Математика огэ вариант 3 – ОГЭ 2019 математика 3 вариант тест подготовка

ОГЭ 2019 математика 3 вариант тест подготовка

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

Информация

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 20

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

• Мастера – это люди, и ты – тоже человек. Если ты знаешь, что можешь стать таким же, как они — ты уже на пути к этому.

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

matematikaprosta.ru

Тест ОГЭ (ГИА) — 2015 по математике. Вариант 3

 {module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ТЕСТ ОГЭ (ГИА) — 2015 ПО МАТЕМАТИКЕ

ВАРИАНТ 3

 

Часть 1

Модуль «Алгебра»

  1. Найдите значение выражения

 

 

  2. На координатной прямой отмечено число а.

 

  Расположите в порядке возрастания числа а − 2, 2/а и а.

  1) а, а − 2, 2/а

  2) а, 2/а, а − 2

  3) а − 2, 2/а, а

  4) а − 2, а, 2/а

 

 

  3. Найдите значение выражения

 

 

 

 

  4. Решите уравнение

2х² + 3х − 3 = х² − 3х + (−2 + х²).

 

 

  5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

 

 

 

ФОРМУЛЫ

 

 

 

  6. Дана геометрическая прогрессия (b_n), в которой b₅ = 15, b₈ = −1875. Найдите знаменатель прогрессии.

 

 

  7. Найдите значение выражения

 

  при

 

 

  8. Решите неравенство

− 9х − 7 < 7х.

 

 

 

Модуль «Геометрия»

  9. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

 

 

 

  10. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 56^°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

 

 

 

  11. Основания трапеции равны 55 и 38. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

 

 

  12. На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его градусную величину.

 

 

  13. Какое из следующих утверждений верно?

  1) В параллелограмме есть два равных угла.

  2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

  3) Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

 

 

Модуль «Реальная математика»

  14. Бизнесмен Соловьёв выезжает из Москвы в Санкт-Петербург на деловую встречу, которая назначена на 10-00. В таблице дано расписание ночных поездов Москва — Санкт-Петербург.

Номер поезда	Отправление из Москвы	Прибытие в Санкт-Петербург
038А	00 : 43	08 : 45
020У	00 : 54	09 : 00
016А	01 : 00	08 : 38
030А	01 : 10	09 : 37

  Путь от вокзала до места встречи занимает полчаса. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят бизнесмену Соловьёву.

  1) 038А

  2) 020У 

  3) 016А

  4) 030А

 

 

  15. Когда самолёт находится в горизонтальном полёте, подъёмная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат — сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, при какой скорости (в километрах в час) подъёмная сила достигает 1 тонны силы?

 

 

 

  16. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 84 человека. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3 : 4. Сколько голосов получил победитель?

 

 

  17. Человек стоит на расстоянии 5,6 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 4,5 м. Тень человека равна 3,4 м. Какого роста человек (в метрах)?

 

 

  18. В городе из учебных заведений имеются школы, колледжи, училища и институты. Данные представлены на круговой диаграмме.

 

  Какое из утверждений относительно количества учебных заведений разных видов неверно, если всего в городе 30 учебных заведений?

  1) В городе из учебных заведений больше всего школ.

  2) В городе меньше 15% всех учебных заведений — училища.

  3) В городе примерно 1/8 всех учебных заведений — институты.

  4) В городе меньше 5 коллеждей.

 

 

  19. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 68 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.

 

 

  20. Расстояние s (в м), которое пролетает тело при свободном падении, можно приближенно вычислить по формуле

s = vt + 5t²,

  где v — начальная скорость (в м/с), t — время падения (в с). На какой высоте над землёй окажется камень, брошенный вертикально вниз с высоты 150 м, через 5 с после начала падения, если его начальная скорость равна 2 м/с? Ответ дайте в метрах.

 

 

Часть 2

Модуль «Алгебра»

  21. Сократите дробь

 

 

  22. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 21 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 120 км/ч, и через 45 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

 

 

  23. Постройте график функции

у = −х² + 3IxI

  и определите, при каких значениях параметра а прямая у = а имеет с графиком ровно две общие точки.

 

 

Модуль «Геометрия»

  24. На стороне CD параллелограмма ABCD отметили точку М. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника МАВ равна 19.

 

 

  25. В треугольнике АВС проведены высоты AK и BL. Докажите, что треугольники АВС и CKL подобны.

 

  26. Углы при одном из оснований трапеции равны 44^° и 46^°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 14 и 6. Найдите основания трапеции.

 

 {module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}

samopodgotovka.com

ОГЭ по математике 9 класс 2018. Вариант 3 с решением

ОГЭ по математике 9 класс 2018 года под редакцией И. В. Ященко — Вариант №3

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2018. Вариант 3» было использовано пособие «ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»

---

1. Найдите значение выражения -0,7 ∙ (-10)⁴-8 ∙ (-10)²-26

Показать решение

Выполняем действия в следующем порядке: возводим в степени, затем выполняем действия с умножением и в последнюю очередь с вычитанием:

-0,7 ∙ (-10)⁴-8 ∙ (-10)²-26 = -0,7 ∙ 10000-8 ∙ 100-26 = -7000-800-26 = -7826

Ответ:

-7826

---

2. В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся 9 класса.

	Мальчики			Девочки
Отметка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время (в секундах)	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

Какую отметку получит девочка, пробежавшая 30 метров за 5,35 секунды?

1. Отметка «5»
2. Отметка «4»
3. Отметка «3»
4. норматив не выполнен

Показать решение

Итак, сравним значение 5,35 секунды с нормативами в таблице. Получаем 5,0 < 5,35 < 5,5 . Т.е девочка получит отметку «4» поскольку уложилась в положенный норматив 5,5 секунд.

Ответ:

Отметка «4» — 2

---

3. Одно из чисел 58/13, 69/13, 76/13, 83/13 отмечено на прямой точкой.

Какое это число?

1. 58/13
2. 69/13
3. 76/13
4. 83/13

Показать решение

Решение:

Для начала переведем представленные дроби в десятичные дроби:

58/13 = ~4,46

69/13 = ~5,31

76/13 = ~5,85

83/13 = ~6,38

Между цифрами 5 и 6 на прямой лежат два значения 5,31 и 5,85. Точка, изображенная на прямой, находится ближе к значению 6, значит искома цифра 5,85 — ответ 3.

Ответ:

3.

---

4. Найдите значение выражения

   

Показать решение

Для начала откроем скобки — перед нами сумма квдратов: (a + b)² = a² + 2ab + b²

   

Корень числа 40 необходимо возвести в квадрат, что дает в результате: 40

   

Ответ:

56

---

5. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по графику, на сколько вольт упадёт напряжение за первые 60 часов работы фонарика.

Показать решение

Найдем на графике линию соответствующую 60 часам работы фонарика. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости напряжения в цепи от времени работы фонарика. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы напряжения. Искомая величина 0,6 километров.

Итак, на начальном этапе заряд батарейки составлял = 1,6 вольт (нулевое значение на графике)

1,6 — 0,6 = 1 (в) — на сколько вольт упал заряд батарейки

Ответ:

1

---

6. Найдите корень уравнения x + x/2 = 12

Показать решение

Для решения данного уравнения умножим все его части на 2, чтобы избавиться от дроби

   

   

   

   

Выполним проверку:

8 + 8 / 2 = 12

8 + 4 = 12

12 = 12

верно

Ответ

8

---

7. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Коля, равен 69 кг. Вес Коли составляет 150% среднего веса. Сколько килограммов весит Коля?

Показать решение

69 кг = 100%

Вес Коли = x = 150%

x = 69 / 100 * 150 = 103,5 (кг) — вес Коли

Ответ

103,5

---

8. Какая из следующих круговых диаграмм показывает распределение грибов в лесу, если белых грибов примерно 22%, мухоморов — примерно 33%, лисичек — примерно 9%, сыроежек — примерно 28% и других грибов — примерно 8%?

В ответе запишите номер выбранного варианта ответа.

Показать решение

Для начала представим грибы в виде списка по убыванию их распространения:

• мухоморов — примерно 33%
• сыроежек — примерно 28%
• белых грибов примерно 22%
• лисичек — примерно 9%
• других грибов — примерно 8%

Самое малое распространение имеют другие грибы, поэтому круговые диаграммы (2) и (1), на которых они представлены белым цветом, мы не рассматриваем.

Самое большое распространение имеют мухоморы, чему соответсвует круговая диаграмма (4) — сектор закрашенный серым цветом. Значит ответ 4-ая круговая диаграмма.

Ответ

4

---

9. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрная, 1 жёлтая и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Показать решение

Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:

   

где, m — число благоприятных исходов события, а n — общее количество исходов

Получаем

   

Ответ

0,1

---

10. На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1. k < 0, b > 0
2. k < 0, b < 0
3. k > 0, b > 0

Показать решение

Рассмотрим влияние коэффициента k на результат предложенной нам функции.

1. На первом графике показано убывание функции (смотрим слева на право), т.е. функция расположена во второй и четвертой четвертях. Такое поведение функции характерно при значении k < 0.
2. На втором графике также показано убывание функции (смотрим слева на право), т.е. функция расположена во второй и четвертой четвертях. Такое поведение функции характерно при значении k < 0.
3. На третьем графике показано возрастание функции (смотрим слева на право), т.е. функция расположена в первой и третьей четвертях. Такое поведение функции характерно при значении k > 0.

Теперь рассмотрим постоянную b, представленную в функции y = kx + b. По сути это координата «y» точки пересечения представленной функции и оси «y». Чтобы определить значение b подставим в функцию значение x = 0, получим:

y = kx + b

y = k * 0 + b

y = b

Как видим из результата, точка b имеет положительное значение. Рассмотрим каждый график:

1. на первом графике точка пересечения функции с осью «y» имеет отрицательное значение, значит она соответсвует условию b < 0
2. на втором графике точка пересечения функции с осью «y» имеет положительное значение, значит она соответсвует условию b > 0
3. на третьем графике точка пересечения функции с осью «y» также имеет положительное значение, значит она соответсвует условию b > 0

Объединив результаты, мы получим следующее:

1. первый график соответсвует условию (2) k < 0, b < 0
2. второй график соответсвует условию (1) k < 0, b > 0
3. третий график соответсвует условию (3) k > 0, b > 0

Ответ

213

---

11. Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями:

   

Найдите b₆.

Показать решение

Для решения мы будем использовать формулу:

   

Для начала найдем значение b₂, это поможет нам найти значение q

   

Теперь находим чему равен q

   

   

   

Ответ

-567

---

12. Найдите значение выражения

   

при 

   

Показать решение

Для начала необходимо упростить предложенное выражение. Для этого изменим знаменатель первой дроби и найдем значение разности в скобках (не забываем приводить дроби к единому знаменателю).

   

Вспоминаем правило деления дробей — вторая дробь переворачивается, а знак деления заменяется на умножение:

   

Знаменатель первой дроби и числитель второй дроби сокращаем

   

Подставляем значения a и b

   

Ответ

36

---

13. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

   

где d₁ и d₂ — длины диагоналей четырёхугольника, a — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если

   

Показать решение

   

Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх

   

Ответ

17

---

14. Укажите решение неравенства

-3 — x > 4x + 7

Показать решение

Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:

а) перенесём член 4х в левую часть неравенства, а -3 — в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:

   

   

б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.

   

   

в) найдём значение х

   

   

г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от -∞ до -2, что соответсвует ответу 2

Ответ

2

---

Модуль «Геометрия»

---

15. Две сосны растут на расстоянии 30 м одна от другой. Высота одной сосны 26 м, а другой — 10м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Показать решение

На рисунке мы изобразили две сосны. Расстояние между ними — а = 30 м; разницу в высоте мы обозначили, как b; ну и расстояние между верхушками — это c.

Как видите, у нас получился обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (c) и двух катетов (a и b). Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c² = a² + b²

отюда

b = 26 — 10 = 16 (м)

a = 30 (м)

   

   

Итак, расстояние между верхушками сосен 34 метра

Ответ

34

---

16. В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6,  AC = 4. Найдите cos∠ABC

Показать решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a² = b² + c² – 2bc cosα

АС² = АВ² + ВС² — 2·АВ·ВС·cos∠ABC
4² = 5² + 6² — 2·5·6·cos∠ABC
16 = 25 + 36 — 60·cos∠ABC

60·cos∠ABC = 25 + 36 — 16
60·cos∠ABC = 45
cos∠ABC = 45 / 60 = 3/4 = 0,75

Ответ

cos∠ABC = 0,75

---

17. На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 18^о. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги AB.

Показать решение

Известно, что круг составляет 360^о. Исходя из этого, 18^о составляет:

360^о / 18^о = 20 — кол-во сегментов в круге по 18^о

Итак, 18^о составляют 1/20 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:

   

т.е. оставшиеся 342^о (360^о — 18^о = 342^о) составляют 19-ю часть всей окружности

Если длина меньшей дуги AB равна 5, то длина большей дуги AB составит:

5 * 19 = 95

Ответ

95

---

18. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 18^о и ∠BDC = 97^о. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.

∠ADC = 18 + 97 = 115°
∠DAB = ∠ADC = 115°

Теперь рассмотрим треугольник ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:

∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 18 – 115 = 47°.

Ответ

47°

---

19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Показать решение

Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):

   

где,

a — длина основания треугольника

h — высота треугольника.

Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота — 5 (клеткам). Исходя из чего получаем:

   

Ответ

15

---

20. Какое из следующих утверждений верно?

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

1. Это утверждение абсолютно верно по признаку подобия треугольников.
2. Неверно, поскольку средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
3. Неверно, поскольку сумма углов любого треугольника равна 180^о.

Ответ

1

---

Часть 2

Модуль «Алгебра»

---

21. Решите уравнение

   

Показать решение

   

Перенесем выражение √5-x с правой стороны в левую

   

Сократим оба выражения √5-x

   

Перенесём 18 в левую часть уравнения

   

Перед нами обычное квадратное уравнение.

Область допустимых значений в данном случае составляет: 5 — х ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

D = b² — 4ac

D = 9 + 72 = 81 = 9²

х₁ = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 — не является решением

х₂ = (3 — 9)/2 = -6/2 = -3

х = -3

Ответ

-3

---

22. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Показать решение

Пусть

х — это собственная скорость теплохода, тогда

х + 5 — скорость теплохода по течению

х — 5 — скорость теплохода против течения

35 — 23 = 12 (ч) — время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки

80 * 2 = 160 (км) — общее расстояние, пройденное теплоходом

Исходя из выше сказанного получим уравнение:

   

приводим к общему знаменателю и решаем:

   

   

   

   

   

Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

 

   

 

   

   

   

x=15

Собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч

Ответ

15

---

23. Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Показать решение

На рисунке выше изображены два графика, соответствующие представленным функциям:

y = x² + 2x + 1 (график, изображенный красной линией)

y = -36/x (график, изображенный синий линией)

Рассмотрим обе функции:

1. y=x²+2x+1 на промежутке [–4;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+1)² – сдвиг графика влево на 1 единицу, что и видно из графика.
2. у=–36/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.

На графике хорошо видно, что прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=0 и m > 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x² + 2x + 1

x₀ = -b/2a = -2/2 = -1

y₀ = -1² + 2(-1) + 1 = 1 — 2 + 1 = 0  ⇒ с = 0

Две общие точки при х = – 4 ; у = 9 ⇒ с = 9

Ответ

0; [9;+∞)

---

24. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 18, а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответсвенно 12 и 9.

Показать решение

Треугольники ∆АОВ и ∆СОD являются равнобедренными.

AK = BK = AB / 2 = 18 / 2 = 9

Отрезки ОК и ОМ являются высотами и медианами.

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, имеем

OB² = OK² + BK²

OB² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225

OB = 15

Учитывая, что OB — это радиус, имеем:

OB = OA = OC = OD = 15

Из треугольника ∆СОМ по теореме Пифагора получаем:

CM² = OC² – OM²

CM² = 15² – 9² = 225 – 81 = 144

CM = 12

CD = CM * 2 = 12 * 2 = 24

Длина хорды CD равна 24.

Ответ

24

---

25. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О (или любая другая буква). Докажите, что площади треугольников ∆AOB и ∆COD равны

Показать решение

Пусть AD — нижнее основание трапеции, а BC — верхнее, тогда AD>BC.

Найдем площади треугольников ∆ABD и ∆DCA:

S ∆ABD = 1/2 AD ∙ h2

S ∆DCA = 1/2 AD ∙ h3

Учитывая, что величина основания AD и высота обоих треугольников одинаковые, заключаем, что площади этих треугольников равны:

S ∆ABD = S ∆DCA

Каждый из треугольников ∆ABD и ∆DCA состоят из двух других треугольников:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆ABD (сумма площадей внутренних треугольников S ∆ABO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆ABD)

S ∆DCO + S ∆AOD = S ∆DCA (сумма площадей внутренних треугольников S ∆DCO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆DCA)

Если площади треугольников S ∆ABD и S ∆DCA равны, то и сумма площадей их внутренних треугольников также равны. Отсюда получаем,:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆DCO + S ∆AOD

в данном равенстве с обеих сторон фигурирует один и тот же треугольник — S ∆AOD, что позволяет нам сократить его. Получаем следующее равенство:

S ∆ABO = S ∆DCO

Что и требовалось доказать.

Ответ

S ∆ABO = S ∆DCO

---

26. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 80, MD = 64, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Показать решение

Для начала начертим треугольник и полуокружность, как сказано в условии задачи (рис.1).

Отметим точку пересечения окружности со стороной АС буквой F (рис.2)

BF — является высотой треугольника ∆ABC, так как для окружности ∠BFC — это вписанный угол, который опирается на дугу в 180° (BC — диаметр), следовательно:

∠BFC=180°/2=90°

Согласно теореме «о двух секущих», имеем: AF * AC = AM * AK

Теперь рассмотрим хорду MK.

Отрезок BC — это перпендикуляр к отрезку MK, проходящий через центр окружности, следовательно BC — это серединный перпендикуляр.

Это значит, BC делит хорду MK пополам, т.е. MD = KD = 64 (см. условие задачи)

Рассмотрим треугольники ∆AHF и ∆ACD.

Угол ∠DAC для обоих треугольников является общим.

А углы ∠AFH и ∠ADC равны, кроме того — это прямые углы.

Следовательно, согласно первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.

Отсюда, по определению подобия, мы можем записать: AC / AH = AD / AF => AC * AF = AD * AH

Ранее мы рассматривали равенство (по теореме двух секущих)  AF * AC = AM * AK, из которой получаем

AM * AK = AD * AH

AH = (AM * AK) / AD

Из рисунка находим:

AM = AD — MD = 80 — 64 = 16

AK = AD + KD = 80 + 64 =144

Отсюда:

AH = 16 * 144 / 80 = 2304 / 80 = 28,8

Ответ: AH = 28,8

Ответ

28,8

xoge.ru