Стереометрия задачи: Примеры решения задач по стереометрии

Содержание

Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия)

Пособие содержит задачи по стереометрии и задачи на разрезание и складывание фигур на плоскости и в пространстве. Ко всем задачам даны подробные решения и указания, которыми можно воспользоваться при самостоятельной работе. Некоторые условия задач снабжены пояснениями. Для учащихся и преподавателей школ, гимназий, лицеев с углубленным изучением физико-математических дисциплин, для подготовки к конкурсным экзаменам в вузы, а также для лиц, занимающихся самообразованием.

Автор
Издательство ООО «Физматлит»
Дата издания 2015
Кол-во страниц 256
ISBN 978-5-9221-1623-7
Тематика Математика (егэ,вуз)
Вес книги 380 г
№ в каталоге 1746

Категории: Для подготовки к ЕГЭ и поступлению в ВУЗ

Основные типы базовых задач по стереометрии

Теорема 2.

Если ортогональная проекция на плоскость π переводит прямую а в точкуА’, а прямую bв прямую b’, то расстояние AB между скрещивающимися прямыми a и равно расстоянию A’B’ от точки A’до прямой b’.

Угол между прямыми, прямой и плоскостью.

·        Угол между двумя прямыми.

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами, лежащими на этих прямых, с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90˚.

·        Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Угол между плоскостями

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных соответствующими полуплоскостями.           

Двугранный угол измеряется соответствующим ему линейным углом.

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90˚.


 




















Задачи с решениями по теме «Стереометрия на ЕГЭ по математике»

Стереометрия на ЕГЭ по математике

Автор Сергей

Среда, Май 23, 2012

Стереометрии в экзаменационных вариантах ЕГЭ по математике посвящены задачи B9 и C2, первые попроще, вторые посложнее.

О некоторых методах решения задач C2 можно почитать в статье «Как решать задачи C2 ЕГЭ по математике — советы репетитора». В данной статье мы подробно остановимся на решении задач B9. Причем как репетитор по физике и математике постараюсь построить изложение таким образом, что через решение простых заданий B9 мы будем переходить к решению более сложных задач C2 по стереометрии из ЕГЭ, связанных с теми же пространственными фигурами и величинами. Как всегда материал будем разбирать на конкретных примерах из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с параллелепипедом

Пример 1. Найдите диагональ прямоугольного параллеле-пипеда, если она наклонена к его грани под углом  а стороны этой грани равны  и 

Чертеж к заданию

Решение. Так как  — параллелепипед, то  а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и  То есть треугольник  — прямоугольный, гипотенузой в нем будет являться искомая диагональ 

Из прямоугольного треугольника  находим гипотенузу Для прямоугольного треугольника имеем  то есть 

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна  и наклонена к плоскости его грани под углом  Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное плоскости этой грани.

Показать ответ

Пример 2. Основанием прямого параллелепипеда  является ромб , сторона которого равна  а угол  равен . Найдите расстояние от точки  до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 

Рисунок к заданию с выноской

Решение. Искомое расстояние есть высота треугольника проведенная из вершины  Ищем стороны данного треугольника. Ребро  Из прямоугольного треугольника  находим 

Далее  Из теоремы косинусов для треугольника  получаем, что  откуда  Из прямоугольного треугольника  находим 

Из теоремы косинусов для треугольника  получаем, что  откуда  Тогда  Площадь треугольника равна  С другой стороны  Следовательно, 

Здесь мы воспользовались приемом сведения задачи по стереометрии из ЕГЭ к задаче по планиметрии. Как видите, в данном случае такой способ решения нельзя назвать наиболее рациональным. И все же он не лишен права на существование. Подробнее о решении планиметрических задач из ЕГЭ по математике читайте в статье «Решение задач C4».

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №2.

 Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник  боковая сторона которого равна  а угол  равен  Найдите расстояние от точки  до прямой  если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с пирамидой

Пример 3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна  Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом  Найдите боковое ребро пирамиды.

Чертеж к заданию

Решение.  Угол наклона бокового ребра к плоскости основания есть угол между этим боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, то есть угол  где  — перпендикуляр из вершины  на плоскость  (высота пирамиды). Для прямоугольного треугольника  имеем  откуда 

Задача для самостоятельного решения №3. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Показать ответ

Пример 4. В правильной четырехугольной пирамиде  с вершиной  сторона основания равна высота  Найдите расстояние от вершины  до грани 

Чертеж к задаче

Решение.  лежит в плоскости   в этой плоскости не лежит и параллельна  следовательно,  параллельна  Ищем расстояние из точки  (середины ), оно будет равно искомому расстоянию из точки  что следует из доказанного выше.

Точка  находится в центре основания  поскольку пирамида правильная. То есть  Из прямоугольного треугольника  находим  Площадь треугольника  с одной стороны есть  а с другой стороны  Сравнивая полученные результаты, получаем, что 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №4.  В правильной четырехугольной пирамиде  все ребра которой равны найдите расстояние между прямыми  и 

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные c цилиндром

Пример 5. Радиус основания цилиндра равен  Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если она наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 

Чертеж к задаче

Решение. Искомую диагональ ищем из прямоугольного треугольника  По определению косинуса получаем:  откуда находим 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №5. Образующая цилиндра равна  Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания цилиндра под углом  Найдите радиус основания цилиндра.

Показать ответ

Пример 6. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен .

На рисунке r — радиус основания, l — образующая цилиндра

Решение. Из рисунка видно, что периметр осевого сечения цилиндра определяется по формуле:  или, что тоже самое,  Площадь осевого сечения равна  с учетом  получаем 

Полученное выражение представляет собой квадратичную функцию  от переменной . Наибольшее значение она принимает в вершине соответствующей параболы, то есть в точке  При этом образующая цилиндра равна 

Ответ:  или 

Задача для самостоятельного решения №6. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с конусом

Пример 7. Диаметр основания конуса равен  Образующая наклонена к плоскости основания под углом  Найдите образующую конуса.

Рисунок к задаче

Решение. На рисунке треугольник  — равносторонний, поэтому искомая образующая равна 6.

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №7. Образующая конуса равна  и наклонена к плоскости основания под углом  Найти радиус основания конуса.

Показать ответ

Пример 8. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 

Конус и развертка его боковой поверхности

Решение. Длина дуги сектора, образованного разверткой боковой поверхности конуса, равна с одной стороны  а с другой —  — длина окружности основания конуса. Откуда получаем, что Но это же отношение есть синус угла между образующей и высотой конуса. Итак, искомый угол есть 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №8.  Высота конуса равна а радиус основания равен  Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Показать ответ

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные со сферой

Пример 9. Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен  и образующая равна 

Осевое сечение описанной в задаче системы

Решение.   тогда из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора находим 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №9. Найдите диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны   

Показать ответ

Пример 10. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со стороной  Каждое ребро пирамиды составляет с основанием угол  Найдите площадь поверхности и объем шара.

Иллюстрация к задаче

Решение. Из условия, что каждое ребро пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник, составляет с этим основанием один и тот же угол, с необходимостью следует, что этот прямоугольник является квадратом (докажите самостоятельно). Тогда  Из прямоугольного треугольника  находим  то есть 

Пусть радиус сферы  тогда треугольник  вписан в окружность радиуса  который находим из теоремы синусов:  откуда  Тогда площадь поверхности сферы равна  а объем шара 

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №10. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом  при основании вписан шар объема  Найдите объем пирамиды.

Показать ответ

Итак, подведем итог. Что нужно для успешного решения задач по стереометрии из ЕГЭ?

  • знание основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур;

  • умение проводить дополнительные построение и доказательства верности этих построений;

  • верно выполнять арифметические преобразования численных и буквенных выражений.

До экзамена осталось совсем мало времени и использовать его нужно максимально эффективно. К примеру, тренируйтесь в выполнении заданий, которые вызывают наибольшие затруднения. Помните, от того насколько хорошо вы сдадите выпускные экзамены в какой-то мере зависит ваша дальнейшая жизнь. Успехов вам!

Репетитор по математике на Тёплом Стане
Сергей Валерьевич

Решение задач на применение Аксиом Стереометрии 10 класс Мерзляк

Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий — урок 2 — АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

Цель урока:

— сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта.

1) Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве? (Стереометрия. )

2) Назовите основные фигуры в пространстве.

3) Сформулируйте аксиому А1.

4) Сформулируйте аксиому А2

5) Сформулируйте аксиому A3.

5) Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки? (Нет.)

6) Сколько плоскостей можно провести через три точки? (Одну)..

7) Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку? (Одну.)

8) Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости? (Одна; бесконечно много; ни одной.)

9) Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку? (Да..

Собрать листочки с ответами. Заслушать решение задач у доски.

III. Решение задач (фронтальная работа)

Задача 1

Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
Найдите:

1.     Точки, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)

2.     Точки, которые не лежат в плоскости α; (А1, В1, С1, Д1)

3.     6 прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)

4.      10 прямых, которые не лежат в плоскости α; (А1В1, В1С1, С1Д1, А1Д1, А1С1, В1Д1, АА1, ВВ1, СС1, ДД1)

5.     8 прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ1, СС1)

6.     10 прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА1 …)

 

 

 

 

Задача 2

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. Д ∈ MB, Е ∈ МС, F ∈ АВ, AF = FB, Р ∈ МА.

 

1) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и MFC; б) MCF и ABC.

2) Найдите длину CF и SABС.

3) Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью ABC?

 

 

 

 

Решение:

1.  аксиома А3 МАВ ∩ MFC = MF.

     аксиома А3 MCF ∩ ABC = FC.

2. ΔABC — равносторонний ⇒ FC — медиана, высота, биссектриса. ΔCFB — прямоугольный: СВ = 6 (см), FB = 3 (см). По теореме Пифагора 

— Как еще можно найти длину FC?

— Как по-другому найти SABC?

3. ДЕ и ВС лежат в плоскости ВМС. Пусть они пересекаются в точке К, так как К принадлежит ВС, значит К принадлежит плоскости АВС (аксиома А2):

 

Задача 3

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, Р ∈ ВВ1, В1Р = РВ.

1) Как построить точку пересечения плоскости ABC с прямой Д1Р?

2) Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?

3) Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а.

 

Решение:

1. Д1Р и ДВ лежат в одной плоскости Д1ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка К принадлежит прямой ДВ, а значит, К ∈ ABC.

2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ1. Точка Р принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Следовательно, по аксиоме А2: АР ⊂ АВВ1. Аналогично АР ⊂ АД1Р. Значит, АД1Р ∩ АВВ1 = АР.

3. а) Из ΔАВР, по теореме Пифагора  

б) Из ΔАДД1, по теореме Пифагора 

 

 

Задача 4

Точки А, В, С не лежат на одной прямой. М ∈ АВ, К ∈ АС, Р ∈ МК.

Докажите, что точка Р лежит в плоскости ABC.

Решение: АВ ∩ АС = А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М ∈ АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К ∈ АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК ⊂ α. Точка Р ∈ МК, а значит, и плоскости α.

 

 

Задача 5

Плоскость α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

Решение: По условию, прямая а пересекает плоскость β. Пусть a ∩ β = В(В ∈ а). По условию прямая а принадлежит плоскости а, значит, В ∈ а. По аксиоме А3 существует прямая с, такая, что B ∈ c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II уровень (самостоятельное решение задач)

1. Дан прямоугольник АВСД, О — точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 (см), ∠AOB = 60°.

 

Решение:

1) Так как В принадлежит α и точка О принадлежит α, то ВО принадлежит α. Так как точка Д принадлежит ВО, то Д принадлежит α (по аксиоме А2). Аналогично точка С принадлежит α:

1. Bϵα, Oϵα, => BOϵα;

2. DϵBO, => Dϵα (акс А2)

3. Аϵα, Oϵα, => АOϵα;

4. СϵАO, => Сϵα (акс А2)

 

2) Возможны различные способы решения задачи:

1. Найти стороны прямоугольника.

2. Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма (прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.

3. Использовать формулу  (Ответ: )

IV. Подведение итогов

Оценки за урок.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

Дано: куб АВСДА1В1С1Д1   Найдите:

1.       Точки, которые лежат в плоскости α;

2.        Точки, которые не лежат в плоскости α;

3.       6 прямых, которые лежат в плоскости α;

4.       10 прямых, которые не лежат в плоскости α;

5.       8 прямых которые пересекают прямую ВС;

6.       10 прямых, которые не пересекают прямую ВС.

 

Задача 2

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. Д ∈ MB, Е ∈ МС, F ∈ АВ, AF = FB, Р ∈ МА.

1) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости:

а) МАВ и MFC; б) MCF и ABC.

2) Найдите длину CF и SABС.

3) Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью ABC?

 

Задача 3

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, Р ∈ ВВ1, В1Р = РВ.

1) Как построить точку пересечения плоскости ABC с прямой Д1Р?

2) Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?

3) Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а.

 

Задача 4

Точки А, В, С не лежат на одной прямой. М ∈ АВ, К ∈ АС, Р ∈ МК.

Докажите, что точка Р лежит в плоскости ABC.

 

Задача 5

Плоскость α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

 

Задача 6

II уровень (самостоятельное решение задач)

1. Дан прямоугольник АВСД, О — точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 (см), ∠AOB = 60°.

 

 


 

Стереометрия. — 1960 // Библиотека Mathedu.Ru

Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. Ч. 2: Стереометрия. — 1960

Подготовка
текстаПодготовка
текста

Содержание

Загрузка
структуры

Информация

Загрузка
описаний

Справка

Загрузка
справки

Поиск

Страниц найдено: 1

Если строка в кавычках «…», то найдутся страницы со словосочетанием в точно такой форме.

Если слова указаны через пробел или оператор «&», то найдутся страницы, содержащие все введенные слова в одном предложении.

Если указано несколько слов через оператор «|», то найдутся страницы, содержащие любое из введенных слов.

Если указано два слова через оператор «~», то найдутся страницы, содержащие первое, но не содержащие второе слово в одном предложении.

По вашему запросу ничего не найдено.

Убедитесь, что слова написаны без ошибок или попробуйте выбрать другие значения.

null

Подождите,
пожалуйста…

Печать

Обложка12 (пустая)345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788

Подготовка [0%]…

Отмена

{«root»:»text»,»url»:»rybkin_sbornik_zadach_po_geometrii_ch3_1960″,»surl-package»:»\/text\/%PACKAGE%\/?query=%QUERY%»,»surl-page»:»\/text\/%PACKAGE%\/p%PAGE%\/?query=%QUERY%»,»query»:»\»\»»,»section»:»library»,»mode-gfx»:true,»mode-html»:true,»mode-prefer»:»gfx»,»layout-prefer»:»1×1″,»zoom»:{«1×1»:{«level»:100,»_w»:false,»_h»:true},»2×1″:{«level»:100,»_w»:true,»_h»:false},»html»:{«level»:100}},»textsize-prefer»:»2″,»textfont-prefer»:»a»,»tree-type»:»ajax»,»tree-state»:»visible»,»printbox-state»:»hidden»,»print-allowed»:»1″,»searchbox-state»:»hidden»,»searchbox-type»:»inline»,»goto-pageno»:null,»goto-page»:-1,»defw»:»800″,»defh»:»1253″,»minh»:1253,»maxh»:1253,»fixeven»:null,»package»:»left»,»sitemode»:»live»,»user»:{«uuid»:»»}}

Удержи­вайте пра­вую кнопку мыши для выде­ле­ния группы стра­ниц.

Удержи­вайте кла­вишу Shift для выде­ле­ния диапа­зона стра­ниц.

Удержи­вайте кла­вишу Ctrl для пере­хода к стра­нице без её выде­ле­ния.

Поз­во­ляет нахо­дить задан­ные слова и сло­во­со­че­та­ния в тек­сте пуб­ли­кации.

Поиск под­держи­вает кирил­ли­че­ский и латин­ский алфа­виты.

Пере­клю­чайте вид списка результа­тов поиска кноп­ками «Спи­сок» и «Карта».

Функция печати/ска­чи­ва­ния доступна только зареги­стри­ро­ван­ным поль­зо­ва­те­лям.

Пожа­луй­ста, зареги­стри­руй­тесь или авто­ри­зуй­тесь.

Выбор оформ­ле­ния (свет­лое/тём­ное) доступен только зареги­стри­ро­ван­ным поль­зо­ва­те­лям.

Пожа­луй­ста, зареги­стри­руй­тесь или авто­ри­зуй­тесь.

Три интересные стереометрические задачи ЕГЭ

Важной целью изучения стереометрии в школе является развитие пространственного воображения у учащихся. Именно поэтому в контрольно измерительные материалы Единого Государственного Экзамена включены стереометрические задачи, в которых выпускникам предлагают решить задачи на вычисление объемов, площадей поверхностей, построение сечений и вычисление их площадей, вычисление углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями, и многое другое.

Пока в обществе сторонники и противники спорят о целесообразности Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ) в школах, ученики их учителя, чтобы успешно сдать экзамен кропотливо к нему готовятся. Готовлюсь и я со своими выпускниками, решая “великое множество” самых разнообразных тестов.

В одном из учебно-тренировочных тестов для подготовки к ЕГЭ по математике, я встретил простой, на первый взгляд, вопрос: какая фигура получится при вращении куба вокруг его диагонали? В качестве возможных вариантов ответа предлагались четыре фигуры вращения на рисунке 1. Ученику в ответе достаточно было указать только номер фигуры. Попробуйте проверить своё пространственное мышление и выбрать нужную фигуру.

Рис. 1

Правильный ответ можно отыскать экспериментально. Для этого из кубика сделаем игрушку, каждому знакомую с детства – юлу. В деревянном кубике просверлим отверстие вдоль диагонали куба и плотно вставим в него какую-либо спицу подходящего диаметра. На фото 1 получилась занятная игрушка, с большим математическим содержанием. Достаточно сказать, что изучением законов вращения волчка занималась Софья Ковалевская – первая женщина-математик России, и с этой работой она участвовала в конкурсе Парижской академии наук, став его победителем.

Запустив волчок (фото 2), в качестве ответа однозначно выбираем фигуру под номером 4).

Фото 1

Фото 2

Конечно, на экзамене ЕГЭ ученику не до экспериментов. Как же он может найти правильный ответ на вопрос задачи? И не ошибиться. Ведь практика показывает, что для большинства учеников это очень коварный вопрос. На него правильно отвечает менее 10% моих старшеклассников. Попробуем разобраться.

Ясно, что форма фигуры вращения определяется ломаной ABCD (Рис. 2). Ребра AB и CD при вращении задают два равных конуса. Ребро BC и ось вращения скрещивающиеся, поэтому оно при вращении определяет фигуру, похожую на цилиндр с криволинейной образующей. Докажем, что эта дуга гиперболы, полученная вращением ребра ВС. Для куба со стороной a выше указанные параметры уравнения принимают значения , , поэтому уравнение гиперболы будет .

Рис. 2

Взаимное расположение скрещивающихся прямых a и l определяется расстоянием d = ON и углом ? = ? MNK между этими прямыми (Рис. 3). Введем прямоугольную систему координат Oxyz таким образом, чтобы ось Oy совпадала с прямой l, ось Oz – с прямой ON. Плоскость Oxy можно считать одной из плоскостей сечения полученной при вращении фигуры. Произвольная точка M(x,y,z) прямой a при вращении будет оставлять следы-точки M1 и M2 на секущей плоскости Oxy, и в координатной плоскости Oxy будут иметь координаты M1(x,y) и M2(–x,y)

Найдем уравнение линии, по которой секущая плоскость пересекает фигуру вращения. В прямоугольном треугольнике MNK катет MK=, тогда в прямоугольном треугольнике MМ0K гипотенуза MМ02 =. Учитывая, что MМ0=MМ1=х, получим уравнение искомой линии . Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение вида задает гиперболу с полуосями a и b, а поверхность, которая получается вращением гиперболы вокруг её оси симметрии Oy, называется однополостным гиперболоидом вращения. Найденное нами уравнение тоже можно привести к такому виду, значит, секущая плоскость пересекает фигуру вращения по гиперболе с полуосями d и .

Рис. 3

На рисунке 4 показано одно из возможных положений куба внутри фигуры вращения. Обратите внимание, все ребра куба лежат на поверхности этой фигуры вращения. Даже на криволинейной части этой поверхности ребра куба лежат в ней полностью. Таким замечательным свойством обладает однополостный гиперболоид вращения.

Рис. 4

Важными параметрами фигуры вращения являются её объём V и площадь S поверхности. Средствами интегрального исчисления можно показать, что если ребро вращаемого куба равна a, то , .

Можно добавить еще один интересный факт: основания конусов делят высоту фигуры вращения, т.е. диагональ вращаемого куба, на три равные части.

Понятно, что вращать куб можно не только вокруг его диагонали, но и вокруг других прямых, например, вокруг прямой проходящей через середины противоположных ребер куба, или вокруг диагонали грани куба, получая при этом красивые фигуры вращения. Но это уже другие задачи, и попробовать решить их никому не запрещается!

Задача. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 2. Найдите угол между прямыми и .

Эту задачу можно решать многими способами, например, применяя метод координат или векторный способ, предполагающие обычно громоздкие вычисления. А можно подойти к решению задачи нестандартно, не выполняя ни каких расчетов совершенно. Для этого, поставим призму на боковую грань и рассмотрим правильную четырехугольную призму . Заметим, что в этой призме прямая перпендикулярна диагональной плоскости , значит прямая перпендикулярна любой прямой плоскости , в том числе и прямой , лежащей в этой плоскости.

Ответ. Угол между прямыми и равен 90.

И ещё об одной задаче, которая мне встретилась при проверке работ выпускников ЕГЭ 2013 года в области С. В тестах ЕГЭ предлагалась задача на вычисление площади сечения. Привожу дословное условие задачи С2 варианта 107 из КИМа ЕГЭ .

Задача С2. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD с вершиной М стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середину ребра МВ параллельно прямой АС.

Ни чем не примечательная задача на построение сечения пирамиды плоскостью и вычисление площади этого сечения. Но это взгляд учителя молодого поколения! Учитель же старшего поколения может по-другому взглянуть на эту задачу. Лично мне эта задача напомнила задачу из школьного учебника нашей юности. Не поленился, нашел сборник Н.А. Рыбкина 1970 года издания, по которому я учился решать стереометрические задачи. Листая пожелтевшие станицы этого сборника, о, чудо, нашел задачу №19 параграф 10, чертеж и формулировка практически совпадают с задачей ЕГЭ 2013 года. Вот уж неожиданная встреча более чем через 40 лет, подтверждающая фразу, что “всё новое – это хорошо забытое старое”. Задачи хотя и разного направления, в одной требуется построить сечение, а во второй вычислить площадь такого сечения, но согласитесь, что речь идет об одном и том же.

В то время в советской средней школе геометрию в школе изучали по учебнику “Геометрия” А. П. Киселева. “Сборник задач по геометрии” Н. А. Рыбкина дополнял его задачным материалом. Сборник Н.А. Рыбкина содержит две части:

1) планиметрия для 6-8 классов;

2) стереометрия для 9-10 классов.

Как сегодня бы сказали, что Киселев+Рыбкин+набор моделей является замечательным учебно-методическим комплектом (УМК) для изучения элементарной геометрии в средней школе.

Если речь зашла о школьных задачах полувековой давности, то стоит вспомнить, что в то время в СССР производились наглядные пособия, разработанные в соответствии с действующим в то время учебником геометрии, точнее, со сборником задач. В школах того времени в учебном процессе использовались фабрично изготовленные модели, соответствующие конкретным задачам сборника. Не знаю, как полно они были представлены, но, то, что такие модели существовали, помню по своей школьной учебе, и как трепетно заботился о них мой школьный учитель математики Николай Стефанович Мелихов. Решая очередную задачу из сборника Рыбкина, наш учитель доставал из шкафа нужную модель, сделанную конкретно к этой задаче, и мы начинали размышлять. В модели всё соответствовало условию задачи, даже буквенные обозначения такие же. Что сказать? Серьёзный подход к обучению геометрии был в Советском Союзе!

Фото модели к рассматриваемой задаче подтверждает выше сказанное.

Как коллекционер, регулярно посещаю барахолку, где продают старые вещи. Однажды, встретив модель пирамиды с сечением, я не мог её не купить. Прежде чем принести в школу и показать её ученикам, решил облагородить её. Кардинальной разборки не стал делать, хотя неплохо было бы внутри “погонять” пыль, но ведь хочется сохранить оригинальность модели. Ограничился поверхностным уходом, выдраил стекла от разного вида налетов и заменил оклейку ребер. Вместо замызганных бумажных наклеек черного цвета оклеил ребра изолентой. Как у меня получилось – можно посмотреть на фото.

В заключение скажу, что решая с учениками задачи полезно давать небольшие исторические справки или сюжеты. Они придают оживление обсуждаемым задачам, вызывают интерес и желание справиться с такими задачами.

Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ., Потоскуев Е.В. | ISBN: 978-5-89237-352-4

Потоскуев Е. В.

Аннотация


Отличительная особенность геометрии состоит в том, что при ее изучении неразрывно связаны два взаимоисключающих элемента познания истины: наглядность и воображение, с одной стороны, и строгая логика рассуждений, с другой. В этой связи, в пособии большое внимание уделено как вопросам верного и наглядного изображения пространственных фигур на плоскости, так и методике выработки умений корректно аргументировать утверждения, возникающие по ходу решения любой геометрической задачи. Рассматривается решение задач на построение сечений многогранников различными способами, при этом проиллюстрирована динамика построения сечения, процесс его «рождения».Используя изображения правильного тетраэдра, куба и правильной шестиугольной призмы, предлагаются методические рекомендации решения опорных задач метрической стереометрии о нахождении расстояний и углов между прямыми и плоскостями. Задачи подобраны по принципу: «от простого — к сложному», что позволяет методически обоснованно реализовывать принцип дифференциации обучения геометрии.Пособие адресовано учителям математики и учащимся школ, лицеев, гимназий, колледжей.

Дополнительная информация
Регион (Город/Страна где издана): Москва
Год публикации: 2012
Тираж: 2000
Страниц: 108
Ширина издания: 150
Высота издания: 220
Вес в гр. : 92
Язык публикации: Русский
Тип обложки: Мягкий / Полужесткий переплет
Цвета обложки: Зелёный

%PDF-1.4 % 1 0 объект >поток 2019-10-06T20:43:23+03:00Microsoft® Word 20132022-02-23T03:07:38-08:002022-02-23T03:07:38-08:00iText 4.2.0 от 1T3XTapplication/pdfuuid:8759a405- 5685-42ad-80e5-dd390cd67007uuid: b6d94695-b212-4e9f-9073-7cf04af5eb68uuid: 8759a405-5685-42ad-80e5-dd390cd67007

  • savedxmp.iid: 9BBF3F9F26FAE911B6A0E18048D068D82019-10-29T14: 02: 20 + 05: 30Adobe Bridge CS6 (Windows) / метаданные
  • Даниэла Бимова
  • Петра Пирклова
  • Маркета Ержабкова
  • Катерина Столинова
  • конечный поток эндообъект 2 0 объект > эндообъект 3 0 объект >поток xXn6SHL·A^%%ؚI{$D#dsǷT)9Lq6lyЕY/On}Ex5։. e->n׾4=JC2k&3`@z( ,XX22F +F%

    Развитие стереометрического метода анализа экономических категорий и процессов и его применение в сфере безопасности и налогообложения

    Автор

    Перечислено:
    • Владимир Нусинов

      (Криворожский национальный университет, Украина)

    • Евгения Мищук

      (Криворожский национальный университет, Украина)

    • Измайлов Ярослав

      (Криворожский экономический институт Киевского национального экономического университета им. Вадима Гетьмана, Украина)

    Abstract

    Статья направлена ​​на совершенствование стереометрического подхода к анализу экономических категорий и процессов и исследование направлений его применения в науке о безопасности и налогообложении.Методология. Методологическую основу исследования составляют общенаучные методы анализа и синтеза, сравнительное изучение существующих моделей экономических категорий, в основе которых лежит стереометрический подход. Эмпирический метод используется для описания проблемы использования стереометрического подхода к определению экономической безопасности предприятия. Результаты исследования. В статье показано, что современные реалии все больше требуют от экономистов пространственного мышления, что обуславливает появление в экономических исследованиях трехмерных моделей некоторых экономических категорий.Ряд стереометрических элементов уже несколько десятилетий применяется как зарубежными, так и украинскими учеными в экономической сфере. В статье указывается, что ни одна современная модель не может претендовать на полную реализацию стереометрического подхода как самостоятельного однонаправленного массива содержания принципов и методов анализа экономических категорий и процессов. Также установлены закономерности, не учтенные другими учеными, а также текущие проблемы и упущения. Практические последствия.Обоснованы различия между стереометрическим и графическим методами экономического анализа. Под стереометрическим подходом предлагается понимать один из подходов экономического анализа, основанный на визуализации экономических категорий и процессов на основе геометрических тел, позволяющих качественно и количественно оценить уровень и динамику выбранного массива показателей, вынесенных на единую графическую диаграмму. модель. Раскрываются сущность и принципы использования стереометрического подхода в экономике и, в частности, в науке о безопасности.Экономическая безопасность трактуется как нечто троичного характера, являющееся одновременно ресурсом, процессом и условием. В статье предлагается пирамида для определения экономической безопасности и доказывается, что изменение качества, скорости и количества бизнес-процессов, выраженное изменением соответствующих углов пирамиды, влияет как на состояние, так и на общий уровень экономической безопасности. Актуальность/оригинальность. Представленные предложения по совершенствованию стереометрического подхода создают теоретическую базу для прикладных исследований в различных отраслях.Расширенный стереометрический подход позволяет построить общетеоретическую концепцию экономической безопасности с учетом ее связи с такими понятиями, как конкурентоспособность и развитие.

    Предлагаемое цитирование

  • Владимир Нусинов, Евгения Мищук и Ярослав Измайлов, 2019. « Развитие стереометрического метода анализа экономических категорий и процессов и его применение в сфере безопасности и налогообложения », Балтийский журнал экономических исследований, Издательство «Балтия Паблишинг», вып.5(4).
  • Ручка: RePEc:bal:journl:2256-0742:2017:5:4:20
    DOI: 10.30525/2256-0742/2019-5-4-160-170

    Скачать полный текст от издателя

    Наиболее похожие товары

    Это элементы, которые чаще всего цитируют те же работы, что и этот, и цитируются теми же работами, что и этот.
    1. Эфросини Адамопулу, Франческо Манарези, Омар Рачеди и Эмиркан Юрдагул, 2022 г. « Минимальная заработная плата и страхование в фирме «, CRC TR 224 Серия документов для обсуждения crctr224_2022_326, Боннский и Мангеймский университеты, Германия.
    2. Вэньцзин Дуан и Педро С. Мартинс, 2018 г. « Распределение ренты в Китае: масштабы, неоднородность и движущие силы », Рабочие бумаги 96, Королева Мария, Лондонский университет, Школа бизнеса и менеджмента, Центр исследований глобализации.
      • Дуан, Вэньцзин и Мартинс, Педро С., 2020 г. « Распределение ренты в Китае: масштабы, неоднородность и движущие силы », Серия дискуссионных документов GLO 448, Глобальная организация труда (ГЛО).
      • Дуан, Вэньцзин и Мартинс, Педро С., 2019. « Распределение ренты в Китае: масштабы, неоднородность и движущие силы », Документы для обсуждения IZA 12169, Институт экономики труда (ИЗА).
    3. Бенджамин Фридрих, Костас Мегир, Лиза Лаун и Луиджи Пистаферри, 2018 г. « Динамика доходов и потрясения на уровне компаний », Материалы совещания 2018 г. 536, Общество экономической динамики.
      • Бенджамин Фридрих, Лиза Лаун, Костас Мегир и Луиджи Пистаферри, 2019 г. « Динамика доходов и потрясения на уровне компаний », Документы для обсуждения Фонда Коулза 2175, Фонд экономических исследований Коулза, Йельский университет.
      • Бенджамин Фридрих, Лиза Лаун, Костас Мегир и Луиджи Пистаферри, 2021 г. » Динамика доходов и потрясения на уровне компаний ,» Рабочие документы IFS W21/33, Институт финансовых исследований.
      • Фридрих, Бенджамин и Лаун, Лиза и Мегир, Костас и Пистаферри, Луиджи, 2019 г. « Динамика доходов и потрясения на уровне компаний », Документы для обсуждения CEPR 14240, C.E.P.R. Дискуссионные документы.
      • Бенджамин Фридрих, Лиза Лаун, Костас Мегир и Луиджи Пистаферри, 2019 г.« Динамика доходов и потрясения на уровне компаний », Рабочие документы NBER 25786, Национальное бюро экономических исследований, Inc.
    4. Адамопулу, Эфросини и Манарези, Франческо и Рачеди, Омар и Юрдагул, Эмиркан, 2021 г. « Минимальная заработная плата и страхование в фирме », Документы для обсуждения CEPR 16823, C.E.P.R. Дискуссионные документы.
    5. Монс Чан, Мин Сюй и Серхио Сальгадо, 2019 г. « Гетерогенный переход от TFP к заработной плате «, Документы встречи 2019 г. 1447 г., Общество экономической динамики.
    6. Керндлер, Мартин, 2019 г. « Размер и постоянство имеют значение: заработная плата и страхование занятости на микроуровне «, Ежегодная конференция VfS 2019 (Лейпциг): 30 лет после падения Берлинской стены — демократия и рыночная экономика 203493, Verein für Socialpolitik / Немецкая экономическая ассоциация.
    7. Майкл В.Л. Элсби и Гэри Солон, 2019 г. « Насколько распространена нисходящая жесткость номинальной заработной платы? Международные данные из платежных ведомостей и платежных ведомостей », Журнал экономических перспектив, Американская экономическая ассоциация, том.33(3), страницы 185-201, Лето.
    8. Вэньцзин Дуан и Педро С. Мартинс, 2022 г. « Распределение ренты в Китае: масштабы, неоднородность и движущие силы », Британский журнал производственных отношений, Лондонская школа экономики, том. 60(1), страницы 176-219, март.
    9. Майбом, Йонас и Вейлин, Руне Майлунд, 2021 г. « Перенос результатов деятельности фирмы на стабильность доходов и занятости », Документы для обсуждения IZA 14131, Институт экономики труда (ИЗА).
    10. Адамопулу, Эфросини и Манарези, Франческо и Рачеди, Омар и Юрдагул, Эмиркан, 2021 г.« Минимальная заработная плата и страхование в фирме », Документы для обсуждения CEPR 16823, C.E.P.R. Дискуссионные документы.
      • Адамопулу, Эфросини и Манарези, Франческо и Рачеди, Омар и Юрдагул, Эмиркан, 2021 г. « Минимальная заработная плата и страхование в фирме », Документы для обсуждения IZA 14943, Институт экономики труда (ИЗА).
      • Эфросини Адамопулу, Франческо Манарези, Омар Рачеди и Эмиркан Юрдагул, 2022 г. « Минимальная заработная плата и страхование в фирме «, CRC TR 224 Серия документов для обсуждения crctr224_2022_326, Боннский и Мангеймский университеты, Германия.

    Подробнее об этом изделии

    Ключевые слова

    анализ; экономическая безопасность; налогообложение; обработать; стереометрический подход;
    Все эти ключевые слова.

    Классификация JEL:

    • B49 – Школы экономической мысли и методологии – – Экономическая методология – – – Прочее
    • C13 – Математические и количественные методы – – Эконометрические и статистические методы и методология: общие – – – Оценка: общие
    • C38 — Математические и количественные методы — — Модели множественных или одновременных уравнений; Множественные переменные — — — Методы классификации; кластерный анализ; Основные компоненты; Факторный анализ
    • C81 — Математические и количественные методы — Методология сбора данных и оценки данных; Компьютерные программы — — Методология сбора, оценки и организации микроэкономических данных; Доступ к данным
    • h42 – Государственная экономика – – Фискальная политика и поведение экономических агентов – – – Фирма
    • Y10 — Разные категории — — Данные: таблицы и диаграммы — — — Данные: таблицы и диаграммы

    Статистика

    Доступ и загрузка статистики

    Исправления

    Все материалы на этом сайте предоставлены соответствующими издателями и авторами. Вы можете помочь исправить ошибки и упущения. При запросе исправления укажите дескриптор этого элемента: RePEc:bal:journl:2256-0742:2017:5:4:20 . См. общую информацию о том, как исправить материал в RePEc.

    По техническим вопросам, касающимся этого элемента, или для исправления его авторов, названия, реферата, библиографической информации или информации для загрузки, обращайтесь: . Общие контактные данные провайдера: .

    Если вы создали этот элемент и еще не зарегистрированы в RePEc, мы рекомендуем вам сделать это здесь.Это позволяет связать ваш профиль с этим элементом. Это также позволяет вам принимать потенциальные ссылки на этот элемент, в отношении которых мы не уверены.

    Если CitEc распознал библиографическую ссылку, но не связал с ней элемент в RePEc, вы можете помочь с помощью этой формы .

    Если вы знаете об отсутствующих элементах, ссылающихся на этот, вы можете помочь нам создать эти ссылки, добавив соответствующие ссылки таким же образом, как указано выше, для каждого ссылающегося элемента. Если вы являетесь зарегистрированным автором этого элемента, вы также можете проверить вкладку «Цитаты» в своем профиле RePEc Author Service, так как некоторые цитаты могут ожидать подтверждения.

    По техническим вопросам относительно этого элемента или для исправления его авторов, названия, реферата, библиографической информации или информации для загрузки обращайтесь: Анита Янковска (адрес электронной почты доступен ниже). Общие контактные данные провайдера: .

    Обратите внимание, что фильтрация исправлений может занять пару недель. различные услуги RePEc.

    РАЗРАБОТКА СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА К АНАЛИСУ ЭКОНОМИЧЕСКИХ КАТЕГОРИЙ И ПРОЦЕССОВ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В БЕЗОПАСНОСТИ И НАЛОГООБЛОЖЕНИИ

    Аткин, Д., Хандельвал, А.К., и Осман, А. (2017). Экспорт и эффективность фирмы: данные рандомизированного эксперимента. Ежеквартальный журнал экономики, 132 (2), 551–615.

    Белей, О. И. (2012). Побудова модели призмы эффективности торгового предприятия. Торговля, торговля, подприемництво, 14, 16–20. (на украинском языке)

    Белошкурская, Н.В. (2012). Совершенствование экономико-организационного механизма экономической безопасности предприятий АПК.Эффективная экономика, 11. Источник: http://www.economy.nayka.com.ua/?op=1&z=1081 (укр.)

    Чебанова Т.Е., Корецкая О.В. (2015). Оценка устойчивости экономической безопасности портовых предприятий. Розвиток методив управления та господарювання на транспорте, 2(51), 55–71. (на украинском языке)

    Дотсон, Дж. П. (2018). Пробит-модель со структурированной ковариацией для эффектов сходства и источника вычислений объема.Журнал маркетинговых исследований, 55 (1), 35–47.

    Друкер, П. (1994). Управление для результатов. Москва: Техническая школа бизнеса. (на русском языке)

    Ищенко, М. И. (2013). Модель оценки ресурсного обеспечения финансово-экономических результатов деятельности предприятия. Стратегия экономического развития Украины, 33, 220–228.(на украинском языке)

    Ищенко, М. И. (2014). Методологические основы оценки финансово-экономических результатов деятельности предприятий (на примере горно-обогатительных комбинатов) (докторская диссертация). Кривой Рог: Криворожский национальный университет. (на украинском языке)

    Герасименко А., Боровик Ю.и Афендикова С. (2017). Этодология оценки конкуренции. Экономическая летопись – ХХI, 165(5–6), 52–55.

    Хемпель, К. (2000). Наука, объяснение и рациональность: аспекты философии Карла Г. Гемпеля. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.

    Холден, К.В., Якобсен, С., и Субрахманьям, А. (2014). Эмпирический анализ ликвидности. Основы и тенденции в финансах, 8 (4), 263–365.

    Юн, К., МакКью, К., Монти, Х., и Пирс, Б. (2018). Производительность фирмы и волатильность доходов работников. Журнал экономики труда, 36 (1), 99–131.

    Кириченко О.А., Шикова О.М. (2011). Современное моделирование систем экономической безопасности. Инвестиции: практика та досвид, 3, 35–38. (на украинском языке)

    Корчевская Л. О. (2016). Методы синергетического управления экономической безопасностью предприятия: монография.Херсон: ИП Вишимирский В. С. (укр.)

    Кретова А.Ю. (2011). Трёхмерная модель оценки эффективности дииальности промышленного предприятия. Экономика, Менеджмент, Подприемництво, 23 (ІІ), 111–120. (на украинском языке)

    Ляшенко О. М. (2008). Пирамида эффективности взаимодействия и взаимного согласия интересов как инструмент измерения экономической безопасности предприятия.Формирование рыночной экономики, IІ, 396–401. (на украинском языке)

    Маслоу, А. Х. (1943). Теория мотивации человека. Первоначально опубликовано в Psychological Review, 370–396.

    McNair, CJ, Lunch, RL, & Cross, KF (1990). Должны ли финансовые и нефинансовые показатели эффективности согласовываться? Управленческий учет, 28–36.

    Нили, А., Адамс, К., и Кеннерли, М. (2003). Призма производительности: система показателей для измерения и управления успехом в бизнесе.Днепропетровск: Баланс-клуб. (на украинском языке)

    Олексюк О. И. (2009). Технологии оценки результатов дииальности предприятия. Збирник научных прац ЦДТУ, 22, 169–173. (на украинском языке)

    Олексюк О. И. (2008). Теоретические основы оценки результатов дииальности предприятий. Экономика та подприемництво, 20, 192–202. (на украинском языке)

    Сагайдак, М.П. (2015). Методические подходы к моделированию внутреннего маркетингового потенциала предприятий сферы услуг. Вестник Восточноукраинского национального университета им. В. Далия, 4(221), 226–231. (на украинском языке)

    Раковина, Д. С. (1985). Управление производительностью: планирование, измерение и оценка, контроль и улучшение. Нью-Йорк: Уайли.

    Тульчинский, Г.К. (2017). Конструктивизм и стереометрическая семантика: основание нормативно-ценностного синтеза в социальных науках. Человек. Культура. Образованые, 1(23), 32–42. (на русском языке)

    Заворотный Р.И. (2015). Стереометрический подход к оценке динамики экономического развития предприятия. Финансы Украины, 8, 101–113. (на украинском языке)

    Жучкова Х.А. (2013). Результативность деятельности предприятия: научно-методические аспекты определения. Эффективная экономика, 11. Источник: http://www.economy.nayka.com.ua/?op=1&z=2517 (укр.)

    8th Geometry ML — План урока

    Стереометрия и локусы, 8-й класс Урок План, февраль 2008 г. Комментарии: • Стереометрия — это изучение трехмерных тел, в том числе Платоновых и Архимедовых тел.• Локусы — это изучение двумерных кривых, включающих конические сечения. • Большая часть содержания этих тем подробно объясняется в моей книге MS Math Curriculum. • В идеале в 8 классе должно быть два основных урока математики. Одним из них будут «Основы счисления и локусы», а другим — «Стереометрия и измерение». Идея здесь в том, что числовые основы и измерения более «ориентированы на голову» и являются единицами в моей рабочей тетради, в то время как локусы и стереометрия более художественны и образны. • Если есть только один основной урок по математике, то это могут быть Стереометрия и Измерение (и локусы будут исключены), или это может быть Стереометрия и локусы, и тогда что-то из математической программы 8-го класса, возможно, придется исключить из-за нехватка времени.• Эти планы уроков были написаны с учетом того, что стереометрию и локусы вполне можно изучать на отдельных основных уроках. • План основан на трехнедельном основном уроке, где каждая тема занимает примерно половину основного урока. Поэтому каждый следующий день — это фактически половина основного урока (хотя в целом на стереометрию я потратил больше времени, чем на локусы). Я написал его в виде 12-дневного плана, думая, что за три недели можно пропустить пару дней или что в пару дней другая тема основного урока может занять все основное время урока в течение дня.Стереометрия День №1 • Ожидания от курса. Включите то, по чему я буду оценивать. Каждый день домашнее задание должно быть на вашем столе в начале основного урока. • Зачем это изучать? Учащихся необходимо убедить в важности этого ML. • Платон изучал математику: арифметику, геометрию, астрономию и стереометрию. • Мало у кого есть возможность изучать стереометрию и локусы – вам крупно повезло! • Никто никогда не будет ожидать, что вы будете знать этот материал – вряд ли кто-то его знает.Так зачем мы этому учим? • Сегодня работодатели ищут людей, способных решать проблемы и мыслить творчески. (История Роджера Леба.) Образное мышление на этом основном уроке поможет развить ваше пространственное воображение и поможет развить вашу способность мыслить творчески. • Работа, которую вы будете выполнять, — это упражнение в точности и внимательности. • Расскажите историю, которая пробудит их интерес. • Глина: потренируйтесь делать только куб. • Медитация: преобразование Куб → Октаэдр. • Укажите необходимое оборудование: компас, линейку, коробку и т. д.• HW: практикуйте медитацию куб→окта Стереометрия День №2 • Дайте инструкции, как делать бумажные модели; раздать лист «Советы». • Вопросы. Каково наименьшее число ребер многоугольника? Какое наименьшее количество граней у многогранника? • Термины: многоугольник, многогранник, шестигранник, тетраэдр, призма, бипирамида, вершина (вершины), грань. • Глина: от куба до октаэдра • Контрольный вопрос: сколько цепей у куба? • HW: куб в бумаге

    LOGO — Editorial — Editorial

    Ссылка на проблему: конкурс, практика

    Сложность: Средне-сложная

    Предварительные условия: Z-буферизация, геометрия, стереометрия, реализация

    Проблема:

    Нам дано N полигонов (треугольников и четырехугольников) в 3D.Наша задача — спроецировать их все на 2D-плоскость.

    Объяснение:

    Во-первых, в нашем дальнейшем объяснении мы будем предполагать, что треугольники — это единственные многоугольники, которые у нас есть (поскольку каждый четырехугольник можно разбить на два треугольника).

    Хорошо, теперь у нас есть M треугольников ( N M 2N , так как каждый четырехугольник разбит на два треугольника).

    Исправим ячейку ( X , Y ).Каким цветом должна быть раскрашена эта ячейка? Интуитивно это должен быть цвет треугольника, который имеет максимальное значение Z для фиксированного ( X , Y ). Звучит довольно просто, да?

    Но ключевой частью этой проблемы является часть реализации.

    Давайте починить треугольник с вершинами P 1 ( x 1 , Y 1 , Z 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 , Z , Z 2 ), P 3 P 3 ( x 3 , y 3 , Z 3 ).

    Также найдем плоскость, в которой лежит треугольник P 1 P 2 P 3 . Каждая плоскость может быть определена уравнением AX + BY + CZ + D = 0 . Найдем коэффициенты A , B , C и D .

    A = Y 1 (Z 2 — Z 3 ) + Y 3 (Z 3 — Z 1 ) + Y 3 (Z 1 — Z 2 ) ;

    B = Z 1 (x 2 — x 3 ) + Z 2 — x 1 ) + Z 3 (x 1 — x 2 ) ;

    C = x 1 (Y 2 — Y 3 ) + x 2 (Y 3 — Y 1 ) + x 3 (Y 1 — Y 2 ) ;

    D = -x 1 (Y 2 * Z 3 — Y 3 * Z 2 ) — x 2 (Y 3 * Z 1 — Y 1 *Z 3 ) — X 3 (Y 1 *Z 2 — Y 2 *Z 1 ) .

    Если вы не понимаете, почему коэффициент выглядит именно так, пожалуйста, перейдите по следующей ссылке.

    Итак, определим значение Z для треугольника P 1 P 2 P 3 в ячейке ( X , Y , помните? тоже фиксировано).

    Z = -(D — AX — BY) / C .

    Предположим, что треугольник P 1 P 2 P 3 имеет расстояние Z над фиксированной ячейкой? Нет, не будем.Что ж, плоскость AX + BY + CZ + D = 0 точно имеет расстояние Z над фиксированной ячейкой, а вот точка T с координатами ( X , Y , Z ) может и не быть принадлежат нашему треугольнику P 1 P 2 P 3 . Итак, мы должны проверить, лежит ли точка T в нашем треугольнике. Есть много способов сделать это. т.е. можно проверить, если S(P 1 , P 2 , P 3 ) = S(T, P 2 , P 3 ) + S(P 1 , 29, P 3 9 ) + S(P 1 , P 2 , T) , где S(A, B, C) равно квадрату треугольника ABC .

    Вот псевдокод, демонстрирующий реализацию описанного выше алгоритма.

      для X от 0 до 319 сделать
    начинать
    для Y от 0 до 239 сделать
    начинать
    ЦВЕТ = 0
    МАКС_Z< = -БЕСКОНЕЧНОСТЬ
    для i от 0 до M сделать
    начинать
    P_1, P_2, P_3 - точки i-го треугольника
    
    А = Y_1 (Z_2 - Z_3) + Y_2 (Z_3 - Z_1) + Y_3 (Z_1 - Z_2)
    B = Z_1 (X_2 - X_3) + Z_2 (X_3 - X_1) + Z_3 (X_1 - X_2)
    C = X_1 (Y_2 - Y_3) + X_2 (Y_3 - Y_1) + X_3 (Y_1 - Y_2)
    D = -X_1(Y_2 * Z_3 - Y_3 * Z_2) - X_2 (Y_3 * Z_1 - Y_1 * Z_3) - X_3 (Y_1 * Z_2 - Y_2 * Z_1)
    
    Z = Z = -(D - AX - BY) / C
    
    T - точка с координатами (X, Y, Z)
    
    если S(P_1, P_2, P_3) = S(T, P_2, P_3) + S(P_1, T, P_3) + S(P_1, P_2, T) сделать
    начинать
    если Z > MAX_Z сделать
    начинать
    ЦВЕТ = цвет i-го треугольника
    МАКС_Z = Z
    конец
    конец
    конец
    печать( ЦВЕТ )
    конец
    конец
      

    Общая сложность равна O(N * MAX X * MAX Y ) .

    Сеттерское решение: ссылка

    Решение для тестировщика: ссылка

    НАУМ ГАБО И СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЗРАЧНОСТЬ

    Стереометрический метод — это то, что я бы назвал прозрачным подходом к формированию объектов.Габо создал произведение под названием «Два куба (демонстрация стереометрического метода»). В этом произведении один куб выражает массу, образуя буквально куб с шестью традиционными сторонами. Другой куб произведения выражает внутреннее пространство куба. И это было ключевой концепцией; он стремился изобразить пространство предмета, не изображая ограждения предмета. Таким образом, концепция внутреннего пространства растворяла границы объекта, что также стремилось растворить представления дизайнера об объекте.

    Поскольку я не смог найти изображение «Два куба», которое можно было бы использовать без лицензионного сбора, я сделал быстрый набросок его работы в верхней части страницы. Не стесняйтесь использовать Google Image для работы, так как куча изображений появится вверху страницы. Мы видим, что это очень простая, но очень четкая конструктивная иллюстрация стереометрического метода. Попробуйте объединить два изображения так, чтобы они накладывались друг на друга.

    Имея в виду этот образ, мы не можем не заявить, что Габо был заинтересован в прозрачности, чтобы продвигать целостное ограждение.Мы можем охарактеризовать г-на Габо как раннего прозрачного мыслителя. Он видел проблему постоянной фиксации на корпусе за счет пространства.

    Габо был частью русского конструктивистского движения, которое процветало с 1919 года. Одной из целей движения было создание декораций для русской революции. Конструктивисты живо интересовались скульптурой. Можно сказать, что их архитектурные решения были скорее скульптурными, чем реальными зданиями.

    Наум Габо был влиятельным мыслителем в движении благодаря его вкладу в «Манифест реализма », написанный в 1920 году.

    «Мы утверждаем, что пространство можно моделировать только изнутри наружу в его глубине, а не извне вовнутрь через его объем».

    Мы видели ту же тему, когда Ле Корбюзье описывал конструкцию здания в терминах пузыря. Он также писал, что они отвергли концепцию здания, построенного преимущественно как замкнутая масса. Скорее, они выступали за то, чтобы «…пластмассовые тела должны быть построены стереометрически».

    3D ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ

    • Пенио Лебамовски Факультет математики и информатики, Великотырновский университет
    • Митько Господинов Институт робототехники Болгарской академии наук, София

    Аннотация

    Введение: Изучение дисциплины стереометрия затруднено для учащихся, не обладающих пространственным воображением. Чтобы преодолеть эту проблему, в дополнение к традиционным методам обучения создаются программные приложения для улучшения понимания трехмерной геометрии.

    Цели: Предметом данной статьи является представление функциональных возможностей и инструментов созданного программного приложения в обучении стереометрии, с помощью которого студенты будут конструировать, наблюдать, измерять и изучать трехмерные геометрические фигуры, а также создавать динамические изображения.

    Методы: Методы: стереоскопия, полигональная триангуляция, очистка/экструзия и уровень детализации использовались для создания трехмерных геометрических фигур с помощью программного приложения, предназначенного для среднего образования болгарских учащихся в области стереометрии

    .

    Результаты:   Программа создала следующие объекты в трехмерном пространстве: обычная призма (от трех до шести сторон), обычная трехсторонняя призма, специальная четырехсторонняя призма, правильная пирамида (от трех до шести сторон), куб, сфера, конус и цилиндр. Параметры любого геометрического объекта можно регулировать, в том числе высоту и длину сторон, наклон сторон, количество сторон и т. д. Каждый объект можно постепенно открывать или закрывать от своей основной сети к геометрическому объекту. Каждое исправление параметра является интерактивным и сразу видно. Геометрические фигуры можно вращать в пространстве, увеличивать или уменьшать, рассматривать как сплошной объект или прозрачную сеть, а также изменять цвет.

    Вывод: Созданное программное приложение предоставляет новые возможности для преподавания и изучения предмета стереометрии, что помогает учащимся легче понять пространственную геометрию и способность учителей объяснять абстрактные задачи в трехмерной геометрии.

    Copyright (c) 2019 Авторы

    Информация об авторских правах

    1. Авторы сохраняют за собой авторские права и предоставляют журналу право на первую публикацию, одновременно работая под лицензией Creative Commons Attribution License (Creative Commons Attribution License 3.

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.