Почему нашу систему счисления называют десятичной: Десятичная система счисления — урок. Математика, 5 класс.

Содержание

Она в сто первый класс ходила…. Урок на тему «Системы счисления»

Цели: продолжить изучение систем счисления, изучить историю возникновения систем счисления, способы перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную и обратно.

Задачи обучающие: закрепить сведения о системах счисления, ознакомиться с историей возникновения систем счисления, усовершенствовать навыки использования информационных технологий (навыки работы в текстовом редакторе и графическом редакторе (копирование объектов), использование программы «Калькулятор»), усовершенствовать навыки перевода чисел из одной системы счисления в другую, навыки составления чисел в непозиционной системе счисления, сформировать навыки выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления – на репродуктивном уровне.Задачи развивающие: развивать внимание, речь, воображение, интерес учеников к изучаемым предметам.Задачи воспитательные: умственное и эстетическое воспитание учащихся, показать, как ярко оформить устный рассказ.

Основные понятия: – число;- цифра;- система счисления;- позиционная система счисления;- непозиционная система счисления.Ход урокаI. Организационный моментУчитель: Сегодня, ребята, наш урок будет необычным. Мы проведем совместно урок математики и информатики. Прежде чем начать, давайте проведем интеллектуальную разминку и отгадаем тему сегодняшнего урока. Вам предстоит отгадать кроссворд и ребус. II. Интеллектуальная разминка Посмотрите, пожалуйста, на кроссворд (см. презентацию). По горизонтали:1. Арифметическое действие (сложение). 2. Информационный процесс (хранение). 3. Устройство компьютера, осуществляющее обработку информации и управление другими устройствами (процессор).4. Способ формирования изображений, при котором рисунок состоит из простых геометрических фигур и информация об изображении – это координаты и формулы, описывающие эти геометрические фигуры (векторный). 5. Информационный процесс (передача). 6. Общее название ОЗУ, ПЗУ винчестера или основа процесса хранения информации (память).
7. Восемь бит составляют один… (байт). Какое слово появилось у нас по вертикали? (Система.) Системы бывают разные. Какие же системы мы будем сегодня продолжать с вами изучать, давайте выясним, отгадав ребус. Что означают запятые, поставленные в начале или конце рисунка? (Столько букв сначала или в конце надо отбросить.) Что означала бы запись «е=и»? (Букву е в слове надо заменить на и.) Итак, теперь, когда завершилась наша интеллектуальная разминка, мы поняли, что сегодня мы продолжим изучать системы счисления.III. Изложение нового материала. Составление учащимися краткого конспекта Учитель: Кто мне скажет определение систем счисления? (См. презентацию.) Прежде всего нам необходимо совершить путешествие в историю чисел, далее мы с вами вспомним, какие системы счисления называют позиционными, а какие непозиционными, каким образом переводят числа из одной системы счисления в другую, и, наконец, научимся совершать действия с ними. «Все есть число», – говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей (см.
презентацию). Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами. Слово «цифра» произошло от латинского слова cifra и переводится как «знаки для обозначения чисел» (см. презентацию). Запишите, пожалуйста, к себе в тетрадь это определение.Люди научились считать очень давно, еще в каменном веке. Сначала они просто различали, один предмет перед ними или больше. Через некоторое время появилось слово для обозначения двух предметов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два». А все числа больше двух получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три – это «два, один», четыре – «два, два», пять – «два, два, один». Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек.
Чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскалывали бирку пополам (см. презентацию). Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать «подделки документов». Ведь при возникновении спорной ситуации половинки можно было сложить и сравнить совпадение и число зарубок. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Давайте запишем определение унарной системы счисления к себе в тетрадь: унарной (единичной) называется такая система записи чисел, при которой число образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Приведите мне пример унарной (единичной) системы счисления сегодня (курсант военного училища носит нашивки на рукаве, по ним можно узнать, на каком курсе он учится; малыши показывают на пальцах, сколько им лет, первоклассники учатся считать с помощью счетных палочек).
Скажите, пожалуйста, единичная система – удобный способ записи чисел? Нет, когда надо записывать большие числа. Поэтому с течением времени возникли другие системы счисления, более удобные.Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т. д. использовались специальные значки – иероглифы (см. презентацию). Все остальные числа составлялись из этих ключевых символов при помощи операции сложения. А сейчас мы выполним первое практическое задание. Вы должны будете в текстовом процессоре MS Word, используя копирование, составить из символов древнеегипетской системы счисления числа 3252, 727, 99. Проверим результат вашей работы… Кто скажет, какое арифметическое действие используется для формирования числа из цифр? (Сложение.)Скажите, пожалуйста, зависит ли величина числа от того, в каком порядке располагаются составляющие его знаки? Можно их написать сверху вниз, снизу вверх, справа налево, вперемешку? Как называется система счисления, в которой количественное значение цифры не зависит от места (позиции), которую она занимает в числе? (Непозиционная.
) Скажите, а какая непозиционная система счисления вам давно знакома? С помощью какой непозиционной системы счисления обозначаются главы в книгах? Римской. Давайте вспомним символы, с помощью которых обозначают цифры в римской системе счисления (см. презентацию). Кто сможет записать в римской системе счисления год своего рождения? (Пишут на доске.) А кто сможет записать это же число иначе? А можно записать это же число другим образом? Скажите, пожалуйста, меняется ли значение цифр в зависимости от перестановки в числе? (Нет.) Обратите внимание, если в Древнем Египте числа записывали, используя только сложение, то древние римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака. Откроем рабочую тетрадь и выполним задание (см. презентацию.) Говоря о непозиционных системах счисления, нельзя не сказать о славянском цифровом алфавите (см. презентацию).
О ней нам расскажет… (к доске вызывается ученик).Ученик представляет доклад: Алфавитной нумерацией пользовались как греки, так и южные и восточные славянские народы. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись и в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок – титло. При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иным). Учитель: Посмотрите, пожалуйста, на славянский цифровой алфавит. Например, если записать в славянской нумерации числа 55, 288, 1 и 498, то получится фраза: «Не спи, а учи». В России славянская нумерация сохранялась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах (см.
презентацию). Вместе с непозиционными существуют и позиционные системы счисления.  В них количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.Примером позиционной системы счисления является вавилонская система счисления – шестидесятеричная. Кстати, мы с вами тоже ее используем. Вспомните, где? (При измерении времени, углов.)В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. Например, на Руси счет велся дюжинами. Английский фунт тоже равен 12 шиллингам. А где мы сегодня встречаемся с двенадцатеричной системой счисления?(Год – 12 месяцев, половина суток – 12 часов, сервизы и столовые приборы рассчитаны на 12 персон.) Десятичная система счисления появилась в Индии в V в. н. э., и возникла она после появления цифры 0, которую придумали греческие астрономы для обозначения отсутствующей величины. Впоследствии с этой системой счисления ознакомились арабы. Они по достоинству оценили ее, начали использовать и в ХII веке завезли в Европу.
И с этого времени человечество пользуется этой системой счисления. Цифры десятичной системы счисления называются арабскими, хотя начало они получили в Индии. С появлением информатики, вычислительной техники нашла свое применение двоичная система счисления, корни которой уходят в Древний Китай. Система гадания китайской Книги перемен при внимательном анализе обнаруживает в своей основе двоичную систему счисления и позиционный принцип записи чисел.  Ребята, какая система счисления используется в компьютерной технике? (Двоичная.) Что такое двоичное цифровое кодирование? (Представление любого вида информации с помощи последовательности битов.) Для чего нужно представлять любую информацию в виде 0 и 1? (Потому что в компьютере передаваться, храниться и обрабатываться может только информация, представленная в виде 0 и 1.) В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.
А множество всех символов, используемых  для записи чисел в данной системе счисления, – ее алфавитом. (См. таблицу.)В десятичной системе счисления цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее – сотни, затем тысячи и т. д. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается в числе трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа – пять десятков и, наконец, третья – пять сотен.Выше десятичное число 555 было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления.В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:55510 = 5 х 102 + 5 х 101 + 5 х 100.Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме будет записываться следующим образом:555,5510 = 5 х 102 + 5 х 101 + 5 х 100 + 5 х 10-1 + 5 х 10-2.Выполните задание в тетрадях 1. Записать  в развернутой форме числа:А) 19,9910      Б) 10,102    В) 64,58    Г) 213,224      Д) А54,В7162. Записать в свернутой форме числа:А) С8 = 7*83 + 7*82 + 6*81 + 4*80 +1*8-1      (7764,18)Б) С2 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2    (101,012)Обменяться тетрадями, проверить правильность выполнения, выставить оценку.Учитель: Любое число можно представить в виде суммы произведений значащих цифр числа на степени основания системы счисления. Такое представление называется развернутой формулой записи числа.15525510=1.105+5.104+5.103+2.102+ 5.101+5.100На этом принципе основан перевод чисел из любой степени счисления в десятичную степень счисления. Так, для перевода двоичного числа в десятичное нужно записать его в развернутой форме1111012=1.25+1.24+1.23+1.22+ 0.21+ 1.20=32+16+8+4+1=6110Пример: перевести число 2510 из десятичной в двоичную:      2510 = 110012Для обратного перевода десятичного числа в двоичное необходимо делить данное число на 2, фиксируя остатки. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основание системы).Загадка поэта Прочитайте шуточное стихотворение А.Н.Старикова «Необыкновенная девочка» и попробуйте разгадать загадку поэта. Для этого выпишите упомянутые в стихотворении числа и переведите их в десятичную систему счисления.  Работа в парах.Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила. Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий.Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель  и поводок держали.И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.Ребята переводят числа в десятичную систему счисления и читают стихотворение: Ей было 12 лет, Она в 5-й класс ходила, В портфеле по четыре книги носила. Все это правда, а не бред.Когда, пыля двумя ногами, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато четырехногий. Она ловила каждый звук Своими двумя ушами, И две загорелые руки Портфель  и поводок держали. И двое темно-синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.IV. Практическая работаЕще раз проверим себя, на этот раз с помощью компьютерной программы «Калькулятор» (Пуск – Программы – Стандартные – Калькулятор). Убедитесь, что активизирован инженерный вид калькулятора (Вид – Инженерный). Обратите внимание на переключатели Hex (hexadecimal) – шестнадцатеричная, Dec (decimal) – десятичная, Oct (octal) – восьмеричная, Bin (binary) – бинарная. Установим переключатель в положение Dec и введем число 24, а теперь переведем переключатель в положение Bin. Мы видим число 24 в двоичной записи. А теперь поучимся выполнять арифметические операции с числами в двоичной системе счисления. Составить таблицу сложения и умножения двоичных чисел (см. презентацию).Дополнительные задания  из рабочей тетради Учащиеся выполняют задания в группах за компьютером, используя программу «Инженерный калькулятор».   Переведи в десятичную систему счисления: 345, 110011,012, 1ВС16Докажите, что:       225338 = 100101010110112 10010101111002 = 12BC16 101010100111002 = 252348 1C6316 = 11100011000112 Поставьте вместо знака ? знак или =. 28510?  11D16 (Ответ:   28510 =  28510) 1111112   ?   11118 (Ответ:   6310   4110) 5516 ?   1258 (Ответ:   8510 =  8510) Расположите числа, записанные в различных системах счисления, в порядке возрастания: 3510, 368, 3А16, 1001012, 1304         (Ответ:  1304 , 368, 3510, 1001012, 3А16) 1110012, 648, 9Е16, 2510, 2103         (Ответ:  2103, 2510, 648, 1110012, 9Е16) 728, 15610, 1010012, 8В16, 2325       (Ответ:  1010012, 728, 2325, 8В16, 15610) 12D16, 788, 1000112, 54110, 1245    (Ответ:  1000112, 1245, 788, 12D16, 54110) V. Подведение итоговVI. Рефлексия – Какое задание было самым интересным? – Какое задание, по вашему мнению, было самым сложным? – С какими трудностями вы столкнулись, выполняя задания? – Какие задания вы считаете самыми интересными и какие задания можете предложить сами по данной теме?Учитель: Вы сегодня работали хорошо, справились с поставленной перед вами задачей, а также показали хорошие знания по теме «Перевод чисел в позиционных системах счисления». За работу на уроке вы получаете следующие оценки (объявляются оценки каждого ученика за работу на уроке). Спасибо всем за хорошую работу. Молодцы!VII. Домашнее заданиеP.S. Презентация к занятию опубликована на сайте «Учительской газеты», в рубрике «Методическая кухня»: http://www.ug.ru/method_article/645. ​Екатерина ЧЕРНОВОЛ, учитель математики и информатики средней школы №4 с углубленным изучением отдельных предметов города Батайска Ростовской области

Система счисления — презентация онлайн

— Говорили древнегреческие
философы, ученики Пифагора,
подчеркивая важную роль чисел
в практической деятельности.
— Это знаковая система, в которой числа записываются по
определенным правилам с помощью символов некоторого
алфавита, называемых цифрами.
Система счисления – способ записи чисел с
помощью цифр и правила действий со
значениями этих цифр.
системы счисления
позиционные
непозиционные
Непозиционной называют систему
счисления, в которой значение цифры
не зависит от ее позиции в числе.
Примерами непозиционных систем
счисления являются:
единичная
десятичная древнеегипетская
алфавитная система записи чисел
(римская)

6. Единичная система счисления

В древние времена, когда люди начали считать, появилась
потребность в записи чисел. Первоначально количество
предметов отображали равным количеством каких-нибудь
значков: насечек, черточек, точек.
+
+
=

7. Десятичная древнеегипетская система счисления

(Вторая половина третьего тысячелетия)
Для обозначения ключевых чисел использовали
специальные значки-иероглифы:

8. Алфавитная система записи чисел

До конца XVII века на Руси в качестве цифр
использовались следующие буквы
кириллицы, если над ними ставился
специальный знак — титло. Например:

9. Римская система счисления

До нас дошла римская система записи чисел
Применяется более 2500 лет.
В качестве цифр в ней используются латинские буквы:
I
1
V
5
X
10
L
C
50 100
D
M
500 1000
Например:
CXXVIII = 100 +10 +10 +5 +1 +1 +1=128
Позиционной называют систему
счисления, в которой значение цифры
зависит от ее позиции в числе.

11. Вавилонская система счисления

Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем
Вавилоне, причем вавилонская нумерация была
шестидесятеричной, то есть в ней
использовалось шестьдесят цифр!
Числа составлялись из знаков двух видов:
Единицы –прямой клин
Десятки – лежачий клин
Сотни
10 + 1 = 11

12. Позиционные системы счисления

Наиболее распространенными в настоящее время
являются
-десятичная
-двоичная
-восьмеричная
-шестнадцатеричная

13. Десятичная система счисления

Любое число мы можем записать при помощи десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Именно поэтому наша современная система счисления называется
десятичной.
Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу:
«Преимущества десятичной системы счисления не
математические, а зоологические. Если бы у нас было
на руках не десять пальцев, а восемь, то человечество
бы пользовалось восьмеричной системой счисления. »

14. Десятичная система счисления

Хотя десятичную систему счисления принято называть арабской, но зародилась
она в Индии, в V веке.
В Европе об этой системе узнали в ХII веке из арабских научных трактатов,
которые были переведены на латынь.
Этим и объясняется название «Арабские цифры».
Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная система
счисления получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять
любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины.
Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.

15. Арабская нумерация

Популярна при Петре I
Была придумана задолго до появления компьютеров. Официальное рождение двоичной
арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в
которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными
числами. Ее недостаток – «длинная» запись чисел.
В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной
технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры:
0и1
Пример:
Свернутая форма записи числа: 1012
2 1 0
Развернутая форма: 101 =1*22 +0*21+1*20
Все числа в компьютере представляются
с помощью нулей и единиц, т. е.
в двоичной системе счисления.

17. Позиционная система счисления

Алфавит системы счисления – конечное и упорядоченное множество цифр,
используемых для записи чисел в системе счисления.
Основание системы счисления – количество цифр в алфавите системы
счисления.
За основание позиционной системы можно принять любое натуральное число больше
единицы.
Основание системы, к которой относится число, обозначается
подстрочным индексом к этому числу.
1110010012
356418
43B8D16

18. Алфавиты нескольких систем

Основание
Система
Алфавит
2
Двоичная
01
3
Троичная
012
8
Восьмеричная
01234567
16
шестнадцатеричная
0123456789ABCDEF
Запишите в римской системе счисления числа:
1.
9=
12 =
2778 =
2. Какие числа записаны с помощью римских цифр:
LXV=
MCMLXXXVI =
__________________________+ (дополнительно)
Исправьте неверные равенства, переложив с одного места на
другое только одну палочку:
VII –V = XI
IX – V = VI

Какое двоичное число. Что такое двоичная система счисления? Развернутая форма записи числа

План урока

Здесь вы узнаете:

♦ как работает с числами;
♦ что такое электронная таблица;
♦ как решаются вычислительные задачи;
♦ с помощью электронных таблиц;
♦ как можно использовать электронные таблицы для информационного моделирования.

Двоичная система счисления

Основные темы параграфа:

♦ десятичная и двоичная системы счисления;
♦ развернутая форма записи числа;
♦ перевод двоичных чисел в десятичную систему;
♦ перевод десятичных чисел в двоичную систему;
♦ арифметика двоичных чисел.

В данной главе речь пойдет об организации вычислений на компьютере . Вычисления связаны с хранением и обработкой чисел.

Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления.

Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ. Выясним, что такое система счисления.

Десятичная и двоичная системы счисления

Системой счисления или в сокращенном варианте СС называют такую систему записи чисел, которая имеет определенный набор цифр.

Об истории различных систем счисления вы узнали, когда изучали 7 главу учебника. А сегодня мы с вами обратим наше внимание на такие системы счисления, как двоичная и десятичная СС.

Как вам уже известно из изученного ранее материала, что одной из наиболее часто применяемых систем счисления является десятичная СС. А называется эта система так потому, что в основе этого словообразования есть число 10. Вот поэтому и система счисления называется десятичной.

Вы уже знаете, что в этой системе используют такие десять цифр, как 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А вот числу десять отведена исключительная роль, так как на наших руках насчитывается десять пальцев. То есть, десять цифр являются основанием данной системы счисления.

А вот в двоичной системе счисления, задействованные только две цифры, такие, как 0 и 1 и основанием этой системы является число 2.

Теперь давайте попробуем разобраться, как с помощью всего лишь двух цифр представить какую-то величину.

Развернутая форма записи числа

Давайте обратимся к своей памяти и вспомним, какой в десятичной СС существует принцип записи чисел. То есть, для вас уже не будет секретом, что в такой СС запись числа зависит от места расположения цифры, то есть, от ее позиции.

Так, например, цифра, которая является крайней справа, говорит нам о количестве единиц этого числа, следующая за этой цифрой, как правило, указывает на количество двоек и т.д.

Если мы с вами, например, возьмем такое число, как 333, то увидим, что крайняя правая цифра обозначает три единицы, потом три десятка и за ней – три сотни.

Теперь это изобразим в виде такого равенства:

Здесь мы видим равенство, в котором выражение, расположенное с правой стороны от знака равно, предоставлено в виде развернутой формы записи этого многозначного числа.

Рассмотрим еще один пример многозначного десятичного числа, который также представлен в развернутой форме:

Перевод двоичных чисел в десятичную систему

Теперь давайте для примера возьмем такое многозначительное двоичное число, как:

В этом многозначительном числе мы видим с правой стороны внизу двойку, которая нам указывает на основание системы счисления. То есть, нам понятно, что перед нами двоичное число и перепутать его с десятичным, мы уже не можем.

И значение каждой следующей цифры в двоичном числе возрастает в 2 раза при каждом шаге справа налево. Теперь давайте посмотрим, как будет выглядеть развернутая форма записи этого двоичного числа:

На этом примере мы видим, как можно перевести перевели двоичное число в десятичную систему.

Теперь давайте еще приведем несколько примеров перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Это пример нам показывает то, что двузначному десятичному числу, в данном случае, соответствует шестизначное двоичное. Для двоичной системы характерно такое возрастание количества цифр при увеличении значения числа.

А теперь давайте посмотрим, как будет выглядеть начало натурального ряда чисел в десятичной (А10) и двоичной (А2) СС:



Перевод десятичных чисел в двоичную систему

Рассмотрев приведенные примеры выше, надеюсь вам теперь понятно, как происходит перевод двоичного числа в равное десятичное число. Ну, а теперь давайте попробуем сделать обратный перевод. Смотрим, что нам для этого необходимо сделать. Нам для такого перевода необходимо попробовать разложить десятичное число на слагаемые, которые представляют собой степени двойки. Приведем такой пример:

Как видим, это сделать не так уж и просто. Давайте попробуем рассмотреть другой, более простой метод перевода из десятичной СС в двоичную. Такой метод состоит в том, что известное десятичное число, как правило, делиться на два, а его полученный остаток и будет выступать младшим разрядом искомого числа. Это, вновь полученное число мы снова делим на два и получаем следующий разряд искомого числа. Такой процесс деления мы будем продолжать до тех пор, пока частное не станет меньше основания двоичной системы, то есть, меньше двойки. Вот такое полученное частное и будет старшей цифрой числа, которое мы искали.

Давайте теперь рассмотрим методы записи деления на число два. Для примера возьмем число 37 и попробуем его перевести в двоичную систему.



На данных примерах мы видим, что а5, а4, а3, а2, а1, а0 являются обозначением цифр в записи двоичного числа, которые осуществляются по порядку слева направо. В итоге мы с вами получим:


Арифметика двоичных чисел

Если исходить из правил в арифметике, то легко заметить, что в двоичной системе счислений, они намного проще, чем в десятичной.

Теперь давайте вспомним варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел.


Благодаря такой простоте, которая легко согласовывается с битовой структурой компьютерной памяти, двоичная система счисления привлекла внимание создателей компьютера.

Обратите внимание на то, как выполняется пример сложения двух многозначных двоичных чисел при помощи столбика:


А вот перед вами пример умножения многозначных двоичных чисел в столбик:


Вы заметили, как легко и просто выполнять такие примеры.

Коротко о главном

Система счисления — определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения вычислений.

Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.

Двоичные числа — числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.

Развернутая форма записи двоичного числа — это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.

Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой двоичной арифметики.

Достоинства двоичной системы счисления

А теперь давайте рассмотрим, какими достоинствами обладает двоичная система исчисления:

Во-первых, достоинством двоичной системы счисления является то, что с ее помощью довольно таки просто осуществлять процессы хранения, передачи и обработки информации на компьютере.
Во-вторых, для ее выполнения достаточно не десять элементов, а лишь два;
В-третьих, отображение информации с помощью лишь двух состояний, это надежнее и более устойчиво к различным помехам;
В-четвертых, есть возможность использования алгебры логики для осуществления логических преобразований;
В-пятых, двоичная арифметика все же проще десятичной, поэтому является более удобной.

Недостатки двоичной системы счисления

Двоичная система счисления менее удобна, так как человек привык больше пользоваться десятичной системой, которая намного короче. А вот, в двоичной системе большие числа имеет довольно таки большое число разрядов, что и является ее существенным недостатком.

Почему двоичная система счисления так распространена?

Популярной двоичная система счисления является потому, что это язык вычислительной техники, где каждая цифра должна быть каким-то образом представлена на физическом носителе.

Ведь проще иметь два состояния при изготовлении физического элемента, чем придумывать устройство, в котором должно присутствовать десять различных состояний. Согласитесь, что это было бы намного сложней.

По сути, это и есть одной из основных причин популярности двоичной системы счисления.

История возникновения двоичной системы счисления

История создания двоичной системы счисления в арифметике, довольно таки яркая и стремительная. Основателем этой системы считают известного немецкого ученого и математика Г. В. Лейбница. Им была опубликована статья, в которой он описал правила, по которым можно было выполнить всевозможные арифметические операции над двоичными числами.

К сожалению, до начала двадцатого века двоичная система счисления была малозаметна в прикладной математике. А после того, как начали появляться простые счетные механические приборы, то ученые стали более активно обращать внимание на двоичную систему счисления и начали ее активно изучать, так как для вычислительных устройств она была удобна и незаменима. Она является той минимальной системой, с помощью которой можно полностью реализовать принцип позиционности в цифровой форме записи чисел.

Вопросы и задания

1. Назовите преимущества и недостатки двоичной системы счисления по сравнению с десятичной.
2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:
128; 256; 512; 1024?
3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:
111 · 10; 111 · 11; 1101 · 101; 1101 · 1000.

И. Семакин, Л. Залогова, С. Русаков, Л. Шестакова, Информатика, 9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов

Счисления — вторая по распространенности после привычной всем десятичной, хотя мало кто об этом задумывается. Причина такой востребованности в том, что именно она используется в Об этом поговорим позже, а для начала — пара слов о том, вообще система счисления.

Этим словосочетанием обозначают систему записи или другого визуального представления чисел. Это сухое определение. К сожалению, не все понимают, что скрывается за этими словами. Однако все достаточно просто, и первая система счисления появилась тогда же, когда человек научился считать. Самый простой способ представление чисел — это отождествление одних предметов с другими, ну вот хотя бы пальцев на руках и количества плодов, собранных за определенное время. Однако пальцев на руках значительно меньше, чем может быть исчисляемых предметов. Их стали заменять палочками или черточками на песке или камне. Это и была самая первая система счисления, хотя само понятие появилось значительно позже. Она носит название непозиционная, потому что каждая цифра в ней имеет строго определенное значение, вне зависимости от того, какую позицию в записи она занимает.

Но такая запись крайне неудобна, и позже пришла идея группировать предметы и каждую группу обозначать камнем, а не палочкой, ну или рисунком другой формы при записи. Это был первый шаг к созданию позиционных систем, к которым относится и двоичная система счисления. Однако окончательно они сформировались только после изобретения цифр. В силу того, что считать изначально людям было удобнее на пальцах, которых у нормального человека 10, именно десятичная система и стала наиболее распространенной. В распоряжении человека, использующего эту систему цифры, от 0 до 9. Соответственно, когда при счете человек доходит до 9, то есть исчерпывает запас цифр, он пишет единицу в следующий разряд, а единицы обнуляет. И в этом кроется суть позиционных систем счисления: значение цифр в числе напрямую зависит от того, какую позицию она занимает.

Двоичная система счисления предоставляет для расчётов только две цифры, легко догадаться, что это 0 и 1. Соответственно, новые разряды при записи появляются в этом случае гораздо чаще: первый переход регистра происходит уже на числе 2, именно оно двоичной системе обозначается как 10.

Очевидно, что на письме эта система также не слишком удобна, отчего же она так востребована? Все дело в том, что при построении вычислительных машин десятичная система оказалась крайне неудобной и невыгодной, так как производство устройства, имеющего десять различных состояний, довольно дорого, да и занимают они очень много места. Вот и взяли на вооружение придуманную еще инками двоичную систему.

Перевод в двоичную систему счисления вряд ли вызовет у кого-то затруднения. Самый простой и понятный способ сделать это — деление числа на два, до тех пор, пока в ответе не получится ноль. При этом остатки записываются отдельно справа налево последовательно. Рассмотрим на примере, возьмем число 73: 73\2 = 36 и 1 в остатке, единицы записываем в крайнем правом положении, все дальнейшие остатки записываем левее этой единицы. Если вы все сделали правильно, то у вас должно было получиться следующее число: 1001001.

Как же перевод числа в двоичную систему счисления осуществляет компьютер, ведь с клавиатуры мы вводим ему десятичные числа? Неужели также делит на 2? Естественно, нет. Каждой кнопке на клавиатуре соответствует определенная строка в таблице кодировок. Мы наживаем кнопку, программа, называемая драйвер, передает процессору определенную последовательность сигналов. Тот в свою очередь передает запрос в таблицу, какой символ соответствует этой последовательности, и выводит этот символ на экран, или же производит действие, если это необходимо.

Теперь вы знаете, какое значение в нашей жизни имеет двоичная система счисления. Ведь очень многое в нашем мире сейчас делается при помощи электронных вычислительных систем, которые, в свою очередь, были бы совершенно другими, если бы не было этой системы.

Системой счисления называется совокупность приемов и правил для наименования и обозначения чисел. Условные знаки, применяемые для обозначения чисел, называются цифрами.

Обычно все системы счисления разбивают на два класса: непозиционные и позиционные.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

В непозиционных системах счисления вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик. Примером непозиционной системы счисления, достаточно широко применяющейся в настоящее время, может служить так называемая римская нумерация.

Двоичная система счисления, т.е. система с основанием, является «минимальной» системой, в которой полностью реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи чисел. В двоичной системе счисления значение каждой цифры «по месту» при переходе от младшего разряда к старшему увеличивается вдвое.

История развития двоичной системы счисления — одна из ярких страниц в истории арифметики. Официальное «рождение» двоичной арифметики связывают с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами.

Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что «вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок».

Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «вычисление с помощью двоек… является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

По просьбе ученого в честь «диадической системы» — так тогда называли двоичную систему — была выбита медаль. На ней изображалась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Потом о двоичной системе забыли. В течение почти 200 лет на эту тему не было издано ни одного труда. Вернулись к ней только в 1931 году, когда были продемонстрированы некоторые возможности практического применения двоичного счисления.

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах («Принципы Джона фон Неймана»).

Для того чтобы в общих чертах понять, как думает компьютер, начнём с самого начала. Компьютер, по сути, – это много всякой электроники, собранной вместе в правильном порядке. А электроника (до того, как к ней добавили программу) понимает только одно: включена она или выключена, есть сигнал или нет сигнала.

Обычно «есть сигнал» обозначают единицей, а «нет сигнала» – нулём: отсюда и выражение, что «компьютер говорит на языке нулей и единиц».

Этот язык нулей и единиц называют ещё двоичной системой счисления – потому что в ней всего две цифры. Наша привычная система счисления – десятичная, в ней десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Но есть и множество других – восьмеричная, пятеричная, одиннадцатиричная и какая угодно ещё.

У нас с вами нет цифры «десять», правда? Число 10 состоит из двух цифр – 1 и 0.

Точно так же в пятеричной системе счисления не будет цифры «5», только 0, 1, 2, 3 и 4.

Посчитаем в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10 , 11, 12, 13, 14, 20 , 21, 22, 23, 24, 30 , 31, 32, 33, 34, 40 , 41, 42, 43, 44, 100 (!!!), 101, 102 и так далее. Можно сказать, что как система счисления называется, такой цифры в ней и нет. В нашей десятичной нет цифры «10», в пятеричной нет цифры «5» (и всех, которые после неё), в восьмеричной – «8» и так далее.

А в шестнадцатиричной «16», например, есть! Поэтому нам шестнадцатиричную систему понять ещё сложнее. Давайте посчитаем в шестнадцатиричной:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10 , 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20 , 21, 22…97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0 , A1, A2… F7, F8, F9, FA, FB, FC, FD, FE, FF, 100 , 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 10A, 10B, 10C и так далее.

Двоичная система счисления, впрочем, тоже выглядит странновато для непривычного взгляда:

0, 1, 10 , 11, 100 , 101, 110, 111, 1000 , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000 , 10001…

Вот примерно такими числами и думает компьютер где-то внутри себя. Но человеку такими числами думать совершенно неудобно, поэтому мы преобразуем числа из двоичной в более удобную систему счисления.

В компьютерных программах часто используют восьмеричную и шестнадцатиричную системы: компьютеру легко их понять (потому что 8=2*2*2, 16=2*2*2*2, а с двоичной системой компьютер знаком изначально), а для людей это удобно, потому что поближе к привычной десятичной.

Как же переводить числа из одной системы счисления в другую? Чтобы понять принцип, будем, как мы с вами любим, разбираться на конфетах.

И на конфетах мы с вами будем переводить число 33 в восьмеричную систему счисления. Мы решим, что единицы – это сами конфеты, а десятки – это коробки, в каждой из которых лежит по десять конфет. Вот и получится, что 33 – это 3 коробки по 10 конфет и ещё 3 конфеты где-то сбоку.

Но мы переводим наше конфетное богатство в восьмеричную систему счисления, а это значит, что нам надо вытряхнуть все конфеты из коробочек по 10, сложить в коробочки по 8 и посмотреть, что из этого выйдет.

Из 33 получится 4 полных восьмеричных коробочки и 1 конфета останется сама по себе, так как 33/8=4 (ост. 1). То есть 33=8*4 +1 – так в восьмеричной системе счисления получается число 41 .

33 в десятичной – это 41 в восьмеричной. Это одно и то же число, просто разложенное по разным коробочкам, переведённое в разное основание. Количество конфет не поменялось, мы просто считали их по-разному!

Двоичная система, как мы уже выяснили, более странная и непривычная для человеческого взгляда. Давайте попробуем перевести 33 в двоичную – получится аж 16 коробочек по 2! И что же делать? Писать 16 как-то странно, помня о том, что в двоичной системе есть только ноль и единица, а шестёрки, которая нам нужна для шестнадцати, совершенно точно нет!

Посмотрим на нашу десятичную систему. В ней мы считаем десятки – 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – а когда у нас набирается десять десятков, мы достаём большую коробку – 100.

У нас 100 – это 10*10, 1000 – 10*10*10, 10 000 – 10*10*10*10 и так далее. Для других систем счисления это работает точно так же! В восьмеричной системе 100=8*8, 1000=8*8*8; в двоичной 100=2*2, а 1000=2*2*2; а в шестнадцатиричной (есть и такая, помните?) 100=16*16, 1000=16*16*16.

Здесь нам пригодятся степени. Если вы их ещё не проходили в школе, не пугайтесь, степени – это очень просто. Число в степени – это число, сколько-то раз умноженное на само себя. То есть 5 3 =5*5*5 (пять в третьей степени – это пять , три раза умноженная сама на себя: 5*5*5), или 8 5 =8*8*8*8*8 (восемь в пятой степени – это восемь , пять раз умноженная на саму себя: 8*8*8*8*8).

Если мы вспомним про наши 10 000=10*10*10*10 в десятичной и 1000=8*8*8 в восьмеричной, то можно легко заметить, что сколько нулей, столько раз и умножаем на само себя. Другими словами, количество символов в числе минус один – это степень, в которую надо возвести основание. В числе 1000 у нас четыре символа, значит умножать надо 4–1 , то есть 3 раза. Если основание 10, то тысяча – это 10, три раза умноженная сама на себя: 10*10*10. Если основание 8, то тысяча – это 8, три раза умноженная сама на себя: 8*8*8.

Обо всём этом мы заговорили, пытаясь перевести 33 в двоичную систему. Просто так поделить это число на коробочки по 2 оказалось затруднительным. Но если вспомнить про наши сотни-тысячи, можно задуматься: а ведь в двоичной 100=2*2, 1000=2*2*2, 10 000=2*2*2*2 и так далее.

Для перевода из десятичной системы в двоичную удобно помнить степени двойки. Даже можно сказать, что без этой хитрости со степенями мы устанем, умаемся и немножко сойдем с ума. А степени двойки выглядят как-то так:

Теперь, глядя на табличку, мы видим, что 33=2 5 +1, то есть 33=2*2*2*2*2+1. Вспоминаем – сколько раз умножаем, столько будет нулей – то есть наше 2*2*2*2*2 в двоичной системе будет 100000. Не забудем оставшуюся в стороне единичку, и получится, что 33 в десятичной – это 100001 в двоичной. Правильно и красиво это записывают так:

33 10 =100001 2

Давайте (чтобы совсем хорошо понять) переведём в двоичную систему число 15.

  1. В первую очередь – смотрим в табличку.

а) Какое самое близкое к 15 число в ней? Нет, 16 не подходит, оно больше, а нам нужно самое близкое, которое меньше. Получается, что это 8, то есть 2 3 , то есть 2*2*2.

б) Восемь конфет из 15 разобрали, осталось – 15-8 – семь. Какое ближайшее число из таблички? Нет, восемь снова не подойдет, см. выше. Подойдет четыре, то есть 2 2 , то есть 2*2.

в) Четыре из семи конфет разобрали, осталось – 7-4 – три. Из таблички понимаем, что самое близкое число – 2, то есть 2 1 , то есть просто 2.

г) Три минус два – осталась 1 конфета, тут уже табличка не понадобится. В таблички такого рода можно не смотреть, когда ваш остаток меньше основания, а наша единица точно меньше двойки.

  1. Собираем всё найденное в табличке вместе: 15=2 3 + 2 2 + 2 1 + 1, оно же: 15=2*2*2 + 2*2 + 2 + 1.
  2. В двоичной системе 2*2*2=1000, 2*2=100, 2=10, помните? И у нас получается 1000+100+10+1, то есть 1111.
  3. Итак,

15 10 =1111 2

Когда просто смотришь на все эти шаги, кажется, что это просто свалка из Кучи Разных Странно Написанных Цифр . И запутаться во всём этом в первый раз – нормально. И во второй, и в третий. Просто попробуйте сделать это ещё и ещё раз – по шагам, как написано выше, и всё получится.

И наоборот это тоже работает! Например, число 11010101 2 – как из него сделать понятное десятичное? Точно так же, при помощи таблички. Пойдем с конца:

1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +0*2 3 +1*2 4 +0*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =

1*1+0*2+1*4+0*8+1*16+0*32+1*64+1*128=

1+0+4+0+16+0+64+128=213

11010101 2 = 213 10

Вот примерно так компьютер понимает привычные нам числа.

Когда смотришь на это в первый раз, кажется, что это, во-первых, совершенно непостижимо, а, во-вторых, вообще не сработает. Поэтому сейчас мы с вами сделаем немножко математической магии, чтобы убедиться, что системы счисления – это такая же реальная вещь, как, например, задача «раздать пятерым детям пятнадцать печенек поровну».

Итак, возьмем пример 15+6 и решим его в разных системах счисления. Понятно, что в нашей, десятичной, получится 21. А что выйдет, например, в восьмеричной?

Переводим 15 в восьмеричную систему счисления. Первый шаг у нас при переводе в другую систему – посмотреть в табличку степеней. 8 2 – это уже 64, и в 15 оно точно уже никак не влезет, поэтому берем 8 1 – то есть просто 8. 15–8=7, оно меньше нашего основания 8, поэтому с ним мы ничего не делаем.

Итак, получилось, что 15=8 1 +7 .

В восьмеричной системе логика точно такая же, как, например, в двоичной: 8 3 – это 1000, 8 2 – это 100, 8 1 – это 10. Получилось, что:

15 10 =17 8

Напомню, наш пример был 15+6. 15 мы перевели в восьмеричную систему, как же перевести 6? Она меньше 8, нашего основания, поэтому ответ – оставить как есть. Наш пример сейчас выглядит так:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8

Теперь мы будем складывать в восьмеричной системе счисления. Как это делается? Так же, как и в десятичной, но надо помнить, что десяток в восьмеричной системе – это восемь, а не десять, и что 8 и 9 в ней не существует.

Когда мы считаем в десятичной системе, по сути, мы делаем так:

15+6=15+5+1=20+1=21

Попробуем проделать тот же фокус в восьмеричной системе:

17 8 +6 8 =17 8 +1 8 +5 8 =20 8 +5 8 =25 8

Почему 17+1? Потому что 7+1=8, а 8 – это наш десяток! В восьмеричной системе 7+1=10, а значит, 17+1=20. Если на этом месте ваш мозг начинает бить тревогу и рассказывать, что здесь что-то не так, вернитесь в начало статьи, где мы с вами считали в разных системах счисления.

Теперь наш пример выглядит как

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8

Переведем 25 8 обратно в нашу систему счисления. В десятичной мы бы, увидев число 25, могли сказать, что в нём две десятки и пять единиц. В восьмеричной, как вы, наверное, уже догадались, число 25 8 – это две восьмерки и пять единиц. То есть 25 8 =2*8+5=21 10 .

Итак, наш пример целиком:

15 10 +6 10 =17 8 +6 8 =25 8 =21 10

Получилось точно такое же 21, какое вышло у нас в самом начале, когда мы посчитали 15+6 привычным нам способом в десятичной системе.

Арифметические правила не меняются от того, что мы выбрали другую систему счисления.

Поэтому и компьютер, переводя всё в нули и единицы, которые для нас выглядят непонятно и бессмысленно, не теряет при этом информацию, которую мы ему дали, и может, посчитав в удобной ему форме, выдать результат, переведя его обратно в привычный нам вид.

С двоичной системой счисления мы сталкиваемся при изучении компьютерных дисциплин. Ведь именно на базе этой системы построена работа процессора и некоторые виды шифрования. Существуют специальные алгоритмы для записи десятичного числа в двоичной системе и наоборот. Если знать принцип построения системы, оперировать в ней будет несложно.

Принцип построения системы из нулей и единиц

Двоичная система счисления построена с использованием двух цифр: ноль и один. Почему именно эти цифры? Это связано с принципом построения сигналов, которые используются в работе процессора. На самом низком уровне сигнал принимает только два значения: «ложь» и «истина». Поэтому было принято отсутствие сигнала, «ложь», обозначать нулем, а наличие его, «истину», единицей. Такое сочетание легко реализовать технически. Числа в двоичной системе формируются так же, как и в десятичной. Когда разряд достигает своей верхней границы, он обнуляется, и добавляется новый разряд. По такому принципу осуществляется переход через десяток в десятичной системе. Таким образом, числа состоят из сочетаний нулей и единиц, и это сочетание называется «двоичная система счисления».

Запись числа в системе

В десятичной

В двоичной

В десятичной

В двоичной

Как двоичное число записать в виде десятичного?

Существуют онлайн-сервисы, которые осуществляют перевод числа в двоичную систему и наоборот, но лучше уметь делать это самостоятельно. Двоичная система при переводе обозначается нижним индексом 2, например, 101 2 . Каждое число в любой системе можно представить в виде суммы чисел, например: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 — в десятичной системе. Так же представляется число в двоичной. Возьмем произвольное число 101 и рассмотрим его. В нем 3 разряда, поэтому раскладываем число по порядку таким способом: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, где индекс 10 обозначает десятичную систему.

Как записать простое число в двоичной системе?

Очень легко осуществить перевод в двоичную систему счисления с помощью деления числа на два. Делить необходимо до тех пор, пока это будет возможно выполнить нацело. Например, возьмем число 871. Начинаем делить, обязательно записывая остаток:

871:2=435 (остаток 1)

435:2=217 (остаток 1)

217:2=108 (остаток 1)

Ответ записывается по полученным остаткам по направлению от конца к началу: 871 10 =101100111 2 . Проверить правильность вычислений можно с помощью обратного перевода, описанного ранее.

Для чего нужно знать правила перевода?

Двоичная система счисления применяется в большинстве дисциплин, связанных с микропроцессорной электроникой, кодированием, передачей и шифрованием данных, в различных направлениях программирования. Знания основ перевода из любой системы в двоичную помогут программисту разрабатывать различные микросхемы и осуществлять управление работой процессора и других подобных систем программным способом. Двоичная система счисления также необходима для реализации способов передачи пакетов данных по зашифрованным каналам и создания на их основе программных проектов типа «Клиент-сервер». В школьном курсе информатики основы перевода в двоичную систему и наоборот являются базовым материалом для изучения программирования в будущем и создания простейших программ.

«История возникновения и развития систем счисления»

Продолжительность: 1 урок (45 минут)

ЦЕЛЬ УРОКА:

  • Обучающая: Познакомить с возникновением и развитием систем счисления. Привести исторические факты.
  • Развивающая: Развивать внимание, умение анализировать.
  • Воспитательная: воспитывать интерес к информатике через исторические факты.

Тип урока: урок-лекция.

Оборудование: компьютер, проектор.

Программное обеспечение: презентация в PowerPoint по теме урока “История возникновения и развития систем счисления”.

При подготовке урока использовалась литература: Приложение к газете “Первое сентября”, ноябрь 1995 г.

1. Объяснение нового материала.

Урок-лекция.

Презентация

Таблица (слайд №2)

Системы счисления.

Десятичная система счисления.

(слайд №3)

Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, в котором мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр – от 0 до 9. Это десятичная система счисления. Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.

Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, и т. д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Исторически десятичная система счисления сложилась и развивалась в Индии. Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и сейчас. Возникновение и развитие десятичной системы счисления явилось одним из важнейших достижений человеческой мысли (наряду с появлением письменности).

Однако десятичной системой счисления люди пользовались не всегда. В разные исторические периоды многие народы использовали другие системы счисления

Двенадцатеричная система счисления.

(слайд №4)

Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение ее тоже анатомическое. Подумайте, где у человека удобно считать до 12? Считали фаланги пальцев на руке кроме большого. 4 пальца по три фаланги всего 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймов) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Где вы еще встречали счет по 12? Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков – 12 штук.

Пятеричная система счисления.

По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления, Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидна связь этой системы со строением человеческой руки.

Двадцатеричная система счисления.

У ацтеков и майя – народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная система счисления. Также двадцатеричная система счисления бала принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со второго тысячелетия да нашей эры. Основу для счета в этой системе счисления составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20 (1 франк = 20 су)

Алфавитные системы счисления.

(слайд №5)

Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак – “титло”. Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.

Алфавитная система счисления бала распространена у древних армян, грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев, и других народов Ближнего востока.

Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000.

Числовые значения следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах.

Алфавитная нумерация преобладала до XVIII в., хотя арабская нумерация употреблялась в отдельных случаях гораздо раньше (в грузинской литературе такие случаи восходят к X- XI вв. ; в памятниках армянской математической литературы они установлены пока только для XV в.). В Армении алфавитная нумерация употребляется и сейчас для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и т. п. В Грузии алфавитная нумерация вышла из употребления.

Шестидесятеричная система счисления

(слайд№ 6)

Особый интерес представляет так называемая “вавилонская”, или шестидесятеричная система счисления, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнение историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое – десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минутам. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.

В Древнем Вавилоне примерно за сорок веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при которой одна и та же цифра может обозначать разные числа в зависимости от места занимаемого этой цифрой. Наша современная нумерация тоже поместная: в числе 52 цифра 5 обозначает пятьдесят, т.е. 5*10, а в числе 576 эта же цифра обозначает пятьсот, т.е. 5*10*10. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играло число 60. Числа, меньшие 60 обозначались с помощью: для единицы и для десятка.

Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз например:

Шестидесятеричная запись не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства.

Римская система счисления.

(слайд №7)

Эта система счисления появилась в Древнем Риме. Первые двенадцать натуральных чисел в римской системе записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

Примеры записи чисел XXVIII – 28, MCMXXXV – 1935. С этими числами очень трудно производить арифметические действия. По этой причине в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях – на циферблате часов, в ряде других случаев.

“Машинные” системы счисления.

Перед математиками и конструкторами в 50-х встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую “машинную” группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы.

К “машинным” системам счисления относятся:

  • Двоичная
  • Восьмеричная
  • Шестнадцатеричная

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Подведение итогов. На этом уроке вы узнали о истории развития систем счисления, а на следующих уроках мы более подробно поговорим о двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

2. Задание на дом: Системы счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления Урок

Представление числовой информации с помощью систем счисления Урок по теме:

Цели урока: Усвоить определение следующих понятий: Система счисления, цифра, число, основание системы счисления, разряд, алфавит, непозиционная система счисления, позиционная система счисления, единичная (унарная) система счисления. Научиться записывать: десятичное число в римской системе счисления, любое число в позиционной системе счисления в развернутой форме Уметь: определять основание системы счисления приводить примеры чисел различных позиционных систем счисления объяснить разницу между числом и цифрой позиционной и непозиционной системой счисления

«Все есть число» — Говорили древнегреческие философы, ученики Пифагора, подчеркивая важную роль чисел в практической деятельности.

Система счисления — Это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Система счисления — Это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

системы счисления позиционные непозиционные

Непозиционные системы счисления Непозиционной называют систему счисления, в которой количественное значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Примерами непозиционных систем счисления являются: единичная десятичная древнеегипетская алфавитная система записи чисел (римская)

Единичная система счисления В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, черточек, точек. + + =

Десятичная древнеегипетская система счисления Для обозначения ключевых чисел использовали специальные значки-иероглифы: (Вторая половина третьего тысячелетия)

Алфавитная система записи чисел До конца XVII века на Руси в качестве цифр использовались следующие буквы кириллицы, если над ними ставился специальный знак — титло. Например:

Римская система счисления До нас дошла римская система записи чисел Применяется более 2500 лет. В качестве цифр в ней используются латинские буквы: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Например: CXXVIII = 100 +10 +10 +5 +1 +1 +1=128

Позиционные системы счисления Позиционной называют систему счисления, в которой количественное значение цифры зависит от ее положения в числе.

Вавилонская система счисления Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Числа составлялись из знаков двух видов:  Единицы –прямой клин  Десятки – лежачий клин   Сотни   10 + 1 = 11

Наиболее распространенными в настоящее время являются -десятичная -двоичная -восьмеричная -шестнадцатеричная позиционные системы счисления. Позиционные системы счисления

Десятичная система счисления Любое число мы можем записать при помощи десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Именно поэтому наша современная система счисления называется десятичной. Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу: «Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас было на руках не десять пальцев, а восемь, то человечество бы пользовалось восьмеричной системой счисления. »

Десятичная система счисления Хотя десятичную систему счисления принято называть арабской, но зародилась она в Индии, в V веке. В Европе об этой системе узнали в ХII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название «Арабские цифры». Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная система счисления получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.

Оптимальная система счисления: sevabashirov — LiveJournal

Давно хотел определить с точки зрения банальной эрудиции и формальной математики, какая из позиционных систем счисления является наиболее удобной, в некотором смысле — эргономичной. Потому что — как многим известно — привычная современной цивилизации десятичная система выбрана не из соображений оптимальности, а прямо вытекает из анатомии человека. Было бы не 10 пальцев на руках — укоренилось бы другое основание. Когда люди считали окружающие предметы буквально по пальцам, десятичная система была разумным выбором, да и то: почему именно пальцы-«штуки»? Кому-то было удобнее по фалангам 4 пальцев одной руки, указывая на них большим — так получила некоторую популярность 12-ричная система. Но дальше — просто сила привычки, QWERTY-эффект в чистом виде: используем не потому, что удобнее всего, а потому, что так сложилось исторически, в силу традиции.
___

Как математически определить удобство использования той или иной системы счисления? Во-первых можно рассмотреть, как в них записываются числа. Чем больше основание n, тем меньше разрядов требует одно и то же число, но при этом растет «алфавит» — количество цифр, что влечет за собой и размеры таблиц сложения и умножения, и все такое прочее. Результирующим будет произведение-комбинация этих факторов: lg(n) * (1/n). Логарифм (все равно какой, взял десятичный) основания системы отражает компактность записи чисел, обратное число — компактность алфавита. 5 — вчетверо меньше… А можно просто 60 разных цифр и один разряд, как вавилоняне — вот и будут лишь числа от 0 до 59.

Так вот, эти выкладки — давно уже не секрет, кто их только не делал. В непрерывном случае максимум приходится на число e=2,718…, так что основание 3 выглядит лучше всех, 2 и 4 — одинаково чуть похуже: http://phg.su/basis2/X51.HTM — наглядно.
___

Но этого явно мало. При таком подходе учтено удобство записи чисел, но есть же еще и вычисления, операции над ними. Частично это уже учтено (см. выше фразу про таблицы сложения-умножения). И здесь приходится к месту аргумент, который — если кто в курсе — был основным доводом у сторонников двенадцатеричной системы: 12 делится нацело на 1, 2, 3, 4, 6 и собственно 12 против 1, 2, 5 и 10 у десятки. Это еще Перельман описывал в «Занимательной арифметике». И действительно, чем больше круглых чисел в произведениях и чем меньше периодических дробей в частных — очевидно, тем удобнее и быстрее подсчеты. Таким образом, домножаем нашу комбинацию двух факторов на третий — количество делителей числа d(n).

Итоговая формула: коэффициент эргомичности системы счисления q(n) = lg(n) / n * d(n) * 2,5 — домножил для приведения коэффициента десятичной системы к единице. Мы вправе это делать, поскольку основание логарифма все равно взято произвольно, у абсолютных значений q(n) нет смыслового наполнения. Ниже — таблица 25 лидеров:

n lg(n) d(n) q(n)
12 1,079 6 1,349
6 0,778 4 1,297
24 1,380 8 1,150
4 0,602 3 1,129
8 0,903 4 1,129
18 1,255 6 1,046
10 1,000 4 1,000
30 1,477 8 0,985
20 1,301 6 0,976
36 1,556 9 0,973
16 1,204 5 0,941
60 1,778 12 0,889
48 1,681 10 0,876
14 1,146 4 0,819
40 1,602 8 0,801
3 0,477 2 0,795
9 0,954 3 0,795
15 1,176 4 0,784
28 1,447 6 0,775
72 1,857 12 0,774
42 1,623 8 0,773
2 0,301 2 0,753
32 1,505 6 0,706
5 0,699 2 0,699
120 2,079 16 0,693

Итак, «дозеналисты» были правы, у основания 12 действительно отличная репутация! А привычная нам десятка занимает седьмую позицию — достойную, но существенно уступающую. Если отойти в бытовую сферу, то главный недочет десятки — то, что она не делится на 3, а между тем на 3 делить приходится крайне часто. Ну и чтобы четвертые доли содержали лишь один знак после запятой вместо двух — тоже хороший бонус. Вкупе с сокращением длины больших чисел на 8% это оправдывает заучивание чуть большей таблицы умножения.
А с учетом огромной роли двоичной системы и бинарной логики в нашу компьютерную эпоху (тернарную пытались одно время привить, но не зашло) следует обратить внимание на основания 4, 8, 16. Переводить из них в двоичную — вообще плевое дело. Кстати, у 4 и 8, а также 3 и 9 коэффициенты равны, это не издержки округления.

Само собой, прикидка крайне грубая и многих вещей не учитывает. Но тут, как говорится, выделяйте гранты на дальнейшие исследования.

Тема поста интересна в первую очередь френдам aaamibor, doncunita, lrlay777, sly2m, spamsink, vmenshov и другим.

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПОСТА С УТОЧНЕНИЕМ ФОРМУЛЫ: https://sevabashirov. livejournal.com/270269.html

Системы счисления

Анатомического происхождения
Позиционные системы счисления
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в коде числа.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от места (позиции) цифры в числе. Так в числе 222 цифра 2 встречается трижды. Но самая правая означает две единицы, вторая справа — два десятка (двадцать) и, наконец, третья — две сотни (двести).
В привычной нам системе счисления для записи чисел используются десять различных знаков (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9).
Поэтому ее называют десятичной. Из двух написанных рядом цифр (55) левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной (поместной).
Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать числа так, как это делаем мы с вами.
Начало этому было положено в Древнем Египте и Вавилоне и было в основном завершено индийскими математиками в V—VII вв. н.э. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили. Получив название арабской, эта система в Xii в. н.э. распространилась по всей Европе и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила. Произошло это еще и потому, что простейший счетный прибор, работающий в десятичной системе счисления, был всегда у человека под рукой — это его 10 пальцев. В XIII веке монах Беда Достопочтенный составил описание правил счета, согласно которым различные загибы фаланг пальцев позволяли изображать единицы, десятки, сотни и тысячи, а определенные жесты рук — считать до миллиона. Правда, такой «инструмент’ имел один весьма существенный недостаток — неудобство хранения результатов даже в течение короткого времени. Но зато у него есть и ряд немаловажных достоинств, которыми современные ученые пытаются наделить современные счетные устройства. Это, прежде всего, простота и надежность, а также компактность и удобство «хранения и транспортировки».
Сегодня десятичными числами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер. Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения, а также правило переноса: если в результате сложения двух цифр получается число, которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью двух цифр, находящихся на соседних позициях.

Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Кроме десятичной истории цивилизации известны многие другие позиционные системы счисления, в том числе двадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления.
Остатки последней мы находим в сохранившемся до наших дней обыкновении делить один час на 60 минут, одну минуту — на 60 секунд.
В Китае долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Широкое распространение до первой трети XX в. имели элементы двенадцатеричной системы счисления. При этом число двенадцать (дюжина) даже составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления.
Дело в том, что число 12 имеет больше делителей (2, 3, 4, 6), чем 10 (2 и 5). Поэтому в двенадцатеричной системе счисления гораздо удобнее производить расчеты, нежели в десятичной. Неудивительно, что в XIX в. среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. И только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов. Тем не менее дюжина достаточно прочно вошла в нашу жизнь: в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов. Влияние двенадцате-ричной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6, 12, 24 и т. д.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа.

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749— 1827) такими словами оценил «открытие» позиционной системы счисления: «Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения но форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна».

Десятичная система счисления — определение, преобразование, примеры, часто задаваемые вопросы

Десятичная система счисления — это система счисления, которую мы используем ежедневно на основе 10 цифр. В математике системой счисления считается запись чисел с использованием цифр или символов. Система счисления состоит из четырех основных типов, а именно двоичной системы счисления, десятичной системы счисления, восьмеричной системы счисления и шестнадцатеричной системы счисления. Десятичная система счисления также известна как индийско-арабская или арабская система счисления, поскольку в древних цивилизациях было трудно умножать и делить большие числа руками.Познакомимся с десятичной системой счисления.

Определение десятичной системы счисления

Десятичная система счисления — это система счисления, которую мы используем каждый день, и в ней используются цифры от 0 до 9, т. е. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Базовое число десятичной системы счисления 10, так как общее число, доступное в этой системе счисления, равно 10. Если какое-либо число представлено без основания, это означает, что его основание равно 10. Например: \(73_{10}, 132_{10}, 5267_{10}\ ) являются некоторыми примерами чисел в десятичной системе счисления.


Правила десятичной системы счисления

При записи десятичной системы счисления мы всегда выражаем ее в системе счисления с основанием 10, где каждое значение обозначается 0 или первыми девятью положительными целыми числами. Каждое значение имеет разрядное значение степени 10, что означает, что цифра в разряде десятков в 10 раз больше, чем цифра в разряде единиц. Вот несколько моментов или правил, которые следует помнить при записи в десятичной системе счисления.

  • В десятичной системе счисления числа от 0 до 9.
  • Когда число 9 достигнуто, мы делаем самое правое число равным 0 и прибавляем 1 слева, что дает 10.
  • Как и когда мы достигаем цифры с 9, мы всегда добавляем 1 так, чтобы это число увеличивалось до следующего.

Каждое число в десятичной системе счисления имеет разрядное значение степени 10. Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания, \((134)_{10}\) = 1 × 10 2 + 3 × 10 1 + 4 × 10 0 , \((78)_{10}\) = 7 × 10 1 + 8 × 10 0 .Число с запятой в десятичной системе счисления выражается в убывающей степени числа 10 после запятой. Например, \((24,5)_{10}\) = 2 × 10 1 + 4 × 10 0 + 5 × 10 -1 .

Преобразование из других в десятичную систему счисления

Система счисления состоит из четырех типов, а именно: двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Каждая из них имеет свои собственные базовые числа, которые помогают преобразовать одну систему счисления в другую. Давайте посмотрим, как преобразовать двоичное число в десятичное, восьмеричное в десятичное и шестнадцатеричное в десятичное.

Преобразование двоичного кода в десятичный

Двоичное число можно преобразовать в десятичное число, представив каждую цифру как произведение заданного числа 1 или 0 в соответствующей степени 2. Базовое число двоичной системы счисления равно 2, и после преобразования базовое число становится 10. Если двоичное число состоит из n цифр, B = \(a_{n-1}…a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}\), десятичное число для него задается как , D = (\((a)_{0}\) × 2 0 ) + (\((a)_{1}\) × 2 1 ) + (\((a)_{2 }\) × 2 2 ) + …

Например: Преобразование двоичного числа \((10111)_{2}\) в его десятичную форму.

Задано двоичное число как \((10111)_{2}\).

Нам нужно умножить каждую двоичную цифру на убывающую степень 2 и сложить произведения.

= (1 × 2 4 ) + (0 × 2 3 ) + (1 × 2 2 ) + (1 × 2 1 ) + (1 × 2 0 )

= 1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1

= 16 + 0 + 4 + 2 + 1

= 23

Следовательно, \((10111)_{2}\) = \((23)_{10}\).

Преобразование восьмеричных чисел в десятичные

Преобразование восьмеричных чисел в десятичные числа выполняется с использованием восьмеричного основания, равного 8. Число расширяется с основанием 8, где каждое число умножается на убывающую степень 8, а затем добавляется для получения десятичного числа. Десятичная система счисления имеет основание 10 после преобразования.

Например: Преобразование восьмеричного числа \((278)_{8}\) в его десятичную форму.

\((278)_{8}\) = 2 х 8 2 + 7 х 8 1 + 8 х 8 0

= 2 х 64 + 7 х 8 + 8 х 1

= 128 + 15 + 8

= 151

Следовательно, \((278)_{8}\) = \((151)_{10}\).

Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные

Базовое шестнадцатеричное число — 16, и для преобразования шестнадцатеричного в десятичное мы используем число 16. Число расширяется по основанию 16, где каждое число умножается на 16 в убывающей степени, а затем добавляется для получения десятичного числа. Десятичная система счисления имеет основание 10 после преобразования.

Например: преобразовать шестнадцатеричное число \((14)_{16}\) в его десятичную форму.

\((14)_{16}\) = 1 × 16 1 + 4 × 16 0

= 1 × 16 + 4 × 1

= 16 + 4

= 20

Следовательно, \((14)_{16}\) = \((20)_{10}\).

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Преобразование десятичного числа в другую систему счисления аналогично преобразованию любой системы счисления в десятичную систему счисления. Каждое из базовых чисел требуется для конвертации. Давайте посмотрим на конверсии.

Преобразование десятичного числа в двоичное

Чтобы преобразовать десятичное число в двоичное, нам нужно разделить данное число на 2, пока частное не станет равным 0. Мы сохраняем остатки в процессе деления.Как только частное равно нулю, мы записываем остаток вместе с последними числами, начиная снизу вверх, чтобы получить двоичное число.

Например: преобразовать десятичное число \((128)_{10}\) в двоичное.

Дивиденд Остаток
128/2 = 64 0
64/2 = 32 0
32/2 = 16 0
16/2 = 8 0
8/2 = 4 0
4/2 = 2 0
2/2 = 1 0
1/2 = 0 1

Напишите остаток снизу вверх i.е. в обратном хронологическом порядке. Это даст двоичный эквивалент 128. Следовательно, двоичный эквивалент десятичного числа \((20)_{10}\) равен \((10000000)_{2}\).

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное, десятичное число делится на 8 до напоминания, полученного из предыдущей цифры. Первый остаток — это младшая значащая цифра (LSD), а последний остаток — это старшая значащая цифра (MSD). Когда частное меньше 8, мы получаем восьмеричное число, записывая остаток в обратном порядке.Давайте разберемся с конверсией на примере.

Например: преобразовать десятичное число \((45)_{10}\) в восьмеричное число.

Делите 45 на 8, пока остаток не станет меньше 8.

Деление на 8 Частное Остаток
45/8 5 5
5/8 0 5

Запись восьмеричного числа снизу вверх.\((45)_{10}\) = \((55)_{8}\).

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное выполняется аналогично двум другим системам счисления. Базовое число шестнадцатеричной системы счисления равно 16, поэтому число нужно делить на 16, пока частное не станет равным нулю. В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры только от 0 до 9, а от 10 до 15 используются такие алфавиты, как A, B, C, D, E, F соответственно. Давайте посмотрим на пример.

Преобразование шестнадцатеричного числа \((120)_{10}\) в десятичное.

Делите 120 на 16, пока частное не станет равным нулю.

Деление на 16 Частное Остаток
120/16 7 8
7/16 0 7

Чтобы получить шестнадцатеричное число, мы записываем числа снизу вверх. Следовательно, \((120)_{10}\) = \((78)_{16}\).

Связанные темы

Вот несколько тем, связанных с десятичной системой счисления, взгляните.

Часто задаваемые вопросы о десятичной системе счисления

Что такое десятичная система счисления?

Десятичная система счисления, также известная как индийско-арабская система счисления, используется ежедневно. В десятичной системе счисления используются числа от 0 до 9. Как только число достигает 9, мы добавляем число, чтобы сделать его двузначным. Базовое число десятичной системы счисления равно 10, и оно помогает преобразовать число из одной системы счисления в другую.

Где используется десятичная система счисления?

Десятичная система счисления играет важную роль в развитии науки и техники, поскольку основанием числа является 10. Другие системы счисления, такие как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, также используются в программировании микропроцессоров.

Какие существуют четыре типа системы счисления?

В математике существует четыре типа систем счисления, это:

Что такое восьмеричный эквивалент десятичного числа 100?

Разделите число 100 на 8, пока частное не станет равным нулю.

100/8 = 12, остаток 4
12/8 = 1, остаток 4
1/8 = 0, остаток 1

Пишите числа снизу вверх. Следовательно, \((100)_{10}\ = \((144)_{8}\.

Что такое десятичная система счисления в компьютерах?

Десятичная система счисления использовала базовое число как 10 с использованием цифр от 0 до 9. Числовое количество может быть представлено с использованием этих 10 цифр десятичной системы счисления. Этот тип системы счисления также известен как позиционная система значений, поскольку значение цифр зависит от их положения.

Как еще называется десятичная система счисления?

Десятичная система счисления также известна как позиционная система счисления с основанием 10, так как этот тип системы счисления имеет базовое число 10 и использует цифры от 0 до 9. Десятичная система счисления — это стандартная система для обозначения целых и нецелых чисел. .

Десятичная система счисления

Присоединяйтесь к полнофункциональному учебному лагерю веб-разработчиков 2022 года!


В западном мире десятичная система счисления — это в основном то, что все знают о числах.

Все это знают.

Почтовые люди просто это знают.

Существует много других систем счисления, но общество решило использовать десятичную систему счисления по умолчанию.

Почему? Я думаю, причина в том, что у людей 2 руки (и 2 ноги) с 5 пальцами на них, и счет от 1 до 10 кажется естественным.

Когда вы достигаете 10, вы начинаете с нуля, чтобы достичь 20.

Это мое предположение, довольно надежное предположение.

Десятичная система счисления была изобретена индийцами и популяризирована арабами, и до сих пор называется индийско-арабской системой счисления.

Говорят, что десятичная система счисления имеет по основанию 10 , потому что она использует 10 цифр , от 0 до 9.

Цифры являются позиционными, что означает, что цифра имеет различный вес (значение) в зависимости от позиции.

Цифра 1 в числе 10 имеет другое значение, чем в числе 31 , потому что в 10 она ставится на позицию 2 , а в 31 ставится на позицию 18 (считая справа).

Хотя это может показаться очевидным, поскольку вы используете эту систему с детства, не каждая система счисления работает таким образом.

Римская система счисления, широко использовавшаяся в Европе со времен Древнего Рима до позднего Средневековья, по-прежнему была «десятичной», но уже не позиционной. Чтобы представить 10 , вы использовали букву X , чтобы представить 100 , вы использовали C , чтобы представить 1000 , вы использовали M .

Римскими цифрами число 243 в десятичной системе счисления можно представить как CCXLIII .

Вы не могли перемещать буквы, чтобы изменить их значение. Буквы с большим значением всегда перемещаются влево по сравнению с буквами с меньшим значением. Разве что относительно каждой буквы, чтобы образовать 4 из IV , например (но это уже другая тема, вернемся к десятичным числам).

Любое число в десятичной системе счисления можно разложить как сумму других чисел, умноженных на степень 10 в зависимости от их положения. Начиная с позиции 0 справа.0\]

Системы счисления и базы – BetterExplained

Базовые системы, такие как двоичная и шестнадцатеричная, поначалу кажутся немного странными. Ключ в том, чтобы понять, как различные системы «тикают», как одометр, когда они заполнены. Основание 10, наша десятичная система, «срабатывает», когда получает 10 элементов, создавая новую цифру. Ждем 60 секунд, прежде чем «перейдем» к новой минуте. Шестнадцатеричный и двоичный значения аналогичны, но отмечают каждые 16 и 2 элемента соответственно.

Попробуйте преобразовать числа в шестнадцатеричный и двоичный формат здесь:

Путь назад, когда: Унарные числа

Давным-давно у нас не было базовых систем! В обе стороны шли в гору, по снегу и палящей жаре.Когда вы хотели сосчитать единицу, вы писали:

.

л

Когда вы хотели 5, вы писали

lllll

И ясно, 1+5=6

л + лллл = ллллл

Это самый простой способ подсчета.

Введите римлян

Римскими цифрами два равнялось одному дважды. Три было одним, трижды:

 один = я
два = II
три = III
 

Однако они решили, что могут добиться большего успеха, чем старая традиция линий на песке. Для пяти мы могли бы использовать V для представления lllll и получить что-то вроде

.

л + В = Вл

Неплохо, а? И, конечно же, есть еще много символов (L, C, M и т. д.).) вы можете использовать.

Ключевым моментом является то, что V и lllll — это два способа кодирования числа 5.

Дайте каждому номеру имя

Еще одним прорывом стало осознание того, что каждое число может быть отдельной концепцией. Вместо того, чтобы представлять тройку как серию единиц, дайте ей собственный символ: «3». Сделайте это от одного до девяти, и вы получите символы:

.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Римляне были близки, так близки, но давали уникальные символы только 5, 10, 50, 100, 1000 и т.д.

Используйте свое положение

Теперь ясно, что вы не можете дать каждому числу свой собственный символ. Их просто слишком много.

Но обратите внимание на одну мысль о римских цифрах: они используют позицию символов для обозначения значения.

IV означает «вычесть 1 из 5»

и VI означает «добавить от 1 до 5».

В нашей системе счисления мы используем положение аналогичным образом. Мы к всегда прибавляем и никогда не вычитаем. И каждая позиция на 10 больше, чем предыдущая.

Итак, 35 означает «прибавить 3*10 к 5*1 ″, а 456 означает 4*100 + 5*10 + 6*1 . Эта «позиционная десятичная» установка является индо-арабской системой счисления, которую мы используем сегодня.

Наш выбор основания 10

Почему мы решили каждый раз умножать на 10? Скорее всего потому, что у нас 10 пальцев.

Один момент, который нужно понять, это то, что вам нужно достаточно цифр, чтобы «заполниться», пока вы не нажмете следующую цифру. Позвольте мне продемонстрировать.

Если мы хотим прокручивать одометр каждые 10, так сказать, нам нужны символы для чисел от одного до девяти; мы еще не достигли десяти. Представьте, что числа медленно движутся вверх — в какой момент вы переворачиваете следующую единицу и начинаете с нуля?

Введите ноль

А что будет, когда мы достигнем десяти? Как показать, что нам нужна ровно одна «десятка» и ничего в столбце «единицы»?

Мы используем ноль, число, которого не существует. Ноль — это концепция, это заполнитель, пробел, пробел и многое другое. Достаточно сказать, что Zero — одно из величайших изобретений всех времен.

Zero позволяет нам иметь пустой заполнитель, чего не было у римлян.Посмотрите, как громоздки их номера без него.

Знаменитый роман Джорджа Оруэлла «1984» был бы «MCMLXXXIV»! Слетает с языка, не так ли?

С учетом других баз

Помните, что мы выбрали , чтобы пересчитывать наш одометр каждые десять. Наш подсчет выглядит так:

 1
2
3
4
5
6
7
8
9 (о, я наедаюсь!)
10 (галочка – начать новую цифру)
 

Что, если бы мы считали 60, когда мы считали секунды и минуты?

 1 секунда
2
3
4
5
…
58
59
1:00 (60 секунд или 1 минута. Мы начали новую цифру.)
 

Пока все в порядке, верно? Обратите внимание, что мы используем двоеточие (:), чтобы указать, что мы находимся на новой «цифре». В базе 10 каждая цифра может стоять сама по себе.

Пробная база 16

Если нам нужно основание 16, мы можем сделать что-то подобное:

 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 (наполняемся)
1:00 (16 — начали новую цифру)
 

Однако мы не хотим записывать шестнадцатеричные числа с двоеточием (хотя могли бы).Мы лучше приготовим отдельные символы для 10-15, чтобы мы могли просто писать числа, как мы привыкли. У нас закончились числа (1-9 уже используются, с 0 в качестве заполнителя), поэтому нам нужны другие символы. Мы могли бы использовать волнистые линии или другие формы, но принято использовать буквы в римском стиле. Точно так же, как 5 превратилось в V, программисты используют буквы AF, чтобы получить достаточное количество цифр до 16. То есть

.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A (10 — мы используем символ «A»)
Б (11)
С (12)
Д (13)
Э (14)
F (15 – о, мы наелись)
10 (16 — начинаем новую цифру)
 

Ахах! Теперь мы можем использовать одну цифру на «место», и мы знаем, что 10 на самом деле означает, что мы «один раз перешли на 16».

20 означает, что мы дважды перешли на 16 (32).

25 означает, что мы дважды увеличили число до 16 (что дало нам 32) и добавили еще 5. Итого 32 + 5 = 37.

Быстрый обзор

Пока со мной? Это довольно круто, правда? Мы можем считать в любой системе, какой захотим. Также обратите внимание, что основание 16 более «эффективно по пространству» в том смысле, что мы можем записать число, подобное 11, одной цифрой: B.

Основание 16 на самом деле не сильно отличается от основания 10, просто нам нужно больше времени, чтобы заполниться.

Удивительный мир двоичных файлов

Мы видели множество базовых систем, от очень простых унарных до неудобных римских цифр, стабильного основания 10 и компактного основания 16.

Чем хорош двоичный код? В духе простоты это самая простая система счисления, в которой есть понятие «тикать». Унарный, где мы просто пишем 1, 11, 111… так и продолжается вечно. Двоичный, с двумя вариантами (1 и 0) выглядит так:

1:1
2:10 (мы полны – отметьте)
3:11
4:100 (мы снова полны - отметьте)
5: 101
6: 110
7: 111
8:1000 (снова отметьте)
…

 

и так далее.

Поскольку двоичный файл настолько прост, его очень легко встроить в аппаратное обеспечение. Вам просто нужны вещи, которые могут включаться и выключаться (представляя 1 и 0), а не вещи, которые имеют 10 возможных состояний (для представления десятичного числа).

Благодаря своей простоте двоичный код также устойчив к ошибкам. Если ваш сигнал «частично включен» (скажем, 0,4), вы можете предположить, что это ноль. И если он в основном включен (скажем, 0,8), то вы можете предположить, что это 1. Если вы используете систему с 10 возможными состояниями, трудно сказать, когда произошла ошибка.Это одна из причин, по которой цифровые сигналы настолько устойчивы к шуму.

Другие образцы оснований

Мы постоянно используем другие базы, даже динамически меняющиеся базы. Обычно мы так не думаем:

Часы, минуты, секунды: 1:32:04

  • Мы знаем, что это 1 час 32 минуты 4 секунды. В секундах это 1 60 60 + 32*60 + 4.

Футы и дюймы: 3 фута 5 дюймов

  • Это 3 фута, 5 дюймов или 3 * 12 + 5 дюймов.

Фунты и унции: 8 фунтов, 5 унций

  • Поскольку фунт равен 16 унциям, это 8 * 16 + 5 унций.Мы все время использовали систему счисления с основанием 16!

Прощальные мысли

«10» в любой системе счисления указывает на основание и означает, что мы сделали галочку один раз. 10 в двоичном формате означает два, 10 в десятичном — десять, а 10 в шестнадцатеричном — шестнадцать.

Как вы разделяете эти числа? Программисты часто пишут «0b» перед двоичными числами. Итак, 2 в двоичном коде равно

.

0b10

Точно так же они будут писать 0x перед шестнадцатеричными числами. Итак, 16 в шестнадцатеричном формате:

.

0×10

Если впереди нет символов (0b или 0x), мы предполагаем, что это 10-кратное основание, обычное число.

Теперь идите и наслаждайтесь новыми знаниями!

Другие сообщения из этой серии

  1. Системы счисления и базы
  2. Краткое руководство по идентификаторам GUID
  3. Понимание быстрого обратного квадратного корня в Quake
  4. Простое введение в компьютерные сети
  5. Поменять местами две переменные с помощью XOR
  6. Понимание порядка следования байтов от старшего к младшему
  7. Юникод и вы
  8. Немного о двоичных форматах файлов
  9. Алгоритмы сортировки

Что такое десятичная дробь? — Определение из WhatIs.

ком К

Десятичная система счисления — это термин, описывающий систему счисления с основанием 10, вероятно, наиболее часто используемую систему счисления. Десятичная система счисления состоит из десяти однозначных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Число после 9 равно 10. Число после 19 равно 20 и так далее. Дополнительные степени 10 требуют добавления еще одной позиционной цифры.

В вычислениях вместо десятичной системы может использоваться двоичная, восьмеричная или шестнадцатеричная система счисления.Все эти схемы имеют число разрядов, равное степени 2. Это является преимуществом в системах, использующих высокие и низкие цифровые состояния.

Десятичный Двоичный Восьмеричный Шестнадцатеричный
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 А
11 1011 13 Б
12 1100 14 С
13 1101 15 Д
14 1110 16 Е
15 1111 17 Ф
16 10000 20 10
17 10001 21 11
и т. д. и т. д. и т. д. и т. д.

Последнее обновление было в сентябре 2005 г.

Почему мы должны перейти на систему счета с основанием 12

Люди, по большей части, считают порциями по 10 — это основа десятичной системы.Однако, несмотря на почти повсеместное принятие, это совершенно произвольная система нумерации, возникшая по одной очень простой причине: у нас по пять пальцев на каждой руке. Но, как любят подмечать многие математики, с основанием 10 есть свои проблемы. Они утверждают, что число 12 — это то, где оно действительно находится. Вот почему мы должны были принять систему счета с основанием 12 — и как мы могли заставить ее работать.

Действительно, очень жаль, что нам не удалось разработать идеальный набор пальцев, который помог бы нам придумать систему счисления, пригодную для счета и вычислений.Вместо этого, с нашими 10 пальцами, мы застряли в неуклюжей десятичной системе.

Присмотревшись к основанию 10, мы увидим, насколько он на самом деле разочаровывающе ограничен. Десять имеет жалкие два делителя (делитель, который дает целые числа), а именно 5 и 2. Более того, эти числа не очень полезны сами по себе; 5 — это простое число, которое больше нельзя делить, а 2 — досадно маленькое целое число, с которым можно работать.

Защитники десятичной системы подчеркивают ее способность допускать перемещение дробных точек после умножения или деления, но это не единственная черта десятичной системы.Это свойство допускает не десятичность . Точнее, это характеристика, принадлежащая всем основаниям — свойство обозначения разряда, которое мы используем для выражения чисел, наряду с символом нуля.

Интересно, что число с основанием 10 не является универсальным для всех человеческих обществ. Известно, что майя использовали систему счисления по основанию 20, а вавилоняне разработали систему с использованием наборов из 60. Также использовались системы с основанием 8 и 16 (шестнадцатеричная система), в основном для вычислительных целей (четверти и восьмые упрощаются). ).

Но эти альтернативные наборы по-прежнему не идеальны для повседневных человеческих приложений. База 20 не подходит для подсчета пальцев; многие из нас носят обувь, когда занимаются математикой, и мы не можем двигать пальцами ног с какой-либо ловкостью. Base-8 просто слишком мал, а base-16 и base-60 слишком громоздки.

К счастью, между ними находится база — система счисления, обладающая множеством характеристик, которые просто делают ее лучшим выбором для счета и вычислений.

Введение в систему счисления дюжин

Также называемая двенадцатеричной системой, система «дюжина» была первоначально популяризирована в 17 веке, когда математики начали осознавать ограничения десятичной системы счисления.

Позже, в 1930-х годах, Ф. Эмерсон Эндрюс опубликовал книгу « Новые числа: как принятие двенадцатеричной системы счисления упростит математику », в которой он убедительно доказывал необходимость изменения. Он заметил, что из-за того, что число 12 встречается во многих традиционных единицах измерения веса и меры, многие преимущества, заявленные для метрической системы, также могут быть переняты дюжинной системой.

Действительно, примеров систем с основанием 12 предостаточно. Столярная линейка состоит из 12 делений, бакалейщики имеют дело с дюжинами и брутто (12 дюжин равны брутто), фармацевты и ювелиры используют 12 унций фунта, а чеканщики делят шиллинги на 12 пенсов. Даже наша система хронометража и датирования зависит от этого; в году 12 месяцев, и наш день измеряется 2 наборами по 12. Кроме того, в геометрии круг изобилует подмножествами и надмножествами 12 — то, что измеряется в градусах (круг 360 градусов состоит из 30 наборов по 12 ).

Также очевидно, что кто-то в нашей истории думал в этом направлении. Это самое большое число с одноморфным названием на английском языке (например, слово «двенадцать»). После этого набираем тринадцать, четырнадцать, пятнадцать и так далее — производные от трех, четырех и пяти. Очевидно, было естественно мыслить десятками.

Спустя три десятилетия после выхода книги Эндрюса блестящий математик А. К. Эйткен сделал аналогичный случай. В статье The Listen в 1962 году он отметил:

Двенадцатеричные таблицы легко освоить, легче, чем десятичные; и в начальном обучении они были бы намного интереснее, так как маленькие дети находили бы более увлекательные занятия с двенадцатью стержнями или кубиками, чем с десятью. Любой, у кого есть эти таблицы, будет выполнять эти вычисления более чем в полтора раза быстрее в двенадцатеричной шкале, чем в десятичной. Это мой опыт; Я уверен, что тем более это был бы опыт других.

Со времен Эндрюса и Эйткена движение дюжин собрало ряд восторженных сторонников, включая появление Американского общества дюжин и Общества дюжины Великобритании.

Основной аргумент этих так называемых дюзеналистов состоит в том, что математика упрощается для осмысления и понимания, особенно для детей и студентов.Вот почему они правы.

Все дело в множителях

Прежде всего, 12 — очень сложное число — наименьшее число, имеющее ровно четыре делителя: 2, 3, 4 и 6 (шесть, если считать 1 и 12). Как уже отмечалось, 10 имеет только два. Следовательно, 12 гораздо практичнее при использовании дробей — проще разделить единицы измерения и веса на 12 частей, а именно половинки, трети и четверти.

Более того, с основанием 12 мы можем использовать эти три наиболее распространенные дроби без использования дробных обозначений. Числа 6, 4 и 3 — целые числа. С другой стороны, с основанием 10 нам приходится иметь дело с громоздкими десятичными дробями, ½ = 0,5, ¼ = 0,25 и, что хуже всего, с очень проблематичным ⅓ = 0,3333333333333333333333.

Подобно шестнадцатеричной системе с основанием 16, дюжинальная система исключительно удобна для информатики. Число 12 имеет два множителя, которые являются простыми числами, 2 и 3. Это означает, что обратные величины всех гладких чисел (числа, которые полностью делятся на маленькие простые числа), таких как 2, 3, 4, 6, 7, 8, иметь завершающее представление в двенадцатеричной системе счисления (чуть позже мы перейдем к подсчету в двенадцатеричной системе счисления).Так случилось, что двенадцать — наименьшее число с этой функцией, что делает его чрезвычайно эффективным числом для целей шифрования и вычисления дробей, включая десятичную, десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Интересно, что система дюжин также облегчит определение времени. Пять минут — это 12-я часть часа, поэтому вместо «пять минут первого» мы могли бы сказать «один и двенадцатая» часа. Десять минут первого будет 1; 2, четверть первого 1; 3 и т. д. (символ «;» используется в качестве дробной точки).

Но для этого потребуются новые часы. Чтобы это работало, и часовая, и минутная стрелки должны указывать точное время. В обычных десятичных часах минутная стрелка неловко указывает на число, которое нужно умножить на пять.

Обозначения и произношение

Глядя на изображение часов вверху слева, вы, вероятно, задаетесь вопросом, что это за забавные символы и слова. Это потому, что для работы с основанием 12 нам нужно добавить два новых символа для 11 и 12 (помните, что это представления чисел, а не алфавита; число 12 получено из одного полного набора 10 (следовательно 1 в первом столбце) и дополнительное число 2 во втором столбце для обозначения двух дополнительных приращений).

Признавая преимущества системы с основанием 12, Эндрюс разработал новую нотацию для учета двух новых чисел. Вместо использования «A» и «B» для 10 и 11 (согласно шестнадцатеричной системе) Эндрюс предложил сценарий X (U + 1D4B3) и E (U + 2130), где 10 двенадцатеричных представляют 12 десятичных. Таким образом, первые 12 чисел будут выглядеть как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, E, 10.

Другие предполагают, что 10 можно записать как «Т», а число одиннадцать «Э.» Математик Исаак Питман хотел использовать повернутую «2» для десяти и перевернутую «3» для одиннадцати (как на часах выше).В других схемах используется «*» для 10 и «#» для 11 (что удобно для клавиатуры телефона и компьютера).

Для дробей десятичное число 0,5 будет записано в двенадцатеричном виде как 0;6 (помните, что половина 10 отличается от половины 12).

Если это сбивает с толку, вы всегда можете использовать дюжинный/десятичный калькулятор.

Для чисел, превышающих 12, мы должны добавить префикс к значению, обозначающему количество наборов. Итак, для чисел 13, 14 и 15 мы напишем 11, 12 и 13. А для чисел 22, 23 и 24 мы напишем 1X, 1E и 20.

Что касается произношения, Дональд П. Гудман, президент Американского общества дюжин, говорит, что X следует называть «десять», E — «эльв», а 10 — «ункуа». Итак, при подсчете мы говорили: «…восемь, девять, десять эльфов, унква».

Интересно, что в эпизоде ​​1973 года «Маленькие двенадцать пальцев» Schoolhouse Rock! В телесериале инопланетный ребенок использует систему с основанием 12 и произносит последние три числа «дек», «эль» и «до». «Dek» произошло от префикса «deca», в то время как «el» было сокращением от «одиннадцать», а «doh» — от «дюжины».«Многие дюзеналисты приняли именно эту систему произношения.

Теперь, чтобы произносить числа больше 12, например двенадцатеричные 15, мы бы сказали дох-пять, что является соединением дох, что равно двенадцати, и пяти. Мы можем расширить это для других чисел, таких как двенадцатеричный 64, который будет произноситься как шесть-до-четыре.Если мы должны были достичь и превзойти число EE (el-doh-el), нам нужно новое слово для цифр в третьем столбце

Слово для обозначения 144 десятичных или 100 дюжинных называется «гро» (буква «s» пропущена). -дох-дек.В десятичном виде это число равно 358.

Счет пальцев

Критики дюжинной системы говорят, что это подорвет преимущества счета пальцев.

Но, как с радостью отмечают дюжиналисты, каждый палец состоит из трех частей. , начиная с указательного пальца и используя большой палец в качестве указателя, мы можем сразу обозначить первые три цифры (двигаясь снизу вверх пальца), затем средний палец может обозначать 4, 5, 6, средний палец, 7, 8, 9 и так далее.Используя эту систему, наши две руки дают нам в общей сложности 24 числа для работы. Некоторые счетчики пальцев работают слева направо, обозначая кончики пальцев 1, 2, 3, 4.

Еще лучше, мы можем использовать нашу вторую руку, чтобы показать количество завершенных оснований 12. Следовательно, мы можем использовать наши пальцы, чтобы дойти до 144 (12 x 12).

Например, если вы возьмете большой палец левой руки и поместите его на средний сустав среднего пальца (что соответствует 5-му основанию 12, равному десятичному числу 60), и сделаете то же самое на правой руке (что означает 5-й приращение) получаем десятичное число 65.

Сможем ли мы когда-нибудь переключиться?

К сожалению, переход на дюжинальную систему на данном этапе будет исключительно сложным и чрезмерно дорогим. Хотя долгосрочные преимущества очевидны, это, вероятно, не стоит краткосрочной боли. Но, тем не менее, жить с неоптимальной системой подсчета отсюда и до вечности кажется грустным.

Тем не менее, дюзеналисты вроде Дональда Гудмана говорят, что это не совсем невозможно. Он утверждает, что конвертация валюты будет первым и наиболее важным шагом, за которым последует организованная просветительская кампания по этому вопросу в школах (Кроме того, и в отношении этого последнего шага, именно так метрическая система была популяризирована и преподавал в Канаде; я хорошо помню тот день, когда в детстве наш учитель вошел и сказал: «Дети, отныне это метрическая система — без исключений»).

Гудман, однако, скептически относится к тому, что какая-то одна процедура может работать везде, предполагая, что ее придется адаптировать к местным условиям.

«Большинство дюзеналистов считают, что мы должны позволить дюзеналам говорить самим за себя», — сказал он Guardian . «С течением времени, и чем больше людей узнают о десятках, тем больше людей будут их использовать; через некоторое время люди больше не захотят использовать десятичные дроби». Он утверждает, что на самом деле никаких официальных изменений сверху вниз не требуется, за исключением таких вещей, как деньги и юридическое признание дюжинных систем измерения.

Итак, что вы думаете? Пришло ли время для дюжинной системы?

Особая благодарность Кэлвину Дворски за помощь в написании этой статьи!

Источники: Общество дюжины Великобритании, Общество дюжины Америки, The Guardian.

Изображения: Shutterstock/ArtisticPhoto, Guardian, gorpub .

Десятичная система счисления – определение, преобразование и примеры

Мы знаем систему счисления и то, как каждое число представлено основанием. Когда базовое число равно 2, мы называем его двоичным числом. Когда основание равно 8, мы называем это восьмеричным числом. Если основание равно 10, то мы называем это десятичной системой счисления, а если основание равно 16, мы называем это шестнадцатеричной системой счисления. Мы можем легко преобразовать десятичные числа в другие формы систем счисления. Это требует практики. На Веданту вы подробно узнаете об этих числах, а также узнаете о важных методах конверсии.

Вы получите бесплатные исправления по этой теме.Вы можете просто войти или зарегистрироваться на платформах Vedantu и получить доступ к файлу PDF с примечаниями к пересмотру или другим учебным материалам, которые будут полезны в вашей учебе. Кроме того, вы также можете развеять свои сомнения у экспертов в данной области, присутствующих на платформах Vedantu. Они имеют большой опыт и помогут вам в учебе. Все это будет бесплатным, что сделает обучение более увлекательным и доступным для всех.

Десятичная система счисления имеет основание числа 10, и эта система счисления называется десятичной системой счисления. Эта система счисления имеет свои приложения в информатике и компьютерных науках. Это система счисления с основанием 10, поскольку в ее системах счисления 10 цифр. Его можно записать как 0, 1, 2,3,4,5,6,7,8 и 9. Каждая цифра в этой системе счисления имеет позицию, и каждая цифра в 10 раз значительнее предыдущей. Примеры десятичных чисел: (12)10 и (300)10. Таким образом, мы можем сказать, что система счисления, в которой используются числа от 0 до 9 и имеет основание 10, является десятичной системой счисления, и каждая цифра в этой системе имеет значение степени 10.

Мы изучили различные типы чисел, такие как действительные числа, целые числа, рациональные числа и т. д. Существует четыре различных типа систем счисления. Это

  • Двоичная система счисления с основанием 2, представляет любое число с использованием 2 цифр от 0 до 1

  • Восьмеричная система счисления с основанием 8 представляет любое число с использованием 8 цифр от 0 до 7.

  • Десятичная система счисления с основанием 10, представляет любое число с использованием 10 цифр 0–9

  • Шестнадцатеричная система счисления с основанием 16, представляет любое число с использованием 10 цифр и 6 символов 0–9,A,B,C ,D,E,F

В этой статье давайте изучим, что такое десятичная система счисления, определение десятичной системы счисления, пример десятичной системы счисления и преобразование десятичной системы счисления в различные типы систем счисления.

 

Определение десятичной системы счисления

Десятичная система счисления включает цифры от 0 до 9, т.е. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Основание или основание десятичного числа Система равна 10, потому что общее количество цифр, доступных в десятичной системе счисления, равно 10. Все остальные цифры могут быть выражены с помощью этих 10-значных чисел.

 

Десятичная система счисления является наиболее распространенной и простой системой счисления, используемой в нашей повседневной жизни.Некоторые из примеров десятичной системы счисления:

34110, 5610, 678910, 7810.

Теперь, когда мы знаем, как записывать десятичные числа до 10, давайте воспользуемся 3 правилами десятичной системы для записи дальнейших чисел.

  • Напишите числа 0–9.

  • Как только вы достигнете 9, сделайте самую правую цифру 0 и добавьте 1 слева, что станет 10.

  • Затем на правой цифре мы пишем до 9, и когда мы достигнем 19, мы используем 0 на самой правой цифре и прибавляем 1 слева, получается 20.

  • Точно так же, когда мы достигнем 99, мы используем 0 в обоих местах этих цифр и добавляем 1 слева, что дает нам 100.

(Изображение будет загружено в ближайшее время) Десятичные числа?

Однозначные числа от 0 до 9 читаются как есть. Но в случае с двумя цифрами правая цифра говорит то, что она означает, а левая цифра означает в десять раз больше, чем она говорит. То есть в числе 24, 4 равно 4, 2 равно 20. В сумме получается 24.

 

Если мы возьмем трехзначное число, крайняя правая цифра означает то, что она говорит, средняя цифра в десять раз больше цифры, а самая левая цифра в 100 раз больше цифры. Просто если мы возьмем число 546, это означает (5 х 100) + (4 х 10) + 8 = 54810

(5 х 102) + (4 х 101) + 8 = 54810

Преобразование в десятичное число Система счисления

Как преобразовать двоичное число в десятичное

Для двоичного числа с n цифрами:

dn-1 … d3 d2 d1 d0

 

Преобразование двоичного числа в десятичное может быть получено суммой произведение двоичных цифр (dn) и их степени двойки (2n):

 

десятичное число = d0×20 + d1×21 + d2×22 + d3 x 23+ ……

 

Пример

Convert ( 1110012) 2 в десятичной цифровой системе

двоичный номер: 1 1 1 0 0 1

и их мощность 2: 25 24 23 22 21 20

(1110012) 2 = 1 х 25 + 1 х 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 5710

Как преобразовать восьмеричное число в десятичное?

При преобразовании восьмеричного числа в десятичное число с основанием 8 преобразуется в число с основанием 10 путем умножения каждой цифры восьмеричного числа на убывающую степень 8.

 

Пример:

Преобразование (123)8 в десятичную систему счисления

 

Решение:

Умножение каждой цифры в убывающей степени 8

+ 23 x 8 = 123 x 8 123 80

= 64 + 16 + 3

= 83

 

Как преобразовать шестнадцатеричное число в десятичное?

При преобразовании шестнадцатеричного в десятичное число с основанием 16 преобразуется в число с основанием 16 путем умножения каждой цифры шестнадцатеричного числа на убывающую степень 16.

Пример

. Пример:

Конвертировать 1516 в десятичной системе цифр

Решение:

Умножьте каждую цифру с уменьшением мощности 16

1 х 161 + 5 х 160

= 16 + 5

= 21

 

Преобразование десятичной системы в другую

Как преобразовать десятичную систему в двоичную?

Действия по преобразованию десятичного числа в двоичное

1.     Разделите данное число на 2.

2.Возьмите частное для следующей итерации.

3.    И остаток для двоичной цифры.

4. Разделите полученный фактор снова на 2

5. Повторите шаги, пока мы не получим фактор, равный 0.

Пример

Преобразовать 1310 в двоичные:

Решение:

Разделите 13 на 2

13 /2 = 6 и остаток 1

       6/2 = 3 и остаток 0

       3/2 = 1 и остаток 1

       1/2 = 0 и остаток 1

Итак, собираем остатки по порядку получаем 10112

1310 = 10112

 

Как преобразовать десятичное число в восьмеричное?

Преобразование десятичного числа в восьмеричное такое же, как десятичное в двоичное, только вместо 2 число должно быть разделено на 8

 

Пример:

Преобразовать 6010 в восьмеричную систему счисления

 

Решение: 3 Разделить на

1

60/8 = 7 и остаток 4(MSB)

7/8 = 0 остаток 7(LSB)

считаем остаток от LSB до MSB

Собираем остатки получаем 748

6010 = 748

 

Как преобразовать десятичное число в шестнадцатеричное?

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное аналогично преобразованию десятичного в двоичное, только вместо 2 число должно делиться на 16.

 

Пример:

Преобразование 11010 в шестнадцатеричную систему счисления.

 

Решение: 

Разделить данное число на 16

110/16 = 6 остаток равен 14

6/16 = 0 остаток равен 6

(3, 11, 11, 11 A, B, C, D, E, F соответственно)

Следовательно, 14 заменить на E

Итак, 11010 = 6E

 

Интересные факты:

  • Поскольку на двух руках десять пальцев, люди начали считать по используя свои пальцы, многие системы счисления древних цивилизаций используют десять и его степени для представления чисел,

  • В этих старых системах счисления большие числа было трудно умножать и делить, поэтому эти трудности были решены с введением индийско-арабского языка. система счисления.

  • Десятичная система счисления, также называемая индийско-арабской или арабской системой счисления 

Краткая история чисел: как были изобретены числа от 0 до 9

Вы когда-нибудь задумывались, как впервые появились числа?

Используя всего десять символов (0 — 9), мы можем записать любое мыслимое рациональное число. Но почему мы используем эти десять символов? И почему их 10?

Как это ни странно нам сейчас кажется, было время, когда числа в том виде, в каком мы их знаем, просто не были придуманы.

 

КАК РАННИЕ ЛЮДИ ВЕЛИ СЧЕТ

Ранние люди в эпоху палеолита, вероятно, считали животных и другие предметы быта, вырезая метки на стенах пещер, костях, дереве или камне. Каждая итоговая отметка соответствовала единице, а каждая пятая отметка учитывалась, чтобы отслеживать результаты.

Эта система хороша для небольших чисел, но она не работает с большими числами — попробуйте написать 27 890, используя метки.

СИМВОЛЫ ЧИСЕЛ, РАЗРАБОТАННЫЕ РАННИМИ ЦИВИЛИЗАЦИЯМИ

По мере развития ранних цивилизаций они придумывали различные способы записи чисел.Многие из этих систем, в том числе греческие, египетские и еврейские цифры, по сути, были расширениями счетных меток. Использовался ряд различных символов для представления больших значений. Например, в древнеегипетской системе свернутая веревка представляла 100, а водяная лилия — 1000.

Каждый символ повторялся столько раз, сколько необходимо, и все они складывались вместе, поэтому в древнеегипетской системе число 300 отображалось в виде трех скрученных веревок.

Но даже с этой системой это все еще был громоздкий метод записи больших чисел.

 

ПОЗИЦИОННАЯ ОБОЗНАЧЕНИЕ: ПРОСТОЙ СПОСОБ ЗАПИСИ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Все ранние системы счисления имеют одну общую черту. Они требуют, чтобы кто-то записал много символов для записи одного числа и создал новые символы для каждого большего числа.

Позиционная система позволяет повторно использовать одни и те же символы, присваивая символам разные значения в зависимости от их положения в последовательности.

Несколько цивилизаций разработали позиционную систему счисления независимо друг от друга, в том числе вавилоняне, китайцы и ацтеки.

К VII веку индийские математики усовершенствовали десятичную (или десятичную) позиционную систему, которая могла представлять любое число всего десятью уникальными символами. В течение следующих нескольких столетий арабские купцы, ученые и завоеватели начали распространять его в Европе.

Ключевым прорывом в этой конкретной системе (которая также была независимо разработана майя) стало число 0. Старые позиционные системы счисления, в которых не было 0, оставляли пустое место на своем месте, из-за чего было трудно различить 63. и 603 или 12 и 120.Наличие и использование 0 помогает сделать запись чисел более четкой и понятной для всех.

Позиционная запись не обязательно должна основываться на десятичной системе или системе с основанием 10. Вавилоняне изобрели систему с основанием 60, которая до сих пор является основой того, как мы теперь определяем время: каждый день состоит из 60 минут часов и 60 секунд минут.

 

СОВРЕМЕННЫЕ СПОСОБЫ УПРАВЛЕНИЯ ЧИСЛАМИ И СЛОЖНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Сегодня мы в основном воспринимаем нашу систему счисления как нечто само собой разумеющееся.

Современные студенты больше не беспокоятся о том, как лучше всего записывать числа. Вместо этого они приобретают навыки проверки правильности ответов и должны быть знакомы с широким спектром математических знаний, чтобы знать, что ответ правильный.

 

 

Получайте учебные материалы прямо на почту!

.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.