Формулы комбинаторики перестановки размещения сочетания примеры: Перестановки, размещения и сочетания. Формулы.

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

     При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия

Размещения

      Рассмотрим следующую задачу.

      Задача.   9   карточек пронумерованы числами   1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .   Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел?

      Решение.Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое.

      На первое место можно положить одну из   9   карточек. Для этого есть   9   способов. В каждом из этих   9   способов на второе место можно положить одну из оставшихся   8   карточек. Таким образом, существует

способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих   72   способов на третье место можно положить одну из оставшихся   7   карточек. Следовательно, существует

способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих   504   способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся   6   карточек. Отсюда вытекает, что существует

различных способа, чтобы выложить в ряд   4   карточки из набора, состоящего из   9   пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить   3024   различных четырехзначных числа.

      Ответ:   3024.

      При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.

      Определение 1. Рассмотрим множество, содержащее   n   элементов, и все его упорядоченные подмножества, содержащие   k   элементов. Каждое из этих подмножеств называют размещением из   n   элементов по   k   элементов.

      Если обозначить символом  число размещений из   n   элементов по   k   элементов, то будет справедлива формула:

(1)

      В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде:

      В задаче множеством из   n   элементов является исходный набор из   9   пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из   k   элементов –   4   карточки, выложенные в ряд.

      Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из   9   элементов по   4   элемента, т.е. число

      В соответствии с формулой (1),

что и было получено в задаче.

      Замечание 1. Введенные в данном разделе размещения также называют размещениями без повторений.

      Замечание 2. Из формул для числа перестановок и числа размещений вытекает формула

смысл которой заключается в следующем.

      Утверждение. Размещение из   n   элементов по   n   элементов является перестановкой из   n   элементов.

Сочетания

      Определение 2. Рассмотрим множество, состоящее из   n   элементов. Каждое его подмножество, содержащее   k   элементов, называют сочетанием из   n   элементов по   k   элементов.

      Число сочетаний из   n   элементов по   k   элементов обозначается символом

      Замечание 3. Важно отметить, что, в отличие от определения размещений, рассмотренные в определении сочетаний подмножества, содержащие   k   элементов, не являются упорядоченными. Поэтому, если в каждом подмножестве, содержащем   k   элементов (из определения 2), совершить всевозможные перестановки, количество которых равно   k ! ,   то мы получим все размещения.

      Таким образом, справедлива формула:

      Следовательно,

откуда вытекает формула

(2)

      Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2):

      В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):

      Замечание 4. С разделом справочника «Сочетания» близко связан раздел «Бином Ньютона», где приведены и доказаны свойства чисел сочетаний.

   С понятиями факториала числа   n   и перестановок из   n   элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: факториалы и перестановки» нашего справочника.

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Основные формулы комбинаторики. Комбинаторика: формула расчета перестановки, размещения

В данной статье речь пойдет об особом разделе математики под названием комбинаторика. Формулы, правила, примеры решения задач – все это вы сможете найти здесь, прочитав статью до самого конца.

Итак, что же это за раздел? Комбинаторика занимается вопросом подсчета каких-либо объектов. Но в данном случае объектами выступают не сливы, груши или яблоки, а нечто иное. Комбинаторика помогает нам находить вероятность какого-либо события. Например, при игре в карты – какова вероятность того, что у противника есть козырная карта? Или такой пример – какова вероятность того, что из мешка с двадцатью шариками вы достанете именно белый? Именно для подобного рода задач нам и нужно знать хотя бы основы данного раздела математики.

Комбинаторные конфигурации

Рассматривая вопрос основных понятий и формул комбинаторики, мы не можем не уделить внимание комбинаторным конфигурациям. Они используются не только для формулировки, но и для решения различных комбинаторных задач. Примерами таких моделей служат:

  • размещение;
  • перестановка;
  • сочетание;
  • композиция числа;
  • разбиение числа.

О первых трех мы поговорим более подробно далее, а вот композиции и разбиению мы уделим внимание в данном разделе. Когда говорят о композиции некого числа (допустим, а), то подразумевают представление числа а в виде упорядоченной суммы неких положительных чисел. А разбиение – это неупорядоченная сумма.

Разделы

Прежде чем мы перейдем непосредственно к формулам комбинаторики и рассмотрению задач, стоит обратить внимание на то, что комбинаторика, как и другие разделы математики, имеет свои подразделы. К ним относятся:

  • перечислительная;
  • структурная;
  • экстремальная;
  • теория Рамсея;
  • вероятностная;
  • топологическая;
  • инфинитарная.

В первом случае речь идет об исчисляющей комбинаторике, задачи рассматривают перечисление или подсчет разных конфигураций, которые образованы элементами множеств. На данные множества, как правило, накладываются какие-либо ограничения (различимость, неразличимость, возможность повтора и так далее). А количество этих конфигураций подсчитывается при помощи правила сложения или умножения, о которых мы поговорим немного позже. К структурной комбинаторике относятся теории графов и матроидов. Пример задачи экстремальной комбинаторики – какова наибольшая размерность графа, который удовлетворяет следующим свойствам… В четвертом пункте мы упомянули теорию Рамсея, которая изучает в случайных конфигурациях наличие регулярных структур. Вероятностная комбинаторика способна нам ответить на вопрос – какова вероятность того, что у заданного множества присутствует определенное свойство. Как нетрудно догадаться, топологическая комбинаторика применяет методы в топологии. И, наконец, седьмой пункт – инфинитарная комбинаторика изучает применение методов комбинаторики к бесконечным множествам.

Правило сложения

Среди формул комбинаторики можно найти и довольно простые, с которыми мы достаточно давно знакомы. Примером является правило суммы. Предположим, что нам даны два действия (С и Е), если они взаимоисключаемы, действие С выполнимо несколькими способами (например а), а действие Е выполнимо b-способами, то выполнить любое из них (С или Е) можно а+b способами.

В теории это понять достаточно трудно, постараемся донести всю суть на простом примере. Возьмем среднюю численность учеников одного класса — допустим, это двадцать пять. Среди них пятнадцать девочек и десять мальчиков. Ежедневно в классе назначается один дежурный. Сколько есть способов назначить дежурного по классу сегодня? Решение задачи достаточно простое, мы прибегнем к правилу сложения. В тексте задачи не сказано, что дежурными могут быть только мальчики или только девочки. Следовательно, им может оказаться любая из пятнадцати девочек или любой из десяти мальчиков. Применяя правило суммы, мы получаем достаточно простой пример, с которым без труда справится школьник начальных классов: 15 + 10. Подсчитав, получаем ответ: двадцать пять. То есть существует всего двадцать пять способов назначить на сегодня дежурного класса.

Правило умножения

К основным формулам комбинаторики относится и правило умножения. Начнем с теории. Допустим, нам необходимо выполнить несколько действий (а): первое действие выполняется с1 способами, второе – с2 способами, третье – с3 способами и так далее до последнего а-действия, выполняемого са способами. Тогда все эти действия (которых всего у нас а) могут быть выполнены N способами. Как высчитать неизвестную N? В этом нам поможет формула: N = с1 * с2 * с3 *…* са.

Опять же, в теории ничего не понятно, переходим к рассмотрению простого примера на применение правила умножения. Возьмем все тот же класс из двадцати пяти человек, в котором учится пятнадцать девочек и десять мальчиков. Только на этот раз нам необходимо выбрать двух дежурных. Ими могут быть как только мальчики или девочки, так и мальчик с девочкой. Переходим к элементарному решению задачи. Выбираем первого дежурного, как мы решили в прошлом пункте, у нас получается двадцать пять возможных вариантов. Вторым дежурным может быть любой из оставшихся человек. У нас было двадцать пять учеников, одного мы выбрали, значит вторым дежурным может быть любой из оставшихся двадцати четырех человек. Наконец, применяем правило умножения и получаем, что двоих дежурных можно избрать шестью сотнями способов. Мы данное число получили умножением двадцати пяти и двадцати четырех.

Перестановка

Сейчас мы рассмотрим еще одну формулу комбинаторики. В данном разделе статьи мы поговорим о перестановках. Рассмотреть проблему предлагаем сразу же на примере. Возьмем бильярдные шары у нас их n-ое количество. Нам нужно подсчитать: сколько есть вариантов расставить их в ряд, то есть составить упорядоченный набор.

Начнем, если у нас нет шаров, то и вариантов расстановки у нас так же ноль. А если у нас шар один, то и расстановка тоже одна (математически это можно записать следующим образом: Р1 = 1). Два шара можно расставить двумя разными способами: 1,2 и 2,1. Следовательно, Р2 = 2. Три шара можно расставить уже шестью способами (Р3=6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. А если таких шаров не три, а десять или пятнадцать? Перечислять все возможные варианты очень долго, тогда нам на помощь приходит комбинаторика. Формула перестановки поможет нам найти ответ на интересующий нас вопрос. Pn = n *P (n-1). Если попытаться упростить формулу, то получаем: Pn = n* (n — 1) *…* 2 * 1. А это и есть произведение первых натуральных чисел. Такое число называется факториалом, а обозначается как n!

Рассмотрим задачу. Вожатый каждое утро выстраивает свой отряд в шеренгу (двадцать человек). В отряде есть три лучших друга – Костя, Саша и Леша. Какова вероятность того, что они будут стоять рядом? Чтобы найти ответ на вопрос, нужно вероятность «хорошего» исхода поделить на общее количество исходов. Общее число перестановок составляет 20! = 2,5 квинтиллиона. Как посчитать количество «хороших» исходов? Предположим, что Костя, Саши и Леша – это один сверхчеловек. Тогда мы имеем всего восемнадцать субъектов. Число перестановок в данном случае равняется 18 = 6,5 квадриллионов. При всем этом, Костя, Саша и Леша могут произвольно перемещаться между собой в своей неделимой тройке, а это еще 3! = 6 вариантов. Значит всего «хороших» расстановок у нас 18! * 3! Нам остается только найти искомую вероятность: (18! * 3!) / 20! Что равняется примерно 0,016. Если перевести в проценты, то это получается всего 1,6%.

Размещение

Сейчас мы рассмотрим еще одну очень важную и необходимую формулу комбинаторики. Размещение – это наш следующий вопрос, который предлагаем вам рассмотреть в данном разделе статьи. Мы идем на усложнение. Предположим, что мы хотим рассмотреть возможные перестановки, только не из всего множества (n), а из меньшего (m). То есть мы рассматриваем перестановки из n предметов по m.

Основные формулы комбинаторики стоит не просто заучивать, а понимать их. Даже несмотря на то, что они усложняются, так как у нас не один параметр, а два. Предположим, что m = 1, то и А = 1, m = 2, то А = n * (n — 1). Если далее упрощать формулу и перейти на запись при помощи факториалов, то получится вполне лаконичная формула: А = n! / (n — m)!

Сочетание

Мы рассмотрели практически все основные формулы комбинаторики с примерами. Теперь перейдем к заключительному этапу рассмотрения базового курса комбинаторики – знакомство с сочетанием. Сейчас мы будем выбирать m предметов из имеющихся у нас n, при этом всем мы будем выбирать всеми возможными способами. Чем же тогда это отличается от размещения? Мы не будем учитывать порядок. Этот неупорядоченный набор и будет являться сочетанием.

Сразу введем обозначение: С. Берем размещения m шариков из n. Мы перестаем обращать внимание на порядок и получаем повторяющиеся сочетания. Чтобы получить число сочетаний нам надо поделить число размещений на m! (m факториал). То есть С = А / m! Таким образом, способов выбрать из n шаров немножко, равняется примерно столько, сколько выбрать почти все. Этому есть логическое выражение: выбрать немножко все равно, что выкинуть почти все. Еще в данном пункте важно упомянуть и то, что максимальное число сочетаний можно достигнуть при попытке выбрать половину предметов.

Как выбрать формулу для решения задачи?

Мы подробно рассмотрели основные формулы комбинаторики: размещение, перестановка и сочетание. Теперь наша задача – облегчить выбор необходимой формулы для решения задачи по комбинаторике. Можно воспользоваться следующей довольно простой схемой:

  1. Задайте себе вопрос: порядок размещения элементов учитывается в тексте задачи?
  2. Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой сочетания (С = n! / (m! * (n — m)!)).
  3. Если ответ нет, то необходимо ответить на еще один вопрос: все ли элементы входят в комбинацию?
  4. Если ответ да, то воспользуйтесь формулой перестановки (Р = n!).
  5. Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой размещения (А = n! / (n — m)!).

Пример

Мы рассмотрели элементы комбинаторики, формулы и некоторые другие вопросы. Теперь перейдем к рассмотрению реальной задачи. Представьте, что перед вами лежат киви, апельсин и банан.

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить? Для этого воспользуемся формулой перестановок: Р = 3! = 6 способов.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать один фрукт? Это очевидно, у нас всего три варианта – выбрать киви, апельсин или банан, но применим формулу сочетаний: С = 3! / (2! * 1!) = 3.

Вопрос третий: сколькими способами можно выбрать два фрукта? Какие есть у нас вообще варианты? Киви и апельсин; киви и банан; апельсин и банан. То есть три варианта, но это легко проверить при помощи формулы сочетания: С = 3! / (1! * 2!) = 3

Вопрос четвертый: сколькими способами можно выбрать три фрукта? Как видно, выбрать три фрукта можно одним-единственным способом: взять киви, апельсин и банан. С = 3! / (0! * 3!) = 1.

Вопрос пятый: сколькими способами можно выбрать хотя бы один фрукт? Это условие подразумевает, что мы можем взять один, два или все три фрукта. Следовательно, мы складываем С1 + С2 + С3 =3 + 3 + 1 = 7. То есть у нас есть семь способов взять со стола хотя бы один фрукт.

основные формулы. Перестановки, размещения, сочетания. Задачи по теории вероятностей с решением онлайн. Помощь студентам

Основные понятия и формулы


Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Правило умножения (основная формула комбинаторики)

Общее число  способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно:


Пример 1

Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?

Решение

Первая монета имеет  альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть  альтернативы и т.д., т.е. .

Искомое количество способов:


Правило сложения

Если любые две группы  и  не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из  можно осуществить  способами.


Пример 2

На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов  выбора одной математической или одной экономической книги.

Решение

Математическая книга может быть выбрана    способами, экономическая —  способами.

По правилу суммы существует  способа выбора математической или экономической книги.


Размещения и перестановки


Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Размещения без повторений, когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из  элементов по .

Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения  элементов из генеральной совокупности объема , равно:


Пример 3

Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:


Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из  элементов равно


Пример 4

Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?

Решение

Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:


Размещения с повторениями, когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат  — размещением с повторениями из  элементов по .

Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением  элементов из генеральной совокупности объема , равно


Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Пример 5

Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?

Решение

Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как  один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6:

 


Сочетания


Сочетаниями  из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора  элементов из генеральной совокупности объема  получаются комбинации, которые называются

сочетаниями без повторений из  элементов по .

Число сочетаний из  элементов по  равно:


Пример 6

В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?

Решение

Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:

Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:


Пусть из генеральной совокупности объема  выбирается  элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из  элементов по .

Число сочетаний с повторениями из  элементов по :


Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Пример 7

На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?

Решение

Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:


Разбиение множества на группы


Пусть множество из  различных элементов разбивается на  групп так, то в первую группу попадают  элементов, во вторую —  элементов, в -ю группу —  элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.

Число разбиений на  групп, когда в первую попадают  элементов, во вторую —  элементов, в k-ю группу —  элементов, равно:


Пример 8

Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Здесь

Число разбиений на 3 подгруппы:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?


Задача 2

Доступ к файлу открывается, только если введен правильный пароль – определенный трехзначный номер из нечетных цифр. Какова максимальное число возможных попыток угадать пароль?


Задача 3

Группу из 10 человек требуется разбить на две непустые подгруппы  и . Сколькими способами можно это сделать?


Задача 4

Два наборщика должны набрать 16 текстов. Сколькими способами они могут распределить эту работу между собой.


Задача 5

Шесть студентов-переводников нужно распределить по трем группам. Сколькими способами это можно сделать?


Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Задача 6

Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?


Задача 7

В ящике 5 красных и 4 зеленых яблока. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?


Задача 8

Из ящика, в котором лежат 10 красных и 5 зеленых яблок, выбирают одно красное и два зеленых яблока. Сколькими способами можно это сделать.


Задача 9

В группе из 25 студентов нужно выбрать старосту и 3 членов студенческого комитета. Сколькими способами можно это сделать.


Задача 10

Акционерное собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета директоров и 10 членов совета директоров. Сколькими способами это можно сделать?


Задача 11

В телевизионной студии работают 3 режиссера, 4 звукорежиссера, 5 операторов, 7 корреспондентов и 2 музыкальных редактора. Сколькими способами можно составить съемочную группу, состоящую из одного режиссера, двух операторов, одного звукорежиссера и двух корреспондентов.


Задача 12

На группу из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены (не более одного билета в руки).


Задача 13

Имеются 7 билетов: 3 в один театр и 4 – в другой. Сколькими способами они могут быть распределены между студентами группы из 25 человек?


Задача 14

Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Возможно срочное (от нескольких часов до суток) решение задач, а также онлайн-помощь на экзамене/зачете/самостоятельной.

Оплата на банковскую карту.

Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам

сроки решения и скинув условие задач.

Перестановки, размещения, сочетания

Характерная примета в задачах из области комбинаторики – вопрос в них обычно можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов: «Сколькими способами…».

Первые задачи такого типа встречались уже, например, в древней и средневековой Индии.

«О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов» (Махавира, IX в.). Условие этой задачи, возможно, не очень понятно; судя по решению, здесь речь идет об ожерельях, которые бы отличались не по количеству или расположению камней одного и того же типа, а по наличию тех или иных камней – например, ожерелье из бриллиантов, из бриллиантов и кораллов, из бриллиантов, изумрудов и жемчугов и т. д.

Решение

Конечно, эту задачу можно решить простым перебором вариантов, но можно кое-что заметить. В разных ожерельях камни каждого конкретного вида могут наличествовать либо отсутствовать. Например, бриллианты могут быть, а могут не быть – две возможности. Как при наличии бриллиантов, так и при их отсутствии сапфиры могут быть, а могут или не быть – итого четыре возможности. И при наличии, и при отсутствии бриллиантов и сапфиров изумруды могут быть, а могут не быть, – итого восемь возможностей. И т. д. Следовательно, всего вариантов 25 = 32, правда, нужно еще вычесть один вариант отсутствия всех пяти камней (такое ожерелье, с точки зрения здравого смысла, ожерельем не является). Итак, ответ в задаче – 31 возможное ожерелье.

БСИКЖ БСИК БСИЖ БСИ БСКЖ БСК БСЖ БС
БИКЖ БИК БИЖ БИ БКЖ БК БЖ Б
СИКЖ СИК СИЖ СИ СКЖ СК СЖ С
ИКЖ ИК ИЖ И КЖ К Ж

«Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, соленым, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей» (Шридхара, IX–X вв.).

Решение

Аналогично решению предыдущей задачи получаем 26 – 1 = 64 – 1 = 63.

Классическими понятиями комбинаторики являются перестановки, размещения и сочетания.

Перестановкой называется какой-либо способ упорядочения данного множества. Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов (это число обозначается Pn, от французского permutation – перестановка) – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом. Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.

Рис. 1. Перестановки (варианты размещения четырех предметов по четырем ячейкам)

Упорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется размещением из n по m. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, нетрудно найти, что число размещений из n по m (оно обозначается , от французского arrangement – размещение) равно произведению m множителей

n (n – 1) (n – 2) … (n – m + 2) (n – m + 1).

 

Рис. 2. Размещения (варианты размещения четырех предметов по трем ячейкам)

Наконец, неупорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется сочетанием из n по m. Число сочетаний обозначается , от французского combinaison – сочетание. Поскольку одному и тому же сочетанию соответствует Pm размещений (получаемых с помощью различных перестановок одного и того же набора m элементов), число сочетаний из n по m меньше числа размещений из n по m в Pm раз:

 

Рис. 3. Сочетания (неупорядоченные размещения)

Впервые понятия перестановки, размещения и сочетания в их взаимосвязи появились в написанной на древенееврейском языке арифметике (1321 г.) жившего в Провансе (Юго-Восточная Франция) Льва Герсонида, или Леви бен Гершона, однако его труд не был известен большинству последующих европейских математиков. В основном элементы комбинаторики были открыты и упорядочены математиками XVII и начала XVIII вв.

Например, термин permutation – перестановка – появился в учебнике «Теория и практика арифметика» (1656 г.) у работавшего в Лувене и Антверпене (ныне Бельгия) преподавателя математики Андре Таке, учебники которого получили большое распространение в XVII–XVIII вв. Понятие размещений и равенство вновь появились только у Я. Бернулли, давшего наиболее полное изложение комбинаторики во второй части «Искусства предположений», изданного в 1713 г. спустя четыре года после смерти автора и ставшего фундаментальной работой по теории вероятностей.

А вот история сочетаний, как мы сейчас убедимся, более давняя: а именно, числа сочетаний – оказывается, ни что иное, как давно знакомые нам биномиальные коэффициенты, которые мы (вслед за Эйлером) обозначали

Дело тут вот в чем: число – это коэффициент при an – mbm в разложении выражения (a + b)n. Когда бином (a + b) возводится в n-ую степень, т. е. перемножаются n выражений (a + b), множитель bm получается из m выражений (a + b), а an – m – из оставшихся (n – m) таких же выражений. Коэффициент равен числу, указывающему, сколько раз произведение an – mbm появляется в этом разложении, т. е. сколько раз можно выбрать m из n множителей. Слово combinaison – сочетание – употреблял уже Б. Паскаль, который, как уже было указано, уделил большое внимание свойствам биномиальных сочетаний, образующих треугольник Паскаля.

Соответственно, на числа сочетаний переносятся все уже известные свойства биномиальных коэффициентов, в частности, свойство

Это свойство можно доказать новым способом, исходя из комбинаторного смысла чисел . Сумма – это совокупное число, которым можно выбрать последовательно из n имеющихся элементов: ноль элементов (это можно сделать только одним способом), один элемент (это, разумеется, можно сделать n способами), два элемента и т. д., наконец, n элементов (снова одним способом). Каково же это суммарное число? Обратимся к способу решения вышеприведенной задачи об ожерельях! В данном сочетании первый элемент либо присутствует, либо нет – две возможности. Независимо от первого, второй либо присутствует, либо нет – значит, для присутствия или отсутствия первого и второго четыре возможности. Независимо от первого и второго, третий может присутствовать, может не присутствовать – итого 8 возможностей и т. д. Всего получается 2n всевозможных сочетаний, где каждый элемент может присутствовать, а может и отсутствовать, вплоть до одновременного отсутствия всех n элементов (единственный возможный вариант сочетания из n по 0): правда, индийская задача как раз этот – единственный – случай и исключала: ожерелье вовсе без камней – вообще не ожерелье.

Также по-новому, исходя из комбинаторного определения сочетаний, можно доказать и свойство , гарантирующее, вместе с очевидными равенствами , что числа сочетаний можно найти с помощью треугольника Паскаля. Попробуйте!

Доказательство

Рис. 4. Треугольник Паскаля

По определению, число сочетаний из n по m – это число способов, которыми можно из n предметов выбрать m, порядок которых неважен. Как-либо выделим (n – 1) предмет из данных n. Тогда составить неупорядоченную совокупность m предметов из n данных можно, либо выбрав все m лишь из выделенных (n – 1), либо взять один невыделенный предмет, а оставшиеся (m – 1) выбрать из выделенных (n – 1) предмета. Получается, что общее число способов, которым можно создать неупорядоченную совокупность m предметов из n данных, равно числу способов, которым можно из (n – 1) предметов выбрать m, плюс число способов, которым из (n – 1) предметов можно выбрать (m – 1). Таким образом,

Рис. 5. 

Т. н. мультипликативное представление биномиальных коэффициентов

 = (n (n – 1) (n – 2) … (n – m + 2) (n – m + 1)) / (m (m – 1) (m – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1)

впервые (после Леви бен Гершона) установил парижский преподаватель математики П. Эригон (1634 г.), но широкую известность оно получило благодаря работе Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованной в 1665 г. после смерти автора. Пожалуй, проще всего этот результат доказывается с помощью равенства . Впрочем, мы сейчас обычно записываем «мультипликативное представление» несколько иначе, с помощью знака факториала. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Факториалом 0 считается 1. Термин «факториал» впервые предложил французский математик Л. Ф. А. Арбогаст (1800 г.). Факториал числа n обозначается n! Это обозначение ввел в 1808 г. немецкий математик К. Крамп. Итак, n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, 0! = 1. В этих обозначениях

Pn = n!,


Что касается самого слова «комбинаторика», то оно восходит к «Рассуждению о комбинаторном искусстве» двадцатилетнего Лейбница (1666 г.), которое положило начало этому разделу математики как самостоятельной науке. «Рассуждение» Лейбница содержало ряд теорем о сочетаниях и перестановках, но, кроме того, автор провозглашал весьма широкую применимость новой науки к таким разнообразным предметам, как замки, органы, силлогизмы, смешение цветов, стихосложение, логика, геометрия, военное искусство, грамматика, юриспруденция, медицина и богословие. В дальнейшем Лейбниц продолжил вынашивать грандиозный замысел комбинаторики, полагая, что, как обычная математика занимается большим и малым, единым и многим, целым и частью, так комбинаторика должна заниматься одинаковым и различным, похожим и непохожим, абсолютным и относительным местоположением. Лейбниц предвидел приложения комбинаторики к кодированию и декодированию, к играм, статистике, теории наблюдений. Следует отметить, что, хотя ныне мы понимаем комбинаторику более узко, тем не менее, предвидения Лейбница относительно развития математических теорий, относящихся к указанным предметам, ныне вовсе не выглядят такими беспочвенными, какими казались в его время.

все формулы комбинаторики

Вы искали все формулы комбинаторики? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и задачи комбинаторика, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «все формулы комбинаторики».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как все формулы комбинаторики,задачи комбинаторика,как понять комбинаторику,комбинаторика,комбинаторика в математике,комбинаторика в математике это,комбинаторика для чайников,комбинаторика задачи,комбинаторика математика,комбинаторика матпрофи,комбинаторика определение,комбинаторика основные понятия и формулы комбинаторики,комбинаторика основные формулы,комбинаторика перестановка,комбинаторика перестановки,комбинаторика примеры,комбинаторика примеры решения задач,комбинаторика сочетание,комбинаторика сочетания,комбинаторика формула,комбинаторика формулы,комбинаторика это в математике,комбинаторики,комбинаторные формулы,математика комбинаторика,матпрофи комбинаторика,определение комбинаторика,основная формула комбинаторики,основные правила комбинаторики,основные формулы комбинаторика,основные формулы комбинаторики,основные формулы комбинаторики перестановки размещения сочетания,основные формулы комбинаторики размещения перестановки сочетания,основы комбинаторики,перестановки формула,правила комбинаторики,правило комбинаторики,примеры сочетания,сколько способов,сочетание комбинаторика,сочетание формула комбинаторики,сочетания в комбинаторике,сочетания комбинаторика,формула количества размещений,формула комбинаторика,формула комбинаторики,формула комбинаторики сочетание,формула нахождения перестановки,формула перестановки,формула перестановок,формула сочетания в комбинаторике,формулы комбинаторики,формулы комбинаторики все,формулы комбинаторики перестановки размещения сочетания примеры,формулы комбинаторики с примерами,формулы по комбинаторике,что такое комбинаторика,что такое комбинаторика в математике,элементы комбинаторики расчет количества вариантов. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и все формулы комбинаторики. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как понять комбинаторику).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же все формулы комбинаторики Онлайн?

Решить задачу все формулы комбинаторики вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Сочетание без повторений | matematicus.ru

Сочетанием без повторений называют комбинации, составленные из n элементов по m элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.7$

 

Итак, получаем число способов составления суточного наряда

Количество вариантов подбора правильной кодовой. Основные формулы комбинаторики. Комбинаторика: формула перестановки, размещения

В данной статье речь пойдет об особом разделе математики под названием комбинаторика. Формулы, правила, примеры решения задач — все это вы сможете найти здесь, прочитав статью до самого конца.

Итак, что же это за раздел? Комбинаторика занимается вопросом подсчета каких-либо объектов. Но в данном случае объектами выступают не сливы, груши или яблоки, а нечто иное. Комбинаторика помогает нам находить вероятность какого-либо события. Например, при игре в карты — какова вероятность того, что у противника есть козырная карта? Или такой пример — какова вероятность того, что из мешка с двадцатью шариками вы достанете именно белый? Именно для подобного рода задач нам и нужно знать хотя бы основы данного раздела математики.

Комбинаторные конфигурации

Рассматривая вопрос основных понятий и формул комбинаторики, мы не можем не уделить внимание комбинаторным конфигурациям. Они используются не только для формулировки, но и для решения различных Примерами таких моделей служат:

  • размещение;
  • перестановка;
  • сочетание;
  • композиция числа;
  • разбиение числа.

О первых трех мы поговорим более подробно далее, а вот композиции и разбиению мы уделим внимание в данном разделе. Когда говорят о композиции некого числа (допустим, а), то подразумевают представление числа а в виде упорядоченной суммы неких положительных чисел. А разбиение — это неупорядоченная сумма.

Разделы

Прежде чем мы перейдем непосредственно к формулам комбинаторики и рассмотрению задач, стоит обратить внимание на то, что комбинаторика, как и другие разделы математики, имеет свои подразделы. К ним относятся:

  • перечислительная;
  • структурная;
  • экстремальная;
  • теория Рамсея;
  • вероятностная;
  • топологическая;
  • инфинитарная.

В первом случае речь идет об исчисляющей комбинаторике, задачи рассматривают перечисление или подсчет разных конфигураций, которые образованы элементами множеств. На данные множества, как правило, накладываются какие-либо ограничения (различимость, неразличимость, возможность повтора и так далее). А количество этих конфигураций подсчитывается при помощи правила сложения или умножения, о которых мы поговорим немного позже. К структурной комбинаторике относятся теории графов и матроидов. Пример задачи экстремальной комбинаторики — какова наибольшая размерность графа, который удовлетворяет следующим свойствам… В четвертом пункте мы упомянули теорию Рамсея, которая изучает в случайных конфигурациях наличие регулярных структур. Вероятностная комбинаторика способна нам ответить на вопрос — какова вероятность того, что у заданного множества присутствует определенное свойство. Как нетрудно догадаться, топологическая комбинаторика применяет методы в топологии. И, наконец, седьмой пункт — инфинитарная комбинаторика изучает применение методов комбинаторики к бесконечным множествам.

Правило сложения

Среди формул комбинаторики можно найти и довольно простые, с которыми мы достаточно давно знакомы. Примером является правило суммы. Предположим, что нам даны два действия (С и Е), если они взаимоисключаемы, действие С выполнимо несколькими способами (например а), а действие Е выполнимо b-способами, то выполнить любое из них (С или Е) можно а+b способами.

В теории это понять достаточно трудно, постараемся донести всю суть на простом примере. Возьмем среднюю численность учеников одного класса — допустим, это двадцать пять. Среди них пятнадцать девочек и десять мальчиков. Ежедневно в классе назначается один дежурный. Сколько есть способов назначить дежурного по классу сегодня? Решение задачи достаточно простое, мы прибегнем к правилу сложения. В тексте задачи не сказано, что дежурными могут быть только мальчики или только девочки. Следовательно, им может оказаться любая из пятнадцати девочек или любой из десяти мальчиков. Применяя правило суммы, мы получаем достаточно простой пример, с которым без труда справится школьник начальных классов: 15 + 10. Подсчитав, получаем ответ: двадцать пять. То есть существует всего двадцать пять способов назначить на сегодня дежурного класса.

Правило умножения

К основным формулам комбинаторики относится и правило умножения. Начнем с теории. Допустим, нам необходимо выполнить несколько действий (а): первое действие выполняется с1 способами, второе — с2 способами, третье — с3 способами и так далее до последнего а-действия, выполняемого са способами. Тогда все эти действия (которых всего у нас а) могут быть выполнены N способами. Как высчитать неизвестную N? В этом нам поможет формула: N = с1 * с2 * с3 *…* са.

Опять же, в теории ничего не понятно, переходим к рассмотрению простого примера на применение правила умножения. Возьмем все тот же класс из двадцати пяти человек, в котором учится пятнадцать девочек и десять мальчиков. Только на этот раз нам необходимо выбрать двух дежурных. Ими могут быть как только мальчики или девочки, так и мальчик с девочкой. Переходим к элементарному решению задачи. Выбираем первого дежурного, как мы решили в прошлом пункте, у нас получается двадцать пять возможных вариантов. Вторым дежурным может быть любой из оставшихся человек. У нас было двадцать пять учеников, одного мы выбрали, значит вторым дежурным может быть любой из оставшихся двадцати четырех человек. Наконец, применяем правило умножения и получаем, что двоих дежурных можно избрать шестью сотнями способов. Мы данное число получили умножением двадцати пяти и двадцати четырех.

Перестановка

Сейчас мы рассмотрим еще одну формулу комбинаторики. В данном разделе статьи мы поговорим о перестановках. Рассмотреть проблему предлагаем сразу же на примере. Возьмем бильярдные шары у нас их n-ое количество. Нам нужно подсчитать: сколько есть вариантов расставить их в ряд, то есть составить упорядоченный набор.

Начнем, если у нас нет шаров, то и вариантов расстановки у нас так же ноль. А если у нас шар один, то и расстановка тоже одна (математически это можно записать следующим образом: Р1 = 1). Два шара можно расставить двумя разными способами: 1,2 и 2,1. Следовательно, Р2 = 2. Три шара можно расставить уже шестью способами (Р3=6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. А если таких шаров не три, а десять или пятнадцать? Перечислять все возможные варианты очень долго, тогда нам на помощь приходит комбинаторика. Формула перестановки поможет нам найти ответ на интересующий нас вопрос. Pn = n *P (n-1). Если попытаться упростить формулу, то получаем: Pn = n* (n — 1) *…* 2 * 1. А это и есть произведение первых натуральных чисел. Такое число называется факториалом, а обозначается как n!

Рассмотрим задачу. Вожатый каждое утро выстраивает свой отряд в шеренгу (двадцать человек). В отряде есть три лучших друга — Костя, Саша и Леша. Какова вероятность того, что они будут стоять рядом? Чтобы найти ответ на вопрос, нужно вероятность «хорошего» исхода поделить на общее количество исходов. Общее число перестановок составляет 20! = 2,5 квинтиллиона. Как посчитать количество «хороших» исходов? Предположим, что Костя, Саши и Леша — это один сверхчеловек. Тогда мы имеем всего восемнадцать субъектов. Число перестановок в данном случае равняется 18 = 6,5 квадриллионов. При всем этом, Костя, Саша и Леша могут произвольно перемещаться между собой в своей неделимой тройке, а это еще 3! = 6 вариантов. Значит всего «хороших» расстановок у нас 18! * 3! Нам остается только найти искомую вероятность: (18! * 3!) / 20! Что равняется примерно 0,016. Если перевести в проценты, то это получается всего 1,6%.

Размещение

Сейчас мы рассмотрим еще одну очень важную и необходимую формулу комбинаторики. Размещение — это наш следующий вопрос, который предлагаем вам рассмотреть в данном разделе статьи. Мы идем на усложнение. Предположим, что мы хотим рассмотреть возможные перестановки, только не из всего множества (n), а из меньшего (m). То есть мы рассматриваем перестановки из n предметов по m.

Основные формулы комбинаторики стоит не просто заучивать, а понимать их. Даже несмотря на то, что они усложняются, так как у нас не один параметр, а два. Предположим, что m = 1, то и А = 1, m = 2, то А = n * (n — 1). Если далее упрощать формулу и перейти на запись при помощи факториалов, то получится вполне лаконичная формула: А = n! / (n — m)!

Сочетание

Мы рассмотрели практически все основные формулы комбинаторики с примерами. Теперь перейдем к заключительному этапу рассмотрения базового курса комбинаторики — знакомство с сочетанием. Сейчас мы будем выбирать m предметов из имеющихся у нас n, при этом всем мы будем выбирать всеми возможными способами. Чем же тогда это отличается от размещения? Мы не будем учитывать порядок. Этот неупорядоченный набор и будет являться сочетанием.

Сразу введем обозначение: С. Берем размещения m шариков из n. Мы перестаем обращать внимание на порядок и получаем повторяющиеся сочетания. Чтобы получить число сочетаний нам надо поделить число размещений на m! (m факториал). То есть С = А / m! Таким образом, способов выбрать из n шаров немножко, равняется примерно столько, сколько выбрать почти все. Этому есть логическое выражение: выбрать немножко все равно, что выкинуть почти все. Еще в данном пункте важно упомянуть и то, что максимальное число сочетаний можно достигнуть при попытке выбрать половину предметов.

Как выбрать формулу для решения задачи?

Мы подробно рассмотрели основные формулы комбинаторики: размещение, перестановка и сочетание. Теперь наша задача — облегчить выбор необходимой формулы для решения задачи по комбинаторике. Можно воспользоваться следующей довольно простой схемой:

  1. Задайте себе вопрос: порядок размещения элементов учитывается в тексте задачи?
  2. Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой сочетания (С = n! / (m! * (n — m)!)).
  3. Если ответ нет, то необходимо ответить на еще один вопрос: все ли элементы входят в комбинацию?
  4. Если ответ да, то воспользуйтесь формулой перестановки (Р = n!).
  5. Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой размещения (А = n! / (n — m)!).

Пример

Мы рассмотрели элементы комбинаторики, формулы и некоторые другие вопросы. Теперь перейдем к рассмотрению реальной задачи. Представьте, что перед вами лежат киви, апельсин и банан.

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить? Для этого воспользуемся формулой перестановок: Р = 3! = 6 способов.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать один фрукт? Это очевидно, у нас всего три варианта — выбрать киви, апельсин или банан, но применим формулу сочетаний: С = 3! / (2! * 1!) = 3.

Вопрос третий: сколькими способами можно выбрать два фрукта? Какие есть у нас вообще варианты? Киви и апельсин; киви и банан; апельсин и банан. То есть три варианта, но это легко проверить при помощи формулы сочетания: С = 3! / (1! * 2!) = 3

Вопрос четвертый: сколькими способами можно выбрать три фрукта? Как видно, выбрать три фрукта можно одним-единственным способом: взять киви, апельсин и банан. С = 3! / (0! * 3!) = 1.

Вопрос пятый: сколькими способами можно выбрать хотя бы один фрукт? Это условие подразумевает, что мы можем взять один, два или все три фрукта. Следовательно, мы складываем С1 + С2 + С3 =3 + 3 + 1 = 7. То есть у нас есть семь способов взять со стола хотя бы один фрукт.

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *…*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая — из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =…n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*…*n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Число сочетаний

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений .

Явные формулы

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту

При фиксированном значении n производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n по k является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

Ссылки

  • Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990.
  • Вычисление числа сочетаний онлайн

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Число сочетаний» в других словарях:

    70 семьдесят 67 · 68 · 69 · 70 · 71 · 72 · 73 40 · 50 · 60 · 70 · 80 · 90 · 100 Факторизация: 2×5×7 Римская запись: LXX Двоичное: 100 0110 … Википедия

    Световое число, условное число, однозначно выражающее внеш. условия при фотосъёмке (обычно яркость объекта съёмки и светочувствительность применяемого фотоматериала). Любому значению Э. ч. можно подобрать неск. сочетаний диафрагменное число… … Большой энциклопедический политехнический словарь

    Форма числа, выделяющая два предмета как по отношению к единичному предмету, так и по отношению к множеству предметов. В современном русском языке эта форма не существует, но остатки ее влияния сохранились. Так, сочетания два стола (ср. мн. ч.… … Словарь лингвистических терминов

    Комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… … Математическая энциклопедия

    В комбинаторике сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания… … Википедия

    Занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера

    1) то же, что математический Комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов… … Большая советская энциклопедия

    — (греч. paradoxos неожиданный, странный) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле два противоположных утверждения, для… … Философская энциклопедия

    — (или принцип включений исключений) комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом … Википедия

    Математическая теория, занимающаяся определением числа различных способов распределения данных предметов в известном порядке; имеет особенно важное значение в теории уравнений и в теории вероятностей. Простейшие задачи этого рода заключаются в… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Книги

  • Число судьбы. Гороскоп совместимости. Желания. Страсти. Фантазии (количество томов: 3) , Майер Максим. Число судьбы. Как составить индивидуальный нумерологический прогноз. Нумерология — одна из самых древних эзотерических систем. Невозможно точно установить времяее возникновения. Однако в…

Мы иногда делаем выбор из множества без учета порядка . Такой выбор называется комбинацией . Если вы играете в карты, например, вы знаете, что в большинстве ситуаций порядок, в котором вы держите карты, не имеет значения.

Пример 1 Найдите все комбинации 3-х букв, взятых из набора в 5 букв {A, B, C, D, E}.

Решение Эти комбинации следующие:
{A, B, C}, {A, B, D},
{A, B, E}, {A, C, D},
{A, C, E}, {A, D, E},
{B, C, D}, {B, C, E},
{B, D, E}, {C, D, E}.
Существует 10 комбинаций из трех букв, выбранных из пяти букв.

Когда мы находим все комбинации из набора с 5 объектами, если мы берем 3 объекта за один раз, мы находим все 3-элементные подмножества. В таком случае порядок объектов не рассматривается. Тогда,
{A, C, B} называется одним и тем же набором как и {A, B, C}.

Подмножество
Множество A есть подмножеством B, и означает что A это подмножество и/или совпадает с B если каждый элемент A является элементом B.

Элементы подмножество не упорядочены. Когда рассматриваются комбинации, не рассматривается порядок!

Комбинация
Комбинация, содержащая k объектов является подмножеством, состоящим из k объектов.

Мы хотим записать формулу для вычисления число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно.

Обозначения комбинации
Число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно, обозначается n C k .

Мы называем n C k число сочетаний . Мы хотим записать общую формулу для n C k для любого k ≤ n. Во-первых, это верно, что n C n = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножестов с n элементами, есть само множество. Во-вторых, n C 1 = n, потому что множество с n элементами имеет только n подмножеств с 1 элементом в каждом. Наконец, n C 0 = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножество с 0 элементами, то есть пустое множество ∅. Чтобы рассмотреть другие сочетания, давайте вернемся к примеру 1 и сравним число комбинаций с числом перестановок.

Обратите внимание, что каждая комбинация из 3-х элементов имеет 6, или 3!, перестановок.
3! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5 . 4 . 3,
so
.
В общем, число сочетаний из k элементов, выбранных из n объектов, n C k раз перестановок этих элементов k!, должно быть равно числу перестановок n элементов по k элементов:
k!. n C k = n P k
n C k = n P k /k!
n C k = (1/k!). n P k
n C k =

Комбинации k объектов из n объектов
Общее число комбинаций к элементов из n объектов обозначается n C k , определяется
(1) n C k = ,
или
(2) n C k =

Другой тип обозначения для n C k это биноминальный коэффициент . Причина для такой терминологии будет понятна ниже.

Биноминальный коэффициент

Пример 2 Вычислите , используя формулы (1) и (2).

Решение
a) Согласно (1),
.
b) Согласно (2),


Имейте в виду, что не означает n/k.

Пример 3 Вычислите и .

Решение Мы используем формулу (1) для первого выражения и формулу (2) для второго. Тогда
,
используя (1), и
,
испоьлзуя формулу (2).

Обратите внимание, что
,
и используя результат примера 2 дает нам
.
Отсюда вытекает, что число 5-ти элементного подмножества из множества 7 элементов то же самое, что и число 2-элементного подмножества множества из 7 элементов. Когда 5 элементов выбираются из набора, они не включают в себя 2 элемента. Чтобы увидеть это, рассмотрим множество {A, B, C, D, E, F, G}:


В целом, мы имеем следующее. Этот результат дает альтернативный способ вычисления комбинации.

Подмножества размера k и размера
и n C k = n C n-k
Число подмножеств размера к множества с n объектами такое же, как и число подмножеств размера n — к. Число сочетаний k объектов из множества n объектов, такое же как и число сочетаний из n объектов, взятых одновременно.

Теперь мы будем решать задачи с комбинациями.

Пример 4 Мичиганская лотерея. Проводящаяся в штате Мичиган два раза в неделю лотерея WINFALL имеет джек-пот, который, по крайней мере, равен 2 млн. долларов США. За один доллар игрок может зачеркнуть любые 6 чисел от 1 до 49. Если эти числа совпадают с теми, которые выпадают при проведении лотереи, игрок выигрывает. (

На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется N и N! (читается «эн факториал»).

В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.

Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.

Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).

Источники:

  • количество сочетаний

Факториал натурального числа – это произведение всех предыдущих натуральных чисел, включая само число. Факториал нуля равен единице. Кажется, что посчитать факториал числа очень просто – достаточно перемножить все натуральные числа, не превышающие заданное. Однако, значение факториала настолько быстро возрастает, что некоторые калькуляторы не справляются с этой задачей.

Вам понадобится

  • калькулятор, компьютер

Инструкция

Чтобы посчитать факториал натурального числа перемножьте все , не превосходящие данное. Каждое число учитывается только один раз. В виде формулы это можно записать следующим образом:n! = 1*2*3*4*5*…*(n-2)*(n-1)*n, гдеn – натуральное число, факториал которого требуется посчитать.
0! принимается равным единице (0!=1).При возрастании аргумента значение факториала очень быстро увеличивается, поэтому обычный (бухгалтерский) уже для факториала 15-ти вместо результата может выдать об ошибке.

Чтобы посчитать факториал большого натурального числа, возьмите инженерный калькулятор. То есть, такой калькулятор на клавиатуре которого имеются обозначения математических функций (cos, sin, √). Наберите на калькуляторе исходное число, а затем нажмите кнопку вычисления факториала. Обычно такая кнопка как «n!» или аналогично (вместо «n» может стоять «N» или «х», но восклицательный знак «!» в обозначении факториала должен присутствовать в любом случае).
При больших значениях аргумента результаты вычислений начинают отображаться в «экспоненциальном» (показательном) виде. Так, например, факториал 50 будет представлен в форме: 3,0414093201713378043612608166065e+64 (или похожем). Чтобы получить результат вычислений в обычном виде, припишите к числу, показанному до символа «е», столько нулей, сколько указано после «е+» (если, конечно, хватит места).

Формулы комбинирования перестановок, приемы с примерами

Предположим, что набор из n объектов имеет n₁ объектов одного типа, n₂ второго типа, n₃ третьего типа и так далее, при n = n₁ + n₂ + n₃ +. . . + n k , Тогда количество различимых перестановок n объектов равно


Пример 9: Сколько различимых способов можно написать буквы в BANANA?

Решение: Это слово состоит из шести букв, из которых три — А, две — Н и одна — Б.Таким образом, количество различимых способов написания букв составляет:

Количество перестановок n вещей, принимающих r за раз, при которых конкретная вещь никогда не встречается =.


Пример 10: Сколько разных трехбуквенных слов можно составить из пяти гласных, если гласная «А» никогда не будет включена?

Решение: Всего букв (n) = 5

Таким образом, общее количество путей = n-1 P r = 5-1 P 3 = 4 P 3 = 24.

Количество перестановок n разных вещей, выполняемых все одновременно, в которых m указанных вещей всегда объединяются = m! (N-m + 1).


Пример 11: Сколько способов мы можем расположить пять гласных, a, e, i, o и u, если:

  1. две гласные e и i всегда вместе.
  2. две гласные e и i никогда не совпадают.

Решение: 1. Используя формулу m! (N — m + 1)!

Здесь n = 5, m = 2 (e и i)

⇒ Требуемый номер.путей = 2! (5 — 2 + 1)! = 2 × 4! = 48

2. Количество способов, когда e & i никогда не вместе

= общее количество. способов расстановки 5 гласных

— нет. способов, когда e & i вместе = 5! — 48 = 72

Или используйте n! — м! (П — м + 1)! = 5! — 48 = 72

Количество перестановок n разных вещей, принимающих все одновременно, при этом m указанных вещей никогда не объединяются = n! -M! (N-m + 1)!

Количество перестановок «n», взятых все одновременно, когда «p» одинаковы одного вида, «q» одинаковы для второго, «r» одинаковы для третьего и т. Д.


Пример 12: Сколько разных слов можно составить из букв мира MISSISSIPPI.

Решение: В слове MISSISSIPPI есть 4 «I», «4S» и «2P».

Таким образом, необходимое количество слов =

Количество перестановок ‘n’ разных вещей, принимая ‘r’ за раз, когда каждая вещь может повторяться ‘r’ раз = nr


Пример 13: Как разными способами можно вручить 5 призов 4 мальчикам, когда каждый мальчик имеет право на получение всех призов?

Решение: Любой из призов можно вручить 4 способами; тогда любой из оставшихся 4-х призов можно вручить еще раз 4-мя способами, так как он может быть получен даже мальчиком, который уже получил приз.

Следовательно, можно раздать 5 призов 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ способами.

Перестановок с повторением | Суперпроф

Введение

Когда мы слышим слово «комбинация» в повседневной жизни, мы сразу же думаем о сборе вещей в виде набора или группы. Например, если кто-то говорит, что в моей миске есть комбинация яблок, моркови и бананов, мы сразу думаем, что в миске три предмета. Нас не интересует порядок, в котором эти три предмета были помещены в чашу.

В математике комбинация означает количество способов, которыми различные объекты объединяются в набор. Порядок элементов в комбинации не важен. Мы всегда изучаем комбинацию с перестановкой в ​​математике, потому что между этими двумя терминами есть много общего. Основное различие между комбинацией и перестановкой состоит в том, что порядок имеет значение в перестановке , тогда как в комбинации он не имеет значения. Другими словами, мы можем сказать, что перестановка представляет собой упорядоченную комбинацию .

Вы уже читали приведенный выше пример простой комбинации, когда в миску кладут три предмета. Теперь рассмотрим другой сценарий.

Гарри хочет создать пин-код, выбрав 4 цифры из набора первых пяти целых чисел (0,1,2,3,4). Предположим, что его выбранный пин-код — 4013. Может ли он переставить цифры на 3014 или 0143 и т. Д.?

Конечно, нет, важен порядок цифр. Если изменить порядок цифр, то пин-код работать не будет. Это означает, что выбор кода из первых пяти целых чисел является примером перестановки.

Лучшие доступные репетиторы по математике

Поехали

Типы перестановок

Есть два типа перестановок:

  • Перестановки с повторением
  • Перестановки без повторений

В этой статье мы обсудим перестановки с повторением .

Перестановки с повторением

Мы знаем, что в перестановках важен порядок элементов. Перестановки с повторением означают, что мы можем выбрать один элемент дважды.Формула для вычисления перестановок с повторениями приведена ниже:

Здесь:

n = общее количество элементов в наборе

k = количество элементов, выбранных из набора

Рассмотрим следующий пример:

Из набора первых 10 натуральных чисел вам предлагается составить четырехзначное число. Сколько разных перестановок возможно?

Здесь сначала нам нужно определить, можем ли мы выбрать цифру дважды или нет.У нас могут быть четырехзначные числа, такие как 1000, 1002, 3032 и 4044. Во всех этих числах одна цифра повторяется дважды или трижды. Следовательно, это означает, что это пример перестановок с повторением.

Общее количество элементов в наборе равно 10, а количество цифр, которые мы хотим выбрать из этого набора, равно 4. Таким образом, мы получим перестановки, подставив значения в следующую формулу:

Следовательно, Возможны 10000 перестановок, если мы хотим составить четырехзначное число из набора первых 10 натуральных чисел.

Иногда нам задают задачу, в которой идентичные элементы типа 1 повторяются «p» раз, типа 2 повторяются «q» раз, типа 3 повторяются «r» раз и т. Д. . Возникает вопрос, что делать в этом случае? Что ж, ответ прост. Существует отдельная формула для вычисления перестановок в таких задачах.

Поскольку элементы повторяются, такие сценарии также являются примерами перестановок с повторением. Формула, которую следует использовать при вычислении перестановок в таких случаях, приведена ниже:

Давайте решим следующий пример с помощью приведенной выше формулы, чтобы прояснить всю концепцию.

Сколько восьмизначных чисел можно составить из чисел 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4?

Здесь n = 8, p = 3, q ​​= 3 и r = 2.

В этом примере порядок элементов имеет значение, и цифры повторяются. Мы подставим указанные выше значения в формулу ниже:

Следовательно, возможны 560 перестановок.

Давайте решим еще несколько примеров ниже:

Пример 1

Каким образом можно расположить алфавиты слова EXCELLENT ?

Решение

Общее количество элементов в слове = n = 9

E повторяется три раза, следовательно, p = 3

L повторяется 2 раза, следовательно, q = 2

Замените эти значения в формуле ниже на получить количество способов расположения букв этого слова:

Следовательно, буквы в слове ОТЛИЧНО могут быть расположены 30240 способами.

Пример 2

Судно должно поднять одновременно восемь флагов (два красных, два синих и четыре зеленых). Сколько разных комбинаций флагов можно поднять одновременно?

Решение

Здесь:

Общее количество флагов = n = 8

Количество красных флагов = p = 2

Количество синих флагов = q = 2

Количество зеленых флагов = r = 4

Это является примером перестановки с повторением, потому что элементы набора повторяются, и их порядок важен.

Поместите указанные выше значения в формулу ниже, чтобы получить количество перестановок:

Следовательно, флаги можно поднять 420 способами.

Пример 3

Джон владеет парой обуви шести цветов (две красные, две синих и две черные). Он хочет поставить все эти пары обуви на полку для обуви. Сколько разных расстановок обуви возможно?

Решение

Здесь:

Общее количество пар обуви = n = 6

Количество красных туфель = p = 2

Количество синих туфель = q = 2

Количество задних туфель = r = 2

Это пример перестановки с повторением, потому что элементы повторяются, и их порядок важен.

Поместите указанные выше значения в формулу ниже, чтобы получить количество перестановок:

Таким образом, обувь может быть размещена на стойке для обуви 90 способами.

Пример 4

Каким образом можно расположить алфавиты слова ELECTRIC ?

Решение

Общее количество элементов в слове = n = 8

E повторяется три раза, следовательно, p = 2

C повторяется 2 раза, следовательно, q = 2

Замените эти значения в формуле ниже на получить количество способов, которыми могут быть расположены буквы этого слова:

Следовательно, буквы в слове ELECTRIC могут быть расположены 10080 способами.

Пример 5

Человек должен выбрать трехзначное число из набора следующих семи чисел, чтобы получилось трехзначное число.

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Сколько возможных вариантов расположения цифр?

Решение

Трехзначное число может иметь 2 или три одинаковых числа. Точно так же в номере важен порядок цифр.

Предусмотрено, что человек может выбрать 3 цифры из набора 7 чисел.Следовательно, n = 7 и k = 3. Подставьте эти значения в формулу ниже, чтобы получить количество возможных расположений.

Следовательно, возможны 343 различных расположения.

Как рассчитать вероятность комбинаций — Видео и стенограмма урока

Формула комбинаций

Глядя на уравнение для вычисления комбинаций, вы можете видеть, что факториалы используются во всей формуле. Помните, что формула для расчета комбинаций: n C r = n ! / r ! * ( n r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.Давайте посмотрим на примере, как рассчитать комбинацию.

На этой неделе вы можете взять напрокат десять новых фильмов на DVD. Джон хочет выбрать три фильма для просмотра в эти выходные. Сколько комбинаций фильмов он может выбрать?

В этой задаче Джон выбирает три фильма из десяти новых выпусков. 10 будет представлять переменную n , а 3 будет представлять переменную r . Итак, наше уравнение будет выглядеть так: 10C3 = 10! / 3! * (10 — 3) !.

Первый шаг, который необходимо сделать, — это вычесть 10 минус 3 в нижней части этого уравнения.10 — 3 = 7, поэтому наше уравнение выглядит как 10! / 3! * 7 !.

Затем нам нужно развернуть каждый из наших факториалов. 10! будет равно 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 сверху и 3! * 7! будет 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1. Самый простой способ решить эту проблему — исключить подобные термины. Мы видим, что есть 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу нашего уравнения. Эти условия могут быть отменены. Теперь мы видим, что в нашем уравнении 10 * 9 * 8 слева вверху и 3 * 2 * 1 слева внизу.Отсюда мы можем просто размножаться. 10 * 9 * 8 = 720 и 3 * 2 * 1 = 6. Итак, наше уравнение теперь 720/6.

Чтобы закончить эту задачу, мы разделим 720 на 6 и получим 120. Теперь Джон знает, что на этой неделе он мог выбрать 120 различных комбинаций новых фильмов.

Вероятность

Для расчета вероятности наступления события воспользуемся формулой: количество благоприятных исходов / количество общих исходов.

Давайте рассмотрим пример того, как рассчитать вероятность наступления события.На кассе в магазине DVD Джон также купил пакет жевательных резинок. В мешочке жевательных резинок было пять красных, три зеленых, четыре белых и восемь желтых жевательных резинок. Какова вероятность того, что Джон, нарисовавший наугад, выберет желтую жевательную резинку?

Джон знает, что если сложить все жевательные резинки вместе, в сумке окажется 20 жевательных шариков. Итак, общее количество исходов равно 20. Джон также знает, что есть восемь желтых жевательных резинок, которые представляют количество благоприятных исходов.Таким образом, вероятность случайного выбора желтой жевательной резинки из мешочка равна 8 из 20.

Однако все дроби должны быть упрощены. Итак, и 8, и 20 делятся на 4. Итак, 8/20 уменьшится до 2/5. Джон знает, что вероятность того, что он выберет желтую жевательную резинку из мешка наугад, составляет 2/5.

Вероятность комбинаций

Чтобы подсчитать общее количество исходов и благоприятных исходов, вам может потребоваться вычислить комбинацию. Помните, что комбинация — это способ расчета событий, порядок которых не имеет значения.

Рассмотрим пример. Чтобы насладиться своими фильмами, Джон решает заказать пиццу. Глядя на меню, Джон видит, что Король пиццы предлагает восемь разных начинок (четыре мяса и четыре овоща). Начинки: пепперони, ветчина, бекон, колбаса, перец, грибы, лук и оливки. У Джона есть купон на пиццу с 3 начинками. Выбирая ингредиенты наугад, какова вероятность того, что Джон выберет пиццу только с мясом?

Джон ищет вероятность выбора пиццы только с мясом.Для этого ему нужно будет подсчитать общее количество благоприятных исходов по всем возможным исходам. Давайте сначала посчитаем общее количество исходов. Чтобы рассчитать общие результаты, мы будем использовать формулу для комбинаций, потому что порядок начинки пиццы не имеет значения. Формула для комбинаций: n C r = n ! / r ! * ( n r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Джон выбирает три начинки из восьми, предложенных Pizza King. 8 будет представлять наш член n , а 3 будет представлять наш член r . Итак, наше уравнение будет иметь вид 8C3 = 8! / 3! * (8 — 3) !.

Чтобы решить это уравнение, нам нужно вычесть 8 — 3 = 5. Итак, наше уравнение теперь выглядит как 8! / 3! * 5 !. Затем нам нужно раскрыть каждый из этих факториалов. 8! будет равно 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, деленное на 3! * 5 !, что будет равно 3 * 2 * 1 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

Помните, чтобы упростить эту задачу, мы можем сократить одинаковые члены как в верхней, так и в нижней части этого уравнения. Мы видим, что есть 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу. Эти условия могут быть отменены. Умножив сверху 8 * 7 * 6, получим 336. Внизу 3 * 2 * 1, что равно 6. Разделив 336 на 6, мы можем увидеть, что общее количество пицц, которые может заказать Джон, равно 56.

Теперь Джон должен найти количество благоприятных исходов. Джон хотел знать вероятность выбора пиццы только с мясом.Глядя на меню, мы видим, что есть четыре вида мяса на выбор, а Джон выбирает только три.

Это еще один пример проблемы комбинирования, потому что порядок, в котором выбираются мясные начинки, не имеет значения. Чтобы рассчитать количество благоприятных исходов, нам нужно использовать формулу комбинации n C r = n ! / r ! * ( n r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Поскольку существует четыре вида мяса, и Джон выбирает три, член n будет равен 4, а член r будет равен 3. Наше уравнение будет выглядеть так: 4C3 = 4! / 3! * (4 — 3) !. Затем нам нужно вычесть 4–3 снизу, что равно 1. Итак, наше уравнение теперь выглядит как 4! / 3! * 1 !.

Теперь давайте расширим верхнюю и нижнюю части нашего уравнения, чтобы найти общие члены, которые мы можем сократить. Развернув верх, мы получим 4 * 3 * 2 * 1, а нижний будет 3 * 2 * 1 * 1.Мы видим, что как сверху, так и снизу есть 3 * 2 * 1, которые можно отменить.

Джон теперь может видеть, что есть только четыре комбинации пиццы с 3 начинками, которые будут содержать только мясо. Чтобы рассчитать вероятность, Джону нужно будет использовать количество благоприятных исходов, равное 4, по сравнению с общим количеством исходов, равным 56. Вероятность будет 4/56, которую можно уменьшить до 1/14. Таким образом, вероятность того, что Джон выберет пиццу с 3 начинками, которая будет содержать только мясо, равна 1/14.

Сводка урока

Помните, что комбинации — это способ вычисления общих результатов события, при котором порядок результатов не имеет значения. Для расчета комбинаций воспользуемся формулой n C r = n ! / r ! * ( n r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Чтобы определить вероятность события, вам может потребоваться найти комбинации.Чтобы рассчитать вероятность наступления события, вы воспользуетесь формулой количества благоприятных исходов по отношению к количеству общих исходов.

Результаты обучения

По завершении этого урока вы сможете:

  • Определить формулы для расчета комбинаций и вероятностей
  • Вычислить факториалы
  • Решать вероятностные задачи, которые также содержат комбинации

В чем разница между формулой перестановки и формулой комбинации?

Вот краткая версия.

Возьмем для примера звон колоколов в церкви.

Перестановка — это порядок колоколов. Вы выясняете наилучший порядок, чтобы позвонить им.

Комбинация — это выбор колокольчиков. Вы выбираете колокола, в которые звоните. Если у вас слишком много колокольчиков, вы должны сначала выбрать их, а затем подумать о том, чтобы заказать их.

Это приводит к знакомому тождеству: (n P r) = (n C r) * r!

Способ заказа r товаров из n состоит в том, чтобы сначала выбрать r товаров из n , а затем заказать r товаров ( r! )

И это означает (п P r) = п! / (п-р)! и (n C r) = n! / ((n-r)! * r!)

Но вы хотите знать, как запомнить это навсегда?

Я большой поклонник мышления первых принципов.Чтобы понять проблему, докопитесь до ее сути и рассмотрите ее.

Отсутствие этого обычно является источником путаницы: если я не понимаю, как все работает, я не знаю, где вешать концепции. Моя ментальная структура не завершена, поэтому я решаю просто ее запомнить.

Как вы понимаете, это не идеально. Поэтому время от времени я позволяю себе извлекать что-то из источника и развивать интуицию в отношении того, как все работает.

На этот раз мы развиваем интуицию для перестановок и комбинаций.

Например, знаете ли вы, почему формула комбинации равна (n C r)? Откуда это взялось? И почему здесь используются факториалы?

Начнем с источника. Факториалы, перестановки и комбинации родились в результате совместной игры математиков, во многом подобно тому, как Стив Джобс и Стив Возняк основали Apple, играя вместе в своем гараже.

Так же, как Apple стала полноценной прибыльной компанией, простой факториал, ! , стал атомом целой области математики: комбинаторики.

Забудьте обо всем, давайте начнем думать снизу вверх.

Первый известный интересный вариант использования пришел из церквей в 17 веке.

Задумывались ли вы, как звонят в колокола в церквях? Есть машина, которая их «обзывает» по порядку. Мы перешли на машины, потому что колокола слишком большие. Также есть тонны колоколов.

Как люди определили лучшую последовательность, чтобы позвонить им? Что, если они захотят что-то поменять? Как они могли найти лучший звук? На каждой колокольне было до 16 колоколов!

Невозможно изменить скорость звонка — машины звонят только один звонок каждую секунду.Единственное, что вы могли сделать, — это изменить порядок колоколов. Итак, эта задача заключалась в определении наилучшего порядка.

Можем ли мы по ходу узнать все возможные заказы? Мы хотим знать все возможные заказы, чтобы понять, стоит ли пробовать их все.

Звонарь Фабиан Стедман принял вызов.

Начал с 2-х колоколов. В каком порядке он мог звонить в эти колокола? [1]

1 и 2.
или
2 и 1.

Это имело смысл.Другого пути не было.

Как насчет трех колоколов?

1, 2 и 3.
1, 3 и 2.

Затем, начиная со второго звонка,

2, 1 и 3.
2, 3 и 1.

Затем, начиная с третьего звонка,

3, 1 и 2.
3, 2 и 1.

Итого, 6.

Затем он понял, что это очень похоже на два колокола!

Если он установил первый звонок, то количество способов заказать оставшиеся два колокола было всегда два.

Сколько способов он мог починить первый звонок? Любой из 3 колокольчиков может быть одним!

Хорошо, он продолжил. Затем он достиг 5 колоколов.

Именно тогда он понял, что делать что-то вручную — это громоздко. У вас так много времени в день, вам нужно звонить в колокольчики, вы не можете застрять, вытягивая все возможные колокольчики. Был ли способ быстро в этом разобраться?

Он вернулся к своему пониманию.

Если у него было 5 колоколов, и он установил первый колокол, все, что ему нужно было сделать, это выяснить, как заказать 4 колокола.

На 4 колокола? Что ж, если у него было 4 колокола, и он установил первый колокол, все, что ему нужно было сделать, это выяснить, как заказать 3 колокола.

И он умел это делать!

Итак, заказ 5 звонков = 5 * заказ 4 звонков.

Заказ 4 звонков = 4 * заказ 3 звонков

Заказ 3-х звонков = 3 * заказ 2-х звонков.

.. Вы видите закономерность, не так ли?

Интересный факт: это ключ к методике программирования, называемой рекурсией.

Он тоже. Хотя это заняло у него гораздо больше времени, так как никто рядом с ним этого еще не обнаружил. [2]

Таким образом, он выяснил, что заказ 5 звонков = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 .

Эта формула упорядочения в 1808 году стала известна как факториал.

Мы считаем факториальную нотацию основой, но идея существовала задолго до того, как получила название. Только когда французский математик Кристиан Крамп заметил, что его используют в нескольких местах, он назвал его факториалом.

Такой порядок колоколов называется перестановкой.

Перестановка — это упорядочение элементов.

Когда я чему-то учусь, я думаю, это помогает смотреть на вещи под разными углами, чтобы укрепить понимание.

Что, если бы мы попытались вывести приведенную выше формулу напрямую, не пытаясь свести проблему к меньшему количеству звонков?

У нас есть 5 мест, верно?

Сколько способов выбрать первый звонок? 5 , потому что это количество звонков, которое у нас есть.


Второй звонок? Итак, мы израсходовали один колокольчик, когда поставили его на первую позицию, так что у нас осталось 4 колокольчика.


Третий звонок? Итак, мы выбрали первые два, поэтому на выбор осталось только 3 колокольчика.


Четвертый звонок? Осталось всего 2 колокольчика, так что 2 варианта.
Пятый звонок? Остался только 1, значит, вариант 1.

И вот оно, общее количество заказов 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Итак, у нас есть первая общая формула.

Количество способов заказа N шт. N!

Теперь мы столкнулись с другой проблемой. Царь приказал сделать новые колокола для каждой церкви. Некоторые из них хороши, некоторые нормальны, некоторые заставят вас оглохнуть. Но каждый уникален. Каждый издает свой звук. Оглушительный колокол в окружении красивых колоколов может звучать величественно.

Но наша колокольня все еще вмещает 5 колоколов, поэтому нам нужно выяснить, как лучше всего заказать из 8 колоколов, которые сделали опытные мастера-колокольни.

Используя приведенную выше логику, мы можем продолжить.

Для первого звонка мы можем выбрать любой из 8 колоколов.


Для второго звонка мы можем выбрать любой из оставшихся 7 звонков … и так далее.


В итоге получаем 8 * 7 * 6 * 5 * 4 возможных порядков 8 звонков в 5 местах.

Если вы знакомы с формулой версии (n P r), то это n! / (п-р)! , не волнуйтесь, мы тоже скоро получим это!

Плохой способ получить это число — умножить числитель и знаменатель на 3! в нашем примере выше —

получаем 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1/3 * 2 * 1 = 8! / 3! .

Но это не помогает нам понять, почему эта формула работает. Прежде чем мы дойдем до этого, давайте посмотрим на выбор вещей или Комбинацию.

Теперь, когда мы знаем, как заказывать вещи, мы можем понять, как выбирать вещи!

Рассмотрим ту же проблему. Есть колокольня с 5 колоколами, а у вас 8 колоколов. Однако прямо сейчас вы не хотите выяснять порядок колокольчиков (помните, что такое перестановка).

Вместо этого вы хотите выбрать 5 лучших колокольчиков, и пусть кто-нибудь другой с лучшим музыкальным вкусом определит порядок.По сути, мы разбиваем проблему на части: во-первых, мы выясняем, какие колокола выбрать. Далее разбираемся, как заказать выбранные колокольчики.

Как выбрать колокольчики? Это «комбинация» перестановок и комбинаций.

Комбинация — это выбор. Вы избирательны. Вы выбираете 5 колокольчиков из 8, изготовленных вашими мастерами.

Поскольку мы знаем, как заказывать колокольчики, мы собираемся использовать эту информацию, чтобы выяснить, как выбирать колокольчики.Звучит невозможно? Подождите, пока не увидите красивую математику.

Представим, что все колокола выстроены в линию.

Прежде чем найти все способы выбора колокольчиков, давайте сосредоточимся на одном способе выбора колокольчиков.

Один из способов — выбрать любые 5 наугад. Это не сильно помогает нам решить проблему, поэтому попробуем другой способ.

Ставим колокольчики в ряд и выбираем первые 5. Это один из способов выбрать колокольчики.

Обратите внимание, что даже если мы поменяем положение первых 5 звонков, выбор не изменится.Это все тот же способ выбрать 5 уникальных колокольчиков.

Это верно и для последних трех колоколов.

А теперь красивый математический трюк — для этого единственного способа выбрать 5 колокольчиков, каков весь порядок 8 колоколов, в котором мы выбираем именно эти 5 колокольчиков? На изображении выше это все порядки пяти колоколов ( 5! ) и все остальные три колокольчика ( 3! ).

Таким образом, для каждого отдельного способа выбора 5 колокольчиков у нас есть ( 5! * 3! ) порядков 8 колоколов.

Какое общее количество возможных заказов 8 колоколов? 8! .

Помните, что для каждого выбора первых 5 звонков у нас есть ( 5! * 3! ) порядков 8 звонков, которые дают одинаковый выбор.

Затем, если мы умножим количество способов выбора первых 5 колокольчиков на все возможные порядки одного выбора, мы должны получить общее количество порядков.

  Способы выбрать 5 звонков * заказы на один выбор = Всего заказов
  

Итак,

  Способы выбора 5 звонков = общее количество возможных заказов / общее количество заказов на один выбор. 

В математике это становится:

  (8 C 5) = 8! / (5! * 3!)
  

И вот, мы нашли интуитивное объяснение того, как выбрать 5 вещей из 8.

Теперь мы можем обобщить это. Если у нас есть N вещей, и мы хотим выбрать R из них, это означает, что мы проводим линию в R.

Это означает, что оставшиеся позиции будут N-R . Итак, на один выбор из R позиций у нас R! * (NR)! заказов, которые дают те же товары R.

На все варианты выбора R товаров у нас N! / (R! * (N-R)!) возможностей.

Количество способов выбрать r элементов из n равно (n C r) = n! / (г! * (п-р)!)

В разговорной речи (n C r) также произносится как n select r , что помогает укрепить идею о том, что комбинации предназначены для выбора предметов.

Когда комбинация сделана и вычищена пылью, давайте вернемся ко второй части нашей работы.Наш дорогой друг выбрал 5 лучших колокольчиков, вычислив все возможные комбинации из 5 колокольчиков.

Теперь наша задача — найти идеальную мелодию, вычислив количество заказов.

Но это легкое дело. Мы уже умеем заказывать 5 штук. Это 5! , и мы закончили.

Итак, чтобы переставить (упорядочить) 5 элементов из 8, мы сначала выбираем 5 элементов, а затем заказываем 5 элементов.

Другими словами,

  (8 P 5) = (8 C 5) * 5!
  

А если расширить формулу, (8 P 5) = (8! / (5! * 3!)) * 5!

(8 п 5) = 8! / 3! .

И мы прошли полный цикл к нашей исходной формуле, выведенной правильно.

Количество способов заказать r товаров из n составляет (n P r) = n! / (п-р)!

Я надеюсь, что это делает разницу между перестановками и комбинациями кристально ясной.

Перестановки — это порядки, а комбинации — это варианты.

Чтобы упорядочить N элементов, мы нашли два интуитивно понятных способа выяснить ответ. Оба ведут к ответу: N! .

Чтобы переставить 5 из 8 элементов, вам сначала нужно выбрать 5 элементов, а затем их упорядочить. Вы выбираете, используя (8 C 5) , затем заказываете 5, используя 5! .

И интуиция для выбора R из N заключается в выяснении всех порядков ( N! ) и делении по порядкам, где первый R и последний NR остаются прежними ( R! и (NR)! ).

И это все, что касается перестановок и комбинаций.

Каждая продвинутая перестановка и комбинация используют это как основу. Сочетание с заменой? Та же идея. Перестановка с одинаковыми предметами? Идея та же, только меняется количество заказов, так как некоторые позиции идентичны.

Если вам интересно, мы можем рассмотреть сложные случаи в другом примере. Дайте мне знать в Твиттере.

Следите за другими сообщениями в моем блоге и присоединяйтесь к еженедельной рассылке.

Конечные примечания

  1. Вот как, я полагаю, он все понял.Не воспринимайте это как урок истории.
  2. В XII веке индейцы жили за 400 лет до него.

GMAT Quant | Алгебра | Перестановки и комбинации

** Важное примечание: Формулы ниже подходят только для задач, связанных с выбором из единственного источника с без повторения . **

Прежде чем мы перейдем к деталям перестановок и комбинаций, вот метафора:

Ситуация 1: Вы заходите в ресторан и заказываете «пиццу с пепперони и колбасой», но получаете «пиццу с колбасой и пепперони».Вам стоит расстраиваться? Очевидно, ответ отрицательный. Почему? Потому что между двумя пиццами нет реальной разницы. Порядок (начинки) значения не имеет.

Ситуация 2: Вы участвуете в пьесе в качестве члена хора, который должен озвучивать вступительные строки пьесы. Но когда занавески открываются, человек, который играет Ромео, начинает говорить свою реплику. О, нет! Спектакль только начался, и все запуталось. В частности, неправильный порядок . В пьесах порядок линий важнее, чем начинка для пиццы.

GMAT часто применяет это различие к вероятностным и счетным заданиям.

Во-первых, обратите внимание на две важные формулы, которые нужно запомнить (где вы выбираете из n объекта, k объекта за раз):

Комбинированная формула (nCk):

Формула перестановки (nPk) :

Чтобы отличить их друг от друга, обратите внимание, что знаменатель в формуле перестановки меньше, что обычно означает, что существует на большее количество возможных вариантов перестановок.

Уловка состоит в том, чтобы знать, какую формулу использовать. Чтобы решить, просто спросите себя: Имеет ли значение порядок / позиция?

Если нет, используйте формулу комбинации . Некоторые примеры комбинации задач — это выбор членов комитета, выбор начинки для пиццы или назначение задач отдельным людям в группе.

Если порядок имеет значение , используйте формулу перестановки . Перестановка задач может включать в себя выстраивание предметов на полке, выбор должностных лиц (например,грамм. Президент, Вице-президент и т. Д.) Или составление графика ряда мероприятий.

Это не так уж плохо, правда? Конечно, проблемы, связанные как с комбинациями, так и с перестановками, могут быть сложными. Попробуйте:

Пример задачи с использованием как перестановок, так и комбинаций

Директор завода должен назначить 10 новых рабочих в одну из пяти смен. Ей нужна первая, вторая и третья смена и две смены. В каждую смену поступит по 2 новых рабочих.Сколько разных способов она может назначить новых работников?

A) 2430
B) 2700
C) 3300
D) 4860
E) 5400

Шаг 1. Имеет ли значение порядок / расположение?

Всегда начинайте с ключевого вопроса, когда вы сталкиваетесь с вопросами такого типа: имеет ли здесь значение порядок и / или позиция?

Обратите внимание, что у нас нет различий между должностями в наших командах из пяти человек. Команда, состоящая из Анны и Боба, является одной и той же командой, вне зависимости от того, выберут ли первой Анну или Боба, и так далее.Здесь порядок, неважно, но продолжай.

Начните с первоначального выбора, 10 рабочих выбирают по 2 за раз: 10C2. Итак, у нас есть:

Шаг 2: Применение важности порядка

Из начальных 45 возможных смен мы должны распределить работников в первую, вторую, третью или альтернативную смену. Здесь порядок имеет значение. Обратите внимание, однако, что нет различий между чередующимися сменами. Итак, у нас есть три возможных задания для каждой команды в зависимости от порядка: первая, вторая или третья смена.Это довольно простая задача перестановки, но помните, что даже если у вас есть 5 команд на выбор, только 3 варианта имеют значение с точки зрения порядка, поэтому 5P3:

Итак, в итоге у нас есть 45 возможных группировок и 60 способов выбрать первую, вторую и третью смены из любой выбранной аранжировки.

Шаг 3: Умножение

Нашим последним шагом является умножение этих двух значений вместе, чтобы получить наш ответ:

45 x 60 = 2700

Таким образом, ответ — B.

Это был образец подробных инструкций, которые GMAT Tutor предлагает по решению вопросов о перестановках и комбинациях в разделе GMAT Quant. Чтобы получить полные интерактивные уроки и поддержку онлайн-репетитора, подпишитесь на один из самых популярных планов подготовки к GMAT Tutor. Пробные версии без обязательств доступны в течение семи дней.

Комбинации и перестановки — подготовка к тесту Каплана

Давайте попрактикуемся в математике GRE. Проблемы с комбинациями и перестановками часто заставляют студентов задуматься, с чего же начать.Знание уравнения для каждой операции полезно, но этого недостаточно — вы также должны уметь определить, какая формула необходима для ответа на поставленный вопрос.


Комбинации и перестановки в GRE


Эмпирическое правило состоит в том, что комбинации неупорядочены, а перестановки упорядочены, но что это означает? Нам нравится иллюстрировать разницу с помощью социального клуба.
  • Представьте, что в социальном клубе 10 разных членов, и вас спрашивают: « Сколько групп из 3 членов вы можете выбрать из социального клуба, чтобы создать партийный комитет? «Вам нужно будет делать комбинации или перестановки, чтобы сформулировать ответ? Откуда вы знаете?
  • В качестве альтернативы представьте, что мы слегка меняем вопрос и спрашиваем: « Должностное лицо состоит из президента, вице-президента и казначея.Сколько разных чиновников вы можете выбрать из членства в социальном клубе? «Это тот же вопрос? Или все по-другому? Вам нужно использовать комбинации или перестановки?

На самом деле вопросы совсем другие. Итак, как применить каждый метод к GRE?

Решение проблем комбинаций


Первый вопрос (« Сколько групп из 3… ») указывает на то, что мы считаем группы из 3 человек, и нам не нужно беспокоиться о том, кого мы выберем первым, вторым или третьим — i.е., порядок значения не имеет. По этой причине это проблема комбинаций.
Чтобы ответить на вопрос, мы будем использовать формулу комбинаций, где n = общее количество элементов (10) и k = количество выбранных элементов (3). Обратите внимание, что k может равняться n , но никогда не может быть больше n (мы можем выбрать все элементы в группе, но не можем выбрать больше элементов, чем общее количество). Вот формула комбинации:

Обратите внимание, что восклицательный знак означает факториал; Факториал означает умножение каждого целого числа под ним до 1.Например, 4! = 4 * 3 * 2 * 1.
Подставляя наши значения в уравнение, мы получаем следующее (убедитесь, что вы уменьшили числа в расширенных вычислениях, чтобы упростить фактическое умножение, которое вам нужно сделать):

Таким образом, мы могли выбрать 120 различных групп из 3 партийных комитетов.

Решение задач перестановки


Второй вопрос задает вопрос: « Сколько разных способов вы можете выбрать список офицеров из трех человек? ”Эта формулировка говорит нам, что мы должны отслеживать каждый выбор независимо, а не группами по 3 человека.Например, выбор Ника в качестве президента, затем Кима в качестве вице-президента, затем Приянка в качестве казначея — это не то же самое, что выбор Кима в качестве президента, затем Приянка в качестве вице-президента, затем Ника в качестве казначея, что не будет то же самое, что выбор Кима в качестве Президент, затем Ник в качестве вице-президента, затем Приянка в качестве казначея и так далее, то есть порядок имеет значение. По этой причине это проблема перестановок. Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся следующей формулой перестановок:

Как видите, знаменатель — это точка различия формул комбинаций и перестановок.Для любых значений n и k количество комбинаций, которые мы можем сформировать, всегда будет меньше, чем количество перестановок, которые мы можем сформировать. Эта проблема не исключение. Подставляя наши значения в уравнение, а затем уменьшая их, насколько это возможно, получаем:

Итак, когда порядок имеет значение и мы отслеживаем каждый выбор по-разному, существует 720 различных способов выбрать 3 офицера.

Создатели тестов GRE создают сложные проблемы, используя тонкий язык, чтобы указать, следует ли вам использовать комбинацию или формулу перестановки, чтобы ответить на поставленный вопрос.Комбинированные вопросы укажут на то, что вам нужно формировать группы или наборы; В вопросах перестановки будут слова или фразы, указывающие порядок, например «первый, второй, третий» или «сколько разных способов». Некоторые действительно сложные задачи могут предложить сочетание и того, и другого.
Как гласит старая пословица, «практика ведет к совершенству» — чем больше таких задач вы решите (и чем больше соответствующих объяснений вы прочитаете), тем лучше вы будете подготовлены к вопросам комбинаций и перестановок тузов в день теста GRE.

Перестановка / Комбинация — GRE Math

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.