Решение тригонометрических уравнений самостоятельная работа 10 класс: Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения» (10 класс)

Содержание

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения» (10 класс)

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

1 вариант

  1. sinx = 0;

  2. 2tg3x = 0;

  3. 2cosx = 1;

  4. 2sin(2x – 4π) =;

  5. cos22x = 2;

  6. 1 – sin2x = 0;

  7. 2cos2x -5cosx – 3 = 0;

  8. 3sin2x + 7cosx – 3 = 0;

  9. 2tg23x – 3tg3x + 1 = 0;

  10. (1 – cos2x)(сtg(-2x) + ) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

2 вариант

  1. cosx = 0;

  2. 3ctg2x = 0;

  3. 2sinx =

  4. 2cos(2x – 4 π) = ;

  5. sin4x = 1;

  6. 1 – cos2x = 0;

  7. 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;

  8. 2cos2

    x + 5sinx – 4 = 0;

  9. tg 2 2x – 9 tg 2x + 8 = 0;

  10. (sinx + 1)(ctg(-2x)–) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

1 вариант

1. sinx = 0;

2. 2tg3x = 0;

3. 2cosx = 1;

4. 2sin(2x – 4π) =;

5. cos22x = 2;

6. 1 – sin2x = 0;

7. 2cos2x -5cosx – 3 = 0;

8. 3sin2x + 7cosx – 3 = 0;

9. 2tg23x – 3tg3x + 1 = 0;

10. (1 – cos2x)(сtg(-2x) + ) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

2 вариант

1. cosx = 0;

  1. 3ctg2x = 0;

  2. 2sinx =

  3. 2cos(2x – 4 π) = ;

  4. sin4x = 1;

  5. 1 – cos

    2x = 0;

  6. 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;

  7. 2cos2x + 5sinx – 4 = 0;

  8. tg 2 2x – 9 tg 2x + 8 = 0;

  9. (sinx + 1)(ctg(-2x)–) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

1 вариант

1. sinx = 0;

2. 2tg3x = 0;

3. 2cosx = 1;

4. 2sin(2x – 4π) =;

5. cos22x = 2;

6. 1 – sin2x = 0;

7. 2cos2x -5cosx – 3 = 0;

8. 3sin2x + 7cosx – 3 = 0;

9. 2tg23x – 3tg3x + 1 = 0;

10. (1 – cos2x)(сtg(-2x) + ) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

2 вариант

1. cosx = 0;

2. 3ctg2x = 0;

3. 2sinx =

4. 2cos(2x – 4

π) = ;

5. sin4x = 1;

6. 1 – cos2x = 0;

7. 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;

8. 2cos2x + 5sinx – 4 = 0;

9. tg 2 2x – 9 tg 2x + 8 = 0;

10. (sinx + 1)(ctg(-2x)–) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

1 вариант

1. sinx = 0;

2. 2tg3x = 0;

3. 2cosx = 1;

4. 2sin(2x – 4π) =;

5. cos22x = 2;

6. 1 – sin2x = 0;

7. 2cos2x -5cosx – 3 = 0;

8. 3sin2x + 7cosx – 3 = 0;

9. 2tg23x – 3tg3x + 1 = 0;

10. (1 – cos2x)(сtg(-2x) + ) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

2 вариант

1. cosx = 0;

2. 3ctg2x = 0;

3. 2sinx =

4. 2cos(2x – 4 π) = ;

5. sin4x = 1;

6. 1 – cos2x = 0;

7. 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;

8. 2cos2x + 5sinx – 4 = 0;

9. tg 2 2x – 9 tg 2x + 8 = 0;

10. (sinx + 1)(ctg(-2x)–) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

1 вариант

1. sinx = 0;

2. 2tg3x = 0;

3. 2cosx = 1;

4. 2sin(2x – 4π) =;

5. cos22x = 2;

6. 1 – sin2x = 0;

7. 2cos2x -5cosx – 3 = 0;

8. 3sin2x + 7cosx – 3 = 0;

9. 2tg23x – 3tg3x + 1 = 0;

10.(1 – cos2x)(сtg(-2x) + ) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

2 вариант

1. cosx = 0;

2. 3ctg2x = 0;

3. 2sinx =

4. 2cos(2x – 4 π) = ;

5. sin4x = 1;

6. 1 – cos2x = 0;

7. 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;

8. 2cos2x + 5sinx – 4 = 0;

9. tg 2 2x – 9 tg 2x + 8 = 0;

10. (sinx + 1)(ctg(-2x)–) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

1 вариант

1. sinx = 0;

2. 2tg3x = 0;

3. 2cosx = 1;

4. 2sin(2x – 4π) =;

5. cos22x = 2;

6. 1 – sin2x = 0;

7. 2cos2x -5cosx – 3 = 0;

8. 3sin2x + 7cosx – 3 = 0;

9. 2tg23x – 3tg3x + 1 = 0;

10. (1 – cos2x)(сtg(-2x) + ) = 0.

Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

2 вариант

1. cosx = 0;

2. 3ctg2x = 0;

3. 2sinx =

4. 2cos(2x – 4 π) = ;

5. sin4x = 1;

6. 1 – cos2x = 0;

7. 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;

8. 2cos2x + 5sinx – 4 = 0;

9. tg 2 2x – 9 tg 2x + 8 = 0;

10. (sinx + 1)(ctg(-2x)–) = 0.

Раздел 2. Тригонометрические неравенства — Мегаобучалка

Тема: Решение тригонометрических неравенств.

Вариант 1.


 

Тема: Решение тригонометрических неравенств.

Вариант 2.

 

Самостоятельная работа

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Вариант 1

 

А1. Решите уравнение:

А2. Решите уравнение:

А3. Решите неравенство:

В1. Решите уравнение:

 

Самостоятельная работа

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Вариант 2

 

А1. Решите уравнение:

А2. Решите уравнение:

А3. Решите неравенство:

 

В1. Решите уравнение:

 


Решите неравенства:

1.Sin3x – < 0;

2.cos2x + 3cosx > 0;

3.cos cos2x – sin sin2x — .

4.2cos > 1;

5.sin2x – 4sinx < 0;

6.sin cos3x – cos sin3x — .

7. .

8.

9. .

10. .

11. .

12.

13.

 

Решение простейших тригонометрических неравенств. 10 класс.

Вариант 1.

1. На единичной окружности отметьте точки , для которых соответствующие значения t удовлетворяют данному неравенству:

2. Запишите формулы для решения простейших тригонометрических неравенств:

3. Решите неравенства:

4. Решите неравенства:

5. Найдите области определения функций:

6. найдите промежутки возрастания, убывания, точки максимума, минимума функции

 

 

Решение простейших тригонометрических неравенств. 10 класс.

Вариант 2.

1. На единичной окружности отметьте точки , для которых соответствующие значения t удовлетворяют данному неравенству:

2. Запишите формулы для решения простейших тригонометрических неравенств:

3. Решите неравенства:

4. Решите неравенства:

5. Найдите области определения функций:

6. найдите промежутки возрастания, убывания, точки максимума, минимума функции

 

 

Решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем. 10 класс.

Вариант 1.

1. Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

2. Решите уравнение и неравенство:

3. Чему равна сумма корней уравнения , принадлежащих промежутку ? Выберите верный из предложенных ответов.



4. Решите уравнения:

5. Решите неравенство

6. Решите систему уравнений:

7. Решите уравнение

8. Найдите абсциссы общих точек графиков функций

 

 

Решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем. 10 класс.

Вариант 2.

1. Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

2. Решите уравнение и неравенство:

3. Чему равна сумма корней уравнения , принадлежащих промежутку ? Выберите верный из предложенных ответов.

4. Решите уравнения:

5. Решите неравенство

6. Решите систему уравнений:

7. Решите уравнение

8. Найдите абсциссы общих точек графиков функций

 

 

Контрольная работа по Математике «Тригонометрические уравнения» 10-11 класс

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

Вариант 1

1. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Решить уравнение разложением на множители:

а) ; б) .

3. Решить однородное уравнение первой степени:

а) ; б) .

4. Решить однородное уравнение второй степени:

.

5. Решить неоднородное уравнение:

.

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

Вариант 2

1. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Решить уравнение разложением на множители:

а) ; б) .

3. Решить однородное уравнение первой степени:

а) ; б) .

4. Решить однородное уравнение второй степени:

.

5. Решить неоднородное уравнение:

.

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

Вариант 1

1. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Решить уравнение разложением на множители:

а) ; б) .

3. Решить однородное уравнение первой степени:

а) ; б) .

4. Решить однородное уравнение второй степени:

.

5. Решить неоднородное уравнение:

.

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения»

Вариант 2

1. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Решить уравнение разложением на множители:

а) ; б) .

3. Решить однородное уравнение первой степени:

а) ; б) .

4. Решить однородное уравнение второй степени:

.

5. Решить неоднородное уравнение:

.

Контрольная работа «Тригонометрические уравнения и неравенства» (УМК Алимов); 10 класс — Оценка знаний учащихся — Математика, алгебра, геометрия

Методическая разработка

10 класс (УМК Алимов)

контрольная работа «Тригонометрические уравнения и неравенства»

Автор: Мелихова Анна Геннадьевна

ГБОУ центр образования № 671 Петродворцового района Санкт-Петербурга

учитель математики

Разработка предназначена для тематического контроля. 16 вариантов позволяют также использовать материал для отработки навыков решения данного типа уравнений и неравенств в 10 классе, либо для итогового повторения и подготовки к ЕГЭ.

В работе представлены основные виды простейших тригонометрических уравнений и неравенств, а также уравнения, сводящиеся к квадратным, и решаемые разложением на множители.

Материал рассчитан на учащихся с уровнем математической подготовки не выше среднего.

Все задания разработаны самостоятельно на основе изучаемого в данной теме материала.

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

1 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

2 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

3 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

4 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

5 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

6 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

7 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

8 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

9 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

10 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

а)

б)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

11 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

12 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

а)

б)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

13 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

14 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

15 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

16 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

Тригонометрические уравнения в 10 классе, примеры и решения

Дата публикации: .

Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Скачать: Тригонометрические уравнения (PPTX)

Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?
2. Простейшие тригонометрические уравнения.
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

x= ± arccos(a) + 2πk

2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:


3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.


Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

а) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

x/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке [0; π].

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

x= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок [0; π].
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.


Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:


Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin2(x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin2(x) + cos2(x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos2(x) + 3 cos (x) = 0

2 cos2(x) — 3 cos(x) -2 = 0

введем замену t=cos(x): 2t2 -3t — 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.


Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:
Пример: cos2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:


Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3


Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t2 + 2 t — 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4


Решить уравнение:


Решение:
Преобразуем наше выражение:


Решать такие уравнение мы умеем: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5


Решить уравнение:


Решение:
Преобразуем наше выражение:


Введем замену tg(2x)=t:22 — 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.


1) Решить уравнение

а) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg2(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2(x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin2(3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos2(3x) =0

6)Решить уравнение:cos2(2x) -1 — cos(x) =√3/2 -sin2(2x)

Решение тригонометрических уравнений с использованием тригонометрических тождеств

Уравнение, содержащее тригонометрические функции называется тригонометрическое уравнение .

Пример:

грех 2 Икс + потому что 2 Икс знак равно 1 2 грех Икс — 1 знак равно 0 загар 2 2 Икс — 1 знак равно 0

Решение тригонометрических уравнений с использованием тригонометрических тождеств

Тригонометрические тождества являются уравнениями, включающими тригонометрические функции, которые верны для любого значения задействованных переменных.Вы можете использовать тригонометрические тождества вместе с алгебраическими методами для решения тригонометрических уравнений.

Посторонние решения

An посторонний раствор является корнем преобразованного уравнения, который не является корнем исходного уравнения, поскольку он был исключен из области определения исходного уравнения.

Когда вы решаете тригонометрические уравнения, иногда вы можете получить уравнение для одной тригонометрической функции, возведя в квадрат каждую сторону, но этот метод может дать посторонние решения.

Пример :

Найти все решения уравнения в интервале [ 0 , 2 π ) .

2 грех 2 Икс знак равно 2 + потому что Икс

Уравнение содержит функции синуса и косинуса.

Мы переписываем уравнение так, чтобы оно содержало только косинусные функции, используя тождество Пифагора. грех 2 Икс знак равно 1 — потому что 2 Икс .

2 ( 1 — потому что 2 Икс ) знак равно 2 + потому что Икс 2 — 2 потому что 2 Икс знак равно 2 + потому что Икс — 2 потому что 2 Икс — потому что Икс знак равно 0 2 потому что 2 Икс + потому что Икс знак равно 0

Факторинг потому что Икс мы получаем, потому что Икс ( 2 потому что Икс + 1 ) знак равно 0 .

Используя свойство нулевого продукта , мы получим потому что Икс знак равно 0 , а также 2 потому что Икс + 1 знак равно 0 который дает потому что Икс знак равно — 1 2 .

В интервале [ 0 , 2 π ) , мы знаем это потому что Икс знак равно 0 когда Икс знак равно π 2 а также Икс знак равно 3 π 2 .С другой стороны, мы также знаем, что потому что Икс знак равно — 1 2 когда Икс знак равно 2 π 3 а также Икс знак равно 4 π 3 .

Следовательно, решения данного уравнения в интервале [ 0 , 2 π ) находятся

{ π 2 , 3 π 2 , 2 π 3 , 4 π 3 } .

Открытый урок «Обобщение понятия степени». Обобщение понятия показателя степени

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса математики 10-11. Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы студентов.


Примеры.

В коробке 10 мячей, из них 3 белые.Из коробки последовательно вынимается и вынимается один шар, пока не появится белый шар. Найдите вероятность выпадения белого шара.

Три стрелы стреляют по одной цели по 2 раза каждая. Известно, что вероятность попадания каждой стрелы составляет 0,5 и не зависит от результатов других стрелков и предыдущих выстрелов. Можно ли сказать
с вероятностью 0,99, что хоть один выстрел?
с вероятностью 0,5, что каждая стрелка хоть раз попадет в цель?

СОДЕРЖАНИЕ
Тригонометрия
C-1.Определение и свойства тригонометрических функций. Градусный и радианный углы
C-2. Тригонометрические тождества
C-3. Формулы претензий. Формулы сложения
C-4. Формулы двойных и полуугловых
C-5. Тригонометрические формулы, преобразующие количество в работу и работу в размере
C-6 *. Дополнительные тригонометрические задания (домашняя самостоятельная работа)
К-1. Преобразование тригонометрических выражений
C-7. Общие свойства функций. Преобразование графиков функций
C-8.Соотношение и частота функций
C-9. Монотонность функций. Экстремумы C-10 *. Изучение функций. Гармонические колебания (домашний практикум)
К-2. Тригонометрические функции
C-11. Обратные тригонометрические функции __
C-12 *. Использование свойств обратных тригонометрических функций (домашняя самостоятельная работа)
C-13. Простейшие тригонометрические уравнения
C-14. Тригонометрические уравнения
C-15. Выбор корней в тригонометрических уравнениях. Системы тригонометрических уравнений
C-16 *.Методы решения тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа)
C-17 *. Системы тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа)
C-18. Простейшие тригонометрические неравенства
C-19 *. Методы решения тригонометрических неравенств (домашняя самостоятельная работа)
К-3. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы
Алгебра
C-20. Корень N-esi и его свойства
C-21. Иррациональные уравнения
C-22. Иррациональные неравенства. Системы иррациональных уравнений
C-23 *.Методы решения иррациональных уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
C-24. Обобщение понятия степени
К-4. Градусы и корни
C-25. Ориентировочные уравнения. Системы индикаторных уравнений
C-26. Ориентировочные неравенства
C-27 *. Методы решения ориентировочных уравнений и неравенств (домашняя самостоятельная работа)
C-28 *. Обеспечить-степенные уравнения и неравенства (домашняя самостоятельная работа)
К-5. Экспоненциальная функция
C-29. Логарифм.Свойства логарифма
C-30. Логарифмические уравнения и системы
С-31 *. Применение логарифмов при решении трансцендентных уравнений и систем (домашняя самостоятельная работа)
C-32. Логарифмические неравенства
C-33 *. Методы решения логарифмических уравнений, неравенств, систем (надомная работа)
К-6. Логарифмическая функция
C-34. Обобщение концепции модуля. Уравнения и неравенства с помощью модуля
Начать анализ
C-35.Расчет пределов числовых последовательностей и функций. Функция непрерывности
C-36. Определение производной. Простейшие правила расчета производных
C-37. Производные тригонометрических и комплексных функций
C-38. Производная геометрического и механического смысла
К-7. Производная
C-39. Изучение функции на однообразие и экстрим
C-40 *. Дополнительное изучение функции (домашняя самостоятельная работа)
C-41 *. Строительные функции (домашняя практика)
С-42.Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремальные задачи
C-43 *. Избранные дифференциальные объективы (домашняя самостоятельная работа)
K-8. Производное приложение
C-44. Идеально. Картинка расчет
С-45. Некий интеграл. Расчет площадей с конкретным интегралом
C-46. Применение примитивно-интегральное
C-47 *. Избранные интегральные задачи (домашняя самостоятельная работа)
К-9. Предподобный и цельный
С-48. Производная и примитивная индикативная функция
C-49.Производная и примитивная логарифмическая функция
C-50. Степенная функция
C-51 *. Дополнительные задания математического анализа (домашняя самостоятельная работа)
К-10. Производные и примитивные индикативные, логарифмические и степенные функции
Комплексные числа
C-52. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме
C-53. Модуль и аргумент интегрированного числа. Действия с комплексными числами в геометрической форме
C-54. Тригонометрическая форма комплексного числа.Формула Морава
C-55 *. Дополнительные задания с комплексными числами (домашняя самостоятельная работа)
К-11. Комплексные числа
Комбинаторика
C-56. Наборы. Наборы над набором
C-57. Комбинаторика основных формул. Простейшие комбинаторные задачи
C-58. Биномиальная теорема. Свойства биномиальных коэффициентов
C-59. Комбинаторные задачи. Правило количества и правила работы
С-60 *. Дополнительные задания по комбинаторике (домашняя самостоятельная работа)
К-12.Элементы комбинаторики
Теория вероятностей
C-61. Классическая вероятность. Используя формулы комбинаторики при вычислении вероятности
C-62. Теоремы сложения и умножения вероятностей
C-63. Вероятность реализации хотя бы одного из независимых событий. Схема Бернулли
C-64 *. Дополнительные главы теории вероятностей (надомная работа)
К-13. Элементы теории вероятностей
Ответы
Ответы на контрольную работу
Ответы на домашнюю самостоятельную работу

ЛИТЕРАТУРА.

Скачать бесплатно электронную книгу в удобном формате смотрите и читайте:
Скачать книгу самостоятельных и контрольных работ по алгебре и началам анализа, 10-11 класс, Ершова А.П., Голобородько В.В., 2013 — FilesKachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Что ты умеешь хорошо, не забывай, а чему не умеешь учиться.
От Владимира Мономаха.

Задачи урока:

  • Обучение
    • Систематизировать знания по пройденной теме;
    • проверить уровень изученного материала;
    • применять теоретический материал для решения задач.
  • Образовательные
    • воспитывать чувство ответственности за проделанную работу;
    • повышение культуры речи, аккуратности, внимания.
  • Развивающие
    • развивают умственную деятельность студентов;
    • вызывают интерес к предмету;
    • развивают любопытство.

Урок повторения и обобщения материала.

Урок оборудования: table codecope.

Оформление урока: На доске тема урока, эпиграф.

Подготовка к уроку: Через несколько дней вопросы вывешиваются на стенде.

  • Определение степени с целым числом
  • Степень свойства с целым числом.
  • Степень определения с дробным индикатором.
  • Определение степени с дробно-отрицательным показателем.
  • Определение степени любым индикатором.
  • Градус свойств с любым показателем.

На занятиях

1.Организационный момент.

2. Домашнее задание. № 1241, 1242, 1244А, 1245Б.

3. Контроль выполнения домашних заданий.

Проводим взаимный тест. Через кодеоскоп покажите решения домашних заданий.

№1225Б, Б; 1227 А, В; 1229а, В; 1232В, г; 1233г.

Решение домашних заданий.

В) 2 1,3 * 2 -0,7 * 4 0,7 = 2 0,6 * (2 2) 0,7 = 2 0,6 * 2 1,4 = 2 2 = 4.

С) 49-2 \ 3 * 7 1 \ 12 * 7-3 \ 4 = (7 2) -2 \ 3 * 7 1 \ 12 * 7-3 \ 4 = 7 — 4 \ 3 \ +1 \ 12-3 \ 4 = 7 (-16 + 1-9) \ 12 = 7-24 \ 12 = 7-2 = 1 \ 49.

А) (27 * 64) 1 \ 3 = 27 1 \ 3 * 64 1 \ 3 = (3 3) 1 \ 3 * (4 3) 1 \ 3 = 3 * 4 \ u003d 12.

С) (1 \ 36 * 0,04) -1 \ 2 = (6-2 * (0,2) 2) -1 \ 2 = (6-2) -1 \ 2 * ((0,2) 2) -1 \ 2 = 6 * 0,2 -1 = 6 * 10 \ 2 = 30.

А) = = х 1-3 \ 5 = х 2 \ 5.

С) = = c 8 \ 3 -2 \ 3 = C 2.

С) (D 1 \ 2 -1) * (D 1 \ 2 +1) = d -1

D) (P 1 \ 3 — Q 1 \ 3) * (p 1 \ 3 + (pq) 1 \ 3 + q 2 \ 3) = p- q.

D) =. знак равно

Отражение. Определите количество ошибок.

4. Ориентация в изучаемом материале.

Ребята, а какую тему мы изучали на нескольких последних уроках?

5. Мотивация. Сегодня мы проведем урок для повторения и обобщения знаний по теме «Обобщение понятия степени». Ребята, обратите внимание на задачи, которые мы будем решать на уроке, они могут возникнуть в контрольной работе, опросе.

6. Какие свойства степени вы использовали при выполнении домашних заданий? Давайте вспомним теорию.

Финансовых предложений:

7. Теоретически вы посчитали, осталось проверить практическую часть.

Световой диктант.

(За закрытой доской 2 ученика.) Ребята выполняют задание по копии, потом проверяют. Codecope.

Вариант 1 Вариант 2.
Представьте себе выражение в виде градуса с рациональным показателем.
; ; . ; ; .
Ответы. 2 1 \ 2; х 2 \ 3; А 4 \ 5. 16 1 \ 5; 6 1 \ 3; А 3 \ 2.
Представить выражение в виде корня из числа или выражение
7 3 \ 5; 5х 1 \ 3; (5а) 1 \ 3 5 -1 \ 4; 7U 2 \ 5; (6х) 2 \ 5.
Ответы. ; пять; . ; 7;
Рассчитать
9 1 \ 2; (3) 1.16 1 \ 2 (4)
8 2 \ 3 (4) 2. 81 3 \ 4 (27)
2-2 * 16 1 \ 2 (1) 3. 3–2 * 81 1 \ 4 (1 \ 3).

8. А теперь послушайте кусочек истории. Историческая справка.

Представьте, что вы попали в алмазный фонд нашей страны. И вы хотели бы узнать больше о бриллиантах. Это то, что мы делаем на уроке.

Упражнение 1.

Выполните вычисления.Запишите буквы в таблице, связанной с найденными ответами.

В 49 1 \ 2 = 7 Y 81 0,5 = 9
Ы 32 1 \ 5 = 2 Из 8 2 \ 3 = 4
E 1000 1 \ 3 = 10 H 0 0,2 = 0
P 0, 0016 1 \ 4 = 0,2 L 1 -0,6 = 1
А 16-1 \ 2 = 0,25 Z 16 -0,25 = 0.5
О (8 \ 27) 1 \ 3 = 2 \ 3 D 16 3 \ 4 = 8
М (5) 0,25 = 1,5 А 25 1,5 = 125

Имя

, что в переводе означает

0 10 0,2 2 \ 3 7 10 8 0,25 1, 5 2 9
Н. E. -П, О КОМПАНИИ Б. E. Д. И м. S J.

и отражает одно из его основных свойств — высочайшую твердость.

Задача 2.

Среди выражений, записанных в таблице, найдите и выделите те, которые не имеют смысла. Для других выражений найдите равное по значению числа, записанного ромбовидными цифрами.Заполните свободные части таблицы цифрами и буквами.

Французское слово __brilliant_______________ (по-русски __broughton ______________________) в переводе означает «бриллиант» и используется для обозначения бриллиантов, подвергнутых огранке и полировке. Такая обработка позволяет получить мистическое сияние и великолепную игру света.

Задача 3.

А) заполните таблицу

Выражение Множество допустимых значений переменных Слова
1. х 5. арена
6. (т) -5,1 (-; 0) детская площадка

B) На рисунке показана идеальная огранка алмаза, имеющая форму с несколькими пальцами и 57 гранями. Эта оптимальная форма и размеры были получены в двадцатом веке благодаря развитию геометрической оптики.

Узнайте, как называются отдельные части такого алмаза. Используя информацию из таблицы и чертежа:

Задача 4.

A) Упростите выражения:

Б) Найдите значения выражений

в) Используя найденные ответы, заполните пропуск в тексте. Слова пишите в правильном регистре.

Масса драгоценных камней измеряется в каратах .: 1 карат = М 1 0,2 г

Алмазы массой больше м 2 53 карата получают собственные имена.

Самые большие драгоценные камни хранятся в алмазном фонде страны, расположенном в Московском Кремле.

Один из самых известных бриллиантов — бриллиант

.

Затем нажмите B.

Как выкуп на смерть

Он также был найден в

— «Море света». Алмаз неоднократно похищали, попадали в разные страны и к разным правителям.

В 1773 году приобрел свою любимую

Алмаз вставлен в русский скипетр.

Задача 5.

A) упростить выражение

B) выполнить вычисления

1000 2 \ 3 * 125 1 \ 3 + (1 \ 8) -4 \ 3 + 16 0,25 * 49 0.5 = 530

C) Заполните пропуски в тексте:

Долгое время основным местом добычи алмазов была Индия, а в начале ХХ века были открыты месторождения в Южной Африке. Здесь в 1905 году был найден самый крупный алмаз на одном из миров, масса которого составляла 3106 карат. Его назвали в честь хозяина.

Kullyann 11 — вторая по величине деталь, добытая алмазным зёрнышком, украшала Королен королевы Виктории.

При огранке этот алмаз был разрезан на 9 частей.Наибольшую партию в 530 карат назвали «Звездой Африки». Этот 74-гранный бриллиант стал украшать британский скипетр.

Подведем итоги урока.

  1. Какую цель вы поставили в начале урока?
  2. Вы достигли цели урока?
  3. Что нового узнали на уроке?
  4. Ставим оценки за урок.

Цель урока:

  1. Обобщение и систематизация знаний, умений, умений.
  2. Актуализация справочных знаний в условиях сдачи экзамена.
  3. Контроль и самоконтроль знаний, умений, навыков с помощью тестов.
  4. Развитие умения сравнивать, резюмировать.

План урока.

  1. Формулировка цели урока (1 мин)
  2. Устное произведение «Верю — не верю!» (6 мин)
  3. Решение серии примеров по сравнению выражений (12 мин)
  4. Софизм (4-5 мин)
  5. Решение примера по упрощению выражения (из ЕГЭ) с обсуждением самых «тонких» мест (15 мин)
  6. Самостоятельная работа на основе демонстрации eME (гр.A) (5 мин)
  7. Задание для дома (на листьях)

Оборудование: проектор.

1. Друзья! Перед вашими глазами часть высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра (1814-1897) о математике «Математика — это музыка музыка». Разве это не романтично?

Вопрос. Как вы думаете, как он определял музыку?

«Музыка — математика чувств».

Чувствам мы можем приписать различные виды переживаний. В этом году одна из причин вашего и моего опыта — успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в университет.Очень хочется, чтобы положительные эмоции преобладали. Должна быть уверенность, а это наши знания и умения. Сегодня на уроке мы продолжим подготовку к ЕГЭ, повторяя и обобщая понятие степени.

Итак, тема сегодняшнего урока — «Обобщение понятия степени».

Основные свойства и определения мы уже повторили с вами, и я предлагаю вам сыграть в игру «Верю — не верю!»

Ваша задача — быстро (полагаясь на интуицию, поможет при решении ГР.А) Ответьте на вопрос утвердительно или отрицательно, а затем объясните свой ответ.

2. Устное произведение «Верю — не верю!»

1. Они имеют смысл выражения:

а) б) в) в) г)

3. Уравнение имеет три корня

(Нет, корень один: 7, т.к.)

4. Наименьший корень уравнения 1

3. Решение серии примеров по сравнению дробей. Предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров сравнения степеней.

Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?

Сравнение показателей по одним и тем же базам, сравнение баз с одинаковыми показателями степеней.

1. Сравнить и.

2. Сравнить числа и.

Как видите, дело обстоит сложнее.

Вопрос. Какие числа являются индикаторами степеней?

Иррациональное.

Найдем рациональные числа, близкие к данным иррациональным, и попробуем сравнить градусы с рациональным показателем.

Поскольку базовая степень больше 1, то по свойству степеней имеем

Сравнить сейчас и.

Для этого достаточно сравнить 2 или и.

Но, но.

Теперь получаем цепочку неравенств:

3. Сравните числа и.

Мы используем следующее свойство радикалов: если, где.

Сравните и.

Оцениваем их отношение:

Таким образом,.

Комментарии.

1) в данном случае степень и малая, а именно

, и их легко вычислить «вручную», т.е. без калькулятора. Возможна оценка степеней и без вычисления:

Следовательно,

2) Если такая же степень действительно не поддается вычислению (даже на калькуляторе), например, и, то можно использовать неравенство:

Правда с любым, а сделайте так:

со всем натуральным.

Вы можете проявить себя

4.Софизм. Что ж, перейдем к другой работе. Мы найдем ошибку в следующих аргументах, опровергающих утверждение:

«Единица бесконечно большая равна произвольному числу».

Как известно, агрегат, возведенный в любой градус, в том числе и в ноль, равен единице, т.е. где , а — Любое число. Но давайте посмотрим, всегда ли это так.

Пусть будет ч. — Произвольный номер. Простым умножением легко убедиться, что выражение (1) является тождественным для любых h.. Тогда верно тождество, которое следует из (1), а именно. (2)

Для произвольного положительного числа , но существует .

Равенство (2) влечет равенство

,

или то же самое

. (3)

Веря в тождество (3) х = 3. Получите

, (4)

, и, учитывая это, я понимаю.

Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равна произвольному числу, но не единице, как того требует правило алгебры.

Решение.

Ошибка следующая.

Равенство (1) действительно для всех значений h. А значит это тождество. Полученное из него равенство (2) верно не для всех значений. х. Итак, ч. не может быть равно 2. Поскольку знаменатели в левой и правой частях (2) апеллируют к нулю, а h. он не может быть равен 3, так как знаменатель в правой части (2) также прибавляет к нулю. Для x = 3. Равенство (2) принимает точку зрения, которая не имеет смысла.

Соотношение (4) было получено из (3) ровно x = 3. Как привело к смехотворному результату.

Ну, теперь мы переносимся в 2004 год, когда в задаче С3 был предложен следующий номер.

5. Решение примера (из ЕГЭ).

Так как f (x) — исследующая функция, то.

Найдите, какое из этих значений ближе к 0,7, для чего мы сравним

и

Так как значение F (26) ближе к 0.7.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой на доске.

А теперь самое время потренироваться: перед вами примеры из демонстрационного варианта, гр. И 2009г.

Вы видите их и на доске, и на листьях. Ваша задача быстро определиться и заполнить таблицы с ответами. Соответствие букв и цифр перед вами. Правильно посчитав или упростив выражение в таблице, вы прочитаете то, что вам нужно, когда сдадите экзамен.

1 вариант — удачи, знаний,

2 вариант — уверенность.

Итак, сегодня на уроке мы увидели, насколько широко используется понятие степени при сдаче экзамена. Закрепить навыки можно, выполняя домашнее задание.

7. Домашнее задание.

Обратите внимание на домашнее задание, оно поможет закрепить материал, который мы решили на уроке.

При любом целочисленном индикаторе руководствуясь следующими определениями:

Но математики не остановились на этом, они научились работать не только с целочисленными индикаторами. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придает математике понятие дробного показателя, т.е.е. Узнайте, что означают символы математического языка, такие как 2 5, Z -0 3 и т. Д.

Давайте спросим себя: если вы вводите символ, каким математическим содержанием его заполнять? Было бы неплохо, аргументированную математику сохранить обычную, например, для того, чтобы умножить градус в градусе на градус, в частности, было выполнено следующее равенство:


Я тогда поставлю интересующее нас равенство можно переписать в виде A 5 = 2 3, где мы получаем это означает, что основания появились для определения

Такие соображения и позволили математикам принять следующее определение.

If a

Самое любопытное, что введенное определение оказалось настолько удачным, что при нем были сохранены все обычные свойства степеней, доказанные для натуральных показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются и т. д. Пусть, например, нам нужно произвести умножение

Так как к дроби проще применить свойства радикалов, на практике радикалы предпочитают заменять по степеням с дробными показателями.Чтобы проиллюстрировать эту позицию, вернемся к примеру. Если перейти к дробным показателям, мы получим:

Посмотрите, насколько быстрее и проще мы получили тот же результат, что и в § 42.
Пример 1. Вычислить:

г) Задача некорректна, так как нет степени с дробным показателем для случая отрицательного базиса. Математики согласились возвести неотрицательные числа в дробные степени (и это оговаривается в определении). Таким образом, запись видов считается в математике лишенной смысла.
Комментарий. Иногда приходится слышать возражения: неправильно, что запись лишена смысла, потому что корень 3-й степени можно вычислить из числа -8; Получается так, почему бы не предположить, что

Если бы математики не запретили себе строить отрицательное число в дробных степенях, то с какой проблемой столкнулись бы:

Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики просто заботятся о том, чтобы все было точно однозначно.Поэтому при определении градуса с нулевым показателем возникло ограничение А при определении градуса с положительным дробным показателем.
Конечно, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем использовали известную идею:

Но наличие дробного показателя вызывает ограничение a> 0, а наличие знаменателя обуславливает предел A = 0; В результате необходимо ввести ограничение а> 0.

Если

Итак, теперь мы знаем, что такое градус с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (считаем, что a> 0, b> 0, s и t — произвольные рациональные числа):

Частичные обоснования этих свойств были сделаны выше; Это ограничивается этим.

Пример 2. Упростим выражение:



Пример 3. Решаем уравнения:
а) возводя обе части уравнения куба, получаем:

x = ± 1.
b) Это почти то же уравнение, что и в параграфе а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная x строится в дробной степени, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Итак, из двух указанных выше значений X в качестве корня уравнения имеем право взять только значение x = 1.
Ответ: а) ± 1; б) 1.

Пример 4. Решаем уравнение:
Вводим новую переменную
Итак, мы получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y:

in 2 -2u-8 = 0.

Решая это уравнение, получаем: в 1 = -2, в 2 = 4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:


Первое уравнение не имеет корней, потому что (напомним еще раз) площадь допустимых значений для переменной x в таких случаях определяется условием x> 0. Решая второе уравнение, последовательно находим:

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или встроен в дробную степень, называемую иррациональной.Первое знакомство с иррациональными уравнениями произошло в вашем курсе алгебр 8-го класса, где были уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — Пример 2 из § 39, Пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.

Основные методы решения иррациональных уравнений:

Метод построения обе части уравнения в одинаковой степени;
— метод введения новых переменных;
— Функциональный графический метод.

Если использовать метод возведения обеих частей уравнения в одинаковой четной степени, то возможно появление инородных корней, это означает, что проверка всех найденных решений обязательна — об этом мы говорили ранее, осознавая алгебр 8-го класса.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Дизайн урока Конспект урок Референс кадра презентация урок акселерационные методы интерактивные технологии Практика Задания и упражнения самопроверка Практикум, тренинги, кейсы, квесты Домашние задания Вопросы для обсуждения Риторические вопросы учащихся Иллюстрации Аудио, видеоклипы и мультимедиа Фотографии, картинки, таблицы, Схемы юмора, анекдоты, анекдоты, Комиксы Пословицы, поговорки, кроссворды, цитаты Приложения Аннотации Статьи Фишки для любопытных шпаргалок Учебники Базовые и дополнительные глобусы Другие термины Улучшение учебников и уроков Исправление ошибок в учебнике Обновление фрагмента в учебнике.Инновационные элементы в уроке заменяют устаревшие знания новыми Только для учителей Идеальные уроки Календарь План на год Методические рекомендации дискуссионной программы Комплексные уроки

7.1: Решение тригонометрических уравнений с тождествами

В предыдущей главе мы решили основные тригонометрические уравнения. В этом разделе мы исследуем методы, необходимые для решения более сложных тригонометрических уравнений.{2} (t) + \ sin (t) \ nonumber \]

Это создает уравнение, которое является полиномиальной триггерной функцией. С этими типами функций мы используем алгебраические методы, такие как разложение на множители и квадратичную формулу, а также тригонометрические тождества и методы для решения уравнений.

Напоминаем, что вот некоторые из основных тригонометрических тождеств, которые мы узнали на данный момент:

ОПРЕДЕЛЕНИЯ: ИДЕНТИЧНОСТИ

Пифагорейские тождества

\ [\ cos ^ {2} (t) + \ sin ^ {2} (t) = 1 \ quad 1+ \ cot ^ {2} (t) = \ csc ^ {2} (t) \ quad 1 + \ tan ^ {2} (t) = \ sec ^ {2} (t) \]

Отрицательный угол Идентификаторы

\ [\ sin (-t) = — \ sin (t) \ quad \ cos (-t) = \ cos (t) \ quad \ tan (-t) = — \ tan (t) \]

\ [\ csc (-t) = — \ csc (t) \ quad \ sec (-t) = \ sec (t) \ quad \ cot (-t) = — \ cot (t) \]

Взаимное Идентификаторы

\ [\ sec (t) = \ dfrac {1} {\ cos (t)} \ quad \ csc (t) = \ dfrac {1} {\ sin (t)} \ quad \ tan (t) = \ dfrac {\ sin (t)} {\ cos (t)} \ quad \ cot (t) = \ dfrac {1} {\ tan (t)} \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Решите \ (2 \ sin ^ {2} (t) + \ sin (t) = 0 \) для всех решений с \ (0 \ le t <2 \ pi \).

Решение

Это уравнение выглядит как квадратное уравнение, но с sin ( t ) вместо алгебраической переменной (мы часто называем такое уравнение «квадратичным по синусу»). Как и во всех квадратных уравнениях, мы можем использовать методы факторизации или квадратную формулу. Это выражение хорошо разложено на множители, поэтому мы вычленим общий множитель sin (\ (t \)):

\ [\ sin (t) \ left (2 \ sin (t) +1 \ right) = 0 \ nonumber \]

Используя теорему о нулевом произведении, мы знаем, что произведение слева будет равно нулю, если любой из множителей равен нулю, что позволяет нам разбить это уравнение на два случая:

\ [\ sin (t) = 0 \ text {или} 2 \ sin (t) + 1 = 0 \ nonumber \]

Мы можем решить каждое из этих уравнений независимо, используя наши знания о специальных углах.

\ [\ sin (t) = 0 \ nonumber \]
\ [2 \ sin (t) + 1 = 0 \ nonumber \]
\ [t = 0 \ text {или} t = \ pi \ nonumber \]
\ [\ sin (t) = — \ dfrac {1} {2} \ nonumber \]
\ [t = \ dfrac {7 \ pi} {6} \ text {или} t = \ dfrac {11 \ pi } {6} \ nonumber \]

Вместе это дает нам четыре решения уравнения на \ (0 \ le t <2 \ pi \):

\ [t = 0, \ pi, \ dfrac {7 \ pi} {6}, \ dfrac {11 \ pi} {6} \ nonumber \]

Мы можем проверить разумность этих ответов, построив график функции и сравнив нули.{2} -5u-2 = (3u + 1) (u-2) \ nonumber \]

Отмена замены,

\ [(3 \ сек (t) +1) (\ сек (t) -2) = 0 \ nonumber \]

Поскольку у нас есть произведение, равное нулю, мы разбиваем его на два случая и решаем каждый отдельно.

\ [3 \ sec (t) + 1 = 0 \ nonumber \] Изолировать секанс
\ [\ sec (t) = — \ dfrac {1} {3} \ nonumber \] Записать как косинус
\ [\ dfrac {1} {\ cos (t)} = — \ dfrac {1} {3} \ nonumber \] Обернуть обе стороны
\ [\ cos (t) = — 3 \ nonumber \]

Поскольку косинус имеет диапазон [-1, 1], косинус никогда не будет иметь на выходе -3.В этом случае нет никаких решений.

Продолжая второй случай,

\ [\ sec (t) -2 = 0 \ nonumber \] Изолировать секанс
\ [\ sec (t) = 2 \ nonumber \] Записать как косинус
\ [\ dfrac {1} {\ cos (t )} = 2 \ nonumber \] Инвертировать обе стороны
\ [\ cos (t) = \ dfrac {1} {2} \ nonumber \] Это дает два решения
\ [t = \ dfrac {\ pi} {3} \ text {или} t = \ dfrac {5 \ pi} {3} \ nonumber \]

Это единственные два решения на интервале. {2} (t) -5 \ sec (t) -2 \), взгляд на график подтверждает, что у этой функции только два нуля на интервал [0, 2 \ (\ pi \)), который гарантирует, что мы ничего не пропустили.{2} (t) +3 \ sin (t) + 1 = 0 \) для всех решений с \ (0 \ le t <2 \ pi \).

Ответ

Разложите на множители \ [\ left (2 \ sin (t) +1 \ right) \ left (\ sin (t) +1 \ right) = 0 \ nonumber \]
\ [2 \ sin (t) + 1 = 0 \ text {at} t = \ dfrac {7 \ pi} {6}, \ dfrac {11 \ pi} {6} \ nonumber \]
\ [\ sin (t) + 1 = 0 \ text {at} t = \ dfrac {3 \ pi} {2} \ nonumber \]
\ [t = \ dfrac {7 \ pi} {6}, \ dfrac {3 \ pi} {2}, \ dfrac {11 \ pi} {6} \ nonumber \]

При решении некоторых тригонометрических уравнений возникает необходимость сначала переписать уравнение, используя тригонометрические тождества.{2} (t) + \ cos (t) -1 = 0 \ nonumber \] Фактор
\ [\ left (2 \ cos (t) -1 \ right) \ left (\ cos (t) +1 \ right ) = 0 \ nonumber \]

Этот продукт будет равен нулю, если любой из множителей равен нулю, поэтому мы можем разбить это на два отдельных случая и решить каждый независимо. {2} (t) = 3 \ cos (t) \) для всех решений с \ (0 \ le t <2 \ pi \).{2} (t) +3 \ cos (t) -2 = 0 \ nonumber \]
\ [\ left (2 \ cos (t) -1 \ right) \ left (\ cos (t) +2 \ right ) = 0 \ nonumber \]
\ (\ cos (t) + 2 = 0 \) не имеет решений \ (2 \ cos (t) -1 = 0 \) в \ (t = \ dfrac {\ pi} { 3}, \ dfrac {5 \ pi} {3} \)

В дополнение к тождеству Пифагора часто необходимо переписать тангенс, секанс, косеканс и котангенс как часть решения уравнения.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Решите \ (\ tan (x) = 3 \ sin (x) \) для всех решений с \ (0 \ le x <2 \ pi \).

Решение

Используя комбинацию тангенса и синуса, мы могли бы попробовать переписать тангенс

\ [\ tan (x) = 3 \ sin (x) \ nonumber \]
\ [\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} = 3 \ sin (x) \ nonumber \] Умножение обе стороны косинусом
\ [\ sin (x) = 3 \ sin (x) \ cos (x) \ nonumber \]

На этом этапе у вас может возникнуть соблазн разделить обе части уравнения на sin (\ (x \)).

Сопротивляйтесь побуждению . Когда мы делим обе части уравнения на количество, мы предполагаем, что это количество никогда не равно нулю.В этом случае, когда sin (\ (x \)) = 0, уравнение удовлетворяется, поэтому мы потеряем эти решения, если разделим на синус.

Чтобы избежать этой проблемы, мы можем переставить уравнение так, чтобы одна сторона была равна нулю (технически можно разделить на sin ( x ), если вы отдельно рассматриваете случай, когда sin ( x ) = 0. Поскольку об этом шаге легко забыть, рекомендуется использовать метод факторинга, использованный в примере.).

\ [\ sin (x) -3 \ sin (x) \ cos (x) = 0 \ nonumber \] Вычитание sin (\ (x \)) из обеих частей
\ [\ sin (x) \ left ( 1-3 \ cos (x) \ right) = 0 \ nonumber \]

Отсюда мы видим, что получаем решения, когда \ (\ sin (x) = 0 \) или \ (1-3 \ cos (x) = 0 \).{-1} \ left (\ dfrac {1} {3} \ right) \ приблизительно 1,231 \ nonumber \] Использование симметрии для поиска второго решения
\ [x = 2 \ pi -1,231 = 5,052 \ nonumber \]

У нас есть четыре решения на \ (0 \ le x <2 \ pi \):

\ [x = 0, 1,231, \ quad \ pi, 5,052 \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Решите \ (\ sec (\ theta) = 2 \ cos (\ theta) \), чтобы найти первые четыре положительных решения. {2} (\ theta)} +3 \ cos \ left (\ theta \ right) = 2 \ cot \ left (\ theta \ right) \ tan \ left ( \ theta \ right) \) для всех решений с \ (0 \ le \ theta <2 \ pi \).{-1} \ left (0.425 \ right) = 1.131 \ nonumber \] По симметрии можно найти второе решение
\ [\ theta = 2 \ pi -1.131 = 5.152 \ nonumber \]

Важные темы этого раздела

  • Проверка триггерных идентификаторов
  • Решение триггерных уравнений
  • Факторинг
  • Использование квадратичной формулы
  • Использование идентификаторов триггеров для упрощения

Рабочий лист тригонометрических уравнений первой степени. Темы по тригонометрии

Получите бесплатные рабочие листы по математике по электронной почте :.Система образования не имеет большого значения, если она учит молодых людей, как зарабатывать на жизнь, а не учит их, как жить. Базовый урок помогает студентам решать уравнения, содержащие тригонометрические уравнения. Демонстрирует проверку ответов. Промежуточный урок Демонстрирует, как решать более сложные задачи.

Самостоятельная практика 1 Действительно отличное занятие, позволяющее студентам понять концепцию тригонометрических уравнений. Самостоятельная практика 2 Студенты находят тригонометрические уравнения в различных задачах.Ответы можно найти ниже. Домашнее задание по тригонометрическим уравнениям Учащимся предлагаются задачи для освоения концепций тригонометрических уравнений.

Answer Keys Ответы на задания по математике, викторины, домашние задания и уроки. Посмотреть ответы. Нужна помощь по математике? Мы быстро растем! Присоединяйся сейчас!

Iptables переслать tun0 на eth0

Математика, используемая в профессиональном баскетболе Выньте спортивный раздел и перейдите на страницы, посвященные баскетболу. Посмотрите на игру со счетом. Посмотреть математическую статью. Почему математика важна в вашей жизни? Математика — это единственный навык, который вам нужно освоить в своей жизни, даже если он единственный, вы, по крайней мере, сможете жить без обмана, ограблений или жестокого обращения.Более продвинутые рабочие листы Новый уровень математических навыков. Учителя платят учителям — это онлайн-торговая площадка, где учителя покупают и продают оригинальные учебные материалы.

Получаете ли вы бесплатные ресурсы, обновления и специальные предложения, которые мы рассылаем каждую неделю в нашем информационном бюллетене для учителей? Все категории. Уровень образования. Тип ресурса. Войти Присоединяйтесь к нам. Просмотреть список желаний Просмотреть корзину. Результаты решения тригонометрических уравнений Сортировать по: Актуальности.

Вы выбрали: Ключевое слово для решения тригонометрических уравнений.Оценки PreK. Другое, не относящееся к классу. Высшее образование. Образование для взрослых. Цифровые ресурсы для студентов Google Apps. Интернет-деятельность. Искусство английского языка. Иностранный язык. Обществознание — История. История Всемирная история. По всем предметным областям. См. Все типы ресурсов. Повысьте параметры обучения с помощью этих рабочих листов для решения тригонометрических уравнений, содержащих множество упражнений для решения тригонометрических уравнений в линейной и квадратичной формах путем факторизации или использования квадратичных формул.

Образец личного заявления для подачи заявки на стипендию

Научитесь определять главное решение данных тригонометрических уравнений.В качестве предшественника этих упражнений старшеклассники могут резюмировать диаграммы тригонометрических идентичностей. Решение уравнений — уровень 1. Получите доступ к этим тригонометрическим рабочим листам для решения простых тригонометрических уравнений. Каждый из этих рабочих листов уровня 1 содержит тригонометрические функции со специальными углами в градусах или радианах.

Решение уравнений — уровень 2. Укрепите концепцию решения тригонометрических уравнений, оценив эти уравнения, которые включают две или более тригонометрических функции.

Решение линейных тригонометрических уравнений — Уровень 1. Этот пакет рабочих листов представляет уравнения с одной тригонометрической функцией.

Бесплатные распечатанные рабочие листы по математике с ключами ответов и действиями

Решите линейное тригонометрическое уравнение и получите основные решения, которые лежат в заданном диапазоне. Решение линейных тригонометрических уравнений — Уровень 2. Измените тригонометрическое уравнение, применив стандартные тригонометрические тождества, и выразите его через одну тригонометрическую функцию.

Решите уравнение и найдите главное решение заданного уравнения. Решение тригонометрического уравнения в квадратичной форме.

Степень бакалавра в Италии

Этот набор тригонометрических рабочих листов изображает тригонометрические уравнения в квадратичной форме. Факторизуйте выражение, объединив свои алгебраические навыки и тригонометрические тождества, а затем решите уравнение. У участников есть эксклюзивные возможности для загрузки отдельного рабочего листа или всего уровня.

Войти Стать участником.

Тригонометрические идентичности: таблица тригонометрических идентичностей

Решение уравнений — уровень 1 Получите доступ к этим тригонометрическим рабочим листам для решения простых тригонометрических уравнений. Загрузите 3 рабочих листа. Решение уравнений — уровень 2 Подчеркните концепцию решения тригонометрических уравнений, оценив эти уравнения, которые включают две или более тригонометрических функции.

Решение линейных тригонометрических уравнений — Уровень 1 Этот пакет рабочих листов представляет уравнения с одной тригонометрической функцией.Решение линейных тригонометрических уравнений — уровень 2 Измените тригонометрическое уравнение, применив стандартные тригонометрические тождества, и выразите его через одну тригонометрическую функцию.

Решение тригонометрического уравнения в квадратичной форме Этот набор тригонометрических рабочих листов отображает тригонометрические уравнения в квадратичной форме. Что нового? Подписывайтесь на нас.

Не член? Гиперболическая функция похожа на функцию, но может отличаться от нее в некоторых терминах. Основные гиперболические функции — это гипербола sin и гипербола косинус, из которых выводятся другие функции.

Итак, здесь мы предоставили график Гиперболы, который дает вам представление о положениях синуса, косинуса и т. Д. Обратные тригонометрические функции также называются функциями дуги. По сути, это триггерные тождества sin, cos, tan и других функций.

Эти идентификаторы используются в ситуациях, когда необходимо ограничить область действия функции. Здесь мы предоставили вам таблицу, показывающую обратные тождества всех тригонометрических функций:.Основные тождества — это уравнения, включающие функции, которые всегда верны для переменных.

Таким образом, эти символы отображают определенные функции одного или нескольких углов. Он связан с единичным кругом, где изображены отношения между линиями и углами в декартовой плоскости.

Онлайн-соревнования в Нигерии 2019

Здесь мы предоставили вам таблицу, состоящую из набора идентификаторов, которые могут быть получены из основных функций. Двойные тождества имеют дело с двойными углами тождеств.

Например, sin 2Acos 2Atan 2Aetc. Это особый случай, когда сумма углов получается двойным углом. Интегральные тождества — это антипроизводные функции своих тождеств.

Если мы применим правила дифференцирования к базовым функциям, мы получим интегралы функций. Производные в математике — это процесс отображения скорости изменения функции по отношению к переменной в один заданный момент времени. Таким образом, производные подразумевают процесс нахождения производных функций.Тригонометрия — это широкая отрасль, которая находит применение в различных областях, таких как математика, физика, астрономия и т. Д.

Следовательно, многие тождества или равенства были выведены математиками на протяжении многих лет из основных функций. Этот лист формул тригонометрии поможет вам решить сложные уравнения. Полугловые тождества — это тождества, включающие функции с половинными углами. Фундаментальные идентичности состоят из различных идентичностей, которые полезны при решении сложных проблем.

Эти базовые идентификаторы используются для установления различных отношений между функциями. Форма диаграммы очень полезна для студентов, чтобы узнать все личности. Диаграмма идентичностей полезна, поскольку она показывает общие триггерные идентичности в одном месте. Здесь мы предоставляем вам таблицу идентичностей, в которой аккуратно указаны все формулы идентичностей.

Теперь, когда вы узнали обо всех идентификаторах, связанных с формулами, вы можете использовать их для решения проблем. Студентам будет полезно вспомнить свои концепции и оценить свои знания по тригонометрии.

Вот рабочий лист идентификационных данных, который вы можете решить, чтобы понять происхождение идентификационных данных. Проверка любой формулы — сложная задача, поскольку одна формула приводит к выводу других. Итак, чтобы проверить триггерные тождества, это похоже на любое другое уравнение, и вам нужно вывести тождества логически из других теорем.

Существует множество идентификаторов, которые используются для установления различных отношений между функциями. Ученикам может быть сложно узнать все личности.Итак, здесь мы предоставили вам таблицу идентификаторов, которая охватывает все идентификаторы Trig. Шпаргалка очень полезна для студентов или любого учащегося, если они хотят выучить все концепции темы за короткий период времени. Решение тригонометрических уравнений, которые можно факторизовать или в квадратичной форме. В этом видео решается тригонометрическое уравнение в квадратичной форме путем разложения .

Мы приветствуем ваши отзывы, комментарии и вопросы об этом сайте или странице.

Калькулятор тригонометрических уравнений

Пожалуйста, отправьте свои отзывы или запросы через нашу страницу отзывов.Видео и уроки с примерами и решениями для старшеклассников по решению тригонометрических уравнений. На этих уроках мы узнаем, как решать тригонометрические уравнения, как решать тригонометрические уравнения путем факторизации Решение тригонометрических уравнений При решении тригонометрических уравнений мы находим все углы, которые делают уравнение истинным.

Если интервал не задан, используйте периодичность, чтобы показать бесконечное количество решений.

Решение простых тригонометрических уравнений

Два способа визуализации решений: 1 график в координатной плоскости и 2 единичный круг.Единичный круг более полезен для получения ответа из двух. Вы можете использовать бесплатный калькулятор Mathway и средство решения задач ниже, чтобы практиковать алгебру или другие математические темы.

Попробуйте приведенные примеры или введите свою задачу и проверьте свой ответ с помощью пошаговых пояснений. Генераторы тестов и рабочих листов для учителей математики. Все листы, созданные с помощью Infinite Algebra 1. Прекратите поиск. Создайте нужные вам рабочие листы с помощью бесконечной алгебры 1. Основы Написание переменных выражений Порядок операций Оценка выражений Числовые наборы Добавление рациональных чисел Сложение и вычитание рациональных чисел Умножение и деление рациональных чисел Распределительное свойство Объединение подобных терминов Процент изменения.

Неравенства Построение графиков неравенств с одной переменной Одношаговые неравенства Двухшаговые неравенства Многоступенчатые неравенства Сложные неравенства Неравенства с абсолютными значениями.

Тригонометрия Поиск тригонометрии. Системы уравнений и неравенств Решение систем уравнений с помощью построения графиков Решение систем уравнений методом исключения Решение систем уравнений с помощью подстановки Системы уравнений словесные задачи Построение графиков систем неравенств.

Генератор шрифтов Danganronpa v3

Статистика Визуализация центра данных и разброс данных Диаграммы разброса Использование статистических моделей.Линейные уравнения и неравенства Нахождение наклона по графику Нахождение наклона по двум точкам Нахождение уклона по уравнению Построение графика линий с использованием формы пересечения наклона Построение линий с использованием стандартной формы Составление линейных уравнений Отображение уравнений абсолютного значения График линейных неравенств.

Словесные задачи. Словесные задачи-скорость-время. Смешанные словесные задачи. Рабочие словесные задачи. Системы уравнений, текстовые задачи. Все права защищены. Решение уравнений и неравенств 7. Решение уравнений.Правые треугольники и тригонометрические соотношения Найдите значения шести тригонометрических функций для угла.

Чтобы полностью узнать, как решать основные тригонометрические неравенства и тому подобное, см. Книгу под названием: Тригонометрия: решение тригонометрических уравнений и неравенств Amazon e. Скачать документ с ответами на решение тригонометрических уравнений первой степени. На этой странице вы можете прочитать или загрузить ответы на решение тригонометрических уравнений первой степени в формате PDF.Что произошло, когда две фруктовые компании объединились Что случилось, когда две фруктовые компании объединились Работа показана Что произошло, когда две фруктовые компании объединились Pdf Math Что произошло, когда две фруктовые компании объединились Случайная публикация нетбол туризм gr 11 pat электростатика12-й стандарт pdf армия спасения 12 физическая наука p1 nsc mopani District июнь 12 класс ok google меморандум бухгалтерии 10 сентябрь формы заявления mgi для ориентации жизни сентябрь меморандум записка по физике foss сила и движение курс исследования 2.

Если вы не нашли ничего интересного для себя, воспользуйтесь формой поиска ниже: Найти.


тригонометрия — Как составить решение тригонометрического уравнения?

Это было написано после обновления OP, которое, в свою очередь, было сделано после ответа Ксандера Хендерсона.

Предполагая, что ученику разрешено использовать соответствующие формулы без проверки, возможно, я бы хотел, чтобы ученики представляли свои работы именно так. (Примечание: все десятичные разложения представляют собой трехзначные усечения соответствующих точных значений.2} = -10 $ и $ \ alpha = \ arctan \ left (- \ frac {3} {4} \ right) = -0.643 \ ldots, $ имеем

$$ — 10 \ sin \ left [x \; + \; \ arctan \ left (- \ frac {3} {4} \ right) \ right] \; \; знак равно 7 $$

$$ \ sin \ left [x \; — \; \ arctan \ left (\ frac {3} {4} \ right) \ right] \; \; знак равно -0,7 $$

Синус отрицателен только в Q3 и Q4, и поскольку $ \ arcsin (-0.7) = -0.775 \ ldots, $ опорный угол $ (x $ -axis) для $ x — \ arctan \ left (\ frac { 3} {4} \ right) $ в этих квадрантах составляет $ 0,775 \ ldots $. Следовательно,

$$ x \; — \; \ arctan \ left (\ frac {3} {4} \ right) \; знак равно \ пи + 0.775 \ ldots, \; \; 2 \ pi — 0,775 \ ldots $$

$$ x \; — \; \ arctan \ left (\ frac {3} {4} \ right) \; знак равно 3.916 \ ldots, \; \; 5.507 \ ldots $$

$$ x \; \; знак равно (3,916 \ ldots) + (0,643 \ ldots), \; \; (5,507 \ ldots) + (0,643 \ ldots) $$

$$ x \; \; знак равно 4.560 \ ldots, \; \; 6,151 \ ldots $$

Начиная с , все решения для $ \; \ sin (\ text {stuff}) = -0.7 \; $ задаются путем добавления $ 2n \ pi $ к двум вышеупомянутым решениям (то есть путем добавления целых чисел, кратных $ 2 \ pi) , $ и только $ n = 0 $ дает такие значения $ x $, что $ 0

$$ \ sin x \; \; знак равно \ frac {-112 \; \вечера \; \ sqrt {7344}} {200} $$

$$ \ sin x \; \; знак равно -0,131 \ ldots, \; \; -0,988 \ ldots $$

Синус отрицателен только в Q3 и Q4, и поскольку $ \ arcsin (-0.131 \ ldots) = -0.131 \ ldots $ и $ \ arcsin (-0.988 \ ldots) = -1.418 \ ldots, $ the $ (x $ -оси) опорные углы для $ x $ в этих квадрантах составляют $ 0,131 \ ldots $ и $ 1,418 \ ldots $. Следовательно,

$$ x \; \; знак равно \ пи + 0,131 \ ldots, \; \; \ пи + 1.418 \ ldots, \; \; 2 \ pi — 0,131 \ ldots, \; \; 2 \ pi — 1,418 \ ldots $$

$$ x \; \; знак равно 3.273 \ ldots, \; \; 4.560 \ ldots, \; \; 6.151 \ ldots, \; \; 4,864 \ ldots $$

Начиная с , все решения для $ \; \ sin (\ text {stuff}) = \ text {constant} \; $ задаются добавлением $ 2n \ pi $ к четырем вышеупомянутым решениям (т.е. добавлением целых чисел, кратных 2 $). \ pi), $ и только $ n = 0 $ дает такие значения $ x $, что $ 0

Проверяя наличие посторонних решений, мы обнаруживаем, что $ 3.273 \ ldots $ и $ 4.864 \ ldots $ не удовлетворяют исходному уравнению. Следовательно, решения данного уравнения такие, что $ 0

10 секретных триггерных функций, которым вас никогда не учили учителя математики

В понедельник The Onion сообщил, что «национальные учителя математики вводят 27 новых триггерных функций». Это забавное чтение. Gamsin, negtan и cosvnx из статьи Onion вымышлены, но в этой статье есть доля правды: есть 10 секретных триггерных функций, о которых вы никогда не слышали, и у них есть восхитительные имена, такие как «haversine» и «exsecant».«

Диаграмма с единичным кругом и большим количеством триггерных функций, чем вы можете потрясти палкой. (Хорошо известно, что вы можете встряхнуть палку максимум при 8 триггерных функциях.) Знакомые синус, косинус и тангенс выделены красным, синим и, ну, желтовато-коричневым, соответственно. Версин выделен зеленым рядом с косинусом, а эксеканс розовым справа от версина. Excosecant и coverine также присутствуют на изображении. Не изображены: веркозин, кверкозин и хавер — что угодно. Изображение: Лиманер и Стивен Джонсон, через Wikimedia Commons.

Хотите ли вы мучить студентов с ними или вовлечь их в разговор, чтобы показаться эрудированным и / или невыносимым, вот определения всех «потерянных триггерных функций» , которые я нашел в своем исчерпывающем исследовании оригинальных исторических текстов Википедия рассказала я о.

Версия: версия (θ) = 1-cos (θ)
Веркозин: веркозин (θ) = 1 + cos (θ)
Coversine: охватывает (θ) = 1-sin (θ)
Covercosine: covercosine (θ) = 1 + sin (θ)
. Гаверсин: гаверсин (θ) = версен (θ) / 2
Гаверкозин: гаверкозин (θ) = веркозин (θ) / 2
Гаковерсин: hacoversin (θ) = Coversin (θ) / 2
Гаковеркозин: гаковеркозин (θ) = кверкозин (θ) / 2
Exsecant: exsec (θ) = sec (θ) -1
Excosecant: excsc (θ) = csc (θ) -1

Должен признаться, я был немного разочарован, когда посмотрел на них.Все они представляют собой простые комбинации дорогого старого синуса и косинуса. Почему они вообще получили имена ?! Из того места и времени, когда я могу сидеть на диване и почти мгновенно находить синус любого угла с точностью до 100 десятичных знаков с помощью онлайн-калькулятора, в Версине нет необходимости. Но эти, казалось бы, лишние функции восполнили потребности в мире предварительных калькуляторов.

Numberphile недавно опубликовал видео о таблицах журналов, в котором объясняется, как люди использовали логарифмы для умножения больших чисел в темные дни, когда еще не было калькулятора.Во-первых, напомню о логарифмах. Уравнение log b x = y означает, что b y = x. Например, 10 2 = 100, поэтому log 10 100 = 2. Полезный факт о логарифмах заключается в том, что log b (c × d) = log b c + log b d. Другими словами, логарифмы превращают умножение в сложение. Если вы хотите умножить два числа вместе с помощью таблицы журнала, вы должны найти логарифм обоих чисел, а затем сложить логарифмы. Затем вы должны использовать свою таблицу журнала, чтобы узнать, какое число имеет этот логарифм, и это был ваш ответ.Сейчас это звучит громоздко, но умножение вручную требует гораздо больше операций, чем сложение. Когда каждая операция занимает нетривиальное количество времени (и подвержена нетривиальному количеству ошибок), процедура, которая позволяет преобразовать умножение в сложение, реально экономит время и помогает повысить точность.

Секретные триггерные функции, такие как логарифмы, упрощают вычисления. Чаще всего использовались версин и гаверсин. Вблизи угла θ = 0 cos (θ) очень близко к 1.Если вы выполняли вычисление, в котором было 1-cos (θ), ваше вычисление могло бы быть разрушено, если в вашей таблице косинусов не было достаточно значащих цифр. Для иллюстрации косинус 5 градусов равен 0,996194698, а косинус 1 градуса равен 0,999847695. Разница cos (1 °) -cos (5 °) составляет 0,003652997. Если бы у вас было три значащих цифры в вашей таблице косинусов, вы бы получили только 1 значащую цифру в своем ответе из-за ведущих нулей в разнице. А таблица только с тремя значащими цифрами точности не сможет различить углы 0 и 1 градус.Во многих случаях это не имеет значения, но может стать проблемой, если ошибки накапливаются в ходе вычислений.

Бонусные триггерные функции также имеют то преимущество, что они никогда не бывают отрицательными. Версина находится в диапазоне от 0 до 2, поэтому, если вы используете таблицы журнала для умножения на версину, вам не нужно беспокоиться о том, что логарифм не определен для отрицательных чисел. (Он также не определен для 0, но с этим легко иметь дело.) Еще одно преимущество версин и гаверсин заключается в том, что они могут удерживать вас от необходимости что-то возводить в квадрат.Немного тригонометрического волшебства (также известного как запоминание одной из бесконечного списка тригонометрических формул, которые вы выучили в старшей школе) показывает, что 1-cos (θ) = 2sin 2 (θ / 2). Таким образом, гаверсинус — это просто sin 2 (θ / 2). Точно так же гаверкозин равен cos 2 (θ / 2). Если у вас есть вычисления с использованием квадрата синуса или косинуса, вы можете использовать таблицу гаверсинусов или гаверсинусов, и вам не нужно возводить в квадрат или извлекать квадратные корни.

Диаграмма, показывающая синус, косинус и версию угла.Изображение: Qef и Стивен Дж. Джонсон, через Wikimedia Commons.

Версина — это довольно очевидная триггерная функция для определения и, кажется, использовалась еще в 400 г. н.э. в Индии. Но гаверсинус мог быть более важным в более недавней истории, когда он использовался в навигации. Формула гаверсинуса — очень точный способ вычисления расстояний между двумя точками на поверхности сферы с использованием широты и долготы этих двух точек. Формула гаверсинуса — это переформулировка сферического закона косинусов, но формулировка в терминах гаверсинусов более полезна для малых углов и расстояний.(С другой стороны, формула гаверсинуса не очень хорошо справляется с углами, близкими к 90 градусам, но сферический закон косинусов справляется с этим хорошо.) Формула гаверсинуса может дать точные результаты, не требуя затратных вычислительных операций. квадраты и квадратные корни. Еще в 1984 году любительский астрономический журнал Sky & Telescope восхвалял формулу гаверсинуса, которая полезна не только для наземной навигации, но и для астрономических расчетов.Чтобы узнать больше о формуле гаверсинуса и вычислении расстояний на сфере, ознакомьтесь с этой архивной копией страницы бюро переписи или этой статьей «Спросите доктора Матема».

У меня не так много информации об истории других триггерных функций в списке. Все они могут сделать вычисления более точными вблизи определенных углов, но я не знаю, какие из них обычно использовались, а какие назывались * аналогично другим функциям, но редко использовались на самом деле. Мне любопытно об этом, если кто-нибудь знает больше о предмете.

Когда Луковица имитирует реальную жизнь, это обычно трагично. Но в случае секретных триггерных функций суть правды в Луке меня не огорчила. Нам очень повезло, что теперь мы можем так легко умножать, возводить в квадрат и извлекать квадратные корни, а наши калькуляторы могут хранить точную информацию о синусах, косинусах и тангенсах углов, но прежде чем мы смогли это сделать, мы придумали работу -округ в виде смешного количества триггерных функций. Легко забыть, что люди, которые их определили, не были садистскими учителями математики, которые хотят, чтобы люди запоминали странные функции без всякой причины.Эти функции фактически сделали вычисления более быстрыми и менее подверженными ошибкам. Теперь, когда компьютеры стали настолько мощными, привычка к дискетам улетучилась. Но я думаю, мы все можем согласиться с тем, что он должен вернуться, хотя бы из-за «классной» шутки, которую я придумал, когда засыпал прошлой ночью: Хаверсин? Я даже не знаю!

* Я хотел бы сделать здесь небольшое отступление в мир математических префиксов, но это может быть не для всех. Вас предупредили.

В таблице секретных триггерных функций «ха» явно означает половину; Например, ценность гаверсина составляет половину стоимости версина.«Со» означает выполнение той же функции, но с дополнительным углом. (Дополнительные углы в сумме составляют 90 градусов. В прямоугольном треугольнике два непрямых угла дополняют друг друга.) Например, косинус угла также является синусом дополнительного угла. Точно так же крышка — это версия дополнительного угла, как вы можете видеть голубым цветом над одним из красных синусов на диаграмме вверху сообщения.

Одна бонусная триггерная функция, которая меня немного смущает, — это веркосинус.Если бы «со» в этом определении означало дополнительный угол, то веркозинус был бы таким же, как покрывающий, а это не так. Вместо этого веркосинус — это версия дополнительного угла (дополнительные углы в сумме составляют 180 градусов), а не дополнительный. В дополнение к определениям как 1-cos (θ) и 1 + cos (θ), версин и веркозин могут быть определены как versin (θ) = 2sin 2 (θ / 2) и vercos (θ) = 2cos . 2 (θ / 2). В случае версины я считаю, что определение, включающее cos (θ), старше, чем определение, включающее синус в квадрате.Я предполагаю, что веркосинус был более поздним термином, аналогом определения квадрата синуса версина с использованием вместо него косинуса. Если вы любитель истории тригонометрии и у вас есть дополнительная информация, дайте мне знать! В любом случае таблица суперсекретных триггерных функций бонусов — забавное упражнение для выяснения того, что означают префиксы.

Формула для уравнения косинуса. Основные формулы тригонометрии. Задачи для самостоятельного решения

Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: приведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, факторизация.Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

Обязательным условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

1) Решите уравнение

Решение:

Ответ:

2) Найдите корни уравнения

(sinx + cosx) 2 = 1 — sinxcosx, принадлежащий сегменту.

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадрату.

1) Решите уравнение 2 sin 2 x — cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 — cos 2 x, получаем

Ответ:

2) Решите уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x — 1, получаем

Ответ:

3) Решите уравнение tgx — 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ:

3.Однородные уравнения

1) Решите уравнение 2sinx — 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 — противоречие с тем фактом, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Итак, cosx ≠ 0, и вы можете разделить уравнение на cosx. Получаем

Ответ:

2) Решите уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Используя формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получаем

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x — 6sinxcosx + 8cos 2 x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 — противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Следовательно, cosx ≠ 0, и уравнение можно разделить на cos 2 x . Получаем

tg 2 x — 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2-6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
a) tgx = 4, x = arctg4 + 2 k , k
b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k , k .

Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

1) Решите уравнение.

Решение:

Ответ:

5. Уравнения, решаемые факторизацией.

1) Решите уравнение sin2x — sinx = 0.

Корень уравнения f ( NS ) = φ ( NS ), может служить только число 0. Проверим это:

cos 0 = 0 + 1 — верно равенство.

Число 0 — единственный корень этого уравнения.

Ответ: 0.

Вы можете заказать детальное решение Вашей проблемы !!!

Равенство, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tan x` или` ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, и мы рассмотрим их формулы далее.

Простейшие уравнения называются sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где x — угол, который нужно найти, a — любое число. Запишем формулы корней для каждого из них.

1. Уравнение sin x = a.n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

2. Уравнение cos x = a

Для `| a |> 1` — как и в случае синуса, у него нет решений среди действительных чисел.

Для `| а | \ leq 1` имеет бесконечное количество решений.

Корневая формула: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Особые случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение tg x = a

Имеет бесконечное количество решений для любых значений `a`.

Корневая формула: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

4. Уравнение `ctg x = a`

Также есть бесконечное количество решений для любых значений `a`.

Корневая формула: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью преобразовать в простейший;
  • решите получившееся простейшее уравнение, используя записанные выше формулы и таблицы корней.2-3 года + 1 = 0`,

    находим корни: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, откуда следуют два случая:

    1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`,` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`, `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`,` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`, `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    Ответ: `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    Факторизация.2 х / 2 = 0`,

    `2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

    1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
    2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n `,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

    Ответ: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

    Приведение к однородному уравнению

    Во-первых, вам нужно привести это тригонометрическое уравнение к одному из двух типов:

    `a sin x + b cos x = 0` (однородное уравнение первой степени) или` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (однородное уравнение второй степени) . 2 x) (1 + cos x) = 0`

    Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.2 x = 0`, `sin x (1-sin x) = 0`. Тогда sin x = 0 или 1-sin x = 0.

    1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
    2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

    Учитывая, что `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, решениями являются` x = 2 \ pi n, n \ in Z` и` x = \ pi / 2 + 2 \ pi п`, `п \ in Z`.

    Ответ. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

    Тригонометрия, и в частности тригонометрические уравнения, используются практически во всех областях геометрии, физики, техники.Учеба начинается в 10 классе, к экзамену обязательно есть задания, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они обязательно пригодятся!

    Впрочем, их даже не нужно запоминать, главное понять суть и уметь делать выводы. Это не так сложно, как кажется. Убедитесь в этом сами, посмотрев видео.

    Концепция решения тригонометрических уравнений.

    • Чтобы решить тригонометрическое уравнение, преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений.Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.
  • Решение основных тригонометрических уравнений.

    • Есть 4 типа основных тригонометрических уравнений:
    • sin x = a; cos x =
    • tg x = a; ctg x =
    • Решение основных тригонометрических уравнений включает рассмотрение различных положений «X» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
    • Пример 1.грех х = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: x = π / 3. Единичный круг дает другой ответ: 2π / 3. Помните: все тригонометрические функции периодические, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Следовательно, ответ записывается так:
    • x1 = π / 3 + 2πn; х2 = 2π / 3 + 2πn.
    • Пример 2. cos x = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: x = 2π / 3.Единичный круг дает другой ответ: -2π / 3.
    • x1 = 2π / 3 + 2π; х2 = -2π / 3 + 2π.
    • Пример 3. tg (x — π / 4) = 0.
    • Ответ: x = π / 4 + πn.
    • Пример 4. ctg 2x = 1,732.
    • Ответ: x = π / 12 + πn.
  • Преобразования, используемые для решения тригонометрических уравнений.

    • Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (факторизация, редукция однородных членов и т. Д.) и тригонометрические тождества.
    • Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Таким образом, вам нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; грех (3х / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
    • Нахождение углов по известным значениям функций.

      • Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений необходимо научиться находить углы по известным значениям функций.Это можно сделать с помощью таблицы преобразования или калькулятора.
      • Пример: cos x = 0,732. Калькулятор даст ответ x = 42,95 градуса. Единичный круг даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.
    • Отложите раствор на единичном круге.

      • Решение тригонометрического уравнения можно отложить на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
      • Пример: Решения x = π / 3 + πn / 2 на единичной окружности являются вершинами квадрата.
      • Пример: Решения x = π / 4 + πn / 3 на единичной окружности являются вершинами правильного шестиугольника.
    • Методы решения тригонометрических уравнений.

      • Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрических функции, то существует 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
      • Преобразуйте это уравнение в уравнение вида: f (x) * g (x) * h (x) = 0, где f (x), g (x), h (x) — основные тригонометрические уравнения.
      • Пример 6.2 cos x + sin 2x = 0. (0
      • Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2 * sin x * cos x, замените sin 2x.
      • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
      • Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0
      • Решение. Используя тригонометрические тождества, преобразуйте это уравнение в уравнение вида: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
      • Пример 8. sin x — sin 3x = cos 2x. (0
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте это уравнение в уравнение вида: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
      • Преобразует данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию.2 — 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите x для t = tg x.
  • Видеокурс Get A Video включает в себя все темы, необходимые для достижения успеха. сдача экзамена по математике на 60-65 баллов. Полностью все задания 1-13 Профильного единого государственного экзамена по математике. Также подходит для сдачи базового экзамена по математике. Если вы хотите сдать экзамен на 90-100 баллов, вам нужно решить часть 1 за 30 минут и без ошибок!

    Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 классов, а также для учителей.Все, что нужно для решения части 1 экзамена по математике (первые 12 задач) и задачи 13 (тригонометрия). А это больше 70 баллов на экзамене, и без них не обходится ни стобалльный, ни гуманитарий.

    Вся необходимая теория. Быстрые пути решения, ловушки и секреты экзамена. Все соответствующие задания части 1 из банка заданий ФИПИ разобраны. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

    Курс содержит 5 больших тем, 2.По 5 часов каждый. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

    Сотни заданий ЕГЭ. Проблемы со словом и теория вероятностей. Простые и легко запоминающиеся алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех видов экзаменационных заданий. Стереометрия. Хитрые решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Визуальное объяснение сложных понятий… Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функции и производные. Основа для решения сложных задач 2 части экзамена.

    Простейшие тригонометрические уравнения обычно решаются формулами. Напомню, что следующие тригонометрические уравнения называются простейшими:

    sinx =

    cosx =

    tgx = a

    CTGX =

    x — искомый угол,
    a — любое число.

    А вот формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

    Для синуса:

    Для косинуса:

    х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

    По касательной:

    x = arctan a + π n, n ∈ Z

    Для котангенса:

    x = arcctg a + π n, n ∈ Z

    Собственно, это теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений.Более того, все!) Вообще ничего. Однако количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, если пример немного отличается от шаблона. Почему?

    Да, потому что многие люди записывают эти буквы, вообще не понимая их смысла! С осторожностью записывает, как бы ни случилось …) С этим надо разбираться. Тригонометрия для человека, или все-таки человек для тригонометрии!?)

    Разберемся?

    Один угол будет равен arccos a, секунда: -arccos a.

    И так будет всегда. Для любого a.

    Если вы мне не верите, наведите указатель мыши на картинку или коснитесь картинки на планшете.) Я изменил номер на к какому-то негативу. Так или иначе, у нас получился один угол arccos a, секунда: -arccos a.

    Следовательно, ответ всегда можно записать в виде двух серий корней:

    x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

    х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z

    Объединяем эти две серии в одну:

    x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

    И все дела.Получил общую формулу решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

    Если вы поймете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращенное обозначение двух серий ответов, вам и задаче «С» окажетесь по плечу. При неравенствах, при выборе корней из заданного интервала … Там ответ с плюсом / минусом не катит. А если отнестись к ответу по-деловому и разбить его на два отдельных ответа, все решено.) Собственно поэтому мы понимаем. Что, как и где.

    В простейшем тригонометрическом уравнении

    sinx =

    также получается две серии корней. Всегда. И эти две серии можно записать тоже одной строкой. Только эта строчка будет хитрее:

    х = (-1) n дуг в a + π n, n ∈ Z

    Но суть осталась прежней. Математики просто построили формулу, чтобы сделать одну, а не две записи ряда корней. И все!

    Давай проверим математиков? А то мало ли …)

    На предыдущем уроке было подробно проанализировано решение (без формул) тригонометрического уравнения с синусом:

    Ответ дал две серии корней:

    х 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

    x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

    Если решить то же уравнение по формуле, мы получим ответ:

    x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

    На самом деле, это незаконченный ответ.) Студент должен знать, что arcsin 0,5 = π / 6. Полный ответ будет:

    x = (-1) n π / 6 + π n, n ∈ Z

    Возникает интересный вопрос. Ответить через x 1; х 2 (это правильный ответ!) И через одинокий NS (и это правильный ответ!) — тоже самое, или нет? Узнаем сейчас.)

    Заменить в ответ на x 1 означает n = 0; 1; 2; и так далее, считаем, получаем ряд корней:

    х 1 = π / 6; 13π / 6; 25π / 6 и т. Д.

    С такой же заменой в ответе x 2 , получаем:

    х 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 и т. Д.

    А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого NS … То есть мы строим минус один в нулевом градусе, затем в первый, второй и т. Д. И, конечно, мы подставляем 0 во второй член; 1; 2 3; 4 и т. Д. А мы посчитаем. Получаем серию:

    х = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 и т. Д.

    Это все, что вы можете видеть.) Общая формула дает нам точно таких же результатов, как два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядку.Математиков не обманули.)

    Также можно проверить формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом. Но не будем.) Они такие простые.

    Я специально описал всю эту подмену и проверку. Здесь важно понимать одну простую вещь: есть формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, всего лишь краткая запись ответов. Для этой краткости мне пришлось вставить плюс / минус в решение косинуса и (-1) n в решение синуса.

    Эти вкладыши никак не мешают в задачах, где нужно просто записать ответ на элементарное уравнение. Но если вам нужно решить неравенство, или вам нужно что-то сделать с ответом: выделить корни на интервале, проверить ODZ и т. Д., Эти вставки легко могут выбить человека из колеи.

    А что делать? Да, либо запишите ответ двумя рядами, либо решите уравнение / неравенство по тригонометрической окружности. Потом эти вставки исчезают и жизнь становится проще.)

    Можно подвести итоги.

    Есть готовые формулы ответов для решения простейших тригонометрических уравнений. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, вам нужно решить уравнения:

    sinx = 0,3

    Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

    cosx = 0,2

    Нет проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

    tgx = 1.2

    Легко: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

    ctgx = 3,7

    Один слева: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

    cos x = 1,8

    Если ты, сияющий знаниями, моментально напиши ответ:

    x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

    то тебе уже светит, это … то … из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Вы понимаете почему? Прочтите, что такое арккосинус. Кроме того, если табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса находятся в правой части исходного уравнения, — 1; 0; √3; 1/2; √3 / 2 и т. Д. — ответ через арки будет недостроен. Арки необходимо переводить в радианы.

    И если вы столкнетесь с неравенством типа

    , то ответ:

    х πn, n ∈ Z

    есть бред редкий, да…) Здесь необходимо определиться с тригонометрическим кругом. Что будем делать в соответствующей теме.

    Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

    Бонус:

    При написании формул в тревожной боевой обстановке даже академически закаленные ботаники часто не понимают, где πn, А где 2π n. Вот простой трюк.В из всех формул стоит πn. За исключением единственной формулы с обратным косинусом. Стоит там 2πn. Два pien. Ключевое слово — два. Эта же формула содержит два знака в начале. Плюс и минус. Кое-где — два.

    Итак, если вы написали , два знака перед обратным косинусом, легче запомнить, какой конец будет два пиен.А бывает даже наоборот. Знак пропуска человека ± , доходит до конца, пишет правильно два pien, и он одумается. Впереди что-то , два знака ! Человек вернется к началу, но исправит ошибку! Вот так.)

    Если вам нравится этот сайт …

    Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

    Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень.Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

    Вы можете ознакомиться с функциями и производными.

    .

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *