Тригонометрические уравнения фипи: Страница не найдена — Лицей «Бизнес и информационные технологии»

Базовый уровень ЕГЭ по математике

Программа курса

1. Вычисления и числовые преобразования
Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей. Степень с целым показателем. Действия с корнями. Сравнение чисел. Модуль.

2. Углы и параллельные прямые

3. Преобразование выражений
Формулы сокращенного умножения. Вынесение общего множителя. Метод группировки. Разложение квадратного трехчлена на множители. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей.

4. Решение уравнений
Уравнения. Корень уравнения. Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие модуль. Системы линейных уравнений.

5. Треугольник. Равнобедренный треугольник
Неравенство треугольника. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника. Соотношение между углами и сторонами треугольника. Свойство медианы. Свойство биссектрисы треугольника. Средняя линия треугольника. Признаки равенства треугольников. Признаки подобия треугольников. Свойство углов в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.

6. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Ромб. Свойства ромба. Квадрат. Свойства квадрата. Трапеция. Средняя линия трапеции.

7. Текстовые задачи
Задачи на проценты, движение, работу, движение по окружности.
Задачи на округление.

8. Окружность
Определение окружности. Отрезки в окружности. Касательная к окружности. Хорды и секущие. Дуга. Градусная мера дуги. Центральные и вписанные углы. Вписанная окружность. Описанная окружность.

9. Линейные и квадратные неравенства
Свойства числовых неравенств. Линейные неравенства. Квадратные неравенства. Метод интервалов. Системы неравенств.

10. Квадратная решетка. Координатная плоскость
Вычисление длин и углов. Вычисление площадей. Круг и его элементы. Координатная плоскость.

11. Корень степени n
Понятие корня степени n. Корень четной и нечетной степени. Свойства корня степени n. Решение простейших уравнений с корнем.

12. Степень с рациональным показателем
Определение степени с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем.

13. Логарифмы
Понятие логарифма. Свойства логарифма. Логарифмическая функция. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

14. Тригонометрические функции и тождества
Основы тригонометрии. Числовая окружность. Градусы и радианы. Определение тригонометрических функций. Тригонометрические тождества. Формулы приведения. Свойства и графики тригонометрических функций. Простейшие тригонометрические уравнения. Функции суммы и разности аргументов. Решение тригонометрических уравнений. Тригонометрические неравенства.

15. Теоремы синусов и косинусов

16. Функции и их графики
Линейная, квадратичная и обратно пропорциональная функции. Свойства функций. Чтение графиков реальных зависимостей. Представление данных в виде диаграмм.

17. Тетраэдр. Параллелепипед. Куб. Пирамида. Призма. Круговой конус. Сфера и шар.

18. Основы теория вероятностей
Вероятность события. Сложение и умножение вероятностей.

19. Производная функции
Основные определения и соотношения. Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций. Производная сложной функции. Механический смысл производной. Касательная. Анализ графиков и функций.

20. Числовые последовательности
Определение последовательности. Как задается последовательность. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.

5. Ответы.

1. Тригонометрические функции.

1) 0,5 2) -1 3) 0,5 4) 0 5) 1 6)-2 7) 0 8) 4 9) 8 10) -1

11) 7 12) 0 13) -1 14) 1 15) 2 16) 7 17) 5 18) -17 19) -13

20) -2 21) -1

2. Тригонометрические уравнения.

1) -30 2) 150 3) 0 4) — 30 5) 150 6) 360 7) 0

8) 8 9) 0 10) 0 11) 210 12)2 13)1 14) 2,5 15) 2

3. Преобразования тригонометрических выражений.

Найти значение выражения

1) 13 2) 10 3) 0,1 4) – 0,24 5) 0,41 6) – 0,59 7) 0,04 8) 0,16 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

Вычислить.

1) -0,6 2) – 0,96 3) 0,28 4) 0,28 5) 0 6) 0,8

7) 0,6 8) 4 9) -3 10) 0,5 11) 0,5 12) – 0,75 13)

14) 15) 16) 17) 18)0 19) 1,5 20) 1 21)6

Упростить выражение.

1) 1 2) 19 3)0 4)1 5) 6) 7) 8) 9)

4. Производная.

Найти значение производной функции в точке.

1) 1 2) -6 3) 32 4) -0,5 5) 1 6) 1 7)5 8)-2 9)2 10) 8

Напишите уравнение касательной

1) у=3х; у = -1/3· х + 3(1/3) 2) у = х; у = — х + 2

3) 4)

5) 6) -4 7) 8) 9) 10)

Найти экстремумы функции

1)-6 2)7 3)7 4)-3 5)2 6)2 7)1 8)4 9)0 и 1

10) 3 11)0 и 4 12) 1 13) 0 и 1 14) 15)

Найти наибольшее или наименьшее значение функции на…

1)18 2)-18 3)-14 4)14 5)0 6)-3 7)3 8)8 9) 4 10)

Физический смысл производной

1)20 2)5 3)21 4)8 и 2 5)2 6) 3 7)5 8)9 9) 5 10)2 11)12

6. Используемые ресурсы:

• В.В. Кочагин. ЕГЭ 2014. Математика: тематические тренировочные задания. – М., Эксмо, 2013

• ФИПИ. Открытый банк заданий по ЕГЭ.

• Г.В. Дорофеев. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы 11 класс. – М., Дрофа, 2002

http://aglona.net/upload/up/7786a6b80f3c5c8973db8c384c77c935.PNG

Математика

Максимальный первичный балл за работу: 30
Общее время выполнения работы: 240 мин.

Подробный список разделов, необходимых для выполнения заданий ЕГЭ по математике:

Распределение знаний и требований по типам заданий ЕГЭ:

Алгебра
Числа, корни и степени	Целые числа Степень с натуральным показателем Дроби, проценты, рациональные числа Степень с целым показателем Корень степени n>1 и его свойства Степень с рациональным показателем и ее свойства Свойства степени с действительным показателем
Основы тригонометрии	Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла Радианная мера угла Синус, косинус, тангенс и котангенс числа Основные тригонометрические тождества Формулы приведения Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов Синус и косинус двойного угла
Логарифмы	Логарифм числа Логарифм произведения, частного, степени Десятичный и натуральный логарифмы, число е
Преобразования выражений	Преобразования выражений, включающих арифметические операции Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени Преобразования тригонометрических выражений Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования Модуль (абсолютная величина) числа
Уравнения и неравенства
Уравнения	Квадратные уравнения Рациональные уравнения Иррациональные уравнения Тригонометрические уравнения Показательные уравнения Логарифмические уравнения Равносильность уравнений, систем уравнений Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных Использование свойств и графиков функций при решении уравнений Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений
Неравенства	Квадратные неравенства Рациональные неравенства Показательные неравенства Логарифмические неравенства Системы линейных неравенств Системы неравенств с одной переменной Равносильность неравенств, систем неравенств Использование свойств и графиков функций при решении неравенств Метод интервалов Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем
Функции
Определение и график функции	Функция, область определения функции Множество значений функции График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях Обратная функция. График обратной функции Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат
Элементарное исследование функций	Монотонность функций. Промежутки возрастания и убывания Четность и нечетность функций Периодичность функций Ограниченность функций Точки экстремума (локального максимума и минимума) функции Наибольшее и наименьшее значения функции
Основные элементарные функции	Линейная функция, ее график Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, ее график Квадратичная функция, ее график Степенная функция с натуральным показателем, ее график Тригонометрические функции, их графики Показательная функция, ее график Логарифмическая функция, ее график
Начала математического анализа
Производная	Понятие о производной функции, геометрический смысл производной Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком Уравнение касательной к графику функции Производные суммы, разности, произведения, частного Производные основных элементарных функций Вторая производная и ее физический смысл
Исследование функций	Применение производной к исследованию функций и построению графиков Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах
Первообразная и интеграл	Первообразные элементарных функций Примеры применения интеграла в физике и геометрии
Геометрия
Планиметрия	Треугольник Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат Трапеция Окружность и круг Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника Правильные многоугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника
Прямые и плоскости в пространстве	Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства Параллельность плоскостей, признаки и свойства Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур
Многогранники	Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида Сечения куба, призмы, пирамиды Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)
Тела и поверхности вращения	Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка Шар и сфера, их сечения
Измерение геометрических величин	Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными прямыми, параллельными плоскостями Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Координаты и векторы	Декартовы координаты на плоскости и в пространстве Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Элементы комбинаторики	Поочередный и одновременный выбор Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
Элементы статистики	Табличное и графическое представление данных Числовые характеристики рядов данных
Элементы теории вероятностей	Вероятности событий Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач
Задание	Элементы содержания	Требования к уровню подготовки
В3, В7, В12, С1,С3,С6	Алгебра	Уметь выполнять вычисления и преобразования
		Уметь решать уравнения и неравенства
В8, В11, С5	Функции и начала анализа	Уметь выполнять действия с функциями
		Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
В4, В6, В9, С2, С4	Геометрия	Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
В1,В2,В5,В10	Практикоориентированные задачи	Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

КФУ открывает курсы подготовки к ЕГЭ по информатике

Занятия будут проходить один раз в неделю, по 2-3 пары в день

16 апреля Институт вычислительной математики и информационных технологий Казанского федерального университета запускает бесплатные экспресс-курсы по подготовке к ЕГЭ «Молодые евангелисты ИВМиИТ-ВМК».

Данные курсы помогут школьникам подготовиться к ЕГЭ по математике и информатике. Они ориентированы на тех, кто уже начал готовиться к экзаменам и кому в будущем предстоит соответствующая подготовка. Курсы также призваны помочь определиться с выбором места обучения.

Занятия будут проходить один раз в неделю, по 2-3 пары в день вплоть до 28 мая. Вместе с преподавателем участники курса разберут теоретические и практические задания. Курсы будут вести доцент кафедры математической статистики ИВМиИТ КФУ, член Научно-методического совета по математике ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений» (ФИПИ, г.Москва) Анатолий Сидоров и доцент кафедры теоретической кибернетики ИВМиИТ КФУ, председатель предметной комиссии ЕГЭ по информатике и ИКТ РТ Аида Гайнутдинова.

16 апреля занятие будет посвящено уравнениям и неравенствам, содержащим модуль «Позиционные системы счисления», а также алфавитному и неравномерному кодированию, двоичному кодированию различной информации, объему памяти для хранения информации.

23 апреля преподаватели расскажут о иррациональных уравнениях и неравенствах; анализе и обработке информации, представленной в виде графиков, таблиц; представлении  информации в виде диаграмм в реляционных базах данных; информационном поиске.

30 апреля занятие будет посвящено показательным и логарифмическим уравнениям и неравенствам, математической логике.

14 мая планируется освещение следующих тем: тригонометрические уравнения и неравенства; анализ и исполнение алгоритмов, записанных на естественном языке или на языке программирования; обработка информации с помощью электронных таблиц.

На 21 мая запланированы задачи с параметром.

Занятие 28 мая будет посвящено разработке алгоритмов, программированию и отладке программ; базовым алгоритмам; обработке числовой и символьной информации. Каждую неделю планируются практические занятия по информатике.

Записаться на курсы можно здесь. 

По материалам пресс-центра КФУ

Тригонометрических уравнений исключения. Решение тригонометрических уравнений

Видеокурс «Получи пятерку» включает в себя все темы, необходимые для успешной сдачи экзамена по математике на 60-65 баллов. Полностью все задания 1-13 Профильного единого государственного экзамена по математике. Также подходит для сдачи базового экзамена по математике. Если вы хотите сдать экзамен на 90-100 баллов, вам нужно решить часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 классов, а также для учителей.Все, что нужно для решения части 1 экзамена по математике (первые 12 задач) и задачи 13 (тригонометрия). А это больше 70 баллов на экзамене, и без них не обходится ни стобалльный, ни гуманитарий.

Вся необходимая теория. Быстрые решения, ловушки и секреты экзамена. Все соответствующие задания части 1 из банка заданий ФИПИ разобраны. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, 2.По 5 часов. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Проблемы со словом и теория вероятностей. Простые и легко запоминающиеся алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех видов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Визуальное объяснение сложных понятий.Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функции и производные. Основа для решения сложных задач 2-й части экзамена.

Вы можете заказать детальное решение Вашей проблемы !!!

Равенство, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tan x` или` ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, и мы рассмотрим их формулы далее.

Простейшие уравнения называются sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где x — угол, который нужно найти, a — любое число.n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

2. Уравнение cos x = a

Для `| a |> 1` — как и в случае синуса, у него нет решений среди действительных чисел.

Для `| а | \ leq 1` имеет бесконечное количество решений.

Корневая формула: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Особые случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение tg x = a

Имеет бесконечное количество решений для любых значений `a`.

Корневая формула: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

4. Уравнение `ctg x = a`

Также есть бесконечное количество решений для любых значений `a`.

Корневая формула: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью преобразовать в простейший;
• решает полученное простейшее уравнение, используя записанные выше формулы и таблицы корней.2-3 года + 1 = 0`,

  находим корни: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, откуда следуют два случая:

  1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`,` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`, `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

  2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`,` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`, `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

  Ответ: `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

  Факторизация.2 х / 2 = 0`,

  `2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

  1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
  2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n `,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

  Ответ: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

  Приведение к однородному уравнению

  Во-первых, вам нужно привести это тригонометрическое уравнение к одному из двух типов:

  `a sin x + b cos x = 0` (однородное уравнение первой степени) или` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (однородное уравнение второй степени) . 2 x) (1 + cos x) = 0`

  Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.2 x = 0`, `sin x (1-sin x) = 0`. Тогда sin x = 0 или 1-sin x = 0.

  1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
  2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

  Учитывая, что `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, решениями являются` x = 2 \ pi n, n \ in Z` и` x = \ pi / 2 + 2 \ pi п`, `п \ in Z`.

  Ответ. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

  Тригонометрия, и в частности тригонометрические уравнения, используются практически во всех областях геометрии, физики, техники.Учеба начинается в 10 классе, к экзамену обязательно есть задания, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они обязательно пригодятся!

  Впрочем, их даже не нужно запоминать, главное понять суть и уметь делать выводы. Это не так сложно, как кажется. Убедитесь в этом сами, посмотрев видео.
  

  Простейшие тригонометрические уравнения обычно решаются формулами. Напомню, что следующие тригонометрические уравнения называются простейшими:

  sinx =

  cosx =

  tgx =

  ctgx =

  x — искомый угол,
  a — любое число.

  А вот формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

  Для синуса:

  Для косинуса:

  х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

  По касательной:

  x = arctan a + π n, n ∈ Z

  Для котангенса:

  x = arcctg a + π n, n ∈ Z

  Собственно, это теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений.Более того, все!) Вообще ничего. Однако количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, если пример немного отличается от шаблона. Почему?

  Да, потому что многие люди записывают эти буквы, вообще не понимая их смысла! С осторожностью записывает, как бы ни случилось …) С этим надо разбираться. Тригонометрия для человека, или все-таки человек для тригонометрии!?)

  Разберемся?

  Один угол будет равен arccos a, секунда: -arccos a.

  И так будет всегда. Для любых но.

  Если вы мне не верите, наведите указатель мыши на картинку или коснитесь картинки на планшете.) Я изменил номер , но к какому-то негативу. Так или иначе, у нас получился один угол arccos a, секунда: -arccos a.

  Следовательно, ответ всегда можно записать в виде двух серий корней:

  x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

  х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z

  Объединяем эти две серии в одну:

  x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

  И все дела.Получил общую формулу решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

  Если вы поймете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращенное обозначение двух серий ответов, вам и задание «С» окажетесь по плечу. При неравенствах, при выборе корней из заданного интервала … Там ответ с плюсом / минусом не катит. А если отнестись к ответу по-деловому и разбить его на два отдельных ответа, все решено.) Собственно поэтому мы понимаем. Что, как и где.

  В простейшем тригонометрическом уравнении

  sinx =

  также получается две серии корней. Всегда. И эти две серии можно записать тоже одной строкой. Только эта строчка будет хитрее:

  х = (-1) n дуг в a + π n, n ∈ Z

  Но суть осталась прежней. Математики просто построили формулу, чтобы сделать одну, а не две записи ряда корней. И все!

  Давай проверим математиков? А то мало ли …)

  На предыдущем уроке было подробно проанализировано решение (без формул) тригонометрического уравнения с синусом:

  Ответ дал две серии корней:

  х 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

  x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

  Если решить то же уравнение по формуле, мы получим ответ:

  x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

  На самом деле, это незаконченный ответ.) Студент должен знать, что arcsin 0,5 = π / 6. Полный ответ будет:

  х = (-1) n π / 6 + π n, n ∈ Z

  Возникает интересный вопрос. Ответить через x 1; х 2 (это правильный ответ!) И через одинокий NS (и это правильный ответ!) — тоже самое, или нет? Узнаем сейчас.)

  Заменить в ответ на x 1 означает n = 0; один; 2; и так далее, считаем, получаем ряд корней:

  х 1 = π / 6; 13π / 6; 25π / 6 и т. Д.

  С такой же заменой в ответе с x 2 , получаем:

  х 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 и т. Д.

  А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого NS … То есть возводим минус один в ноль, затем в первый, второй и т. Д. И, конечно, подставляем 0 во второй член; один; 2 3; 4 и т. Д. А мы посчитаем. Получаем серию:

  х = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 и т. Д.

  Это все, что вы можете увидеть.) Общая формула дает нам точно таких же результатов, как два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядку.Математиков не обманули.)

  Также можно проверить формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом. Но не будем.) Они такие простые.

  Я специально описал всю эту подмену и проверку. Здесь важно понимать одну простую вещь: есть формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений, всего лишь краткая запись ответов. Для этой краткости мне пришлось вставить плюс / минус в решение косинуса и (-1) n в решение синуса.

  Эти вкладыши никак не мешают в задачах, где нужно просто записать ответ на элементарное уравнение. Но если вам нужно решить неравенство, или вам нужно что-то сделать с ответом: выделить корни на интервале, проверить ODZ и т. Д., Эти вставки легко могут выбить человека из колеи.

  А что делать? Да, либо запишите ответ двумя рядами, либо решите уравнение / неравенство по тригонометрической окружности. Потом эти вставки исчезают и жизнь становится проще.)

  Можно подвести итоги.

  Есть готовые формулы ответов для решения простейших тригонометрических уравнений. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, вам нужно решить уравнения:

  sinx = 0,3

  Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

  cosx = 0,2

  Нет проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

  tgx = 1.2

  Легко: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

  ctgx = 3,7

  Один слева: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

  cos x = 1,8

  Если ты, сияющий знаниями, моментально напиши ответ:

  x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

  то тебе уже светит, это … то … из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Вы понимаете почему? Прочтите, что такое арккосинус. Кроме того, если табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса находятся в правой части исходного уравнения, — 1; 0; √3; 1/2; √3 / 2 и т.д. — ответ через арки будет недостроен. Арки необходимо переводить в радианы.

  И если вы столкнетесь с неравенством типа

  , то ответ:

  х πn, n ∈ Z

  есть бред редкий, да…) Здесь необходимо определиться с тригонометрическим кругом. Что будем делать в соответствующей теме.

  Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

  Бонус:

  При написании формул в тревожной боевой обстановке даже академически закаленные ботаники часто не понимают, где πn, А где 2π n. Вот простой трюк.В из всех формул стоит πn. За исключением единственной формулы с обратным косинусом. Стоит там 2πn. Два пен. Ключевое слово — два. Эта же формула содержит два знака в начале. Плюс и минус. Кое-где — двое.

  Итак, если вы написали , два знака перед обратным косинусом, легче запомнить, что в конце будет два пиен.А бывает даже наоборот. Знак пропуска человека ± , доходит до конца, пишет правильно два пиен, и он одумается. Впереди что-то , два знака ! Человек вернется к началу, но исправит ошибку! Вот так.)

  Если вам нравится этот сайт …

  Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

  Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень.Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

  вы можете ознакомиться с функциями и производными.

  Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и дайте нам знать, если у вас возникнут вопросы.

  Сбор и использование личной информации

  Личная информация — это данные, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или для связи с ним.

  Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

  Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

  Какую личную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете запрос на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

  Как мы используем вашу личную информацию:

  • Собираемая нами личная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях, а также предстоящих событиях.
  • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, например, для проведения аудитов, анализа данных и различных исследований с целью улучшения предоставляемых нами услуг и предоставления вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

  Раскрытие информации третьим лицам

  Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

  Исключения:

  • В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в ходе судебного разбирательства и / или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть вашу Персональные данные. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно по соображениям безопасности, правоохранительной деятельности или по другим социально важным причинам.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему третьему лицу — правопреемнику.

  Защита личной информации

  Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и злоупотребления, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

  Соблюдение конфиденциальности на уровне компании

  Чтобы убедиться, что ваша личная информация в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением мер конфиденциальности.

  Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: приведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, факторизация. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

  Обязательным условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

  Примеры.

  1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

  1) Решите уравнение
  

  Решение:

  Ответ:

  2) Найдите корни уравнения

  (sinx + cosx) 2 = 1 — sinxcosx, принадлежащий сегменту.

  Решение:

  Ответ:

  2. Уравнения, сводящиеся к квадрату.

  1) Решите уравнение 2 sin 2 x — cosx –1 = 0.

  Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 — cos 2 x, получаем

  Ответ:

  2) Решите уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

  Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x — 1, получаем

  Ответ:

  3) Решите уравнение tgx — 2ctgx + 1 = 0

  Решение:

  Ответ:

  3. Однородные уравнения

  1) Решите уравнение 2sinx — 3cosx = 0

  Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 — противоречие с тем фактом, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Итак, cosx ≠ 0, и вы можете разделить уравнение на cosx.Получаем

  Ответ:

  2) Решите уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

  Решение:

  Используя формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получаем

  sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
  sin 2 x — 6sinxcosx + 8cos 2 x = 0

  Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 — противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
  Следовательно, cosx ≠ 0 и уравнение можно разделить на cos 2 x . Получаем

  tg 2 x — 6 tgx + 8 = 0
  Обозначим tgx = y
  y 2-6 y + 8 = 0
  y 1 = 4; y 2 = 2
  a) tgx = 4, x = arctg4 + 2 k , k
  b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k , k .

  Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

  4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

  1) Решите уравнение.

  Решение:

  Ответ:

  5.Уравнения, решаемые факторизацией.

  1) Решите уравнение sin2x — sinx = 0.

  Корень уравнения f ( NS ) = φ ( NS ), может служить только число 0. Проверим это:

  cos 0 = 0 + 1 — верно равенство.

  Число 0 — единственный корень этого уравнения.

  Ответ: 0.

  Формула для уравнения косинуса. Основные формулы тригонометрии. Задачи для самостоятельного решения

  Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: приведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, факторизация.Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

  Обязательным условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

  Примеры.

  1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

  1) Решите уравнение
  

  Решение:

  Ответ:

  2) Найдите корни уравнения

  (sinx + cosx) 2 = 1 — sinxcosx, принадлежащий сегменту.

  Решение:

  Ответ:

  2. Уравнения, сводящиеся к квадрату.

  1) Решите уравнение 2 sin 2 x — cosx –1 = 0.

  Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 — cos 2 x, получаем

  Ответ:

  2) Решите уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

  Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x — 1, получаем

  Ответ:

  3) Решите уравнение tgx — 2ctgx + 1 = 0

  Решение:

  Ответ:

  3.Однородные уравнения

  1) Решите уравнение 2sinx — 3cosx = 0

  Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 — противоречие с тем фактом, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Итак, cosx ≠ 0, и вы можете разделить уравнение на cosx. Получаем

  Ответ:

  2) Решите уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

  Решение:

  Используя формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получаем

  sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
  sin 2 x — 6sinxcosx + 8cos 2 x = 0

  Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 — противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
  Следовательно, cosx ≠ 0, и уравнение можно разделить на cos 2 x . Получаем

  tg 2 x — 6 tgx + 8 = 0
  Обозначим tgx = y
  y 2-6 y + 8 = 0
  y 1 = 4; y 2 = 2
  a) tgx = 4, x = arctg4 + 2 k , k
  b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k , k .

  Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

  4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

  1) Решите уравнение.

  Решение:

  Ответ:

  5. Уравнения, решаемые методом факторизации.

  1) Решите уравнение sin2x — sinx = 0.

  Корень уравнения f ( NS ) = φ ( NS ), может служить только число 0. Проверим это:

  cos 0 = 0 + 1 — верно равенство.

  Число 0 — единственный корень этого уравнения.

  Ответ: 0.

  Вы можете заказать детальное решение Вашей проблемы !!!

  Равенство, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tan x` или` ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, и мы рассмотрим их формулы далее.

  Простейшие уравнения называются sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где x — угол, который нужно найти, a — любое число. Запишем формулы корней для каждого из них.

  1. Уравнение sin x = a.n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

  2. Уравнение cos x = a

  Для `| a |> 1` — как и в случае синуса, у него нет решений среди действительных чисел.

  Для `| а | \ leq 1` имеет бесконечное количество решений.

  Корневая формула: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

  Особые случаи для синуса и косинуса в графиках.
  

  3. Уравнение tg x = a

  Имеет бесконечное количество решений для любых значений `a`.

  Корневая формула: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

  4. Уравнение `ctg x = a`

  Также есть бесконечное количество решений для любых значений `a`.

  Корневая формула: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

  Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

  Для синуса:
  Для косинуса:
  Для тангенса и котангенса:
  Формулы для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

  Методы решения тригонометрических уравнений

  Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью преобразовать в простейший;
  • решает полученное простейшее уравнение, используя записанные выше формулы и таблицы корней.2-3 года + 1 = 0`,

    находим корни: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, откуда следуют два случая:

    1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`,` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`, `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`,` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`, `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    Ответ: `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    Факторизация.2 х / 2 = 0`,

    `2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

    1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
    2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n `,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

    Ответ: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

    Приведение к однородному уравнению

    Во-первых, вам нужно привести это тригонометрическое уравнение к одному из двух типов:

    `a sin x + b cos x = 0` (однородное уравнение первой степени) или` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (однородное уравнение второй степени) . 2 x) (1 + cos x) = 0`

    Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.2 x = 0`, `sin x (1-sin x) = 0`. Тогда sin x = 0 или 1-sin x = 0.

    1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
    2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

    Учитывая, что `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, решениями являются` x = 2 \ pi n, n \ in Z` и` x = \ pi / 2 + 2 \ pi п`, `п \ in Z`.

    Ответ. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

    Тригонометрия, и в частности тригонометрические уравнения, используются практически во всех областях геометрии, физики, техники.Учеба начинается в 10 классе, к экзамену обязательно есть задания, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они обязательно пригодятся!

    Впрочем, их даже не нужно запоминать, главное понять суть и уметь делать выводы. Это не так сложно, как кажется. Убедитесь в этом сами, посмотрев видео.
    

    Концепция решения тригонометрических уравнений.

    • Чтобы решить тригонометрическое уравнение, преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений.Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

  • Решение основных тригонометрических уравнений.

    • Есть 4 типа основных тригонометрических уравнений:
    • sin x = a; cos x =
    • tg x = a; ctg x = a
    • Решение основных тригонометрических уравнений включает рассмотрение различных положений «X» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
    • Пример 1.грех х = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: x = π / 3. Единичный круг дает другой ответ: 2π / 3. Помните: все тригонометрические функции периодические, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Следовательно, ответ записывается так:
    • x1 = π / 3 + 2πn; х2 = 2π / 3 + 2πn.
    • Пример 2. cos x = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: x = 2π / 3.Единичный круг дает другой ответ: -2π / 3.
    • x1 = 2π / 3 + 2π; х2 = -2π / 3 + 2π.
    • Пример 3. tg (x — π / 4) = 0.
    • Ответ: x = π / 4 + πn.
    • Пример 4. ctg 2x = 1,732.
    • Ответ: x = π / 12 + πn.

  • Преобразования, используемые для решения тригонометрических уравнений.

    • Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (факторизация, редукция однородных членов и т. Д.) и тригонометрические тождества.
    • Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Таким образом, вам нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; грех (3х / 2) = 0; cos (x / 2) = 0,

    • Нахождение углов по известным значениям функций.

      • Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений необходимо научиться находить углы по известным значениям функций.Это можно сделать с помощью таблицы преобразования или калькулятора.
      • Пример: cos x = 0,732. Калькулятор даст ответ x = 42,95 градуса. Единичный круг даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.

    • Отложите раствор на единичном круге.

      • Вы можете отложить решение тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
      • Пример: Решения x = π / 3 + πn / 2 на единичной окружности являются вершинами квадрата.
      • Пример: Решения x = π / 4 + πn / 3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.

    • Методы решения тригонометрических уравнений.

      • Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрических функции, то существует 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
      • Преобразуйте это уравнение в уравнение вида: f (x) * g (x) * h (x) = 0, где f (x), g (x), h (x) — основные тригонометрические уравнения.
      • Пример 6.2 cos x + sin 2x = 0. (0
      • Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2 * sin x * cos x, замените sin 2x.
      • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
      • Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте это уравнение в уравнение вида: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
      • Пример 8. sin x — sin 3x = cos 2x. (0
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте это уравнение в уравнение вида: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
      • Преобразует данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию.2 — 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите x для t = tg x.

  Видеокурс Get an A включает в себя все темы, необходимые для достижения успеха. сдача экзамена по математике на 60-65 баллов. Полностью все задания 1-13 Профильного единого государственного экзамена по математике. Также подходит для сдачи базового экзамена по математике. Если вы хотите сдать экзамен на 90-100 баллов, вам нужно решить часть 1 за 30 минут и без ошибок!

  Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 классов, а также для учителей.Все, что нужно для решения части 1 экзамена по математике (первые 12 задач) и задачи 13 (тригонометрия). А это больше 70 баллов на экзамене, и без них не обходится ни стобалльный, ни гуманитарий.

  Вся необходимая теория. Быстрые пути решения, ловушки и секреты экзамена. Разобрал все соответствующие задания ч.1 из банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

  Курс содержит 5 больших тем, 2.По 5 часов. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

  Сотни заданий ЕГЭ. Проблемы со словом и теория вероятностей. Простые и легко запоминающиеся алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех видов экзаменационных заданий. Стереометрия. Хитрые решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Визуальное объяснение сложных понятий… Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функции и производные. Основа для решения сложных задач 2 части экзамена.

  Простейшие тригонометрические уравнения обычно решаются формулами. Напомню, что следующие тригонометрические уравнения называются простейшими:

  sinx =

  cosx =

  tgx =

  ctgx =

  x — искомый угол,
  a — любое число.

  А вот формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

  Для синуса:

  Для косинуса:

  х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

  По касательной:

  x = arctan a + π n, n ∈ Z

  Для котангенса:

  x = arcctg a + π n, n ∈ Z

  Собственно, это теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений.Более того, все!) Вообще ничего. Однако количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, если пример немного отличается от шаблона. Почему?

  Да, потому что многие люди записывают эти буквы, вообще не понимая их смысла! С осторожностью записывает, как бы ни случилось …) С этим надо разбираться. Тригонометрия для человека, или все-таки человек для тригонометрии!?)

  Разберемся?

  Один угол будет равен arccos a, секунда: -arccos a.

  И так будет всегда. Для любого a.

  Если вы мне не верите, наведите указатель мыши на картинку или коснитесь картинки на планшете.) Я поменял номер на к какому-то негативу. Так или иначе, у нас получился один угол arccos a, секунда: -arccos a.

  Следовательно, ответ всегда можно записать в виде двух серий корней:

  x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

  х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z

  Объединяем эти две серии в одну:

  x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

  И все дела.Получил общую формулу решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

  Если вы поймете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращенное обозначение двух серий ответов, вам и задание «С» окажетесь по плечу. При неравенствах, при выборе корней из заданного интервала … Там ответ с плюсом / минусом не катит. А если отнестись к ответу по-деловому и разбить его на два отдельных ответа, все решено.) Собственно поэтому мы понимаем. Что, как и где.

  В простейшем тригонометрическом уравнении

  sinx =

  также получается две серии корней. Всегда. И эти две серии можно записать тоже одной строкой. Только эта строчка будет хитрее:

  х = (-1) n дуг в a + π n, n ∈ Z

  Но суть осталась прежней. Математики просто построили формулу, чтобы сделать одну, а не две записи ряда корней. И все!

  Давай проверим математиков? А то мало ли …)

  На предыдущем уроке было подробно проанализировано решение (без формул) тригонометрического уравнения с синусом:

  Ответ дал две серии корней:

  х 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

  x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

  Если решить то же уравнение по формуле, мы получим ответ:

  x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

  На самом деле, это незаконченный ответ.) Студент должен знать, что arcsin 0,5 = π / 6. Полный ответ будет:

  х = (-1) n π / 6 + π n, n ∈ Z

  Возникает интересный вопрос. Ответить через x 1; х 2 (это правильный ответ!) И через одинокий NS (и это правильный ответ!) — тоже самое, или нет? Узнаем сейчас.)

  Заменить в ответ на x 1 означает n = 0; 1; 2; и так далее, считаем, получаем ряд корней:

  х 1 = π / 6; 13π / 6; 25π / 6 и т. Д.

  С такой же заменой в ответе с x 2 , получаем:

  х 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 и т. Д.

  Теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого NS … То есть мы строим минус один в нулевом градусе, затем в первый, второй и т. Д. И, конечно, мы подставляем 0 во второй член; 1; 2 3; 4 и т. Д. А мы посчитаем. Получаем серию:

  х = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 и т. Д.

  Это все, что вы можете увидеть.) Общая формула дает нам точно таких же результатов, как два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядку.Математиков не обманули.)

  Также можно проверить формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом. Но не будем.) Они такие простые.

  Я специально описал всю эту подмену и проверку. Здесь важно понимать одну простую вещь: есть формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений, всего лишь краткая запись ответов. Для этой краткости мне пришлось вставить плюс / минус в решение косинуса и (-1) n в решение синуса.

  Эти вкладыши никак не мешают в задачах, где нужно просто записать ответ на элементарное уравнение. Но если вам нужно решить неравенство, или вам нужно что-то сделать с ответом: выделить корни на интервале, проверить ODZ и т. Д., Эти вставки легко могут выбить человека из колеи.

  А что делать? Да, либо запишите ответ двумя рядами, либо решите уравнение / неравенство по тригонометрической окружности. Потом эти вставки исчезают и жизнь становится проще.)

  Можно подвести итоги.

  Есть готовые формулы ответов для решения простейших тригонометрических уравнений. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, вам нужно решить уравнения:

  sinx = 0,3

  Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

  cosx = 0,2

  Нет проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

  tgx = 1.2

  Легко: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

  ctgx = 3,7

  Один слева: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

  cos x = 1,8

  Если ты, сияющий знаниями, моментально напиши ответ:

  x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

  то тебе уже светит, это … то … из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Вы понимаете почему? Прочтите, что такое арккосинус. Кроме того, если табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса находятся в правой части исходного уравнения, — 1; 0; √3; 1/2; √3 / 2 и т.д. — ответ через арки будет недостроен. Арки необходимо переводить в радианы.

  И если вы столкнетесь с неравенством типа

  , то ответ:

  х πn, n ∈ Z

  есть бред редкий, да…) Здесь необходимо определиться с тригонометрическим кругом. Что будем делать в соответствующей теме.

  Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

  Бонус:

  При написании формул в тревожной боевой обстановке даже академически закаленные ботаники часто не понимают, где πn, А где 2π n. Вот простой трюк.В из всех формул стоит πn. За исключением единственной формулы с обратным косинусом. Стоит там 2πn. Два пен. Ключевое слово — два. Эта же формула содержит два знака в начале. Плюс и минус. Кое-где — двое.

  Итак, если вы написали , два знака перед обратным косинусом, легче запомнить, что в конце будет два пиен.А бывает даже наоборот. Знак пропуска человека ± , доходит до конца, пишет правильно два пиен, и он одумается. Впереди что-то , два знака ! Человек вернется к началу, но исправит ошибку! Вот так.)

  Если вам нравится этот сайт …

  Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

  Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень.Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

  вы можете ознакомиться с функциями и производными.

  Формула решения косинусов — частные случаи. Тригонометрические уравнения. Факторизация

  Простейшие тригонометрические уравнения обычно решаются формулами. Напомню, что следующие тригонометрические уравнения называются простейшими:

  sinx = a

  cosx = a

  tgx = a

  ctgx = a

  x — искомый угол,
  a — любое число.

  А вот формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

  Для синуса:

  Для косинуса:

  х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

  По касательной:

  x = arctan a + π n, n ∈ Z

  Для котангенса:

  x = arcctg a + π n, n ∈ Z

  Собственно, это теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений… Более того, все!) Вообще ничего. Однако количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, если пример немного отличается от шаблона. Почему?

  Да, потому что многие люди записывают эти буквы, вообще не понимая их смысла! С осторожностью записывает, как бы ни случилось …) С этим надо разбираться. Тригонометрия для человека, или все-таки человек для тригонометрии!?)

  Давайте разберемся?

  Один угол будет равен arccos a, секунда: -arccos a.

  И так будет всегда. Для любых и.

  Если вы мне не верите, наведите указатель мыши на картинку или коснитесь картинки на планшете.) Я поменял номер и к какому-то негативу. Так или иначе, у нас получился один угол arccos a, секунда: -arccos a.

  Следовательно, ответ всегда можно записать в виде двух серий корней:

  x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

  х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z

  Объединяем эти две серии в одну:

  x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

  И все дела.Получил общую формулу решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

  Если вы поймете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращенное обозначение двух серий ответов, вам и задание «С» окажетесь по плечу. При неравенствах, при выборе корней из заданного интервала … Там ответ с плюсом / минусом не катит. А если отнестись к ответу по-деловому и разбить его на два отдельных ответа, все решено.) Собственно для этого и разбираемся. Что, как и где.

  В простейшем тригонометрическом уравнении

  sinx = a

  также получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строкой. Только эта строчка будет хитрее:

  х = (-1) n дуг в a + π n, n ∈ Z

  Но суть осталась прежней. Математики просто построили формулу, чтобы сделать одну, а не две записи ряда корней. И все!

  Давай проверим математиков? А то мало ли …)

  На предыдущем уроке было подробно проанализировано решение (без формул) тригонометрического уравнения с синусом:

  Ответ дал две серии корней:

  х 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

  х 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

  Если решить то же уравнение по формуле, мы получим ответ:

  x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

  На самом деле, это незаконченный ответ.) Студент должен знать, что arcsin 0,5 = π / 6. Полный ответ будет:

  х = (-1) n π / 6 + π n, n ∈ Z

  Возникает интересный вопрос. Ответить через x 1; х 2 (это правильный ответ!) И через одинокий x (и это правильный ответ!) — тоже самое, или нет? Узнаем сейчас.)

  Заменить в ответ на x 1 означает n = 0; один; 2; и так далее, считаем, получаем ряд корней:

  х 1 = π / 6; 13π / 6; 25π / 6 и т. Д.

  С такой же заменой в ответе с x 2 , получаем:

  х 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 и т. Д.

  Теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого x … То есть мы возводим минус один в ноль, затем в первый, второй и т. Д. И, конечно, подставляем 0 во второй член; один; 2 3; 4 и т. Д. А мы посчитаем. Получаем серию:

  х = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 и т. Д.

  Это все, что вы можете увидеть.) Общая формула дает нам точно таких же результатов, как два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядку.Математиков не обманули.)

  Также можно проверить формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом. Но не будем.) Они такие простые.

  Я специально описал всю эту подмену и проверку. Здесь важно понимать одну вещь. Все просто: есть формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений, всего лишь краткая запись ответов. Для этой краткости мне пришлось вставить плюс / минус в решение косинуса и (-1) n в решение синуса.

  Эти вкладыши никак не мешают в задачах, где нужно просто записать ответ на элементарное уравнение. Но если вам нужно решить неравенство, или вам нужно что-то сделать с ответом: выделить корни на интервале, проверить ODZ и т. Д., Эти вставки легко могут выбить человека из колеи.

  А что делать? Да, либо запишите ответ двумя рядами, либо решите уравнение / неравенство по тригонометрической окружности. Потом эти вставки исчезают и жизнь становится проще.)

  Можно подвести итоги.

  Для решения простейших тригонометрических уравнений есть готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, нужно решить уравнения:

  sinx = 0,3

  Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

  cosx = 0,2

  Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

  tgx = 1.2

  Легко: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

  ctgx = 3,7

  Один слева: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

  cos x = 1,8

  Если ты, сияющий знаниями, моментально напиши ответ:

  x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

  то ты уже светишь, этот … тот … из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Вы понимаете почему? Прочтите, что такое арккосинус. Кроме того, если табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса находятся в правой части исходного уравнения, — 1; 0; √3; 1/2; √3 / 2 и т.д. — ответ через арки будет недостроен. Арки необходимо переводить в радианы.

  И если вы столкнетесь с неравенством типа

  , то ответ:

  х πn, n ∈ Z

  есть бред редкий, да…) Здесь вам нужно решить тригонометрический круг. Что будем делать в соответствующей теме.

  Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

  Бонус:

  При написании формул в тревожной боевой обстановке даже академически закаленные ботаники часто не понимают, где πn, А где 2π n. Вот простой трюк.В все формул стоят πn. За исключением единственной формулы с обратным косинусом. Стоит там 2πn. Два пен. Ключевое слово — два. Эта же формула содержит два знака в начале. Плюс и минус. Кое-где — двое.

  Итак, если вы написали , два знака перед обратным косинусом, легче запомнить, что в конце будет два пиен. А бывает даже наоборот.Знак пропуска человека ± , доходит до конца, пишет правильно два пиен, и сам поймается. Впереди что-то , два знака ! Человек вернется к началу, но исправит ошибку! Вот так.)

  Если вам нравится этот сайт …

  Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

  Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

  вы можете ознакомиться с функциями и производными.

  Самыми простыми тригонометрическими уравнениями являются уравнения

  Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a

  Уравнение cos (x) = a

  Объяснение и обоснование

  1. Корни уравнения cosx = a. Когда | а | > 1 уравнение не имеет корней, так как | cosx | 1 или для

  Пусть | и |

  y = cos x. На интервале функция y = cos x убывает с 1 до -1.Но убывающая функция принимает каждое из своих значений только в одной точке своей области определения, поэтому уравнение cos x = a имеет только один корень на этом интервале, который по определению арккосинуса равен: x 1 = arccos a (а для этого корень cos x = a).

  Косинус — четная функция, поэтому на интервале [-п; 0] уравнение cos x = и также имеет только один корень — число, противоположное x 1, то есть

  x 2 = -arccos a.

  Таким образом, на интервале [-п; n] (длина 2n) уравнение cos x = a для | и |

  Функция y = cos x периодическая с периодом 2n, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2p (n ˆ Z).Получаем следующую формулу для корней уравнения cos x = a для

  x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

  1. Частные случаи решения уравнения cosx = a.

  Полезно запомнить специальные записи для корней уравнения cos x = a для

  а = 0, а = -1, а = 1, что легко получить, используя единичную окружность в качестве ориентира.

  Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, мы получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

  Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

  х = 2πп, k € Z.

  Также cos x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, x = n + 2nn,

  Уравнение sin (x) = a

  Объяснение и обоснование

  1. Уравнения корня sinx = a. Когда | и | > 1 уравнение не имеет корней, так как | sinx | 1 или для

  Видеокурс Get a A включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов.Полностью все задания 1-13 Профильного единого государственного экзамена по математике. Также подходит для сдачи базового экзамена по математике. Если вы хотите сдать экзамен на 90-100 баллов, вам нужно решить часть 1 за 30 минут и без ошибок!

  Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 классов, а также для учителей. Все необходимое для решения части 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачи 13 (тригонометрия). А это больше 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалловый, ни гуманитарий.

  Вся необходимая теория. Быстрые пути решения, ловушки и секреты экзамена. Были проанализированы все соответствующие задачи части 1 от Банка задач ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

  Курс состоит из 5 больших тем по 2,5 часа каждая. Каждая тема дана с нуля, просто и понятно.

  Сотни экзаменационных заданий. Проблемы со словом и теория вероятностей. Простые и легко запоминающиеся алгоритмы решения задач. Геометрия.Теория, справочный материал, разбор всех видов экзаменационных заданий. Стереометрия. Хитрые уловки, полезные шпаргалки, развивающее пространственное воображение. Тригонометрия с нуля до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Визуальное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функции и производные. Основа для решения сложных задач 2-й части экзамена.

  Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и дайте нам знать, если у вас возникнут вопросы.

  Сбор и использование личной информации

  Личная информация — это данные, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или для связи с ним.

  Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

  Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

  Какую личную информацию мы собираем:

  • Когда вы отправляете запрос на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

  Как мы используем вашу личную информацию:

  • Собранная нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
  • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, например, для проведения аудитов, анализа данных и различных исследований с целью улучшения предоставляемых нами услуг и предоставления вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

  Раскрытие информации третьим лицам

  Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

  Исключения:

  • В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в ходе судебного разбирательства и / или на основании запросов общественности или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть вашу Персональные данные.Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно по соображениям безопасности, правоохранительной деятельности или по другим социально важным причинам.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующей третьей стороне — правопреемнику.

  Защита личной информации

  Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

  Соблюдение конфиденциальности на уровне компании

  Чтобы убедиться, что ваша личная информация в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением мер конфиденциальности.

  Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: приведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, факторизация. Рассмотрим их применение на примерах.Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

  Обязательным условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

  Примеры.

  1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

  1) Решите уравнение
  

  Решение:

  Ответ:

  2) Найдите корни уравнения

  (sinx + cosx) 2 = 1 — sinxcosx, принадлежащий отрезку.

  Решение:

  Ответ:

  2. Уравнения, сводящиеся к квадрату.

  1) Решите уравнение 2 sin 2 x — cosx –1 = 0.

  Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 — cos 2 x, получаем

  Ответ:

  2) Решите уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

  Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x — 1, получаем

  Ответ:

  3) Решите уравнение tgx — 2ctgx + 1 = 0

  Решение:

  Ответ:

  3.Однородные уравнения

  1) Решите уравнение 2sinx — 3cosx = 0

  Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 — противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит, cosx ≠ 0 и уравнение можно разделить на cosx. Получаем

  Ответ:

  2) Решите уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

  Решение:

  Используя формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получаем

  sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
  sin 2 x — 6sinxcosx + 8cos 2 x = 0

  Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 — противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
  Следовательно, cosx ≠ 0, и уравнение можно разделить на cos 2 x . Получаем

  tg 2 x — 6 tgx + 8 = 0
  Обозначим tgx = y
  y 2-6 y + 8 = 0
  y 1 = 4; y 2 = 2
  а) tgx = 4, x = arctg4 + 2 k , k
  б) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k , k .

  Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

  4. Уравнения вида a sinx + b cosx = s, s ≠ 0.

  1) Решите уравнение.

  Решение:

  Ответ:

  5. Уравнения, решаемые методом факторизации.

  1) Решите уравнение sin2x — sinx = 0.

  Корень уравнения f ( x ) = φ ( x ), может служить только число 0. Проверим это:

  cos 0 = 0 + 1 — верно равенство.

  Число 0 — единственный корень этого уравнения.

  Ответ: 0.

  Решите уравнение, синус x равен 1 2. Решите тригонометрические уравнения. Факторизация

  Однажды я стал свидетелем разговора двух претендентов:

  — Когда нужно прибавлять 2πn, а когда — πn? Я просто не могу вспомнить!

  — И у меня такая же проблема.

  Вот я и хотел им сказать: «Надо не запоминать, а понимать!»

  Эта статья адресована в первую очередь старшеклассникам и, надеюсь, поможет им «разобраться» в решении простейших тригонометрических уравнений:

  Номер по кругу

  Наряду с понятием числовой прямой существует также понятие числового круга.Как мы знаем, в прямоугольной системе координат окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1 называется единицей. Представьте числовую прямую тонкой нитью и намотайте ее по этому кругу: начало координат (точка 0) прикрепляем к «правой» точке единичной окружности, положительную полуось наматываем против часовой стрелки, а отрицательную — по направлению ( Рисунок 1). Этот единичный круг называется числовым.

  Число свойств круга

  • Каждое действительное число находится в одной точке числового круга.
  • В каждой точке числового круга бесконечно много действительных чисел … Поскольку длина единичного круга равна 2π, разница между любыми двумя числами в одной точке круга равна одному из чисел ± 2π; ± 4π; ± 6π; …

  Делаем вывод: зная одно из номеров точки A, мы можем найти все номера точки A .

  Нарисуем диаметр динамика (рис. 2). Поскольку x_0 — одно из чисел точки A, числа x_0 ± π; x_0 ± 3π; x_0 ± 5π; … И только они будут числами точки C.Выберем одно из этих чисел, скажем, x_0 + π, и запишем с ним все номера точки C: x_C = x_0 + π + 2πk, k∈Z. Обратите внимание, что числа в точках A и C можно объединить в одну формулу: x_ (A; C) = x_0 + πk, k∈Z (при k = 0; ± 2; ± 4; … мы получаем числа точка A, а для k = ± 1; ± 3; ± 5;… — номера точки C).

  Подведем итог: зная одно из чисел в одной из точек A или C диаметра переменного тока, мы можем найти все числа в этих точках.

  • Два противоположных числа расположены в точках окружности, симметричных относительно оси абсцисс.

  Нарисуем вертикальную хорду AB (рис. 2). Поскольку точки A и B симметричны относительно оси Ox, число -x_0 находится в точке B и, следовательно, все номера точки B задаются формулой: x_B = -x_0 + 2πk, k∈Z. Запишем числа в точках A и B по той же формуле: x_ (A; B) = ± x_0 + 2πk, k∈Z. Сделаем вывод: зная одно из чисел в одной из точек A или B вертикальной хорды AB, мы можем найти все числа в этих точках. Рассмотрим горизонтальную хорду AD и найдем номера точки D (рис.k ∙ x_0 + πk, k∈Z. (при k = 0; ± 2; ± 4;… получаем номера точки A, а при k = ± 1; ± 3; ± 5;… — номера точки D).

  Подведем итог: зная одно из чисел в одной из точек A или D горизонтальной хорды AD, мы можем найти все числа в этих точках.

  Шестнадцать основных точек числового круга

  На практике решение большинства простейших тригонометрических уравнений связано с шестнадцатью точками окружности (рис.3). Что это за точки? Красные, синие и зеленые точки делят круг на 12 равных частей … Поскольку длина полукруга равна π, длина дуги A1A2 равна π / 2, длина дуги A1B1 равна π / 6, а длина дуги A1C1 равно π / 3.

  Теперь мы можем указывать по одному номеру за раз:
  

  π / 3 на C1 и

  Вершины оранжевого квадрата являются серединами дуг каждой четверти, поэтому длина дуги A1D1 равна π / 4 и, следовательно, π / 4 является одним из номеров точки D1.Используя свойства числового круга, мы можем записать все числа во всех отмеченных точках нашего круга с помощью формул. На рисунке также показаны координаты этих точек (описание того, как они были получены, мы опускаем).

  Освоив все вышесказанное, мы теперь имеем достаточную подготовку для решения частных случаев (для девяти значений числа a) простейших уравнений.

  Решить уравнения

  1) sinx = 1⁄ (2) .

  — Что от нас требуется?

  — Найдите все числа x, синус которых равен 1/2 .

  Давайте вспомним определение синуса: sinx — ордината точки числовой окружности, на которой находится число x … У нас есть две точки на окружности, ордината которых равна 1/2. Это концы горизонтальной хорды B1B2. Это означает, что требование «решить уравнение sinx = 1⁄2» эквивалентно требованию «найти все числа в точке B1 и все числа в точке B2».

  2) sinx = -√3⁄2 .

  Нам нужно найти все числа в точках C4 и C3.

  3) sinx = 1 … На окружности есть только одна точка с ординатой 1 — точка A2 и, следовательно, нам нужно найти только все номера этой точки.

  Ответ: x = π / 2 + 2πk, k∈Z.

  4) sinx = -1 .

  Только точка A_4 имеет ординату -1. Все числа этого пункта будут рыцарями уравнения.

  Ответ: x = -π / 2 + 2πk, k∈Z.

  5) sinx = 0 .

  На окружности две точки с ординатой 0 — точки A1 и A3. Можно указать числа в каждой из точек по отдельности, но, учитывая, что эти точки диаметрально противоположны, лучше объединить их в одну формулу: x = πk, k∈Z.

  Ответ: x = πk, k∈Z .

  6) cosx = √2⁄2 .

  Вспомним определение косинуса: cosx — абсцисса точки числовой окружности, на которой находится число x. На окружности две точки с абсциссой √2⁄2 — концы горизонтальной хорды D1D4. Нам нужно найти все числа в этих точках. Давайте запишем их, объединив в одну формулу.

  Ответ: x = ± π / 4 + 2πk, k∈Z.

  7) cosx = -1⁄2 .

  Необходимо найти числа в точках C_2 и C_3.

  Ответ: x = ± 2π / 3 + 2πk, k∈Z .

  10) cosx = 0 .

  Только точки A2 и A4 имеют абсциссу 0, что означает, что все числа в каждой из этих точек будут решениями уравнения.
  .

  Решениями уравнения системы являются числа в точках B_3 и B_4. Неравенство cosx Ответ: x = -5π / 6 + 2πk, k∈Z.

  Обратите внимание, что для любого допустимого значения x второй множитель положителен и, следовательно, уравнение эквивалентно системе

  Решениями уравнения системы являются количество точек D_2 и D_3.Номера точки D_2 не удовлетворяют неравенству sinx≤0,5, а номера точки D_3 удовлетворяют.

  
  

  блог. сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

  Вы можете заказать детальное решение Вашей проблемы !!!

  Равенство, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tan x` или` ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, и мы рассмотрим их формулы далее.n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

  2. Уравнение cos x = a

  Для `| a |> 1` — как и в случае синуса, у него нет решений среди действительных чисел.

  Для `| а | \ leq 1` имеет бесконечное количество решений.

  Корневая формула: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

  Особые случаи для синуса и косинуса в графиках.
  

  3. Уравнение tg x = a

  Имеет бесконечное количество решений для любых значений `a`.

  Корневая формула: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

  4. Уравнение `ctg x = a`

  Также есть бесконечное количество решений для любых значений `a`.

  Корневая формула: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

  Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

  Для синуса:
  Для косинуса:
  Для тангенса и котангенса:
  Формулы для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

  Методы решения тригонометрических уравнений

  Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью преобразовать в простейший;
  • решает полученное простейшее уравнение, используя записанные выше формулы и таблицы корней.2-3 года + 1 = 0`,

    находим корни: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, откуда следуют два случая:

    1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`,` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`, `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`,` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`, `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    Ответ: `x_1 = — \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

    Факторизация.2 х / 2 = 0`,

    `2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

    1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
    2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n `,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

    Ответ: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

    Приведение к однородному уравнению

    Во-первых, вам нужно привести это тригонометрическое уравнение к одному из двух типов:

    `a sin x + b cos x = 0` (однородное уравнение первой степени) или` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (однородное уравнение второй степени) . 2 x) (1 + cos x) = 0`

    Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.2 x = 0`, `sin x (1-sin x) = 0`. Тогда sin x = 0 или 1-sin x = 0.

    1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
    2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

    Учитывая, что `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, решениями являются` x = 2 \ pi n, n \ in Z` и` x = \ pi / 2 + 2 \ pi п`, `п \ in Z`.

    Ответ. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

    Тригонометрия, и в частности тригонометрические уравнения, используются практически во всех областях геометрии, физики, техники.Учеба начинается в 10 классе, к экзамену обязательно есть задания, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они обязательно пригодятся!

    Впрочем, их даже не нужно запоминать, главное понять суть и уметь их выводить. Это не так сложно, как кажется. Убедитесь в этом сами, посмотрев видео.
    

    Видеокурс Get A Video включает все темы, необходимые для достижения успеха. сдача экзамена по математике на 60-65 баллов.Полностью все задания 1-13 Профильный экзамен по математике. Также подходит для сдачи базового экзамена по математике. Если вы хотите сдать экзамен на 90-100 баллов, вам нужно решить часть 1 за 30 минут и без ошибок!

    Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 классов, а также для учителей. Все, что нужно для решения части 1 экзамена по математике (первые 12 задач) и задачи 13 (тригонометрия). А это больше 70 баллов на экзамене, и без них не обходится ни стобалльный, ни гуманитарий.

    Вся необходимая теория. Быстрые пути решения, ловушки и секреты экзамена. Разобрал все соответствующие задания ч.1 из банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

    Курс состоит из 5 больших тем по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

    Сотни экзаменационных заданий. Проблемы со словом и теория вероятностей. Простые и легко запоминающиеся алгоритмы решения задач.Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех видов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий … Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функции и производные. Основа для решения сложных задач 2-й части экзамена.

    Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и дайте нам знать, если у вас возникнут вопросы.

    Сбор и использование личной информации

    Личная информация — это данные, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или для связи с ним.

    Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

    Какую личную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете запрос на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

    Как мы используем вашу личную информацию:

    • Собранная нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
    • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, например, для проведения аудитов, анализа данных и различных исследований с целью улучшения предоставляемых нами услуг и предоставления вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • При необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в ходе судебного разбирательства и / или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть вашу личную информацию .Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно по соображениям безопасности, правоохранительной деятельности или по другим социально важным причинам.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему третьему лицу — правопреемнику.

    Защита личной информации

    Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и злоупотребления, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение конфиденциальности на уровне компании

    Чтобы убедиться, что ваша личная информация в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением мер конфиденциальности.

    Дональд Трим, калькулятор, набросок | PDF | Факторизация

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 45 по 73 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 96 по 113 не показаны при предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 136 по 246 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 269 по 301 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 324 по 335 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 361 по 368 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 372 по 376 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 380 по 394 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 398 по 400 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 439 по 440 не показаны при предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 454 по 496 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 510 по 572 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 590 по 611 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 648 по 652 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 668 по 696 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 711 по 814 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 829 по 843 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 880 по 932 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 947 по 979 не показаны при предварительном просмотре.

    Вы читаете бесплатный превью
    Страницы с 1019 по 1102 не показаны в этом предварительном просмотре.

    Tgx в особых случаях. Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения? Основные параметры тригонометрии

    Вы можете заказать детальное решение Вашей проблемы !!!

    Равенство, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tan x` или` ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, и мы рассмотрим их формулы далее.n arcsin a + \ pi n, n \\ in Z`

    2. Уравнение `cos x = a`

    Для `| a |> 1` — как и в случае с синусом, у него нет решений среди действительных чисел.

    Для `| а | \\ leq 1` имеет бесконечное число решений.

    Корневая формула: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

    Особые случаи для синуса и косинуса в графиках.
    

    3. Уравнение `tg x = a`

    Имеет бесконечное количество решений для любых значений ʻa`.

    Корневая формула: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

    4. Уравнение `ctg x = a`

    Также есть бесконечное количество решений для любых значений ʻa`.

    Корневая формула: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

    Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

    Для синуса:
    Для косинуса:
    Для тангенса и котангенса:
    Формулы для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

    Методы решения тригонометрических уравнений

    Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

    • с помощью преобразовать в простейший;
    • решает полученное простейшее уравнение, используя записанные выше формулы и таблицы корней.2-3й + 1 = 0`,

      находим корни: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, откуда следуют два случая:

      1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = — \ frac \ пи 6 + 2 \\ пи n`.

      2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`, `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`. 2 x = 0` (однородное уравнение второй степени) .2 + t — 2 = 0`. Корни этого уравнения — это `t_1 = -2` и` t_2 = 1`. Тогда:

      1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ in Z`
      2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`

      Ответ. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`.

      Перейти к половине угла

      Пример. Решите уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.2 х / 2 — 11 тг х / 2 + 6 = 0`

      Применяя вышеуказанный алгебраический метод, получаем:

      1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
      2. `tg x / 2 = 3 / 4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

      Ответ. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

      Введение вспомогательного уголка

      В тригонометрическом уравнении ʻa sin x + b cos x = c`, где a, b, c — коэффициенты, а x — переменная, мы делим обе части на `sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)`:

      `\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x + » \ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = » \ frac c ( sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `. 2 x) (1 + cos x) = 0`

      Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ в Z`.2 x = 0`, `sin x (1-sin x) = 0`. Тогда `sin x = 0` или` 1-sin x = 0`.

      1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
      2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`.

      Учитывая, что `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, решениями являются` x = 2 \ pi n, n \ in Z` и` x = \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

      Ответ. `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`.

      Тригонометрия, и в частности тригонометрические уравнения, используются практически во всех областях геометрии, физики, техники. Учеба начинается в 10 классе, к экзамену обязательно есть задания, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они обязательно пригодятся!

      Впрочем, их даже не нужно запоминать, главное понять суть и уметь делать выводы. Это не так сложно, как кажется. Убедитесь в этом сами, посмотрев видео.
      

      Понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются основными категориями тригонометрии — раздела математики, и они неразрывно связаны с определением угла. Овладение этой математической наукой требует запоминания и понимания формул и теорем, а также развитого пространственного мышления. Именно поэтому тригонометрические вычисления часто вызывают затруднения у школьников и студентов. Чтобы их преодолеть, вам следует больше узнать о тригонометрических функциях и формулах.

      Понятия по тригонометрии

      Чтобы понять основные концепции тригонометрии, вы должны сначала определить, что такое прямоугольный треугольник и угол в круге, и почему все основные тригонометрические вычисления связаны с ними. Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам, является прямоугольным. Исторически эта фигура часто использовалась людьми в архитектуре, мореплавании, искусстве, астрономии. Соответственно, изучая и анализируя свойства этой фигуры, люди пришли к расчету соответствующих соотношений ее параметров.

      Основными категориями, связанными с прямоугольными треугольниками, являются гипотенуза и катеты. Гипотенуза — это сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла. Ноги, соответственно, две другие стороны. Сумма углов любых треугольников всегда равна 180 градусам.

      Сферическая тригонометрия — это раздел тригонометрии, который не изучается в школе, но в прикладных науках, таких как астрономия и геодезия, его используют ученые. Особенность треугольника в сферической тригонометрии состоит в том, что он всегда имеет сумму углов более 180 градусов.

      Углы треугольника

      В прямоугольном треугольнике синус угла — это отношение катета, противоположного желаемому углу, к гипотенузе треугольника. Соответственно, косинус — это соотношение соседнего катета и гипотенузы. Оба этих значения всегда меньше единицы, так как гипотенуза всегда длиннее катета.

      Тангенс угла — это значение, равное отношению противоположного плеча к соседнему участку требуемого угла или синуса к косинусу.Котангенс, в свою очередь, представляет собой отношение соседнего отрезка желаемого угла к противоположному отрезку. Котангенс угла можно также получить, разделив единицу на значение тангенса.

      Единичный круг

      Единичный круг в геометрии — это круг, радиус которого равен единице. Такой круг строится в декартовой системе координат, при этом центр круга совпадает с начальной точкой, а начальное положение радиус-вектора определяется вдоль положительного направления оси X (абсциссы).Каждая точка круга имеет две координаты: XX и YY, то есть координаты абсцисс и ординат. Выделив любую точку на окружности в плоскости ХХ и опуская перпендикуляр от нее к оси абсцисс, мы получим прямоугольный треугольник, образованный радиусом до выбранной точки (обозначим его буквой C), перпендикулярно проведенный к оси абсцисс. Ось X (точка пересечения обозначается буквой G) и отрезок оси абсцисс между началом координат (точка обозначается буквой A) и точкой пересечения G.Полученный треугольник ACG представляет собой прямоугольный треугольник, вписанный в круг, где AG — гипотенуза, а AC и GC — катеты. Угол между радиусом окружности AC и отрезком оси абсцисс с обозначением AG мы определяем как α (альфа). Итак, cos α = AG / AC. Учитывая, что AC — радиус единичной окружности, и он равен единице, получается, что cos α = AG. Аналогично sin α = CG.

      Кроме того, зная эти данные, можно определить координату точки C на окружности, так как cos α = AG, а sin α = CG, значит, точка C имеет заданные координаты (cos α; sin α) .Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, можно определить, что tg α = y / x, а ctg α = x / y. Рассматривая углы в отрицательной системе координат, можно вычислить, что значения синуса и косинуса некоторых углов могут быть отрицательными.

      Расчеты и основные формулы

      
      

      Значения тригонометрических функций

      Рассмотрев суть тригонометрических функций через единичную окружность, можно вывести значения этих функций для некоторых углов.Значения указаны в таблице ниже.

      Простейшие тригонометрические тождества

      Уравнения, в которых неизвестное значение присутствует под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. Тождества со значением sin х = α, k — любое целое число:

      1. sin x = 0, x = πk.
      2. 2. sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
      3. sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
      4. sin x = a, | а | > 1, решений нет.k * arcsin α + πk.

      Тождества со значением cos x = a, где k — любое целое число:

      1. cos x = 0, x = π / 2 + πk.
      2. cos x = 1, x = 2πk.
      3. cos x = -1, x = π + 2πk.
      4. cos x = a, | а | > 1, решений нет.
      5. cos x = a, | а | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

      Идентичности со значением tg x = a, где k — любое целое число:

      1. tg x = 0, x = π / 2 + πk.
      2. tg x = a, x = arctan α + πk.

      Идентичности со значением ctg x = a, где k — любое целое число:

      1. ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
      2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

      Составы для литья

      Эта категория постоянных формул обозначает методы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций формы к функциям аргумента, то есть привести синус, косинус, тангенс и котангенс угла любого значения к соответствующим показателям угла интервала от 0 до 90 градусов для большего удобства расчетов.

      Формулы преобразования функций для синуса угла выглядят так:

      • sin (900 — α) = α;
      • sin (900 + α) = cos α;
      • sin (1800 — α) = sin α;
      • sin (1800 + α) = -sin α;
      • sin (2700 — α) = -cos α;
      • sin (2700 + α) = -cos α;
      • sin (3600 — α) = -sin α;
      • sin (3600 + α) = sin α.

      Для косинуса угла:

      • cos (900 — α) = sin α;
      • cos (900 + α) = -sin α;
      • cos (1800 — α) = -cos α;
      • cos (1800 + α) = -cos α;
      • cos (2700 — α) = -sin α;
      • cos (2700 + α) = sin α;
      • cos (3600 — α) = cos α;
      • cos (3600 + α) = cos α.

      Использование приведенных выше формул возможно при соблюдении двух правил. Во-первых, если угол можно представить в виде значения (π / 2 ± a) или (3π / 2 ± a), значение функции изменится:

      • от sin до cos;
      • от соз до греха;
      • с тг до тг;
      • от ctg до tg.

      Значение функции остается неизменным, если угол может быть представлен как (π ± a) или (2π ± a).

      Во-вторых, знак приведенной функции не меняется: если он изначально был положительным, то остается таковым.То же и с отрицательными функциями.

      Формулы сложения

      Эти формулы выражают значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов поворота через их тригонометрические функции. Углы обычно обозначаются как α и β.

      Формулы выглядят так:

      1. sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
      2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
      3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
      4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

      Эти формулы верны для любых значений углов α и β.

      Формулы двойных и тройных углов

      Тригонометрические формулы для двойных и тройных углов — это формулы, связывающие функции углов 2α и 3α, соответственно, с тригонометрическими функциями угла α. 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.2 x / 2) / (2tgx / 2), при этом x = π + 2πn.

    Особые случаи

    Частные случаи простейших тригонометрических уравнений приведены ниже (k — любое целое число).

    Частный для носовых пазух:

    Значение Sin x	X значение
    0	πk
    1	π / 2 + 2πk
    -1	-π / 2 + 2πk
    1/2	π / 6 + 2πk или 5π / 6 + 2πk
    -1/2	-π / 6 + 2πk или -5π / 6 + 2πk
    √2 / 2	π / 4 + 2πk или 3π / 4 + 2πk
    -√2 / 2	-π / 4 + 2πk или -3π / 4 + 2πk
    √3 / 2	π / 3 + 2πk или 2π / 3 + 2πk
    -√3 / 2	-π / 3 + 2πk или -2π / 3 + 2πk

    Части для косинуса:

    Значение Cos x	X значение
    0	π / 2 + 2πk
    1	2πk
    -1	2 + 2πk
    1/2	± π / 3 + 2πk
    -1/2	± 2π / 3 + 2πk
    √2 / 2	± π / 4 + 2πk
    -√2 / 2	± 3π / 4 + 2πk
    √3 / 2	± π / 6 + 2πk
    -√3 / 2	± 5π / 6 + 2πk

    Частный для касательной:

    Tg x значение	X значение
    0	πk
    1	π / 4 + πk
    -1	-π / 4 + πk
    √3 / 3	π / 6 + πk
    -√3 / 3	-π / 6 + πk
    √3	π / 3 + πk
    -√3	-π / 3 + πk

    Частный для котангенса:

    Ctg x значение	X значение
    0	π / 2 + πk
    1	π / 4 + πk
    -1	-π / 4 + πk
    √3	π / 6 + πk
    -√3	-π / 3 + πk
    √3 / 3	π / 3 + πk
    -√3 / 3	-π / 3 + πk

    Теоремы

    Теорема синуса

    Есть две версии теоремы — простая и расширенная.2 — 2 * b * c * cos α. В формуле a, b, c — стороны треугольника, а α — угол, противоположный стороне a.

    Теорема о касании

    Формула выражает отношение между касательными двух углов и длиной сторон, противоположных им. Стороны обозначены как a, b, c, а соответствующие противоположные углы — α, β, γ. Формула теоремы о касательной: (a — b) / (a ​​\ u200b + b) = tan ((α — β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

    Теорема котангенса

    Соединяет радиус окружности, вписанной в треугольник, с длиной его сторон.Если a, b, c — стороны треугольника, а A, B, C, соответственно, — противоположные углы, r — радиус вписанной окружности, а p — полупериметр треугольника, следующие тождества действительны:

    • ctg A / 2 = (p-a) / r;
    • ctg B / 2 = (p-b) / r;
    • ctg C / 2 = (p-c) / r.

    Прикладное приложение

    Тригонометрия — это не только теоретическая наука, связанная с математическими формулами. Его свойства, теоремы и правила используются на практике в различных областях человеческой деятельности — астрономии, воздушной и морской навигации, теории музыки, геодезии, химии, акустике, оптике, электронике, архитектуре, экономике, машиностроении, измерительной работе, компьютерной графике и т. Д. картография, океанография и многие другие.

    Синус, косинус, тангенс и котангенс — это основные понятия тригонометрии, с помощью которых вы можете математически выразить взаимосвязь между углами и длинами сторон треугольника и найти необходимые величины с помощью тождеств, теорем и правил.

    Тригонометрия как наука зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентации звезд. Эти вычисления были связаны со сферической тригонометрией, в то время как в школьном курсе изучают соотношение сторон и угол плоского треугольника.

    Тригонометрия — это раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций и отношения между сторонами и углами треугольников.

    В период расцвета культуры и науки в I тысячелетии нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но главные открытия тригонометрии — заслуга людей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений синусов, тангенсов и котангенсов.Понятие синуса и косинуса было введено индийскими учеными. Большое внимание тригонометрии уделяется в творчестве таких великих деятелей античности, как Евклид, Архимед и Эратосфен.

    Основные величины тригонометрии

    Основными тригонометрическими функциями числового аргумента являются синус, косинус, тангенс и котангенс. У каждого из них есть свой график: синус, косинус, тангенс и котангенс.

    Формулы для вычисления значений этих величин основаны на теореме Пифагора.Школьникам она больше известна по формулировке: «Пифагорейские штаны, равные во всех направлениях», так как доказательство дается на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

    Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих значений для угла А и проследим взаимосвязь тригонометрических функций:

    Как видите, tg и ctg — обратные функции.Если мы представим отрезок a как произведение sin A и гипотенузы c, а отрезок b как cos A * c, то мы получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

    Тригонометрический круг

    Графически соотношение этих величин можно представить следующим образом:

    Круг в данном случае представляет все возможные значения угла α — от 0 ° до 360 °. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от угла.Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти круга, то есть находится в диапазоне от 0 ° до 180 °. Когда α составляет от 180 ° до 360 ° (III и IV четверти), sin α может быть только отрицательным.

    Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значения величин.

    Значения α, равные 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° и так далее, называются частными случаями. Значения тригонометрических функций для них вычисляются и представляются в виде специальных таблиц.

    Эти углы выбраны не случайно. Обозначение π в таблицах означает радианы. Rad — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Это значение было введено для установления универсальной зависимости; при расчете в радианах фактическая длина радиуса в см не имеет значения.

    Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

    Итак, нетрудно догадаться, что 2π — это полный круг или 360 °.

    Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

    Чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо изобразить их функции. Это можно сделать в виде кривой, расположенной в двухмерной системе координат.

    Рассмотрим сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

    Синусоида	Косинус
    y = sin x	y = cos x
    ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
    sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z	cos x = 0, при x = π / 2 + πk, где k ϵ Z
    sin x = 1, при x = π / 2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
    sin x = — 1, при x = 3π / 2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
    sin (-x) = — sin x, то есть функция нечетная	cos (-x) = cos x, i.е. функция четная
    	функция периодическая, наименьший период 2π
    sin x ›0, для x, принадлежащих I и II четвертям, или от 0 ° до 180 ° (2πk, π + 2πk)	cos x› 0, для x, принадлежащих I и IV четвертям, или от 270 ° до 90 ° (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk)
    sin x ‹0, для x, принадлежащих III и IV четвертям, или от 180 ° до 360 ° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x‹ 0, при x, принадлежащих II и III четвертям, или от 90 ° до 270 ° (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk)
    увеличивается на интервале [- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk]	увеличивается на интервале [-π + 2πk, 2πk]
    убывает на интервалах [π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk]	убывает на интервалах
    производная (sin x) ’= cos x	производная (cos x)’ = — sin x

    Определить, четная функция или нет, очень просто.Достаточно представить себе тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график вокруг оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

    Введение радианов и перечисление основных свойств синусоиды и косинуса позволяет дать следующую закономерность:

    Проверить правильность формулы очень просто. Например, для x = π / 2 синус равен 1, как и косинус x = 0.Проверку можно проводить, обращаясь к таблицам или отслеживая кривые функций для заданных значений.

    Свойства тангентоидов и котангентоидов

    Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синуса и косинуса. Значения tg и ctg противоположны друг другу.

    1. Y = tg x.
    2. Тангенсоид стремится к значениям y при x = π / 2 + πk, но никогда их не достигает.
    3. Наименьший положительный период тангентоида равен π.
    4. Tg (- x) = — tg x, то есть функция нечетная.
    5. Tg x = 0, при x = πk.
    6. Функция увеличивается.
    7. Tg x ›0 для x ϵ (πk, π / 2 + πk).
    8. Tg x ‹0, для x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
    9. Производная (tg x) ’= 1 / cos 2 \ u2061x.

    Рассмотрим графическое изображение котангензоидов ниже по тексту.

    Основные свойства котангенсоида:

    1. Y = ctg x.
    2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангентоиде Y может принимать значения набора всех действительных чисел.
    3. Котангенсоид стремится к значениям y при x = πk, но никогда до них не доходит.
    4. Наименьший положительный период котангенсоида равен π.
    5. Ctg (- x) = — ctg x, то есть функция нечетная.
    6. Ctg x = 0, при x = π / 2 + πk.
    7. Функция убывает.
    8. Ctg x ›0, если x ϵ (πk, π / 2 + πk).
    9. Ctg x ‹0, если x ϵ (π / 2 + πk, πk).
    10. Производная (ctg x) ’= — 1 / sin 2 \ u2061x Правильно

    Видеокурс включает в себя все темы, необходимые для достижения успеха.сдача экзамена по математике на 60-65 баллов. Полностью все задания 1-13 Профильный ЕГЭ по математике. Также подходит для сдачи базового экзамена по математике. Если вы хотите сдать экзамен на 90-100 баллов, вам нужно решить часть 1 за 30 минут и без ошибок!

    Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 классов, а также для учителей. Все, что нужно для решения части 1 экзамена по математике (первые 12 задач) и задачи 13 (тригонометрия). А это больше 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалловый, ни гуманитарий.

    Вся необходимая теория. Быстрые решения, ловушки и секреты экзамена. Были проанализированы все соответствующие задачи части 1 от Банка задач ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

    Курс состоит из 5 больших тем по 2,5 часа каждая. Каждая тема дана с нуля, просто и понятно.

    Сотни экзаменационных заданий. Проблемы со словом и теория вероятностей. Простые и легко запоминающиеся алгоритмы решения задач. Геометрия.Теория, справочный материал, разбор всех видов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые уловки, полезные шпаргалки, развивающее пространственное воображение. Тригонометрия с нуля до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Визуальное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функции и производные. Основа для решения сложных задач 2-й части экзамена.

    Концепция решения тригонометрических уравнений.

    • Чтобы решить тригонометрическое уравнение, преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений.Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

  • Решение основных тригонометрических уравнений.

    • Есть 4 типа основных тригонометрических уравнений:
    • sin x = a; cos x = a
    • тг х = а; ctg x = a
    • Решение основных тригонометрических уравнений включает рассмотрение различных положений x на единичной окружности и использование таблицы преобразования (или калькулятора).
    • Пример 1. sin x = 0,866. Воспользовавшись таблицей преобразования (или калькулятором), вы получите ответ: x = π / 3. Единичный круг дает другой ответ: 2π / 3. Помните: все тригонометрические функции периодические, то есть их значения повторяются. . Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Следовательно, ответ записывается так:
    • х1 = π / 3 + 2πn; х2 = 2π / 3 + 2πn.
    • Пример 2. cos x = -1/2.Воспользовавшись таблицей преобразования (или калькулятором), вы получите ответ: x = 2π / 3. Единичный круг дает другой ответ: -2π / 3.
    • х1 = 2π / 3 + 2π; х2 = -2π / 3 + 2π.
    • Пример 3. tg (x — π / 4) = 0.
    • Ответ: x = π / 4 + πn.
    • Пример 4. ctg 2x = 1,732.
    • Ответ: x = π / 12 + πn.

  • Преобразования, используемые для решения тригонометрических уравнений.

    • Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (факторизация, редукция однородных членов и т. Д.) и тригонометрические тождества.
    • Пример 5. С помощью тригонометрических тождеств уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Таким образом, вам необходимо решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.

    • Нахождение углов по известным значениям функций.

      • Прежде чем изучать методы решения тригонометрических уравнений, необходимо научиться находить углы по известным значениям функций.Это можно сделать с помощью таблицы преобразования или калькулятора.
      • Пример: cos x = 0,732. Калькулятор даст ответ x = 42,95 градуса. Единичный круг даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.

    • Отложите раствор на единичном круге.

      • Вы можете отложить решение тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
      • Пример: Решения x = π / 3 + πn / 2 на единичной окружности являются вершинами квадрата.
      • Пример: Решения x = π / 4 + πn / 3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.

    • Методы решения тригонометрических уравнений.

      • Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрических функции, то существует 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
      • Преобразуйте это уравнение в уравнение вида: f (x) * g (x) * h (x) = 0, где f (x), g (x), h (x) — основные тригонометрические уравнения.
      • Пример 6.2 cos x + sin 2x = 0. (0
      • Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2 * sin x * cos x, замените sin 2x.
      • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
      • Пример 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте это уравнение в уравнение вида: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
      • Пример 8. sin x — sin 3x = cos 2x. (0
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте это уравнение в уравнение вида: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.2 — 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите x при t = tg x.
  .