Метод координат при решении задач егэ: Метод координат в задачах №14 профильного ЕГЭ по математике ⋆zagalina.ru

Метод координат в задачах №14 профильного ЕГЭ по математике ⋆zagalina.ru

Метод координат… Что же это такое и зачем он нужен? Можно ли без него обойтись при сдаче ЕГЭ? Можно, безусловно! Все задачи №14 профильного ЕГЭ по математике решаются и без привязки фигур к системе координат. Но…  координатный метод может значительно упростить решение самых сложных вопросов, таких, как определение расстояний и углов между прямыми и плоскостями в пространстве, так как там все эти расчеты сводятся, практически, к одной формуле.

       Будем разбираться!

Вспомните, как вас знакомили с системой координат и объясняли, что положение каждой точки в системе координат можно определять координатами х и у.   Это точки M(x_m; y_m)   и N(x_n; y_n)

Как известно, прямую можно провести через две точки, и при том, только одну. Задача по определению уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки, координаты которых известны, решалась очень просто. В этом случае в уравнение прямой

y=kx+b подставляли сначала координаты точки М, затем – точки N.

Получали систему двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов k и b, которые находили при решении  этой системы.

Но уравнение прямой на плоскости можно задать и по-другому:

Ax + By + C = 0,       (A² + B² ≠ 0)

И суть от этого не изменится, изменятся только коэффициенты. Условие в скобках означает, что А и В не могут быть равны нулю одновременно.

Стереометрия рассматривает фигуры в пространстве, где каждая точка описывается уже тремя координатами – (x, y, z).

Привязка фигур к  системе координат позволяет не только определять координаты точек, но и записать уравнение плоскости. Как известно, на трех точках можно построить плоскость, притом, только одну. Соответственно, можно и записать плоскость уравнением. Выглядит это уравнение следующим образом:

  Ax + By + Cz + D = 0

 

Очень похоже на вторую запись уравнения прямой на плоскости. Значит, и коэффициенты  А, В, С и D мы будем находить также, как и коэффициенты для прямой на плоскости, по точкам.

Это действие сродни тому, что вы производили, определяя уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные координатами.

Прямую можно провести через две точки, и мы составляли два уравнения для двух точек.

Плоскость можно провести через три точки, значит, и уравнений будет три!

Но уравнений три, а неизвестных – четыре! Ну, и что! Мы же можем разделить все уравнения на D, при этом они не изменятся, будут равнозначны первоначальным! Так и будем поступать! Тогда   вместо D   будет единица, а все остальные коэффициенты будут делиться на D,

 назовем их также, А, В, С. И это уже вполне решаемая система!

Здесь значения всех x, y и z известны, это координаты точек, принадлежащих данной плоскости.

Итак, точку описать можем, прямую описать можем, плоскость –  можем. Осталось вспомнить сами векторы и их координаты, они нам тоже пригодятся при решении задач.

Векторы и их координаты

          Вектор – это математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой.

Мы можем «привязать» вектор к системе координат, т.е. мы можем его определять в пространстве координатами его проекций на координатные плоскости.

Если даны две точки в пространстве А(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z

b), то дан и вектор

, где а_х, а_у и а_z – координаты вектора.  Осталось определить значения а_х, а_у и а_z. Определяем:

а_х = x_b– x_a

а_у = y_b– y

_a

а_z = z_b –  z_а

 

       Теперь, зная длины проекций вектора, мы можем легко найти длину вектора, которая, как видно из чертежа, есть не что иное, как диагональ параллелепипеда, сторонами которого являются координаты этого вектора. Его длина, модуль вектора, будет равна:

А что есть длина вектора, как не расстояние между двумя точками: началом и концом вектора? То есть выведенная формула определяет расстояние между двумя точками в декартовой системе координат.

Метод координат

Примеры решения задач →

Урок 3. координатный метод решения задач — Геометрия — 11 класс

Геометрия, 11 класс

Урок № 3. Координатный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• специфика и преимущества решения задач в пространстве координатным методом;
• типы задач, решаемые координатным методом;
• этап решения задачи координатным методом;
• решение несложных задач методом координат.

Глоссарий по теме

Уравнение вида задает в пространстве плоскость α.

При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль. Очевидно, что нормалью является любой вектор, коллинеарный вектору .

Вектор и любой коллинеарный ему вектор называются направляющим векторами прямой и прямой соответственно.

Основная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 163-170.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 353-260.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Мы рассмотрели несложную задачу на применение метода координат в пространстве.

Векторы , угол между которыми мы искали, называются направляющими векторами прямой и прямой соответственно.

Рассмотрим этот метод более подробно.

Суть метода координат на плоскости и в пространстве заключается в следующем.

1. Ввести систему координат удобным образом (исходя их свойств заданной фигуры)
2. Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат координаты точек и/или векторов
3. Используя алгебраические преобразования, решить задачу
4. Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием данной задачи

В рассмотренном нами примере, поскольку был дан куб, мы могли ввести систему координат с центром в любой его вершине.

В координатах удобно решать задачи, связанные с поиском расстояний и углов. Но для того чтобы его использовать, нужно знать некоторые формулы:

1. Угол между прямыми
2. Угол между прямой и плоскостью
3. Угол между плоскостями
4. Расстояние от точки до плоскости
5. Расстояние от точки до прямой в пространстве
6. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями определяется как расстояние от точки, лежащей в одной плоскости, до другой плоскости.

Мы рассмотрим только первые четыре формулы.

Введем их.

Угол между прямыми

Если прямая задана двумя точками A и B, то известен направляющий вектор этой прямой с координатами {}. Пусть вторая прямая имеет направляющий вектор . Тогда угол между векторами вычисляется по формуле:

.

Дальше ищется арккосинус от найденного числа. Заметим, что если косинус получился отрицательным, то это значит, что угол между векторами тупой. Поэтому мы берем модуль получившегося числа.

Фактически мы уже рассмотрели пример вычисления угла между прямыми в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Сначала рассмотрим уравнение плоскости, проходящей через три точки.

.

Вам известно, что в пространстве плоскость задается уравнением, аналогичным тому, которое на плоскости задает прямую.

Если линейное уравнение вида на плоскости задает прямую l, то уравнение вида задает в пространстве плоскость α. При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль.

Вам известно, что три точки в пространстве определяют единственную плоскость. Поэтому, если заданы три точки, то мы можем найти уравнение плоскости

Мы можем подставить координаты заданных точек в уравнение плоскости и решить систему из трех уравнений с тремя переменными:

В этой системе четыре неизвестных, однако, мы можем избавиться от одной, если разделим все уравнения на D:

.

Для изучения данного способа в 11 классе на базовом уровне введение понятий матрица, определитель матрицы не желателен, данные понятия не входят в базовый курс изучения геометрии.

Иногда эта система оказывается несложной. Но иногда бывает трудно ее решить, и тогда можно использовать следующую формулу:

Обозначение |M| означает определитель матрицы М.

В нашем случае матрица представляет собой таблицу 3х3 элемента. И определитель |M| вычисляется следующим образом:

.

Таким образом, уравнение плоскости будет записано так:

Пример 1:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки K(1; -2; 3), L (0; 1; 1), M (1; 0; 1).

Составим систему.

.

Решая ее, получим значения А, В и С: . То есть уравнение плоскости имеет вид:

.

Ответ: .

Теперь запишем формулу угла между прямой и плоскостью.

Пусть дано уравнение плоскости: и известен — направляющий вектор прямой.

Тогда – синус угла между прямой и плоскостью.

Пример 2:

Найдем угол между прямой и плоскостью. В качестве плоскости возьмем ту, уравнение которой мы только что написали:

Прямая проходит через точки Т(2; -1; 4) и Р(3; 2; 2).

Направляющий вектор прямой: .

Найдем синус угла между прямой и плоскостью:

.

Угол между прямой и плоскостью .

Ответ: .

Угол между плоскостями

Пусть:

уравнение первой плоскости:

уравнение второй плоскости:

Тогда — косинус угла между этими плоскостями.

Пример 3:

Найдем угол между плоскостями:

и .

Найдем косинус угла между плоскостями:

.

Угол между плоскостями:

Ответ:

Расстояние от точки до плоскости

Пусть координаты точки: , уравнение плоскости: .

Тогда Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле: .

Пример 4.

Найдем расстояние от точки М(4; 3; 4) до плоскости .

.

Теперь рассмотрим решение задачи координатным методом с использованием рассмотренных формул.

Пример 5.

АВС…D1 – куб с ребром 4. Найти расстояние от точки А до плоскости ЕКС (Е – середина D1C1, K – середина C1B1)

Введем систему координат с началом в вершине А так, как показано на рисунке:

Интересующие нас точки будут иметь координаты:

A(0; 0; 0), C(4; 4; 0), E(4; 2; 4), K(2; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости ЕКС:

.

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

Уравнение плоскости имеет вид:

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости ЕКС: .

Ответ: .

Рассмотрим задачу (№14 из варианта ЕГЭ).

В кубе ABC…D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Решение:

Переформулируем первый пункт этой задачи таким образом:

Проведем плоскость через точки Р, K и C₁ и докажем, что она параллельна прямой BD₁.

Введем систему координат так, как показано на рисунке:

Найдем координаты точек :

Р(; 0; 4), К(4; 0; 3),(4; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости :

;

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

— уравнение плоскости

Теперь докажем, что плоскость параллельна прямой BD₁.

Найдем угол между прямой BD₁ и плоскостью .

Точки В и D₁ имеют координаты: В (4; 0; 0), D₁ (0; 4; 4).

Направляющий вектор прямой BD₁ – это вектор .

Он имеет координаты .

Теперь найдем синус угла между вектором и плоскостью .

.

В этом случае нам не нужно считать знаменатель дроби. Так как числитель получился равен 0, то дробь равна 0, то есть синус угла между плоскостью и прямой равен 0, значит, плоскости параллельны или совпадают. Но, так как точка В, например, в плоскости, очевидно, не лежит, то плоскости параллельны.

Это значит, что плоскость, параллельная прямой BD₁ и проходящая через точки действительно пересекает ребро A₁B₁в точке Р так, что A₁P : PB₁ = 2 : 1. Что и требовалось доказать.

Теперь рассмотри второй пункт задачи. Уравнение плоскости у нас есть. Плоскость BB₁C₁ параллельна координатной плоскости YOZ и проходит через точку

В(4; 0; 0). Поэтому она имеет уравнение .

То есть ее коэффициенты .

Найдем угол между плоскостями, используя формулу

Ответ: .

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Метод координат при решении стереометрических задач. 11-й класс

Цель урока:

• обобщить применение метода координат при решении различных задач;
• выработать умения рассматривать различные подходы к решению задач;
• развить пространственное мышление;
• показать эффективность использования этого метода на экзамене.

Форма занятия: урок-практикум.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели.

Вводное слово учителя: Сегодня мы с вами должны повторить применение метода координат для нахождения углов. Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами.

II. Актуализация знаний учащихся

1) Сформулируйте определение угла между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

Алгоритм построения.

1. Выбрать одну из скрещивающихся прямых (удобную).

2. Для второй прямой найти параллельную прямую, которая пересекает выбранную прямую.

3. Найти угол между полученными пересекающимися прямыми, который равен углу между скрещивающимися прямыми.

2) Обсудить устно метод решения следующей задачи: Точка К – середина ребра единичного куба. Найти угол между прямыми А₁В и СК.

1 способ решения (Слайд 2, Слайд 3).

2 способ решения (Слайд 4, Слайд 5)

3) Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Алгоритм построения.

1. Найти общую точку прямой и плоскости.

2. Выбрать удобную точку на прямой и спроектировать ее на плоскость, получить проекцию прямой на плоскость (иногда удобно проектировать на плоскость параллельную прямую исходной).

3. Найти угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

4) Как найти угол между плоскостями?

Углом между плоскостями называется двугранный угол.

Алгоритм построения двугранного угла.

1. Найти общую прямую пересекающихся плоскостей (ребро двугранного угла).

2. Провести два перпендикуляра к ребру двугранного угла, лежащих в гранях двугранного угла и имеющих на ребре общее начало.

Полученный угол называется линейным углом двугранного угла.

3. Найти величину полученного линейного угла.

III. Решение задач (методом координат)

1) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, AB = AD = 2, AA₁. Найдите угол между прямой AC₁ и плоскостью AB₁C. (Слайд 6 — Слайд 9).

2) В правильной четырехугольной призме АВСDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА₁ = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁. (Слайд 10, Слайд 11)

1 способ (разобрать устно). Построим ребро двугранного угла. Для этого придется «выйти» за пределы призмы. Точки В и О лежат в одной плоскости АВС, значит, можно их соединить отрезком. ВО – след секущей плоскости на плоскости грани АВСD. FP является наклонной к плоскости ABC, CP – проекция отрезка FP на плоскость ABC. CPBO по теореме о трёх перпендикулярах. FPC – линейный угол двугранного угла FBOC.

2 способ. Решение. (Слайд 12).

IV. Самостоятельная работа

(Слайд 13)

Задача: В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой АА₁ и плоскостью ВС₁D. (Слайд 5)

1 вариант — методом координат

2 вариант — используя определение угла  между прямой и плоскостью

V. Подведение итогов

Вывод: Координатный метод имеет преимущество перед другими способами тем, что основывается на применение формул, требует меньше стереометрических соображений. Надо поместить тело в прямоугольную систему координат, определить координаты точек и воспользоваться формулой. Знакомство с координатным методом помогает быстро решать задачи из ЕГЭ.

VI. Домашнее задание

(Слайд 14)

В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями (А₁С₁D) и (BC₁D).

Список использованных источников

1) Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2007. – 256 с.

2) ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов/ под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное образование, 2011. – 112 с. – (ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе).

3) https://urok.1sept.ru

4) http://uslide.ru

5) http://nsportal.ru

Метод координат при решении стереометрических задач ЕГЭ

Сущность метода координат, как метода решения задач, состоит в том, что, выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно применять геометрию к решению алгебраических задач, при этом осуществляется межпредметная связь.

Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:

1.                     дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;

2.                     показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;

3.                      способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

С помощью  метода координат многие задачи решаются более рационально, доступно.  Решение задач С2  методом координат, на мой взгляд, алгоритмитизировано, что в большинстве случаев упрощает решение задачи.

При подготовке к задачи С2 в этом году мною был сделан упор на  решение этих задач именно методом координат.

Были выделены основные типы задач С2, это задачи на нахождение:

  Угла между двумя  прямыми

  Угла между прямой и плоскостью

  Расстояние от точки до плоскости

  Угла между двумя плоскостями

Причины трудностей учащихся при решении подобных задач, я вижу в   

 1.Отсутствие пространственного воображения.

2.Сложности в усвоении понятий: угла между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, линейного угла, взаимного расположения плоскостей.

3.Недостатка  разнообразия   задач подобного типа в учебнике.

4.Недостатка учебного времени на изучение этого метода. 

 

В помощь учащимся мною были разработаны справочники  так называемые (шпаргалки-помощницы), которыми учащиеся пользовались при подготовке к экзамену

В эти книжки помещён справочный материал,  примеры разнообразных задач С2,    разработаны алгоритмы их решения и показаны  решения этих задач по алгоритму. В справочнике рассмотрены задачи на все выделенные ранее типы, причём, по одному и тому же типу предложены две задачи, на разных многогранниках.

Причём, решение задач, содержащихся в этом справочнике, рассмотрено  доступно, но с разной степенью подробности. Это позволяет ученику сравнивать решение с алгоритмом, со справочным материалом и  проявлять самостоятельность в той или иной мере.

Учащийся, рассматривая решение данных задач, запоминает алгоритм их решения, имеет возможность обратится к справочному материалу. Считаю, что когда такой компактный справочник находится на столе ученика, это экономит его время, даёт возможность классифицировать задачу восстановить и в итоге запомнить алгоритм решения задачи.

Одной из сложных задач являлась задача на определение угла между двумя плоскостями, но при решении её методом координат, она становится доступной учащимся. Уравнению плоскости  в нашем учебнике геометрии практически не уделяется внимания, поэтому мне пришлось обратиться к курсу высшей математики, где подобного типа задачи изложены достаточно просто.  («Высшая математика в упражнениях и задачах»  П.Е.Данко, А.Г.Попов и др.)

Хотелось бы обратить ваше внимание коллеги на то, что в учебник «Геометрия 10-11», Л.С.Атанасяна, В.Ф.Бутузова, издания 2010 года внесён новый  п.53* Уравнение плоскости.

 В итоге своего выступления назову положительные и отрицательные стороны метода координат.

Метод координат:

1.                     Избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.  Для ученика это +

2.                     При решении задач этим методом не нужна высокая степень сообразительности, что, конечно, негативно сказывается на творческих способностях учащихся.  Это —

3.                     И ещё один минус. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат, это усложняет вычислительную часть при решение задачи. И здесь перед учителем встаёт необходимость научить учащихся делать рациональный выбор системы координат.

4.                     Метод даёт возможность «натаскивания» учащихся на решение подобного типа задач. Понятно, что это и +, и –. Но, к сожалению, мы сегодня находимся в таких условиях, когда «натаскивание» является одной из составляющих подготовки учащихся к ЕГЭ.

5.                     При решении задач методом координат нет необходимости в дополнительных построениях, что особенно трудно учащимся, каких-либо сечений, линейных углов, линий пересечения плоскостей. Полностью отсутствуют доказательства, обоснования того или иного применения теорем стереометрии. А это огромный +.

6.                     Экономит время и место в оформлении задачи на экзамене.  Это +

7.                     Метод, легко усваиваемый большинством учащихся с разной математической подготовкой. Это  + не только для ученика, но и для учителя.

 

   Как видите  + больше, чем -,   но это на мой взгляд.  Конечно, в зависимости от уровня подготовки учащихся в классе можно предлагать и другой способ решения задач — классический, требующий глубокого понимания и умения не только представлять, но и изображать сложные пространственные проекции на плоскость.

 

Спасибо за внимание!

Сборник «Решение задач №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом»

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются от соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1).

Координаты правильной треугольной призмы

При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах №14 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба.

Вводим систему координат:

1. Начало координат — в точке A;

2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;

3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, и для того чтобы довольно просто решить задание №14 эти иррациональные координаты надо просто запомнить. Или можно вывести.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Шестиугольная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Нужно обратить внимание на то, что начало координат не совпадает с вершиной многогранника. На самом деле, при решении настоящих задач выясняется, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений. Осталось добавить ось z. Проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Ниже представлено, как найти определитель третьего порядка по правилу Саррюса, составить уравнение плоскости и найти вектор нормали.

§2 Практическая часть

Ниже представлены задачи:

— на нахождение угла между прямыми;

— угла между прямой и плоскостью;

— угла между плоскостями;

— расстояния от точки до прямой;

— расстояния от точки до плоскости.

Эти задачи решили мои ученики 11 класса

Вариант 13. Задача №14 по сборнику Ф.Ф.Лысенко

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 4, точка М является серединой отрезка BC₁. Найдите расстояние между прямыми А₁В и АМ.

Задача №14 по сборнику ФИПИ 2016

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁ E₁F₁ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до прямой C₁F_.

Задача №14 по сборнику ФИПИ 2017

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости AD₁ C , если АВ равно 5, АА₁равно 6.

Задача №14 ЕГЭ по сборнику ФИПИ 2017

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁ E₁F₁ все рёбра равны 4.

а) Докажите, что угол между прямыми АD₁ и DC₁ равен 90⁰.

б) Найдите угол между плоскостями FAC₁ и AA₁D.

Задача №14 ЕГЭ по сборнику ФИПИ 2017

Вывод

Мы изучили метод координат на более высоком уровне по сравнению со школьной программой по геометрии. Познакомились и научились применять новые формулы: на нахождение расстояния от точки до плоскости, от точки до прямой, угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями. Мы узнали, что для составления уравнения плоскости можно использовать матрицу и определитель третьего порядка, который можно посчитать правилом Саррюса.

Мы пришли к выводу, что использование метода координат требует от ученика внимательности, хороших вычислительных навыков. Мы убеждены в том, что координатно-векторный метод в школьном курсе геометрии необходимо изучать на глубоком уровне и увеличить количество часов на изучение данной темы.

Нами подобраны задания из сборников ФИПИ 2016г и 2017г, которые мы самостоятельно решили и которые помогут отработать полученные навыки, и тем самым более качественно подготовиться к сдаче экзамена.

Мы надеемся, что изложенная в работе информация поможет выпускникам решать задание №14 и достичь более высоких результатов на ЕГЭ по математике

Список литературы

1. ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

2. ru.wikipedia.org – Система координат.

3. Смирнова, И.М. C50 Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 158, [2] с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)

4. Геометрия, 10 – 11 : Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 206 с.: ил.

5. Корянов А.Г, Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) «Многогранники: виды задач и методы их решения» www.alexlarin.narod.ru

6. Корянов А.Г, « Расстояния и углы в пространстве» МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 (типовые задания С2) www.alexlarin.narod.ru

7. В.В. Леваков «Решение задач координатно-векторным методом»

Метод координат для решения задачи по стереометрии на ЕГЭ 11 класс | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по геометрии (11 класс) по теме:

Слайд 1

Задания С2 на ЕГЭ. Координатный метод.

Слайд 2

Координаты многогранников.

Слайд 3

Единичный куб. х у z D (0; 0; 0) A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) B (1; 1; 0 ) D 1 (0; 0; 1) A 1 (1; 0; 1) C 1 (0; 1 ; 1) B 1 (1; 1; 1)

Слайд 4

Прямоугольный параллелепипед. х у z D (0; 0; 0) A (a; 0; 0) C (0; b; 0) B (a; b ; 0) D 1 (0; 0; c) A 1 (a; 0; c) C 1 (0; b; c ) B 1 (a; b ; c ) a b c

Слайд 5

Правильная шестиугольная призма. х у C F D E B A a a C (a; 0;0) F (- a; 0;0) х у z C 1 (a; 0;c) F 1 (- a; 0;c) a c

Слайд 6

Правильная треугольная призма. С 1 А В С А 1 В 1 c a х у z O

Слайд 7

Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

Слайд 8

Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

Слайд 9

Правильная шестиугольная пирамида. х y z a h C (a; 0;0) F (- a; 0;0)

Слайд 10

Расстояние от точки до плоскости.

Слайд 11

Расстояние от точки М( x 0 ;y 0 ;z 0 ) до плоскости ax + by + cz + d = 0 . Например:

Слайд 12

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости имеет вид Числа a, b, c находим из системы уравнений

Слайд 13

Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки — уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Слайд 14

№ 1 В единичном кубе АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости (BDC 1 ) . х у z A 1 (1; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0 ) C 1 (0; 1 ; 1) Запишем уравнение плоскости DBC 1 .

Слайд 15

A 1 (1; 0; 1) Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 16

х у z № 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF 1 ) F 1 (- 1; 0;1) Запишем уравнение плоскости DC 1 F 1 . C 1 (1; 0;1) 1 1

Слайд 18

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 19

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Слайд 20

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой. b c A B

Слайд 21

№ 1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми А D 1 и В D . х у z

Слайд 22

A (1; 0; 0 ) D (0; 0; 0 ) B (1; 1; 0 ) C 1 (0; 1; 1) Запишем уравнение плоскости BDC 1 . Найдем искомое расстояние по формуле

Слайд 23

A (1; 0; 0 ) Ответ:

Слайд 24

№ 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми А S и ВС. х y z 1 1 h O

Слайд 25

Запишем уравнение плоскости ADS .

Слайд 26

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Слайд 27

Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) 18.02.2011 www.alexlarin.narod.ru

Координатная геометрия и точки в SAT Math: Полное руководство

Координатная геометрия — одна из самых сложных тем на экзамене SAT, и вам необходимо научиться преодолевать ее многочисленные аспекты, чтобы отвечать на разнообразные вопросы, которые вы встретите в тесте. К счастью, координатную геометрию нетрудно визуализировать или понять, когда вы знаете основы. И мы здесь, чтобы показать вам, как это сделать.

Обычно к каждому заданному тесту SAT задают два вопроса, которые касаются только точек, и еще 2-3 вопроса, которые будут касаться линий и наклонов и / или поворотов, отражений или перемещений.Это составляет значительную часть вашего математического раздела SAT, поэтому перед выполнением теста рекомендуется разобраться в тонкостях координатной геометрии.

Это будет ваше полное руководство по точкам и строительным блокам для координатной геометрии. — как находить точки, расстояния и средние точки и управлять ими, а также стратегии для решения этих типов вопросов в день тестирования.

Что такое координатная геометрия?

Геометрия всегда выполняется на плоскости, которая является плоской поверхностью, которая продолжается бесконечно во всех направлениях.Координатная плоскость относится к плоскости, имеющей шкалу измерения по осям $ x $ — и $ y $.

Координатная геометрия — это геометрия, которая имеет место в координатной плоскости.

Координатные весы

$ \ bi x $ — ось — это масштаб, который измеряет горизонтального расстояния вдоль координатной плоскости.

$ \ bi y $ — ось — это шкала, которая измеряет вертикального расстояния вдоль координатной плоскости.

Пересечение двух плоскостей называется исходной точкой .

Мы можем найти любую точку вдоль бесконечного пролета плоскости, используя ее положение относительно осей $ x $ — и $ y $ и начала координат. Мы отмечаем это место координатами, записанными как $ (x, y) $.

Значение $ x $ сообщает нам, как далеко (и в каком направлении) находится наша точка по оси $ x $.

Значение $ y $ сообщает нам, как далеко (и в каком направлении) находится наша точка по оси $ y $.

Например,

Эта точка находится на 7 единиц правее начала координат и на 4 единицы выше начала координат. Это означает, что наша точка находится в координатах $ (7, 4) $.

В любом месте справа от исходной точки будет иметь положительное значение $ \ bi x $ . В любом месте слева от исходного будет отрицательное значение $ \ bi x $ .

В любом месте по вертикали на выше начала координат будет положительное значение $ \ bi y $ .В любом месте по вертикали ниже начала координат будет отрицательное значение $ \ bi y $ .

Разбив координатную плоскость на четыре квадранта, мы можем увидеть, что любая точка будет иметь определенные свойства с точки зрения ее положительности или отрицательности, в зависимости от того, где она расположена.

Расстояния и середины

При наличии двух координатных точек вы можете найти расстояние между ними, а также среднюю точку между двумя исходными точками.2} $

Есть два варианта определения расстояния между двумя точками — с помощью формулы расстояния или с помощью теоремы Пифагора. Давайте посмотрим на оба.

Метод решения 1. Формула расстояния

Если вы предпочитаете использовать формулы при прохождении стандартных тестов, запомните приведенную выше формулу расстояния. Вам НЕ будет предоставлена ​​формула расстояния в тесте , поэтому, если вы выберете этот маршрут, убедитесь, что вы можете точно запомнить формулу и использовать ее по мере необходимости.2 $

В качестве альтернативы мы всегда можем найти расстояние между двумя точками, используя теорему Пифагора. Этот способ занимает немного больше времени, но не требует от нас затрат энергии на запоминание дополнительных формул и несет меньший риск того, что мы запомним формулу неправильно.

Помните, что вам дается теорема Пифагора в каждом разделе SAT по математике, поэтому вам никогда не придется бояться запомнить ее неправильно. Это также формула, которую вам, вероятно, приходилось использовать гораздо чаще, чем большинство других формул, поэтому есть вероятность, что она вам знакома.

Просто превратите точки координат и расстояние между ними в прямоугольный треугольник, с расстоянием, действующим как гипотенуза. По координатам мы можем найти длины катетов треугольника и использовать теорему Пифагора, чтобы найти наше расстояние.

Например, давайте воспользуемся теми же координатами, что и ранее, чтобы найти расстояние между ними, используя вместо этого этот метод.

Найдите расстояние между точками $ (7, -2) $ и $ (- 5, 3) $

Во-первых, начните с нанесения ваших координат.2 $

$ c = 13 $

Расстояние между нашими двумя точками снова равно 13 .

[Специальное примечание: если вы знакомы с сокращениями треугольников, вы могли заметить, что этот треугольник был тем, что мы называем треугольником 5-12-13. Поскольку это один из правильных прямоугольных треугольников, вам технически даже не нужна теорема Пифагора, чтобы знать, что гипотенуза будет равна 13, если два катета равны 5 и 12. Это ярлык, который может быть полезным, чтобы знать , но это НЕ обязательно знать, как видите.]

Формула средней точки

$$ ({x_1 + x_2} / 2, {y_1 + y_2} / 2) $$

Помимо определения расстояния между двумя точками, мы также можем найти середину между двумя координатными точками. Поскольку это будет другая точка на плоскости, у нее будет свой собственный набор координат.

Если вы посмотрите на формулу, вы увидите, что средняя точка — это среднее значение каждого из значений определенной оси. Таким образом, средняя точка всегда будет средним значением $ x $ и средним значением $ y $, записанным в виде координатной точки.

Например, возьмем те же точки, которые мы использовали для нашей формулы расстояния, $ (7, -2) $ и $ (- 5, 3) $.

Если мы возьмем среднее значение наших значений $ x $, мы получим:

$$ {7 + (- 5)} / 2 $$

$$ 2/2 $$

$$ 1 $$

И если мы возьмем среднее значение наших значений $ y $, мы получим:

$$ {- 2 + 3} / 2 $$

$$ 1/2 $$

$$ 1/2 $$

Середина линии будет в координатах $ (1, 1/2) $.

Если мы посмотрим на нашу фотографию ранее, мы увидим, что это правда.

Трудно найти середину линии без использования формулы, но если думать о ней как о нахождении среднего значения каждой оси, это может облегчить визуализацию и запоминание, вместо того, чтобы думать об этом в терминах «формулы» . »

Теперь просто измерьте середину бесконечного участка дороги — без проблем.

Типичные точечные вопросы

Точечные вопросы на SAT обычно делятся на одну из трех категорий: вопросы о том, как работает координатная плоскость, вопросы по счету и вопросы о средней точке или расстоянии.

Давайте рассмотрим каждый тип.

Координаты вопросов

Вопросы о координатной плоскости проверяют, насколько хорошо вы понимаете, как именно работает координатная плоскость, а также как манипулировать точками и линиями внутри нее.

Сколько точек на плоскости координат $ xy $ находятся на расстоянии 4 единиц от начала координат?

А . Один
B . Два
С . Четыре
D . Более четырех

На такой вопрос может возникнуть соблазн ответить C , четыре.В конце концов, будет четыре различных точки в 4 единицах от начала координат, две на оси $ x $ (одна правая и одна левая) и две на оси $ y $ (одна вверх и одна вниз).

Но ответ таким образом игнорировал бы реалии кругов. Представьте, что у нас есть круг со средней точкой в ​​начале координат, окружность которой касается каждой из точек на 4 единицы от начала координат.

Теперь, если мы вспомним наши определения круга, мы знаем, что все прямые линии, проведенные от центра круга к окружности, будут равны.Мы также знаем, что таких линий бесконечно.

Это означает, что будет бесконечно много точек, находящихся на расстоянии 4 единиц от начала координат. Эти точки могут иметь «странные» координаты (например, в нецелочисленных значениях), но они все равно будут точками в 4 единицах от начала координат.

Наш окончательный ответ — D , более 4.

Подсчет вопросов

Вопросы о подсчете — это именно то, на что они похожи — вам будет предоставлена ​​диаграмма координатной плоскости (или, в редких случаях, вы должны создать свою собственную), а затем вам будет предложено подсчитать расстояния от конкретной точки до конкретной точки.

Иногда вас также могут попросить подсчитать кажущиеся «нечетными» измерения, например значения ваших координат $ x $ и $ y $.

Например,

Для этого вопроса вы должны сначала понять, что означают абсолютные значения. Отсюда просто подсчитать значения x и y из их координатных точек.

Для такого вопроса наиболее эффективный путь — работать с нашими вариантами ответов. Поскольку наши варианты ответов НЕ идут в порядке «от наибольшего к наименьшему», это не поможет нам начать со среднего варианта ответа и продвигаться оттуда, как мы обычно поступаем, вставляя ответы.Зная это, давайте просто работать по порядку от первого до последнего, пока не найдем правильный ответ.

Точка A находится в точке с координатами $ (- 3, -3) $. Итак, давайте найдем сумму их абсолютных значений.

$ | x | + | y ​​|

$

$ | −3 | + | −3 |

$

$ 3 + 3 $

6

Поскольку мы ищем значение 5, этот ответ слишком велик. Мы можем исключить вариант ответа A.

Точка B находится в точке с координатами $ (- 4, 1) $

$ | x | + | y ​​|

$

$ | −4 | + | 1 |

$

$ 4 + 1 $

5

Успех! Мы нашли вариант ответа, который дает нам координаты, абсолютные значения которых составляют в сумме 5.

Поскольку на любой вопрос SAT будет только один правильный ответ , мы можем здесь остановиться.

Наш окончательный ответ — B .

Вопросы о средней точке и расстоянии

Вопросы о средней точке и расстоянии будут довольно простыми и зададут именно это — расстояние или середину между двумя точками. Возможно, вам придется найти расстояния или средние точки из вопроса сценария (гипотетическая ситуация или рассказ) или просто из простого математического вопроса (например.г., «Какое расстояние от точек $ (4, 5) $ и $ (8, -2) $?»).

Давайте посмотрим на пример вопроса сценария,

Роза и Марко встретились за ужином, а затем поехали домой отдельно от ресторана. Чтобы добраться домой из ресторана, Роза поехала на север на 6 миль, а Марко на запад на 8 миль. Как далеко живут Роза и Марко?

A. 8 миль
B. 10 миль
C. 12 миль
D. 14 миль

Во-первых, давайте сделаем краткий набросок нашего сценария.

Теперь, поскольку это вопрос о расстоянии, у нас есть возможность использовать либо нашу формулу расстояния, либо теорему Пифагора.2 $

c = √ {100}

долл. США

$ c = 10 $

[Примечание: если вы помните свои ярлыки для прямоугольных треугольников, вы могли бы сэкономить время и просто знать, что наше расстояние / гипотенуза равно 10. Почему? Потому что прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 — это треугольник 3-4-5, умноженный на 2. Таким образом, гипотенуза будет равна 5 * 2 = 10 $.]

Расстояние между домом Марко и домом Розы составляет 10 миль.

Наш окончательный ответ — B , 10 миль.

«Худшее расстояние между двумя людьми — недопонимание» — Неизвестно.Или, знаете, 10 миль.

Стратегии решения точечных вопросов

Хотя точечные вопросы могут быть разных форм, есть несколько стратегий, которым вы можете следовать, чтобы справиться с ними.

# 1: Всегда записывайте данную информацию

Хотя может возникнуть соблазн проработать вопросы в уме, легко ошибиться с точечными вопросами, если вы не записываете свои данные. Это особенно актуально при работе с негативами или абсолютными значениями.

Кроме того, в большинстве случаев вам дается диаграмма с отмеченными точками на координатной плоскости, вам будут даны координаты , а не . Это связано с тем, что создатели тестов считают, что решить эту проблему было бы слишком просто, если бы вам были даны координаты (возьмем, например, вопрос, касающийся абсолютных значений из ранее). Так что найдите время, чтобы записать свои координаты и любую другую заданную информацию, чтобы держать ее в голове.

# 2: Нарисуйте

Помимо записи данной информации, нарисуйте свои сценарии.Сделайте свои собственные картинки, если вам их не дали, нарисуйте поверх них, если вам — это данные диаграммы. Никогда не недооценивайте ценность отмеченной информации или эскиза — даже грубое приближение может помочь вам отслеживать больше информации, чем вы можете (или должны пытаться) в своей голове.

Время и энергия — два драгоценных ресурса в вашем распоряжении при сдаче экзамена SAT, и каждый из них не требует больших затрат, чтобы сделать грубый набросок, но может стоить вам обоих, чтобы сохранить всю информацию в своей голове.

# 3: Решите сейчас, использовать ли формулы

Если вам удобнее пользоваться формулами, чем использовать несколько более затяжные техники, тогда решите сейчас запомнить свои формулы.Помните, что неправильное запоминание формулы хуже, чем не запоминание ее вообще, поэтому убедитесь, что вы запомнили и практиковали свои знания формул в период между настоящим моментом и днем ​​теста, чтобы закрепить это в своей голове.

Если, однако, вы тот, кто предпочитает посвятить свои учебные усилия чему-то другому (или вы просто чувствуете, что неправильно запомните формулу в день теста), тогда забудьте об этом. Используйте теорему Пифагора вместо запоминания формулы расстояния и полностью вымойте руки над запоминанием.

Существует несколько способов решения большинства математических задач SAT, поэтому ваш выбор должен наилучшим образом соответствовать вашим личным сильным и слабым сторонам

Изображение: ljphillips34 / Flickr

Проверьте свои знания

А теперь давайте проверим ваши точечные знания на еще нескольких реальных математических вопросах SAT.

1. Какая средняя точка линии начинается в координатах $ (- 3, 2) $ и заканчивается в точке $ (5, -10) $?

А.(6, -4)
Б. (4, -1)
С. (1, 4)
Д. (-1, -6)
Д. (1, -4)

2.

3. (см. Информацию в вопросе 2)

4. (см. Информацию в вопросе 2)

Ответы: E, D, A, B

Объяснение ответа:

1. Чтобы найти среднюю точку линии, соединяющей две точки, мы должны взять среднее значение каждого из значений вдоль определенной оси.

Во-первых, как всегда, неплохо выделить момент, чтобы нанести на карту координаты заданных нами точек.

Это поможет нам отслеживать нашу информацию, особенно с учетом негативных моментов.

Во-первых, давайте возьмем среднее из двух наших значений $ x $.

$ {- 3 + 5} / 2 $

$ 2/2 $

1

Теперь давайте возьмем среднее из двух наших значений $ y $.

$ {2 + (- 10)} / 2 $

$ -8 / 2 $

$ −4 $

Середина нашей линии будет в координатах $ (1, -4) $

.

Мы видим, что это, скорее всего, правильный ответ, поскольку он аккуратно вписывается в нашу диаграмму.

Наш окончательный ответ — E , $ (1, -4) $.

2. Здесь у нас есть вопрос о подсчете. Нас не просят найти линейное расстояние между двумя точками, F и W, а найти их по сетке . Итак, давайте нарисуем различные пути от F до W.

Как видите, кратчайшие пути от F до W равны 3

3 $ 1/2 $ единиц в длину, что составляет 3 $ 1/2 $ на расстоянии m.

Наш окончательный ответ: D , 3 $ 1/2

3. Опять же, у нас есть еще один вопрос, связанный с подсчетом. Это также определенный случай, когда рекомендуется рисовать картинки так, чтобы мы не повторяли возможных маршрута на расстоянии $ m $ от F до Z.

Итак, давайте найдем наши маршруты. Во-первых, начните с поиска одного из самых прямых путей, который в данном случае составляет расстояние в 4 единицы.

Затем проследите все пути, следующие по линиям от F до Z.Если какой-либо из наших новых путей охватывает меньше , чем 4 единицы, он, конечно, станет нашим новым m-расстоянием, но пока мы работаем в предположении, что расстояние $ m $ равно 4.

Все наши пути проходят на расстояние 4 единицы, что составляет расстояние в м. Если вы внимательно отслеживали все свои пути и не считали ни один из них более одного раза, то вы увидите, что существует 6 маршрутов от F до Z, которые будут измерять минимальное расстояние.

Наш окончательный ответ — A , шесть.

4. Теперь этот вопрос может показаться сложным, потому что на первый взгляд он выглядит почти так же, как один из наших вопросов, заданных ранее в руководстве, который спрашивал нас: «Сколько точек в 4 единицах от начала координат?»

В этом случае ответ был «бесконечно много», потому что все точки в 4 единицах от начала координат образовали круг, а на круге всегда есть бесконечные точки.

В этом случае нас просят найти все точки $ {m-3} $ — расстояние от конкретной точки.Это НЕ то же самое, что запрос количества баллов в 3 единицах от точки (в данном случае точки F). Почему бы нет? Поскольку в задаче $ m $ -дистанция определяется как минимальное расстояние, пройденное по по сетке , а не расстояние по по всем направлениям.

Итак, если мы начнем отслеживать все расстояния $ {m-3} $ — единиц от F, мы сможем увидеть закономерность.

После того, как мы нанесем на карту все возможные линии $ {m-3} $ — единицы от F в одном квадранте нашей карты, мы можем расширить его наружу, чтобы увидеть форму, которая появляется.

Мы видим, что все точки $ {m-3} $ на расстоянии от F образуют квадрат.

Наш окончательный ответ — B , квадрат.

Думаю, вы заслуживаете удовольствия за всю эту тяжелую работу.

Выводы

Понимание координатной плоскости и того, как точки вписываются в нее, являются основными строительными блоками для координатной геометрии. Обладая этим пониманием, вы сможете выполнять более сложные задачи координатной геометрии, такие как поиск уклонов и вращающихся форм.

Координатная геометрия не является незначительной частью математического раздела SAT, но, к счастью, успех в основном зависит от организации и усердия. Будьте осторожны, отслеживая свои негативы и все свои движущиеся части, и вы сможете доминировать над этими точечными вопросами и всей координатной геометрией, которую SAT может вам бросить.

Что дальше?

Готовы заняться другими математическими темами SAT? Тебе повезло! У нас есть руководства по каждой математической теме на SAT, так что приходите к ним.От вероятностей до многоугольников, от дробей до функций — мы вам поможем.

Не хватает времени на сдачу экзамена по математике? Ознакомьтесь с нашим руководством о том, как опередить время и увеличить свой результат по математике за SAT.

Укусил баг с прокрастинацией? Наш гид поможет вам преодолеть все эти медлительные невзгоды и в кратчайшие сроки вернуть вас на правильный путь.

Хотите получить наивысший балл? Мы получили вашу поддержку с нашим руководством по получению 800 баллов за SAT по математике, написанным отличником.

Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой SAT на 160 или более баллов.

Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно.Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

Решение систем линейных уравнений

А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс и у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

• Линии пересекаются в нулевых точках. (Линии параллельны.)
• Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
• Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

Нулевые решения: у знак равно — 2 Икс + 4 у знак равно — 2 Икс — 3
Одно решение: у знак равно 0.5 Икс + 2 у знак равно — 2 Икс — 3
Бесконечно много решений: у знак равно — 2 Икс — 4 у + 4 знак равно — 2 Икс	Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений: Графический метод . Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются! См. Второй график выше. Решение — это место пересечения двух линий, точка ( — 2 , 1 ) . Метод замены . Сначала решите одно линейное уравнение для у с точки зрения Икс . Затем замените это выражение на у в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс . Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка. Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координат.(Если проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения у , тоже — такая же разница!) Пример 1: Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19 Решите второе уравнение относительно у . у знак равно 19 — 7 Икс Заменять 19 — 7 Икс для у в первом уравнении и решите относительно Икс . 3 Икс + 2 ( 19 — 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 — 14 Икс знак равно 16 — 11 Икс знак равно — 22 Икс знак равно 2 Заменять 2 для Икс в у знак равно 19 — 7 Икс и решить для у . у знак равно 19 — 7 ( 2 ) у знак равно 5 Решение ( 2 , 5 ) . Метод линейной комбинации , иначе Метод сложения , иначе Метод исключения. Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо Икс -термы или у -условия аннулируются.Затем решите для Икс (или у , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату. Пример 2: Решите систему { 4 Икс + 3 у знак равно — 2 8 Икс — 2 у знак равно 12 Умножьте первое уравнение на — 2 и добавьте результат ко второму уравнению. — 8 Икс — 6 у знак равно 4 8 Икс — 2 у знак равно 12 _ — 8 у знак равно 16 Решить для у . у знак равно — 2 Замена для у в любом из исходных уравнений и решите относительно Икс . 4 Икс + 3 ( — 2 ) знак равно — 2 4 Икс — 6 знак равно — 2 4 Икс знак равно 4 Икс знак равно 1 Решение ( 1 , — 2 ) . Матричный метод . На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.

Исчисление II — Полярные координаты (практические задачи)

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. , вероятно, вы пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-6: Полярные координаты

1. Для точки с полярными координатами \ (\ displaystyle \ left ({2, \ frac {\ pi} {7}} \ right) \) определите три разных набора координат для одной и той же точки, все из которых имеют углы, отличные от \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {7} \) и находятся в диапазоне \ (- 2 \ pi \ le \ theta \ le 2 \ pi \).Решение
2. Полярные координаты точки: \ (\ left ({- 5,0.23} \ right) \). Определите декартовы координаты точки. Решение
3. Декартовы координаты точки: \ (\ left ({2, — 6} \ right) \). Определите набор полярных координат для точки. Решение
4. Декартовы координаты точки: \ (\ left ({- 8,1} \ right) \). Определите набор полярных координат для точки. Решение

Для задач 5 и 6 преобразуйте данное уравнение в уравнение в полярных координатах.3} \ sin \ theta = 4 — cos \ theta \) Решение

\ (\ displaystyle \ frac {2} {r} = \ sin \ theta — \ sec \ theta \) Решение

Для задач 9–16 нарисуйте график данного полярного уравнения.

1. \ (\ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {6} {r} \) Решение
2. \ (\ displaystyle \ theta = — \ frac {\ pi} {3} \) Решение
3. \ (r = — 14 \ cos \ theta \) Решение
4. \ (r = 7 \) Решение
5. \ (r = 9 \ sin \ theta \) Решение
6. \ (r = 8 + 8 \ cos \ theta \) Решение
7. \ (r = 5-2 \ sin \ theta \) Решение
8. \ (r = 4-9 \ sin \ theta \) Решение

Начало алгебры Урок 20: Прямоугольная система координат Цели обучения После изучения этого руководства вы сможете: Нанесите точки на прямоугольную систему координат. Определите, на каком квадранте или оси расположена точка. Сообщите, является ли упорядоченная пара решением уравнения с двумя переменными или нет. Завершите упорядоченную пару, в которой отсутствует одно значение. Введение В этом разделе рассматриваются основные идеи построения графиков: прямоугольных система координат, упорядоченные пары и решения уравнений в двух переменные. Графики важны для визуального представления корреляция между двумя переменными. Хотя в этом разделе мы собираемся к посмотрите на это в целом, используя общую переменную x и y , вы можете использовать двумерные графики для любого приложения, где у вас есть две переменные. Например, у вас может быть функция стоимости это зависит от количества произведенных товаров. Если вам нужно покажите своему начальнику наглядно соотношение количества и стоимости, вы можете сделать это на двумерном графике.Я верю что это является для вас важно научиться что-то делать в целом, тогда, когда вы нужно применить его к чему-то конкретному, что у вас есть знания так. Переходить от общего к частному намного проще, чем к конкретному. Общая. И это то, что мы делаем здесь, глядя на графики в целом, так что потом при необходимости вы можете применить его к чему-то конкретному. Учебник Прямоугольная система координат Следующая прямоугольная система координат : Состоит из двух числовых строк: Горизонтальная числовая линия — это x — ось . Вертикальная числовая линия — это y — ось . Начало — это место пересечения этих двух точек. Здесь оба числовые строки равны 0. Он разделен на четыре квадранта , которые отмечены на этом графике с римскими цифрами. Каждая точка на графике связана с упорядоченным пара . При работе с графиком x, y координата x всегда первая, а координата y всегда вторая в упорядоченной паре ( x, y ) . Это решение уравнения с двумя переменными. Несмотря на то там два значения в упорядоченной паре, будьте осторожны, чтобы они ассоциировались с ТОЛЬКО ОДНА точка на графике, точек совпадает со значением x упорядоченной пары ( x -ось) и значение y упорядоченной пары ( y — ось). Пример 1 : Постройте упорядоченные пары и назовите квадрант или ось, на которой находится точка. А (2, 3), В (-1, 2), C (-3, -4), D (2, 0) и E (0, 5). Помните, что каждый заказанный пара партнеров только с одной точкой на графике.Просто выровняйте значение x , а затем значение y , чтобы получить расположение. A (2, 3) лежит в квадранте I. B (-1, 2) лежит во II квадранте. C (-3, -4) находится в квадранте III. D (2, 0) лежит на оси x . E (0, 5) лежит на оси y . Пример 2 : Найдите x — и y — координаты следующих помеченный точки Помните, что каждая упорядоченная пара ассоциируется только с один балл на график.Просто выровняйте значение x а потом значение y , чтобы получить вашу заказанную пару. Поскольку точка A соответствует 2 на оси x и -3 по оси и , затем A упорядоченная пара равно (2, -3). Поскольку точка B соответствует 3 на оси x и 2 по оси и , затем B. упорядоченная пара есть (3, 2). Поскольку точка C соответствует -2 на оси x и 3 по оси y , затем C. упорядоченная пара равно (-2, 3). Так как точка D соответствует -3 на оси x и — 4 по оси и , затем D. приказал пара — (-3, — 4) . Поскольку точка E соответствует -3 на оси x и 0 по оси y , затем E упорядоченная пара равно (-3, 0). Поскольку точка F соответствует 0 на оси x и 2 по оси y , затем F. упорядоченная пара равно (0, 2). Решения уравнений с двумя переменными Решения уравнений с двумя переменными состоят из двух ценностей что при подстановке в соответствующие им переменные в уравнение, сделать правдивое заявление. Другими словами, если в вашем уравнении есть две переменные x и y , и вы вставляете значение x и соответствующее ему значение для y и математическое утверждение оказывается верным, то значения x и y , которые вы подключили, вместе будут решением проблемы уравнение. Уравнения с двумя переменными могут иметь более одного решение. Обычно мы записываем решения уравнений двумя переменные в упорядоченном пары. Пример 3 : Определите, является ли каждая заказанная пара решением из данное уравнение. y = 5 х — 7; (2, 3), (1, 5), (-1, -12) Начнем с заказанной пары (2, 3). Какое число соответствует значению x и какое такое значение y ? Если вы сказали x = 2 и y = 3, вы правы! Давайте подставим (2, 3) в уравнение и посмотрим, что мы получить: * Вставка 2 для x и 3 для y Это ИСТИНА, поэтому (2, 3) является решением уравнение y = 5 x -7. Теперь посмотрим на (1, 5). Какое число соответствует значению x и какое такое значение y ? если ты сказал x = 1 и y = 5, вы правы! Давайте подставим (1, 5) в уравнение и посмотрим, что мы получить: * Вставка 1 для x и 5 для y Ой, похоже у нас самих ЛОЖЬ утверждение.Этот означает, что (1, 5) НЕ является решением уравнения 5 x -7. Теперь посмотрим на (-1, -12). Какое число соответствует значению x и какой такое значение y ? Если Вы сказали, что x = -1 и y = -12, вы правы! Давайте подставим (-1, -12) в уравнение и посмотрим, что получаем: * Вставка -1 для x и -12 для y У нас есть еще ИСТИНА.Это означает (-1, -12) — другое решение уравнения y = 5 x — 7. Обратите внимание, что вам были даны только три заказанные пары для проверьте, однако, существует бесконечное множество решений этого уравнения. Это было бы очень громоздко найти их все. Пример 4 : Определите, является ли каждая заказанная пара решением из данное уравнение. х = 3; (3, 5), (2, 3), (3, 4) Это уравнение выглядит немного иначе, чем на пример 3. В этом уравнении у нас есть только значение x , чтобы Подключите. Пока значение x является 3, то у нас есть решение уравнения. Это не имеет значения какие и значение есть. Начнем с заказанной пары (3, 5). Какое число соответствует значению x и какое такое значение y ? Если вы сказали x = 3 и y = 5, вы правы! Давайте подставим (3, 5) в уравнение и посмотрим, что мы получить: * Вставка 3 для x Это ИСТИНА, поэтому (3, 5) является решением уравнение x = 3. Теперь посмотрим на (2, 3). Какое число соответствует значению x и какое такое значение y ? если ты сказал x = 2 и y = 3, вы правы! Давайте подставим (2, 3) в уравнение и посмотрим, что мы получить: * Вставка 2 для x Ой, похоже у нас самих ЛОЖЬ утверждение.Этот означает, что (2, 3) НЕ является решением уравнения x = 3. Теперь посмотрим на (3, 4). Какое число соответствует значению x и какой такое значение y ? Если Вы сказали, что x = 3 и y = 4, вы правы! Давайте подставим (3, 4) в уравнение и посмотрим, что мы получить: * Вставка 3 для x У нас есть еще ИСТИНА.Это означает (3, 4) — еще один решение уравнения x = 3. Обратите внимание, что вам были даны только три заказанные пары для проверьте, однако, существует бесконечное множество решений этого уравнения. Это было бы очень громоздко найти их все. Поиск соответствующего значения в заказанном Пара Значение одной переменной Опять же, решения уравнений с двумя переменными состоят из двух значений что при подстановке в соответствующие им переменные в уравнение, сделать правдивое заявление. Иногда вам дается значение одного из переменные, и вам нужно чтобы найти соответствующее значение другой переменной. Шаги в этом участвуют: Шаг 1. Вставьте заданное значение в переменную. в уравнение. Шаг 2: Решите уравнение для оставшаяся переменная. Пример 5 : Завершите каждую заказанную пару, чтобы она стала решением уравнения. (1,) и (, -1). В упорядоченной паре (1,) это 1, то есть учитывая значение x или y ? Если вы сказали x , вы верный. Вставка 1 для x в данное уравнение и решая для y получаем: * Вставка 1 для x * Решить относительно y Итак, заказанная пара (1, 1) будет решение данного уравнение. В упорядоченной паре (, -1) это -1, задано значение x или y ? Если вы сказали y , вы верный. Подставляем -1 для y в данное уравнение и решая для x , получаем: * Штекер -1 для y * Решить относительно x Итак, упорядоченная пара (4, -1) будет другой решение данного уравнение. Пример 6 : заполните таблицу значений уравнения. Единственная разница между этим и примером 5 выше это то, что мы используют таблицу для сопоставления наших значений наших переменных вместо пишу это в упорядоченной паре. Концепция все та же, нам нужно найти соответствующие значения наших переменных, которые являются решениями данное уравнение. Вставка 0 для y в данное уравнение и решая для x , получаем: Итак, заказанная пара (-1/2, 0) будет решением к данному уравнение. Подставляем -1 для y в данное уравнение и решая для x , получаем: Итак, заказанная пара (-1/2, -1) будет другой решение данное уравнение. Вставка 1 для y в данное уравнение и решая для x , получаем: Итак, заказанная пара (-1/2, 1) будет другой решение данное уравнение. Заполняя таблицу получаем: х y -1/2 0 -1/2 -1 -1/2 1 Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Математика работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшим спортсменам и музыкантам помогали на протяжении всего пути. практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа. Практика Задача 1a: Постройте каждую точку и назовите квадрант или ось, в которой дело в том. Практика Задача 2a: Найдите x — и y — координаты следующие отмеченные точки. Практика Проблемы 3a — 3b: Определите, является ли каждая заказанная пара решение данное уравнение. Практика Задача 4a: Завершите каждую заказанную пару, чтобы это решение уравнения. Практика Задача 5a: Заполните таблицу значений для уравнение. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последний раз редактировал Ким Сьюард 29 июля 2011 г. Авторские права на все содержание (C) 2001 — 2010, WTAMU и Kim Seward.Все права защищены.

Использование координат для решения проблем периметра и площади — видео и стенограмма урока

Периметр многоугольников

Многоугольник — это форма, имеющая три или более сторон. В следующем примере у нас 5 сторон. Вычисляем периметр, складывая длины сторон. Если длина не очевидна из графика, используйте формулу расстояния , которая говорит, что расстояние d между ( x1 , y1 ) и ( x2 , y2 ) определяется по формуле:

Давайте посмотрим на пример, в котором мы определяем периметр многоугольника с этими координатами: (-5,5), (5,5), (7, -2), (1, -4) и ( -7,0).

Шаг 1

Нанесите координаты.

Шаг 2

Соедините точки и обозначьте фигуру. Это 5-сторонний многоугольник.

Шаг 3

Определите длину. Это поможет маркировать каждую из пяти длин:

• d 1 от (-5,5) до (5,5)
• d 2 от (5,5) до (7, -2)
• d 3 от (7, -2) до (1, -4)
• d 4 от (1, -4) до (-7,0)
• d 5 от (-7,0) до (-5,5)

Мы будем использовать уравнение расстояния, чтобы найти каждую длину, хотя d 1 можно найти, посмотрев на график.Пять единиц слева и пять единиц справа дают d 1 = 10. Чтобы проверить наши результаты, мы можем использовать формулу расстояния для d 1:

Точно так же мы можем найти другие длины:

Обратите внимание, что мы сохранили два десятичных знака.

Шаг 4

Если формула существует, используйте ее, чтобы найти периметр. Напомним, что периметр ( P ) — это сумма длин каждой стороны.

Таким образом, P = d 1 + d 2 + d 3 + d 4 + d 5

P = 10 + 7.28 + 6.32 + 8.94 + 5.38

909 P ≅ 37,9

Площадь треугольника

Сад Фреда будет треугольным.Для треугольника площадь A = (1/2) основание * высота. Поскольку высота может не совпадать с одной из сторон, мы должны тщательно рассчитать высоту.

Давайте поможем Фреду. Используя координаты, найдите периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки (-8,0), (4,6) и (7,0).

Шаг 1

Нанесите координаты.

Шаг 2

Соедините точки и обозначьте фигуру. Это треугольник, поэтому нам нужно точно определить высоту.

Шаг 3

Определите длину. Как и раньше, обозначьте каждую длину:

• d 1 от (-8,0) до (4,6)
.
• d 2 от (4,6) до (7,0)
• d 3 от (7,0) до (-8,0)

Используйте формулу расстояния:

Для d 3 от (7,0) до (-8,0) значение y остается неизменным.Линия простирается на 8 единиц влево и на 7 единиц вправо. Это дает длину 15 единиц.

Шаг 4

Если формула существует, используйте ее, чтобы найти периметр и площадь. Здесь периметр ( P ) — это сумма трех сторон:

P = 13,42 + 6,71 + 15 ≅ 35,1

Высота — это расстояние от вершины (4,6) до точки перпендикулярно основанию. База равна d 2, а расстояние по перпендикуляру такое же, как значение y для точки (4,6).Таким образом, высота равна 6. Теперь нам понадобится формула для площади треугольника:

A = (1/2) основание * высота

A = 1/2 * 6,71 * 6

A ≅ 20,1

Если единицы измерения — футы, то у Фреда есть 20,1 квадратных фута сада, который он должен окружить 35,1 футами ограды. Фред поражен тем, как вся эта информация поступает из трех координат!

Резюме урока

Вершина — это положение угла. Когда вершины заданы как координаты , или положение точки на плоскости xy , мы можем найти периметр и площадь.Чтобы найти периметр многоугольника , многогранной фигуры, сложите длины каждой стороны. Когда длина стороны неочевидна, длины можно найти с помощью формулы расстояния или расстояния d между ( x1 , y1 ) и ( x2 , y2 ), как выдает:

Если фигура имеет известную формулу площади, площадь также можно найти по координатам.Например, площадь квадрата:

A = с 2

, а площадь треугольника:

A = (1/2) основание * высота

Прямоугольная система координат и точечное построение — Подготовка к оценке TSI

Прямоугольная система координат также известна как декартова система координат в честь Рене Декарта.

Прямоугольная система координат основана на сетке, и каждая точка на плоскости может быть идентифицирована с помощью уникальных координат x и y , точно так же, как любую точку на Земле можно идентифицировать, задав ее широту и долготу.

Оси

Позиции на сетке измеряются относительно фиксированной точки, называемой исходной точкой , и измеряются в соответствии с расстоянием по паре осей.

Оси x и y аналогичны числовой прямой, с положительными расстояниями справа и отрицательными слева в случае оси x и положительными расстояниями, измеренными вверх и отрицательными вниз для оси y. ось.

Любое смещение от начала координат можно построить, переместив указанное расстояние в направлении x , а затем другое расстояние в направлении y .

Думайте об этом, как если бы вы указывали кому-то направление, говоря что-то вроде «пройдите три квартала на восток, а затем на два квартала на север».

Координаты, точки графика

Мы указываем местоположение точки, задав сначала ее координату x (смещение влево или вправо от начала координат), а затем координату y (смещение вверх или вниз от начала координат).Таким образом, каждая точка на плоскости может быть идентифицирована парой чисел ( x , y ), которая называется ее координатами .

Квадранты

Иногда мы просто хотим знать, о какой общей части графика идет речь. Оси естественным образом делят самолет на четверти. Мы называем эти квадрантами и пронумеровываем их от одного до четырех. Обратите внимание, что нумерация начинается в верхнем правом квадранте и продолжается против часовой стрелки.Также обратите внимание, что каждый квадрант можно идентифицировать по уникальной комбинации положительных и отрицательных знаков для координат точки в этом квадранте.

Прямоугольная система координат , также называемая декартовой системой координат или системой координат x – y , показана выше.

Обратите внимание, что прямоугольная система координат состоит из 4 квадрантов , горизонтальной оси , вертикальной оси и начала координат .Горизонтальная ось обычно называется x – ось , а вертикальная ось обычно называется y – ось . Начало — это точка пересечения двух осей.

Пример :

Нанесите на график каждую из следующих точек. A (–3, –1), B (0, 4) и C (2, 0).

Решение :

A (–3, –1): от исходной точки пройдите влево на 3 единицы, затем на 1 единицу вниз. Затем нанесите точку.

B (0, 4) От исходной точки пройдите вверх на 4 единицы.

C (2, 0) От исходной точки пройдите на 2 единицы вправо и нанесите точку.

В каком квадранте находится точка (-2, 4)?

Найдите расстояние от (-6, 1) до (-3, 5).

В плоскости координат xy, в которой квадрант равен xy

a) Q II

б) III квартал

c) IV квартал

г) II и IV кварталы

а.

г. б

г. с

г.d

Квадранты нумеруются сверху слева против часовой стрелки.

В квадранте I значения x и y положительны. Следовательно, в Q I xy> 0.

Квадрант II: x отрицательный, y положительный, xy <0

Квадрант III: x отрицательно, y отрицательно, xy> 0

Квадрант IV: x положительный, y отрицательный, xy <0

xy <0 во II и IV кварталах
Правильный ответ: d

Сложные практические вопросы по координатной геометрии

Ранее мы публиковали блог практических вопросов по координатной геометрии.Вот еще восемь вопросов, некоторые из которых непростые.

1) График G имеет линию симметрии x = –5/2. График G проходит через точку (3, 3). Какова координата x другой точки, координата y которой должна быть равна 3?

(A) –8

(B) –7

(C) –5

(D) –4

(E) 2

2) На рисунке выше точка на сегменте JK это в четыре раза дальше от K, чем от J:

3) Какая точка является отражением точки (–7, 5) над линией y = –x?

(A) (–7, 5)

(B) (–5, 7)

(C) (5, –7)

(D) (7, –5)

(E) ( 7, 5)

4) В системе координат P = (2, 7) и Q = (2, –3).Какими могут быть координаты R, если PQR — равнобедренный треугольник?

I. (12, –3)

II. (–6, –9)

III. (–117, 2)

(A) только I

(B) только I и II

(C) только I и III

(D) только II и III

(E) I, II и III

5) Точка W = (5, 3). Окружность J имеет центр в точке W и радиус r = 5. Эта окружность пересекает ось Y в одном месте и ось X в двух точках.Какова площадь треугольника, образованного этими тремя точками пересечения?

(A) 7,5

(B) 12

(C) 15

(D) 24

(E) 30

6) Линия M имеет точку пересечения оси Y, равную –4, и ее наклон должен быть целое число, кратное 1/7. Учитывая, что линия M проходит ниже (4, –1) и выше (5, –6), сколько возможных уклонов может иметь линия M?

(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

7) Линия Q имеет уравнение 5y — 3x = 45.Если линия S перпендикулярна Q, имеет целое число в качестве точки пересечения с y и пересекает Q во втором квадранте, то сколько возможных линий S существует? (Примечание: пересечения на одной из осей не учитываются.)

(A) 25

(B) 33

(C) 36

(D) 41

(E) 58

8) В xy, точка (p, q) является точкой решетки, если и p, и q являются целыми числами. Круг C имеет центр в точке (–2, 1) и радиус 6. Некоторые точки, такие как центр (–2, 1), находятся внутри круга, но такая точка, как (4, 1), находится на ° на круг, но не в круге .Сколько точек решетки находится в окружности C?

(A) 36

(B) 72

(C) 89

(D) 96

(E) 109

Некоторые соответствующие блоги

Вот несколько блогов, которые могут вам понравиться. Если вы посмотрите на одну из них и скажете «ага!», То вы, возможно, захотите еще раз рассмотреть эти проблемы.

1) Квадранты в плоскости xy

2) Особые свойства линии y = x

3) Расстояние между двумя точками

4) Наклоны

5) Средние точки, параллельные и перпендикулярные линии

6) Пифагорова Теорема

7) Тройки Пифагора

Если вы нашли эти проблемы полезными или у вас возникли вопросы по любому поводу после прочтения TE, сообщите нам об этом в разделе комментариев.

Пояснения к практическим вопросам

1) Линия симметрии x = –2,5. Точка (3, 3) находится на 3 — (–2,5) = 5,5 справа от этой линии симметрии. Его отражение должно быть на 5,5 единиц левее линии симметрии, поэтому (–2,5) — (5.5) = –8 — координата x. Ответ = (A)

2) Назовите точку P. Тогда PK = 4 * JP. Конечно, JP + PK = JK, поэтому JP + 4 * JP = 5 * JP = JK, а JP = (1/5) * JK. Точка P должна находиться на расстоянии одной пятой отрезка от J.Это будет точка (–1, 3). Ответ = (A)

3) Точка (–7, 5) находится во втором квадранте, относительно близко к линии y = –x, поэтому отражение должно быть другой точкой во втором квадранте, и единственный вариант ответа во втором квадранте, не равный исходной точке: (B) , (–5, 7). Этот вопрос очень легко решить с помощью визуальных / пространственных рассуждений.

Для тех, кто хочет знать «правило»: когда точка отражается над линией y = –x, координаты меняются местами, и каждая принимает свой противоположный знак.–7 становится +7, а +5 становится –5, и они меняются местами, что также приводит к (B) .

4) Обратите внимание, что точки P и Q разделены по вертикали на 10 единиц.

I. R = (12, –3)

Тогда точка R находится на 10 единиц правее Q, поэтому мы получаем большой прямоугольный равнобедренный треугольник 45-45-90:

Вариант I работает.

II. R = (–6, –9)

Это сложно. Это слева 8 и 6 вниз от Q, поэтому треугольник, образованный разделениями x и y между Q и этим R, образует прямоугольный треугольник 6-8-10, а расстояние QR = 10, что также делает его равнобедренным треугольником.Этот маленький треугольник 6-8-10 на соединении QR показан пунктирными линиями:

Вариант II работает.

III. R = (–117, 2)

Совершать какие-либо расчеты с ним — ошибка. Прямая y = 2 является серединным перпендикуляром PQ:

Это важная идея геометрии: любая точка на серединном перпендикуляре сегмента автоматически равноудалена от двух конечных точек сегмента. Это означает, что мы могли бы выбрать абсолютно любую точку на прямой y = 2, назвать ее R, и эта точка R будет равноудалена от P и Q, что сделает PQR равнобедренным треугольником.Точка R = (–117, 2) находится на этом срединном перпендикуляре, поэтому она равноудалена от P и Q, и поэтому PQR должен быть равнобедренным.

Вариант III работает.

Работает каждый из трех вариантов. Ответ = (E) .

5) Итак, если мы переместимся на 5 единиц влево от (5, 3), мы окажемся в (0, 3): это единственная точка пересечения по оси Y круга.

Теперь подумайте о двух пересечениях по оси x. Каждый из них представляет собой диагональное расстояние r = 5 от (5, 3), и если мы можем прямоугольный треугольник с любой стороны, вертикальный отрезок — это расстояние от (5, 3) прямо вниз до оси x, которая из курс 3.

Эти два фиолетовых треугольника должны быть 3-4-5 треугольниками, что означает, что каждый из них имеет основание 4, а расстояние между ними равно 8. Один находится в точке (1, 0), а другой — в (9, 0).

Теперь подумайте о треугольнике, образованном этими тремя точками пересечения. База от (1,0) до (9, 0) равна 8, и хотя третья вершина смещена от центра, это не имеет значения — высота h = 3. A = (0,5) bh = (0,5 ) (8) (3) = 12. Ответ = (B)

6) Ну, для начала, ноль кратен каждому числу, а линия с нулевым наклоном, горизонтальная линия y = –4 проходит ниже (4, –1) и выше (5, –6).Это горизонтальная линия — наша отправная точка.

Точка (4, –1) больше 4, что на 3 больше от точки пересечения оси Y (0, –4). Линия с наклоном +3/4 будет идти прямо от (0, –4) к (4, –1). Таким образом, нам нужен наклон меньше +3/4. Обратите внимание, что 3/4 = 21/28. Обратите внимание, что 5/7 = 20/28, поэтому это будет меньше 3/4. Следовательно, от +1/7 до +5/7 все будут иметь наклон вверх, очевидно, выше (5, –6), и все будут проходить ниже (4, –1). Это пять наклонных вверх линий.

Точка (5, –6) больше 5, ниже на 2 от точки пересечения оси y (0, –4).Линия с наклоном –2/5 будет идти прямо от (0, –4) до (5, –6). Таким образом, нам нужен наклон больше –2/5; Другими словами, нам нужен отрицательный наклон, абсолютное значение которого меньше +2/5. Итак, 2/5 = 14/35, а 2/7 = 10/35 и 3/7 = 15/35, поэтому (2/7) <(2/5) <(3, 7). Очевидно, что отрицательно наклонные линии проходят ниже (4, –1), но только две из них, –1/7 и –2/7, проходят выше (5, –6).

Это одна горизонтальная линия, пять восходящих линий и две нисходящие линии, всего восемь.Ответ = (C) .

7) Прежде всего, строка Q 5y — 3x = 45, переписанная в форме пересечения наклона, имеет вид y = (3/5) x + 9. Линия Q имеет точку пересечения по оси y +9, поэтому, если Линия S также имеет точку пересечения Y +9, они будут пересекаться по оси Y, а не во втором квадранте. Следовательно, точка пересечения по оси Y линии S должна быть меньше 9, а максимальное значение, которое она может иметь, — точка пересечения по оси Y, равная 8.

Теперь давайте подумаем о нижнем конце. Линия Q имеет точку пересечения по оси Y +9 и точку пересечения по оси x -15.Линия S, перпендикулярная линии Q, должна иметь наклон –5/3, отрицательный обратный наклон линии Q. Если мы начнем с пересечения с осью X точки Q, точки (–15, 0), мы будем следовать наклону –5/3 через 15 и вниз 25 до (0, –25). Если бы линия S имела точку пересечения оси y, равную –25, она пересекала бы линию Q в точке (–15, 0) по оси x, а не во втором квадранте. Следовательно, точка пересечения по оси Y, равная –25, не работает, и самое низкое значение, которое может работать, находится выше нее, точка пересечения по оси Y равна –24.

Подойдет любое пересечение по оси Y, меньшее или равное +8 и большее или равное –24.Это 8 положительных точек пересечения по оси Y, точка пересечения с нулем в начале координат и 24 отрицательных точки пересечения, всего 8 + 1 + 24 = 33. Ответ = (B)

8) Это сложный вопрос. Прежде всего, очевидно, что центр — это точка решетки в окружности. Если мы перемещаемся по горизонтали или вертикали, первые 5 точек решетки будут внутри круга, а шестая — на круге, поэтому точки на круга не считаются находящимися «внутри» круга.

Теперь мы сосредоточимся на одном квадранте круга, верхнем правом квадранте.Предположим, мы прошли одну единицу и поднялись по кругу.

Итак, это прямоугольный треугольник с гипотенузой r = 6 и горизонтальным отрезком 1, поэтому, если вертикальный отрезок равен x, то

Ну, квадратный корень из 35 больше 5, поэтому пять точек в этом столбце находятся внутри круга. Теперь переместите два юнита вправо. Опять же, гипотенуза r = 6, короткий отрезок = 2, вертикальный отрезок = x, поэтому

Все еще больше 5, поэтому во втором столбце пять точек.Теперь переместите три юнита вправо. Опять же, гипотенуза r = 6, короткий отрезок = 3, вертикальный отрезок = x, поэтому

Все еще больше 5, поэтому в этом третьем столбце пять точек. Вот где мы сейчас находимся:

Ясно, что благодаря симметрии мы можем отразить этот массив по линии 45 °, чтобы получить больше точек в круге:

Потому что эта строка на высоте 5 всего 3 точки шириной, мы знаем, что столбец 5 единиц вправо может иметь высоту только 3 точки.