Гвэ по математике: 6.2. Общие требования к ГВЭ по математике / КонсультантПлюс

Содержание

ФИПИ опубликовал проекты контрольных измерительных материалов ГВЭ-11 для выпускников, не планирующих поступление в вуз :: НИМРО

Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) опубликовал на своем сайте проекты контрольных измерительных материалов (КИМ) государственного выпускного экзамена (ГВЭ), который будут сдавать для получения аттестата выпускники 11 классов, не планирующие поступление в вузы

С ними можно ознакомиться в разделе «ГВЭ»

В 2020-21 учебном году, с учетом сложившейся эпидемической ситуации, было принято решение об изменениях в проведении государственной итоговой аттестации выпускников 11 классов. Одиннадцатиклассникам предоставлена возможность выбора формы итоговой аттестации – ЕГЭ или ГВЭ. Для получения аттестата выпускникам, поступающим в вузы в этом году, достаточно будет получить положительный результат ЕГЭ по русскому языку. Тем выпускникам, которые не планируют поступление в вузы, для получения аттестата нужно будет сдать ГВЭ по двум предметам: русскому языку и математике.

«В практике Рособрнадзора принято объявлять структуру и содержание экзаменационных моделей для государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего и среднего общего образования до начала учебного года, в августе. Но поскольку решение о проведении ГВЭ для выпускников, не планирующих поступление в вуз, было принято позже, экзаменационные модели ГВЭ для них сформированы на основе уже хорошо известных обучающимся и учителям контрольных измерительных материалов ЕГЭ по русскому языку и базовой математике», — пояснила заместитель директора ФИПИ Ольга Котова.

КИМ ГВЭ-аттестат по русскому языку будут содержать 24 задания с кратким ответом базового уровня из КИМ ЕГЭ по русскому языку. В совокупности с традиционной формой итогового сочинения эта модель ГВЭ по русскому языку обеспечит контроль освоения системы русского языка и практической грамотности выпускников средней школы.

КИМ ГВЭ-аттестат по математике будут содержать 14 заданий с кратким ответом из КИМ ЕГЭ по математике базового уровня. Задания будут представлять различные разделы курса математики и позволят оценить освоение необходимых требований к базовому уровню среднего общего образования по математике.

Опубликованные документы будут определять содержание КИМ только для выпускников, выбравших форму ГВЭ, так как они не планируют поступление в вузы. Экзамены по русскому языку и математике для категорий участников, которые традиционно имеют право сдавать ГИА-11 в форме ГВЭ, например, участников с ограниченными возможностями здоровья, будут проводиться по соответствующим демонстрационным материалам для указанной категории участников экзамена, размещенным на сайте ФИПИ осенью 2020 года.

Проведение основного периода ГВЭ-11 в 2021 году запланировано с 25 мая по 10 июня. Проектом расписания предусмотрены также два дополнительных периода проведения ГВЭ-11. 13 июля и 17 июля ГВЭ по русскому языку и математике смогут сдать участники, пропустившие экзамены в основной период по болезни или иной уважительной причине.

3-17 сентября в проекте расписания предусмотрен еще один дополнительный период, когда ГВЭ также смогут сдать участники, пропустившие экзамены по уважительной причине ранее, и участники, не преодолевшие минимальный порог на ЕГЭ по русскому языку.

Мирнинская школа — ЕГЭ 11 класс

Основное меню

Категории раздела

Утверждено расписание ЕГЭ, ОГЭ и ГВЭ на 2022 год

Пресс-служба Рособрнадзора сообщает.

Совместными приказами Минпросвещения России и Рособрнадзора утверждено расписание единого государственного экзамена (ЕГЭ), основного государственного экзамена (ОГЭ) и государственного выпускного экзамена (ГВЭ) на 2022 год.

Проведение ЕГЭ разделено на три периода: досрочный (с 21 марта по 15 апреля), основной (с 26 мая по 2 июля) и дополнительный (5-20 сентября).

Основной период ЕГЭ-2022 начнется 26 мая с экзаменов по географии, литературе и химии.  Проведение трех экзаменов разделено на два дня: ЕГЭ по русскому языку пройдет 30 и 31 мая, по информатике и ИКТ – 20 и 21 июня, устная часть ЕГЭ по иностранным языкам – 16 и 17 июня.

ЕГЭ по профильной и базовой математике также пройдет в разные дни (2 и 3 июня соответственно). 6 июня в основной период ЕГЭ пройдут экзамены по истории и физике, 9 июня – по обществознанию, 14 июня – по биологии и письменная часть ЕГЭ по иностранным языкам. С 23 июня по 2 июля в расписании предусмотрены резервные дни для сдачи ЕГЭ по всем предметам.

В дополнительный период в сентябре ЕГЭ пройдет только по обязательным предметам (русскому языку и базовой математике) для тех выпускников, которые не получили аттестат.

Проведение ОГЭ также разделено на три периода: досрочный (с 21 апреля по 17 мая), основной (с 20 мая по 2 июля) и дополнительный (с 5 по 15 сентября).

 

О сроках проведения итогового сочинения, сроках и местах регистрации для участия в написании итогового сочинения

Итоговое сочинение (изложение) как допуск к государственной итоговой аттестации выпускников образовательных организаций, реализующих программы среднего общего образования, впервые введено в 2014-2015 учебном году.

Даты проведения итогового сочинения (изложения):

  • 1 декабря 2021 года,
  • 2 февраля 2022 года,
  • 4 мая 2022 года.

Итоговое сочинение вправе писать по желанию выпускники прошлых лет, лица, обучающиеся по образовательным программам среднего профессионального образования. Сроки участия в итоговом сочинении из числа установленных такие лица выбирают самостоятельно.

Заявление на участие в итоговом сочинении (изложении) 1 декабря 2021 года принимаются с 1 ноября по 17 ноября 2021 года.

Заявления на участие в итоговом сочинении (изложении)  2 февраля 2022 года принимаются с 10 по 19 января 2022 года.

Заявления на участие в итоговом сочинении (изложении) 4 мая 2021 года принимаются с 4 по 20 апреля 2022 года.

Обучающиеся 11 классов подают заявление на участие в итоговом сочинении (изложении) в образовательные организации, в которых осваивают  образовательные программы среднего общего образования.

Выпускники прошлых лет, лица, обучающиеся по образовательным программам среднего профессионального образования, проживающие на территории Кировской области, подают заявление на участие в итоговом сочинении в органы местного самоуправления, осуществляющие управление в сфере образования, по месту жительства.

Выпускники прошлых лет, лица, обучающиеся по образовательным программам среднего профессионального образования, проживающие на территории города Кирова, обучающиеся, получающие среднее общее образование в иностранных образовательных организациях, подают заявление на участие в итоговом сочинении в Кировское областное государственное автономное учреждение «Центр оценки качества образования», расположенное по адресу: г. Киров, ул. Спасская, 67. Режим работы: понедельник – четверг с 8.00 до 17.00 пятница – с 8.00. до 16.00. Перерыв на обед – с 11.30. до 12.18. 

 

Рособрнадзор разъясняет особенности проведения ГВЭ для выпускников 11 классов в 2021 году

Пресс-служба Рособрнадзора сообщает.

Выпускники 11 классов, не планирующие поступать в вузы, для получения аттестата в 2021 году должны будут сдать два обязательных предмета в форме государственного выпускного экзамена (ГВЭ): русский язык и математику.  

Лицам с ограниченными возможностями здоровья, а также детям-инвалидам и инвалидам для получения аттестата достаточно будет сдать по их выбору только ГВЭ или ЕГЭ по русскому языку. 

Государственная итоговая аттестация в 11 классах (ГИА-11) в форме ГВЭ по предметам по выбору в 2021 году проводиться не будет. 

Экзаменационная работа ГВЭ для выпускников, не планирующих поступать в вузы в 2021 году, по русскому языку будет состоять из отдельных заданий с кратким ответом (задания 1-24) по спецификации контрольных измерительных материалов (КИМ) ЕГЭ 2021 года по русскому языку. Экзаменационная работа ГВЭ по математике в 2021 году будет состоять из отдельных заданий по спецификации КИМ ЕГЭ 2021 года по математике базового уровня. 

До 10 февраля 2021 года демонстрационные варианты ГВЭ для выпускников, не планирующих поступать в вузы в 2021 году, будут опубликованы на официальном сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

 

Экзамены по русскому языку и математике для категорий участников, которые традиционно имеют право сдавать ГИА-11 в форме ГВЭ, будут проводиться по соответствующим демонстрационным материалам для указанной категории участников экзамена, размещенным на сайте ФИПИ осенью 2020 года. 

Основной срок проведения ГВЭ для выпускников 11 классов запланирован с 24 по 28 мая 2021 года. Также в расписании будет предусмотрен дополнительный сентябрьский период проведения ГВЭ по русскому языку и математике (с 3 по 17 сентября 2021 года), который предусмотрен для того, чтобы предоставить возможность получить аттестат тем, кто не прошел ГИА-11 в установленные сроки. 

10:35

ФИПИ опубликовал проекты контрольных измерительных материалов ГВЭ-11 для выпускников, не планирующих поступление в вуз

Пресс-служба Рособрнадзора сообщает.

Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) опубликовал на своем сайте проекты контрольных измерительных материалов (КИМ) государственного выпускного экзамена (ГВЭ), который будут сдавать для получения аттестата выпускники 11 классов, не планирующие поступление в вузы. С ними можно ознакомиться в разделе «ГВЭ».

В 2020-21 учебном году, с учетом сложившейся эпидемической ситуации, было принято решение об изменениях в проведении государственной итоговой аттестации выпускников 11 классов. Одиннадцатиклассникам предоставлена возможность выбора формы итоговой аттестации – ЕГЭ или ГВЭ. Для получения аттестата выпускникам, поступающим в вузы в этом году, достаточно будет получить положительный результат ЕГЭ по русскому языку. Тем выпускникам, которые не планируют поступление в вузы, для получения аттестата нужно будет сдать ГВЭ по двум предметам: русскому языку и математике.

«В практике Рособрнадзора принято объявлять структуру и содержание экзаменационных моделей для государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего и среднего общего образования до начала учебного года, в августе. Но поскольку решение о проведении ГВЭ для выпускников, не планирующих поступление в вуз, было принято позже, экзаменационные модели ГВЭ для них сформированы на основе уже хорошо известных обучающимся и учителям контрольных измерительных материалов ЕГЭ по русскому языку и базовой математике», — пояснила заместитель директора ФИПИ Ольга Котова.

КИМ ГВЭ-аттестат по русскому языку будут содержать 24 задания с кратким ответом базового уровня из КИМ ЕГЭ по русскому языку. В совокупности с традиционной формой итогового сочинения эта модель ГВЭ по русскому языку обеспечит контроль освоения системы русского языка и практической грамотности выпускников средней школы.

КИМ ГВЭ-аттестат по математике будут содержать 14 заданий с кратким ответом из КИМ ЕГЭ по математике базового уровня. Задания будут представлять различные разделы курса математики и позволят оценить освоение необходимых требований к базовому уровню среднего общего образования по математике.

Опубликованные документы будут определять содержание КИМ только для выпускников, выбравших форму ГВЭ, так как они не планируют поступление в вузы. Экзамены по русскому языку и математике для категорий участников, которые традиционно имеют право сдавать ГИА-11 в форме ГВЭ, например, участников с ограниченными возможностями здоровья, будут проводиться по соответствующим демонстрационным материалам для указанной категории участников экзамена, размещенным на сайте ФИПИ осенью 2020 года.

Проведение основного периода ГВЭ-11 в 2021 году запланировано с 25 мая по 10 июня. Проектом расписания предусмотрены также два дополнительных периода проведения ГВЭ-11. 13 июля и 17 июля ГВЭ по русскому языку и математике смогут сдать участники, пропустившие экзамены в основной период по болезни или иной уважительной причине. 3-17 сентября в проекте расписания предусмотрен еще один дополнительный период, когда ГВЭ также смогут сдать участники, пропустившие экзамены по уважительной причине ранее, и участники, не преодолевшие минимальный порог на ЕГЭ по русскому языку.

Рособрнадзор опубликовал обновленные проекты расписаний ЕГЭ, ОГЭ и ГВЭ на 2021 год

Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки опубликовала обновленные проекты расписания государственной итоговой аттестации (ГИА) для выпускников 9 и 11 классов в 2021 году.

Проект расписания ГИА-11 предусматривает проведение в 2021 году двух периодов сдачи ЕГЭ: основного (с 31 мая по 2 июля) и дополнительного (с 12 по 17 июля).

Основной период проведения единого государственного экзамена (ЕГЭ) начнется 31 мая с экзаменов по географии, литературе и химии. Самый массовый ЕГЭ по русскому языку пройдет в два дня: 3 и 4 июня. Проведение ЕГЭ по профильной математике запланировано на 7 июня, по истории и физике – на 11 июня, по обществознанию – 15 июня, по биологии и письменной части ЕГЭ по иностранным языкам – на 18 июня. Устная часть ЕГЭ по иностранным языкам (раздел «Говорение») традиционно пройдет в два дня: 21 и 22 июня. Проведение ЕГЭ по информатике и ИКТ, который в 2021 году участники экзамена впервые будут сдавать на компьютерах, также разделено на два дня: 24 и 25 июня. 28, 29 июня и 2 июля в расписании предусмотрены резервные дни для сдачи ЕГЭ.

В дополнительный период ЕГЭ экзамены пройдут 12, 13 и 14 июля, а также в резервный день – 17 июля.

Государственный выпускной экзамен (ГВЭ-11), который в 2021 году будут сдавать не только участники, традиционно пользующиеся правом сдачи экзаменов в этой форме, но и выпускники, не планирующие поступать в вузы, будет проведен только по двум обязательным предметам: 25 мая – по русскому языку и 28 мая – по математике, а также в резервные дни: 8 июня – по русскому языку и 10 июня – по математике.

Проектом расписания предусмотрены два дополнительных периода проведения ГВЭ-11. 13 июля и 17 июля ГВЭ по русскому языку и математике смогут сдать участники, пропустившие экзамены в основной период по болезни или иной уважительной причине. 3-17 сентября в проекте расписания предусмотрен еще один дополнительный период, когда ГВЭ также смогут сдать участники, пропустившие их по уважительной причине ранее, и участники, не преодолевшие минимальный порог на ЕГЭ по русскому языку.

Проектом расписания ГИА-9 предусмотрены два периода проведения экзаменов: основной (24 мая – 2 июля) и дополнительный (3-17 сентября). Основной государственный экзамен (ОГЭ) и государственный выпускной экзамен (ГВЭ-9) в 2021 году пройдут только по двум обязательным предметам, русскому языку и математике. ОГЭ и ГВЭ по предметам по выбору для девятиклассников в 2021 году проводиться не будут.

Утверждено новое расписание проведения итогового сочинения в 2020/21 учебном году

Пресс-служба Рособрнадзора сообщает.

Совместным приказом Министерства просвещения России и Рособрнадзора утверждено новое расписание проведения итогового сочинения (изложения) в 2020/21 учебном году.

Приказом установлен основной срок проведения итогового сочинения (изложения) – 5 апреля 2021 года, а также в дополнительные сроки – 21 апреля и 5 мая 2021 года. Написать сочинение в дополнительные сроки смогут выпускники, получившие за сочинение «незачет», либо пропустившие его написание в основной срок по уважительной причине, подтвержденной документально.

Успешное написание итогового сочинения является для выпускников 11 классов допуском к государственной итоговой аттестации. Обучающиеся с ограниченными возможностями здоровья вместо итогового сочинения вправе выбрать написание изложения.

Документ опубликован на

 Официальном интернет-портале правовой информации

О сроках и местах подачи заявлений на сдачу ГИА 11, ЕГЭ

В соответствии с пунктом 11 Порядка проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования, утвержденного приказом Министерства просвещения Российской Федерации  и Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки от 07.

11.2018 № 190/1512, заявление на сдачу ГИА 11, ЕГЭ подается до 1 февраля 2021 года (включительно).

1. Выпускники текущего года подают заявление на сдачу ГИА 11 в ту образовательную организацию, в которой они обучаются.

В заявлении указываются обязательные предметы – русский язык и математика, остальные учебные предметы – по выбору.

2. Выпускники прошлых лет, лица, обучающиеся по образовательным программам среднего профессионального образования, а также обучающиеся, получающие среднее общее образование в иностранных образовательных организациях, подают заявление на  сдачу ЕГЭ в места регистрации, утвержденные распоряжением министерства образования Кировской области от 08.11.2019 № 1066.

Выпускники прошлых лет, лица, обучающиеся по образовательным программам среднего профессионального образования, проживающие на территории города Кирова, обучающиеся, получающие среднее общее образование в иностранных образовательных организациях, подают заявление на участие в ЕГЭ в Кировское областное государственное автономное учреждение «Центр оценки качества образования», расположенное по адресу: г. Киров, ул. Спасская, 67. Режим работы: понедельник – четверг с 8.00 до 17.00 пятница – с 8.00. до 16.00. Перерыв на обед – с 11.30. до 12.18. 

Кировское областное государственное автономное учреждение «Центр оценки качества образования» начинает прием заявлений на участие в ЕГЭ со 2 ноября 2020 года.

Заявления подаются участниками ЕГЭ лично на основании документов, удостоверяющих личность, или их родителями (законными представителями) на основании документов, удостоверяющих личность, или уполномоченными лицами на основании документов, удостоверяющих личность, и доверенности.

Выпускники прошлых лет при подаче заявления предъявляют оригинал документа об образовании или заверенные копии документов об образовании.

Лица, обучающиеся по образовательным программам среднего профессионального образования, обучающиеся, получающие среднее общее образование в иностранных образовательных организациях, при подаче заявления предъявляют справку из  организации, в которой они проходят обучение, подтверждающую освоение образовательных программ среднего общего образования или завершение освоения образовательных программ среднего общего образования в текущем учебном году.

 

Сроки объявления результатов ЕГЭ 2020

Сроки написания итогового сочинения в 11 классах перенесены, итоговое собеседование в 9 классах пройдет дистанционно

Пресс-служба Рособрнадзора сообщает.

Проведение итогового сочинения (изложения) для выпускников 11 классов 2 декабря 2020 будет перенесено в связи с неблагоприятной эпидемиологической ситуацией, оно пройдет не ранее 5 апреля 2021 года. Такое решение согласовано Рособрнадзором и Минпросвещения России и одобрено на заседании Оперативного штаба по предупреждению завоза и распространения новой коронавирусной инфекции на территории Российской Федерации.

Успешное написание итогового сочинения является для выпускников 11 классов допуском к государственной итоговой аттестации. Обучающиеся с ограниченными возможностями здоровья вместо итогового сочинения вправе выбрать написание изложения.

Также на заседании Оперативного штаба принято решение об изменении формата проведения итогового собеседования по русскому языку, которое является допуском к государственной итоговой аттестации для выпускников 9 классов. Согласно расписанию, итоговое собеседование должно пройти 10 февраля 2021 года и в дополнительные сроки 10 марта и 17 мая 2021 года. При сохранении неблагоприятной эпидемиологической обстановки собеседование будет проводиться в эти сроки по решению региональных органов исполнительной власти в дистанционном формате с использованием информационно-коммуникационных технологий.

Минпросвещения и Рособрнадзор подготовят нормативный правовой акт, устанавливающий новые сроки проведения итогового сочинения (изложения) в 2020/2021 учебном году и предусматривающий проведение собеседования в дистанционном формате.

 

12:59

Сроки, места, порядок информирования о результатах итогового сочинения (изложения)

Напоминаем, заявления на участие в итоговом сочинении (изложении) 

2 декабря 2020 года принимаются с 2 ноября по 18 ноября 2020 года.

Проверка итоговых сочинений (изложений) и их оценивание осуществляется комиссией, сформированной руководителем организации, где участники писали итоговое сочинение (изложение) и завершается не позднее семи календарных дней с даты проведения итогового сочинения (изложения).

Протокол результатов итогового сочинения (изложения) подписывается руководителем организации и лицом, ответственным за перенос результатов проверки из копий бланков регистрации итогового сочинения (изложения) в оригиналы.

Ознакомление участников итогового сочинения (изложения) с результатами  итогового сочинения (изложения) осуществляется под роспись в течение трех рабочих дней с момента проверки в той организации, в которой участник писал итоговое сочинение (изложение).

Образы оригиналов бланков итогового сочинения (изложения) размещаются на региональных серверах.

Изображения образов оригиналов бланков итогового сочинения участников доступны образовательным организациям высшего образования через федеральную информационную систему обеспечения проведения государственной итоговой аттестации обучающихся, освоивших основные образовательные программы основного общего и среднего общего образования, и приема граждан в образовательные организации для получения среднего профессионального и высшего образования.

Срок действия итогового сочинения (изложения) как допуска к государственной итоговой аттестации является бессрочным.

Результат итогового сочинения в случае представления его при приеме на обучение по программам бакалавриата и программам специалитета действителен четыре года, следующих за годом получения такого результата.

Архив записей

Информационно-образовательные ресурсы

Статистика


Информация о проведении ОГЭ и ГВЭ по математике, ЕГЭ по литературе и физике и о результатах государственной итоговой аттестации в форме ОГЭ по английскому, немецкому и французскому языкам в городском округе город Воронеж в 2017 году

В соответствии с действующим расписанием  государственной итоговой аттестации 06 июня 2017 года состоялся ОГЭ и ГВЭ-9 по математике на 36  пунктах проведения экзаменов ОГЭ (далее-ППЭ) и 32 ППЭ ГВЭ-9, расположенных в общеобразовательных учреждениях на территории городского округа город Воронеж и на дому. Также 07 июня 2017 года  проведен ЕГЭ по физике и литературе  на 14 ППЭ.

По данным на 07 июня  в ЕГЭ по физике и литературе  приняли участие 1702 и 432 выпускника образовательных учреждений среднего  общего образования городского округа город Воронеж соответственно. В ОГЭ и ГВЭ — 9 по математике участвовали 7622 выпускника 9-х классов и 96 выпускников соответственно.

В целом экзамены прошли в штатном режиме. Три выпускника 9-х классов не завершили экзамен по математике по причине болезни, три участника ОГЭ были удалены с экзамена за нарушение порядка проведения государственной итоговой аттестации (наличие телефона и справочных материалов).

Установленное заранее минимальное количество баллов ЕГЭ по физике и литературе составляет 36 и 32 балла соответственно, ОГЭ по математике  – 8 баллов. Официальный день  объявления  результатов ЕГЭ по физике  и литературе — 22 июня, результатов ОГЭ по математике – 16  июня.

По предварительным результатам сдачи ОГЭ по английскому, немецкому и французскому языкам  средняя отметка выпускников 9-х классов  муниципальных бюджетных общеобразовательных учреждений  городского округа город Воронеж составила  по английскому языку – 4,29, по немецкому языку – 3,75 и по французскому языку – 3,79. По сравнению с 2016 годом произошло небольшое увеличение средней отметки  по английскому языку (с 4,2 до 4,29), по немецкому языку (с 3,66 до 3,75) и снижение средней отметки по французскому языку  — с 4,46 до 3,79.

Напоминаем, что впервые по итогам 2016/2017 учебного года аттестат об основном общем образовании будет выдаваться при условии  успешного прохождения ГИА-9 по четырем учебным предметам. С 1 сентября 2017 года вступили в силу изменения  (пп.60,61 Порядка проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования), по которым  результаты ГИА признаются удовлетворительными в случае, если обучающийся по сдаваемым учебным предметам (4 предмета) набрал минимальное количество баллов.  В случае получения обучающимися на ГИА-9 неудовлетворительных результатов не  более чем по двум учебным предметам (из числа обязательных и предметов по выбору), они будут повторно допущены к сдаче ГИА-9 по соответствующим предметам. Обучающимся, не прошедшим ГИА или получившим на ГИА неудовлетворительные результаты более чем по двум учебным предметам, либо получившим повторно неудовлетворительный результат по одному из этих предметов на ГИА в дополнительные сроки, предоставляется право повторно сдать экзамены  по соответствующим учебным предметам не ранее 1 сентября 2017 года.

Предыдущая запись Следующая запись

Расписание ГВЭ-11 и ОГЭ в 2021 году

Обновлено

Минпросвещения опубликовало приказы о графике проведения выпускных экзаменов для девятиклассников и одиннадцатиклассников, не поступающих в вузы – ОГЭ и ГВЭ-аттестат.

ОГЭ

В этом году выпускники девятых классов сдают только два экзамена:

  • 24.05 и 25.05 – русский язык.
  • 27.05 и 28.05 – математику.

Для тех, кто по уважительным причинам не сможет участвовать в экзаменах основного периода или получит двойку, предусмотрены два резерва:

Основной:

  • 08.06 – для русского.
  • 16.06 – для математики.

Дополнительный:

  • 30.06 – русский.
  • 02.07 – математика.

Пересдать ОГЭ после двоек или сдать в первый раз, если не получилось участвовать в экзаменах весной и летом, можно будет осенью в дополнительный сентябрьский период:

  • 03. 09 и 13.09 – русский.
  • 06.09 и 15.09 – математика.

Экзамены начнутся в 10 утра по местному времени. На сдачу и русского языка, и математики отводится по 3 часа 55 минут. На экзамене по русскому можно пользоваться словарем, на ОГЭ по математике – справочными материалами с формулами (они есть в КИМах).

Читайте также:

ГВЭ

На экзамены основного периода ГВЭ по русскому и математике отведено по одному дню:

  • 25 мая – все сдадут русский.
  • 28 мая – математику.

Резерв основного периода:

  • 08.06 и 13.07 – русский.
  • 16.06 и 17.07 – математика.

В эти дни русский и математику смогут сдать те, кто не участвовал в ГВЭ 25 и 28 мая или получил двойку по одному из предметов.

Двойки, полученные в резервные сроки на пересдаче в июне или июле, можно будет попытаться исправить в сентябре, в дополнительный период:

  • 03.09 и 13.09 – русский.
  • 06.09 и 16.09 – математика.

Одиннадцатиклассники, которые не сдавали ЕГЭ по русскому во все отведенные для этого сроки, или те, кто не набрал проходных баллов и так и не смог пересдать экзамен в резервные сроки, проходят аттестацию в виде ГВЭ по русскому языку и математике в дополнительный сентябрьский период ГВЭ.

Экзамены начнутся в 10 утра. Выпускникам, которые традиционно (а не только в пандемию) имеют право сдавать ГВЭ, а не ЕГЭ, – школьникам с ОВЗ, студентам колледжей, учащимся специнтернатов – на ответы экзаменов по русскому и математике отводится по 3 часа 55 минут. Выпускники, которые сдают ГВЭ-аттестат, русский язык будут писать 2 часа 30 минут, математику – 2 часа.

По текстам приказов Минпросвещения: № 162/471 (ОГЭ), № 163/472 (ГВЭ)

Читайте также:

Утверждено расписание ОГЭ и ГВЭ 2021 года

Совместными приказами Минпросвещения РФ утверждены сроки проведения основного государственного экзамена (ОГЭ) и государственного выпускного экзамена (ГВЭ) в 2021 году. 23 апреля документы были зарегистрированы Минюстом РФ.

Основной период ОГЭ и ГВЭ-9 в 2021 году пройдет с 24 мая по 2 июля. Проведение экзаменов разделено на два дня: 24 и 25 мая пройдет ОГЭ и ГВЭ-9 по русскому языку, 27 и 28 мая – ОГЭ и ГВЭ-9 по математике.

Для участников, пропустивших основные сроки сдачи экзаменов или не завершивших его написание по болезни или иной уважительной причине, подтвержденной документально, получивших неудовлетворительный результат по одному из двух сдаваемых предметов, а также участников, чьи апелляции о нарушении порядка проведения ОГЭ были удовлетворены, предусмотрены резервные сроки сдачи: 8 июня – ОГЭ и ГВЭ-9 по русскому языку, 16 июня – по математике. В дополнительные резервные сроки (30 июня – русский язык и 2 июля – математика) смогут сдать экзамены участники, пропустившие по уважительной причине сдачу в основные и резервные сроки или впервые сдававшие экзамены в резервные сроки, но получившие неудовлетворительный результат по одному из обязательных предметов.

С 3 по 15 сентября пройдет дополнительный сентябрьский период ОГЭ и ГВЭ-9. Экзамен по русскому языку 3 сентября и по математике 6 сентября сдадут участники, не прошедшие государственную итоговую аттестацию ранее, а также получившие неудовлетворительные результаты по обоим предметам, либо получившие повторный неудовлетворительный результат по одному из них. В резервные сроки дополнительного периода (13 сентября – русский язык и 15 сентября – математика) еще одна попытка сдать экзамены будет у участников, допущенных к экзаменам по решению председателя ГЭК.

Основной период ГВЭ-11 для выпускников 11 классов пройдет с 25 мая по 16 июня. Сдать экзамены в форме ГВЭ-11 в этом году смогут не только обучающиеся с ограниченными возможностями здоровья, инвалиды, дети-инвалиды и иные категории, предусмотренные Порядком проведения ГИА-11, но и выпускники, не планирующие поступление в вуз в этом году. 25 мая им предстоит сдавать русский язык, а 28 мая – математику.

Для участников, пропустивших основные сроки сдачи экзаменов или не завершивших написание работы по уважительной причине, подтвержденной документально, получивших неудовлетворительный результат по одному из двух обязательных предметов ГВЭ предусмотрены резервные дни (8 июня – русский язык, 16 июня – математика).

Расписанием ГВЭ-11 предусмотрены также два дополнительных периода проведения экзаменов: 13 и17 июля и 3-15 сентября.

Более тысячи выпускников сдают сегодня ГВЭ по математике — РЦМКО


28 мая 2021 года выпускники 11 (12) классов сдают государственный выпускной экзамен (далее – ГВЭ) по математике. Количество участников ГВЭ по математике 28 мая 2021 года – 1147 человек, из них 11 обучающихся с ограниченными возможностями здоровья, 127 человек – обучающиеся УФСИН, а также 1009 выпускников школ, которые не планируют поступать в вузы. 28 мая организовано 57 ППЭ, в том числе 2 ППЭ на дому.

Начало экзамена в 10.00 часов.
Продолжительность письменного экзамена по математике, для обучающихся, которые сдают ГВЭ по русскому языку и математике и не планируют поступать в вузы – 2 часа, для других категорий участников — 3 часа 55 минут.

В аудиториях ППЭ для выпускников школ, которые не планируют поступать в вузы, и обучающихся с ограниченными возможностями здоровья организовано онлайн видеонаблюдение. В ППЭ на дому и в учреждениях системы исполнения наказания – офлайн видеонаблюдение.

Минимальное количество первичных баллов по математике, подтверждающих освоение обучающимися образовательных программ среднего общего образования, для обучающихся с ограниченными возможностями здоровья и обучающихся УФСИН составляет 4 балла, для обучающихся, которые не планируют поступать в вузы, 7 баллов.

Результаты ГВЭ по математике обучающиеся смогут узнать в своей школе 15 июня, а результаты ГВЭ по русскому языку – 11 июня 2021 года.
Резервный день ГВЭ по математике 16 июня 2021 года.
В резервный день допускаются к участию в ГВЭ по математике одиннадцатиклассники, не преодолевшие минимальный порог по этому предмету.

По всем предметам могут быть допущены повторно участники, досрочно завершившие экзамен по состоянию здоровья, а также участники, которые пропустили экзамен по уважительной причине, подтвержденной документально. Если имеется факт нарушения Порядка проведения экзамена, например, сбой в работе техники, и соответствующий акт, оформленный в ППЭ, участник ГИА по решению ГЭК допускается к экзамену повторно.

По материалам  пресс-службы Министерства образования и науки РТ

Варианты ГВЭ для выпускников, не планирующих поступать в вузы, будут опубликованы на сайте ФИПИ до 10 февраля

Рособрнадзор разъясняет особенности проведения ГВЭ для выпускников 11 классов в 2021 году.

Выпускники 11-х классов, не планирующие поступать в вузы, для получения аттестата в 2021 году должны будут сдать два обязательных предмета в форме государственного выпускного экзамена (ГВЭ): русский язык и математику.   

Лицам с ограниченными возможностями здоровья, а также детям-инвалидам и инвалидам для получения аттестата достаточно будет сдать по их выбору только ГВЭ или ЕГЭ по русскому языку. 

Государственная итоговая аттестация в 11 классах (ГИА-11) в форме ГВЭ по предметам по выбору в 2021 году проводиться не будет. 

Экзаменационная работа ГВЭ для выпускников, не планирующих поступать в вузы в 2021 году, по русскому языку будет состоять из отдельных заданий с кратким ответом (задания 1-24) по спецификации контрольных измерительных материалов (КИМ) ЕГЭ 2021 года по русскому языку. Экзаменационная работа ГВЭ по математике в 2021 году будет состоять из отдельных заданий по спецификации КИМ ЕГЭ 2021 года по математике базового уровня. 

До 10 февраля 2021 года демонстрационные варианты ГВЭ для выпускников, не планирующих поступать в вузы в 2021 году, будут опубликованы на официальном сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). 

Экзамены по русскому языку и математике для категорий участников, которые традиционно имеют право сдавать ГИА-11 в форме ГВЭ, будут проводиться по соответствующим демонстрационным материалам для указанной категории участников экзамена, размещенным на сайте ФИПИ осенью 2020 года.  

Основной срок проведения ГВЭ для выпускников 11 классов запланирован с 24 по 28 мая 2021 года. Также в расписании будет предусмотрен дополнительный сентябрьский период проведения ГВЭ по русскому языку и математике (с 3 по 17 сентября 2021 года), который предусмотрен для того, чтобы предоставить возможность получить аттестат тем, кто не прошел ГИА-11 в установленные сроки. 

Преподавание ценностей через подход к решению задач по математике

По многим причинам состояние общества достигло стадии, когда более важно, чем когда-либо, обучать людей традиционным ценностям их культуры. В последние годы велась серьезная дискуссия о том, несут ли школы ответственность за привитие ценностного образования. Растет давление на всех учителей, чтобы они стали преподавателями ценностей путем моделирования, обсуждения и критики вопросов, связанных с ценностями.

Есть много возможностей преподавать принципы воспитания ценностей через существующие предметы и темы. Цель этой статьи состоит в том, чтобы предложить один из многих способов, с помощью которых обучение ценностям может быть включено в существующие учебные программы по математике и подходы к преподаванию математики. В частности, основное внимание будет уделено способам улучшения ценностного образования за счет использования подхода к обучению математике, основанного на решении проблем. Статьи включают цитаты, выделенные курсивом, из программы Сатья Саи «Образование человеческих ценностей», которая зародилась в Индии и в настоящее время действует более чем в 40 странах мира.

Эти котировки относятся к следующим значениям:

  • подготовка учащихся к решению жизненных задач
  • развитие общих знаний и здравого смысла
  • научиться быть разборчивым в использовании знаний, то есть знать, какие знания целесообразно использовать для каких целей
  • объединение изученного со всем существом
  • вызвать внимание и интерес к области знаний, чтобы она была усвоена достойно

Почему ценности можно повысить, обучая математике с помощью решения задач?

Растущее число людей должно иметь возможность думать самостоятельно  в постоянно меняющейся среде, особенно по мере того, как технологии упрощают доступ к большим объемам информации и манипулирование ими. Они также должны уметь адаптироваться к незнакомым или непредсказуемым ситуациям  легче, чем это требовалось людям в прошлом. Преподавание математики включает в себя навыки и функции, которые являются частью повседневной жизни.

Примеры:

  • чтение карты для определения направления
  • понимание сводок погоды
  • понимание экономических показателей
  • понимание погашения кредита
  • расчет того, является ли самый дешевый товар лучшей покупкой

Представление проблемы и развитие навыков, необходимых для ее решения, более мотивируют, чем обучение навыкам без контекста.Это позволяет учащимся увидеть причину изучения математики и, следовательно, более глубоко вовлечься в ее изучение. Обучение через решение проблем может улучшить логическое мышление , помогая людям решать какое правило , если таковое требуется, ситуация требует, или, при необходимости, вырабатывать свои собственные правила в ситуации, когда существующее правило не может быть применено напрямую. применяемый. Решение проблем также может позволить человеку в целом развить , переживая весь спектр эмоций, связанных с различными этапами процесса решения.

Примеры:

  • Задача, над которой мы сегодня работали, заставила нас выдвинуть гипотезу. В ходе тестирования наша гипотеза оказалась неверной. Подход к решению проблем позволил нашей группе выяснить это для себя, что облегчило принятие «горькой пилюли» нашей ошибки.
  • Я нашел это занятие довольно сложным. Я испугался, потому что не видел немедленного решения и хотел сдаться. Меня охватило чувство паники.Мне пришлось прочитать вопрос много раз, прежде чем я понял, что я должен был найти. Мне действительно пришлось «копаться» в глубинах памяти, чтобы вспомнить знания, необходимые для решения задачи.
  • Видеть, как на моих глазах развиваются узоры, было сильным опытом: оно имело стимулирующий эффект. Я чувствовал, что должен исследовать дальше в поисках ответа и большего знания.

Выдержки из дневника учителя-студента после трех отдельных занятий по решению задач

Ученик, написавший приведенные выше выдержки, показал, как интерес, коренящийся в проблеме, стимулировал устойчивый интерес, необходимый для овладения достойными знаниями. Опыт решения проблем может развить любознательность, уверенность и непредубежденность.

Как обучать человеческим ценностям, включив решение задач в программу по математике.

В этом разделе описываются типы решения задач, которые можно использовать для улучшения значений, описанных выше, и даются некоторые предложения о том, как их можно использовать в математической программе.

Есть три типа задач, с которыми следует столкнуться учащимся:

  1. словесные задачи, где концепция встроена в реальную ситуацию, и учащийся должен распознать и применить соответствующий алгоритм/правило (подготовка учеников к жизненным трудностям)
  2. нестандартные задачи, которые требуют более высокой степени интерпретации и организации информации в задаче, а не просто распознавания и применения алгоритма (поощрение развития общих знаний и здравого смысла)
  3. «настоящие» задачи, связанные с исследованием проблемы, которая реальна для учащихся, не обязательно имеет фиксированное решение и использует математику как инструмент для поиска решения (привлечение учеников к служению обществу).

Каждый из этих типов проблем будет описан более подробно ниже.

Задачи, требующие непосредственного использования математических правил или понятий.

Решая такие задачи, учащиеся учатся различать, какие знания необходимы в определенных ситуациях, и развивают здравый смысл . Следующие примеры были адаптированы из серии математики HBJ, книга 6, чтобы показать, как такие ценности, как совместное использование, помощь и сохранение энергии , могут быть включены в формулировку задач.Они усложняются, так как требуют больше шагов:

Примеры:

  • 7 детей пошли грибы и согласились поделиться. Они собрали 245 грибов. Как они узнают, сколько они получат каждый?
  • Ник помогает своему пожилому соседу 1/4 часа каждую неделю вечером и 1/2 часа по выходным. Сколько времени он тратит на помощь ей ​​за 1 неделю?
  • Недавно было обнаружено, что чистый двигатель потребляет меньше топлива. Самолет израсходовал 4700 литров топлива. После очистки выяснилось, что за ту же поездку было израсходовано 4630 литров. Если топливо стоило 59 центов за литр, насколько экономичнее чистый самолет?

Иногда важно давать задачи, которые содержат слишком много информации, поэтому учащиеся должны выбрать то, что подходит и относится к делу:

Пример:

На прошлой неделе я проехал на поезде расстояние 1093 километра. Я выехал в 8 утра и в среднем 86 км/ч за первые четыре часа пути.Поезд остановился на станции на 1 1/2 часа, а затем ехал еще три часа со средней скоростью 78 км/ч, прежде чем остановиться на другой станции. Как далеко я проехал?

Чтобы решить эти задачи, ученики не могут просто использовать книжные знания, которым их научили. Им также необходимо применять общие знания и здравый смысл.

Еще один тип задач, который побуждает учеников быть находчивыми , заключается в том, что они не дают достаточно  информации. Эти задачи часто называют проблемами Ферми по имени математика, сделавшего их популярными. Когда люди впервые видят задачу Ферми, они сразу же думают, что им нужно больше информации для ее решения. Однако в основном здравый смысл  и опыт позволяют найти разумные решения. Решение этих задач полностью опирается на знания и опыт, которые уже есть у студентов. Это проблемы, которые не представляют угрозы и могут быть решены в совместной среде .Эти проблемы могут быть связаны с  социальными проблемами , например:

Примеры:

  • Сколько литров бензина потребляется в вашем городе в день?
  • Сколько денег средний житель вашего города сэкономит за год, если будет ходить пешком, а не водить машину или пользоваться общественным транспортом?
  • Сколько еды выбрасывает средняя семья в неделю?

Использование задачи Ферми для популяризации человеческих ценностей

Мисс. Лам хотела научить свой класс десятилетних детей ценить деньги и ценить то, что их родители делают для них:

«Я считаю, что учащиеся должны быть осведомлены об этом важном вопросе и, таким образом, могут быть более внимательными, когда денежный вопрос возникает в их собственной семье, например, неспособность убедить своих родителей купить дорогой подарок. При решении проблем я думаю чтобы учащиеся могли лучше понять концепцию денег, а не просто как инструмент покупки и продажи вещей.

«Сначала я рассказал классу историю о ссоре Питера с семьей. Питеру не удалось убедить родителей купить ему в подарок на день рождения дорогую спортивную обувь, и он подумал, что родители плохо к нему относятся. этот сын как невнимательный ребенок.Они думали, что он должен понять, что экономика не так хороша.Они спросили Петра, знает ли он о том, сколько денег тратится на него в течение всего года.К сожалению,Петр не смог дать ответ сразу .Поэтому я спросил класс, могут ли они помочь Питеру. Я попросил их найти ответы на следующие задачи:

  • Сколько денег ваши родители тратят на вас в год?
  • Сколько денег ваши родители потратили на вас до сих пор?
  • Сколько денег ваши родители потратят на вас, когда вы закончите среднюю школу?
  • Сколько денег будет потрачено на воспитание детей в целом по стране в этом году?

«Студенты были разделены на группы по 4 человека, чтобы выяснить возможные данные, которые им нужно знать.Позже группам было предложено представить свои данные и способ узнать ответ. Наконец, я пришел к выводу, что это открытый вопрос, поскольку у каждого человека могут быть разные расходы наряду с некоторыми общими человеческими потребностями, такими как еда, одежда и проезд. В любом случае, ответ следует расценивать как крупную сумму денег, что позволит им лучше понять бремя своих родителей».


Иногда учеников можно попросить придумать свои собственные задачи, что может помочь улучшить их понимание. Это может побудить их быть гибкими и осознать, что может быть более чем один взгляд на проблему . Кроме того, учитель может установить тему для задач, которые составляют ученики, например оказание помощи другим или забота об окружающей среде , что может помочь им сосредоточиться на основных ценностях, а также на математике.

Нестандартные проблемы

Нестандартные задачи можно использовать для поощрения логического мышления, укрепления или расширения понимания учащимися понятий, а также для разработки стратегий решения задач, которые можно применять в других ситуациях.Ниже приведен пример нестандартной проблемы:

Какой у меня загадочный номер?

  • Если я разделю это на 3, остаток будет 1.
  • Если я разделю на 4, в остатке будет 2.
  • Если я разделю на 5, в остатке будет 3.
  • Если я разделю на 6, в остатке будет 4.

Реальное решение проблем

Бохан, Ирби и Фогель (1995) предлагают семиступенчатую модель проведения исследований в классе, позволяющую учащимся стать «производителями знаний, а не просто потребителями» (стр. 256).

Шаг 1: На какие вопросы вы хотели бы получить ответы.

Учащиеся проводят мозговой штурм, чтобы подумать о вещах, которые они хотели бы узнать, о вопросах, на которые они хотели бы получить ответы, или о проблемах, с которыми они столкнулись в школе или сообществе. Установите правило, согласно которому никто не должен осуждать мысли другого. Если кто-то повторяет идею, уже записанную на доске, запишите ее еще раз. Никогда не говорите: «Мы это уже говорили», поскольку такой ответ подавляет творческое мышление.

Шаг 2: Выберите проблему или исследовательский вопрос.

Учащиеся были обеспокоены количеством мусора, производимого в школьной столовой, и его воздействием на окружающую среду. Исследовательский вопрос звучал так: «Какая часть мусора в нашей школьной столовой подлежит вторичной переработке?»

Шаг 3: Предскажите, каким будет результат.

Шаг 4. Разработайте план проверки своей гипотезы

Необходимо учитывать следующее:

  • Кто должен будет давать разрешение на сбор данных?
  • Любезно — когда мы сможем обсудить этот проект с менеджером столовой?
  • Время — сколько времени займет сбор данных?
  • Стоимость — будет ли это стоить что-нибудь?
  • Безопасность — какие меры мы должны принять для обеспечения безопасности?

Шаг 5: Выполнение плана:

Соберите данные и обсудите, как учащиеся могут сообщить о результатах (например,грамм. графики)

Шаг 6: Проанализируйте данные: подтвердил ли тест нашу гипотезу?

Какие математические инструменты потребуются для анализа данных: распознавание наиболее подходящего типа графика; иметь в виду; Режим; медиана?

Шаг 7: Отражение

Что мы узнали? Будут ли наши открытия способствовать нашей школе, нашему сообществу или нашему миру? Как мы можем поделиться своими выводами с другими? Если бы мы повторили этот эксперимент в другое время или в другой школе, могли бы мы ожидать таких же результатов? Почему или почему нет? Кому могут быть интересны наши результаты?

«Последняя мысль, которую следует оставить студентам, заключается в том, что они могут быть исследователями и производителями новой информации, и что новые знания могут быть получены и переданы с помощью математики.Их выводы могут внести вклад в базу знаний класса, школы, сообщества или общества в целом. Их выводы могут очень положительно повлиять на их школу или мир »(Bohan et al. , 1995, стр. 260).


Математические исследования

Математические исследования могут подпадать под любую из трех вышеперечисленных категорий. Это задачи или вопросы, которые часто начинаются в ответ на вопросы учеников, или вопросы, заданные учителем, например: «Могли бы мы сделать то же самое с тремя другими числами?» или «Что произошло бы, если бы….» (Bird, 1983). В начале исследования учащиеся не знают, будет ли подходящий ответ или их будет несколько. Кроме того, учитель либо не знает исхода, либо делает вид, что не знает. Бёрд предполагает, что исследовательский подход подходит для многих тем в учебной программе и поощряет общение, уверенность, мотивацию и понимание, а также математическое мышление. Использование этого подхода затрудняет выполнение учащимися рутинных задач не задумываясь о том, что они делают.

Бёрд считает, что решение исследовательской задачи может быть улучшено, если учащимся будет предложено задавать свои собственные вопросы. Она предложила учителю представить «стартер» всему классу, попросить учеников поработать над ним в течение короткого времени, попросить их записать любые вопросы, которые возникли у них во время этого, и объединить идеи. Первоначально учителю будет необходимо предоставить несколько примеров «объединенных» вопросов, например:

  • Всегда ли работает?
  • Этому есть причина?
  • Сколько их?
  • Есть ли связь между этим и…..?

Ученикам можно предложить посмотреть работы друг друга и, особенно если у них разные ответы, обсудить «кто прав».

Заключение

В этой статье были предложены некоторые причины, по которым решение проблем является важным средством для обучения студентов на всю жизнь посредством поощрения интереса, развития здравого смысла и способности различать . В частности, это подход, который поощряет гибкость, способность реагировать на неожиданные ситуации или ситуации, не имеющие немедленного решения , и помогает развивать настойчивость перед лицом неудачи . Подход к решению проблем может дать учащимся возможность сформировать свои собственные представления о математике и взять на себя ответственность за собственное обучение . Хотя все это важные математические навыки, они также являются важными жизненными навыками и помогают познакомить учащихся с ценностным образованием, которое необходимо для их целостного развития.

Ссылки и полезная литература

Берд, М. (1983). Генерация математической деятельности в классе .Западный Сассекс, Великобритания: Институт высшего образования Западного Сассекса. ISBN 0 9508587 0 6.

Бохан, Х., Ирби, Б. и Фогель, Д. (1995). «Решение проблем: работа с данными в начальной школе». Обучение детей математике  1(5), стр. 256–260.

Идеи, представленные в этой статье, предлагают некоторые способы, с помощью которых учителя могут исследовать интеграцию обучения ценностям в существующую программу по математике без необходимости добавлять что-либо дополнительно. Дальнейшие идеи были представлены в книге, написанной автором (Taplin, 1988).Помимо идей по обучению, книга обобщает последние исследования и предлагает некоторые вопросы для практических исследований или обсуждения, которые учителя могут использовать в своих классах.

Некоторые вопросы для обсуждения с коллегами или исследования в классе

Творческие способы оценки понимания математики

Учителя математики творчески переосмысливают оценивание учащихся, что позволяет им получить более широкую картину концептуального понимания математики детьми, пишет Мэдлин Уилл для Education Week .И хотя этот творческий подход к оценке знаний учащихся, по крайней мере частично, обусловлен дистанционным обучением, стратегии являются эффективными и имеют смысл в течение обычного учебного года.

«Я думаю, что это хорошо для многих из нас, учителей математики, потому что заставило нас переосмыслить, что должны делать оценки», — сказал Уиллу учитель математики Мэтью Ректор. «В прошлом большинство из нас думали об оценках как об инструментах ранжирования — ставьте ребенку оценку и двигайтесь дальше. Оценки должны быть направлены на продвижение математических знаний вперед.

В то время как учителя уже какое-то время переосмысливают методы оценивания, переход на дистанционное обучение «помог сохранить импульс», — сказала Уиллу Трена Вилкерсон, президент Национального совета учителей математики. «Учителя творчески и нестандартно думают о том, как оценить понимание и мышление учащихся, а затем как использовать это для поддержки учебных решений».

Используйте знакомые технические инструменты, чтобы понять, что стоит за математикой

Вместо того, чтобы регулярно просить учащихся решить ряд уравнений, Уилл поговорил с учителями, которые теперь просят учащихся объяснить математическую концепцию или «разбить задачу и объяснить, как они приходят к ее решению.«Учащиеся могут выбрать, как записывать свою работу: в документ Google, с помощью видео или сфотографировав свою работу на бумаге. «Это позволяет им лучше выражать свои мысли, — сказал Уиллу учитель математики в старшей школе Бобсон Вонг, — а заниматься плагиатом очень сложно».

Учительница математики средней школы Эмма Чиаппетта любит просить своих продвинутых учеников по линейной алгебре создать видеоролики, обучающие их одноклассников приложениям и концепциям. Чтобы проверить, насколько эффективно ее ученики объясняют алгебраические понятия, каждый из них пытается решить несколько задач, связанных с видеоуроком сверстника.

Тереза ​​Уильямс, учитель математики в средней школе Лабораторной школы Университета Вайоминга в Ларами, штат Вайоминг, проводит пятиминутные интервью, чтобы оценить успеваемость своих учеников и информировать ее о преподавании. Полезно составить контрольный список того, что вы ожидаете от опытного ученика, отмечает Уильямс. «Это отлично работает для детей, которые знают намного больше, чем они показали на [традиционном] оценивании», и дает учащимся «множество возможностей показать, что они опытны».

Попробуйте журналы по математике или рефлексивное ведение дневника

Письмо может быть эффективным способом обучения, «поскольку оно задействует оба полушария мозга», — пишет координатор по математике средней школы Алессандра Кинг.«Эффективное письмо также проясняет и организует мысли ученика». Некоторые учителя просят учеников вести «рефлексивный дневник математических понятий», чтобы оценить, насколько ученики усвоили материал, пишет Уилл, предоставляя богатую картину того, на каком этапе математического блока находятся дети.

Кинг любит, когда ее ученики-математики размышляют и пишут о математике, предлагая им создать математический журнал, в котором они сосредоточатся на том, как математические концепции применяются в реальном мире. «Это был один из моих самых популярных проектов — студенты с удивлением открывают для себя бесчисленное множество приложений математики.

Она начинает с того, что составляет список статей по математике из газет, журналов, подкастов и видеороликов, из которых учащиеся могут выбирать, а затем обобщает их для онлайн-журнала. «Для оценки я создал простую рубрику, которая оценивает понимание контента, ясность общения, редактирование, критическое мышление, инициативу и креативность», — говорит Кинг. Специально для учащихся, которые любят читать и писать больше, чем «вычислительная сторона математики», проект дает им возможность продемонстрировать свое понимание математических концепций, получая при этом «более глубокое понимание полезности и эффективности математики».

Назначение проектов с последствиями для реального мира

Используя данные переписи населения штата Массачусетс, учитель средней школы по математике Джоуи Грабовски «Алгебра 1» выбирает категориальные группы, такие как пол или раса, и количественные переменные, такие как доход или возраст, а затем «сравнивает распределение двух или более групп людей». Затем они пишут отчет о своем статистическом анализе. Использование проектов, а не модульных тестов для оценки своих учеников дает Грабовски уникальную возможность взглянуть на их мышление, пишет Уилл. «[Со статистическим отчетом] они анализируют и критикуют вещи», — говорит он. «Компьютеры могут сделать за нас многие из этих вычислений, но они не могут интерпретировать данные».

Когда разразилась пандемия, школьный учитель математики Кьяппетта разместила проектные предложения своих учеников по статистике в Интернете. Она сменила прогулки по галерее на виртуальные на Flipgrid и попросила студентов оставить там отзывы о проектах одноклассников. «После определенного момента для меня не имеет смысла спрашивать моих учеников об их выполнении вычислений», — сказал Кьяппетта.«Проекты, которые делают мои ученики, позволяют мне оценить их способность применять эти расчеты в контексте».

Активно принимайте ошибки

Создание в классе безошибочного поведения полезно для всех учащихся по всем учебным предметам, но особенно на уроках математики, которые могут вызывать тревогу у учащихся. Кэрол Двек, профессор психологии Стэнфордского университета и автор книги « Мышление: новая психология успеха », сказала: «Каждый раз, когда студент совершает ошибку… у него растет синапс.

Уилл отмечает, что учителя используют эту идею и в оценках, нормализуя ошибки и предлагая учащимся разобраться с проблемами, которые намеренно решаются неправильно, требуя, чтобы учащиеся выявляли ошибки, а затем выясняли, как их решить.

Учитель алгебры 1 Роберт МакАусленд сказал Уиллу, что ему нравится давать учащимся возможность повторить, давая им время для решения проблем, с которыми они столкнулись в предыдущих оценках. Он обнаружил, что когда студенты учатся дома, «первоначальные оценки были неестественно высокими, возможно, потому, что студенты искали ответы дома.Но по мере того, как его ученики становились все более уверенными в своих способностях решать сложные задачи, «счета нормализовались», и он смог донести до них, что «научиться понимать математику — это не вопрос о том, что правильно, а что нет. … Не бывает грубых ошибок».

Какие примеры используются в обучении математике?

Приводить примеры, а иногда и тонны примеров, не редкость в обучении математике. Как мы используем примеры? Когда мы их используем? В своей статье Цель, дизайн и использование примеров в обучении элементарной математике Тим Роуленд рассматривает различные цели, для которых учителя используют примеры в обучении математике, и исследует, насколько хорошо эти примеры достигают цели урока.Он классифицировал использование примеров на два типа – дедуктивный и индуктивный.

Типы примеров

Примеры используются дедуктивно, когда они даются как «упражнения». Эти примеры обычно даются после обучения определенной процедуре. Первоначальная цель состоит в том, чтобы помочь запоминанию путем повторения процедуры, а затем, в конечном итоге, для того, чтобы учащиеся освоили ее. Есть надежда, что благодаря работе с этими примерами будет создано новое осознание и новое понимание предварительной процедуры и задействованных концепций (я не уверен, что многие учителя делают что-то, чтобы сделать это явным).Используя примеры для этой цели, учителя не должны просто давать примеры наобум. Например, практические примеры вычитания путем разложения должны включать некоторые возможности для нулей в уменьшаемом конце. Для практики вычитания целых чисел диапазон примеров должен включать все возможные случаи, такие как уменьшаемое и вычитаемое, оба положительные; Уменьшаемое и вычитаемое оба отрицательные, причем уменьшаемое больше вычитаемого и наоборот, и т. д.

Второй тип примеров делается более индуктивно.Здесь примеры используются для обучения конкретной концепции. Их роль в развитии концепции состоит в том, чтобы спровоцировать или облегчить абстракцию. Выбор учителем примеров для целей абстрагирования отражает его осведомленность о природе понятия и категории включаемых в него вещей, о том, какие из этих категорий можно считать исключительными, и о размерах возможных вариаций внутри той или иной категории. Другими словами, учителя должны не только давать примеры, но и давать не примеры концепции.

Примеры секвенирования

Не только пример, но и последовательность, в которой они даны, влияет на тип изучаемой математики. Роуленд сообщает в своей статье об уроке 1-го класса о числах, которые в сумме дают 10. Учитель спросил: «Если у нас есть девять, как еще можно получить 10?». Последующие примеры после 9 таковы: 8, 5, 7, 4, 10, 8, 2, 1, 7, 3. Это выглядит как случайные примеры, но в анализе Роуленда этого не было. У учителя была цель в каждом примере.Это было не случайно.

  • 8: учитель знает, что ученики обычно используют стратегию подсчета, поэтому здесь они добьются успеха
  • 5: это вызовет стратегию хорошо известного удвоения — удвоение является ключевой стратегией для умственных вычислений
  • .
  • 7: то же, что и в 8, но на этот раз ученики должны считать немного дальше
  • 4: для более способных учеников
  • 10: указать на тот факт, что ноль также является числом, которое можно добавить к другому числу
  • 8: странно повторять пример, но учитель использовал его, чтобы спросить ученика, ответившего 2: «Если у меня есть 2, сколько мне еще нужно, чтобы получить 10?» который был следующим примером.
  • 2: здесь учитель сказал на основе предыдущего взаимодействия «2 прибавить к 8, 8 прибавить к 2, это одно и то же (свойство коммутативности и счет от большего числа)
  • 1: учитель не спрашивал, сколько еще нужно, чтобы получить 10, поскольку это вызовет счет, а вместо этого связал это с 2 и 8, чтобы сделать очевидной эффективность стратегии счета от большего числа и, возможно, чтобы дети были известно о коммутативности.
  • 7 и 3: чтобы усилить стратегии, явные при использовании 8 и 2 в качестве примеров.

Давайте будем более осознанно относиться к тому, какие примеры мы подаем нашим ученикам при обучении математике.

 

Абелевская премия присуждена: Нобелевская премия по математике

Абелевская премия присуждена: Нобелевская премия по математике Абелевская премия присуждена: Нобелевская премия по математике
апрель 2004 г. Абелевская премия, учрежденная норвежским правительством в 2001 году как ежегодная «Нобелевская премия по математике» и впервые награжден в прошлом году, поедет в этом году к профессору Айседор Сингер, 80 лет из Массачусетского технологического института и сэр Майкл Атья, 75 лет, который занимал почетную должность в университете Эдинбурга с тех пор, как он вышел на пенсию из Кембриджа Университет несколько лет назад.

Премия вручается за работу, которая привело к тому, что имена Атья и Сингер стали навеки связанные в области математики: «Теорему Атьи-Зингера об индексе», которую они сформулировано и доказано в серии статей они были опубликованы в начале 1960-х гг. То Индексная теорема обеспечивает мост между чистая математика (дифференциальная геометрия, топология и анализ) и теоретические физика (квантовая теория поля), которая привела к достижениям в обеих областях.

Норвежская академия наук, которая наблюдает и управляет новым призом, упомянутым теорему об индексе как «одну из великих вех математики ХХ века». На самом деле это не преувеличением сказать, что результат изменился ландшафт математики. Атья, который по образованию алгебра-геометр и тополог, и Зингер, пришедший из анализа, работал над разветвления теоремы в течение двадцати лет.

Сэр Майкл, цитируемый в статье в Британская газета Daily Telegraph (26 марта) прокомментировал: «Индексная теорема предоставляет троянского коня, который математики раньше увлекались физикой и пороком наоборотКогда мы впервые это сделали, у нас не было подозревая, что за этим последует.»

Певица в беседе с BBC News (26 марта) сказала: «Я рад выиграть этот приз вместе с сэром Майкл. Работа, которую мы проделали, разрушила барьеры между различные разделы математики, и это пожалуй, самый важный его аспект. … Он также нашел серьезное применение в теоретической физики». Ссылаясь на создание Абелевской премии, он добавил: «Я ценю внимание будет приковано к математике.Это заслуженно, потому что математика настолько основы науки и техники.»

Атия и Сингер получат награду от Король Норвегии Харальд на церемонии в Осло. 25 мая.

Сумма приза составляет 6 миллионов норвежских крон, в настоящее время около 875 000 долларов. Награда первой Абелевской премии, сделанной в 2003 году с относительно небольшая фан-ярмарка за пределами Скандинавии, отправился к французскому математику Жан-Пьер Серр за работу по алгебраической геометрия и теория чисел.

Абелевская премия

Нобелевской премии по математике нет, но многие математики получили приз, большинство обычно для физики, но иногда для по экономике и в одном случае по литературе. Для Например, когда математик Джон Нэш выиграл Нобелевской премии в 1994 году, именно за результат оказал большое влияние на экономику. (Нэш достижение было отмечено режиссером Роном Фильм Говарда 2002 года A Beautiful Разум, с Расселом Кроу в главной роли.)

Абелевская премия предназначена для математиков их собственный эквивалент Нобелевская премия. Такая награда впервые была предложена в 1902 году королем Швеции и Норвегии Оскаром II, всего через год после присуждения первой Нобелевской Призы. Однако от планов отказались, так как Союз между двумя странами был расторгнут в 1905 году. В результате математика никогда не международная премия того же размера и важность как Нобелевская премия.

Планы на получение Абелевской премии были возрождены в 2000 г. а в 2001 году правительство Норвегии предоставлено 200 миллионов норвежских крон (около 22 миллионов долларов) создать новую награду. Нильс Хенрик Абель (1802-1829), именем которого названа премия, был ведущим норвежским математиком 19 века. чьи работы по алгебре оказали длительное влияние, несмотря на Ранняя смерть Авеля в возрасте всего 26 лет. Сегодня каждый Бакалавриат по математике встречает имя Абеля в связи с коммутативными группами, которые более известные как «абелевы группы» (отсутствие капитализации является молчаливым признанием степени известности его имени институционализирован).

Так случилось, что собственное поле группы Абеля теория играет роль в теории Атьи-Зингера. Теорема индекса, но это не условие к присуждению Абелевской премии.

Абелевская премия присуждается ежегодно и предназначена представить область математики с призом на самый высокий уровень. Лауреаты назначаются независимый комитет международного математики.

В результате действий Норвегии, частично направленных на отпраздновать 200-летие со дня рождения Авеля в 2002 году у математиков теперь тоже есть награда эквивалент Нобелевской премии.Вопрос в том, Достигнет ли новая премия международного блеска настоящего Нобеля? Нобелевская премия по экономике (как популярно, но неправильно называется) добился того, что статус после того, как он был введен в 1968 году, но в этом случае Банк Швеции, создавший награду, прикрепил к нему волшебное имя Нобель. (Увидим позже.) Вряд ли можно было ожидать, что Норвегия назовет свой приз после известного шведа, особенно когда у них есть Абель распознавать.

Математика и Нобелевская премия

Альфред Нобель (1833-1896) сколотил состояние путем изготовления взрывчатых веществ.Он был родился в Швеции, вырос в России, учился химии и технологии во Франции и США и создали компании в нескольких странах по всему миру. В своем завещании Нобель обозначил учреждение ежегодных премий по пяти направлениям: Физика, химия, физиология или медицина, Литература и мир. Призы предназначены для поощрения конкретных открытий или прорывов, и их влияние на дисциплину. То первые премии были присуждены в 1901 году.В 1968 году добавлена ​​шестая премия по экономике, подаренная Банк Швеции в честь своего трехсотлетия. Строго говоря, это не Нобелевская премия, а «Премия по экономическим наукам памяти Альфред Нобель». Шведская королевская академия наук выбирает лауреаты по физике, химии, медицине, литературы и экономики, Нобелевский институт в Каролинский институт присуждает премию в медицины, а Норвежский Нобелевский институт занимается премия мира.Денежная сумма каждого приза варьируется от года к году. В 2003 году это было 10 шведских крон. млн, около 1,3 млн долларов.

Хотя Нобелевской премии по математике не было, за эти годы многие математики получили Нобелевскую Приз. Принимая довольно щедрую интерпретацию для что значит быть математиком, математическим Лауреаты:

  • 1902 Лоренц (физика)
  • 1904 Рэлей (физика)
  • 1911 Вена (физика)
  • 1918 Планк (физика)
  • 1921 Эйнштейн (физика)
  • 1922 Бор (физика)
  • 1929 де Бройль (физика)
  • 1932 Гейзенберг (физика)
  • 1933 Шредингер (физика)
  • 1933 Дирак (физика)
  • 1945 Паули (физика)
  • 1950 Рассел (литература)
  • 1954 г.р. (физика)
  • 1962 Ландау (физика)
  • 1963 Вигнер (физика)
  • 1965 Швингер (физика)
  • 1965 Фейнман (физика)
  • 1969 Тинберген (экономика)
  • 1975 Канторович (экономика)
  • 1983 Чандрасекар (физика)
  • 1994 Зельтен (экономика)
  • 1994 Нэш (экономика)
В целом неплохой результат по математике.Тем не менее, это не то же самое, что получить приз для самой математики.

Был выдвинут ряд теорий объяснить отсутствие математики в Оригинальный список Нобеля. Самый красочный предположение состоит в том, что Нобель был обижен на математики, обнаружив, что его у жены был роман со шведом математик Магнус Миттаг-Леффлер. Из все теории, это проще всего уволить по той простой причине, что Нобелевская никогда не было жены.Еще один часто повторяющийся предположение, что Нобель ненавидел математику после плохой успеваемости в школе. Это может или, может быть, неправда, что Нобель не был хорош в математике, но нет никаких доказательств того, что отрицательный школьный опыт по математике класс привело к желанию вернуться на математики в более позднем возрасте, не давая им один из его призов.

Наиболее вероятное объяснение, я думаю, заключается в том, что он рассматривал математику просто как инструмент используется в науках и технике, а не как совокупность интеллектуальных достижений человека в свое право.Он также не выделял биологии, возможно, также рассматривая ее как просто инструмент для медицины, не лишенный смысла вид иметь в конце 19 века.

Медаль Филдса

Медаль Филдса часто упоминается как «самая математический эквивалент Нобелевской премии». Полевые медали были впервые предложены в 1924 году. Международный конгресс математиков в Торонто профессора Дж. К. Филдса, канадца. математик, который был секретарем Конгресса этот год.Позже он пожертвовал средства на создание медали. Филдс хотел, чтобы награды признавали как существующие работы, так и обещания будущего достижение, в результате которого было согласовано ограничить медали математикам не более сорока в год Конгресса. Медали присуждаются каждые четыре года на Конгрессе, своим организующим органом, Международный математический союз. Первоначально вверх по две медали присуждались каждые четыре года; в 1966 г. было решено, что в свете большого расширение математических исследований до четырех медали могли быть вручены на каждом конгрессе.

«Медали Филда» более известны их официальное название «Международные медали за выдающихся открытий в математике». медаль сопровождается денежной премией в размере 15 000 канадских долларов.

Сам Атья получил Филдсовскую медаль в 1966 году.

Существуют некоторые уникальные характеристики Медаль Филдса, которые отличают ее от Нобелевская премия. Сначала присуждается только каждый четвертый год. Во-вторых, дается за математическую работу, выполненную до получателю 40 лет.В-третьих денежный приз, который идет с Полями Медаль значительно меньше Нобелевской Приз. В-четвертых, Филдсовская медаль не выйти из Скандинавии.

Когда Норвежская академия наук решил создать премию по математике в честь Авеля они сделали это с намерение исправить то, что они видели как упущение со стороны Нобеля.

Лауреаты Абелевской премии

Айседор М. Сингер родился в 1924 г. в г. Детройт, и получил степень бакалавра степень Мичиганского университета в г. 1944 год.После получения докторской степени. из Чикагского университета в 1950 году он поступил факультет Массачусетского института технологий (MIT). Певица потратила больше всего своей профессиональной жизни в Массачусетском технологическом институте, где он в настоящее время является профессором института. Он член Американской академии искусств и наук, американский философский Общество и Национальная академия наук (НАН). Он служил в Совете НАН, Совет управляющих Национальной Исследовательский совет и Белый дом Научный совет.

Майкл Фрэнсис Атья родился в 1929 г. Лондон. Он получил степень бакалавра. и его докторская из Тринити-колледжа в Кембридже. Он провел большую часть своей академической карьеры в Университеты Кембриджа и Оксфорда. Он был движущей силой создания Институт Исаака Ньютона по математике наук в Кембридже и стал его первым директор. он был избран действительным членом Королевского общества в 1962 году в возрасте 32 лет и был президентом Общества с 1990 по 1995.Он был посвящен в рыцари в 1983 году (отсюда «Сэр Михаила») и сделан членом Ордена Заслуги 1992 года.

Из-за его технического и весьма абстрактного природа теоремы об индексе, невозможно дать точное утверждение в такой колонке как это. Точная формулировка требует пьянящая смесь К-теории, функционального анализа, и глобальный анализ. Вскоре после того, как я получил степень доктора философии, я встретил Атью в Оксфорде и помчался читать о своем знаменитом теорема.Я вскоре сдался, решив что жизнь была слишком коротка, и у меня была своя математическая исследовательская карьера для работы.

Сообщение для прессы о награждении выпущенный Норвежской академией Науки пытались передать суть результат с этими словами:

«Мы описываем мир, измеряя величины и силы, изменяющиеся во времени и пространство. Законы природы часто выражается формулами, включающими их скорости изменения, так называемый дифференциальный уравнения.Такие формулы могут иметь «индекс», количество решений формулы минус количество ограничений которые они налагают на ценности вычисляемые величины. Индекс теорема вычислила это число через геометрия окружающего пространства. … Теорема Атьи-Зингера об индексе была кульминацией и венчающим достижением более чем 100-летняя разработка идеи из теоремы Стокса, которая студенты учатся на уроках математики, чтобы сложные современные теории, такие как теория Ходжа теория гармонических интегралов и Теорема о сигнатуре Хирцебруха.»
Попробуем немного приблизиться к реальности предмет.

Начните с компактного гладкого коллектора (без границы) и эллиптический оператор E на нем. ( E это дифференциал оператор, действующий на гладких участках заданное векторное расслоение. Лапласианы примеры эллиптических операторов.) свойство быть эллиптическим есть выражается символом s , который может быть видно из коэффициентов часть высшего порядка E ; с есть раздел пакета и должен быть ненулевым.(В случае лапласиана s является положительно определенной квадратичной формой.) индекс из E определяется как разница между размерами ядро E и размерность коксовое ядро ​​ E . «проблема с индексом» заключается в вычислении индекса E с использованием только символ s и топологический информация о коллекторе и векторный пучок. Эта проблема, кажется, возникла в конце 1950-х гг.Атия-певец Индексная теорема является ее решением.


Угол Девлина обновлен в начале каждого месяца.
Математик Кит Девлин (Электронная почта: [email protected]) является Исполнительный директор Центра Изучение языка и информации в Стэнфордский университет и «Парень-математик» на Выпуск выходного дня NPR . Для полный список сегментов Math Guy со ссылками, перейти к http://www- csli.stanford.edu/~devlin/MathGuy.html

Последняя книга Девлина Проблемы тысячелетия: семеро Величайшие нерешенные математические головоломки нашего времени, изданное Basic Books (в твердой обложке 2002 г., в мягкой обложке 2003 г.).


5.E: Теория графов (упражнения) — Mathematics LibreTexts

2

Двудольный граф, у которого нет соответствия, все же может иметь частичное соответствие . Под этим мы подразумеваем набор из ребер , для которого ни одна вершина не принадлежит более чем одному ребру (но, возможно, не принадлежит ни одному).Каждый двудольный граф (с хотя бы одним ребром) имеет частичное паросочетание, поэтому мы можем искать наибольшее частичное паросочетание в графе.

Ваш «друг» утверждает, что нашел наибольшее частичное совпадение для графика ниже (ее совпадение выделено жирным шрифтом). Она объясняет, что никакое другое ребро не может быть добавлено, потому что все ребра, не используемые в ее частичном сопоставлении, соединяются с совпавшими вершинами. Она правильная?

3

Один из способов проверить, является ли частичное совпадение максимальным, — построить чередующийся путь .Это последовательность смежных ребер, которые чередуются между ребрами в совпадении и ребрами, не входящими в соответствие (ни одно ребро не может использоваться более одного раза). Если чередующийся путь начинается и заканчивается ребром , а не в паросочетании, то он называется увеличивающим путем .

  1. Найдите максимально возможный чередующийся путь для частичного совпадения графа вашего друга. Это увеличивающий путь? Как это поможет вам найти большее соответствие?

  1. Найдите максимально возможный чередующийся путь для приведенного ниже частичного совпадения.Есть ли увеличивающие пути? Является ли частичное совпадение самым большим из существующих в графе?

4

Две богатейшие семьи Вестероса решили заключить союз посредством брака. В первой семье 10 сыновей, во второй 10 девочек. Возраст детей в обеих семьях совпадает. Во избежание неуместности семьи настаивают на том, чтобы каждый ребенок женился на ком-то своего возраста или на одной позиции младше или старше. На самом деле график, представляющий приятные браки, выглядит так:

.

Вопрос: сколько возможны различных допустимых брачных союзов, при которых выдаются замуж все 20 детей?

  1. Сколько браков возможно, если мы настаиваем на том, что ровно 6 мальчиков женятся на девочках не их возраста?
  2. Не могли бы вы обобщить предыдущий ответ, чтобы получить общее количество заключенных браков?
  3. Откуда вы знаете, что вы правы? Попробуйте считать по-другому.Посмотрите на меньшие размеры семьи и получите последовательность.
  4. Можете ли вы дать рекуррентное соотношение, соответствующее задаче?

5

Мы говорим, что множество вершин \(A \subseteq V\) является вершинным покрытием , если каждое ребро графа инцидентно вершине покрытия (таким образом, вершинное покрытие покрывает ребер ). Так как \(V\) сам является вершинным покрытием, каждый граф имеет вершинное покрытие. Интересен вопрос о нахождении минимального покрытия из вершин, которое использует наименьшее возможное количество вершин.

  1. Предположим, у вас есть сопоставление графа. Как вы можете использовать это, чтобы получить минимальное вершинное покрытие? Всегда ли будет работать ваш метод?
  2. Предположим, у вас есть минимальное вершинное покрытие для графа. Как вы можете использовать это, чтобы получить частичное совпадение? Всегда ли будет работать ваш метод?
  3. Какая связь между размером минимального вершинного покрытия и размером максимального частичного паросочетания в графе?

6

Для многих приложений паросочетаний имеет смысл использовать двудольные графы.Однако вы можете задаться вопросом, есть ли вообще способ находить соответствия на графах.

  1. Для какого \(n\) полный граф \(K_n\) имеет паросочетание?
  2. Докажите, что если в графе есть паросочетание, то \(\card{V}\) четно.
  3. Верно ли обратное? То есть все ли графы с \(\card{V}\) вообще имеют соответствие?
  4. Что, если нам также потребуется условие соответствия? Докажите или опровергните: если граф с четным числом вершин удовлетворяет условию \(\card{N(S)} \ge \card{S}\) для всех \(S \subseteq V\text{,}\), то граф имеет соответствие.

5.7: Взвешенные графики и алгоритм Дейкстры

1

Найдите оценку большого числа операций (сложения и сравнения), используемых алгоритмом Дейкстры.

2

Нефтяная скважина расположена в левой части графика ниже; каждая другая вершина является хранилищем. Ребра представляют собой трубы между скважиной и хранилищем или между двумя хранилищами. Веса на ребрах представляют собой время, необходимое маслу для перемещения из одной вершины в другую.Используя алгоритм Дейкстры, найдите кратчайший путь и общее время, за которое нефть доберется от скважины до объекта с правой стороны. Используйте стол.

3

Решите ту же задачу, что и в №2, но при выполнении алгоритма Дейкстры нарисуйте несколько копий графика, а не таблицы.

4

Граф \(G\) задается \(G=(\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\},\{\{v_1,v_2\},\{v_1,v_3\}, \{v_2,v_4\},\{v_2,v_5\},\{v_3,v_4\},\{v_4,v_5\},\{v_4,v_6\},\{v_5,v_6\}\}) \).Кроме того, вес на ребре равен \(w(v_i,v_j)=|i-j|\). Нарисуйте граф, определите кратчайший путь из \(v_1\) в \(v_6\), а также укажите общий вес этого пути. Используйте алгоритм Дейкстры (вы можете составить таблицу или нарисовать несколько копий графика).

5.8: Деревья

1

Какие из следующих графов являются деревьями?

а. \(G=(V,E)\) с \(V=\{a,b,c,d,e\}\) и \(E=\{\{a,b\},\{a, e\},\{b,c\},\{c,d\},\{d,e\}\}\)

б. \(G=(V,E)\) с \(V=\{a,b,c,d,e\}\) и \(E=\{\{a,b\},\{b, с\},\{с,г\},\{г,е\}\}\)

в.\(G=(V,E)\) с \(V=\{a,b,c,d,e\}\) и \(E=\{\{a,b\},\{a, в\},\{а,г\},\{а,е\}\}\)

д. \(G=(V,E)\) с \(V=\{a,b,c,d,e\}\) и \(E=\{\{a,b\},\{a, в\},\{г,е\}\}\)

2

Для каждой приведенной ниже последовательности степеней решите, должна ли она всегда, никогда не должна быть последовательностью степеней для дерева. Помните, что последовательность степеней перечисляет степени (количество ребер, инцидентных вершине) всех вершин графа в невозрастающем порядке.

а. (4,1,1,1,1)

б.(3,3,2,1,1)

в. (2,2,2,1,1)

д. (4,4,3,3,3,2,2,1,1,1,1,1,1,1)

3

Для каждой приведенной ниже последовательности степеней решите, должна ли она всегда, никогда не должна быть последовательностью степеней для дерева. Обоснуйте свои ответы.

а. (3,3,2,2,2)

б. (3,2,2,1,1,1)

в. (3,3,3,1,1,1)

д. (4,4,1,1,1,1,1,1)

4

Предположим, у вас есть граф с \(v\) вершинами и \(e\) ребрами, который удовлетворяет условию \(v=e+1.\) Должен ли граф быть деревом? Докажите свой ответ.

5

Докажите, что любой граф (не обязательно дерево) с \(v\) вершинами и \(e\) ребрами, удовлетворяющий условию \(v>e+1\), НЕ будет связным. [Подсказка: попробуйте доказательство от противного и рассмотрите остовное дерево графа.]

6

Если граф \(G\) с \(v\) вершинами и \(e\) ребрами связен и имеет \(v

7

Мы определяем лес как граф без циклов.

а. Объясните, почему это хорошее имя. То есть объясните, почему лес — это объединение деревьев.

б. Предположим, что \(F\) — лес, состоящий из \(m\) деревьев и \(v\) вершин. Сколько ребер имеет \(F\)? Объяснять.

в. Докажите, что любой граф \(G\) с \(v\) вершинами и \(e\) ребрами, удовлетворяющий условию \(v

8

Докажите следующее утверждение: граф является лесом тогда и только тогда, когда существует не более одного пути между любой парой вершин.Используйте доказательство от противного (а не доказательство от противного) для обоих направлений.

9

Проведите тщательное доказательство индукцией по числу вершин того, что каждое дерево двудольно.

10

а. Предположим, мы обозначили вершину \(e\) как корень. Перечислите детей, родителей и братьев и сестер каждой вершины. Есть ли у любой вершины, кроме \(e\), внуки?

б. Предположим, что \(e\) равно , а не , выбранному в качестве корня.Изменяет ли наш выбор корневой вершины число детей \(e\)? Количество внуков? Сколько их каждого?

в. Фактически, выберите любую вершину дерева и предположите, что это не корень. Объясните, почему количество потомков этой вершины не зависит от того, какая другая вершина является корнем.

д. Работает ли предыдущая часть для других деревьев? Приведите пример другого дерева, для которого оно выполняется. Затем либо докажите, что оно выполняется всегда, либо приведите пример дерева, для которого это не так.

11

Пусть T корневое дерево, содержащее вершины \(u\), \(v\) и \(w\) (среди, возможно, других). Докажите, что если \(w\) является потомком как \(u\), так и \(v\), то \(u\) является потомком \(v\) или \(v\) является потомком \(у\).

12

Если граф \(G\) уже не является деревом, он будет иметь несколько остовных деревьев. Насколько они должны быть похожи или различны?

а. Должны ли все остовные деревья данного графа быть изоморфны друг другу? Объясните почему или приведите контрпример.

б. Должны ли все остовные деревья данного графа иметь одинаковое количество ребер? Объясните почему или приведите контрпример.

в. Должны ли все остовные деревья графа иметь одинаковое количество листьев (вершин степени 1)? Объясните почему или приведите контрпример.

13

Найдите все остовные деревья графа ниже. Сколько существует различных остовных деревьев? Сколько существует различных остовных деревьев с точностью до изоморфизма (то есть, если вы сгруппируете все остовные деревья, по которым изоморфны, сколько у вас будет групп)?

14

Приведите пример графа, имеющего ровно 7 различных остовных деревьев.Обратите внимание, что некоторые или все эти остовные деревья могут быть изоморфными. [Подсказка: есть пример с 7 ребрами.)

15

Докажите, что каждый связный граф, который сам не является деревом, должен иметь не менее трех различных (хотя, возможно, и изоморфных) остовных деревьев.

16

Рассмотрим ребра, которые должны быть в каждом остовном дереве графа. Должен ли каждый граф иметь такое ребро? Приведите пример графа, имеющего ровно одно такое ребро.

17

\(m\)-арное дерево — это корневое дерево, в котором каждая внутренняя вершина имеет не более \(m\) потомков.3/((4-1)+(2*3))+4\).

2

Определить обходы этого дерева в прямом и обратном порядке.

3

Оцените следующее постфиксное выражение: \(6\,2\,3\,-\,+\,2\,3\,1\,*\,+\,-\).

Оцените следующее префиксное выражение: \(\стрелка вверх\,-\,*\,3\,3\,*\,1\,2\,3\).

4

Найдите оценку большой O временной сложности обходов в прямом, прямом и обратном порядке.

5.9.2: Алгоритмы связующего дерева

Используйте график ниже для всех 5.9.2 упражнения.

1

Используйте алгоритм поиска в глубину, чтобы найти остовное дерево для приведенного выше графа. Пусть \(v_1\) будет вершиной с надписью «Tiptree» и выберите соседние вершины в алфавитном порядке. Вы можете игнорировать веса ребер.

2

Используйте алгоритм поиска в ширину, чтобы найти остовное дерево для приведенного выше графа, где тип дерева равен \(v_1\). Добавьте вершины в \(L\) по алфавиту.

3

Найдите минимальное остовное дерево, используя алгоритм Прима.Обязательно отслеживайте порядок, в котором ребра добавляются к дереву. Затем найдите минимальное остовное дерево, используя алгоритм Крускала, снова отслеживая порядок добавления ребер.

4

Найдите кратчайший путь через дерево от Малдона. Не забудьте подробно показать шаги алгоритма Дейкстры.

5.9.3: Транспортные сети и потоки

1

Телефонный звонок может быть направлен из Саут-Бенда в Орландо по разным маршрутам.Линия от Саут-Бенда до Индианаполиса может принимать до 40 вызовов одновременно. Другие линии и их пропускная способность следующие: Саут-Бенд в Сент-Луис (30 звонков), Саут-Бенд в Мемфис (20 звонков), Индианаполис в Мемфис (15 звонков), Индианаполис в Лексингтон (25 звонков), Сент-Луис в Литтл. Рок (20 звонков), Литл-Рок в Мемфис (15 звонков), Литл-Рок в Орландо (10 звонков), Мемфис в Орландо (25 звонков), Лексингтон в Орландо (15 звонков). Нарисуйте транспортную сеть, отображающую эту информацию.

2

Заполните пропущенные значения на ребрах, чтобы в результате получился поток в транспортной сети.

3

Используйте алгоритм максимального потока, чтобы найти максимальный поток и минимальный разрез в транспортной сети ниже. Определить значение потока. Найдите минимальный разрез и задайте его пропускную способность.

4

Используйте алгоритм максимального потока, чтобы найти больший поток, чем тот, который в настоящее время отображается в транспортной сети ниже.

5

Используйте алгоритм максимального потока, чтобы найти больший поток, чем тот, который в настоящее время отображается в транспортной сети ниже.

Сколько всего подарков подарила мне моя настоящая любовь?

Все мы знаем праздничную песнь Двенадцать дней Рождества . С каждым днем ​​«моя настоящая любовь» получает все больше подарков. В первый день есть один подарок, куропатка на грушевом дереве.На втором — две горлицы и еще одна куропатка, всего трое. На третий день шесть подарков, на четвертый — 10, на пятый — 15 и так далее. Вот рождественская головоломка: каково общее количество подарков за 12 дней?

Пока вы над этим работаете, вот загадка: почему математики путают Хэллоуин и Рождество? Потому что 31 октября равно 25 декабря. Если это не имеет смысла, вспомните, что трижды восемь плюс один дает 25, поэтому восьмеричное число 31 равняется десятичному числу 25.

Вернемся к подаркам: их можно легко сосчитать, но это утомительно и велика вероятность ошибки. Итак, давайте рассуждать математически. Количество подарков в день N равно 1 + 2 + … + N, где точки означают, что мы складываем все числа от 1 до N. Мы можем проверить первые несколько значений N, и мы получим 1, 3, 6 и 10. На самом деле существует формула для количества подарков в день N, а именно N ( N + 1 ) / 2. Опять же, мы можем легко проверить, что это работает для первых нескольких значений N.

Количество подарков каждый день называется треугольным числом: каждое из них можно расположить в виде треугольника. Для N = 1 и N = 3 это очевидно. Для N = 4 представьте себе треугольник из 10 кеглей для боулинга, а для N = 5 представьте 15 снукерных шаров, расположенных треугольником.

Каждый день приносит большее треугольное количество подарков.Но как мы можем вычислить общее число, не складывая их? Нам нужно просуммировать первые 12 треугольных чисел. Мы собираемся сложить их в стопку, но складывать прыгающих лордов, лежащих гусей и танцующих дам неудобно, поэтому давайте возьмем рождественские безделушки, чтобы представить каждый подарок.

Начнем с 12 треугольников безделушек, по одному на каждый день. Мы можем сложить одну безделушку для первого дня поверх трех для второго дня.Получается маленькая пирамидка из четырех безделушек. Мы можем поместить его поверх шести безделушек, представляющих третий день, чтобы получить большую пирамиду с 10 безделушками. В конце концов мы подошли к самому большому треугольнику, соответствующему подаркам, полученным на 12-й день. Подставляя в приведенной выше формуле N = 12, получаем (12 х 13) / 2 = 78. (Обязательно, если есть сомнения, сложите числа от 1 до 12.) Получим стопку с тремя треугольными сторонами и треугольное основание или четыре грани всего. Это называется тетраэдр.Тетраэдр — одно из пяти Платоновых тел, известных с древних времен. Я опущу подробности, но достаточно легко показать, что количество безделушек в тетраэдре с N слоями равно:

.

Н (Н + 1) (Н + 2) / 6.

Числа этой формы называются тетраэдрическими числами. Если подставить значение N = 12, получится 364, общее количество подарков, почти по одному на каждый день года.Настоящая любовь на самом деле.

Математик Джон Хортон Конвей, «волшебный гений», известный тем, что изобрел «Игру жизни», умер в возрасте 82 лет умер в субботу, 11 апреля, в Нью-Брансуике, штат Нью-Джерси, от осложнений, связанных с COVID-19. Ему было 82.

Мемориал/посещение в честь Конвея состоится в воскресенье, октября.11, с 15:00 до 17:00, в похоронном бюро Mather-Hodge, 40 Vandeventer Ave., Princeton, NJ 08542. Посещение будет с 15:00 до 16:00; друзья будут приглашены для выступления с 16:00 до 17:00. Правила социального дистанцирования ограничивают количество людей внутри одновременно до 25 человек. Пожалуйста, наденьте маску для лица. Вопросы можно направлять по адресу [email protected]

Известный своим безграничным любопытством и энтузиазмом в предметах, выходящих далеко за рамки математики, Конвей был любимой фигурой в коридорах здания математического факультета Принстона и в кофейне Small World на Нассау-стрит, где он с одинаковым интересом общался со студентами, преподавателями и любителями математики. .

Конвей, который поступил на факультет в 1987 году, был профессором прикладной и вычислительной математики имени Джона фон Неймана и профессором математики до 2013 года, когда он получил статус почетного.

Фото:

Дениз Эпплуайт, Управление по связям с общественностью

«Джон Конвей был удивительным математиком, мастером игр, эрудитом и рассказчиком, который оставил неизгладимый след во всех, с кем сталкивался — в коллегах, студентах и ​​не только — вдохновляя народное воображение так же, как и он сам. раскрыл некоторые из самых глубоких математических тайн», — сказал Игорь Роднянский, профессор математики и заведующий кафедрой математики.«Его детское любопытство прекрасно дополнялось его научной оригинальностью и глубиной мышления. Это большая потеря для нас и для всего математического мира».

За свою долгую карьеру Конвей внес значительный вклад в математику в области теории групп, теории чисел, алгебры, геометрической топологии, теоретической физики, комбинаторной теории игр и геометрии.

«Он был подобен бабочке, перелетающей от одного к другому, всегда с магическими качествами к результатам», — сказал Саймон Кохен, профессор математики, почетный, бывший заведующий кафедрой, близкий сотрудник и друг.

Далее Кочен сказал, что Конвей был «волшебным гением», определяемым как человек, который не просто умнее большинства людей, но чей ум работает высокоразвитыми и непостижимыми способами. Этот термин был придуман покойным математиком Марком Кацем для описания физика Ричарда Фейнмана.

Одним из самых известных достижений Конвея была игра «Жизнь», которую он задумал в 1970-х годах, чтобы описать, как жизнь может развиваться из начального состояния. Концепция основана на идеях, восходящих к Джону фон Нейману, пионеру ранних вычислений, в 1940-х годах.Игра Конвея включает двумерную сетку, в которой каждая квадратная ячейка взаимодействует со своими соседями в соответствии с набором правил. Со временем эти простые взаимодействия усложняются.

Игра была представлена ​​в октябре 1970 года в колонке математических игр журнала Scientific American, создатель которой, ныне покойный Мартин Гарднер, дружил с Конвеем. Конвей продолжал интересоваться «развлекательной математикой», изобретая множество игр и головоломок. В Принстоне он часто носил в карманах реквизит, такой как веревки, монеты, карты, игральные кости, модели, а иногда и слинки, чтобы интриговать и развлекать студентов и других.

Манджул Бхаргава, которого Конвей консультировал во время его первого года обучения в аспирантуре Принстона, а сейчас он Брэндон Фрадд из Принстона, выпускник 1983 года, профессор математики, сказал, что любовь Конвея к играм и фокусам как к способу обучения математике концепции вдохновили Бхаргаву на собственный подход.

«Я очень быстро понял, что игры и работа над математикой были для него тесно переплетенными занятиями, если не одним и тем же занятием», — сказал Бхаргава.«Его отношение нашло отклик и подтвердило мои собственные мысли о математике как игре, хотя он занял такое отношение далеко за пределы того, что я когда-либо ожидал от профессора математики из Принстона, и мне это понравилось».

Гений Конвея привел ко многим открытиям и достижениям, гораздо более глубоким и фундаментальным, чем Игра в жизнь, по словам Питера Дойла, давнего друга и сотрудника, а также профессора математики в Дартмутском колледже. «Люди неизменно описывают Конвея как изобретателя Игры Жизни», — сказал Дойл.«Это все равно, что назвать Боба Дилана автором книги «Унесенные ветром».

Достижением, которым сам Конвей гордился больше всего, по словам Кохена, было изобретение им новой системы чисел, сюрреалистических чисел. Этот континуум чисел включает не только действительные числа, такие как целые числа, дроби и иррациональные числа, такие как число Пи, но также бесконечно малые и бесконечные числа.

Позже, вместе с Коченом, Конвей в 2004 году разработал и доказал теорему о свободе воли, чтобы объяснить принципы квантовой механики, раздела физики, определяющего поведение атомов и других элементарных частиц.В нем говорится, что если экспериментатор может свободно выбирать, что измерять в конкретном эксперименте, то и элементарные частицы могут свободно выбирать свои спины, чтобы измерения соответствовали физическому закону.

Теорема о свободе воли привлекла внимание своим выводом о том, что если люди обладают свободой воли, то элементарные частицы, такие как атомы и электроны, также обладают свободой воли.

Многочисленные награды Конвея включают премию Бервика Лондонского математического общества и премию Полиа, премию Неммерса Северо-Западного университета по математике и премию Лероя П.Премия Стила за математическое изложение. Конвей является членом Лондонского королевского общества и Американской академии искусств и наук.

Конвей родился в Ливерпуле, Англия, 26 декабря 1937 года. из Кембриджского университета в 1959 году и его докторская степень. из того же учреждения в 1964 году. Он был преподавателем в Кембридже, пока не приехал в Принстон.

Дэвид Габай, профессор математики Хьюз-Роджерс и бывший заведующий кафедрой, заметил: «Джон Конвей был любимым преподавателем кафедры, всегда очень дружелюбным и готовым поболтать с кем угодно.Люди приезжали издалека, чтобы поговорить с ним.»

Обычный офис Конвея был до отказа заполнен книгами и красочными игрушечными моделями, построенными из бумаги и дерева для иллюстрации математических концепций, поэтому его обычно можно было найти сидящим в одном из маленьких уголков напротив общей комнаты в Файн Холле, добавил Габай. Там Конвей разговаривал со студентами и коллегами или писал у соседней доски или с ручкой и блокнотом.

Питер Сарнак, профессор математики Юджина Хиггинса из Принстона, вспоминал те дни.

«Экстраверт по натуре, Джон любил быть в центре математических дискуссий, ему нравилось думать и изобретать на месте», — сказал Сарнак. «С этой целью он отказался от своей обычной должности на математическом факультете Принстона и перебрался в большую общую комнату, где его всегда можно было найти, рассматривая последние (часто его!) математические разработки или изобретения. В дни небольших математических новостей он бросал вызов другим математическим играм или головоломкам, и теперь, когда я думаю об этом, я не могу вспомнить ни одного случая, когда он не выигрывал.

«Математический мир потерял особенного человека, но мы стали намного богаче за все, что он нам дал.»

Конвей добился значительных успехов во многих областях математики. В теории групп он работал над классификацией конечных простых групп и открыл группы Конвея, а также был основным автором ATLAS конечных групп в 1986 году. Вместе с Саймоном Нортоном в Кембридже в 1979 году он выдвинул комплекс гипотез, названный « Чудовищный самогон». Он также исследовал решетки в более высоких измерениях и вместе с Нилом Слоаном из Bell Labs написал книгу Sphere Packings, Lattices and Groups в 1988 году.

В области теории чисел Конвей, будучи аспирантом, доказал гипотезу Эдварда Уоринга из Кембриджа о том, что любое целое число можно представить в виде суммы 37 чисел, каждое из которых возведено в пятую степень. В 1993 году в Принстоне он вместе с бывшим студентом Уильямом Шнебергером доказал, что если целая положительно определенная квадратичная форма с целочисленной матрицей представляет все положительные целые числа до 15, то она представляет все положительные целые числа.

Работая с кватернионами, он изобрел систему икосианов в алгебре.Он был автором нескольких книг и монографий, в том числе «О кватернионах и октонионах» в 2003 году с бывшим студентом Дереком Смитом, ныне профессором колледжа Лафайет, «Чувственная (квадратическая) форма» в 1997 году с бывшим студентом Фрэнсисом Фунгом и «Регулярная алгебра и конечные машины» в 1971 году.

В геометрической топологии Конвей внес вклад в теорию узлов и вариант, который теперь называется полиномом Александера-Конвея. Он развил теорию запутывания и изобрел систему обозначений для табуляции узлов, теперь известную как обозначение Конвея, при этом расширив таблицы узлов до 11 пересечений.

«Он был действительно, без преувеличения, гением, абсолютно», — сказал Джозеф Кон, заслуженный профессор математики и бывший заведующий кафедрой. «Он так много знал и интересовался всеми аспектами математики и естественных наук. Он был увлеченным учителем, любил делиться своими знаниями и обсуждать разные вещи. Он был очень игривым и всегда был готов к игре, многие из которых он сам придумал».

Кон рассказал о случае, когда Конвей решил прочитать большую публичную лекцию и по дороге на лекцию спросил своих товарищей, какую тему ему следует затронуть.Определившись с темой в машине, Конвей успешно провел лекцию без какой-либо дополнительной подготовки.

Конвей сочетал игривость с мастерством владения тайной информацией, как прокомментировали некоторые, кто его знал.

«Однажды он пожал мне руку и сообщил, что я в четырех рукопожатиях от Наполеона, цепочка состоит из меня, Джона Конвея, Бертрана Рассела, лорда Джона Рассела и Наполеона», — сказал Габай.

Жена Конвея, Диана, впервые встретила Конвея в 1996 году в кофейне на Уизерспун-стрит в Принстоне, где они оба были постоянными утренними посетителями.Эти двое обнаружили, что разделяют любовь к играм, и стали друзьями. В то время Диана работала в книжном магазине университета и, хотя не была математиком, любила математику и позже стала бухгалтером. Они поженились в 2001 году.

«Джон был самым очаровательным человеком, которого я когда-либо встречала», — сказала Дайана Конвей. «Его интересовала не только математика, его интересовало все».

Дайана Конвей описала готовность Джона Конвея поговорить со всеми, кто интересуется математикой, будь то профессор университета или любитель с интересной теорией или открытием.

«В нашем доме всегда появлялись странные персонажи, которые присоединялись к нам за ужином или сидели с Джоном в саду за домом», — сказала Дайана Конвей. «Он получал ведра и ведра писем от фанатов».

Страсть Конвея к преподаванию распространилась не только на студентов университетов, но и на учащихся средних и старших классов в региональных математических лагерях, проводимых летом в университетах по всей стране.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.