здоровенный, то не просто можно, а даже нужно! Угол-то не изменится! Точнее, сам-то угол по величине, конечно же, изменится. А вот его положение на круге — никак нет!) На то они и полные обороты, что сколько экземпляров ни добавляй, сколько ни убавляй, всё равно будешь в одну и ту же точку попадать. Приятно, правда?

Запоминаем:

Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге НЕ изменится!

Например:

В какую четверть попадает угол 1000°?

Никаких проблем! Считаем, сколько полных оборотов сидит в тысяче градусов. Один оборот — это 360°, ещё один — уже 720°, третий — 1080°… Стоп! Перебор! Значит, в угле 1000° сидит два полных оборота. Выбрасываем их из 1000° и считаем остаток:

1000° — 2·360° = 280°

Значит, положение угла 1000° на круге то же самое, что и у угла 280°. С которым работать уже гораздо приятнее.) И куда же попадает этот угол? В четвёртую четверть он попадает: 270° (отрицательная полуось OY) плюс ещё десяточка.

Рисуем:

Здесь я уже не рисовал пунктирной спиралькой два полных оборота: уж больно длинная она получается. Просто нарисовал оставшийся хвостик от нуля, отбросив все лишние обороты. Как будто бы их и не было вовсе.)

И ещё раз. По-хорошему, углы 444° и 84°, а также 1000° и 280° — разные. Но для синуса, косинуса, тангенса и котангенса эти углы — одинаковые!

Как вы видите, для того чтобы работать с углами, большими 360°, надо определить, сколько полных оборотов сидит в заданном большом угле. Это и есть тот самый дополнительный шаг, который обязательно надо предварительно проделывать при работе с такими углами. Ничего сложного, правда?

Отбрасывание полных оборотов, конечно, занятие приятное.) Но на практике при работе с совсем уж кошмарными углами случаются и затруднения.

Например:

В какую четверть попадает угол 31240° ?

И что же, будем много-много раз прибавлять по 360 градусов? Можно, если не горит особо. Но мы же не только складывать можем.) Ещё и делить умеем!

Вот и поделим наш большущий угол на 360 градусов!

Этим действием мы как раз и узнаем, сколько полных оборотов запрятано в наших 31240 градусах. Можно уголком поделить, можно (шепну на ушко :)) на калькуляторе.)

Получим 31240:360 = 86,777777….

То, что число получилось дробным — не страшно. Нас же только целые обороты интересуют! Стало быть, до конца делить и не надо.)

Итак, в нашем лохматом угле сидит аж 86 полных оборотов. Ужас…

В градусах это будет 86·360° = 30960°

Вот так. Именно столько градусов можно безболезненно выкинуть из заданного угла 31240°. Останется:

31240° — 30960° = 280°

Всё! Положение угла 31240° полностью идентифицировано! Там же, где и 280°. Т.е. четвёртая четверть.) Кажется, мы уже изображали этот угол ранее? Когда угол 1000° рисовали?) Там мы тоже на 280 градусов вышли. Совпадение.)

Итак, мораль сей басни такова:

Если нам задан страшный здоровенный угол, то:

1. Определяем, сколько полных оборотов сидит в этом угле. Для этого делим исходный угол на 360 и отбрасываем дробную часть.

2. Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на 360.

3. Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от 0° до 360°.

Как работать с отрицательными углами?

Не вопрос! Точно так же, как и с положительными, только с одним единственным отличием. Каким? Да! Крутить углы надо в обратную сторону, в минус! По ходу часовой стрелки.)

Нарисуем, например, угол -200°. Сначала всё как обычно для положительных углов — оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим да углы на осях по-другому подпишем. Их, естественно, также придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через 90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Картинка станет вот такой:

При работе с отрицательными углами часто возникает чувство лёгкого недоумения. Как так?! Получается, что одна и та же ось — это одновременно, скажем, и +90° и -270°? Неее, что-то тут нечисто…

Да всё чисто и прозрачно! Мы ведь же уже в курсе, что любую точку на круге можно обозвать как положительным углом, так и отрицательным! Совершенно любую. В том числе и на какой-то из координатных осей. В нашем случае нам нужно отрицательное исчисление углов. Вот и отщёлкиваем в минус все углы.)

Теперь нарисовать правильно угол -200° никакого труда не составляет. Это -180° и минус ещё 20°. Начинаем мотать от нуля в минус: четвёртую четверть пролетаем, третью тоже мимо, доходим до -180°. Куда мотать оставшуюся двадцатку? Да всё туда же! По часам.) Итого угол -200° попадает во вторую четверть.

Теперь вы понимаете, насколько важно железно помнить углы на осях координат?

Углы на осях координат (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) надо помнить именно для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол!

А если угол большой, с несколькими полными оборотами? Ничего страшного! Какая разница, куда эти самые полные обороты крутить — в плюс или в минус? Точка-то на круге не изменит своего положения!

Например:

В какую четверть попадает угол -2000°?

Всё то же самое! Для начала считаем, сколько полных оборотов сидит в этом злом угле. Чтобы не косячить в знаках, оставим минус пока в покое и просто поделим 2000 на 360. Получим 5 с хвостиком. Хвостик нас пока не волнует, его чуть позже сосчитаем, когда рисовать угол будем. Считаем пять полных оборотов в градусах:

5·360° = 1800°

Воот. Именно столько лишних градусов можно смело выкинуть из нашего угла без ущерба для здоровья.

Считаем оставшийся хвостик:

2000° — 1800° = 200°

А вот теперь можно и про минус вспомнить.) Куда будем мотать хвостик 200°? В минус, конечно же! Нам же отрицательный угол задан.)

-2000° = -1800° — 200°

Вот и рисуем угол -200°, только уже без лишних оборотов. Только что его рисовали, но, так уж и быть, накалякаю ещё разок. От руки.

Ясен перец, что и заданный угол -2000°, так же как и -200°, попадает во вторую четверть.

Итак, мотаем себе на кру… пардон… на ус:

Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак «минус» на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов.

Как видите, рисовать отрицательные углы на круге ничуть не сложнее, чем положительные.

Всё то же самое, только в другую сторону! По часам!

А вот теперь — самое интересное! Мы рассмотрели положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие — полный ассортимент. Также мы выяснили, что любую точку на круге можно обозвать положительным и отрицательным углом, отбрасывали полные обороты… Нету никаких мыслей? Должно отложиться…

Да! Какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов! Больших и не очень, положительных и отрицательных — всяких! И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов. Всегда! Так уж тригонометрический круг устроен, да…) Именно поэтому обратная задача — найти угол по известным синусу/косинусу/тангенсу/котангенсу — решается неоднозначно. И куда сложнее. В отличие от прямой задачи — по заданному углу найти весь набор его тригонометрических функций. И в более серьёзных темах тригонометрии (арки, тригонометрические уравнения и неравенства) мы с этой фишкой будем сталкиваться постоянно. Привыкаем.)

Итак, будем считать, что самые-самые азы работы с углами на круге мы с вами освоили. Можно и на вопросы поотвечать. Самостоятельно.)

1. В какую четверть попадает угол -345°?

2. В какую четверть попадает угол 666°?

3. В какую четверть попадает угол 5555°?

4. В какую четверть попадает угол -3700°?

Всё хорошо? Поехали дальше.

5. Какой знак имеет cos999°?

6. Какой знак имеет ctg999°?

И это получилось? Прекрасно! Есть проблемы? Тогда вам сюда.

Ответы:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. «+»

6. «-«

В этот раз ответы выданы по порядку в нарушение традиций. Ибо четвертей всего четыре, а знаков так и вовсе два. Особо не разбежишься…)

В следующем уроке мы с вами поговорим про радианы, про загадочное число «пи», научимся легко и просто переводить радианы в градусы и обратно. И с удивлением обнаружим, что даже этих простых знаний и навыков нам будет уже вполне достаточно для успешного решения многих нетривиальных задачек по тригонометрии!

Тригонометрия за 5 минут! Тригонометрические функции и тригонометрический круг простыми словами | Клуб любителей математики

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций

для первой четверти круга (0° – 90°)

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0				1	cos	1				0	tg	0		1	√3	–	ctg	–	√3	1		0

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.

Например, для угла 90° будет · π = π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Онлайн тренажер

для запоминания значений тригонометрических функций для разных углов

Простые тригонометрические тождества

Используя вышеописанные формулы:

тангенс угла выражается через отношение синуса к косинусу:

Соответственно котангенс выражается аналогично:

Также можно заметить, что произведение тангенса на котангес равно единице:

tg(a) · ctg(a) = · =
sin(a) · cos(a)
cos(a) · sin(a)
= 1

Иными словами, тангенс угла обратно пропорционален котангенсу угла и наоборот:

tg(a) · ctg(a) = 1 ; tg(a) = ; сtg(a) =

Используя теорему Пифагора в треугольнике, что сумма квадратов катетов равно квадрату гипотенузы

r² = s² + c² = (sin(a) · r)² + (cos(a) · r)²;
r² · (sin(a)² + cos(a)²) = r²

Сократим обе части на r², получим:

sin²a + cos²a = 1

Разделив обе части на квадрат синуса или квадрат косинуса, получим еще два основных тригонометрических тождества:

Тригонометрический круг синус и косинус

Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат — одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая — вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы — cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы — sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы — на диване перед телевизором по горизонтали.

В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат — там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

Найти решение:

Синусы и косинусы круг — здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

Угол 120 градусов в радианах — равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

Значения синусов косинусов углов в радианах — на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

Значение косинуса угла в 45 градусов — равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

Тригонометрическая окружность — я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности — вылитая тригонометрия.

Тригонометрический круг рисунок — есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию — почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников «Перед вами всемирно известное полотно «Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках» — картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения …» Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

Круг синусов и косинусов — именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

Угол 9 градусов сколько это в пи — в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

Синус это вверх или в сторону — синус — это вверх, в сторону — это косинус.

Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.

1) почему на тригонометрическом круге синус и косинус расположены внутри единичного круга 2)

1) Рассмотрим синий треугольник внутри тригонометрического круга. Этот круг имеет радиус R=1 !!! То есть гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1. ( Обозначим гипотенузу ОА, R=OA, катет на оси ОХ обозначим ОВ) .
Тогда по определению синуса имеем : sina=sin<AOB=AB/OA=AB/1=AB .
Получили, что катет АВ, противолежащий углу АОВ, равен sina !!!
Аналогично, если находить cos<AOB, то получим cosa=OB/OA=OB/1=OB.
То есть длина катета ОВ, прилежащего к углу АОВ, равна cosa.
И это всё из-за того, что гипотенуза равна ЕДИНИЧНОМУ радиусу.
Длины катетов синего треугольника, который находится внутри единичной окружности, численно равны sina и cosa.
И, естественно, эти катеты расположены внутри окружности.
Теперь про tga и ctga. Эти функции — есть отношение катетов, то есть
tga=AB/OB , ctga= OB/AB .
Как же увидеть отрезок, длина которого равна либо tga либо ctga ?
Учитывая всё сказанное про sina и cosa, надо в знаменателе дробей иметь длину катета, равную 1, тогда получим явно отрезок, равный либо tga, либо ctga. Вспоминаем, что у нашей окружности R=1. Было бы хорошо, чтобы катет был равен R. А в синем треугольнике этого нет.
Как быть? Вспоминаем, что величина тригонометрических функций углов не зависит от размера треугольника, а зависит только от размеров угла. Значит, можно рассматривать треугольник, подобный синему треугольнику, катет которого будет равен R=1. Такой треугольник легко изобразить, начертив одну из сторон параллельно катету AB.
Чертим треугольник, подобный синему, начертив параллельно катету АВ, сторону СД, проходящую через точку С — точку пересечения оси ОХ и R. Причём угол АОВ не измениться, а останется прежним. И его tga будет равен отношению нового катета СД к ОС=R=1 :
tga=CД/OC=CД/R=СД/1=СД ( катет СД=tga — это тот катет, около которого на чертеже написано tga).
Вот поэтому отрезок, длина которого численно равна tga находится вне единичной окружности.
Аналогично, с ctga.

касательных и уклонов

Определение касательной

Синус и косинус — не единственные тригонометрические функции, используемые в тригонометрии. Многие другие использовались на протяжении веков, такие как гавайские травы и спреды. Самый полезный из них — касательная. В терминах диаграммы единичного круга касательная — это длина вертикальной линии ED , касательной к окружности от точки касания E до точки D , где эта касательная линия пересекает луч AD , образующий угол.

Если ваш браузер поддерживает Java, вы можете перетащить точку B вокруг, чтобы увидеть, как изменяются синус, косинус и тангенс при изменении угла.

(Дополнительные сведения об управлении фигурой см. В разделе «Об апплете».)

Касательная через синус и косинус

Поскольку два треугольника ADE и ABC похожи, мы имеем ED / AE = CB / AC.

Но ED = tan A, AE = 1, CB = sin A, и AC = cos AB. Таким образом, мы получили фундаментальное тождество

Касательные и прямоугольные треугольники

Так же, как синус и косинус могут быть найдены как отношения сторон прямоугольных треугольников, так и касательная.

Мы будем использовать три отношения, которые у нас уже есть. Во-первых, tan A = sin A / cos A. Секунда, sin A = a / c. В-третьих, cos A = б / с. Разделив a / c на b / c и исключив появившиеся c , мы приходим к выводу, что tan A = a / b. Это означает, что касательная — это противоположная сторона, разделенная на соседнюю сторону:

Уклоны линий

Одна из причин, по которой касательные так важны, заключается в том, что они дают наклон прямых линий. Рассмотрим прямую линию, проведенную в координатной плоскости x-y .

Точка B — это место, где линия пересекает ось y . Мы можем позволить координатам B быть (0, b ), так что b, , называемое пересечением y , указывает, насколько далеко от оси x лежит B . (Это обозначение противоречит обозначениям сторон треугольника a, b, и c, , поэтому не будем сейчас обозначать стороны.)

Вы можете видеть, что точка 1 справа от начала координат помечена 1, а ее координаты, конечно же, равны (1,0).Пусть C будет точкой, в которой эта вертикальная линия пересекает горизонтальную линию через B. Тогда C имеет координаты (1, b ).

Точка A — это место, где вертикальная линия над единицей пересекает исходную линию. Пусть м обозначает расстояние, на котором A находится выше C. Тогда A имеет координаты (1, b + m ). Это значение м называется уклоном линии.Если вы переместите вправо на одну единицу в любом месте линии, то вы переместитесь на м вверх единиц.

Теперь рассмотрим угол CBA. Назовем его углом наклона . Касательная CA / BC = м /1 = м. Следовательно, наклон — это тангенс угла наклона.

Углы возвышения и понижения

Термин «угол возвышения» относится к углу относительно горизонтали относительно наблюдателя.Если вы находитесь в точках A, и AH. — горизонтальная линия, то угол подъема до точки B над горизонтом равен BAH. Аналогично, «угол падения» до точки C ниже горизонта — это угол CAH.

Касательные часто используются для решения задач, связанных с углами возвышения и депрессии.

Снова общие углы

Мы можем расширить нашу таблицу синусов и косинусов общих углов до касательных.Вам не нужно запоминать всю эту информацию, если вы можете просто запомнить соотношение сторон треугольника 45 ° -45 ° -90 ° и треугольника 30 ° -60 ° -90 °. Отношения — это значения триггерных функций.

Обратите внимание, что тангенс прямого угла отображается как бесконечность. Это потому, что по мере того, как угол увеличивается до 90 °, касательная увеличивается неограниченно. Возможно, лучше будет сказать, что касательная к 90 ° не определена, поскольку, используя определение окружности, луч, выходящий из начала координат под углом 90 °, никогда не пересекает касательную линию.

Градусы	Радианы	косинус	синус	тангенс
90 °	π /2	0
					60 °	π /3	1/2	√3 / 2	√3
45 °	π /4	√2 / 2	√2 / 2	1
30 °	π /6	√3 / 2	1/2	1 / √3
0 °	0	1	0	0

Упражнения

29. В прямоугольном треугольнике a = 30 ярдов и загар A = 2. Найдите b и c.

49. cos t = 2 tan t. Найдите значение sin т.

Примечание. В следующих задачах «расстояние» означает горизонтальное расстояние, если не указано иное; высота объекта означает его высоту над горизонтальной плоскостью через точку наблюдения. Высота глаза наблюдателя не должна приниматься во внимание, если специально не указано иное.В задачах, связанных с тенью объекта, предполагается, что тень падает в горизонтальной плоскости через основание объекта, если не указано иное.

151. Угол подъема дерева на расстоянии 250 футов составляет 16 ° 13 ‘. Найдите высоту.

152. Найдите высоту дальнего шпиля 321 фут, угол подъема 35 ° 16 ‘.

153. С корабля угол подъема вершины маяка на высоте 200 футов над водой составляет 2 ° 20 ‘.Найдите расстояние.

154. С вершины маяка на высоте 165 футов над водой угол падения корабля составляет 3 ° 50 ‘. Найдите расстояние.

159. Найдите высоту башни на расстоянии 186 футов, угол подъема 40 ° 44 ‘.

160. На одной стороне ручья шест высотой 50 футов имеет с противоположной точки угол возвышения 5 ° 33 ‘. Найдите ширину ручья.

164. От одного холма вершина другого на 128 футов выше имеет угол подъема 2 ° 40 ‘. Найдите расстояние.

165. От одного холма до вершины другого расстояние 6290 футов имеет угол возвышения 4 ° 9 ‘. Найдите, насколько высота второго холма превышает высоту первого.

189. Фронтальный конец крыши имеет размеры 40 футов в диаметре у основания и 26 футов от основания до конька. Под каким углом наклоняются стропила?

Подсказки

Общий совет для всех этих упражнений — сначала нарисовать фигуру.

29. Поскольку вы знаете a и tan A, вы можете найти b. Затем вы можете определить c по теореме Пифагора, или используя синусы, или косинусы.

49. Вам понадобится два удостоверения личности. Во-первых, tan t = sin t / cos t. Во-вторых, тождество Пифагора, sin ² t + cos ² t = 1. Затем вам нужно решить квадратное уравнение.

151. Помните, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это противоположная сторона, деленная на соседнюю сторону. Вы знаете прилегающую сторону (расстояние до дерева) и угол (угол возвышения), поэтому вы можете использовать касательные для определения высоты дерева.

152. Вы знаете угол (опять же, угол возвышения) и прилегающую сторону (расстояние до шпиля), поэтому используйте касательные, чтобы найти противоположную сторону.

153. Используя угол и противоположную сторону, используйте касательную, чтобы найти прилегающую сторону.

154. Тот же намек, что и в 153.

159. Тот же намек, что и в 152.

160. Тот же намек, что и в 153.

164. Тот же намек, что и в 153.

165. Тот же намек, что и в 152.

189. Двускатный конец крыши представляет собой равнобедренный треугольник.Если провести перпендикулярную линию с гребня, вы получите два равных прямоугольных треугольника. Вам известны две ножки треугольников, поэтому угол наклона стропил можно определить с помощью арктангенса.

ответы

29. b = a / tan A = 30/2 = 15 ярдов. c = 33,5 ярда.

49. Так как cos t = 2 tan t, , следовательно, cos t = 2 sin t / cos t, so cos ² t = 2 sin t, и, по пифагорейской идее 1 — sin ² t = 2 sin t. Это дает вам квадратное уравнение sin ² t + 2 sin t — 1 = 0. Решение: sin t = –1 ± √2. Из этих двух решений единственно возможным является sin t = √2 — 1.

151. Высота = 250 желто-коричневых 16 ° 13 ‘= 72,7’ = 72’9 дюймов.

152. Высота = 321 загар 35 ° 16 ‘= 227 футов.

153. Расстояние = 200 / tan 2 ° 20 ‘= 4908 футов, почти миля.

154. Расстояние = 165 / тангенс угла 3 ° 50 ‘= 2462 фута, почти полмили.

159. Высота = 186 желто-коричневый 40 ° 44 ‘= 160 футов.

160. Расстояние = 50 / тангаж 5 ° 33 ‘= 515 футов.

164. Расстояние = 128 / tan 2 ° 40 ‘, около 2750 футов, чуть больше полумили.

165. Высота = 6290 желто-коричневый 4 ° 9 ‘= 456,4 фута.

189. tan A = 26/20, поэтому A = 52 °.

Единичный круг

«Единичный круг» — это круг с радиусом 1.

Будучи настолько простым, это отличный способ узнать и поговорить о длине и углах.

Центр помещен на график в месте пересечения осей x и y, поэтому мы получаем здесь аккуратное расположение.

Синус, косинус и тангенс

Поскольку радиус равен 1, мы можем напрямую измерить синус, косинус и тангенс.

Что происходит, когда угол θ равен 0 °?

cos 0 ° = 1, sin 0 ° = 0 и tan 0 ° = 0

Что происходит, когда θ составляет 90 °?

cos 90 ° = 0, sin 90 ° = 1 и tan 90 ° не определено

Попробуйте сами!

Попробуй! Перемещайте мышь, чтобы увидеть, как разные углы (в радианах или градусах) влияют на синус, косинус и тангенс

../algebra/images/circle-triangle.js

«Стороны» могут быть положительными или отрицательными в соответствии с правилами декартовых координат.Это также приводит к изменению синуса, косинуса и тангенса между положительными и отрицательными значениями.

Также попробуйте Interactive Unit Circle.

Пифагор

Теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника квадрат длинной стороны равен сумме квадратов двух других сторон:

x ² + y ² = 1 ²

Но 1 ² равно 1, поэтому:

x ² + y ² = 1
уравнение единичной окружности

Кроме того, поскольку x = cos и y = sin, получаем:

(cos (θ)) ² + (sin (θ)) ² = 1
полезная «идентичность»

Важные углы: 30

° , 45 ° и 60 °

Вы должны попытаться запомнить sin, cos и tan для углов 30 ° , 45 ° и 60 ° .

Да-да, запоминать вещи — это боль, но это облегчит жизнь, если вы их узнаете не только на экзаменах, но и в других случаях, когда вам нужно сделать быстрые оценки и т. Д.

Это значения, которые вам следует запомнить!

Уголок	Грех	Cos	Тан = Sin / Cos
30 °	1 2	√3 2	1 √3 знак равно √3 3
45 °	√2 2	√2 2	1
60 °	√3 2	1 2	√3

Как помнить?

Чтобы помочь вам запомнить, грех идет «1,2,3» :

sin (30 ° ) = √ 1 2 = 1 2 (поскольку √1 = 1)

sin (45 ° ) = √ 2 2

sin (60 ° ) = √ 3 2

А cos идет «3,2,1»

cos (30 ° ) = √ 3 2

cos (45 ° ) = √ 2 2

cos (60 ° ) = √ 1 2 = 1 2

Всего 3 числа

На самом деле достаточно знать 3 числа: 1 2 , √2 2 и √3 2

Потому что они работают как для cos , так и для sin :

А как насчет загара?

Ну, tan = sin / cos , поэтому мы можем рассчитать это так:

tan (30 °) = sin (30 °) cos (30 °) = 1/2 √3 / 2 = 1 √3 = √3 3 *

tan (45 °) = sin (45 °) cos (45 °) = √2 / 2 √2 / 2 = 1

tan (60 °) = sin (60 °) cos (60 °) = √3 / 2 1/2 = √3

* Примечание: запись 1 √3 может стоить вам марок (см. Рациональные знаменатели), поэтому вместо этого используйте √3 3

Быстрый набросок

Еще один способ помочь вам запомнить 30 ° и 60 ° — это сделать быстрый набросок:

Нарисуйте треугольник со сторонами 2

Разрезать пополам.Пифагор говорит, что новая сторона — √3

1 ² + (√3) ² = 2 ²

1 + 3 = 4

Затем используйте sohcahtoa для sin, cos или tan

Пример: sin (30 °)

Синус: soh cahtoa

Синус

напротив делится на гипотенузу

грех (30 °) = напротив гипотенуза знак равно 1 2

Весь круг

Для всего круга нам нужны значения в каждом квадранте с правильным знаком плюс или минус в соответствии с декартовыми координатами:

Обратите внимание, что cos является первым, а sin — вторым, поэтому идет (cos, sin) :

Сохранить как PDF

Пример: Что такое cos (330 °)?

Сделайте такой набросок, и мы увидим, что это «длинное» значение: √3 2

А это тот же единичный круг в радианах .

Пример: Что такое грех (7π / 6)?

Подумайте: «7π / 6 = π + π / 6», затем сделайте набросок.

Тогда мы можем видеть, что это отрицательное значение и является «коротким» значением: −½

7708, 7709, 7710, 7711, 8903, 8904, 8906, 8907, 8905, 8908

Сноска: откуда берутся значения?

Мы можем использовать уравнение x ² + y ² = 1, чтобы найти длины x и y (которые равны cos и sin при радиусе 1 ):

45 градусов

Для 45 градусов x и y равны, поэтому y = x :

x ² + x ² = 1

2x ² = 1

x ² = ½

x = y = √ (½)

60 градусов

Возьмите равносторонний треугольник (все стороны равны, а все углы равны 60 °) и разделите его пополам.

Сторона «x» теперь ½ ,

Сторона «y»:

(½) ² + y ² = 1

¼ + у ² = 1

y ² = 1-¼ = ¾

г = √ (¾)

30 градусов

30 ° — это всего лишь 60 ° с заменой x и y, поэтому x = √ (¾) и y = ½

А:

√1 / 2 = √2 / 4 = √2 √4 = √2 2

Также:

√3 / 4 = √3 √4 = √3 2

И вот результат (такой же, как и раньше):

Уголок	Грех	Cos	Тан = Sin / Cos
30 °	1 2	√3 2	1 √3 знак равно √3 3
45 °	√2 2	√2 2	1
60 °	√3 2	1 2	√3

График касательной от единичной окружности — видео и стенограмма урока

Дополнительная практика — построение касательной функции

В следующих примерах учащиеся будут применять то, что они узнали о построении графика функции касательной с использованием единичной окружности, для построения графика измененной функции касательной.Учащиеся построят график отраженной функции касательной, функции касательной с вертикальным сдвигом и функции касательной с вертикальным растяжением, используя единичную окружность.

Практические задачи

1. Используйте единичную окружность, чтобы построить график y = -tan ( x ).

2. Используйте единичную окружность для построения графика y = tan ( x ) + 1

3. Используйте единичную окружность для построения графика y = 2 * tan ( x )

Решения

Для всех задач мы будем использовать единичную окружность и таблицу значений касательных, которые использовались в уроке.

1. Чтобы получить значения для графика y = -tan ( x ), мы можем использовать диаграмму, созданную с использованием единичной окружности, и умножить результат на — 1. Так, например, для x = 45 градусов у нас будет выход y = -1, а для x = 135 градусов у нас будет выход y = 1. Любые исходные результаты 0 остается 0 при умножении на -1, а любые исходные неопределенные выходные данные остаются неопределенными.Построив эти новые точки и соединив их, следуя асимптотам, мы получим

2. Полученные значения для графика y = tan ( x ) + 1, мы можем использовать диаграмму, созданную с использованием единичный круг и прибавьте 1 к выходу. Так, например, у нас будет x = 45 градусов, выход будет y = 2, а для x = 135 градусов у нас будет выход y = 0. Любые исходные результаты 0 станет 1, и любые исходные неопределенные выходы останутся неопределенными.Построив эти новые точки и соединив их, следуя асимптотам, мы получим

3. Полученные значения для графика y = 2 * tan ( x ), мы можем использовать диаграмму, созданную с использованием единичный круг и умножьте результат на 2. Так, например, у нас будет выход x = 45 градусов, выход y = 2, а для x = 135 градусов у нас будет выход y = -2. Любые исходные выходы 0 останутся 0, а любые исходные неопределенные выходы останутся неопределенными.Построив эти новые точки и связав их, следуя асимптотам, мы получим

тригонометрических функций и единичную окружность

Радианы

Радианы — это еще один способ измерения углов, и величина угла может быть преобразована между градусами и радианами.

Цели обучения

Объясните определение радиан в терминах длины дуги единичного круга и используйте его для преобразования между градусами и радианами.

Основные выводы

Ключевые моменты

Один радиан — это мера центрального угла окружности, при которой длина дуги равна радиусу
окружности.\ circ} {\ pi}} [/ латекс].
Радианная мера угла — это отношение длины дуги к радиусу круга [латекс] \ displaystyle {\ left (\ theta = \ frac {s} {r} \ right)} [/ latex] . Другими словами, если [latex] s [/ latex] — это длина дуги круга, а [latex] r [/ latex] — это радиус круга, то центральный угол, содержащий эту дугу, измеряется в радианах.

Ключевые термины

дуга : Непрерывная часть окружности круга.
окружность : длина линии, ограничивающей круг.
радиан : Стандартная единица измерения углов в математике. Мера центрального угла круга, который пересекает дугу, равную по длине радиусу этого круга.

Введение в радианы

Напомним, что деление круга на 360 частей дает измерение в градусах. Это произвольное измерение, и мы можем выбрать другие способы разделить круг.Чтобы найти другую единицу, представьте себе процесс рисования круга. Представьте, что вы остановились до того, как круг замкнулся. Нарисованная вами часть называется дугой. Дуга может быть частью полного круга, полного круга или более чем полного круга, представленного более чем одним полным оборотом. Длина дуги вокруг всего круга называется окружностью этого круга.

Окружность круга

[латекс] C = 2 \ pi r [/ латекс]

Если мы разделим обе части этого уравнения на [латекс] r [/ латекс], мы получим отношение длины окружности, которое всегда равно [латексу] 2 \ pi [/ латексу] к радиусу, независимо от длины радиус.Таким образом, длина окружности любого круга равна [латексу] 2 \ пи \ приблизительно в 6,28 [/ латексу] раз больше длины радиуса. Это означает, что если мы возьмем струну такой же длины, как радиус, и будем использовать ее для измерения последовательных длин по окружности, то будет место для шести полных струн и чуть больше четверти седьмой, как показано на диаграмме. ниже.

Длина окружности круга по сравнению с радиусом : длина окружности немногим более чем в 6 раз превышает длину радиуса.

Это подводит нас к нашей новой угловой мере. Радиан — это стандартная единица измерения углов в математике. Один радиан — это мера центрального угла круга, который пересекает дугу, равную по длине радиусу этого круга.

Один радиан: Угол [латекс] t [/ латекс] выметает величину в один радиан. Обратите внимание, что длина перехваченной дуги равна длине радиуса круга.

Поскольку общая длина окружности равна [латексу] 2 \ пи [/ латекс], умноженному на радиус, полный круговой поворот равен [латексу] 2 \ пи [/ латекс] радианам. {\ circ}} [/ latex].

Измерение угла в радианах

Длина дуги [латекс] s [/ латекс] — это длина кривой вдоль дуги. Так же, как полная длина окружности всегда имеет постоянное отношение к радиусу, длина дуги, образованная любым заданным углом, также имеет постоянную связь с радиусом, независимо от длины радиуса.

Это отношение, называемое радианной мерой, одинаково независимо от радиуса круга — оно зависит только от угла. Это свойство позволяет нам определять меру любого угла как отношение длины дуги [latex] s [/ latex] к радиусу [latex] r [/ latex].

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s & = r \ theta \\ \ theta & = \ frac {s} {r} \ end {align}} [/ latex]

Измерительные радианы: (a) Под углом 1 радиан; длина дуги равна радиусу [латекс] r [/ латекс]. (b) Угол в 2 радиана имеет длину дуги [латекс] s = 2r [/ латекс]. (c) Полный оборот составляет [латекс] 2 \ pi [/ латекс], или около 6,28 радиана.

Пример

Какова мера данного угла в радианах, если длина его дуги равна [латекс] 4 \ pi [/ latex], а радиус — [латекс] [/ латекс] 12?

Подставьте значения [латекс] s = 4 \ pi [/ latex] и [latex] r = 12 [/ latex] в формулу угла:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ theta & = \ frac {s} {r} \\ & = \ frac {4 \ pi} {12} \\ & = \ frac {\ pi} {3 } \\ & = \ frac {1} {3} \ pi \ end {align}} [/ latex]

Угол имеет размер [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3} \ pi} [/ latex] радиан.

Определение тригонометрических функций на единичной окружности

Определение точек на единичной окружности позволяет применять тригонометрические функции к любому углу.

Цели обучения

Используйте прямоугольные треугольники, нарисованные в единичной окружности, чтобы определить тригонометрические функции для любого угла

Основные выводы

Ключевые моменты

Координаты [latex] x [/ latex] — и [latex] y [/ latex] в точке единичной окружности, заданной углом [latex] t [/ latex], определяются функциями [latex] x = \ cos t [/ latex] и [latex] y = \ sin t [/ latex].{\ circ} [/ латекс].
Единичный круг демонстрирует периодичность тригонометрических функций, показывая, что они приводят к повторяющемуся набору значений через равные промежутки времени.

Ключевые термины

периодичность : качество функции с повторяющимся набором значений через равные промежутки времени.
единичная окружность : окружность с центром в начале координат и радиусом 1.
квадрантов : Четыре четверти координатной плоскости, образованные осями [latex] x [/ latex] — и [latex] y [/ latex].

Тригонометрические функции и единичная окружность

Мы уже определили тригонометрические функции в терминах прямоугольных треугольников. В этом разделе мы переопределим их в терминах единичной окружности. Напомним, что единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом 1. Угол [латекс] t [/ латекс] (в радианах) образует дугу длиной [латекс] s [/ латекс].

Оси x- и y- делят координатную плоскость (и единичную окружность, поскольку она центрирована в начале координат) на четыре четверти, называемых квадрантами.Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление, в котором будет разворачиваться положительный угол. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [latex] t [/ latex] мы можем обозначить пересечение его стороны и единичного круга его координатами, [latex] (x, y) [/ latex]. Координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] будут выходными данными тригонометрических функций [latex] f (t) = \ cos t [/ latex] и [latex] f (t). = \ sin t [/ latex] соответственно. Это означает:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos t \\ y & = \ sin t \ end {align}} [/ latex]

Эти координаты показаны на диаграмме единичного круга.

Единичный круг: Координаты точки на единичной окружности, центральный угол которой составляет [латекс] t [/ латекс] радиан.

Обратите внимание, что значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] задаются длинами двух сторон треугольника, окрашенных в красный цвет. Это прямоугольный треугольник, и вы можете видеть, как длины этих двух сторон (и значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex]) задаются тригонометрическими функциями [latex] t [/латекс].

В качестве примера того, как это применимо, рассмотрим диаграмму, показывающую точку с координатами [latex] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt2} {2}, \ frac {\ sqrt2} {2} \ right)} [/ latex] по единичной окружности.

Точка на единичном круге: точка [латекс] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt2} {2}, \ frac {\ sqrt2} {2} \ right)} [/ latex] на единичном круге .

Мы знаем, что для любой точки единичного круга координата [latex] x [/ latex] равна [latex] \ cos t [/ latex], а координата [latex] y [/ latex] — [latex] ] \ sin t [/ латекс]. Применяя это, мы можем определить, что [latex] \ displaystyle {\ cos t = — \ frac {\ sqrt2} {2}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {\ sin t = — \ frac {\ sqrt2} {2}} [/ латекс] для угла [латекс] t [/ латекс] на схеме.

Напомним, что [латекс] \ displaystyle {\ tan t = \ frac {\ sin t} {\ cos t}} [/ latex]. Применяя эту формулу, мы можем найти тангенс любого угла, обозначенного единичной окружностью. Для угла [латекс] т [/ латекс], указанного на диаграмме единичного круга, показывающего точку [латекс] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt2} {2}, \ frac {\ sqrt2} {2 } \ right)} [/ latex], касательная:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan t & = \ frac {\ sin t} {\ cos t} \\ & = \ frac {- \ frac {\ sqrt2} {2}} {- \ гидроразрыв {\ sqrt2} {2}} \\ & = 1 \ end {align}} [/ latex]

Мы ранее обсуждали тригонометрические функции в применении к прямоугольным треугольникам.{\ circ} [/ латекс].

Дальнейшее рассмотрение единичной окружности

Координаты определенных точек на единичной окружности и мера каждого угла в радианах и градусах показаны на диаграмме координат единичной окружности. Эта диаграмма позволяет наблюдать за каждым из этих углов, используя тригонометрические функции.

Координаты единичной окружности : Единичная окружность, показывающая координаты и угловые размеры определенных точек.

Мы можем найти координаты любой точки единичной окружности.Учитывая любой угол [латекс] t [/ латекс], мы можем найти координату [latex] x [/ latex] или [latex] y [/ latex] в этой точке, используя [latex] x = \ text {cos} t [/ latex] и [latex] y = \ text {sin} t [/ latex].

Единичный круг демонстрирует периодичность тригонометрических функций. Периодичность относится к способу, которым тригонометрические функции приводят к повторяющемуся набору значений через равные промежутки времени. Взгляните на [latex] x [/ latex] -значения координат в единичном круге выше для значений [latex] t [/ latex] от [latex] 0 [/ latex] до [latex] 2 {\ pi} [/ latex]:

[латекс] {1, \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {1} {2}, 0, — \ frac {1} {2}, — \ frac {\ sqrt {2}} {2}, — \ frac {\ sqrt {3}} {2}, -1, — \ frac {\ sqrt {3}} {2}, — \ frac {\ sqrt {2}} {2}, — \ frac {1} {2}, 0, \ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac { \ sqrt {3}} {2}, 1} [/ латекс]

Мы можем определить закономерность в этих числах, которые колеблются между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] 1 [/ латекс].Обратите внимание, что этот шаблон будет повторяться для более высоких значений [latex] t [/ latex]. Напомним, что эти значения [latex] x [/ latex] соответствуют [latex] \ cos t [/ latex]. Это показатель периодичности функции косинуса.

Пример

Решите [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right)}} [/ latex].

Похоже, это будет сложно решить. Однако обратите внимание, что диаграмма единичного круга показывает координаты в [latex] \ displaystyle {t = \ frac {7 \ pi} {6}} [/ latex].Поскольку координата [latex] y [/ latex] соответствует [latex] \ sin t [/ latex], мы можем идентифицировать, что

[латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right)} = — \ frac {1} {2}} [/ latex]

Специальные уголки

Единичная окружность и набор правил могут использоваться для вызова значений тригонометрических функций специальных углов.

Цели обучения

Объясните, как свойства синуса, косинуса и тангенса и их знаки в каждом квадранте дают свои значения для каждого из специальных углов

Основные выводы

Ключевые моменты

Тригонометрические функции для углов в единичной окружности можно запомнить и вызвать с помощью набора правил.
Знак тригонометрической функции зависит от квадранта, в который попадает угол, и мнемоническая фраза «Умный класс триггера» используется для определения того, какие функции в каком квадранте положительны.
Опорные углы в квадранте I используются для определения значения любого угла в квадрантах II, III или IV. Базовый угол образует тот же угол с осью [latex] x [/ latex], что и рассматриваемый угол.
В единичную окружность включаются только функции синуса и косинуса для особых углов.Однако, поскольку тангенс получается из синуса и косинуса, его можно вычислить для любого из специальных углов.

Ключевые термины

специальный угол : угол, кратный 30 или 45 градусам; тригонометрические функции легко записываются под этими углами.

Тригонометрические функции специальных углов

Напомним, что определенные углы и их координаты, которые соответствуют [latex] x = \ cos t [/ latex] и [latex] y = \ sin t [/ latex] для данного угла [latex] t [/ latex], можно определить по единичному кругу.{\ circ} \ right)} & = 1 \\ \ end {align}} [/ latex]

Выражения для косинусных функций этих специальных углов также просты.

Обратите внимание, что, хотя только синус и косинус определяются непосредственно единичной окружностью, касательную можно определить как частное, включающее эти два:

[латекс] \ displaystyle {\ tan t = \ frac {\ sin t} {\ cos t}} [/ латекс]

Функции касания также имеют простые выражения для каждого из специальных углов.

Мы можем наблюдать эту тенденцию на примере.{\ circ} \ right)}} \\ & = \ frac {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {\ sqrt {3 }} {2} \ cdot \ frac {2} {1} \\ & = \ sqrt {3} \ end {align}} [/ latex]

Запоминание тригонометрических функций

Понимание единичной окружности и способность быстро решать тригонометрические функции для определенных углов очень полезно в области математики. Применение правил и ярлыков, связанных с единичным кругом, позволяет быстро решать тригонометрические функции. Ниже приведены некоторые правила, которые помогут вам быстро решить такие проблемы.

Признаки тригонометрических функций

Знак тригонометрической функции зависит от квадранта, в который попадает угол. Чтобы помочь запомнить, какие из тригонометрических функций положительны в каждом квадранте, мы можем использовать мнемоническую фразу «Умный класс триггера». Каждое из четырех слов во фразе соответствует одному из четырех квадрантов, начиная с квадранта I и вращаясь против часовой стрелки. В квадранте I, который является «A», все тригонометрических функций положительны.В квадранте II, «Умный», только синус является положительным. В квадранте III «Триггер» только , касательная положительна. Наконец, в квадранте IV «Класс» только косинус является положительным.

Знаковые правила для тригонометрических функций: Каждая тригонометрическая функция перечислена в тех квадрантах, в которых она положительна.

Определение значений с использованием опорных углов

Внимательно посмотрите на единичный круг и обратите внимание, что [latex] \ sin t [/ latex] и [latex] \ cos t [/ latex] принимают определенные значения, поскольку они колеблются между [latex] -1 [/ latex] и [латекс] 1 [/ латекс]. {\ circ} [/ латекс].

Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с таким же значением синуса. Поскольку значение синуса является координатой [latex] y [/ latex] на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь такое же значение [latex] y [/ latex], но будет иметь противоположное значение [latex] x [/ latex] -значение. Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол.Угол с таким же косинусом будет иметь одно и то же значение [latex] x [/ latex], но будет иметь противоположное значение [latex] y [/ latex]. Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

Как показано на диаграммах ниже, угол [латекс] \ альфа [/ латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения косинуса противоположны. Угол [латекс] \ бета [/ латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения синуса противоположны.

[латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ sin t = \ sin \ alpha \ quad & \ text {and} \ quad \ cos t = — \ cos \ alpha \\ \ sin t = — \ sin \ beta \ quad & \ text {and} \ quad \ cos t = \ cos \ beta \ end {align}} [/ latex]

Контрольные углы: На левом рисунке [латекс] t [/ latex] является контрольным углом для [латекс] \ альфа [/ латекс].{\ circ} [/ latex] или [latex] 0 [/ latex] и [latex] \ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} [/ latex] радиан. Для любого угла в квадранте II, III или IV существует опорный угол в квадранте I.

Базовые углы в каждом квадранте: Для любого угла в квадрантах II, III или IV существует опорный угол в квадранте I.

Таким образом, чтобы вызвать любой синус или косинус особого угла, вы должны иметь возможность идентифицировать его угол с осью [latex] x [/ latex], чтобы сравнить его с опорным углом.{\ circ})} \\ & = \ frac {- \ frac {\ sqrt {2}} {2}} {- \ frac {\ sqrt {2}} {2}} \\ & = — \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ cdot — \ frac {2} {\ sqrt {2}} \\ & = 1 \ end {align}} [/ latex]

Синус и косинус как функции

Функции синуса и косинуса можно изобразить, используя значения из единичной окружности, и на обоих графиках можно наблюдать определенные характеристики.

Цели обучения

Опишите характеристики графиков синуса и косинуса

Основные выводы

Ключевые моменты

Как синусоидальную функцию [latex] (y = \ sin x) [/ latex], так и косинусную функцию [latex] (y = \ cos x) [/ latex]) можно изобразить, нанеся точки, полученные из единичной окружности, с каждая координата [latex] x [/ latex] представляет собой угол в радианах, а координата [latex] y [/ latex] представляет собой соответствующее значение функции под этим углом.
Синус и косинус — периодические функции с периодом [латекс] 2 \ pi [/ латекс].
И синус, и косинус имеют домен [latex] (- \ infty, \ infty) [/ latex] и диапазон [latex] [- 1, 1] [/ latex].
График [latex] y = \ sin x [/ latex] симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция, в то время как график [latex] y = \ cos x [/ latex] симметричен относительно [latex ] y [/ latex] -axis, потому что это четная функция.

Ключевые термины

период : интервал, содержащий значения, повторяющиеся в функции.
четная функция : Непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], в которых [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], с симметрией относительно оси [латекс] y [/ латекс].
нечетная функция : Непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], в которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] , с симметрией относительно начала координат.
периодическая функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], повторяющихся через равные промежутки времени.

Графические функции синуса и косинуса

Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции [latex] y = \ sin x [/ latex]. Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. Ниже приведены некоторые значения для функции синуса на единичном круге, где координата [latex] x [/ latex] представляет собой угол в радианах, а координата [latex] y [/ latex] — [latex] \ sin х [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle {(0, 0) \ quad (\ frac {\ pi} {6}, \ frac {1} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {4}, \ frac { \ sqrt {2}} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {3}, \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {2}, 1 ) \\ (\ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \ quad (\ frac {3 \ pi} {4}, \ frac {\ sqrt {2} } {2}) \ quad (\ frac {5 \ pi} {6}, \ frac {1} {2}) \ quad (\ pi, 0)} [/ latex]

Построение точек из таблицы и продолжение по оси [latex] x [/ latex] дает форму синусоидальной функции.

График синусоидальной функции: График точек с координатами [latex] x [/ latex], являющимися углами в радианах, и координатами [latex] y [/ latex], являющимися функцией [latex] \ sin x [/ latex] .

Обратите внимание, что значения синуса положительны между [latex] 0 [/ latex] и [latex] \ pi [/ latex], которые соответствуют значениям синусоидальной функции в квадрантах I и II на единичном круге, и синусоиде значения отрицательны между [латекс] \ пи [/ латекс] и [латекс] 2 \ пи [/ латекс], которые соответствуют значениям синусоидальной функции в квадрантах III и IV на единичной окружности.

Построение значений синусоидальной функции: Точки на кривой [латекс] y = \ sin x [/ latex] соответствуют значениям синусоидальной функции на единичной окружности.

Теперь давайте посмотрим на функцию косинуса, [latex] f (x) = \ sin x [/ latex]. Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. Ниже приведены некоторые значения синусоидальной функции на единичном круге, где координата [latex] x [/ latex] представляет собой угол в радианах, а координата [latex] y [/ latex] — [latex] \ cos х [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle {(0, 1) \ quad (\ frac {\ pi} {6}, \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {4} , \ frac {\ sqrt {2}} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {3}, \ frac {1} {2}) \ quad (\ frac {\ pi} {2}, 0 ) \\ (\ frac {2 \ pi} {3}, — \ frac {1} {2}) \ quad (\ frac {3 \ pi} {4}, — \ frac {\ sqrt {2}} { 2}) \ quad (\ frac {5 \ pi} {6}, — \ frac {\ sqrt {3}} {2}) \ quad (\ pi, -1)} [/ latex]

Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса.

График функции косинуса: Точки на кривой [latex] y = \ cos x [/ latex] соответствуют значениям функции косинуса на единичной окружности.

Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичном круге, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [latex] \ left [-1, 1 \ right] [/ latex].

Определение периодических функций

На графиках для функций синуса и косинуса форма графика повторяется после [latex] 2 \ pi [/ latex], что означает, что функции являются периодическими с периодом [latex] 2 \ pi [/ latex].Периодическая функция — это функция с повторяющимся набором значений через равные промежутки времени. В частности, это функция, для которой конкретный сдвиг по горизонтали, [latex] P [/ latex], приводит к функции, равной исходной функции:

[латекс] f (x + P) = f (x) [/ латекс]

для всех значений [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex]. Когда это происходит, мы называем наименьший такой сдвиг по горизонтали с [latex] P> 0 [/ latex] периодом функции. На приведенной ниже диаграмме показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

Периоды функций синуса и косинуса: Функции синуса и косинуса являются периодическими, что означает, что определенный горизонтальный сдвиг, [latex] P [/ latex], приводит к функции, равной исходной функции: [latex] f (x + P) = f (x) [/ латекс].

Четные и нечетные функции

Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в домене с центром на оси [latex] y [/ latex], можно выявить симметрии. Как мы видим на графике синусоидальной функции, она симметрична относительно начала координат, что указывает на то, что это нечетная функция.На всем протяжении графика любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] также имеют противоположные значения [latex] y [/ latex]. Это характерно для нечетной функции: два входа, которые являются противоположными, имеют выходы, которые также являются противоположными. Другими словами, если [латекс] \ sin (-x) = — \ sin x [/ latex].

Нечетная симметрия синусоидальной функции: Синусоидальная функция нечетная, что означает, что она симметрична относительно начала координат.

График функции косинуса показывает, что он симметричен относительно оси y .Это указывает на то, что это четная функция. Для четных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] имеют одинаковое значение функции. Другими словами, [латекс] \ cos (-x) = \ cos x [/ latex]. Мы можем видеть из графика, что это правда, сравнивая значения [latex] y [/ latex] графика с любыми противоположными значениями [latex] x [/ latex].

Четная симметрия функции косинуса: Функция косинуса четная, что означает, что она симметрична относительно оси [latex] y [/ latex].

Касательная как функция

Характеристики касательной функции можно увидеть на ее графике.

Цели обучения

Опишите характеристики графика касательной функции

Основные выводы

Ключевые моменты

Функция касательной не определена при любом значении [latex] x [/ latex], где [latex] \ cos x = 0 [/ latex], и ее график имеет вертикальные асимптоты при этих значениях [latex] x [/ latex] .
Касательная — периодическая функция с периодом [латекс] \ пи [/ латекс].
График функции касательной симметричен относительно начала координат и, следовательно, является нечетной функцией.

Ключевые термины

периодическая функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex] с набором значений, повторяющихся через равные промежутки времени.
период : интервал, содержащий минимальный набор значений, которые повторяются в периодической функции.
нечетная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], в которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] , и есть симметрия относительно начала координат.
вертикальная асимптота : прямая линия, параллельная оси [латекс] y [/ латекс], к которой кривая приближается произвольно близко, когда кривая уходит в бесконечность.

Построение касательной функции

Касательная функция может быть построена на графике путем нанесения точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex]. Форму функции можно создать, найдя значения тангенса под определенными углами. Однако невозможно найти касательные функции для этих особых углов с единичной окружностью.Мы применяем формулу [latex] \ displaystyle {\ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}} [/ latex], чтобы определить касательную для каждого значения.

Мы можем проанализировать графическое поведение касательной функции, посмотрев на значения некоторых специальных углов. Рассмотрим точки ниже, для которых координаты [latex] x [/ latex] представляют собой углы в радианах, а координаты [latex] y [/ latex] — [latex] \ tan x [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {(- \ frac {\ pi} {2}, \ text {undefined}) \ quad (- \ frac {\ pi} {3}, — \ sqrt {3}) \ quad (- \ frac {\ pi} {4}, -1) \ quad (- \ frac {\ pi} {6}, — \ frac {\ sqrt {3}} {3}) \ quad (0, 0) \\ (\ frac {\ pi} {6}, \ frac {\ sqrt {3}} {3}) \ quad (\ frac {\ pi} {4}, 1) \ quad (\ frac {\ pi} {3 }, \ sqrt {3}) \ quad (\ frac {\ pi} {2}, \ text {undefined})} [/ latex]

Обратите внимание, что [latex] \ tan x [/ latex] не определено в [latex] \ displaystyle {x = — \ frac {\ pi} {2}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {x = \ frac {\ pi} {2}} [/ латекс].Вышеупомянутые пункты помогут нам нарисовать наш график, но нам нужно определить, как граф ведет себя там, где он не определен. Давайте рассмотрим последние четыре пункта. Мы можем определить, что значения [latex] y [/ latex] увеличиваются по мере того, как [latex] x [/ latex] увеличивается и приближается к [latex] \ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} [/ latex]. Мы могли бы рассмотреть дополнительные точки между [latex] \ displaystyle {x = 0} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {x = \ frac {\ pi} {2}} [/ latex], и мы увидим, что это держит. Точно так же мы видим, что [latex] y [/ latex] уменьшается по мере приближения [latex] x [/ latex] к [latex] \ displaystyle {- \ frac {\ pi} {2}} [/ latex], потому что выходные становиться все меньше и меньше.

Напомним, что существует несколько значений [latex] x [/ latex], которые могут дать [latex] \ cos x = 0 [/ latex]. В любой такой точке [latex] \ tan x [/ latex] не определено, потому что [latex] \ displaystyle {\ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}} [/ latex]. При значениях, при которых функция касания не определена, на ее графике наблюдаются разрывы. При этих значениях график касательной имеет вертикальные асимптоты.

График функции касательной: функция касательной имеет вертикальные асимптоты в [latex] \ displaystyle {x = \ frac {\ pi} {2}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {x = — \ frac {\ пи} {2}} [/ латекс].

Характеристики графика касательной функции

Как и функции синуса и косинуса, тангенс является периодической функцией. Это означает, что его значения повторяются через равные промежутки времени. Период касательной функции равен [latex] \ pi [/ latex], потому что график повторяется на [latex] x [/ latex] -осных интервалах [latex] k \ pi [/ latex], где [latex] k [/ latex] — это константа. На графике функции касательной на интервале [latex] \ displaystyle {- \ frac {\ pi} {2}} [/ latex] к [latex] \ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} [/ latex], мы можем увидеть поведение графика за один полный цикл функции.Если мы посмотрим на
любой больший интервал, мы увидим, что характеристики графика повторяются.

График функции касательной симметричен относительно начала координат и, следовательно, является нечетной функцией. Другими словами, [latex] \ text {tan} (- x) = — \ text {tan} x [/ latex] для любого значения [latex] x [/ latex]. Любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] дают противоположные значения [latex] y [/ latex]. Мы можем видеть, что это правда, рассматривая значения [latex] y [/ latex] графика при любых противоположных значениях [latex] x [/ latex].Рассмотрим [латекс] \ displaystyle {x = \ frac {\ pi} {3}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {x = — \ frac {\ pi} {3}} [/ latex]. Выше мы уже определили, что [латекс] \ displaystyle {\ tan (\ frac {\ pi} {3}) = \ sqrt {3}} [/ latex] и [latex] \ displaystyle {\ tan (- \ frac { \ pi} {3}) = — \ sqrt {3}} [/ latex].

Секанс и тригонометрические функции

Тригонометрические функции имеют обратные величины, которые можно вычислить с помощью единичной окружности.

Цели обучения

Расчет значений тригонометрических функций, являющихся обратными синусу, косинусу и тангенсу

Основные выводы

Ключевые моменты

Секущая функция обратна функции косинуса [latex] \ displaystyle {\ left (\ sec x = \ frac {1} {\ cos x} \ right)} [/ latex].Его можно найти для угла [латекс] t [/ latex], используя координату [latex] x [/ latex] связанной точки на единичной окружности: [latex] \ displaystyle {\ sec t = \ frac { 1} {x}} [/ латекс].
Функция косеканса является обратной функцией синусоидальной функции [latex] \ displaystyle {\ left (\ csc x = \ frac {1} {\ sin x} \ right)} [/ latex]. Его можно найти для угла [латекс] t [/ latex], используя координату [latex] y [/ latex] связанной точки на единичном круге: [latex] \ displaystyle {\ csc t = \ frac { 1} {y}} [/ латекс].
Функция котангенса является обратной функцией касательной [латекс] \ displaystyle {\ left (\ cot x = \ frac {1} {\ tan x} = \ frac {\ cos t} {\ sin t} \ right) }[/латекс]. Его можно найти для угла, используя координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] соответствующей точки на единичной окружности: [latex] \ displaystyle {\ cot t = \ frac {\ cos t} {\ sin t} = \ frac {x} {y}} [/ latex].

Ключевые термины

секанс : величина, обратная функции косинуса
косеканс : функция, обратная синусоиде
котангенс : величина, обратная тангенциальной функции

Введение в взаимные функции

Мы обсудили три тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс.Каждая из этих функций имеет обратную функцию, которая определяется обратной величиной отношения исходной тригонометрической функции. Обратите внимание, что обратные функции отличаются от обратных функций. Обратные функции — это способ работы в обратном направлении или определения угла с учетом тригонометрического отношения; они предполагают работу с теми же соотношениями, что и исходная функция.

Три взаимные функции описаны ниже.

Секант

Секущая функция обратна функции косинуса и обозначается сокращенно как [латекс] \ сек [/ латекс].
Его можно описать как отношение длины гипотенузы к длине соседней стороны в треугольнике.

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sec x & = \ frac {1} {\ cos x} \\ \ sec x & = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежный}} \ end {align}} [/ latex]

Секанс легко вычислить со значениями в единичной окружности. Напомним, что для любой точки круга значение [latex] x [/ latex] дает [latex] \ cos t [/ latex] для соответствующего угла [latex] t [/ latex].Следовательно, секущая функция для этого угла равна

[латекс] \ displaystyle {\ sec t = \ frac {1} {x}} [/ латекс]

Косеканс

Функция косеканса является обратной функцией синусоиды и обозначается сокращенно как [latex] \ csc [/ latex]. Его можно описать как отношение длины гипотенузы к длине противоположной стороны треугольника.

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ csc x & = \ frac {1} {\ sin x} \\ \ csc x & = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив}} \ end {align}} [/ latex]

Как и секанс, косеканс может быть вычислен со значениями в единичной окружности.Напомним, что для любой точки круга значение [latex] y [/ latex] дает [latex] \ sin t [/ latex]. Следовательно, функция косеканса для того же угла равна

[латекс] \ displaystyle {\ csc t = \ frac {1} {y}} [/ латекс]

Котангенс

Функция котангенса обратна функции тангенса и обозначается сокращенно как [latex] \ cot [/ latex]. Его можно описать как отношение длины соседней стороны к длине гипотенузы в треугольнике.

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cot x & = \ frac {1} {\ tan x} \\ \ cot x & = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {противоположный}} \ end {align}} [/ latex]

Также обратите внимание, что поскольку [latex] \ displaystyle {\ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}} [/ latex], его обратная величина равна

[латекс] \ displaystyle {\ cot x = \ frac {\ cos x} {\ sin x}} [/ latex]

Котангенс также можно вычислить со значениями в единичной окружности.Применяя координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], связанные с углом [latex] t [/ latex], получаем

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cot t & = \ frac {\ cos t} {\ sin t} \\ \ cot t & = \ frac {x} {y} \ end {align}} [/ латекс]

Вычисление обратных функций

Теперь мы распознаем шесть тригонометрических функций, которые можно вычислить, используя значения в единичном круге. Напомним, что мы использовали значения функций синуса и косинуса для вычисления функции тангенса.Мы будем следовать аналогичному процессу для обратных функций, ссылаясь на значения в единичном круге для наших расчетов.

Например, давайте найдем значение [latex] \ sec {\ left (\ frac {\ pi} {3} \ right)} [/ latex].

Применяя [latex] \ displaystyle {\ sec x = \ frac {1} {\ cos x}} [/ latex], мы можем переписать это как:

[латекс] \ displaystyle {\ sec {\ left (\ frac {\ pi} {3} \ right)} = \ frac {1} {\ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right)}}} [/ латекс]

Из единичного круга мы знаем, что [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right)} = \ frac {1} {2}} [/ latex] .Используя это, можно найти значение [latex] \ displaystyle {\ sec {\ left (\ frac {\ pi} {3} \ right)}} [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sec {\ left (\ frac {\ pi} {3} \ right)} & = \ frac {1} {\ frac {1} {2}} \\ & = 2 \ end {align}} [/ латекс]

Остальные взаимные функции могут быть решены аналогичным образом.

Пример

Используйте единичный круг для вычисления [латекс] \ sec t [/ latex], [latex] \ cot t [/ latex] и [latex] \ csc t [/ latex] в точке [latex] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} \ right)} [/ latex].

Точка на единичном круге: Точка [латекс] \ displaystyle {\ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} \ right)} [/ latex] , показанный в единичном круге.

Поскольку нам известны координаты [latex] (x, y) [/ latex] точки на единичной окружности, обозначенной углом [latex] t [/ latex], мы можем использовать эти координаты для нахождения трех функций.

Напомним, что координата [latex] x [/ latex] дает значение для функции косинуса, а координата [latex] y [/ latex] дает значение для функции синуса.Другими словами:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos t \\ & = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} y & = \ sin t \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

Используя эту информацию, можно вычислить значения обратных функций под углом [латекс] t [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sec t & = \ frac {1} {\ cos t} \\ & = \ frac {1} {x} \\ & = \ left (\ frac {1 } {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) \\ & = — \ frac {2} {\ sqrt {3}} \\ & = \ left (- \ frac {2} { \ sqrt {3}} \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = — \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} \ end {align} } [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cot t & = \ frac {\ cos t} {\ sin t} \\ & = \ frac {x} {y} \\ & = \ left (\ frac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} \ right) \\ & = \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ cdot \ frac {2} {1} \ right) \\ & = — \ sqrt {3} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ csc t & = \ frac {1} {\ sin t} \\ & = \ frac {1} {y} \\ & = \ left (\ frac {1 } {\ frac {1} {2}} \ right) \\ & = 2 \ end {align}} [/ latex]

Обратные тригонометрические функции

Каждая тригонометрическая функция имеет обратную функцию, которую можно изобразить в виде графика. {- 1} x = y [/ latex].{-1} [/ латекс]

взаимно однозначная функция : функция, которая никогда не сопоставляет отдельные элементы своего домена с одним и тем же элементом своего диапазона.

Введение в обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции используются для нахождения углов треугольника, если нам заданы длины сторон. Обратные тригонометрические функции могут использоваться, чтобы определить, какой угол даст определенное значение синуса, косинуса или тангенса.

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как и в случае с любой другой функцией и ее обратной.{-1} (б) = а [/ латекс]. Однако функции синуса, косинуса и тангенса — это , а не взаимно однозначные функции. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в ее диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область определения каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной. Мы выбираем домен для каждой функции, который включает число [latex] 0 [/ latex].

Функции синуса и косинуса в ограниченных областях: (a) Функция синуса, показанная в ограниченной области [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ справа] [/ латекс]; (b) Функция косинуса, показанная в ограниченной области [latex] \ left [0, \ pi \ right] [/ latex].

График функции синуса ограничен областью [latex] [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2}] [/ latex] и графиком функции косинуса ограничено [латексом] [0, \ pi] [/ латексом]. График касательной функции ограничен [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex].

Касательная функция в ограниченной области

Касательная функция, показанная в ограниченной области [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex].

Эти варианты выбора ограниченных доменов в некоторой степени произвольны, но они имеют важные полезные характеристики. Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает взаимно однозначную обратимую функцию. Обычный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что он распространяется от одной вертикальной асимптоты к другой, вместо того, чтобы разбиваться на части асимптотой.{-1} x \ quad \ text {имеет домен} \ quad \ left (- \ infty, \ infty \ right) \ quad \ text {и диапазон} \ quad \ left (- \ frac {\ pi} {2} , \ frac {\ pi} {2} \ right)} [/ latex]

Графики обратных тригонометрических функций

Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса): функция арксинуса является отражением функции синуса относительно линии [latex] y = x [/ latex].

Чтобы найти область определения и диапазон обратных тригонометрических функций, мы меняем область определения и диапазон исходных функций.

Функция косинуса и функция обратного косинуса (или арккосинуса): Функция арккосинуса является отражением функции косинуса относительно линии [латекс] y = x [/ latex].

Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно линии [латекс] y = x [/ latex].

Функция тангенса и функция арктангенса (или арктангенса): Функция арктангенса является отражением функции касательной относительно линии [latex] y = x [/ latex].{-1} х = у [/ латекс].

Касательная — это касательная!

В моем посте «Тригонометрическая йога» я обсуждал, как определение синуса и косинуса как длины сегментов в единичном круге помогает развить интуицию для этих функций.

Я выучил круговые определения синуса и косинуса в младшем классе средней школы в классе, который теперь назывался предварительным исчислением (он назывался «Триггерная математика для старших классов»). Двумя годами ранее я изучил определения синуса, косинуса и тангенса в треугольнике на уроках геометрии.Я не помню, чтобы кто-либо из моих учителей когда-либо упоминал об определении касательной функции в круге.

Геометрическое определение касательной функции, предшествующее определению треугольника, — это длина сегмента, касательного к единичной окружности. Касательная действительно является касательной! Как и для синуса и косинуса, это определение с одной переменной помогает развивать интуицию. Вот определение, за которым следует апплет, который поможет вам разобраться в этом:

Пусть OA будет радиусом единичной окружности, пусть B = (1,0), и пусть \ (\ theta = \ angle BOA \).Пусть C будет точкой пересечения \ (\ overrightarrow {OA} \) и прямой x = 1, т.е. касательной к единичной окружности в точке B. Тогда \ (\ tan \ theta \) будет координатой y точки C, т. Е. длина со знаком отрезка BC.

Переместите синюю точку ниже; касательная — длина красного сегмента. (Если метка мешает, щелкните правой кнопкой мыши и переключите «показать метку» в меню).

Круговое определение касательной функции приводит к геометрическим иллюстрациям многих стандартных свойств и тождеств. 2 \ theta \).

Когда тангенциальная функция велика, секущая функция велика, а когда тангенциальная функция мала, секущая функция мала. Также \ (\ sec \ theta \) близко к \ (\ pm 1 \), когда \ (\ theta \) близко к оси x, а когда \ (\ tan \ theta \) близко к 0.

Графики двух функций хорошо смотрятся вместе:

Как использовать единичный круг в триггере

Вероятно, вы имеете интуитивное представление о том, что такое круг: форма баскетбольного кольца, колеса или четверти.Вы, возможно, даже помните из средней школы, что радиус — это любая прямая линия, которая начинается от центра круга и заканчивается по его периметру.

Единичный круг — это просто круг с радиусом, равным 1. Но часто он сопровождается некоторыми другими особенностями.

Единичная окружность может использоваться для определения отношений прямоугольного треугольника, известных как синус, косинус и тангенс. Эти отношения описывают, как углы и стороны прямоугольного треугольника соотносятся друг с другом.Скажем, например, у нас есть прямоугольный треугольник с углом 30 градусов, а длина самой длинной стороны, или гипотенузы, равна 7. Мы можем использовать наши предопределенные отношения прямоугольного треугольника, чтобы вычислить длины оставшихся двух сторон треугольника. .

Эта ветвь математики, известная как тригонометрия , имеет повседневные практические приложения, такие как строительство, GPS, сантехника, видеоигры, машиностроение, плотник и авианавигация.

Чтобы запомнить стандартный единичный круг, нам необходимо вспомнить три основных компонента:

Четыре квадранта
16 углов
(x, y) координаты для каждого из 16 углов, где радиус касается окружности. периметр

В помощь вспомним поездку в Unit Pizza Palace.Уделите несколько минут, чтобы запомнить следующее, пока не сможете повторить, не глядя:

4 кусочков пиццы
3 пирогов за 6
2 квадратных столов
1 , 2, 3

Шаг 1: 4 кусочка пиццы

Представьте себе одну целую пиццу, разрезанную на четыре ровных ломтика. В математике мы бы назвали эти четыре части круга квадрантами .

Мы можем использовать координаты (x, y) для описания любой точки вдоль внешнего края круга.Координата x представляет собой расстояние, пройденное влево или вправо от центра. Координата Y представляет собой пройденное расстояние вверх или вниз. Координата x — это косинус угла, образованного точкой, началом координат и осью x. Координата Y — это синус угла.

В единичном круге прямая линия, идущая вправо от центра круга, достигнет края круга в координате (1, 0). Если бы мы вместо этого пошли вверх, влево или вниз, мы коснулись бы периметра в точках (0, 1), (-1, 0) или (0, -1) соответственно.

Все четыре связанных угла (в радианах, а не в градусах) имеют знаменатель 2. (Радиан — это угол, полученный, если взять радиус и обернуть его вокруг окружности. Градус измеряет углы по пройденному расстоянию. Окружность составляет 360 градусов или 2π радиан).

Числители начинаются с 0, начиная с координаты (1,0), и ведут счет против часовой стрелки на 1π. Этот процесс даст 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 и 3π / 2. Упростите эти дроби, чтобы получить 0, π / 2, π и 3π / 2. Quad

Шаг 2: 3 пирога за 6 долларов

Начните с «3 пирога».«Взгляните на ось y. Все радианные углы справа и слева от оси y имеют знаменатель 3. Каждый оставшийся угол имеет числитель, который включает математическое значение« пи », записанное как π.

«3 пирога на 6» используется для вызова оставшихся 12 углов в стандартном единичном круге с тремя углами в каждом квадранте. Каждый из этих углов записывается в виде дроби.

«За 6 долларов» напоминает нам, что в в каждом квадранте оставшиеся знаменатели равны 4, а затем 6.

Самая сложная часть этого шага — заполнить числитель для каждой дроби.

В квадранте 2 (верхняя левая четверть круга) поставьте 2, затем 3, затем 5 перед π.

Ваш первый угол в квадранте 2 будет 2π / 3. Если сложить 2 в числителе и 3 в знаменателе, получится 5. Посмотрите на угол в квадранте 4 (нижняя правая четверть круга). Поместите эту 5 в числитель перед π. Повторите этот процесс для двух других углов в квадрантах 2 и 4.

Мы повторим тот же процесс для квадрантов 1 (вверху справа) и 3 (внизу слева). Помните, что точно так же, как x совпадает с 1x, π совпадает с 1π. Итак, мы добавляем 1 ко всем знаменателям в квадранте 1.

Процесс перечисления углов в градусах (а не радианах) описан в конце этой статьи.

Шаг 3: 2 квадратных таблицы

Цифра 2 в «2 квадратных таблицах» напоминает нам, что все оставшиеся 12 пар координат имеют знаменатель 2.

«Квадрат» означает, что числитель каждая координата включает квадратный корень.Мы только начинаем с квадранта 1, чтобы упростить ситуацию. (Подсказка: помните, что квадратный корень из 1 равен 1, поэтому эти дроби можно упростить до 1/2.)

Шаг 4: 1, 2, 3

«1, 2, 3» показывает последовательность чисел под каждым квадратным корнем. Для координат x квадранта 1 мы считаем от 1 до 3, начиная с верхней координаты и далее вниз.

Координаты Y имеют те же числители, но считают от 1 до 3 в противоположном направлении, снизу вверх.

Квадрант 2 имеет те же координаты, что и квадрант 1, но координаты x отрицательны.

Квадрант 3 переключает координаты x и y с квадранта 1. Все координаты x и y также отрицательны.

Подобно квадранту 3, квадрант 4 также переключает координаты x и y из квадранта 1. Но только координаты y отрицательны.

Углы в градусах

Вы можете ссылаться на углы в градусах, а не в радианах. Для этого начните с 0 градусов по координате (1,0).Оттуда мы прибавим 30, 15, 15, а затем 30. В квадранте 1 мы прибавляем 30 к 0, чтобы получить 30, прибавляем 15 к 30, чтобы получить 45, прибавляем 15 к 45, чтобы получить 60, и прибавляем 30 к 60, чтобы получить 90.

Затем мы повторяем процесс для оставшихся квадрантов, добавляя 30, 15, 15 и 30, пока не дойдем до конца круга. Таким образом, квадрант 4 будет иметь углы от 270 до 330 градусов (см. Рисунок 10).

Практическое применение

Ранее в этой статье мы упоминали, что единичная окружность может использоваться для нахождения двух неизвестных сторон прямоугольного треугольника с углом 30 градусов, а самая длинная сторона, или гипотенуза, равна длине 7.Давайте попробуем.

Обратите внимание на 30 ° на единичной окружности. Используйте эту линию и ось x, чтобы создать треугольник следующим образом.

В единичном круге любая линия, которая начинается в центре круга и заканчивается по его периметру, будет иметь длину 1. Таким образом, самая длинная сторона этого треугольника будет иметь длину 1. Самая длинная сторона правой стороны. треугольник также известен как «гипотенуза». Точка, где гипотенуза касается периметра окружности, находится в √3 / 2, 1/2.

Итак, мы знаем, что основание треугольника (по оси x) имеет длину √3 / 2, а высота треугольника равна 1/2.

Можно подумать по-другому: основание в √3 / 2 раза больше длины гипотенузы, а высота в 1/2 раза больше длины гипотенузы.

Итак, если длина гипотенузы равна 7, основание нашего треугольника будет 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2. Высота треугольника будет равна 7 x 1/2 = 7/2.

Что такое единичный круг | StudyPug

Что такое Unit Circle?

В мире исчисления, предварительного исчисления и тригонометрии вы часто встретите ссылки и проблемы, связанные с «единичной окружностью».»Но, как ни странно, нас редко когда-либо учат, что это такое!

Проще говоря, единичная окружность — это математический инструмент, упрощающий использование углов и тригонометрических функций. Понимая и запоминая «единичный круг», мы можем легко справляться с трудностями, которые в противном случае требовали бы вычислений, и значительно облегчили нашу жизнь.

Единичный круг в его простейшей форме на самом деле именно то, что он звучит: круг на декартовой плоскости с радиусом ровно 1unit1 unit1unit.Как этот пустой круг ниже:

Пустая единичная окружность с радиусом 1

Затем, заполнив этот единичный круг обычно используемыми углами и оценив эти углы с помощью синуса и косинуса, мы получим что-то немного более сложное:

Синус и косинус вычисленные углы единичной окружности

Боишься? Не надо. Этот образ может показаться устрашающим, но когда мы разбиваем его на более последовательные части, начинают появляться закономерности.

Круговая диаграмма со всеми 6 функциями триггера:

Вместо того, чтобы ссылаться на это устрашающее изображение выше, давайте упростим единичный круг с помощью sin⁡cos⁡tan⁡sec⁡csc⁡ \ sin \ cos \ tan \ sec \ cscsincostanseccsc и cot⁡ \ cotcot на красивой маленькой диаграмме:

Схема упрощенной единичной окружности с sin cos tan sec csc и cot

В приведенной выше таблице единичного круга приведены все значения единичного круга для всех 4 квадрантов единичного круга.Как видите, здесь указаны градусы единичной окружности и радианы единичной окружности. Вы должны знать и то, и другое, но, скорее всего, вы будете решать проблемы в радианах. Теперь возникает следующий естественный вопрос: как я могу запомнить единичный круг?

Как запомнить единичный круг:

Запоминание единичной окружности на самом деле намного проще, чем вы думаете, благодаря нескольким маленьким уловкам:

Уловка 1:

Из-за следующих 4 уравнений нам нужно запомнить только значения единичной окружности для синуса и косинуса.

tan⁡θ = sin⁡θcos⁡θ, cot⁡θ = cos⁡θsin⁡θ, sec⁡θ = 1cos⁡θ, csc⁡θ = 1sin⁡θ \ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}, \ cot \ theta = \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}, \ sec \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}, \ csc \ theta = \ frac { 1} {\ sin \ theta} tanθ = cosθsinθ, cotθ = sinθcosθ, secθ = cosθ1, cscθ = sinθ1

С этими 4 уравнениями нам даже не нужно запоминать единичную окружность с касательной!

Уловка 2:

Зная, в каких квадрантах x и y положительны, нам нужно только запомнить значения единичного круга для синуса и косинуса в первом квадранте, поскольку значения меняются только по знаку.Чтобы использовать этот трюк, нам нужно сначала понять несколько вещей:

i) Первое, что следует отметить, это то, какие значения синуса и косинуса дают нам на единичной окружности. Благодаря SOHCAHTOA мы знаем это:

sin⁡θ \ sin \ thetasinθ дает нам координату Y, а cos⁡θ \ cos \ thetacosθ дает нам координату X

ii) Теперь посмотрим на каждый квадрант:

Квадрант 1 : X положительный, Y положительный

Квадрант 2 : X отрицательный, Y положительный

Квадрант 3 : X отрицательный, Y отрицательный

Квадрант 4 : X положительный, Y отрицательный

iii) Далее, посмотрим, где находится каждый квадрант:

Квадрант 1 : 0 — π2 \ frac {\ pi} {2} 2π

Квадрант 2 : π2 − π \ frac {\ pi} {2} — \ pi2π −π

Квадрант 3 : π \ piπ — 3π2 \ frac {3 \ pi} {2} 23π

Квадрант 4 : 3π2−2π \ frac {3 \ pi} {2} — 2 \ pi23π −2π

iv) Значение синуса и косинуса всегда будет «одинаковым» для одного и того же знаменателя:

sin⁡π3 = 32andsin⁡4π3 = −32 \ sin \ frac {\ pi} {3} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} и \ sin \ frac {4 \ pi} {3} = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} sin3π = 23 и sin34π = −23

С учетом этих приемов процесс запоминания единичной окружности становится намного проще!

Как использовать единичный круг:

Лучший способ освоить единичный круг — это попрактиковаться в единичном круге.

Пример 1:

Найдите sin⁡4π3 \ sin \ frac {4 \ pi} {3} sin34π

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с синусом, который мы со временем запомним, все, что нам нужно сделать, это выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы мы знали, будет ли наш ответ положительным или отрицательным.

Поскольку:

3π2> 4π3> π \ frac {3 \ pi} {2}> \ frac {4 \ pi} {3}> \ pi23π> 34π> π

Таким образом, мы находимся в третьем квадранте.Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в третьем квадранте, наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту проблему.

sin⁡4π3 \ sin \ frac {4 \ pi} {3} sin34π = -32 \ frac {\ sqrt {3}} {2} 23

Пример 2:

Найдите tan⁡π \ tan \ pitanπ

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с единичным кругом с загаром, нам нужно будет использовать значения, которые мы запомнили из синуса и косинуса, а затем решить.Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будут ли наши ответы для синуса и косинуса положительными или отрицательными.

Поскольку:

3π2> π> π2 \ frac {3 \ pi} {2}> \ pi> \ frac {\ pi} {2} 23π> π> 2π

Таким образом, мы находимся между вторым и третьим квадрантами по оси абсцисс. Поскольку синус дает нам координату y, а мы находимся на оси x, наш ответ фактически будет равен нулю! Кроме того, поскольку косинус дает нам координату x, и мы находимся между вторым и третьим квадрантами (где косинус для обоих отрицательный), наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту проблему.Но в этом случае нам понадобится один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для касательной, которое обсуждалось ранее в фокусе 1 , предполагая, что мы не запомнили значения касательной на единичной окружности.

tan⁡θ = sin⁡θcos⁡θ = 0-1 = 0 \ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {0} {- 1} = 0tanθ = cosθsinθ = −10 = 0

Пример 3:

Найдите csc⁡π6 \ csc \ frac {\ pi} {6} csc6π

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с косекансом, важно понимать, что нам нужно будет использовать значения синуса для решения с использованием уравнения для косеканса, описанного ранее в уловке 1 .Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будет ли наш ответ для синуса положительным или отрицательным.

Поскольку:

π2> π6> 0 \ frac {\ pi} {2}> \ frac {\ pi} {6}> 02π> 6π> 0

Таким образом, мы находимся в первом квадранте. Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в первом квадранте, наш ответ будет положительным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту проблему.Но и в этом случае нам снова нужен один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для косеканса, обсуждавшееся ранее в фокусе 1 , предполагая, что мы не запомнили значения косеканса на единичной окружности.

csc⁡π6 = 1sin⁡π6 = 10,5 = 2 \ csc \ frac {\ pi} {6} = \ frac {1} {\ sin \ frac {\ pi} {6}} = \ frac {1} {0,5} = 2csc6π = sin6π 1 = 0,51 = 2

Теперь, когда мы немного попрактиковались, займитесь еще немного самостоятельно! В кратчайшие сроки вы будете готовы к любой предстоящей викторине с единичным кругом.

Тригонометрический круг. Значения тангенса и котангенса на круге

Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс основное тригонометрическое тождество тригонометрический круг числовая окружность

Содержание

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});Определение тригонометрических функций произвольного угла

Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг

Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг

Интерактивная таблица значений тригонометрических функций

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Отсчёт углов на тригонометрическом круге. Положительные и отрицательные углы. Распределение углов по четвертям

Тригонометрия за 5 минут! Тригонометрические функции и тригонометрический круг простыми словами | Клуб любителей математики

Значения тригонометрических функций

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Онлайн тренажер

Простые тригонометрические тождества

Тригонометрический круг синус и косинус

1) почему на тригонометрическом круге синус и косинус расположены внутри единичного круга 2)

касательных и уклонов

Определение касательной

Касательная через синус и косинус

Касательные и прямоугольные треугольники

Уклоны линий

Углы возвышения и понижения

Снова общие углы

Упражнения

Подсказки

ответы

Единичный круг

Синус, косинус и тангенс

Попробуйте сами!

Пифагор

Важные углы: 30

Как помнить?

Всего 3 числа

А как насчет загара?

Быстрый набросок

Пример: sin (30 °)

Весь круг

Пример: Что такое cos (330 °)?

Пример: Что такое грех (7π / 6)?

Сноска: откуда берутся значения?

45 градусов

60 градусов

30 градусов

График касательной от единичной окружности — видео и стенограмма урока

Дополнительная практика — построение касательной функции

Практические задачи

Решения

тригонометрических функций и единичную окружность

Радианы

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые моменты

Ключевые термины

Введение в радианы

Измерение угла в радианах

Пример

Определение тригонометрических функций на единичной окружности

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые моменты

Ключевые термины

Тригонометрические функции и единичная окружность

Дальнейшее рассмотрение единичной окружности

Пример

Специальные уголки

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые моменты

Ключевые термины

Тригонометрические функции специальных углов

Запоминание тригонометрических функций

Признаки тригонометрических функций

Определение значений с использованием опорных углов

Синус и косинус как функции

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые моменты

Ключевые термины

Определение тригонометрических функций произвольного угла