P mv что за формула: Закон сохранения линейного импульса • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания» - Управленческое образование

Содержание

Закон сохранения линейного импульса • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Линейный импульс замкнутой системы сохраняется.

Начав двигаться, тело имеет тенденцию продолжать движение. Первый закон механики Ньютона гласит: если тело движется, то при отсутствии внешних воздействий оно так и будет двигаться дальше прямолинейно и равномерно до тех пор, пока оно не подвергнется воздействию внешней силы. Эту тенденцию называют линейным импульсом. С ней часто сталкиваемся в повседневной жизни. Бильярдный шар катится по столу с той скоростью, которая придана ему кием, копье летит с той скоростью, с которой его метнули.

Физики определяют линейный импульс тела p как его массу m, умноженную на его скорость v:

p = mv

Буквы p и v выделены полужирным шрифтом, чтобы показать, что эти величины характеризуются не только абсолютным значением, но и направлением. Так, применительно к скорости, мы не просто говорим, что машина движется со скоростью 40 км/ч, а что она движется со скоростью 40 км/ч, например, на север. Величина, которая кроме абсолютного значения имеет направление, называется

вектором.

Понятно, что, согласно первому закону Ньютона, количество движения отдельно взятого тела в отсутствии внешних сил сохраняется. Закон же сохранения импульса гласит, что при соблюдении этого условия сохраняется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую механическую систему. В таком представлении система из двух бильярдных шаров массой m, пущенных друг навстречу другу с одинаковыми скоростями v, будет иметь нулевой момент импульса, хотя каждый из шаров по отдельности и обладает импульсом mv. Однако импульсы шаров взаимно погасятся вследствие их векторной природы (поскольку их скорости противоположно направлены).

Вообще, любая величина, характеризующая систему и не изменяющаяся в результате взаимодействия внутри нее, называется консервативной

, и для нее имеется свой закон сохранения. В частности, в механических системах, помимо закона сохранения импульса действует еще и закон сохранения момента импульса или количества вращения — величины, которая описывает количество движения тел вокруг собственной оси и по изогнутым траекториям.

Что же происходит при прямолинейном соударении двух бильярдных шаров на встречных курсах? Происходит сразу несколько явлений. Во-первых, в момент столкновения шары слегка деформируются и часть их кинетической энергии переходит в тепловую. Во-вторых, мы знаем, что совокупный импульс системы из двух шаров не изменяется и остается равным нулю. Значит, видя, что один шар откатывается после лобового столкновения в обратном направлении с определенной скоростью, мы можем с уверенностью сказать, что второй шар в данный момент времени катится в обратном направлении с ровно той же скоростью.

Второй закон механики Ньютона, кстати, можно легко интерпретировать и как формулу, согласно которой скорость изменения импульса равна силе, приложенной к замкнутой системе. Таким образом, чтобы изменить импульс системы, требуется внешняя сила. В молекулярно-кинетической теории, например, это наглядно просматривается: давление объясняется импульсами ударов молекул о стенки сосуда, содержащего газ. Поскольку молекулы газа упруго отскакивают в обратном направлении, их импульсы меняются на противоположные, а значит, стенка оказывает силовое воздействие на ударяющиеся об нее молекулы. Но это означает, что и молекулы, в силу третьего закона Ньютона, оказывают силовое воздействие на стенку, которое и воспринимается нами как давление.

Закон сохранения импульса — опредление, формулы, формулировка

Импульс: что это такое

Как-то раз Рене Декарт (это который придумал ту самую декартову систему координат) решил, что каждый раз считать силу, чтобы описать процессы — как-то лень и сложно.

Для этого нужно ускорение, а оно не всегда очевидно. Тогда он придумал такую величину, как импульс.

Импульс можно охарактеризовать, как количество движения — это произведение массы на скорость.

Импульс тела

→ →
p = mv

p — импульс тела [кг*м/с]

m — масса тела [кг]

v — скорость [м/с]

Закон сохранения импульса

В физике и правда ничего не исчезает и не появляется из ниоткуда. Импульс — не исключение. В замкнутой изолированной системе (это та, в которой тела взаимодействуют только друг с другом) закон сохранения импульса звучит так:

Закон сохранения импульса

Векторная сумма импульсов тел в замкнутой системе постоянна

А выглядит — вот так:

Закон сохранения импульса

→ → →
p1 + p2 + … + pn = const

p — импульс тела [кг*м/с]

Простая задачка

Мальчик массой m = 45 кг плыл на лодке массой M = 270 кг в озере и решил искупаться. Остановил лодку (совсем остановил, чтобы она не двигалась) и спрыгнул с нее с горизонтально направленной скоростью 3 м/с. С какой скоростью станет двигаться лодка?

Решение:

Запишем закон сохранения импульса для данного процесса.

→ → →
p0 = p1 + p2

p0 — это импульс системы мальчик + лодка до того, как мальчик спрыгнул,

p1 — это импульс мальчика после прыжка,

p2 — это импульс лодки после прыжка.

Изобразим на рисунке, что происходило до и после прыжка.

Если мы спроецируем импульсы на ось х, то закон сохранения импульса примет вид
0 = p1 — p2
p1 = p2

Подставим формулу импульса.
mV1 = MV2

Выразим скорость лодки V2:
V2 = mV1/M

Подставим значения:
V2 = 45*3/270 = 3/6 = ½ = 0,5 м/с

Ответ: скорость лодки после прыжка равна 0,5 м/с

Задачка посложнее

Тело массы m1 = 800 г движется со скоростью v1 = 3 м/с по гладкой горизонталь- ной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m2 = 200 г со скоростью v2 = 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение: Для данной системы выполняется закон сохранения импульса:

Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел, а после удара — импульс «получившегося» в результате удара тела.

p1 + p2 = p.

Спроецируем импульсы на ось х:

p1 — p2 = p

После неупругого удара получилось одно тело массы m1 + m2, которое движется с искомой скоростью:

m1v1 — mv2 = (m1 + m2) v

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

v = (m1v1 — mv2)/(m1 + m2)

Переводим массу в килограммы и подставляем значения:

v = (0,8·3−0,2·13)/(0,8 + 0,2) = 2,4 — 2,6 = -2,6 м/с

В результате мы получили отрицательное значение скорости. Это значит, что в самом начале на рисунке мы направили скорость после удара неправильно.

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Это никак не влияет на значение получившееся значение.

Ответ: скорость системы тел после соударения равна v = 0,2 м/с.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить следующим образом. Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.

Запишем второй закон Ньютона, спроецированный на ось х, сонаправленную с направлением движения и ускорением:

a = F/m

Применим выражение для ускорения

a = Δv/Δt

В этих уравнениях слева находится величина a . Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части

F/m = Δv/Δt

Полученное выражение является пропорцией. Применив основное свойство пропорции, получим такое выражение:

F⋅Δt = Δv⋅m

В правой части находится Δv =v —v0 — это разница между конечной и начальной скоростью.

Преобразуем правую часть

Δv⋅m = (v —v0)⋅m

Раскрыв скобки, получим

Δv⋅m= v ⋅m—v0⋅m

Заменим произведение массы и скорости на импульс:

v⋅m=p

v0⋅m=p0

Подставляем:

Δv⋅m=p —p0

p —p0 =Δp

Или, сокращенно:

Δv⋅m=Δp

То есть, вектор Δv⋅m – это вектор Δp.

Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так

F⋅Δt =Δp

Вернемся к векторной форме, чтобы данное выражение было справедливо для любого направления вектора ускорения.

→
F⋅Δt =Δp⃗

Задачка про белку отлично описывает смысл второго закона Ньютона в импульсной форме

Белка с полными лапками орехов сидит на гладком горизонтальном столе. И вот кто-то бесцеремонно толкает ее к краю стола. Белка понимает законы Ньютона и предотвращает падение. Но как?

Решение:

Чтобы к белке приложить силу, которая будет толкать белку в обратном направлении от края стола, нужно создать соответствующий импульс (вот и второй закон Ньютона в импульсной форме подъехал).

Ну, а чтобы создать импульс, белка может выкинуть орехи в сторону направления движения — тогда по закону сохранения импульса ее собственный импульс будет направлен против направления скорости орехов.

Реактивное движение

В основе движения ракет, салютов и некоторых живых существ: кальмаров, осьминогов, каракатиц и медуз — лежит закон сохранения импульса. В этих случаях движение тела возникает из-за отделения какой-либо его части. Такое движение называется

реактивным.

Яркий пример реактивного движения в технике — движение ракеты, когда из нее истекает струя горючего газа, которая образуется при сгорании топлива.

Сила, с которой ракета действует на газы, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой газы отталкивают от себя ракету:

→ →
F1 = — F2

Сила F2 называется реактивной. Это та сила, которая возникает в процессе отделения части тела. Особенностью реактивной силы является то, что она возникает без взаимодействия с внешними телами.

Закон сохранения импульса позволяет оценить скорость ракеты.

mг vг = mр vр,
где mг — это масса горючего,

vг — скорость горючего,

mр — масса ракеты,

vр — скорость ракеты.

Отсюда можно выразить скорость ракеты:

vр = mг vг / mр

Скорость ракеты при реактивном движении

vр = mг vг / mр
mг — это масса горючего [кг]

vг — скорость горючего [м/с]

mр — масса ракеты [кг]

v р — скорость ракеты [м/с]

Эта формула справедлива для случая мгновенного сгорания топлива. Мгновенное сгорание — это теоретическая модель. В реальной жизни топливо сгорает постепенно, так как мгновенное сгорание приводит к взрыву.

Масса покоя или инертная масса?

УДК. 12:531.18+51]

Масса покоя или инертная масса?

Р. И. Храпко

Исключение из современных учебников физики инертной массы и замена ее массой покоя представляется ошибкой. Эта тема была поднята автором в статье [1,2]. Здесь приведены дополнительные рассуждения в подтверждение такого тезиса.
Конец 20-го века ознаменовался великой путаницей с физическим понятием «масса тела».
1. Масса покоя
В начале века, до создания теории относительности, было все ясно. Массой тела, m, называлось количество вещества тела, и в то же время масса являлась мерой инертности тела. Инертность тела определяет его «количество движения» при заданной скорости v движения, то есть коэффициент пропорциональности в формуле
P = mv.     (1)
P — количество движения или, по-научному, импульс тела, а коэффициент m называется инертной массой.
Но массу как меру инертности тела можно определять и с помощью формулы
F = ma:     (2)
чем больше масса, тем меньше ускорение тела при заданной силе. Значение массы по формулам (1) и (2) получалось одно и то же, потому что формула (2) является следствием формулы (1), если инертная масса не зависит от времени и скорости.
То же значение массы можно было получить, взвесив тело, то есть измерив силу притяжения к земле или к любому другому заданному телу (масса которого обозначена M). В законе тяготения Ньютона фигурирует та же самая масса m,
,      (3)
но тут она называется гравитационной (пассивной) массой. В этом выражается эквивалентность инертной и гравитационной массы. Благодаря этой эквивалентности ускорение свободного падения, как известно, не зависит от природы и массы тела:
     (4)
2. Инертная масса
Однако при создании теории относительности выяснилось, что никакое тело нельзя разогнать до скорости света, потому что при приближении скорости тела к скорости света ускорение тела уменьшается до нуля, как бы ни была велика ускоряющая сила. Другими словами, выяснилось, что инертность тела возрастает до бесконечности при приближении его скорости к скорости света, хотя «количество вещества» тела, очевидно, остается при этом неизменным.
Выскажемся точнее по поводу увеличения инертности тела. Теория относительности показала, что импульс тела P при любых скоростях остается параллелен скорости v. Поэтому формулу P = mv можно сохранить неизменной при больших скоростях, если принять, что коэффициент m, то есть инертная масса, увеличивается с ростом скорости по закону
,      (5)
то есть для импульса тела справедливо выражение
.      (6)
В этих формулах m₀ — это то значение массы рассматриваемого тела, о котором говорилось вначале, то есть значение, которое можно получить после того, как тело затормозят до достаточно малой скорости. Его называют массой покоя тела. Поэтому формулы (1), (2), (3) следовало бы записать так: P = m₀v, F = m₀a, . Однако для малых скоростей, как видно из формулы (5), инертная масса равна массе покоя, m = m₀, и поэтому запись (1), (2), (3) в разделе «до теории относительности» корректна.
Для того, чтобы подчеркнуть, что инертная масса m зависит от скорости, ее называют иногда «релятивистской» массой: она оказывается различной с точки зрения различных наблюдателей, если эти наблюдатели движутся друг относительно друга. Однако существует выделенное значение инертной массы, именно, значение, которое наблюдает неподвижный относительно тела наблюдатель. Другими словами, масса покоя является выделенным значением инертной массы. Такое свойство инертной массы аналогично свойству времени: одни и те же часы имеют разную скорость хода с точки зрения различных наблюдателей. Однако существует собственная скорость хода часов.
При желании проверить формулу (6) вы должны измерить скорость v тела, а потом измерить импульс тела. Для этого следует затормозить тело некоторой преградой, все время замеряя силу F(t), с которой при торможении тело будет действовать на преграду, а потом проинтегрировать. Импульс, как известно, равен
     (7)
Эта процедура, по сути, задает операционное определение инертной массы.
Заметим, что формулы (5) и (6) остаются справедливыми и для объекта, у которого нет массы покоя, m₀= 0, например, для фотона или нейтрино (если предположить, что масса покоя нейтрино равна нулю). Такие объекты обладают инертной массой и импульсом, но должны двигаться со скоростью света, их нельзя остановить, они исчезают при остановке. Тем не менее, несмотря на постоянство скорости движения, величина их инертной массы оказывается различной с точки зрения различных наблюдателей. Однако в этом случае не существует какого либо выделенного значения инертной массы. Либо, можно сказать, выделенное значение равно нулю.
Увеличение инертности тела при больших скоростях мы объяснили уменьшением ускорения при большой скорости. При этом мы сослались на формулу (2). И это допустимо. Однако именно в силу увеличения инертной массы с ростом скорости тела формула (2) при некоторых условиях изменяет свой вид. Это объясняется тем, что при фиксированном ускорении сила, если она имеет составляющую вдоль скорости, должна обеспечить не только возрастание скорости уже имеющейся массы
,      (5)
она должна обеспечить возрастание самой массы:
.      (8)
Коэффициент
называют иногда продольной массой [3] .
Если сила перпендикулярна скорости и, значит, не изменяет величину скорости и инертной массы, то формула F = ma сохраняет свой вид:
.      (9)
Последнее обстоятельство позволило Р. Фейнману предложить простой способ операционного определения инертной массы, основанный на формуле (9) и справедливый для любой скорости. «Массу можно измерить так: просто привязать предмет на веревочке, крутить его с определенной скоростью и измерять ту силу, которая необходима, чтобы удержать его.» [4]
При произвольном направлении силы относительно скорости тела коэффициент пропорциональности в формуле (2) следует рассматривать как некий оператор (тензор), превращающий вектор a в вектор F: F = a. Оператор зависит от величины и направления скорости тела и, вообще говоря, изменяет направление вектора. Это нетрудно принять. Ведь скорость v тела является его свойством, а сила F, действующая на тело — это внешний по отношению к телу фактор. Понятно, что результат воздействия силы, то есть ускорение a тела, может зависеть от соотношения направлений векторов F и v.
3. Гравитационная масса
Одновременно теория относительности показала, что не только инертность тела, но и его вес увеличивается с ростом скорости, причем по тому же закону (5) в соответствии с эквивалентностью инертной и гравитационной массы. Поэтому формула (8) для тела, падающего вниз со скоростью v, выглядит, грубо говоря, так:
= .
Точная формула для ускорения может быть получена в рамках общей теории относительности, как показано в конце статьи:
, .     (10)
Эта формула является релятивистским аналогом формулы (4).
4. Энергия
Теория относительности показала далее, что прирост инертной массы, m — m₀, умноженный на квадрат скорости света, равен как раз кинетической энергии тела:
(m √ m₀)c² = E_k.     (11)
Поэтому, если приписать покоящемуся телу энергию покоя E₀ = m₀c², то полная энергия E = E₀ + E_k тела оказывается пропорциональной инертной массе:
E = mc²    (12)
Эта знаменитая формула Эйнштейна провозглашает эквивалентность инертной массы и энергии. Два, доселе различных понятия, соединяются в одно.
Заметим, что формула (12), как и формулы (5) и (6) остается справедлива и для объекта, у которого нет массы и энергии покоя, m₀ = 0.
При желании проверить формулу (11) и одновременно убедиться в справедливости теории относительности вы должны измерить инертную массу и массу покоя тела как было объяснено выше, и, кроме того, измерить кинетическую энергию тела. Для этого следует при торможении тела упомянутой преградой все время замерять силу, с которой тело будет действовать на преграду в процессе торможения в функции перемещения l преграды, F(l), а потом проинтегрировать. Кинетическая энергия, равная, как известно, в данном случае работе, вычисляется по формуле
.
Здесь F(l)dl — скалярное произведение силы на инфинитезимальный вектор смещения преграды. Все это рассказано в [5] .
Формула (11) связывает инертную массу, массу покоя и кинетическую энергию. Используя формулу (6) для вычисления разности m² √ P²/c², легко связать инертную массу, массу покоя и импульс:
.      (13)
Для частиц с нулевой массой покоя получаем mc = P или E = Pc.
5. Система тел
При объединении нескольких тел в систему тел, как известно, их импульсы и их инертные массы складываются. Для двух тел это выглядит так:
P = P₁ + P₂, m = m₁ + m₂.     (14)
Другими словами, импульс и инертная масса аддитивны. Не так обстоит дело с массой покоя. Из формул (13), (14) следует, что масса покоя пары тел с массами покоя m₀₁, m₀₂ равна не сумме m₀₁ + m₀₂, а сложному выражению, зависящему от импульсов P₁, P₂:
.      (15)
Таким образом, масса покоя, вообще говоря, не аддитивна. Например, пара фотонов, не имеющих массу покоя, имеет массу покоя, если фотоны летят в разные стороны, и не имеет массу покоя, если фотоны летят в одну и ту же сторону.
Тем не менее, все три величины, P, m, m₀, подчиняются закону сохранения, то есть не изменяются со временем для замкнутой системы.
Однако ввиду неаддитивности массы покоя, на наш взгляд, нецелесообразно рассматривать массу покоя системы тел. Имеет смысл говорить лишь о сумме масс покоя отдельных тел системы. В действительности именно так поступают на практике. Когда говорят, что при неупругих соударениях увеличивается масса покоя, имеют ввиду не массу покоя системы, которая удивительным образом сохраняется неизменной при соударениях благодаря неаддитивности, а сравнивают именно сумму масс покоя тел до столкновения и массу покоя после столкновения. Точно так же, когда говорят о дефекте массы покоя при ядерных реакциях, имеют в виду не массу покоя, определяемую формулой (15), а сумму масс покоя частей системы.
6. Сравнение масс
Теперь уместно задать вопрос. Какую из двух масс, массу покоя или инертную массу следует назвать простым словом масса, обозначить буквой m без индексов и тем самым признать «главной» массой. Это — не терминологическая проблема. Здесь имеется серьезная психологическая подоплека.
Чтобы решить, какая из масс — главная, перечислим еще раз свойства обеих масс.
Масса покоя является постоянной величиной для данного тела и выражает «количество вещества тела». Она соответствует привычному дорелятивисткому ньютоновскому представлению о массе. Но она не эквивалентна энергии, не эквивалентна гравитационной массе, она не аддитивна и поэтому не используется как характеристика системы тел или частиц. Это последнее обстоятельство вызывает путаницу (см. [1] , стр. 1365) и мешает проявлению закона сохранения массы покоя. Фотоны и частицы, движущиеся со скоростью света, не обладают массой покоя. Операционное определение массы покоя частицы предполагает торможение ее до малой скорости без использования информации о текущем состоянии частицы.
Инертная масса это — релятивистская масса. Она принимает различное значение для различных наблюдателей, аналогично тому, как скорость хода часов оказывается различной относительно различных наблюдателей. Инертная масса эквивалентна энергии и гравитационной массе, она аддитивна и подчиняется закону сохранения. Инертной массой обладают частицы, не имеющие массы покоя. Операционное определение инертной массы основано на простой формуле P = mv.
На наш взгляд, инертную массу следует называть массой и обозначать m, как это и делалось в настоящей статье.
7. Психологическая подоплека
К сожалению, большое количество физиков считает массу покоя главной и обозначает ее m а не m₀, а инертную массу дискриминирует и оставляет без обозначения, что вносит дополнительную путаницу, поскольку из-за этого порой бывает трудно понять, о какой массе идет речь.
Эти физики соглашаются, например, с тем, что масса газа увеличивается при нагревании, потому что увеличивается содержащаяся в нем энергия, но психологический барьер мешает им попросту объяснить это увеличение ростом массы отдельных молекул вследствие увеличения их тепловой скорости.
Эти физики жертвуют представлением о массе как мере инертности в пользу ярлыка, прикрепляемого к каждой частице с информацией о неизменном «количестве вещества», потому что ярлык соответствует их привычному ньютоновскому представлению о массе. Они считают, например, что излучение, которое, согласно Эйнштейну [6] , «переносит инерцию между излучающими и поглощающими телами», не имеет массы, поскольку к излучению невозможно прикрепить ярлык.
Инертная масса отсутствует в издаваемых сейчас стандартных учебниках физики в России (И.В.Савельев) и за рубежом [7,8], а также в популярной литературе [9] . Этот факт, однако, скрыт тем обстоятельством, что сторонники массы покоя настойчиво называют массу покоя не массой покоя, а просто массой, словом, которое ассоциируется с мерой инерции.
Главная психологическая трудность заключается в том, чтобы отождествить массу и энергию (которая изменяется), чтобы принять эти две сущности, как одну. Легко принять формулу E₀= m₀c² для покоящегося тела. Труднее принять справедливость формулы E = mc² для любой скорости. Замечательная формула E= mc² представляется, например, Л.Б. Окуню «безобразной» [10] .
Сторонники массы покоя, видимо, не в состоянии принять идею инертной, релятивистской массы так же, как ранее противники теории относительности не могли принять относительность времени. Ведь время жизни астронавта или нестабильной частицы изменяется так же, как изменяется их инертная масса: . Здесь уместно процитировать М. Планка: «Великая научная идея редко внедряется путем постепенного убеждения и обращения своих противников, редко бывает, что Савл становится Павлом. В действительности дело происходит так, что оппоненты постепенно вымирают, а растущее поколение с самого начала осваивается с новой идеей.» [11] К сожалению, великая идея релятивистской массы тщательно изолируется от молодежи. На данный момент статья [1, 2] отклонена редакциями следующих журналов: «Известия вузов. Физика», «Квант», «American Journal of Physics», «Physics Education» (Bristol), «Physics Today».
8. Шварцшильдовское пространство
Мы получим здесь формулу (10), рассмотрев пространство-время Шварцшильда общей теории относительности с выражением для интервала s [12] :
.
Уравнения радиальной геодезической линии могут быть получены по общей формуле, использующей коэффициенты связности :
,      (16)
.      (17)
Первый интеграл уравнения (16) легко находится:
.      (18)
Запишем теперь выражение для ускорения a, учитывая (18) и то, что соотношения между расстоянием l и временем , с одной стороны, и координатами r, t, с другой, даются формулами
, :
.
Выразив таким образом ускорение a через , мы можем теперь воспользоваться уравнением (17), а затем, вернувшись к l и , получить окончательно
, .     (10)
Список литературы
1. Храпко Р. И. Что есть масса? // Успехи физических наук. — 2000, N12. √ с.1363-1366.
2. Храпко Р. И. Что есть масса? — http://www.mai.ru. Труды МАИ, Вып.2.
3. Фриш С. Э., Тиморева А. В. Курс общей физики. Т. 3. — М.: ГИТТЛ, 1951.- 547 с.
4. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1. — М.: Мир, 1965. √ 232 с.
5. Храпко Р. И., Спирин Г.Г., Разоренов В. М. Механика. — М.: МАИ, 1993. √ 89 с.
6. Эйнштейн А. Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии. // Принцип относительности. — ОНТИ, 1935.- с.175-178.
7. Resnick R., Halliday D., Krane K. S. Physics. V.1 — N.Y.: J. Wiley, 1992.-592p.
8. Alonso M., Finn E. J. Physics — N.Y.: Addison-Wesley, 1995.-496p.
9. Taylor E. F., Wheeler J. A. Spacetime Physics. √ San Francisco: Freeman, 1966.- 631c. Русский перевод: Тейлор Э. Ф., Уилер Дж. А. Физика пространства-времени. √ М.: Мир, 1971.- 612c.
10. Окунь Л. Б. Понятие массы. // Успехи физических наук. — 1989, т. 158. — с.512-530.
11. Планк М. Происхождение научных идей и влияние их на развитие науки./ М. Планк.// Сборник статей к столетию со дня рождения Макса Планка. — М.: АНСССР, 1958.- с.52.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1973.- 504с.
Урок 11. импульс. закон сохранения импульса — Физика — 10 класс
Физика, 10 класс
Урок 11.Импульс. Закон сохранения импульса
Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:
1) импульс тела, импульс силы, замкнутая система;
2) абсолютно упругий, абсолютно неупругий удар;
3) закон сохранения импульса;
4) границы применимости закона;
5) проявление закона сохранения импульса в технике и природе.
Глоссарий по теме
Импульс тела (материальной точки) — векторная величина, равная произведению массы тела на скорость тела.
Импульс силы — произведение силы на время её действия.
Импульс тела равен сумме импульсов отдельных его элементов.
Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов каждого из тел системы.
Внутренние силы — это силы, с которыми взаимодействуют тела системы между собой.
Внешние силы — это силы, создаваемые телами, которые не принадлежат к данной системе.
Замкнутая система — это система, в которой внешние силы не действуют или сумма внешних сил равна нулю.
Абсолютно неупругий удар — это столкновение двух тел, которые объединяются и движутся дальше как одно целое.
Абсолютно упругий удар — столкновение тел, при котором тела не соединяются и их внутренние энергии остаются неизменными.
Закон сохранения импульса: векторная сумма импульсов тел, образующих замкнутую систему, не меняется при любых взаимодействиях между телами системы.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
Г.Я. Мякишев., Б.Б.Буховцев., Н.Н.Сотский. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 123 – 130.
Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.
Открытые электронные ресурсы:
http://kvant.mccme.ru/1979/10/zakon_sohraneniya_impulsa_reak.htm
Основное содержание урока
Импульс тела (материальной точки) представляет собой векторную величину, равную произведению массы тела на скорость тела:

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости, так как m > 0, то
Любое движущееся тела имеет импульс.
Единица измерения импульса:
.
Произведение силы на время её действия называется импульсом силы.
Второй закон Ньютона в импульсной форме.
Изменение импульса тела (материальной точки) равно импульсу действующей на него силы:
Импульс тела равен сумме импульсов отдельных его элементов:
Импульс системы тела равен векторной сумме импульсов каждого из тел системы:
Импульс обладает интересным свойством сохраняться, которое есть только у нескольких физических величинах.
Силы, с которыми взаимодействуют тела системы друг с другом, называются внутренними, а силы, создаваемые телами, которые не принадлежат этой системе, являются внешними силами.
Система, в которой внешние силы не действуют или сумма внешних сил равна нулю, называется замкнутой.
Полный импульс тел сохраняется, в замкнутой системе тела могут только обмениваться импульсами.
Столкновение тел представляет собой взаимодействие тел при их относительном перемещении. Абсолютно неупругий удар — это столкновение двух тел, которые объединяются и движутся дальше как одно целое.
Закон сохранения импульса при неупругом ударе:
Абсолютно упругий удар — столкновение тел, при котором тела не соединяются в одно целое и их внутренние энергии остаются неизменными.
Закон сохранения импульса при упругом ударе:
Закон сохранения импульса.
Если внешние силы на систему не действуют или их сумма равна нулю, то импульс системы остается неизменным:
Закон сохранения импульса является одним из основных законов физики.
Границы применимости закона сохранения импульса: замкнутая система.
Закон сохранения импульса с честью выдержал испытание временем и до сих пор он продолжает свое триумфальное шествие.
Он дал неоценимый инструмент для исследования ученым, как один из фундаментальных законов физики, ставя запрет одним процессам и открывая дорогу другим.
Действие этого закона проявляется в науке, в технике, в природе и в повседневной жизни. Всюду этот закон работает отлично — реактивное движение, атомные и ядерные превращения, взрыв и т.д.
Во многих повседневных ситуациях помогает разобраться понятие импульса.
Рене Декарт попытался использовать термин «импульс» вместо силы. Это связано с тем, что силу трудно измерить, а массу и скорость измерить несложно. Поэтому вместо импульса часто говорят количество движения (Именно Ньютон первым назвал произведение массы тела на скорость количеством движения).
Декарт понимал большое значение понятия количества движения — или импульса тела — как произведения массы тела на скорость. Но он совершил ошибку, не рассматривая количество движения как векторную величину. Ошибка эта была исправлена в начале XVIII века.
Используя закон сохранения импульса можно «найти» и невидимые объекты, например, электромагнитные волны, излучаемые открытым колебательным контуром, или антинейтрино – субатомные частицы, не оставляющие следов в детекторах.
Разбор тренировочных заданий
1. Тело свободно падает без начальной скорости. Изменение модуля импульса этого тела за промежуток времени 2 с равно 10 кг∙м/с. Чему равна масса тела?
Дано: ∆t =𝟤 c; g ≈ 𝟣0 м∕с²; ∆р =𝟣0 кг∙м ∕с.
Найти: m.
Решение:
т.к. тело свободно падает.
Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме:
∆р = F∆t,
F = mg – т.к. при свободном падении действует только сила тяжести,
тогда ∆р = mg∆t, откуда:
Делаем расчёт:
Ответ: m = 0,5 кг.
2. Тело массой 400 г изменяет свои координаты по закону:
Тело будет иметь импульс 8 Н·с после начала движения за промежуток времени равный __________?
Дано:
m = 400 г = 0,4 кг; p = 8 Н∙с
Найти: t.
Решение:
Записываем формулу импульса:
p = mv,
скорость равна 1-й производной от х по времени:
v = x'(t)^{= 4 + 4t}
Из 1-й формулы скорость равна: v = p/m
4 + 4t = 8 / 0,4,
4t = 20 − 4 = 16,
t = 16 / 4,
t = 4 с.
Ответ: t = 4 с.
Импульс — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:

Основные теоретические сведения
Импульс тела
К оглавлению…
Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, т.е. он рассчитывается по формуле:
Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости тела (направлен по касательной к траектории). Единица измерения импульса – кг∙м/с.
Общий импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел системы:
Изменение импульса одного тела находится по формуле (обратите внимание, что разность конечного и начального импульсов векторная):
где: p_н – импульс тела в начальный момент времени, p_к – в конечный. Главное не путать два последних понятия.
Абсолютно упругий удар – абстрактная модель соударения, при которой не учитываются потери энергии на трение, деформацию, и т.п. Никакие другие взаимодействия, кроме непосредственного контакта, не учитываются. При абсолютно упругом ударе о закрепленную поверхность скорость объекта после удара по модулю равна скорости объекта до удара, то есть величина импульса не меняется. Может поменяться только его направление. При этом угол падения равен углу отражения.
Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Например, пластилиновый шарик при падении на любую поверхность полностью прекращает свое движение, при столкновении двух вагонов срабатывает автосцепка и они так же продолжают двигаться дальше вместе.

Закон сохранения импульса
К оглавлению…
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса (ЗСИ). Следствием его являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме может быть записан следующим образом:
Как следует из данной формулы, в случае если на систему тел не действует внешних сил, либо действие внешних сил скомпенсировано (равнодействующая сила равна нолю), то изменение импульса равно нолю, что означает, что общий импульс системы сохраняется:
Аналогично можно рассуждать для равенства нулю проекции силы на выбранную ось. Если внешние силы не действуют только вдоль одной из осей, то сохраняется проекция импульса на данную ось, например:
Аналогичные записи можно составить и для остальных координатных осей. Так или иначе, нужно понимать, что при этом сами импульсы могут меняться, но именно их сумма остается постоянной. Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны.

Сохранение проекции импульса
К оглавлению…
Возможны ситуации, когда закон сохранения импульса выполняется только частично, то есть только при проектировании на одну ось. Если на тело действует сила, то его импульс не сохраняется. Но всегда можно выбрать ось так, чтобы проекция силы на эту ось равнялась нулю. Тогда проекция импульса на эту ось будет сохраняться. Как правило, эта ось выбирается вдоль поверхности по которой движется тело.

Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод
К оглавлению…
В случаях если тела движутся не вдоль одной прямой, то в общем случае, для того чтобы применить закон сохранения импульса, нужно расписать его по всем координатным осям, участвующим в задаче. Но решение подобной задачи можно сильно упростить, если использовать векторный метод. Он применяется если одно из тел покоится до или после удара. Тогда закон сохранения импульса записывается одним из следующих способов:
В этих формулах буквой υ обозначены скорости тел до соударения, а буквой u обозначены скорости тел после соударения. Из правил сложения векторов следует, что три вектора в этих формулах должны образовывать треугольник. Для треугольников применяется теорема косинусов. Если правильно записать соответствующую теорему косинусов, то зачастую получается уравнение из которого можно найти нужную величину. Однако, иногда к правильно записанной теореме косинусов еще нужно будет добавить правильно записанный закон сохранения энергии (смотрите следующий раздел). В этом случае получится система уравнений из которых наверняка можно будет найти нужную величину.
Краткий справочник по физике.
Гридасов А.Ю. Новосибирск 1997г.
Файл содержит формулы из курса физики, которые будут полезны учащимся старших классов школ и младших курсов вузов. Все формулы изложены в компактном виде с небольшими комментариями. Файл также содержит полезные константы и прочую информацию. Фундаментальные константы: Система единиц. Механика. Скорость и ускорение. Равномерное движение: при v = const Равнопеременное движение: Криволинейное движение.
Вращательное движение. Динамика и статика. Первый закон Ньютона: Второй закон Ньютона.
Третий закон Ньютона.
Основной закон динамики для неинерциальных систем отчета.
ma=ma0+Fинерц ,где а- ускорение в неинерциальной а0- в инерциальной системе отчета. Силы разной природы.
Скорость центра масс ; Закон всемирного тяготения. — ускорение свободного падения на планете. — первая космическая скорость. Вес тела. p=mg — вес тела в покое. p=m(g+a) — опора движется с ускорением вверх. p=m(g-a) — опора движется с ускорением вниз. p=m(g-v2/r) — движение по выпуклой траектории. p=m(g+v2/r) — движение по вогнутой траектории. Сила трения.
Закон Гука. — сила упругости деформированной пружины. — механическое напряжение — относительное продольное удлинение (сжатие) — относительное поперечное удлинение (сжатие) , где — коэффициент Пуассона.
Закон Гука: , где Е- модуль Юнга. , кинетическая энергия упругорастянутого (сжатого) стержня. (V- объем тела)
Динамика и статика вращательного движения. — момент импульса ; — момент силы L=const — закон сохранения момента импульса. M=Fl, где l- плечо I=I0+mb2 — теорема Штейнера Условие равновесия тел
Законы сохранения. Закон сохранения импульса. P=mv; — импульс тела.
Потенциальная и кинетическая энергия. Мощность.
— работа силы F — мощность — кинетическая энергия — кинетическая энергия вращательного движения. — потенциальная энергия поднятого над землей тела. — потенциальная энергия пружины Закон сохранения энергии. Eк1+Eр1=Eк2+Eр2 Молекулярная физика. Свойства газов и жидкостей. Уравнение состояния. pV=NkT — уравнение состояния (уравнение Менделеева- Клайперона) — полная внутренняя энергия системы. — основное уравнение молекулярно- кинетической теории. — закон Дальтона для давления смеси газов. T=const
изотерма
PV=const
закон Бойля-Мариотта
p=const
изобара
V/T=const
закон Гей-Люсака
V=const
изохора
p/T=const
закон Шарля
Броуновское движение. — среднеквадратичная скорость молекул. — наиболее вероятная скорость молекул. — средняя арифметическая скорость молекул. — Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям. — Среднее число соударений молекулы за 1с — средняя длинна свободного пробега молекул — средний путь молекулы за время t. Распределение в потенциальном поле. — барометрическая формула. — распределение Больцмана.
понимаем лучше экономику и финансы
25 дек 2013 Сергей Кикевич Все авторы
В 1911 году американский финансист Ирвинг Фишер в своей книге «Покупательная сила денег» опубликовал результат своих наблюдений за инфляцией, денежной массой и объемом производства в виде простой но очень емкой формулы:
M V = P Q

М – объем денежной массы
V – скорость оборачиваемости денег
P – уровень цен
Q – объём производства
С тех пор эта формула используется повсеместно для анализа финансовой ситуации и в целях формирования монетарной политики.
Использование формулы Фишера
Уравнение может иметь несколько интерпретаций. Одна из них, возможно, наиболее важная:
При увеличении денежной массы (левая сторона уравнения) возможным результатом может стать как рост объема производства и товаров на рынке, так и рост уровня цен (правая сторона уравнения).
В реальной жизни могут происходить оба явления, но в разных пропорциях. И эти пропорции довольно качественно характеризуют свойства экономики. В развитых странах, где ВВП в основном складывается из промышленных и высоко технологичных продуктов и услуг, рынок спокойно «съедает» очередную порцию денег, напечатанную государством, без значительного роста цен. «Лишние» деньги, которые не может осовоить экономика напрямую, уходят в другие виды долгосрочных активов: акции, облигации, взаимные фонды, пенсионные накопления и т.п.
В других странах, зависящих от природных ресурсов с низкой зависимостью ВВП от реального сектора, наблюдается обратное явление. Сколько денег в экономику не вкачивай, на производство это не оказывает ни малейшего влияния.
Уравнение Фишера и ситуация с денежной массой в России
Становится довольно понятно, почему опыт США с их «количественным смягчением» и колоссальным вливанием новых денег в экономику не получается применить в России.
Со времен Кудрина Минфин и ЦБ взяли обязательство контролировать инфляцию доступными для них методами, в т.ч. ограничивая денежную массу. До этого, кажется, в нашей стране никто уравнение Фишера не изучал. Тем не менее даже сейчас регулярно слышатся призывы (в основном от политиков левого толка) вроде «давайте напечатаем денег и оживим экономику». Разобравшись в смысле уравнения Фишера, становится очевидным, почему простое печатание денег никогда не приводит к желаемым эффектам.
Линейный импульс и сила | Физика
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Определите количество движения.
Объясните взаимосвязь между импульсом и силой.
Укажите второй закон движения Ньютона с точки зрения количества движения.
Вычислить импульс с учетом массы и скорости.
Линейный импульс
Научное определение количества движения согласуется с интуитивным пониманием количества движения большинства людей: большой, быстро движущийся объект имеет больший импульс, чем меньший и более медленный объект. Линейный импульс определяется как произведение массы системы на ее скорость. В символах линейный импульс выражается как p = м v .
Импульс прямо пропорционален массе объекта, а также его скорости. Таким образом, чем больше масса объекта или чем больше его скорость, тем больше его импульс. Импульс p — это вектор, имеющий то же направление, что и скорость v . Единица измерения количества движения в системе СИ — кг · м / с.
Линейный импульс
Линейный импульс определяется как произведение массы системы на ее скорость:
p = м v
Пример 1. Расчет импульса: футболист и футбол
Рассчитайте импульс футболиста весом 110 кг, бегущего со скоростью 8,00 м / с.
Сравните импульс игрока с импульсом сильно брошенного футбольного мяча весом 0,410 кг, который имеет скорость 25,0 м / с.
Стратегия
Никакой информации относительно направления не дается, поэтому мы можем вычислить только величину импульса, p .(Как обычно, курсивом обозначена величина, а курсивом, полужирным шрифтом и стрелкой — вектор.) В обеих частях этого примера величина импульса может быть вычислена непосредственно из определения импульс, указанный в уравнении, который становится p = mv , если рассматривать только величины.
Решение для части 1
Чтобы определить импульс игрока, подставьте известные значения массы и скорости игрока в уравнение.
p _игрок = (110 кг) (8,00 м / с) = 880 кг · м / с
Решение для части 2
Чтобы определить импульс мяча, подставьте известные значения массы и скорости мяча в уравнение.
p _мяч = (0,410 кг) (25,0 м / с) = 10,3 кг · м / с
Отношение импульса игрока к импульсу мяча составляет
.
[латекс] \ displaystyle \ frac {p _ {\ text {player}}} {p _ {\ text {ball}}} = \ frac {880} {10.3} = 85,9 \ [/ латекс]
Обсуждение
Хотя мяч имеет большую скорость, игрок имеет гораздо большую массу. Таким образом, как вы могли догадаться, импульс игрока намного больше, чем импульс футбола. В результате, если игрок ловит мяч, это лишь незначительно влияет на его движение. В следующих разделах мы дадим количественную оценку того, что происходит при таких столкновениях, с точки зрения количества движения.
Импульс и второй закон Ньютона
Важность импульса, в отличие от энергии, была признана на раннем этапе развития классической физики.Импульс считался настолько важным, что его называли «количеством движения». Ньютон фактически сформулировал свой второй закон движения в терминах количества движения: чистая внешняя сила равна изменению количества движения системы, деленному на время, в течение которого он изменяется. Используя символы, это закон
.
[латекс] \ displaystyle {\ mathbf {F}} _ {\ text {net}} = \ frac {\ Delta \ mathbf {p}} {\ Delta t} [/ latex],
, где F _net — чистая внешняя сила, Δp — изменение количества движения, а Δ t — изменение во времени.
Второй закон движения Ньютона с точки зрения количества движения
Чистая внешняя сила равна изменению количества движения системы, деленному на время, в течение которого он изменяется.
[латекс] \ displaystyle {\ mathbf {F}} _ {\ text {net}} = \ frac {\ Delta \ mathbf {p}} {\ Delta t} [/ latex]
Установление связей: сила и импульс
Сила и импульс тесно связаны. Сила, действующая с течением времени, может изменять импульс, и второй закон движения Ньютона может быть сформулирован в его наиболее широко применимой форме с точки зрения количества движения.Импульс продолжает оставаться ключевым понятием при изучении атомных и субатомных частиц в квантовой механике.
Это утверждение второго закона движения Ньютона включает более знакомую F _net = m a как частный случай. Мы можем получить эту форму следующим образом. Во-первых, обратите внимание, что изменение импульса Δp определяется как Δp = Δ ( м v).
Если масса системы постоянна, то Δ ( м v) = м Δv.
Таким образом, для постоянной массы второй закон движения Ньютона принимает вид
.
[латекс] \ displaystyle {\ mathbf {F}} _ {\ text {net}} = \ frac {\ Delta \ mathbf {p}} {\ Delta t} = \ frac {m \ Delta \ mathbf {v} } {\ Delta {t}} [/ latex]
Поскольку [latex] \ frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta {t}} = \ mathbf {a} \\ [/ latex], мы получаем знакомое уравнение F _net = m a при постоянной массе системы .
Второй закон движения Ньютона, выраженный в терминах количества движения, более широко применим, потому что его можно применять к системам с изменяющейся массой, таким как ракеты, а также к системам с постоянной массой. Рассмотрим подробнее системы с разной массой; однако связь между импульсом и силой остается полезной, когда масса постоянна, как в следующем примере.
Пример 2. Расчетное усилие: ракетка Винус Уильямс
Во время Открытого чемпионата Франции 2007 года Винус Уильямс показала самую быструю подачу в женском матче, достигнув скорости 58 м / с (209 км / ч).Какова средняя сила, прилагаемая ракеткой Винус Уильямс к теннисному мячу весом 0,057 кг, если предположить, что скорость мяча сразу после удара составляет 58 м / с, что начальная горизонтальная составляющая скорости до удара незначительна и что мяч оставался в контакте с ракеткой в течение 5,0 мс (миллисекунд)?
Стратегия
Эта проблема включает только одно измерение, потому что мяч не имеет горизонтальной составляющей скорости до удара. Второй закон Ньютона, выраженный в единицах количества движения, записывается как
[латекс] \ displaystyle {\ mathbf {F}} _ {\ text {net}} = \ frac {\ Delta \ mathbf {p}} {\ Delta t} [/ latex]
Как отмечалось выше, когда масса постоянна, изменение количества движения определяется выражением Δ p = м Δ v = м ( v _f — v _i).
В этом примере даны скорость сразу после удара и изменение во времени; таким образом, после вычисления Δ p можно использовать [latex] {\ mathbf {F}} _ {\ text {net}} = \ frac {\ Delta {p}} {\ Delta t} [/ latex] найти силу.
Решение
Чтобы определить изменение количества движения, подставьте значения начальной и конечной скоростей в приведенное выше уравнение.
[латекс] \ begin {array} {lll} \ Delta {p} & = & m (v _ {\ text {f}} — v {\ text {i}}) \\ & = & (0,057 \ text {кг }) (58 \ текст {м / с} -0 \ текст {м / с}) \\ & = & 3.{-3} \ text {s}} \\ & = & 661 \ text {N} \ приблизительно660 \ text {N} \ end {array} \\ [/ latex]
, где на последнем этапе мы оставили только две значащие цифры.
Обсуждение
Эта величина представляла собой среднюю силу, прилагаемую ракеткой Винус Уильямс к теннисному мячу во время его кратковременного удара (обратите внимание, что мяч также испытал силу тяжести 0,56 Н, но эта сила возникла не из-за ракетки). Эту проблему также можно решить, сначала найдя ускорение, а затем используя F _net = ma , но потребуется один дополнительный шаг по сравнению со стратегией, использованной в этом примере.
Сводка раздела
Линейный импульс (для краткости) определяется как произведение массы системы на ее скорость.
В символах, импульс p определен как p = m v , где m — масса системы, а v — ее скорость.
Единица измерения количества движения в системе СИ — кг · м / с.
Второй закон движения Ньютона с точки зрения количества движения гласит, что чистая внешняя сила равна изменению количества движения системы, деленному на время, в течение которого он изменяется.
В символах второй закон движения Ньютона определяется как [latex] {\ mathbf {F}} _ {\ text {net}} = \ frac {\ Delta \ mathbf {p}} {\ Delta t} \\ [/ latex], F _net — чистая внешняя сила, Δ p — изменение количества движения, а Δ t — время изменения.
Концептуальные вопросы
Объект с малой массой и объект с большой массой имеют одинаковый импульс. Какой объект имеет наибольшую кинетическую энергию?
Объект с малой массой и объект с большой массой имеют одинаковую кинетическую энергию.Какая масса имеет наибольший импульс?
Профессиональное приложение. Футбольные тренеры советуют игрокам блокировать, бить и отбиваться ногами на земле, а не прыгать в воздухе. Используя концепции импульса, работы и энергии, объясните, как футболист может быть более эффективным, стоя на земле.
Как малая сила может передать объекту такой же импульс, что и большая сила?
Задачи и упражнения
(a) Вычислите импульс 2000-кг слона, который атакует охотника со скоростью 7.50 м / с. (b) Сравните импульс слона с импульсом дротика с транквилизатором весом 0,0400 кг, выпущенного со скоростью 600 м / с. (c) С какой скоростью 90,0 кг охотник бежит со скоростью 7,40 м / с после того, как пропустил слона?
(а) Какова масса большого корабля с импульсом 1,60 × 10 ⁹ кг · м / с, когда корабль движется со скоростью 48,0 км / ч? (b) Сравните импульс корабля с импульсом артиллерийского снаряда массой 1100 кг, выпущенного со скоростью 1200 м / с.
(a) С какой скоростью будет 2.00 × 10 ⁴-кг самолет должен лететь, чтобы иметь импульс 1,60 × 10 ⁹ кг · м / с (такой же, как импульс корабля в задаче выше)? (b) Какова инерция самолета, когда он взлетает со скоростью 60,0 м / с? (c) Если корабль является авианосцем, который запускает эти самолеты с помощью катапульты, обсудите последствия вашего ответа на (b), поскольку он относится к эффектам отдачи катапульты на корабль.
(a) Каков импульс мусоровоза, который составляет 1,20 × 10 ⁴ кг и движется со скоростью 10.0 м / с? (b) На какой скорости мусор весом 8 кг может иметь такую же скорость, что и грузовик?
Неуправляемый вагон массой 15 000 кг движется по рельсам со скоростью 5,4 м / с. Вычислите время, необходимое для того, чтобы заставить автомобиль остановиться, приложив усилие в 1500 Н.
Масса Земли составляет 5,972 × 10 ²⁴ кг, а ее орбитальный радиус составляет в среднем 1,496 × 10 ¹¹ м. Рассчитайте его импульс.
Глоссарий
Количество движения: произведение массы на скорость
второй закон движения: физический закон, который гласит, что чистая внешняя сила равна изменению количества движения системы, деленному на время, в течение которого она изменяется
Избранные решения проблем и упражнения
1.а) 1,50 × 10 ⁴ кг м / с; (б) 625 к 1; (в) 6,66 × 10 ² кг ⋅ м / с
3. (а) 8.00 × 10 ⁴ м / с; б) 1,20 × 10 ⁶ кг · м / с; (c) Поскольку импульс самолета на 3 порядка меньше, чем у корабля, корабль не будет сильно отскакивать. Отдача составит -0,0100 м / с, что, вероятно, не заметно.
5. 54 с
Формула моментума
Формула моментума Вопросы:
1) Общая масса мотоцикла и человека, едущего на нем, составляет 200.0 кг. Если гонщик движется с постоянной скоростью 30,0 м / с, каков импульс мотоцикла и гонщика?
Ответ: Импульс можно найти по формуле:
p = mv
p = (200,0 кг) (30,0 м / с)
p = 6000 кг · м / с
Импульс мотоцикла и гонщика 6000 кг · м / с.
2) Хоккейная шайба скользит по льду со скоростью 43,80 м / с. Имеет массу 0,165 кг.Шайба попадает в камень для керлинга весом 19,10 кг, который изначально находится в состоянии покоя. Хоккейная шайба отскакивает от камня и скользит в противоположном направлении со скоростью 43,0 м / с. Какова скорость скручивающейся скалы после столкновения?
Ответ: Этот вопрос зависит от сохранения количества движения при упругих столкновениях. Общий импульс до равен общему импульсу после:
p _{шайба, перед} + p _{скала, перед} = p _{шайба, после + p _{скала, после}}
м _шайба v _{шайба, до} + м _скала v _{скала, до} = м _шайба v _{шайба, после} + м _скала v _{скала, после}
Масса шайбы м _шайба = 0.165 кг . Масса породы _{м, порода} = 19,10 кг. Скорость шайбы до столкновения v _{шайба, до} = +43,80 м / с. Скорость горной породы перед столкновением равна v _{горная порода, до} = 0,0 м / с, потому что она находилась в состоянии покоя. Скорость шайбы после столкновения отрицательна, потому что она двигалась в противоположном направлении, как и до столкновения: v _{шайба, после} = -43,0 м / с.
(0,165 кг) (43,80 м / с) + (19,10 кг) (0.0 м / с) = (0,165 кг) (- 43,0 м / с) + (19,10 кг) v _{порода, после}
(0,165 кг) (43,80 м / с) = — (0,165 кг) (43,0 м / с) + (19,10 кг) v _{скала, после}
Теперь уравнение можно изменить, чтобы найти камень v _после.
(0,165 кг) (43,80 м / с) + (0,165 кг) (43,0 м / с) = (19,10 кг) против породы _{, после}
v _{скала, после} = +0,750 м / с
Скорость керлинг-скалы после столкновения с хоккейной шайбой плотностью льда равна v _{рок, после} = +0.750 м / с.
Как рассчитать импульс | Универсальный класс
Мы определим понятие импульса в контексте физики и используем математику векторов и разностей (например, разность во времени, Δ t ), чтобы вывести закон сохранения количества движения и применить его к различным задачам. .
Ключевые термины
o Импульс
o Закон сохранения количества движения
Цели
o Понять физическое определение импульса
o Вывести закон сохранения количества движения
o Применить этот закон сохранения к решению задач, связанных с линейным движением
Начнем!
Мы использовали понятия массы и скорости для описания движения объектов.Представьте себе два объекта: один с небольшой массой, а другой с большой массой; рассмотрим, например, теннисный мяч (менее массивный) и набивной мяч (более массивный). Теперь представьте, что два объекта бросаются в вас с некоторой скоростью v; очевидно, удар теннисным мячом, движущимся со скоростью v , звучит гораздо менее болезненно, чем удар набивным мячом, движущимся со скоростью v. Рассмотрим также набивной мяч, движущийся с двумя разными скоростями: более медленная скорость, с. , и более высокая скорость, f. Пытаться поймать набивной мяч, летящий на скорости s (более низкая скорость), безусловно, звучит проще, чем пытаться поймать мяч, движущийся на более высокой скорости f! Мы склонны думать о более крупном объекте, движущемся с определенной скоростью, как о имеющем больше импульса , чем о меньшем объекте, перемещающемся с такой скоростью. Точно так же мы думаем, что один объект, движущийся с высокой скоростью, имеет больший импульс, чем объект, движущийся с меньшей скоростью. Таким образом, импульс увеличивается с увеличением скорости, а также с увеличением массы.Таким образом, эта ситуация логически соответствует определению импульса в физике. Импульс p объекта массой m и скоростью v определяется в соответствии со следующим соотношением:
p = м v
Обратите внимание, что импульс, как и скорость, является вектором, имеющим как величину, так и направление. По мере увеличения массы или скорости объекта увеличивается и количество движения.
Взаимосвязь между импульсом и силой
Напомним, что ускорение — это просто скорость изменения скорости во времени.Таким образом (в среднем) мы можем написать следующее:

Давайте подставим это в наше выражение силы из второго закона движения Ньютона:

Предполагая, что масса м остается постоянной, мы можем сделать следующее изменение:

Обратите внимание, что поскольку m v появляется в выражении чистой силы, мы можем записать его в единицах количества движения p. Таким образом, чистая сила, действующая на объект, — это скорость изменения его количества движения во времени.
Практическая задача : 50-килограммовый объект движется со скоростью 10 метров в секунду. Какова его динамика?
Решение : Импульс, p, объекта — это просто произведение его массы на его скорость: p = m v. Поскольку направление не указано, нас интересует только определение величины p, или p . Таким образом,

Обратите внимание на единицы в результате — мы также можем выразить единицы в ньютон-секундах.

Рассмотрим теперь произвольное количество объектов; полный импульс P системы объектов — это просто сумма всех индивидуальных импульсов: . Таким же образом, следуя второму закону Ньютона, мы назовем F _до суммой всех сил, действующих на объекты. Но эта сумма, F, , _,, является просто суммой всех внешних сил, действующих на систему объектов. Затем

А если на систему объектов не действуют никакие внешние силы,

Другими словами, скорость изменения полного количества движения системы объектов в этом случае равна нулю; это просто формулировка закона сохранения количества движения для замкнутой и изолированной системы.Другими словами, общий импульс постоянен для данной системы объектов, на которую не действует никакая внешняя сила. Этот вывод чрезвычайно полезен для задач, связанных, например, со столкновениями объектов. Следующие ниже практические задачи позволяют изучить последствия этого результата.
Практическая задача : Снаряд массой 1 килограмм, летящий со скоростью 80 метров в секунду, сталкивается лицом к лицу с другим снарядом массой 2 килограмма, летящим со скоростью 60 метров в секунду в противоположном направлении.Если снаряды «слипаются» после столкновения, какова их скорость после столкновения?
Решение : Нарисуем диаграмму ситуации до и после столкновения. Мы также определяем направление x для справки.
Из урока мы узнали, что общий импульс системы объектов должен сохраняться (то есть не изменяться), если на эту систему не действуют никакие внешние силы.В этом случае предполагается, что никакие силы вне системы не действуют на два объекта. Следовательно, полный импульс до столкновения должен быть таким же, как полный импульс после столкновения. Давайте сначала вычислим полный импульс перед столкновением ( P _i):

После столкновения, поскольку два объекта «слипаются», они фактически становятся единым объектом с массой 3 кг и некоторой скоростью v. Импульс этого объекта, P _f, равен
.

Мы хотим вычислить v, — скорость объектов после столкновения. Поскольку импульс до столкновения такой же, как и после,

Таким образом, скорость объектов после столкновения составляет 13,3 метра в секунду в том же направлении, что и скорость более крупного объекта до столкновения (которое мы определили здесь как отрицательное направление x ).
Практическая задача : Космонавт со всем его оборудованием и инструментами имеет массу 125 килограммов. В космосе происходит авария, в результате которой он оторвался от космической станции и улетел в космос со скоростью один метр в секунду. Один из его инструментов весит пять килограммов, и он решает использовать его, чтобы вернуться на станцию. Если он отбрасывает инструмент прямо от станции, с какой минимальной скоростью он должен бросить его, чтобы вернуться к станции?
Решение : Как обычно, мы можем значительно помочь процессу решения проблемы, нарисовав схему ситуации.Схема не обязательно должна быть художественной — простых фигур часто бывает достаточно для изображения разных предметов.
Часть веса космонавта составляет пятикилограммовый инструмент; если он отбрасывает его от себя (а также прямо от станции) с достаточной скоростью, он может (за счет сохранения количества движения) заставить себя начать движение обратно к станции. Эта ситуация проиллюстрирована ниже. Обратите внимание, что масса космонавта уменьшается на пять килограммов, когда он выбрасывает инструмент.
Мы можем использовать закон сохранения количества движения, чтобы вычислить скорость, с которой астронавт должен бросить инструмент, чтобы изменить свой тревожный курс и отправить его обратно к станции. Начальный полный импульс космонавта P _i следующий. Мы определим как x направление от станции.

Это также должен быть общий импульс космонавта и инструмента после того, как он его выбросил — мы назовем этот конечный импульс P _f.Рассчитаем скорость инструмента, необходимую для остановки космонавта; любая скорость выше этого числа заставит космонавта двигаться к станции.

Таким образом, космонавт должен отбросить инструмент со скоростью 25 метров в секунду прямо от станции, чтобы остановить свое движение относительно станции. Если он превысит эту скорость, он начнет движение обратно к станции.Однако метание 5-килограммового инструмента (около 11 фунтов) со скоростью 25 метров в секунду (около 56 миль в час) могло быть непростой задачей! Астронавту, вероятно, потребуется бросить несколько инструментов или других предметов.
Linear Momentum: Определение, уравнение и примеры — стенограмма видео и урока
Что такое Momentum?
Если вы стоите у подножия холма и сталкиваетесь с возможностью остановить сбежавший с места грузовик или остановить сбившийся с места велосипед, вы, вероятно, предпочтете остановить велосипед, верно? Причина в том, что у полугрузовика больше импульса, чем у мотоцикла.Импульс просто означает массу в движении.
У полуприцепа большой инерционный момент, поскольку он очень массивен, но он также имеет большую скорость, которая также влияет на инерцию. У мотоцикла есть импульс, потому что он имеет большую скорость, но поскольку его масса меньше массы грузовика, его импульс также меньше.
Это соотношение можно описать уравнением: импульс = масса x скорость. Вы можете помнить, что скорость — это скорость с направлением, поэтому, если объект имеет большую скорость, он также имеет большую скорость.Наше уравнение количества движения можно упростить еще больше, заменив символы словами: p = mv , где p — импульс, m — масса (в кг) и v — скорость (в м / с. ).
Как видите, если вы увеличиваете одну из переменных в правой части уравнения, либо массу, либо скорость, импульс в левой части также должен возрасти, чтобы обе стороны оставались равными. Если вы увеличиваете и массу, и скорость, импульс возрастает еще больше.Таким образом, мы видим, что и байк, и полузащитник могут иметь большой импульс, но у полуавтомата все же больше, потому что он намного массивнее велосипеда.
Это также означает, что покоящийся объект не имеет импульса. Скорость покоящегося объекта равна нулю, поэтому движения нет. Чтобы объект имел импульс, он должен двигаться!
Важно отметить, что импульс является векторной величиной . Это означает, что он имеет как величину, так и направление.Скорость также является векторной величиной, потому что она имеет обе эти составляющие, и, к счастью для нас, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости. Но чтобы полностью описать импульс объекта, вы должны указать его направление — иначе это не вектор.
Импульс
Спортивный диктор говорит: «Перед перерывом на все звезды Чикаго Уайт Сокс имеют импульс ». Заголовки гласят: «Чикаго Буллз набирает оборотов в ».«Тренер накачивает свою команду в перерыве, говоря:« У вас есть импульс ; критическая потребность состоит в том, чтобы вы использовали этот импульс и похоронили их в этом третьем квартале ».
Momentum — широко используемый термин в спорте. Команда, у которой есть импульс, находится на шаге и , и ей нужно приложить некоторые усилия, чтобы остановиться. Команда, которая имеет большой импульс, на самом деле на ходу и будет трудно остановить .Импульс — это физический термин; это относится к количеству движения, которое имеет объект. Спортивная команда в движении имеет импульс. Если объект находится в движении ( в движении ), то он имеет импульс.
Импульс можно определить как «массу в движении». Все объекты имеют массу; Итак, если объект движется, то у него есть импульс — его масса находится в движении. Количество импульса, которым обладает объект, зависит от двух переменных: сколько движется материал и насколько быстро движется материал .Импульс зависит от массы и скорости переменных. В терминах уравнения импульс объекта равен массе объекта, умноженной на его скорость.
Импульс = масса • скорость
В физике символом количества импульса является строчная буква p . Таким образом, приведенное выше уравнение можно переписать как
p = m • v
, где м, — масса, а v — скорость.Уравнение показывает, что импульс прямо пропорционален массе объекта и прямо пропорционален его скорости.
Единицами импульса будут единицы массы, умноженные на единицы скорости. Стандартная метрическая единица импульса — кг • м / с. Хотя кг • м / с является стандартной метрической единицей количества движения, существует множество других единиц, которые являются приемлемыми (хотя и не традиционными) единицами количества движения. Примеры включают кг • миль / час, кг • км / час и г • см / с. В каждом из этих примеров единица массы умножается на единицу скорости, чтобы получить единицу количества движения.Это согласуется с уравнением для импульса.

Импульс как векторная величина
Momentum — это векторная величина . Как обсуждалось в предыдущем разделе, векторная величина — это величина, которая полностью описывается как величиной, так и направлением. Чтобы полностью описать импульс 5-килограммового шара для боулинга, движущегося на запад со скоростью 2 м / с, вы должны включить информацию как о величине, так и о направлении шара для боулинга. недостаточно, чтобы сказать, что мяч имеет импульс 10 кг • м / с; импульс мяча равен , а не полностью, пока не будет дана информация о его направлении. Направление вектора импульса совпадает с направлением скорости мяча. В предыдущем разделе было сказано, что направление вектора скорости совпадает с направлением движения объекта. Если шар для боулинга движется на запад, то его импульс можно полностью описать, сказав, что он составляет 10 кг • м / с на запад.Как векторная величина, импульс объекта полностью описывается величиной и направлением .

Уравнение момента как руководство к мышлению
Из определения количества движения становится очевидным, что объект имеет большой импульс, если и его масса, и его скорость велики. Обе переменные одинаково важны для определения количества движения объекта. Представьте грузовик Mack и роликовые коньки, движущиеся по улице с одинаковой скоростью.Значительно большая масса грузовика Mack придает ему значительно большую динамику. И все же, если бы грузовик Mack был в состоянии покоя, то импульс наименее массивных роликовых коньков был бы самым большим. Импульс любого объекта, который находится в состоянии покоя, равен 0. Объекты в состоянии покоя не обладают импульсом — у них нет «массы в движении». Обе переменные — масса и скорость — важны при сравнении количества движения двух объектов.
Уравнение импульса может помочь нам подумать о том, как изменение одной из двух переменных может повлиять на импульс объекта.Рассмотрим физическую тележку массой 0,5 кг, загруженную одним кирпичом массой 0,5 кг и движущуюся со скоростью 2,0 м / с. Полная масса загруженной тележки составляет 1,0 кг, а ее импульс — 2,0 кг • м / с. Если вместо этого тележка была загружена тремя кирпичами по 0,5 кг, то общая масса загруженной тележки составила бы 2,0 кг, а ее импульс — 4,0 кг • м / с. Удвоение массы приводит к удвоению количества движения.
Аналогично, если бы тележка массой 2,0 кг имела скорость 8,0 м / с (вместо 2.0 м / с), то тележка будет иметь импульс 16,0 кг • м / с (вместо 4,0 кг • м / с). Учетверенное значение на скорости приводит к увеличению в четырехкратного увеличения на количества движения. Эти два примера иллюстрируют, как уравнение p = m • v служит «руководством к размышлению», а — не просто « готовый рецепт для решения алгебраических задач».

Проверьте свое понимание
Выразите свое понимание концепции и математики импульса, ответив на следующие вопросы.Нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.
1. Определите импульс …
а. 60-кг полузащитник движется на восток со скоростью 9 м / с.
г. Автомобиль весом 1000 кг движется на север со скоростью 20 м / с.
г. Первокурсник весом 40 кг движется на юг со скоростью 2 м / с.
2. Автомобиль имеет 20 000 единиц количества движения.Каким будет новый импульс автомобилю, если …
а. его скорость была увеличена вдвое.
г. его скорость увеличилась в три раза.
г. его масса увеличена вдвое (за счет увеличения количества пассажиров и груза)
г. его скорость и масса увеличились вдвое.
3. По футбольному полю бегут полузащитник (m = 60 кг), тута (m = 90 кг) и линейный игрок (m = 120 кг).Рассмотрим их образцы тикерной ленты ниже.
Сравните скорости этих трех игроков. Во сколько раз скорость полузащитника и скорость натянутого конца больше скорости лайнмена?
Какой игрок имеет наибольшую динамику? Объяснять.
Вывод формулы для релятивистского линейного импульса
Вывод формулы для релятивистского линейного импульса.
Государственный университет Сан-Хосе
апплет-магия.com
Thayer Watkins
Кремниевая долина
и Tornado Alley
США
Вывод формулы для релятивистского линейного импульса

В ньютоновской (нерелятивистской) механике количество движения тела определяется как произведение его движения. масса m и ее скорость v. Было обнаружено, что эта величина, по-видимому, сохраняется с течением времени. Альберт Эйнштейн в своей специальной теории относительности обнаружил, что кажущаяся масса движущегося тела относительно наблюдателю дается
m = m
₀ / (1 − β²) ^½
где m ₀ — масса покоя тела, а β — скорость тела относительно скорость света c; я.е., β = v / c.
Почти повсеместно предполагается, что в рамках специальной теории относительности линейный импульс по-прежнему определяется формулой p = mv, и единственная Релятивистская поправка состоит в том, что необходимо учитывать зависимость массы от скорости. Будет показано ниже этого, согласно лагранжевому анализу, это не так. Вместо этого необходимо принять во внимание дополнительную поправку.
Итак, существует расхождение между строгим математическим анализом и интуицией.S
Лагранжева динамика
Лагранжева динамика позволяет вывести формулу для релятивистского линейного импульса, а не просто предполагая это. Если K — кинетическая энергия системы, а V — потенциальная энергия, то лагранжиан системы определяется как
L = K — V
Если лагранжиан системы является функцией набора переменных {q _i; i = 1,2,…, n} и их производные по времени {dq _i / dt; i = 1,2,…, n} и на систему не действуют внешние силы, тогда динамика системы задается системой уравнений
d (∂
L / ∂v _i) / dt — (∂ L / ∂q _i) = 0
, где v _i = dq _i / dt.
Выражение (∂ L / ∂v _i) представляет собой импульс по переменной q _и.
Случай Ньютона
В механике Ньютона кинетическая энергия тела равна ½ мв² и v = dx / dt для некоторого x. Если функция потенциальной энергии не зависит от x или v, то
L = ½ мв² — В
и, следовательно,
∂ L / ∂v = mv
А поскольку
∂
L / ∂x = 0
d (мВ) / dt = 0
и, следовательно, импульс
постоянен во времени.
Релятивистский случай
Теперь рассмотрим релятивистский случай.
Выражение ½ мв² не является полной кинетической энергией; Это это просто приближение первого порядка кинетической энергии. Кинетическая энергия вместо этого
(mc² − m
₀ c²)
, где m = m ₀ / (1 − β²) ^½
и β = v / c.
Лагранжиан частицы, движущейся в потенциальном поле V, имеет вид
L = (м² − м ₀ c²) — В
, а частная производная L
по v равна
−½ (m ₀ c² / (1 − β²) ^3/2) (- 2β (1 / c))
, что уменьшается до
(м ₀ c² / (1-β²) ^3/2) (v / c) (1 / c)
или, что эквивалентно
(м ₀ / (1 − β²) ^3/2) v
, что можно выразить как
мВ / (1 − β²)
Другими словами, релятивистский импульс требует не только релятивистской корректировки массы. но также деление на коэффициент (1 − β²).
Таким образом, если кинетическая и потенциальная энергии независимы пространственной переменной, определяющей скорость, то она равна mv / (1 − β²), которая постоянна во времени.
То есть,
d (мВ / (1 − β²)) / dt = 0
Выражение m ₀ v / (1 − β²) ^3/2 асимптотически приближается к m ₀ v при β → 0 так же, как m ₀ v / (1 − β²) ^½ делает. Фактически любое выражение формы
f (β) mv + g (β)
, где f (β) → 1 и g (β) → 0 при (β → 0 асимптотически приближается к m ₀ v при β → 0.
Прецеденты
.
Работы Герберта Гольдштейна по механике долгое время считались решающим источником по теме классической механики. В двух изданиях его Classical Mechanics он ссылается на продольный и продольный поперечных масс для кузова; т.е.
м
_л = м ₀ / (1 − β²) ^3/2
м _t = м ₀ / (1 − β²) ^1/2
, где продольные средства в направлении движения и поперечные перпендикулярны направлению движения.Поперечная масса — это просто релятивистская масса, а продольная масса — это просто релятивистская масса. масса деленная на (1 − β²). Это те же результаты, которые были получены в результате анализа выше. Гольдштейн говорит, однако, что использование этих концепций массы сокращается, потому что они неясны. физика. Это может быть правдой, что нет никаких оснований для определения массы таким образом, но что не является причиной не принимать во внимание член (1 − β²) при вычислении количества движения. Другая интерпретация результата лагранжевого анализа состоит в том, что правильная формула для релятивистский импульс
р = м
_л в
Goldstein придерживается другого подхода к этому вопросу.Он утверждает, что истинное уравнение движения просто d [м ₀ v / (1 − β²) ^½] / dt = F
и чтобы получить это уравнение движения, он изменяет природу лагранжиана так, чтобы он не разность кинетической и потенциальной энергий. Это кажется неоправданным искажением универсальный принцип лагранжевой динамики. В издании своей книги 1950-х годов Гольштейн берет определение: лагранжиана быть любой формулой, которая дает релятивистский импульс равным mv при Лагранжиан анализ.Другие авторы книг по классической механике, такие как Джерри Мэрион и Стивен Торнтон, перенимают тот же подход, что и у Гольдштейна. Для частицы в потенциальном поле V, равном
L * = −m
₀ c² (1 − β²) ^½ −V
(стр. 206 уравнение 6-49)
Интеллектуально это неверно. Формула mv для релятивистского импульса не поддерживается. обеспечивается, показывая, что существует псевдолагранжиан, из которого он может быть получен с помощью лагранжиана анализ. В издании 1981 г. Гольдштейн повторяет этот недействительный упражнение (стр. 321, уравнение 7-136), но дает формулы для продольного и поперечного только в предложенном упражнении.
Вот график предполагаемой кинетической энергии псевдолагранжиана Гольдштейна как функции относительной скорости β. выражается через его отношение к м ₀ c².
Обратите внимание, что при β = 0 эта предполагаемая кинетическая энергия составляет −m ₀ c², а при при β = 1 эта предполагаемая кинетическая энергия равна нулю. Отрицательная кинетическая энергия — это, конечно, полная чушь. Очевидно, обычные физики настолько увлечены формулой mv для релятивистского импульса, что они готовы принять вывод его из чепухи.Отрицательность и ненулевое значение предполагаемой кинетической энергии при β = 0 можно исправить, добавив к нему термин m ₀ c², как и S.W. Маккаски в своей книге An Introduction к Advanded Dynamics . Но при этом не учитывается конечность значения при β = 1 и конечность тоже ерунда.
Стандартная формула для релятивистской кинетической энергии:
K = mc² — м
₀ c² = m ₀ c² (1 / (1 − β²) ^½ −1)
Вот график К / (м ₀ c²).
Это включает особенность при β = 1.
Леонард Сасскинд и Арт Фридман в их великолепной работе Специальная теория относительности и классическое поле имеют такой же ошибочный вывод традиционной формулы для релятивистского импульса, как и другие авторы работ, посвященных релятивистской динамике; т.е. вывод mv из формулы, включающей отрицательную кинетическую энергию или другие бессмысленные аспекты. .
Но Сасскинд и Фридман приводят причину, по которой они готовы принять вывод формулы соглашения вместо того, чтобы сдаваться.Они говорят, что у Альберта Эйнштейна был аргумент в пользу общепринятой формулы. На удивление Сасскинд и Фридман не используют аргумент Эйнштейна для обычной формулы. Они цитируют расположение аргумента Эйнштейна в статье Эйнштейна 1905 года.
Прочтение всех статей Эйнштейна 1905 года показывает, что он не упоминал релятивистский импульс ни в одной из них. в том числе и тот, в котором он представил свой принцип относительности, ныне известный как специальная теория относительности.Кстати, в этой статье упоминаются понятия продольной массы и поперечной массы .
Эйнштейн впервые упоминает релятивистский импульс в своей длинной 59-страничной статье 1907 года, озаглавленной: «О принципе относительности и сделанных из него выводах». (В оригинальной статье 1905 года по теории относительности была всего 31 страница.)
Вот что написал Эйнштейн
Таким образом, величина ξ = μ (dx / dt) / (1 — (v² / c²) ^½ играет роль импульс материальной точки
, где в его обозначениях μ означает массу покоя.Он продолжает представлять гамильтонову функцию полной энергии H частицы как
H = −μc² (1 — (v² / c²)
^½ + конст.
Чтобы H равнялось нулю при v = 0, константа Эйнштейна должна быть μc². Однако это означает при v = c полная энергия является конечным значением μc². Любое конечное значение полной энергии противоречит к остальной части теории относительности.
Эйнштейн продолжает:
Далее сразу видно, что наше уравнение движения материальной точки можно придать форму уравнений движения Лагранжа,
Таким образом, видно, что Эйнштейн считал, что импульс должен быть получен через Лагранжиан анализ.Но также видно, что Эйнштейн так твердо верил в формула для релятивистского импульса, равная mv, что он был готов принять ее вывод из лагранжиана, несовместимого с релятивистской кинетической энергией.
Также видно, что Гольдштейн, Сасскинд и другие авторы более или менее слепо следовал подходу Эйнштейна к этому вопросу. Эйнштейн, по-видимому, надеялся, что релятивистские формулы можно найти, заменив массу покоя в ньютоновском уравнении релятивитной массой. Этот очевидно, неверно в случае кинетической энергии.Относительная кинетическая энергия не ½ мв².
Представление о том, что обычная формула для релятивистского импульса оправдана, поскольку существует некоторое выражение из которого его можно вывести с помощью лагранжевого анализа, совершенно абсурдно. Любая формула может быть оправдана этой процедурой. Достаточно проинтегрировать формулу по скорости, чтобы получить предполагаемый лагранжиан, частная производная которого по скорость — это искомая формула.
Проблема может быть решена только опытным путем; я.е., который импульс, mv или mv / (1 − β²) сохраняется? В пределе v → 0 между ними нет разницы, так что решение вопроса требует результатов для случая β, близкого к единице. Однако если скорость не меняется, то любая функция скорости постоянна во времени. Следовательно, эмпирический тест должен включать радикальное изменение скорости, как в столкновение частиц несопоставимых масс.
Удивительно, но понятиям и терминам продольная масса и поперечная масса предшествовали Специальная теория относительности.В конце 19 века различные теоретики заметили, что заряженные тела сопротивляются ускорение больше, чем объясняется их массами покоя; т.е.
m = F / a m
₀
где F — сила, а — ускорение.
Лорд Кельвин (Уильям Томсон) указал на это в 1881 году. и Оливер Хевисайд разработали математику в 1897 году. Эти формулы для продольных и поперечных массы такие же, как у Эйнштейна и Гольдштейна. Обратите внимание, что они были основаны на эмпирических данных.
Предположительно обычная формула была проверена эмпирически. Было бы странно, если бы эксперимент по-настоящему проверил формулу, не имеющую строгого вывода.
Природа массы
Масса — это коэффициент, связывающий две физические величины в динамике: силу и ускорение, кинетическую энергию и функцию. скорости, импульса и скорости. В механике Ньютона эти три коэффициента совпадают. В общем это не так истинный. Пусть кинетическая энергия определяется выражением
K = м
₀ c²γ (v)
, где γ (v) — неопределенная функция скорости.
Тогда согласно лагранжевому анализу импульс p определяется выражением
р = (∂K / ∂v)
Масса, определяемая соотношением количества движения и скорости. затем
m = p / v = (∂K / ∂v) / v
, и это обычно не может быть таким же, как масса, участвующая в соотношении кинетическая энергия / скорость. Важно отметить, что массовое понятие, полученное из отношения on, не обязательно должно быть таким же, как это. полученный из других отношений. Таким образом, принятие продольной массы как массы в моменте / скорости отношение действительно означает, что оно должно применяться к массе в других отношениях.
Иллюстрация и

ее значение
Предположим, что ядро Ba ¹³⁷ испускает электрон (бета-распад). Предположим, что скорость электрона равна половина скорости света, β = 0,5. Масса покоя электрона равна 9.10938215 × 10 ^-31 кг. Тогда его масса при β = 0,5 составляет 10,5186085 × 10 ^-31 кг. Его линейный импульс, основанный на тогда формула mv равна 3,1556 × 10 ^-22 кг м / сек. На основании формулы мв / (1 − β²) это 4,2074 × 10 ^-22 кг · м / сек, на 1/3 больше.Импульс Ва ¹³⁷ ядро будет иметь то же значение, но в противоположном направлении.
Масса ядра бария 137 была бы примерно в 252000 раз больше массы электрона, или примерно 2,29 × 10 ^-25 кг. Его импульс отдачи составит 4,2074 × 10 ^-22 кг · м / с и, следовательно, его скорость отдачи будет примерно 1,8343 × 10 ³, что всего в 6,114 × 10 ⁻⁶ раз больше скорости света, поэтому релятивистская поправка несущественна.Таким образом, барий Ядро имеет импульс 4,2074 × 10 ^-22 кг · м / сек, тогда как у электрона импульс, вычисленный по формуле mv, составляет всего 3,1556 × 10 ^-22 кг · м / сек. Таким образом появляется быть расхождением 1,0518 × 10 ^-22 кг м / сек, когда на самом деле нет никакого расхождения, просто использование неправильной формулы для вычисления линейных импульсов. Это вычисление не учитывает дело нейтрино.
Таким образом, когда электрон выбрасывается из ядро со скоростью, близкой к скорости света, его импульс вычисляется из произведения его релятивистской массы и скорость будет значительно меньше ее истинного значения.Отдача ядра будет иметь линейный импульс, равный истинному импульсу электрона. Отдача ядро будет иметь гораздо меньшую скорость и, следовательно, его импульс вычисляется по неправильной формуле будет ближе к истинному импульсу. Таким образом, чистый импульс системы ядро / частица после выброса электрона кажутся отличными от нулевого импульса перед выбросом.
Заключение
Похоже, что не существует строгого вывода релятивистского импульса как релятивистской массы, умноженной на скорость, мв.Основываясь на лагранжевом анализе, релятивистский импульс, очевидно, требует не только релятивистской корректировки массы, но и деления на коэффициент (1 − β²). Правильная формула для релятивистского импульса тогда
P = м
₀ v / (1 − β²) ^3/2 = mv / (1 − β²)
Это эквивалентно тому, что релятивистский импульс равен произведению продольной релятивистской массы и скорость.
Если кинетическая и потенциальная энергии не зависят от пространственной переменной, определяющей скорость, то mv / (1 − β²) = m _l v, которая постоянна во времени.Если скорость не меняется, то любая функция скорости постоянна во времени.
Без учета деления на (1 − β²) означает, что импульс быстрой частицы недооценивается. Степень недооценки зависит от скорости.
(Продолжение следует.)
Второй закон Ньютона
2-й закон Ньютона действительно математическое утверждение о том, как «сила» относится к изменению движения объекта. Отчасти это служит определяющим заявление о свойствах, называемых «сила» и «масса».«
Мы уже знаем, что масса — это мера степени инерции объекта, и мы интуитивно понимаем, что такое сила — но на самом деле у нас нет независимых их определения или процедуры их измерения. Второй закон касается их друг к другу, и при этом действует как совместное рабочее определение их.
Математически, Ньютона 2-й закон гласит: F = Δ п / Δ т . На словах можно сказать, что сила F равна изменению по импульсу Δ p , с соответствующим изменение во времени, Δ т .Этот краткий математический заявление содержит довольно много информации.
Во-первых, что такое импульс?
По определению, p = m v , где p — свойство, называемое импульсом, м, — масса объекта, и v это его скорость. [В этом уравнении и выше вы видите, что некоторые буквы в уравнении полужирным курсивом , а остальные курсивом .Элементы, обозначенные полужирным курсивом , называются векторами ; у них есть математические свойства размера и направления. Пункты курсивом это скаляры — обычные числа, обозначающие только размер. Так масса, м, , является скаляром, определяемым только его размером, в то время как скорость, v , является вектором обозначение размера скорости объекта и , в каком направлении он движется дюймы]
Ньютон распознал, что изменение движения объекта под действием приложенной силы зависело также от его массы (степени инерции).Это здравый смысл нас; если мы толкнем игрушечную машинку с определенной силой и с такой же силой количество силы на реальной машине, игрушечная машина будет иметь гораздо большее изменение в его движение. Импульс включает в себя инерцию (массу) движения (скорость) объекта. для создания композита, относящегося к силе.
Связь с силой это скорость, с которой импульс изменяется с течением времени! [Символ Δ в уравнение означает «изменить дюйм. «] Итак, сила F вызывает изменение импульса объекта p с течением времени, где величина силы определяет скорость изменение и направление силы определяет направление изменения.Если направление силы совпадает с первоначальным направлением движения объекта, скорость объекта увеличится (сила в том же направлении, что и скорость) или уменьшиться (сила в направлении, противоположном скорости объекта). Но если сила указывает в каком-то другом направлении, это заставит объект тоже измените курс.
До тех пор, пока массовая часть импульса не меняется, изменение импульса можно выразить как Δ p = Δ ( m v ) = м (Δ v ).Поскольку мы определяем ускорение, a , как изменение скорости со временем a = Δ v / Δ t , Второй закон Ньютона также можно записать как F = m a . Это выражение более знакомо всем, кто раньше изучал физику. [Интересно отметить, что, поскольку ускорение a относится к Δ v и Δ v не равно нулю, если направление v изменяется, даже если его размер остается то же самое, объект ускоряется, если его направление движения изменяется, пока он движется с постоянной скоростью.]
Ньютонов 2 ^nd закон также может быть понят как описывающий действие множество сил, действующих на один объект, или множество сил, действующих на множество объектов. В этих обстоятельствах считается, что сила F представляет собой общая или чистая сила и изменение количества движения Δ p быть общим или чистым изменением — по всем задействованным объектам.
Переходите к третьему закону Ньютона.
© 2003-2012 — 4Physics®
.

Закон сохранения линейного импульса • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Закон сохранения импульса — опредление, формулы, формулировка

Импульс: что это такое

Закон сохранения импульса

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Реактивное движение

Масса покоя или инертная масса?

Урок 11. импульс. закон сохранения импульса — Физика — 10 класс

Импульс — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Импульс тела

Закон сохранения импульса

Сохранение проекции импульса

Многомерный случай ЗСИ. Векторный метод

Краткий справочник по физике.

понимаем лучше экономику и финансы

M V = P Q

Использование формулы Фишера

Уравнение Фишера и ситуация с денежной массой в России

Линейный импульс и сила | Физика

Цели обучения

Линейный импульс

Линейный импульс

Пример 1. Расчет импульса: футболист и футбол

Стратегия

Решение для части 1

Решение для части 2

Обсуждение

Импульс и второй закон Ньютона

Второй закон движения Ньютона с точки зрения количества движения

Установление связей: сила и импульс

Пример 2. Расчетное усилие: ракетка Винус Уильямс

Стратегия

Решение

Обсуждение

Сводка раздела

Концептуальные вопросы

Задачи и упражнения

Глоссарий

Избранные решения проблем и упражнения

Формула моментума

Как рассчитать импульс | Универсальный класс

Linear Momentum: Определение, уравнение и примеры — стенограмма видео и урока

Что такое Momentum?

Импульс

Импульс как векторная величина

Вывод формулы для релятивистского линейного импульса

m = m

Лагранжева динамика

d (∂

Случай Ньютона

∂

Релятивистский случай

(mc² − m

d (мВ / (1 − β²)) / dt = 0

f (β) mv + g (β)

Прецеденты

м

р = м

L * = −m

K = mc² — м

H = −μc² (1 — (v² / c²)

m = F / a m

Природа массы

K = м

р = (∂K / ∂v)

m = p / v = (∂K / ∂v) / v

Иллюстрация и

Заключение

P = м

Второй закон Ньютона

Author: alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики