Задание №16 ЕГЭ по математике профильного уровня |
Планиметрия
В 16 задании профильного уровня ЕГЭ по математике — задача геометрическая, а именно планиметрическая. Уровень сложности высокий по шкале ЕГЭ и школьной геометрии, поэтому приступать к этому заданию необходимо с хорошей подготовкой. Я рекомендую приступать к задаче тем, кто более чем на 5 знает геометрию. Итак, приступим к рассмотрению одного из вариантов.
Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Алгоритм решения:
а)
- Выполняем рисунок.
- Используем свойство касательной для определения вида треугольника
- Показываем, что AD и BC параллельны.
б)
- Вводим определенность относительно радиусов окружностей. И доказываем подобие треугольников ВКС и АКD.
- Определяем отношение площадей.
- Определяем искомую площадь.
Решение:
а)
1. Выполняем рисунок, учитывая условие задачи.
Пусть О1 и О2 центры данных окружностей, а М – точка пересечения общей касательной и касательной, проведенной в к окружностям в точке К.
2. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=KM и. KM=BN. Треугольник у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
3. Вписанный угол ∠AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD Значит, AD⊥AB. Аналогично получаем, что BC⊥AB Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б)
1. Пусть радиус первой окружности равен 4, тогда радиус второй 1.
Рассмотрим треугольники BKC и AKD .
и общий угол.
По признаку подобия. Эти треугольники подобны.
Пусть , тогда
2. У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, то есть Аналогично, Площадь трапеции ABCD равна 25S
Вычисляем площадь трапеции ABCD Для этого опускаем на AD перпендикуляр O2H Его длина равна высоте трапеции. Определяем его из треугольника O2HO1 по теореме Пифагора:
3. Отсюда
Имеем: 25S=20 откуда S=0,8
Ответ: 3,2.
Второй вариант (Из Ященко,№1)
В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ЛВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Алгоритм решения:
а)
- Выполняем рисунок, исходя из условия.
- Устанавливаем соотношения между величинами.
- Делаем вывод
б)
- Проводим перпендикуляр к стороне ВС.
- Устанавливаем необходимые соответствия.
- Определяем искомую величину угла.
Решение:
а)
1. Выполняем рисунок, исходя из условия.
2. Прямые АВ и CD по условию пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой L. Тогда треугольник BLC подобен ALD, причем, коэффициент подобия равен 2, потому как ВС = 2AD. Значит, А и D являются серединами сторон BL и CL соответственно.
Тогда AM и DM — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника BLC. Из этого вытекает, что М — центр окружности, описанной около него окружности.
3. Значит, BM = CM как радиусы этой окружности
б)
1. Пусть Н — середина ВС, тогда МН является серединным перпендикуляром к ВС. Тогда треугольники ВНМ и СНМ являются равнобедренными и прямоугольными. Потому ∠BCM=90° .
2. По свойству вписанного угла
,
Отсюда искомый угол
Ответ: 710.
spadilo.ru
Задание 16. ЕГЭ по математике (профильный уровень) 2018
Задание 16
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках С и M.
а) Докажите, что угол BAM равен углу CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если:
ЕГЭ. Математика
Все необходимые для сдачи ЕГЭ по математике сведения представлены в наглядных и доступных таблицах, после каждой темы – тренировочные задания для контроля знаний. С помощью этой книги учащиеся смогут в кратчайший срок повысить уровень своих знаний, за считанные дни до экзамена вспомнить все самые важные темы, потренироваться в выполнении заданий в формате ЕГЭ и стать более уверенным в своих силах. После повторения всех тем, представленных в пособии, долгожданные 100 баллов станут намного ближе! Пособие содержит теоретические сведения по всем темам, проверяемым на ЕГЭ по математике. После каждого раздела приводятся тренировочные задания разных типов с ответами. Наглядное и доступное изложение материала позволит быстро найти нужную информацию, устранить пробелы в знаниях и в кратчайшие сроки повторить большой объем информации.
Решение:
а) Заметим, что трапеция вписана в окружность, следовательно, является равнобедренной. Так как угол CAD — вписанный, а угол BAM — угол между касательной и хордой, то легко заметить, что они измеряются половиной дуги AM, следовательно, равны между собой, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что:
Откуда:
Тогда:
Так как треугольники AOD и COB подобны, то:
Значит:
rosuchebnik.ru
|
Задания реальных ЕГЭ с 2010 по 2018
Skip Navigation Links.
|
egeprof.ru
|
Задания реальных ЕГЭ с 2010 по 2018
Skip Navigation Links.
|
egeprof.ru
