Самостоятельная работа производная 11 класс: Самостоятельная работа по теме «Производная» 11 класс

Содержание

Самостоятельная работа по теме «Производная» 11 класс

Самостоятельная работа 1

Вариант 1

  1. Найдите производные функций

а) х9 б) 5х4 в) г) д)

е ) y = 3x6 – 8x2 +5

  1. Найдите производную в точке х0

а) у = 2х3 + 3х – 4, х0 = 2

б) у = 3, х0 =16

Вариант 2

  1. Найдите производные функций

а) х4 б) 7х3 в) г) д)

е ) y = 4x7 – 5x4 +7

  1. Найдите производную в точке х0

а) у = 3х4 – 6х +9 , х0 = 1

б) у = 4, х0 =9

Вариант 3

  1. Найдите производные функций

а) х8 б) 9х5 в) г) д)

е ) y = 2x9 – 7x3

+8

  1. Найдите производную в точке х0

а) у = 2х4 – 5х +3, х0 = –1

б) у = 5, х0 = 36

Вариант4

  1. Найдите производные функций

а) х13 б) 3х7 в) г) д)

е ) y = 2x7 – 5x3 + 9

  1. Найдите производную в точке х0

а) у = 3х3 – 7х – 6, х0 = 2

б) у = 3, х0 = 25

Домашняя самостоятельная работа

Вариант 1

1. Найдите производные функций:

а) у = 5х; б) у = х6; в) у = ; г) у = .

2. Найдите производные функций в точке хo :

а) у = 2х3 + 4 х2 – 8х +1, хo = 3

б) у = sinx + 3 cos

x; xo =

в) у = 2х – , хo = 25.

3. Вычислите производные функций:

а) f(x) = x5 ; б) f(x) = 4x3 sinx; в) f(x) = (5x+6 )8;

г) f(x) = ; д) f(x) = ; е) f(x) = tg(4x-3)

Вариант 2

1.Найдите производные функций:

а) у = -3х; б) у = х9; в) у = ; г) у = .

2. Найдите производные функций в точке хo :

а) у = 3х4 – 6 х2 +7х +5, хo = 2

б) у = 4sinx – cosx; xo =

в) у = 6х + , хo = 16.

3. Вычислите производные функций:

а) f(x) = x7 ; б) f(x) = 3x4 sinx; в) f(x) = (7x–5 )4;

г) f(x) = ; д) f(x) = ; е) f(x) = ctg(7x+2)

Вариант 3

1. Найдите производные функций:

а) у = 7х; б) у = х5; в) у = ; г) у = .

2. Найдите производные функций в точке хo :

а) у = –5х3 + 2 х2 + 3х +7, хo = 2

б) у = 2sinx + cosx; xo =

в) у = 7х – , хo = 36.

3. Вычислите производные функций:

а) f(x) = x3 ; б) f(x) = 2x7 cos x; в) f(x) = (4x–2 )7;

г) f(x) = ; д) f(x) = ; е) f(x) = ctg(5x-2)

Вариант 4

1.Найдите производные функций:

а) у = –6х; б) у = х11; в) у = ; г) у = .

2. Найдите производные функций в точке хo :

а) у = 4х5 –5 х3 +2х +3, хo = –1

б) у = 2cosx – sinx; xo =

в) у = 6х – , хo = 9.

3. Вычислите производные функций:

а) f(x) = x4 ; б) f(x) = –2x6 cos

x; в) f(x) = (4+6x )5;

г) f(x) = ; д) f(x) = ; е) f(x) = tg(6x+2)

Контрольная работа по теме «Производная»

2020-2021 Контрольная работа №4 11 класс

по теме «Производная»

Вариант 1

1º. Найти производную функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2º.Найдите значение производной функции в точке = 3.

3º.Точка двигается по закону. (s — в метрах).

а)º Найдите её скорость в момент времени t = 1 с.

б) В какой момент времени ускорение будет равно 11 .

4. Решите уравнение , если .

5. Решить неравенство , если

6. Найти производную функции .

2020-2021 Контрольная работа №4 11 класс

по теме «Производная»

Вариант 2

1º.Найти производную функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2º.Найдите значение производной функции в точке = 5.

3º. Точка двигается по закону. (s — в метрах).

а)º Найдите её скорость в момент времени t = 2 с.

б) В какой момент времени ускорение будет равно 21 .

4. Решите уравнение , если .

5. Решить неравенство , если

6. Найти производную функции .

2020-2021 Контрольная работа №4 11 класс

по теме «Производная»

Вариант 1

1º.Найти производную функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2º.Найдите значение производной функции в точке = 3.

3º.Точка двигается по закону. (s — в метрах).

а)º Найдите её скорость в момент времени t = 1 с.

б) В какой момент времени ускорение будет равно 11 .

4. Решите уравнение , если .

5. Решить неравенство , если

6. Найти производную функции .

2020-2021 Контрольная работа №4 11 класс

по теме «Производная»

Вариант 2

1º.Найти производную функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2º.Найдите значение производной функции в точке = 5.

3º. Точка двигается по закону. (s — в метрах).

а)º Найдите её скорость в момент времени t = 2 с.

б) В какой момент времени ускорение будет равно 21 .

4. Решите уравнение , если .

5. Решить неравенство , если

6. Найти производную функции .

ГДЗ Алгебра 11 класс Александрова

Алгебра 11 класс

Самостоятельные работы (Базовый уровень)

Александрова

Мнемозина

Как и во все предыдущие годы основной упор в школе идет на результативность. Причем учителей по-прежнему не волнует, как эти результаты будут достигнуты. Учащимся приходится не только осваивать новый материал, но и самостоятельно готовиться ко всем проверочным работам. Учитывая общую сложность и насыщенность учебного процесса, это дается им весьма непросто. Облегчить подобные упражнения поможет решебник к учебнику «Алгебра и начала математического анализа. Самостоятельные работы 11 класс (базовый уровень)» Александрова. Благодаря подробным разъяснениям и обстоятельным наглядным примерам, подростки имеют возможность полноценно освоить все нюансы данного предмета.

Основные моменты издания

В пособии имеется сорок две самостоятельные работы, которые распределены по тематическим разделам. Каждая работа содержит по четыре варианта, что позволит всесторонне подготовиться к подобным испытаниям. ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова включает в себя только исчерпывающие решения и проверенные ответы по всем номерам.

Какие цели преследует его использование

Витая мыслями в мечтах о выпускном, учащиеся могут упустить нечто важное в текущем материале, который становится в этом году чрезвычайно сложным. Логарифмические уравнения и интегралы зачастую никак не воспринимаются школьниками, а ведь хорошее знание этих разделов поможет успешно справиться с большей частью проверочных работ. Кроме того, это необходимо и для экзаменационной части. Поэтому подросткам предстоит приложить много усилий для того, чтобы быть в числе отличников. Подготовиться же ко всем предстоящим испытаниям можно при помощи решебника к учебнику «Алгебра и начала математического анализа.

Самостоятельные работы 11 класс (базовый уровень)» Александрова. «Мнемозина», 2016 г.

Похожие ГДЗ Алгебра 11 класс

Название

Условие

Решение

Страница не найдена — Гимназия РГУ им. А.Н. Косыгина

Уважаемые школьники, их родители и заинтересованные лица!
Приглашаем вас посетить ДЕНЬ ОТКРЫТЫХ ДВЕРЕЙ,

который будет проводиться 26.03.2022 г. с 12.00. в очном формате.

Для посещения Дня открытых дверей необходимо пройти предварительную регистрацию.

Ссылка на регистрацию:

https://fgbou-vo-rossiyskiy-gosud.timepad.ru/event/1877177/

Категория: Новости

Уважаемые школьники, их родители и заинтересованные лица!

Приглашаем вас посетить ДЕНЬ ОТКРЫТЫХ ДВЕРЕЙ,

который будет проводиться 08.

02.2022 г. с 17.00 в дистанционном формате.

Выступление директора гимназии Киселёвой Н.Ю. будет проводиться на платформе Google Meet . Для участия необходимо иметь аккаунт в почте gmail.com

Для  получения ссылки на встречу необходимо пройти предварительную регистрацию на сайте университета.

Ссылка на регистрацию:

https://fgbou-vo-rossiyskiy-gosud.timepad.ru/event/1867346/

Категория: Новости

Уважаемые школьники, их родители и заинтересованные лица!
Приглашаем вас посетить ДЕНЬ ОТКРЫТЫХ ДВЕРЕЙ ГИМНАЗИИ , который будет проводиться 22.01.2022 г.   в дистанционном формате.

Выступление директора гимназии Киселёвой Н.Ю. будет проводиться на платформе Google Meet . Для участия необходимо иметь аккаунт в почте gmail.com

Присоединиться к встрече можно будет 22 января с 11. 40

Начало выступления – 12.00

 

 Для посещения Дня открытых дверей необходима предварительная регистрация:

Всем зарегистрировавшимся участникам будет выслана на электронную почту ссылка для входа на видеовстречу.

Категория: Новости

Уважаемые школьники, их родители и заинтересованные лица!
Приглашаем вас посетить ДЕНЬ ОТКРЫТЫХ ДВЕРЕЙ ГИМНАЗИИ ,

который будет проводиться 14.12.2021 г. в 17.00  в очном формате.

Встреча с директором гимназии Натальей Юрьевной Киселёвой  будет проходить по адресу: ул.Малая Калужская,  д.1 , корп.2., каб. 2111.

Вход в гимназию будет осуществляться  через главный корпус университета. От дверей главного корпуса будет организовано сопровождение до учебного корпуса №2  по внутренней территории университета.

Сбор гостей гимназии осуществляется с 16.30 до 17.00.

Необходима предварительная регистрация:  https://fgbou-vo-rossiyskiy-gosud.timepad.ru/event/1867346/

Наличие маски обязательно!

Категория: Новости

Ученицы гимназии РГУ им.А.Н. Косыгина Николаева Арина и Плешакова Аня заняли первое место на Открытом городском конкурсе научно-технических проектов школьников «Инженерный старт 2021» . Проект под названием «Цифровое проектирование коллекции женской дизайнерской одежды «Перерождение», подготовленный под руководством Смирнова Вячеслава Борисовича, был признан лучшим из более чем 20 проектов. Жюри высоко оценило инновационный подход к проектированию одежды, легкую подачу материала и прекрасное оформление проекта.

Поздравляем наших победителей. Приятным бонусом к диплому победителя конкурса станет возможность получить 8 баллов к результатам ЕГЭ при поступлении в РГУ им. А.Н. Косыгина.
Дальнейших творческих успехов!

Категория: Новости

Поздравляем Мусатову Екатерину, учащуюся 10 «А» класса с победой в Международном фестивале-конкурсе детско-молодежного творчества «Кубок России по художественному творчеству», который проходил 9- 14 ноября 2021 г.

Екатерина получила 1 место за работу «Ирис» в номинации «Флора и цветы;
1 место за работу «В предвкушении» в номинации «Фауна и дикая природа»;
2 место за работу «В ночи» в номинации «Флора и цветы»;
3 место за работу «Ирбис» в номинации «Фауна и дикая природа».
За свои работы Екатерина награждена дипломами и медалями!

Категория: Новости

Поздравляем учащуюся 10 Д класса Чередниченко Анну с победой в шоу-конкурсе «Таланты», который ежегодно проводится в РГУ им. А.Н.Косыгина.  Аня выступила с песней «Let yourself go».

Категория: Новости

Уважаемые школьники, их родители и заинтересованные лица!

Приглашаем вас посетить ДЕНЬ ОТКРЫТЫХ ДВЕРЕЙ,

который будет проводиться 27.11.2021 г. с 12.00 до 15.00 по адресу: г.Москва,

 ул.Малая Калужская, д.1.

Для посещения Дня открытых дверей необходимо пройти предварительную регистрацию:

Ссылка на регистрацию:

https://kosygin-rgu.ru/vuz/opendoors.aspx

 

Категория: Новости

Поздравляем Маршанскую Марию, учащуюся 11 А класса, с победой во Всероссийском онлайн  конкурсе  рисунков и эскизов в честь юбилея Н.П.Ламановой.
Мария заняла 2 место в категории «Юниоры».
Три работы Марии представлены на выставке «Гений в юбке и её эпоха». Выставка открыта с 14 октября до 25 ноября, на ВДНХ, в павильоне «Рабочий и колхозница».

Категория: Новости

Поздравляем Маршанскую Марию, учащуюся 11 А класса, с получением медали за большие достижения в научно-исследовательской деятельности!
Мария победила в Международном дистант-форуме лучших молодых умов планеты «Шаг в будущее 2021», который проходил в апреле 2021 г., и была награждена дипломом.
16 сентября 2021 г., Марии была вручена Малая научная медаль за большие успехи в научно-исследовательской деятельности.

Категория: Новости

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для

Предлагаемое пособие в первую очередь предназначено для учителей и учащихся, работающих по двухуровневому учебнику «Нелин Е. П., Лазарев В.А. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: базовый и профильный уровни» (издательство «Илекса»), но может использоваться и при работе по другим учебникам алгебры и начал математического анализа, особенно при подготовке учащихся к решению заданий ЕГЭ и ГИА.
Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ:
1. Сборник содержит полный набор самостоятельных и контрольных работ по всему курсу алгебры и начал математического анализа 11 класса, как базового, так и профильного уровней.
Контрольные работы рассчитаны на один урок, самостоятельные работы — на 25—40 минут, в зависимости от темы и уровня подготовки учащихся.
2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Задания уровня А предназначены для учащихся, которые обучаются по программе базового уровня, а задания уровней Б и В — для учащихся, которые обучаются по программе профильного уровня. Задания уровня В предназначены для учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено два расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте.
3. В книгу включены также домашние самостоятельные и практические работы, содержащие творческие, нестандартные задачи по каждой изучаемой теме, а также задачи повышенной сложности. Эти задания могут в полном объеме или частично предлагаться учащимся в качестве зачетных, а также использоваться как дополнительные задания для проведения контрольных работ. По усмотрению учителя выполнение нескольких или даже одного такого задания может оцениваться отличной оценкой.
Ответы к контрольным и домашним самостоятельным работам приводятся в конце книги.

СОДЕРЖАНИЕ
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 5
С-1. Понятие предела функции в точке. Метод интервалов решения неравенств 5
С-2. Вычисление пределов числовых последовательностей и функций. Непрерывность функции 7
С-3. Асимптоты графика функции 9
С-4. Определение производной. Простейшие правила вычисления производных 12
С-5. Производные элементарных и сложных функций 15
С-6. Геометрический и механический смысл производной 18
С-7*. Дополнительные задачи на нахождение асимптот графика функции (домашняя самостоятельная работа) 22
K-l(KII-l). Производная 23
С-8. Исследование функции на монотонность и экстремумы 27
0-9. Исследование показательных, логарифмических и степенных функций на монотонность и экстремумы 29
С-10*. Построение графиков функций с помощью производной (домашняя практическая работа) 31
С-11. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции 32
С-12*. Избранные задачи дифференциального исчисления (домашняя самостоятельная работа) 35
К-2 (КП-2) Применение производной 36
С-13. Производные обратных тригонометрических функций. Доказательство тождеств с помощью производной 39
С-14. Выпуклость и точки перегиба функции. Расширенная схема исследования функции 40
С-15. Применение производной к решению уравнений и неравенств и к доказательству неравенств 41
(КП-3). Применение производной к решению уравнений и неравенств 43
ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ 45
С-16. Первообразная. Вычисление первообразных 45
С-17. Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур 48
С-18. Применение первообразной и интеграла 50
С-19*. Избранные задачи интегрального исчисления (домашняя самостоятельная работа) 53
К-3 (КП-4). Первообразная и интеграл 57
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ 61
С-20. Основные формулы комбинаторики. Простейшие комбинаторные задачи 61
С-21. Комбинаторные задачи. Правило суммы и правило произведения 64
С-22. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов 66
С-23*. Дополнительные задачи по комбинаторике (домашняя самостоятельная работа) 68
С-24. Классическая вероятность. Использование формул комбинаторики при вычислении вероятности 70
С-25. Теоремы сложения и умножения вероятностей 72
С-26. Статистическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности 75
С-27. Вероятность осуществления хотя бы одного из независимых событий. Схема Бернулли 78
С-28. Понятие о статистике. Генеральная совокупность и выборка. Числовые характеристики рядов данных 80
К-4 (КП-5) Комбинаторика, вероятность, статистика 83
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 87
С-29. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме 87
С-30. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическое изображение комплексных чисел 90
С-31. Тригонометрическая форма комплексного числа 93
С-32*. Дополнительные задачи с комплексными числами (домашняя самостоятельная работа) 96
К-5 (КП-6). Комплексные числа 97
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ, НЕРАВЕНСТВАХ И ИХ СИСТЕМАХ 101
С-33. Методы решения уравнений, неравенств и их систем 101
С-34. Задачи с параметрами 104
К-6 (КП-7). Обобщение сведений о решении уравнений, неравенств и их систем 105
К-7 (КП-8). Итоговое повторение курса алгебры и начал анализа 108
ОТВЕТЫ 112
Ответы к контрольным работам 112
Ответы к домашним самостоятельным работам 120
ЛИТЕРАТУРА 136
ПРИЛОЖЕНИЕ. Ориентировочное тематическое планирование курса алгебры и начал математического анализа в 11 классе по учебнику Нелина Е.П., Лазарева В.А. (и распределение самостоятельных и контрольных работ) 137

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы к двухуровневому учебнику «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: базовый и профильный уровни» Е.П. Нелина, В. А. Лазарева. Пособие также можно использовать при работе по любому учебнику и для самообразования, например, при подготовке к решению заданий ЕГЭ. Предлагаемые работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности и предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся.

Урок 12.

производная степенной функции — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №12. Производная степенной функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • разбор понятия производной степенной функции;
  • вычисление производной степенной функции;
  • знакомство с правилами вычисления производных одночлена и многочлена.

Глоссарий по теме

Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n – произвольное натуральное число, такова:

(xn)=nxn-1

Формула для вычисления производной степенной функции (kx+b)p:

((kx+b)p)= pk(kx+b)p

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n – произвольное натуральное число, такова: (xn)’=nxn-1.

Нам уже известна формула производной функции х2: (x2)’=2x.

Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:

(x3) ‘ = (x2·x) ‘ = (x2) ‘ · x + x2 · (x) ‘ = 2x·x+x2·1 = 3x2;

(x4) ‘ = (x3·x) ‘ = (x3) ‘·x+x3·(x) ‘ = 3x2·x+x3·1 = 4x3.

Заметим, что

(x2) ‘ = 2x2-1

(x3) ‘ = 3x3-1

(x4)’=4x4-1

Т. е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т.д.

Пример 1.

Докажем что, , при .

Решение:

  1. представим как х-1;
  2. воспользуемся формулой (1): (х-1)’=-1·x-1-1=-x-2;
  3. вернемся к первоначальному виду

.

В более сложных случаях, например, при нахождении производной функции (3х-1)7, можно воспользоваться следующей формулой:

((kx+b)p)’=pk(kx+b)p-1

Пример

Найдем производную функции (3х-1)7.

Решение:

воспользуемся формулой (2)

((3х-1)7)’=21(3x-1)6.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Вычислить f’(9), если .

Решение:

;

.

Пример 2

Доказать, что на промежутке:

  1. x>0;
  2. x<0.

Доказательство:

  1. если x>0, то и по формуле (1) получаем:

.

  1. если x<0, то и по формуле (2) получаем:

.

Исчисление I — Производные

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 3: Производные

В этой главе мы начнем рассмотрение следующей важной темы в классе исчисления — производных. Эта глава посвящена почти исключительно поиску производных.В этой главе мы рассмотрим одно из них. Мы оставим большинство приложений производных до следующей главы.

Вот список тем, затронутых в этой главе.

Определение производной. В этом разделе мы определяем производную, даем различные обозначения для производной и работаем над несколькими задачами, иллюстрирующими, как использовать определение производной для фактического вычисления производной функции.

Интерпретация производной – В этом разделе мы даем несколько наиболее важных интерпретаций производной.Мы обсуждаем скорость изменения функции, скорость движущегося объекта и наклон касательной к графику функции.

Формулы дифференцирования. В этом разделе мы даем большинство общих формул производных и свойств, используемых при нахождении производной функции. Примеры в этом разделе в основном сосредоточены на многочленах, корнях и, в более общем плане, переменных, возведенных в степень.

Правило произведения и частного

. В этом разделе мы приведем две наиболее важные формулы для дифференцирования функций.Мы обсудим Правило произведения и Правило частного, позволяющие нам дифференцировать функции, которые до этого момента мы не могли дифференцировать.

Производные триггерных функций. В этом разделе мы обсудим дифференцирование триггерных функций. Даны производные всех шести тригонометрических функций, и мы показываем вывод производных от \(\sin(x)\) и \(\tan(x)\).

Производные экспоненциальной и логарифмической функций. В этом разделе мы выводим формулы для производных экспоненциальной и логарифмической функций.

Производные обратных триггерных функций. В этом разделе мы приводим производные всех шести обратных триггерных функций. Покажем вывод формул арксинуса, арккосинуса и арктангенса.

Производные гиперболических функций. В этом разделе мы определяем гиперболические функции, даем отношения между ними и некоторые основные факты, связанные с гиперболическими функциями. Мы также приводим производные каждой из шести гиперболических функций и показываем вывод формулы для гиперболического синуса.

Цепное правило

. В этом разделе мы обсудим одну из наиболее полезных и важных формул дифференцирования — Цепное правило. Имея в руках цепное правило, мы сможем различать гораздо более широкий спектр функций. Как вы увидите на протяжении остальных курсов по математическому анализу, многие производные, которые вы будете использовать, будут включать цепное правило!

Неявное дифференцирование. В этом разделе мы обсудим неявное дифференцирование. Не каждую функцию можно явно записать в терминах независимой переменной, например.грамм. y = f(x), но нам все равно нужно знать, что такое f'(x). Неявное дифференцирование позволит найти производную в этих случаях. Знание неявной дифференциации позволит нам сделать одно из наиболее важных применений деривативов — относительные ставки (следующий раздел).

Связанные ставки – В этом разделе мы обсудим единственное применение деривативов в этом разделе, Связанные ставки. В задачах о связанных скоростях нам задают скорость изменения одной величины в задаче и просят определить скорость одной (или нескольких) величин в задаче.Часто это один из самых сложных разделов для студентов. В этом разделе мы работаем с несколькими задачами, поэтому, надеюсь, к концу этого раздела вы получите достаточное представление о том, как работают эти задачи.

Производные более высокого порядка. В этом разделе мы определяем понятие производных более высокого порядка, даем быстрое применение производной второго порядка и показываем, как работает неявное дифференцирование для производных более высокого порядка.

Логарифмическое дифференцирование. В этом разделе мы обсудим логарифмическое дифференцирование.Логарифмическое дифференцирование дает альтернативный метод дифференцирования произведений и частных (иногда более простой, чем использование правила произведения и частного). Более важным, однако, является тот факт, что логарифмическое дифференцирование позволяет нам дифференцировать функции, которые находятся в виде одной функции, возведенной в другую функцию, т. е. есть переменные как в основании, так и в показателе функции.

Нахождение производной квадратного корня из x — Видео и расшифровка урока

Решение

Формула показывает, что производная квадратного корня из x равна (1/2) x -1/2.Это может быть записано в нескольких различных формах:

Проверка вашей работы

Существует несколько способов проверки нашей работы при работе с деривативами. Первый касается определения производной с использованием пределов.

Мы можем использовать это определение для проверки нашей работы. При этом мы должны получить тот же результат, что и при использовании формулы.Начнем с того, что f ( x ) = sqrt( x ) и подставим соответственно.

Теперь мы хотим найти предел, когда ч приближается к 0. Один из способов оценки предела состоит в том, чтобы подставить число, к которому приближается ч , вместо ч . Однако в этом случае мы подставим 0 вместо ч . Вы понимаете, почему мы не можем этого сделать? Если вы думаете, что мы не можем подставить 0 вместо ч , потому что это создаст нулевой знаменатель, то вы правы! Поэтому мы собираемся манипулировать пределом, чтобы привести его к форме, в которой мы можем подставлять 0 вместо ч , не создавая неопределенного выражения.Умножим это все на версию числа 1:

Помните, мы не меняли лимит, так как в итоге просто умножили его на единицу. Кроме того, обратите внимание, что теперь мы можем подставить ноль вместо ч без создания нулевого знаменателя или неопределенного выражения. Давайте сделаем именно это, чтобы найти предел и, в процессе, найти производную квадратного корня из x . Как только мы подставим 0 вместо ч , наше уравнение станет таким:

Видите, производная квадратного корня из х равна (1/2) х -1/2, именно это мы и получили, воспользовавшись формулой. Фу! Это хорошие новости! Это означает, что мы сделали свою работу правильно.

Интегралы

Еще один способ проверить нашу работу — использовать интегралы. Интегралы называются антипроизводными, и они в основном отменяют производные. То есть, если a является производной от b , то интеграл от a равен b + C , где C — константа.

Это говорит нам о том, что в нашем примере, поскольку производная sqrt( x ) равна (1/2) x -1/2, должно быть так, что интеграл от (1/2) x -1/2 — это sqrt( x ) + C , где C — константа.Возможно, вы еще не знакомы с интегралами, но это нормально. Нам повезло, что у нас есть два простых факта, которые позволят нам найти интеграл от (1/2) x -1/2.

1.) Интеграл от константы, умноженной на функцию, равен умножению константы на интеграл от функции.

2. ) Формула интеграла x n равна:

Используя эти два правила, мы можем найти интеграл от (1/2) x -1/2 и убедиться, что он равен sqrt( x ) + C , где C является постоянный.Это позволит нам проверить, правильно ли мы выполнили свою работу.

Как мы и надеялись, мы видим, что интеграл от (1/2) x -1/2 равен sqrt( x ) + C , где C — константа. Здорово! И снова наша работа подтверждается.

При работе с производными как функция производных с использованием пределов, так и интегралы чрезвычайно полезны для проверки правильности выполнения нашей работы.

Результаты обучения

Тщательно изучите урок и сохраните достаточно информации, чтобы уверенно:

  • Найдите производную квадратного корня из x
  • Использовать интегралы для проверки своей работы

CBSE Class 11 Maths Chapter 13

Введение пределов и производных

Основы дифференцирования и исчисления служат основой для углубленной математики, современной физики и многих других современных научных и технических областей. Для студентов CBSE ограничения и производные класса 11 служат отправной точкой для исчисления.


Пределы функции

В математике предел определяется как значение, к которому приближается функция как к входу, и оно производит некоторое значение. В исчислении и математическом анализе пределы важны и используются для определения интегралов, производных и непрерывности.


Пределы Формула

Чтобы выразить предел функции, мы представляем его как:

$\lim_{x\to a}f(x)$

Левый и правый пределы точка, очень близкая к a, стремится слева к определенному единственному числу, когда $x$ стремится к $a$, то полученное таким образом единственное число называется левым пределом $f(x)$ при $x = a $, запишем это как $x = a$.{+}}f(x)$


Свойства пределов

1. $lim_{x\to a}[p(x) + g(x)] = \lim_{x\to a}p(x ) + \lim_{x\to a}g(x)$

2. $lim_{x\to a}[p(x) — g(x)] = \lim_{x\to a}p(x ) — \lim_{x\to a}g(x)$

3. Для каждого действительного числа $k$

$\lim_{x\to a}[kp(x)] = k \lim_{x \to a}p(x)$

4. $\lim_{x\to a}[p(x) q(x)] = \lim_{x\to a}p(x) \times \lim_{ x\to a}q(x)$

5. $\lim_{x\to a}\dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{\lim_{x\to a}p (x)}{\lim_{x\to a}q(x)}$

Пусть две функции равны $p$ и $q$, а значение $a$ таково, что


Производные функции

A производная соответствует, по сравнению с другой, мгновенной скорости изменения величины.\prime(x)$ для функции $f$ при условии, что приведенное выше уравнение существует. Найдите здесь все формулы производных, относящиеся к тригонометрическим функциям, обратным функциям, гиперболическим функциям и т. д.


Свойства производных

1. $\dfrac{d}{dx}[p(x) + q(x)] = \dfrac{d}{dx}(p(x)) + \dfrac{d}{dx}(q(x))$

2. $\dfrac{d}{dx}[p(x) — q(x)] = \dfrac{d}{dx}(p(x)) — \dfrac{d}{dx}(q(x))$

3. $\dfrac{d}{dx}[ p(x) \times q(x)] = \dfrac{d}{dx}[p(x)] q(x) + p(x) \dfrac{d}{dx}[q(x)]$

4.2 + x — 30}$

Решение:

Указанный предел представляет собой отношение двух многочленов, $x = 5$. Это, безусловно, делает как числитель, так и знаменатель равными нулю (0). Нам необходимо разложить как числитель, так и знаменатель, как показано ниже.

$\lim_{x \to 5} \dfrac{(x — 5)(x + 5)}{(x — 5)(x + 6)}$

Упростите выражение, чтобы получить:-

$ \lim_{x \to 5} \dfrac{x + 5}{x + 6} = \dfrac{10}{11}$


Введение в пределы с помощью факторинга

Этот конкретный метод представляет собой довольно интересный способ решения пределов.2 — 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1 ) = 2$

Вы легко найдете эти типы числовых задач на пределах всякий раз, когда заметите частное двух многочленов. Вы можете попробовать этот метод, учитывая, что существует неопределенность.

3.2 Производная как функция – Исчисление Том 1

Цели обучения

  • Определить производную заданной функции.
  • Постройте производную функцию по графику заданной функции.
  • Укажите связь между производными и непрерывностью.
  • Опишите три условия, при которых функция не имеет производной.
  • Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы продифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получим скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке даст ценную информацию о поведении функции.Однако процесс нахождения производной даже при нескольких значениях с использованием методов из предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение

Позвольте быть функцией.Производная функция , обозначенная как , является функцией, область определения которой состоит из тех значений таких, что существует следующий предел:

.

Говорят, что функция дифференцируема в , если
существует. В более общем смысле говорят, что функция дифференцируема на , если она дифференцируема в каждой точке открытого множества, а дифференцируемая функция — это функция, которая существует в своей области определения.

В следующих нескольких примерах мы используем (Рисунок) для нахождения производной функции.

Нахождение производной функции квадратного корня

Найдите производную от .

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).

Нахождение производной квадратичной функции

Найдите производную функции .

Решение

Выполните ту же процедуру здесь, но без умножения на сопряженное.

Найдите производную от .

Решение

Мы используем различные обозначения для выражения производной функции. На (рис.) показано, что если , то . Если бы мы представили эту функцию в виде , мы могли бы выразить производную как или . Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от :

.

Вместо мы также можем использовать Использование обозначения (так называемого обозначения Лейбница) довольно распространено в технике и физике.Чтобы лучше понять это обозначение, вспомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих по мере приближения секущих к касательной. Наклоны этих секущих часто выражаются в виде где — разность значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((рисунок)). Таким образом, производная, которую можно рассматривать как мгновенную скорость изменения по отношению к , выражается как

. Фигура 1.Производная выражается как .

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы могли бы построить график. Учитывая оба, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к ).

На (Рисунок) мы обнаружили, что для . Если мы изобразим эти функции на тех же осях, что и на (рис.), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями.Во-первых, мы замечаем, что увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклоны его касательных линий во всех точках положительны. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в своей области определения. Более того, по мере увеличения наклоны касательных к уменьшаются, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение . Мы также замечаем, что это не определено и что , что соответствует вертикальной касательной к точке 0,

Рис. 2. Производная везде положительна, так как функция возрастает.

На (Рисунок) мы обнаружили, что для . Графики этих функций представлены на (рис.). Обратите внимание, что уменьшается для . Для этих же значений . При значениях возрастает и . Кроме того, имеет горизонтальную касательную в и .

Рисование производной с помощью функции

Используйте следующий график для построения графика .

Нарисуйте график . На каком интервале находится график над осью -?

Решение

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков.Сначала рассмотрим связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. На самом деле функция может быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Доказательство

Если дифференцируем при , то существует и

.

Мы хотим показать, что at является непрерывным, показав, что .Таким образом,

Таким образом, поскольку определено и , мы заключаем, что непрерывно в .

Мы только что доказали, что дифференцируемость влечет непрерывность, но теперь мы рассмотрим, влечет ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, рассмотрим функцию . Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не влечет дифференцируемости. Давайте исследовать дальше. Для ,

.

Это ограничение не существует, так как

.

См. (рисунок).

Рис. 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не может быть дифференцируемой. Рассмотрим функцию:

.

Таким образом не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((Рисунок)).

Рис. 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке . Она непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

Функция также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в 0. Мы видим, что

.

Этот предел не существует, в основном потому, что наклоны секущих постоянно меняют направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

Рис. 6. Функция не дифференцируема в 0.

Итого:

  1. Заметим, что если функция не непрерывна, она не может быть дифференцируемой, так как каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она может не быть дифференцируемой.
  2. Мы видели, что это не может быть дифференцируемо в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это вылилось в острый угол на графике функции в 0. Отсюда делаем вывод, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть в этой точке «гладкой».
  3. Как мы видели на примере , функция не может быть дифференцируема в точке, где есть вертикальная касательная.
  4. Как мы видели, функция может не быть дифференцируемой в какой-либо точке и более сложными способами.

Кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой

Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорость. Производная скорости — это скорость изменения скорости, то есть ускорение. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать брать производные, чтобы получить третью производную, четвертую производную и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначение производных более высокого порядка может быть выражено в любой из следующих форм:

.

Интересно отметить, что нотация для может рассматриваться как попытка выразиться более компактно. Аналогично, .

Нахождение второй производной

Для , найти .

Обнаружение ускорения

Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах).Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

  • Производная функция

В следующих упражнениях используйте определение производной, чтобы найти .

1.

2.

3.

4.

Решение

5.

6.

Решение

7.

8.

Решение

9. 

10.

Решение

В следующих упражнениях используйте график для построения графика его производной .

11.  12. 
Решение

13.  14. 
Решение

Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции при .Найти и .

15.

16. 

Решение

17. 

18. 

Решение

19. 

20.

Решение

Для следующих функций,

  1. эскиз графика и
  2. используют определение производной, чтобы показать, что функция не является дифференцируемой при .

21. 

23. 

Для следующих графиков

  1. определить, для каких значений существует, но не является непрерывным в , и
  2. определить, при каких значениях функция непрерывна, но не дифференцируема при .
25. 

Для следующих функций используйте для поиска .

28. 

29. 

30.

Решение

В следующих упражнениях используйте калькулятор для построения графика. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

31. [Т]

33. [Т]

35. [Т]

В следующих упражнениях опишите, что представляют два выражения в терминах каждой из данных ситуаций. Обязательно укажите единицы измерения.

37. обозначает население города в определенное время в годах.

38.  обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную посетителями на уступки в парке развлечений.

Решение

а. Средняя ставка, по которой клиенты тратят на уступки, в тысячах на одного клиента.
б. Коэффициент (в тысячах на клиента), по которому клиенты потратили деньги на уступки, в тысячах на клиента.

39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

40.  обозначает оценку (в процентах), полученную за тест с учетом часов обучения.

Решение

а. Средняя оценка, полученная за тест при среднем времени обучения между двумя суммами.
б. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка за тест повысилась или понизилась за заданное среднее время обучения в часах.

41. обозначает стоимость (в долларах) учебника по социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

Решение

а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
б. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается в футах.

Решение

а. Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается на данной высоте.
б. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов равна -0.1 градус на фут.

Решение

а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
б. Скорость резко возрастает до третьей недели, после чего замедляется, а затем становится постоянной.

Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

Время (секунды) Высота (метры)
0 0
1 2
2 4
3 13
4 25
5 32

47. Каков физический смысл ? Что такое единицы?

48. [T] Построить таблицу значений и построить график на одном и том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените как левый предел, так и правый предел и усредните их.)

Решение
Время (секунды) (м/с)
0 2
1 2
2 5.5
3 10,5
4 9,5
5 7
.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.