X a 2 y 2 a 2: Страница не найдена

Содержание

Формулы сокращенного умножения

У нас есть сумма (разница) двух чисел и нам необходимо избавиться от скобок, используя формулы для сокращенного умножения:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x — y)2 = x2 — 2xy + y2

Пример: если x = 10, y = 5a
(10 + 5a)2 = 102 + 2.10.5a + (5a)2 = 100 + 100a + 25a2
(10 — 4)2 = 102 — 2.10.4 + 42 = 100 — 80 + 16 = 36
Конечно, если мы имеем следующую ситуацию:
25 + 20a + 4a2 = 52 + 2.2.5 + (2a)2 = (5 + 2a)2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x — y)3 = x3 — 3x2y + 3xy2 — y3

Пример: (1 + a2)3 = 13 + 3.12.a2 + 3.1.(a2)2 + (a2)3 = 1 + 3a

2 + 3a4 + a6

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z)2 = x2 + y2 + z2 — 2xy — 2xz + 2yz


x2 — y2 = (x — y)(x + y)

x2 + y2 = (x + y)2 — 2xy
или
x2 + y2 = (x — y)2 + 2xy

Пример: 9a2 — 25b2 = (3a)2 — (5b)2 = (3a — 5b)(3a + 5b)

x3 — y3 = (x — y)(x2 + xy + y2)
x3 + y3 = (x + y)(x2 — xy + y2)

Если n есть натуральное число

xn — yn = (x — y)(xn-1 + xn-2y +. 2 + 20$


3) Решите уравнение: x2 — 25 = 0
Решение:

x2 — 25 = (x — 5)(x + 5)
=> чтобы решить это уравнение мы должны решить 2 следующих выражения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0 и поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5

Больше

Тест — формулы сокращенного умножения

Действия с многочленами — задачи с решениями

Разложиние на множители — задачи с решениями

Формулы сокращенного умножения в математическом форуме

Mathway | Популярные задачи

1 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 50
2 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 45
3 Вычислить 5+5
4 Вычислить 7*7
5 Разложить на простые множители 24
6 Преобразовать в смешанную дробь 52/6
7 Преобразовать в смешанную дробь 93/8
8 Преобразовать в смешанную дробь 34/5
9 График y=x+1
10 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 128
11 Найти площадь поверхности
сфера (3)
12 Вычислить 54-6÷2+6
13 График y=-2x
14 Вычислить 8*8
15 Преобразовать в десятичную форму 5/9
16 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 180
17 График y=2
18 Преобразовать в смешанную дробь 7/8
19 Вычислить 9*9
20 Risolvere per C C=5/9*(F-32)
21 Упростить 1/3+1 1/12
22 График y=x+4
23 График y=-3
24 График x+y=3
25 График x=5
26 Вычислить 6*6
27 Вычислить 2*2
28 Вычислить 4*4
29 Вычислить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30 Вычислить 1/3+13/12
31 Вычислить 5*5
32 Risolvere per d 2d=5v(o)-vr
33 Преобразовать в смешанную дробь 3/7
34 График
y=-2
35 Определить наклон y=6
36 Перевести в процентное соотношение 9
37 График y=2x+2
38 График y=2x-4
39 График x=-3
40 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+5x+6=0
41 Преобразовать в смешанную дробь 1/6
42 Преобразовать в десятичную форму 9%
43 Risolvere per n 12n-24=14n+28
44 Вычислить 16*4
45 Упростить кубический корень 125
46 Преобразовать в упрощенную дробь 43%
47 График x=1
48 График y=6
49 График y=-7
50 График y=4x+2
51 Определить наклон y=7
52 График y=3x+4
53 График y=x+5
54 График 3x+2y=6
55 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-5x+6=0
56 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-6x+5=0
57 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-9=0
58 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 192
59 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 25/36
60 Разложить на простые множители 14
61 Преобразовать в смешанную дробь 7/10
62 Risolvere per a (-5a)/2=75
63 Упростить x
64 Вычислить 6*4
65 Вычислить 6+6
66 Вычислить -3-5
67 Вычислить -2-2
68 Упростить квадратный корень 1
69 Упростить квадратный корень 4
70 Найти обратную величину 1/3
71 Преобразовать в смешанную дробь 11/20
72 Преобразовать в смешанную дробь 7/9
73 Найти НОК 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
74 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-3x-10=0
75 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+2x-8=0
76 График 3x+4y=12
77 График 3x-2y=6
78 График y=-x-2
79 График y=3x+7
80 Определить, является ли полиномом 2x+2
81 График y=2x-6
82 График y=2x-7
83 График y=2x-2
84 График y=-2x+1
85 График y=-3x+4
86 График y=-3x+2
87 График y=x-4
88 Вычислить (4/3)÷(7/2)
89 График 2x-3y=6
90 График x+2y=4
91 График x=7
92 График x-y=5
93 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+3x-10=0
94 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-2x-3=0
95 Найти площадь поверхности конус (12)(9)
96 Преобразовать в смешанную дробь 3/10
97 Преобразовать в смешанную дробь 7/20
98 Преобразовать в смешанную дробь 2/8
99 Risolvere per w V=lwh
100 Упростить 6/(5m)+3/(7m^2)

Уравнения с параметром

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

  1. Если а = 0, то 0х = 0
                              х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =
                             х = 0

Пример 2. ах = а

  1. Если а = 0, то 0х = 0
                              х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =
                            х = 1

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т. е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а2 – 1) х = 2а2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
                          х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
                          Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

  1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

  1. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

  1. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

  1. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

  1. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

  1. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = —с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1    6х + 7 = 0

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а2 + 16а + 4 – 4(4а2 + 3а – 4а – 3) = 16а2 + 16а + 4 – 16а2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

a =

a =

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1)2 – 4(9а – 5) = 4а2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х1 + х2 = -2(а + 1)
                     х1х2 = 9а – 5

По условию х1 < 0, х2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге 4(а – 1)(а – 6) > 0
— 2(а + 1) < 0
9а – 5 > 0
а < 1: а > 6
а > — 1
а > 5/9

(Рис. 1)

< a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а

4а2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
                 а = 4

(Рис. 2)

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а2 – 6

а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10 – 3аа2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х2 + ха = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х2 +ах + 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Ответы:

1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = — 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9х – (а + 2)*3х-1/х +2а*3-2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 32/х, получим равносильное уравнение

32(х+1/х) – (а + 2)*3х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(уа) = 0, откуда у1 =2, у2 = а.

Если у = 2, т.е. 3х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х2хlog32 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log232 – 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х2 хlog3а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log232 – 4 > 0, или |log3а| > 2.

Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2– (а – 3) 2х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета:

х1 = -3, х2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25х – (2а + 5)*5х-1/х + 10а * 5-2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2(а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4х — (5а-3)2х +4а2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

  1. 0 < а < 1/50, а > 25/2
  2. при а = 1, а = -2,2
  3. 0 < а 3/4 и а = 1

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение

log4x(1 + ах) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау2у + 1 = 0 (4)

Если а = 0, то – 2у + 1 = 0
2у = 1
у = 1/2
х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4) имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а < 0, т.е. при а < 0.

Пример 2. Найти все значения а, при которых уравнение

log5(x = 2-a ) – log1/5(a-1-x) = log259 имеет решение.

Решение. log5(x + 2-a) –log5(f – 1 – x) = log53

(1) х + 2 – а = 3(а – 1 – х), если

(2) а – 1 > х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Рис. 3

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 < 0 и а0 – корень уравнения 2 – а = 1 – а.

Тогда 2 – а = (1– а)2

а2 – а – 1 = 0

а0 =

Ответ: < a 2

Дидактический материал

  1. Найдите, при каких значениях а уравнение log 3 (9x + 9a3)= x имеет ровно два корня.
  2. Найдите, при каких значениях а уравнение log 2 (4xa) = x имеет единственный корень.
  3. При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а – 9х) = 0 не имеет корней.

 

Ответы:

  1. при а < 1/3 36
  2. при а = -1/4
  3. при а < -1/8

Литература

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990
  • Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.
  • Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. – М.: Дрофа, 1998.
  • Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение, 2001.
  • Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. – М.: Просвещение, 1990.
  • Журналы “Математика в школе”.
  • Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2001–2008.
  • Круговые уравнения

    Круг сделать легко:

    Нарисуйте кривую с радиусом
    от центральной точки.

    И так:

    Все точки находятся на одинаковом расстоянии
    от центра.

     

    На самом деле определение круга равно

    Круг на графике

    Нанесем на график окружность радиусом 5:

    Теперь давайте вычислим ровно , где находятся все точки.

    Делаем прямоугольный треугольник:

    А затем используйте Пифагор:

    x 2 + у 2 = 5 2

    Таких точек бесконечное количество, вот несколько примеров:

    х г x 2 + у 2
    5 0 5 2 + 0 2 = 25 + 0 = 25
    3 4 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25
    0 5 0 2 + 5 2 = 0 + 25 = 25
    −4 −3 (-4) 2 + (-3) 2 = 16 + 9 = 25
    0 −5 0 2 + (−5) 2 = 0 + 25 = 25

    Во всех случаях точка на окружности следует правилу x 2 + y 2 = радиус 2

    Мы можем использовать эту идею, чтобы найти пропущенное значение

    Пример:

    x значение 2 и радиус 5

    Начните с:x 2 + y 2 = r 2

    Известные нам значения: 2 2 + y 2 = 5 2

    Переставить: у 2 = 5 2 − 2 2

    Квадратный корень с обеих сторон: y = ±√(5 2 − 2 2 )

    Решить:y = ±√21

    г ≈ ±4. 58…

    ( ± означает, что есть два возможных значения: одно с + , другое с )

    А вот и две точки:

    Более общий случай

    Теперь поместим центр в (a,b)

    Итак, круг равен всем точкам (x,y) , которые находятся на расстоянии «r» от центра (a,b) .

    Теперь давайте выясним, где находятся точки (используя прямоугольный треугольник и Пифагор):

    Та же идея, что и раньше, но нам нужно вычесть из и из :

    .

    И это «Стандартная форма» для уравнения окружности!

     

    Сразу показывает всю важную информацию: центр (a,b) и радиус r .

    Пример: Окружность с центром в точке (3,4) и радиусом 6:

    Начать с:

    (х-а) 2 + (у-б) 2 = г 2

    Вставьте (a,b) и r:

    (х-3) 2 + (у-4) 2 = 6 2

    Затем мы можем использовать наши навыки алгебры, чтобы упростить и изменить это уравнение, в зависимости от того, для чего оно нам нужно.

    Попробуйте сами

    изображения/круг-equn.js

    «Общая форма»

    Но вы можете видеть уравнение окружности и не знать его !

    Потому что это может не быть в аккуратной «Стандартной форме» выше.

    В качестве примера давайте присвоим несколько значений a, b и r, а затем расширим их

    Начните с: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2

    Пример: a=1, b=2, r=3:(x−1) 2 + (y−2) 2 = 3 2

    Развернуть: х 2 — 2х + 1 + у 2 — 4у + 4 = 9

    Соберите подобные члены: x 2 + y 2 — 2x — 4y + 1 + 4 — 9 = 0

    И получаем вот это:

    x 2 + у 2 — 2х — 4у — 4 = 0

    Это уравнение окружности, но «замаскированное»!

    Итак, когда вы видите что-то подобное, подумайте «хм…. что может быть кругом!»

    На самом деле мы можем записать это в «Общая форма» , поставив константы вместо чисел:

    x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

    Примечание. Общая форма всегда имеет x 2 + y 2 для первых двух членов .

    Переход от общей формы к стандартной форме

    Теперь представьте, что у нас есть уравнение в общей форме :

    x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

    Как мы можем ввести его в стандартную форму вот так?

    (х-а) 2 + (у-б) 2 = г 2

    Ответ: Заполнить Квадрат (читайте об этом) дважды… один раз для x и один раз для y :

    Пример: x

    2 + y 2 — 2x — 4y — 4 = 0

    Начните с: x 2 + y 2 — 2x — 4y — 4 = 0

    Сложите x с и y с: (x 2 — 2x) + (y 2 — 4y) — 4 = 0

    Константа справа: (x 2 − 2x) + (y 2 − 4y) = 4

    Теперь заполните квадрат для x (возьмите половину -2, возведите в квадрат и прибавьте к обеим сторонам):

    2 — 2х + (-1) 2 ) + (у 2 — 4у) = 4 + (-1) 2

    И завершите квадрат для y (взять половину -4, возвести в квадрат и прибавить к обеим сторонам):

    2 — 2х + (-1) 2 ) + (у 2 — 4у + (-2) 2 ) = 4 + (-1) 2 + (-2) 2

    Прибраться:

    Упростить:(x 2 — 2x + 1) + (y 2 — 4y + 4) = 9

    Наконец: (x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 3 2

    И это у нас в стандартной форме!

    (Примечание: здесь использовался предыдущий пример a=1, b=2, r=3, так что мы поняли правильно!)

    Единичный круг

    Если мы поместим центр круга в (0,0) и установим радиус равным 1, мы получим:

    (х-а) 2 + (у-б) 2 = г 2

    (х-0) 2 + (у-0) 2 = 1 2

    х 2 + у 2 = 1

    Какое уравнение единичной окружности

    Как нарисовать круг вручную

    1. Участок центр (a,b)

    2. Нанесите 4 точки «радиуса» от центра вверх, вниз, влево и вправо

    3. Зарисуйте!

    Пример: График (x−4)

    2 + (y−2) 2 = 25

    Формула для окружности: (x−a) 2 + (y−b) 2 = r 2

    Таким образом, центр находится в (4,2)

    И r 2 равно 25 , поэтому радиус равен √25 = 5

    Итак, мы можем построить:

    • Центр: (4,2)
    • Вверх: (4,2+5) = (4,7)
    • Вниз: (4,2−5) = (4,−3)
    • Слева: (4−5,2) = (−1,2)
    • Справа: (4+5,2) = (9,2)

    А теперь просто нарисуй круг как можно лучше!

    Как нарисовать круг на компьютере

    Нам нужно изменить формулу, чтобы мы получили «y=».

    У нас должно получиться два уравнения (вверху и внизу круга), которые затем можно построить.

    Пример: График (x−4)

    2 + (y−2) 2 = 25

    Таким образом, центр находится в точке (4,2), а радиус равен √25 = 5

    Переставить, чтобы получить «y=»:

    Начните с: (x−4) 2 + (y−2) 2 = 25

    Сдвинуть (x−4) 2 вправо: (y−2) 2 = 25 − (x−4) 2

    Извлеките квадратный корень: (y−2) = ± √[25 − (x−4) 2 ]

      (обратите внимание на ± «плюс/минус»…
    может быть два квадратных корня!)

    Переместите «−2» вправо: y = 2 ± √[25 − (x−4) 2 ]

     

    Итак, когда мы начертим эти два уравнения, у нас должен получиться круг:

    • у = 2 + √[25 — (x−4) 2 ]
    • у = 2 — √[25 — (х-4) 2 ]

    Попробуйте изобразить эти функции на графике функций.

    Также можно использовать Equation Grapher, чтобы сделать все за один раз. {2}}+x

    Добавьте x к обеим частям уравнения.

    Как найти уравнение окружности

    Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

    Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.2 Tiger Algebra Solver

    Шаг 1 :

     г
     Упростить ——
                a  2  
    Уравнение в конце шага 1 :
     y
      ((((((х  2  )-(у  2  ))-ха)+(а•——))-ху)-ха)-у  2 
                             a  2  

    Шаг 2 :

    Преобразование целого в виде эквивалентной дроби:

     2.1   Прибавление дроби к целому

    Перепишите целое как дробь, используя в качестве знаменателя  a 2 004 x 90 x 90 :

    3 90 — у

    2 2 — ха — у 2 ) • а х 2 — ха — у 2 = ———————————— = —————————————————— 1 год

    Эквивалентная дробь: Образованная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое.

    Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующая в вычислении, имеют один и тот же знаменатель

     2.2 факторинг X 2 — XA — Y 2

    2

    Попытайтесь факторировать эту многорегулируемую Trinomial с использованием пробной пробной и ошибки

    Факторизация не удалась

      
    Добавление фракций, которые имеют общий знаменатель:
     

    2.3. Добавление двух эквивалентные дроби
    Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель

    Объедините числители вместе, подставьте сумму или разность к общему знаменателю, затем приведите к наименьшему члену, если возможно:

     (x  2  -xa-y  2  ) • а + ух  2  а - ха  2  - у  2  а + у
     знак равно
             а а
     
    Уравнение в конце шага 2 :
     (x  2  a - xa  2  - y  2  a + y)
      ((———————————————————— - ху) - ха) - у  2 
                  а
     

    Шаг 3 :

     
    Преобразование целого в виде эквивалентной дроби:
     

     3. 1   Вычитание целого из дроби

    Перепишите целое в виде дроби, используя a в качестве знаменателя:

     xy xy • a
        ху = —— = ——————
              1 год
     
    Сложение дробей, имеющих общий знаменатель:
     

     3.2       Сложение двух равнозначных дробей

     (x  2  a-xa  2  a-xa  2  -x 

    9 2 0 0 2 а - ся - ха 2 - у 2 а + у знак равно —— а а
    Уравнение в конце шага 3 :
     (x  2  a - xya - xa  2  - y  2  a + y)
      (—————————————————————————— - ха) - у  2 
                    а
     

    Шаг 4 :

     
    Преобразование целого в эквивалентную дробь:
     

     4.1   Вычитание целого из дроби

    Перепишите целое в виде дроби, используя a в качестве знаменателя:

     xa xa • a
        ха = —— = ——————
              1 год
     
    Сложение дробей, имеющих общий знаменатель:
     

     4. 2       Сложение двух равнозначных дробей

     (x  2  a-xya-xa •  2  -a+y  ) х  2  а - хя - 2ха  2  - у  2  а + у
     знак равно ———————
                   а а
     
    Уравнение в конце шага 4 :
     (x  2  a - xya - 2xa  2  - y  2  a + y)
      ——————————————————————————— г  2 
                   а
     

    Шаг 5 :

     
    Преобразование целого в виде эквивалентной дроби:
     

     5.1   Вычитание целого из дроби

    Перепишите целое в виде дроби, используя a в качестве знаменателя:

     y  2  y  2  • a
        у  2  = —— = ——————
              1 год
     
    Добавление фракций, которые имеют общий знаменатель:
     

    5.2 Добавление двух эквивалентных фракций

     (x  2  A-XYA-2XA  2  -Y  2  A + Y) - (Y  2  • а) х  2  а - хя - 2ха  2  - 2у  2  а + у
     знак равно —————————
                    а а
     

    Конечный результат:

     x  2  a - xya - 2xa  2  - 2y  2  a + y
      ———————————————————————————
                   а
     

    Однородные уравнения первого порядка

    Однородные уравнения первого порядка

    Функция f ( x,y ) называется однородной степени n , если уравнение

       

    выполняется для всех x,y и z (для которых определены обе стороны).

    Пример 1 : Функция f ( x,y ) = x 2 + y 2 является однородной степени 2, так как

     

    Пример 2 : Функция является однородной степени 4, так как

    Пример 3 : Функция f ( x,y ) = 2 x + y является однородной степени 1, так как

    Пример 4 : Функция f ( x,y ) = x 3 y 2 не является однородной, так как

    , который не равен z n f ( x,y ) для любого n .

    Пример 5 : Функция f ( x,y ) = x 3 sin ( y/x ) является однородной степени 3, так как

    Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если M ( x,y ) и N ( x,y ) являются однородными функциями одной и той же степени.

    Пример 6 : Дифференциальное уравнение

       

    однородный, потому что 9990 м ( x, y ) = x 2 y 2 и n ( x, y ) = xy — однородные функции того же степень (а именно, 2).

    Из этого факта следует метод решения однородных уравнений:

    Замена y = xu (и, следовательно, dy = xdu + udx ) превращает однородное уравнение в разделимое.

    Пример 7 : Решите уравнение ( x 2 y 2 ) dx + xy dy = 0,

    Это уравнение является однородным, как видно из примера 6.Таким образом, чтобы решить ее, сделайте замены y = xu и dy = x dy + u dx :

     

    Это последнее уравнение теперь разделимо (что и было задумано). Приступая к решению,

    Следовательно, решение разделимого уравнения, включающего x и v , можно записать как

     

    Чтобы получить решение исходного дифференциального уравнения (которое включало переменные x и y ), просто заметьте, что

     

    Замена v на y / x в предыдущем решении дает окончательный результат:

     

    Это общее решение исходного дифференциального уравнения.

    Пример 8: Решите IVP

       

    Так как функции

    оба однородны степени 1, дифференциальное уравнение однородно. Подстановки y = xv и dy = x dv + v dx преобразуют уравнение в

    , что упрощается следующим образом:

    Теперь уравнение разделимо. Разделение переменных и интегрирование дает

     

    Интеграл левой части вычисляется после разложения на неполные дроби: 

    Следовательно,

     

    Правая часть (†) сразу интегрируется в

      

    Таким образом, решение разделимого дифференциального уравнения (†) равно

    Теперь замена v на y / x дает

    как общее решение данного дифференциального уравнения.Применение начального условия y (1) = 0 определяет значение константы c :

    Таким образом, частным решением IVP является

       

    , который можно упростить до

    как вы можете проверить.

    Техническое примечание: на шаге разделения (†) обе стороны были разделены на ( v + 1)( v + 2), а v = –1 и v = –2 были потеряны как решения .Однако их не нужно рассматривать, потому что хотя эквивалентные функции y = – x и y = –2 x действительно удовлетворяют данному дифференциальному уравнению, они несовместимы с начальным условием.

    Гипербола

    Гипербола в стандартной форме

    ГиперболаНабор точек на плоскости, расстояния которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами, имеют абсолютную разность, равную положительной постоянной.это множество точек на плоскости, расстояния которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами, имеют абсолютную разность, равную положительной постоянной. Другими словами, если точки F1 и F2 — фокусы, а d — некоторая заданная положительная константа, то (x, y) — точка на гиперболе, если d=|d1−d2| как показано ниже:

    Кроме того, гипербола образуется пересечением конуса с наклонной плоскостью, пересекающей основание. Он состоит из двух отдельных кривых, называемых ветвями. Две отдельные кривые гиперболы.. Точки на отдельных ветвях графа, где расстояние минимально, называются вершинами. Точки на отдельных ветвях гиперболы, где расстояние минимально. Середина между вершинами гиперболы является ее центром. В отличие от параболы гипербола асимптотична к некоторым линиям, проведенным через центр. В этом разделе мы сосредоточимся на графическом отображении гипербол, открывающихся влево и вправо или вверх и вниз.

    Асимптоты показаны пунктиром, так как они не являются частью графика; они просто указывают конечное поведение графа.Уравнение гиперболы с раскрытием влево и вправо в стандартной формеУравнение гиперболы записывается в виде (x−h)2a2−(y−k)2b2=1. Центр (h,k), a определяет поперечную ось, а b определяет сопряженную ось. следует:

    (x−h)2a2−(y−k)2b2=1

    Здесь центр (h,k), а вершины (h±a,k). Уравнение гиперболы, открывающейся вверх и вниз, в стандартной формеУравнение гиперболы записывается в виде (y−k)2b2−(x−h)2a2=1.Центр равен (h,k), b определяет поперечную ось, а a определяет сопряженную ось. следует:

    (y−k)2b2−(x−h)2a2=1

    Здесь центр (h,k) и вершины (h,k±b).

    Асимптоты необходимы для определения формы любой гиперболы. В стандартной форме асимптотами являются прямые, проходящие через центр (h,k) с наклоном m=±ba. Чтобы легко нарисовать асимптоты, мы используем два специальных отрезка, проходящих через центр, используя a и b .Для любой гиперболы поперечная ось — отрезок, образованный вершинами гиперболы. это отрезок, образованный его вершинами. Сопряженная осьОтрезок, проходящий через центр гиперболы и перпендикулярный поперечной оси. это отрезок линии через центр, перпендикулярный поперечной оси, как показано ниже:

    Прямоугольник, определяемый поперечной и сопряженной осями, называется основным прямоугольникомПрямоугольник, образованный с использованием конечных точек гиперболы, поперечной и сопряженной осей. . Линии, проходящие через углы этого прямоугольника, имеют наклон m=±ba. Эти линии являются асимптотами, определяющими форму гиперболы. Следовательно, при заданной стандартной форме многие свойства гиперболы очевидны.

    Уравнение

    Центр

    и

    б

    Открывается

    (x−3)225−(y−5)216=1

    (3,5)

    а=5

    б=4

    Левый и правый

    (у-2)236-(х+1)29=1

    (−1,2)

    а=3

    б=6

    Вверх и вниз

    (у+2)23-(х-5)2=1

    (5,−2)

    а=1

    б=3

    Вверх и вниз

    x249−(y+4)28=1

    (0,−4)

    а=7

    б=22

    Левый и правый

    График гиперболы полностью определяется ее центром, вершинами и асимптотами.

    Пример 1

    График: (x−5)29−(y−4)24=1.

    Решение:

    В этом случае выражение, включающее x , имеет положительный старший коэффициент; следовательно, гипербола открывается влево и вправо. Здесь a=9=3 и b=4=2. От центра (5,4) отметьте точки на 3 единицы влево и вправо, а также на 2 единицы вверх и вниз. Соедините эти точки прямоугольником следующим образом:

    Линии, проведенные через углы этого прямоугольника, определяют асимптоты.

    Используйте эти пунктирные линии в качестве ориентира для построения графика гиперболы, открывающейся слева и справа и проходящей через вершины.

    Ответ:

    Пример 2

    График: (y−2)24−(x+1)236=1.

    Решение:

    В этом случае выражение, включающее y , имеет положительный старший коэффициент; следовательно, гипербола открывается вверх и вниз. Здесь a=36=6 и b=4=2. От центра (−1,2) отметьте точки на 6 единиц влево и вправо, а также на 2 единицы вверх и вниз. Соедините эти точки прямоугольником. Линии, проходящие через углы этого прямоугольника, определяют асимптоты.

    Используйте эти пунктирные линии в качестве руководства для построения графика гиперболы, открывающейся вверх и вниз и проходящей через вершины.

    Ответ:

    Примечание : Когда задана гипербола, открывающаяся вверх и вниз, как в предыдущем примере, распространенной ошибкой является перестановка значений для центра, h и k .Это так, потому что количество, включающее переменную y , обычно появляется первым в стандартной форме. Позаботьтесь о том, чтобы y -значение центра было получено из количества, включающего переменную y , а x -значение центра было получено из количества, включающего переменную x .

    Как и на любом графике, нас интересует нахождение точек пересечения x и y .

    Пример 3

    Найдите точки пересечения: (y−2)24−(x+1)236=1.

    Решение:

    Чтобы найти пересечения x , установите y=0 и найдите x .

    (0−2)24−(x+1)236=11−(x+1)236=1−(x+1)236=0(x+1)2=0x+1=0x=−1

    Следовательно, есть только один отрезок x (−1,0). Чтобы найти точку пересечения y , установите x=0 и найдите y .

    (у-2)24-(0+1)236=1(у-2)24-136=1(у-2)24=3736(у-2)2=±376у-2=±373у=2 ±373=6±373

    Следовательно, есть два y -перехвата, (0,6−373)≈(0,−0.03) и (0,6+373)≈(0,4,03). Найдите минутку, чтобы сравнить их с наброском графика в предыдущем примере.

    Ответ: x -пересечение: (−1,0); и — отрезки: (0,6−373) и (0,6+373).

    Рассмотрим гиперболу с центром в начале координат,

    9×2−5y2=45

    Стандартная форма требует, чтобы одна сторона была равна 1. В этом случае мы можем получить стандартную форму, разделив обе стороны на 45.

    9×2−5y245=45459×245−5y245=4545×25−y29=1

    Это можно записать следующим образом:

    (х-0)25-(у-0)29=1

    В этой форме ясно, что центр равен (0,0), a=5 и b=3.График следует.

    Попробуйте! График: y225−(x−5)29=1.

    Ответ:

    Идентификация конических сечений

    В этом разделе задача состоит в том, чтобы идентифицировать коническое сечение по заданному уравнению в общем виде. Чтобы различать конические сечения, используйте показатели степени и коэффициенты. Если уравнение квадратично только по одной переменной и линейно по другой, то его график будет параболой.

    Парабола: a>0

     

    y=a(x−h)2+ky=ax2+bx+c

    x=a(y−k)2+hx=ay2+by+c

    Парабола: a<0

     

    y=a(x−h)2+ky=ax2+bx+c

    x=a(y−k)2+hx=ay2+by+c

    Если уравнение квадратное по обеим переменным, где коэффициенты при квадратах членов одинаковы, то его график будет представлять собой окружность.

    Круг:

     

    (x−h)2+(y−k)2=r2x2+y2+cx+dy+e=0

    Если уравнение является квадратным по обеим переменным, где коэффициенты при квадратах членов различны, но имеют одинаковый знак, то его график будет эллипсом.

    Эллипс: a,b>0 и p,q>0

     

    (x−h)2a2+(y−k)2b2=1px2+qy2+cx+dy+e=0

    Если уравнение квадратное по обеим переменным, где коэффициенты при квадратах членов имеют разные знаки, то его график будет гиперболой.

    Гипербола: a,b>0 и p,q>0

     

    (x−h)2a2−(y−k)2b2=1px2−qy2+cx+dy+e=0

    (y−k)2b2−(x−h)2a2=1qy2−px2+cx+dy+e=0

    Пример 5

    Определите график каждого уравнения как параболу, окружность, эллипс или гиперболу.

    1. 4×2+4y2−1=0
    2. 3×2−2y2−12=0
    3. х-у2-6у+11=0

    Решение:

    1. Уравнение является квадратным как для x , так и для y , где старшие коэффициенты для обеих переменных одинаковы, 4.

      4×2+4y2-1=04×2+4y2=1×2+y2=14

      Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1/2.

    2. Уравнение является квадратным как для x , так и для y , где старшие коэффициенты для обеих переменных имеют разные знаки.

      3×2−2y2−12=03×2−2y212=1212×24−y26=1

      Это уравнение гиперболы, открывающейся влево и вправо с центром в начале координат.

    3. Уравнение является квадратным только для и .

      x−y2+6y−11=0x=y2−6y+​​​​        +11x=(y2−6y +9)+11 −9x=(y−3)2+2

      Это уравнение параболы, раскрывающейся вправо с вершиной (2,3).

    Ответ:

    1. Круг
    2. Гипербола
    3. Парабола

    Ключевые выводы

    • График гиперболы полностью определяется ее центром, вершинами и асимптотами.
    • Центр, вершины и асимптоты очевидны, если уравнение гиперболы задано в стандартной форме: (x−h)2a2−(y−k)2b2=1 или (y−k)2b2−(x−h) 2а2=1.
    • Чтобы построить гиперболу, отметьте точки a единиц слева и справа от центра и точки b единиц вверх и вниз от центра. Используйте эти точки, чтобы нарисовать основной прямоугольник; линии, проходящие через углы этого прямоугольника, являются асимптотами. Если коэффициент x2 положителен, проведите ветви гиперболы, открывающиеся влево и вправо через точки, определяемые и .Если коэффициент при y2 положительный, проведите ветви гиперболы, открывающиеся вверх и вниз через точки, определяемые b .
    • Ориентация поперечной оси зависит от коэффициента x2 и y2.
    • Если уравнение гиперболы задано в общем виде px2−qy2+cx+dy+e=0 или qy2−px2+cx+dy+e=0, где p,q>0, сгруппируйте члены с одинаковыми переменными, и заполните квадрат для обеих групп, чтобы получить стандартную форму.
    • Мы распознаем уравнение гиперболы, если оно квадратично как в x , так и в y , где коэффициенты при квадратах членов противоположны по знаку.

    Тематические упражнения

      Часть A: Гипербола в стандартной форме

        Имея уравнение гиперболы в стандартной форме, определите ее центр, направление разворота графика и вершины.

        Определите стандартную форму уравнения гиперболы, учитывая следующую информацию.

      1. Центр (2,7), a=6, b=3, открывается влево и вправо.

      2. Центр (−9,1), a=7, b=2, открывается вверх и вниз.

      3. Центр (10,−3), a=7, b=52, открывается вверх и вниз.

      4. Центр (−7,−2), a=33, b=5, открывается влево и вправо.

      5. Центр (0,−8), a=2, b=1, открывается вверх и вниз.

      6. Центр (0,0), a=26, b=4, открывается влево и вправо.

        Граф.

        Найдите точки пересечения x и y .

      1. Найдите уравнение гиперболы с вершинами (±2,3) и сопряженной осью, которая измеряет 12 единиц.

      2. Найдите уравнение гиперболы с вершинами (4,7) и (4,3) и сопряженной осью, равной 6 единицам.

      Часть B: Гипербола в общей форме

        Переписать в стандартной форме и графике.

      1. 4×2−9y2+16x+54y−101=0

      2. 9×2-25y2-18x-100y-316=0

      3. 4у2-16х2-64х+8у-124=0

      4. 9y2-4×2-24x-72y+72=0

      5. у2-36х2-72х-12у-36=0

      6. 25×2−64y2+200x+640y−2,800=0

      7. 49y2−4×2+40x+490y+929=0

      8. 4×2−8y2−24x+80y−196=0

      9. 3y2-x2-2x-6y-16=0

      10. 12y2−5×2+40x+48y−92=0

      11. 4×2−16y2+12x+16y−11=0

      12. 4×2-y2-4x-2y-16=0

        Учитывая общий вид, определить точки пересечения.

      1. 3×2-y2-11x-8y-4=0

        Найдите уравнения асимптот данной гиперболы.

      1. 16×2-4y2-24y-96x+44=0.

      2. 4y2-x2-8y-4x-4=0.

        По заданному графику гиперболы определите ее уравнение в общем виде.

      Часть C. Определение конических сечений

        Определите следующее как уравнение линии, параболы, окружности, эллипса или гиперболы.

      1. 8×2+4y2-144x-12y+641=0

        Определите конические сечения и запишите в стандартной форме.

      1. х2-2у2-4х-12у-18=0

      2. 25y2-2×2+36x-50y-187=0

      3. 16×2−4y2−32x+20y−25=0

      4. 16×2+12y2-24x-48y+9=0

      Часть D: Дискуссионная доска

      1. Разработайте формулы уравнений асимптот гиперболы. Поделитесь им вместе с примером на доске обсуждений.

      2. Составьте собственное уравнение гиперболы, запишите его в общем виде и начертите на графике.

      3. Все ли гиперболы имеют точки пересечения? Каково возможное количество точек пересечения гиперболы? Объяснять.

      4. Изучите и обсудите примеры гипербол из реального мира.

    ответы

    1. Центр: (6,−4); а=4; б=3; открывается влево и вправо; вершины: (2,−4), (10,−4)

    2. Центр: (0,−9); а=1, б=5; открывается вверх и вниз; вершины: (0,−9−5), (0,−9+5)

    3. Центр: (−1,−10); а=2, б=5; открывается вверх и вниз; вершины: (−1,−15), (−1,−5)

    4. х — отрезки: (1±35,0); г -перехваты: нет

    5. x -перехваты: нет; y — отрезки: (0,3±373)

    6. x -точки пересечения: (±302,0); г -перехваты: нет

    7. x -отсечения: (±12,0); г -перехваты: нет

    1. (х+2)29-(у-3)24=1;

    2. (у+1)216-(х+2)24=1;

    3. (у-6)236-(х+1)2=1;

    4. x24-(y-3)236=1;

    5. (х+4)264-(у-5)225=1;

    6. (х+4)22-(у-2)23=1;

    7. (у-1)26-(х+1)218=1;

    8. (х+32)24-(у-12)21=1;

    9. у29-(х-32)2=1;

    10. x -точки пересечения: (−13,0), (4,0); г -пересечения: (0,−4±23)

    11. x -точки пересечения: (−1±5,0); г -перехваты: нет

    12. x — точки пересечения: (0,0), (45,0); г -пересечения: (0,0), (0,−32)

    13. 25y2−4×2−100y+8x−4=0

    1. Гипербола; (х-2)24-(у+3)22=1

    2. Эллипс; (х−6)24+(у+2)27=1

    3. Круг; (х+12)2+(у-4)2=9

    4. Парабола; х=2(у-13)2-1

    MCQ по дискретной математике (вопросы с несколькими вариантами ответов)

    1) Если x — это множество, и это множество содержит целое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным, то множество x равно ____________.

    1. Пустой набор
    2. Набор не пуст
    3. Набор конечен.
    4. Набор одновременно непустой и конечный.
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) Множество непусто и конечно.

    Объяснение: Задан непустой и конечный набор {0}.


    2) Если x ∈ N и x простое число, то x является ________ множеством.

    1. Бесконечный набор
    2. Конечный набор
    3. Пустой набор
    4. Не в комплекте
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) Бесконечное множество

    Объяснение: Крайнего простого числа не существует, поэтому число простых чисел бесконечно.


    3) Если x является набором и набор содержит действительное число от 1 до 2, то набор ________.

    1. Пустой набор
    2. Конечный набор
    3. Бесконечный набор
    4. Ни один из упомянутых
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) Бесконечное множество.

    Объяснение: X — бесконечное множество, так как существует бесконечно много действительных чисел между 1 и 2.


    4) Что из следующего является подмножеством множества {1, 2, 3, 4}?

    1. {1, 2}
    2. {1, 2, 3}
    3. {1}
    4. Все перечисленные
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) Все перечисленные

    Объяснение: Подмножеством набора (1, 2, 3, 4} является {1, 2}, {1, 2, 3} и {1}.


    5) Преобразовать набор x в форму реестра, если набор x содержит положительное простое число, которое делит 72.

    1. {∅}
    2. {2, 3}
    3. {2, 3, 7}
    4. {3, 5, 7}
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) {2, 3}

    Пояснение: 2 и 3 являются делителями числа 72, которое является простым числом. Итак, реестровая форма набора x (2, 3}.


    6) Пустой или нулевой набор мощности имеет ровно _________ подмножества.

    1. Один
    2. Два
    3. Ноль
    4. Три
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) Один

    Объяснение: Набор мощности нулевого набора имеет ровно одно подмножество, которое является пустым.


    7) Чему равно декартово произведение множества A и множества B, если множество A = {1, 2}, а множество B = {a, b}?

    1. { (1, а), (1, б), (2, а), (б, б) }
    2. { (1, 1), (2, 2), (а, а), (б, б) }
    3. { (1, а), (2, а), (1, б), (2, б) }
    4. { (1, 1), (а, а), (2, а), (1, б) }
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) { (1, а), (2, а), (1, б), (2, б) }

    Объяснение: Подмножество R декартова произведения A x B является отношением множества A к множеству B.


    8) Члены множества S = {x | х — квадрат целого числа, а х

    1. {0, 2, 4, 5, 9, 55, 46, 49, 99, 81}
    2. {1, 4, 9, 16}
    3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
    4. {0, 1, 4, 9, 25, 36, 49, 123}
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}

    Объяснение: Множество S содержит квадрат целого числа, меньшего 10. Поэтому согласно данному множеству правильный третий вариант.


    9) Пересечением множеств {1, 2, 8, 9, 10, 5} и {1, 2, 6, 10, 12, 15} является множество _____________

    1. {1, 2, 10}
    2. {5, 6, 12, 15}
    3. {2, 5, 10, 9}
    4. сд) {1, 6, 12, 9, 8}
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) {1, 2, 10}

    Объяснение: Пересечение двух множеств — это множество, содержащее общие элементы обоих заданных множеств. Поэтому по заданным наборам правильный первый вариант.


    10) Разность {1, 2, 3, 6, 8} и {1, 2, 5, 6} есть множество ____________

    1. {1, 3}
    2. {5, 6, 8}
    3. {3, 8}
    4. {2, 6, 5}
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) {3, 8}

    Объяснение: «Разность множеств A и B» (A-B) — это множество, содержащее элементы, которые входят в множество A, но не входят в множество B.


    11) Если n(A) = 20, n(B) = 30 и n(A U B) = 40, то n(A ∩ B) равно?

    1. 20
    2. 30
    3. 40
    4. 10
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) 10

    Объяснение: Используя формулу, мы можем вычислить n(A ∩ B),

    n(A U B) = n(A) + n(B) — n(A ∩ B).

    n(A ∩ B) = n(A) + n(B) — n(A U B)

    n(A ∩ B) = 20 + 30 — 40

    Итак, n(A ∩ B) = 10


    12) Пусть игроков, играющих в крикет, 12, игроков в футбол — 10, игроков, играющих только в крикет, — 6, тогда количество игроков, играющих только в футбол, равно ___________, при условии, что всего 16 игроков.

    1. 16
    2. 8
    3. 4
    4. 10
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) 4

    Объяснение: Нет


    13) Что из перечисленного можно принять за дискретный объект?

    1. Люди
    2. Рациональные числа
    3. Целые числа
    4. Все перечисленные
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) Все перечисленные

    Объяснение: Дискретный объект включает людей, дома, рациональные числа, целые числа, автомобили.


    14) Какой вариант содержит два одинаковых набора?

    1. X = {5, 6} и Y = {6}
    2. X = {5, 6, 8, 9} и Y = {6, 8, 5, 9}
    3. X = {5, 6, 9} и Y = {5, 6}
    4. X = {5, 6} и Y = {5, 6, 3}
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) X = {5, 6, 8, 9} и Y = {6, 8, 5, 9}

    Объяснение: Второй вариант верен, так как наборы X и Y содержат одни и те же элементы.


    15) Мощность множества Power множества {1, 5, 6} равна______________.

    1. 5
    2. 6
    3. 8
    4. 10
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) 8

    Объяснение: Набор мощности любого набора — это набор всех его подмножеств. Итак, P({1, 5, 6}) = {null, {1}, {5}, {6}, {1, 5}, {1,6}, {5, 6}, {1, 5 , 6}}. Силовой набор данного набора состоит из 8 элементов. Поэтому 8 — мощность данного множества.


    16) Декартово произведение (множества Y) x (множества X) равно декартовому произведению (множества X) x (множества Y) или нет?

    1. Да
    2. Ничего из вышеперечисленного
    3. Не знаю
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) Нет

    Объяснение: Декартово произведение (Набора Y) x (Набора X) не равно декартовому произведению (Набора X) x (Набора Y).

    Предположим, что X = {5, 6, 7} и Y = {a, b, c}. Декартово произведение (множества X) x (множества Y) = {(5, а), (5, б), (5, в), (6, а), (6, б), (6, в) , (7, a), (7, b), (7, c)} и декартово произведение (множества Y) x (множества X) = {(a, 5), (a, 6), (a, 7), (б, 5), (б, 6), (б, 7), (в, 5), (в, 6), (в, 7)}. Итак, оба декартовых произведения не равны.


    17) Сколько элементов в множестве мощности множества A = {{Ф}, {Ф, {Ф}}}?

    1. 4 элемента
    2. 2 элемента
    3. 6 элементов
    4. 5 элементов
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) 4 элемента

    Объяснение: Набор A содержит два элемента.Итак, количество элементов в наборе мощности множества A равно 4.


    18) На сколько типов в целом можно разделить математику?

    1. 3 типа
    2. 2 типа
    3. 5 типов
    4. 4 типа
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) 2 типа

    Объяснение: Математику можно разделить на непрерывную и дискретную математику.


    19) Какая из следующих функций не является математической функцией?

    1. многие к одному
    2. один ко многим
    3. один к одному
    4. Все перечисленные
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) один ко многим

    Объяснение: Нет


    20) Какая из следующих функций также называется инъективной функцией?

    1. Многие к одному
    2. На
    3. Один на один
    4. Ни один из упомянутых
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) Один к одному.

    Объяснение: Инъективная функция или функция «один-к-одному» — это функция, которая соединяет один элемент домена с одним элементом совместного домена.


    21) Сколько впрысков определено из множества A в множество B, если множество A состоит из 4 элементов, а множество B состоит из 5 элементов?

    1. 24
    2. 64
    3. 144
    4. 120
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) 120

    Объяснение: 120 вводов определяются из набора A в набор B, если набор A состоит из 4 элементов, а набор B состоит из 5 элементов. Используя следующую формулу, мы можем легко рассчитать инъекции:

    Количество инъекций от набора A до набора B= 5p 4

    5! / (5 — 4)! = 5 х 4 х 3 х 2 = 120


    22) Функция (gof) есть _________ , если функции f и g находятся на функции?

    1. В работе
    2. функция «один к одному»
    3. на функцию
    4. функция «один ко многим»
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) на

    Объяснение: Функция (gof) также является «онто-функцией», если функции f и g являются «онто-функцией».


    23) Сколько байтов необходимо для кодирования 2000 бит данных?

    1. 5 байт
    2. 2 байта
    3. 4 байта
    4. 8 байт
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) 2 байта

    Объяснение: Для кодирования 2000 бит данных требуется всего 2 байта.


    24) Мощность множества четных натуральных чисел меньше 20 равна__________?

    1. 8
    2. 10
    3. 9
    4. 12
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) 9

    Объяснение: Количество элементов множества четных положительных целых чисел меньше 20 равно 9, поскольку множество содержит 9 элементов. В наборе девять элементов: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.


    25) Если X = {2, 8, 12, 15, 16} и Y = {8, 16, 15, 18, 9}, то объединение X и Y равно ___________.

    1. {2, 8, 12, 15, 16}
    2. {8, 16, 15}
    3. {8, 16, 15, 18, 9}
    4. {2, 8, 9, 12, 15, 16, 18}
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) {2, 8, 9, 12, 15, 16, 18}

    Объяснение: Из обоих данных наборов X и Y 8, 16 и 15 должны быть взяты один раз, потому что эти элементы являются общими для обоих наборов.Таким образом, правильное объединение X и Y — это {2, 8, 9, 12, 15, 16, 18}.


    26) Что такое функция этажа?

    1. Сопоставляет действительное число с наибольшим предыдущим целым числом
    2. Сопоставляет действительное число с наименьшим предыдущим целым числом
    3. Сопоставляет действительное число с наименьшим последующим целым числом
    4. Ни один из упомянутых
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) Сопоставляет действительное число с наибольшим предыдущим целым числом

    Объяснение: Функция этажа f(x) отображает действительное число x в наибольшее целое число, которое не больше значения x.


    27) Что такое функция Ceil?

    1. Сопоставляет действительное число с наибольшим предыдущим целым числом
    2. Сопоставляет действительное число с наименьшим предыдущим целым числом
    3. Сопоставляет действительное число с наименьшим последующим целым числом
    4. Ни один из упомянутых
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: c) Сопоставляет действительное число с наименьшим последующим целым числом.

    Объяснение: Функция этажа f(x) отображает действительное число x в наименьшее целое число, которое не меньше значения x.


    28) Каково значение Floor(8.4) + Ceil(9.9)?

    1. 18
    2. 19
    3. 20
    4. 17
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) 18

    Объяснение: Значение Floor(8.4) + Ceil(9.9) равно 18, поскольку значение Floor(8.4) равно 8, а значение Ceil(9.9) равно 10. Таким образом, 8+10 равно 18


    29) Если a и b — два положительных числа, которые меньше единицы, то максимальное значение Floor(a+b) и Ceil(a+b) равно?

    1. Этаж (a+b) равен 0, а потолок (a+b) равен 1.
    2. Этаж (a+b) равен 1, а потолок (a+b) равен 0.
    3. Этаж (a+b) равен 1, а потолок (a+b) равен 2.
    4. Этаж (a+b) равен 2, а потолок (a+b) равен 1
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: c) Этаж (a+b) равен 1, а потолок (a+b) равен 2.

    Объяснение: Согласно вопросу,


    30) Сколько существует отношений между множеством X и множеством Y, если множество X и множество Y состоят из 7 и 8 элементов?

    1. 2 56
    2. 2 72
    3. 3 56
    4. 56
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) 2 56

    Объяснение: От множества X к множеству Y существует 2 mn число отношений, где m — элементы множества X, а n — элементы множества Y. Итак, 2 7 х 8 = 2 56 .


    31) Количество рефлексивных замыканий отношения {(0,1), (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,0)} на множество {0, 1, 2, 3} есть________.

    1. 36
    2. 8
    3. 6
    4. 2 6
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) 6

    Объяснение: Нет


    32) Число транзитивных замыканий существует в отношении R = {(0,1), (1,2), (2,2), (3,4), (5,3), (5,4 )} где {1, 2, 3, 4, 5} ∈ A есть__________.

    1. {(0,1), (0,2), (1,2), (2,2), (3,4), (5,3), (5,4)}
    2. {(0,0), (4,4), (5,5), (1,1), (2,2), (3,3)}
    3. {(0,1), (1,2), (2,2), (3,4)}
    4. {(0,1), (5,3), (5,4), (1,1), (2,2)}
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) {(0,1), (0,2), (1,2), (2,2), (3,4), (5,3), (5,4)}

    Объяснение: Нет


    33) Какое утверждение неверно, если X и Y — два непустых отношения на множестве S.

    1. Если X и Y транзитивны, то пересечение X и Y также транзитивно.
    2. Если X и Y рефлексивны, то пересечение X и Y также рефлексивно.
    3. Если X и Y симметричны, то объединение X и Y не симметрично.
    4. Если X и Y транзитивны, то объединение X и Y не транзитивно.
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) Если X и Y транзитивны, то объединение X и Y не транзитивно.

    Объяснение: Нет


    34) Какой вариант является отрицанием битов «1001011»?

    1. 11011011
    2. 10110100
    3. 0110100
    4. 1100100
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) 0110100

    Объяснение: Отрицание данных битов является противоположным значением битов.Если значение бита равно 1, то его значение отрицания равно 0. И, если значение бита равно 0, то его значение отрицания равно 1. Вот почему отрицание «1001011» равно «0110100».


    35) Каков результат X (Ex-или) Y, если биты X равны 001101, а биты Y равны 100110?

    1. Выход X (Ex-или) Y равен 101011
    2. Выход X (Ex-or) Y равен 1101010
    3. Выход X (Ex-or) Y равен 101000
    4. Выход X (Ex-or) Y равен 0010101
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) Выход X (Ex-or) Y равен 101011

    Объяснение: Результирующий выход операции Ex-or равен 0, если оба входа совпадают, иначе 1.Вот почему результирующий вывод заданных битов равен 101011.


    36) Булева алгебра имеет дело со сколькими значениями.

    1. Работает только с четырьмя дискретными значениями.
    2. Работает только с пятью дискретными значениями.
    3. Работает только с тремя дискретными значениями.
    4. Работает только с двумя дискретными значениями.
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) Он имеет дело только с двумя дискретными значениями.

    Объяснение: Булева алгебра имеет дело только с двумя дискретными значениями, 0 и 1.0 означает ложь, а 1 означает истину.


    37) Какой из следующих законов булева доказательства X.X=X?

    1. Закон о личности
    2. Закон двойного дополнения
    3. Закон о дополнении
    4. Закон идемпотента
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) Закон идемпотента.

    Объяснение: Идемпотент Закон доказательства формы И и формы ИЛИ. Это доказывает X+X=X и X.X=X.


    38) Согласно симметричной матрице, какое из следующих утверждений верно?

    1. А = А Т
    2. Все диагональные элементы симметричной матрицы равны единице.
    3. А = -А Т
    4. Все диагональные элементы симметричной матрицы равны нулю.
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) А = А Т

    Объяснение: Симметричная матрица — это квадратная матрица. Поэтому его транспонирование равно заданной симметричной матрице.


    39) Какая из следующих матриц имеет только одну строку и несколько столбцов?

    1. Диагональная матрица
    2. Матрица строк
    3. Матрица столбцов
    4. Ни один из упомянутых
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: b) Матрица-строка

    Объяснение: Матрица строк — это матрица, состоящая из одной строки и нескольких столбцов.Порядок матрицы строк равен 1 x N, где N — количество столбцов матрицы строк.

    Ниже приведены различные примеры матрицы строк:

    1. [ 6 5 4 ]: порядок этой матрицы 1 x 3, т. е. 1 строка и три столбца.

    2. [ 0 ]: порядок этой матрицы 1 x 1, т. е. 1 строка и 1 столбец.

    3. [ 1 2 0 6 8 9 ]: порядок этой матрицы 1 x 6, т. е. 1 строка и 6 столбцов.


    40) Какая из следующих матриц имеет только один столбец и несколько строк?

    1. Диагональная матрица
    2. Матрица строк
    3. Матрица столбцов
    4. Ни один из упомянутых
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: c) Матрица-столбец.

    Объяснение: Матрица-столбец — это матрица, состоящая из одного столбца и нескольких строк. Порядок матрицы-строки равен N x 1, где N — количество строк матрицы-столбца.


    41) Какое из следующих условий верно, если мы хотим сложить две матрицы?

    1. Обе строки и столбцы обеих матриц, которые мы хотим добавить, одинаковы
    2. Столбцы обеих матриц, которые мы хотим сложить, равны
    3. Строки обеих матриц, которые мы хотим добавить, одинаковы
    4. количество строк первой матрицы должно быть равно номеру столбца второй матрицы, который мы хотим добавить.
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) Обе строки и столбцы обеих матриц, которые мы хотим сложить, одинаковы.

    Объяснение: Если мы хотим сложить две матрицы, то порядок их строк и столбцов будет одинаковым.


    42) A+B = B+A является истинным или ложным утверждением, если порядок матрицы A и матрицы B одинаков.

    1. Ложь
    2. Правда
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) Правда

    Объяснение: A+B = B+A является верным утверждением, поскольку сложение двух матриц является коммутативным.


    43) XY = YX является истинным или ложным утверждением, если порядок матрицы A и матрицы B одинаков.

    1. Ложь
    2. Правда
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) Неверно

    Объяснение: XY = YX является ложным утверждением, поскольку умножение двух матриц не является коммутативным.


    44) Универсальный логический вентиль__________.

    1. ИЛИ
    2. НЕ
    3. НЕ-И
    4. И
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) НЕ-И

    Объяснение: И-НЕ — это логический элемент, который может легко реализовать или создать все остальные логические элементы без помощи трех основных логических элементов.


    45) В каком году Морис Карно ввел карту Карно?

    1. 1953
    2. 1956
    3. 1952
    4. 1950
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) 1953

    Пояснение: В 1953 году Морис Карно изобрел карту Карно.


    46) Канонические формы логического выражения имеют _______ типов.

    1. Три типа
    2. Четыре типа
    3. Два типа
    4. Пять типов
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: в) Два типа.

    Объяснение: Каноническая форма для логического выражения имеет два типа. Первая форма представляет собой произведение максимальных терминов, а другая форма представляет собой сумму минимальных терминов.


    47) Булева алгебра используется ____________.

    1. в построении алгебраических функций.
    2. в построении логических символов.
    3. по теории цепей.
    4. в разработке цифровых вычислительных машин.
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) при проектировании цифровых вычислительных машин.

    Объяснение: Булева алгебра широко используется при проектировании цифровых компьютеров и различных электронных схем.


    48) Булева алгебра имеет дело со сколькими значениями.

    1. Работает только с четырьмя дискретными значениями.
    2. Работает только с пятью дискретными значениями.
    3. Работает только с тремя дискретными значениями.
    4. Работает только с двумя дискретными значениями.
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: г) Он имеет дело только с двумя дискретными значениями.

    Объяснение: Булева алгебра имеет дело только с двумя дискретными значениями: 0 и 1. 0 означает ложь, а единица — истину.


    49) При каком поиске каждый элемент сравнивается с искомым элементом до тех пор, пока он не будет найден?

    1. Объединить поиск
    2. Последовательный поиск
    3. Бинарный поиск
    4. ни один из упомянутых
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) Последовательный поиск

    Объяснение: Алгоритм последовательного или линейного поиска сравнивает каждый элемент заданного списка один за другим с искомым элементом до тех пор, пока искомый элемент не будет найден.


    50) Если пользователь хочет отсортировать несортированный список из n элементов, то сортировка вставками начинается с того, какой элемент списка.

    1. Первый элемент списка
    2. второй элемент списка
    3. Третий элемент списка
    4. Четвертый элемент списка
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: б) второй элемент списка

    Объяснение: Если пользователь хочет отсортировать несортированный список из n элементов с помощью сортировки вставками.Затем алгоритм сортировки начинает сортировку со второго элемента списка.


    51) Какова сложность алгоритма пузырьковой сортировки?

    1. О(н 2 )
    2. О(н)
    3. О(лог n)
    4. О(n log n)
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) O(n 2 )

    Объяснение: O(n 2 ) — сложность алгоритма пузырьковой сортировки, где n — количество отсортированных элементов списка.


    52) Каков наихудший случай алгоритма линейного поиска?

    1. Когда элемент поиска находится в середине списка.
    2. Когда искомый элемент является последним элементом в списке.
    3. Когда поиск недоступен в списке.
    4. Когда искомый элемент является последним элементом в списке или отсутствует в списке.
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: d) Когда искомый элемент является последним элементом в списке или отсутствует в списке.

    Объяснение: Наихудший случай алгоритма линейного поиска — это когда искомый элемент является последним элементом в списке или отсутствует в списке.


    53) Какой алгоритм использует предыдущие выходные данные для поиска новых выходных данных?

    1. Алгоритмы динамического программирования
    2. Алгоритм «разделяй и властвуй»
    3. Алгоритм грубой силы
    4. Никто из них
    Показать ответ Рабочее пространство

    Ответ: а) Алгоритмы динамического программирования

    Объяснение: Алгоритмы динамического программирования — это алгоритмы, которые находят новые результаты, используя предыдущие результаты той же задачи.

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.