Как научиться решать неравенства – Как решать неравенство 🚩 Дайте определение решения неравенства с одной переменной? Что значит решить неравенство? 🚩 Математика

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

 

Содержание страницы:

 

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax<bax≤bax>bax≥b

где a и b — любые числа, причем a≠0,x — переменная.

Примеры линейных неравенств:

3x<5x−2≥07−5x<1x≤0

Решить линейное неравенство — получить выражение вида:

x<cx≤cx>cx≥c

где c — некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

  • Если знак неравенства строгий >,<, точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку –
    круглой
    .

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

  • Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

  • Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Неравенство Графическое решение Форма записи ответа
x<c x∈(−∞;c)
x≤c x∈(−∞;c]
x>c x∈(c;+∞)
x≥c x∈[c;+∞)

Алгоритм решения линейного неравенства

  1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax<bax≤bax>bax≥b

  1. Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.
  • Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤ba.
  • Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.
  1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3(2−x)>18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3x>18

−3x>18−6−3x>12|÷(−3)

Делим обе части неравенства на (-3) — коэффициент, который стоит перед  x. Так как    −3<0,

  знак неравенства поменяется на противоположный. x<12−3⇒x<−4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈(−∞;−4)

№2. Решить неравество    6x+4≥3(x+1)−14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x+4≥3x+3−14

6x−3x≥3−14−4

3x≥−15    |  ÷3 Делим обе части неравенства на (3) — коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3>0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x≥−153⇒x≥−5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈[−5;  +∞)

Особые случаи (в 8 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6x−1≤2(3x−0,5).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x−1≤6x−1

6x−6x≤−1+1

0≤0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

      Ответ:
      1. x — любое число
      2. x∈(−∞;+∞)
      3. x∈ℝ

       

       

       

       

      №2. Решить неравенство    x+3(2−3x)>−4(2x−12).

      Решение:

      Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

      x+6−9x>−8x+48

      −8x+8x>48−6

      0>42

      Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

      Ответ: x∈∅

      Квадратные неравенства

      Квадратные неравенства – это неравенства вида: ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0 где a, b, c - некоторые числа, причем   a≠0,x - переменная.

      Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

      Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

      Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

      1. Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.
      1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

      Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.

      Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).

      1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax2+bx+c вместо x.

      Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

      Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

      Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

      Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

      Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

      Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

      1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

      Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

      Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

      1. Записать ответ.

      Примеры решения квадратных неравенств:

      №1. Решить неравенство    x2≥x+12.

      Решение:

      Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

      x2≥x+12

      x2−x−12≥0

      x2−x−12=0

      a=1,b=−1,c=−12

      D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49

      D>0⇒ будет два различных действительных корня

      x1,2=−b±D2a=−(−1)±492⋅1=1±72=[1+72=82=41−72=−62=−3

      Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

      x2−x−1=62−6−1=29>0

      Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.

      Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

      Ответ:   x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)

      №2. Решить неравенство    −3x−2≥x2.

      Решение:

      Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

      −3x−2≥x2

      −x2−3x−2≥0

      −x2−3x−2=0

      a=−1,b=−3,c=−2

      D=b2−4ac=(−3)2−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1

      D>0⇒ будет два различных действительных корня

      x1,2=−b±D2a=−(−3)±12⋅(−1)=3±1−2=[3+1−2=4−2=−23−1−2=2−2=−1

      x1=−2,x2=−1

      Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

      −x2−3x−2=−(0)2−3⋅0−2=−2<0

      Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   −.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      Поскольку знак неравенства   ≥, выбираем в ответ интервал со знаком   +.

      Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

      Ответ:   x∈[−2;−1]

      №3. Решить неравенство   4<x2+3x.

      Решение:

      Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

      4<x2+3x

      −x2−3x+4<0

      −x2−3x+4=0

      a=−1,b=−3,c=4

      D=b2−4ac= (−3)2−4⋅(−1)⋅4=9+16=25

      D>0⇒ будет два различных действительных корня

      x1,2=−b±D2a=−(−3)±252⋅(−1)=3±5−2=[3+5−2=8−2=−43−5−2=−2−2=1

      x1=−4,x2=1

      Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

      −x2−3x+4=−(2)2−3⋅2+4=−6<0

      Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      Поскольку знак неравенства   <,  выбираем в ответ интервалы со знаком   −.

      Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

      Ответ:   x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)

      №4. Решить неравенство   x2−5x<6.

      Решение:

      Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

      x2−5x<6

      x2−5x−6<0

      x2−5x−6=0

      a=1,b=−5,c=−6

      D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+25=49

      D>0⇒ будет два различных действительных корня

      x1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅1=5±72=[5+72=122=65−72=−22=−1

      x1=6,x2=−1

      Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

      x2−5x−6=102−5⋅10−6=100−50−6= 44>0

      Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      Поскольку знак неравенства   >, выбираем в ответ интервал со знаком   -.

      Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

      Ответ:   x∈(−1;6)

      №5. Решить неравенство   x2<4.

      Решение:

      Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

      x2<4

      x2−4<0

      x2−4=0

      (x−2)(x+2)=0⇔[x−2=0x+2=0 [x=2x=−2

      x1=2,x2=−2

      Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

      x2−4=32−4=9−4=5>0

      Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      Поскольку знак неравенства   <,   выбираем в ответ интервал со знаком   −.

      Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

      Ответ:   x∈(−2;2)

      №6. Решить неравенство   x2+x≥0.

      Решение:

      Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x2+x=0.

      x2+x≥0

      x2+x=0

      x(x+1)=0⇔[x=0x+1=0[x=0x=−1

      x1=0,x2=−1

      Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

      x2+x=12+1=2>0

      Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      Поскольку знак неравенства   ≥,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

      В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

      Ответ:   x∈(−∞;−1]∪[0;+∞)

      Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

      Дробно рациональные неравенства

      Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

      f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

      Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

      Примеры дробно рациональных неравенств:

      x−1x+3<03(x+8)≤5x2−1x>0x+20x≥x+3

      Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

      Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

      1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

      f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

      1. Приравнять числитель дроби к нулю   f(x)=0.  Найти нули числителя.
      1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g(x)=0.  Найти нули знаменателя.

      В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

      1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

      Вне зависимости от знака неравенства
      при нанесении на ось xнули знаменателя всегда выколотые.

      Если знак неравенства строгий,
      при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

      Если знак неравенства нестрогий,
      при нанесении на ось x нули числителя жирные.

      1. Расставить знаки на интервалах.
      1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

      Примеры решения дробно рациональных неравенств:

      №1. Решить неравенство   x−1x+3<0.

      Решение:

      Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

      1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)<0.
      1. Приравниваем числитель к нулю  f(x)=0.

      x−1=0

      x=1 - это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

      1. Приравниваем знаменатель к нулю  g(x)=0.

      x+3=0

      x=−3 - это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

      1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

      При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

      1. Расставляем знаки на интервалах.

      Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):x−1x+3 = 2−12+3=15>0,

      Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет   +.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

      Поскольку знак неравенства   <,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

      В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

      Ответ:   x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)

      №2. Решить неравенство   3(x+8)≤5.

      Решение:

      Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

      1. Привести неравенство к виду  f(x)g(x)≤0.

      3(x+8)≤5

      3(x+8)−5\x+8≤0

      3x+8−5(x+8)x+8≤0

      3−5(x+8)x+8≤0

      3−5x−40x+8≤0

      −5x−37x+8≤0

      1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

      −5x−37=0

      −5x=37

      x=−375=−375=−7,4

      x=−7,4 - ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

      1. Приравнять знаменатель к нулю  g(x)=0.

      x+8=0

      x=−8 - это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

      1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

      При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

      1. Расставляем знаки на интервалах.

      Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

      −5x−37x+8=−5⋅0−370+8=−378<0

      Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   -.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

      Поскольку знак неравенства   ≤,  выбираем в ответ интервалы со знаком   -.

      В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

      Ответ:   x∈(−∞;−8)∪[−7,4;+∞)

      №3. Решить неравенство   x2−1x>0.

      Решение:

      Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

      1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
      1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

      x2−1=0

      (x−1)(x+1)=0⇒[x−1=0x+1=0[x=1x=−1

      x1=1,x2=−1  - нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

      1. Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

      x=0 - это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

      1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

      При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

      1. Расставляем знаки на интервалах.

      Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

      x2−1x=22−12=4−12=32>0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   +.

      Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

      1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

      Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

      В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

      Ответ:   x∈(−1;0)∪(1;+∞)

      Системы неравенств

      Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

      Пример системы неравенств:

      {x+4>02x+3≤x2

      Алгоритм решения системы неравенств

      1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
      1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
      1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
      1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

      Примеры решений систем неравенств:

      №1. Решить систему неравенств   {2x−3≤57−3x≤1

      Решение:

      Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

      1. Решаем первое неравенство системы.

      2x−3≤5 

      2x≤8|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

      x≤4;

      Графическая интерпретация:

      Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

      1. Решаем второе неравенство системы.

      7−3x≤1

      −3x≤1−7

      −3x≤−6|÷(−3),  поскольку  −3<0,  знак неравенства после деления меняется на противоположный.

      x≥2

      Графическая интерпретация решения:

      Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

      1. Наносим оба решения на ось x.
      1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

      Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

      Ответ:   x∈[2;4]

      №2. Решить систему неравенств   {2x−1≤51<−3x−2

      Решение:

      Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

      1. Решаем первое неравенство системы.

      2x−1≤5

      2x≤6|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

      x≤3

      Графическая интерпретация:

      Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

      1. Решаем второе неравенство системы.

      1<−3x−2

      3x<−1−2

      3x<−3|÷3,  поскольку  3>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

      x<−1

      Графическая интерпретация решения:

      Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

      1. Наносим оба решения на ось x.
      1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

      Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

      Ответ:   x∈(−∞;−1)

      №3. Решить систему неравенств   {3x+1≤2x−1x−7>5−x

      Решение:

      Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

      1. Решаем первое неравенство системы.

      3x+1≤2x−1

      3x−2x≤−1−1

      x≤−1

      Графическая интерпретация решения:

      1. Решаем второе неравенство системы

      x−7>5−x

      x+x>5+7

      2x>12| ÷2,  поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

      x>6

      Графическая интерпретация решения:

      1. Наносим оба решения на ось x.
      1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

      Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

      Ответ:   x∈∅

      №4. Решить систему неравенств   {x+4>02x+3≤x2

      Решение:

      Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

      1. Решаем первое неравенство системы.

      x+4>0

      x>−4

      Графическая интерпретация решения первого неравенства:

      1. Решаем второе неравенство системы

      2x+3≤x2

      −x2+2x+3≤0

      Решаем методом интервалов.

      −x2+2x+3=0

      a=−1,b=2,c=3

      D=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16

      D>0 - два различных действительных корня.

      x1,2=−b±D2a=−2±162⋅(−1)=−2±4−2=[−2−4−2=−6−2=3−2+4−2=2−2=−1

      Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

      Графическая интерпретация решения второго неравенства:

      1. Наносим оба решения на ось x.
      1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

      Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪.

      Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

      Ответ:   x∈(−4;−1]∪[3;+∞)

       

      Скачать домашнее задание к уроку 8.

       

      epmat.ru

      Решение неравенств, все формулы и примеры

      Определение и формулы неравенств

      Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.

      Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.

      Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

      Основные правила, применяемые при решении неравенств

      1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
      2. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
      3. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

      В зависимости от того, какие функции входят в неравенство, различают линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные неравенства, неравенства с параметром.

      Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

      Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.

      Примеры решения неравенств

      Понравился сайт? Расскажи друзьям!

      ru.solverbook.com

      Как решать линейные неравенства | Алгебра

      Как решать линейные неравенства? Для начала неравенство надо упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

      Рассмотрим примеры решения линейных неравенств с одной переменной.

         

      Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем его на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не меняются. Если перед скобками стоит знак «минус», знаки в скобках меняются на противоположные.

         

      Приводим подобные слагаемые.

         

      Получили неравенство вида ax+b≤cx+d. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками (можно было сначала перенести неизвестные в одну сторону, известные в другую, а уже потом привести подобные слагаемые).

         

         

      Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 8 больше нуля, знак неравенства не меняется:

         

         

      Так как неравенство нестрогое, точку -2 отмечаем на числовой прямой закрашенной. Штриховка идёт влево от -2, на минус бесконечность.      

      Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -2 записываем с квадратной скобкой.

      Ответ:

         

         

      Чтобы от десятичных дробей перейти к целым числам, можно обе части неравенства умножить на 10 (это не обязательно. Можно работать с десятичными дробями).

         

      При умножении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Умножать на 10 надо каждое слагаемое. При умножении произведения на 10 используем сочетательное свойство умножения, то есть умножаем на 10 только один множитель.

         

      Раскрываем скобки:

         

      Приводим подобные слагаемые:

         

      Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

         

      Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку -6 — отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

         

         

      Сокращаем дробь:

         

      Так как неравенство строгое, на числовой прямой -2/3 отмечаем выколотой точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

      Неравенство строгое, точка выколотая, поэтому в ответ -2/3 записываем с круглой скобкой:

      Ответ:

         

         

         

      Раскрываем скобки. Если перед произведением двух скобок стоит знак «минус», удобно сначала выполнить умножение, и только потом раскрывать скобки, изменяя знак каждого слагаемого на противоположный:

         

         

         

         

      Приводим подобные слагаемые:

         

      Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

         

         

      Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

         

         

      Поскольку неравенство строгое, 1,6 отмечаем на числовой прямой выколотой точкой. Штриховка от 1,6 идёт влево, на минус бесконечность:

      Так как неравенство строгое и точка выколотая, 1,6 в ответ записываем с круглой скобкой:

      Ответ:

         

         

      Произведение разности двух выражений на их сумму, стоящее в левой части неравенства, сворачиваем по формуле в разность квадратов.

      В правой части неравенства — квадрат разности.

      Перед скобками в обеих частях стоит знак «минус», поэтому сначала преобразуем выражения в скобках по формулам, и только потом раскрываем скобки, изменив при этом знак каждого слагаемого на противоположный:

         

         

      Переносим неизвестные в одну чторону, известные — в другую с противоположными знаками:

         

         

      Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

         

         

      Так как неравенство нестрогое, -0,4 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

      Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -0,4 записываем с квадратной скобкой:

      Ответ:

         

      Часто в алгебре требуется не просто решить линейное неравенство, а выбрать из множества решений конкретное значение, например, наибольшее целое или наименьшее натуральное решение. Позже мы рассмотрим, как решать такие задачи.

      www.algebraclass.ru

      Неравенства методом интервалов

      Рассмотрим, как решать неравенства методом интервалов, на конкретных примерах.

         

      Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

         

         

         

      Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

      Для проверки знака берем 0 (желательно на числовой прямой отметить взятую точку, чтобы потом не забыть, куда ставить знак). Подставляем 0 в последнее неравенство: (2∙0-14)(5∙0+25)= -14∙25, то есть (-)∙(+)= -. Таким образом, в промежуток, из которого взяли нуль, ставим знак «-«, остальные знаки чередуем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

      Ответ:

         

         

      Приравниваем к нулю левую часть:

         

         

      Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

      Для проверки знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. По знакам получаем:

         

      В промежуток, которому принадлежит 0, ставим «+», остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≤0, в ответ выбираем промежутки со знаком «-«. (Не забываем, когда точки закрашенные, а когда — выколотые. Те точки, в которых знаменатель обращается в нуль, выколотые всегда).

      Ответ:

         

         

      Приравниваем к нулю левую часть:

         

      По теореме, обратной теореме Виета

         

      Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

      Для определения знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. Получает (-)/(-)=(+). Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

      Ответ:

         

         

      Переносим все слагаемые в левую часть, приводим к наименьшему общему знаменателю и упрощаем: 

         

         

         

         

      После упрощения решаем неравенство методом интервалов.

      Приравниваем к нулю левую часть:

         

         

      Точек, в которых числитель обращается в нуль, нет. На числовой прямой отмечаем только одну точку:

      Для проверки берем нуль. Подставляя его в последнее неравенство, получаем «+». На другом интервале — «-«. Нам нужен интервал с «-«.

      Ответ:

         

      Как решать более сложные неравенства методом интервалов, рассмотрим в следующий раз.

      www.uznateshe.ru

      Как решать неравенства? Как решать дробные и квадратные неравенства?

      Понятие математического неравенства возникло в глубокой древности. Это произошло тогда, когда у первобытного человека появилась потребность при счёте и действиях с различными предметами сравнивать их количество и величину. Начиная с античных времён неравенствами пользовались в своих рассуждениях Архимед, Евклид и другие прославленные деятели науки: математики, астрономы, конструкторы и философы.

      Но они, как правило, применяли в своих работах словесную терминологию. Впервые современные знаки для обозначения понятий «больше» и «меньше» в том виде, каком их сегодня знает каждый школьник, придумали и применили на практике в Англии. Оказал такую услугу потомкам математик Томас Гарриот. А случилось это около четырёх столетий назад.

      Известно множество видов неравенств. Среди них простые, содержащие одну, две и больше переменных, квадратные, дробные, сложные соотношения и даже представленные системой выражений. А понять, как решать неравенства, лучше всего на различных примерах.

      Не опоздать на поезд

      Для начала представим себе, что житель сельской местности спешит на железнодорожную станцию, которая находится на расстоянии 20 км от его деревни. Чтобы не опоздать на поезд, отходящий в 11 часов, он должен вовремя выйти из дома. В котором часу это необходимо сделать, если скорость его движения составляет 5 км/ч? Решение этой практической задачи сводится к выполнению условий выражения: 5 (11 – Х) ≥ 20, где Х – время отправления.

      Это понятно, ведь расстояние, которое необходимо преодолеть селянину до станции равно скорости движения, умноженной на количество часов в пути. Прийти раньше человек может, но вот опоздать ему никак нельзя. Зная, как решать неравенства, и применив свои умения на практике, в итоге получим Х ≤ 7, что и является ответом. Это значит, что селянину следует отправиться на железнодорожную станцию в семь утра или несколько ранее.

      Числовые промежутки на координатной прямой

      Теперь выясним, как отобразить описываемые соотношения на координатной прямой. Полученное выше неравенство не является строгим. Оно означает, что переменная может принимать значения меньше 7, а может быть равным этому числу. Приведём другие примеры. Для этого внимательно рассмотрим четыре рисунка, представленных ниже.

      На первом из них можно увидеть графическое изображение промежутка [-7; 7]. Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием квадратных скобок.

      Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7).

      То есть, выяснив, как решать неравенства такого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U [7; +∞), а на четвёртом - (-∞; -7) U (7; +∞).

      Два выражения в одном

      Часто можно встретить следующую запись: 7 < 2Х – 3 < 12. Как решать двойные неравенства? Это значит, что на выражение налагаются сразу два условия. И каждое из них следует учитывать, чтобы получить правильный ответ для переменной Х. Приняв во внимание такое положение дел, получаем из соотношений 2Х – 3 > 7 и 2Х – 3 < 11 следующее:

      5 < Х < 7. Окончательный ответ записывается таким образом: (5; 7). Это значит, что переменная принимает множество значений, заключённых в промежутке между числами 5 и 7, исключая границы.

      Сходные свойства с уравнением

      Уравнение представляет собой выражение, объединяемое знаком = , который означает, что обе части его (левая и правая) тождественны по величине. Поэтому часто подобные соотношения связывают с образом старинных весов, имеющих чаши, установленные и скрепляемые посредством рычага. Данное устройство всегда находится в равновесии, если оба конца наделены одинаковым весом. При этом положение не меняется, если левая и правая части дополняются или теряют грузы одинаковой массы.

      В математическом уравнении к обеим частям равенства, чтобы оно не нарушилось, тоже можно прибавлять одно и то же число. При этом оно может быть положительным или отрицательным. Как решать неравенства в данном случае, и можно ли сделать с ними то же самое? Предыдущие примеры показали, что да.

      Отличие от уравнения

      Обе части выражения, соединённые знаками < или >, можно умножать и делить на любое положительное число. При этом истинность соотношения не нарушается. Но как решить неравенство с дробями отрицательными и целыми множителями, перед которыми стоит знак минус? Здесь дело обстоит совершенно иначе.

      Разберём это на примере: -3Х < 12. Чтобы выделить переменную в левой части, приходится делить каждую из них на -3. При этом знак неравенства меняется на обратный. Получаем: Х > -4, что и является ответом поставленной задачи.

      Метод интервалов

      Неравенство называется квадратным в случае, если содержит переменную, возведённую во вторую степень. Примером подобного соотношения может служить следующее выражение: Х2 – 2Х + 3 > 0. Как решать квадратные неравенства? Самым удобным способом является метод интервалов. Для осуществления задуманного, следует разложить на множители левую часть соотношения. Получается: (Х – 3)(Х + 1). Потом рекомендуется найти нули функции и расположить полученные точки в правильном порядке на координатной прямой.

      Далее нужно распределить знаки получившихся интервалов, подставив в выражение любое из чисел, принадлежащих данному промежутку. При этом в простых случаях обычно достаточно разобраться хотя бы с одним из них, а остальные - расставить по правилу чередования. В заключении остаётся только отобрать подходящие интервалы, чтобы получить окончательное решение.

      Квадратные неравенства здесь подчиняются закону соответствия отрицательных областей минусам, а положительных - плюсам. То есть, если выражение больше нуля, то следует брать числовые промежутки, помеченные знаком + . А в обратном случае решением будут участки, отмеченные знаком - . Таким образом, решение нашего неравенства запишется так: (-∞; -1) U (3; +∞).

      Другие примеры применения метода интервалов

      Описанный способ даёт ответ и на другой немаловажный вопрос: как решать дробные неравенства, если в данном случае вполне применим тот же метод интервалов? Рассмотрим подробнее, как это можно сделать, на примере соотношения, представленного ниже.

      Здесь нулями функции являются точки -9 и 4. Для нахождения решения следует нанести их на координатную прямую и определить знаки промежутков, отобрав те из них, которые окажутся помеченными знаком плюс. При этом следует обратить внимание, что закрашенной будет только цифра 4.

      Другая точка буде выколотой, так как -9 не входит в область значений, которые допустимы. Ведь при этом в знаменателе получается ноль, что в математике невозможно. Как решать дробные неравенства? В данном случае окончательным ответом станет объединение промежутков: (-∞; -9) U [4; +∞).

      Параболы на графике

      Выяснить всё о неравенствах часто помогают не только рисунки на координатной прямой, но и изображения в декартовой плоскости. Графиком квадратичной зависимости, как известно, является парабола. Даже схематичный рисунок такого типа способен практически полностью дать ответы на поставленные вопросы. Рассмотрим некоторые из типов парабол, дающих представления о решении квадратных неравенств.

      Здесь прежде всего уясним для себя некоторые истины. Любое выражение такого типа приводится к виду: ах2 + вх + с = 0. При этом, если коэффициент а оказывается положительным, то параболу следует рисовать ветвями верх, в противоположно случае – вниз. А корни уравнения являются точками, где происходит пересечение графика функции с осью ОХ.

      Толкования

      Знать указанные выше утверждения очень важны для понимания квадратных неравенств и ответов на вопросы, связанные с ними. Начертив схему параболы на декартовой плоскости, для решения необходимо выяснить, в какой момент функция (то есть значения координат точек по оси ОУ) принимает показатели + и -. При этом, если в неравенстве стоит знак >, то решением его будет множество значений, принимаемых переменной Х при положительном У.

      В случае знака < в ответе указываются показатели для Х при отрицательном У. Бывает так, что парабола и вовсе не пересекается с осью ОХ. Это происходит в случаях, когда Д < 0. Тогда, если график расположен в верхней полуплоскости, ответом для квадратного неравенства со знаком > окажется промежуток (-∞; +∞). А для < решением будет пустое множество. С нижней полуплоскостью дело обстоит с точностью да наоборот.

      О пользе графических изображений

      Изображения на декартовой плоскости существенно облегчают задачу для систем уравнений. Рисунки наглядно показывают решения, которые являются точками пересечения нанесённых линий. Остаётся только вычислить их координаты и записать ответ.

      То же касается и неравенств. К примеру, решением соотношения у ≤ 6 – х (как понятно по рисунку) является сама прямая у = 6 - х, а также полуплоскость, размещённая ниже данной границы. Для точного ответа можно взять любую точку на графике (например (1; 3) и подставить её координаты в неравенство. Получаем: 3 ≤ 6 - 1, то есть верное соотношение. Значит, приведённые рассуждения были истинными.

      Неравенство у ≥ х2 описывается областью на декартовой плоскости, расположенной в чаше параболы, включая границы её самой. А на пересечении указанных секторов можно найти решение соотношения, записанного в виде: х2 ≤ у ≤ 6 – х. Оно будет ограничиваться снизу линией параболы и отсекаться сверху прямой. Для уверенности снова сделаем проверку, подставив значения координат любой точки, пренадлежащей к этой области.

      Возьмём (1; 4). Получаем: 1 ≤ 4 ≤ 6 - 1, то есть снова верное соотношение. Здесь опять есть смысл заметить, что неравенства обладают многими сходными чертами с уравнениями, хотя и наделены существенными отличиями.

      fb.ru

      Некоторые моменты о том, как выполняется решение неравенств :: SYL.ru

      Одна из тем, которая требует от учеников максимума внимания и усидчивости, это решение неравенств. Такие похожие на уравнения и при этом сильно от них отличающиеся. Потому что к их решению нужен особый подход.

      Свойства, которые потребуются для нахождения ответа

      Все они применяются для того, чтобы заменить имеющуюся запись равносильной. Большая их часть похожа на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.

      • Функцию, которая определена в ОДЗ, или любое число можно прибавить к обеим частям исходного неравенства.
      • Аналогичным образом возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
      • Если это действие выполняется с отрицательными функцией или числом, то знак неравенства нужно заменить на противоположный.
      • Функции, которые являются неотрицательными, можно возводить в положительную степень.

      Иногда решение неравенств сопровождается действиями, которые дают посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив область ОДЗ и множество решений.

      Использование метода интервалов

      Его суть состоит в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.

      1. Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
      2. Преобразовать неравенство с помощью математических операций так, чтобы в его правой части стоял ноль.
      3. Знак неравенства заменить на «=» и решить соответствующее уравнение.
      4. На числовой оси отметить все ответы, которые получились во время решения, а также интервалы ОДЗ. При строгом неравенстве точки нужно нарисовать выколотыми. Если присутствует знак равенства, то их полагается закрасить.
      5. Определить знак исходной функции на каждом интервале, получившемся из точек ОДЗ и делящих его ответов. Если при переходе через точку знак функции не изменяется, то она входит в ответ. В противном случае — исключается.
      6. Граничные для ОДЗ точки нужно дополнительно проверить и только потом включать или нет в ответ.
      7. Ответ, который получается, нужно записать в виде объединенных множеств.

      Немного о двойных неравенствах

      Они используют в записи сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция ограничена условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются, как система из двух, когда исходное разбито на части. И в методе интервалов указываются ответы от решения обоих уравнений.

      Для их решения также допустимо использовать свойства, указанные выше. С их помощью удобно приводить неравенство к равенству нулю.

      Как обстоят дела с неравенствами, в которых имеется модуль?

      В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, причем они справедливы для положительного значения «а».

      Если «х» принимает алгебраическое выражение, то справедливы такие замены:

      • |х| < a на -a < х < a;
      • |х| > a на х < -a или х > a.

      Если неравенства нестрогие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, появляется «=».

      Как осуществляется решение системы неравенств?

      Это знание потребуется в тех случаях, когда дано такое задание или имеется запись двойного неравенства или в записи появился модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем имеющимся в записи неравенствам. Если таких чисел нет, то система решений не имеет.

      План, по которому выполняется решение системы неравенств:

      • решить каждое из них отдельно;
      • изобразить на числовой оси все интервалы и определить их пересечения;
      • записать ответ системы, который и будет объединением того, что получилось во втором пункте.

      Как быть с дробными неравенствами?

      Поскольку во время их решения может потребоваться изменение знака неравенства, то нужно очень тщательно и внимательно выполнять все пункты плана. Иначе может получиться противоположный ответ.

      Решение дробных неравенств тоже использует метод интервалов. И план действий будет таким:

      • Используя описанные свойства, придать дроби такой вид, чтобы справа от знака остался только ноль.
      • Заменить неравенство на «=» и определить точки, в которых функция будет равна нулю.
      • Отметить их на координатной оси. При этом числа, получившиеся в результате расчетов в знаменателе, всегда будут выколоты. Все другие — исходя из условия неравенства.
      • Определить интервалы знакопостоянства.
      • В ответ записать объединение тех промежутков, знак которых соответствует тому, который был в исходном неравенстве.

      Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность

      Другими словами, в записи присутствует математический корень. Поскольку в школьном курсе алгебры большая часть заданий идет для квадратного корня, то именно он и будет рассмотрен.

      Решение иррациональных неравенств сводится к тому, чтобы получить систему из двух или трех, которые будут равносильны исходному.

      Исходное неравенствоусловиеравносильная система
      √ n(х) < m(х)m(х) меньше или равно 0решений нет
      m(х) больше 0

      n(х) больше или равно 0

      n(х) < (m(х))2

      √ n(х) > m(х)

      m(х) больше или равно 0

      n(х) > (m(х))2

      или

      n(х) больше или равно 0

      m(х) меньше 0

      √n(х) ≤ m(х)m(х) меньше 0решений нет
      m(х) больше или равно 0

      n(х) больше или равно 0

      n(х) ≤ (m(х))2

      √n(х) ≥ m(х)

      m(х) больше или равно 0

      n(х) ≥ (m(х))2

      или

      n(х) больше или равно 0

      m(х) меньше 0

      √ n(х) < √ m(х)

      n(х) больше или равно 0

      n(х) меньше m(х)

      √n(х) * m(х) < 0

      n(х) больше 0

      m(х) меньше 0

      √n(х) * m(х) > 0

      n(х) больше 0

      m(х) больше 0

      √n(х) * m(х) ≤ 0

      n(х) больше 0

      m(х) ≤0

      или

      n(х) равно 0

      m(х) –любое

      √n(х) * m(х) ≥ 0

      n(х) больше 0

      m(х) ≥0

      или

      n(х) равно 0

      m(х) –любое

      Примеры решения разных видов неравенств

      Для того чтобы добавить наглядности в теорию про решение неравенств, ниже приведены примеры.

      Первый пример. 2х - 4 > 1 + х

      Решение: для того чтобы определить ОДЗ, достаточно просто внимательно посмотреть на неравенство. Оно образовано из линейных функций, поэтому определено при всех значениях переменной.

      Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1 + х). Получается: 2х - 4 - (1 + х) > 0. После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые неравенство примет такой вид: х - 5 > 0.

      Приравняв его к нулю, легко найти его решение: х = 5.

      Теперь эту точку с цифрой 5, нужно отметить на координатном луче. Потом проверить знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, получившееся после преобразований. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно подписать знак минуса.

      На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда получается, что 1 > 0. Под дугой подписан знак «+». Этот второй интервал и будет ответом неравенства.

      Ответ: х лежит в интервале (5; ∞).

      Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3х + 3 ≤ 2х + 1 и 3х - 2 ≤ 4х + 2.

      Решение. ОДЗ этих неравенств тоже лежит в области любых чисел, поскольку даны линейные функции.

      Дальше действовать нужно поэтапно. Сначала преобразовать первое из неравенств и приравнять его к нулю. 3х + 3 - 2х - 1 = 0. То есть х + 2 = 0. Таким образом, х равен -2.

      Второе неравенство примет вид такого уравнения: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. После преобразования: -х - 4 =0. Из него получается значение для переменной, равное -4.

      Эти два числа нужно отметить на оси, изобразив интервалы. Поскольку неравенство нестрогое, то все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть будет выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Значит, этот промежуток не входит в ответ.

      Второй интервал от -4 до -2. Можно выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Значит, под дугой «-».

      На последнем интервале от -2 до бесконечности самым лучшим числом является ноль. Его и нужно подставить и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а втором ноль. Этот промежуток тоже нужно исключить из ответа.

      Из трех интервалов решением неравенства является только один.

      Ответ: х принадлежит [-4; -2].

      Третий пример. |1 - х| > 2 |х - 1|.

      Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.

      На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».

      Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.

      Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.

      С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.

      На первом получается такое неравенство: 2 - х > - 2 (х - 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.

      После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.

      На втором: 2 - х > 2 (х - 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.

      Последний дает такую запись неравенства: - (2 - х) > 2 (х - 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.

      На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.

      Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).

      www.syl.ru

      Как Научиться Решать Неравенства | Fitweb

      решение неравенств

      как решать неравенства

      показательное неравенство

      Метод интервалов

      решение задач

      линейные неравенства

      простые неравенства

      математика 8 класс

      математика 9 класс

      математика 7 класс

      решение показательных неравенств

      решение логарифмических неравенств

      математика егэ

      математика 10 класс

      репетитор огэ

      математика 11 класс

      математика онлайн

      как сдать егэ на 100 баллов

      решить неравенство просто

      решение простых неравенств

      решить простое неравенство

      решение неравенства методом интервалов

      пример решения неравенств

      Решение неравенств

      Подготовка к ОГЭ по математике

      Репетитор по математике

      решение уравнений

      алгебра 11 класс

      простое показательное неравенство

      показательная функция

      решение неравенств онлайн

      Решение линейных неравенств с одной переменной

      доступная математика

      видеоуроки егэ

      Системы линейных неравенств с одной переменной

      Решение систем линейных неравенств с одной переменной

      ОГЭ видео уроки

      Системы линейных неравенств с одной переменной видео урок

      неравенства с логарифмом

      логарифмическое неравенство

      тригонометрия

      алгебра 8 класс

      решение системы неравенств

      понятие системы неравенств

      линейные уравнения

      числовая прямая

      ЕГЭ Математика

      профильный егэ

      курс математики

      видеокурс математика

      задача 20 егэ 2015

      видеоуроки математика

      видео урок егэ

      задача 20 математика

      егэ 2015 математика

      задача с6 математика

      уроки математика

      математика 2015

      видеокурс егэ

      подготовка к егэ 2015

      подготовка к егэ

      задача с параметром

      Математика 10 класс

      Тригонометрические неравенства

      Алгебра 10 класс

      задачи по алгебре

      решение линейного неравенства с модулем

      неравенство с модулем

      линейное неравенство с модулем

      решение неравенства с модулем

      решение неравенств с модулями

      линейное неравенство

      051 Алгебра 11 класс. Урок 36.

      алгебра 10 класс

      решение уравнений и неравенств

      Алгебра 11 класс

      Математика 11 класс

      как научиться решать дроби

      как научиться решать задачи по математике 4 класс

      как научиться решать интегралы с нуля

      как научиться решать задачи по математике

      как научиться решать задачи

      как научиться решать экономические задачи из егэ

      как научиться решать задачи по физике

      квадратичная функция

      линейная функция

      уравнение с модулем

      решать задание 15 егэ математика

      номер 15 егэ математика

      реальный егэ 2017

      логарифмическуие неравенства егэ математика

      егэ математика часть 2

      егэ математика профильный уровень

      показательные неравенства егэ математика

      задание 15 егэ математика

      решение неравенств на егэ

      решение задания 15 егэ математика

      егэ математика 2017

      fitweb.me

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *