221 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадает первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д. Например, числа 121 и 123321 являются палиндромами.
А) Приведите пример числа‐палиндрома, которое делится на 15
Б) Сколько существует пятизначных чисел‐палиндромов, делящихся на 15?
В) Найдите 37‐е по величине число‐палиндром, которое делится 15.
а) Чтобы делилось на 15, то должно делиться и на 5, и на 3 $$\Rightarrow$$ оканчивается на 0 или 5 (на 0 не может $$\Rightarrow$$ на 5) и сумма цифр делится на 3.
Например: $$5a5$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{5+a+5}{3}\in N$$
$$\Rightarrow$$ $$\frac{10+a}{3}\in N$$ $$\Rightarrow$$ $$a=2$$; $$a=8$$
$$\Rightarrow$$ $$525;585$$
б) Пусть $$5aba5$$ — число $$\Rightarrow$$
$$\frac{5+a+b+a+5}{3}\in N,a,b\in N\in[0….9]$$
$$\frac{10+2a+b}{3}\in N$$, при этом $$2a+b\in[0…27]$$
$$\Rightarrow$$ $$10+2a+b\in[10…37]$$.
Выберем все кратные 3 из этого диапазона: $$12;15;18;21;24;27;30;33;36$$
1) $$10+2a+b=12$$
$$2a+b=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1;b=0$$ или $$a=0;b=2$$
$$52025;20205$$
2) $$10+2a+b=15$$
$$2a+b=5$$
$$a=\frac{5-b}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$a=0;b=5$$ или $$a=2;b=1$$
или $$a=2;b=1$$
$$50505;52125;51315$$
3) $$10+2a+b=18$$
$$2a+b=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4;b=0$$
$$a=3;b=2$$ или $$a=2;b=4$$
$$a=1;b=6$$ или $$a=0;b=0$$
4) $$10+2a+b=21$$
$$2a+b=11$$ $$\Rightarrow$$ $$a=5;b=1$$ или $$a=4;b=3$$
$$a=3;b=5$$ или $$a=2;b=7$$
$$a=1;b=9$$
5) $$10+2a+b=24$$
$$2a+b=14$$ $$\Rightarrow$$
$$a=7;b=0$$ или $$a=6;b=2$$
$$a=5;b=4$$ или $$a=4;b=6$$
$$a=3;b=8$$
6) $$10+2a+b=27$$
$$2a+b=17$$ $$\Rightarrow$$
$$a=8;b=1$$
$$a=7;b=3$$ или $$a=6;b=5$$
$$a=5;b=7$$ или $$a=4;b=9$$
7) $$10+2a+b=30$$
$$2a+b=20$$ $$\Rightarrow$$
$$a=9;b=2$$ или $$a=8;b=4$$
$$a=7;b=6$$ или $$a=6;b=8$$
8) $$10+2a+b=33$$
$$2a+b=23$$ $$\Rightarrow$$
$$a=9;b=5$$ или $$a=8;b=7$$
$$a=7;b=9$$
9) $$10+2a+b=36$$
$$2a+b=26$$ $$\Rightarrow$$
$$a=9;b=8$$
Всего: $$2+3+5+5+5+5+4+3+1=33$$ числа
в) С учетом пункта б) получим: 3хзначных чисел 3 штуки
4х: $$\frac{5aa5}{3}=N$$
$$\frac{10+2a}{3}=N$$
$$2a\in[0…18]$$ $$\Rightarrow$$ $$10+2a\in[10…18]$$
12: $$2a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1$$
15: $$2a=5$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
18: $$2a=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4$$
21: $$2a=11$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
24: $$2a=14$$ $$\Rightarrow$$ $$a=7$$
27: $$2a=17$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$
Всего 3 числа.
То есть 3х и 4х значных в сумме 6 штук.
5ти всего 33 $$\Rightarrow$$ вместе 39, нам нужно 37, то есть предпоследнее $$\Rightarrow$$ 59295
mathlesson.ru
249 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений
$$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2|x+1|+2xy\\ xy+1=x-y\end{matrix}\right.$$
имеет решения
$$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2\left | x+1 \right |+2xy\\xy+1=x-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1-2x)=2\left | x+1 \right |\\y(x+1)=x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}\\y=\frac{x-1}{x+1}\end{matrix}\right.$$
$$\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}=\frac{x-1}{x+1}$$
1) $$x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$$
$$2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)$$
$$2x^{2}+4x+2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x$$
$$x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1=0$$
$$D=a^{2}+6a+9+4a-16=a^{2}+10a-7\geq 0$$
$$D_{1}=100+28=128$$
$$a_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{128}}{2}=-5\pm 4\sqrt{2}$$
$$a \in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2};+\infty )(*)$$
Имеем парабола $$f(x)=x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1$$. Рассмотрим случай, когда ни один корень не попадает в $$x\geq -1$$. Тогда абцисса вершины должна быть меньше -1, т.е. $$\frac{a+3}{2(a-4)}<-1$$ и если ветви вверх, то $$f(-1)>0$$ ветви вниз , то $$f(-1)<0$$
Т.е. $$\left\{\begin{matrix} a-4>0\\ (a-4)+a+3-1>0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a-4<0 & & \\(a-4)+a+3-1<0& &\end{matrix}\right.$$
Или $$(a-4)(2a-2)>0$$
Получаем : $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2(a+4)}<-1\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3+2a-8}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.$$
Пересечений нет, значит случай невозможен и хотя бы один корень $$\geq -1$$. Тогда $$a\in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2}; +\infty )$$
2) $$x+1<0\Rightarrow x<-1$$
$$-2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)$$
$$-2x^{2}-4x-2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x$$
$$ax^{2}+x(-a+5)+3=0$$
$$D=a^{2}-100+25-12a=a^{2}-22a+25\geq 0$$
$$D=484-100=384$$
$$a_{1,2}=\frac{22\pm \sqrt{384}}{2}=11\pm 4\sqrt{6}$$
$$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$
аналогично п.1
$$f(x)=ax^{2}+x(5-a)+3$$
Пусть оба корня $$>-1$$, тогда $$x_{0}\geq -1$$. И при ветвях вверх $$f(-1)\geq 0$$, при ветвях вних $$f(-1)\leq 0$$, т.е. $$\left\{\begin{matrix}a> 0\\a-5+a+3\geq 0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a <0\\a-5+a+3\leq 0\end{matrix}\right.$$
Или $$a(2a-2)\geq 0$$. Тогда
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5}{2a}\geq -1\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5+2a}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.$$
Т.е. $$a \in (-\infty ; 0]\cup [\frac{5}{3};+\infty )(3)$$ с учетом $$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$ и то, что промежуток (3) нас не удовлетворяет имеем: т.е. $$a\in (0; 11-4\sqrt{6}]$$
Объединим с (*) , тогда т.е. $$a \in (-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$
Сравним $$4\sqrt{2}-5$$ и $$11-4\sqrt{6}$$:
$$(4\sqrt{2}-5)^{2}=32-40\sqrt{2}+25=57-40\sqrt{2}\approx 0,43$$
$$(11-4\sqrt{6})^{2}=121-88\sqrt{6}+96=217-88\sqrt{6}\approx 1,44$$
mathlesson.ru
|
Задания реальных ЕГЭ с 2010 по 2018
Skip Navigation Links.
|
egeprof.ru
