Разница сочетания и размещения: «Что такое сочетание и размещение? Чем они различаются?» — Яндекс.Кью

Содержание

Сочетания. В чем отличие от размещений?

1. Сочетания

В чем отличие от
размещений?

2. Размещения:

Каждая из
комбинаций
отличается от любой
другой как составом,
так и порядком
расположения k
элементов в
комбинации
n!
A
n k !
k
n

3. Сочетания:

Каждая из комбинаций отличается от любой другой
только составом, и не зависит от порядка
расположения k элементов в комбинации.
Докажем формулу
k
A
n n 1 … n k 1
k
n
Cn
Pk
k!

4. Сочетания:

n n 1 … n k 1
C
k!
k
n
k
n
A
n!
C
Pk k! n k !
k
n
C C
k
n
n k
n
C C
k
n
k 1
n
C
k 1
n 1

5. Задачи на сочетания

№1. В классе 7 человек успешно
занимаются математикой. Сколькими
способами можно выбрать из них двоих
для участия в математической
олимпиаде?

6.

Задачи на сочетания №2. Учащимся дали список из 10 книг,
которые рекомендуется прочитать во
время каникул. Сколькими способами
можно выбрать из них 6 книг?

7. Задачи на сочетания

№3. Из лаборатории, в которой работают
заведующий и 10 сотрудников, андо
отправить 5 человек в командировку.
Сколькими способами это можно сделать,
если:
А)заведующий лабораторией должен
ехать в командировку;
Б)заведующий лабораторией должен
остаться

8. Задачи на сочетания

№4. В классе учатся 16 мальчиков и 12
девочек. Для уборки территории требуется
выделить четырех мальчиков и трех
девочек. Сколькими способами это можно
сделать?

9. Задачи на сочетания

№5. Сколько существует пятизначных
чисел, записанных тремя четверками и
двумя единицами?

10. №5. Сколько существует пятизначных чисел, записанных тремя четверками и двумя единицами?

Сформировать числа
можно, выбрав два
места из пяти для
единиц, а остальные
места заполнить
четверками. 3=125. }\)
Всего 125 паролей.
Результат можно получить непосредственно из правила произведения. Действительно, на первой позиции 5 вариантов символов, на второй – 5 вариантов, и на третьей – 5 вариантов. Итого, по правилу произведения: 5 · 5 · 5 = 5
3
 = 125 паролей.

п.3. Примеры

Пример 1. Исследуйте различие между перестановкой без повторений и размещением без повторений 〈3,2〉-выборок для трёх разноцветных фишек. Изобразите полученные решения.

Рассматриваем фишки:

1) Для перестановок, 〈3,3〉-выборок, получаем:

В каждом ряду – отдельная перестановка.
Видно, как образуется факториал. Для каждой отдельной фишки – одна перестановка. Для каждой пары фишек – две перестановки: 2 · 1. Когда добавляем третью, получаем: 3 · 2 · 1
Итого: P3 = 3 · 2 · 1 = 6 перестановок.

2) Для размещений без повторений, 〈3,2〉-выборок, получаем:

В каждом ряду – отдельное размещение.
3\cdot 9}{2}=8145 } $$ Ответ: 1) 604 800 2) 10 000 000; 3) 10 000; 4) 8145.

Разница между перестановкой и комбинацией

В математике вы, возможно, слышали понятия «перестановка» и «конец комбинации» несколько раз, но представляли ли вы когда-нибудь, что эти два понятия разные? Принципиальное различие между перестановкой и комбинацией состоит в порядке объектов, в перестановке порядок объектов очень важен, то есть расположение должно быть в указанном порядке числа объектов, взятых только некоторые или все за один раз.

В отличие от этого, в случае комбинации, порядок не имеет значения вообще. Не только в математике, но и в практической жизни, мы регулярно сталкиваемся с этими двумя понятиями. Хотя мы этого никогда не замечаем. Итак, внимательно прочитайте статью, чтобы понять, чем эти два понятия отличаются.

Сравнительная таблица

Основа для сравненияперестановкакомбинирование
Имея в видуПерестановка относится к различным способам упорядочения набора объектов в последовательном порядке. Комбинация относится к нескольким способам выбора предметов из большого набора предметов, так что их порядок не имеет значения.
порядокСоответствующийНенужные
ОбозначаетРасположениевыбор
Что это?Упорядоченные элементыНеупорядоченные множества
ответыСколько разных аранжировок может быть создано из данного набора объектов?Сколько разных групп можно выбрать из большой группы объектов?
отвлечениеМногократная перестановка из одной комбинации.Одиночная комбинация из одной перестановки.

Определение перестановки

Мы определяем перестановку как различные способы упорядочения некоторых или всех членов набора в определенном порядке. Это подразумевает все возможное расположение или перестановку данного набора в различимый порядок.

Например, все возможные перестановки созданы с буквами x, y, z —

  • Принимая все три одновременно: XYZ, XZY, YXZ, YZX, Zxy, ZYX.
  • Взяв два за раз, xy, xz, yx, yz, zx, zy.

Общее количество возможных перестановок из n вещей, взятых по r, можно рассчитать как:

Определение комбинации

Комбинация определяется как различные способы выбора группы путем выбора некоторых или всех членов набора без следующего порядка.

Например, все возможные комбинации выбраны с буквой m, n, o —

  • Когда нужно выбрать три из трех букв, единственной комбинацией является mno
  • Если нужно выбрать две из трех букв, то возможны следующие комбинации: mn, no, om.

Общее количество возможных комбинаций из n вещей, взятых по r, можно рассчитать как:

Ключевые различия между перестановкой и комбинацией

Различия между перестановкой и комбинацией четко показаны по следующим основаниям:

  1. Термин «перестановка» относится к нескольким способам упорядочения набора объектов в последовательном порядке. Комбинация предполагает несколько способов выбора предметов из большого пула объектов, так что их порядок не имеет значения.
  2. Основное различие между этими двумя математическими понятиями — это порядок, размещение и положение, т. Е. В вышеупомянутых характеристиках перестановки имеет значение, что не имеет значения в случае комбинации.
  3. Перестановка обозначает несколько способов упорядочения вещей, людей, цифр, алфавитов, цветов и т. Д. С другой стороны, комбинация указывает на разные способы выбора пунктов меню, еды, одежды, предметов и т. Д.
  4. Перестановка — не что иное, как упорядоченная комбинация, в то время как Комбинация подразумевает неупорядоченные множества или пары значений в пределах определенных критериев.
  5. Многие перестановки могут быть получены из одной комбинации. И наоборот, только одна комбинация может быть получена из одной перестановки.
  6. Ответы на перестановки Сколько разных аранжировок можно создать из данного набора объектов? В отличие от комбинации, которая объясняет, сколько разных групп можно выбрать из большой группы объектов?

пример

Предположим, есть ситуация, когда вам нужно выяснить общее количество возможных выборок двух из трех объектов A, B, C. В этом вопросе, прежде всего, нужно понять, связан ли вопрос с перестановкой или комбинация, и единственный способ выяснить это — проверить, важен ли заказ или нет.

Если порядок значим, то вопрос связан с перестановкой, и возможными выборками будут, AB, BA, BC, CB, AC, CA. Где AB отличается от BA, BC отличается от CB, а AC — от CA.

Если порядок не имеет значения, то вопрос связан с комбинацией, и возможными образцами будут AB, BC и CA.

Заключение

Из приведенного выше обсуждения становится ясно, что перестановка и комбинация — это разные термины, которые используются в математике, статистике, исследованиях и нашей повседневной жизни. Следует помнить, что в отношении этих двух понятий перестановка для данного набора объектов всегда будет выше, чем их комбинация.

Презентация «Сочетания. Сочетание Презентация по теме размещение и сочетание

1. Организационный момент
Приветствие учеников, сообщение темы и цели урока
2. Повторение и закрепление пройденного материала
· Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
· Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
1. Достоверное событие и его вероятность.
2. а) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
б) В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

в) В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Вариант 2
1. Невозможное событие и его вероятность.
2. а) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.
б) В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.
в) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Ответ: вариант 1. 2. а) 0,17; б) 0,475; в) 0,992.
вариант 2. 2. а) 0,11; б) 0,25; в) 0,97.
3. Изучение нового материала
Класс разделен на группы, которые занимались сбором информации, оформлением и представлением на уроке результатов своего труда (выступление учащихся с итогами своей работы).
1 группа (найти информацию о том, какие факторы (причины) способствовали появлению науки комбинаторики, какие ученые стояли у самых истоков возникновения).
2 группа (найти информацию о том, существует ли комбинаторика в реальной жизни, если да, то в каких отраслях применяется).

3 группа ( найти информацию о том, какие задачи называются комбинаторными и как можно их решить, рассмотреть каждый метод решения и сделать подборку нескольких задач, решаемых конкретным методом).

3.1. 1 группа.
Представителям самых различных специальностей приходиться решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.
При рассмотрении простейших вероятностных задач нам приходилось подсчитывать число различных исходов (комбинаций). Для небольшого числа элементов такие вычисления сделать несложно. В противном случае такая задача представляет значительную сложность. (слайд 1)

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.
Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки — соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Размещения — соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Сочетания — соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом

(в современном толковом словаре изд. «Большая Советская Энциклопедия»).
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов — во время битвы, инструментов — во время работы. (слайд 2)

· Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». (слайд 3)
· Первоначально комбинаторика возникла в XVI в в связи с распространением различных азартных игр. (слайд 4)

3.1. 2 группа. (слайд 1)
Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

П. Лаплас

Области применения комбинаторики:
. учебные заведения (составление расписаний) (слайд 2)
. сфера общественного питания (составление меню)
. лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
. география (раскраска карт) (слайд 3)


3.1. 3 группа
Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. (слайд 1)
Правило сложения: если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор « либо А, либо В» можно осуществить m + n способами.
(слайд 2)

Например:
· На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин — четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можно осуществить 5+4=9 способами.
· Давайте рассмотрим такую задачу: сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? (слайд 3)
· Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7:
14, 17, 41, 47, 71, 74.
Ответ: 6.
Этот метод называется перебором вариантов. Таким образом, их трех данных цифр можно составить всего 6 различных двузначных чисел.
Эту задачу можно решить и другим способом. Его название —
дерево возможных вариантов.
Для этой задачи построена специальная схема. (слайд 4) (слайд 5)
Ставим звездочку. Она будет обозначать количество возможных вариантов.
Далее отводим от звездочки 3 отрезка. В условии задачи даны 3 цифры — 1, 4, 7.
Ставим эти цифры на концах отрезков. Они будут обозначать число десятков в данном числе.
Далее от каждой цифры проводим по 2 отрезка.
На концах этих отрезков записываем также цифры 1, 4, 7. Они будут обозначать число единиц.
Рассмотрим, какие числа получились: 14, 17, 41, 47, 71, 74. То есть всего получилось 6 чисел.
Ответ: 6.

Эта схема действительно похожа на дерево, правда «вверх ногами» и без ствола.
Правило умножения: если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить m ∙ n способами. (слайд 6)
· Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Эту задачу можно решить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру двузначного числа можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 3∙2, т.е. 6.
· Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?

По правилу умножения получаем: 4∙4∙4∙4=256 чисел.
(слайд 7)
Перестановки — соединения, каждое из которых содержит n различных элементов, взятых в определенном порядке. (слайд 8)
P n = n ! = 1 · 2 · 3 · … · (n -2) · (n -1) · n
Задача. (слайд 9)
Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг?
Решение:
Число таких способов равно числу перестановок из семи элементов,
т.е. P 7 = 7! = 1 · 2 · 3 · … · 7 = 5040.
Ответ: 5040.
Задача. (слайд 10)
Имеются 10 различных книг, три из которых — справочники. Сколькими способами
Можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?
Решение:
Т.к. в справочники должны стоять рядом, то будем рассматривать их как одну книгу. Тогда на полке надо расставить 10 — 3+1=8 книг. Это можно сделать P 8 способами. Для каждой из полученных комбинаций можно сделать P 3 перестановок справочников.
Поэтому число способов расположения книг на полке равно произведению:
P 8 · P 3 = 8! · 3! = 40320 · 6 =241920.
Ответ: 241920.

«Задачи по комбинаторике» — Сколькими способами можно выбрать одну книгу. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и инженера? Комбинаторика. Задача № 2. К. Правило сложения Правило умножения. Правило суммы. Решение: 30 + 40 = 70 (способами). Задача №1. Задача № 3. И. Пусть существует три кандидата на пост командира и 2 на пост инженера.

«Размещение элементов» — Комбинаторика. Размещение. Размещение и сочитание. Формулы: Для любых натуральных чисел n и k где n>k,справедливы равенства: Для числа выборов двух элементов из n данных: Сочетание. В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов.

«Статистические характеристики» — Математическая статистика и т.д.. Статистические исследования. 5. Что такое статистика? 3. 9. Среднее арифметическое Размах Мода Медиана. Этапы исследовательской деятельности. 2. 14. « Есть три вида лжи: обычная ложь, наглая ложь и статистическая. ».

«Комбинации» — Имеются буквы А,В,С,Д. составить все комбинации только из двух букв. Самостоятельная работа состояла из 2 заданий. Задачу правильно решили 13 уч., а пример-17. не справились с работой 3 ученика. Комбинаторные задачи. Задача №1. Сколько учеников успешно решили самостоятельную работу. Работу писали 30 уч.

«Перестановки элементов» — Прямой алгоритм лексикографического перебора перестановок. Комбинаторика. Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности. Нумерация множества. Формальное описание алгоритма. Перестановки. Теорема о лексикографическом переборе перестановок. Перебор перестановок. Перебор перестановок элементарными транспозициями.

«Комбинаторика 9 класс» — Из 30 участников собрание надо выбрать председателя и секретаря. Решение: а) 3! = 1 · 2 · 3 =6 б) 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. II. Обозначение: P n Ф ормула для вычисления перестановок: P n = A6 10 =n ·(n -1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1=n! 2-я группа. Обозначение: Формула для вычисления сочетаний: *. Ответы и решения. 2-я группа.

Всего в теме 25 презентаций

КОМБИНАТОРИКА


Цели урока:

  • Узнать, что изучает комбинаторика
  • Узнать,как возникла комбинаторика
  • Изучить формулы комбинаторики и научиться применять их при решении задач

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Блеза Паскаля и Пьера Ферма по теории азартных игр.

Блез Паскаль

Пьер Ферма


Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.

Г.В. Лейбниц

Л. Эйлер.

Я. Бернулли


Лемма. Пусть в множестве A m элементов, а в множестве B — n элементов. Тогда число всех различных пар (a,b), где a\in A,b\in B будет равно mn. Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества A мы можем составить n таких различных пар, а всего в множестве A m элементов.


Размещения, перестановки, сочетания Пусть у нас есть множество из трех элементов a,b,c. Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? ab,ac,bc,ba,ca,cb.


Перестановки Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно Pn = n! =1 · 2 · 3 · · ( n-1)·n


Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n. По определению, считают, что 0!=1 1!=1 Пример всех перестановок из n=3 объектов (различных фигур) — на картинке. Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3!=1⋅2⋅3=6 , так и получается.


С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов — уже 3628800 (больше 3 миллионов!).


Размещения Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно Aⁿm =n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−m+1)


Определение. Размещениями множества из n различных элементов по m элементов (m n) называются комбинации , которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.


Сочетания Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов всевозможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно Cmn=n!(n−m)!⋅m!


Пример всех сочетаний из n=3объектов (различных фигур) по m=2- на картинке снизу. Согласно формуле, их должно быть ровно C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний — нет), причем именно в m! раз, то есть верна формула связи: Amn=Cmn⋅Pm.




Способ 1 . В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅…⋅ n , при n=2, m=13.


Способ 2. Первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий,

а 15-ый уже играл со всеми.

Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий

ОТВЕТ. 105 партий.


Учитель математики Аксёнова Светлана Валерьевна

Бугровская СОШ Всеволожского района Ленинградской области

Презентация «Сочетания» является наглядным пособием для рассмотрения темы «Сочетания» при изучении основ комбинаторики в 9 классе. Яркое наглядное представление учебного материала способствует лучшей эффективности урока, более быстрого достижения целей урока. Презентация содержит примеры сочетаний, подводящие к определению понятия, определение, выделенное для записи в тетради и запоминания, рассматриваются особенности понятия и поиска его значения, математический аппарат для решения задач с сочетаниями, примеры решения задач.

В данной презентации для лучшего понимания материала используются примеры, наглядно рассмотренные на рисунках. При помощи слайдов и анимации материал структурирован, выделены важные понятия, детали. В целом такое представление избавляет учителя от необходимости применять другие для наглядности инструменты и предметы. Презентация может сопровождать объяснение учителя по теме, понятно и ярко демонстрируя особенности изучаемых понятий.


Презентация начинается с представления темы. После этого демонстрируется решение задачи, в которой необходимо найти количество букетов из трех роз при наличии 5 роз различного цвета. На рисунке демонстрируются 5 роз разных цветов, которые подписаны a,b,c,d,e. Сначала рассматриваются все варианты, которые могут быть сложены с желтой розой. На экране отображаются по очереди все букеты с желтой розой. Их 6, и если обозначать такие букеты буквами, то это abc, abd, abe, acd, ace, ade. Далее рассматриваются все варианты, которые могут быть сложены без желтой розы. На экране демонстрируется красная роза и далее — три варианта с красной розой. Если обозначить полученные сочетания буквами, полученные варианты — bcd, bce, bde. Оставшиеся три розы могут сложить только один букет без красной и желтой роз — cde. Подытоживая решение, отмечается, что решение может быть сложено 10 способами. Все возможные варианты букетов отображены на экране. Количество возможных сочетаний обозначено C 5 3 =10. Данный пример послужил введением к понятию сочетаний в комбинаторике. При этом определение сочетания выделено отдельно на слайде 8 и заключено в рамку для запоминания. Сочетания определяются как множество, которое составлено из k элементов, выбираемых из некоторых n элементов.


На слайде 9 отмечена важная особенность сочетаний, которая заключается в том, что порядок элементов не существенный. Единственное отличие сочетаний элементов между собой — отличие хотя бы одним элементом. Сочетания в математике обозначаются C n k . Данное обозначение читается как число сочетаний из n элементов по k. Обозначение выделено на слайде 10 и заключено в рамку для запоминания.


Далее на рассмотренном примере определяем математический аппарат для поиска количества сочетаний. Для букетов из роз, рассмотренных в начале презентации, определили, что C 5 3 =10. Для вывода формулы числа сочетаний из n элементов по k для k≤n на экран выведены все возможные варианты размещения роз в букетах. При этом напоминается, что перестановки в данном случае определяются как P 3 , а число размещений, согласно принятому обозначению, равно A 5 3 . Количество сочетаний можно определить из формулы, которая выражает число сочетаний через число размещений и перестановок. Отмечается, что формула, определяющая количество сочетаний, выходит из формулы C 5 3 .P 3 =A 5 3 . Из нее видно, что число сочетаний будет C 5 3 =(A 5 3)/P 3 .


На слайде 14 формула, выведенная для нахождения числа сочетаний в данном случае для нахождения количества букетов роз из трех цветов, составленных из 5 данных роз, распространяется на общий случай. В общем случае формула для числа сочетаний из n по k элементов для k≤n выражается через число перестановок P k и число размещений A n k . Так как A n k =C n k .P k , то в общем случае число сочетаний находится по формуле C n k =(A n k)/P k . Если в данную формулу подставить выражения, при помощи которых находится значение A n k и значение P k , то получится общая формула для нахождения числа сочетаний: C n k =n!/k!(n-k)!. Эта формула выделена цветом для запоминания, так как с помощью нее в задачах нужно будет находить значение количества сочетаний.


На слайде 16 приводится пример решения задачи, в которой нужно найти число сочетаний. В задаче необходимо найти количество способов, которыми можно выбрать 3 карандаша из набора в 12 карандашей. Очевидно, что данная операция представляет собой сочетания, так как порядок вы выбранном ряду элементов не имеет значения. Число сочетаний определяется по формуле C n k =n!/k!(n-k)!. Подставив значения из задачи в данную формулу, получим C 12 3 =12!/(3!.9!)=(10.11.12)/(1.2.3)=220.


На слайде 17 рассматривается решение еще одной задачи, в которой необходимо найти количество способов выбора четырех мальчиков и трех девочек для соревнований из класса, где 12 девочек и 14 мальчиков. Очевидно, что группа для соревнований набирается сочетаниями по 4 из 14 мальчиков и сочетаниями по 3 из 12 девочек. Общее число сочетаний будет равно произведению C 14 4 . C 12 3 . После выполнения вычислений в итоге получается число способов — 220220.


Презентация «Сочетания» рекомендуется в качестве наглядного пособия для проведения урока алгебры по данной теме. Также данный материал может быть использован для проведения урока при дистанционном обучении. Понятное подробное объяснение материала поможет самостоятельно ученикам разобраться с понятием сочетаний и способом решения подобных задач.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Сочетания

Сочетания Число всех выборов n элементов из m данных без учёта порядка называют числом сочетаний из m элементов по n . Все сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом; Порядок элементов здесь не существенен; Разница между сочетанием и размещением заключается в том, что если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение, но сочетание не зависит от порядка входящих в него элементов.

Сочетания Число всех выборов n элементов из m данных без учёта порядка называют числом сочетаний из m элементов по n . Найдите: Число сочетаний из 6 по 3: Число сочетаний из 4 по 4:

Задача №1 Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов — Петров или Петров — Иванов — это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

Задача №2. У Минотавра в лабиринте томятся 25 пленников. а)Сколькими способами он может выбрать себе трёх из них на завтрак, обед и ужин? б)А сколько существует способов, чтобы отпустить трёх пленников на свободу? Решение: А) Порядок важен. Б) Порядок не важен

Задача №3 В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй — сходить за мелом, третий — пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором? 6

Сколькими различными способами из семи участников математического кружка можно составить команду из двух человек для участия в олимпиаде? Задача №4

Задача №5 В отделе работают 5 ведущих и 8 старших сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и двух старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор?

Из перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, наугад взяты 4 карты. Какова вероятность того, что все взятые карты тузы? Задача №6

Задача №7 В партии из 50 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу четыре детали. Определить, какова вероятность того, что все 4 детали окажутся бракованными. Всего исходов: Благоприятных исходов: Вероятность.

Выборки элементов без повторений

Рассмотрим сначала некоторые общие термины.

  • Пусть некоторая совокупность содержит n элементов, из которых выбирают k элементов. Каждый такой набор будем называть выборкой объема k из n элементов.
  • Будем различать выборки с возвращением и без возвращения. Пусть имеется совокупность n пронумерованных элементов:
    • если отобранный элемент после выбора не возвращается в исходную совокупность и не может повторяться в данной выборке больше одного раза, то такая выборка называется выборкой без возвращения или без повторения;
    • если отобранный элемент после фиксации номера снова возвращается в исходную совокупность и, таким образом, может вновь оказаться в данной выборке, то говорят о выборке с возвращением или с повторением.
  • Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан. Если две упорядоченные выборки отличаются только порядком следования элементов, то они считаются разными (например: 12 и 21).
  • Выборка называется неупорядоченной, если порядок элементов в ней не имеет значения (т. е. 12 и 21 неразличимы).

Размещения без повторений.

Размещениями без повторений называются упорядоченные выборки, содержащие k различных элементов из данных n элементов.

Обратим внимание на следующие важные положения:

  1. Любой элемент может оказаться на любом из k мест, но использоваться может в выборке только один раз.
  2. Порядок элементов в выборке важен.

Формула для определения числа размещений без повторений:

Задача. Дана последовательность символов А, Б, С. Сколько вариантов кода, состоящего из двух разных символов, можно составить из заданной последовательности?

Решение.По условию код состоит «из двух разных символов», при этом коды АБ и БА – не одинаковые, поэтому, выборки – размещения без повторений.
Выборка осуществляется из 3 элементов по 2. Значит, n = 3, k = 2.

Действительно, комбинаций, удовлетворяющих условию, всего шесть: {АБ, АС, БА, БС, СА, СБ}

Перестановки без повторений.

Нетрудно заметить, что размещения, в которые входят все n разных элементов заданного множества (т. е. k = n), будут отличаться только порядком следования входящих элементов. Такие размещения называют перестановками.

Перестановками без повторений называются всевозможные упорядоченные выборки, составленные из всех данных n элементов.

Формула для определения числа перестановок без повторений
Pn = n! = n * (n − 1) * (n − 2) *…* 2 * 1

Задача. Сколько вариантов кода длиной 3 символа можно составить из трех букв А, Б, С, если каждая буква входит в последовательность не более одного раза?

Решение. Так как «каждая буква входит в последовательность не более одного раза», то выборки – перестановки без повторений.
Pn = 3! = 3 * 2 * 1 = 6 {АБC, АCБ, БАС, БСА, САБ, СБА}

Сочетания без повторений.

Сочетаниями без повторений называются неупорядоченные выборки, содержащие k различных элементов из данных n элементов.

Отметим, что

  1. …«выборки неупорядоченные», т.е. выборки AB и ВА – это одно и тоже сочетание.
  2. Любой элемент может оказаться на любом из k мест, но использоваться может в выборке только один раз.

Формула для определения числа сочетаний без повторений:

Задача. Из 4-х кандидатов происходят выборы участников конференции. Сколько существует вариантов выбора делегации?

Решение. Очевидно, один и тот же кандидат в данную выборку может быть избран только один раз. При этом набор А, Б и Б, А – это одни те же участники. Поэтому выборки есть сочетания без повторений.

Воспользуемся формулой для расчета числа различных сочетаний без повторений:

Комбинаторика в Python / Хабр

Стандартная библиотека python, начиная с версии 2.2, предоставляет множество средств для генерирования комбинаторных объектов, но в интернете мне не удалось найти ни одной статьи, которая подробно рассказывала бы о работе с ними. Поэтому я решил исправить это упущение.

Начну с того, что расскажу о комбинаторике и ее основных формулах. Если же вы уже знакомы с этим разделом математики — можете пропустить эти абзацы.

Допустим, у нас есть строка, состоящая из n разных букв и мы хотим вычислить все способы переставить эти буквы местами так, чтобы получить новую строку. На первую позицию в строке мы можем выбрать одну из n букв, имеющихся у нас, на вторую позицию одну из n-1-ой буквы и так далее. В итоге получаем произведение n (n-1)… *1 = n! количество перестановок из n элементов без повторений.

Теперь представим, что количество букв в строке ограничено. У нас есть n доступных букв и мы хотим вычислить количество способов составить из них строку длины k, где k < n, каждую букву мы можем использовать лишь единожды. Тогда на первую позицию в строке мы можем поставить одну из n букв, на вторую позицию одну из n-1 буквы и на k-ую позицию одну из n-k+1 буквы. k количество размещений из n по k с повторениями.

До этого мы перебирали последовательности с учетом порядка элементов, а что если порядок для нас не имеет значения. Например, у нас есть есть n разных конфет и мы хотим выбрать k из них, чтобы подарить другу, при чем k < n. Сколько существует способов выбрать k конфет из n без учета порядка? Ответ прост, в начале найдем размещение из n по k без повторений, но тогда одинаковые наборы конфет, имеющие разный порядок их следования будут повторяться. Сколько существует способов переставить k конфет? Правильно, перестановка из k элементов без повторений. Итоговый ответ: размещения из n по k делим на перестановки из k без повторений. Формула: количество сочетаний из n по k.

Рассмотрим случай посложнее, у нас есть n коробок каждая из которых содержит множество конфет одного вкуса, но в разных коробках вкусы разные. Сколько существует способов составить подарок другу из k конфет, при чем один и тот же вкус может встречаться любое количество раз? Так как порядок для нас значения не имеет, давайте разложим подарочные сладости следующим образом: в начале будут лежать последовательно конфеты первого вкуса, затем второго и так далее, а между конфетами разных вкусов положим спички, если конфеты какого-то вкуса отсутствуют в нашем подарке — спички, которые должны были окаймлять этот вкус слева и справа будут стоять рядом. Того у нас получится последовательность, состоящая из k конфет и n-1 спички, ибо вкусов всего n, а спички разделяют их. Теперь заметим, что по расположению спичек, мы можем восстановить исходное множество. Тогда ответом будет количество способов разместить n-1 спичку в n+k-1 ячейку без учета порядка, что равно количеству сочетаний из n+k-1 по n-1, формула: количество сочетаний из n по k с повторениями.

Теперь рассмотрим несколько задач на комбинаторику, чтобы закрепить материал.


Задача 1

Есть 20 человек, сколько существует способов разбить их на пары
Решение: возьмем первого человека, сколько существует способов выбрать ему пару: , возьмем второго человека, сколько существует способов выбрать ему пару: . Ответ: 19!!! = 654729075


Задача 2

Есть 10 мужчин и 10 девушек, сколько существует способов разбить их на компании, состоящие из одинакового количества и мужчин и девушек, пустая компания не считается
Решение:
Cпособ 1: количество способов собрать компанию из одного мужчины и одной девушки равно произведению количества способов выбрать одну девушку и количества способов выбрать одного мужчину. Количество способов выбрать одну девушку из 10 равно сочетанию из 10 по 1 без повторений, с мужчинами аналогично, поэтому возведем в квадрат. Далее аналогично вычислим сочетания из 10 по 2, из 10 по 3 и так далее до сочетания из 10 по 10. Итоговая формула: .
Способ 2: рассмотрим множество мужчин, входящих в компанию и множество девушек, не входящих в нее. По этому множеству можно однозначно восстановить компанию, а количество людей в нем всегда равно 10, так как , k — количество мужчин в компании, — количество девушек, не вошедших в нее. Количество таких множеств равно количеству сочетаний из 20 по 10, в конечном ответе мы также вычтем единицу, чтобы не учитывать пустую компанию, когда в нашем множестве 10 девушек. Итоговая формула: .

Итак, мы разобрались с теорией, теперь научимся генерировать комбинаторные объекты с помощью стандартной библиотеки python.
Работать мы будем с библиотекой itertools

from itertools import *

С помощью функции permutations можно сгенерировать все перестановки для итерируемого объекта.


Пример 1
for i in permutations('abc'):
    print(i, end=' ') # abc acb bac bca cab cba
print()
for i in permutations('abb'):
    print(i, end=' ') # abb abb bab bba bab bba 

Исходя из второго вызова заметим, что одинаковые элементы, стоящие на разных позициях, считаются разными.


Пример 2
for i in permutations('abc', 2):
    print(i, end=' ') # ab ac ba bc ca cb 

Размещение отличается от перестановки ограничением на количество доступных ячеек


Пример 3
for i in product('abc', repeat=2):
    print(i, end=' ') # aa ab ac ba bb bc ca cb cc

C помощью размещений с повторениями можно легко перебрать все строки фиксированной длины, состоящие из заданных символов


Пример 4
for i in combinations('abcd', 2):
    print(i, end=' ') # ab ac ad bc bd cd 

С помощью сочетаний без повторений можно перебрать все наборы не повторяющихся букв из заданной строки, массива или другого итерируемого объекта без учета порядка


Пример 5
for i in combinations_with_replacement('abcd', 2):
    print(i, end=' ') # aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd  

Результат аналогичен вызову combinations, но в результат также добавлены множества с одинаковыми элементами.

Материалы:
Н.В. Горбачев «Сборник олимпиадных задач по математике»
Документация по python на русском

Битрикс — Математика тиражных решений


Мы в whatAsoft очень любим математику и различные задачи. Особенно если они имеют какой-то практический смысл. Как вы знаете, мы выпустили большое обновление нашего интернет-магазина и написали несколько статей о том, что мы добавили (тут, тут, тут и тут). Одной из добавленных фич стала возможность переставлять блоки на главной странице. Интересно, сколько появилось вариантов оформления главной страницы у администратора интернет-магазина после выхода обновления? Для ответа на этот вопрос мы можем использовать такой раздел математики, как комбинаторика.

[spoiler]

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества и отношения на них. Комбинаторика используется во многих разделах математики. Например, теории графов, теории вероятностей, алгебры и так далее.


Рис. 1 — Комбинаторика

Итак, исходные данные: 7 блоков, которые можно отключать и менять местами. У нас может меняться не только позиция блока, но также блок может вовсе отсутствовать в итоговом варианте оформления главной станицы.

Рис. 2 — Настройка расположения блоков на главной странице

Давайте формализуем задачу. Как известно, в комбинаторике часто оперируют двумя формулами: числа сочетаний и размещений. Да, есть еще и перестановки, но это частный случай размещения m элементов из m-элементного множества.

Звучит, возможно, не просто, но выводы весьма интересны!

Вспомним, что сочетания от размещений отличаются тем, что в размещениях важен порядок, а в сочетаниях нет. Другими словами, сочетания {1,2,3,4} и {1,4,2,3} – это одно и то же, в то время как размещения {1,2,3,4} и {1,4,2,3} будут различными. Значит, в нашем случае, речь пойдет о размещениях, потому как главная страница, в которой сперва идет блок «О компании», а затем блок «Акции» и страница с блоками «Акции», а затем «О компании» – это разные главные страницы. Визуально это хорошо видно.

Рис. 3 — Различие в главных страницах с разным порядком следования блоков

Далее, в комбинаторике принято различать размещения (и сочетания) с повторениями и без повторений. Разница заключается в том, что в случае, когда мы имеем место с размещениями с повторениями, в итоговой выборке нам могут встречаться одни и те же объекты исходного множества (например: {1,1,2,3}). Если речь идет о размещении без повторений, то в любом из размещений могут встречаться лишь уникальные объекты. В нашем случае имеем дело с размещением без повторений. Также вспомним, что число размещений обозначают буквой А, ну а сочетания буквой С. Если нужно указать, что сочетания или размещения будут с повторениями, то над символом А или С ставится черта.

Что является объектами в нашем случае? Очевидно, что блоки, которые мы размещаем на те или иные позиции.

Таким образом, общее число вариантов оформления главной страницы будет равно:

То есть мы можем разместить 0 объектов из 7, либо 1 объект из 7, либо 2 объекта из 7 без повторений и так далее… Раз речь идет о том, что мы размещаем либо один вариант, либо какой-то другой, то мы пользуемся правилом сложения.
Осталось вспомнить, как выглядит формула размещений без повторений из n по k (Ank). Либо получить эту формулу, используя правило умножения. А именно, руководствуясь тем соображением, что на каждую следующую позицию мы можем выбрать из множества на 1 элемент меньшего, чем мы выбирали на прошлом шаге, мы получим формулу:

Собираем все в одно выражение:

K = 7!/7! + 7!/6! + 7!/5! + 7!/4! + 7!/3! + 7!/2! + 7!/1! + 7!/0!

Берем в руки калькулятор и вычисляем, не забывая, что 0! по соглашению равен 1.

K = 1 + 7 + 42 + 210 + 840 + 2520 + 5040 + 5040 = 13 700

То есть существует 13 700 различных вариантов главной страницы, которые могут быть получены администратором сайта, если он воспользуется механизмом выбора блоков на главной. Довольно большое количество вариантов.
Если добавить к этому возможность выбора одного из шести вариантов оформления главного меню, то получится уже 6 * 13 700 = 82 200 вариантов главной страницы.
Давайте оценим это число: предположим, вы собираетесь выбрать один из вариантов. На просмотр каждого вы тратите 23 секунды (кровь совершает полный оборот в организме за 23 секунды, значит мы будем смотреть каждый способ в одинаковых условиях).
Вы потратите примерно 22 дня!

Ну а если распечатаете (по три странички на вариант, на офисной 80-граммовой бумаге) вам понадобится всего 1230 килограмм бумаги (и много картриджей).
Как видите, несмотря на то что многие относятся к тиражным решениям, как к шаблонам, противопоставляя этому разработку уникальных сайтов, при правильном подходе вы можете настроить сайт таким образом, что найти идентичный сайт, который запущен на таком же решении, будет сложно. Вот такая занимательная математика и удивительные выводы!
А еще сайт становится уникальным в первую очередь благодаря оригинальному контенту, а не индивидуальному дизайну.

А еще, вступайте в нашу группу и подписывайтесь на наш канал. Там тоже бывает интересно.

Перестановка и комбинация: примеры и задачи — видео и расшифровка урока

Комитеты часто используются в задачах на комбинации, потому что порядок не имеет значения.

Формулы перестановок и комбинаций

Существует пять формул, которые можно использовать для расчета количества перестановок/комбинаций. Чтобы выбрать правильную формулу, вам нужно будет посмотреть на контекст, в котором происходит выбор вещей (людей, чисел, объектов и т.) сделаны. При определении подходящей формулы следует задать два важных вопроса о ситуации:

  1. Имеет ли значение порядок?
  2. Разрешено ли повторение?

Ниже показаны эти пять формул, классифицированных по ответам на два вопроса. Многие из этих формул используют факториалы. Помните, что факториал — это математическая операция, обозначенная восклицательным знаком (‘!’) и определяемая уравнением

{eq}\hspace{2em} n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1 {/eq}.r {/eq} аранжировки.

  • Порядок имеет значение, повторение не разрешено : Используйте формулу перестановок, {eq}_nP_r = \frac{n!}{n-r!} {/eq}.
  • Порядок имеет значение, повторение запрещено : Чтобы упорядочить все {eq}n {/eq} объектов, вычислите {eq}n! {/экв}. (Это эквивалентно формуле перестановок с {eq}r=n {/eq}, поскольку {eq}0! = 1 {/eq}.)

Хотя формула перестановок выглядит сложной, факториал в знаменателе сокращается с окончанием факториала в числителе.На самом деле формула перестановок — это просто способ вычисления произведения {eq}n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots {/eq} с числами {eq}r {/eq} в произведении, то есть факториал, который не сводится к 1. Например,

{eq}\hspace{2em} _3P_5 = \frac{5!}{5-3!} = \frac{5! }{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 {/eq}.

Формула комбинаций

Помните, что для комбинаций важен порядок , а не .Количество комбинаций, как правило, будет меньше количества перестановок, потому что многие варианты выбора будут считаться одинаковыми. Например, варианты выбора ABC и CBA считаются одинаковыми с комбинациями, потому что это одни и те же три буквы, только в другом порядке. Но ABC и CBA будут считаться разными с перестановками, потому что при перестановках порядок имеет значение. Таким образом, комбинаций будет меньше, чем перестановок.

Ниже приведены формулы для комбинаций.

  • Порядок не имеет значения, повторы разрешены : Есть {eq}\frac{(n+r-1)!}{r! (n-1)!} {/eq} коллекции.
  • Порядок не имеет значения, повторение не разрешено : Используйте формулу комбинаций, {eq}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} {/eq}.

Обратите внимание, что формула Комбинации также записывается как {eq}\binom{n}{r} {/eq} или {eq}C(n,r) {/eq}. Точно так же формула перестановок также иногда записывается как {eq}P(n,r) {/eq} вместо {eq}_nP_r {/eq}.

Решение задач перестановки и комбинации

Задачи перестановки и комбинации без повторения

Предположим, что восемь человек участвуют в гонке, и вам нужно найти количество возможных способов, которыми гонщики могли бы занять первые три места (т. е. золото, серебро и бронзовые медали). В этом случае порядок имеет значение и повторение не разрешено так как один гонщик не может выиграть более одной медали. Поэтому следует использовать формулу перестановок:

{eq}\hspace{2em} _8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 х 6 = 336 {/экв}.

Финишное место бегунов в гонке обычно является примером перестановки, потому что порядок имеет значение.

В качестве альтернативы предположим, что у вас такая же ситуация, но здесь гонка является квалификационным испытанием. Таким образом, не имеет значения, в каком порядке первые три спортсмена закончат гонку; просто важно, кто эти три человека. В этом случае порядок не имеет значения и все же повторение не разрешено .Поэтому следует использовать формулу комбинаций:

{eq}\hspace{2em} _8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 {/eq}.

Проблемы перестановки и комбинирования с повторением

Теперь предположим, что вы хотите вычислить количество 4-значных кодов доступа. В этом случае порядок имеет значение (поскольку 1234 отличается от 4321) и разрешено повторение (поскольку у вас может быть пароль 1111).4 = 1{,}000 {/экв}.

В качестве альтернативы рассмотрим (заведомо маловероятную) ситуацию, в которой порядок цифр не имеет значения . В этом случае количество паролей будет

{eq}\hspace{2em} \frac{(10+4-1)!}{4! (10-1)!} = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715 { /экв}.

Обратите внимание, что порядок не имеет значения + повторение разрешено, безусловно, самая редкая ситуация из четырех, поэтому проблема такого типа возникает редко.

Примеры перестановок и комбинаций

Пример 1

Сколькими способами можно расположить буквы в слове DOUBLE?

В этом случае порядок имеет значение и повторение не допускается . Поскольку используются все шесть букв, вычислите {eq}n! {/eq}:

{eq}\hspace{2em} 6! = 720 {/экв}.

Пример 2

У Люси есть пять книг, которые она хотела бы взять с собой в путешествие, но в ее багаже ​​есть место только для двух. Сколько вариантов у нее есть для двух книг?

Здесь порядок не имеет значения и повторение не разрешено , поэтому используйте формулу комбинаций:

{eq}\hspace{2em} _5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2) !} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 {/eq}.

Пример 3

Учитель написал 8 вопросов для викторины. Сколькими способами он может выбрать и расположить 5 из 8 вопросов теста?

В этой задаче порядок имеет значение и повторение не разрешено , поэтому используйте формулу перестановок:

{eq}\hspace{2em} _8P_5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6{,}720 {/eq}.

Пример 4

Номерной знак состоит из четырех символов, каждый из которых является либо буквой, либо цифрой. р {/экв}

  • Порядок имеет значение, повторение запрещено : {eq}_nP_r = \frac{n!}{n-r!} {/eq}
  • Порядок имеет значение, повторение запрещено : {eq}n! {/экв}
  • Порядок не имеет значения, повторы разрешены : {eq}\frac{(n+r-1)!}{r! (n-1)!} {/eq}
  • Порядок не имеет значения, повторение не допускается : {eq}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} {/eq}

Знайте о разнице между перестановкой и комбинацией

Перестановка и комбинация являются важными частями подсчета.Подсчет чисел с помощью чистой логики сам по себе является большой задачей. Без подсчета мы не можем решить вероятностные задачи. Вот почему мы изучаем перестановки и комбинации непосредственно перед вероятностью.

 

Здесь мы увидим, как различать перестановку и комбинацию, в чем разница между комбинацией и перестановкой и разница между перестановкой и комбинацией на различных примерах.

 

Что такое перестановка?

Перестановка — это процесс выбора, в котором порядок имеет значение.Перестановку можно просто определить как количество способов упорядочить несколько или все элементы в определенном порядке. Это все о термине Перестановка.

 

Пример. Перестановки букв в небольшом наборе {a, b, c}: набор или группа n. Обычно это записывается в \[nP_k\].

 

Формула:

\[nP_{k} = \frac{n!}{(n — k)!} = \frac{n(n−1)(n−2)\ldots(n−n +1)}{(nk)(nk−1)(nk−2)\ldots(nk−n-k+1)} \]

 

Существует два типа перестановок:

  1. Перестановки с повторением

При выборе r чего-либо (числа или любого элемента), имеющего n разных типов, перестановки будут следующими:

\[n \times n \times \ldots\] (r times)

нет возможностей для первого процесса выбора, ТОГДА нет возможностей для второго процесса выбора и т. д., и каждый раз умножается.{r}\]

, где n — количество элементов для выбора (т. е. набор или сток элементов), и мы выбираем r из них, повторение разрешено, и порядок имеет значение.

  1. Перестановки без повторения

Без повторения наш выбор каждый раз уменьшается.

 

Возьмем наиболее простой и широко используемый пример:                   

Сколько различных четырехкарточных комбинаций можно составить из колоды карт?

 

В этой задаче порядок не имеет значения, поскольку не имеет значения, в каком порядке мы выбираем карты.Мы начнем с четырех строк, чтобы представить нашу комбинацию из 4 карт.

 

Предполагая, что все 52 карты доступны для первого розыгрыша, поместите «52» в первый пробел. Когда вы выбираете карту, это означает, что одна карта уже выбрана, поэтому в следующем розыгрыше выбора будет на одну карту меньше. Таким образом, во втором бланке будет доступен 51 вариант. Кроме того, в следующем розыгрыше в колоде будет на две карты меньше, так что теперь есть 50 вариантов и так далее. Формула записывается:

\[P\binom{n}{r} = nP_{r} = \frac{n!}{(n — k)!} \]

Используя формулу получаем

\ [P\binom{52}{4} = 52P_{4} = \frac{52!}{48!} \]

, где n — количество вещей на выбор (т.набор или сток элементов), и мы выбираем r из них, повторения и порядок не имеют значения.

 

Что такое комбинация?

Комбинация — это способ выбора элементов из большой коллекции, при котором (непохожие перестановки) порядок выбора не имеет значения. Мы можем сказать, что в меньших случаях мы сможем подсчитать количество комбинаций. Комбинация относится к комбинации n вещей, взятых k за раз без повторений. Комбинация — это выбор r вещей из набора n вещей без замены и порядок не имеет значения.

 

\[C\binom{n}{r} = nC_{r} =\frac{nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n — k)!} \]

Давайте возьмем пример и поймем это,

 

У нас есть три цифры (1,2,3), и мы хотим сделать трехзначное число, Таким образом, следующие числа, которые будут возможны, это 123, 132, 213, 231, 312, 321. .

 

Комбинации дают нам простой способ вычислить, сколькими способами «1 2 3» можно расположить в определенном порядке, и мы это уже видели. Ответ:

 

3! = 3 \[\times\] 2 \[\times\] 1 = 6

 

Итак, мы перепечатываем формулу нашей Перестановки, чтобы сократить ее количество способов, которыми объекты могут быть упорядочены (поскольку нас не интересует их закажи еще).

 

Разница между перестановкой и комбинацией с примерами

Получить разницу между перестановкой и комбинацией не слишком легко и не слишком сложно. Мы рассмотрим несколько примеров, чтобы понять разницу между ними.

Перестановки

  • Расположение людей, цифр, чисел, алфавитов, букв и цветов и т. д.

  • Выбор капитана команды или вратаря и конкретного из группы.

  • Выбор двух любимых цветов по порядку из каталога цветов.

  • Выбор победителей первого, второго и третьего призов.

 

Комбинации

  • Выбор меню, еды, одежды, предметов, команды и т. д.

  • Выбор трех членов команды из группы.

  • Выбор двух цветов из каталога цветов.

  • Только три победителя.

 

Как отличить перестановку от комбинации

Перестановки и комбинации относятся к различным способам выбора объектов из набора, как правило, без замены, для формирования подмножеств (или мы можем сказать количество подмножеств). за комплект).Этот выбор подмножеств называется перестановкой, когда порядок выбора является фактором, и комбинацией, когда порядок не является фактором. (Проще говоря, выбор подмножеств — это перестановка, а не дробный порядок выбора называется комбинацией).

 

Сходство между перестановкой и комбинацией

С точки зрения математических понятий «перестановка» и «комбинация» связаны друг с другом. Комбинация — это подсчет выборок, которые мы делаем из n объектов.Принимая во внимание, что перестановка подсчитывает количество аранжировок из n объектов.

Мы должны помнить, что Комбинации делают акцент не на порядке, расположении или размещении, а на выборе.

Как учащиеся могут повторять перестановки и комбинации в Веданту?

Vedantu — это надежная онлайн-платформа для обучения студентов, которую могут использовать все студенты абсолютно бесплатно. В нем есть соответствующий материал о перестановках и комбинациях для изучения, если кто-то узнает о разнице между перестановками и комбинациями.

На этой странице описаны основы каждого из них, а затем описаны сходства и различия. Все расписано доходчиво и простым языком. Объяснено, как происходит подбор музыки, еды, одежды и других предметов быта.


Перестановки и комбинации — довольно интересная тема, которую необходимо решать стратегически.

Где учащиеся узнают о разнице между перестановками и комбинациями в Интернете?

Студенты могут искать то же самое на Веданту.Эта страница очень информативна с точки зрения объяснения перестановок и комбинаций. Эта глава имеет решающее значение в математике, и если учащиеся усвоят основы этой темы, они будут хорошо подготовлены к таким темам, как вероятность и статистика позже. Студентам просто нужно войти на портал Vedantu, чтобы получить к ним доступ.

Заработанные медиа, собственные медиа, платные медиа

Откройте для себя разницу между заработанными, собственными и платными медиа

Если вы были посвящены в цифровой мир, вы, возможно, слышали эти модные словечки, но в чем разница между « заработанные», «собственные» и «платные» медиа и что это значит для вашей цифровой стратегии?

Думайте о платных, собственных и платных медиа как о штативе. Каждый элемент является важной частью целого, и все они вносят свой вклад в полную стратегию цифрового маркетинга. На приведенном выше рисунке показана роль каждого элемента и то, как они работают вместе, чтобы сформировать целостный маркетинговый комплекс.

Определения заработанных, собственных и платных медиа

Что такое заработанные медиа?

Заработанные средства массовой информации — это реклама или известность, полученные с помощью методов, отличных от платной рекламы.

Если целью являются собственные медиа-сайты, то заработанные медиа — это средство, которое помогает людям туда добраться.Что хорошего в веб-сайте или социальной сети, если никто не видит их и не взаимодействует с ними? Вот тут-то и появляются заработанные медиа. Заработанные медиа — это, по сути, онлайн-сарафанное радио, обычно проявляющееся в форме «вирусных» тенденций, упоминаний, акций, репостов, обзоров, рекомендаций или контента, полученного сторонними сайтами. Одной из наиболее эффективных движущих сил заработанных медиа обычно является сочетание сильного органического рейтинга в поисковых системах и контента, распространяемого брендом. Рейтинг первой страницы и хороший контент обычно являются самыми важными факторами.

Рейтинги на первой странице поисковых систем позволяют вашим собственным медиа-сайтам и ссылкам на контент получать более высокую вовлеченность и шероховатость, поэтому хорошая стратегия SEO имеет решающее значение. Когда дело доходит до контента бренда, интересный, информативный контент может быть самых разных форм и размеров. Будь то блог, инфографика, видео, пресс-релиз, вебинар или электронная книга, суть в том, что контент должен быть полезным, чтобы получить ценность заработанных медиа; Вот почему отличная контент-стратегия также важна.

Что такое собственные СМИ?

Собственные медиа — это любая веб-собственность, которой вы можете управлять и которая является уникальной для вашего бренда.

Одним из наиболее распространенных примеров собственных средств массовой информации является веб-сайт, хотя сайты блогов и каналы социальных сетей также являются примерами принадлежащих им средств массовой информации. Такие каналы, как социальные сети и блоги, являются расширениями вашего веб-сайта, и все три являются расширениями вашего бренда в целом. Чем больше у вас собственных средств массовой информации, тем больше у вас шансов расширить присутствие своего бренда в цифровой сфере.(Посмотрите наш пост о поисковой оптимизации для блогов, чтобы повысить рейтинг!)

Что такое платные медиа?

Проще говоря, платные СМИ — это маркетинг, за который вы платите. В целом он используется для продвижения контента с целью привлечения заработанных медиа, а также для прямого трафика на собственные медиаресурсы.

Плата за продвижение контента может помочь сдвинуть дело с мертвой точки и привлечь больше внимания. Сайты социальных сетей, такие как Facebook, Twitter и LinkedIn, предлагают платную рекламу в СМИ, которая потенциально может помочь повысить ваш контент, а также ваш веб-сайт. Еще один способ привлечь больше внимания к вашему контенту — платить влиятельным лицам за то, чтобы они представляли ваши продукты или услуги, что влияет на охват и признание ваших материалов. Использование ретаргетинга, оплаты за клик (PPC) и медийной рекламы — это эффективный и более прямой способ привлечь пользователей на ваши собственные медиа-сайты, такие как ваш веб-сайт, чтобы увеличить трафик и/или конверсию.

Ключевые выводы о Trifecta
  • Все три элемента: собственные медиа, заработанные медиа и платные медиа важны для стратегии цифровых медиа.Вы должны оценить эти три темы и решить, как распределить свои ресурсы, чтобы получить максимальную отдачу от вашего бренда.
  • Собственные медиа-сайты являются продолжением вашего бренда и открывают дополнительные возможности для взаимодействия людей с вашим брендом. Когда дело доходит до собственных носителей, чем больше, тем лучше, пока вы можете поддерживать их в рабочем состоянии.
  • Заработанные средства массовой информации эквивалентны сарафанному радио в Интернете и являются средством, которое привлекает трафик, вовлеченность и настроение вокруг бренда. Несмотря на то, что бренд может получить заработанные средства массовой информации разными способами, хорошие стратегии SEO и контента являются наиболее контролируемыми и эффективными.
  • Платные медиа — это отличный способ продвижения контента для создания большего количества заработанных медиа, а также их можно использовать для привлечения трафика непосредственно на ваши собственные медиаресурсы.

Несмотря на то, что у каждого элемента есть своя роль, совместное использование всех
Earned, Owned и Paid Media сделает вашу цифровую медиа-стратегию намного более эффективной. Нужна помощь с цифровой стратегией? Связаться с нами!

Часто задаваемые вопросы по математическому анализу и вступительному экзамену

Вопросы о курсах, отличных от исчисления, и информацию для специальностей по математике можно найти в разделе часто задаваемых вопросов по основным и продвинутым курсам математики.

Информация об экзамене

Мы хотим, чтобы студенты, изучающие математику, нашли правильный «первый класс» в Йельском университете, и наш вступительный экзамен по математике призван определить для вас наилучшую отправную точку. Этот выбор может быть очевиден для некоторых учащихся — например, те, кто хорошо справлялся с AP Исчисление AB в старшей школе, часто продолжают изучение математики 115, а учащиеся, освоившие темы и навыки в AP Исчисление BC, часто записываются на математику 120. Для других повторный просмотр похожих тем на уровне колледжа может быть полезен — и многие студенты переходят из другой учебной программы, где последовательность курсов не так ясна.Чтобы быть в безопасности, мы просим всех учащихся сдать вступительный экзамен по математическому анализу, прежде чем записываться на курс математического анализа.

Обратите внимание, что тест предназначен только для математических вычислений — он не дает места выше математики 120. Если вы уже выполнили многомерное исчисление, вы можете посетить наш сайт ресурсов для первокурсников, чтобы изучить другие варианты.

  • Если вы не посещали уроки математики (математика 110/111, 112, 115, 116, 120, 121) в Йельском университете и планируете пройти один из них, вы должны сдать вступительный экзамен.
  • Если вы сдали математику 110 в Йельском университете, вы можете сдать математику 111 без вступительного экзамена.
  • Если вы сдали математику 111 или 112 в Йельском университете, вы можете сдать математику 115 или 116 без вступительного экзамена.
  • Если вы сдали экзамен по математике 115 или 116 в Йельском университете, вы можете сдать 120 по математике без вступительного экзамена.
  • Если вы уже выполнили многомерное исчисление, вы можете посетить наш сайт ресурсов для студентов первого года обучения, чтобы изучить другие варианты.

Вступительный экзамен не требуется для прохождения какого-либо класса математики, кроме математики 110, 112, 115, 116, 120, 121, и не дает места за пределами этих классов.

В частности, это НЕ требуется для математики 106, 107, 108, 118 или для любого курса выше 200 уровня. зарегистрироваться в ENAS 151).

Math 118 представляет собой комбинацию линейной алгебры и исчисления с несколькими переменными, предназначенную для специалистов по общественным наукам, особенно экономике. Знание интегрального исчисления рекомендуется, но не обязательно: его можно сдавать после Math 111 или 112 или Calculus AB.

Обратите внимание, что Math 118 является заключительным курсом, и нет удобного способа продолжить его в следующих классах исчисления/линейной алгебры. Если вы рассматриваете возможность прохождения дополнительных математических курсов, мы настоятельно рекомендуем вам придерживаться обычной последовательности исчисления, за которой следует линейная алгебра.

Вступительный экзамен для ENAS 151 не требуется, особенно если вы все еще выбираете между ENAS 151 и Math 120. 

Обратите внимание, что переключение между ENAS 151 и курсом математического анализа на математическом факультете не разрешено регистратором в прошлом периоде покупок (дополнительную информацию см. в разделе об изменении курсов ниже).

Да. Вступительный экзамен спросит о ваших баллах AP — они учитываются, но недостаточны для размещения.

Срок действия результатов истекает каждый год в августе. Если вы сдаете экзамен летом (скажем) 2021 года, вы можете использовать результат на осень 2021 года, весну 2022 года, лето 2022 года, а также во время апрельской предварительной регистрации на осень 2022 года. в это время и хотите зарегистрироваться после этого, вам нужно будет сдать новый вступительный экзамен.

Сдача экзамена

Начиная с июля 2021 года: поступающие первокурсники будут автоматически зачислены на сайт Canvas под названием «Вступительный экзамен по математике [текущий год]», где находится тест. Студенты, продолжающие обучение, должны запросить доступ, отправив электронное письмо контактному лицу, указанному на нашем сайте ресурсов для первого года обучения.

Цель экзамена — помочь вам определить, какой курс математического анализа в Йельском университете лучше всего подходит для вашего текущего математического образования. Вы ни с кем не соревнуетесь, и вам не нужно беспокоиться о том, чтобы набрать как можно больше очков.Чтобы обеспечить точность размещения, важно соблюдать следующие правила: 

.
  • Не используйте заметки, книги, калькуляторы, интернет-ресурсы и любые другие вспомогательные средства.
  • Ответьте на каждый вопрос как можно лучше, но не угадывайте .
  • Если вы не знаете, как решить задачу, выберите ответ  Я не знаю, как решить эту задачу . Это совершенно правильный ответ!
  • Первые два вопроса касаются результатов экзамена AP.Обратите внимание, что экзамены AP не обязательны для размещения, но они учитываются, если они у вас есть.
  • Следующие 10 вопросов относятся к предварительному исчислению.
  • Следующие 5 вопросов относятся к дифференциальному исчислению.
  • Следующие 5 вопросов относятся к интегральному исчислению.

Если вы не проходили один или несколько курсов, которые тестируются, вы можете просто щелкнуть «Я не знаю, как ответить на вопрос» для проблем в этой категории.

Вам не нужно сохранять тест, он сохраняется автоматически. Вы можете выйти из теста в любое время и закончить его позже. Если вы закроете страницу, она выдаст предупреждение о возможности потери прогресса. Вы можете игнорировать предупреждение, тест сохраняется каждый раз, когда дается ответ на новый вопрос или изменяется существующий ответ. Чтобы быть в большей безопасности, вы можете проверить внизу страницы, когда в последний раз был сохранен ваш прогресс, или вы можете посмотреть в верхнем правом углу, где отображаются галочки рядом с номерами вопросов, которые уже были сохранены.

  • Вопросы о процедуре сдачи экзамена следует направлять по адресу [email protected]образование
  • Все остальные вопросы о сдаче экзамена следует направлять контактному лицу, указанному на сайте ресурсов для первого года обучения.
  • Если у вас есть вопросы по результатам теста, пожалуйста, посетите нашу консультационную сессию по размещению в августе.
  • Дополнительное примечание: Canvas иногда вызывает проблемы с некоторыми браузерами. Если кажется, что тест работает неправильно (например, если вы не видите уравнения или графики, к которым относятся вопросы, или если результаты теста не загружаются на вкладке «Калькулятор размещения»), может помочь переключение браузера. .

Нет. На сайте работает таймер, но вы можете потратить на выполнение теста столько времени, сколько вам нужно, при условии, что вы отправите его до крайнего срока.

Тест не рассчитан по времени, так что вам не нужно ничего делать для дополнительных временных аккомодаций: вы можете взять столько времени, сколько вам нужно, в течение нескольких недель. Если вам нужны другие приспособления, обратитесь к следующей информации Службы доступности для учащихся:

.

Учащиеся с документально подтвержденной инвалидностью могут запросить приспособления для вступительного тестирования через офис Службы доступности для учащихся.Пожалуйста, свяжитесь с ними через форму онлайн-регистрации, чтобы отправить запрос по крайней мере за неделю до того, как они планируют начать вступительный тест.

Обратите внимание, что эти запросы на размещение относятся только к периоду тестирования при приеме на работу. Чтобы зарегистрироваться для участия в текущих мероприятиях по доступности, студенты должны подать запрос и встретиться с SAS до начала семестра.

Дополнительную информацию для первокурсников, ищущих жилье, можно найти на веб-сайте Службы доступности для учащихся.

Сначала мы рекомендуем вам еще раз внимательно изучить вопрос. Хотя ошибки возможны, тест был проверен многими людьми, и за последние несколько лет на большинство вопросов ответили тысячи студентов. Вряд ли в этот момент есть ошибка. Конечно, это возможно, и если вы считаете, что нашли ошибку, отправьте электронное письмо по контактному лицу, указанному на нашем сайте ресурсов для первого года обучения. . (Обратите внимание, что они не смогут дать вам отзыв о вашем ответе до того, как вы отправите тест, но они могут проверить вопрос и сказать вам, есть ли ошибка или нет. )

Результаты экзамена, изменение места

Сразу после отправки теста вы можете щелкнуть вкладку «Калькулятор размещения» слева, и ваше место на курсе будет отображаться.

Если страница не загружается, рекомендуем сменить браузер. (В некоторых браузерах возникают проблемы с вкладкой калькулятора мест размещения.) Если она по-прежнему не отображается, отправьте электронное письмо по адресу [email protected] для получения помощи.

Если у вас есть какие-либо вопросы о вашем размещении, мы рекомендуем вам посетить нашу консультационную сессию по размещению в августе.Консультанты на сессии могут ответить на ваши вопросы и/или рассказать вам больше о наших занятиях по математическому анализу. В частности, если вы оба считаете, что другое место размещения более подходит, они могут переопределить ваше существующее место размещения. Консультация проводится до крайнего срока выбора предпочтений, поэтому после этого у вас будет время принять участие в розыгрыше раздела.

Обратите внимание, что для того, чтобы обсудить ваше размещение с консультантом, вы должны сначала сдать вступительный экзамен — без теста, и консультант не может выдать вам размещение.

Если у вас есть вопросы о вашем зачислении и вы пропустили консультационную сессию в августе, обратитесь к директору курса, в который вы были помещены. Директора курсов перечислены на нашем сайте ресурсов для студентов первого года обучения.

Нельзя сдавать экзамен дважды в один и тот же учебный год. Если вы хотели бы рассмотреть возможность изменения вашего места работы, см. приведенные выше вопросы о разговоре с консультантом.

Выбор предпочтений/список ожидания/переключение разделов в период покупок

Математика 110, 111, 112, 115, 116, 120.

Это не разрешено. Технически это возможно, потому что выбор предпочтения не знает о размещении, и любой студент Йельского университета может ввести его, но ваше задание по разделу не будет выполнено, если у вас нет места на курсе.

Технически это возможно, но не разрешено. Если вы выберете предпочтительный вариант для более чем одного курса математики в одном семестре, мы не сможем дать вам какие-либо задания по разделам.

Наши курсы математического анализа, как правило, очень переполнены, и мы не можем удерживать места для одного студента на двух или более курсах.Крайне важно, чтобы вы завершили вступительный экзамен (и при необходимости обратились за помощью в вашем размещении) до того, как откроется выбор предпочтений, чтобы вы могли записаться на курс, который лучше всего подходит для вас.

Есть одно исключение из этого правила: математика 115 и 116 находятся на одном уровне, и, хотя мы рекомендуем вам сделать свой выбор заранее, вы можете выбрать предпочтительный вариант для обоих курсов, если хотите.

Результат будет отображаться на сайте выбора предпочтений после проведения лотереи.

Все математические курсы, требующие выбора предпочтений, имеют список ожидания, и на него есть ссылка на основном сайте курса на Canvas. Вы можете перейти на основной сайт курса по ссылке на программу Yale Course Search. Если вы не можете найти ссылку, напишите преподавателю курса по электронной почте, и он вам поможет.

Запись в список ожидания — единственный способ получить место в секции после завершения выбора предпочтений. В частности, электронная почта преподавателям не увеличит ваши шансы попасть в секцию.

Если вы хотите переключаться между разделами, вы можете войти в онлайн-лист ожидания — ссылка на список ожидания размещена на сайте основного курса на Canvas.

Во-первых, вам нужно будет обсудить свое размещение с новым директором курса. Если они согласятся с тем, что новый курс более подходит, они могут отменить ваше существующее размещение.

После этого вам нужно будет найти раздел нового курса, войдя в онлайн-лист ожидания, связанный с основным сайтом курса на холсте. Если у вас есть некоторая гибкость в отношении того, какую секцию вы можете посетить, вполне вероятно, что место для вас найдется.

Если вы считаете, что курс более низкого уровня был бы более подходящим, вам необходимо предпринять следующие шаги: 

  1. Проверьте, разрешен ли рассматриваемый вами переключатель (список разрешенных изменений см. ниже).
  2. Обсудите ситуацию со своим нынешним инструктором, чтобы узнать, согласны ли они с тем, что это хорошая идея.
  3. Встретьтесь с руководителем курса/преподавателем нового курса, получите его разрешение на присоединение, узнайте, как будет происходить переход (как будет рассчитываться ваша оценка, какую работу вам придется выполнять и т. д.).) и получить помощь в поиске раздела курса.
  4. Встретьтесь с деканом колледжа, чтобы обсудить ситуацию.
  5. Если все согласны, вам нужно будет отправить форму вашему декану, удалив старый курс и добавив новый (для этого требуются подписи как бывшего, так и нового преподавателя).

До промежуточного семестра разрешены следующие изменения. Мы рекомендуем перейти как можно скорее, так как позже присоединиться к новому курсу будет сложнее. Никакие изменения не допускаются после Midterm.

  • Математика 256 — Математика 255
  • Math 226 до Math 225 или 222
  • Math 225 до Math 222
  • Математика 121 — Математика 115
  • Math 120 — Math 115 
  • Математика 116 — Математика 112
  • Математика 115 — Математика 112 
  • Math 112 — Math 110 

Следующие изменения не допускаются: 

  • Математика 118 находится за пределами обычной последовательности, и никакие переключения в нее или из нее не разрешены в прошлый период покупок.
  • Математика 111 (Весна) — это вторая половина годовой последовательности, и никакие переключения в нее или из нее невозможны.
  • ENAS 151 не рассматривается Регистратором как часть расчетной последовательности; никакие изменения не допускаются между ENAS 151 и любым математическим курсом, прошедшим период покупки.

Чтобы увеличить ваши шансы на участие в курсе, мы рекомендуем вам перечислить как можно больше разделов, когда вы входите в список ожидания. Обычно мы можем найти секцию для каждого студента, у которого гибкий график.

Нет. Одной из причин создания онлайн-листа ожидания является предоставление равных возможностей каждому учащемуся; никто не может перейти в начало списка, отправив сообщение инструктору.

Еще одна причина для онлайн-листа ожидания заключается в том, что у нас есть разделы с длинным списком ожидания (легко более 100 записей), и преподавателям трудно отвечать на отдельные сообщения от такого количества студентов.

Если вы не получили желаемый раздел в лотерее, вы можете войти в лист ожидания.Обратите внимание, что в некоторых разделах очень много подписок (в списках ожидания более 100 записей), и шансы попасть после розыгрыша лотереи очень малы.

Мы настоятельно рекомендуем вам попробовать другие разделы — у нас есть много опытных учителей, чей стиль преподавания может подойти вам, как и раздел меньшего размера.

Как правило, ответ «нет», потому что у нас есть секции с более чем 100 записями в листе ожидания, и нет возможности для каждого студента в списке ожидания посетить (уже заполненную) секцию. Обычно это включает в себя разделы, которые преподает директор курса.

Для разделов с меньшим количеством подписок вы можете присутствовать, находясь в списке ожидания. Вы можете написать инструктору по электронной почте и спросить, хотя, пожалуйста, имейте в виду, что некоторые инструкторы могут не ответить сразу, если они получают десятки или сотни сообщений (если вы не слышите ответа, то вы должны предположить, что нет комната для студентов из списка ожидания).

Это во многом зависит от вашего входа и от того, сколько вариантов вы указали.Вообще говоря: 

  • Если вы перечислили только разделы с наибольшим количеством подписок (например, те, которые преподает директор курса), маловероятно, что вы попадете. Обычно из этих разделов рассылается не более пяти приглашений, чтобы заменить ушедших студентов, и лист ожидания может легко быть 100 студентов или больше.
  • Секции со свободными местами обычно рассылают несколько приглашений перед началом занятий и еще несколько приглашений после первого занятия (в зависимости от того, сколько назначенных учеников посещает).
  • Каждый учащийся в списке ожидания должен получить либо приглашение, либо сообщение с обновлением к середине периода покупок. Если к тому времени вы не услышите, не стесняйтесь написать инструктору по электронной почте и узнать о своем статусе.

Другие вопросы о вводных занятиях

Оба курса охватывают интегральное исчисление. Math 116 уделяет особое внимание применению в биологии и особенно подходит для студентов-биологов и студентов-медиков. Оба могут использоваться в качестве предварительного условия для любого курса, требующего Math 115.

Math 120 — это курс многомерного исчисления, охватывающий дифференциальное и интегральное многомерное исчисление, а также теоремы интегрирования (Грина, Гаусса и Стокса).

Math 118 представляет собой комбинацию линейной алгебры и дифференциального исчисления с несколькими переменными, предназначенную для специалистов по социальным наукам, особенно экономике. Другими словами, он преподает часть математики 120 и часть математики 222 с упором на оптимизацию. Математика 118 может быть пройдена сразу после математики 112, хотя математика 115 рекомендуется в качестве предварительного условия (для большей практики с вычислениями и математикой в ​​целом, поскольку математика 118 является относительно сложным курсом).

Обратите внимание, что курс «Математика 118» является завершающим, нет удобного способа перейти от него к другим классам исчисления или линейной алгебры. Если вы рассматриваете возможность прохождения дополнительных математических курсов, мы настоятельно рекомендуем вам придерживаться обычной последовательности исчисления, за которой следует линейная алгебра.

Все три курса посвящены линейной алгебре, но курс 222 больше посвящен вычислительным методам и приложениям, а курсы 225 и 226 посвящены математическим доказательствам и более концептуальному подходу.Math 225 (линейная алгебра) или 226 (интенсивная линейная алгебра) рекомендуется для студентов, которые хотят пройти дополнительные курсы математики, основанные на доказательствах. Для прохождения курса Math 225 или Math 226 требуется специальность по математике. Дополнительную информацию об этих курсах можно найти в FAQ по математике.

Мы рекомендуем пройти курс математики 120, прежде чем поступать на линейную алгебру. Тем не менее, Math 222, 225 и 226 можно брать сразу после интегрального исчисления (например, AP Calculus BC или Math 115).

Математика 225 или 226 является частью вводной части курса математики.Потенциальные студенты, изучающие математику, и учащиеся, интересующиеся абстрактной математикой, могут рассмотреть возможность зачисления на курс математики 225 или 226 сразу после курса математики 115. 

У нас есть несколько мероприятий, чтобы помочь вам: 

  • Если у вас есть дополнительные вопросы о последовательности исчисления или если вы хотите получить совет по поводу вашего размещения, лучше всего задать их на сеансе консультирования по размещению исчисления в августе. Если сеанс уже запущен, вы можете связаться с одним из директоров исчисления. Они перечислены на нашем сайте ресурсов первого года.
  • Для получения информации об отдельных курсах математического анализа мы рекомендуем вам посетить курс  мэрии . Обычно они проходят в августе.
  • Для вопросов по специальностям математики и курсам, число которых превышает 200, лучше всего подходит  Академическая ярмарка , которая запланирована университетом (обычно в августе). Если Академическая ярмарка уже прошла, вы можете связаться с преподавателем интересующего вас класса или с DUS.

На многие вопросы также есть ответы на сайте математического факультета.Вы можете использовать меню в левой части этой страницы, чтобы получить доступ к нашему сайту ресурсов для студентов первого года обучения, нашим часто задаваемым вопросам по основным и продвинутым курсам математики и другим страницам, которые могут быть полезными.

Справочный центр USAJOBS | В чем разница между правомочностью и квалификацией?

Что такое право?

Право на участие в федеральном процессе найма означает принадлежность к определенной группе людей, которых агентство хочет нанять, будь то действующий федеральный служащий, ветеран или недавний выпускник. Федеральное правительство имеет несколько различных прав; мы называем их «путями найма».

Например, некоторые вакансии открыты только для нынешних или бывших федеральных служащих — это означает, что вы должны быть действующим или бывшим федеральным служащим, чтобы иметь право . Другие вакансии могут быть открыты для текущего студента или недавнего выпускника — если вы не являетесь текущим студентом или недавним выпускником, вы не имеете права.

Ваше право на участие не имеет ничего общего с вашим опытом работы, навыками и другими квалификациями.

Почему соответствие критериям важно?

Понимание того, соответствуете ли вы требованиям, поможет вам узнать, на какие вакансии вам следует претендовать. Вы можете подать заявку на любую вакансию, но вы можете не иметь права на эту работу, если не соответствуете одному из обязательных путей найма, перечисленных в объявлении о вакансии . Если вы не соответствуете требованиям, агентство по найму отклонит вашу заявку.

Что такое квалификации?

Квалификация включает ваш опыт работы (годы, тип работы), навыки, уровень образования и ваши общие знания в конкретной области обучения.

Агентство по найму рассмотрит вашу квалификацию после того, как определит, соответствуете ли вы требованиям. Агентство по найму будет ранжировать вас в зависимости от того, насколько хорошо вы соответствуете квалификациям работы.

Независимо от вашей квалификации, если вы не соответствуете требованиям, агентство по найму отклонит ваше заявление, и вы не будете приняты на эту работу.

Как узнать, имею ли я право на работу?

Перед подачей заявления

Вы должны прочитать Эта вакансия открыта для и Кто может применить разделы объявления о вакансии, чтобы узнать, имеете ли вы право на эту вакансию.Если вы попадаете в один из перечисленных «путей найма», вы имеете право на работу. Если вы не попадаете ни в одну из этих групп, вам следует поискать другую работу.

После подачи заявки

Агентство сначала рассмотрит ваше заявление, чтобы определить, соответствуете ли вы требованиям. Если вы не соответствуете требованиям, они отклонят вашу заявку — они даже не будут смотреть на вашу квалификацию. Неважно, есть ли у вас квалификация — вы должны сначала иметь право.

Если вы соответствуете требованиям, агентство рассмотрит вашу квалификацию.

Как я узнаю, что я квалифицирован?

Перед подачей заявления

Вы должны прочитать раздел Квалификация объявления о вакансии. В вашем заявлении должно быть указано, что у вас есть специализированный опыт, образование и другие квалификации, указанные в объявлении о вакансии.

После подачи заявки

Если вы соответствуете требованиям для работы, агентство рассмотрит вашу квалификацию и присвоит вам рейтинг в зависимости от того, насколько хорошо вы соответствуете этим требованиям. Агентство может оценить вас как «минимально квалифицированного», «высококвалифицированного» или где-то посередине. В зависимости от того, насколько хорошо вы соответствуете квалификационным требованиям, ваша заявка может или не может быть продолжена в процессе подачи заявки.

Узнайте больше о процессе подачи федеральных заявок.

Понимание различий между IDEA и разделом 504 | ЛД Темы

Автор: Council for Exceptional Children

Обзор IDEA и Раздела 504

С 1975 года каждый ребенок с ограниченными возможностями имеет право на бесплатное и соответствующее государственное образование (FAPE), предназначенное для удовлетворения его индивидуальных потребностей в соответствии с правилами и положениями Закона об образовании для лиц с ограниченными возможностями (IDEA).Этот федеральный закон регулирует все услуги специального образования и предоставляет определенное финансирование государственным и местным агентствам образования, чтобы гарантировать специальное образование и сопутствующие услуги тем учащимся, которые соответствуют критериям приемлемости для ряда различных категорий инвалидности, каждая из которых имеет свои собственные критерии. .

По данным Министерства образования США, около 5,5 миллионов детей с ограниченными возможностями получают специальное образование и сопутствующие услуги и находятся под защитой IDEA.Тем не менее, некоторые дети с особыми потребностями не получают услуг в рамках IDEA, но обслуживаются в соответствии с разделом 504 Закона о реабилитации 1973 года. Раздел 504, закон о гражданских правах, запрещает дискриминацию на основании условий инвалидности со стороны программ и мероприятий, получающих или приносящих пользу. из федеральной финансовой помощи. Этот закон не требует от федерального правительства предоставления дополнительного финансирования учащимся с особыми потребностями. Школы должны предоставить этим детям разумные приспособления, сравнимые с теми, которые предоставляются их сверстникам в соответствии с постановлениями Раздела 504.Хотя Раздел 504 и не является законом о финансировании, он обеспечивает выполнение мандата: школа, которая, по мнению Управления по гражданским правам, не соответствует разделу 504, может лишиться федерального финансирования.

Для некоторых детей предоставление соответствующих модификаций и приспособлений, в которых они нуждаются, является единственным способом добиться успеха в школьной жизни. Глубокое понимание положений этих двух законов и их различий может помочь вам и учителям вашего ребенка спланировать наиболее подходящее образование для вашего ребенка.

Обзор различий

Основные различия между IDEA и Разделом 504 заключаются в гибкости процедур. Для определения ребенка как имеющего право на получение услуг в соответствии с Разделом 504 существуют менее конкретные процедурные критерии, регулирующие требования к школьному персоналу. Школы могут предлагать учащимся меньшую помощь и контроль в соответствии с Разделом 504, поскольку федеральное правительство устанавливает меньше инструкций для их инструктирования, особенно с точки зрения соблюдения.

Напротив, ребенок, определенный для получения услуг в рамках IDEA, должен соответствовать определенным критериям. Степень регулирования является более конкретной с точки зрения временных рамок, участия родителей и формальных требований к оформлению документов. IDEA также занимается специальным образованием учащихся с ограниченными возможностями от дошкольного до выпускного (в возрасте от 3 до 21 года). Раздел 504 охватывает продолжительность жизни и защищает права людей с ограниченными возможностями во многих сферах их жизни, включая трудоустройство, общественный доступ к зданиям, транспорт и образование.

Критерии идентификации, приемлемости, надлежащего образования и процессуальных норм в соответствии с IDEA и Разделом 504 различаются. Для вас и учителей вашего ребенка важно понимать, чем эти законы отличаются, и как эти различия могут повлиять на образование вашего ребенка.

Идентификация и право на участие

Чтобы дети-инвалиды могли получать услуги, они должны быть идентифицированы, а затем признаны имеющими право на эти услуги. Согласно руководящим принципам IDEA, школьные округа обязаны выявлять и оценивать всех детей с подозрением на инвалидность, чьи семьи проживают в округе.Раздел 504 не содержит этого требования.

ИДЕЯ

  • Охватывает всех детей школьного возраста, подпадающих под одну или несколько конкретных категорий квалифицирующих состояний (например, аутизм, особые трудности в обучении, нарушения речи или языка, эмоциональные расстройства, черепно-мозговые травмы, нарушения зрения, слуха и другие нарушения здоровья). ).
  • Требует, чтобы инвалидность ребенка отрицательно сказывалась на его успеваемости.

Раздел 504

  • Охватывает лиц, подпадающих под определение квалифицированного «инвалида», например, ребенка, имеющего или имевшего физическое или умственное расстройство, которое существенно ограничивает его основную жизненную деятельность, или которого другие считают инвалидом.(Основные виды деятельности включают в себя: ходьбу, зрение, слух, речь, дыхание, обучение, работу, уход за собой и выполнение ручных задач.)
  • Не требует, чтобы ребенок получил специальное образование для получения права. Примечание: Учащиеся, которые не имеют права на получение услуг или больше не имеют права на услуги в рамках IDEA (например, дети с LD, которые больше не соответствуют критериям приемлемости IDEA), могут иметь право на приспособления в соответствии с разделом 504.

Оценка

Ребенок с инвалидностью оценивается, чтобы определить, какие услуги, если таковые имеются, ему необходимы.

ИДЕЯ

  • Требуется полное и всестороннее обследование ребенка многопрофильной командой.
  • Требуется информированное и письменное согласие родителей.
  • Требуется повторная оценка ребенка не реже одного раза в три года, или если условия требуют повторной оценки, или если родитель ребенка или учитель требуют повторной оценки.
  • Предусматривает проведение независимой оценки за счет школьного округа, если родители не согласны с первой оценкой.
  • Не требует повторной оценки перед существенным изменением размещения.

Раздел 504

  • Оценка основывается на информации из различных источников и документируется.
  • Решения о ребенке, данных оценки и вариантах размещения принимаются знающими людьми. Такие решения не требуют письменного согласия родителей, а только уведомления родителей.
  • Требуется «периодическая» переоценка.
  • Не предусмотрена независимая оценка за счет школы.
  • Требуется повторная оценка перед существенным изменением размещения.

Ответственность за предоставление FAPE

FAPE — это аббревиатура от бесплатного и подходящего образования.

ИДЕЯ

  • Требуется индивидуальная программа обучения (IEP).
  • «Соответствующее» образование означает программу, предназначенную для обеспечения «образовательной выгоды» для человека с ограниченными возможностями.
  • Размещение может быть любой комбинацией классов специального и общего образования.
  • При необходимости оказывает сопутствующие услуги. Сопутствующие услуги могут включать речевую и языковую терапию, трудотерапию, физиотерапию, консультационные услуги, психологические услуги, социальные услуги и транспорт.

Раздел 504

  • Не требуется IEP, но требуется план.
  • «Соответствующее» означает образование, сравнимое с образованием, предоставляемым тем учащимся, которые не являются инвалидами.
  • Зачисление обычно осуществляется в общеобразовательный класс. Дети могут получать специализированное обучение, сопутствующие услуги или приспособления в общеобразовательном классе.
  • При необходимости оказывает сопутствующие услуги.

Надлежащие процессуальные процедуры

Иногда родители и школьные округа расходятся во мнениях относительно того, как следует обучать ребенка с инвалидностью. Когда это происходит, существуют процедуры для разрешения этих разногласий.

ИДЕЯ

  • Должен обеспечить беспристрастное слушание родителей, которые не согласны с идентификацией, оценкой или размещением учащегося.
  • Требуется письменное согласие.
  • Описывает специальные процедуры.
  • Беспристрастный назначенец выбирает судебного исполнителя.
  • Предоставляет положение о «отстранении» (текущая IEP и размещение учащегося продолжают выполняться) до тех пор, пока не будут решены все разбирательства.
  • Родители должны получить уведомление за десять дней до любого изменения размещения.
  • Применяется Управлением специального образования Министерства образования США.

Раздел 504

  • Должен обеспечить беспристрастное слушание родителей, которые не согласны с идентификацией, оценкой или размещением учащегося.
  • Не требует согласия родителей.
  • Требует, чтобы у родителей была возможность участвовать и быть представленными юрисконсультом — другие детали оставлены на усмотрение школы.
  • Судебное должностное лицо обычно назначается школой.
  • Нет положений о «неподвижности».
  • Не требует, чтобы родители были уведомлены до смены места жительства учащегося, но они все равно должны быть уведомлены.
  • Применяется Управлением по гражданским правам Министерства образования США.

Из понимания различий между IDEA и разделом 504 «Обучение одаренных детей», v. 34(3). Авторское право 2002 г. Совета по особым детям.Перепечатано с разрешения.

Понимание федерального процесса найма

*/ ]]]]]]>]]]]>]]>

Хотя этот процесс может быть похож на процесс в частном секторе, все же существуют значительные различия из-за множества законов, исполнительных распоряжений и постановлений, регулирующих федеральную занятость.

Конкурентная служба по сравнению с исключенными служебными должностями

Существует два типа неисполнительных должностей в федеральном правительстве: 1) те, которые находятся на конкурсной службе, и 2) те, которые находятся на освобожденной службе.

  • Конкурсная служба – Конкурсные должности регулируются законами о государственной службе, принятыми Конгрессом. Законы помогают обеспечить честную и открытую конкуренцию, прием на работу из всех слоев общества и отбор на основе компетенций или знаний, навыков и способностей претендентов.
  • Исключенная служба — Исключенные должности определяются законом, Президентом или Управлением по управлению персоналом США (OPM) как исключенные. На эти должности не распространяются правила назначения, оплаты и классификации конкурсной службы.

ПРИМЕЧАНИЕ. В агентствах DOL есть как конкурентные, так и особые должности.

Конкурентная служба

На конкурсной службе лица должны пройти конкурсный процесс найма (т. е. конкурсный экзамен) перед назначением на вакантную должность. Этот процесс может включать письменный тест, оценку образования и опыта человека, собеседование и/или оценку других качеств, необходимых для успешной работы на занимаемой должности.

Методы назначения

  • Повышение в должности . Эта система используется для отбора действующих и бывших федеральных служащих на должности на основе личных заслуг. Должности обычно заполняются на основе конкурса, при этом кандидаты оцениваются и ранжируются на должности на основе их опыта, образования, навыков и послужного списка.

    Если в объявлении о вакансии или объявлении о возможностях трудоустройства (JOA) указано, что кандидаты со статусом имеют право подавать заявки, подавать заявки могут карьерные служащие федерального правительства и служащие с условиями карьеры, проработавшие не менее 90 дней после назначения на конкурсную должность. (Чтобы определить, являетесь ли вы «карьерным работником» или «работником, зависящим от карьеры», см. Основные моменты объявления о вакансиях).

    В соответствии с Законом о возможностях трудоустройства ветеранов от 1998 г. (VEOA) ветераны, имеющие право на участие в программе, также могут подавать заявки на должности, объявленные в соответствии с процедурами продвижения по службе, когда объявления о вакансиях агентства DOL открыты для кандидатов, не являющихся его собственными сотрудниками. Этим ветеранам разрешено участвовать в конкурсе, однако кандидатам VEOA не отдается предпочтение ветеранов как фактору.


  • Делегированная экспертиза – Делегированная экспертиза (DE) применяется только к конкурсным экзаменам, а не к продвижению по службе или неконкурентным процессам обслуживания. DE — это полномочия, которые OPM предоставляет агентствам для заполнения конкурентоспособных должностей на государственной службе:
    • Кандидаты, подающие заявки не из федеральной рабочей силы,
    • Федеральные служащие, не имеющие статуса конкурсной службы, или
    • федеральных служащих с конкурсным статусом службы.
    Назначения, сделанные через орган DE, регулируются законами и постановлениями о государственной службе.

  • Внеконкурсное действие – Внеконкурсное действие – это назначение или назначение на должность на конкурентной службе. Это действие не осуществляется путем отбора на открытом конкурсном экзамене и обычно основано на текущей или предыдущей федеральной службе. Примечание. Специальные внеконкурсные органы по назначению устанавливаются законом или указом исполнительной власти. Ветераны, инвалиды, многие нынешние и бывшие федеральные служащие, а также вернувшиеся добровольцы Корпуса мира являются примерами лиц, имеющих право на внеконкурсное назначение.

Поиск вакансий

OPM поддерживает центральную базу данных под названием USAJOBS, в которой перечислены почти все федеральные вакансии. Объявления о доступных вакансиях (JOA) предоставляют соискателям информацию о квалификации, обязанностях, заработной плате, месте работы, льготах и ​​требованиях безопасности. JOA можно использовать, чтобы помочь вам определить, соответствуют ли ваши интересы, образование и профессиональный опыт вакантной должности, которая может сделать вас хорошим кандидатом на эту работу.Доступен список общих терминов, который поможет вам понять термины, используемые в объявлениях о вакансиях.

Вы также можете найти определенные вакансии только для DOL в DOL Jobs. Для большинства вакансий в Департаменте требуется гражданство США и успешное завершение полного расследования и проверки на наркотики.

Объявление о вакансиях (JOA) Основные моменты

Все JOA имеют одни и те же основные разделы, хотя порядок, стиль и формулировка различаются. Знакомство с этими разделами может помочь вам сфокусироваться на ключевых фактах

.

Общие этапы процесса найма и отбора

  1. Полное заявление или резюме . Заявления сотрудников должны точно отражать навыки и компетенции, применимые к объявленной должности.Для каждой прошлой работы укажите стандартную информацию, которую можно найти в большинстве резюме. Начните с вашей текущей должности и перечислите все другие должности в хронологическом порядке. В частности, укажите название должности, даты начала и окончания (включая месяц и год), имя и адрес предыдущего работодателя (или напишите «самозанятый», если это применимо), а также основные обязанности и достижения. Включите все временно занимаемые должности. Кроме того, укажите среднее количество часов, отработанных в неделю, или просто укажите «полный рабочий день»; заработная плата или заработная плата; имя руководителя, адрес и номер телефона; и можно ли связаться с вашим последним руководителем.Включите номера профессиональных серий, а также начальные и конечные разряды занимаемых должностей в федеральном правительстве. Включите любой соответствующий волонтерский опыт.

    Самое главное, опишите должностные обязанности и достижения таким образом, чтобы продемонстрировать свою квалификацию. Изучите JOA и подчеркните те части вашей трудовой биографии, которые соответствуют перечисленным там квалификациям. Помните, что специалисты по кадрам могут быть не знакомы с вашей сферой деятельности. Чтобы помочь им понять, насколько ваш опыт соответствует тому, что требуется для вакантной должности, убедитесь, что вы описываете свой опыт с точки зрения непрофессионала.Для получения дополнительной информации см. Советы по составлению федерального резюме.


  2. Подать заявку на вакансию — Подайте заявку до «даты закрытия» JOA. Иногда приложения должны быть только помечены почтовым штемпелем в установленный срок. Обычно заявки должны прибыть в указанный пункт назначения либо к 23:59 по восточному стандартному времени (EST), либо к концу рабочего дня.

    Предоставьте любую дополнительную документацию, указанную в JOA, подтверждающую все квалификации, такую ​​как стенограммы, уведомление о кадровых мерах SF-50 (как доказательство права на подачу заявления), служебные аттестации и/или форму ветеранов DD-214.Если вы не предоставите требуемый документ, вы можете быть признаны непригодным для рассмотрения. См. Как подать заявку для получения более подробной информации.


  3. Собеседование при приеме на работу – Имена наиболее квалифицированных кандидатов направляются руководителю или сотруднику по найму. Если вы являетесь одним из наиболее квалифицированных кандидатов, руководитель или лицо, ответственное за найм, может провести с вами собеседование лично или по телефону, что гарантирует справедливое и равное отношение ко всем кандидатам в процессе найма.

    Интервью — это тесты, предназначенные для измерения различных компетенций, важных для выполнения работы. Интервью могут включать основанные на сценариях вопросы, которые измеряют выбранные компетенции, например, руководство другими, построение команды, управление производительностью и результатами, принятие решений и решение проблем, устное общение, навыки межличностного общения, технические вопросы и т. д. Дополнительные сведения см. в разделе «Советы по собеседованию».


  4. Что ожидать дальше .

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.