Решение огэ математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Содержание

задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

С 2016 года выпускники девятых классов должны сдавать четыре экзамена формата ОГЭ, два из которых обязательные, а два по выбору.

На нашем сайте представлены около тысячи заданий для подготовки к ОГЭ по математике в 2021 году. Общий план экзаменационной работы представлен ниже.

Обозначение уровня сложности задания: Б — базовый, П — повышенный.

В 2021 году ОГЭ проводится только по русскому языку и математике, поэтому официальные шкалы на 2021 год по остальным предметам Рособрнадзор не разрабатывал.

Рекомендуемый минимальный первичный балл для отбора обучающихся в профильные классы для обучения по образовательным программам среднего общего образования:

— для естественнонаучного профиля: 18 баллов, из них не менее 6 по геометрии;

— для экономического профиля: 18 баллов, из них не менее 5 по геометрии;

— для физико-математического профиля: 19 баллов, из них не менее 7 по геометрии.

.

На экзамене по математике разрешается пользоваться линейкой, которая не содержит справочную информацию, для построения чертежей и рисунков; справочным материалом, содержащим основные формулы курса математики образовательной программы основного общего образования. Источник.

Проверяемые элементы содержания и виды деятельности

Уровень сложности задания

Максимальный балл за выполнение задания

Примерное время выполнения задания (мин.)

Задание 1. Уметь выполнять вычисления и преобразования, уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Б

1

2-3

Задание 2. Уметь выполнять вычисления и преобразования, уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Б

1

2-3

Задание 3. Уметь выполнять вычисления и преобразования, уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Б

1

2-3

Задание 4. Уметь выполнять вычисления и преобразования, уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Б

1

2-3

Задание 5. Уметь выполнять вычисления и преобразования, уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Б

1

2-3

Задание 6. Уметь выполнять вычисления и преобразования

Б

1

3-5

Задание 7. Уметь выполнять вычисления и преобразования

Б

1

3-5

Задание 8. Уметь выполнять вычисления и преобразования, уметь выполнять преобразования алгебраических выражений

Б

1

2-3

Задание 9. Уметь решать уравнения, неравенства и их системы

Б

1

5

Задание 10. Уметь работать со статистической информацией, находить частоту и вероятность случайного события, уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Б

1

5

Задание 11. Уметь строить и читать графики функций

Б

1

5

Задание 12. Осуществлять практические расчеты по формулам, составлять несложные формулы, выражающие зависимости между величинами

Б

1

5

Задание 13. Уметь решать уравнения, неравенства и их системы

Б

1

5

Задание 14. Уметь строить и читать графики функций, уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Б

1

5

Задание 15. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Б

1

5

Задание 16. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Б

1

5

Задание 17. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Б

1

10

Задание 18. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Б

1

10

Задание 19. Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения

Б

1

10

Задание 20. Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения, неравенства и их системы, строить и читать графики функций

П

2

15-20

Задание 21. Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения, неравенства и их системы, строить и читать графики функций, строить и исследовать простейшие математические модели

П

2

15-20

Задание 22. Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения, неравенства и их системы, строить и читать графики функций, строить и исследовать простейшие математические модели

В

2

15-20

Задание 23. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

П

2

15-20

Задание 24. Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения

П

2

15-20

Задание 25. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

В

2

15-20

ОГЭ по математике — Подготовка к ОГЭ (ГИА) — Учительский портал

© 2007 — 2021 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич


Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте (презентации, конспекты, статьи и пр.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.

Администрация сайта готова оказать поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.


Фотографии предоставлены

РАЗРАБОТКИ


Страница 2


В категории разработок: 82

Фильтр по целевой аудитории

— Целевая аудитория -для 1 классадля 2 классадля 3 классадля 4 классадля 5 классадля 6 классадля 7 классадля 8 классадля 9 классадля 10 классадля 11 классадля учителядля классного руководителядля дошкольниковдля директорадля завучейдля логопедадля психологадля соц.педагогадля воспитателя

Уважаемые коллеги, предлагаю Вашему вниманию экзаменационный тренажёр по математике Основного государственного экзамена. Назначение презентации — отработка практических навыков учащихся при подготовке к экзамену в 9 классе по математике. В презентации представлены ответы и подробный разбор пошагового решения задания №9 по теме «Решение уравнений» к новой официальной демонстрационной версии ОГЭ 2020 года. В презентации представлен большой объём теоретического материала для повторения. В презентации представлены линейные, квадратные, рациональные уравнения  Презентация предназначена для учителей, методистов, и учащихся 9 классов основной школы.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

Уважаемые коллеги, предлагаю Вашему вниманию экзаменационный тренажёр по математике Основного государственного экзамена. Назначение презентации — отработка практических навыков учащихся при подготовке к экзамену в 9 классе по математике. В презентации представлены ответы и подробный разбор пошагового решения задания №19 по теме «Геометрия на клетчатой бумаге» к новой официальной демонстрационной версии ОГЭ 2020 года. В презентации представлены задания и примеры на разные правила, подходы и способы решения задач. Приводятся примеры, при решении которых разумно и целесообразно использовать не только традиционные формулы, но и формулу Пика. Презентация предназначена для учителей, методистов, и учащихся 9 классов основной школы.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

Уважаемые коллеги, предлагаю Вашему вниманию экзаменационный тренажёр по математике Основного государственного экзамена. Назначение презентации — отработка практических навыков учащихся при подготовке к экзамену в 9 классе по математике. В презентации представлены ответы и подробный разбор пошагового решения задания №16 по теме «Геометрия. Величина угла, градусная мера угла» к новой официальной демонстрационной версии ОГЭ 2020 года. В презентации представлены задания и примеры на разные правила, подходы и способы решения. Презентация предназначена для учителей, методистов, и учащихся 9 классов основной школы.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

важаемые коллеги, предлагаю Вашему вниманию экзаменационный тренажёр по математике Основного государственного экзамена. Назначение презентации — отработка практических навыков учащихся при подготовке к экзамену в 9 классе по математике. В презентации представлены ответы и подробный разбор пошагового решения заданий №6(8) и №8(10)  по теме «Числовые выражения» к новой официальной демонстрационной версии ОГЭ 2020 года. В презентации представлены задания и примеры на разные правила, подходы и способы решения. Презентация предназначена для учителей, методистов, и учащихся 9 классов основной школы.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

Уважаемые коллеги, предлагаю Вашему вниманию экзаменационный тренажёр по математике Основного государственного экзамена. Назначение презентации — отработка практических навыков учащихся при подготовке к экзамену в 9 классе по математике. В презентации представлены ответы и подробный разбор решения задания №14(7) по теме «Вероятность событий» к новой официальной демонстрационной версии ОГЭ 2020 года. В презентации представлены 20 задач на разные подходы и способы решения. Задачи соответствуют спецификации и кодификатору к демонстрационному варианту КИМ-2020 по математике. Презентация предназначена для учителей, методистов, и учащихся 9 классов основной школы.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

Уважаемые коллеги, предлагаю Вашему вниманию экзаменационный тренажёр по математике Основного государственного экзамена. Назначение презентации — отработка практических навыков учащихся при подготовке к экзамену в 9 классе по математике. В презентации представлены ответы и подробный разбор решения задания №10 по теме «Вероятность событий» к новой официальной демонстрационной версии ОГЭ 2020 года. В презентации представлены 20 задач на разные подходы и способы решения. Презентация предназначена для учителей, методистов, и учащихся 9 классов основной школы.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

Уважаемые коллеги, предлагаю Вашему вниманию экзаменационный тренажёр по математике Основного государственного экзамена. Назначение презентации — отработка практических навыков учащихся при подготовке к экзамену в 9 классе по математике. В презентации представлены ответы и подробный разбор решения заданий №1 — №5, которые относятся к плану-схеме (нововведение в 2020 году). Презентация предназначена для учителей, методистов, и учащихся 9 классов основной школы.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

Предлагаю материал по теме «Задачи на движение по воде», адресованный учителям математики, учащимся 9-ых классов. Здесь предлагаются способы решения основных видов задач на движение по воде. Задачи взяты с официальных источников (открытый банк заданий ОГЭ на ФИПИ). Надеюсь, что материал будет востребован, так как задачи на движение — распространённый вид текстовых задач. Технические рекомендации по работе со слайдами прописаны в заметках к третьему слайду.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

Предлагаю материал по теме «Задачи на движение по прямой», адресованный учителям математики, учащимся 9-ых классов. Здесь предлагаются способы решения основных видов задач на движение по прямой. Задачи взяты с официальных источников (открытый банк заданий ОГЭ на ФИПИ). Надеюсь, что материал будет востребован, так как задачи на движение — распространённый вид текстовых задач.

  

Целевая аудитория: для 9 класса

Предлагаю презентацию для отработки навыков решения несложных заданий, в которых требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на клетчатом листе бумаги. Как правило, эти задания не вызывают больших затруднений, если фигура представляет собой трапецию, параллелограмм или треугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур, посчитать количество клеточек и вычислить площадь.
Для работы с презентацией не требуется никаких особых навыков. Переход ы на слайды — по управляющим кнопкам. На слайдах представлены рисунки к двум задачам. В зависимости от уровня класса задачи можно использовать для устной работы на уроке. В слабом классе рекомендуется решение каждой задачи подробно прописать на доске. На слайдах визуализирован только правильный ответ (необходимо нажать на номер задания)

  

Целевая аудитория: для 8 класса

Конкурсы


Диплом и справка о публикации каждому участнику!

Задание 22 ОГЭ-2019 по математике: разбор и решение

Экзаменационная работа (ОГЭ) состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия», входящих в две части: базовый уровень (часть 1), повышенный и высокий уровень (часть 2). Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня. Модуль «Алгебра» содержит 17 заданий: в части 1 — 14 заданий; в части 2 — 3 задания. Модуль «Геометрия» содержит 9 заданий: в части 1 — 6 заданий; в части 2 — 3 задания. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Часть 2

Задание 22

Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение

Пусть рыболов отплыл на расстояние, равное s. Время, за которое он проплыл это путь, равно  ч. (т.к. против течения скорость лодки равна 4 км/ч). Время, которое он затратил на путь обратно, равно  ч. (т.к. по течению скорость лодки равна 8 км/ч). Общее время с учетом стоянки равно 5 ч. Составим и решим уравнение:



s = 8.

Ответ: 8 км.

ОГЭ. Математика. Большой сборник тематических заданий для подготовки к основному государственному экзамену

Вниманию выпускников 9 классов предлагается новое пособие для подготовки к основному государственному экзамену по математике. В сборник включены задания по всем разделам и темам, проверяемым на основном государственном экзамене: «Числа и вычисления», «Практико-ориентированные задачи», «Уравнения и неравенства», «Алгебраические выражения», «Геометрия», «Последовательности, функции и графики». Представлены задания разного уровня сложности. В конце книги даны ответы, которые помогут в осуществлении контроля и оценки знаний, умений и навыков. Материалы пособия могут быть использованы для планомерного повторения изученного материала и тренировки в выполнении заданий различного типа при подготовке к ОГЭ. Они помогут учителю организовать подготовку к основному государственному экзамену, а учащимся — самостоятельно проверить свои знания и готовность к сдаче экзамена.

Купить

Как решать задание №5 в части ОГЭ по реальной математике?

Все девятиклассники боятся задания №5 ОГЭ по математике. Многие даже не пытаются его прочитать. А зря — с 5 заданием легко справиться, если знать алгоритм. Из этой статьи вы узнаете, что такое модуль «Реальная математика» в ОГЭ и как решить страшное 5 задание.

Что такое реальная математика в ОГЭ?

ОГЭ по математике начинается с пяти практических заданий. ФИПИ утверждает, что эти задания проверяют умение выполнять вычисления и преобразования, использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, строить и исследовать простейшие математические модели. Другими словами, эти задания проверяют, смогут ли ученики применить математику в реальной жизни.

В этом году я готовила ребят к ОГЭ по математике, и столкнулась с тем, что ученики решают все задания с 1 по 4, а пятое боятся даже прочитать. Многие девятиклассники уверены, что последнее задание из блока практических задач страшное и нерешаемое. К счастью, своих учеников я переубедила, теперь постараюсь переубедить и вас. Максимум за это блок можно получить 5 баллов.

Научим решать сложные задания ОГЭ

по математике на пробном уроке
в MAXIMUM Записаться бесплатно

Какие бывают задания по реальной математике?

Для начала давайте познакомимся с заданиями №1-5 в ОГЭ по математике. Вот какие прототипы могут встретиться на экзамене:

  • План домохозяйства. Этот прототип можно найти в демоверсии ОГЭ 2020, тут будет дан план домового участка или парка, с расположенными на нём объектами.
  • План квартиры. Данный прототип похож на предыдущий, только работать придётся с планом квартиры и комнатами внутри этой квартиры.
  • Баня и печь. В этом прототипе сюжет будет про баню, придётся делать различные вычисления для одной комнаты – парного отделения, а также подбирать печь по габаритам и стоимости.
  • Лист бумаги. Вы будете работать с классическим листом формата А0, который разделён на меньшие форматы. Все вычисления придётся производить с листом бумаги.
  • План местности. Будет дан план расположения различных деревень и дорог, по которым между этими деревнями можно перемещаться.
  • Автомобильное колесо. На мой взгляд, это самый сложный прототип. Нужно будет работать с автомобильным колесом, которое состоит из диска и шины, а также разбираться в маркировке этих колёс.
  • Телефонный тариф. Это задание полезно для учеников. Рано или поздно вы сами будете выбирать себе телефонный тариф, анализировать расход минут и гигабайтов интернета. Мне кажется, что это одно из самых интересных заданий 🙂

Как решать 5 задание ОГЭ по математике

Теперь мы знакомы со всеми сюжетами заданий по реальной математике. Можно приступать к разбору самого страшного задания — №5. Я хочу показать несколько заданий, и дать вам единый алгоритм. Самое интересное, что для решения этих пятых заданий даже не нужно знать само условие и то, что происходило в предыдущих четырёх пунктах.

Начнем с прототипа «План домохозяйства».
5 задание ОГЭ. Прототип «План домохозяйства»

В этом задании нам нужно посчитать самый дешёвый вариант покраски забора с внешней стороны. Почему это задание так важно? Мы интуитивно всегда стараемся найти самый дешёвый вариант, чтобы мы ни делали. Нужен ли нам для этого сам план домохозяйства? Нет! Нужно ли нам опираться на то, что мы делали в заданиях 1-4? Нет! Именно поэтому это задание не такое страшное, каким кажется сначала.

Чтобы успешно выполнить данное задание, нужно внимательно прочитать всё, что нам дано. Как правило, всю таблицу нужно использовать. а если там есть что-то лишнее, то это лишнее сразу же стоит зачеркнуть, чтобы не ошибиться. В нашем случае всего 2 варианта решения и никаких лишних данных, поэтому используем всё!

Нас просят сравнить два магазина и выбрать наиболее дешёвый вариант, для этого мы просчитаем стоимость покупки необходимого количества краски отдельно в каждом магазине.

Чтобы грамотно рассчитать необходимое количество банок краски, нужно расход краски умножить на площадь забора и разделить на массу краски в одной банке, таким образом мы получим количество банок, необходимое для покраски забора. Далее нужно округлить количество банок в большую сторону, так как часть банки нам никто не продаст и целое количество банок умножить на стоимость одной банки краски, а далее к получившей сумме останется только добавить стоимость доставки заказа.

Вот так легко мы справились с заданием №5! Надеюсь, что вам уже не страшно приступать к этому номеру. Чтобы вы без проблем могли с ним справиться, поделюсь с вами алгоритмом. Он поможет ничего не упустить в ходе решения заданий.

Алгоритм решения задания №5 ОГЭ по математике

  1. Внимательно читаем условие. Что дано, что нужно найти?
  2. Зачёркиваем все лишние данные, если они есть в таблице.
  3. Просчитываем стоимость набора товаров или услуг отдельно для каждого магазина / сервиса.
  4. Сравниваем получившиеся варианты по стоимости и выбираем самый дешёвый.
  5. В ответ записываем то, что просят. Строго по условию!

Посмотрим еще на два задания. Чтобы вам было интереснее, мы возьмём задачи из двух самых сложных и страшных сюжетов – «План местности» и «Автомобильное колесо».

Сначала отработаем алгоритм на задаче из сюжета «План местности».
5 задание ОГЭ. Прототип «План местности»

Решение. В данном прототипе нужно посчитать, сколько денег понадобится заплатить за самый дешёвый набор продуктов. При этом не важно, какими дорогами Володя с дедушкой поедут (просёлочными или асфальтированными), не нужно знать, какой путь самый короткий. Используем наш алгоритм.

Вот нам и покорился неприступный пятый номер, которым известна реальная математика в ОГЭ.

Наконец, рассмотрим пятый номер из сложного сюжета «Автомобильное колесо».
5 задание ОГЭ. Прототип «Автомобильное колесо»

Решение. Видим, что опять нас просят выбрать самый дешёвый вариант. На этот раз меняем резину на колёсах автомобиля. Алгоритм работает, меняется лишь формула подсчёта.

Что нужно запомнить?

  1. Пятое задание не страшное, многие прототипы решаются быстро и легко по единому алгоритму
  2. Всего существует 7 прототипов задач из модуля ОГЭ «Реальная математика». Найти все эти задания ты можешь на сайте ФИПИ
  3. Внимательное прочитай условие. Тогда задание станет намного проще и понятнее.
  4. Разбери все прототипы, тогда ты легко получишь все 5 баллов за этот блок!

Вот мы и закончили разбираться с последним заданием из блока «Реальная математика» в ОГЭ. Мы посмотрели только лишь на часть прототипов, поэтому следи за нашим блогом и жди новые статьи. Внимательно читай условие, используй алгоритм, и пусть тебе покорится пятый номер! Если захочешь разобраться с другими заданиями и эффективно подготовиться к ОГЭ по математике, напоминаем про наши онлайн-курсы.

ОГЭ 2020 прототипы заданий 1 — 5 (земледелец устраивает терассы)

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1 — 5.

Задание 1 (ОГЭ 2020) Земледелец на расчищенном склоне холма выращивает мускатный орех. Какова площадь, отведённая под посевы? Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение: Участок имеет форму прямоугольника. Необходимо найти площадь прямоугольника, умножив ширину участка на его длину. Ширина участка известна — 30 м. Найдем длину участка, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.

Длина — х м.

X2 = 52 + 122,

X2 = 25 + 144,

X2 = 169,

X = 13 (м) — длина участка.

Sучастка = 13 ● 30 = 390 (м2).

Ответ: 390.

Задание 2 (ОГЭ 2020)

Решение: Найдем угол склона холма, воспользовавшись определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Тангенс угла склона α — это отношение противолежащего катета к прилежащему. tgα = 5/12.

Угол склона холма: tgα ● 100% = 5/12 ● 100% ≈ 41,7 % < 50%. На склоне холма земледельцу можно устраивать терассы.

Ответ: 41,7.

Задание 3 (ОГЭ 2020)

На сколько процентов сократилась посевная площадь после того, как земледелец устроил терассы? Ответ округлите до десятых.

Решение:

Площадь участка найдена в задании 1 и равна 390 м2.

Площадь участка, после устраивания терасс найдем по формуле:

NP ● PK = 12 ● 30 = 360 (м2).

Составим пропорцию, чтобы найти на сколько процентов сократилась посевная площадь.

390 — 100%

360 — х%

х =( 360 ● 100 ) / 390 ≈ 92,3(%).

100% — 92,3% = 7,7% — сократилась посевная площадь.

Ответ: 7,7.

Задание 4 (ОГЭ 2020)

Решение: Посевная площадь составляет 360 м2 ( вычислили в 3 задании). Земледелец с данного участка получит бурого риса 800 ● 360 = 288000 (грамм).

Найдем сколько получится белого риса при шлифовке бурого из пропорции.

288000 г — 100%

х г — 22%

х = (288000 ● 22) / 100 = 63360 (г) — отходы.

Белого риса получится 288000 г — 63360 г = 224640 г = 224,64 кг.

Ответ: 224,64.

Задание 5 (ОГЭ 2020)

Решение: Возможны два варианта сбора урожая земледельцем с террасированного участка.

  1. Рис и пшено. 360( 600 + 300) = 360 ● 900 = 324000(гр) = 324 кг.
  2. Кукуруза и рис. 360(1200 + 800) = 360 ● 2000 = 720000(гр) = 720 кг.

Ответ: 720.

Подробное решение прототипов заданий 1 — 5 ОГЭ 2020 (плодоовощное хозяйство).

Разбираем решение заданий 1 — 5 перспективной модели измерительных материалов  ОГЭ по математике 2020 года.

ОГЭ 2017. Математика, И.В. Ященко. Типовые экзаменационные варианты (36 вариантов).Решение

ОГЭ 2017. Математика, И.В. Ященко. Типовые экзаменационные варианты (36 вариантов).Решение — Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ Skip to content

Аннотация к книге «ОГЭ 2017. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов»

Серия «ОГЭ. ФИПИ — школе» подготовлена разработчиками контрольных измерительных материалов (КИМ) основного государственного экзамена.
В сборнике представлены:
— 36 типовых экзаменационных вариантов, составленных в соответствии с проектом демоверсии КИМ ОГЭ по математике 2017 года;
— информация об экзаменационной работе;
— ответы ко всем заданиям;
— решения и критерии оценивания заданий части 2.
Выполнение заданий типовых экзаменационных вариантов предоставляет обучающимся возможность самостоятельно подготовиться к государственной итоговой аттестации в 9 классе, а также объективно оценить уровень своей подготовки.
Учителя могут использовать типовые экзаменационные варианты для организации контроля результатов освоения школьниками образовательных программ основного общего образования и интенсивной подготовки обучающихся к ОГЭ. Вы можете купить книгу, нажав на   эту ссылку  или картинку.
ОГЭ. Математика : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. — М. : Издательство «Национальное образование», 2016. — 240 с.

  • Вариант 1
    • Модуль «АЛГЕБРА»
    • Задания 1-4. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 5-6. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 7-8. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
    • Задания 9-10. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 11-13. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
    • Задания 14-15. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 16-17. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 18-20. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Часть II
    • Задание 21. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 22. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 23. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 24. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 25. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 26. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
  • Вариант 2
    • Модуль «АЛГЕБРА»
    • Задания 1-4. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 5-6. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 7-8. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
    • Задания 9-10. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 11-13. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
    • Задания 14-15. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 16-17. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 18-20. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Часть II
    • Задание 21. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 22. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 23. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2017_36.php?id=1_23
    • Задание 24. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 25. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2016_36.php?id=29_25
    • Задание 26. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2017_36.php?id=1_26
  • Вариант 3
    • Модуль «АЛГЕБРА»
    • Задания 1-4. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 5-6. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 7-8. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
    • Задания 9-10. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 11-13. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
    • Задания 14-15. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 16-17. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 18-20. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Часть II
    • Задание 21. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 22. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 23. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 24. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 25. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 26. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
  • Вариант 4
    • Модуль «АЛГЕБРА»
    • Задания 1-4. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 5-6. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 7-8. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
    • Задания 9-10. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 11-13. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
    • Задания 14-15. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 16-17. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 18-20. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Часть II
    • Задание 21. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 22. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 23. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2017_36.php?id=3_23
    • Задание 24. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 25. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2017_36.php?id=3_25
    • Задание 26. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2017_36.php?id=3_26
  • Вариант 5
    • Модуль «АЛГЕБРА»
    • Задания 1-4. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 5-6. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 7-8. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
    • Задания 9-10. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 11-13. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
    • Задания 14-15. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 16-17. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 18-20. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Часть II
    • Задание 21. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 22. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 23. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 24. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 25. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 26. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
  • Вариант 6
    • Модуль «АЛГЕБРА»
    • Задания 1-4. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 5-6. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 7-8. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
    • Задания 9-10. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 11-13. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Модуль «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
    • Задания 14-15. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 16-17. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задания 18-20. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Часть II
    • Задание 21. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 22. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 23. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2017_36.php?id=5_23
    • Задание 24. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение.
    • Задание 25. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2017_36.php?id=5_25
    • Задание 26. Решается по аналогии с http://self-edu.ru/oge2017_36.php?id=5_26
  • Остальные решения:
  • Вариант 7 совпадает с вариантом 1 за 2016 год
  • Вариант 8 совпадает с вариантом 2 за 2016 год
  • Вариант 9 совпадает с вариантом 3 за 2016 год
  • Вариант 10 совпадает с вариантом 4 за 2016 год
  • Вариант 11 совпадает с вариантом 5 за 2016 год
  • Вариант 12 совпадает с вариантом 6 за 2016 год
  • Вариант 13 совпадает с вариантом 7 за 2016 год
  • Вариант 14 совпадает с вариантом 8 за 2016 год
  • Вариант 15 совпадает с вариантом 9 за 2016 год
  • Вариант 16 совпадает с вариантом 10 за 2016 год
  • Вариант 17 совпадает с вариантом 11 за 2016 год
  • Вариант 18 совпадает с вариантом 12 за 2016 год
  • Вариант 19 совпадает с вариантом 13 за 2016 год
  • Вариант 20 совпадает с вариантом 14 за 2016 год
  • Вариант 21 совпадает с вариантом 15 за 2016 год
  • Вариант 22 совпадает с вариантом 16 за 2016 год
  • Вариант 23 совпадает с вариантом 17 за 2016 год
  • Вариант 24 совпадает с вариантом 18 за 2016 год
  • Вариант 25 совпадает с вариантом 19 за 2016 год
  • Вариант 26 совпадает с вариантом 20 за 2016 год
  • Вариант 27 совпадает с вариантом 21 за 2016 год
  • Вариант 28 совпадает с вариантом 22 за 2016 год
  • Вариант 29 совпадает с вариантом 23 за 2016 год
  • Вариант 30 совпадает с вариантом 24 за 2016 год
  • Вариант 31 совпадает с вариантом 25 за 2016 год
  • Вариант 32 совпадает с вариантом 26 за 2016 год
  • Вариант 33 совпадает с вариантом 27 за 2016 год
  • Вариант 34 совпадает с вариантом 28 за 2016 год
  • Вариант 35 совпадает с вариантом 29 за 2016 год
  • Вариант 36 совпадает с вариантом 30 за 2016 год

Навигация по записям

Подготовка к ЕГЭ | ОГЭ. Все права защищены

Критерии оценивания ОГЭ 2020 по математике

Работа ОГЭ по математике для 9 класса содержит 26 заданий и состоит из двух частей.

Часть 1 содержит 20 заданий с кратким ответом; часть 2 — 6 заданий с развёрнутым ответом.

Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом

Для оценивания результатов выполнения работ выпускниками используется общий балл.

В таблице 1 приводится система формирования общего балла.

Таблица 1. Система формирования общего балла

Максимальное количество баллов за одно задание Максимальное количество баллов
Часть 1 Часть 2 За часть 1 За часть 2 За работу в целом
№ 1–20 № 21–26
1 2 20 12 32

Задания, оцениваемые 1 баллом, считаются выполненными верно, если указан номер верного ответа (в заданиях с выбором ответа), или вписан верный ответ (в заданиях с кратким ответом), или правильно соотнесены объекты двух множеств, и записана соответствующая последовательность цифр (в заданиях на установление соответствия).

Задания, оцениваемые в 2 балла, считаются выполненными верно, если экзаменуемый выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Если в решении допущена ошибка, не имеющая принципиального характера и не влияющая на общую правильность хода решения, то участнику экзамена выставляется 1 балл.

Максимальный первичный балл за работу в целом — 32.

Критерии оценивания ОГЭ по математике  задания 21-26 (часть 2 из демоверсии 2020 года)

Задание 21

Баллы Содержание критерия
2 Обоснованно получен верный ответ
1 Решение доведено до конца, но допущена описка или ошибка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
2 Максимальный балл

Задание 22

Баллы Содержание критерия
2 Ход решения задачи верный, получен верный ответ
1 Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена описка или ошибка вычислительного характера
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
2 Максимальный балл

Задание 23

Баллы Содержание критерия
2 График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
1 График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
2 Максимальный балл

Задание 24

Баллы Содержание критерия
2 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
1 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
2 Максимальный балл

Задание 25

Баллы Содержание критерия
2 Доказательство верное, все шаги обоснованы
1 Доказательство в целом верное, но содержит неточности
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
2 Максимальный балл

Задание 26

Баллы Содержание критерия
2 Ход решения верный, получен верный ответ
1 Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена описка или ошибка вычислительного характера
0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
2 Максимальный балл

Для прохождения аттестационного порога необходимо набрать не менее 8 баллов, из которых не менее 2 баллов должны быть получены за решение заданий по геометрии (задания 16–20, 24–26).

Задания части 2 направлены на проверку владения материалом на повышенном и высоком уровнях. Их назначение — дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленных обучающихся, составляющих потенциальный контингент профильных классов.

Эта часть содержит задания повышенного и высокого уровней сложности из различных разделов математики. Все задания требуют записи решений и ответа.

Задания расположены по нарастанию трудности: от относительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом и высокий уровень математической культуры.

Смотрите также:

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1

и так далее, где символы?, N и x представляют число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными.Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, равен ли левый член правому.

4 (3) — 2 = 3 (3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Отв. 3 — это решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

— эквивалентные уравнения, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.

Если одно и то же количество добавляется или вычитается из обоих элементов уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнение.

в символах,

a — b, a + c = b + c и a — c = b — c

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

путем вычитания 3 из каждого члена.

Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получится

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 — эквивалентные уравнения, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем генерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому члену дает

х-2 + 2 = 10 + 2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому члену (или вычтем 1 из него), мы получим

.

2x + 1-1 = x — 2-1

2x = х — 3

Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2 (-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано

Если a = b, то b = a

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,

Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4

Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим

2x — 3x = 3x — 9 — 3x

-x = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре мы можем видеть, что решение равно 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. При желании последнее уравнение можно записать как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА DIVISION

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое) количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый член на -4.

Решение Разделив оба элемента на -4, получим

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Решение

Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1

Далее, объединяя одинаковые термины, получаем

3x = -9

Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение Во-первых, умножьте каждый член на 5, чтобы получить

Теперь разделите каждый член на 3,

Пример 3 Решить.

Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить

Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, разделив каждого члена на 5, получим

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.

Шаги для решения уравнений первой степени:

  1. Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
  2. Используя свойство сложения или вычитания, запишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
  3. Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
  4. Используйте свойство умножения для удаления дробей.
  5. Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение Во-первых, мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить

5x — 7 = -2x + 14

Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7x = 21

Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы упрощаем над дробной чертой перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Сначала мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы разделим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть

d = rt

(24) = (3) т

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых есть более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, что и в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

из которых по закону симметрии

В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый член на a, мы получим

Разложите многочлен или выражение на множители с помощью программы «Пошаговое решение задач по математике»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени.Фактически, процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, выходящей за рамки этого пункта, может быть достигнуто без понимания этого.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение находится в факторизованной форме , только если все выражение является указанным продуктом.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны рассматривать все выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс изменения выражения суммы или разности членов на произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — изменяется только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
  2. Фактор общие множители.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5 (2x + 1), чтобы получить 10x + 5. В общем случае факторинг «отменит» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители путем удаления общих множителей, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий делитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и найдите наибольший из них. Это самый общий фактор. В этом случае наибольший общий множитель равен 3x.

Поставьте 3x перед круглыми скобками.

Термины в круглых скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это процесс, обратный тому, что мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразовано в факторизованную форму. Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, это должно быть правдой. Умножьте, чтобы убедиться, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано.Другими словами, «Удали ли мы все общие факторы? Можем ли мы использовать дополнительные факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x 2 + 6xy + 9xy 2 , ответ был бы

3 (х 2 + 2xy + 3xy 2 ).

Умножая для проверки, мы обнаруживаем, что ответ фактически совпадает с исходным выражением. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не учитывается полностью.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

  1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
  2. F Выражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Фактор 12x 3 + 6x 2 + 18x.

Решение

На этом этапе нет необходимости перечислять факторы каждого семестра.Вы должны уметь мысленно определить наиболее общий фактор. Хорошая процедура для подражания — думать об элементах по отдельности. Другими словами, не пытайтесь получить все общие множители сразу, а получите сначала число, а затем каждую задействованную букву. Например, 6 — множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x 3 + 6x 2 + 18x = 6x (2x 2 + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в круглых скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Скажите себе: «Каков наибольший общий делитель 12, 6 и 18?»
Затем «Какой наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»
Помните, это проверка, чтобы убедиться, что мы правильно разложили на множители.

Опять умножаем как чек.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы отдельно.

Если выражение не может быть разложено на множители, оно считается простым .

Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

РАЗДЕЛЕНИЕ ПО ГРУППАМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Факторные выражения, когда общий множитель включает более одного члена.
  2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, применяется к методу факторинга, который называется группировка .

Прежде всего мы должны отметить, что общий множитель не обязательно должен быть одним членом. Например, в выражении 2y (x + 3) + 5 (x + 3) есть два члена. Это 2y (x + 3) и 5 ​​(x + 3). В каждом из этих терминов есть множитель (x + 3), состоящий из членов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага, чтобы разложить их на множители.

Решение

Прежде всего отметьте, что не все четыре члена в выражении имеют общий множитель, но некоторые из них имеют.Например, мы можем умножить на 3 первые два члена, получив 3 (ax + 2y). Если мы вычленим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Выражение теперь 3 (ax + 2y) + a (ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), который можно множить как (ax + 2y) (3 + a). Умножая (ax + 2y) (3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a 2 x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример факторинга путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y) (a + 2) и посмотрите, получите ли вы исходное выражение.
Опять умножаем как чек.

Иногда термины необходимо сначала переставить, прежде чем можно будет выполнить факторинг по группировке.

Пример 7 Фактор 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего множителя, но первое и третье члены имеют, поэтому мы перегруппируем члены, поместив третий член после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором можно было бы расположить термины.

Во всех случаях важно убедиться, что факторы, указанные в скобках, абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти члены.
Умножение как проверка.

Пример 8 Фактор ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что когда мы множим a из первых двух членов, мы получаем a (x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2 (-x + y), а разложение на множители «-2» даст -2 (x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому поступаем таким же образом.

ФАКТОРНЫЕ ТРИНОМИАЛЫ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Мысленно перемножьте два бинома.
  2. Разложите на множители трехчлен с коэффициентом первого члена, равным 1.
  3. Найдите множители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет включать факторизацию трехчленов как произведений двух биномов. В предыдущей главе вы узнали, как умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух биномов и разработать образец для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3) (3x — 4) = 6x 2 + x — 12, обратите внимание, что первый член ответа (6x 2 ) был получен из произведения двух первых членов множителей. , то есть (2x) (3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) произошел от произведения вторых членов множителей, то есть (+ 3) (- 4).

Теперь у нас есть следующая часть узора:

Теперь, снова посмотрев на пример, мы видим, что средний член (+ x) получен из суммы двух произведений (2x) (-4) и (3) (3x).

Для любых двух биномов у нас теперь есть эти четыре произведения:

  1. Первый семестр по первый семестр
  2. Внешние условия
  3. Внутренние условия
  4. Последний семестр к последнему семестру

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних и внутренних терминов дают одинаковые термины, их можно комбинировать, и решение является трехчленом.

Этот метод умножения двух биномов иногда называют методом FOIL.
FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last.

Это сокращенный метод умножения двух биномов, и его полезность станет очевидной, когда мы разложим на множители трехчлены.

Вы должны запомнить этот образец.

Опять же, возможно, вам поможет запоминание слова FOIL.

Не только этот образец должен быть запомнен, но ученик должен также научиться переходить от проблемы к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, попытайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме ответа. Чем больше вы будете практиковать этот процесс, тем лучше вы будете в факторинге.

Теперь, когда мы установили образец умножения двух биномов, мы готовы разложить на множители трехчлены. Сначала мы рассмотрим факторизацию только тех трехчленов с коэффициентом первого члена, равным 1.

Решение

Так как это трехчлен и не имеет общего множителя, мы будем использовать шаблон умножения для факторизации.

Фактически мы будем работать в обратном порядке, как в предыдущем наборе упражнений.

Сначала укажите в скобках проблему.

Теперь мы хотим заполнить члены так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x) (x) = x 2 .

Помните, произведение первых двух членов бинома дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих слов будут правильные первый и последний член.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение —

Этот метод факторинга называется проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики.
  1. Произведение двух нечетных чисел является нечетным.
  2. Произведение двух четных чисел является четным.
  3. Произведение четного и нечетного числа — четное.
  4. Сумма двух нечетных чисел четная.
  5. Сумма двух четных чисел четная.
  6. Сумма нечетного и четного числа нечетная.
Следовательно, когда мы разлагаем на множители такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов в биномах должно быть 24, что является четным, и их сумма должна быть 11, что является нечетным.
Таким образом, будут работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема лишь немного в другом. Мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить — 11. Вы всегда должны помнить об этой схеме. Последний член получается строго умножением, а средний член, в конце концов, получается из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, и поскольку средний член должен происходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить категориями разницы. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок коэффициентов несущественный.

по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут при факторизации трехчленов:

  1. Если знак третьего члена положительный, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть похожи на знак среднего члена.
  2. Если знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть похож на знак среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема факторинга намного сложнее, потому что количество возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, теперь вы готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что существует двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один имеет 17x в качестве среднего члена.

Конечно, вы можете попробовать каждый из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три условия:

В этом примере верна одна из двенадцати возможностей. Таким образом, проб и ошибок может занять очень много времени.

Даже несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное предположение», в котором мы применяем все наши знания о числах и много упражняемся в мысленной арифметике. В предыдущем примере мы сразу отбросили бы многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x как средний термин, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12, и так далее, поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетное, мы знаем, что это сумма четного и нечетного числа. Все это помогает уменьшить количество возможностей попробовать.

Сначала найдите числа, которые дают правильные первый и последний члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего срока.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

  1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
  2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
  3. Множители 6×2: x, 2x, 3x, 6x. Множители 15: 1, 3, 5, 15.
  4. Исключите как слишком большое произведение 15 с 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.
Это автоматически даст слишком большой средний член.

Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

Решение

Анализировать:

  1. Последний член отрицательный, поэтому не похож на знаки.
  2. Мы должны найти продукты, которые отличаются на 5 с большим отрицательным числом.
  3. Мы исключаем произведение 4х и 6 как вероятно слишком большое.
  4. Попробуйте несколько комбинаций.
Помните, попробуйте мысленно различные возможные комбинации, которые являются разумными.Это процесс факторинга «методом проб и ошибок». Практикуясь, вы станете более опытным в этом процессе.

(4x — 3) (x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принимать это как решение, но поменяйте знаки так, чтобы более крупный продукт соответствовал знаку со средним условием.

К тому времени, когда вы закончите следующий комплекс упражнений, вы почувствуете себя гораздо более комфортно при факторинге трехчлена.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите и разложите на множители двух полных квадратов.
  2. Определите и разложите на множители трехчлен полного квадрата.

В этом разделе мы хотим изучить некоторые частные случаи факторинга, которые часто встречаются в задачах. Если признать эти особые случаи, факторинг значительно упростится.

Первый частный случай, который мы обсудим, — это разница двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух биномов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется , аддитивно обратным другого.
Например: (+ 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 — это аддитивная инверсия — 3, также -3 — аддитивная инверсия +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два бинома умножаются, чтобы получить бином (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b) (a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной при факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители, и если она имеет форму, то множители будут (a — b) (a + b).

Решение

Здесь оба члена представляют собой полные квадраты, разделенные знаком минус.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забывайте осознавать, что особый случай — это просто особенный случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разница двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разложима.

Вы также должны быть осторожны при распознавании идеальных квадратов.Помните, что точные квадратные числа — это числа, у которых квадратные корни являются целыми числами. Кроме того, показатели абсолютного квадрата четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) — это идеальный квадрат. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено на множители этим методом.

Другой частный случай факторизации — это трехчлен полного квадрата. Обратите внимание, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы признаем этот случай по его особенностям. Очевидны три вещи.

  1. Первый член — это полный квадрат.
  2. Третий член представляет собой полный квадрат.
  3. Средний член — это дважды произведение квадратного корня из первого и третьего членов.
Для целей факторинга более полезно записать отчет как

Решение

  1. 25x 2 — это точный квадратный корень с главным квадратным корнем = 5x.
  2. 4 — точный квадратный корень из главного квадрата = 2.
  3. 20x — это дважды произведение квадратных корней 25x 2 и
  4. 20x = 2 (5x) (2).

Для разложения трехчлена полного квадрата на множители сформируйте бином с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого бинома.

Таким образом, 25x 2 + 20x + 4 = (5x + 2) 2

Всегда возводите двучлен в квадрат для проверки правильности среднего члена.

Не частный случай трехчлена полного квадрата.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ БЫСТРЫЕ КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ И ФАКТОРИРОВАНИЕ ОШИБОК

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите ключевое число трехчлена.
  2. Используйте ключевое число для разложения трехчлена.

В этом разделе мы хотим обсудить несколько сокращений для факторинга методом проб и ошибок. Это необязательно по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти ярлыки не всегда практичны для большого количества людей.Однако они повысят скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в использовании этих ярлыков является поиск номера клавиши . После того, как вы нашли ключевой номер, его можно использовать более чем одним способом.

В трехчлене, подлежащем разложению, ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.


Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Первое использование номера ключа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите ключевой номер. В этом примере (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+ 3). В этом случае (+ 8) (-5) = -40 и (+ 8) + (-5) = +3.
Шаг 3 Коэффициенты (+ 8) и (- 5) будут перекрестными произведениями в шаблоне умножения.


Произведение этих двух чисел является ключевым числом.»

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться, чтобы дать произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые будут умножаться, чтобы дать + 8x. Это 4x от 4×2 и (+ 2) от (-10).
Поместите эти факторы в первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте на этом этапе номер ключа и посмотрите на исходную проблему.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых членов должно давать 4x 2 и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме x.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же множители.Самое главное — иметь систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10), а (+ 2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме (- 5).
Помните, если трехчлен факторизуем, существует только один возможный набор факторов.

Если не удается найти множители ключевого числа, сумма которых является коэффициентом средних членов, то трехчлен является простым и не множится.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг по группировке. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (- 40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать

Step 4 Разложите эту проблему на множители, начиная с шага 3, с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2


Теперь это становится обычным факторингом с помощью задачи группировки.

Следовательно,
Опять же, есть только одна возможная пара множителей, которая может быть получена из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить на множители трехчлен, выполнив следующие два шага:

  1. Первый взгляд на общие факторы.
  2. Разложите оставшийся трехчлен на множители, применяя методы этой главы.

Теперь мы изучили все обычные методы факторизации в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что есть две проверки правильности факторинга.

  1. Умножатся ли множители, чтобы получить исходную задачу?
  2. Все ли факторы просты?
После того, как общий множитель был найден, вы должны проверить, можно ли разложить полученный трехчлен на факторизацию.

Если у трехчлена есть какие-либо общие множители, обычно проще, если их сначала разложить на множители.

Хорошая процедура, которой следует придерживаться при факторинге, — всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, разложить на множители то, что осталось.

СВОДКА

Ключевые слова

  • Выражение является факторизованной формой, только если все выражение является указанным продуктом.
  • Факторинг — это процесс, который изменяет сумму или разность условий на произведение факторов.
  • Простое выражение не может быть разложено на множители.
  • Наибольший общий множитель является наибольшим общим множителем для всех терминов.
  • Выражение полностью разложено на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
  • Возможность разложения на множители путем группирования существует, если выражение содержит четыре или более терминов.
  • Метод FOIL можно использовать для умножения двух биномов.
  • Частные случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов полного квадрата .
  • Ключевой номер является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

  • Чтобы удалить общие множители, найдите наибольший общий множитель и разделите на него каждый член.
  • Триномы можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон умножения, чтобы найти факторы, которые дадут исходный трехчлен.
  • Чтобы разложить на множитель разность двух квадратов, используйте правило
  • Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена, сформировать двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и указать квадрат этого бинома.
  • Используйте ключевое число как вспомогательное средство для определения факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.

Решайте уравнения, упрощайте выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Алгебра

Раздел алгебры QuickMath позволяет вам манипулировать математическими выражениями всевозможными полезными способами. На данный момент QuickMath может расширять, разлагать на множители или упрощать практически любое выражение, отменять общие множители в дробях, разбивать дроби на более мелкие («частичные») дроби и объединять две или более дроби в одну дробь. На подходе более специализированные команды.

Что такое алгебра?
Термин «алгебра» используется для многих вещей в математике, но в этом разделе мы просто поговорим о том типе алгебры, с которым вы сталкиваетесь в старшей школе.

Алгебра — это раздел элементарной математики, в котором символы используются для обозначения неизвестных величин. В более общем смысле он состоит из решения уравнений или манипулирования выражениями, которые содержат символы (обычно буквы, такие как x, y или z), а также числа и функции. Хотя решение уравнений на самом деле является частью алгебры, это настолько большая область, что для нее есть отдельный раздел в QuickMath.

Эта часть QuickMath имеет дело только с алгебраическими выражениями. Это математические утверждения, которые содержат буквы, числа и функции, но не содержат знаков равенства. Вот несколько примеров простых алгебраических выражений:

х 2 -1

х 2 -2x + 1

ab 2 + 3a 3 b-5ab

х 3 +1

Развернуть

Команда расширения используется в основном для перезаписи многочленов с умножением всех скобок и целых числовых степеней, а также всех подобных терминов, собранных вместе.В расширенном разделе у вас также есть возможность развернуть тригонометрические функции, развернуть по модулю любого целого числа и оставить нетронутыми определенные части выражения, а остальные развернуть.

Перейти на страницу «Развернуть»

Фактор

Команда factor попытается переписать выражение как произведение меньших выражений. Он заботится о таких вещах, как вычитание общих множителей, факторизация по парам, квадратичные трехчлены, разности двух квадратов, суммы и разности двух кубов и многое другое.Расширенный раздел включает в себя варианты факторизации тригонометрических функций, факторизации по модулю любого целого числа, факторизации по полю гауссовских целых чисел (как раз то, что нужно для этих сложных сумм квадратов) и даже расширения поля, по которому факторизация происходит с вашими собственными расширениями.

Перейти на страницу Фактора

Упростить

Упрощение, пожалуй, самая сложная из всех команд для описания. Способ выполнения упрощения в QuickMath заключается в рассмотрении множества различных комбинаций преобразований выражения и выборе того, которое имеет наименьшее количество частей.Помимо прочего, команда «Упростить» позаботится об отмене общих множителей сверху и снизу дроби и сборе похожих терминов. Расширенные параметры позволяют упростить тригонометрические функции или указать QuickMath усерднее пытаться найти упрощенное выражение.

Перейти на страницу упрощения

Отмена

Команда отмены позволяет исключить общие множители в знаменателе и числителе любой дроби, встречающейся в выражении.Эта команда отменяет наибольший общий делитель знаменателя и числителя.

Перейти на страницу отмены

Неполные дроби

Команда частичных дробей позволяет разбить рациональную функцию на сумму или разность дробей. Рациональная функция — это просто частное двух многочленов. Любую рациональную функцию можно записать в виде суммы дробей, где знаменатели дробей являются степенями множителей знаменателя исходного выражения.Эта команда особенно полезна, если вам нужно интегрировать рациональную функцию. Разделив его сначала на частичные фракции, часто можно значительно упростить интеграцию.

Перейти на страницу с неполными дробями

Объединить дроби

Команда объединения дробей по существу выполняет обратную операцию по сравнению с командой частичных дробей. Он перепишет ряд дробей, которые будут добавлены или вычтены как одна дробь. Знаменателем этой единственной дроби обычно будет наименьшее общее кратное знаменателей всех добавляемых или вычитаемых дробей.Все общие множители в числителе и знаменателе ответа автоматически исключаются.

Перейти на страницу Объединить фракции

Понятие корреспонденции часто встречается в повседневной жизни. Для Например, каждой книге в библиотеке соответствует количество страниц в книга. Другой пример: каждому человеку соответствует дата рождения. К приведите третий пример, если температура воздуха регистрируется на протяжении всего день, то в каждый момент времени есть соответствующая температура.

Приведенные нами примеры соответствий включают два множества X и Y. В В нашем первом примере X обозначает набор книг в библиотеке, а Y — набор положительные целые числа. Каждой книге x в X соответствует положительное целое число y, а именно количество страниц в книге. Во втором примере, если мы положим X обозначить множество всех людей и Y множество всех возможных дат, затем каждому человеку x в X соответствует дата рождения y.

Иногда мы представляем соответствия диаграммами типа, показанного на Рисунок 1.17, где множества X и Y представлены точками внутри регионов в самолет. Изогнутая стрелка указывает, что элемент y из Y соответствует элемент x из X. Мы изобразили X и Y как разные множества. Однако X и Y могут имеют общие элементы. На самом деле мы часто имеем X = Y.

Наши примеры показывают, что каждому x в X соответствует один и только один у в Y; то есть y уникален для данного x. Однако тот же элемент Y может соответствуют различным элементам X.Например, две разные книги могут иметь одинаковое количество страниц, два разных человека могут иметь один и тот же день рождения, и скоро.

В большей части нашей работы X и Y будут наборами действительных чисел. Для иллюстрации пусть X и Y оба обозначают множество R действительных чисел, и для каждого действительного числа x обозначим назначьте его квадрат x 2 . Таким образом, к 3 мы присваиваем 9, к — 5 мы назначаем 25, и скоро. Это дает нам соответствие от R до R. Все примеры Приведенные нами соответствия являются функциями, как определено ниже.

Определение

Функция f из множества X в множество Y — это соответствие, которое присваивается каждому element x of X уникальный элемент y из Y. Элемент y называется изображением x. под f и обозначается f (x). Множество X называется областью определения функции. Диапазон функции состоит из всех изображений элементов X.

Ранее мы ввели обозначение f (x) для элемента Y, который соответствует x. Обычно это читается как «е из х». Мы также называем f (x) значением f в x.С точки зрения графического представления, данного ранее, теперь мы можем набросайте диаграмму, как на рисунке 1.18. Изогнутые стрелки указывают на то, что элементы f (x), f (w), f (z) и f (a) из Y соответствуют элементам x, y, z и a из X. Повторим тот важный факт, что каждому x из X соответствует ровно одно изображение f (x) в Y; однако различные элементы X, такие как w и z на рисунке 1.18 может иметь такое же изображение в Y.

Начинающих студентов иногда путают символы f и f (x).Помнить что f используется для представления функции. Его нет ни в X, ни в Y. Однако f (x) — это элемент Y, а именно элемент, который f присваивает x. Две функции Говорят, что f и g от X до Y равны, записывается

для каждого x в X.

Пример 1 Пусть f будет функцией с областью определения R, такой что f (x) = x 2 для каждого x в R. Найдите f (-6) и f (a), где a — любое действительное число. Что диапазон f?

Решение Значения f (или изображения под f) можно найти, заменив x в уравнение f (x) = x 2 .Таким образом:

Если T обозначает отключенный диапазон, то по предыдущему определению T состоит из всех числа вида f (a), где a находится в R . Следовательно, T — это множество всех квадраты a 2 , где a — действительное число. Поскольку квадрат любого реального число неотрицательно. T содержится во множестве всех неотрицательных действительных числа. Более того, каждое неотрицательное действительное число c является изображением под символом f, так как . Следовательно, диапазон f — это набор всех неотрицательных действительных чисел.

Если функция определена, как в предыдущем примере, символ, используемый для переменная несущественна; то есть такие выражения, как:

и так далее, все определяют одну и ту же функцию.Это правда, потому что если a есть число в области f, то получается то же изображение a 2 no имеет значение, какое выражение используется.

Пример 2 Пусть X обозначает множество неотрицательных действительных чисел и пусть f будет функция от X до R , определяемая для каждого x из X. Найдите f (4) и f (пи). Если b и c находятся в X, найдите f (b + c) и f (b) + f (c).

Решение Как и в Примере 1, поиск изображений под f — это просто вопрос подставив соответствующее число вместо x в выражение для f (x).Таким образом:

Многие формулы, встречающиеся в математике и естественных науках, определяют функции. В качестве иллюстрации формула A = pi * r 2 для площади A круга радиуса r присваивает каждому положительному действительному числу r уникальное значение A. Это определяет функцию f, где f (r) = pi * r 2 , и мы можем написать А = f (r). Буква r, обозначающая произвольное число из выключенного домена, часто называют независимой переменной. Буква А, обозначающая число из диапазона off, называется зависимой переменной, так как ее значение зависит от номер, присвоенный tor.Когда две переменные r и A связаны таким образом, принято использовать фразу A — это функция от r. Приведу еще один пример: если автомобиль едет со скоростью 50 миль в час, то расстояние d (мили), пройденное за время t (часы), определяется как d = 50t и, следовательно, расстояние d зависит от времени t.

Мы видели, что разные элементы в области определения функции могут иметь тот же образ. Если изображения всегда разные, то, как в следующем определении, функция называется однозначной.

решений математических задач (1)

Решение проблемы 1:
Длина окружности равна
C = 2 π r, где r — радиус окружности.
Заменим C на 72 π, чтобы получить уравнение
72 π = 2 π r
Упростите и решите относительно r, чтобы получить
г = 36

Решение проблемы 2:
Пусть L и W будут длиной и шириной сада. Утверждение «длина прямоугольного сада на 2 фута больше, чем в 3 раза его ширина» может быть сформулировано следующим образом:
L = 2 + 3 Вт
Формула для периметра имеет вид
P = 2 L + 2 Вт
Замените P и L в приведенном выше уравнении на 100 и 2 + 3 W соответственно, чтобы получить
100 = 2 (2 + 3 Вт) + 2 Вт
Решите для W и L
W = 12 и L = 2 + 3 W = 38.
Проверить, что периметр прямоугольного сада равен 100
P = 2 L + 2 W = 76 + 24 = 100

Решение проблемы 3:
Пусть x и y будут длиной и шириной поля. Утверждение «длина на 10 футов больше ширины» может быть сформулировано следующим образом:
х = 10 + у
Формула площади определяется как
А = х у
Заменим A и x в приведенном выше уравнении на 264 и 10 + y соответственно, чтобы получить
264 = (10 + y) y
Запишите приведенное выше уравнение в стандартной форме следующим образом
л 2 + 10 л — 264 = 0
Решите указанное выше уравнение для получения
y = 12 и y = — 22
Поскольку y — это значение ширины, оно должно быть положительным.Размеры поля даны как
y = 12 и x = 10 + y = 22
В качестве упражнения убедитесь, что прямоугольное поле имеет длину на 10 футов больше ширины и площадь 264.

Решение проблемы 4:
Используем прибыль = выручка — затраты, чтобы найти формулу прибыли P
P = (x 2 + 100 x) — (240 x + 500)
Замените P в приведенном выше уравнении на 10000 долларов, чтобы получить
10000 = x 2 — 140 x — 500
Запишите уравнение в стандартной форме и решите относительно x
х 2 — 140 х — 10500 = 0
Решите указанное выше уравнение относительно x
х = 194.10 и x = -54,01
Количество производимых единиц должно быть положительным, поэтому
х = 194.
В качестве упражнения проверьте, что для указанного выше значения x прибыль приблизительно (из-за округления) равна 10 000.

Решение проблемы 5:
Пусть x будет стороной меньшего квадрата, а y будет стороной большего квадрата. Утверждение «У квадрата сторона на 5 сантиметров короче, чем сторона второго квадрата» можно сформулировать следующим образом:
х = у — 5
Площадь меньшего квадрата равна x 2 = (y — 5) 2 , а площадь большего квадрата равна y 2
Утверждение «площадь большего квадрата в четыре раза больше площади меньшего квадрата» может быть сформулировано следующим образом:
y 2 = 4 (y — 5) 2
Запишите приведенное выше уравнение так, чтобы правая часть была равна 0
y 2 — 4 (y — 5) 2 = 0
Левая часть состоит из разницы двух квадратов и может быть легко разложена на множители следующим образом.
[y — 2 (y — 5)] [y + 2 (y — 5)] = 0
Решите относительно y, чтобы найти
y = 10 и y = 10/3.
Теперь мы используем уравнение x = y — 5, чтобы найти x
y = 10 и x = 5
Для второго решения y = 10/3, x отрицателен и не может быть принят, поскольку длина стороны квадрата должна быть положительной.

Решение проблемы 6:
Пусть два числа будут a и b, и используйте сумму и произведение, чтобы написать два уравнения с двумя неизвестными.
a + b = 26 и a b = 165
Решите первое уравнение относительно b
б = 26 — а
Заменим b в уравнении a b = 165 на 26 — a
а (26 — а) = 165
Запишите приведенное выше уравнение в стандартной форме.
— а 2 + 26 а — 165 = 0
Решите указанное выше уравнение для
а = 11 и а = 15.
Используйте b = 26 — a, чтобы найти b
, когда a = 11, b = 15 и когда a = 15, b = 11.
Два числа — 11 и 15.

Решение проблемы 7:
Пусть x и y будут длиной и шириной прямоугольника. Используя формулы для площади и периметра, мы можем написать два уравнения.
15 = x y и 16 = 2 x + 2 y
Решите второе уравнение относительно x
х = 8 — у
Подставьте x в уравнение 15 = x y на 8 — y, чтобы переписать уравнение как
15 = (8 — у) у
Решите относительно y, чтобы найти
y = 3 и y = 5
Используйте x = 8 — y, чтобы найти x
, когда y = 3, x = 5 и когда y = 5, x = 3.
Размеры прямоугольника 3 и 5.

В качестве упражнения проверьте, что периметр этого прямоугольника равен 16, а его площадь равна 15.

Решение проблемы 8:
Пусть x и y будут такими двумя числами, что x больше y. Утверждение «большее число на четыре меньше, чем в два раза меньшее число» можно сформулировать следующим образом:
х = 2у — 4

Мы используем сумму двух чисел, чтобы написать второе уравнение.
х + у = 20
Заменим x на 2y — 4 в x + y = 20, чтобы получить
2y — 4 + y = 20
Решите относительно y, чтобы найти
y = 8 и x = 2y — 4 = 12

Решение проблемы 9:
Пусть a и b — две стороны треугольника, так что a длиннее b.Утверждение «гипотенуза прямоугольного треугольника на 2 сантиметра больше, чем его длинная сторона» может быть сформулировано следующим образом:
h = a + 2 или a = h — 2
Можно сформулировать утверждение «более короткая сторона треугольника на 7 сантиметров меньше длинной стороны».
b = a — 7 или b = (h — 2) — 7 = h — 9
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы написать третье уравнение
h 2 = a 2 + b 2
Замените a на h — 2 и b на h — 9 в приведенном выше уравнении, чтобы получить уравнение только для одной переменной.
h 2 = (h — 2) 2 + (h — 9) 2
Упростите и перепишите приведенное выше уравнение в стандартной форме.
ч 2 -22 ч + 85 = 0
Решить для h.
h = 5 и h = 17.
Только решение h = 17 дает положительные значения a и b, и это длина гипотенузы треугольника.
В качестве упражнения найдите a и b и посмотрите, удовлетворяют ли a, b и h теореме Пифагора.

Больше математических задач с подробными решениями на этом сайте.

Корявые, вековые математические затруднения получают новые решения

Ряд нерешенных загадок теории чисел, называемых диофантовыми проблемами, появился 3700 лет назад.За прошедшие годы математики отказались от них, а недавние работы позволили добиться значительного прогресса в некоторых областях, а другие показали, что они столь же непоколебимы, как и прежде.

Исследователи использовали инструменты из геометрии для решения проблем, названных в честь Диофанта, греческого математика третьего века. Они включают определение того, какие решения существуют для полиномиальных уравнений, таких как x n + y n = z n . Математики стремятся выяснить, есть ли у уравнений целочисленные или рациональные решения.Например, для x 2 + y 2 = z 2 таких решений существует бесконечно много.

Диофантова геометрия — это область математики, сфокусированная на взаимосвязи между свойствами теории чисел уравнения, такими как его рациональные или целочисленные решения, и «геометрическими свойствами, такими как топология множества комплексных решений уравнения», — говорится в сообщении. Дэвид Корвин, математик из Университета Бен-Гуриона в Негеве в Израиле.

Удивительно, «как мало мы знаем о диофантовой геометрии по сравнению с другими областями математики», — говорит Бьорн Пунен, математик из Массачусетского технологического института. Например, он отмечает, что, хотя математики знают, что число 20 можно записать как сумму трех кубов, например, 3 3 + 1 3 + (–2) 3 = 20, может ли число 114 быть выраженным суммой трех кубиков остается открытой проблемой.

«Темная сторона»

Для некоторых диофантовых задач фокус математиков может показаться навязчиво узким.Зачем тратить значительные усилия на то, чтобы определить, можно ли 114 записать как сумму трех кубов? Киран Кедлая, математик из Калифорнийского университета в Сан-Диего, говорит, что для многих диофантовых головоломок, которые легко сформулировать, «сама проблема не так важна … но методы, необходимые для ее решения, очень важны».

Это свойство не редкость в математике. Знаменитое затруднение, известное как Великая теорема Ферма, например, также более важно из-за методов, разработанных для его решения, чем для самой проблемы, говорит Кедлая, «что не имеет большого прямого значения для теории чисел.Однако инструменты, используемые для его атаки, включают ключевые достижения в теории алгебраических чисел в конце 19-го века, а также модульные формы в начале 20-го века. «Эти [разработки] невероятно важны для решения множества проблем современной теории чисел», — говорит он, включая вопросы, связанные с криптографией.

«Самые простые проблемы, как правило, являются мотивацией, которая побуждает нас разрабатывать методы, которые мы затем можем использовать для решения проблем, которые действительно говорят нам о многом», — говорит он.Например, проблема однородности Серра, относящаяся к исследованиям Кедлая, касается особого типа математической кривой, называемой модульной кривой. Однако, как отмечает Кедлая, «последствия этого достаточно глубоки, и методы, которые мы используем для его применения» в различных случаях уходят корнями в более раннюю работу над проблемой Ферма.

Тем не менее, некоторые из диофантовых проблем более трудноразрешимы, чем другие. «Многие исследователи в этой области пытаются разработать новые методы решения диофантовых уравнений, — говорит Пунен, — но я работаю также над« темной стороной », пытаясь доказать, что некоторые классы проблем неразрешимы.”

Новые инструменты для решения старых проблем

Вместо того, чтобы использовать инструменты из геометрии и других областей для решения конкретных диофантовых проблем, можно было бы разработать компьютерные программы для решения общего случая таких проблем. Но математики Мартин Дэвис, Юрий Матиясевич, Хилари Патнэм и Джулия Робинсон показали, что найти полные решения этих задач не так просто, как поручить компьютеру поиск их. Их работа завершилась теоремой 1970 года, которая ответила на знаменитую 10-ю проблему немецкого математика Давида Гильберта.Кедлая отмечает, что эта проблема была сосредоточена на поиске алгоритма для определения того, существует ли для некоторой системы полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами решение в виде целых чисел. Думая, что такой алгоритм может быть найден, «Гильберт был оптимистом», — говорит Кедлая. «Гильберт был большим старанием, пытаясь решить общие классы проблем».

Но теорема Матиясевича, которую еще называют теоремой DPRM или теоремой MRDP, показала, что такого алгоритма не существует.Это открытие означает, что «общая проблема такого типа, конечно, неразрешима», а отдельные примеры этих проблем могут быть «очень трудно решить», — говорит Кедлая.

Любопытно, что Корвин отмечает, что для полиномиальных уравнений (или систем таких уравнений) от нескольких переменных никто не знает, можно ли найти алгоритм для определения существования рациональных решений. «Это можно только догадываться», — говорит он. Пунен работал над тем, чтобы показать, что такой общий метод поиска решений в рациональных числах невозможен.

Что касается некоторых из этих древних вопросов, включая вопросы, заданные самим Диофантом, «мы только сейчас разрабатываем методы, которые могут помочь ответить на них», — говорит Дженнифер Балакришнан, математик из Бостонского университета. Например, проблема из книги Диофанта Arithmetica касается того, существуют ли положительные рациональные решения для x и y , такие что уравнение y 2 = x 8 + x 4 + х 2 доволен.Хотя Диофант предоставил решение, которое составляет x = ½ и y = 9 16 , Балакришнан говорит, что до 1998 года было неизвестно, сколько других решений существовало. В докторской диссертации в Калифорнийском университете в Беркли Джозеф Ветерелл представил методы ответа на этот вопрос.

Совсем недавно Балакришнан и ее сотрудники разрабатывали новые методы для поиска аналогичных решений. По ее словам, недавним впечатляющим результатом стало новое доказательство Брайаном Лоуренсом и Акшаем Венкатешем того, что называется гипотезой Морделла.Хотя Герд Фалтингс впервые доказал гипотезу Морделла в 1983 году, работа Лоуренса и Венкатеша «дает другой взгляд на проблему, которой уже почти 100 лет», — говорит Балакришнан. Эти и другие достижения показывают, что интерес к диофантовой геометрии в последние годы растет, говорит Корвин, «особенно с появлением новых методов».

Решения NCERT для математики 8-го класса по главам (обновлено для 2021-22 гг.)

Решения NCERT для математики 8-го класса: Математика — это предмет, который полезен для учащихся на всех этапах жизни.Неважно, выбираете ли вы науку, биологию или торговлю. В каждом из этих потоков всегда будет присутствовать некоторая базовая математика. Таким образом, для учащихся становится важным иметь прочную базу в этом предмете. Одна из таких подсказок — это решения NCERT для математики 8-го класса. Здесь мы предлагаем вам решения всех упражнений, приведенных в учебнике. Вы также можете попрактиковаться в дополнительных вопросах для класса 8 по математике на LearnCBSE.in

.

Решения NCERT для математики класса 8

Решения NCERT для математики класса 8

Решения

NCERT для математики 8-го класса, разработанные учителями-экспертами из LearnCBSE.дюйм. Математика класса 8 Решения NCERT созданы с особой тщательностью и точностью. Мы просмотрели, исправили опечатки и перекрестно проверили решения для получения лучших, наиболее подробных и точных бесплатных решений для математики NCERT класса 8. Книга NCERT по математике для 8 класса написана строго в соответствии с последними рекомендациями CBSE. Решения NCERT для Class 8 Maths полностью бесплатны, и вы можете КОПИРОВАТЬ, загружать и создавать PDF-файлы.

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 1 Рациональные числа

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 2 Линейные уравнения в одной переменной

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 3 Понимание четырехугольника

Решения NCERT для математики 8 класса Глава 4 Практическая геометрия

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 5 Обработка данных

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 6 Квадратные и квадратные корни

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 7 Куб и корни куба

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 8 Сравнение величин

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 9 Алгебраические выражения и идентичности

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 10 Визуализация твердых форм

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 11 Измерение

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 12 Показатели и степени

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 13 Прямые и обратные пропорции

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 14 Факторизация

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 15 Введение в графики

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 16 Игра с числами

Математические формулы для класса 8
Решения NCERT для математики класса 8 (Загрузить PDF)

С помощью решений NCERT по математике для 8-го класса вы получите разумные решения для каждого упражнения.Таким образом, это поможет вам решать и практиковать вопросы в удобное для вас время и с легкостью. Эта статья также поможет вам понять все главы учебника математики NCERT. Вы можете поделиться этой ссылкой со своими друзьями и помочь им лучше понять темы. Ниже мы приводим обзор всех глав, которые рассматриваются в учебнике NCERT в том же порядке.

Вот список основных тем из учебника NCERT по математике для 8 класса:

Математика для класса 8 Глава 1 Рациональные числа

Эта глава поможет вам понять целые числа, свойства действительных целых чисел, рациональных чисел и целых чисел.Кроме того, также объясняется, как рациональные числа представлены на числовой прямой. В этой главе вы сможете искать рациональные числа между любым из данных двух рациональных чисел.

  • 1.1 Введение
  • 1.2 Свойства рациональных чисел
  • 1.3 Представление рациональных чисел на числовой прямой
  • 1.4 Рациональные числа между двумя рациональными числами
Математика класса 8 Глава 2 Линейное уравнение с одной переменной

По мере того, как вы будете заниматься математикой, вы заметите важность линейных уравнений.Таким образом, это очень важная глава для понимания и запоминания. Математика, которую вы будете изучать в предварительных классах, основана исключительно на различных уравнениях, которые включают переменные. Студентам предлагается 65 вопросов в шести упражнениях для практики и обучения. Вы также учитесь выполнять математические операции по обе стороны от уравнения.

  • 2.1 Введение
  • 2.2 Решение уравнений, которые имеют линейные выражения с одной стороны и числа с другой стороны
  • 2.3 Некоторые приложения
  • 2.4 Решение уравнений, имеющих переменную с обеих сторон
  • 2.5 Еще несколько приложений
  • 2.6 Приведение уравнений к более простому виду
  • 2.7 Уравнения, приводимые к линейной форме

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 2 Линейные уравнения в упражнении с одной переменной 2.1

Вопрос 1.
Решите уравнение: x — 2 = 7.
Решение:
Дано: x — 2 = 7
⇒ x — 2 + 2 = 7 + 2 (добавляя 2 с обеих сторон)
⇒ x = 9 ( Требуемое решение)

Вопрос 2.
Решите уравнение: y + 3 = 10.
Дано: y + 3 = 10
⇒ y + 3 — 3 = 10 — 3 (вычитая по 3 с каждой стороны)
⇒ y = 7 (Требуемое решение)

Вопрос 3.
Решите уравнение: 6 = z + 2
Решение:
У нас 6 = z + 2
⇒ 6-2 = z + 2-2 (вычитая 2 с каждой стороны)
⇒ 4 = z
Таким образом , z = 4 — искомое решение.

Вопрос 4.
Решите уравнения: \ (\ frac {3} {7} \) + x = \ (\ frac {17} {7} \)
Решение:

Вопрос 5.
Решите уравнение 6x = 12.
Решение:
У нас есть 6x = 12
⇒ 6x ÷ 6 = 12 ÷ 6 (разделив каждую сторону на 6)
⇒ x = 2
Таким образом, x = 2 является искомым решением.

Вопрос 6.
Решите уравнение \ (\ frac {t} {5} \) = 10.
Решение:
Дано \ (\ frac {t} {5} \) = 10
⇒ \ (\ frac {t } {5} \) × 5 = 10 × 5 (умножение обеих частей на 5)
⇒ t = 50
Таким образом, t = 50 является искомым решением.

Вопрос 7.
Решите уравнение \ (\ frac {2x} {3} \) = 18.
Решение:
У нас есть \ (\ frac {2x} {3} \) = 18
⇒ \ (\ frac {2x} {3} \) × 3 = 18 × 3 (умножение обеих частей на 3)
⇒ 2x = 54
⇒ 2x ÷ 2 = 54 ÷ 2 (разделив обе части на 2)
⇒ x = 27
Таким образом, x = 27 является искомым решением.

Вопрос 8.
Решите уравнение 1.6 = \ (\ frac {y} {1.5} \)
Решение:
Дано: 1.6 = \ (\ frac {y} {1.5} \)
⇒ 1.6 × 1.5 = \ ( \ frac {y} {1.5} \) × 1,5 (умножение обеих частей на 1,5)
⇒ 2,40 = y
Таким образом, y = 2.40 — необходимое решение.

Вопрос 9.
Решите уравнение 7x — 9 = 16.
Решение:
У нас есть 7x — 9 = 16
⇒ 7x — 9 + 9 = 16 + 9 (прибавляя 9 к обеим сторонам)
⇒ 7x = 25
⇒ 7x ÷ 7 = 25 ÷ 7 (деление обеих сторон на 7)
⇒ x = \ (\ frac {25} {7} \)
Таким образом, x = \ (\ frac {25} {7} \) является требуемым решение.

Вопрос 10.
Решите уравнение 14y — 8 = 13.
Решение:
У нас есть 14y — 8 = 13
⇒ 14y — 8 + 8 = 13 + 8 (прибавляя 8 к обеим сторонам)
⇒ 14y = 21
⇒ 14y ÷ 14 = 21 ÷ 14 (деление обеих сторон на 14)
⇒ y = \ (\ frac {21} {14} \)
⇒ y = \ (\ frac {3} {2} \)
Таким образом, y = \ (\ frac {3} {2} \) — необходимое решение.

Вопрос 11.
Решите уравнение 17 + 6p = 9.
Решение:
Мы имеем, 17 + 6p = 9
⇒ 17-17 + 6p = 9-17 (вычитая 17 с обеих сторон)
⇒ 6p = -8
⇒ 6p ÷ 6 = -8 ÷ 6 (деление обеих сторон на 6)
⇒ p = \ (\ frac {-8} {6} \)
⇒ p = \ (\ frac {-4} {3} \ )
Таким образом, p = \ (\ frac {-4} {3} \) является искомым решением.

Вопрос 12.
Решите уравнение \ (\ frac {x} {3} \) + 1 = \ (\ frac {7} {15} \)
Решение:

Перейти к началу страницы.

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 2 Линейные уравнения в одной переменной Пример 2.2
















Перейти к началу страницы.

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 2 Линейные уравнения в одной переменной Пример 2.3










Перейти к началу страницы.

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 2 Линейные уравнения в одной переменной Пример 2.4










Перейти к началу страницы.

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 2 Линейные уравнения с одной переменной Пример 2,5










Перейти к началу страницы.

Решения NCERT для математики класса 8 Глава 2 Линейные уравнения в одной переменной Пример 2,6







Перейти к началу страницы.

Математика для 8-го класса Глава 3 Понимание четырехугольников

Геометрия — еще одна тема, которая будет важна для продвинутых классов математики. Эта глава познакомит вас с основами четырехугольника, многоугольника с 4 сторонами. Объект в форме куба, образованный соединением различных отрезков линии, называется многоугольником, а затем представляет собой многоугольники различной формы. Это зависит от угла между двумя сегментами линии и количества сегментов линии. Формы могут быть четырехугольником, треугольником, шестиугольником, пятиугольником и т. Д.Когда все стороны многоугольника равны, а внешние углы равны 360 °, этот многоугольник называется четырехугольником.

  • 3.1 Введение
  • 3.2 Полигоны
  • 3.3 Сумма размеров внешних углов многоугольника
  • 3.4 Виды четырехугольника
  • 3.5 Некоторые специальные параллелограммы
Математика 8-го класса Глава 4 Практическая геометрия

Эта глава включает в себя рисование четырех сторон четырехугольника с двумя смежными сторонами, тремя углами и одной диагональной областью.В этой главе вам будет объяснено, как рисовать различные типы четырехугольника.

  • 4.1 Введение
  • 4.2 Построение четырехугольника
  • 4.3 Некоторые особые случаи
Математика для класса 8 Глава 5 Работа со знаниями

Данные стали очень важным инструментом в последние годы. Но при таком количестве доступных данных следующий шаг становится очень важным — как обрабатывать данные. Эта глава поможет вам получить базовые знания о том, как обрабатывать данные и упорядочить их в систематическом порядке, чтобы можно было интерпретировать значимые результаты.Это делается для того, чтобы получить четкое представление о данных и схематично представить их в виде гистограммы, круговой диаграммы, двойной гистограммы и т. Д.

  • 5.1 Поиск информации
  • 5.2 Организация данных
  • 5.3 Группировка данных
  • 5.4 Круговой график или круговая диаграмма
  • 5.5 Вероятность и вероятность
Математика 8 класса Глава 6 Квадраты и квадратные корни

В этой главе предлагается план обсуждения различных корней числа.Предположим, что число A представлено, потому что квадрат другого числа, скажем B, тогда B здесь, является квадратным корнем из A. Число называется превосходным квадратом, когда корни числа также являются числами. Эта стратегия поиска корней очень полезна в более высоких стандартах.

  • 6.1 Введение
  • 6.2 Свойства квадратных чисел
  • 6.3 Еще несколько интересных паттернов
  • 6.4 Нахождение квадрата числа
  • 6.5 Квадратный корень
Математика 8 класса Глава 7 Куб и корни куба

Существует множество способов найти кубики и кубические корни числа.Но в этой главе вы узнаете об этих кубиках, добавив последовательность нечетных чисел.

  • 7.1 Введение
  • 7.2 Кубики
  • 7.3 Кубические корни
Математика класса 8 Глава 8 Сравнение количеств

Когда вы сравниваете количества, вам необходимо увеличить или уменьшить процентное значение, продажную стоимость, рыночную стоимость, скидку и дисконтированную стоимость продукта, чтобы проверить, получили ли вы прибыль или убыток. В этой главе также рассматриваются дополнительные расходы, такие как акцизный налог, приобретение единицы, независимо от того, начисляются ли проценты ежегодно, раз в полгода или квартал и т. Д.

  • 8.1 Коэффициенты отзыва и проценты
  • 8.2 Определение процента увеличения или уменьшения
  • 8.3 Поиск скидок
  • 8.4 Цены, связанные с покупкой и продажей (прибыль и убыток)
  • 8.5 Налог с продаж / налог на добавленную стоимость
  • 8.6 Сложные проценты
  • 8.7 Вычисление формулы сложного процента
  • 8,8 Сложная ставка ежегодно или полугодие (полугодие)
  • 8.9 Заявки на формулу сложных процентов
Математика 8-го класса Глава 9 Алгебраические тождества и выражения

В этой главе объясняются математические выражения и идентичности, а также их реализация.Здесь также объясняются термины «единица площади», которые дополнительно используются для выражения чисто математических выражений, и то, как эти термины формируются на основе различных продуктов. Далее в этой главе рассматриваются биномы, одночлены, трехчлены и многое другое в зависимости от количества членов. Это также объясняет умножение многочленов на многочлены и добавление математических выражений.

  • 9.1 Что такое выражения?
  • 9.2 Термины, факторы и коэффициенты
  • 9.3 Мономы, биномы и многочлены
  • 9.4 Термины «Нравится» и «Не нравится»
  • 9.5 Сложение и вычитание алгебраических выражений
  • 9.6 Умножение алгебраических выражений: введение
  • 9.7 Умножение одночлена на одночлен
  • 9.8 Умножение одночлена на многочлен
  • 9.9 Умножение многочлена на многочлен
  • 9.10 Что такое личность?
  • 9.11 Стандартные идентификаторы
  • 9.12 Применение удостоверений
Математика для класса 8 Глава 10 Визуализация твердых форм

В этой главе вы изучите твердые объекты, которые имеют высоту, длину и ширину, поэтому они называются трехмерными объектами.Наряду с этим вы также узнаете о ребрах, гранях и вершинах некоторых твердых фигур, таких как треугольные пирамиды, кубоиды, квадратное основание, треугольные призмы и т. Д. Вы также изучите применение формулы Эйлера.

  • 10.1 Введение
  • 10.2 Виды 3D-фигур
  • 10.3 Картографирование пространства вокруг нас
  • 10.4 Грани, края и вершины
Математика 8-го класса Глава 11 Измерение

В этой главе рассматриваются вопросы, связанные с областями и периметром замкнутых фигур.Наряду с этим вы будете изучать объем твердых фигур, таких как цилиндр, куб, кубоид и так далее. Вы также узнаете, как преобразовать количество в различные единицы.

  • 11.1 Введение
  • 11.2 Напомним
  • 11,3 Площадь трапеции
  • 11.4 Площадь общего четырехугольника
  • 11,5 Площадь многоугольника
  • 11.6 Сплошные формы
  • 11.7 Площадь поверхности куба, кубоида и цилиндра
  • 11,8 Объем куба, кубоида и цилиндра
  • 11.9 Объем и вместимость

Глава 12: Показатели и степень

Основное, что вы изучите в этой главе, — это степень и экспоненты: степень, которая имеет отрицательные показатели, десятичные числа и их научную документацию, зависимость закона экспоненты, использование показателей для выражения чисел и сравнение малых чисел с чрезвычайно большими. числа.

  • 12.1 Введение
  • 12.2 Степени с отрицательными показателями
  • 12.3 закона экспонент
  • 12.4 Использование экспонент для выражения малых чисел в стандартной форме
Математика класса 8 Глава 13 Обратные и прямые пропорции

Вопросы в этой главе дадут вам подробную информацию об обратной и прямой пропорции. Эта обратная и прямая пропорции определяются на основе относительного уменьшения или увеличения одного количества по сравнению с другими количествами. Вопросы в этой главе будут из повседневной жизни и будут интересными.

  • 13.1 Введение
  • 13,2 Прямая пропорция
  • 13,3 Обратная пропорция
Математика 8 класса Глава 14 Факторизация

Эта глава основана на факторизации алгебраических выражений и натуральных чисел. Это могут быть алгебраические значения, числа или выражения. Кроме того, вы узнаете о методе факторизации, используемом для общих факторов, с использованием тождеств, факторов и условий перегруппировки. Вы также узнаете, как делить один многочлен на другой, одночлен на одночлен или многочлен, а также находить ошибки в алгебраических уравнениях.

  • 14.2 Что такое факторизация?
  • 14.3 Деление алгебраических выражений
  • 14.4.Деление алгебраических выражений, продолжение (многочлен ÷ многочлен)
  • 14.5 Можете ли вы найти ошибку?
Математика для класса 8 Глава 15 Введение в графики

В этой главе вы понимаете назначение и важность графиков, чтобы показать числовые факты в наглядных формах, чтобы каждый мог очень легко понять концепцию. Вы также узнаете о количестве и стоимости, простых и основных процентах, времени и расстоянии на графиках с использованием независимых и зависимых переменных.

  • 15.1 Введение
  • 15.2 Линейные графики
  • 15.3 Некоторые приложения
Математика для 8-го класса Глава 16 Игра с числами

В этой главе вы будете иметь дело с числами в общем виде. В этой главе также есть головоломки и игры, связанные с числами. Есть также тесты на делимость, а также вопросы, основанные на них.

  • 16.1 Введение
  • 16.2 Числа в общей форме
  • 16.3 Игры с числами
  • 16.4 буквы вместо цифр
  • 16.5 Тесты делимости

К вступительным экзаменам важно подготовиться одновременно со школьными экзаменами. Это решение NCERT для математики 8-го класса как раз и поможет вам в этом. Мы также будем обновлять контент, связанный с другими темами, на нашем веб-сайте, чтобы вы могли найти все в одном месте.

Часто задаваемые вопросы о решениях NCERT для математики класса 8

1. Как мне начать математику для 8-го класса (CBSE)?

Лучшие ресурсы для начала подготовки к 8 классу по математике через NCERT Textbook Solutions.Постарайтесь охватить все темы, чтобы у вас не возникло затруднений во время экзамена.

2. Как я могу получить хорошие оценки по математике 8 класса CBSE?

Кандидаты могут получить хорошие отметки на экзамене CBSE по математике класса 8, используя самые совершенные средства подготовки, такие как учебные материалы, заметки и учебный план, решения NCERT и т. Д. Практикуйтесь как можно больше раз и тщательно пересматривайте концепции.

3. Где я могу найти решения для NCERT класса 8 по математике по главам?

Кандидаты

могут получить решения NCERT Class 8 Maths Chapterwise по быстрым ссылкам, доступным на нашей странице.Пройдите по темам, перечисленным в родительских темах, по вашему выбору и хорошо подготовьтесь к экзамену.

4. Какую книгу по математике мне следует сослаться в 8 классе?

Вы можете обратиться к стандартным учебникам NCERT, предписанным Советом CBSE для подготовки к экзамену по математике в 8 классе.

5. Как лучше всего учиться в 8 классе?

Лучший способ учиться в 8-м классе — практиковать предыдущие статьи, относящиеся к NCERT Solutions.Вы можете получить более высокие оценки на экзамене с помощью совершенных средств подготовки.

6. Как я могу загрузить образцы материалов по математике для 8 класса в формате PDF?

Вы можете скачать PDF-файл «Предыдущие статьи по математике для 8 класса» по прямым ссылкам на нашей странице.

Дополнительные материалы для изучения 8 класса CBSE

Обучение математике с использованием нескольких методов решения: влияние типов решений и активности учащихся

  • Эйнсворт, С. (2006). DeFT: концептуальная основа для рассмотрения обучения с несколькими представлениями. Обучение и инструктаж, 16 , 183–198. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2006.03.001.

    Артикул Google ученый

  • Эйнсворт, С., Бибби, П., и Вуд, Д. (2002). Изучение эффектов различных множественных репрезентативных систем в изучении начальной математики. Журнал обучающих наук, 11 , 25–61.

    Артикул Google ученый

  • Ангилери, Дж., Бейшуйзен, М., и Ван Путтен, К. (2002). От неформальных стратегий к структурированным процедурам: помните о пробелах! Образовательные исследования по математике, 49 , 149–170.

    Артикул Google ученый

  • Аткинсон, Р. К., Дерри, С. Дж., Ренкл, А., и Уортэм, Д. У. (2000). Учимся на примерах: обучающие принципы на основе исследования отработанных примеров. Обзор исследований в области образования, 70 , 181–214.DOI: 10.3102 / 00346543070002181.

    Артикул Google ученый

  • Аткинсон, Р. К., Ренкл, А., и Меррилл, М. М. (2003). Переход от изучения примеров к решению проблем: сочетание угасания с подсказками способствует обучению. Журнал педагогической психологии, 95 , 774–783. DOI: 10.1037 / 0022-0663.95.4.774.

    Артикул Google ученый

  • Бандура, А., И Локк, Э. А. (2003). Еще раз об отрицательной самоэффективности и целевых эффектах. Журнал прикладной психологии, 88 , 87–99. DOI: 10.1037 / 0021-9010.88.1.87.

    Артикул Google ученый

  • Бергер Р. (1989). Prozent und Zinsrechnen in der Hauptschule Didaktische Analysen und empirische Ergebnisse zu Schwierigkeiten, Lösungsverfahren und Selbstkorrekturverhalten der Schüler am Didde Calzeciten der Schüler am Diddealzer. методы и самокоррекция поведения учащихся по окончании средней школы.Регенсбург: С. Родерер.

  • Bortz, J. (1993). Statistik für Sozialwissenschaftler [Статистика для социологов] . Берлин: Springer.

    Google ученый

  • Коллинз А., Браун Дж. С. и Ньюман С. Е. (1989). Познавательное обучение. Обучение чтению, письму и математике. В Л. Б. Резник (ред.), Знание, обучение и обучение, (стр. 453–493). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

    Google ученый

  • Инициатива Common Core State. (2012). Математика . Получено 21 января 2014 г. с сайта http://www.corestandards.org/Math.

  • Деци, Э. Л., и Райан, Р. М. (1993). Die Selbstbestimmungstheorie der Motivation und ihre Bedeutung für die Pädagogik [Теория самоопределения мотивации и ее значение для педагогики]. Zeitschrift für Pädagogik, 39 , 223–238.

    Google ученый

  • Gigerenzer, G., & Hoffrage, U. (1995). Как улучшить байесовские рассуждения без инструкции: частотные форматы. Психологический обзор, 102 , 684–704.

    Артикул Google ученый

  • Große, C. S. (2005). Lernen mit multiplen Lösungswegen [Обучение с использованием нескольких методов решения] .Мюнстер: Waxmann.

    Google ученый

  • Große, C. S., & Renkl, A. (2006). Эффекты множественных методов решения в обучении математике. Обучение и инструктаж, 16 , 122–138. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2006.02.001.

    Артикул Google ученый

  • Хэтти, Дж. И Тимперли, Х. (2007). Сила обратной связи. Обзор исследований в области образования, 77 , 81–112. DOI: 10.3102 / 003465430298487.

    Артикул Google ученый

  • Йоханнинг Д. И. (2004). Поддержка развития алгебраического мышления в средней школе: более пристальный взгляд на неформальные стратегии учащихся. Журнал математического поведения, 23 , 371–388.

    Артикул Google ученый

  • Калюга, С., Эйрес, П., Чендлер, П., и Свеллер, Дж. (2003). Эффект отмены экспертизы. Психолог-педагог, 38 , 23–31.

    Артикул Google ученый

  • Koedinger, K. R., & Nathan, M. J. (2004). Реальная история проблем истории: влияние представлений на количественные рассуждения. Журнал обучающих наук, 13 , 129–164.DOI: 10.1207 / s15327809jls1302_1.

    Артикул Google ученый

  • Koedinger, K. R., & Tabachneck, H. J. M. (1994). Две стратегии лучше, чем одна: Использование нескольких стратегий для решения словесных задач. Представлено на ежегодном собрании Американской ассоциации исследований в области образования , Новый Орлеан, Луизиана.

  • Математический склад. (нет данных). Система линейных уравнений с 2-мя переменными. Получено 21 января 2014 г. с http: // www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/systems-of-equation/index.php.

  • Мец, М. Л. (2010). Использование стандартов GAISE и NCTM в качестве основы для обучения теории вероятностей и статистики учителям математики начальных и средних школ. Journal of Statistics Education [онлайн], 18. Получено 20 января 2014 г. с http://www.amstat.org/publications/jse/v18n3/metz.pdf.

  • NCTM. (2014). Принципы и стандарты школьной математики. Получено 21 января 2014 г. с сайта http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=312.

  • Neubrand, J., & Neubrand, M. (2000). Эффект мультипликатора Lösungsmöglichkeiten: Beispiele aus einer japanischen Mathematikstunde [Эффекты нескольких решений: примеры урока японской математики]. В C. Selter & G. Walther (Eds.), Mathematikdidaktik als design science (стр. 148–158). Лейпциг: Клетт.

    Google ученый

  • Паас, Ф., Ренкл А. и Свеллер Дж. (2003). Теория когнитивной нагрузки и учебный дизайн: последние разработки. Психолог-педагог, 38 , 1–4.

    Артикул Google ученый

  • Предигер, С. (2004). «Darf man denn das so rechnen?» — Vielfalt im Mathematikunterricht [«Можно ли использовать этот метод решения?» — Разнообразие в математическом образовании]. Фридрих Ярешефт, 22 , 86–89.

    Google ученый

  • Ренкл А. (1997). Учимся на отработанных примерах: исследование индивидуальных различий. Когнитивная наука, 21 , 1–29.

    Артикул Google ученый

  • Ренкл, А. (1999). Изучение математики по разработанным примерам: анализ и содействие самооценкам. Европейский журнал психологии образования, 14 , 477–488.

    Артикул Google ученый

  • Ренкл А., Аткинсон Р. К. и Гроссе К. С. (2004). Как работает постепенное исчезновение шагов решения — перспектива когнитивной нагрузки. Учебные науки, 32 , 59–82.

    Артикул Google ученый

  • Ренкл А., Аткинсон Р. К. и Майер У. Х. (2000). От изучения примеров до решения проблем: постепенное исчезновение проработанных шагов решения помогает учиться.В Л. Глейтман и А. К. Джоши (ред.), Труды 22-й ежегодной конференции Общества когнитивных наук (стр. 393–398). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

  • Ренкл А., Аткинсон Р. К., Майер У. Х. и Стейли Р. (2002). От учебного примера к решению проблем: плавные переходы помогают в обучении. Журнал экспериментального образования, 70 , 293–315.

    Артикул Google ученый

  • Райнберг, Ф.(2004). Motivationsdiagnostik [Диагностика мотивации] . Геттинген: Hogrefe.

    Google ученый

  • Риттл-Джонсон, Б., & Стар, Дж. Р. (2007). Облегчает ли сравнение методов решения концептуальные и процедурные знания? Экспериментальное исследование по обучению решению уравнений. Журнал педагогической психологии, 99 , 561–574. DOI: 10.1037 / 0022-0663.99.3.561.

    Артикул Google ученый

  • Риттл-Джонсон, Б., & Стар, Дж. Р. (2009). По сравнению с чем? Влияние различных сравнений на концептуальные знания и процедурную гибкость при решении уравнений. Журнал педагогической психологии, 101 , 529–544. DOI: 10.1037 / a0014224.

    Артикул Google ученый

  • Риттл-Джонсон, Б., Стар, Дж. Р., и Дуркин, К. (2009). Важность предварительных знаний при сравнении примеров: влияет на концептуальные и процедурные знания о решении уравнений. Журнал педагогической психологии, 101 , 836–852. DOI: 10.1037 / a0016026.

    Артикул Google ученый

  • Риттл-Джонсон, Б., Стар, Дж. Р., и Дуркин, К. (2012). Развитие процедурной гибкости: готовы ли новички учиться на сравнении процедур? Британский журнал педагогической психологии, 82 , 436–455. DOI: 10.1111 / j.2044-8279.2011.02037.x.

    Артикул Google ученый

  • Sedlmeier, P. (1999). Улучшение статистических рассуждений — теоретические модели и практическое применение . Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

    Google ученый

  • Sedlmeier, P., & Gigerenzer, G. (2001). Обучение байесовскому мышлению менее чем за два часа. Журнал экспериментальной психологии: Общие, 130 , 380–400.DOI: 10.1037 / 0096-3445.130.3.380.

    Артикул Google ученый

  • Сютс, Дж. (2002). Unterschiedliche mentale Konstruktionen beim Aufgabenlösen — Eine Fallstudie zur Ma-tematik als Werkzeug zur Wissenspräsentation [Различные мысленные конструкции для решения проблем — Пример использования математики как инструмента для представления знаний]. Journal für Mathematik-Didaktik, 23 , 106–128.

    Артикул Google ученый

  • Спиро, Р.Дж., Фельтович, П. Дж., Якобсон, М. Дж., И Коулсон, Р. Л. (1991). Когнитивная гибкость, конструктивизм и гипертекст: инструкция произвольного доступа для получения дополнительных знаний в плохо структурированных областях. Образовательные технологии, 31 , 24–33.

    Google ученый

  • Спиро, Р. Дж., И Дженг Дж. К. (1990). Когнитивная гибкость и гипертекст: теория и технология нелинейного и многомерного обхода сложных предметов.В Д. Никс и Р. Дж. Спиро (ред.), Познание, образование и мультимедиа: изучение идей в высоких технологиях (стр. 163–205). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

    Google ученый

  • Стар, Дж. Р. и Риттл-Джонсон, Б. (2008). Гибкость в решении проблем: случай решения уравнений. Обучение и инструктаж, 18 , 565–579. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2007.09.018.

    Артикул Google ученый

  • Стар, Дж.Р., и Риттл-Джонсон, Б. (2009). Стоит сравнивать: экспериментальное исследование вычислительной оценки. Журнал экспериментальной детской психологии, 102 , 408–426. DOI: 10.1016 / j.jecp.2008.11.004.

    Артикул Google ученый

  • Старк Р. (1999). Lernen mit Lösungsbeispielen. Der Einfluss unvollständiger Lösungsschritte auf Beispiel-development, Motivation und Lernerfolg [Обучение на рабочих примерах.Влияние неполных примеров на разработку примеров, мотивацию и результаты обучения] . Геттинген: Hogrefe.

    Google ученый

  • Старк Р., Грубер Х., Ренкл А. и Мандл Х. (2000). Instruktionale Effekte einer kombinierten Lernme-thode: Zahlt sich die Kombination von Lösungsbeispielen und Problemlöseaufgaben aus? [Учебные эффекты комбинированного метода обучения: окупается ли комбинация проработанных примеров и задач?]. Zeitschrift für Pädagogische Psychologie, 14 , 206–218.

    Артикул Google ученый

  • Staub, F. C., & Reusser, K. (1995). Роль презентационных структур в понимании и решении математических текстовых задач. В C. A. Weaver, S. Mannes, & C. R. Fletcher (Eds.), Понимание дискурса. Очерки в честь Вальтера Кинча (стр. 285–305). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

    Google ученый

  • Стерн, Э. (1993). Что делает некоторые арифметические словесные задачи, связанные со сравнением наборов, такими трудными для детей? Журнал педагогической психологии, 85 , 7–23.

    Артикул Google ученый

  • Табачнек, Х. Дж. М., Кёдингер, К. Р., и Натан, М. Дж. (1994). К теоретическому учету использования стратегии и осмысления решения математических задач. Труды 16-й ежегодной конференции Общества когнитивных наук (стр. 836–841). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

  • Trafton, J. G., & Reiser, B.J. (1993). Вклад изучения примеров и решения проблем в приобретение навыков. В М. Полсоне (ред.), Труды 15-й ежегодной конференции Общества когнитивных наук . Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

  • Ван Амером Б.А. (2003). Сосредоточение внимания на неформальных стратегиях при увязке арифметики с ранней алгеброй. Образовательные исследования по математике, 54 , 63–75.

    Артикул Google ученый

  • Ван Мерриенбоер, Дж. Дж. Г. (1990). Стратегии обучения программированию в средней школе: завершение программы против создания программы. Журнал образовательных компьютерных исследований, 6 , 265–285.

    Артикул Google ученый

  • Ван Мерриенбор, Дж.

  • Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.