0Гэ математика 2018: Математика. Подготовка к ОГЭ 2018. Методические рекомендации. И.В. Ященко, С.А. Шестаков

План работы ГБОУ Школа № 814 по корпусам на каникулы с 08 по 15 апреля 2018 г. 04.04.2018

Обобщение математической модели прионной агрегации допускает сосуществование и совместную стабильность штаммов за счет включения новых неправильно свернутых частиц

Путем математического исследования мы выявили различные обобщения модели нуклеированной полимеризации, которые могут допускать сосуществование и совместную стабильность нескольких штаммов (см. 1 для точного определения). Простейшая идея, которая казалась одновременно обнадеживающей и биологически последовательной (см. Раздел 4.3, где приведены параллели с экологическими популяциями и обсуждение, которое поддерживает наш выбор моделирования), заключалась в том, чтобы добавить шаг перед полимеризацией и рассмотреть дополнительные биохимические виды.Этот вид представляет собой субъединицы (потенциально небольшие олигомеры), которые отвечают за шаблонную активность (преобразование мономера). Агрегация субъединиц следует динамике нуклеированной полимеризации, и рис. 2 иллюстрирует принципы такой модели.

Отметим, что наша концепция субъединиц имеет биологическую основу. Действительно, недавние исследования показывают, что для прионов млекопитающих агрегаты находятся в кинетическом равновесии с субъединицами (Igel-Egalon et al.2017, 2018). До сих пор не ясно, как эти субъединицы участвуют в создании шаблона in vivo , но здесь мы включаем их в качестве основного агента шаблона.В дрожжах также есть доказательства образования прионов in vitro и разными путями (Sharma et al., 2017). Этот подход к моделированию рассматривался в предыдущих исследованиях (Hingant et al. 2014; Yvinec 2012), но никогда не использовался в непрерывной и детерминированной формулировке. Кроме того, этот подход к моделированию никогда не использовался для исследования взаимодействий между несколькими штаммами прионов. Теперь мы формально введем это обобщение и исследуем поведение нашей модели в отношении сосуществования и взаимодействия множественных деформаций.

Механизм поддержки шаблона показан для одиночного штамма приона. Нормальные мономеры (пустые кружки) преобразуются субъединицами (квадратами) прямым взаимодействием со скоростью \ (\ rho \). Это первое конформационное изменение спонтанно обращается вспять со скоростью \ (\ omega \), и субъединицы также деградируют со скоростью \ (\ delta \). Агрегаты состоят из субъединиц, а динамика, управляющая взаимодействием между агрегатами и субъединицами, соответствует модели нуклеированной полимеризации (аналогично рис.1, в котором субъединицы играют роль мономеров). Агрегаты разлагаются со скоростью \ (\ mu \)

Формулировка модели для одного штамма и первичные результаты

Сначала мы представляем нашу модель поддержки шаблона для одного штамма. В нашей формулировке мы сохраняем обозначения, введенные для модели нуклеированной полимеризации в разд. 2, но теперь мы вводим новый вид, а именно популяцию субъединиц S ( t ) в момент времени \ (t \ ge 0 \). Как показано на рис. 2, начальное конформационное изменение обратимо, и субъединицы возвращаются к нормальной форме со скоростью \ (\ omega \).Они разлагаются со скоростью \ (\ delta \), наиболее вероятно, \ (\ delta <\ gamma \), что свидетельствует о том, что субъединицы более устойчивы, чем нормальные мономеры. Как показано на рис. 2, субъединицы образуются в результате прямого взаимодействия между субъединицами и мономерами со скоростью \ (\ rho V f (S) \). Функция f моделирует эффективность субъединиц по преобразованию мономеров. Мы выбрали

$$ \ begin {align} f (S) = S \ frac {S} {K + S}, \ end {align} $$

, который изображает процесс Михаэлиса – Ментен для реакции конформационного изменения. (математическое обоснование этого выбора будет позже).По существу, эта реакция не является мгновенной, и популяция субъединиц S должна быть выше определенного порога до достижения полной эффективности ( K представляет собой плотность, при которой достигается половина максимальной эффективности). Можно также сказать, что доля активно задействованных субъединиц задается функцией Хилла (здесь порядок 1 для простоты), которая является обычно используемым классом функций для моделирования ферментно-опосредованной биохимической кинетики (см., Например, Сегель и Эдельштейн-Кешет 2013, Глава 8).Линейная скорость создания шаблонов помешает совместимости, как показано в Разд. 3.2, и введенная нелинейность оказывается достаточным условием совместимости, хотя мы можем показать это только численно в разделах. 3.3 и 3.5. Его аналитическое доказательство остается открытой проблемой, которую мы исследуем в будущей работе. Кроме того, предпочтение отдается динамике Михаэлиса – Ментен в кинетике прионов, Milto et al. (2013) рассматривали удлинение фибрилл как ферментно-опосредованную реакцию. Это не наш выбор, но мы предполагаем, что создание шаблона по подразделениям является совместной реакцией.Скорость удлинения действительно может быть изменена для получения того же поведения, которое мы получаем здесь, но для этого потребуются несовместимые гипотезы с биологическим контекстом, на котором мы сосредоточены, см. Разд. 4.3 для подробного обсуждения. Поскольку количественное исследование невозможно экспериментально, насколько нам известно (см. Раздел 4.2), мы рассматриваем простейший вариант коэффициента удлинения.

Полная совокупная динамика теперь определяется двумя обыкновенными дифференциальными уравнениями (для V ( t ) и S ( t )) и одним уравнением в частных производных для u ( x , ). т ), который будет идентичен уравнению.(2) но с S ( т ), заменяющим V ( т ) в условиях транспортировки. При этих предположениях мы получаем аналогичное замыкание момента к уравнениям модели нуклеированной полимеризации

Подобно модели нуклеированной полимеризации, Система (9) имеет единственное положительное решение. В частности, мы доказываем следующую лемму.

Лемма 1

Когда все параметры \ (\ lambda, \ gamma, \ beta, \ tau, \ mu, x_0, \ rho, \ omega, \ delta, K \) положительны, система (9) допускает единственное положительное решение для каждое начальное условие, взятое в

$$ \ begin {align} X = \ {(V, S, U, P) \ in {\ mathbb {R}} ^ 4: V, S, U, P-x_0 U \ ge 0 \}. 2 / (K + S) \), представленного в разд.3.1, равновесие без болезней локально стабильно при любом выборе положительных параметров.

Проба

Прямое вычисление дает собственные значения матрицы Якоби в этих точках \ (\ {- \ gamma, — \ mu — \ beta x_0, — \ mu — \ beta x_0, \ frac {\ lambda} {\ gamma} f ‘ (0) — \ omega — \ delta \} \). Для положительных параметров локальная устойчивость зависит только от последнего, а при проверке условия, выраженного выше, она отрицательна.\ (\ квадрат \)

Локальная стабильность равновесия без болезней — это новая особенность, которая обеспечивает совместную стабильность различных равновесий. Любая другая функция, проверяющая \ (f ‘(0) = 0 \), также выдала бы такое же свойство, но мы решили ввести как можно меньше параметров. Напротив, мы можем показать, что линейная скорость создания шаблонов не обеспечит совместную стабильность, как объясняется в конце этого раздела. 2} {\ beta \ tau}.2+ \ left (\ frac {\ omega + \ delta} {\ rho} \ frac {\ gamma} {\ delta} — \ frac {\ lambda} {\ delta} \ right) S + \ frac {\ omega + \ delta} {\ rho} \ frac {\ gamma} {\ delta} K = 0. \) Это дает прямое выражение двух возможных значений для S и условия, при которых они будут действительными и положительными. Их устойчивость еще раз анализируется с помощью матрицы Якоби. Для обеих точек \ (S _ {+/-} \) пара собственных значений задается как \ (\ left (- \ mu — \ beta x_0 + \ sqrt {\ tau \ beta S _ {+/-}}, — \ mu — \ beta x_0 — \ sqrt {\ tau \ beta S _ {+/-}} \ right) \).2} {\ beta \ tau} \). Другая пара собственных значений — это корни многочлена второй степени (не показаны для простоты), и после упрощения мы покажем, что они отрицательны, когда \ (S _ {+/-}> \ sqrt {\ frac {\ omega + \ delta } {\ rho} \ frac {\ gamma} {\ delta} K} \). Вспоминая значения \ (S _ + \) и \ (S _- \), мы видим, что это второе условие никогда не выполняется для \ (S _- \) и всегда выполняется для \ (S _ + \). Отсюда сжатый результат в предложении. \ (\ квадрат \)

Этот результат показывает, что два равновесия только для субъединиц возникают через бифуркацию седло-узел, и что только одно, связанное с более высоким значением S , может быть стабильным с условием, связанным с последним равновесием.*} \), и два равновесия только для субъединиц являются решениями, которые проверяют равенство в этом соотношении. Мы исследуем устойчивость этого равновесия численно с помощью бифуркационного анализа в следующем разделе.

Замечание 1

Хотя мы не можем показать аналитически, что условие \ (f ‘(0) = 0 \) дает совместную устойчивость различных состояний равновесия, мы можем показать, что когда f линейно, совместная устойчивость невозможна. Действительно, если \ (f (S) = S \), что эквивалентно \ (K = 0 \) во всех описанных выше разработках, существует только одно равновесие только для субъединиц, связанное с плотностью субъединиц \ (\ hat {S } = \ frac {\ lambda} {\ delta} — \ frac {\ omega + \ delta} {\ rho} \ frac {\ gamma} {\ delta} \).* \) после упрощения. Это доказывает, что равновесие только для субъединиц и эндемическое равновесие не могут быть одновременно достижимыми и стабильными. По существу, когда f является линейным, существует только три возможных состояния равновесия, и они возникают через серию транскритических бифуркаций, поэтому не может быть стабильности.

Численный бифуркационный анализ

Как показано в разд. 3.2, стационарные состояния, состоящие только из субъединиц, возникают через бифуркацию седлового узла (предложение 2).* \) пересекает одну из двух ветвей \ (S _ + \) или \ (S _- \) (Предложение 3). Если он появляется через более высокую ветвь, то только старшая субъединица в установившемся состоянии \ (S _ + \) сначала стабильна, а затем становится нестабильной. Если вместо этого эндемичное установившееся состояние появляется через нижнюю ветвь, ни одна из субъединиц, только установившиеся состояния не будут стабильными (см. Условия в разделе 3.2). Эти два сценария проиллюстрированы на рис. 3. По мере увеличения скорости источника мономера \ (\ lambda \) мы можем видеть бифуркацию седло-узел, за которой следует появление эндемичного стационарного состояния.Это числовая иллюстрация результатов, доказанных в предыдущем разделе.

Бифуркационная диаграмма, полученная для популяций стационарных субъединиц S , когда источник мономера, \ (\ lambda \), изменяется для двух значений скорости полимеризации \ (\ tau \). Остальные параметры установлены, как в таблице 1 (штамм 1). Изображены четыре различных равновесия (равновесие без болезней, эндемическое равновесие, равновесие только высшей субъединицы \ ((S _ +) \), равновесие только низшей субъединицы \ ((S _-) \)).Тонкая линия указывает на неустойчивое равновесие, тогда как жирная линия указывает на локально устойчивое равновесие. a \ (\ tau = 0,1 \), b \ (\ tau = 0,23 \)

Когда существует эндемичное стационарное состояние, он может быть локально стабильным или нестабильным. Численное исследование показывает, что он претерпевает бифуркацию Хопфа. Это проиллюстрировано численным двухпараметрическим бифуркационным анализом на рис.4. Показана зависимость от двух основных параметров: скорости синтеза мономера \ (\ lambda \) и скорости полимеризации \ (\ tau \). Бифуркационный анализ основан на свойствах матрицы Якоби в эндемическом стационарном состоянии, и мы характеризуем наличие бифуркации Хопфа, как когда одно собственное значение пересекает мнимую ось с ненулевой мнимой частью. На рисунке 4 показаны области качественно различающейся динамики, границы между которыми соответствуют различным событиям бифуркации.Эндемичное стационарное состояние стабильно только в Районе 4, а бифуркация Хопфа происходит при переходе между Районами 4 и 5. В Районе 5 только свободное от болезни равновесие является локально стабильным. Решение может либо притягиваться этим уравнением, либо претерпевать устойчивые колебания. Точная природа этих колебаний не известна аналитически, но наиболее важным качественным результатом здесь является то, что пересечение этой бифуркации Хопфа может дестабилизировать совокупную популяцию. Тот факт, что колебания наблюдались экспериментально (Х.Rézaei, неопубликованные данные) — еще одна причина интереса к такому поведению. В целом, сложность бифуркаций в нашей модели демонстрирует, что эндемичное стационарное состояние не всегда стабильно, и это новое поведение для модели нуклеированной полимеризации.

Двухпараметрическая бифуркационная диаграмма, полученная для скорости источника мономера \ (\ lambda \) и скорости полимеризации \ (\ tau \), когда остальные параметры описаны в таблице 1 (штамм 1). Вертикальная линия ограничивает появление равновесий только для субъединиц, слева от этой линии (, область 1, ) существует только безболезненное равновесие, и тогда оно является глобально стабильным (не доказано).Ветви ограничивают существование эндемического равновесия. В , область 2 , субъединица существуют только в равновесии, но ни одна из них не является стабильной. В Регионе 3 существуют только равновесия субъединицы, а верхняя \ ((S _ +) \) локально стабильна. Между ветвями существует эндемичное устойчивое состояние, но оно стабильно только локально в Районе 4 . В , Районе 5, , эндемический стационарный режим нестабилен. Граница между Областями 4 и 5 соответствует бифуркации Хопфа

Случай с двумя деформациями

Как мы подчеркивали повсюду, нашей основной мотивацией при разработке модели поддержки шаблона было исследование системы, когда присутствует несколько штаммов прионов. .2 / (K_i + S) \).

Механизм поддержки шаблона, показанный с двумя разными деформациями (квадраты и треугольники). Штаммы конкурируют за нормальные мономеры посредством взаимодействия с субъединицами (со скоростями \ (\ rho _1 \) и \ (\ rho _2 \)). Динамика каждой деформации, взятой отдельно, затем описывается, как показано на рис. 2

. Как мы подробно рассмотрим далее, поведение этой Системы (10) резко отличается от поведения модели зародышевой полимеризации с несколькими деформациями [Система (6) представлена в разд.2]. Наша новая система допускает сосуществование штаммов прионов; то есть каждый штамм может существовать в тех же условиях, что и отдельные штаммы Sect. 3.2. Кроме того, два штамма могут сосуществовать в разных конфигурациях: как только субъединицы, или один эндемичный, а другой — только как субъединицы (мы будем называть этот случай полуэндемичным) или оба эндемичных. Мы отмечаем, что сосуществование только субъединиц невозможно для общих значений параметров, с тем же аргументом, который использовался для исключения равновесия сосуществования в модели зародышевой полимеризации с несколькими деформациями в разд.* \)).

Второе усовершенствование нашей Системы (10) по сравнению с нуклеированной полимеризацией с несколькими деформациями состоит в том, что она обеспечивает совместную стабильность. Как и в случае с одной деформацией, равновесие без болезней всегда локально стабильно (легко доказывается с помощью матрицы Якоби). Опять же, как и в случае с одной деформацией, совместная устойчивость различных типов равновесий (стационарные состояния с одной деформацией и установившиеся состояния сосуществования) не может быть доказана аналитически, но может быть обнаружена с помощью численного исследования.Таким образом, результат зависит от начальных условий, о чем мы подробнее поговорим в следующем разделе.

Численные результаты

В этом разделе мы предоставляем подробное численное исследование поведения модели поддержки шаблона, которую мы разработали в предыдущем разделе. Сначала мы позаботимся о том, чтобы убедиться, что поведение в случае одиночной деформации остается аналогичным исходной модели нуклеированной полимеризации. Затем мы изучаем зависимость от начального состояния, когда несколько стационарных состояний локально устойчивы, путем численного исследования бассейнов притяжения.Обратите внимание, что в различных цифрах временной эволюции, которые мы производим, эволюция P , первый момент распределения агрегатов , то есть , общая масса или количество агрегированных мономеров, не отображается, потому что она очень похожа на эволюцию . U , нулевой момент раздачи , т.е. от общего количества агрегатов. Однако P имеет другую шкалу значений, чем другие переменные, поэтому для ясности мы его не показываем.

Сохраняется динамика модели нуклеированной полимеризации

Из-за ее широкого признания очень важно, чтобы качественное поведение модели нуклеированной полимеризации сохранялось после модификации. Типовой пример исследования представлен на рис. 6, где сравнивается динамика классической модели с нашей моделью. Видно, что общая динамика агрегообразования качественно и количественно очень похожа на протяжении длительного времени. Несмотря на то, что это не показано, эволюция P ( t ) также совпадает с эволюцией, наблюдаемой в модели нуклеированной полимеризации в течение длительного времени.Поведение в ранние времена кардинально изменилось, потому что появился новый вид. Мы не фокусируемся здесь на динамике переходных процессов, потому что у нас нет данных для их изучения. Это может быть потенциальным способом различать разные модели. Это показывает, что наша модель открывает новые возможности без исключения ранее поддерживаемого поведения (Greer et al. 2006; Prüss et al. 2006; Masel et al. 1999), особенно в отношении формирования, размера и количества агрегатов.

Численное моделирование с использованием модели нуклеированной полимеризации ( a ) и вспомогательной модели шаблона ( b ).Используемые параметры описаны в таблице 1 (штамм 1). Начальное условие задается следующим образом: \ (V (0) = \ frac {\ lambda} {\ gamma} = 200, U (0) = 0.1, P (0) = (2x_0 + \ frac {\ mu} {\ beta}) ) U (0), S (0) = 0,2 \). a Модель нуклеированной полимеризации, b Модель поддержки шаблона

Модель поддержки шаблона демонстрирует совместную стабильность

Несмотря на то, что динамику нуклеированной полимеризации можно воспроизвести, наша модель предлагает новое разнообразие поведения даже для случая единичной деформации. Поскольку безболезненное равновесие остается локально стабильным, наша система демонстрирует зависимость от начальных условий.На рис. 7 представлены области притяжения эндемичного устойчивого состояния и стабильного состояния без болезней для случая, изученного на рис. 6. Это помогает визуализировать сложность и разнообразие форм поведения, допускаемых нашей моделью. Биологическая интерпретация формы бассейнов, представленных на рис. 7, заключается в том, что вспышка распространения прионов возможна только при наличии определенной исходной смеси субъединиц и агрегатов. В частности, запуск слишком большого количества агрегатов ( U, (0) высокий) помешает успешному наращиванию пула субъединиц.Мы хотим подчеркнуть, что важным аспектом рис. 7 является форма бассейнов, точные значения границ не имеют значения из-за произвольного выбора параметров. Кроме того, эта форма может измениться при изменении параметров, хотя пока у нас нет возможности предсказать эти изменения аналитически. Можно провести численное исследование, но для того, чтобы делать биологически релевантные прогнозы, нам необходимы экспериментальные наблюдения или экспериментально полученные значения биохимических параметров (см.4.2).

Представление бассейнов притяжения эндемичного устойчивого состояния (темный цвет) и безболезненного устойчивого состояния (более светлый цвет) в соответствии с начальным состоянием. Горизонтальная ось представляет начальное количество субъединиц, а вертикальная ось представляет начальное количество агрегатов. Используемые параметры соответствуют штамму 1 в таблице 1, начальное значение для V установлено на \ (\ lambda / \ gamma \) (значение без болезней), а начальное значение для P установлено на \ ((2x_0 + \ mu / \ beta) U (0) \) (средний размер в стационарном состоянии)

Случай двух деформаций демонстрирует сосуществование и совместную стабильность

Для подтверждения аналитических результатов по сосуществованию деформаций (разд.3.4) и дадим численное доказательство совместной устойчивости, мы покажем некоторые модели с двумя деформациями. На рисунке 8 показаны различные возможные результаты в зависимости от начальных условий. Набор используемых параметров (см. Таблицу 1) позволяет четырем различным равновесиям быть совместно стабильными (равновесие без болезней, равновесие двух одиночных деформаций и равновесие сосуществования). В зависимости от начальной массы каждого штамма результатом может быть поглощение одного штамма или стабильное сосуществование обоих, или исчезновение обоих.Формы различных бассейнов притяжения сложны и не интуитивно понятны. Действительно, в некоторых случаях увеличение начального количества одного штамма приона может привести к его исчезновению (см. Правую часть рис. 8b). Хотя такое поведение кажется очень сложным, мы отмечаем, что сосуществование и совместная стабильность — это явления, подтвержденные экспериментальными исследованиями прионов млекопитающих (Langenfeld et al. 2016).

Представление бассейнов притяжения различных равновесий в случае двух деформаций в линейном масштабе ( a ) и логарифмическом масштабе ( b ).{-5} \)), а V инициализируется значением без болезней \ (\ lambda / \ gamma \). Оси представляют начальную массу каждой деформации, , т.е. — начальное значение \ (P + S \) для каждой деформации (деформация 1 по горизонтальной оси, деформация 2 по вертикальной оси). Цвета представляют результат моделирования (с цветной полосой выше), только один штамм или два стабильно сосуществующих штамма. Обратите внимание, что равновесие без болезней наблюдается только в нижнем левом углу (a) Линейная шкала (b) Логарифмическая шкала

Математический и численный анализ модели стохастического импульсного контроля с несовершенными вмешательствами | Журнал «Математика в промышленности»

Функция стоимости

Анализируются несколько ключевых математических свойств функции стоимости Φ, из которых мы показываем, что это вязкостное решение HJBQVI (20).{m}, \ quad x \ ge 0. $$

(23)

Дополнительно , \ (\ lim_ {x \ to + 0} \ Phi (x) = \ Phi (0) = 0 \).

Следующее предложение дает ключевое неравенство, характеризующее функцию цены Φ, которая эффективно используется при доказательстве вязкости свойства Φ.

Предложение 2

$$ \ Phi (x) \ le \ mathcal {M} \ Phi (x), \ quad x \ ge 0.$$

(24)

В этой статье мы предполагаем, что функция цены Φ является непрерывной, что верно в задачах без неопределенностей во вмешательствах [30, 50, 51]. Непрерывность также подтверждается численно, как показывают результаты расчетов с конечно-разностной схемой (см. Раздел 4). Следующий результат о непрерывности поддерживает определения вязкостных растворов HJBQVI (20), представленные позже.{м — 1} (х — у) \ bigr), \ quad 0 \ le y \ le x. $$

(25)

Кроме того, , \ (\ Phi (x) \) непрерывно на \ (x = 0 \).

Замечание 2

Препятствием для вывода обратной стороны неравенства является зависимость набора \ (\ mathcal {A} _ {x} \) допустимых управлений от x . Обратите внимание, что эта проблема не встречалась в традиционных исследованиях, таких как Guo и Wu [48], потому что их допустимые множества не зависят от переменных состояния.

HJBQVI и оптимальное управление

Свойство вязкости

Здесь мы показываем, что HJBQVI (20) разрешима в слабом смысле. Слабые решения, используемые в этой статье, являются решениями вязкости [42, 43] как подходящие слабые решения вырожденных эллиптических задач. Мы показываем, что функция цены Φ является решением HJBQVI (20) с непрерывной вязкостью при определенных условиях. Как отмечалось выше, в дальнейшем мы предполагаем, что функция цены непрерывна, что частично поддерживается в предложении 3.

Вязкостные решения для HJBQVI (20) определяются следующим образом на основании результата о монотонности и непрерывности нелокальных членов в HJBQVI (предложение 3 Азимзаде и др. [42]), условиям которых удовлетворяет наш нелокальный оператор \ (\ mathcal {M} \). Далее функциональное пространство полунепрерывных сверху (соответственно, полунепрерывных снизу) функций со значениями в области Ω обозначается как \ (\ operatorname {USC} (\ Omega) \) (соответственно, \ (\ operatorname {LSC} (\ Omega) \)). {m}, \ varphi — \ mathcal {M} \ varphi \ bigr \} \ ge 0.$$

(27)

Следующее предложение показывает свойство вязкости функции цены Φ и поддерживает наш подход к поиску оптимальной политики путем решения HJBQVI (20).

Предложение 4

Функция ценности Φ представляет собой решение вязкости HJBQVI (20).

Уникальность решений нашего HJBQVI также является важным вопросом, из которого мы можем гарантировать уникальное существование решений вязкости при определенных предположениях, а также сходимость численных решений, генерируемых соответствующим методом дискретизации. {m}, \ varphi — \ mathcal {M} \ varphi \ bigr \} \ ge 0, \ quad 0

(32)

$$ \ begin {align} & \ max \ {\ varphi — g, \ varphi — \ mathcal {M} \ varphi \} \ ge 0, \ quad x = X _ {\ max}.\ end {align} $$

(33)

Теперь мы докажем единственность решений вязкости для локализованного HJBQVI (28) — (29) с помощью аргумента сравнения.

Предложение 5

Для локализованного раствора HJBQVI (28) — (29), любой вязкости ниже — раствора u и любой вязкости Super — раствора v удовлетворяют \ (u \ le v \) в \ ([0, X _ {\ max}] \). {b} \ Phi (x — z \ zeta) q (z) \, \ mathrm {d} z \ biggr \}, \ quad i \ ge 0.\ end {align} $$

(38)

Из (36) по (38) мы делаем вывод, что следующая политика порогового типа с пороговыми значениями x̄ и \ (\ underline {x} \) (\ (\ bar {x}> \ underline {x } \)) оптимально для \ (t \ ge 0 \) (см., Корн [37]):

1. (А)

   \ (X_ {t -} <\ bar {x} \), то вмешательство не выполняется.

2. (В)

   Если \ (X_ {t -} \ ge \ bar {x} \), то интервенция с величиной \ (\ zeta = \ bar {x} — \ underline {x} (\ bar {x}) \ ) немедленно выполняется (а затем \ (X_ {t -} \) фактически сокращается до \ (X_ {t} = \ bar {x} — (\ bar {x} — \ underline {x} (X_ {t — })) z \), где z не определено для лица, принимающего решение).Обратите внимание, что у нас может быть \ (X_ {t} \ ge \ bar {x} \). Затем повторяйте первое предложение (B), пока мы не получим \ (X_ {t} <\ bar {x} \).

Обратите внимание, что одновременно разрешено несколько вмешательств [37]. Это связано с упрощением модели, которая предполагает, что временной масштаб вмешательств намного меньше, чем временной масштаб динамики населения. Здесь \ (\ bar {x}> 0 \) — константа, а \ (\ underline {x} (x) \) — функция от \ (x> 0 \) и предполагается равной \ (0 <\ подчеркните {x} (x) <\ bar {x} \) (\ (x \ ge \ bar {x} \)).{*} (x) = \ textstyle \ begin {case} x - \ underline {x} (x) & (x \ ge \ bar {x}), \\ 0 & (x <\ bar {x}). \ end {case} $$

(39)

На рисунке 1 представлено изображение примеров путей для представленной выше политики порогового типа. Функция \ (\ underline {x} (\ cdot) \) — это популяция сразу после сбора урожая. Это связано с уравнением (38) в том смысле, что \ (\ zeta = \ bar {x} — \ underline {x} (x) \) является его максимизатором, заданным \ (x \ ge 0 \) согласно предположениям (A ) — (В).{*} = \ textstyle \ begin {case} x — \ underline {x} & (x \ ge \ bar {x}), \\ 0 & (x <\ bar {x}). \ end {case} $$

(40)

Однако позже мы подразумеваем, что это не всегда верно в нашей модели, путем исследования точных решений. Это различие между традиционной и нашей моделями связано с формой нелокального члена в HJBQVI (20). Фактически, предыдущая модель без неопределенности [30, 50, 51] допускает константу \ (\ underline {x} \).Мы также демонстрируем с помощью численных экспериментов, что порог \ (\ underline {x} \) зависит от x в данной модели.

Последнее утверждение касается оптимальности точного решения.

Предложение 6

Пусть ϕ будет вязкостным раствором для HJBQVI (20) и S будет конечной частью –, установленной в \ ((0, + \ infty) \). Предположим, что ϕ удовлетворяет верхней – и нижней – границам (23) и дважды непрерывно дифференцируемо, за исключением каждой точки S .{m} \ le 0 \ quad \ textit {и} \ quad \ phi — \ mathcal {M} \ phi = 0 \ quad \ textit {для} x \ ge \ bar {x}. $$

(42)

Для каждого заданного \ (x \ ge 0 \), политики \ (\ eta \ in \ mathcal {A} \), и времени остановки τ , предположим, что \ (\ phi (X _ {\ tau}) \) равномерно интегрируем и удовлетворяет оценке (23). Тогда , у нас есть

$$ \ phi \ le \ Phi \ quad \ textit {in} [0, + \ infty).$$

(43)

Дополнительно , , если QVI – допустим, , , тогда

$$ \ phi = \ Phi \ quad \ textit {in} [0, + \ infty). $$

(44)

Кандидат точных решений

Мы пытаемся построить вязкостный раствор, потенциально удовлетворяющий (34) и (35). {b} \ bar {\ Phi} (x — z \ zeta) q (z) \, \ mathrm {d} z \ biggr \} $$

(50)

, правая часть которого определяется на основе информации в \ ([0, x] \).Следовательно, теоретически Φ̄ для \ (x \ ge \ bar {x} \) можно построить слева направо по уравнению (50), как только мы получим \ (\ bar {\ Phi} (\ bar {x} ) \).

Мы обнаружили, что уравнение (50) не решается аналитически из-за его нелинейности и нелокальности. Тем не менее, если предположить, что в какой-то момент популяция невелика t , как показано ниже, достаточно решить HJBQVI (20) для \ (x \ le \ bar {x} \) с учетом \ (x = \ bar {x} \) как свободная граница:

1. а)

   Непрерывность \ (\ bar {\ Phi} (x) \) в \ (x = \ bar {x} \) (условие соответствия значений).

2. (б)

   Непрерывность \ (\ frac {\ mathrm {d} \ bar {\ Phi}} {\ mathrm {d} x} (x) \) в \ (x = \ bar {x} \) (условие плавного склеивания) .

3. (c)

   Оптимальность порогов x̄ и \ (\ underline {x} (\ bar {x}) \) (Условие оптимальности).{*} z \ bigr) q (z) \, \ mathrm {d} z = dk_ {1} x $$

   (62)

   по (61). С практической точки зрения (61) означает, что скорость роста d по отношению к населению x не меньше, чем \ (k_ {1} \) из-за неопределенности воздействия вмешательства. Мы получаем \ (d = 1 \) тогда и только тогда, когда вмешательства идеальны (\ (a = b = 1 \) и q — это дельта Дирака, сосредоточенная в \ (z = 1 \)). Следовательно, теоретический результат подразумевает, что несовершенные вмешательства всегда менее эффективны, чем идеальные, и эффективность можно измерить с помощью d .Модуляция скорости нарастания обратна среднему значению неопределенности Z согласно (61). {\ gamma} \) в правой части (67) выбран ради эмпирической вычислительной устойчивости. дискретизированной системы.Здесь \ (\ rho \ ge 0 \) — вспомогательная временная переменная для параметризации ζ ̄ , x ̄ и c , а ОДУ (67) и (68) интегрированы относительно \ (\ rho > 0 \) с (69), исходя из начальных предположений \ ((\ bar {x}, \ bar {\ zeta}, c) _ {\ tau = 0} \). Это выполняется стандартным прямым методом Эйлера. Установите небольшое приращение \ (\ Delta \ rho> 0 \) ρ и переменную в \ (\ rho = k \ Delta \ rho \) (\ (k = 0,1,2, \ ldots \)) обозначается индексом \ ((k) \).{\ gamma} \ biggl [\ Phi _ {0, (k)} (\ bar {x} _ {(k)} — b \ bar {\ zeta} _ {(k + 1)}) — \ Phi _ {0, (k)} (\ bar {x} _ {(k)} — a \ bar {\ zeta} _ {(k + 1)}) \\ & {} + \ bar {\ zeta} _ { (k + 1)} (b — a) \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ Phi _ {0, (k)} (\ bar {x} _ {(k)} ) \ biggr] \ Delta \ rho, \ end {выравнивается} \ end {выравнивается} $$

   (71)

   $$ \ begin {align} & c_ {(k + 1)} = c_ {(k)} + \ biggl (k_ {0} + k_ {1} \ bar {\ zeta} _ {(k)} + \ int _ {a} ^ {b} \ Phi _ {0, (k)} (\ bar {x} _ {(k)} — z \ bar {\ zeta} _ {(k)}) q ( z) \, \ mathrm {d} z — \ Phi _ {0, (k)} (\ bar {x}) \ biggr) \ Delta \ rho, \ end {align} $$

   (72)

   , где \ (\ Phi _ {0, (k)} \) — это \ (\ Phi _ {0} \) с \ (c = c_ {(k)} \).С точки зрения устойчивости дискретизированных ОДУ [57] мы ожидаем, что дискретизированная система (70) — (72) может быть решена численно с малым \ (\ Delta \ rho> 0 \).

   Замечание 6

   Мы заметили, что сходимость решений (70) — (72) зависит от первоначального предположения, что подразумевает его чувствительность к исходному предположению. На данном этапе у нас нет ни однозначных результатов о разрешимости, ни об устойчивости непрерывной системы (67) — (69) и дискретной системы (70) — (72).Поэтому мы используем метод на основе ОДУ в качестве инструмента для проверки схемы конечных разностей, потому что последняя более стабильна с точки зрения вычислений для нашей задачи.

   Замечание 7

   Построение системы основано на эмпирическом подходе. Yaegashi et al. [51] рассмотрел эту проблему для проблемы импульсного контроля с идеальным вмешательством. К счастью, их метод на основе ОДУ может вычислять неизвестные коэффициенты как локально асимптотически устойчивую точку равновесия системы.Однако в настоящем деле такого результата не обнаружено.

   Статистика динамики контролируемого состояния

   С практической точки зрения анализ статистики оптимально контролируемой динамики населения так же важен, как и поиск оптимальной политики вмешательства. В рамках предполагаемой оптимальной политики в предыдущих подразделах мы можем сосредоточиться на динамике в интервале \ ([0, \ bar {x}] \). Далее предполагается оптимальное управление порогового типа, установленное в предыдущем разделе.

   Во-первых, мы получаем статистические моменты интервалов \ (\ tau _ {i + 1} — \ tau _ {i} \) между каждым последующим вмешательством. Это стохастическая переменная, представляющая интерес для приложений, потому что частота вмешательств критически влияет на рентабельность управления популяцией. Настоящая проблема представляет собой стохастическое оптимальное управление однородным по времени процессом на бесконечном горизонте, и, таким образом, статистические свойства оптимально управляемой динамики могут быть изучены с помощью стационарных распределений. {x} \) — условное ожидание для \ (X_ {0 -} = x \).{b} zq (z) \, \ mathrm {d} z} {\ mathrm {E} [\ tau]}, $$

   (81)

   , где числитель в правой части — это среднее значение уборки за единицу времени. Справедливость этой формулы исследуется в следующем разделе с помощью метода Монте-Карло.

   Гистерезис и поствальрасовская экономика

   [1]	Джеймс А. Юинг, О создании переходных электрических токов в железных и стальных проводниках путем их скручивания при намагничивании или намагничивания при скручивании , Proceedings of the Royal Society of London, 33 (1881), 21-23.Google ученый
   [2]	Джеймс А. Юинг, О гистерезисе зависимости деформации от напряжения , Отчеты Британского общества развития науки, 59 (1890), 502-504. Google ученый
   [3]	W. B. Haines, Исследования физических свойств почвы: V.Эффект гистерезиса капиллярных свойств и связанные с ним режимы распределения влаги , Journal of Agricultural Science, 20 (1930), 97-116. Google ученый
   [4]	Р. А. Фишер, О капиллярных силах в идеальной почве: исправление формул, приведенных У. Б. Хейнсом , Журнал сельскохозяйственных наук, 16 (1926), 492-503.DOI: 10.1017 / S0021859600007838. Google ученый
   [5]	W. B. Haines, Исследования физических свойств почв. II. Заметка о сцеплении, развиваемом капиллярными силами в идеальной почве , Журнал сельскохозяйственных наук, 15 (1925), 529-535. DOI: 10.1017 / S0021859600082460. Google ученый
   [6]	г.A. Tompsett, L. Krogh, D. W. Griffin и W. C. Conner, Гистерезис и поведение сканирования мезопористых молекулярных сит , Langmuir, 21 (2005), 8214-8225. DOI: 10.1021 / la050068y. Google ученый
   [7]	P. Lorente, C. Delgado, M. Delmar, D. Henzel и J. Jalife, Гистерезис возбудимости изолированных миоцитов желудочков морских свинок , Circulation Research, 69 (1991), 1301-1315.DOI: 10.1161 / 01.RES.69.5.1301. Google ученый
   [8]	Марк С. Гольдман, Джозеф Х. Левин, Гай Мейджор, Дэвид В. Танк и Х. С. Сунг, Устойчивая постоянная нейронная активность в модельном интеграторе с множеством гистерезисных дендритов на нейрон , Кора головного мозга, 13 (2003), 1185 -1195. Google ученый
   [9]	Марк А.Красносельский, Алексей В. Покровский, «Системы с гистерезисом», Springer-Verlag, Берлин, 1989. Google ученый
   [10]	Исаак Д. Майергойз, «Математические модели гистерезиса», Springer-Verlag, Берлин, 1991. Google ученый
   [11]	Аугусто Визинтин, «Дифференциальные модели гистерезиса», Springer-Verlag, Берлин, 1994.Google ученый
   [12]	М. Брокейт и Дж. Спрекельс, «Гистерезис и фазовые переходы», Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1996. Google ученый
   [13]	Изаак Д. Майергойз, «Математические модели гистерезиса и их приложения», Elsevier, Амстердам, 2003.Google ученый
   [14]	Джорджио Бертотти и Исаак Д. Майергойз, «Наука гистерезиса», Elsevier Academic Press, Амстердам, 2006. Google ученый
   [15]	Род Кросс, Об основах гистерезиса в экономических системах , Экономика и философия, 9 (1993), 53-74.Google ученый
   [16]	Маттиас Гёке, Различные концепции гистерезиса, применяемые в экономике , Journal of Economic Surveys, 16 (2002), 167-188. Google ученый
   [17]	Р. Кросс, М. Гринфельд и Х. Ламба, Гистерезис и экономика , IEEE Control Systems Magazine, 29 (2009), 30-43.Google ученый
   [18]	Филип Мировски, «Больше тепла, чем света: экономика как социальная физика, физика как экономика природы», Cambridge University Press, 1989. Google Scholar
   [19]	Дэвид Дуршлаг, Ханс Фоллмер, Армин Хаас, Майкл Д.Голдберг, Катарина Джуселиус, Алан Кирман, Томас Люкс и Биргитт Слот, Финансовый кризис и системный сбой академической экономики , Дискуссионный документ кафедры экономики Копенгагенского университета, (SSRN eLibrary), (09-03), март 2009 г. . Google ученый
   [20]	Альфред Маршалл, «Принципы экономики», Макмиллан, Лондон, 1890 г. Ученый Google
   [21]	Джон Мейнард Кейнс, Бедность в изобилии: саморегулируется ли экономическая система? , Слушатель, BBC, Лондон, 21 ноября 1934 г.Google ученый
   [22]	Оливер Дж. Бланшар, Состояние макросов , Рабочий документ Департамента экономики Массачусетского технологического института (SSRN eLibrary), (08–12), август (2008 г.). Google ученый
   [23]	К. Д. Гувер, Микрооснования и онтология макроэкономики , в «Оксфордском справочнике по философии экономики» (ред.Гарольд Кинкейд и Дон Росс), Oxford University Press, (2009), 386-409. Google ученый
   [24]	Алан Кирман, «Предисловие», в дуршлаге [27] , (). Google ученый
   [25]	Авинаш К. Диксит и Роберт С.Пиндик, «Инвестиции в условиях неопределенности», Princeton University Press, 1994. Google Scholar
   [26]	Алессандро Ситанна, Динамика распределения богатства с асимметричными стимулами и эндогенным соответствием, Экономическая теория, 33 (2007), 243-261. DOI: 10.1007 / s00199-006-0133-3. Google ученый
   [27]	Дэвид Коландер, редактор, «Поствальрасовская макроэкономика: за пределами динамической стохастической модели общего равновесия», Cambridge University Press, 2006.Google ученый
   [28]	Гонсало Л. Фонсека, История экономической мысли ,, , (). Google ученый
   [29]	Ирвинг Фишер, «Математические исследования теории стоимости и цен», издательство Йельского университета, Нью-Хейвен, 1925.Google ученый
   [30]	Албан Уильям Филлипс, Механические модели в экономической динамике , Economica, 17 (1950), 283-305. Google ученый
   [31]	Милтон Фридман, Возвращение к «модели ощипывания» колебаний деловой активности , Economic Inquiry, 31 (1993), 171–177.Google ученый
   [32]	Джеймс Д. Гамильтон, Новый подход к экономическому анализу нестационарных временных рядов и бизнес-цикла , Econometrica, 57 (1989), 357-384. DOI: 10.2307 / 1 9. Google ученый
   [33]	Валери Серра и Света Чаман Саксена, Динамика роста: миф об экономическом восстановлении , Рабочий документ МВФ WP / 05/147, Международный валютный фонд, 2005 г.Google ученый
   [34]	Гильермо А. Кальво, Алехандро Искьердо и Эрнесто Талви, Феникс чудеса на развивающихся рынках: восстановление без кредита после системных финансовых кризисов , Рабочий документ NBER 12101, Национальное бюро экономических исследований, Кембридж, Массачусетс, 2006. Ученый Google
   [35]	Валери Серра и Света Чаман Саксена, Динамика роста: миф об экономическом восстановлении , American Economic Review, 98 (2008), 439-457.Google ученый
   [36]	Рикардо Кабальеро, Эммануэль Фархи и Мохамад Л. Хаммур, Спекулятивный рост: намеки на экономику США , American Economic Review, 96 (2006), 1159-1192. DOI: 10.1257 / aer.96.4.1159. Google ученый
   [37]	Чарльз П.Киндлбергер, «Мании, паники и сбои: история финансовых кризисов», Вили, Нью-Йорк, 4-е издание, 2000 г. Ученый Google
   [38]	Род Кросс, Хью Макнамара, Алексей В. Покровский и Дмитрий Рачинский, Новая парадигма для моделирования гистерезиса в макроэкономических потоках , Physica B: Condensed Matter, 403 , Proceedings of HMM, (2007), 231-236. Google ученый
   [39]	Ferenc Preisach, Über die magnetische nachwirkung , Zeitschrift für Physik, 94 (1935), 277-302.Google ученый
   [40]	Луи Нил, Теории воображения лорда Рэлея. I: le déplacement d’une paroi isolée , Cahiers de Physique, 12 (1942), 1-20. Google ученый
   [41]	Луи Нил, Теории воображения лорда Рэлея.II: Multiple domains et champ coercitif , Cahiers de Physiqu, 13 (1943), 19-30. Google ученый
   [42]	Дуглас Х. Эверетт и Уильям Иво Уиттон, Общий подход к гистерезису , Труды Общества Фарадея, 48 (1952), 749-757. Google ученый
   [43]	Денис Флинн, Хью Макнамара, Филип О’Кейн и Алексей В.Покровский, Применение модели Прейзаха к гистерезису влажности почвы ,, в , (): 689. Google ученый
   [44]	Хью Макнамара, «Разработка и анализ макроэкономических моделей, включающих гистерезис Прейзаха», докторская диссертация, Университетский колледж Корка, 2008 г. Ученый Google
   [45]	Денис Флинн и Олег Рассказов, Об интегрировании ОДУ с использованием производной предизаховой нелинейности, Journal of Physics: Conference Series, 22 (2005), 43-55.DOI: 10.1088 / 1742-6596 / 22/1/003. Google ученый
   [46]	Джозеф Алоис Шумпетер, «Деловые циклы: теоретический, исторический и статистический анализ капиталистического процесса», McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1939. Ученый Google
   [47]	Н.Грегори Мэнкью, «Принципы макроэкономики», 4-е издание, South-Western College Publishing, 2006. Ученый Google
   [48]	Франклин М. Фишер, «Неравновесные основы равновесной экономики», Монографии экономического общества. Cambridge University Press, 1989. Google Scholar
   [49]	Лаура Пискителли, Майкл Гринфельд, Харбир Ламба и Род Кросс, О входе и выходе в ответ на совокупные шоки , Applied Economics Letters, 6 (1999), 569-572.DOI: 10.1080 / 135048599352619. Google ученый
   [50]	Д. Флинн, О. Рассказов, А. Жежерун и М. Доннеган, «Системы с гистерезисом», , (). Google ученый
   [51]	Джулия Дарби, Род Кросс и Лаура Пискителли, Гистерезис и безработица: предварительное расследование ,, в , (): 667. Google ученый
   [52]	Конор Туми, Гистерезис на потребительских рынках с акцентом на рынок мобильной связи , в «Международном семинаре по многоскоростным процессам и гистерезису», том 138 журнала Physics: Conference Series, (2008). Google Scholar

   Решения для теста 1 — Исчисление с аналитической геометрией II | MATH 141

   ПЕННШТАТ BANS Harrisburg Имя: ey en МАТЕМАТИКА 141.02: Исчисление H Тест 1 — Лето 2018 Чтобы получить полный кредит, вы должны показать всю свою работу. Просто напишите значение без настройка и любые необходимые промежуточные расчеты могут не учитываться. 1. Используя следующий график f (x), eval. 2. Использование первообразной, представленной в определить значение определенного интеграла B федералы 0 3 6 А а 4 4 A Ww тьфу 2 | я 4 | ‘As ot} 9 2 4 6 8 ах 2 64 Qr @ erigs А.-14 Гп. 215 ©. 24 61 б, -4 3. Вычислите производную интегрального грал Cr Т.3cos 2tdt A = Bbotix) а горе @ а н & уо Wwlee 2. B s Гр | & быть класс, какова ценность следующих интеграл ‘ [32 -5ae AQ 4 А. 0 Б. 1 0,4 D8 E.11 о > = 3 (полн.%) а 23 ({E -2e) 2 tt-20 + F 4. Вычислить производную интеграла. сделать пирог 2 — | Тед 4 д и йн 1 в качестве : ax «), S- ax 2 получил 4а? 922 422 Бо »: -e * (Bre? Te fe Deaa0e-2 «- eet? ДО Н.Э. —Tene * + вмятина? E. (L- 18 ¢ «) 6 °» — (1 — 822) e # 2 » 2 в 4k UWe7 — 4xe ПЕННГАТЭ ie Harrisburg я Имя: например. МЭТТ! 141.02: Калеул I Тест 2 — Лето 2018 Чтобы получить полную оценку, вы должны показать всю свою работу.Просто напишите значение без sct up и любые необходимые промежуточные вычисления не могут быть засчитаны. 1. Вычислить неопределенный интеграл dt переулок $ A -} (в — 5)? +0 9 Пока 5) PF +0 С.-4 (2б— 5) 440 Д .- (? — 54) 3 +0 aB-1 (2–5) 4 + ¢ 3. Вычислить неопределенный интеграл. | cos Sada А. qcos * Sa + C 3B. 5синда + С 4G dsinde + C 6D. sinit + C E. 4cos * 5 ¢ — + C 2. Вычислить неопределенный интеграл. [se (4 — 2) «dz ‘® 4-240 Б. 2562? — (8) 27 + С SC. 162? — 224 +0 Д. 82 (4z- (3) 03) «+0 gE. т (4-2) +0 4. Вычислить делинитный интеграл. 0/2 f sin (z) — 4dedr fd если А.2-4 3Б. 1-2р Ко СД. –72/2 E, -1? ПЕННГАТЭ мы Гаррисбург ты MATH 141.02; Исчисление LL Имя: Тест 5 — Лето 2018 Чтобы получить полную оценку, вы должны показать всю свою работу. Просто напишите значение без настройка и любые необходимые промежуточные расчеты могут не учитываться. 1. Вычислить интеграл [* cos? (2) дз v0 а бо Ns CG + Это 3. Вычислить неопределенный интеграл. _ — грех? тдт I @: sin (2é) + B.t + C соотв 3D. 2 (1 + cos (2t)) + С 5 E. 2cos (2t) + C 2. Вычислить неопределенный интеграл. [ шесть? (2) cos * (x) dx Ба тейнт (е) — .3c0s ° (rr) sin? (A2) — 6 cos® (x) sin * (w) + C 4. Вычислить определенный интеграл | * pIn (x) dr 3 ели Бе-л AG @ be = 1) Spi BCL e) 3 sin® (топор) +3 греха? (x) — 4 грех? 9 (2) + C fh% Os de = (: (14 gotrared & 6 чт ’2 (94 4 ата 1), : (3 2 ata = 0 граней) {бык? (2 Oa * Gaede = [- atte) табосд ата (арей . | cotpmeenca — Qa8 (e \ aan he) dx * Спал (x) +3 бай) + Vesia-aistte ek Forno é & = de G + е (yhelag = 1 y’ail = (3 x dX 2 dxtbwl- dx! | т ‘ WWE cdi dvs ede — eager ’) от 24 йен * 4, ВОЗРАСТ ornae LOY э-э- (олес 4 1 ND » (ец) ” т.е. { 2 Сор, | 3 @ 2 ау * 4 ПЕННГАТЭ eS Harrisburg Имя: ( МАТЕМАТИКА 141.02; Исчисление II Тест 6 — Suramer 2018 Чтобы получить полную оценку, вы должны показать всю свою работу. Просто напишите значение без vhe настройка и любые необходимые промежуточные расчеты не могут. считать. 1. Какую замену вы используете для 2. Вычислить интеграл упростить ооо fa 1 | V8L ¥ oeae 2 (alaev? Oh pa Влажный X = tem (8) Aw = 9sec0 7B x = 3siné Al 3B 0 C. g = 3 секунды? AD) 2 = 3t и So. ¥ 3/2 D.2 Ш. oo = 9tand 3. Вычислить интеграл знак равно (1+ 27) 74 CA) e / v 1 | 2 -С 8 долларов. -l042) _0 3c. см c + Д. 2н (л + 2 °) + С 5.офВлее — 28/3142)? +0 (Эх 4. Вычислить интеграл [sin (3z) cos (4a de 3 А. А (Tsin (x) sin (7x)) Б. 4 (7sin (32) — cos (4z)) nN Os (7cos (x) — cos (7x)) $ D. & (7sin (x) + sin (7x}) а 4 Е. 7 (cos (3a) — sin (4a :))

   404 | Фред Роджерс Продакшнс

   перейти к содержанию
   • Продакшн
     • Район Дэниела Тайгера
     • Осел Ходи
     • Путь Альмы
     • Нечетная команда
     • Peg + Cat
     • Через лес
     • Район мистера Роджерса
   • Станьте нашим партнером
     • Создатели
     • Дистрибьюторы
     • Фонды и корпорации
     • Лицензиаты
   • О
     • Наша миссия
     • Наша история
     • Наши люди
     • Награды
   • Новости
   • Контакт
   • Пожертвовать
   • Район Дэниела Тайгера
   • Осел Ходи
   • Путь Альмы
   • Нечетная команда
   • Peg + Cat
   • Через лес
   • Район мистера Роджерса
   • Наша миссия
   • Наши основные ценности
   • Наша история
   • Наши люди
   • Награды
   • Часто задаваемые вопросы
   • Создатели
   • Дистрибьюторы
   • Фонды и корпорации
   • Лицензиаты
   • Продакшн
     • Район Дэниела Тайгера
     • Осел Ходи
     • Путь Альмы
     • Нечетная команда
     • Peg + Cat
     • Через лес
     • Район мистера Роджерса
   • Станьте нашим партнером
     • Создатели
     • Дистрибьюторы
     • Фонды и корпорации
     • Лицензиаты
   • О
     • Наша миссия
     • Наша история
     • Наши люди
     • Награды
   • Новости
   • Контакт
   Ищи:
   • Пожертвовать
   Ищи:

   Ой! Похоже, той страницы, которую вы ищете, не существует.Вернитесь домой или попробуйте поискать.

   Возвращаться домой

   Текущее расписание контрактов — CAIS Rhyddid Gwybodaeth i Агентство по финансированию образования и повышения квалификации

   • image001.png

     2К Скачать

   • Список контрактов 0041111 на 2018 год.pdf

     636K Скачать Просмотреть как HTML

   Ссылка 2018-0041111

   Дорогой Генри Бейкер

   Спасибо за ваш запрос информации, который был получен 16-го числа.
   Октябрь 2018. Вы запросили:

   Я хочу запросить актуальную информацию «График контрактов»
   из отдела закупок.Я так понимаю
   — это юридическое требование к государственным органам по составлению реестра
   детализация договоров, но не включены в:

   • Что такое контракт на

   • С кем заключен контракт

   • Стоимость контракта

   • Срок действия договора

   • Дата начала и окончания каждого контракта

   • Любая другая вспомогательная информация.

   Я рассмотрел ваш запрос в соответствии с Законом о свободе информации 2000 года.

   Закон не требует наличия «графика контрактов». В
   Департамент публикует информацию о своих контрактах через Контракты.
   Finder.

   В соответствии с разделом 12 Закона Департамент, следовательно, не обязан
   соответствует вашему запросу. У нас есть центральная запись некоторых контрактов
   , который я могу предоставить вам, и это прилагается.

   Я рассмотрел способы, которыми можно сузить или ограничить ваш запрос
   , чтобы снизить затраты на его соблюдение.Однако из-за
   характер вашего запроса и способ хранения информации в
   Департамент Не считаю, что Департамент сможет
   предоставить запрошенную информацию без превышения стоимости Предел
   на данный момент. В настоящее время мы создаем центральный рекорд
   контрактов, и мы сможем предоставить дополнительную информацию, если вы захотите
   отправить запрос в будущем.

   Если у вас есть вопросы по этому письму, свяжитесь со мной.Пожалуйста
   не забудьте указывать приведенный выше ссылочный номер в любых будущих сообщениях.

   Если вы недовольны тем, как был обработан ваш запрос, вам следует
   подать жалобу в Департамент, написав мне в течение двух календарных
   месяцев со дня написания этого письма. Ваша жалоба будет рассмотрена
   независимая экспертная комиссия, которая не участвовала в первоначальной
   рассмотрение вашего запроса.

   Если вы не удовлетворены результатами своей жалобы в
   , вы можете связаться с Управлением комиссара по информации.

   С уважением

   …………………………………………. ………………………………………….. …………………….

   Морган Эроусмит

   Коммерческий советник
   Отдел коммерческой политики

   2 St Paul’s Place
   Шеффилд
   S1 2FJ

   Тел .: 0114 274 2069

   www.education.gov.uk

   % PDF-1.4 % 1 0 объект > эндобдж 6 0 obj /Заголовок /Тема / Автор /Режиссер / Ключевые слова / CreationDate (D: 20211003051507-00’00 ‘) / ModDate (D: 201

   002256 + 01’00 ‘) / В ловушке / Ложь /PTEX.Fullbanner (Это pdfTeX, версия 3.14159265-2.6-1.40.17 \ (TeX Live 2016 \) kpathsea версия 6.2.2) >> эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 7 0 объект > эндобдж 8 0 объект > эндобдж 9 0 объект > эндобдж 10 0 obj > эндобдж 11 0 объект > эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 15 0 объект > эндобдж 16 0 объект > эндобдж 17 0 объект > эндобдж 18 0 объект > эндобдж 19 0 объект > эндобдж 20 0 объект > эндобдж 21 0 объект > эндобдж 22 0 объект > эндобдж 23 0 объект > эндобдж 24 0 объект > эндобдж 25 0 объект > эндобдж 26 0 объект > эндобдж 27 0 объект > эндобдж 28 0 объект > эндобдж 29 0 объект > эндобдж 30 0 объект > эндобдж 31 0 объект > эндобдж 32 0 объект > эндобдж 33 0 объект > эндобдж 34 0 объект > эндобдж 35 0 объект > эндобдж 36 0 объект > эндобдж 37 0 объект > эндобдж 38 0 объект > эндобдж 39 0 объект > эндобдж 40 0 объект > эндобдж 41 0 объект > эндобдж 42 0 объект > эндобдж 43 0 объект > эндобдж 44 0 объект > эндобдж 45 0 объект > эндобдж 46 0 объект > эндобдж 47 0 объект > эндобдж 48 0 объект > эндобдж 49 0 объект > эндобдж 50 0 объект > эндобдж 51 0 объект > эндобдж 52 0 объект > эндобдж 53 0 объект > эндобдж 54 0 объект > эндобдж 55 0 объект > эндобдж 56 0 объект > эндобдж 57 0 объект > эндобдж 58 0 объект > эндобдж 59 0 объект > эндобдж 60 0 объект > эндобдж 61 0 объект > эндобдж 62 0 объект > эндобдж 63 0 объект > эндобдж 64 0 объект > эндобдж 65 0 объект > эндобдж 66 0 объект > эндобдж 67 0 объект > эндобдж 68 0 объект > эндобдж 69 0 объект > эндобдж 70 0 объект > эндобдж 71 0 объект > эндобдж 72 0 объект > эндобдж 73 0 объект > эндобдж 74 0 объект > эндобдж 75 0 объект > эндобдж 76 0 объект > эндобдж 77 0 объект > эндобдж 78 0 объект > эндобдж 79 0 объект > эндобдж 80 0 объект > эндобдж 81 0 объект > эндобдж 82 0 объект > эндобдж 83 0 объект > эндобдж 84 0 объект > эндобдж 85 0 объект > эндобдж 86 0 объект > эндобдж 87 0 объект > эндобдж 88 0 объект > эндобдж 89 0 объект > эндобдж 90 0 объект > эндобдж 91 0 объект > эндобдж 92 0 объект > эндобдж 93 0 объект > эндобдж 94 0 объект > эндобдж 95 0 объект > эндобдж 96 0 объект > эндобдж 97 0 объект > эндобдж 98 0 объект > эндобдж 99 0 объект > эндобдж 100 0 объект > эндобдж 101 0 объект > эндобдж 102 0 объект > эндобдж 103 0 объект > эндобдж 104 0 объект > эндобдж 105 0 объект > эндобдж 106 0 объект > эндобдж 107 0 объект > эндобдж 108 0 объект > эндобдж 109 0 объект > эндобдж 110 0 объект > эндобдж 111 0 объект > эндобдж 112 0 объект > эндобдж 113 0 объект > эндобдж 114 0 объект > эндобдж 115 0 объект > эндобдж 116 0 объект > эндобдж 117 0 объект > эндобдж 118 0 объект > эндобдж 119 0 объект > эндобдж 120 0 объект > эндобдж 121 0 объект > эндобдж 122 0 объект > эндобдж 123 0 объект > эндобдж 124 0 объект > эндобдж 125 0 объект > эндобдж 126 0 объект > эндобдж 127 0 объект > эндобдж 128 0 объект > эндобдж 129 0 объект > эндобдж 130 0 объект > эндобдж 131 0 объект > эндобдж 132 0 объект > эндобдж 133 0 объект > эндобдж 134 0 объект > эндобдж 135 0 объект > эндобдж 136 0 объект > эндобдж 137 0 объект > эндобдж 138 0 объект > эндобдж 139 0 объект > эндобдж 140 0 объект > эндобдж 141 0 объект > эндобдж 142 0 объект > эндобдж 143 0 объект > эндобдж 144 0 объект > эндобдж 145 0 объект > эндобдж 146 0 объект > эндобдж 147 0 объект > эндобдж 148 0 объект > эндобдж 149 0 объект > эндобдж 150 0 объект > эндобдж 151 0 объект > эндобдж 152 0 объект > эндобдж 153 0 объект > эндобдж 154 0 объект > эндобдж 155 0 объект > эндобдж 156 0 объект > эндобдж 157 0 объект > эндобдж 158 0 объект > эндобдж 159 0 объект > эндобдж 160 0 объект > эндобдж 161 0 объект > эндобдж 162 0 объект > эндобдж 163 0 объект > эндобдж 164 0 объект > эндобдж 165 0 объект > эндобдж 166 0 объект > эндобдж 167 0 объект > эндобдж 168 0 объект > эндобдж 169 0 объект > эндобдж 170 0 объект > эндобдж 171 0 объект > эндобдж 172 0 объект > эндобдж 173 0 объект > эндобдж 174 0 объект > эндобдж 175 0 объект > эндобдж 176 0 объект > эндобдж 177 0 объект > эндобдж 178 0 объект > эндобдж 179 0 объект > эндобдж 180 0 объект > эндобдж 181 0 объект > эндобдж 182 0 объект > эндобдж 183 0 объект > эндобдж 184 0 объект > эндобдж 185 0 объект > эндобдж 186 0 объект > эндобдж 187 0 объект > эндобдж 188 0 объект > эндобдж 189 0 объект > эндобдж 190 0 объект > эндобдж 191 0 объект > эндобдж 192 0 объект > эндобдж 193 0 объект > эндобдж 194 0 объект > эндобдж 195 0 объект > эндобдж 196 0 объект > эндобдж 197 0 объект > эндобдж 198 0 объект > эндобдж 199 0 объект > эндобдж 200 0 объект > эндобдж 201 0 объект > эндобдж 202 0 объект > эндобдж 203 0 объект > эндобдж 204 0 объект > эндобдж 205 0 объект > эндобдж 206 0 объект > эндобдж 207 0 объект > эндобдж 208 0 объект > эндобдж 209 0 объект > эндобдж 210 0 объект > эндобдж 211 0 объект > эндобдж 212 0 объект > эндобдж 213 0 объект > эндобдж 214 0 объект > эндобдж 215 0 объект > эндобдж 216 0 объект > эндобдж 217 0 объект > эндобдж 218 0 объект > эндобдж 219 0 объект > эндобдж 220 0 объект > эндобдж 221 0 объект > эндобдж 222 0 объект > эндобдж 223 0 объект > эндобдж 224 0 объект > эндобдж 225 0 объект > эндобдж 226 0 объект > эндобдж 227 0 объект > эндобдж 228 0 объект > эндобдж 229 0 объект > эндобдж 230 0 объект > эндобдж 231 0 объект > эндобдж 232 0 объект > эндобдж 233 0 объект > эндобдж 234 0 объект > эндобдж 235 0 объект > эндобдж 236 0 объект > эндобдж 237 0 объект > эндобдж 238 0 объект > эндобдж 239 0 объект > эндобдж 240 0 объект > эндобдж 241 0 объект > эндобдж 242 0 объект > эндобдж 243 0 объект > эндобдж 244 0 объект > эндобдж 245 0 объект > эндобдж 246 0 объект > эндобдж 247 0 объект > эндобдж 248 0 объект > эндобдж 249 0 объект > эндобдж 250 0 объект > / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC / ImageB / ImageI] >> эндобдж 251 0 объект > транслировать x ڝ Xn6) H? `hhoVϬ {iS_ (JN`0 # ȏG) La! + N 鳙 S7 ~ xOYkUkjr3ZÆ 낢 gBF9uqX 뷫 (Q ߧ_߱ $ DCC) XI5

   .