Метод рационализации при решении иррациональных неравенств: Иррациональные неравенства. Примеры решения неравенств

Содержание

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Рыбенкова М.П.,

МБОУ «Школа №140»

учитель математики.

г.Н.Новгород

Содержание

1. Введение 3

2. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих логарифмические функции. 4

3. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих иррациональные выражения. 17

4. .Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих модули. 21

5. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих показательные функции. 27

6. Заключение. 31

7.Список литературы. 32

Введение.

Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая позволяет решать их этим методом.

Поэтому цель работы – предложить метод решения сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Решение неравенства – это объединение конечного числа непересекающихся промежутков. Их легко задать одним рациональным неравенством, что во многих ситуациях позволяет быстрее двигаться к ответу, а иногда получать более эффективные схемы решения типовых неравенств.

Метод рационализации при решении неравенств, содержащих логарифмические функции.

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение от единицы. Другими словами выражение вида

(logaflogag) имеет тот же знак (в области существования логарифмов) что и выражение (fg)(α-1)

Выделим некоторые выражения и соответствующие рационализирующие выражения, позволяющие исключительно эффективно решать многие логарифмические неравенства, которые можно отнести к разряду повышенной сложности.

Примеры решения логарифмических неравенств методом рационализации.

Приведем сравнение решения неравенства традиционным методом и методом рационализации:

1. Решить неравенство:

(метод рационализации)

Решение:

Ответ:

( традиционный метод)

Решение:

1) ОДЗ:

или

;

б)

Ответ:

2. Решить неравенство:

Решение:

2

2

3.Решить неравенство:

Решение: ,

Ответ: (

4. Решить неравенство

Решение:

,,

Ответ: (-1,5;-1)(-1;0)(0;3)

5. Решить неравенство

Решение:

,

,

Ответ: (-0,5;

6. Решить неравенство
Решение:

Ответ: (-1;0)

7. Решить неравенство :.

Решение: ,,

Ответ:

8. Решить неравенство

Решение:

,

Ответ:

9. Решить неравенство

Решение:

а)

0,5, 1,6

Имеем

следовательно ;;

б) если x-3=1, x=2- не является решением (при x=2 ) .

Ответ:;;

10. Решить неравенство

Решение:

,

Ответ:

11. Решить неравенство

Решение:


1

Ответ: 1

12. Решить неравенство

Решение:

)

; 0

Ответ: ; 0

13. (Применение метода рационализации при решении неравенств с параметрами)

Решить неравенство.

Рассмотрим два случая.

1)Пусть . Тогда получим, что и следовательно,

для любых x, что не удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть теперь . В этом случае и, для того чтобы неравенство было верно для любых x , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие .

Получим систему:

Ответ: ()

Метод рационализации при решении неравенств, содержащих иррациональные выражения.

При решении неравенств, содержащих иррациональные выражения, используем следующее правило -(на области определения)

1.Решите неравенство:

Решение.

-7

Ответ: -71

2.Решите неравенство

Решение:


Ответ:


№3Решите неравенство


Решение:

Ответ: 0

4Решить неравенство:


Решение:



Ответ:

5 Решить неравенство:


Решение:

Ответ:


№6. Решить неравенство:


Решение:




Ответ:

Метод рационализации при решении неравенств , содержащих модули.

Опорная информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух основных свойствах модуля:

m2 = m2 и │m│≥0 для всех m,

а также в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции y=t2.

Приведем типы замен:

,

,

1.

:


(,

(10x+32)(2(10x+32)2x(x+5) ,

-5

Ответ: -5

Для решения дробных неравенств, содержащих модули удобно использовать следующее правило:


Решение:

-6

Ответ: -6

3. Решить неравенство:

Решение:




-9

Ответ: -9

4.Решить неравенство:

Решение:



x , 2 4

Ответ: x , 2 4

5.Решить неравенство:

Решение:


Ответ: x

6. Решить неравенство:

Решение:


x, 3

Ответ: x, 3

7. Решить неравенство:


-13

Ответ: -13


Решить неравенство:

Ответ:

Метод рационализации при решении неравенств, содержащих показательные функции

Можно установить, что разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида имеет тот же знак, что и выражение

(fg)(а – 1) при а> 0 (если а=1, то выражения равны нулю)

1.Решить неравенство:

Решение:

;

Ответ:

2.Решить неравенство:

Решение:

Ответ:

3.Решить неравенство:

Решение:

Ответ:

4.Решить неравенство:

Решение:

;

Ответ:

5.Решить неравенство:

Решение:. На множестве

исходное неравенство равносильно

x(2x+1)(3x-7)

Получим

Ответ:

6.Решить неравенство

Решение: Область определения неравенства:

Применим метод рационализации неравенства:

(x+1)x(x-1)

Ответ:

7. Решить неравенство

Решение:

Первый множитель в числителе заменяем на , второй на , третий на, четвертый на

, пятый на .

Первый множитель в знаменателе заменяем на, а второй на .

Получаем в области допустимых значений рациональное неравенство, равносильное исходному:

Область существования всех множителей в исходном неравенстве представляет собой два промежутка: . В этой области множители знакопостоянны, и поэтому их знаменяем соотвестственно на (-1) и 1.

Знакопостоянны и трехчлены , поэтому их заменяем также, соответственно на (-1) и 1.

Решая последнее стандартное рациональное неравенство в указанной области существования всех множителей исходного неравенства, получаем ответ:

.

Заключение.

При написании работы были проанализированы сборники по подготовке к ЕГЭ по математике. Многие задания части содержат неравенства, содержащие неизвестное в основании логарифма, решение которых требует громоздких выкладок и больших затрат времени. Метод рационализации. позволяет сократить время при решении такого типа неравенств. Этот способ распространяется и на решение других неравенств ( показательных, иррациональных и неравенств, содержащих модули). Были сделаны следующие выводы:

1) Основная идея метода рационализации состоит в замене любого множителя А на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни(в области определения) множитель B.

2) Преобразованные таким образом неравенства всегда равносильно исходному в области определения последнего.

3) Указанная замена возможна только тогда, когда заменяемый множитель находится в числители или знаменателе дроби, которая сравнивается с нулем.

4) По внешнему виду неравенства легко определяется возможность применения метода рационализации.

Эта работа может быть использована при подготовке к ЕГЭ. Здесь собрано достаточное количество формул и решенных неравенств, которые помогут любому выпускнику изучить этот метод.

Список литературы.

1) В помощь абитуриентам/Составители В. И. Голубев, А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2009( приложение к журналу КВАНТ)

2)Егэ-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты:30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. –М.: Издательство «Национальное образование»,2012.-192с.-(ЕГЭ-2013. ФИПИ – школе.)

3) Задачи вступительных экзаменов/ Составители А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2008(приложение к журналу КВАНТ)

4) «Квант» 2006/№4, В.Голубев, «Метод замены множителей»

5)Математика. ЕГЭ: сборник заданий: методическое пособие для подготовки к экзамену / Ю. А. Глазков, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева. – 3-е изд., испр.- М.: Издательство «Экзамен»,2010.-287с. ( Серия « ЕГЭ. Сборник заданий. »

6) Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания/Ященко И. В., Шестаков. С. А., Трепалин А. Сю, Захаров П.И.-М.: МЦНМО,2012.

7)Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2010: Математика/ авт. -сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И.В. Ященко. – М,:АСТ: Астрель,2010.- 93с.-( Федеральный институт педагогических измерений.)

8)«Сборник задач по математике для поступающих в Вузы». Уч. Пособие / под ред. М. И. Сканави.- М.: Высшая шк.,1988.

9)«Эффективные пути Решения неравенств». Уч. Пособие / под ред. В. И. Голубева , В. А. Тарасова.1992.

10) www.alexlarin.narod.ru – Корянов А. Г., Прокофьев А. П. Метод решения неравенств с одной переменной.

Решение неравенств методом рационализации

В связи с введением в систему образования единого государственного экзамена (ЕГЭ) проблема подготовки к нему волнует не только обучающихся и их родителей, но и педагогов. Учителю нужно грамотно организовать системное повторение изученного материала и более глубокого усвоения отдельных тем, вызывающих особые трудности при решении заданий повышенного и высокого уровня сложности (это задания 13 и далее). Поэтому на протяжении многих лет в программу элективного курса включаю нестандартные методы решения тех или иных заданий.

Остановлюсь на методе рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств (задание №15 из ЕГЭ).  Это один  из наиболее эффективных и доступных методов, который применим к широкому классу задач и позволяет достаточно просто рационализировать многие иррациональные неравенства, неравенства с модулем, показательные и логарифмические неравенства с постоянным и переменным основанием, а также сложные комбинированные неравенства и их системы.

Решение таких неравенств алгебраическими методами чаще всего вызывает у обучающихся трудности  вычислительного  характера. Универсальный метод решения неравенств- это метод интервалов. Для расширения возможности применения метода интервалов можно использовать метод рационализации, известный в математике как метод декомпозиции (Моденов В.П.) или метод замены множителей (Голубев В.И.). Этот метод пока не нашёл отражения в школьных учебниках и школьной практике.

Суть этого метода заключается в том, что сложное выражение заменяем на более простое выражение (рациональное), при котором первоначальное неравенство равносильно получившемуся на ОДЗ.

Поэтому в школьной практике при решении сложных неравенств эффективнее всего применять данный метод, т.к. он позволяет избежать двух традиционных ситуаций, где при помощи анализа второй требуется дублировать выкладки из первой (например, выполнить преобразования, затем найти корни вспомогательных уравнений, определить промежутки монотонности).

Приведу примеры применения метода рационализации на конкретных примерах.

Для показательных неравенств

Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида аf(х) — аg(х) можно заменить на произведение скобок (а-1)( f(x)g(x)).

Например: Решить неравенство (3x – 1)(0,25x – 16) (5х2 -9х – 2) ≤ 0.

Данное неравенство равносильно неравенству (3x – 30)(0,25x –0,25–2) (5х2 -9х – 2) ≤ 0, которое в свою очередь по методу рационализации можно представить в виде

(3 – 1)(х – 0) (0,25 -1) (х – (-2))(5х + 1)(х – 2) ≤ 0. Далее применяем метод интервалов.

Для логарифмических неравенств:

Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов!

Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:

  1. Находим ОДЗ;
  2. Решаем неравенство, считая, что ОДЗ выполнено;
  3. Пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.

Суть метода рационализации:

1) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то неравенство вида

(loga f(x) – logag(x)) можно заменить на произведение двух скобок (а-1) (f(x) g(x)) при условии выполнения ОДЗ.

2) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида loga f(x) можно заменить на произведение двух скобок (а-1) (f(x) – 1) при условии выполнения ОДЗ.

Например:

 

 

Таким образом, метод рационализации позволяет избежать нежелательных сложностей, ошибок, ускорить процесс решения неравенств, а это способствует наиболее эффективной и качественной подготовке к сдаче единого государственного экзамена.

Литература

1. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. М.: 2007. — 252 с. Гл. 13.

2. ЕГЭ 2020. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. / Под ред. И.В.Ященко. – М.:Национальное образование, 2020. – 272с. (ЕГЭ. ФИПИ – школе).

3. Коропец З.Л. Математика. Варианты сложных задач единого государственного экзамена (ЕГЭ) и образцы решений: учебно-методическое пособие. / З.Л.Коропец, А.А.Коропец, Т.А.Алексеева. – 2-е изд. доп. – Орел: ОрелГТУ, 2008. – 28с.

4. З.Л.Коропец, А.А.Коропец, Т.А.Алексеева МАТЕМАТИКА. НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ. — Орел: ОрелГТУ, 2012.

5. Моденов В.П. Метод декомпозиции при решении трансцендентных уравнений и неравенств // Математика в школе. – 2001. – №5.

6. Соловьёва О.А. Применение метода рационализации при решении нестандартных неравенств.// Молодой учёный. — 2017. — №15.-с.636-640. — URL https://moluch.ru/archive/149/423

Решение иррациональных неравенств — презентация онлайн

1. Решение иррациональных неравенств.

Рассматрим решение неравенств, содержащих
переменную под знаком квадратного корня.
При решении таких неравенств необходимо помнить условие
существования квадратного корня (ОДЗ): подкоренное
выражение не может принимать отрицательные значения.
Некоторые методы решения иррациональных
неравенств.
Назад
Метод интервалов.
Использование равносильных переходов.
Метод рационализации (замены множителей).
Введение новой переменной.
Использование свойств квадратного корня.
Решение неравенств, содержащих двойные радикалы.
Методы
Метод интервалов.
Метод интервалов – это универсальный способ решения
практически любых неравенств, которые встречаются в
школьном курсе алгебры.
Пример 1.
4 x x 5 0
4 x 0
ОДЗ :
x 5 0
Найдем нули функции
4 x x 5 0
4 x x 5
4 x x 5
1
x ОДЗ
2
05.04.2020
5
x 4
x 5
x [ 5 ;4 ]
1
2
4
Определим знаки функции на полученных
промежутках и учтем ОДЗ.
1
Ответ : 5 ;
2
3
Методы
Метод интервалов.
Пример 2.
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15 0
Найдем нули функции
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15 0
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
x2 x 9 0
1 37 ОДЗ
x
2
1 37 ОДЗ
x
2
1 37
2
x2 5 x 6 0
ОДЗ : 2
2 x 6 x 15 0
( x 6 )( x 1 ) 0
3 39
3 39
x
0
x
2
2
3 39
2
3 39
2
1
3 39
2
6
6
Далее нужно определить знаки функции на
полученных промежутках.
4
Методы
Метод интервалов.
Пример 2.
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
x 5 x 6 2 x 6 x 15 0
2
2
1 37
2
3 39
2
6
Правило чередования знаков здесь не работает, так как левая
часть не разложена на множители.
Браться за определение знаков функции методом контрольных
точек страшновато (хотя преодолев определенные
вычислительные трудности, мы достигнем цели).
Можно избежать этих неприятностей, если владеть другими
методами решения иррациональных неравенств.
5
Использование равносильных переходов.
Методы
Выведем схемы решения трех основных типов иррациональных
неравенств используя свойства числовых неравенств и здравый смысл.
Таким образом избежим малоэффективного механического
запоминания.
1. a )
f ( x ) g( x )
f(x) 0
ОДЗ :
g( x ) 0
Так как левая и правая части неравенства
неотрицательны, то по свойству числовых
неравенств имеем право возвести их в квадрат
не меняя при этом знак неравенства.
То есть, необходимо f ( x ) 0
выполнение трех
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
условий:
f ( x ) g( x )
Найди лишнее!
f(x) 0
f0( x f)( x ) gg((xx))
f ( –xлишнее
) g( x )
Очевидно, что g(x) ≥0
6
Использование равносильных переходов.
Методы
Самостоятельно выведи схему для решения следующего неравенства
1. б )
f ( x ) g( x )
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
f(x) 0
ОДЗ :
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
( x– )лишнее
0
g≥0
0 f g( (xx))
f (gx() x=>
f(x)
)
f ( x ) g( x )
Следует отметить, что данные переходы справедливы и для
нестрогих неравенств.
Отметим положительный момент в применении выведенных
схем: нужно решать не три неравенства (метод интервалов), а два.
Меньше действий – меньше вероятность допустить ошибку!
7
Использование равносильных переходов.
2.
f ( x ) g( x )
ОДЗ : f ( x ) 0
Условие, при котором неравенство
может иметь решения: g ( x ) 0
2
Тогда: f ( x ) g ( x )
Незначительно отличается
переход для нестрогого
неравенства:
Методы
f(x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g2( x )
f(x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g2( x )
8
Использование равносильных переходов.
3.
f ( x ) g( x )
ОДЗ : f ( x ) 0
Методы
Лишнее условие.
Объясни почему.
Решения у такого неравенства могут быть при любом значении g(x)
1 случай: g ( x ) 0
f(x) 0
Тогда неравенство выполнено при любом х ϵ ОДЗ
g( x ) 0
2 случай: g ( x ) 0
f(x) 0
Тогда имеем право возвести обе части в квадрат g ( x ) 0
f ( x ) g2( x )
f ( x ) 0
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
2
f ( x ) g ( x )
9
Использование равносильных переходов.
f(x) 0
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Не пропускайте вывод данных
равносильных переходов.
Запоминание без понимания
смысла – занятие
малоперспективное.
Методы
f(x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g2( x )
f ( x ) 0
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
2
f ( x ) g ( x )
Назад
10
Использование равносильных переходов.
Методы
Переходы
Пример 2.
2
x
5x 6 0
2
2
x 5 x 6 2 x 6 x 15 2
2
x
5
x
6
2
x
6 x 15
x2 5 x 6 0
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
( x 6 )( x 1 ) 0
x2 x 9 0
11
66
1 37
x
2
1 37
x
2
1 37
2
Сравни с решением методом
интервалов.
0
1 37
2
1 37
Ответ : ;
2
( 6 ; )
11
Методы
Использование равносильных переходов.
Переходы
Пример 3.
x 2 2 x 1 0
2 x 3 0
2
x 2x 1 2x 3
2 x 3 0
x 2 2 x 1 ( 2 x 3 )2
1 система
x 2 2 x 1 0
2 x 3 0
( x ( 1 2 ))( x ( 1 2 )) 0
x 1,5
1 2
1,5
1 2
x [ 1 2 ;1,5 )
12
Использование равносильных переходов.
Методы
Переходы
Пример 3.
x [ 1 2 ;1,5 )
2
x 2 x 1 2 x 3 2 x 3 0
x 2 2 x 1 ( 2 x 3 )2
2 система
2 x 3 0
2
2
x 2 x 1 ( 2 x 3 )
x 1,5
x 2 ( x 0 ,8 ) 0
Объединение решений
0 ,8
1,5
2
x [ 1,5 ;2 )
x [ 1 2 ;1,5 )
x [ 1,5 ;2 )
Ответ : [ 1 2 ;2 )
Методы
Использование равносильных переходов.
Переходы
Пример 4.
2 x x 2 0
x( 2 x ) 0
x 5
2 x x 2 5 x 5 x 0
2 x 2 12 x 25 0
2 x x 2 ( 5 x )2
2 x 2 12 x 25 0
x 5
x( 2 x ) 0
2 x 2 12 x 25 0
D 0 функция не имеет нулей
0
2
2 x 2 12 x 25 0
5
x R
Ответ : [ 0 ;2 ]
при любом х
Метод рационализации (замены множителей)
Методы
Переходы
Пример 5.
3 x2 3 x 7 6 x x2
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
Схемы не работают.
Такое неравенство удобно решать методом замены множителей,
который уже рассматривался в теме «Решение неравенств,
содержащих переменную под знаком модуля» и будет
рассматриваться позднее при решении показательных и
логарифмических неравенств.
В применении к иррациональным множителям замены выглядят
следующим образом:
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x ) f ( x ) g 2 ( x ) ( g ( x ) 0 )
f ( x ) g( x ) 1
f ( x ) g( x ) 1 ( g ( x ) 0 )
Помни про ОДЗ!
Объясни.
Метод рационализации (замены множителей)
Методы
Переходы
Пример 5.
3x 3x 7 6 x x
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
2
2
Числитель является множителем дроби.
Замена:
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
3 x2 3 x 7 ( 6 x x2 )
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
3 x2 3 x 7 ( 6 x x2 )
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
4 x2 4 x 1
( 2 x 1 )2
0
0
Учтем
ОДЗ
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
2
0 ,3
!
0 ,5
0 ,7
3
3 x 2 3 x 7 0
6 x x 2 0
ОДЗ
10 x 7 0
10 x 3 0
D 0, x R
( x 3 )( x 2 ) 0
x 0 ,7
x 0 ,3
2 0 ,3
0 ,7
3
Ответ : [ 2 ;0 ,3 ) { 0 ,5 } ( 0 ,7 ;3 ]
Метод рационализации (замены множителей)
Методы
Переходы
Пример 6.
2 x 2 2 x 25 0
ОДЗ 10 x 7 0
10 x 3 0
2 x 2 x 25 6 x
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
2
2 x 2 2 x 25 (6 x)
0
(10 x 7)(10 x 3)
D 0 , x R x 0 ,7
x 0 ,7
x 0 ,3
x 0 ,3
Множитель (6-х) может принимать как
отрицательные, так и неотрицательные
значения.
1 случай: 6 x 0 , x [ 6 ; ). Замена: f ( x ) g( x ) f ( x ) g 2 ( x )
( x 1 )( x 11 )
2 x 2 2 x 25 ( 6 x )2
0
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
6
1
Учтем условие х ≥ -6
0 ,3
0 ,7
11
[ 6 ; 1 ] ( 0 ,3 ;0 ,7 ) [ 11; )
Метод рационализации (замены множителей)
Методы
Переходы
Пример 6.
2 x 2 x 25 (6 x)
0
(10 x 7)(10 x 3)
2
1 случай: [ 6 ; 1 ] ( 0 ,3 ;0 ,7 ) [ 11; )
2 случай: 6 x 0 , x ( ; 6 )
Замена:
f ( x ) g( x ) 1
1
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
6
0 ,3
( ; 6 )
D 0 , x R x 0 ,7
x 0 ,7
x 0 ,3
x 0 ,3
Ответ: объединение решений
первого и второго случая.
Учтем условие х
2 x 2 2 x 25 0
ОДЗ 10 x 7 0
10 x 3 0
0 ,7
Ответ : ( ; 1 ] ( 0 ,3 ;0 ,7 ) [ 11; )
Метод введения новой переменной
(явная замена).
Пример 7. 2 x 3 x 1 0
2 t 2 3t 1 0
2( t 0 ,5 )( t 1 ) 0
Методы
Переходы
ОДЗ : x 0
t x x t2
0 ,5
1
1 ) x 1 — правая и левая части неравенства
x 1
неотрицательны => имеем право
x 0 ,5
возвести в квадрат x 1
1
1
1
— аналогично x . С учетом ОДЗ 0 x .
2) x
2
4
4
t 1
t 0 ,5
Ответ: объединение решений
первого и второго неравенства.
Ответ : [ 0 ;0 ,25 ] [ 1; )
Метод введения новой переменной
(обратные числа).
Пример 8.
t
1
x 1
t
x 1
Переходы
x 1
x 1 0
ОДЗ :
x 1 0
x 1
Объясни,
почему.
x 1
x 1 3
x 1
x 1 2
x 1
x 1
Методы
1 3
t
2t 0
t 2
1
2 t 2 3 t 2 0 2( t 2 )( t 0 ,5 ) 0
0 ,5
0
2
Учтем условие t > 0
t 0
t 2
x 1
0
x 1
x 1
2
x 1
1
Метод введения новой переменной
(обратные числа).
Пример 8.
x 1
x 1 3
x 1
x 1 2
1)
x 1
0
x 1
x 1
2)
2
x 1
x ОДЗ
Методы
Переходы
x 1
x 1 0
ОДЗ :
x 1 0
x 1
x 1
0
x 1
x 1
2
x 1
1
1
— правая и левая части неравенства
неотрицательны => имеем право
возвести в квадрат
Учтем ОДЗ
x 1
3x 5
4
0
x 1
x 1
1
1
5
3
5
Ответ : ( ; 1 ) ;
3
Метод введения новой переменной.
Методы
Переходы
Часто, даже если вы не видите повторяющиеся
и обратные выражения, введение новой переменной
может значительно облегчить решение неравенства.
2 x 3 0
ОДЗ :
x 2 0
3
x
2 x 2
x 2
2x 3 x 2 2
t x 2 t2 x 2 x t2 2
Пример 9.
2( t 2 ) 3 t 2
2
Объясни,
почему.
3
1
2t 2 7 2 t 2 t 2 7 ( 2 t )2 ( t 1 )( t 3 ) 0
Учтем ОДЗ
t 1
t 3
x 2 1
x 2 3
х 2 1 х 3
x 2 9 x 11
2
3
11
Ответ : [ 2 ;3 ) ( 11; )
Метод введения новой переменной
(полезна наблюдательность).
Методы
Переходы
Пример 10.
x 2 3 2 x 2 3 x 2 1.5( x 4 ) ОДЗ : 2 x 2 3 x 2 0
D 0
a 0
2
2
2
x 3 2 x 3 x 2 1.5 x 6
x R
2 x 2 6 2 2 x 2 3 x 2 3 x 12
( 2 x2 3 x 2 ) 2 2 x2 3 x 2 8 0
t 2 2t 8 0
t 4
t 2
2
2 x2 3 x 2 4
2 x 2 3 x 2 2 Ø
t 2 x2 3 x 2
2 x2 3x 2 t2
Объясни,
почему.
4
2 x 2 3 x 2 4 2 x 2 3 x 2 16
2 x 2 3 x 14 0
2( x 2 )( x 3 ,5 ) 0
Ответ : ( ; 2 ] [ 3 ,5 ; )
2
3 ,5
Использование свойств квадратного корня.
1)
f ( x ) 0,
2)
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Второе свойство справедливо с ограничениями
так как может изменять ОДЗ. !
(Аналогично для частного)
Пример 11.
Методы
Переходы
8 x 0
ОДЗ : 2 x 1 0
8 15 x 2 x 2 0
1
1
1
x ( 0 ,5 ;8 )
8 x
2x 1
8 15 x 2 x 2
1
1
1
( 8 x )( 2 x 1 ) 0
8 x
2x 1
( 8 x )( 2 x 1 )
8 x 2x 1
8 x 2x 1
1
8 x
2x 1
2x 1 8 x 1
2x 1 1 8 x
2x 1 9 x 2 8 x
3 x 8 0
2 8 x 3 x 8 8 x 0
4( 8 x ) ( 3 x 8 )2
Объясни,
почему.
Использование свойств квадратного корня.
1)
f ( x ) 0,
f ( x ) g( x )
2)
f ( x ) g( x )
1
1
1
8 x
2x 1
8 15 x 2 x 2
8
x 3
x 8
( 9 x 8 )( x 4 ) 0
Учтем ОДЗ
0 ,5
8
9
Переходы
8 x 0
ОДЗ : 2 x 1 0
8 15 x 2 x 2 0
Пример 11.
3 x 8 0
8 x 0
4 ( 8 x ) ( 3 x 8 )2
Методы
8
3
x ( 0 ,5 ;8 )
4
8
Ответ : ( 4 ;8 )
Использование свойств квадратного корня.
1)
f ( x ) 0,
Пример 12.
f ( x ) g( x )
2)
f ( x ) g( x )
20 x 2 x ( x 2 8 x 12 ) 0
Так как первый множитель (корень)
неотрицателен, следовательно не влияет на
знак правой части неравенства.
Методы
Переходы
ОДЗ : 20 x 2 x 0
x [ 5 ;4 ]
Рассмотрим два случая.
1 случай.
20 x 2 x 0
x 5
В этом случае неравенство выполнено =>
— решения.
x 4
2 случай. 20 x 2 x 0 Тогда имеем право разделить обе части
неравенства на положительный множитель не меняя знак.
x 2 8 x 12 0
( x 2 )( x 6 ) 0
5
2
4
6
Учтем ОДЗ
Ответ : { 5 } [ 2 ;4 ]
Решение неравенств, содержащих двойные
радикалы.
Пример 13.
1 способ
Так как обе части неотрицательны,
то возведем их в квадрат: x 2 x 1 4
2 x 1 4 x
x 1
x 1 0
x 4
x 4
4 x 0
x 4
4 x 0
2
( x 10 )( x 2 ) 0
4 ( x 1 ) ( 4 x )
2
4
10
Переходы
x 1 0
ОДЗ :
x 2 x 1 0
x 2 x 1 2
x ( 4 ; )
x 4
( x 10 )( x 2 ) 0
Методы
При x 1
выполнены оба
условия.
x ( 4 ; )
x [ 2 ;4 ] ОДЗ
Ответ : [ 2 ; )
Решение неравенств, содержащих двойные
радикалы (использование свойства f 2 ( x ) f ( x ) ) . Методы
Переходы
Пример 13.
x 2 x 1 2
Объясни,
почему.
2 способ
ОДЗ : x 1
Заметим, что x 2 x 1 ( x 1 1 )2
x 2 x 1 2 ( x 1 1 )2
x 1 1 2 x 1 1 2
x 1 1
Возведем обе части в квадрат: x 1 1
x 2 ОДЗ
Ответ : [ 2 ; )
Согласитесь, что решение получено более коротким и простым путем.
Вывод: если видишь корень под корнем ищи полный квадрат!
Задачи из тренировочных и диагностических
работ для подготовки к ЕГЭ.
Пример 14.
x 2 x 6 x 2 9 x 18 0
Методы
Переходы
ОДЗ :
Можно даже не находить ОДЗ.
Данное неравенство может быть выполнено только в случае когда оба
корня обращаются в ноль.
x x 6 0
2
x 3
x 2
Подстановкой определяем, что только -3 обращает в ноль второй
корень.
Ответ : { 3 }
Задачи из тренировочных и диагностических
работ для подготовки к ЕГЭ.
Методы
Переходы
2
4
x
0
1
1
Пример 15.
2
( 4 x 2 )
0
ОДЗ
:
x 1
x 3
2x 2
x 3
Объясни,
Воспользуемся методом замены множителей
замену.
1
1
( 4 x 4 )
0
2x 2 x 3
2
3
x 3 2x 2
x
0
( 2 x 2 )( x 3 )
2
1
2
2
x2 ( 1 x )
0
( 2 x 2 )( x 3 )
3
2
!
1
0
Учтем ОДЗ
1
2
Ответ : [ 2 ; 1 ) { 0 } [ 1;2 ]
Задачи из тренировочных и диагностических
работ для подготовки к ЕГЭ.
2
6
x
3 x 18
x 2 3 x 18
x 2
Пример 16.
Воспользуемся неотрицательностью корня
1 случай:
Методы
Переходы
( x 6 )( x 3 ) 0
ОДЗ :
x 2
x 2 3 x 18 0
6
2
3
x 6
x 3 — решения неравенства.
2 случай: x 2 3 x 18 0. Тогда имеем право разделить обе части
неравенства на положительный множитель не меняя знак неравенства.
6
6 ( x 2)
4 x
1
0
0
x 2
x 2
x 2
Учтем ОДЗ
6
2
3
4
Ответ : { 6 } [ 3 ;4 ]
Методы
Тренировочные упражнения.
Переходы
1
x 2
x
Ответ
:
;2
1
2
1 2x
3
2 x 2
Ответ : x ( ;1 )
2 x
( x 1 ) x2 x 2 0
x x 1
2
Ответ : x { 1 } [ 2 ; )
1
Ответ : x ;
2
x 2 x 1 x 2 x 1 2
Ответ : x [ 1; )

Иррациональные неравенства и способы их решения

Иррациональные
неравенства
и способы их решения

2. Занятие №1.

Цель: Рассмотреть неравенства вида:
Основным методом решения иррациональных
неравенств является метод сведения исходного
неравенства к равносильной системе рациональных
неравенств или совокупности таких систем.
Чтобы избежать ошибок при решении
иррациональных неравенств, следует рассматривать
только те значения переменной, при которых все
входящие в неравенство функции определены, т. е. найти
ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно
осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или
ее частях.
1.Рассмотрим иррациональное неравенство вида
Решение. ОДЗ неизвестного будет определяться из
решения неравенства
К тому же,
(x)>0, т.к
Поэтому данное неравенство равносильно следующей
системе неравенств.

4. Пример 1.

Решить неравенство

5. Пример 1.

Решить неравенство

6. Тогда, решением заданного неравенства будет пересечение множеств решений системы

7. 2.Рассмотрим неравенство вида:

Решение. ОДЗ неизвестного будет определяться из условия
Но, в отличие от предыдущего, (x) может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Поэтому в процессе решения должны
рассматривать два случая: (x)
. В первом случае данное
неравенство равносильно следующей системе неравенств:
Но в этой системе можно опустить последнее неравенство, т.к.
при (x)

8.

В случае же Заданное неравенство равносильно следующей системе неравенств: ( x) 0
В случае же
Заданное неравенство равносильно следующей
системе неравенств:
Тогда, из последней системы видно, что первое неравенство можно
опустить, т. к. из f(x)>( (x))2 следует справедливость f(x)
Решением неравенства будет объединение множеств решений обоих случаев.

9. Пример 2.

Решить неравенство

10. Пример 2. Решить неравенство:

Рассмотрим два случая:

11. Занятие №2

• Цель: Рассмотреть неравенства вида:
При решении иррациональных неравенств
используются те же методы, что и при решении
иррациональных уравнений: возведение обеих
частей неравенства в одну и ту же натуральную
степень, введение новых переменных и т.д.
Однако при решении иррациональных неравенств
необходимо следить за тем, чтобы выполняемые
преобразования приводили к равносильному
неравенству.

12. 1.Неравенство вида

равносильно системе неравенств:
2. Неравенство вида
равносильно неравенству f(x)

13. Пример 3.

Решить неравенство

14. Пример 3.Решить неравенство:

15. Пример 4.

Решить неравенство

16. Пример4.Решить неравенство:

17. Занятие №3.

• Цель: Рассмотреть решения неравенств
методом интервалов.
• При решении иррациональных неравенств
методом интервалов надо всегда помнить,
что нули функций рассматриваются только
входящие в ОДЗ.

18. Пример 5. Решим иррациональное неравенство методом интервалов :

19. Занятие №4.

• Цель: Рассмотреть решения
иррациональных неравенств введением
новой переменной

20. Пример 6. Решим неравенство введением новой переменной

21. ешим неравенствопеременно

22. Занятие №5.

• Цель: Рассмотреть решения
иррациональных неравенств методом
замены множителя .

23. Пример №7. Решим неравенство методом замены множителя

24. Домашнее задание. Решить неравенство:

Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.

25. ВЫВОДЫ:

Рассмотрели иррациональные неравенства и
способы их решения.
Основным методом решения иррациональных неравенств
является метод сведения исходного неравенства к
равносильной системе рациональных неравенств или
совокупности таких систем
возведение обеих частей
неравенства в одну и ту же
натуральную степень
введение новой переменной , метод интервалов ,
метод замены множителя .

26. СПАСИБО ЗА УРОК!

Алгебра — Рациональные неравенства

Прежде чем мы приступим к их решению, мы должны отметить, что они НЕ решаются так же, как мы решаем уравнения, содержащие рациональные выражения. Первое, что мы всегда делали с уравнениями, — это очищали знаменатели, умножая их на наименьший общий знаменатель. Однако с ними это не сработает.

Поскольку мы не знаем значения \(x\), мы не можем умножить обе части на что-либо, содержащее \(x\). Напомним, что если мы умножим обе части неравенства на отрицательное число, нам нужно будет изменить направление неравенства. Однако, поскольку мы не знаем значения \(x\), мы не знаем, является ли знаменатель положительным или отрицательным, и поэтому мы не будем знать, нужно ли нам изменить направление неравенства или нет. На самом деле, что еще хуже, знаменатель будет как положительным, так и отрицательным для значений \(x\) в решении, и это создаст настоящие проблемы.

Значит, нужно оставить рациональное выражение в неравенстве.

Основной процесс здесь такой же, как и при полиномиальных неравенствах. Первый шаг — получить ноль с одной стороны и записать другую часть как единственное рациональное неравенство. Это уже было сделано для нас здесь.

Следующим шагом является максимально возможное разложение числителя и знаменателя на множители. Опять же, в данном случае это уже сделано за нас.

Следующий шаг — определить, где и числитель, и знаменатель равны нулю. В данном случае это значения.

\[{\mbox{числитель:}}x = — 1\hspace{0,5 дюйма}{\mbox{знаменатель:}}x = 5\]

Нам нужны эти числа по нескольким причинам. Во-первых, как и в случае с полиномиальными неравенствами, это единственные числа, в которых рациональное выражение может менять знак на . Итак, мы построим числовую прямую, используя эти точки, чтобы определить диапазоны, из которых можно выбрать контрольные точки, точно так же, как мы делали это с полиномиальными неравенствами.

Однако есть еще одна причина, по которой необходимо значение \(x\), которое делает знаменатель равным нулю. Независимо от того, что еще здесь происходит, у нас есть рациональное выражение, а это означает, что нам нужно избегать деления на ноль, и поэтому знание того, где знаменатель равен нулю, даст нам значения \(x\), которых следует избегать для этого.

Вот числовая линия для этого неравенства.

Итак, нам нужны области, которые делают рациональное выражение отрицательным.Имеется в виду средний район. Кроме того, поскольку у нас есть часть «или равно» в неравенстве, нам также нужно включить, где неравенство равно нулю, так что это означает, что мы включаем \(x = — 1\). Обратите внимание, что нам также нужно будет избегать \(x = 5\), так как это дает деление на ноль.

Решение этого неравенства:

\[ — 1 \le x

Решение рациональных неравенств

Решение Рациональные неравенства (стр. 1 из 2)


Решение рациональных неравенств очень похоже на решение многочлена неравенства.Но потому что рационально выражения имеют знаменатели (и, следовательно, могут иметь места, где они не определены), Вы должны быть немного более осторожными в поиске решений.

Чтобы решить рациональное неравенство, вы сначала находите нули (из числителя) и неопределенные точки (от знаменателя). Вы используете эти нули и неопределенные точки для деления числовую прямую на интервалы. Затем вы найдете знак рационального на каждом интервале.

  • Решите следующее:

    Сначала я все учту:

    Эта полиномиальная дробь будет равен нулю везде, где числитель равен нулю, поэтому я установлю числитель равно нулю и решить:

    Дробь будет undefined везде, где знаменатель равен нулю, поэтому я установлю знаменатель равно нулю и решить:

    Эти четыре значения, 4, 2, 1, и 4, разделить числовую прямую на пять интервалов, а именно:

      (бесконечность, 4), (4, 2), (2, 1), (1, 4) и (4, + бесконечность).

    Я мог бы использовать «тест точек», чтобы найти решение неравенства, выбрав значение x в каждом интервале, подставляя его в исходное рациональное выражение, упрощая для получения числового ответа, а затем проверяя знак, но этот процесс становится долгим и раздражающим (и подвержен ошибкам), поэтому я вместо этого используйте более простой и быстрый метод таблицы факторов.

     
    Мой таблица коэффициентов выглядит так:
     

    Моя таблица имеет одна строка для каждого фактора, строка для числовой строки и строка для рационального выражения.Каждая строка разбита на столбцы, где каждый столбец соответствует одному из интервалов на числовая строка.

      

    Знак рационального выражение является результатом признаков его различных факторов, поэтому мне нужно чтобы найти, где каждый фактор положительный:   Авторское право Элизабет Стапель 2005-2011 Все права защищены

      х + 4 > 0 для x > 4  
      x + 2 > 0 для x > 2  
      x + 1 > 0 для x > 1  
      x  4 > 0  для x > 4 

    Теперь можно поставить «плюс» знаки интервалов в каждой строке, где коэффициент этой строки положительный:

       

    Везде, где нет фактора положительный, а отрицательный, поэтому я поставлю знак «минус» в другие интервалы каждой строки:

    Умножение знаков вниз по столбцам я получаю общий знак исходного рационального выражения на каждом интервале:

    Тогда рациональное положительно на интервалах (бесконечность, 4), (2, 1), и (4, + бесконечность).

    Оглядываясь назад на оригинал упражнение, это неравенство «или равное», поэтому мне нужно учитывайте также конечные точки интервала. Если бы это было полиномиальное неравенство, Я мог бы просто добавить в решение все конечные точки интервала и Я бы сделал. Однако для обоснования я должен быть осторожен, чтобы не включать любые значения x это вызовет деление на ноль.

    Конечные точки интервалов 4, 2, 1, и 4.я могу включить 2 и 1 дюйм решение, потому что они просто делают выражение равным нулю с помощью делая числитель равным нулю. Но подключение 4 или 4 было бы вызвать деление на ноль, что делает рациональное выражение неопределенным, поэтому я не могу включить эти значения в растворе.

    Тогда полное решение это:

Если вам нужно написать решение в нотации «неравенство» будет выглядеть так:

    х < 4, 2 < х < 1, и х > 4

Не забывайте: «Бесконечность» это не «число» в том смысле, что, скажем, «2» является. «Бесконечность» нельзя «включить» в ваше решение, поэтому никогда не рисуйте квадратную скобку рядом с «конечной точкой» бесконечности.

Топ |  1 | 2   | Вернуть к индексу  Далее >>

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет. «Решение рациональных неравенств». Пурпурная математика .Доступный из
     https://www.purplemath.com/modules/ineqrtnl.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

 

9.7: Решение рациональных неравенств — Mathematics LibreTexts

Пример \(\PageIndex{1}\)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \(\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0\)

Раствор

Шаг 1 . Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

Наше неравенство имеет следующий вид.\[\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0 \nonumber \]

Шаг 2 . Определите критические точки — точки, в которых рациональное выражение будет равно нулю или неопределенно.

Рациональное выражение будет равно нулю, если числитель равен нулю. Так как \(x-1=0\) при \(x=1\), то 1 является критической точкой.

Рациональное выражение будет неопределенным, если знаменатель равен нулю.Поскольку \(x+3=0\) при \(x=-3\), то -3 является критической точкой.

Критические точки 1 и -3.

Шаг 3 . Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Числовая строка делится на три интервала:

\[(-\infty,-3) \quad (-3,1) \quad (1,\infty) \nonumber \]

Шаг 4 . Проверьте значение в каждом интервале. Над числовой прямой показывают знак каждого множителя рационального выражения в каждом интервале. Ниже числовой строки укажите знак частного.

Чтобы найти знак каждого фактора в интервале, мы выбираем любую точку в этом интервале и используем ее в качестве контрольной точки. Любая точка интервала даст выражению тот же знак, поэтому мы можем выбрать любую точку интервала.

\[\text { Интервал }(-\infty,-3) \номер \]

Число -4 находится в интервале \((-\infty,-3)\). Проверка \(x=-4\) в выражении в числителе и знаменателе.

Числитель:

\[\begin{array}{l} {x-1} \\ {-4-1} \\ {-5} \\ {\text {Отрицательный}} \end{массив} \nonumber \]

Знаменатель:

\[\begin{array}{l} {x+3} \\ {-4+3} \\ {-1} \\ {\text {Отрицательный}} \end{массив} \nonumber \]

Над числовой строкой отметьте отрицательный множитель \(x-1\) и отрицательный множитель \(x+3\).

Поскольку отрицательное число, деленное на отрицательное, является положительным, отметьте положительное частное в интервале \((-\infty,-3)\).

\[\text {Интервал} (-3,1) \номер\]

Число 0 находится в интервале \((-3,1)\). Тест \(х=0\).

Числитель:

\[\begin{array}{l} {x-1} \\ {0-1} \\ {-1} \\ {\text {Отрицательный}} \end{массив} \nonumber \]

Знаменатель:

\[\begin{array}{l} {x+3} \\ {0+3} \\ {3} \\ {\text {Положительный}} \end{массив} \nonumber \]

Над числовой строкой отметьте множитель \(x-1\) отрицательным и отметьте \(x+3\) положительным.

Поскольку отрицательное число, деленное на положительное, равно отрицательному, частное в интервале \((-3,1)\) помечается как отрицательное.

\[\text {Интервал}(1, \infty) \номер\]

Число 2 находится в интервале \((1, \infty)\). Тест \(х=2\).

Числитель:

\[\begin{array}{l} {x-1} \\ {2-1} \\ {1} \\ {\text {Положительный}} \end{массив} \nonumber \]

Знаменатель:

\[\begin{array}{l} {x+3} \\ {2+3} \\ {5} \\ {\text {Положительный}} \end{массив} \nonumber \]

Над числовой линией отметьте множитель \(x-1\) положительным и отметьте \(x+3\) положительным.

Поскольку положительное число, деленное на положительное, является положительным, отметьте положительное частное в интервале \((1, \infty)\).

Шаг 5 . Определите промежутки, на которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

Мы хотим, чтобы частное было больше или равно нулю, поэтому числа в интервалах \((-\infty,-3)\) и \((1, \infty) \) являются решениями.

А как же критические точки?

Критическая точка \(x=-3\) делает знаменатель равным 0, поэтому ее нужно исключить из решения и отметить скобкой.

Критическая точка \(x=1\) делает все рациональное выражение равным 0. Неравенство требует, чтобы рациональное выражение было больше или равно. Итак, 1 является частью решения и мы будем отмечать его скобкой.

Вспомните, что когда у нас есть решение, состоящее из более чем одного интервала, мы используем символ объединения \(\cup \), чтобы соединить два интервала. Решение в интервальной записи: \((-\infty,-3) \cup[1, \infty)\).

Решение квадратных уравнений с использованием свойства квадратного корня — Элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решение квадратных уравнений формы с использованием свойства квадратного корня
  • Решение квадратных уравнений формы с использованием свойства квадратного корня

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

  1. Упрощение: .
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Упрощение: .
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  3. Коэффициент: .
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Квадратные уравнения – это уравнения вида , где . Они отличаются от линейных уравнений наличием члена с переменной, возведенной во вторую степень. Мы используем разные методы для решения квадратных уравнений, чем линейные уравнения, потому что простое сложение, вычитание, умножение и деление членов не изолирует переменную.

Мы видели, что некоторые квадратные уравнения можно решить с помощью факторизации. В этой главе мы будем использовать три других метода для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений вида

x 2 = k Использование свойства квадратного корня

Мы уже решили некоторые квадратные уравнения методом факторизации. Давайте рассмотрим, как мы использовали факторинг для решения квадратного уравнения.

Мы можем легко использовать факторинг, чтобы найти решения подобных уравнений, таких как и , потому что 16 и 25 являются полными квадратами.Но что происходит, когда у нас есть такое уравнение? Поскольку 7 не является полным квадратом, мы не можем решить уравнение с помощью факторизации.

Все эти уравнения имеют вид .
Мы определили квадратный корень числа следующим образом:

Это ведет к свойству квадратного корня.

Свойство квадратного корня

Если , и , то .

Обратите внимание, что свойство Square Root дает два решения уравнения вида : главный квадратный корень и его противоположность.Мы также можем записать решение в виде .

Теперь мы снова решим уравнение, на этот раз используя свойство квадратного корня.

Что происходит, когда константа не является точным квадратом? Давайте воспользуемся свойством квадратного корня, чтобы решить уравнение.

Решить: .

Решение

Решить: .

Решить: .

Как решить квадратное уравнение формы, используя свойство квадратного корня

Решить: .

Решить: .

Решить: .

Решите квадратное уравнение, используя свойство Square Root.

  1. Выделить квадратичный член и сделать его коэффициент равным единице.
  2. Использовать свойство квадратного корня.
  3. Упростите радикал.
  4. Проверьте решения.

Чтобы использовать свойство «Квадратный корень», коэффициент переменного члена должен быть равен 1. В следующем примере мы должны разделить обе части уравнения на 5, прежде чем использовать свойство «Квадратный корень».

Решить: .

Решить: .

Решить: .

Свойство квадратного корня начиналось с утверждения «Если , и ». Что будет, если? Это будет иметь место в следующем примере.

Решить: .

Решение

Решить: .

Решить: .

Помните, сначала мы выделяем квадратный член, а затем приравниваем коэффициент к единице.

Решить: .

Решить: .

Решить: .

В решениях некоторых уравнений в радикалах могут быть дроби. Когда это происходит, мы должны рационализировать знаменатель.

Решить: .

Решение

Решить: .

Решить: .

Решение квадратных уравнений вида

a ( x h ) 2 = k Использование свойства квадратного корня

Мы также можем использовать свойство Square Root для решения уравнения типа .Мы будем рассматривать весь бином как квадратичный член.

Решить: .

Решить: .

Решить: .

Решить: .

Решить: .

Решить: .

Помните, когда мы извлекаем квадратный корень из дроби, мы можем извлечь квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно.

Решить:

Решение

Решить:

Решить:

Начнем решение следующего примера с выделения бинома.

Решить: .

Решение

Решить: .

Решить: .

Решить: .

Решение

Решить: .

Решить: .

Левые части уравнений в следующих двух примерах не имеют вида . Но они представляют собой совершенные квадратные трехчлены, поэтому мы приведем их к нужному нам виду.

Решить: .

Решение

Левая часть уравнения представляет собой совершенный квадратный трехчлен. Мы учтем это в первую очередь.

Решить: .

Решить: .

Решить: .

Решение

Опять же, мы замечаем, что левая часть уравнения представляет собой совершенный квадратный трехчлен. Мы учтем это в первую очередь.

Решить: .

Решить: .

Основные понятия

  • Свойство квадратного корня
    Если , и , то .
Практика делает совершенным

Решение квадратных уравнений вида Использование свойства квадратного корня

В следующих упражнениях решите следующие квадратные уравнения.

Решение квадратных уравнений формы с использованием свойства квадратного корня

В следующих упражнениях решите следующие квадратные уравнения.

Смешанная практика

В следующих упражнениях решите, используя свойство Square Root.

Математика на каждый день

У Паолы достаточно мульчи, чтобы покрыть 48 квадратных футов. Она хочет использовать его, чтобы сделать три квадратных огорода одинакового размера. Решите уравнение, чтобы найти длину каждой стороны сада.

Кэти рисует чертежи дома, который она проектирует. Она хочет иметь в гостиной четыре квадратных окна одинакового размера общей площадью 64 квадратных фута. Решив уравнение, найти длину сторон окон.

Письменные упражнения

Объясните, почему уравнение не имеет решения.

Объясните, почему уравнение имеет два решения.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ Если большинство ваших чеков было:

…уверенно: Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Подумайте об учебных навыках, которые вы использовали, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы обрести уверенность в своих способностях делать эти вещи? Быть конкретной.

… с некоторой помощью: Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не освоили, становятся выбоинами на вашем пути к успеху.В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочная основа. Кого можно попросить о помощи? Ваши одноклассники и преподаватель являются хорошими ресурсами. Есть ли в кампусе место, где есть репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, не понимаю! Это предупреждающий знак, и вы не должны его игнорировать. Вы должны немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро будете поражены. Как можно скорее обратитесь к инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию.Вместе вы можете придумать план, как получить необходимую вам помощь.

математических вопросов. . . Математические ответы. . .

Включите как можно больше подробностей.

Если у вас есть уравнения или информация, включающая математические символы или диаграммы, просто отсканируйте рукописную работу и загрузите ее в виде изображения.

Нажмите ниже, чтобы увидеть комментарии других посетителей этой страницы…

Круги  
Али проектирует полукруглую …

Математика 126  
пожалуйста, помогите, у меня проблемы …

Дроби  
как вы сравниваете дроби …

Неравенство  
70+30

Подмножества  
Перечислите все подмножества { …

Факторинг  
Упростите следующее выражение: …

Геометрия  
Приведите пример следующего …

Алгбра  
8/7 + 2i — комплексное число.

 
какая отсечка для …

Соотношение  
КОЭФФИЦИЕНТЫ используются для представления …

Союзы  
что такое союз C и …

ABCD — Математическая головоломка  
Четыре числа

Элементы  
пытаюсь разобраться в этих …

ПЕМДАС  
Ваш друг заплатил десять долларов …

МАТ 126  
после завершения …

Подготовка к сб  
если среднее двух чисел …

Последовательность  
Дана последовательность: -2, -1, …

мат 126  
Для проекта №1 заполните …

Том  
Стив находит старый баскетбольный мяч …

ВЫЧИСЛЕНИЕ  
привет, я хотел бы увидеть/узнать …

Функция  
Часть 1 Своими словами, …

простое число  
какой из следующих …

Упрощение радикальных выражений (Алгебра 1, Радикальные выражения) — Mathplanet

Свойства экспонент, о которых мы говорили ранее, среди прочего говорят нам, что

$$\begin{pmatrix} xy \end{pmatrix}^{a}=x^{a}y^{a}$$

$$\begin{pmatrix} \frac{x}{y} \end{pmatrix}^{a}=\frac{x^{a}}{y^{a}} $$

Мы также знаем, что

$$\sqrt[a]{x}=x^{\frac{1}{a}}$$

$$ или $$

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Если мы объединим эти две вещи, мы получим свойство произведения радикалов и частное свойство радикалов. {2}}=\frac{4x-x\sqrt {x}}{16-x}$$


Видеоурок

Упростите подкоренное выражение

$$\frac{x}{5-\sqrt{x}}$$

Решение рациональных неравенств — видео и расшифровка урока

Шаги решения

Чтобы решить рациональное неравенство, выполним следующие шаги:

  1. Приведем неравенство в общий вид.
  2. Приравняйте числитель и знаменатель к нулю и решите. Полученные значения называются критическими значениями . Критические значения функции — это когда функция не определена или равна 0. Когда числитель равен 0, функция равна 0. Когда знаменатель равен 0, функция не определена.
  3. Нанесите критические значения на числовую прямую, разбив числовую линию на интервалы.
  4. Возьмите проверочное число из каждого интервала и подставьте его в исходное неравенство. Если оно дает истинное утверждение, то интервал, из которого оно пришло, находится в решении. Если оно делает ложное утверждение, то интервал, из которого оно пришло, не входит в решение.
  5. Определите, должны ли конечные точки интервалов в решении включаться в интервалы.

Давайте покончим с ожиданием того, сколько велосипедов вы должны продать, чтобы заработать немного денег, взяв рациональное неравенство, представляющее вашу прибыль, используя эти шаги.

Первое, что мы хотим сделать, это представить его в общем виде.Хорошие новости! В данном случае это было сделано для нас. У нас есть рациональное выражение в левой части неравенства и 0 в правой части.

Далее мы хотим установить числитель и знаменатель равными 0 и решить.

Это дает нам критические значения x = -30, x = 30 и x = 0. Давайте нанесем их на числовую прямую, разбив числовую прямую на интервалы.

Теперь найдем тестовые значения из каждого интервала. Мы можем использовать любое число, попадающее в каждый интервал, в качестве тестового значения. Обычно рекомендуется использовать числа, с которыми легко работать. В этом случае давайте использовать -40 из интервала I, -1 из интервала II, 1 из интервала III и 40 из интервала IV.

Мы приближаемся! Теперь нам просто нужно подставить эти тестовые значения в исходное неравенство, чтобы увидеть, получим ли мы истинное или ложное утверждение для каждого из них.

Мы видим, что интервалы, которые делают наше неравенство верным, составляют от -30 до 0 и от 30 до бесконечности.

Следующее, что нам нужно сделать, это определить, следует ли включать в наше решение конечные точки этих интервалов. Неравенство больше 0. Мы знаем, что если мы подставим -30 или 30, то рациональное выражение будет равно нулю, поэтому их не следует включать в интервалы. Точно так же, если мы подставим 0 вместо x , рациональное выражение не будет определено, поскольку у нас не может быть 0 в знаменателе.Таким образом, 0 не должен быть включен в интервалы.

Мы пришли к решению нашего неравенства: решением являются все действительные числа x такие, что -30 < x < 0 или x > 30. Мы также можем записать решение, используя интервальную запись . Обозначение интервала — это способ записи интервала чисел. В записи интервала мы записываем интервал как ( a , b ), что означает все числа между a и b .Когда мы не хотим включать конечную точку, мы используем круглые скобки, а когда мы хотим включить конечную точку, мы используем скобки.

Теперь, когда дело доходит до нашей актуальной задачи, мы хотим знать, сколько велосипедов нужно продать, чтобы получить прибыль. Поскольку вы не можете продать отрицательное количество велосипедов, мы можем игнорировать интервал (-30, 0). Это говорит нам о том, что для получения прибыли вам нужно продать более 30 велосипедов — лучше начните!

Итоги урока

Давайте повторим. Рациональные неравенства — это неравенства, содержащие рациональное выражение. Для решения рациональных неравенств выполняем следующие шаги:

  1. Приведем неравенство в общем виде.
  2. Установите числитель и знаменатель равными 0 и решите, чтобы получить критических значения .
  3. Нанесите критические значения на числовую прямую, разбив числовую линию на интервалы.
  4. Возьмите проверочное число из каждого интервала и подставьте его в исходное неравенство.Если оно дает истинное утверждение, то интервал, из которого оно пришло, находится в решении. Если оно делает ложное утверждение, то интервал, из которого оно пришло, не входит в решение.
  5. Определите, должны ли конечные точки интервалов в решении включаться в интервалы.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.