Производные от: Таблица производных простых функций

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v²

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x³).

y′ = (5 ⋅ x³)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x³)’ = 5 ⋅ (x³)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х^3-1 = 15х²

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x²)⁴?

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 + 2x²)⁴.

Заменим 3 + 2x² на u и тогда получим y = u⁴.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′_u ⋅ u′_x = 4u³ ⋅ u’_x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u³ ⋅ u′_x = 4 (3 + 2x²)³ ⋅ (3 + 2x²)′ = 16 (3 + 2x²)³ ⋅ х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x³ + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x³ + 4)′ ⋅ cos x + (x³ + 4) ⋅ cos x′ = 3x² ⋅ cos x + (x³ + 4) ⋅ (-sin x) = 3x² ⋅ cos x – (x³ + 4) ⋅ sin x

Распределения, производные от нормального — Интервалы и гипотезы

В этом видео мы введем несколько распределений, которые являются производными от нормального, и поговорим о том, как они возникают. А в следующих видео вы увидите, как эти распределения применяются. Давайте для начала быстренько вспомним про нормальное распределение. У нормально распределенной случайной величины два параметра: μ и σ, μ равна матожиданию, а сигма — квадрат дисперсии. Вот так выглядит ее плотность и функция распределения. Обратите внимание, что функция распределения не выражается аналитически, то есть вот этот интеграл не берется, а график плотности распределения похож на знакомую вам шляпу. Давайте теперь представим, что у нас есть k независимых одинаково распределенных нормальных случайных величин, то есть со средним 0 и дисперсией 1. Определим новую случайную величину X, равную сумме квадратов наших Xi. Распределение такой случайной величины называется распределением хи-квадрат с k степенями свобод. К сожалению, формулы для плотности и функции распределения хи-квадрат выглядят ужасно, поэтому мы даже не будем на них смотреть. Точно так же не будем смотреть на формулы для функции распределения и плотности следующих распределений. При k, равном 1 и 2, график для плотности хи-квадрат — это монотонно убывающая функция с максимумом в 0. При k, начиная с 3, у плотности появляется максимум, который с ростом k начинает постепенно уезжать вправо по числовой оси. Пусть теперь у нас есть случайная величина X1 из стандартного нормального распределения и X2 из распределения хи-квадрат с числом степеней свободы ν. Определим новую случайную величину X, равную отношению X1 к √X2 / ν. Такая случайная величина будет иметь распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν. Перед вами графики плотности распределения Стьюдента при разных ν. На первый взгляд они кажутся похожими на плотности нормального распределения, а так у них более тяжелые хвосты, то есть для них более вероятны большие по модулю значения случайной величины. Кроме того, они всегда центрированы в 0, то есть они не могут никуда сдвигаться по числовой оси, в отличие от нормального распределения. Чем больше ν, тем меньше отличие распределения Стьюдента от нормального. При ν, начиная с 30, визуально практически невозможно отличить распределение Стьюдента и нормальное. Пусть теперь X1 имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы d1, X2 — хи-квадрат с числом степеней свободы d2. X1, X2 — независимы. Отношение X1 и X2, нормированных на свои числа степеней свободы, имеет распределение, которое называется распределением Фишера с числом степеней свободы d1 и d2. Варьируя d1 и d2, можно получать очень разные виды для функции плотности распределения Фишера. Некоторые из них вы видите на рисунке. Зачем эти распределения нужны? Для того чтобы начать с этим разбираться, давайте возьмем выборку объема N из нормального распределения с математическим ожиданием μ и дисперсией σ². Про выборочное среднее такой выборки мы уже знаем, что оно распределено тоже нормально, с тем же самым математическим ожиданием μ и дисперсией в n раз меньше — σ² / n. Что мы можем сказать про выборочную дисперсию? Если мы внимательно посмотрим на выражение для выборочной диспресии, мы увидим, что оно представляет собой сумму квадратов чего-то. Вот это что-то — это независимые, одинаково распределенные нормальные случайные величины. Поэтому неудивительно, что распределение выборочной дисперсии имеет какое-то отношение к распределению хи-квадрат. Действительно, специальным образом нормировав выборочную дисперсию, поделив ее на истинную дисперсию σ² и умножив на n − 1, мы получим величину, которая имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы n − 1. Рассмотрим теперь еще одну полезную статистику, которая называется T-статистикой. Она представляет собой отношение разности выборочного среднего и истинного математического ожидания μ к корню из выборочной дисперсии, деленной на n, то есть в знаменателе стоит S / √n. Такая статистика имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n − 1. Наконец, пусть теперь у нас есть две выборки, объемов N1 и N2, каждая из своего нормального распределения. Параметры первого — μ1, σ1, параметры второго — μ2, σ2. Если мы возьмем отношение выборочных дисперсий этих двух выборок, поделим их каждая на свою истинную дисперсию — σ1², σ2², — то такая величина будет иметь распределение Фишера с числом степеней свободы, определяемых объемами наших выборок. Число степеней свободы распределения Фишера = (n1 − 1, n2 − 1). Итак, в этом видео мы поговорили о том, как выглядят распределения хи-квадрат Стьюдента и Фишера, как они связаны с нормальным расперделением, а также увидели, какие статистики могут иметь такие распределения. Начиная со следующих видео, мы начнем разбираться с тем, как эти распределения и эти полученные знания можно использовать для построения доверительных интервалов.

Запретить в названиях растительных продуктов использовать производные от названий мясных продуктов «мясо» и «колбаса»

Названия, которые у потребителей стойко ассоциируются с продуктами из мяса всё чаще используются производителями растительных копий. В них животный белок отсутствует, но в названиях используются стойкие ассоциации с мясными продуктами.
Предлагается: внести изменения в технический регламент № 22 Таможенного союза «Пищевая продукция в части её маркировки», дабы предупредить недобросовестное использование названий, производных от названий видов продуктов «мясо», «колбаса», «птица», «рыба» и т.п. Запрет должен распространяться на все продукты, в которых доля животного белка ниже 40%.
Рынок подобной еды в России только зародился, но его развитие идёт стремительно и очень скоро в названиях растительных продуктов массового сегмента замелькают слова «котлеты», «наггетсы», «сосиски», «колбаса» и прочие производные от архетипов мясной культуры. Потребитель подсознательно ожидает от них вполне определённых потребительских качеств и питательных свойств, присущих животному белку, а в действительности получит гороховый (соевый, нутовый, далее по списку) белок с добавлением растительного масла, свекольного красителя, стабилизаторов, эмульгаторов и синтетических вкусоароматических добавок. Всего в состав такого «мяса» входит 15 и более ингредиентов.
Производители растительных копий по сути паразитируют на пищевых привычках массового потребителя, представляя свои разработки, как продукты здорового питания, забывая, что у многих людей бобы вызывают аллергию. Реакция организма на большинство других ингредиентов «мяса» изучена меньше, и они ещё могут преподнести неприятные сюрпризы.
Полностью заменить животный белок не может ни один растительный продукт и ни одна комбинация растительных продуктов, поэтому называть их также как и продукты содержащие мясные продукты — равносильно обману.
Потребитель имеет право выбирать — есть ему котлету из мясного фарша или из бобового, но потребитель также имеет право на достоверную информацию о продукте, отраженную, в том числе, и в названиях привычных ему продуктов.
Популярность растительных имитаций в России в настоящее время невелика: сказываются высокая цена импортных новинок (порядка 700 р. за бургер известной марки), а также низкая популярность веганских идей. Однако, при достаточных маркетинговых усилиях со стороны распространителей модных подделок и снижении цены этих продуктов (закономерное явление в условиях развития технологий и роста продаж), они станут доступны более широким слоям населения.
В Европе производители т.н. растительного мяса вместе с наиболее радикальной частью зеленых уже добились рассмотрения в Европарламенте повышения налогов на продукцию животноводства. Не исключено, что те же силы попытаются ввести похожий налог и в России. Если поддельное мясо будет доступно широким слоям, проще будет усыпить общественное мнение при повышении цен на продукцию животноводства.

Практический результат

Изменение в технический регламент о маркировке продуктов принесёт следующие результаты:
1. Защитит права потребителей на достоверную информацию о продуктах, которые совершенно подобны мясным и полностью имитируют их вкус.
2. Предупредит недобросовестное использование мясных названий в растительных продуктах.
3. Поможет защитить здоровье потребителя от воздействия потенциальных аллергенов и дефицита незаменимых аминокислот полиненасыщенных жирных кислот.

Электронный учебник по математическому анализу

4.1 Производная

4.1.1 Определение производной

Понятие производной — одно из ключевых в математическом анализе. Пусть $f(x)$ задана на некотором интервале $(a,b) \subset\mathbb{R}$, точка $x_0 \in (a,b)$.

Рассмотрим отношение \[ A(x_0, \vartriangle x)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x }. \]

Это функция двух переменных — $x_0$ и еще одной переменной, которую обозначают $ \Delta x$. Числитель этой дроби обозначают иногда как $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ и называют приращением функции $f(x)$ в точке $x_0$, соответствующим приращению аргумента $\Delta x$, так что \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\Delta f}{\Delta x }. 2)’=2x$.

Замечание. В точках разрыва функции $f(x)$ функция не имеет производной.

Контрольный вопрос.

Докажите последнее утверждение.

Первые физические приложения.

1. Путь $S(t)$ — путь, пройденный движущейся по прямой точкой. Тогда мгновенной скоростью точки будет \[ v(t)=\lim _{\Delta t \to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}= \frac {dS}{dt}(t). \]

2. Пусть через данное сечение провода к моменту $t$ протек заряд $Q(t)$, тогда электрический ток \[ I(t)=\lim _{\Delta t \to 0} \frac{Q(t+\Delta t)-Q(t)}{\Delta t}= \frac {dQ}{dt}(t). \]

Обсудим геометрический смысл производной. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, проходящий через (близкие друг другу) точки $A$ и $B$. Проведем через них хорду $AB$. Отношение $(f(x+\Delta x)-f(x))/\Delta x$ соответствует тангенсу угла наклона хорды $AB$. Когда $\Delta x \rightarrow 0$, точка $B$ стремится к точке $A$, при этом хорда превращается в касательную к графику функции, проходящую через точку $(x,f(x))$. {x_0}. \]

3. $f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\sin (x_0+\Delta x)-\sin (x_0)}{\Delta x}. \]

Используя известное тригонометрическое тождество (разность синусов равна…), имеем: \[ A(x_0, \Delta x)=2\frac{\sin (\Delta x/2)\cos (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x}= \] \[ \frac{\sin (\Delta x/2)\cos (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x /2}. \]

С помощью тригонометрического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=\cos (x_0). \]

4. $f(x)=\cos x$, $f'(x)=-\sin x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\cos (x_0+\Delta x)-\cos (x_0)}{\Delta x}. \]

Используя известное тригонометрическое тождество (разность косинусов равна…), имеем: \[ A(x_0, \Delta x)=-2\frac{\sin (\Delta x/2)\sin (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x}= \] \[ -\frac{\sin (\Delta x/2)\sin (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x /2} \]

С помощью тригонометрического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=-\sin (x_0) \]

5. $f(x)=\ln x$, $f'(x)=1/ x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\ln (x_0+\Delta x)-\ln (x_0)}{\Delta x}= \] \[ \frac{\ln ((x_0+\Delta x)/x_0)}{\Delta x}=\frac{1}{x_0}\frac{\ln (1+\Delta x/x_0)}{\Delta x/x_0} \]

С помощью логарифмического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=\frac{1}{x_0} \]

4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций

Производная возникает в результате предельного перехода. Поэтому свойства пределов приводят к соответствующим свойствам производных.

Теорема. Пусть функции $f(x)$, $g(x)$ дифференцируемы в точке $x$. Тогда
1. Функция $f(x)+g(x)$ также дифференцируема, причем $$(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x),$$
2. Функция $f(x)\cdot g(x)$ дифференцируема, причем справедлива формула Лейбница $$(f(x)\cdot g(x))’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x),$$
3. Если $g(x) \neq 0$, тогда $f(x)/g(x)$ дифференцируема в точке $x$, причем $$ \left (\frac{f(x)}{g(x)}\right )’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}. $$

Доказательство.

1. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{(\left ( f(x_0+\Delta x) +g(x_0+\Delta x)\right )-\left ( f(x_0) +g(x_0)\right )}{\Delta x}= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x) — f(x_0) }{\Delta x}+\frac{ g(x_0+\Delta x) — g(x_0) }{\Delta x}. \]

Согласно условиям теоремы, обе дроби в последнем выражении имеют пределы при $\Delta x \rightarrow 0$, так что используя тот факт, что предел суммы равен сумме пределов (конечных!) получаем: \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} A(x_0, \Delta x)=f'(x_0)+g'(x_0). \]

2.

\[ A(x_0, \Delta x)= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0+\Delta x)- f(x_0) \cdot g(x_0)}{\Delta x}= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0+\Delta x)- f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0)}{\Delta x} \] \[ {+f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0)- f(x_0) \cdot g(x_0)}{\Delta x} \] \[ =f(x_0+\Delta x)\frac{g(x_0+\Delta x)- g(x_0)}{\Delta x}+ \] \[ g(x_0)\frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x}. \]

Согласно условиям теоремы, при $\Delta x \rightarrow 0$ выражения $$ \frac{g(x_0+\Delta x)- g(x_0)}{\Delta x}, \quad \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x}$$ имеют пределы, равные производным функций $g'(x_0), f'(x_0)$. Так как функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке, значит $f(x_0+\Delta x) \rightarrow f(x_0) $ при $\Delta x \rightarrow 0$. В итоге получаем: \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} A(x_0, \Delta x)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0). \]

3.

\[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\frac{f(x_0+\Delta x)}{g(x_0+\Delta x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{\Delta x}= \] \[ \frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0+\Delta x)}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)\Delta x}= \] \[ \frac{1}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}+ \] \[ {f(x_0)g(x_0)-f(x_0)g(x_0+\Delta x)}{\Delta x}= \] \[ \frac{1}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}- \] \[ \frac{f(x_0)g(x_0+\Delta x)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x} . 2)$.

Предположим, что известны производные $dg/dx$, $dh/dy$. Возникает вопрос: как вычислить производную сложной функции $dz/dx$, где $z=h(g(x))$?

Теорема. Пусть $f(x)$ дифференцируема в точке $x=x_0$, $h(y)$ дифференцируема в точке $y_0=f(x_0)$. Тогда $z=h(g(x))$ дифференцируема в точке $x=x_0$, причем \begin{equation} \left. \frac{dz}{dx} \right|_{x=x_0}=\left. \frac{dh}{dy}\right|_{y=f(x_0)}\cdot \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}. (8) \label{comp} \end{equation}

Доказательство.

Обозначим $y_0=f(x_0)$. В соответствии с нашими предположениями составим выражение \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{h(f(x_0+\Delta x))-h(f(x_0))}{\Delta x}= \] \[ \frac{h(f(x_0+\Delta x))-h(f(x_0))}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. \]

При $\Delta x \to 0$ в силу непрерывности $f(x)$ в точке $x_0$ имеем: $y_0+\Delta y=f(x_0+\Delta x) \to f(x_0)=y_0$. В силу условий теоремы первый множитель имеет пределом при $\Delta x \to 0$ величину $\left. h'(y)\right|_{y=f(x_0)}$, второй множитель имеет пределом величину $f'(x_0)$. В итоге получаем: \[ \lim _{\Delta x \to 0}A(x_0, \Delta x)=\left. h'(y)\right|_{y=f(x_0)}\cdot f'(x_0). \]

Замечание. Соотношение (8) содержит в левой части 2 сомножителя — в соответствии с тем, что сложная функция образована композицией двух функций. Если сложная функция образована композицией 3 функций, в левой части имеется 3 сомножителя и т.д.

Напомним, что если задана функция $y=f(x)$, то обратной к ней функцией называется функция $x=h(y)$ со следующими свойствами: $h(f(x))=x$, $f(h(y))=y$. Разумеется, обратная функция существует не всегда.

Теорема. Пусть функция $y=f(x)$ имеет непрерывную производную в некоторой окрестности $V$ точки $x=x_0$, причем $f'(x_0) \neq 0$. Тогда в некоторой окрестности $U \subset V$, $x_0 \in U$, функция $f(x)$ имеет обратную, определенную в некоторой окрестности точки $y_0=f(x_0)$, причем выполняется равенство: \begin{equation} h'(y_0)=\left. 2}. \]

Далее, пусть для некоторых функций $a(t),b(t)$, заданных на интервале $\left[t_1,t_2\right]$, $x=a(t)$, $y=b(t)$ (в этом случае говорят, что переменные $ x $ и $ y $ заданы параметрически). Предположим, что для функции $x=a(t)$ существует обратная функция $t=\phi (x)$. Тогда $y=b(t)=b(\phi(x))$, так что появляется зависимость между $x$ и $y$. В этом случае говорят, что функция $y(x)$ задана параметрически (с помощью параметра $t$). Если известны производные функций $a(t)$, $b(t)$, то можно вычислить производную функции $y'(x)$.

Теорема. Предположим, что функции $a(t),b(t)$ дифференцируемы на интервале $\left[t_1,t_2\right]$, причем существует обратная функция $t=\phi (x)$, дифференцируемая при всех интересующих нас $x$. Тогда производная $y'(x)$ существует, причем \begin{equation} y'(x)=\left.\frac{b'(t)}{a'(t)}\right |_{t=\phi (x)}. (10) \label{par} \end{equation}

Доказательство.

Согласно условиям теоремы, функцию $y(x)$ можно представить как сложную функцию, $y(x)=b( \phi (x))$. 2)$$

?

Как быть в случае б) ?

задан 27 Авг ’19 19:41

1

Если $%f=f(u,v)$%, $%u=u(x,y)$%, $%v=v(x,y)$%, то $%f_x’=f_u’u_x’+f_v’v_x’$%, $%f_y’=f_u’u_y’+f_v’v_y’$%. Посмотрите на конкретном примере, чтобы понять, о чём речь: $%f(x,y)=\text{tg}\left(x+\frac{x}{y}\right)$%, $%u=x$%, $%v=\frac{x}{y}$%.

@caterpillar: В этом конкретном примере я понимаю чему равно $%u’_x, v’_x, u’_y, v’_y$%, но не понимаю чему равно $%f’_u, f’_v$%

А функцию $%f(u,v)$% записать можете?

А тангенс куда подевался?

В общем случае ответ будет зависеть от $%f_u’$% и $%f_v’$%, поскольку конкретная зависимость $%f$% не дана. А пример я дал, чтобы Вы поняли, что в конкретном случае всё явно считается и никаких неопределённостей не остаётся.

@caterpillar: Да, тангенс, я случайно пропустил.

Спасибо Вам большое. Кажется, все понял!

%COMMENT%

Исчисление I. Определение производной

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Определение производной

В первом разделе главы «Пределы» мы видели, что вычисление наклона касательной, мгновенной скорости изменения функции и мгновенной скорости объекта в точке \(х = а\) требует от нас вычислить следующий предел.

Мы также видели, что с небольшим изменением обозначений этот предел может быть записан как

Это такой важный предел, и он возникает во многих местах, что мы даем ему имя. Мы называем это производным от . Вот официальное определение производной.

Определение производной

Производная от \(f\left( x \right)\) по отношению к x является функцией \(f’\left( x \right)\) и определяется как \[\begin{equation}f’\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left({x + h} \right) — f\ слева( x \справа)}}{h} \label{eq:eq2}\end{equation}\]

Обратите внимание, что мы заменили все на в \(\eqref{eq:eq1}\) на x , чтобы признать тот факт, что производная также является функцией.2} — 16х + 35\] Показать решение

Итак, все, что нам действительно нужно сделать, это подставить эту функцию в определение производной \(\eqref{eq:eq2}\) и выполнить некоторые алгебраические действия. Хотя, по общему признанию, алгебра временами будет несколько неприятной, но это всего лишь алгебра, так что не радуйтесь тому факту, что мы сейчас вычисляем производные. 2} — 16x + 35} \right)}}{h}\end{align*}\]

Будьте осторожны и убедитесь, что правильно расставляете скобки при вычитании.2} — 16ч}}{ч}\конец{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что каждое слагаемое в числителе, в котором не было ч , сокращаются, и теперь мы можем вынести ч из числителя, что сократит ч в знаменателе. После этого мы можем вычислить предел.

Итак, производная

Это будет немного запутаннее, если говорить об алгебре. Однако за пределами этого он будет работать точно так же, как и в предыдущих примерах. Во-первых, мы подключаем функцию к определению производной,

Обратите внимание, что мы изменили все буквы в определении, чтобы они соответствовали заданной функции.Также обратите внимание, что мы написали дробь гораздо более компактно, чтобы помочь нам в работе.

Как и в первой задаче, мы не можем просто подставить \(h = 0\). Итак, нам нужно будет немного упростить ситуацию. В этом случае нам нужно будет объединить два члена в числителе в одно рациональное выражение следующим образом.

Прежде чем закончить, давайте отметим пару вещей. 2}}}\] Пример 3 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\[R\влево( z \вправо) = \sqrt {5z — 8} \] Показать решение

Сначала подключите определение производной, как мы это делали в двух предыдущих примерах.

В этой задаче нам нужно рационализировать числитель.Вы ведь помните рационализацию из класса алгебры, верно? На уроке алгебры вы, вероятно, рационализировали только знаменатель, но вы также можете рационализировать числители. Помните, что при рационализации числителя (в данном случае) мы умножаем и числитель, и знаменатель на числитель, за исключением того, что мы меняем знак между двумя членами. Вот рационализаторская работа по этой задаче,

Опять же, после упрощения у нас осталось только ч в числителе.Итак, отменяем ч и оцениваем лимит.

Итак, мы получаем производную от

Давайте рассмотрим еще один пример.Этот будет немного другим, но в нем есть смысл, который нужно сделать.

Поскольку эта задача требует производной в определенный момент, мы продолжим и используем ее в нашей работе. Это сделает нашу жизнь проще, и это всегда хорошо.

Итак, подключите определение и упростите.

Мы уже видели подобную ситуацию, когда рассматривали пределы бесконечности.+ }} 1\\ & = 1\end{align*}\]

Два односторонних предела различны, поэтому

не существует. Однако это предел, который дает нам производную, которая нам нужна.

Если предел не существует, то и производная не существует.

В этом примере мы наконец увидели функцию, для которой производная не существует в точке.Это факт жизни, о котором мы должны знать. Производные не всегда будут существовать. Обратите также внимание, что это ничего не говорит о том, существует ли производная где-либо еще. На самом деле производная функции абсолютного значения существует в каждой точке, кроме той, которую мы только что рассмотрели, \(x = 0\).

Предыдущее обсуждение приводит к следующему определению.

Определение

Функция \(f\left( x \right)\) называется дифференцируемой в точке \(x = a\), если \(f’\left( a \right)\) существует и \(f\left( x \right)\) называется дифференцируемой на интервале, если производная существует для каждой точки этого интервала.

Следующая теорема показывает нам очень хорошую связь между непрерывными и дифференцируемыми функциями.

Теорема

Если \(f\left( x \right)\) дифференцируема в \(x = a\), то \(f\left( x \right)\) непрерывна в \(x = a\).

Обратите внимание, что эта теорема не работает в обратном порядке. Рассмотрим \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) и взглянем на

Итак, \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) непрерывно в точке \(x = 0\), но мы только что показали выше в примере 4, что \(f\left( x \right) = \left|x \right|\) не дифференцируема в точке \(x = 0\).

Альтернативное обозначение

Далее нам нужно обсудить несколько альтернативных обозначений производной. Типичное обозначение производной — это «штриховое» обозначение. Однако есть еще одно обозначение, которое иногда используется, поэтому давайте рассмотрим его.

Для функции \(y = f\left( x \right)\) все следующие выражения эквивалентны и представляют собой производную от \(f\left( x \right)\) относительно x .

Поскольку иногда нам также необходимо вычислять производные, нам также нужна запись для вычисления производных при использовании дробной записи.Итак, если мы хотим оценить производную при \(x = a\), все следующие условия эквивалентны.

Также обратите внимание, что иногда мы опускаем часть \(\left( x \right)\) в функции, чтобы несколько упростить запись. В этих случаях следующие условия эквивалентны.

В качестве последнего замечания в этом разделе мы признаем, что вычисление большинства производных непосредственно из определения — довольно сложный (и иногда болезненный) процесс, полный возможностей для ошибок. Через пару разделов мы начнем разрабатывать формулы и/или свойства, которые помогут нам получить производную многих распространенных функций, чтобы нам не приходилось слишком часто прибегать к определению производной.

Это не означает, однако, что не важно знать определение производной! Это важное определение, которое мы всегда должны знать и помнить. Это просто то, с чем мы не собираемся так много работать.

World Web Math: производные полиномов

Прежде чем перейти к самому общему случае, рассмотреть y = f ( x ) = x ² . Как показано, это самая простая парабола. производная от f ( x ) все еще можно найти из базовой алгебры:

Это говорит нам именно то, что мы ожидаем; производная равна нулю в x = 0, имеет тот же знак, что и x , и становится круче (более отрицательное или положительное) по мере того, как x становится более отрицательным или положительный.

Интересный результат нахождения эта производная состоит в том, что наклон секущей равен наклону функция в середине отрезка. Конкретно,

(На приведенном рисунке 90 141 x 90 142  = -1 и ч  = 3, поэтому ( x + ч /2) = +1/2.
Обратите внимание, что параболические функции являются функциями и только . (кроме линейных или постоянных функций), для которых это всегда истинный.

Отсюда можно и нужно считать y = f ( x )= x ⁿ для любое положительное целое число n .Есть много способов сделать это, с разной степенью официальности.

Для начала рассмотрим, что для n положительное целое число биномиальная теорема позволяет нам выразить f ( x +h) как

(В приведенном выше всегда будет не более n +1 ненулевые члены.) Затем алгебра снова дает нам

Видно, что эта очень удобная форма воспроизводит приведенные выше результаты для n =1, n =2 и даже n =0, т. е. случай с =1.
Приведенный выше результат может быть получен из индуктивного процесса с использованием правило произведения, но индуктивный шаг подобен тому, который позволяет распространение биномиальной теоремы на все положительные целые числа и добавляет немного для этой презентации.

Расширение от f ( x )= x ⁿ произвольным полиномам (здесь будет рассматриваться только конечный порядок) нужны только два простых, возможно, даже очевидных результата:

• Производная суммы двух функций есть сумма производные.
• Производная функции, умноженная на константу, равна производная функции, умноженная на ту же константу.

В символах эти результаты

В приведенном выше c есть константа, и дифференцируемость функций в искомых точках.

Объединяя все эти результаты, мы видим, что для коэффициенты a _k все константы,

Это часто можно увидеть в записи суммирования как

Примеры

Упражнения:

ватко@мит. образование

Введение в деривативы

Все дело в уклоне!

Найдем производную!

Чтобы найти производную функции y = f(x), мы используем формулу наклона:

Уклон = Изменение Y Изменение в X = Δy Δx

И (из диаграммы) мы видим, что:

Теперь выполните следующие действия:

• Заполните эту формулу наклона: Δy Δx = f(x+Δx) − f(x) Δx
• Упростим как можно лучше
• Затем заставьте Δx уменьшиться до нуля.

Вот так:

Пример: функция

Мы знаем f(x) = x ² и можем вычислить f(x+Δx) :

Формула наклона: f(x+Δx) − f(x) Δx

Поместите f(x+Δx) и f(x) : x ² + 2x Δx + (Δx) ² − x ² Δx

Упростить (x ² и −x ² отменить): 2x Δx + (Δx) ² Δx

Упростить еще (разделить на Δx):= 2x + Δx

Затем, , поскольку Δx приближается к 0 , мы получаем: = 2x

Результат: производная от x ² равна 2x

Другими словами, наклон в точке x равен 2x

Пишем dx вместо «Δx направляется к 0» .

А «производное от» обычно пишется как d dx вот так:

d dx dx x ² = 2x
«Производное x ² 2

2x »
или просто «D DX x ²

Так что же означает

d dx x ² = 2x ?

Это означает, что для функции x ² наклон или «скорость изменения» в любой точке равен 2x .

Таким образом, когда x=2 , наклон равен 2x = 4 , как показано здесь:

Или, когда x=5 , наклон равен 2x = 10 и так далее.

Примечание: f’(x) также может использоваться для «производной»:

f’(x) = 2x
«Производная f(x) равна 2x»
или просто «f-тире x равно 2x»

 

Попробуем другой пример.

Пример: Что такое

d dx x ³ ?

Мы знаем f(x) = x ³ и можем вычислить f(x+Δx) :

Начните с:		f(x+Δx) = (x+Δx) 3
Расширение (x + Δx) 3 :		f(x+Δx) = x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3

 

Формула уклона: f(x+Δx) − f(x) Δx

Поместите f(x+Δx) и f(x) : x ³ + 3x ² Δx + 3x (Δx) ² + (Δx) ³ − x ³ Δx

Упростить (x ³ и −x ³ отменить): 3x ² Δx + 3x (Δx) ² + (Δx) ³ Δx

Упростить больше (разделить на Δx): 3x ² + 3x Δx + (Δx) ²

Затем, , поскольку Δx приближается к 0 , мы получаем: 3x ²

Результат: производная от x ³ равна 3x ²

Поиграйте с ним, используя Производный Плоттер.

 

Производные других функций

Мы можем использовать тот же метод для вычисления производных других функций (таких как синус, косинус, логарифмы и т.д.).

 

Пример: какова производная sin(x) ?

В производных правилах указывается как cos(x)

Готово.

Но пользоваться правилами может быть непросто!

Пример: какова производная от cos(x)sin(x) ?

Мы получим неправильный ответ, если попытаемся умножить производную от cos(x) на производную от sin(x) … !

Вместо этого мы используем «Правило продукта», как описано на странице «Производные правила».

И на самом деле получается cos ² (x) − sin ² (x)

Итак, это ваш следующий шаг: научиться пользоваться правилами.

 

Обозначение

«Сжать до нуля» на самом деле записывается в виде предела следующим образом:

f’(x) = lim Δx→0 f(x+Δx) − f(x) Δx

«Производная f равна
пределу, когда Δx стремится к нулю f(x+Δx) — f(x) по Δx»

 

Или иногда производная записывается так (объясняется производными как dy/dx):

dy dx = f(x+dx) − f(x) dx

 

Процесс нахождения производной называется «дифференцированием».

Вы делаете дифференцирование… к получаете производную.

Куда дальше?

Идите и узнайте, как находить производные с помощью производных правил, и получите много практики:

Общие дробные производные с приложениями к вязкоупругости

Сяо-Джун Ян

Д-р Сяо-Джун Ян является профессором Китайского университета горного дела и технологии, Китай. Он был награжден премией Обады 2019 года, премией для молодых ученых (Турция) и премией Springer’s Distinguished Researcher Award.Его научные интересы включают: вязкоупругость, математическую физику, дробное исчисление и приложения, фракталы, аналитическую теорию чисел и специальные функции. Он опубликовал более 160 журнальных статей и 4 монографии, 1 отредактированный том и 10 глав. В настоящее время он является редактором нескольких научных журналов, таких как Fractals, Applied Numerical Mathematics, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Mathematical Modeling and Analysis, Journal of Thermal Stresses и Thermal Science, а также помощником редактора Journal of Thermal Analysis and Calorimetry. , Alexandria Engineering Journal и IEEE Access.

Принадлежности и квалификация

Профессор Китайского горно-технологического университета, Сюйчжоу, Китай Университет горного дела и технологий. Лауреат Государственной премии в области естественных наук и Государственной премии в области науки и техники. Он опубликовал более 280 научных работ в области нелинейной механики, механики горных пород и подземной техники.Он также является PI или Co-PI Национальной ключевой программы исследований и разработок Китая, Национального проекта 973, финансирования Национального фонда естественных наук Китая, Национального научно-технического инновационного проекта и Проекта исследовательской инновационной группы. Министерства образования.

Аффилированные принадлежности и опыт

Китай Университет горнодобывающих и технологий, Xuzhou, China

Ju Yang

Доктор Ян Ю является вице-директором государственной ключевой лаборатории угольных ресурсов и безопасной добычи, Китайский университет добычи и технологии, Пекин, Китай. Он является заслуженным профессором геомеханики горного дела, нефти и геотехники Cheung Kong. Его текущие исследовательские интересы включают фрактальную геометрию и приложения в горнодобывающей, нефтяной и геотехнической инженерии, методы прозрачности и визуализации для прерывистых структур и поля напряжений массивов горных пород, а также методы прозрачности и прогнозирования горных катастроф.

Принадлежности и квалификация

Китайский горно-технологический университет, Пекин, Китай

Производные тригонометрических функций

К основным тригонометрическим функциям относятся следующие \(6\) функции: синус \(\left(\sin x\right),\) косинус \(\left(\cos x\right),\) тангенс \(\left (\tan x\right),\) котангенс \(\left(\cot x\right),\) секанс \(\left(\sec x\right)\) и косеканс \(\left(\csc x\ правильно).2}x}} = -\frac{{\cos x}}{{\sin x}} \cdot \frac{1}{{\sin x}} = -\cot x\csc x.\]

Таблица производных тригонометрических функций

В таблице ниже приведены производные \(6\) основных тригонометрических функций:

В приведенных ниже примерах найдите производную заданной функции. 2}\sin x\]

Пример 1.\prime } = — 2\cos \sin x \cdot \sin \sin x \cdot \cos x.\]

Последнее выражение можно упростить формулой двойного угла:

\[2\cos \sin x \cdot \sin \sin x = \sin \left( {2\sin x} \right).\]

Следовательно, производная равна

\[y’\left( x \right) = — \sin \left( {2\sin x} \right)\cos x.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Полезные производные на основе стильбена: от синтеза нового каталитического фотосенсибилизатора до 3D-печати и композитов, армированных волокном

https://doi.org/10.1016/j.eurpolymj.2021.110603Получить права и содержание

Основные моменты

•

Синтезированы новые производные стильбена в качестве эффективных фотосенсибилизаторов.

•

Применение в 3D-печати с использованием полимеризации в ваннах, прямого письма чернилами на видимой основе.

•

Получение армированного волокном композита и формирование нанокомпозитов из МУНТ.

Abstract

Синтезированы и исследованы новые мета — и пара -цианопроизводные 1,4-ди(стирил)бензола и 1,3-ди(стирил)бензола в качестве фотосенсибилизаторов йодониевой соли для различных процессов фотополимеризации.Проведена подробная спектроскопическая характеристика этого соединения, обсужден и экспериментально подтвержден механизм инициирования в бинарной фотоинициирующей системе совместно с солью йода. Используя ИК-Фурье-спектрометр в реальном времени, была оценена полезность предложенных мета — и пара -цианопроизводных 1,4-ди(стирил)бензола и 1,3-ди(стирил)бензола в качестве высокоэффективных фотосенсибилизаторов для различных процессов фотополимеризации. испытания, в том числе: свободнорадикальная фотополимеризация акрилатного мономера или катионная фотополимеризация эпоксидных и глицидильных мономеров.Кроме того, выполнено формирование взаимопроникающих полимерных сеток с использованием предложенных двухкомпонентных инициирующих систем. Вдохновленные отличными результатами полимеризации с использованием разработанных инициирующих систем, были проведены дополнительные прикладные испытания, в том числе: 3D-печать с использованием полимеризации в ванне, прямое нанесение чернил на видимой основе, приготовление различных композитов, армированных волокном, или формирование многостенных композитов из углеродных нанотрубок ( нанокомпозиты с МУНТ), для которых процесс производства был подробно проанализирован с использованием метода FTIR в реальном времени.

ключевые слова

Фотополимеризация

Фотополимеризация

Катистое фотополимеризация

Катионическая фотополимеризация

IPN Формирование

НДС полимеризация 3D-печать

Видимые прямые чернила (DIW)

Углерод нанотрубок

CNT

Нанокомпозит

Волокно -армированный композит

Рекомендованные статьиСсылка на статьи (0)

© 2021 Автор(ы). Опубликовано Elsevier Ltd.

Рекомендуемые статьи

Ссылки на статьи

1.

2 + 3)`.2+3)`

ВАЖНО:

cos x ² + 3

не равно

cos( x ² + 3).

Кронштейны имеют большое значение. У многих студентов с этим проблемы.

Вот графики y = cos x ² + 3 (показаны зеленым цветом) и y = cos( x ² + 3) (показаны синим цветом).

Первый, y = cos x ² + 3, или y = (cos x = 3, означает взять кривую y = cos x ² и переместите его вверх на «3» единицы.2sin x`

6. Найдите производную неявной функции

x cos 2 y + sin x cos y = 1.

Ответить

Неявная функция:

`х\ cos 2y+sin x\ cos y=1`

Дифференцируем каждый член слева направо:

`x(-2\ sin 2y)((dy)/(dx))` `+(cos 2y)(1)` `+sin x(-sin y(dy)/(dx))` `+cos у \ cos х`

`=0`

Так

`(-2x\ sin 2y-sin x\ sin y)((dy)/(dx))` `=-cos 2y-cos y\ cos x`

Решение для dy/dx дает нам:

`(dy)/(dx)=(-cos 2y-cos y\ cos x)/(-2x\ sin 2y-sin x\ sin y)`

`= (cos 2y+cos x\ cos y)/(2x\ sin 2y+sin x\ sin y)`

7. 2`

Когда `x = 0,15` (конечно, в радианах), это выражение (которое дает нам наклон) равен «-2,65».

Вот график нашей ситуации. Касательная к кривой в точке, где показано x=0,15. Его наклон составляет «-2,65».

8. Ток (в амперах) в цепи усилителя как функция времени t (в секундах) определяется как

`i = 0,10 cos (120πt + π/6)`.

Найдите выражение для напряжения на 2.2x+загар x`

Нужна помощь в решении другой задачи по тригонометрии? Попробуйте решение проблем.

Отказ от ответственности: IntMath.com не гарантирует точность результатов. Решатель задач предоставлен Mathway.

См. также: Производная квадратного корня из синуса х по первым принципам.

.