Решение неравенств методом интервала: Решение Неравенств через Метод Интервалов

Содержание

Решение Неравенств через Метод Интервалов

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:


где x — переменная,

a, b, c — числа,

при этом а ≠ 0.

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

  • графический метод;
  • метод интервалов.

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:


  1. D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;

  2. D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;

  3. D < 0. Если дискриминант меньше нуля, тогда у квадратного уравнения нет корней.

В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a, возможно одно из шести расположений графика функции у = ax2 + bx + c.


Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен

ax2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤, ≥.

Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.

Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.

Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:


  1. Найти нули квадратного трехчлена ax2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

  2. Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.

    Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.



  3. Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.

  4. Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

    Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.

    В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.

    Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.



  5. Выбрать необходимые интервалы и записать ответ.

Расскажем подробнее про третий шаг алгоритма. Существует несколько подходов для определения знаков на промежутках.

Для примера возьмем трехчлен

x2 + 4x — 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).

Определим знак трехчлена x2 + 4x — 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:

  • 22 + 4 * 2 — 5 = 4 + 8 — 5 = 7.

7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.

Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала

(-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:

  • 02 + 4 * 0 — 5 = 0 + 0 — 5 = -5.

Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.

Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:

  • (-6)2 + 4 * (-6) — 5 = 36 — 24 — 5 = 7.

Следовательно, искомый знак — плюс.

Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a < 0, последовательность знаков: −, +, −.

Можно также сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, +,

если a < 0, последовательность знаков: −, −.

Например -4x2 — 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

  • Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
  • Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же.
    2 — 5x + 6 ≥ 0.

    Как решаем:


    1. Разложим квадратный трехчлен на множители.

      Неравенство примет вид:

      (х — 3) * (х — 2) ≥ 0


    2. Проанализируем два сомножителя:

      Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х — 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

      Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

      Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

      В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.


    3. Построим чертеж.

    4. Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

      х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:

      (-1 — 3) * (-1 — 2) = -4 * (-3) = 12

      12 > 0

      Вывод: при х < 0 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0.

      Отобразим эти данные на чертеже:


      2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.

      Подставляем:

      • (2,5 — 3) (2,5 — 2) = -0,5 * 0,5 = — 0,25 < 0

      Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) < 0. Отметим на чертеже:


      х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

      Подставляем:

      • (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0

      Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.


    5. Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.

      Если (х — 3) * (х — 2) > 0:

      (x — 3) * (x + 3/2) > 0.

      Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

      Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.


    Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

    Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.

    Как решить неравенство методом интервалов, нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:


    Ответ: -3 < x < -2.

    Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:


    Как решаем:


    1. Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:

    2. Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:

    3. Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).

      Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:


    4. Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:

      Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).


    5.  

    Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).

    Решение рациональных неравенств методом интервалов. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

    1. Рациональное неравенство (знаменатель — число)

    Сложность: лёгкое

    2
    2. Числа, которые являются решением дробного неравенства

    Сложность: лёгкое

    3
    3. Замена рационального неравенства системами неравенств

    Сложность: лёгкое

    1
    4. Рациональное неравенство (линейное уравнение)

    Сложность: среднее

    3
    5. Рациональное неравенство (общий знаменатель)

    Сложность: среднее

    3
    6. Рациональное неравенство (неполный квадратный трёхчлен)

    Сложность: среднее

    4
    7. Рациональное неравенство (три множителя)

    Сложность: среднее

    4
    8. Дробное рациональное неравенство (знаменатель — бином)

    Сложность: среднее

    5
    9. Дробь и единица

    Сложность: среднее

    5
    10. Дробное рациональное неравенство (знаменатель — неполный квадратный трёхчлен)

    Сложность: среднее

    6
    11. Дробное рациональное неравенство (разность квадратов)

    Сложность: сложное

    8
    12. Дробное рациональное неравенство (теорема Виета)

    Сложность: сложное

    7
    13. Значения выражения, переменная x

    Сложность: сложное

    2

    Решение неравенств методом интервалов

    Цели:

    1. Обобщить использование метода интервалов для решения неравенств,
    2. Показать широкие возможности этого метода для решения неравенств, содержащих переменные под знаком log, , и тригонометрические функции.

    Мы будем рассматривать неравенства, правая часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частного функций.

    Идея метода: Знак произведения или частного определяется знаком сомножителей.

    Рис.1

    Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при переходе через нуль функции, причём справа от нуля знак функции совпадает со знаком углового коэффициента.

    Рис.2

    Квадратный трёхчлен с D>0 при переходе через каждый нуль функции меняет свой знак, причём правее большего корня знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента. [1]

    Эти соображения приводят к следующей схеме решения неравенства:

    Пример 1:[1]

    1. Найдём нули числителя: , , .
    2. Найдём нули знаменателя: .
    3. Наносим найденные нули на числовую ось. Т.к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы:

    Рис. 3

    На самом правом из них знак каждого сомножителя совпадает со знаком его старшего коэффициента:

    Следовательно, дробь на этом промежутке тоже отрицательна.

    1. При переходе через каждый из отмеченных нулей, один и только один из сомножителей меняет знак, и поэтому каждый раз меняется знак дроби. Учитывая это, расставляем в интервалах знаки (как показано на Рис.3).
    2. Выбираем интервалы, на которых дробь отрицательна.
    3. Записываем ответ: .

    В рассмотренном примере 1, знаки в промежутках знакопостоянства функции чередуются. Однако делать обобщение, что так будет происходить всегда, разумеется, не следует.

    Пример 2:

    1. нули числителя:

      -2 – нуль второй кратности

    2. нули знаменателя:
    3. наносим найденные нули на числовую ось, т. к. неравенство не строгое, то нули числителя изображаем заштрихованными точками, а нуль знаменателя мы выкалываем, т.к. это число не входит в область определения неравенства:

    Рис.4

    Обозначим нуль второй кратности галочкой, чтобы не забыть. Т.к. числитель всегда принимает положительные значения, то на правом крайнем промежутке знак будет зависеть от знака старшего коэффициента знаменателя, т.е. «+». Левее «1» знаменатель будет отрицательным, а числитель положительным, поэтому при переходе через число -2 знак не меняется:

    Рис.5

    Это поможет понять следующая геометрическая картинка (Рис.6):

    Рис.6

    1. Для записи ответа выбираем промежуток, где стоит знак «+» и заштрихованную точку , при которой дробь обращается в нуль.
      Ответ:

    Вывод: при переходе через нуль чётной кратности, знак не меняется.

    Решить по вариантам, с последующим обсуждением у доски.

    I вариант

    Пример 3:

    1. нули числителя:

      ;
    1. нули знаменателя:

      ;
      — нуль второй кратности

    Рис.7

    Ответ:

    II вариант

    Пример 4:

    1. нули числителя:
      — нуль второй кратности
    2. нули знаменателя:

      ;
      — нуль третьей кратности

    Рис.8

    Ответ:

    Применение метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.

    Универсальность метода основана на достаточно наглядном свойстве непрерывных функций: «Если на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет знак».

    Пример 5: [1] ,

    Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всей оси, а на области определения логарифмической функции, т.е. на промежутке (*):

    1. нули числителя:

      ; — не входит в (*)
    2. нули знаменателя:

      ;

    Рис. 9

    1. на самом правом промежутке
      , ,

    Следовательно на этом промежутке левая часть неравенства отрицательна

    1. при переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках.

    Ответ: .

    Пример 6:

    1. нули числителя:


      корней нет
    2. нули знаменателя:
    3. решение изображаем на рис. 10:

    Рис.10

    Квадратный трёхчлен в числителе не имеет корней и не меняет свой знак. Его знак совпадает со знаком старшего коэффициента, т.е. «+».

    Ответ:.

    Пример 7: ОДЗ:

    Приведём неравенство к такому виду, чтобы в правой части был «0»:

    1. нули числителя:

    ;;;

    1. нули знаменателя:
    2. решение изображаем на рис. 11:

    Рис.11

    Ответ:.

    Пример 8:

    ОДЗ:

    Рис.12

    1. нули числителя:
    2. нули знаменателя:

    , но ОДЗ удовлетворяет только

    1. решение изображаем на рис. 13:

    Рис.13

    Ответ:.

    Задание на дом: (Решение предоставлено в Приложении1)

    1. Ответ:.
    2. Ответ:.
    3. Ответ:.
    4. Ответ: .
    5. Ответ:.

    Задания для факультативный занятий предоставлены в Приложении2.

    Вывод: Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, а так же их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в своей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять при решении практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения.

    Список литературы:

    [1] «Метод интервалов» //Журнал «Квант» No12, 1985 г.

    Конспект урока по алгебре «Решение неравенств методом интервалов» (9 класс)

    Сорокина В.И., учитель математики МБОУ г.Астрахани «СОШ №51»

    Тема урока: Решение неравенств методом интервалов.

    Цели урока: 1) организовать работу по восприятию, осмыслению и первичному закреплению решение неравенств методом интервалов;

    2) способствовать формированию навыка решения и оформления неравенств методом интервалов;

    3) воспитывать познавательную активность, способствовать развитию логического мышления, математической и общей грамотности.

    Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал с текстами самостоятельных работ, схемы — алгоритмы решения.

    Тип урока: изучение нового материала.

    Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

    Структура урока:

    1. Организационный этап.

    2. Актуализация опорных знаний.

    3. Изучение нового материала.

    4. Первичное закрепление.

    5. Подведение итогов урока.

    6. Домашнее задание.

    Ход урока:

    1. Организационный этап (2 мин.)

    Приветствие. Выявление отсутствующих.

    1. Изучение нового материала (15 мин.)

    Вы уже знаете два вида неравенства: линейное и квадратное. Для каждого из них существует свой способ решения. В старших классах вы познакомитесь ещё с несколькими видами неравенств, такими как тригонометрические неравенства, показательные, логарифмические, рациональные, иррациональные. Каждое из этих неравенств тоже будет иметь свой способ решения. Но сегодня на уроке я познакомлю вас с универсальным способом решения неравенств, который называется метод интервалов. С его помощью вы сможете решить любое неравенство. Даже если вы забудете способ, которым решается то или иное неравенство, то всегда сможете воспользоваться методом интервалов.

    2.а. Просмотр момента видеоурока.

    Открываем рабочие тетради. Записываем число, тему урока: «Решение неравенств методом интервалов». Решение неравенства мы будем производить по алгоритму, который записан на доске. Учащиеся записывают алгоритм в свои тетради под диктовку преподавателя.

    Решение неравенств методом интервалов основано на следующем свойстве функции:

    Всякая функция f(x), непрерывная в своей области определения, может иметь разные знаки слева и справа от некоторой точки хо лишь только в том случае, если хо — ноль (корень) функции, либо хо— точка разрыва.

    Поэтому, для нахождения интервалов постоянного знака функции достаточно найти ее область определения D(f), корни и точки разрыва нанести их на ось, определить на каждом из полученных интервалов принадлежащих D(f). Знак функции (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения х из соответствующего интервала) и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

    Алгоритм.

    1. Обозначить функцию, стоящую в левой части неравенства, через f(x).

    2. Записать ОДЗ.

    3. Найти нули функции.

    4. Отметить ОДЗ на числовой прямой, а на ОДЗ найденные нули функции.

    5. Определить знаки f(x) в каждом промежутке.

    6. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

    Этот алгоритм справедлив только для непрерывных на отрезке функций, поэтому при решении неравенства методом интервалов мы должны это обязательно учитывать. Сейчас мы с вами запишем образец оформления решения неравенства.

    Пример 1. Решите неравенство: < 0

    f(x) =

    Поскольку функция f(x) = непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

    ОДЗ:

    Нули функции: f(x) = 0

    = 0 — + — +

    х = — 6 или х = — 1 или х = 4 — 6 — 1 4 х

    Ответ:

    Пример 2. Решить неравенство: 2х2 — 3х + 1 < 0

    f(x) = 2х2 — 3х + 1

    Поскольку функция f(x) = 2х2 — 3х + 1 непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

    ОДЗ:

    Нули функции: f(x) = 0

    2 — 3х + 1 = 0

    D=9-8=1

    х1=(3+1)/4=1; х2=(3-1)/4=0.5

    Ответ: (0,5; 1).

    Пример 3. Решите неравенство: > 0

    f(x) =

    Поскольку функция f(x) = непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

    ОДЗ: ,

    Нули функции: f(x) = 0

    = 0 + — +

    х – 4 = 0, х = 4 — 5 4 х

    Ответ: .

    4. Первичное закрепление (10 мин.)

    Как сказал великий математик Нивен «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому сейчас вы самостоятельно с помощью алгоритма и разобранных примеров решите неравенство:

    Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.

    Пример 1. Решим неравенство 

    Решение (слайд 7):

    Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что  — корень многочлена кратности .

    Данный многочлен имеет корни:  кратности 6;  кратности 3;  кратности 1; кратности 2;  кратности 5.

    Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности — одной чертой.

    Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

    Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

    Из рисунка видно, что такими х являются .

    Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

    Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? (предполагаемый ответ: в корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности — знак меняется).

    Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении других неравенств.

    Решите неравенство (слайд 8).

    1 вариант: 

    2 вариант: 

    (Два ученика решают неравенства на откидной доске не видной классу, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).

    Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам (слайд 9):

    • Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

    • При четном k многочлен справа и слева от  имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),

    • При нечетном многочлен справа и слева от  имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

    Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т. е. разложить на множители).

    5. Подведение итогов урока (2 мин.)

    До сегодняшнего урока вы умели решать квадратичные неравенства только одним способом, сегодня вы познакомились с методом интервалов. Какой из этих способов вам предпочтительнее для решения квадратичных неравенств?

    В дальнейшем каждый из вас будет решать неравенства тем способом, который ему больше нравится.

    7. Информация о домашнем задании (1 мин.)

    Выучить алгоритм и обязательную фразу наизусть.

    №329, №336 (а,б)

    Решение неравенств второй степени с одной переменной. Метод интервалов 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

    Тема 6.

    Решение неравенств второй степени с одной переменной. Метод интервалов.

    Неравенства вида

    ax2 + bx + c > 0 и ax2 + bx + c

    где x – переменная, a, b и c – некоторые числа и a ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

    Решение неравенства ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции y = ax2 + bx + c в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

    Пример:

    Решить неравенство: x2 + 2x — 48

    Введем функцию y = x2 + 2x — 48.

    Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как a = 1.

    Выясним, как расположен график этой функции относительно оси x. Для этого решим квадратное уравнение x2 + 2x — 48 = 0.

    Это уравнение имеет два корня:

    x1 = -8 и x2 = 6.

    Значит, парабола y = x2 + 2x — 48 пересекает ось x в двух точках, абсциссы которых равны -8 и 6. Схематично изобразим эту параболу.

    Ответ: x∈-8;6

    Решим неравенство:

    x2 + 2x + 15

    График функции y = —x2 + 2x + 15 – это парабола, ветви которой направлены вниз, так как a

    Выясним, как расположен график функции y = —x2 + 2x + 15 в координатной плоскости, пересекает ли он ось x и в каких точках.

    Для этого решим уравнение:

    x2 + 2x + 15 = 0

    x1=-3; x2=5

    Схематично изобразим эту параболу

    Функция принимает отрицательные значения при x принадлежит -∞;-3 или 5;+∞.

    Ответ: x∈-∞;-3∪5;+∞

    Решим неравенство:

    2x2 — 3x + 8 > 0

    Графиком функции y = 2x2 — 3x + 8 является парабола, ветви которой направлены вверх, так как a > 0. Выясним, как располагается эта парабола относительно оси x. Для этого решим квадратное уравнение:

    2x2 — 3x + 8 = 0

    D = 9 — 4 ∙ 2 ∙ 8 = -55

    Данное уравнение не имеет корней, значит, парабола не пересекает ось x. Схематично покажем, как располагается эта парабола относительно оси x.

    Из рисунка видно, что данная функция принимает положительные значения при любом значении x.

    Ответ: -∞;+∞

    Итак, для решения неравенств вида

    ax2 + bx + c > 0 и ax2 + bx + c

    1. Выяснить имеет ли квадратный трехчлена ax2 + bx + c имеет ли трехчлен корни;
    2. Если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх, если a > 0 или вниз, если a a > 0 или в нижней полуплоскости при a
    3. На оси x найти промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство ax2 + bx + c > 0) или ниже оси x (если решают неравенство ax2 + bx + c

    Рассмотрим функцию

    fx=x+1x-2x+3

    Областью определения этой функции является множество всех чисел. Точки -3, -1 и 2 нули функции, которые разбивают область определения на промежутки -∞;-3,-3;-1,-1;2,2;+∞. Выясним знак функции в каждом из указанных промежутков.

    Выражение (x + 1)(x — 2)(x + 3) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице.

    -∞;-3

    -3;-1

    -1;2

    2;+∞

    x + 3

    +

    +

    +

    x + 1

    +

    +

    x — 2

    +

    Отсюда ясно, что:

    Если x∈-∞;-3, то fx<0;

    Если x∈-3;-1, то fx>0;

    Если x∈-1;2, то fx<0;

    Если x∈2;+∞, то fx>0;

    Видно, что в каждом из промежутков

    -∞;-3,-3;-1,-1;2,2;+∞ функция сохраняет знак, а при переходе через точки -3, -1 и 2 ее знак изменяется.

    Вообще пусть функция задана формулой

    fx=x-x1x-x2…x-xn, где x – переменная, а x1, x2, …, xn не равные друг другу числа. Числа x1, x2, …, xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через ноль знак изменяется.

    Это свойство используется для решений неравенств вида:

    x-x1x-x2…x-xn>0,

    x-x1x-x2…x-xn<0.

    x-5x+3x+7>0

    Введем функцию fx=x-5x+3x+7

    Найдем нули функции: -7, -3 и 5

    Определим знак функции в каждом из этих промежутков. В крайнем правом промежутке функция положительна, а далее знаки чередуются.

    Ответ: -7;-3∪5;+∞

    Итак, чтобы решить неравенство методом интервалов, надо:

    1. Ввести функцию;
    2. Найти нули этой функции;
    3. Нанести нули функции на числовую прямую;
    4. Определить знак в каждом промежутке;
    5. Посмотреть знак и выделить нужный интервал.

    Решение неравенств методом интервалов

    Решим неравенство:

    Чтобы решить такое неравенство, нужно рассмотреть функцию, решив ее, получим:

    Задача сводится к нахождению промежутков знакопостоянства. Для этого необходимо найти нули функции:

    Решением системы будет:

    Можно ли использовать такой приём при наличии большего количества множителей? Хоть внешний вид графика нам будет неизвестен, но нули такой функции найти не трудно.

    Найдём нули функции. Отметим их на оси икс:

    Они разбили числовую прямую на части. Как же разобраться со знаком функции на каждом промежутке. В правой части формулы, задающей функцию, записано произведение линейных множителей:

    Если вспомним график линейной функции, то станет понятно, что каждый линейный множитель меняет знак в своём нуле с + на — или наоборот, с минуса на плюс. Причём остальные множители свой знак менять не будут. Если изменится знак одного множителя в произведении, то и знак всего произведения тоже изменится.

    Свойство:

    В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак меняется.

    Этим свойством и пользуются при решении неравенств, такой приём называют методом интервалов.

    Пример.

    Решить неравенство:

    Преобразуем:

    Знак неравенства поменялся, так как неравенство умножили на отрицательное число.

    Рассмотрим соответствующую функцию и найдём её нули:

    Вернёмся к неравенству. Его знак: строго меньше нуля. Значит, все точки изображённые на числовой прямой, являются выколотыми, ведь не допускается равенство нулю.

    Эти значения разбили область определения на промежутки:

    Для того чтобы определим знак этой функции нужно в функцию подставить значение из этого промежутка.

    Решением неравенства будет:

    Пример.

    Решить неравенство:

    Приведём левую часть неравенства к виду:

    Рассмотрим соответствующую функцию и найдём её нули:

    Отметим их на числовой прямой:

    Область определения разбили на промежутки. Определили знаки функции. Вернёмся к неравенству, так как его знак ≥0. Допускается равенство нулю, поэтому точки будут закрашенными.

    Решением данного неравенства будет:

    Пример.

    Решить неравенство:

    Так как знак этой дроби совпадает со знаком ее произведения, перейдем к решению неравенства:

    Найдем нули функции:

    Отметим их на числовой прямой:

    Решение данного неравенства:

    Пример.

    Решить неравенство:

    Перейдём к произведению:

    Найдём нули функции:

    Определим их:

    Решением данного неравенства будет:

    Пример.

    Решить неравенство:

    Преобразуем неравенство:

    Найдем нули функции и отметим их на числовой прямой:

    Если нуль функции имеет чётную кратность, то при переходе через этот нуль функция сохраняет знак. Если же нуль функции имеет нечётную кратность, то при переходе через этот нуль функция меняет знак.

    Решением данного неравенства будет:

    Реферат метод интервалов — Автореферат диссертации

    ГОУ гимназия № 1505

    Московская Педагогическая Гимназия-лаборатория

    РЕФЕРАТ

    Метод интервалов

    выполнил Коноркин Илья Олегович

    руководитель Шалимова Марина Николаевна

    Москва 2009

    Содержание

    Введение…………………………………………………………. ..……………3

    Основные этапы решения неравенств……………………………………..4

    Решение неравенств методом интервалов…………………………………5

    I. Решение линейных неравенств методом интервалов………………….5

    II. Решение квадратичных неравенств методом интервалов…………….7

    III.Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов.10

    IV. Решение иррациональных неравенств методом интервалов………12

    Заключение……………………………………………………………………14

    Литература …………..…………………………………………………………15

    Введение.

    Актуальность. Математика – единственный предмет в школе, представляющий собой мышление в чистом виде. В технических вузах математика сама по себе необходима для изучения многих прикладных наук. Всегда существовал негласный принцип: “Если абитуриент математику знает, то остальным предметам его можно обучить”. Поэтому если медалист сдавал математику на “отлично”, то от сдачи остальных предметов он освобождался. Достоинство математического знания является однозначность оценки – либо задача решена, либо нет.

    Красной нитью в школьном курсе математики проходит тема “Неравенства”. В 8 классе учащиеся знакомятся с линейными неравенствами, в 9 классе – квадратичными, в 10 классе – иррациональными, показательными, логарифмическими. Решение каждого вида неравенства имеет свои особенности, но существует универсальный метод решения неравенств. Цель моей работы – изучение метода интервалов, как универсального метода решения неравенств.

    Для достижения этой цели необходимо выполнить ряд задач:

    1. Познакомиться с идеей метода в разных математических изданиях.

    2. Проанализировать особенности использования этого метода разными авторами.

    3. Подробно изучить метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств.

    Основные этапы решений неравенств.

    Решение неравенств вида F(x)/Q(x) > 0

    (F(x)/Q(x) < 0 ;(x)/Q(x) ≥ 0 ;(x)/Q(x) ≤ 0).

    1. Разложить многочлены F(x) и Q(x) на линейные множители. Найти область определения функции f(x)..

    2. Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось. Найти все корни — значит решить уравнения F(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.

    3. Определить знак неравенства справа от большего корня. Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак «+» и далее знаки чередуются. В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена x — a: точка a  делит числовую ось на две части – справа точки a  двучлен  x — a положительный, а слева от точки a  – отрицателен x — a.

    4. Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая, четное или нечетное число раз встречается каждый корень. Если корень выражения имеет четную степень (например: (x — 5)2 = 0 => x = 5 — корень второй степени), то около этого корня выражение не меняет знака. Если корень выражения имеет нечетную степень (например: (x — 5)3 = 0 => x = 5 — корень третей степени), то переходя через этот корень, выражение меняет знак.

    5. Выписать ответы неравенства в виде интервалов. Для неравенства вида P(x) > 0 (P(x) ≥0) или F(x)/Q(x)> 0 (F(x)/Q(x)≥ 0) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак «+». Для неравенства вида F(x) < 0 (F(x) ≤0) или F(x)/Q(x)< 0 (F(x)/Q(x)≤ 0) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак «-«.

    6. Решение неравенств методом интервалов.

    Решение линейных неравенств методом интервалов.

    Линейным называется неравенство вида ax>b (или соответственно ).

    Если a > 0, то неравенство ax>b равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток .

    Если a < 0, то неравенство ax>b равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток .

    Если a = 0, то неравенство принимает вид 0 * x > b, т.е. оно не имеет решений, если b ≥ 0, и верно при любых х, если b<0.

    Примеры:

    1.Решите неравенство: 0,5x + (x – 4) ≥ 5

    I способ. Рассмотрим функцию f(x) =1,5x – 9

    D(f) = R; f(x) = 0 при x =6. Рассмотрим промежутки где функция не меняет знак.(см. рис.)

    Ответ: [6; +).

    II способ. С использованием свойств неравенств.

    0,5x + (x – 4) ≥ 5

    0,5x + x – 4 ≥ 5

    1,5x ≥ 9

    x ≥ 9/1,5

    x ≥ 6

    Ответ: [ 6 ; + ).

    Очевидно, что при решении линейных неравенств не использовать метод интервалов, так как решение неравенств с использованием его свойств более простое.

    Решение квадратичных неравенств методом интервалов.

    Квадратичным называется неравенство вида ax2 + bx + c > b (или соответственно ax2 + bx + c < b, ax2 + bx + c ≥ b, ax2 + bx + c ≤ b) где x — переменная, a ≠ 0.

    Возможны 4 случая расположения параболы y = ax2 + bx + c:

    1. Если дискриминант положителен, то в этом случае можно найти точки пересечения функции с осью X.

    2. Если дискриминант меньше 0, то вычислить точки, где y = 0, нельзя, потому что таковых не существует.

    3. Если a > 0, ветви квадратичной функции направлены вверх.

    4. Если a < 0, ветви квадратичной функции направлены вниз.

    Примеры:

    1.Решим неравенство x2 – 5x + 4 > 0 с использованием свойств квадратичной функции.

    Рассмотрим функцию f(x) = x2 – 5x + 4

    D = 9, D > 0; f(x) = 0 при x = 4 или x = 1; Изобразим квадратичную функцию на координатную прямую и рассмотрим промежутки где функция не меняет знак (см. рис.)

    Ответ: (–;1]  [4;+ )

    Если решать это неравенство методом интервалов, то решение будет выглядеть следующим образом:

    x2 – 5x + 4 > 0

    Пусть f(x)= x2 – 5x + 4

    1) D(f) = R

    2) f(x) = 0 при x = 1 и x = 4

    3) f(x) = (x – 1)( x – 4)

    4) f(x) > 0 при x € (–;1]  [4;+ )

    Ответ:(–;1]  [4;+ )

    2. Неравенство: –3x2 + 2x + 1 ≤ 0

    Рассмотрим функцию f(x) = –3x2 + 2x + 1

    D = 16, D > 0; f(x) = 0 при x = 1 или x = –1/3; Изобразим квадратичную функцию на координатную прямую и рассмотрим промежутки где функция не меняет знак (см. рис.)

    Ответ: (–;–1/3]  [1;+ )

    Вывод: При решении квадратичных неравенств удобно пользоваться свойствами квадратичной функции и не использовать метод интервалов.

    Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

    Дробно-рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции.

    Решение этих неравенств сводится к отысканию интервалов, между которыми знак не изменяется, и точек, разделяющих их.

    Пример. Неравенство:

    .

    Решение. Раскладывая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде:

    Пусть f(x) =

    1. D(f) – все x, кроме 0 и 5.

    2. f(x) = 0 при x

    2(x – 1)(x – 2) = 0

    3. на D(f)

    (0 – корень чётной степени)

    Функция f(x) имеет канонический вид, поэтому получим знаки на промежутках

    4) f(x) < 0 при x € (–∞; 0)Y(0;1)Y(2;5)

    Вывод: Очевидно, что использование метода интервалов при решении дробно-рациональных неравенств, оптимизирует процесс нахождения решений.

    Решение иррациональных неравенств методом интервалов.

    При решении иррациональных неравенств используются возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д.

    При решении можно придерживаться такого плана:

    1. Найти область определения исходного неравенства;

    2. Решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;

    3. Из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства;

    4. Проверить оставшиеся корни методом подстановки.

    5. Перенести ответ на координатную прямую и сопоставить знак со значением в данной точке.

    Пример:

    Неравенство :

    Переход к системной записи:


    Решим неравенство методом интервалов.

    1. D: x2 — 6x ≥ 0

    X(x — 6) ≥ 0

    D = (–;0)Y(6;+ )

    2. = 8 + 2x, 8 + 2x ≥ 0

    x2 — 6x = (8 + 2x) 2

    3x2 + 38x + 64 = 0

    Следовательно, x = — 2

    3.

    4. Ответ :

    Вывод: Иррациональные неравенства можно решать методом интервалов. Но если неравенство имеет вид < g(x) или ≥ g(x), то проще решать неравенство, используя стандартную схему.

    Заключение

    На протяжении своей работы я прочитал, изучил и законспектировал литературу по методу интервалов. Во всех источниках метод интервалов определяется следующим образом:

    1)Находится область определения выражения, которое сравнивается с нулём.

    2)Определяются нули этого выражения, т.е. те x при которых выражение обращается в 0.

    3)Записывается неравенство в каноническом виде (все многочлены раскладываются на множители, одинаковые множители записываются в виде степеней, определяется знак при старшем коэффициенте ).

    4)Нули функции отмечаются на области определения.

    5)Определяется знак на крайнем правом промежутке, а затем на остальных интервалах (с помощью пробной точки или правила чередования знаков).

    6)Записывается ответ.

    Научился решать неравенства с использованием метода интервалов. Считаю необходимым рассмотреть в дальнейшем дробно-рациональные неравенства, содержащие знак модуля, а так же неравенства с логарифмами, показательными и другими. Задачи решены, сформулированные в начале работы, то есть цель достигнута.

    Литература

    Алгебра. Учебник 9 класса общеобразовательных учреждений под редакцией С.А.Телятевского. 2005. – М.:”Просвещение”. 46- 50 стр.

    Задачи по математике. Уравнения и неравенства. — М.: издательство ”Наука”, 1997. – с 128 – 144.

    Математика – абитуриенту. Всё о вступительных экзаменах в ВУЗы. Издание 15, исправленное и дополненное. В.В.Ткачук. – Москва.: издательство “МЦНМО” 2008. – 80 – 83 стр.

    Пособие для поступающих в вузы. под редакцией Г.Н.Яковлева – Москва.: издательство “Наука”, 1981. – 83 – 87 стр.

    Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. Э68 М.Д.Аксёнова. – М.:Аванта+, 2002. – 244 – 247 стр.

    Интернет — источники.

    Метод интервалов – Алгебра – Школа LV. http://shkola.lv/?mode=lsntheme&themeid=6
    Метод интервалов. Москва 2009 г.
    /abstracts/?idabstract=624792.

    Методика написания рефератов. Саратов, 2000.

    /statii/texts54.html.

    Решение неравенств: обзор

    Решение Неравенства: обзор (стр. 2 из 3)

    Секции: линейные неравенства, Квадратные неравенства, Другое неравенства


    Предыдущие неравенства называются «линейными» неравенствами, потому что мы имеем дело с линейные выражения типа « x 2″ (« х > 2 дюйма это просто » х 2 > 0″, перед вы закончили ее решать).Когда у нас есть неравенство с « x 2 » как член высшей степени, он называется «квадратичным неравенством». Способ решения сложнее.

      Сначала я должен найти x- перехватывает связанного квадратичного, потому что точки пересечения находятся там, где у = х 2 3 х + 2 равно до нуля.Графически подобное неравенство просит меня найти, где график находится выше или ниже оси x . Проще всего найти, где на самом деле пересекает ось x , так что я начну там.

      Факторинг, Я получаю х 2 3 х + 2 = ( х 2)
      ( х 1) = 0, значит х = 1 или х = 2.Тогда график пересекает ось x в 1 и 2, а числовая ось разбита на интервалы (отрицательная бесконечность, 1), (1, 2), и (2, положительная бесконечность). Между x -перехватами, график либо выше оси (и, следовательно, положителен, либо больше, чем ноль), либо ниже оси (и, следовательно, отрицательный, или меньше нуля).

      Есть два разных алгебраические способы проверки этой положительности или отрицательности на интервалы. Я покажу оба.

      1) Метод контрольных точек. Интервалы между x -перехватами (отрицательная бесконечность, 1), (1, 2), и (2, положительная бесконечность).Я выберу точку (любую точку) внутри каждого интервала. Я посчитаю значение y в таком случае. Каким бы ни был знак этого значения, это знак за весь этот интервал.

      Для (отрицательная бесконечность, 1), скажем, я выбираю x = 0; затем у = 0 0 + 2 = 2, что положительный. Это говорит о том, что и положительно на всем интервале (отрицательная бесконечность, 1), и этот интервал, таким образом, является частью решения (поскольку я ищу решение «больше нуля»).

      Для интервала (1, 2), я выберу, скажем, х = 1,5; затем и = (1,5) 2 3(1,5) + 2 = 2,25 4,5 + 2 = 4,25 4,5 = 0,25, что отрицательно. Затем и отрицательно на всем этом интервале, и тогда этот интервал не является частью решения.

      Для интервала (2, положительная бесконечность), я выберу, скажем, x = 3; затем и = (3) 2 3(3) + 2 = 9 9 + 2 = 2, что положителен, и тогда этот интервал является частью решения.Тогда полное решение неравенства x < 1 и x > 2. Это решение указывается по-разному:

        неравенство обозначение
        интервал, или набор, обозначение
        номер строка со скобками
        (скобки
        используются для закрытых интервалы)
        номер линия с открытыми точками
        (используются закрытые точки
        для закрытых интервалы)

      Особое решение формат, который вы используете, будет зависеть от вашего текста, вашего учителя и вашего вкуса. Каждый формат одинаково действителен. Авторские права Элизабет Стапель 1999-2011 Все права защищены

      2) Факторный метод. Факторинг, I получить и = х 2 3 х + 2 = ( х 2)( х 1). теперь буду считать каждый из этих факторов в отдельности.

      Фактор х 1 положительный для х > 1; аналогично х 2 положительно для х > 2.Оглядываясь назад когда я впервые узнал о негативных цифры, я знаю что (плюс)(плюс) = (плюс), (минус)(минус) = (плюс) и (минус)(плюс) = (минус). Итак, чтобы вычислить знак y = х 2 3 х + 2, я только очень необходимо знать знаки факторов. Тогда я смогу применить то, что знаю про умножение минусов.

      Первый, Я настроил сетку, показывающую факторы и числовую линию.
      Сейчас Я отмечаю интервалы, в которых каждый фактор положителен.
      Где факторы не положительные, они должны быть отрицательными.
      Сейчас Я умножаю столбцы, чтобы вычислить знак и . на каждом интервале.

      Тогда решение x 2 3 х + 2 > 0 являются два интервала со знаком «плюс»:

        (отрицательный бесконечность, 1) и (2, положительная бесконечность).

      Сначала я нахожу нули, которые являются конечными точками интервалов: y = 2 х 2 + 5 х + 12 =
      (2 х 3)( х 4) = 0 для x = 3 / 2 и х = 4. Итак, конечные точки интервалов будет 3 / 2 и 4. Интервалы находятся между конечными точками, поэтому интервалы (отрицательные бесконечность, 3 / 2 ], [ 3 / 2 , 4] и [4, положительная бесконечность). (Обратите внимание, что я использую скобки для конечных точек. в неравенствах «или равно» вместо скобок, потому что конечные точки будут включены в окончательное решение.)

      Чтобы найти интервалы где и отрицательно по методу контрольных точек, я просто выбираю точку в каждом интервале. Я могу использовать такие точки, как x = 2, х = 0 и х = 5.

      Чтобы найти интервалы где и является отрицательным по факторному методу, я просто решаю каждый фактор: 2 x 3 положительно для 2 х 3 > 0, 3 > 2 х , 3/2 > х , или х < 3 / 2 ; и х 4 положительно для х 4 > 0,
      х > 4. Затем я заполняю сетку:

            

      Тогда решение для это неравенство составляет все х в

        (отрицательный бесконечность, 3 / 2 ] и [4, положительная бесконечность) .

    << Предыдущая Топ  |  1 | 2 | 3   | Вернуть к индексу  Далее >>

    Процитировать эту статью как:

    Стапель, Элизабет.«Решение неравенства: обзор». Пурпурная математика . Доступно по номеру
         https://www.purplemath.com/modules/ineqsolv2.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
     

     

    Введение в неравенства и обозначения интервалов

    2.

    7 Введение в неравенства и обозначения интервалов

    Цели обучения

    1. Нанесите решения одного неравенства на числовую прямую и выразите решения, используя запись интервалов.
    2. Нанесите решения сложного неравенства на числовую прямую и выразите решения, используя запись интервалов.

    Неограниченные интервалы

    Алгебраическое неравенствоВыражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и >., такие как x≥2, читаются как « x больше или равно 2». Это неравенство имеет бесконечно много решений для x . Некоторые из решений 2, 3, 3,5, 5, 20 и 20,001.Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор. Два распространенных способа выражения решений неравенства — это графическое отображение их на числовой прямой. Решения алгебраического неравенства выражаются штриховкой решения на числовой прямой. и с использованием интервальной записи Текстовая система выражения решений алгебраического неравенства. .

    Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, являющиеся решениями неравенства.Обозначение интервала является текстовым и использует следующие специальные обозначения:

    Определите обозначение интервала после построения графика набора решений на числовой прямой. Числа в интервальной записи следует записывать в том же порядке, в котором они появляются в числовой строке, причем меньшие числа в наборе появляются первыми. В данном примере имеет место инклюзивное неравенство. Неравенство, включающее граничную точку, обозначенную «или равной» частью символов ≤ и ≥, и закрытую точку на числовой прямой., что означает, что нижняя граница 2 включена в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​обозначении интервала. Символ (∞) читается как бесконечность. Символ (∞) указывает на то, что интервал не ограничен справа. и указывает, что набор неограничен справа на числовой прямой. Интервальное обозначение требует скобок для заключения бесконечности. Квадратная скобка указывает, что граница включена в решение. Скобки означают, что граница не включена. Бесконечность — это верхняя граница действительных чисел, но сама она не является действительным числом: она не может быть включена в набор решений.

    Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере со строгим, или неинклюзивным, неравенством, которое следует ниже:

    Строгие неравенства Выражайте отношения порядка, используя символ < для «меньше» и > для «больше». подразумевают, что решения могут подойти очень близко к граничной точке, в данном случае 2, но на самом деле не включать ее.Обозначим эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в ​​записи интервала.

     

    Пример 1: Постройте график и дайте эквивалент записи интервала: x<3.

    Решение: Используйте открытую точку на 3 и заштрихуйте все действительные числа строго меньше 3. Используйте отрицательную бесконечность Символ (-∞) указывает, что интервал не ограничен слева. (−∞), чтобы указать, что набор решений не ограничен слева на числовой прямой.

    Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

     

    Пример 2: Постройте график и задайте эквивалент записи интервала: x≤5.

    Решение: Используйте закрытую точку и заштрихуйте все числа меньше 5 включительно.

    Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 5]

     

    Важно понимать, что 5≥x равно x≤5. Оба требуют, чтобы значения x были меньше или равны 5.Во избежание путаницы рекомендуется переписать все неравенства с переменной слева. Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенную форму бесконечности. Например, (−∞, 5] может быть выражено в текстовом виде как (−inf, 5].

    Составное неравенствоДва неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». на самом деле два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». Составные неравенства с логическим «или» требуют выполнения любого из условий.Таким образом, множество решений этого типа сложного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы соединяем эти отдельные наборы решений, это называется объединением. Набор, образованный путем соединения отдельных наборов решений, обозначенных логическим использованием слова «или» и обозначенных символом ∪., обозначаемым ∪. Например, решения составного неравенства x<3 или x≥6 можно изобразить следующим образом:

    Иногда встречаются составные неравенства, в которых отдельные наборы решений перекрываются.В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих множеств, чтобы создать одно множество, содержащее все элементы каждого из них.

     

    Пример 3: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x≤−1 или x<3.

    Решение: Объединить все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой строке ниже.

    Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

     

    Любое действительное число меньше 3 в заштрихованной области числовой прямой удовлетворяет хотя бы одному из двух заданных неравенств.

     

    Пример 4: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x<3 или x≥−1.

    Решение: Оба набора решений изображены над объединением, которое показано ниже.

    Ответ: Обозначение интервала: R = (−∞, ∞)

     

    Когда вы объединяете оба набора решений и формируете объединение, вы можете видеть, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.

    Подводя итог,

    и

    Ограниченные интервалы

    Неравенство типа

    гласит: «-1 единица меньше или равна x , а x меньше трех.Это составное неравенство, потому что его можно разложить следующим образом:

    Логическое «и» требует, чтобы оба условия были истинными. Обоим неравенствам удовлетворяют все элементы пересечения. Множество, образованное общими значениями отдельных множеств решений, на что указывает логическое использование слова «и», обозначаемого символом ∩., обозначаемого ∩, множеств решений каждого.

     

    Пример 5: Постройте график и задайте эквивалент обозначения интервала: x<3 и x≥−1.

    Решение: Определите пересечение или перекрытие двух наборов решений. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения пересечения, которое изображено на числовой строке ниже.

    Здесь x=3 не является решением, так как решает только одно из неравенств.

    Ответ: Обозначение интервала: [−1, 3)

     

    В качестве альтернативы мы можем интерпретировать -1≤x<3 как все возможные значения для x между или ограниченными -1 и 3 на числовой прямой.Например, одним из таких решений является x=1. Обратите внимание, что 1 находится между -1 и 3 на числовой прямой или что -1 < 1 < 3. Точно так же мы можем видеть, что другие возможные решения - это -1, -0,99, 0, 0,0056, 1,8 и 2,99. Поскольку существует бесконечно много действительных чисел между -1 и 3, мы должны выразить решение графически и/или с помощью интервальной записи, в данном случае [-1, 3).

     

    Пример 6: Постройте график и задайте эквивалент записи интервала: −32

    Решение: Закрасьте все действительные числа, ограниченные или строго между -32=-112 и 2.

    Ответ: Обозначение интервала: (−32, 2)

     

    Пример 7: Постройте график и задайте эквивалент записи интервала: −5

    Решение: Заштрихуйте все действительные числа от −5 до 15 и укажите, что верхняя граница 15 входит в набор решений, используя закрытую точку.

    Ответ: Обозначение интервала: (−5, 15]

     

    В предыдущих двух примерах мы не разлагали неравенства; вместо этого мы решили думать обо всех действительных числах между двумя заданными границами.

    Подводя итог,

    Обозначение Set-Builder

    В этом тексте мы используем интервальную запись. Однако в других ресурсах, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используется альтернативный метод описания наборов, называемый нотация построителя наборов. Система для описания наборов с использованием знакомой математической записи. . Мы использовали набор обозначений для перечисления таких элементов, как целые числа

    .

    Фигурные скобки группируют элементы набора, а многоточие указывает, что целые числа продолжаются вечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел, например, действительные числа, большие или равные 2.

    Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация построителя набора позволяет нам описать его, используя знакомую математическую запись.Ниже приведен пример нотации конструктора наборов:

    .

    Здесь x R описывает тип числа, где символ (∈) читается как «элемент». Это означает, что переменная x представляет собой действительное число. Вертикальная черта (|) читается как «такой, что». Наконец, утверждение x≥2 является условием, описывающим множество с помощью математических обозначений. На данном этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа. По этой причине вы можете опустить «∈ R » и написать {x|x≥2}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких что x больше или равно 2. ”

    Чтобы описать составные неравенства, такие как x<3 или x≥6, напишите {x|x<3 или x≥6}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких что x меньше 3 или x больше или равно 6».

    Запишите ограниченные интервалы, такие как −1≤x<3, как {x|−1≤x<3}, что читается как «множество всех действительных чисел x , таких что x больше или равно −1 и меньше 3.

    Ключевые выводы

    • Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой прямой, либо в текстовом виде с использованием интервальной записи.
    • Инклюзивные неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой строке и квадратной скобкой в ​​интервальном обозначении.
    • Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой на числовой прямой и скобками с использованием интервальной записи.
    • Составные неравенства, в которых используется логическое «или», решаются путем решения любого неравенства. Набор решений представляет собой объединение каждого отдельного набора решений.
    • Составные неравенства, в которых используется логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением.Набор решений является пересечением каждого отдельного набора решений.
    • Составные неравенства вида n A ограниченным между значениями n и m .

    Тематические упражнения

    Часть A: Простые неравенства

    Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

    1. х≤10

    2. х>−5

    3. х>0

    4. х≤0

    5. x≤−3

    6. х≥−1

    7. −4

    8. 1≥x

    9. х<−12

    10. х≥−32

    11. х≥−134

    12. х<34

    Часть B: Составные неравенства

    Нанесите графически все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

    13. −2

    14. −5≤x≤−1

    15. −5

    16. 0≤x<15

    17. 10

    18. −40≤x<−10

    19. 0

    20. −30

    21. −58

    22. −34≤x≤12

    23. −1≤x<112

    24. −112

    25.x<−3   или   x>3

    26. x<−2   или   x≥4

    27. x≤0   или   x>10

    28. x≤−20   или  x≥−10

    29. x<−23   или   x>13

    30. x≤−43   или   x>−13

    31. x>−5 или  x<5

    32. x<12 или x>−6

    33. х<3 или х≥3

    34. x≤0 или x>0

    35. x<−7 или  x<2

    36.x≥−3 или  x>0

    37. х≥5 или х>0

    38. x<15 или x≤10

    39. x>−2   и   x<3

    40. x≥0   и  x<5

    41. x≥−5   и  x≤−1

    42. x<−4   и   x>2

    43. x≤3 и x>3

    44. x≤5   и   x≥5

    45. x≤0   и   x≥0

    46. x<2   и   x≤−1

    47.x>0    и   x≥−1

    48. х<5   и   х<2

    Часть C: Обозначение интервала

    Определите неравенство, зная ответы, выраженные в интервальной записи.

    49. (−∞, 7]

    50. (−4, ∞)

    51. [−12, ∞)

    52. (−∞, −3)

    53. (−8, 10]

    54. (−20, 0]

    55.(−14, −2)

    56. [23, 43]

    57. (−34, 12)

    58. (−∞, −8)

    59. (8, ∞)

    60. (−∞, 4)∪[8, ∞)

    61. (−∞, −2]∪[0, ∞)

    62. (−∞, −5]∪(5, ∞)

    63. (−∞, 0)∪(2, ∞)

    64. (−∞, −15)∪(−5, ∞)

    Запишите эквивалентное неравенство.

    65. Все действительные числа меньше 27.

    66. Все действительные числа меньше или равные нулю.

    67. Все действительные числа больше 5.

    68. Все действительные числа, большие или равные −8.

    69. Все действительные числа строго между −6 и 6.

    70. Все действительные числа строго между −80 и 0.

    Часть D: Темы форума

    71. Сравните нотацию интервала с нотацией построителя наборов.Поделитесь примером набора, описанного с использованием обеих систем.

    72. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервала, когда бесконечность является конечной точкой.

    73. Изучите и обсудите различные составные неравенства, особенно объединения и пересечения.

    74. Исследуйте и обсуждайте историю бесконечности.

    75. Исследуйте и обсудите вклад Георга Кантора.

    76. Что такое диаграмма Венна? Объясни и выложи пример.

    ответы

    1: (−∞, 10]

    3: (0, ∞)

    5: (−∞, −3]

    7: (−4, ∞)

    9: (-∞, -12)

    11: [−134, ∞)

    13: (−2, 5)

    15: (−5, 20]

    17: (10, 40]

    19: (0, 50]

    21: (−58, 18)

    23: [−1, 112)

    25: (−∞, −3)∪(3, ∞)

    27: (−∞, 0]∪(10, ∞)

    29: (−∞, −23)∪(13, ∞)

    31: Р

    33: Р

    35: (−∞, 2)

    37: (0, ∞)

    39: (−2, 3)

    41: [−5, −1]

    43: ∅

    45: {0}

    47: (0, ∞)

    49: х≤7

    51: х≥−12

    53: −8

    55: −14

    57: −34

    59: х>8

    61: x≤−2 или  x≥0

    63: x<0  или  x>2

    65: х<27

    67: х>5

    69: −6


    Колледж алгебры
    Урок 22. Линейные неравенства
    WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория > Алгебра колледжа

     

    Цели обучения


    После завершения этого руководства вы сможете:
    1. Использование свойств сложения, вычитания, умножения и деления неравенств для решения линейных неравенств.
    2. Решение линейных неравенств с абсолютными значениями.
    3. Запишите ответ на неравенство, используя интервальную запись.
    4. Нарисуйте график, чтобы дать визуальный ответ на проблему неравенства.

    Введение


    В этом уроке мы рассмотрим решение линейного неравенства. При решении линейных неравенств мы используем много одних и тех же понятий это мы используем при решении линейных уравнений (показано в Tutorial 14: Линейные уравнения с одной переменной ). В принципе, мы еще хотите получить переменную с одной стороны и все остальное с другой сторона с помощью обратных операций. Разница в том, что когда переменная является установить равным одному числу, это число является единственным решением.Но, когда переменная меньше или больше числа, существует бесконечное количество значений, которые будут частью ответа. Мы также пересмотреть определение абсолютной стоимости и то, как оно применяется к неравенства. Если вам нужен обзор абсолютных значений, перейдите к учебнику . 21: Уравнения абсолютного значения . Вы никогда не знаете, когда ты нужно будет знать о неравенствах, так что вам лучше начать.

     

     

    Учебник


     


    Читать слева направо:

    A A A — менее B
    A < B A меньше или равно B

    a > b     a больше b
    a > b     a

    5 больше или равно б




    Интервальное обозначение — это способ обозначения диапазона ценности, которые бы сделать неравенство верным.Есть два типа интервалов, открытый а также закрытые (описанные ниже), каждый из которых имеет особый способ записи, поэтому мы могу сказать разницу между ними.

    Обратите внимание, что в обозначениях интервалов (приведенных ниже) вы увидит символ , который означает бесконечность .

    Положительная бесконечность () означает, что это продолжается до бесконечности справа от числа — там не является конечной точкой справа.

    Отрицательная бесконечность (-) означает, что это продолжается до бесконечности слева от числа — там не является конечной точкой слева.

    Так как мы не знаем, какое самое большое или самое маленькое цифры есть, нам нужно использовать бесконечность или отрицательную бесконечность, чтобы указать, что нет конечной точки в того или иного направления.

    Как правило, при использовании записи интервала вы всегда ставите чем меньше сначала значение интервала (слева), поставьте запятую между два конца, затем поставить большее значение интервала (справа сторона). Вы будете использовать либо изогнутый конец ( или ), либо конец в штучной упаковке [ или  ], в зависимости от типа интервала (описано ниже).

    Если у вас включена бесконечность или отрицательная бесконечность либо конец, вы всегда используйте кривую для этой цели. Это будет свидетельствовать об отсутствии определенный конечной точки в этом направлении, он продолжает двигаться и двигаться.

     

     


    Открытый интервал не включает переменная равна конечная точка.

    Чтобы указать это, мы используем изогнутый конец, как показано на рисунке. ниже.


    Неравенство  
     

    Обозначение интервала для
    Открытые интервалы
     

    х > а

    ( и , )  

    х < а

    (-, и )  

    Когда вы рисуете конечную точку с открытым концом, вы используете такой же изогнутый конец (  или  ) на графике, как на интервале обозначение. Кроме того, затемните часть графика, которая является решением. Для например,


    Неравенство Обозначение интервала для 
    Открытые интервалы
    График
    х > 4 (4, )
    х < 4 (-, 4)



    Закрытый интервал включает в себя, где ваша переменная равна конечной точке.

    Чтобы указать это, мы используем окончание, как показано на рисунке. ниже.

    Как упоминалось выше, хотя и включены и имеет прямоугольный конец, если он уходит либо в бесконечность, либо в отрицательную бесконечность на другом конце мы будем обозначать его изогнутым концом только для этого конца!


    Неравенство

     

    Обозначение интервала для
    Закрытые интервалы
     

    x >

    [ a , )

     

     

    x <

    (-, и ]  

    Когда вы рисуете конечную точку с закрытым концом, вы используете тот же окончание в штучной упаковке [  или  ] на графике, как и на интервале обозначение. Кроме того, затемните часть графика, которая является решением. Для например,


    Неравенство Обозначение интервала для 
    Закрытые интервалы
    График
    x > 4 [4, )
    x < 4 (-, 4]



    Сочетание открытого и закрытого Интервалы

    Иногда один конец вашего интервала открыт, и другой конец закрыт. Вы по-прежнему следуете основным идеям, описанным выше. Закрытый конец будет иметь [   или ] на конце, а открытый конец будет иметь (или) на его конце.


    Обозначение интервала для
    Сочетание открытого и
    Закрытые интервалы

    а < х < б

    ( а , б )

     

    а < x < б

    [ а , б )

     


    Неравенство Обозначение интервала для
    Объединение открытых и
    Закрытых интервалов
    График
    3 < х < 6 [3, 6)




    Свойство сложения/вычитания для неравенств

    Если a < b, то a + c < b + c

    Если a < b, то a - c < b - c


    Другими словами, добавление или вычитая одно и то же выражение к обеим частям неравенства не меняет неравенство.



    Пример 1 : Решите, запишите ответ в интервальной записи и график набор решений:.

    Посмотреть видео этого примера


    Обозначение интервала:

    График:

    *Инв.суб. 10 это доп. 10

    *Открытый интервал, указывающий все значения меньше, чем 5

    *Визуальное отображение всех номеров менее 5 на номер строки

     


    Обратите внимание, что неравенство оставалось неизменным на протяжении проблема. Добавление или вычитание одного и того же значения с обеих сторон не меняет неравенство.

    Ответ ‘ x меньше, чем 5′ означает, что если мы вернем любое число меньше 5 в исходную задачу, то быть решением (левая часть будет меньше правой). Как упоминалось выше, это означает, что у нас есть более одного числа. для наше решение, существует бесконечное число значений, которые удовлетворяли бы это неравенство.

    Обозначение интервала:
    У нас есть открытый интервал, так как мы не включаем, где он равен до 5.   x меньше, чем 5, так 5 — наибольшее значение интервала, поэтому оно идет справа. Поскольку нижней конечной точки нет (это ВСЕ значения меньше 5), ставим отрицательный символ бесконечности на левой стороне. Изогнутый конец на 5 указывает на открытый интервал. Отрицательная бесконечность всегда имеет изогнутый конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

    График
    Мы используем тот же тип обозначения для конечной точки, что и в интервал обозначение, изогнутый конец. Так как нам нужно было указать все значения меньше 5, часть числовой прямой слева от 5 была затемненный.





    Обозначение интервала: [-3, )

    График:


    *Инв. из добавить 4 суб. 4

    *Закрытый интервал указывает на все значения больше чем или = -3

    *Визуальное отображение всех номеров больше или = до -3 на числовой прямой.

     


    Обратите внимание, что неравенство оставалось неизменным на протяжении проблема. Добавление или вычитание одного и того же значения с обеих сторон не меняет неравенство.

    Ответ ‘ x больше больше или равно -3′ означает, что если мы подставим любое число больше или равное -3 обратно в исходной задачи, это было бы решением (левая сторона была бы больший больше или равно правой части).Как было сказано выше, это означает что у нас есть более чем одно число для нашего решения, есть бесконечный число значений, удовлетворяющих этому неравенству.

    Обозначение интервала:
    У нас есть закрытый интервал, так как мы включаем, где он равен до -3. x больше или равный до -3, так что -3 является нашим наименьшим значением интервала, поэтому он идет дальше осталось. Поскольку нет верхней конечной точки (это ВСЕ значения больше или равный до -3), мы ставим символ бесконечности с правой стороны. В штучной упаковке конец на -3 указывает закрытый интервал. Бесконечность всегда имеет кривую конец потому что на этой стороне нет конечной точки.

    График
    Мы используем тот же тип обозначения для конечной точки, что и в интервал обозначение, окончание в рамке.Так как нам нужно было указать все значения больше или равные -3, часть числовой строки, которая было справа от -3 было затемнено.




    Умножение/Деление Свойства для неравенств
    при умножении/делении на положительное значение

    Если a < b И c положительно , то ac < bc

    Если a < b И c положительное , то    a/c < b/c


    Другими словами, умножение или разделить одно и то же ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число в обеих частях неравенства не меняет неравенство.



    Пример 3 : Решите, запишите ответ в интервальной записи и график набор решений: .

    Посмотреть видео этого примера


    Обозначение интервала: (-, -3)

    График:


    *Инв.мульт. на 3 дел. по 3

    *Открытый интервал, указывающий все значения меньше, чем -3

    *Визуальное отображение всех номеров меньше -3 на номер строки


    Обратите внимание, что знак неравенства остался прежним направление. Четное хотя правая часть была -9, число мы делили на обе стороны на, было положительным 3.  Умножение или деление обеих частей на в одно и то же положительное значение не меняет неравенства.

    Обозначение интервала:
    У нас есть открытый интервал, так как там мы не включаем, где он равно -3. x меньше чем -3, так что -3 — наше самое большое значение интервала, поэтому оно продолжается правильно. Поскольку нижней конечной точки нет (это ВСЕ значения меньше -3), мы помещать отрицательный символ бесконечности на левой стороне. Изогнутый конец на -3 указывает на открытый интервал. Отрицательная бесконечность всегда имеет изогнутый конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

    График
    Мы используем тот же тип обозначения для конечной точки, что и в интервал обозначение, изогнутый конец. Так как нам нужно было указать все значения меньше -3, часть числовой прямой слева от -3 было затемненный.




    Умножение/Деление Свойства для неравенств
    при умножении/делении на отрицательное значение

    Если a < b И c отрицательно , тогда    ac > bc

    Если a < b И c отрицательное , тогда    a/c > b/c


    Другими словами, умножение или разделить одно и то же ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число в обеих частях неравенства меняет знак из неравенство.

    Причина этого в том, что когда вы умножаете или делите выражение отрицательное число, оно меняет знак этого выражения. На числовая линия, положительные значения идут в обратном или противоположном направлении чем отрицательные числа, поэтому, когда мы берем противоположное выражение, нам нужно обратить наше неравенство, чтобы показать это.

     


    Обозначение интервала: 

    График:

    *Инв. разд. на -4 мульт. на -4, , значит, обратный знак неравенства

    *Открытый интервал, указывающий все значения меньше, чем -20

    *Визуальное отображение всех номеров меньше -20 на номер строки


    Я умножил на -4, чтобы позаботиться об обоих отрицательных и подразделение на 4 за один шаг.

    В строке 2 обратите внимание, что когда я показать шаг умножив обе части на -4, я поменял знак неравенства.

    Обозначение интервала:
    У нас есть открытый интервал, так как мы не включаем, где он равен до -20. x меньше, чем -20, так что -20 — это наше самое большое значение интервала, поэтому оно продолжается правильно. Поскольку нижней конечной точки нет (это ВСЕ значения меньше -20), мы помещать отрицательный символ бесконечности на левой стороне. Изогнутый конец на -20 указывает на открытый интервал. Отрицательная бесконечность всегда имеет изогнутый конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

    График
    Мы используем тот же тип обозначения для конечной точки, что и в интервал обозначение, изогнутый конец. Так как нам нужно было указать все значения меньше -20, часть числовой прямой слева от -20 был затемнен.





    Обозначение интервала: 

    График:

    *Инв.мульт. на -2 дел. на -2, , значит, обратный знак неравенства

    *Закрытый интервал указывает на все значения больше чем или = -5/2

    *Визуальное отображение всех номеров больше или = -5/2 в числовой строке


    В строке 2 обратите внимание, что когда я показал шаг деления обеих частей на -2, что я поменял знак неравенства.

    Обозначение интервала:
    У нас есть закрытый интервал, так как мы включаем, где он равен до -5/2. x больше, чем или равный до -5/2, так что -5/2 является нашим наименьшим значением интервала, поэтому он продолжается в осталось. Поскольку нет верхней конечной точки (это ВСЕ значения больше больше или равно -5/2), ставим знак бесконечности справа сторона. Заключенный в рамку конец на -5/2 указывает на закрытый интервал. бесконечность всегда имеет изогнутый конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

    График
    Мы используем тот же тип обозначения для конечной точки, что и в интервал обозначение, окончание в рамке. Так как нам нужно было указать все значения больше или равные -5/2, часть числовой прямой, которая был правее -5/2 был затемнен.


    Стратегия решения линейного Неравенство

    Шаг 1: Упрощать с каждой стороны при необходимости.

    Это включает удаление ( ), удаление дробей, добавление как термины и т.д.

     

    Шаг 2: Используйте Доп./Под. Свойства для перемещения переменного термина на одну сторону и всех остальных терминов на с другой стороны.

     

    Шаг 3: Используйте Mult./Div. Свойства для удаления любых значений, которые находятся перед переменной.

    Обратите внимание, что это тот же базовый концепция, которую мы использовали при решении линейных уравнений, как показано в учебнике 14: Линейные уравнения с одной переменной.





    Обозначение интервала:

    График:

    *Инв. доп. 5 под. 5

    *Инв. мульт. на -2 дел.с обеих сторон -2, значит обратный знак неравенства

    *Открытый интервал, указывающий все значения больше чем -3

    *Визуальное отображение всех номеров больше -3 в числовой строке
     


    Обозначение интервала:
    У нас есть открытый интервал, так как мы не включаем, где он равен до -3. x больше -3, так -3 — это наименьшее значение интервала, поэтому оно идет слева. Поскольку нет верхней конечной точки (это ВСЕ значения меньше -3), мы помещать символ бесконечности справа. Загнутый конец на -3 указывает открытый интервал. Бесконечность всегда имеет изогнутый конец, потому что не является конечной точкой на этой стороне.

    График
    Мы используем тот же тип обозначения для конечной точки, что и в интервал обозначение, изогнутый конец.Так как нам нужно было указать все значения больше -3, часть числовой прямой, которая была справа от -3 был затемнен.





    Обозначение интервала:

    График:

    *Распределительная собственность
    *Получите условия x на с одной стороны константы с другой стороны

    *Инв. суб. 3 — доп. по 3


    *Открытый интервал, указывающий все значения меньше, чем -1/2

    *Визуальное отображение всех номеров менее -1/2 на числовой строке.


    Обозначение интервала:
    Опять же, у нас есть открытый интервал, так как мы не включаем, где он равно 8.На этот раз x меньше 8, поэтому 8 — это самое большое значение интервала, поэтому идет справа. Поскольку нижней конечной точки нет (это ВСЕ значения меньше 8), ставим знак минус бесконечности слева сторона. Изогнутый конец на 8 указывает на открытый интервал. Отрицательная бесконечность всегда имеет изогнутый конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

    График
    Опять же, мы используем тот же тип записи для конечной точки, что и в обозначение интервала, изогнутый конец.Так как нам нужно было указать все значения меньше 8, часть числовой строки, которая была до осталось из 8 был затемнен.





    Обозначение интервала:

    График:

    *Мульт.с обеих сторон по LCD 6

    *Получите условия x на с одной стороны, константы с другой стороны

    *Инв. доп. 3 под. по 3

    *Инв. мульт. на 10 дел. к 10 


    *Закрытый интервал указывает на все значения больше больше или равно -3/2

    *Визуальное отображение всех номеров больше или равно -3/2 на числовой прямой.


    Обозначение интервала:
    На этот раз у нас есть закрытый интервал, так как мы включаем, где он равно -3/2. х больший больше или равно -3/2, поэтому -3/2 — это наименьшее значение интервала, поэтому оно идет слева. Поскольку нет верхней конечной точки (это ВСЕ значения больше или равные -3/2), мы ставим символ бесконечности на в правая сторона.Конец в рамке на -3/2 указывает на закрытый интервал. Бесконечность всегда имеет изогнутый конец, потому что на ней нет конечной точки. это сторона.

    График
    Опять же, мы используем тот же тип записи для конечной точки, что и в обозначение интервала, на этот раз в рамке. С тех пор, как мы нужный чтобы указать все значения, большие или равные -3/2, часть количество линия справа от -3/2 была затемнена.




     Растворение соединения Неравенство

    Составное линейное неравенство — это неравенство, имеющее два неравенства в одна проблема.   Например, 5 < x + 3 x решить линейный неравенства, показанные выше , за исключением того, что вы выполняете шаги до трех «стороны» (или части) вместо двух.




    Это пример составного неравенства


    Обозначение интервала:

    График:

    *Инв. доп.2 подп. на 2
    *Применить шаги ко всем трем детали 

    *Все значения от -6 до 8, с закрытым интервал в -6 (включая -6)

    *Визуальное отображение всех номеров между -6 и 8, включая -6 в числовой строке.


    Обозначение интервала:
    На этот раз у нас есть смешанный интервал, так как мы включаем, где он равно -6, но не равно 8. x находится в диапазоне от -6 до 8, включая -6, поэтому -6 является нашим наименьшим значением интервал поэтому он идет слева, а 8 идет справа. В штучной упаковке конец на -6 указывает закрытый интервал на этой стороне. Изогнутый конец на 8 указывает открытый интервал с той стороны.

    График
    Опять же, мы используем тот же тип обозначений для конечных точек, что и в обозначении интервала  заключённый в рамку слева и изогнутый конец справа.Так как нам нужно было указать все значения между -6 а также 8, включая -6, часть числовой прямой между -6 и 8 был затемнен.




    Решение абсолютного значения Неравенство


    Шаг 1. Изолируйте выражение абсолютного значения.


    Если есть константа, которая находится на той же стороне неравенство, которое выражение абсолютного значения находится, но не находится внутри абсолютного значения, используйте обратные операции, чтобы изолировать абсолютное значение.

     

    Шаг 2. Используйте определение абсолютной величины, чтобы установить неравенство без абсолютной значения.


    Напомню, абсолютное значение измеряет РАССТОЯНИЕ число находится далеко от начала координат (нуля) на числовой прямой. Неважно, если в число слева (отрицательное) или справа (положительное) от нуля на количество линия, РАССТОЯНИЕ от нуля будет положительным. Следовательно, абсолютное значение всегда положительное (или нулевое, если вы берете абсолютный значение 0).

    Если вам нужен обзор по абсолютным значениям, смело переходите до Учебник 21: Уравнения абсолютного значения .


    Если d ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ и |х| < д , затем

    -d < x < d

    График ниже иллюстрирует все значения числа линия, чьи расстояние будет меньше d единиц от 0.Это показывает нам, почему мы установили неравенство, показанное выше, таким образом, мы делаем.

    Если d ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ и | х| < д, затем

    решения нет

    Абсолютное значение всегда положительное, и любое положительное число больше чем любое отрицательное число, поэтому это не было бы решением.

     






     Если d ПОЗИТИВНО и |x| > г, затем

    х < -d ИЛИ   x > d

    График, показанный ниже, иллюстрирует все значения на числовая линия чье расстояние будет больше, чем d единиц от 0. Это показывает нам, почему мы установили неравенство, показанное над, как мы делаем.

    Если d ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ и | х| > г, затем

    х все действительные числа

    Абсолютное значение всегда положительное, и любое положительное число больше чем любое отрицательное число, поэтому все действительные числа будут работать.

     


     


    Вы будете решать эти линейные неравенства так же, как показанные выше.






    Выражение абсолютного значения уже изолировано.



    Расстояние, которое выражение x — 4 находится далеко от начала координат, должно быть меньше 7.

    Все числа от -7 до 7 находятся на расстоянии менее 7 единиц от происхождения. Итак, выражение x — 4 должно быть между -7 и 7.


    Обозначение интервала:

    График:

    *Инв. суб. 4 — доп. на 4
    *Применить шаги ко всем трем частям

    *Все значения от -3 до 11

    *Визуальное отображение всех номеров между -3 и 11
     


    Обозначение интервала:
    На этот раз у нас есть открытый интервал, так как мы не включаем ни конечная точка. x находится между -3 и 11, так -3 — это наше наименьшее значение интервала, поэтому оно идет слева, а 11 идет справа. Изогнутый конец на обоих числах указывает открытый интервал с обеих сторон.

    График
    Опять же, мы используем тот же тип обозначений для конечных точек, что и в обозначении интервала изогнутый конец на обоих концах. С нам нужно было указать все значения от -3 до 11, часть в числовая линия между -3 и 11 была затемнена.






    Выражение абсолютного значения уже изолировано.



    Будьте осторожны, так как абсолютное значение (левая сторона) всегда позитивный, и положительные значения всегда больше отрицательных значений, ответ нет решения. Мы не можем указать значение x , которое сделало бы это неравенство верным.







    *Инв. доп. 1 под. 1

    *Абс. значение эксп. изолированный



    Расстояние, на которое выражение (7 — 2 у )/2 находится вдали от начала координат, должно быть больше или равно 4.

    Все числа, которые меньше или равны — 4 ИЛИ больше или равно до 4 больше или равно 4 единицам от начала координат. Так выражение (7 — 2 y )/2 должно быть меньше больше или равно — 4 ИЛИ больше или равно 4.  


    ИЛИ


    Обозначение интервала:

    График:

    *Первое неравенство, где оно есть меньше или = до -4

    *Инв.разд. на 2 кратно. по 2


    *Инв. мульт. на -2 дел. к -2, , поэтому обратный знак неравенства





    *Второе неравенство, где оно есть лучше чем или = до 4

    *Инв. разд. на 2 кратно. по 2



    *Инв. мульт. на -2 дел. к -2, , поэтому знаки неравенства поменять местами


     

    *Все значения меньше или = до -1/2 или больше чем или = 15/2 

    *Визуальное отображение всех номеров меньше или = до -1/2 или больше или = до 15/2


    Обозначение интервала:
    На этот раз у нас есть два закрытых интервала, так как мы включаем конечные точки -1/2 и 15/2.

    В первом интервале y меньше или равно -1/2, поэтому -1/2 является нашим самым большим значением интервала, поэтому он идет справа. Поскольку нет нижней конечной точки этого первого интервал, мы положили отрицательную бесконечность на левой стороне. Коробочный конец на -1/2 указывает на закрытый интервал. Бесконечность всегда имеет изогнутый конец потому что на этой стороне нет конечной точки.

    Во втором интервале y больше больше или равно 15/2, поэтому 15/2 — это наименьшее значение интервала, поэтому оно идет слева. Поскольку нет верхней конечной точки этого второй интервал, мы ставим символ бесконечности на правой стороне. В штучной упаковке конец на 15/2 указывает на закрытый интервал. Бесконечность всегда имеет изогнутый конец, потому что на этой стороне нет конечной точки.

    График
    Опять же, мы используем тот же тип обозначений для конечных точек, что и в обозначении интервала y = -1/2 и y = 15/2 заключены в рамку. С тех пор, как мы нужный для указания всех значений меньше или равных -1/2 ИЛИ больше или равный до 15/2, части числовой прямой слева от -1/2 и справа от 15/2 были затемнены.






    Выражение абсолютного значения уже изолировано.



    Опять же, будьте осторожны — поскольку абсолютное значение (левое сторона) всегда положительные, а положительные значения всегда больше отрицательных значений, ответ — все действительные числа. Независимо от того, какое значение вы подставите для x , когда вы берете абсолютное значение в левая сторона будет положительной. Все положительные числа больше -2.

     

     

    Практические задачи


    Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти виды проблем. Математика работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь на этом пути и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы преуспеть в своем виде спорта или игре на инструменте. На самом деле практики много не бывает.

    Чтобы получить максимальную отдачу от этого, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, нажав на ссылку для ответ/обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

     

    Практика Задачи 1а — 1с: Решите, ответ запишите через промежутки обозначение и график набор решений.


     

    Практика Задачи 2а — 2г: Решите, ответ запишите через интервал обозначение и график набор решений.


     

     

    Нужна дополнительная помощь по этим темам?






    Видео на этом сайте были созданы Кимом Сьюардом и Вирджинией Уильямс Трайс.
    Последняя редакция Ким Сьюард от 17 декабря 2009 г.
    Авторские права на все содержимое (C) 2002–2010, WTAMU и Ким Сьюард. Все права защищены.

    Интервалы

    Интервал: все числа между двумя заданными числами.

    Пример: все числа от 1 до 6 являются интервалом

    Все числа?

    Да. Все действительные числа, лежащие между этими двумя значениями.

    Пример: интервал от 2 до 4 включает такие числа, как:

    2.1 2.1111 2,5 2,75 2.80001

    7 / 2 3,7937

    И многое другое!

    Включая цифры на каждом конце?

    Ааа… может да, может нет… надо сказать!

    Пример: «допускаются ящики массой до 20 кг»

    Если ваш ящик ровно 20 кг . .. это будет разрешено или нет?

    Не совсем понятно.

    Давайте посмотрим, как быть точным в каждом из трех популярных методов:

    • Неравенства
    • Числовая линия
    • Обозначение интервала

    Неравенства

    С неравенствами мы используем:

    • > больше
    • ≥ больше или равно
    • < меньше
    • ≤ меньше или равно

    Вот так:

    Пример: x ≤ 20

    Говорит: «x меньше или равно 20»

    А значит: до включительно 20

    Обозначение интервала

    В «Обозначении интервалов» мы просто записываем начальный и конечный числа интервала и используем:

    • [ ] квадратная скобка, когда мы хотим, чтобы включало конечное значение, или
    • ( ) круглая скобка, когда мы не делаем

    Вот так:

    Пример: (5, 12]

    Означает от 5 до 12, не включает 5, а делает включает 12

    Номер строки

    С помощью числовой линии мы рисуем толстую линию, чтобы показать значения, которые мы включаем, и:

    • закрашенный кружок, когда мы хотим включить конечное значение, или
    • открытый круг, когда мы не

    Вот так:

    Пример:

    означает все числа от 0 до 20, не включает 0, а не включает 20

     

    Все три метода вместе

    Вот удобная таблица, показывающая все 3 метода (интервал от 1 до 2):

      От 1   до 2
      В том числе 1 Не Включая 1   Не Включая 2 В том числе 2
    Неравенство: х ≥ 1
    «больше чем
    или аналогичный
    х > 1
    «больше чем»
     
      х < 2
    «меньше чем»
     
    х ≤ 2
    «менее
    или аналогичный
    Номер строки:  
    Обозначение интервала: [1 (1   2) 2]

     

    Пример: к добавить 1 , а к не включить 2 :

    Неравенство:

    х ≥ 1 и х < 2

    или вместе: 1 ≤ x < 2

    Номер строки:
    Обозначение интервала: [1, 2)

    Другие примеры

    Пример 1: «Распродажа не дороже 10 долларов»


    Это означает от до включительно 10 долларов.

    И будет справедливо сказать, что все цены выше $0.00.

    В качестве неравенства мы показываем это как:

    Цена ≤ 10 и Цена > 0

    На самом деле мы могли бы объединить это в:

    0 < Цена ≤ 10

    В числовой строке это выглядит так:

    И используя обозначение интервала это просто:

    (0, 10]

     

     

    Пример 2: «Участникам должно быть от 14 до 18 лет»

    Таким образом, число 14 включено, а «быть 18-летним» идет вплоть до (но не включая) 19.

    В виде неравенства это выглядит так:

    14 ≤ Возраст < 19 лет

    В числовой строке это выглядит так:

    И используя запись интервала это просто:

    [14, 19)

    Разве не забавно, что мы измеряем возраст совершенно иначе, чем что-либо еще? Мы остаемся 18-летними до тех пор, пока нам не исполнится 19. Мы не говорим, что нам 19 (с точностью до ближайшего года) с 18½ и далее .

    Открыто или Закрыто

    Термины «Открыто» и «Закрыто» иногда используются независимо от того, включено или нет конечное значение:

    (а, б)   а < х < б   открытый интервал
    [а, б)   а ≤ х < b   слева закрыто, справа открыто
    (а, б]   а < х ≤ b   слева открыт, справа закрыт
    [а, б]   а ≤ х ≤ б   замкнутый интервал

    Это интервалы конечной длины.У нас также есть интервалы бесконечной длины.

    В бесконечность (но не дальше!)

    Мы часто используем Infinity в записи интервалов.

    Бесконечность — это , а не реальное число , в данном случае это просто означает «продолжение…»

    Пример: x больше или равно 3:

    [3, +∞)

    Обратите внимание, что мы используем круглую скобку с бесконечностью, потому что мы не достигаем ее!

    Есть 4 возможных «бесконечных конца»:

    Интервал   Неравенство    
    (а, +∞)   х > а   «больше а»
    [а, +∞)   х ≥   «больше или равно»
    (-∞, а)   х <   «меньше чем»
    (-∞, а]   х ≤   «меньше или равно»

    Мы могли бы даже показать без ограничений , используя это обозначение: (-∞, +∞)

    Два интервала

    У нас может быть два (или более) интервала.

    Пример: x ≤ 2 или x >3

    В числовой строке это выглядит так:

    А запись интервала выглядит так:

    (-∞, 2] U (3, +∞)

    Мы использовали букву «U» для обозначения союза (объединения двух наборов).


    Примечание: будьте осторожны с подобным неравенством.
    Не пытайтесь соединить это в одно неравенство:

    2 ≥ x > 3 неправильно!

    это не имеет смысла (вы не можете быть меньше 2
    и больше 3 одновременно).

    Соединение и пересечение

    Мы только что увидели, как соединить два набора с помощью «Союза» (и символа ).

    Существует также «Перекресток», что означает «должен быть в обоих». Подумайте «где они пересекаются?».

    Символ пересечения представляет собой перевернутую букву «U», например:

    Пример:   (-∞, 6]  ∩ (1, ∞)

    Первый интервал доходит до (включительно) 6

    Второй интервал начинается с (но не включая) 1 и далее.

    Пересечение (или перекрытие) этих двух наборов идет от 1 до 6 (не включая 1, включая 6):

    (1, 6]

     

    Заключение

    • Интервал — это все числа между двумя заданными числами.
    • Важно показать, включены ли начальный и конечный номера
    • Существует три основных способа отображения интервалов: Неравенства, Числовая линия и Обозначение интервалов.

     

     

    Сноска: геометрия, алгебра и множества

    Возможно, вы этого не заметили… но на самом деле мы использовали:

    все в одной теме. Разве математика не удивительна?

     

    Видео-вопрос: поиск решения неравенства с использованием интервальной записи

    Стенограмма видео

    Найдите все значения 𝑥, которые удовлетворить семь 𝑥 плюс четыре больше 11 и меньше или равно 32.Дайте свой ответ в интервале форма.

    Это то, что известно как двустороннее или составное неравенство. В общем случае составное неравенство содержит не менее двух неравенств, разделенных либо словом «или», либо словом «а также». Здесь у нас есть выражение семь 𝑥 плюс четыре, и неравенство говорит нам, что значение этого выражения равно больше 11 и меньше или равно 32. Есть два подхода, которые мы можем использовать. к решению двустороннего неравенства.

    Первый подход заключается в лечении две части неравенства отдельно. Итак, у нас есть одно неравенство, говорящее нам, что семь 𝑥 плюс четыре больше, чем 11, а другой говорит нам, что семь 𝑥 плюс четыре меньше или равно 32. Затем мы решаем каждое неравенство. Для неравенства слева первый шаг — просто вычесть четыре с каждой стороны, получив семь меньше, чем семь 𝑥. Затем мы можем разделить каждую сторону это неравенство на семь дает единицу меньше 𝑥 или 𝑥 больше единицы. Итак, мы решили нашу первую неравенство.

    Чтобы решить вторую, мы также вычтите четыре с каждой стороны, получив семь 𝑥 меньше или равно 28, а затем разделите обе части на семь, чтобы получить 𝑥 меньше или равно четырем. Затем мы обнаружили, что значение 𝑥 больше единицы и меньше или равно четырем. Поэтому мы должны обязательно поставить эти две части раствора снова вместе в конце. Мы можем записать наше решение в виде двустороннее неравенство 𝑥 больше единицы и меньше или равно четырем.Тогда в качестве интервала это будет имеют конечные точки один и четыре.

    А теперь нам нужно рассмотреть тип скобок или круглых скобок для каждого конца. В нижней части знак представляет собой строгое неравенство; 𝑥 строго больше единицы. Таким образом, значение one не входит в набор решений. Итак, наш интервал открыт на нижний конец. Однако на верхнем конце имеем слабое неравенство, 𝑥 меньше или равно четырем.Таким образом, значение четыре включено в множество решений, и наш интервал замыкается на его верхнем конце. Итак, у нас есть ответ на проблема. Набор решений для этого неравенство — это интервал от одного до четырех, открытый в нижней части и замкнутый в верхняя граница.

    Теперь обратите внимание, что необходимые шаги в решении этих двух отдельных неравенств было как раз то, что нужно. В каждом случае мы вычли четыре сначала, а затем разделить на семь.Так что на самом деле нужды в этом не было. нам рассматривать две части этого неравенства по отдельности. Второй и, возможно, больше Таким образом, эффективный подход состоит в том, чтобы сохранить вместе все три части неравенства. В этом случае мы решаем точно таким же образом, но мы должны убедиться, что выполняем одну и ту же операцию для всех трех части неравенства. Начнем с вычитания четырех из каждая часть. 11 минус четыре будет семь. Семь 𝑥 плюс четыре минус четыре равно семь 𝑥.А 32 минус четыре равно 28. Теперь у нас есть утверждение семь. 𝑥 больше семи и меньше или равно 28.

    Затем мы делим каждую часть нашего неравенство на семь, что дает утверждение 𝑥 больше единицы и меньше или равно четырем, что, как мы замечаем, идентично решению, которое мы получили, используя наш первый метод. Тогда мы бы выразили это в интервальная запись точно таким же образом. Этот метод, безусловно, быстрее, но мы должны убедиться, что рассматриваем все три части неравенства одинаково.Итак, если мы вычтем четыре, мы должны убедиться, что мы делаем это со всех сторон. И если мы разделим на некоторые число, в данном случае семь, снова нам нужно сделать это для каждой части.

    AE-решений двусторонних интервальных линейных систем над макс-плюс алгеброй | Журнал неравенств и приложений

    Из теорем 4. {\frac{n(n-1)}{2}}.\end{выровнено}$$

    Пример 2

    Рассмотрим систему

    $$ \begin{bmatrix} [1,4] & [0,1] & [2,6] \\ [2,4] & [4,6] & [1,3] \\ [3, 5] & 3 & [1,4] \\ [2,3] & [0,1] & [2,3] \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2 } \\ x_{3} \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} [0,1] & [5,8] & [1,3] \\ [3,5] & [3,4] & [0,1] \\ [0,2] & [0,4] & [1,2] \\ [2,4] & [1,2] & [-2,-1] \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}, $$

    (6.{\exists}} \bigr) \otimes x, $$

    т.е.

    $$ \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 2 & 6 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} x_{1 } \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} 1 & 8 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}. $$

    (6.2)

    По теореме 6. {n}: Dx\in\boldsymbol {h} \bigr\} , \\ &D= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end {bmatrix} , \qquad \boldsymbol {h} = \begin{bmatrix} [3, 4] \\ -1 \\ [-6, -1] \end{bmatrix} . \end{выровнено}$$

    Таким образом, вектор x является AE-решением системы (6.1) тогда и только тогда, когда x удовлетворяет условию

    $$ \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -6 \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} x \leq \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} , $$

    (6.{T}\) является АЭ-решением системы (6.1).

    OpenAlgebra.com: Квадратичные неравенства

    Квадратные неравенства можно решить несколькими способами. Мы сосредоточимся на их решении, сначала построив график, а затем используя таблицы знаков. Важно понять, как выглядят решения этих неравенств, прежде чем изучать быстрый и простой метод их решения.
    Метод 1: Решение с помощью графика

    Шаг 1 : Приведите неравенство к стандартной форме с нулем на одной стороне.
    Шаг 2 : Нарисуйте квадратное уравнение.
    Шаг 3 : Закрасьте значения x, которые дают желаемые результаты.
    Шаг 4 : Преобразуйте штриховку в интервальную нотацию.

    Решите и выразите набор решений в интервальной нотации .

    В приведенном выше примере мы заштриховали значения x , для которых график находился выше оси x . Если проблема попросила нас решить
    или для того, что x -значений квадратично меньше или равно 0, тогда решением были бы все x -значений в интервале [1, 3] — x -значений, где график ниже ось х.Обратите внимание, что числа на оси x x = 1 и x = 3 разделяют положительные и отрицательные значения y на графике, они являются точками пересечения x . Точки пересечения x или нули многочлена называются критическими числами.

    Решить графически .

    Не забудьте использовать открытые точки для строгих неравенств < или > и закрытые точки для включающих неравенств.

    Часто довольно утомительно и сложно отображать каждое неравенство в виде графика при попытке их решения.Есть более короткий метод, и он включает в себя таблицы знаков. Идея состоит в том, чтобы найти критические числа, значения x , где значения y могут измениться с положительных на отрицательные, и создать диаграмму знаков, чтобы определить, какие интервалы заштриховать на оси x .

    Метод 2: Решите с помощью таблиц знаков.

    Шаг 1 : Приведите неравенство к стандартной форме с нулем на одной стороне.

    Шаг 2: Найдите критические числа (для квадратичных вычислений — x — точки пересечения.)

    Шаг 3 : Создайте диаграмму знаков, определив знак в каждом интервале, ограниченном критическими числами.

    Шаг 4 : Используйте таблицу знаков, чтобы ответить на вопрос.

    Решите и нарисуйте набор решений .

    Найдите критические числа, приравняв квадратное выражение к нулю, и решите.

    Определите результаты + или — в каждом интервале, ограниченном критическими числами, путем проверки значений в каждом интервале.

    Используйте таблицу знаков, чтобы ответить на вопрос. В этом случае мы ищем значения x , которые дают отрицательные результаты, на что указывает неравенство <0 «меньше нуля» в исходном вопросе.


    При проверке значений в интервалах, созданных критическими числами, фактическое значение не обязательно, нас интересует только его знак. Знак + или — будет одинаковым для любого значения в интервале, поэтому при тестировании вы можете выбрать любое число в пределах интервала.

    Решите и нарисуйте набор решений .

    Совет : Сэкономьте время и просто определите, является ли соответствующее значение y положительным или отрицательным. Если полиномиальные коэффициенты, то используйте коэффициенты, чтобы определить, будет ли интервал производить положительные или отрицательные значения y .

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.