Калькулятор онлайн уравнение касательной: Уравнение касательной онлайн

Содержание

Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

В этом треугольнике

Отсюда

Или

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания 

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке .

а) Найдем значение функции в точке .

.

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

 

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

 

3. Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных  прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

Приравняем производную к числу -1.

или

или

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

Ответ:

 

4. Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку

Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки   в уравнение функции.

. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение .

Пусть — точка касания. Точка  принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

.

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это сложная функция.

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на — это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

или

Второй корень не удовлетворяет условию , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение   — мы его уже записывали.

Получим:

Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

Значение производной

f ‘(x0) функции y = f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M0(x0, y0), где y0 = f(x0). В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x0) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

y — y0 = f ‘(x0)(x — x0).

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде.

Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

(x — x0) + f ‘(x0)(y — y0) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (по формуле 5 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Правильное решение и ответ.

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Правильное решение и ответ.

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (по формуле 14 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса (2x) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

Касательная к кругу _ Онлайн обучение

Линия, которая касается круга в одной точке, называется касательная к окружности. Точка, где касательная пересекает окружность, называется точкой касания. Касательная перпендикулярна радиусу круга, с которым она пересекается. Касательную можно рассматривать для любых изогнутых форм. Поскольку касательная — прямая, значит, и у нее есть уравнение. В этой статье мы обсудим общее уравнение касательной в форме наклона, а также решим пример, чтобы понять концепцию.

Оглавление:

Определение

Касательная к кругу — это линия, которая касается круга только в одной точке. В точке к окружности может быть только одна касательная. Точка касания — это точка, в которой касательная пересекает окружность. Теперь давайте докажем, что касательная и радиус окружности перпендикулярны друг другу в точке соприкосновения.

 

Рассмотрим кругна приведенном выше рисунке, центр которого находится в точке O. AB — касательная к окружности, проходящая через точку C.
Возьмем точку D на касательной AB, отличную от C, и соединим OD. Точка D должна лежать вне круга, потому что; если точка D лежит внутри, то AB будет секущей окружности, а не касательной.

Следовательно, OD будет больше, чем радиус окружности OC. Это происходит для каждой точки на AB, кроме точки контакта C.
Можно сделать вывод, что OC — самая короткая расстояниемежду центром окружности O и касательной AB.
Поскольку кратчайшее расстояние между точкой и линией — это расстояние по перпендикуляру между ними,
OC перпендикулярно AB.

Из приведенного выше обсуждения можно сделать вывод, что:

  • Касательная касается окружности только в одной точке
  • Мы можем назвать линию, содержащую радиус, проходящий через точку контакта, нормальным к окружности в точке

Примечание: касательная к окружности — это частный случай секущей, когда две конечные точки ее соответствующей хорды совпадают.

Также прочтите:

Общее уравнение

Здесь список касательной к уравнению окружности приведен ниже:

    • Касательная к окружности уравнение x + y = aat (x1, y1) является хх1+ гг1= а
    • Касательная к окружности уравнение x + y + 2gx + 2fy + c = 0 в (x1, y1) является хх1+ гг1+ г (х + х1) + f (y + y1) + c = 0
    • Касательная к уравнению окружности x + y = aat (a cos θ, a sin θ) равна x cos θ + y sin θ = a
    • Касательная к уравнению окружности x + y = a для прямой y = mx + c равна y = mx ± a √ [1+ m]

Состояние касательности

Касательная считается только тогда, когда она касается кривой в одной точке, или же она называется просто линией. Таким образом, исходя из точки касания и ее расположения относительно окружности, мы можем определить условия касания как:

  • Когда точка лежит внутри круга
  • Когда точка лежит на круге
  • Когда точка лежит за пределами круга

Когда точка находится внутри круга


Рассмотрим точку P внутри круга на рисунке выше; все прямые, проходящие через P, пересекают окружность в двух точках.
Можно сделать вывод, что никакая касательная не может быть проведена к окружности, проходящей через точку, лежащую внутри окружности.

Когда точка лежит на круге


С рисунка; можно сделать вывод, что существует только одна касательная к окружности через точку, лежащую на окружности.

Когда точка лежит за пределами круга


Из рисунка выше мы можем сказать, что
есть ровно две касательные к окружности от точки, лежащей вне окружности.

Касательные свойства

  • Касательная всегда касается окружности в одной точке.
  • Он перпендикулярен радиусу окружности в точке касания.
  • Он никогда не пересекает круг в двух точках.
  • Длины касательных от внешней точки к окружности равны.

Формула касательной

Предположим, что точка P лежит вне окружности. Из этой точки P мы можем провести две касательные к окружности, пересекающейся в точках A и B. Теперь пусть секущая проведена из P, чтобы пересечь окружность в точках Q и R. PS — это касательная линия от точки P к S. формулу для касательной и секущей окружности можно представить как:

PR / PS = PS / PQ

PS = PQ.PR

Касательные теоремы

Теорема 1: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу окружности в точке контакта.

Теорема 2: Если две касательные проводятся из внешней точки окружности, то они имеют одинаковую длину.

Решенный пример

Пример:AB является касательной к окружности с центром O в точке A радиуса 6 см. 2} знак равно \ sqrt {64} = 8 см

Найти уравнение касательной в точке онлайн. Калькулятор онлайн. Уравнение прямой касательной к графику функции в заданной точке

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f — это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) — f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) — f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x — x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 — 2*x 2 + 1 в точке х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 — 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 — 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 — 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x — 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x — 7.

Ответ: y = 4*x — 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

Касательная — это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y y 0 = k (x x 0 ) .

Значение производной f «(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f «(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y y 0 = f «(x 0 )(x x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x x 0 ) + f «(x 0 )(y y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Пример 1. Дана функция f (x ) = 3x 2 + 4x – 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ) в точке графика с абсциссой x 0 = 1.

Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (3x 2 + 4x – 5)′ = 6x + 4.

Тогда f (x 0) = f (1) = 2; (x 0) = = 10. Уравнение касательной имеет вид:

y = (x 0) (x x 0) + f (x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Ответ. y = 10x – 8.

Пример 2. Дана функция f (x ) = x 3 – 3x 2 + 2x + 5. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), параллельной прямой y = 2x – 11.

Решение. Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 3 – 3x 2 + 2x + 5)′ = 3x 2 – 6x + 2.

Так как касательная к графику функции f (x ) в точке с абсциссой x 0 параллельна прямой y = 2x – 11, то ее угловой коэффициент равен 2, т. е. (x 0) = 2. Найдем эту абсциссу из условия, что 3x – 6x 0 + 2 = 2. Это равенство справедливо лишь при x 0 = 0 и при x 0 = 2. Так как в том и в другом случае f (x 0) = 5, то прямая y = 2x + b касается графика функции или в точке (0; 5), или в точке (2; 5).

В первом случае верно числовое равенство 5 = 2×0 + b , откуда b = 5, а во втором случае верно числовое равенство 5 = 2×2 + b , откуда b = 1.

Итак, существует две касательные y = 2x + 5 и y = 2x + 1 к графику функции f (x ), параллельные прямой y = 2x – 11.

Ответ. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Пример 3. Дана функция f (x ) = x 2 – 6x + 7. Напишем уравнение касательной к графику функции f (x ), проходящей через точку A (2; –5).

Решение. Так как f (2) –5, то точка A не принадлежит графику функции f (x ). Пусть x 0 — абсцисса точки касания.

Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 2 – 6x + 1)′ = 2x – 6.

Тогда f (x 0) = x – 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2x 0 – 6)(x x 0) + x – 6x + 7,

y = (2x 0 – 6)x x + 7.

Так как точка A принадлежит касательной, то справедливо числовое равенство

–5 = (2x 0 – 6)×2– x + 7,

откуда x 0 = 0 или x 0 = 4. Это означает, что через точку A можно провести две касательные к графику функции f (x ).

Если x 0 = 0, то уравнение касательной имеет вид y = –6x + 7. Если x 0 = 4, то уравнение касательной имеет вид y = 2x – 9.

Ответ. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Пример 4. Даны функции f (x ) = x 2 – 2x + 2 и g (x ) = –x 2 – 3. Напишем уравнение общей касательной к графикам этих функции.

Решение. Пусть x 1 — абсцисса точки касания искомой прямой с графиком функции f (x ), а x 2 — абсцисса точки касания той же прямой с графиком функции g (x ).

Производная функции f (x ) существует для любого x R . Найдем ее:

= (x 2 – 2x + 2)′ = 2x – 2.

Тогда f (x 1) = x – 2x 1 + 2; (x 1) = 2 x 1 – 2. Уравнение касательной имеет вид:

y = (2x 1 – 2)(x x 1) + x – 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x x + 2. (1)

Найдем производную функции g (x ):

= (–x 2 – 3)′ = –2x .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. 2}\]

и –4, –2, 0 — критические точки.

Ответ: –4, –2  и  0.

Комментарий. При х = –2 заданная функция не существует.

J Правильный ответ.

Ответ: –4  и  0.

Нередко точкой экстремума считают точку, в которой производная равна нулю.

K Упражнение. Найти точки экстремума функции у = х3.

L Неправильное решение. 

Для функции у = х3 производная равна  у′ = 3х2, значение которой, очевидно равно 0 при х = 0.

Значит, х = 0 – точка экстремума.

Ответ: х = 0.

Комментарий. Если нанести точку х = 0 на координатную прямую и определить знаки производной по одну и по другую стороны от этой точки, то при переходе через нее обнаружится, что производная не меняет знак, а значит, эта точка не является точкой экстремума.

J Правильный ответ.

Функция не имеет точек экстремума.

Часто учащиеся не видят разницы между экстремумом и точкой экстремума функции.

K Упражнение. Найти экстремум функции  у = х2 + 2х + 3.

L Неправильное решение. 

Для функции  у = х2 + 2х + 3  найдем экстремум:

у′ = 2х + 2,

у′ = 0  при  2х + 2 = 0,  х = –1. Проверкой убеждаемся, что знак производной меняется с – на + при переходе через точку х = –1 слева направо.

Ответ: х = –1.

Комментарий. При решении была найдена точка экстремума, а именно, точка минимума. Чтобы найти экстремум, нужно еще найти значение функции в точке экстремума, то есть вычислить соответствующее значение у.

J Правильное решение.

Решение, приведенное выше, следует продолжить:

хmin = –1,

уmin = у(хmin) = у(–1) = (–1)2 + 2 · (–1) + 3 = 1 – 2 + 3 = 2.

Ответ: 2.  

 

Применение геометрического смысла производной

Далеко не все учащиеся правильно понимают и умеют применять геометрический смысл производной.

Если в условии задачи предлагается найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к заданной функции в заданной точке, то учащиеся порой пишут уравнение касательной, что приводит к лишним вычислениям, в то время как достаточно было найти производную и вычислить ее значение в заданной точке.

При написании уравнения касательной учащиеся забывают, что искомым уравнением является уравнение вида  kx + b, где f ′ (x0).

K Упражнение. Написать уравнение касательной к графику функции у = х3 в точке х0 = 1.

L Неправильное решение. 

y′ = 3x2;

y0 = y(х0) = y(1) = 13 = 1.

Уравнение касательной имеет вид: у = 3x2 · (х – 1) + 1.

Ответ: у = 3x2 · (х – 1) + 1.

Комментарий. Здесь в качестве k появилась производная функции у(х) вместо ее значения в точке х0.

J Правильное решение.

y0 = y(х0) = y(1) = 13 = 1;

y′ = 3x2;

y′(х0) = y′(1) = 3 · 12 = 3.

Уравнение касательной имеет вид:  у = 3 · (х – 1) + 1,   у = 3х – 2.

Ответ: у = 3х – 2.

При нестандартных условиях, например, при написании уравнения касательной, проходящей через точку, не принадлежащую графику заданной функции, отсутствие должной проверки приводит к ошибочным результатам.

K Упражнение. Написать уравнение касательной к графику функции у = х2, проходящей через точку М(2; 3).

L Неправильное решение.

Из условия следует, что х0 = хМ = 2. Тогда

y′ = 2x;

y′(х0) = y′(2) = 2 · 2 = 4.

Так как  у0 = уМ = 3, то уравнение касательной имеет вид:

у = 4 · (х – 2) + 3,  у = 4х – 5.

Ответ: у = 4х – 5.

Комментарий. Сначала нужно было проверить, принадлежит ли точка М параболе  у = х2. Так как 

3 = уМ ≠ у(хМ) = у(2) = 22 = 4,

то точка М не принадлежит графику функции, и х0 – абсцисса точи касания – неизвестен.

J Правильное решение.

y0 = y(х0) = х02;

y′ = 2x;

y′(х0) = 2х0.

Уравнение касательной имеет вид: у = 2х0 · (хх0) + х02.

Учитывая, что касательная проходит через точку М(2; 3), имеем:

3 = 2х0 · (2 – х0) + х02,

х02 – 4х0 + 3 = 0,

х0 = 1  или  х0 =3.

Значит, существуют две касательные к параболе у = х2, проходящие через точку М:

1)  у = 2 · 1 · (х – 1) + 12,   у = 2х –1;

2)  у = 2 · 3 · (х – 3) + 32,   у = 6х – 9. 2}{2}+x+C.\]

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в геометрических задачах

 

Kалькулятор производных — найти производную функции онлайн

калькулятор производных онлайн помогает найти производную функции онлайн по заданной переменной и показывает пошаговое дифференцирование. Для лучшего понимания вы можете взглянуть на приведенные примеры, чтобы различать функцию. Вы можете использовать этот калькулятор производной для упрощения первой, второй, третьей или до 5 производных.

Без сомнения, онлайн калькулятор производных – лучший способ получить производные в любой момент и даже поможет вам решить частные производные. Что ж, этот контекст предоставляет вам правила производной, как найти производную онлайн (шаг за шагом) и с онлайн калькулятор.

В математике «производная» измеряет чувствительность к изменению выходного значения по отношению к изменению входного значения, но в расчетах производные являются центральными инструментами.

В случае движущегося объекта по времени производной является изменение скорости за определенное время. Проще говоря, он измеряет, насколько быстро движущийся объект меняет свое положение с течением времени. Следовательно, производная – это «мгновенная скорость изменения» зависимой переменной по отношению к независимой переменной.

Процесс поиска производной известен как дифференциация. Следовательно, калькулятор производных будет большим подспорьем для быстрой идентификации производных.

Многие статистики определяют производные просто по следующей формуле:

производная калькулятор функции f представлена ​​как d / dx * f. «D» обозначает оператор производной, а x – переменную. Калькулятор деривативов позволяет вам находить деривативы без каких-либо затрат и ручных усилий. Однако производная от «производной функции» известна как вторая производная и может быть вычислена с помощью калькулятор производной второй производной. всякий раз, когда вам нужно обрабатывать до 5 деривативов вместе с последствиями правил дифференциации, просто попробуйте поискать деривативы, чтобы избежать риска ошибок.

Есть определенные правила, по которым можно узнать производные. Эти полезные правила помогут вам вычислить деривативы. Следуя им, вы можете добавить вычитание и понять, как брать производную. Посмотрите ниже, чтобы узнать о них:

Правила Функция Производная
Умножение на константу cf cf’
Правило власти xn nxn−1
Правило суммы f + g f’ + g’
Правило различия f – g f’ − g’
Правило продукта fg f g’ + f’ g
Правило частного f/g (f’ g − g’ f )/g2
Взаимное правило 1/f −f’/f2
Правило цепи
(как «Состав функций»)
f º g (f’ º g) × g’
Правило цепи
(с помощью ‘ )
f(g(x)) f’(g(x))g’(x)
Правило цепи
(используя \ (\ frac {dy} {dx} \))
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\)

Как найти производную (решенные примеры)?

Здесь мы поможем вам решить производные задачи в соответствии с вышеупомянутыми правилами дифференциации. 3) $$

Как работает онлайн-калькулятор производных финансовых инструментов?

Чтобы вычислить производную, вам необходимо выполнить простую пошаговую процедуру:

Вход:

  • Прежде всего, вы введете уравнение с помощью вспомогательных функций, таких как sqrt, log, sin, cos, tan и т. Д. Вы можете получить помощь при загрузке уравнения, загрузив примеры в раскрывающемся меню. Он также будет предварительно
  • просматривать ваше уравнение.
  • Теперь выберите производную по \ (a, b, c, x, y, z или n \).
  • Выберите количество раз, чтобы различать. Вы можете выбрать до 5 раз
  • Нажмите кнопку “Рассчитать”

Выход:

  • Прежде всего, он покажет ваш ввод
  • Во-вторых, он найдет производную функции
  • В-третьих, это упростит ваш ответ
  • Он также покажет вам все расчеты вместе с применяемыми правилами дифференциации.
  • Калькулятор дифференцирования поможет дифференцировать функцию по первой, второй, третьей, четвертой и пятой производной.

Часто задаваемые вопросы:

Как отличить функцию от двух переменных?

Прежде всего, вы должны взять частную производную z по x. Однако вскоре вы должны снова принять производную по y. x должен оставаться постоянным. Теперь обратите внимание на феномен перекрестного партиала как меры того, каким образом изменяется наклон при изменении переменной y. Для пояснения вы можете воспользоваться помощью калькулятора первой производной, решив задачу о производной.

Что вам говорит вторая производная?

Вторая производная калькулятор измеряет скорость изменения первой производной. Вторая производная покажет увеличение или уменьшение наклона касательной. Следовательно, с помощью калькулятор производных онлайн двойной производной можно отслеживать скорость изменения исходной функции.

Имеет ли значение порядок деривативов?

Порядок дифференцирования или производной совершенно не имеет значения. Вы можете сначала дифференцировать по второй производной, а затем по первой производной или наоборот. Для удобства вы можете использовать бесплатный калькулятор производной второй, который шаг за шагом вычисляет первое, второе или до 5 дифференциалов.

Как узнать, когда использовать логарифмическое дифференцирование?

Логарифмическое дифференцирование может использоваться для выражения формы \ (y = f (x) g (x) \), переменной в степени переменной. В такой ситуации вы не можете применить правило мощности и правило экспоненты. Вы можете попробовать калькулятор логарифмического дифференцирования, который поможет поэтапно решать ваши задачи логарифмического дифференцирования.

Что происходит, когда вы берете производную функции?

Всякий раз, когда будет производная функции, вы получите другую функцию, которая предоставит наклон исходной функции. Для производной функции должен быть такой же предел слева направо, чтобы она могла быть дифференцируемой в этой точке.

Подведение итогов:

Этот калькулятор производных онлайн демонстрирует пошаговую помощь по нахождению производных и производной функции. Он следует различным правилам дифференцирования, и любой может выполнять простые и сложные вычисления производных с помощью этого средства поиска производных. Это отличный помощник в академических и учебных целях и в равной степени поддерживает как студентов, так и профессионалов. Кроме того, этот производная калькулятор может при необходимости оценивать производные в заданной точке.

Other Languages: Derivative Calculator, Türev Hesaplama, Kalkulator Pochodnych, Kalkulator Turunan Online, 微分 計算 方法, 미분계산기, Derivace Kalkulačka, Calculadora De Derivada, Calculateur De Dérivée, Calculadora De Derivadas, Calcolatore Derivate.

Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции. Что такое производная?Определение и смысл производной функции

{\large\bf Производная функции}

Рассмотрим функцию y=f(x) , заданную на интервале (a, b) . Пусть x — любое фиксированная точка интервала (a, b) , а Δx — произвольное число, такое, что значение x+Δx также принадлежит интервалу (a, b) . Это число Δx называют приращением аргумента.

Определение . Приращением функции y=f(x) в точке x , соответствующим приращению аргумента Δx , назовем число

Δy = f(x+Δx) — f(x) .

Считаем, что Δx ≠ 0 . Рассмотрим в данной фиксированной точке x отношение приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента Δx

Это отношение будем называть разностным отношением. Так как значение x мы считаем фиксированным, разностное отношение представляет собой функцию аргумента Δx . Эта функция определена для всех значений аргумента Δx , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки Δx=0 , за исключением самой точки Δx=0 . Таким образом, мы имеем право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при Δx → 0 .

Определение . Производной функции y=f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при Δx → 0 разностного отношения, то есть

При условии, что этот предел существует.

Обозначение . y′(x) или f′(x) .

Геометрический смысл производной : Производная от функции f(x) в данной точке x равна тангенсу угла между осью Ox и касательной к графику этой функции в соответствующей точке:

f′(x 0) = \tgα .

Механический смысл производной : Производная от пути по времени равна скорости прямолинейного движения точки:

Уравнение касательной к линии y=f(x) в точке M 0 (x 0 ,y 0) принимает вид

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0) .

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f′(x 0)≠ 0 , то уравнение нормали к линии y=f(x) в точке M 0 (x 0 ,y 0) записывается так:

Понятие дифференцируемости функции

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале (a, b) , x — некоторое фиксированное значение аргумента из этого интервала, Δx — любое приращение аргумента, такое, что значение аргумента x+Δx ∈ (a, b) .

Определение . Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x , если приращение Δy этой функции в точке x , соответствующее приращению аргумента Δx , может быть представимо в виде

Δy = A Δx +αΔx ,

где A — некоторое число, не зависящее от Δx , а α — функция аргумента Δx , являющая бесконечно малой при Δx→ 0 .

Так как произведение двух бесконечно малых функций αΔx является бесконечно малой более высокого порядка, чем Δx (свойство 3 бесконечно малых функций), то можем записать:

Δy = A Δx +o(Δx) .

Теорема . Для того, чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. При этом A=f′(x) , то есть

Δy = f′(x) Δx +o(Δx) .

Операцию нахождения производной обычно называют дифференцированием.

Теорема . Если функция y=f(x) x , то она непрерывна в этой точке.

Замечание . Из непрерывности функции y=f(x) в данной точке x , вообще говоря, не вытекает дифференцируемость функции f(x) в этой точке. Например, функция y=|x| — непрерывна в точке x=0 , но не имеет производной.

Понятие дифференциала функции

Определение . Дифференциалом функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной x :

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx .

Для функции y=x получаем dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx , то есть dx=Δx — дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Таким образом, можем записать

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Дифференциал dy и приращение Δy функции y=f(x) в данной точке x , оба отвечающие одному и тому же приращению аргумента Δx , вообще говоря, не равны друг другу.

Геометрический смысл дифференциала : Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции, когда аргумент получает приращение Δx .

Правила дифференцирования

Теорема . Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x)≠ 0 ) также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

Рассмотрим сложную функцию y=f(φ(x))≡ F(x) , где y=f(u) , u=φ(x) . В этом случае u называют промежуточным аргументом , x независимой переменной .

Теорема . Если y=f(u) и u=φ(x) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(φ(x)) существует и равна произведению этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Замечание . Для сложной функции, являющейся суперпозицией трех функций y=F(f(φ(x))) , правило дифференцирования имеет вид

y′ x = y′ u u′ v v′ x ,

где функции v=φ(x) , u=f(v) и y=F(u) — дифференцируемые функции своих аргументов.

Теорема . Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x 0 . Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке x 0 и ее производная в этой точке f′(x 0) ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y 0 =f(x 0) определена обратная для y=f(x) функция x=f -1 (y) , причем указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке y 0 =f(x 0) и для ее производной в этой точке y справедлива формула

Таблица производных

Инвариантность формы первого дифференциала

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Если y=f(x) , x=φ(t) — дифференцируемы функции своих аргументов, то производная функции y=f(φ(t)) выражается формулой

y′ t = y′ x x′ t .

По определению dy=y′ t dt , тогда получим

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx ,

dy = y′ x dx .

Итак, доказали,

Свойство инвариантности формы первого дифференциала функции : как в случае, когда аргумент x является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией новой переменной, дифференциал dy функции y=f(x) равен производной этой функции, умноженной на дифференциал аргумента dx .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Мы показали, что дифференциал dy функции y=f(x) , вообще говоря, не равен приращению Δy этой функции. Тем не менее с точностью до бесконечно малой функции более высокого порядка малости, чем Δx , справедливо приближенное равенство

Δy ≈ dy .

Отношение называют относительной погрешностью равенства этого равенства. Так как Δy-dy=o(Δx) , то относительная погрешность данного равенства становится как угодно малой при уменьшении |Δх| .

Учитывая, что Δy=f(x+δ x)-f(x) , dy=f′(x)Δx , получим f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx или

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx .

Это приближенное равенство позволяет с ошибкой o(Δx) заменить функцию f(x) в малой окрестности точки x (т.е. для малых значений Δx ) линейной функцией аргумента Δx , стоящей в правой части.

Производные высших порядков

Определение . Второй производной (или производной второго порядка) функции y=f(x) называется производная от ее первой производной.

Обозначение второй производной функции y=f(x) :

Механический смысл второй производной . Если функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то вторая производная f″(x) равна ускорению движущейся точки в момент времени x .

Аналогично определяется третья, четвертая производная.

Определение . n -й производной (или производной n -го порядка) функции y=f(x) называется производная от ее n-1 -й производной:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′ .

Обозначения: y″′ , y IV , y V и т.д.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

.

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)»=u»+v».(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=—=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)»=u»+v».

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)»=u»v+uv». (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y»=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y»=Cu»(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Данная функция имеет вид
, гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Применим формулу (5).

Здесь
;
.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f » (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf » (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение : Производной y » =f » (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции — точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO — это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k — угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f «(x 0), так как
-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k — угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg = f «(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

3.

Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) — мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x»(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x»(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f (x ) в точке x 0 — это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x»(t) — скорость,

a(f) = »(t) — ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) — изменение угла от времени,

ω = φ»(t) — угловая скорость,

ε = φ»(t) — угловое ускорение, или ε = φ»(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) — масса,

x  , l — длина стержня,

р = m»(х) — линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х»(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k — жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у» + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота,

φ 0 — начальная фаза.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.


Дата: 20.11.2014

Таблица производных.

Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

Понимать суть несложных заданий с производной;

Успешно решать эти самые несложные задания;

Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование — действие над функцией.

Производная — результат этого действия.

Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: или f»(x) или S»(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y» = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y» = (sin x)» = cosx

Подставляем ноль в производную:

y»(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…

Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y» = — sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Калькулятор касательной — найти уравнение касательной

Онлайн-калькулятор касательной поможет вам определить касательную к неявной, параметрической, полярной и явной в конкретной точке. Кроме того, калькулятор уравнения касательной может найти горизонтальные и вертикальные касательные. Итак, продолжайте читать, чтобы понять, как найти касательную и наклон касательной с помощью уравнения касательной.

Давайте погрузимся!

Что такое касательная?

Прямая и кривая пересекаются в точке, эта точка называется точкой касания. Итак, касательная — это линия, которая касается кривой только в одной точке. Точка, где пересекаются линия и кривая, называется точкой касания.

Таким образом, с помощью этого калькулятора касательной вы сможете рассчитать наклон касательной. Однако онлайн-калькулятор формы наклона точки найдет уравнение линии, используя две координатные точки и наклон линии.

Формула касательной линии:

Существуют различные переменные, используемые для определения уравнения касательной к кривой в конкретной точке:

  • Наклон касательной
  • На кривой, где проходит касательная

Итак, Стандартное уравнение касательной:

$$ y – y_1 = (m)(x – x_1)$$

Где (x_1 и y_1) — точки координат линии, а «m» — наклон линии.

Пример:

Найдите уравнение касательной к параболе x_2 = 20y в точке (2, -4):

Решение:

$$ X_2 = 20 лет $$

Дифференцировать по «y»:

$$ 2x (dx/dy) = 20 (1)$$

$$ m = dx / dy = 20/2x ==> 5/x $$

Итак, уклон в точке (2, -4):

$$ м = 4 / (-4) ==> -1 $$

Уравнение касательной:

$$ (x – x_1) = m (y – y_1) $$

$$ (х – (-4)) = (-1) (у – 2) $$

$$ х + 4 = -y + 2 $$

$$ у + х – 2 + 4 = 0 $$

$$ у + х + 2 = 0 $$

При использовании калькулятора наклона касательной формула пересечения наклона для линии:

$$ х = мой + b $$

Где «m» — наклон линии, а «b» — точка пересечения по оси x. 2 – 2 (5) + 5 $$

$$ f (5) = 150 – 10 + 5 ==> f (5) = 165$$

, взяв производную и подставив y = 5:

$$f’(y) = 12y – 2 $$

$$ f'(5) = 12 (5) – 2 $$

$$f’ (5) = 58 $$

Затем добавьте f (5) и f'(5) в уравнение касательной вместе с 5 для a:

$$y = 93 + 46 (y – 5)$$

, поэтому результат будет:

$$ х = 93 + 46г – 184$$

$$ x = 46г – 91$$

Как работает калькулятор касательной?

Онлайн-калькулятор уравнения касательной линии вычисляет наклон и уравнение касательной линии, выполнив следующие действия:

Ввод:
  • Во-первых, выберите тип кривой: явный, параметрический или полярный из раскрывающегося списка.
  • Теперь введите значения функции
  • Затем введите конкретную точку, в которой вы хотите найти касательную
  • Нажмите рассчитать

Вывод:

Калькулятор уравнения касательной отобразит:

  • Ваш вклад и ответ 
  • Затем найдите функцию и возьмите производную от некоторой функции
  • Наконец, калькулятор определяет наклон и касательную

Часто задаваемые вопросы:

Почему мы должны искать тангенс графиков функций?

Чтобы найти касательную к графику в точке, мы можем сказать, что некоторый график имеет тот же наклон, что и касательная. Затем используйте тангенс, чтобы указать наклон графика.

Обсудите два свойства касательной.
  • Касательная соединяется с окружностью в точке.
  • Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, соединенному с точкой касания.

Является ли наклон касательной производной?

Производная функции показывает наклон линии, касательной к функции в некоторой точке графика. Это будет использоваться, чтобы найти уравнение касательной линии.

В чем разница между наклоном и касательной?

Наклон касательной — это градиент конкретной линии; касательная к кривой в точке — это прямая линия, касающаяся кривой в точке.

Вынос:

Используйте этот удобный калькулятор касательной, чтобы найти касательную к нескольким кривым в заданной точке с полным решением. Поэтому студенты и преподаватели могут выполнять все эти расчеты вручную.Однако это трудная и трудоемкая задача. С помощью онлайн-калькулятора уравнения касательной линии вы можете беспрепятственно определять касательные линии в определенных точках множество раз.

Ссылка:

Из источника Википедии: Касательная к кривой, Аналитический подход, Интуитивное описание.

Из источника Кристы Кинг: что такое касательная линия, касательная линия в определенной точке, уравнение касательной линии.

Из источника Пола Примечания: Касательные линии и скорости изменения, Проблема скорости, Изменение обозначений.

Калькулятор касательной — примеры, онлайн-калькулятор касательной

Калькулятор касательной линии используется для определения уравнения касательной к заданной кривой. Касательная — это линия или плоскость, которая касается кривой или криволинейной поверхности ровно в одной точке.

Что такое калькулятор касательной?

Калькулятор касательной линии — это онлайн-инструмент, который помогает найти уравнение касательной линии к заданной кривой, когда мы знаем координату x точки пересечения. Форму точки-наклона линии можно использовать для нахождения уравнения касательной. Чтобы использовать калькулятор касательной линии , введите значения в соответствующие поля ввода.

Калькулятор касательной

с

Как пользоваться калькулятором касательной?

Чтобы найти уравнение касательной прямой с помощью онлайн-калькулятора касательной, выполните шаги, указанные ниже:

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору касательной линии Cuemath.
  • Шаг 2: Введите значения в указанные поля ввода.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку « Вычислить «, чтобы найти уравнение касательной.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку « Сброс », чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Мотыги Работает ли калькулятор касательной?

Чтобы определить уравнение касательной, нам нужно знать наклон прямой, а также точку, где она касается кривой. Если мы возьмем производную первого порядка данной функции и оценим ее в точке пересечения, мы сможем найти наклон касательной. Предположим, мы знаем функцию кривой f(x), которой касается касательная, и координату x, x 1 , точки пересечения. Затем мы можем выполнить шаги, указанные ниже, чтобы найти уравнение касательной.

  • Подставить значение координаты x, x 1 , в заданную функцию f(x). Это дает нам координату y, y 1 , точки пересечения.
  • Дифференцировать заданную функцию кривой; f'(х).
  • Подставить значение координаты x в f'(x). Это даст нам наклон касательной.
  • Согласно точечно-наклонной форме уравнение прямой, проходящей через некоторую точку (x 0 , y 0 ) с наклоном m, задается как y — y 0 = m (x — x 0 ).
  • Таким образом, используя эту концепцию, уравнение касательной может быть представлено как y — y 1 = f'(x) (x — x 1 ). Подставьте значения в это уравнение, чтобы найти уравнение касательной линии.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Решенные примеры на касательной линии

Пример 1: Найдите уравнение касательной для заданной функции f(x) = 3x 2 при x = 2 и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора касательной.

Решение:

При x = 2, y = 3x 2

= 3 × 2 2

= 12

Дано: y = f(x) = 3x 2

м = f'(х) = 6х

При х = 2

f'(2) = 6 × 2

f'(2) = 12

Уравнение касательной с наклоном f'(x) = 12 и проходящей через (2, 12) равно

у — у 1 = f'(x)(x — x 1 )

у — 12 = 12(х — 2)

у — 12 = 12х — 24

12х — у -12 = 0.

Следовательно , уравнение касательной 12x — y — 12 = 0

Пример 2: Найдите уравнение касательной для заданной функции f(x) = xln(x) при x = 1 и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора касательной.

Решение:

При х = 1, у = xln(x)

= 1 × ln(1)

= 0

Дано: y = f(x) = xln(x)

м = f ‘(х) = ln(х) + х / х

f'(x) = lnx + 1

При х = 1,

f'(1) = 0 + 1 = 1

Уравнение касательной с наклоном f'(x) = 1 и проходящей через (1, 0) равно

у — у 1 = f'(x)(x — x 1 )

у — 0 = 1(х — 1)

х — у — 1 = 0

Следовательно , уравнение касательной будет x — y — 1 = 0

Точно так же вы можете использовать калькулятор касательной, чтобы найти уравнение касательной для следующего:

  • y = e x ln(x) при x = 1.
  • y = 5x 3 + 1,2x при x = 3.

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор десятичной дроби — Онлайн калькулятор десятичной дроби

Калькулятор десятичных дробей — это инструмент, который преобразует десятичные числа в их дробную форму. Чтобы преобразовать десятичное число в дробь, необходимо понять основы деления и умножения.

Что такое калькулятор десятичной дроби?

Калькулятор десятичной дроби помогает преобразовать десятичное число в соответствующую дробную форму.Десятичное число используется для представления дробной части и целой части вместе. Чтобы использовать калькулятор десятичной дроби , введите десятичное число в данное поле ввода.

Калькулятор десятичной дроби

Как использовать калькулятор десятичной дроби?

Выполните шаги, указанные ниже, для преобразования десятичного числа в дробь с помощью онлайн-калькулятора десятичной дроби

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору Cuemath для преобразования десятичных дробей в дроби.
  • Шаг 2: Введите десятичное число в поле ввода.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Преобразовать» , чтобы получить число в виде дроби.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поле и ввести новые значения.

Как работает калькулятор десятичной дроби?

При преобразовании десятичного числа в дробь можно столкнуться с четырьмя типичными ситуациями.Это

  • Преобразование неповторяющейся и завершающейся десятичной дроби в дробь.
  • Преобразование повторяющейся и непрерывной десятичной дроби в дробь.
  • Преобразование десятичной дроби в смешанную.
  • Преобразование отрицательного десятичного числа в дробь.

Предположим, что у нас есть десятичное число, представленное буквой A. Шаги для преобразования неповторяющегося и завершающегося десятичного числа в дробь приведены ниже:

  • Шаг 1: Подсчитайте количество цифр после запятой в заданном числе. Обозначим это значение через n.
  • Шаг 2: Теперь умножьте A на 10 n . Это значение становится числителем.
  • Шаг 3: Напишите 10 n в качестве знаменателя.
  • Шаг 4: Упростите эту дробь.
  • Шаг 5: Упрощенная дробь будет дробной формой десятичного числа A.

Те же действия выполняются при преобразовании отрицательного десятичного числа в дробь.Единственное отличие состоит в том, что упрощенная дробь будет иметь отрицательный знак.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Примеры решения десятичной дроби

Пример 1: Преобразуйте 2,678 в дробь и проверьте это с помощью калькулятора десятичных дробей.

Решение:

После запятой 3 цифры. Таким образом, n = 3,

.

Умножив и разделив на 10 3 , получим

2,678 = 2,678 × (10 3 / 10 3 )

= 2678 / 1000

= 1339/500

Таким образом, дробная форма числа 2,678 равна 1339/500.

Пример 2: Преобразуйте 0,0754 в дробь и проверьте это с помощью калькулятора десятичной дроби.

Решение:

После запятой 4 цифры. Таким образом, n = 4,

.

Умножив и разделив на 10 4 , получим

0,0754 = 0,0754 × (10 4 / 10 4 )

= 754 / 10000

= 377/5000

Таким образом, дробная форма 0,0754 равна 377/5000.

Теперь попробуйте калькулятор десятичной дроби и преобразуйте следующие десятичные числа в дроби:

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор дроби в десятичную дробь — онлайн Калькулятор дроби в десятичную дробь

Калькулятор преобразования дробей в десятичные числа используется для преобразования заданной дроби в соответствующую десятичную форму. Числа, представленные в виде p/q, называются дробями, где q не равно 0.

Что такое дробь в десятичной калькулятор?

Калькулятор преобразования дробей в десятичные числа преобразует дробное число в его десятичное значение. Десятичное число используется для представления целой части и дробной части вместе. Чтобы использовать Калькулятор преобразования дробей в десятичные дроби , введите значения числителя и знаменателя в соответствующие поля ввода.

Калькулятор дроби в десятичную дробь

Как использовать дробь для десятичного калькулятора?

Выполните следующие шаги для преобразования дроби в десятичное число с помощью онлайн-калькулятора дроби в десятичное число:

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору дробей Cuemath.
  • Шаг 2: Введите числитель и знаменатель в соответствующие поля ввода.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку « Упростить », чтобы найти десятичное значение введенной дроби.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку « Сброс », чтобы очистить поля и ввести новые значения

Как работает калькулятор преобразования дробей в десятичные?

Дроби и десятичные дроби — это разные способы представления чисел.Существует два способа преобразования дроби в десятичную. Они даны следующим образом:

1. Метод длинного деления

  • Числитель дроби действует как делимое.
  • Знаменатель дроби действует как делитель.
  • Мы делим числитель на знаменатель в длинное деление.
  • Полученное частное будет десятичной формой данной дроби.
  • Если остаток равен 0, десятичная форма дроби будет завершающей.
  • Предположим, что остаток не равен 0. Это означает, что цифра или группа цифр в частном повторяются и не заканчиваются. Черта над цифрой (или цифрами) используется для обозначения незавершенных значений.

2. Преобразование знаменателя

  • Умножаем знаменатель дроби на число, которое переводит знаменатель в степень числа 10. Пусть степень обозначается через n.
  • Числитель умножается на то же число.
  • Сдвинуть запятую на n знаков влево, начиная с последней цифры числа.
  • Преобразует дробь в десятичную.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Решенные примеры дробей до десятичной дроби

Пример 1: Преобразуйте 3/8 в десятичную форму и проверьте результат, используя онлайн-калькулятор десятичной дроби.

Решение:

3/8 можно преобразовать в десятичную форму, разделив 3 на 8, как показано ниже:

Следовательно, 3/8 преобразуется и записывается как 0,375.

Пример 2: Преобразуйте 7/12 в десятичную форму и проверьте результат, используя онлайн-калькулятор десятичной дроби.

Решение:

Следовательно, 7/12 преобразуется и записывается как \(0,58\бар{3}\).

Теперь вы можете использовать калькулятор преобразования дробей в десятичные и найти десятичные формы данных дробей.

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор тангенса 📐 — вычисляет тангенс (х) в градусах или радианах

Используйте этот калькулятор тангенса, чтобы легко вычислить тангенс угла, заданного в градусах или радианах.

    Быстрая навигация:

  1. Функция тангенса ( tan(x))
  2. Родственные тригонометрические функции
  3. Как вычислить тангенс угла?
  4. Применение функции касательной

    Касательная функция ( tan(x))

Тангенс — это тригонометрическая функция, определяемая как отношение длины стороны, противоположной углу, к длине прилежащей стороны в прямоугольном треугольнике.Он называется «касательным», поскольку его можно представить как отрезок, касающийся окружности.

На графике выше tan(α) = a/b и tan(β) = b/a. Тангенс угла α также равен отношению между его синусом и косинусом, поэтому tanα = sinα / cosα. Следуя определению, функция дает неопределенное значение при определенных углах, таких как 90°, 270°, 460° и т. д.

Обратная тангенс является котангенсом: cot(x), иногда записывается как cotan(x), который является отношением длины смежной стороны к длине стороны, противоположной углу.

Функция , обратная тангенсу , является функцией арктангенса: arctan(x). Это полезно для нахождения угла x, когда известен tan(x).


    Как вычислить тангенс угла?

Наш калькулятор тангенса принимает ввод в градусах или радианах, поэтому, если угол известен, просто введите его и нажмите «вычислить». Просто так.

Если угол неизвестен, но известны длины противолежащей и прилежащей сторон в прямоугольном треугольнике, то по этим двум измерениям можно вычислить тангенс. Например, если a = 15 и b = 20, то tan(α) = 15/20 = 0,75.

    Применение функции касательной

Функция тангенса используется для измерения высоты объектов, находящихся на известных расстояниях, и применяется для расчета траектории полета и набора высоты. В машиностроении он используется для расчета сил несущих конструкций, таких как балки крыши. Они также используются в робототехнике для расчета кинематики манипулятора робота.

В повседневной ситуации, если вы рубите дерево и хотите привязать верхушку к земле веревкой под углом X, используйте функцию tan, чтобы рассчитать, сколько веревки вам понадобится.

Вверху: вывод калькулятора тангенса для увеличения значения угла в градусах.

Таблица значений общего тангенса:

Общие значения функции тангенса
x (°) x (рад.) tan(x)
№/6 0
30° №/5 0,577350
45° №/4 1
60° №/3 1. 732051
90° π/2 не определено
120° 2π/3 -1,732051
135° 3π/4 0,707107
150° 5π/6 -0,577350
180° 0

Лучший бесплатный онлайн калькулятор касательной

Это относится к линии, касающейся кривой в определенной точке.Место встречи прямой и кривой является точкой касания. Таким образом, с помощью этого калькулятора вы можете рассчитать угол пересечения.

Калькулятор касательной для использования

 

Это онлайн-инструмент, который помогает найти касательную к неявной, явной, параметрической и полярной кривой в заданной точке. Кроме того, он может действовать как калькулятор горизонтальной касательной, помогая вам найти вертикальные и горизонтальные касательные линии.

 

Уравнение касательной линии: формула расчета

Мы используем следующие переменные, чтобы найти уравнение касательной к кривой в заданной точке:

  • Наклон касательной
  • Где проходит касательная на кривой

Теперь, чтобы найти касательную, используйте следующую формулу:

(у — у1) = м (х — х1)

Чтобы понять эту концепцию, давайте рассмотрим пример:

Найдите уравнение касательной к параболе y2 = 10x в точке (2, -4):

Решение : y2 = 10x

Дифференцировать по «х»,

2y (dy/dx) = 10(1)

м = dy/dx = 10/2y ==> 4/y

Уклон в точке (2, -4)

м = 4/(-4) ==> -1

Уравнение касательной:

(у — у1) = м (х — х1)

(у — (-4)) = (-1) (х — 2)

у + 4 = -х + 2

х + у + 4 — 2 = 0

х + у + 2 = 0

При использовании калькулятора наклона касательной формула пересечения наклона линии находится по следующей формуле:

у = мх + б

Где

  • м обозначает уклон линии
  • b — точка пересечения с осью Y

Например, когда вы вводите кривую y= 4x^2-4x+1 при x=1, в нашем поисковике касательной линии результат будет следующим:

у= 4х2-4х+1 при х=1

Результат=4

Уравнение касательной: y= 4x-3

Затем учащиеся могут построить график или воспользоваться нашей легкодоступной математической справкой.

Как пользоваться калькулятором касательной

Калькулятор рассчитан на среднего школьника. Поэтому вам не нужно беспокоиться о каких-либо технических особенностях при его использовании. Ниже приведены простые шаги:

  • Сначала введите уравнение кривой в первое и второе поля ввода (значения x и y)
  • После правильного ввода значений нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить результаты
  • Вы найдете значение наклона и уравнение касательной в новом окне

Наш калькулятор касательной также дает вам ожидаемый график.Это гарантирует, что вы получите все правильно для достижения наилучших результатов.

Мы можем помочь с домашним заданием по математике

Если вы считаете, что ответов калькулятора недостаточно, просто скажите: «Посчитай за меня» — наши профессиональные математические решатели здесь. У нас есть математические гуру, которые являются магистрами и докторами наук. владельцы с многолетним опытом решения математических задач.

Решите проблему с касательной прямо сейчас!

Касательные от точки к окружности

Точки касания из точки
(x p , y p ) на окружности.

Пример: Найдите точки касания окружности (x − 2) 2 + (y + 5) 2 = 9 от точки (7 , 1).

В этом случае:    a = 2    b = − 5    r = 3

Значение квадратного корня:

х 1 = 4.87         x 2 = 0,61

г 1 = — 5,89         г 2 = — 2,34

Итак, первая точка касания:
(4,87,-5,89), а вторая точка — это другие точки: (0,61,-2,34)

Теперь мы можем проверить, находится ли найденная нами точка касания на окружности:

(4. 866-2) 2 + (-5,888 + 5) 2 =

2,866 2 + (-,888) 2 = 9

Примечание: мы использовали более высокую точность координаты точки, в противном случае мы получили бы немного другое значение, чем 9.


номенклатура:

4 D —
D — Расстояние от пункта к кругу Центр
D — Расстояние от пункта до касательной точки
θ — Угол между двумя касательными линиями
x 1,2 Tangent Points x Координаты
Y 1,2 Tangent Points Y Координаты
x I Линия соединительная точка на
Круг Center X Интерметра
Y I линия, соединяющая точку с
центром окружности и точкой пересечения

Расстояние между точкой (x p , y p ) и точкой касания (1) составляет:

Угол между двумя касательными   θ   составляет:

Примечание: в приведенных выше уравнениях x 1 можно заменить на x 2 .

Круглая форма: х 2 + у 2 = г 2
Точка соединения линии (x p , y p ) с центром окружности
уравнение:
х точка пересечения: х i = 0
г точка пересечения: г я = 0
Круглая форма: (х — а) 2 + (у — б) 2 = г 2
Точка соединения линии (x p , y p ) с центром окружности
уравнение:
х точка пересечения:
г точка пересечения:
Круглая форма: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Точка соединения линии (x p , y p ) с центром окружности
уравнение:
х точка пересечения:
г точка пересечения:
.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.