Самостоятельная работа производная суммы и разности: Производная суммы и разности функций

Самостоятельные работы по теме: «Производная функции»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

ТЕМА «Производная функции»

»

Цель: закрепить правила вычисления производных, отработать навыки и умения вычислять производные, развивать умение логически мыслить, формировать умение самоконтроля.

Для выполнения самостоятельной работы обучающийся должен знать определение производной, таблицу производных, правила дифференцирования, правило вычисления производной сложной функции.

Производная и первообразная функции, ее геометрический и физический смысл.

Пусть на некотором промежутке определена некоторая функция

Вычисление производной функции производится по общему правилу дифференцирования:

1. Придавая аргументу приращение и подставляя в выражение функции вместо аргумента наращенное значение + , находим наращенное значение функции:

1. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции:

1. Делим приращение функции на приращение аргумента , т.е. составляем отношение:

.

1. Находим предел этого отношения при :

.

Этот предел и есть производная от функции . Итак:

Производной функции f(x) в точке х=х₀ называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

.

Нахождение производной называется дифференцированием.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции (рис.10).

,

где a — угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, т.е. как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t— время, а f(t

)— закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции — скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v— функции, дифференцируемые в точке х.

1) Производная суммы (разности): (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) Производная произведения: (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Производная частного: , если v ¹ 0

4) Производная сложной функции:

Первообразная функция.

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

4. , где u, v, w – некоторые функции от х.

Таблица производных и первообразных некоторых основных элементарных функций.

№	Первообразная	Функция	Производная
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Определенный интеграл.

Определенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

Формула Ньютона-Лейбница:

.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0X, прямыми и и графиком неотрицательной функции на отрезке находится по формуле:

.

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1.Для функции y = x² найдите приращение ∆y, если x₀=1 ,∆x=0,6.

2^.Найдите производную функции: а) f(x) = x³+x²+2x; б) g(x) =

в) g(x) = 4sinx- и вычислите g′

г) h(x) = и вычислите h′ (-1).

3.Решите уравнение если f(x) =

4.Необязательное задание. Имеет ли производную функция f(x) = -0,5x|x| в точке x=0?

Вариант 2

1.Для функции y = 0,5x² найдите приращение ∆y, если x₀=1 ,∆x=0,8.

2. Найдите производную функции: а) f(x) = — x³+2x²-x; б) g(x) = +x;

в)g(x) = 3cosx и вычислите g′

г)h(x) = и вычислите h′ (1).

3.Решите уравнение если f(x) = — 18x, g(x) =2 .

4.Необязательное задание. Имеет ли производную функция f(x) ⁼2x|x| в точке x=0?

Вариант 3

1.Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции y = x , проходящей через точки графика с абсциссами x₀=0,5, х₀+∆х=2.

2.Найдите производную функции: а) f(x) = б) g(x) =

в) g(x) = 2tg x и вычислите g′ ; г) h(x) = и вычислите h′ ( — 2).

3.Решите уравнение f′ (x)g′ (x) = 0, если f(x) = x^{3 –} 6x² , g(x)= .

4.Необязательное задание. Дана функция f(x) = x +1, где x≥0. Найдите функцию g(x) такую, чтобы выполнялось условие f(g(x)) = x.

Вариант 4

1. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции y = 0,5x , проходящей через точки графика с абсциссами x₀=0,6 и x₀+∆x=2.

2. Найдите производную функции:

а)f(x)=-

б) g(x) =

в) g(x) = 4ctgx — и вычислите g′=

г) h(x) = (3x+4)/(x-3) — и вычислите h′ (4).

3.Решите уравнение f′ (x)g′ (x) = 0, если f(x) = x³-3x², g(x) =

4.Необязательное задание. Дана функция f(x) = x² — 2,где x≥0.Найдите функцию g(x) такую, чтобы выполнялось условие g(f(x)) = x.

Тест по теме «Производная»

Вариант 1

Часть А.

А 1. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 2. Приведя функцию к виду , найдите производную

1) 2) 3) 4)

А 3. Решите уравнение

1) 0 2) 4 3) 0; −4 4) 0; 4

А 4. Используя формулу производной суммы, найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 5. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 6. Найдите значение производной функции в точке

1) 0 2) 1 3) −1 4) не существует

А 7. Найдите производную произведения функций и

1) 2)

3) 4)

А 8. Используя формулу производной частного, найдите производную функции

1) 2) 5 3) 4)

А 9. Найдите производную функции

1) 0 2) 3) 4)

А 10. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

Часть В.

В 1. Найдите

В 2. Найдите производную функции в точке

Вариант 2

Часть А.

А 1. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 2. Приведя функцию к виду , найдите производную.

1) 2) 3) 4)

А 3. Решите уравнение

1) 0 2) 2 3) 0; 2 4) 0; −2

А 4. Используя формулу производной суммы, найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 5. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 6. Найдите значение производной функции в точке

1) 2) 3) 4) 4

А 7. Найдите производную произведения функций и

1) 2) 3) 4)

А 8. Найдите производную дробно- рациональной функции

1) 2) 3) 4)

А 9. . Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 10. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

Часть В.

В 1. Найдите

В 2. Найдите производную функции в точке

Вариант 3

Часть А.

А 1. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 2. Приведя функцию к виду , найдите производную.

1) 2) 3) 4)

А 3. Решите уравнение

1) 0 2) 0; 3 3) 3 4) 0; −3

А 4. Используя формулу производной суммы, найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 5. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 6. Найдите значение производной функции в точке

1) 1 2) 3) 4) 2

А 7. Найдите производную произведения функций и

1) 2) 3) 4)

А 8. Найдите производную дробно- рациональной функции

1) 2) 3) 4)

А 9. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

А 10. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

Часть В

В 1. Найдите

В 2. Найдите производную функции в точке

Рекомендации по оценке результатов тестирования:

Количество верно выполненных заданий	11−12	9 − 10	7 − 8	0 − 6
Отметка	5	4	3	2

Ключи к тесту по теме «Производная»

Вариант 1

Номер задания	А 1	А 2	А 3	А 4	А 5	А 6	А 7	А 8	А 9	А 10	В 1	В 2
Ответ	4	4	4	1	2	2	1	1	2	3	0	1

Вариант 2

Номер задания	А 1	А 2	А 3	А 4	А 5	А 6	А 7	А 8	А 9	А 10	В 1	В 2
Ответ	3	3	3	2	1	4	4	3	3	1	5	2

Вариант 3

Номер задания	А 1	А 2	А 3	А 4	А 5	А 6	А 7	А 8	А 9	А 10	В 1	В 2
Ответ	2	3	2	1	1	4	4	3	4	2	3	0

МАОУ «СОШ № 57 г. Улан-Удэ имени А. Цыденжапова» Страница 11

Контрольная Работа На Тему Производная Сложной Функции – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

Контрольная Работа На Тему Производная Сложной Функции
28 . 2019 — Самостоятельная работа по теме: «Производная сложной функции» . . Контрольная работа по приемственности в 4-х классах . 28 .07 .
9 . 2019 — по теме «Производная сложной функции» . . Контрольная работа по алгебре и началам анализа на тему «Интеграл» (11 класс) . 09 .02 .
Тема: «Производная сложной функции» . Тренировочная самостоятельная работа тестового характера . (проводится в конце урока при изучении темы  . .
Контрольная работа № 5 по теме «Производные тригонометрических функций . . Контрольная работа по теме «Функции . Уравнения . Неравенства» · Понятие о приращении . . Производная сложной функции · Контрольная работа  . .
Самостоятельная работа по алгебре 11 класс . Тема: «Вычисление производной сложной функции» .
31 . 2019 — Урок — контрольная работа по теме «Производная» . . вычисления производной, умение находить производную сложной функции; .
28 . 2019 — Тема: «Производная сложной функции» . Тренировочная самостоятельная работа тестового характера . (проводится в конце урока при  . .
17 . 2019 — Контрольная работа « Производная сложной функции и тригонометрических функций . Вариант 1 1) Найдите производную функции: ;
9 . 2020 — Производная Сложной Функции Контрольная Работа 28 07 . 2020 г . — Самостоятельная работа по теме: «Производная сложной  . .
контрольная работа производные сложных функций — Все результаты КР по . . частного сложной функции контрольная работа по теме производная 10  . .
6 . 2019 — Контрольная работа по теме «Производные сложных функций» может быть использована для контроля знаний учащихся 10 класса по  . .
Главная > Контрольная работа >Математика . Сохрани ссылку . . Контрольная работа № 1 . . Далее используя формулу производной сложной функции .
Бесплатные сочинения по Производная Сложной Функции для студентов . . . (МПТ РГЭТУ) РЕФЕРАТ на тему «Физический смысл производной . . . Курсовая работа на тему: «Производная функции и ее применение в экономике»  . .
Контрольная работа . по теме «Производная функции одной переменной» . для студентов ФЗТА . Данная контрольная работа должна позволить и  . .
30 — Файл содержит 3 самостоятельные работы по 4 варианта из 6 заданий на нахождение производной функций (в том числе и сложной  . .
Качественное выполнение контрольных работ по производным: вычисление . . производной (сложной, степенной, параметрической, неявной функции), . . дифференциала, Все темы прошлых контрольных и также: производная  . .
17 . 2020 — . . производной, умение находить производную сложной функции; . . контрольная работа по теме «Исследование функции с помощью . . Контрольная работа по алгебре 10 класса по теме «Производная и её  . .
14 . — Контрольная работа по алгебре 10 кл .(2часа) Тема: « Производная» . 1 вариант . 1 .Для функции у = х³ найдите приращение функции ( у),  . .
8 б) По свойству дифференцирования сложной функции производная от . . 18 Обязательная часть Контрольная работа 4 по теме «Производная»  . .
25 . 2020 — контрольная работа производные сложной функции 0 tm 5 . . 1 argisu ТЕМА: ПРЕДМЕТНЫЕ РУБРИКИ: ФУНКЦИИ , ВИДЫ Argisu  . .
8 . 2019 — контрольная работа по алгебре 10 класс производная функции . . . Функции images Контрольная работа по математике по теме . . 1702 2019 Видеоурок по математике » Производная сложной функции » 1302 2019  . .
24 . — Контрольная работа по темам: Производная сложной функции и производная тригонометрических функций . Состоит из двух  . .
Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем . . Производная сложной логарифмической функции — частое задание на контрольных работах, . . Можно заказать работу! К началу страницы . Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение .
Производная сложной функции . . . Контрольная работа «Применение дифференциального исчисления к . . Тема: Вычисление пределов функций .
Контрольная работа — 3 . . Зададим приращение аргументу . . Тема: Таблица производных . . . Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций . 1 . . Найдем . . Производная сложной функции 17 . Производные  . .
22 . — V (производная сложной функции) . Тема: Правила вычисления производных (производная суммы и разности) . Образец решения .
2 . 2019 — вычисление производной контрольная работа 10 класс . . . ( 10 -11 класс ) Контрольная работа по теме: » Производная функции» . . 1702 2019 Видеоурок по математике «Производная сложной функции» 1302 2019  . .
В данной теме подробно описана теория про производную сложной функции, формулы и приведены примеры решения задач с пояснениями .
На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции . . . Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные .
График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее . . Тема 2 . «Тригонометрические функции» (26 часов) . Раздел математики . Сквозная линия . . «Тригонометрия» . У-26 Урок- контрольная работа . «Свойства и графики . . Уметь находить производную сложной функции .
Контрольная работа по теме: “Производная ” 10 класс (1 час) . . суммы, разности Производная произведения, частного Производная сложной функции  . .
20 . 2019 — На повторение данной темы отводится 3 часа, поэтому из них один час . . Производная сложной функции . . Контрольная работа .
Тема1 . Начала математического анализа . Всего: 48 часов . +5 (резерв) . 1 .1 . . . 1 .3 .4 . Производная сложной функции . . Контрольная работа . К .р . «Техника  . .
О производной сложной функции и правилах дифференцирования сложной . . Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции . . . Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать . . и структурированию информации по предложенной Клиентом теме .
Перейти к разделу Правило четвертое: производная частного двух функций — Эта тема не так проста, как кажется, . . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и . . Контрольная работа .
На подготовку дается две недели (сообщается тема, основные вопросы теории, . . исследовать функции и строить их графики с помощью производной; . . Диагностическая контрольная работа в сис- теме . . сложной функции (2ч) .
19 . — Самостоятельная работа №1 . . Найти производную функции: 1 . . . Найти производную сложной и обратной функции: 1 . . . к теме . Данная разработка поможет учащимся подготовиться к контрольной работе .
Вычисление производной сложной функции . Свойство . . скачать работу «Производная сложной функции» (лекция) . . реферат, добавлен 10 .04 . . 5 .
6 ав — Помощь школьникам, студентам в решении: Производная сложной функции, можно заказать дипломную работу .
Тема: «Производная сложной функции» Тренировочная самостоятельная . . Контрольная работа по математике «Рациональные дроби и их свойства .
20 . 2019 — Скачать бесплатно — контрольную работу по теме ‘Производная функции и ее . . Теорема 1 .3 О производной сложной функции . Пусть и  . .
28 . 2019 — Самостоятельная работа по теме: «Производная сложной функции» . . Контрольная работа по приемственности в 4-х классах . 28 .07 .
9 . 2019 — по теме «Производная сложной функции» . . Контрольная работа по алгебре и началам анализа на тему «Интеграл» (11 класс) . 09 .02 .
Тема: «Производная сложной функции» . Тренировочная самостоятельная работа тестового характера . (проводится в конце урока при изучении темы  . .
Контрольная работа № 5 по теме «Производные тригонометрических функций . . Контрольная работа по теме «Функции . Уравнения . Неравенства» · Понятие о приращении . . Производная сложной функции · Контрольная работа  . .
Самостоятельная работа по алгебре 11 класс . Тема: «Вычисление производной сложной функции» .
31 . 2019 — Урок — контрольная работа по теме «Производная» . . вычисления производной, умение находить производную сложной функции; .
28 . 2019 — Тема: «Производная сложной функции» . Тренировочная самостоятельная работа тестового характера . (проводится в конце урока при  . .
17 . 2019 — Контрольная работа « Производная сложной функции и тригонометрических функций . Вариант 1 1) Найдите производную функции: ;
9 . 2020 — Производная Сложной Функции Контрольная Работа 28 07 . 2020 г . — Самостоятельная работа по теме: «Производная сложной  . .
контрольная работа производные сложных функций — Все результаты КР по . . частного сложной функции контрольная работа по теме производная 10  . .
6 . 2019 — Контрольная работа по теме «Производные сложных функций» может быть использована для контроля знаний учащихся 10 класса по  . .
Главная > Контрольная работа >Математика . Сохрани ссылку . . Контрольная работа № 1 . . Далее используя формулу производной сложной функции .
Бесплатные сочинения по Производная Сложной Функции для студентов . . . (МПТ РГЭТУ) РЕФЕРАТ на тему «Физический смысл производной . . . Курсовая работа на тему: «Производная функции и ее применение в экономике»  . .
Контрольная работа . по теме «Производная функции одной переменной» . для студентов ФЗТА . Данная контрольная работа должна позволить и  . .
30 — Файл содержит 3 самостоятельные работы по 4 варианта из 6 заданий на нахождение производной функций (в том числе и сложной  . .
Качественное выполнение контрольных работ по производным: вычисление . . производной (сложной, степенной, параметрической, неявной функции), . . дифференциала, Все темы прошлых контрольных и также: производная  . .
17 . 2020 — . . производной, умение находить производную сложной функции; . . контрольная работа по теме «Исследование функции с помощью . . Контрольная работа по алгебре 10 класса по теме «Производная и её  . .
14 . — Контрольная работа по алгебре 10 кл .(2часа) Тема: « Производная» . 1 вариант . 1 .Для функции у = х³ найдите приращение функции ( у),  . .
8 б) По свойству дифференцирования сложной функции производная от . . 18 Обязательная часть Контрольная работа 4 по теме «Производная»  . .
25 . 2020 — контрольная работа производные сложной функции 0 tm 5 . . 1 argisu ТЕМА: ПРЕДМЕТНЫЕ РУБРИКИ: ФУНКЦИИ , ВИДЫ Argisu  . .
8 . 2019 — контрольная работа по алгебре 10 класс производная функции . . . Функции images Контрольная работа по математике по теме . . 1702 2019 Видеоурок по математике » Производная сложной функции » 1302 2019  . .
24 . — Контрольная работа по темам: Производная сложной функции и производная тригонометрических функций . Состоит из двух  . .
Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем . . Производная сложной логарифмической функции — частое задание на контрольных работах, . . Можно заказать работу! К началу страницы . Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение .
Производная сложной функции . . . Контрольная работа «Применение дифференциального исчисления к . . Тема: Вычисление пределов функций .
Контрольная работа — 3 . . Зададим приращение аргументу . . Тема: Таблица производных . . . Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций . 1 . . Найдем . . Производная сложной функции 17 . Производные  . .
22 . — V (производная сложной функции) . Тема: Правила вычисления производных (производная суммы и разности) . Образец решения .
2 . 2019 — вычисление производной контрольная работа 10 класс . . . ( 10 -11 класс ) Контрольная работа по теме: » Производная функции» . . 1702 2019 Видеоурок по математике «Производная сложной функции» 1302 2019  . .
В данной теме подробно описана теория про производную сложной функции, формулы и приведены примеры решения задач с пояснениями .
На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции . . . Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные .
График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее . . Тема 2 . «Тригонометрические функции» (26 часов) . Раздел математики . Сквозная линия . . «Тригонометрия» . У-26 Урок- контрольная работа . «Свойства и графики . . Уметь находить производную сложной функции .
Контрольная работа по теме: “Производная ” 10 класс (1 час) . . суммы, разности Производная произведения, частного Производная сложной функции  . .
20 . 2019 — На повторение данной темы отводится 3 часа, поэтому из них один час . . Производная сложной функции . . Контрольная работа .
Тема1 . Начала математического анализа . Всего: 48 часов . +5 (резерв) . 1 .1 . . . 1 .3 .4 . Производная сложной функции . . Контрольная работа . К .р . «Техника  . .
О производной сложной функции и правилах дифференцирования сложной . . Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции . . . Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать . . и структурированию информации по предложенной Клиентом теме .
Перейти к разделу Правило четвертое: производная частного двух функций — Эта тема не так проста, как кажется, . . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и . . Контрольная работа .
На подготовку дается две недели (сообщается тема, основные вопросы теории, . . исследовать функции и строить их графики с помощью производной; . . Диагностическая контрольная работа в сис- теме . . сложной функции (2ч) .
19 . — Самостоятельная работа №1 . . Найти производную функции: 1 . . . Найти производную сложной и обратной функции: 1 . . . к теме . Данная разработка поможет учащимся подготовиться к контрольной работе .
Вычисление производной сложной функции . Свойство . . скачать работу «Производная сложной функции» (лекция) . . реферат, добавлен 10 .04 . . 5 .
6 ав — Помощь школьникам, студентам в решении: Производная сложной функции, можно заказать дипломную работу .
Тема: «Производная сложной функции» Тренировочная самостоятельная . . Контрольная работа по математике «Рациональные дроби и их свойства .
20 . 2019 — Скачать бесплатно — контрольную работу по теме ‘Производная функции и ее . . Теорема 1 .3 О производной сложной функции . Пусть и  . .

Контрольная Работа По Функциям С Ответами

Контрольная Работа No 2 Степенная Функция

Контрольная Работа По Географии Вторичный Сектор Экономики

Контрольная Работа По Дисциплине Экономика Организации

Контрольная Работа 1 Функции

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

                          

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

                              

Правило 2. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

                     

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

                          

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

                     

Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

                  

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».

Здесь же (далее) — более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u‘v, в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций».

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Пример 12. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

.

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя — это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного — в статьях «Производная произведения и частного функций» и «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

Урок 11. правила дифференцирования — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №11. Правила дифференцирования.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• разбор основных правил дифференцирования функций;
• примеры вычисления производной линейной функции;
• правила вычисления производных произведения и частного.

Глоссарий по теме

Производная суммы равна сумме производных.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

Производная разности равна разности производных.

Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))’ = f ‘(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) — g(x))’ = f ‘(x) — g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))’=cf ‘ (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) ‘=f’ (x)·g(x)+f(x)·g’ (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) ‘=f ‘(g(x))·g’ (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции:

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ:

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x³+3x²-x.

Решение:

f(x)=8x³+3x²-x

f’(x)=(8x³)’+(3x²)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x³) ‘=8(x³) ‘=8·3x²=24x²

(3x²) ‘=3(x²) ‘=3·x=6x

(-x) ‘=-(x) = -1

f’ (x)=(8x³) ‘+(3x²) ‘-x’=24x²+6x-1.

Ответ: f’ (x)=24x²+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f’ (x)=(3х-4) ‘ (4-5х) + (3х-4)(4-5х) ‘=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f’ (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ:

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)²

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F’ (x)=((2x-1)²) ‘·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F’ (x)=8x-4.

Урок математики по теме «Производная суммы, разности, произведения и частного функций»

АННОТАЦИЯ

Данный урок является обучающим, где на основе темы производной рассматриваются производные суммы, разности, произведения и частного функций. Приобретение студентами знаний и умений по расчету производных способствует формированию общеучебной компетенции студентов, развитию умений самоорганизации учебной деятельности при выполнении заданий с использованием современного технического средства обучения – интерактивной доски.
На уроке интерактивную доску можно использовать как пишущую доску, т.е. с помощью специальной программы и  стилуса вести все записи и как экран, показывать презентацию новой темы, где можно вносить изменения и делать пометки, используя функцию переключения указателя мыши на «перо».
Материал может быть использован учителями-предметниками, применяющими современные технические средства обучения на своих уроках.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА

Дисциплина: Математика

Тема занятия: «Производная суммы, разности, произведения и частного функций»

Вид занятия (тип урока): комбинированный (фронтальный опрос, индивидуальная работа, работа у интерактивной доски, лекция с элементами объяснения, практическая работа).

Цели занятия:

• Учебные:
  • закрепить знания по теме «Производная»,
  • рассмотреть и изучить основные правила дифференцирования;
  • отработать навыки нахождения производных суммы, разности, произведения и частного функций
• Воспитательные: 
  • воспитывать познавательный интерес к предмету;
  • способствовать формированию ответственного отношения к учебному труду.
• Развивающие:
  • развивать память и логическое мышление;
  • развивать речевую активность путем обогащения математической терминологии;
  • развивать коммуникативные навыки и навыки самоконтроля.

Межпредметные связи:

Обеспечивающие «Математика».
Обеспечиваемые «Математические методы», «Численные методы».

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЗАНЯТИЯ

Наглядные пособия: иллюстрации на интерактивной доске (Приложение 1). Презентация урока.

Раздаточный материал: индивидуальны карточки опроса (Приложение 2)

ТСО: Проектор, интерактивная доска, ноутбук.

Литература и Интернет-ресурсы:

Основная

1. Математика: в 2 кн.: Учебное пособие для студентов образовательных учреждений СПО/Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, Г.Н.Яковлев; Под ред. Г.Н.Яковлева.-5-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008.
2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват.учреждений/А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова. – 11-е изда. – М.:Просвещение, 2001.

Дополнительная:

1. Практические занятия по математике: учебное пособие для бакалавров/Н.В.Богомолов. – 11-е изд.,перераб.и доп. – М.:Издательство Юрайт, 2013.
2. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ССУЗов. – 2-е изд., испр. – М.:Дрофа, 2005.
3. http://www.bymath.net/ Вся элементарная математика.
4. http://www.mathematics.ru/ Математика. Подготовка к ЕГЭ.
5. http://easymath.com.ua/ обучающий сайт «Математика – это просто!»

ХОД УРОКА

Организационный момент

1. Взаимное приветствие;
2. Проверка внешнего вида и состояния рабочих мест,
3. Проверка отсутствующих

Постановка целей и задач урока

1. Повторение предыдущего материала;
2. Изучение основных правил дифференцирования в нахождении производной суммы, разности, произведения и частного функций;
3. Упражнения для закрепления пройденной темы

Проверка домашнего задания

4 учащихся получают индивидуальные карточки:

Карточка №1.Найдите производную функции у:

1. у = 2х⁴; 2. ; 3. .

Карточка №2. Найдите производную функции у:

1. у = 4х³; 2. ; 3. .

Карточка №3. Найдите производную функции у:

1. у = 3х⁵; 2. ; 3. .

Карточка №4. Найдите производную функции у:

1. у = 2х³; 2. ; 3. .

Пока 4 учащихся выполняют задания по карточкам, остальные отвечают на вопросы.

Вопрос 1: Что называется производной функции у = f(х), записать ее формулу на доске?

Вопрос 2: Написать на доске основные формулы дифференцирования.

Вопрос 3: Найти производную  у = f ‘(х) функции в т . х

1. f(1) = 2x³

Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению нового материала

Преподаватель. Повторили как находятся производные элементарных функций. Как решить задачи с более сложной функцией?

Найдите производную следующих функций:

(Ответят, скорее всего, неправильно, потому что не знают правил дифференцирования.)

– Сегодня изучим эти правила.

Объяснение новой темы

– Запишите новую тему «Производная суммы(разности), произведения и частного функций». (Слайд 1)

Рассмотрим основные правила дифференцирования без доказательств.

Обозначим для краткости функции

Правило 1. Если функции U и V дифференцируемы в т.x, то их сумма (разность) дифференцируема в этой точке  (Слайд 2)

Пример:

Правило 2.  Если функции U и V дифференцируемы в т.x, то их произведение дифференцируемо в этой точке (Слайд 3)

Пример:

Правило 3. Если функции U и V дифференцируемы в т.х и функция V не равна 0 в этой точке, то частное  дифференцируемо в х и  (Слайд 4)

Пример:

Закрепление материала

Вернемся к тем примерам которые рассматривали ранее. Теперь зная правила дифференцирования, как бы вы их решили?

Самостоятельно в тетрадях выполняем упражнения

Упражнение № 208(а, б), 209(а, б), 210(а, б) [2]

Домашнее задание

1) Повторить основные правила дифференцирования.
2) Выучить 3 правила дифференцирования.
3) Выполнить упражнения №208(в, г), 209(в, г), 210(в, г) [2].

Подведение итогов

Сообщение оценок.
Анализ деятельности студентов на занятии.

20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) — две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)’=u’±ν’.

Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3 . Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)’=u’ν+v’u.

т. е. (u•ν)’=u’•ν+u•ν‘.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а)  (с•u)’=с•u’, где с = const;  б)  (u•ν•w)’=u’v•w+u•v’•w+u•v•w’.  

Теорема 20.4. Производная частного двух функций     если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Пусть у=u/v. Тогда

Следствие 20.1.

  

Следствие 20.2.

20.5. Производная сложной и обратной функций

Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема 20.5 . Если функция u=φ(х) имеет производную u’_х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у’_u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у’_х в точке х, которая находится по формуле у’_х=у’_u-u’_х.

По условию

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

∆у=у’_u•∆u+α*∆u,                                     (20.6)

где α→0 при ∆u→0.

Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:

этому

∆u=u¢ _х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0.

Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим

Δy=y¢ _u(u’_х•∆х+ß*∆х)+а(u’_х•∆х+ß•∆х),

т.е.

∆у=у’u•u’_х•∆х+у’_u•ß•∆х+u’_х•а•∆х+α•ß•∆х.

Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у’_х=у’_u*u’_х.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у’_х=у’_u•u’_ν•ν’_х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6 . Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать

Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как

то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

<< Пример 20.3

 Найти производную функции у=log₂³tg x⁴.

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u³, где u=Iog₂z, где z=tgq, где q=х⁴. По правилу дифференцирования сложной функции (у’_х=y’_u•u’_z•z’_q•q’_x) получаем:

<< Пример 20.4

 Пользуясь   правилом   дифференцирования   обратной функции, найти производную у’_х для функции  

Решение: Обратная функция х=у³+1 имеет производную х’_y =3у².

Следовательно,

как найти, вычислить и понять с нуля

 

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

 

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Правила исчисления — многомерные

Правила исчисления — многомерные

---

Добавленные переменные, те же методы

В реальном мире очень сложно объяснить поведение как функцию только одной переменной, и экономика ничем не отличается. Более конкретные экономические интерпретации будут обсуждаться в следующем разделе, а пока мы просто сконцентрируйтесь на разработке техник, которые мы будем использовать.

Во-первых, чтобы определить сами функции.Мы хотим описать поведение где переменная зависит от двух или более переменных. Каждое правило и обозначения, описанные с этого момента, одинаковы для двух переменных, трех переменных, четыре переменные и так далее, поэтому мы воспользуемся простейшим случаем; функция двух независимые переменные. Обычно z является зависимой переменной (например, y в одномерных функциях), а x и y — независимые переменные (например, x в одномерных функциях):

Например, предположим, что следующая функция описывает некоторое поведение:

Дифференциация этой функции по-прежнему означает одно и то же — мы все еще ищем для функций, которые дают нам наклон, но теперь у нас есть более одной переменной, и более одного ската.

Визуализируйте это, вспомнив из графика, что функция с двумя независимыми переменными выглядит так. В то время как двумерный изображение может представлять одномерную функцию, наша функция z выше может быть представлена как трехмерная форма. Считайте, что переменные x и y измеряются по сторонам шахматной доски. Тогда каждая комбинация x и y будет карту на квадрат где-нибудь на шахматной доске. Например, предположим, что x = 1 и y = 1. Начните с одного из углов шахматной доски.Тогда двигайся один квадрат на стороне x для x = 1 и один квадрат на доске, чтобы представить у = 1. Теперь вычислите значение z.

Функция z принимает значение 4, которое мы изображаем как высоту 4 над квадрат, представляющий x = 1 и y = 1. Составьте карту всей функции таким образом, и в результате будет форма, обычно похожая на гору. пик типичных задач экономического анализа.

А теперь вернемся к склону.Представьте себе, что вы стоите на форме горы, глядя параллельно в сторону x шахматной доски. Если вы позволите x увеличиться, удерживая y постоянная, то вы двигаетесь вперед по прямой вдоль горы форма. Наклон в этом направлении мы определяем как изменение z переменная или изменение высоты фигуры в ответ на движение вдоль шахматной доски в одном направлении, или изменение переменной x, удерживая y постоянная.

Формально это определение: частная производная z по to x — это изменение z при заданном изменении x при постоянном y. Обозначения, как и раньше, могут быть разными. Вот несколько распространенных вариантов:

Теперь вернитесь к форме горы, поверните на 90 градусов и проделайте тот же эксперимент. Теперь мы определяем второй наклон как изменение высоты функции z в ответ на движение вперед по шахматной доске (перпендикулярно движение, измеренное первым вычислением уклона), или изменение переменной y, сохраняя постоянную переменную x. Типовые обозначения для этой операции будет

Следовательно, исчисление функций многих переменных начинается с взятия частных производных, другими словами, поиск отдельной формулы для каждого из уклонов, связанных с изменениями одной из независимых переменных поочередно.До мы обсуждаем экономические приложения, давайте рассмотрим правила частичной дифференциации.

Основные правила частичной дифференциации

Правила частичного дифференцирования следуют той же логике, что и правила одномерного дифференциация. Единственная разница в том, что мы должны решить, как относиться к другой переменной. Напомним, что в предыдущем разделе наклон был определяется как изменение z для данного изменения x или y, содержащее другую переменную постоянный.Вот наша подсказка относительно того, как обращаться с другой переменной. Если мы будем держать его постоянным, это означает, что независимо от того, как мы его называем или какую переменную имя, которое у него есть, мы рассматриваем его как константу. Предположим, например, что у нас есть следующее уравнение:

Если мы берем частную производную z по x, то y равен рассматривается как постоянная величина. Поскольку он умножается на 2 и x и является постоянным, он также определяется как коэффициент при x. Следовательно,

Следовательно, если все другие переменные остаются постоянными, тогда частная производная правила работы с коэффициентами, простыми степенями переменных, константами, и суммы / различия функций остаются неизменными и используются для определения функция наклона для каждой независимой переменной.Давайте использовать функция из предыдущего раздела для иллюстрации.

Во-первых, дифференцируем по x, сохраняя y постоянным:

Обратите внимание, что в первом члене не было переменных y, поэтому дифференцирование было точно так же, как одномерный процесс; в последнем члене не было x переменных, следовательно, производная равна нулю в соответствии с правилом констант, поскольку y равно рассматривается как постоянная величина.

Теперь возьмем частную производную по y при постоянном x:

Опять же, обратите внимание, что в первом члене не было «переменных», так как x рассматривается как константа, поэтому производная этого члена равна 0.

Чтобы получить четкое изображение более чем одного наклона функции, давайте оценим две частные производные в точке функции, где х = 1 и у = 2:

Как мы интерпретируем эту информацию? Во-первых, обратите внимание, что когда x = 1 и y = 2, то функция z принимает значение 3.На данный момент на нашем «гора» или трехмерная форма, мы можем оценить изменение функция z в 2-х разных направлениях. Во-первых, изменение z относительно к x равно 10. Другими словами, наклон в направлении, параллельном Ось x равна 10. Теперь поверните на 90 градусов. Уклон в перпендикулярном направлении к нашему предыдущему уклону 6, поэтому не такой крутой. Также обратите внимание что, хотя каждый наклон зависит от изменения только одной переменной, положение или фиксированное значение другой переменной имеет значение; так как вам нужны как x, так и y, чтобы фактически вычислить числовые значения наклона.Добро пожаловать назад к этому в следующем разделе и рассмотрим экономический смысл этого родство. Но сначала вернемся к правилам.

Правила произведения и отношения функций следуют точно такой же логике: держать все переменные постоянными, кроме той, которая изменяется, чтобы определить наклон функции по отношению к этой переменной. К проиллюстрируем правило продукта, сначала давайте переопределим правило, используя частичное обозначение дифференцирования:

Теперь используйте правило произведения, чтобы определить частные производные следующих функция:

Чтобы проиллюстрировать правило частного, сначала переопределите правило, используя частичное дифференцирование. обозначение:

Используйте новое правило частного, чтобы взять частные производные следующих функция:

Не очень простые правила частичной дифференциации

Как и в предыдущем одномерном разделе, у нас есть два специализированных правила. что теперь мы можем применить к нашему многомерному случаю.

Во-первых, обобщенная мощность функция правила. Опять же, нам нужно скорректировать обозначения, а затем правило можно применять точно так же, как и раньше.

Когда многомерная функция принимает следующий вид:

Тогда правило взятия производной:

Используйте правило степени для следующей функции, чтобы найти две частные производные:

Правило цепочки составных функций обозначение также может быть скорректировано для многомерного случая:

Тогда частные производные z по двум независимым переменным определены как:

Давайте сделаем тот же пример, что и выше, на этот раз используя составную функцию обозначение, в котором функции внутри функции z переименовываются.Обратите внимание, что любое правило может использоваться для этой проблемы, поэтому, когда это необходимо к проблеме представления более формальной записи составных функций? По мере усложнения проблемы переименование частей составной функции — лучший способ отслеживать все части проблемы. Это немного отнимает больше времени, но ошибки внутри проблемы менее вероятны.

Последний шаг такой же, замените u на функцию g:

Частные случаи в функциях многих переменных

Последние два частных случая многомерного дифференцирования также следуют та же логика, что и их одномерные аналоги.

Правило дифференцирования многомерных натуральных логарифмических функций, с соответствующими изменениями обозначений выглядит следующим образом:

Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

Сделаем пример. Найдите частные производные следующих функция:

Правило взятия частичных от экспоненциальных функций можно записать как:

Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

В последний раз мы ищем частные производные следующей функции используя экспоненциальное правило:

Частные производные высшего порядка и кросс-частные производные

История усложняется, когда мы берем производные более высокого порядка. многомерных функций.Интерпретация первой производной остается прежним, но теперь необходимо рассмотреть две производные второго порядка.

Во-первых, это прямая производная второго порядка. В этом случае многомерная функция дифференцируется один раз относительно независимого переменная, сохраняющая все остальные переменные постоянными. Затем результат дифференцируется второй раз, снова по той же независимой переменной. В такой функции, как следующая:

Имеются 2 прямые частные производные второго порядка, обозначенные значком следующие примеры обозначений:

Эти вторые производные можно интерпретировать как скорость изменения два наклона функции z.

Теперь история немного усложняется. Кросс-партиалы, f _xy и f _yx определяются следующим образом. Сначала возьмите частная производная z по x. Затем возьмем производную снова, но на этот раз возьмем его относительно y и оставим x постоянным. В пространственном отношении представьте, что крестовина является мерой того, как наклон (изменение in z относительно x) изменяется при изменении переменной y. Следующий примеры обозначений для кросс-партиалов:

Мы обсудим экономический смысл в следующем разделе, а пока мы просто покажем пример и заметим, что в функции, где кросс-частичные непрерывны, они будут идентичны.Для следующей функции:

Возьмите первую и вторую частные производные.

Теперь, начиная с первых частных производных, найдите перекрестные частные производные:

Обратите внимание, что кросс-партиалы действительно идентичны, что будет очень пригодится нам в будущих разделах оптимизации.

[индекс]

---

Производные правила

Производная сообщает нам наклон функции в любой точке.

Есть правил , которым мы можем следовать, чтобы найти множество деривативов.

Например:

• Наклон постоянного значения (например, 3) всегда 0
• Наклон линии , например, 2x равен 2, или 3x равен 3 и т. Д.
• и так далее.

Вот полезные правила, которые помогут вам вычислить производные многих функций (с примерами ниже). Примечание: маленькая метка ‘означает , производную от , а f и g — функции.

Общие функции	Функция	Производная
Константа	с	0
Линия	х	1
	топор	a
Квадрат	х 2	2x
Квадратный корень	√x	(½) x -½
Экспоненциальная	e x	e x
	a x	дюйм (а) x
Логарифмы	лин (х)	1 / х
	журнал a (x)	1 / (x ln (а))
Тригонометрия (x в радианах)	грех (х)	cos (x)
	cos (x)	−sin (x)
	коричневый (x)	сек 2 (x)
Обратная тригонометрия	грех -1 (х)	1 / √ (1-х 2 )
	cos -1 (х)	-1 / √ (1-х 2 )
	желто-коричневый -1 (x)	1 / (1 + х 2 )
Правила	Функция	Производная
Умножение на константу	CF	cf ’
Правило мощности	x n	nx n − 1
Правило о сумме	ж + г	f ’+ g’
Правило разницы	ф — г	f ’- g’
Правило продукта	fg	f g ’+ f’ g
Правило частного	ф / г	f ’g — g’ f g 2
Взаимное правило	1 / f	−f ’/ f 2
Правило цепочки (как «Состав функций»)	f º g	(f ’º g) × g’
Правило цепочки (используя ’)	ф (г (х))	f ’(g (x)) g’ (x)
Правило цепочки (с использованием д dx )	dy dx знак равно dy du du dx

Также пишется «Производная от» д dx

Так д dx sin (x) и sin (x) ’оба означают« производную sin (x) »

Примеры

Пример: какова производная sin (x)?

Из приведенной выше таблицы это указано как cos (x)

Можно записать как:

d dx sin (x) = cos (x)

или:

sin (x) ’= cos (x)

Правило мощности

Пример: что такое

d dx x ³ ?

Возникает вопрос: «Какая производная от x ³ ?»

Мы можем использовать правило мощности, где n = 3:

d dx x ⁿ = nx ^{n − 1}

d dx x ³ = 3x ³⁻¹ = 3x ²

(Другими словами, производная от x ³ равна 3x ² )

Так это просто:

«умножить на мощность
, затем уменьшить мощность на 1″

Его также можно использовать в таких случаях:

Пример: Что такое

d dx (1 / x)?

1 / x также x ^-1

Мы можем использовать правило мощности, где n = −1:

d dx x ⁿ = nx ^{n − 1}

d dx x ^-1 = -1x ^-1-1

= −x ^-2

= −1 x ²

Итак, мы только что сделали это:

, что упрощается до −1 / x ²

Умножение на константу

Пример: Что такое

d dx 5x ³ ?

производная от cf = cf ’

производная 5f = 5f ’

Мы знаем (из правила власти):

d dx x ³ = 3x ³⁻¹ = 3x ²

Итак:

d dx 5x ³ = 5 d dx x ³ = 5 × 3x ² = 15x ²

Правило о сумме

Пример: Какова производная от x

² + x ³ ?

Правило суммы говорит:

производная от f + g = f ’+ g’

Итак, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем добавить их.

Использование правила мощности:

А так:

производная от x ² + x ³ = 2x + 3x ²

Правило разницы

То, что мы различаем, не обязательно должно быть x , это может быть что угодно. В данном случае v :

Пример: Что такое

d dv (v ³ −v ⁴ )?

Правило разницы гласит:

производная от f — g = f ’- g’

Итак, мы можем вычислить каждую производную отдельно, а затем вычесть их.

Использование правила мощности:

А так:

производная от v ³ — v ⁴ = 3v ² — 4v ³

Правила суммы, разности, постоянного умножения и мощности

Пример: Что такое

d dz (5z ² + z ³ — 7z ⁴ )?

Использование правила мощности:

• d dz z ² = 2z
• d dz z ³ = 3z ²
• d dz z ⁴ = 4z ³

А так:

d dz (5z ² + z ³ — 7z ⁴ ) = 5 × 2z + 3z ² — 7 × 4z ³
= 10z + 3z ² — 28 ³

Правило продукта

Пример: Какая производная от cos (x) sin (x)?

Правило продукта гласит:

производная от fg = f g ’+ f’ g

В нашем случае:

Мы знаем (из таблицы выше):

• d dx cos (x) = −sin (x)
• d dx sin (x) = cos (x)

Итак:

производная от cos (x) sin (x) = cos (x) cos (x) — sin (x) sin (x)

= cos ² (x) — sin ² (x)

Правило частного

Чтобы помочь вам запомнить:

( f г ) ’= gf’ — fg ’ г ²

Производная от максимума над минимальным:

«Low dHigh минус High dLow, над линией и возведи в квадрат минимум»

Пример: Какова производная cos (x) / x?

В нашем случае:

Мы знаем (из таблицы выше):

Итак:

производная от cos (x) x = Low dHigh минус High dLow возвести в квадрат Low

= x (−sin (x)) — cos (x) (1) x ²

= — xsin (x) + cos (x) x ²

Взаимное правило

Пример: Что такое

d dx (1 / x)?

Взаимное правило говорит:

производная от 1 f = −f ’ f ²

Если f (x) = x, мы знаем, что f ’(x) = 1

Итак:

производная от 1 x = −1 x ²

Это тот же результат, который мы получили выше, используя правило мощности.

Правило цепочки

Пример: Что такое

д dx грех (х ² )?

sin (x ² ) состоит из sin () и x ² :

Правило цепочки говорит:

производная от f (g (x)) = f ‘(g (x)) g’ (x)

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(г) = cos (г)
• г ‘(x) = 2x

Итак:

д dx sin (x ² ) = cos (g (x)) (2x)

= 2x cos (x ² )

Другой способ написания правила цепочки: dy dx знак равно dy du du dx

Давайте повторим предыдущий пример, используя эту формулу:

Пример: что такое

д dx грех (х ² )?

dy dx знак равно dy du du dx

Пусть u = x ² , поэтому y = sin (u):

д dx sin (x ² ) = д du грех (у) д dx х ²

Различить каждое:

д dx sin (x ² ) = cos (u) (2x)

Заменить обратно u = x ² и упростить:

д dx sin (x ² ) = 2x cos (x ² )

Тот же результат, что и раньше (слава богу!)

Еще пара примеров цепного правила:

Пример: Что такое

d dx (1 / cos (x))?

1 / cos (x) состоит из 1 / g и cos () :

Правило цепочки говорит:

производная от f (g (x)) = f ’(g (x)) g’ (x)

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(г) = -1 / (г ² )
• г ‘(x) = −sin (x)

Итак:

(1 / cos (x)) ’= -1 г (x) ² (-sin (x))

= sin (x) cos ² (x)

Примечание: sin (x) cos ² (x) также tan (x) cos (x) или многие другие формы.

Пример: Что такое

d dx (5x − 2) ³ ?

Правило цепочки говорит:

производная от f (g (x)) = f ’(g (x)) g’ (x)

(5x − 2) ³ состоит из г ³ и 5x − 2 :

Индивидуальные производные финансовые инструменты:

• f ‘(g) = 3g ² (по правилу мощности)
• г ‘(х) = 5

Итак:

d dx (5x − 2) ³ = (3g (x) ² ) (5) = 15 (5x − 2) ²

6800, 6801, 6802, 6803, 6804, 6805, 6806, 6807, 6808, 6809, 6810, 6811, 6812

AP Calculus Review: Sum and Difference Rules — Magoosh Blog

Правила суммы и разности говорят нам, как брать производные от функций, которые имеют более одного члена.Это одни из наиболее часто используемых правил, поэтому мы склонны использовать их автоматически, даже не осознавая этого.

Правила суммы и разности

Проще говоря, производная суммы (или разницы) равна сумме (или разности) производных.

Более точно, предположим, что f и g — это функции, которые дифференцируются в определенном интервале ( a , b ). Тогда сумма f + g и разница f — g обе дифференцируемы в этом интервале, и

Пример: неизвестная функция прибыли

Пусть C ( x ) будет стоимостью производства x единиц, а R ( x ) будет выручкой от продажи товаров размером x .Тогда прибыль, полученная от производства и продажи товаров размером x , составит P ( x ) = R ( x ) — C ( x ). Предположим, нам известны следующие данные.

C ( 1000 )	C ‘( 1000 )	R ( 1000 )	R ‘ ( 100020 ) 100020
7800 долл. США	8 долл. США.50	10320 долл. США	7,80 долл. США

Найдите значение P ‘( 1000 ) и интерпретируйте его значение. Должна ли компания производить больше или меньше 1000 наименований на основе вашего анализа?

Используйте правило разницы:

Поскольку производный инструмент измеряет скорость изменения, мы заключаем, что компания потеряет 70 центов на каждую дополнительную единицу, произведенную и проданную сверх 1000. Поскольку увеличение уровня производства приводит к минус прибыли, компании, вероятно, следует сократить производство до некоторой суммы. менее 1000 наименований.

Пример: многочлены

Мы редко сталкиваемся с правилами суммы и разницы по отдельности. Вместе с правилом мощности и правилом постоянного множественного числа эти правила позволяют различать любой многочлен.

Найдите f ‘( x ), если f ( x ) = 7 x ⁵ + 3 x ² -4 x + 12.

Следовательно, f ‘( x ) = 35 x ⁴ + 6 x — 4.

Обратите внимание, на практике вам не нужно каждый раз так записывать каждый шаг. Как только вы познакомитесь с правилами, вы сможете получить ответ за один шаг — по крайней мере, для простых функций, таких как полиномы!

Пример: общие функции

Правила работают одинаково даже в более сложных ситуациях.

Найдите

В этом случае помогает сначала переписать исходную функцию, чтобы было легче взять производную.

Теперь у нас есть сумма двух членов! Используйте правило сумм, чтобы найти производную.

Сводка

Правила суммы и разницы — это лишь два из множества правил дифференциации, которые вам необходимо освоить, чтобы успешно сдать экзамены AP Calculus. Ознакомьтесь с этим обзором исчисления: производные правила для более полной картины.

Гарантированно повысьте свой результат по SAT или ACT. Начните 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep уже сегодня!

• Шон получил докторскую степень.Имеет степень бакалавра математики в Университете штата Огайо в 2008 году (Go Bucks !!). В 2002 году он получил степень бакалавра математики и информатику в Оберлинском колледже. Кроме того, Шон получил степень бакалавра искусств. из Консерватории Оберлина в том же году по специальности «музыкальная композиция». Шон по-прежнему любит музыку — почти так же, как математику! — и он (думает, что) может играть на пианино, гитаре и басу. Шон обучал и обучал студентов математике около десяти лет и надеется, что его опыт поможет вам добиться успеха!

  Просмотреть все сообщения

Между прочим, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT. x \)?

Если мы знаем производную от \ (y = f (x) \), как вычисляется производная от \ (y = k f (x) \), где \ (k \) — константа?

Если мы знаем производные от \ (y = f (x) \) и \ (y = g (x) \), как вычисляется производная от \ (y = f (x) + g (x) \) ?

В главе 1 мы разработали концепцию производной функции.Теперь мы знаем, что производная \ (f ‘\) функции \ (f \) измеряет мгновенную скорость изменения \ (f \) по отношению к \ (x \), а также наклон касательной к \ (y = f (x) \) при любом заданном значении \ (x \). На сегодняшний день мы сосредоточились в первую очередь на графической интерпретации производной или, в контексте функций в физическом окружении, как значимой скорости изменения. Чтобы фактически вычислить значение производной в определенной точке, мы обычно полагались на предельное определение производной.

В этой главе мы исследуем, как определение предела производной,

\ [f ‘(x) = \ lim_ {h → 0} f (x + h) — f (x) h, \]

приводит к интересным шаблонам и правилам, которые позволяют нам быстро найти формулу для \ (f ‘(x) \) на основе формулы для \ (f (x) \) без прямого использования определения предела. Например, мы уже знаем, что если \ (f (x) = x \), то следует, что \ (f ‘(x) = 1 \). Хотя мы могли бы использовать предельное определение производной, чтобы подтвердить это, мы знаем, что это правда, потому что \ (f (x) \) является линейной функцией с крутизной 1 при каждом значении \ (x \).2 \), что мы можем обозначать его производную через \ (f ‘(x) \), и мы пишем \ (f’ (x) = 2x \). Точно так же, если мы больше думаем о взаимосвязи между \ (y \) и \ (x \), мы иногда обозначаем производную от \ (y \) по отношению к \ (x \) символом

.

\ [\ frac {d y} {d x} \]

, которое мы читаем как «ди-у-ди-х». Это обозначение связано с тем, что производная связана с наклоном линии, а наклон измеряется как \ (\ frac {\ Delta y} {\ Delta x} \). Обратите внимание, что, хотя мы читаем \ (\ frac {\ Delta y} {\ Delta x} \) как «изменение \ (y \) по сравнению с изменением \ (x \)», для символа производной \ (\ frac {dy } {dx} \), мы считаем, что это один символ, а не частное двух величин ¹ . {2} \ right] = 2 x \).{2}}. \]

В дальнейшем мы будем работать над широким расширением нашего набора функций, для которых мы можем быстро вычислить соответствующую формулу производной

Постоянные, степенные и экспоненциальные функции

На данный момент мы знаем формулу производной для двух важных классов функций: постоянных функций и степенных функций. Для первого типа заметьте, что если \ (f (x) = c \) — постоянная функция, то ее график представляет собой горизонтальную линию с нулевым наклоном в каждой точке.{n − 1} \).

Когда мы в следующий раз обратимся к размышлениям о производных комбинаций базовых функций, будет поучительно иметь еще один тип базовой функции, формула производной которой нам известна. Пока мы просто формулируем это правило без объяснения или оправдания; мы исследуем, почему это правило верно, в одном из упражнений в конце этого раздела, плюс мы встретим графическое обоснование того, почему правило правдоподобно в предварительном упражнении 2. x ln (a) \).Икс\). Как мы видим из правил, это имеет большое значение в форме производной.

Следующее упражнение проверит ваше понимание производных от трех основных типов функций, указанных выше.

Активность \ (\ PageIndex {1} \)

Используйте три приведенных выше правила для определения производной каждой из следующих функций. Для каждого из них сформулируйте свой ответ, используя полную и правильную нотацию, помечая производную ее именем. Например, если вам дана функция \ (h (z) \), вы должны написать «\ (h ‘(z) = \)» или «\ (\ frac {dh} {dz} = \)» как часть вашего ответа.{3}} \)

Постоянные кратные и суммы функций

Конечно, большинство функций, с которыми мы сталкиваемся в математике, сложнее, чем быть просто константой, степенью переменной или основанием, возведенным в степень переменной. В этом и нескольких последующих разделах мы узнаем, как быстро вычислить производную функции, построенной как алгебраическая комбинация базовых функций. 2 — 9, \]

, которая представляет собой функцию, состоящую из постоянных кратных и сумм степеней \ (t \).С этой целью мы разрабатываем два новых правила: правило постоянного множественного числа и правило суммы .

Допустим, у нас есть функция \ (y = f (x) \), формула производной которой известна. Как производная от \ (y = k f (x) \) связана с производной исходной функции? Напомним, что когда мы умножаем функцию на константу \ (k \), мы растягиваем график по вертикали на коэффициент \ (| k | \) (и отражаем график поперек \ (y = 0 \), если \ (k < 0 \)). Это вертикальное растяжение влияет на наклон графика, делая наклон функции \ (y = k f (x) \) в \ (k \) раз круче, чем наклон функции \ (y = f (x) \).{−3}). \]

Затем мы исследуем, что происходит, когда мы берем сумму двух функций. Если у нас есть \ (y = f (x) \) и \ (y = g (x) \), мы можем вычислить новую функцию \ (y = (f + g) (x) \), сложив выходы две функции: \ ((f + g) (x) = f (x) + g (x) \). {\ prime} (x) \).

На словах правило суммы говорит нам, что «производная от суммы — это сумма производных». Это также говорит нам, что всякий раз, когда мы берем сумму двух дифференцируемых функций, результат также должен быть дифференцируемым. Кроме того, поскольку мы можем просмотреть функцию разницы

\ [y = (f −g) (x) = f (x) −g (x) \ textit {as y} = f (x) + (- 1 · g (x)), \]

Правило суммы и постоянное множественное правило вместе говорят нам, что

\ [\ dfrac {d} {dx} [f (x) + (−1 · g (x))] = f ‘(x) — g’ (x), \]

или что «производная от разницы — это разность производных.{- 4}. \]

Активность \ (\ PageIndex {2} \)

Используйте только правила для постоянных, степенных и экспоненциальных функций, а также правила для постоянных кратных и сумм, чтобы вычислить производную каждой функции ниже по заданной независимой переменной. Обратите внимание на то, что мы еще не знаем правил, как различать произведение или частное функций. Это означает, что вам, возможно, придется сначала выполнить некоторую алгебру над функциями, указанными ниже, прежде чем вы сможете фактически использовать существующие правила для вычисления желаемой производной формулы.{2} — а + 12 \)

Точно так же, как у нас есть правила быстрого доступа, которые помогают нам находить производные, мы вводим некоторый язык, который проще и короче. Часто вместо того, чтобы говорить «взять производную от \ (f \)», мы вместо этого говорим просто «дифференцировать \ (f \)». Эта формулировка связана с понятием наличия производной с самого начала: если производная существует в точке, мы говорим «\ (f \) дифференцируемо», что связано с тем фактом, что \ (f \) можно дифференцировать .

По мере того, как мы все больше и больше работаем с алгебраической структурой функций, важно стремиться к созданию общей картины того, что мы делаем.{z} \ ln (2) \), что тоже экспоненциально.

Кроме того, хотя в настоящее время мы делаем упор на изучение сокращенных правил для поиска производных без прямого использования определения предела, мы должны быть уверены, что не упустим из виду тот факт, что весь смысл производной по-прежнему остается в силе, который мы разработали в главе 1. То есть каждый раз, когда мы вычисляем производную, эта производная измеряет мгновенную скорость изменения исходной функции, а также наклон касательной в любой выбранной точке кривой.В следующем упражнении вас попросят объединить только что разработанные производные правила с некоторыми ключевыми перспективами, которые мы изучали в главе 1.

Активность \ (\ PageIndex {3} \)

В каждом из следующих вопросов предлагается использовать производные инструменты для ответа на ключевые вопросы о функциях. Обязательно тщательно обдумывайте каждый вопрос и используйте правильные обозначения в своих ответах.

1. Найдите наклон касательной к \ (h (z) = \ sqrt {z} + \ frac {1} {z} \) в точке, где \ (z = 4 \).{2} — a + 12 \) в точке, где \ (a = −1 \).
2. В чем разница между предложением найти наклон касательной (задается в (а)) и уравнением касательной линии (задано в (в))?

Сводка

В этом разделе мы встретили следующие важные идеи:

• Для дифференцируемой функции \ (y = f (x) \) мы можем выразить производную f в нескольких различных обозначениях: \ (f ‘(x) \), \ (\ frac {df} {dx} \ ), \ (\ frac {dy} {dx} \) и \ (\ frac {d} {dx} [f (x)] \).{\ prime} (x) \].

Авторы и авторство

Мэтт Булкинс (Государственный университет Гранд-Вэлли), Дэвид Остин (Государственный университет Гранд-Вэлли), Стив Шликер (Государственный университет Гранд-Вэлли)

________

¹ То есть мы не говорим «ди-у вместо ди-х».

² Правило постоянной множественности может быть формально доказано как следствие свойств пределов, используя определение предела производной.

³ Как и правило постоянной множественности, правило суммы может быть формально доказано как следствие свойств пределов, используя определение предела производной.

деривативов | Безграничное исчисление

Задача о производной и касательной

Использование дифференцирования позволяет решить задачу касательной линии путем нахождения наклона [латекс] f ‘(a) [/ латекс].

Цели обучения

Определите производную как наклон касательной к точке на кривой

Основные выводы

Ключевые моменты

• Касательная линия [латекс] t [/ латекс] (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке — это прямая линия, которая «едва касается» кривой в этой точке.
• Прямая линия называется касательной к кривой [латекс] y = f (x) [/ latex] в точке [latex] x = c [/ latex] на кривой, если линия проходит через точку [ латекс] (c, f (c)) [/ латекс] на кривой и имеет наклон [латекс] f ‘(c) [/ латекс], где [латекс] f’ [/ латекс] является производным от [латекс] f [/латекс].
• Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом: [латекс] y = f (a) + f {(a)} ‘(x-a) [/ latex].

Ключевые термины

• касательная : линия, касающаяся кривой в одной точке без пересечения с ней
• секущая : линия, пересекающая кривую в двух или более точках

Касательная линия [latex] t [/ latex] (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке — это прямая линия, которая «только касается» кривой в этой точке.Неформально это прямая, проходящая через пару бесконечно близких точек кривой. Точнее, прямая линия называется касательной к кривой [латекс] y = f (x) [/ latex] в точке [latex] x = c [/ latex] на кривой, если линия проходит через точка [латекс] (c, f (c)) [/ latex] на кривой и имеет наклон [латекс] f ‘(c) [/ latex], где f ‘ — производное от [latex] f [/ latex ].

Касательная к кривой : линия показывает касательную к кривой в точке, представленной точкой.Он почти не касается кривой и показывает наклон скорости изменения в точке.

Предположим, что кривая задана как график функции, [латекс] y = f (x) [/ latex]. Чтобы найти касательную в точке [latex] p = (a, f (a)) [/ latex], рассмотрите другую ближайшую точку [latex] q = (a + h, f (a + h)) [/ latex ] на кривой. Наклон секущей линии, проходящей через [латекс] p [/ латекс] и [латекс] q [/ латекс], равен коэффициенту разности

.

[латекс] \ displaystyle {\ frac {f (a + h) — f (a)} {h}} [/ latex].

Когда точка [латекс] q [/ латекс] приближается к [латексу] p [/ латексу], что соответствует уменьшению и уменьшению [латекса] h [/ латекса], коэффициент разности должен приближаться к определенному предельному значению [латекс] k [/ latex], который представляет собой наклон касательной в точке [latex] p [/ latex]. Если [латекс] k [/ латекс] известен, уравнение касательной линии может быть найдено в форме точка-наклон:

[латекс] y — f (a) = k (x-a) [/ латекс]

Предположим, что граф не имеет излома или острого края на [латексе] p [/ латексе], и он не является ни вертикальным, ни слишком изгибающимся рядом с [латексом] p [/ латексом].Затем существует уникальное значение [latex] k [/ latex], так что по мере приближения [latex] h [/ latex] к [latex] 0 [/ latex] коэффициент разности становится все ближе и ближе к [latex] k [ / latex], и расстояние между ними становится незначительным по сравнению с размером [latex] h [/ latex], если [latex] h [/ latex] достаточно мало. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела коэффициентов разности для функции [latex] f [/ latex]. Этот предел является производной функции [latex] f [/ latex] в [latex] x = a [/ latex], обозначаемой [latex] f ‘(a) [/ latex].Используя производные, уравнение касательной можно записать следующим образом:

[латекс] y = f (a) + f {(a)} ‘(x-a) [/ латекс].

Производные финансовые инструменты и курсы изменения

Дифференциация — это способ вычисления скорости изменения одной переменной по отношению к другой.

Цели обучения

Опишите производную как изменение [латекса] y [/ латекса] по сравнению с изменением [латекса] x [/ латекса] в каждой точке графика.

Основные выводы

Ключевые моменты

• Исторически первичной мотивацией для изучения дифференцирования была проблема касательной линии, задача которой для данной кривой заключается в нахождении наклона прямой, касательной к этой кривой в данной точке.
• Если [латекс] y [/ latex] является линейной функцией [latex] x [/ latex], то [latex] m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} [/ latex].
• Производная измеряет наклон графика в каждой точке.

Ключевые термины

• наклон : также называется градиентом; наклон или уклон линии описывает ее крутизну

Исторически основной мотивацией для изучения дифференцирования была проблема касательной линии, задача которой для данной кривой найти наклон прямой, касательной к этой кривой в данной точке.Слово тангенс происходит от латинского слова tangens , что означает прикосновение. Таким образом, чтобы решить проблему касательной, нам нужно найти наклон линии, которая «касается» данной кривой в данной точке, или, говоря современным языком, имеющей такой же наклон. Но что именно мы подразумеваем под «наклоном» кривой?

В простейшем случае [latex] y [/ latex] является линейной функцией от x, что означает, что график [latex] y [/ latex], деленный на [latex] x [/ latex], представляет собой прямую линию. В этом случае [латекс] y = f (x) = m x + b [/ latex] для действительных чисел m и b, а наклон m определяется по формуле:

[латекс] \ displaystyle {m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} [/ latex]

, где символ [латекс] \ Delta [/ latex] (заглавная форма греческой буквы Delta) означает и произносится как «изменение в.”Эта формула верна, потому что:

[латекс] y + \ Delta y = f (x + \ Delta x) = m (x + \ Delta x) + b = m x + b + m \ Delta x = y + m \ Delta x [/ latex]

Отсюда следует, что [латекс] \ Delta y = m \ Delta x [/ latex].

Наклон функции : функция с наклоном, показанным для данной точки.

Это дает точное значение наклона прямой. Однако, если функция [latex] f [/ latex] не является линейной (т. Е. Ее график не является прямой линией), то изменение [latex] y [/ latex] делится на изменение [latex] x [ / latex] меняется: дифференциация — это метод нахождения точного значения для этой скорости изменения при любом заданном значении [латекс] x [/ латекс].Другими словами, дифференциация — это метод вычисления скорости, с которой зависимый выход [latex] y [/ latex] изменяется по отношению к изменению в независимом входе [latex] x [/ latex]. Эта скорость изменения называется производной [латекса] y [/ латекса] по отношению к [латексу] x [/ латексу]. Точнее говоря, зависимость [латекса] y [/ latex] от [latex] x [/ latex] означает, что [latex] y [/ latex] является функцией [latex] x [/ latex]. Эта функциональная связь часто обозначается [латекс] y = f (x) [/ latex], где [latex] f [/ latex] обозначает функцию.Если [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] являются действительными числами, и если график [latex] y [/ latex] строится против [latex] x [/ latex], производная измеряет наклон этого графика в каждой точке.

Производная как функция

Если каждая точка функции имеет производную, существует функция производной, отправляющая точку [latex] a [/ latex] производной от [latex] f [/ latex] в [latex] x = a [/ latex] : [латекс] ф ‘(а) [/ латекс].

Цели обучения

Объясните, как производная действует как «функция функций»

Основные выводы

Ключевые моменты

• Производная — это оператор, область определения которого представляет собой набор всех функций, имеющих производные в каждой точке своей области определения, а диапазон значений — набор функций.
• Функция, значение которой в [latex] x = a [/ latex] равно [latex] f ′ (a) [/ latex] всякий раз, когда [latex] f ′ (a) [/ latex] определено, а в другом месте не определено, также называется производной [латекс] ф [/ латекс].
• По определению производной функции [latex] D (f) (a) = f ′ (a) [/ latex], где [latex] D [/ latex] — оператор, областью определения которого является набор всех функций которые имеют производные в каждой точке их области определения и диапазон которых является набором функций.

Ключевые термины

• диапазон : набор значений (точек), которые функция может получить
• домен : набор всех возможных математических объектов (точек), в которых определена данная функция

Пусть [latex] f [/ latex] будет функцией, которая имеет производную в каждой точке [latex] a [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].Поскольку каждая точка [latex] a [/ latex] имеет производную, существует функция, которая отправляет точку [latex] a [/ latex] производной от [latex] f [/ latex] в [latex] a [/ латекс]. Эта функция записывается [latex] f ‘(x) [/ latex] и называется производной функцией или производной от [latex] f [/ latex]. Производная [латекса] f [/ латекса] собирает все производные [латекса] f [/ латекса] во всех точках домена [латекс] f [/ латекс]. Визуально производная функции [latex] f [/ latex] в [latex] x = a [/ latex] представляет наклон кривой в точке [latex] x = a [/ latex].

Производная как наклон : Показанный наклон касательной представляет собой значение производной кривой функции в точке [латекс] x [/ латекс].

Иногда [latex] f [/ latex] имеет производную в большинстве, но не во всех точках своей области. Функция, значение которой в [latex] a [/ latex] равно [latex] f ‘(a) [/ latex] всякий раз, когда [latex] f’ (a) [/ latex] определено, а в другом месте не определено, также называется производной. [латекс] ф [/ латекс]. Это все еще функция, но ее область строго меньше, чем область [latex] f [/ latex].

Разрывная функция : В точке, где функция совершает скачок, производная функции не существует.

Используя эту идею, дифференцирование становится функцией функций: производная — это оператор, область определения которого представляет собой набор всех функций, имеющих производные в каждой точке своей области определения, а диапазон значений — набор функций. Если обозначить этот оператор как [latex] D [/ latex], то [latex] D (f) [/ latex] — это функция [latex] f ‘(x) [/ latex].Поскольку [latex] D (f) [/ latex] является функцией, ее можно оценить в точке [latex] a [/ latex]. По определению производной функции [латекс] D (f) (a) = f ‘(a) [/ latex].

Для сравнения рассмотрим функцию удвоения [латекс] f (x) = 2x [/ latex]; [latex] f [/ latex] является действительной функцией действительного числа, что означает, что он принимает числа в качестве входных данных и имеет числа в качестве выходных:

[латекс] 1 \ стрелка вправо 2 [/ латекс]

[латекс] 2 \ rightarrow 4 [/ латекс]

[латекс] 3 \ rightarrow 6 [/ латекс].2 [/ латекс]

[latex] D [/ latex] выводит функцию удвоения,

[латекс] x \ rightarrow 2x [/ латекс]

, который является f (x) f (x). Затем эта функция вывода может быть вычислена для получения [latex] f (1) = 2f (1) = 2 [/ latex], [latex] f (2) = 4 [/ latex] и так далее.

Правила дифференциации

Правила дифференцирования могут упростить производные, устраняя необходимость в сложных расчетах пределов.

Цели обучения

Практика использования правил дифференцирования для упрощения дифференцирования сложных выражений

Основные выводы

Ключевые моменты

• Дифференцирование с помощью полиномиального разложения может быть очень сложным и подверженным ошибкам.2} [/ латекс].

Ключевые термины

• коэффициент разности : разность функций [латекс] \ Delta F [/ latex], деленная на разность точек [латекс] \ Delta x [/ latex]: [latex] \ Delta F (x) / \ Delta x [ / латекс]
• полином : выражение, состоящее из суммы конечного числа членов, каждый член является произведением постоянного коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательную целую степень

Когда мы хотим различать сложные выражения, возможный способ дифференцировать выражение — это развернуть его и получить многочлен, а затем дифференцировать этот многочлен.Этот метод становится очень сложным и особенно подвержен ошибкам при выполнении расчетов вручную. Во многих случаях сложных расчетов пределов путем прямого применения разностного коэффициента Ньютона можно избежать, используя правила дифференцирования. Вот некоторые из самых основных правил.

Постоянное правило

Если [латекс] f (x) [/ latex] является константой, то [latex] f ‘(x) = 0 [/ latex], поскольку скорость изменения константы всегда равна нулю.

Правило суммы

[латекс] (\ alpha f + \ beta g) ‘= \ alpha f’ + \ beta g ‘[/ latex]

для всех функций [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] и всех действительных чисел [latex] \ alpha [/ latex] и [latex] \ beta [/ latex].x [/ latex], как и константа 7, также использовались.

Производные тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций можно найти с помощью стандартной формулы производной.

Цели обучения

Определение производных наиболее распространенных тригонометрических функций

Основные выводы

Ключевые моменты

• Производная синусоидальной функции является косинусоидальной функцией.
• Производная функции косинуса является отрицательной величиной функции синуса.
• Производная касательной функции — это функция секущей в квадрате.

Ключевые термины

• секущая : прямая линия, пересекающая кривую в двух или более точках

Тригонометрические функции (также называемые круговыми функциями) являются функциями угла. Они используются, чтобы связать углы треугольника с длинами сторон треугольника. Тригонометрические функции важны при изучении треугольников и моделирования периодических явлений, среди многих других приложений.

Наиболее известными тригонометрическими функциями являются синус, косинус и тангенс. В контексте стандартной единичной окружности с радиусом 1, где треугольник образован лучом, исходящим из начала координат и составляющим некоторый угол с осью [латекс] x [/ латекс], синус угла дает длину [latex] y [/ latex] -компонент (подъем) треугольника, косинус дает длину [latex] x [/ latex] -компоненты (прогон), а функция тангенса дает наклон ([латекс] y [/ latex] -компонент, разделенный на [latex] x [/ latex] -компонент).

Имея это в виду, мы можем использовать определение производной для вычисления производных различных тригонометрических функций:

[латекс] \ displaystyle {f ‘(x) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {f (x + h) — f (x)} {h}} [/ latex]

Например, если [латекс] f (x) = \ sin x [/ latex], то:

[латекс] \ displaystyle {f ‘(x) = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x + h) — \ sin (x)} {h}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h) + \ cos (h) \ cdot \ sin (x) — \ sin (x)} {h}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h) + (\ cos (h) — 1) \ cdot \ sin ( x)} {h}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ cos (x) \ cdot \ sin (h)} {h} + \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {(\ cos (h) — 1) \ cdot \ sin (x)} {h}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ cos (x) (1) + \ sin (x) (0)} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ quad \ quad = \ cos (x)} [/ латекс]

Синус и косинус : На этом изображении можно увидеть, что там, где касательная к одной кривой имеет нулевой наклон (производная этой кривой равна нулю), значение другой функции равно нулю.2 x} [/ латекс]

Правило цепочки

Цепное правило — это формула для вычисления производной композиции двух или более функций.

Цели обучения

Вычислить производную композиции функций, используя цепное правило

Основные выводы

Ключевые моменты

• Если [latex] f [/ latex] является функцией, а [latex] g [/ latex] является функцией, то цепное правило выражает производную сложной функции [latex] f \ circ g [/ latex] в термины производных [латекса] ф [/ латекса] и [латекса] г [/ латекса].
• Правило цепочки может применяться последовательно для любого количества функций, вложенных друг в друга.
• Цепное правило для [латекса] f \ circ g (x) [/ latex]: [latex] \ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ frac {dg} {dx} [/ латекс].

Ключевые термины

• композит : функция от функции

Цепное правило — это формула для вычисления производной композиции двух или более функций. То есть, если [latex] f [/ latex] является функцией, а [latex] g [/ latex] является функцией, то цепное правило выражает производную сложной функции [latex] f \ circ g [/ latex] в терминах производных [латекса] ф [/ латекса] и [латекса] г [/ латекса].

Например, следуя правилу цепочки для [латекс] f \ circ g (x) = f [g (x)] [/ latex], получаем:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}} [/ латекс]

Метод называется «цепным правилом», потому что его можно применять последовательно к любому количеству функций, вложенных друг в друга. Например, если [latex] f [/ latex] является функцией [latex] g [/ latex], которая, в свою очередь, является функцией [latex] h [/ latex], которая, в свою очередь, является функцией [latex ] x [/ latex] — то есть [латекс] f (g (h (x))) [/ latex] — затем производная от [latex] f [/ latex] по отношению к [latex] x [/ latex ] составляет:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dh} \ cdot \ frac {dh} {dx}} [/ латекс]

Цепное правило имеет широкое применение в физике, химии и инженерии, а также для изучения связанных скоростей во многих других дисциплинах.2 [/ латекс]

Неявная дифференциация

Неявное дифференцирование использует цепное правило для дифференцирования неявно определенных функций.

Цели обучения

Используйте неявное дифференцирование, чтобы найти производные функций, которые не являются явно функциями [latex] x [/ latex]

Основные выводы

Ключевые моменты

• Поскольку y может быть задано как функция [latex] x [/ latex] неявно, а не явно, когда у нас есть уравнение [latex] R (x, y) = 0 [/ latex], мы можем решите это для [latex] y [/ latex], а затем дифференцируйте.
• Неявная функция — это функция, которая неявно определяется отношением между ее аргументом и его значением.
• Теорема о неявной функции утверждает, что если левая часть уравнения [латекс] R (x, y) = 0 [/ latex] дифференцируема и удовлетворяет некоторому мягкому условию на свои частные производные в некоторой точке [латекс] (a , b) [/ latex] такой, что [latex] R (a, b) = 0 [/ latex], тогда он определяет функцию [latex] y = f (x) [/ latex] на некотором интервале, содержащем [latex] а [/ латекс].

Ключевые термины

• неявно : подразумевается косвенно, без прямого выражения

Неявная функция — это функция, которая неявно определяется отношением между ее аргументом и его значением.

Если левая часть уравнения [латекс] R (x, y) = 0 [/ latex] дифференцируема и удовлетворяет некоторому мягкому условию на свои частные производные в некоторой точке [latex] (a, b) [/ latex] такой, что [latex] R (a, b) = 0 [/ latex], тогда он определяет функцию [latex] y = f (x) [/ latex] на некотором интервале, содержащем [latex] a [/ latex]. Геометрически граф, определенный как [latex] R (x, y) = 0 [/ latex], будет локально перекрываться с графиком некоторого уравнения [latex] y = f (x) [/ latex].

Для большинства неявных функций не существует формулы, определяющей их явно.2 + y = \ sin (x) [/ latex] — неявная функция, потому что очень сложно получить формулу для [latex] y [/ latex] в терминах только [latex] x [/ latex]. Однако мы все еще можем найти производную от [latex] y [/ latex] по отношению к [latex] x [/ latex], используя неявное дифференцирование.

[латекс] \ displaystyle {2y \ cdot \ frac {dy} {dx} + \ frac {dy} {dx} = \ cos (x) = (2y + 1) \ frac {dy} {dx}} [/ латекс]

Следовательно:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} = \ frac {\ cos (x)} {2y + 1}} [/ latex]

Поскольку [латекс] y [/ latex] может быть задан как функция [latex] x [/ latex] неявно, а не явно, когда у нас есть уравнение [latex] R (x, y) = 0 [/ latex] , мы можем решить его для [latex] y [/ latex], а затем дифференцировать.Однако иногда проще дифференцировать [латекс] R (x, y) [/ латекс] относительно [латекса] x [/ латекса] и [латекса] y [/ латекса], а затем решать для [латекса] \ frac {dy} {dx} [/ латекс].

Например, учитывая выражение [латекс] y + x + 5 = 0 [/ latex], дифференциация урожайности:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} + \ frac {dx} {dx} + \ frac {d} {dx} 5 = \ frac {dy} {x} + 1 = 0} [/ латекс]. 2 [/ latex], где [latex] r [/ latex] — радиус круга.Вы можете использовать неявное дифференцирование, чтобы найти наклон касательной к окружности в точке [latex] (x, y) [/ latex]. Поскольку наклон касательной является производной в этой точке, мы находим производную неявно:

[латекс] \ displaystyle {2y \ frac {dy} {dx} + 2x \ frac {dx} {dx} = \ frac {dr} {dx} = 0} [/ латекс]

где [latex] \ frac {dr} {dx} [/ latex] равно [latex] 0 [/ latex], поскольку радиус постоянен. Затем вы можете найти формулу для [latex] \ frac {dy} {dx} [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {dy} {dx} = \ frac {-2x} {2y} = \ frac {-x} {y}} [/ latex]

, и теперь вы можете найти наклон в любой точке [latex] (x, y) [/ latex].

Путь точки на окружности : Путь точки на окружности может быть выражен только как неявная функция.

Дифференциация и скорость изменений в естественных и социальных науках

Дифференциация, по сути, вычисление скорости изменения, важна во всех количественных науках.

Цели обучения

Приведите примеры дифференциации или скорости изменений, используемых в различных академических дисциплинах

Основные выводы

Ключевые моменты

• Дифференциация применима почти ко всем количественным дисциплинам, будь то естественные или социальные науки.
• Ученые-физики используют дифференциацию и скорость изменения для изучения того, как физическая концепция изменяется с течением времени или на расстоянии.
• Социологи используют дифференциацию и коэффициент, чтобы определить, как люди, товары и процессы меняются из-за изменения независимой переменной.

Ключевые термины

• дифференциальная геометрия : изучение геометрии с помощью дифференциального исчисления
• импульс : (тела в движении) произведение его массы и скорости
• Валовой внутренний продукт : мера экономического производства на определенной территории с точки зрения финансового капитала за определенный период времени

Для данной функции [latex] y = f (x) [/ latex] дифференцирование — это метод вычисления скорости, с которой зависимый выход [latex] y [/ latex] изменяется по отношению к изменению в независимом входе [ латекс] х [/ латекс].Эта скорость изменения называется производной [латекса] y [/ латекса] относительно [латекса] x [/ латекса].

Скорость изменения — важное понятие во многих количественных исследованиях, и неудивительно, что дифференциация (представляющая скорость изменения) применима почти ко всем количественным дисциплинам. Например, в физике производная смещения движущегося тела по времени — это скорость тела, а производная скорости по времени — это ускорение.Второй закон движения Ньютона гласит, что производная количества движения тела равна силе, приложенной к телу. Скорость химической реакции является производной. При исследовании операций производные инструменты определяют наиболее эффективные способы транспортировки материалов и проектирования предприятий.

Производные часто используются для нахождения максимумов и минимумов функции. Уравнения, включающие производные, называются дифференциальными уравнениями и являются фундаментальными для описания природных явлений.Производные и их обобщения появляются во многих областях математики, таких как комплексный анализ, функциональный анализ, дифференциальная геометрия, теория меры и абстрактная алгебра.

Темпы изменений происходят во всех науках и во всех дисциплинах. Экономисты изучают скорость изменения валового внутреннего продукта, а социологи — скорость, с которой население голосует в определенной области. Геологи изучают скорость сдвига Земли и температурный градиент горных пород возле вулкана. Бухгалтеры изучают скорость изменения производства и поставок, а также то, как любое изменение может повлиять на затраты и прибыль.Городские инженеры изучают движение транспорта, чтобы спроектировать и построить более эффективные дороги и автострады.

В каждом аспекте жизни, в котором что-то меняется, дифференциация и скорость изменений являются важным аспектом в понимании мира и поиске способов его улучшить.

Связанные ставки

Проблемы связанных ставок связаны с нахождением скорости путем соотнесения этого количества с другими величинами, скорости изменения которых известны.

Цели обучения

Решение проблем с использованием связанных ставок (с использованием количества, скорость которого, как известно, позволяет найти скорость, с которой изменяется связанное количество)

Основные выводы

Ключевые моменты

• Поскольку наука и инженерия часто связывают количества друг с другом, методы связанных скоростей имеют широкое применение в этих областях.
• Поскольку задачи включают несколько переменных, дифференцирование по времени или по одной из других переменных требует применения правила цепочки.
• Процесс решения связанных задач ставок: запишите все соответствующие формулы и информацию, возьмите производную от первичного уравнения по времени, решите для желаемой переменной, вставьте известную информацию и упростите.

Ключевые термины

• переменная : величина, которая может принимать любое из набора значений

Одно из полезных применений деривативов — это помощь в вычислении соответствующих ставок.Что такое родственная ставка? В дифференциальном исчислении проблемы связанных скоростей включают нахождение скорости, с которой величина изменяется, путем соотнесения этой величины с другими величинами, скорости изменения которых известны. В большинстве случаев рассчитываемая соответствующая ставка является производной по некоторому значению. Мы вычисляем эту производную по скорости, с которой изменяется какая-то другая известная величина. Учитывая скорость, с которой что-то меняется, нас просят найти скорость, с которой изменяется значение, связанное с данной скоростью.

Скорость изменения обычно зависит от времени. Поскольку наука и техника часто связывают количества друг с другом, методы связанных скоростей имеют широкое применение в этих областях. Поскольку задачи включают несколько переменных, дифференцирование по времени или по одной из других переменных требует применения цепного правила.

Процесс решения проблем связанных ставок:

1. Запишите все соответствующие формулы и информацию.

2. Возьмем производную первичного уравнения по времени.

3. Найдите нужную переменную.

4. Вставьте известную информацию и упростите ее.

См. Блок-схему решения проблем связанных ставок.

Блок-схема решения проблем, связанных с расходами : Проблемы со связанными расходами можно решать с помощью методического подхода.

Предположим, вам дана следующая ситуация.

Сферический воздушный шар наполняется воздухом. Объем изменяется со скоростью 2 кубических фута в минуту.2} V ‘} [/ латекс]

Вставьте известную информацию:

[латекс] \ displaystyle {r ‘= \ frac {1} {16 \ pi} 2 = \ frac {1} {8 \ pi}} [/ latex] фут / мин

Высшие производные

Производная уже дифференцированного выражения называется производной более высокого порядка.

Цели обучения

Вычисление высших (вторых, третьих и т. Д.) Производных функций

Основные выводы

Ключевые моменты

• Вторая производная или производная второго порядка — это производная производной функции.
• Поскольку производная функции определяется как функция, представляющая наклон исходной функции, двойная производная — это функция, представляющая наклон функции первой производной.
• Если [latex] x (t) [/ latex] представляет положение объекта в момент времени [latex] t [/ latex], то производные [latex] x [/ latex] более высокого порядка имеют физические интерпретации, например как скорость и ускорение.

Ключевые термины

• производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных

Вторая производная или производная второго порядка — это производная производной функции.Производная функции может обозначаться как [латекс] f ‘(x) [/ latex], а ее двойная (или «вторая») производная обозначается как [латекс] f’ ‘(x) [/ latex]. Это читается как «[латекс] f [/ латекс] двойное простое число от [латекс] x [/ латекс]» или «вторая производная от [латекса] f (x) [/ латекса]. «Поскольку производная функции определяется как функция, представляющая наклон функции, двойная производная — это функция, представляющая наклон функции первой производной.

Кроме того, третья производная является производной производной производной функции, которая может быть представлена ​​как [латекс] f » ‘(x) [/ latex].Это читается как «[латекс] f [/ латекс] тройное простое число [латекс] x [/ латекс]» или «третья производная от [латекса] f (x) [/ латекс].»). Это может продолжаться до тех пор, пока полученная производная сама является дифференцируемой, с четвертой производной, пятой производной и так далее. Любая производная за пределами первой производной может называться производной более высокого порядка.

Если [latex] x (t) [/ latex] представляет положение объекта в момент времени [latex] t [/ latex], то производные [latex] x [/ latex] более высокого порядка имеют физические интерпретации.Вторая производная от [latex] x [/ latex] — это производная от [latex] x ‘(t) [/ latex], скорости и, по определению, ускорения объекта. Третья производная от [латекс] x [/ латекс] определяется как толчок, а четвертая производная определяется как толчок. Функция [latex] f [/ latex] не обязательно должна иметь производную — например, если она не является непрерывной. Точно так же, даже если [латекс] f [/ латекс] имеет производную, у него может не быть второй производной. См. Графическую иллюстрацию высших производных в физике.2 + 6x — 1 [/ латекс]

1. [латекс] f » (x) = 30x + 6 [/ латекс]
2. [латекс] f » ‘(x) = 30 [/ латекс]

исчисление | Определение и факты

Полная статья

Исчисление , раздел математики, связанный с вычислением мгновенных скоростей изменения (дифференциальное исчисление) и суммированием бесконечно многих малых факторов для определения некоторого целого (интегральное исчисление). Два математика, Исаак Ньютон из Англии и Готфрид Вильгельм Лейбниц из Германии, разделяют заслуги в том, что независимо друг от друга разработали исчисление в 17 веке.Исчисление теперь является основной отправной точкой для всех, кто хочет изучать физику, химию, биологию, экономику, финансы или актуарную науку. Расчет позволяет решать самые разные задачи, например, отслеживание положения космического челнока или прогнозирование давления за плотиной по мере подъема воды. Компьютеры стали ценным инструментом для решения математических задач, которые когда-то считались невероятно сложными.

Расчет кривых и площадей под кривыми

Корни исчисления лежат в некоторых из самых старых известных геометрических проблем.Египетский папирус Ринда ( c. 1650 до н. Э.) Дает правила определения площади круга и объема усеченной пирамиды. Геометры Древней Греции занимались поиском касательных к кривым, центра тяжести плоских и твердых фигур, а также объемов объектов, образованных вращением различных кривых вокруг фиксированной оси.

Подробнее по этой теме

Анализ

: Исчисление

Не говоря уже о технических предварительных приготовлениях, можно изучить два фундаментальных аспекта исчисления:

К 1635 году итальянский математик Бонавентура Кавальери дополнил строгие инструменты греческой геометрии эвристическими методами, которые использовали идею бесконечно малых отрезков линий, площадей и объемов.В 1637 году французский математик-философ Рене Декарт опубликовал свое изобретение аналитической геометрии для алгебраического описания геометрических фигур. Метод Декарта в сочетании с древней идеей построения кривых движущейся точкой позволил математикам, таким как Ньютон, описать движение алгебраически. Внезапно геометры смогли выйти за рамки единичных случаев и специальных методов прежних времен. Они могли видеть закономерности результатов и так гадать новые результаты, что старый геометрический язык затенял их понимание.

Например, греческий геометр Архимед (287–212 / 211 гг. До н. Э.) Обнаружил изолированным результатом, что площадь сегмента параболы равна определенному треугольнику. Но с алгебраической записью, в которой парабола записывается как y = x ² , Кавальери и другие геометры вскоре заметили, что площадь между этой кривой и осью x от 0 до равна a ³ /3 и что аналогичное правило справедливо для кривой y = x ³ , а именно, что соответствующая площадь равна a ⁴ /4.Отсюда им несложно было догадаться, что общая формула для площади под кривой y = x ⁿ есть a ^{n + 1} / ( n + 1 ).

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Расчет скоростей и уклонов

Проблема нахождения касательных к кривым была тесно связана с важной проблемой, возникшей в результате исследований движения итальянского ученого Галилео Галилея, а именно с задачей определения скорости в любой момент частицы, движущейся согласно некоторому закону.Галилей установил, что за t секунд свободно падающее тело падает на расстояние g t ² /2, где g — постоянная (позже интерпретированная Ньютоном как гравитационная постоянная). При определении средней скорости как расстояние за время средняя скорость тела в интервале от t до t + h определяется выражением [ g ( t + h ) ² /2 — г т ² /2] / ч .Это упрощается до g t + g h /2 и называется коэффициентом разности функции g t ² /2. Поскольку h приближается к 0, эта формула приближается к g t , что интерпретируется как мгновенная скорость падающего тела в момент времени t .

Это выражение для движения идентично полученному для наклона касательной к параболе f ( t ) = y = g t ² /2 в точке t .В этом геометрическом контексте выражение g t + g h /2 (или его эквивалент [ f ( t + h ) — f ( t )] / h ) обозначает наклон секущей линии, соединяющей точку ( t , f ( t )) с ближайшей точкой ( t + h , f ( t + ) h )) ( см. рисунок ). В пределе, с меньшими и меньшими интервалами h , секущая приближается к касательной и ее наклон в точке t .

Таким образом, коэффициент разности можно интерпретировать как мгновенную скорость или как наклон касательной к кривой. Это было исчисление, которое установило эту глубокую связь между геометрией и физикой — в процессе преобразования физики и придания нового импульса изучению геометрии.

Дифференциация и интеграция

Независимо, Ньютон и Лейбниц установили простые правила для нахождения формулы для наклона касательной к кривой в любой точке на ней, имея только формулу для кривой.Скорость изменения функции f (обозначается f ′) называется ее производной. Нахождение формулы производной функции называется дифференцированием, и правила этого составляют основу дифференциального исчисления. В зависимости от контекста производные могут интерпретироваться как наклон касательных линий, скорости движущихся частиц или другие величины, и в этом заключается большая сила дифференциального исчисления.

Важным приложением дифференциального исчисления является построение кривой по ее уравнению y = f ( x ).Это включает, в частности, поиск локальных точек максимума и минимума на графике, а также изменений перегиба (выпуклость на вогнутость или наоборот). При исследовании функции, используемой в математической модели, такие геометрические понятия имеют физические интерпретации, которые позволяют ученому или инженеру быстро получить представление о поведении физической системы.

Другое великое открытие Ньютона и Лейбница заключалось в том, что нахождение производных функций было, в точном смысле, обратной задачей поиска площадей под кривыми — принципа, ныне известного как фундаментальная теорема исчисления.В частности, Ньютон обнаружил, что если существует функция F ( t ), которая обозначает площадь под кривой y = f ( x ), скажем, от 0 до t , то эта функция производная будет равна исходной кривой на этом интервале, F ′ ( t ) = f ( t ). Следовательно, чтобы найти площадь под кривой y = x ² от 0 до t , достаточно найти функцию F , так что F ′ ( t ) = t ² .Дифференциальное исчисление показывает, что наиболее общая такая функция — это x ³ /3 + C , где C — произвольная константа. Это называется (неопределенным) интегралом функции y = x ² и записывается как ∫ x ² d x . Начальный символ ∫ представляет собой удлиненную букву S, которая обозначает сумму, а d x указывает на бесконечно малое приращение переменной или оси, по которой функция суммируется.Лейбниц ввел это, потому что он думал об интегрировании как нахождение площади под кривой путем суммирования площадей бесконечного множества бесконечно малых прямоугольников между осью x и кривой. Ньютон и Лейбниц обнаружили, что интегрирование f ( x ) эквивалентно решению дифференциального уравнения, то есть нахождению функции F ( t ), так что F ′ ( t ) = f ( т ). С физической точки зрения решение этого уравнения можно интерпретировать как нахождение расстояния F ( t ), пройденного объектом, скорость которого имеет заданное выражение f ( t ).

Раздел исчисления, связанный с вычислением интегралов, — это интегральное исчисление, и среди многих его приложений обнаружение работы, выполняемой физическими системами, и вычисление давления за плотиной на заданной глубине.

Джон Л. Берггрен

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

Поиск производных сумм, продуктов, разностей и коэффициентов

Производная суммы

При вычислении производной суммы мы просто берем сумму производных.Это показано в следующей формуле.

Первая функция, с которой ваш босс хочет, чтобы вы работали, — это сумма двух функций. Следовательно, чтобы найти производную этой функции, мы просто берем сумму производных. Для этого нам нужно признать, что производная от x 2 равна 2 x , а производная от 4 x равна 4. Теперь мы просто подставляем нашу формулу и получаем производную.

Мы видим, что производная первой функции равна f ‘( x ) = 2 x + 4.

Производная разницы

Вторая функция, g , является разностью функций. Когда мы хотим найти производную разности, мы просто находим разность производных. Это похоже на правило сумм и показано в следующей формуле.

Чтобы использовать нашу формулу в нашем примере, нам просто нужно знать, что производная 3 x 3 равна 9 x 2, а производная 5 x 2 равна 10 x .Еще раз, мы просто подключаемся к нашей формуле.

Используя нашу формулу, мы обнаружили, что производная второй функции равна g ‘( x ) = 9 x 2-10 x .

Производная от продукта

Теперь все становится немного сложнее. Третья функция является произведением функций x и ln ( x ). Когда мы хотим найти производную от продукта, мы используем правило продукта для производных финансовых инструментов.

Таким образом, чтобы найти производную нашей функции h в нашем примере, нам нужно знать, что производная x равна 1, а производная ln ( x ) равна 1/ x , а затем нам просто нужно использовать нашу формулу.

Мы видим, что производная третьей функции равна h ‘( x ) = ln ( x ) + 1.

Производная от частного

Последняя функция — это частное. Еще раз, взять производную от частного немного сложнее, чем просто взять частное от производных. У нас также есть правило частного для производных, и оно выглядит следующим образом.

Чтобы использовать правило частного для нахождения производной j , нам нужно знать производную x и ln ( x ). Фактически мы уже знаем это из последней проблемы.Производная от x равна 1, а производная от ln ( x ) равна 1/ x . Все, что нам нужно сделать сейчас, это включить нашу формулу и упростить.

Мы обнаружили, что производная последней функции равна j ‘( x ) = (1 — ln ( x )) / x 2.

Теперь мы нашли все производные функций, которые дал вам начальник, поэтому теперь он может найти наклон каждой из этих функций при любом заданном значении x .