Формулы объем фигур: Формулы объема геометрических фигур

Содержание

Как найти объём геометрических фигур

Изучение объемных фигур начинается со школы. В это время происходит знакомство с цилиндром, параллелепипедом, шаром, конусом и другими геометрическими телами. Одна из главных задача, которая сопровождает учеников, это вычисление объема фигур. Оперируя формулами, удается произвести расчет и получить ответ в метрах кубических (м3).

Чтобы вычислить объем, применяйте следующее правило – длину, ширину и высоту нужно перемножить между собой. Объем для каждой фигуры рассчитывается по специальной формуле, о которых, мы расскажем ниже.

Подписывайтесь на наш Telegram — канал

Содержание:
  1. Как найти объем трехмерных объектов
  2. Как найти объем для фигур цилиндрической формы
  3. Как рассчитать объем треугольной пирамиды
  4. Как посчитать объем куба
  5. Как найти объем прямоугольного параллелепипеда
  6. Как найти объем цилиндра
  7. Как найти объем пирамиды

Как найти объем трехмерных объектов

Начнем с расчета для прямоугольных и квадратных фигур. Придерживайтесь инструкции и постарайтесь рассчитать самостоятельно, чтобы закрепить знания. Числа, указанные в описании, берутся в качестве примера. Вы можете производить другие расчеты.

  1. Измеряем длину предмета в сантиметрах – 9. Сантиметры приходят на помощь, когда невозможно получить целое число в метрах .
  2. Замеряем ширину в сантиметрах – 17.
  3. Умножаем между собой длину и ширину 9 * 17 = 152 см2 – получили площадь основания
  4. Производим замер высоты – 28 см.
  5. Умножаем площадь основания на высоту 152 см2 * 28 см = 4256.

Полученное число необходимо перевести в кубические метры. Для этого конечный результат делим на 1.000.000.  Пример будет выглядеть следующим образом – 4256 м3/1000000 = 0,004256 м3

Как найти объем для фигур цилиндрической формы

Цилиндр – это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Одним из видов цилиндра является призма.

Чтобы произвести вычисления нужно найти диаметр тела (ширина) одного круглого основания и полученное число поделить на 2. Допустим, диаметр основания равен 30 см.

  1. Производим расчеты: 30 см / 2 = 15 см. Половина диаметра круга ‒ радиус.
  2. Возводим полученный радиус в квадрат или умножаем самого на себя: 15 * 15 = 225 см2.
  3. Полученное число 225 см2 – это квадрат радиуса. Эту цифру умножаем на число ПИ — 3,14. Например: 225 см2 * 3,14 = 706,5 см2.
  4. Проводим новый замер, чтобы узнать расстояние между круглыми основаниями, допустим, оно равно 12 см.
  5. Это число умножаем на площадь круглого основания: 706,5 см2 * 12 см = 8 478 см3
  6. Полученное значение и будет искомым объемом. Для перевода в кубические метры необходимо конечное число поделить на один миллион. Как мы делали в предыдущем примере.

Как рассчитать объем треугольной пирамиды

Пирамида – это многогранник, где есть одна грань основания и боковые грани. Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и другие. Также есть правильная и усеченная пирамида. Объем для каждой фигуры рассчитывается по разным формулам.

  1. Чтобы найти объём пирамиды замеряем длину стороны треугольника в основании пирамиды, предположим, что он равен 10 см.
  2. Затем повторим то же самое, но с высотой – 13 см.
  3. Длину высоты и стороны необходимо перемножить между собой и разделить на 2: 10 *13 = 130 см2 / 2 =65 см2.
  4. Замеряем высоту пирамиды – 33 см.
  5. Умножаем площадь треугольника у основания на высоту и делим на 3. Например: 65 см2 * 33 см =2 145 см2 / 3 = 715 см3.
  6. Для преобразования в кубические метры производим деление конечного числа на миллион.

Расчёт четырехгранной пирамиды производится тем же принципом. Потренируйтесь, используя разные задачи. Чтобы все замеры происходили правильно, не забудьте обзавестись хорошей линейкой, также на помощь придёт калькулятор, который поможет перемножать числа между собой.

В интернете представлено много онлайн-калькулятор, они дают подсказку и позволяют без  лишних трудностей рассчитать объём куба, цилиндра и других фигур. Перед началом пользования таких подсказок, необходимо обладать базовыми знаниями, чтобы быстрее разобраться в полученном результате.

Как посчитать объем куба

Параллелепипед складывается из шести граней, которые являются параллелограммом. Все противоположные грани попарно равны и параллельны. Фигура получилась 4 диагонали, и все они пересекаются в одной точке, разделяют эту точку пополам. Параллелепипед, грани которого являются квадратами, будет называться кубом.

Все рёбра куба всегда будут равны. Для проведения вычислений, воспользуйтесь следующей формулой V = H3, где H ‒ высота ребра куба. Например: высота куба равняется ‒ 3 см, получается, что объем равен 33 = 27 см3.

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольным параллелепипедом называется фигура, у которой все шесть граней прямоугольники. Для вычисления работает следующая формула:

V = SH = abc

Где H ‒ высота, S ‒ площадь основания, abc – ребра. Чтобы произвести расчеты и найти объём, необходимо узнать произведение площади основания на высоту. Например: 1 см * 2 см * 3 см = 6 см3

Советы по измерению:

  1. Измерить стороны.
  2. Каждая сторона параллелепипеда должна находиться в одинаковых единицах измерения.
  3. Вычисляем площадь основания.
  4. Умножаем площадь основания на высоту параллелепипеда.

Убедитесь, что перед вами параллелепипед, а не куб, так как в случае с кубом расчетная формула будет проще.

Как найти объем цилиндра

Цилиндр считать круглой фигурой, т.к. в его основании лежит круг. Чтобы произвести вычисления, необходимо узнать произведение площади основания на высоту. Для этого используется следующая формула:

V= π * r2 * h

Где r ‒ радиус цилиндра, h – высота цилиндра. Чисто π – является константой и равно 3,14. Оно всегда одинаковое и не требует никаких измерений. Рассмотрим на примере:

3,14 * 2 см2 * 5 см = 62.831853071796 = 63см3

Если вы не можете вычислить радиус, измерьте диаметр с помощью формулы преобразования.

Как найти объем пирамиды

фото 6 — посчитать объём

Чтобы произвести расчет объема, нам нужно найти произведение площади основания на высоту. Для вычисления используется следующая формула:

V =  S*h

Где S (A*B*C*D*E) – площадь основания пирамиды, а h ‒ высота пирамиды. Рассмотрим на примере:

V =  3 * 2 = 2 см3 ‒ это и будет являться объемом искомой геометрической фигуры.

Не забывайте, что пирамиды бывают усеченные, правильные, трех- и четырехугольные. Для каждого тела действуют свои расчеты, но важно начинать с основного и не упускать базовые знания, в дальнейшем все примеры будут базироваться именно на них.

Если какая-то формула осталась непонятной, лучше вернуться к этому и поупражняться ещё раз, доведя знание до автоматизма. Так решение задач не будет вызывать сложности. Постоянная практика ‒ это основа успешного результата.

Формула расчета объема шестиугольной призмы. Объемы геометрических фигур

Все фигуры, которые ограничены гранями, находящимися в разных плоскостях в пространстве, обладают некоторым объемом. Вычислением этой величины занимается специальный геометрический раздел — стереометрия. В данной статье приведем формулу объема шестиугольной призмы.

Что такое призма?

Очевидно, что прежде чем находить объем геометрической фигуры, следует познакомиться с ней и понять, какими свойствами она обладает. В данном случае речь идет о призме. В стереометрии для этой фигуры приводится следующее определение: призмой называется любой пространственный геометрический объект, который ограничен двумя n-угольниками, находящимися в параллельных плоскостях, и n параллелограммами. Здесь n — любое натуральное число начиная с трех.

Построить фигуру несложно. Для этого следует взять произвольный многоугольник и с помощью одинаковых параллельных друг другу отрезков перенести его в другую плоскость. Получившаяся фигура будет призмой. Отметим, что она, в отличие от конуса, цилиндра и сферы, не является фигурой вращения, то есть ее нельзя получить с помощью вращения вокруг оси какой-либо плоской фигуры.

Выше на рисунке приведен для примера параллелепипед, который является четырехугольной призмой.

Призма шестиугольная и ее виды

Далее в статье приведем формулу объема призмы шестиугольной. Что представляет собой эта фигура? Любая призма, имеющая в основании шестиугольник, называется шестиугольной.

Она образована двумя шестиугольниками в основаниях и шестью параллелограммами, совокупность которых составляет боковую площадь фигуры. Эта призма имеет 12 вершин, 8 граней или сторон и 18 ребер, 2/3 из которых принадлежат основаниям.

Приведенному описанию элементов соответствуют несколько видов шестиугольной призмы. Во-первых, эта фигура может быть выпуклой или вогнутой, что зависит от шестиугольника в основаниях, во-вторых, призма может быть наклонной и прямой. Разница между ними заключается в том, что в прямой фигуре любая боковая сторона будет перпендикулярна основаниям, а в наклонной фигуре боковые стороны пересекают основания под некоторыми углами, которые отличны от 90o. Обе призмы показаны на рисунке.

Заметим, что условие перпендикулярности боковых сторон и оснований приводит к тому, что параллелограммы прямой призмы становятся прямоугольниками.

Наконец, в-третьих, шестиугольная призма бывает правильной и неправильной. Последней будет любая фигура, которая не является прямой и не обладает правильным шестиугольным основанием. Далее основное внимание будем уделять именно правильной призме.

Правильный шестиугольник

Для определения объемов геометрических фигур многих классов необходимо знать значение площади их основания. Этот факт справедлив для пирамид, цилиндров, конусов. Призмы тоже не являются исключением.

Чтобы найти площадь основания шестиугольной призмы, следует рассчитать площадь шестиугольника. Проще всего сделать это для правильной фигуры. Для наглядности покажем, что такое правильный шестиугольник.

Видно, что представляет он многоугольник, образованный шестью одинаковыми сторонами, которые пересекаются под углами 120o. Также видно, что в шестиугольник можно вписать окружность некоторого радиуса, а также можно описать его окружностью.

Вычисление площади основания призмы шестиугольной правильной сводится к определению площади приведенной выше фигуры. Если шестиугольник разбить на равносторонние треугольники так, как показано на рисунке, то его площадь будет равна умноженной на 6 площади одного треугольника. Обозначим длину стороны шестиугольника буквой a, тогда для площади S шестиугольника получаем:

S = 6*1/2*a*√3/2*a = 3*√3/2*a2.

Для любого другого шестиугольника, который не является правильным, эта формула будет несправедливой.

Вычислить объем любой призмы несложно, для этого следует знать всего два ее параметра: высоту h и основания площадь S. Расчет объема V осуществляется по следующей формуле:

V = h*S.

Отметим важную вещь: записанное выражение справедливо для любых видов призм, включая вогнутые и наклонные. Тем не менее для произвольной призмы, несмотря на простоту формулы, применять ее бывает сложно. Сложность связана с определением обоих параметров в выражении.

В связи с вышесказанным, рассмотрим конкретную правильную призму с правильным шестиугольным основанием. Если ее высота равна h, а длина стороны равна a, тогда формула объема шестиугольной призмы правильной примет вид:

V = 3*√3/2*h*a2.

При записи этого выражения была подставлена формула для S, приведенная в предыдущем пункте.

Далее решим две задачи, в которых покажем, как найти объем шестиугольной призмы для конкретных случаев.

Задача с известной диагональю

Ниже на рисунке показана правильная призма. Известно, что сторона ее основания равна 9 см. Чему равен объем шестиугольной призмы, если диагональ AB имеет длину 21 см.

Не сложно догадаться, взглянув на рисунок, что треугольник ABC является прямоугольным, причем сторона AB — это гипотенуза. Катет AC является высотой h фигуры. Чтобы вычислить объем призмы, нам необходимо найти длину этого катета. Заметим, что второй катет CB имеет в два раза большую длину, чем сторона основания, то есть 18 см. Применяем теорему Пифагора и получаем:

h = AC = √(AB2-CB2) = √(212-182) ≈ 10,82 см.

Значение высоты мы округлили до сотых долей сантиметра.

Поскольку нам известна высота h и сторона основания a, то можно применить формулу для V. Получаем:

V = 3*√3/2*h*a2 = 3*√3/2*10,82*92 = 2277 см3.

Таким образом, рассмотренная призма имеет объем почти 2,3 литра.

Задача с вписанным в призму цилиндром

Известно, что цилиндр с радиусом 12 см вписан в правильную шестиугольную призму. Объем цилиндра равен 1360 см3. Чему равен объем призмы?

Как было показано, определить объем призмы можно, если знать ее высоту и сторону основания. Начнем с определения стороны. Поскольку радиус r окружности, вписанной в шестиугольник, известен, значит, длину стороны a можно рассчитать так:

a = 2*r/√3.

Понять, откуда взялась эта формула, можно, если учесть, что радиус r является высотой одного из шести равносторонних треугольников шестиугольника.

Теперь вычислим высоту h призмы. Согласно условию задачи, она должна совпадать с высотой цилиндра. Объем же цилиндра рассчитывается по той же формуле, что и для призмы. Имеем:

Vc = So*h = pi*r2*h =>

h = Vc/(pi*r2).

Подставляем выражения для a и h в формулу для V призмы, получаем:

V = 3*√3/2*h*a2 = 3*√3/2*Vc/(pi*r2)*(2*r/√3)**2 = 2*√3*Vc/pi.

Мы пришли к интересному результату: оказывается, объем шестиугольной призмы не зависит от радиуса вписанного цилиндра, а однозначно определяется его объемом. Подставив значение Vc, получаем объем призмы, равный приблизительно 1500 см3.

Объем геометрических фигур — онлайн калькулятор

Данный калькулятор рассчитывает объем таких геометрических фигур как куб, призма, пирамида, усеченная пирамида, конус, цилиндр, сфера, эллипсоид и тороид.

Формула объема куба: V = h4,

где V -объем куба, Н — высота ребра

Формула объема прямоугольной призмы:V = H*W*L

Формула объема пирамиды:V = 1/3*Sb*H

Формула объема усеченной пирамиды:

Формула объема конуса:V = ⅓*ПR2

Формула объема цилиндра:V = H*ПR2

Формула объема сферы:V = 4/3*ПR3

Формула объема эллипсоиды:V =4/3*ПR*a*b*c

Формула объема тороида:V = 2П2R1R22



The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.

C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

minutes

minutes

minute

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

minutes

hour

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

hours

days

day

day

day

day

days

days

days

days

days

days

days

month

month

month

month

months

months

months

months

months

months

months

year

of the year

of the year

of the year

years

years

years

years

years

years

years

ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutesу ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 minutes ago

%1 hour ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 hours ago

%1 days ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 day ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 days ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 month ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 months ago

%1 year ago

%1 of the year ago

%1 of the year ago

%1 of the year ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

%1 years ago

Достаточно знать всего одну формулу, чтобы вычислять и площади, и объемы различных фигур (Формула Симпсона) | Строю для себя

Приветствую Вас, уважаемые гости и подписчики моего канала!

Сегодня, хотел бы свою статью посвятить царице наук, а именно — математике! Являясь отцом двоих детей, я постоянно помогаю им с домашкой (домашними работами), в том числе и с математикой. Дочери в школе задали на лето около сотни задач, и, проверяя очередную, наткнулся в учебнике на интересный параграф, который называется в честь двух великих математиков: Формула Ньютона-Симпсона.

На самом же деле, она относится к высшей математике, а именно к приемам численного интегрирования, но благодаря своей простоте, проходят ее и в школьном курсе. С помощью одной единственной универсальной формулы Ньютона-Симпсона можно вычислять как площади фигур, так и объемы различных тел.

Формула выглядит следующим образом:

Если вычисляются объемы тел, то в качестве «b» берутся площади оснований и сечений, если же вычисляются площади, то «b» это длины оснований и отрезка по центру.

b1 — это длина или площадь нижнего основания;

b2 — это длина отрезка посередине фигуры или площадь сечения по центру тела;

b3 — это длина или площадь верхнего основания;

Проще на примерах.

..

1. Объемы

Итак, предположим нам требуется вычислить объем конуса или пирамиды. Геометрия нам говорит, что объем этих фигур равен:

V = (S*h)/3, где S — площадь основания, h — высота.

По формуле Ньютона-Симпсона это представляется так:

V=(Н/6)*(b1 + 4b2 + b3) или (Н/6)*(b1 + 4*(b1/4) + 0) = Н*b1/3.

Как вы видите формула Симпсона, путем преобразования, превращается в стандартную формулу, изучаемую в школе. Все то же самое можно проделать с цилиндром, призмой или шаром, а также с усеченными вариантами пирамиды и конуса.

В случаях с цилиндром и призмой, по формуле Ньютона-Симпсона у вас будет выведена формула объема, равная произведению высоты на основание b1, а в случае с шаром, получится реальная формула нахождения объема сферы: 4/3 *π*r³.

Уже за счет того, что формула применима для нахождения объемов самых известных геометрических фигур, она достойна называться универсальной. Кроме объема, как я уже ранее писал, с помощью нее можно вычислять и площади.

2. Площади

Итак…

Площадь любой произвольной трапеции:

S = h/6 * (b1 + 4(b1+b3)/2 + b3) = h/2 * (b1+b3)

Площадь треугольника:

S = h/6 * (b1 + 4(b1/2) + 0) = 1/2 *b*h

Площадь параллелограмма или правильного четырехугольника:

S = h/6 * (b1 + 4b1 + b1) = b*h

Что и требовалось доказать!

Формула очень проста и интересна, если Ваши детки не проходили ее в школе, считаю, что стоит им рассказать и показать.

А на этом всё, с Вами был Роман, канал «Строю для Себя»…

Всего доброго!

Объем прямоугольного параллелепипеда / Геометрия / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Геометрия
  5. Объем прямоугольного параллелепипеда

Каждое из рассматриваемых нами тел имеет объём, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объёмов. За единицу измерения

объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Такой куб называют единичным (смотри рисунок ниже).

Единицы измерения объема:

Ребро куба Название объема куба Запись объема
1 мм кубический миллиметр 1 мм3
1 см кубический сантиметр 1 см3
1 дм кубический дециметр 1 дм3
1 м кубический метр 1 м3
1 км кубический километр 1 км3

При измерении объемов жидкостей или газов 1 дм3 называют литром, и записывают так: 1 л = 1 дм3.

Обозначают объем буквой , т.е. если нам сказано, что объем фигуры равен 24 см3, то это можно записать так: = 24 см3.

Измерить объем фигуры — значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается.

Свойства объемов

1) Равные фигуры имеют равные объемы.

2) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

Формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда

Если — длина параллелепипеда, — ширина параллелепипеда, — высота параллелепипеда, то объем такого параллелепипеда будет выражаться формулой: .

Пример:

Найдем объем параллелепипеда с ребрами 5 см, 2 см и 8 см:

= 528 = 80 (см3).

Связь объема параллелепипеда с площадью его основания

Если — длина прямоугольного параллелепипеда, — его ширина, то их произведение равно площади основания рассматриваемого параллелепипеда, т.

к. основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник, т.е. (смотри рисунок ниже).

Если высоту данного прямоугольного параллелепипеда обозначить буквой , тогда объем данного параллелепипеда будет равен , откуда, учитывая то, что , получим: .

Пример:

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда, площадь основания которого равна 20 см2, а высота равна 7 см:

= 207 = 140 (см3).

Формула для вычисления объема куба

У куба все ребра равны, т.е. длина, ширина и высота совпадают, тогда, если ребро куба , его объем будет вычисляться по формуле: .

Пример:

Найдем объем куба с ребром 3 дм:

= 33 = 333 = 27 (дм3).

Связь между метрическими единицами объема

1 м3 = 1 000 дм3 = 103 дм3

1 дм3

= 1 000 см3 = 103 см3

1 см3 = 1 000 мм3 = 103 мм3

1 км3 = 1 000 м1 000 м1 000 = 109 м3.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отрезок

Ломаная

Четырехугольники

Единицы измерения площадей. Свойства площадей

Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры

Квадрат. Периметр и площадь квадрата.

Многоугольники. Правильные многоугольники. Равенство фигур.

Плоскость

Прямая

Луч

Шкалы и координаты

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.

Куб. Площадь поверхности куба

Куб. Объем куба

Угол. Обозначение углов

Прямой и развернутый угол

Чертежный треугольник

Измерение углов. Транспортир. Виды углов

Треугольник и его виды

Окружность, круг, шар

Цилиндр, конус

Отрезок-xx

Геометрия

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 868, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1066, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1478, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1699, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1845, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 6, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 636, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1053, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1203, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1205, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 365, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 514, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 539, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 404, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 476, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 782, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 833, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 834, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1041, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 230, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 757, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Все формулы нахождения площади и объема. Объем фигур

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

  1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
  2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
  3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
  4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

А древние египтяне пользовались методами вычисления площадей различных фигур, похожими на наши методы.

В своих книгах «Начала» известный древнегреческий математик Евклид описывал достаточно большое число способов вычисления площадей многих геометрических фигур. 2$. Найдем площадь прямоугольника по формуле:

Как видим, площади, найденные обоими способами, равны.

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Отрезок $AC$ делит прямоугольник на два равных треугольника: $ABC$ и $ADC$. Значит площадь каждого из треугольников равна половине площади всего прямоугольника.

Определение 2

Прямоугольник с равными сторонами называется квадратом .

Если обозначить сторону квадрата буквой $a$, то площадь квадрата будет находится по формуле:

Отсюда и название квадрат числа $a$.

Пример 2

Например, если сторона квадрата равна $5$ см, то его площадь:

Объемы

С развитием торговли и строительства еще во времена древних цивилизаций появилась необходимость в нахождении объемов. В математике существует раздел геометрии, который занимается изучением пространственных фигур, называемый стереометрией. Упоминания об этом отдельном направлении математики встречались уже в $IV$ веке до н.э.

Древними математиками был выведен способ вычисления объема несложных фигур — куба и параллелепипеда. Все сооружения тех времен были именно такой формы. Но в дальнейшем были найдены способы вычисления объема фигур более сложных форм.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если наполнить формочку влажным песком и потом перевернуть, то получим объемную фигуру, которая характеризуется объемом. Если сделать таких фигур несколько с помощью одной и той же формочки, то получатся фигуры, которые имеют одинаковый объем. Если наполнить формочку водой, то объем воды и объем фигуры из песка также будут равными.

Рисунок 5.

Сравнить объемы двух сосудов можно, наполнив один водой и перелив ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется полностью заполненным, то сосуды имеют равные объемы. Если при этом в первой вода останется, то объем первого сосуда больше объема второго. Если при переливании воды из первого сосуда не удается полностью заполнить второй сосуд, значит объем первого сосуда меньше объема второго.

Объем измеряется с помощью следующих единиц:

$мм^3$ — миллиметр кубический,

$см^3$ — сантиметр кубический,

$дм^3$ — дециметр кубический,

$м^3$ — метр кубический,

$км^3$ — километр кубический.

Измерьте все необходимые расстояния в метрах. Объем многих трехмерных фигур легко вычислить по соответствующим формулам. Однако все значения, подставляемые в формулы, должны измеряться в метрах. Таким образом, перед подстановкой значений в формулу убедитесь, что все они измеряются в метрах, или что вы конвертировали другие единицы измерения в метры.

  • 1 мм = 0,001 м
  • 1 см = 0,01 м
  • 1 км = 1000 м
  • Для вычисления объема прямоугольных фигур (прямоугольный параллелепипед, куб) используйте формулу: объем = L × W × H (длину умножить на ширину умножить на высоту). Эту формулу можно рассматривать как произведение площади поверхности одной из граней фигуры на ребро, перпендикулярное этой грани.

    • Например, вычислим объем комнаты длиной 4 м, шириной 3 м и высотой 2,5 м. Для этого просто умножим длину на ширину и на высоту:
      • 4 × 3 × 2,5
      • = 12 × 2,5
      • = 30. Объем этой комнаты равен 30 м 3 .
    • Куб – объемная фигура, у котрой все стороны равны. Таким образом, формулу для вычисления объема куба можно записать в виде: объем = L 3 (или W 3 , или H 3).
  • Для вычисления объема фигур в виде цилиндра используйте формулу: пи × R 2 × H. Вычисление объема цилиндра сводится к умножению площади круглого основания на высоту (или длину) цилиндра. Найдите площадь круглого основания, умножив число пи (3,14) на квадрат радиуса круга (R) (радиус — расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на этой окружности). Затем полученный результат умножьте на высоту цилиндра (H), и вы найдете объем цилиндра. Все значения измеряются в метрах.

    • Например, вычислим объем колодца диаметром 1,5 м и глубиной 10 м. Разделите диаметр на 2, чтобы получить радиус: 1,5/2=0,75 м.
      • (3,14) × 0,75 2 × 10
      • = (3,14) × 0,5625 × 10
      • = 17,66. Объем колодца равен 17,66 м 3 .
  • Для вычисления объема шара используйте формулу: 4/3 х пи × R 3 . То есть вам нужно знать только радиус (R) шара.

    • Например, вычислим объем воздушного шара диаметром 10 м. Разделите диаметр на 2, чтобы получить радиус: 10/2=5 м.
      • 4/3 х пи × (5) 3
      • = 4/3 х (3,14) × 125
      • = 4,189 × 125
      • = 523,6. Объем воздушного шара равен 523,6 м 3 .
  • Для вычисления объема фигур в виде конуса используйте формулу: 1/3 х пи × R 2 × H. Объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, который имеет такую же высоту и радиус.

    • Например, вычислим объем конуса мороженного радиусом 3 см и высотой 15 см. Конвертируя в метры, получим: 0,03 м и 0,15 м соответственно.
      • 1/3 х (3,14) × 0,03 2 × 0,15
      • = 1/3 х (3,14) × 0.0009 × 0,15
      • = 1/3 × 0.0004239
      • = 0,000141. Объем конуса мороженного равен 0,000141 м 3 .
  • Для вычисления объема фигур неправильной формы используйте несколько формул. Для этого попробуйте разбить фигуру на несколько фигур правильной формы. Затем найдите объем каждой такой фигуры и сложите полученные результаты.

    • Например, вычислим объем небольшого зернохранилища. Хранилище имеет цилиндрический корпус высотой 12 м и радиус 1,5 м. Хранилище также имеет коническую крышу высотой 1 м. Вычислив отдельно объем крыши и отдельно объем корпуса, мы можем найти общий объем зернохранилища:
      • пи × R 2 × H + 1/3 х пи × R 2 × H
      • (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 х (3,14) × 1,5 2 × 1
      • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 х (3,14) × 2,25 × 1
      • = (3,14) × 27 + 1/3 х (3,14) × 2,25
      • = 84,822 + 2,356
      • = 87,178. Объем зернохранилища равен 87,178 м 3 .
  • Объёмы поверхностей геометрических тел — определение и примеры с решением

    Содержание:

    Объёмы поверхностей геометрических тел:

    То, чем в предыдущие эпохи занимались только зрелые умы ученых мужей, в более позднее время стало доступным для понимания юношей.

    С древних времен люди применяли геометрию для решения конкретных житейских проблем — нахождения объемов сосудов, строений и кораблей, количества краски, необходимой для ремонта помещения. На основании практического опыта были разработаны методы вычисления объемов тел и площадей поверхностей. Но нахождение соответствующих формул, а тем более их доказательств заняло немало страниц в истории геометрической науки. Многие выдающиеся ученые внесли свой вклад в развитие теории объемов, а популяризаторы математики — в упрощение и доступное изложение этой теории.

    Основной целью данной главы является формирование представлений об объемах и площадях поверхностей, обоснование соответствующих формул для основных пространственных фигур. Вы. научитесь использовать различные методы нахождения объемов, как строго геометрические, так и те, которые объединяют в себе геометрию и начала анализа. При изучений объемов тел полезно будет вспомнить и систематизировать материал о площадях фигур на плоскости. Подходы, которые применялись для получения основных формул площадей, будут надежным фундаментом для построения теории объемов.

    В данной главе речь пойдет о всех основных фигурах, которые вы изучали в течение года, в частности о тесной связи многогранников и тел вращения. Это даст вам возможность, с одной стороны, вспомнить основные факты из курса геометрии, а с другой — на основании формул для площадей поверхностей многогранников получить соответствующие результаты для тел вращения.

    Задачи данной главы содержат много геометрических конфигураций, что позволит вам переосмыслить весь курс стереометрии с точки зрения применения своих знаний на практике, в частности для нахождения, пожалуй, самых распространенных в жизни геометрических величин — объемов и площадей поверхностей. Ради этого бесценного опыта вы и изучали, в конце концов, геометрию в пространстве.

    Объемы

    Понятие объема хорошо известно на уровне повседневного опыта: мы покупаем пакет сока определенного объема, рассчитываем, какой объем займет в квартире новая мебель, берем для приготовления блюда кастрюлю соответствующего объема. Придадим этим наглядным представлениям об объеме тела определенную математическую строгость.

    Понятие объема многогранников

    Для дальнейших рассуждений полезно объединить практический опыт и известную уже теорию площадей многоугольников. По аналогии с ней мы и будем строить теорию объемов пространственных тел, в первую очередь многогранников.

    Объем характеризует величину части пространства, которую занимает геометрическое тело, и измеряется, как и площадь, в определенных единицах. Единицей измерения площадей является площадь единичного квадрата, а за единицу измерения объема принимается объем единичного куба, то есть куба, ребро которого равно единице длины. Например, если за единицу измерения длины принимается 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м, то за единицу измерения объема принимается объем куба с ребром 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м. Соответствующая единица объема называется кубическим миллиметром (1 мм3), кубическим сантиметром (1 см3), кубическим дециметром или литром (1 дм3 или 1 л), кубическим метром (1 м3). Таким образом, вычисление объемов тел разной формы основано на сравнении с объемом единичного куба.

    Измерить объем тела на практике можно, например, погрузив его в воду и подсчитав количество вытесненной телом воды. Но во многих случаях это не целесообразно, поэтому очень полезно вывести и научиться применять формулы для вычисления объемов. Соответствующая теория основана на аксиомах объема многогранников.

    1. Равные многогранники имеют равные объемы.
    2. Бели многогранник составлен из нескольких многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.
    3. Объем куба с ребром, равным единице длины, равен единице объема.

    Итак, объем многогранника — это положительная величина, Числовое значение которой удовлетворяет аксиомам объема. : — Как правило, объем обозначают буквой V.

    Приведенные аксиомы имеют и практическую основу. Действительно, все пакеты, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда и одинаковые размеры, содержат одинаковое количество сока.

    Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

    Если же каждый из двух пакетов можно разлить в одинаковое количество маленьких пакетиков, то сумма объемов этих пакетиков будет равна объему каждого из них, то есть данные пакеты имеют одинаковый объем.

    Тела, составленные из одних и тех же многогранников, называются равносоставленными. Например, равносоставленными будут тела, изображенные на рисунке 190, а, б: прямая треугольная призма и прямой параллелепипед. Действительно, каждая из этих фигур составлена из двух одинаковых прямых призм, таких как на рисунке 190, в.

    Очевидно, что объемы равносоставленных многогранников равны по второй аксиоме. Интересно, что обратное утверждение неверно (в отличие от аналогичной теоремы для площадей). Так, многогранники равного объема не всегда можно разбить на конечное число равных многогранников. В частности, куб и правильный тетраэдр равных объемов (рис. 190) не являются равносоставленными.

    Объем параллелепипеда

    Простейшей фигурой с точки зрения вычисления объема является прямоугольный параллелепипед.

    Теорема (формула объема прямоугольного параллелепипеда)

    Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:

    где — измерения прямоугольного параллелепипеда.

    Приведем рассуждения, на которых основано доказательство данной теоремы.

    Сначала рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями а, 1, 1. Так как в отрезке а единица измерения длины помещается а раз, то единичный куб помещается в параллелепипед также а раз. Значит, объем прямоугольного параллелепипеда равен а (рис. 191, а).

    Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 равен (рис. 191, б), а прямоугольного параллелепипеда с измерениями — равен abc (рис. 191, в).

    Полное доказательство данной теоремы приведено в Приложении 2.

    Следствие (формула объема куба)

    Объем куба равен кубу его ребра:

    где а — ребро куба.

    Нам известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его измерений, а параллелограмма — произведению его стороны на проведенную к ней высоту. По аналогии нетрудно предположить, что объем произвольного параллелепипеда также можно найти через площадь основания и соответствующую высоту.

    Теорема (формула объема параллелепипеда)

    Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту:

    где — площадь основания параллелепипеда, h — высота.

    Доказательство:

    Очевидно, что для прямоугольного параллелепипеда данная формула верна. Докажем ее для наклонного параллелепипеда (рис. 192). Проведем через ребра ВС и AD плоскости, перпендикулярные основанию ABCD. Дополним наклонный параллелепипед треугольной призмой и отсечем треугольную призму Эти призмы равны, так как совмещаются параллельным переносом на вектор . Значит, полученный параллелепипед имеет тот же объем, что и исходный.

    При описанном преобразовании параллелепипеда площадь его основания и высота сохраняются, а две боковые грани становятся перпендикулярными плоскости основания ABC. Если выполнить аналогичное преобразование с помощью плоскостей, проходящих через АВ и DC перпендикулярно основанию ABCD, получим прямой параллелепипед с основанием ABCD, равновеликий исходному. При этом высоты параллелепипедов также сохраняются.

    Теперь проведем через точки А я В плоскости, перпендикулярные АВ (рис. 193). Дополняя прямой параллелепипед одной треугольной призмой (I) и отсекая равную ей другую призму (2), получим прямоугольный параллелепипед, равновеликий предыдущему.

    Объем полученного прямоугольного параллелепипеда равен . Так как при описанных выше преобразованиях данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз образуется параллелепипед, равновеликий предыдущему, а площадь

    основания и высота сохраняются, то и объем исходного параллелепипеда можно вычислить с помощью полученной формулы. Итак, объем наклонного параллелепипеда

    Таким образом, объем произвольного параллелепипеда вычисляется по формуле

    Теорема доказана.

    Пример №1

    В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро параллелепипеда равно 6 см. Найдите объем данного параллелепипеда, если две его боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 30°.

    Решение:

    Пусть дан параллелепипед (рис. 194), в основании которого лежит прямоугольник ABCD со сторонами 3 см и 4 см. Боковые ребра параллелепипеда равны и имеют длину б см. Противолежащие боковые грани параллелепипеда параллельны, следовательно, наклонены к плоскости его основания под равными углами.

    Пусть грани перпендикулярны грани ABCD, а грани образуют с ABCD угол 30°. Проведем в плоскости перпендикуляр к AD. По свойству перпендикулярных плоскостей , следовательно, — высота данного параллелепипеда. Так как является перпендикуляром, — наклонной, KD — ее проекцией на плоскость ABC, причем , то по теореме о трех перпендикулярах . Значит, угол равен углу между плоскостями . По условию . Из прямоугольного треугольника получим: = 3 см.

    Таким образом,

    Ответ: 36 см3.

    Объем призмы

    На плоскости для получения формулы площади треугольника было удобно дополнить треугольник до параллелограмма. Далее, для получения формулы площадей других многоугольников, целесообразно было разбить их на треугольники. Применим аналогичные приемы для вывода формулы объема призмы.

    Теорема (формула объема призмы)

    Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту:

    где — площадь основания призмы, h — ее высота.

    Доказательство:

    Пусть дана треугольная призма . Дополним ее до параллелепипеда , как показано на рисунке 195. Дополняющая призма симметрична данной относительно центра симметрии параллелепипеда точки О. Значит, она равна данной призме. Тогда, по аксиомам объема, объем параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы. Но значит,

    Применим только что выведенную формулу объема треугольной призмы к рассмотрению произвольной призмы.

    Разобьем основание призмы на треугольники, а призму — на соответствующие треугольные призмы с высотой h (рис. 196).

    По аксиоме, объем данной призмы равен сумме объемов составляющих ее треугольных призм:

    где — площади треугольников, на которые разбито основание призмы.

    Теорема доказана.

    Пример №2

    Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения: , где I — боковое ребро призмы, — площадь перпендикулярного ему сечения. Докажите.

    Решение:

    Рассмотрим наклонную призму F1 с ребром АА1 = I (рис. 197). Проведем два ее перпендикулярных сечения, расстояние между плоскостями которых I и которые не имеют с данной призмой общих точек. При этом получим прямую призму F2 и многогранник F3 (рис. 197). Многогранник, гранник, как совмещаются параллельным переносом на вектор . Поэтому их объемы равны. Эти многогранники имеют общую часть F3. Отсюда по аксиоме объема следует, что объемы призм F1 и F2 также равны. Но последняя призма является прямой, и ее объем равен . Значит, объем данной призмы равен .

    Объем цилиндра

    При обосновании формулы площади круга в планиметрии мы использовали вписанные в окружности и описанные около них многоугольники. Применим аналогичные рассуждения и в пространстве, заменив круг на цилиндр, а многоугольники — на призмы. Дадим соответствующие определения.

    Определение:

    Прямая призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

    При этом цилиндр называется описанным около призмы. Очевидно, что боковые ребра призмы — образующие цилиндра, а высоты прямой призмы и описанного около нее цилиндра равны (рис. 198).

    Определение:

    Прямая призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра.

    При этом цилиндр называется вписанным в призму (рис. 199). Очевидно, что высоты прямой призмы и вписанного в нее цилиндра равны.

    Теорема (формула объема цилиндра)

    Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту:

    где — площадь основания цилиндра, h — высота, R — радиус цилиндра.

    Доказательство:

    Впишем в данный цилиндр радиуса R и высоты h правильную п-угольную призму с площадью основания S’n и опишем около него правильную n-угольную призму с площадью основания (рис. 200). Тогда, по доказанному при обосновании формулы для площади круга,

    Отсюда следует, что при неограниченном возрастании п объемы вписанных призм и объемы описанных призм стремятся к величине . Значит, существуют призмы, содержащиеся в данном цилиндре, и призмы, содержащие его, объемы которых сколь угодно мало отличаются от . Тогда объем цилиндра выражается формулой V = .

    Теорема доказана.

    Пример №3

    Основание прямой призмы — треугольник со стороной с-и прилежащими к ней углами . Диагональ грани, содержащей сторону с, образует с плоскостью основания призмы угол ф. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.

    Решение:

    Пусть дана прямая треугольная призма , в основании которой лежит треугольник . Так как , то — наклонная, АВ — ее проекция на плоскость ABC. Значит, по определению угол равен углу между АВ и плоскостью ABC. По условию (рис. 201).

    Рассмотрим цилиндр, описанный около данной призмы. Его основания описаны около оснований призмы, высота равна высоте призмы.

    По теореме синусов для треугольника ABC имеем:

    Из прямоугольного треугольника

    Следовательно, объем цилиндра равен:

    Ответ:

    Объемы пирамиды, конуса и шара

    Рассмотрим способ вычисления объемов тел, в основе которого лежит понятие интеграла, известное из курса алгебры и начал анализа.

    Общая формула объема

    Пусть тело Т, объем которого требуется вычислить, расположено между двумя параллельными плоскостями . Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна плоскостям (рис. 202). Пусть плоскость а задана уравнением х = а, а плоскость — х = Ь (а

    Будем рассматривать случай, когда любое сечение тела Ф(х) плоскостью, перпендикулярной-оси Ох и пересекающей эту ось в точке (х;0;0), является кругом или многоугольником (такой случай возможен, если Ф(х) — точка).

    Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(x). Допустим, что S(x) — непрерывная функция при . Разобьем отрезок [a;b] на n равных отрезков точками и через точки с абсциссами х, проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох (рис. 203).

    Эти плоскости разобьют тело Т на n тел: . Если сечение Ф(х1) — круг, то объем тела Т, приближенно равен объему цилиндра с основанием Ф(х1) и высотой Если сечение Ф(х1) — многоугольник, то объем тела Ti приближенно равен объему прямой призмы с основанием ф(х, ) и высотой

    Учитывая, что объем цилиндра и призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть получаем:

    При неограниченном возрастании n правая часть данной формулы приближается сколь угодно близко к объему тела Т. С другой стороны, так как S(x) непрерывна на , это же выражение приближается к соответствующему интегралу. Итак,

    Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема тела с помощью интеграла. Будем называть ее интегральной формулой объема.

    Из этой формулы вытекает интересное и удобное в применении следствие, формулировка которого принадлежит итальянскому математику Бонавентуре Кавальери.

    Принцип Кавальери

    Если при пересечении двух тел F1 и F2 плоскостями, параллельными одной и той же плоскости а, в сечениях получаются фигуры с равными площадями, то объемы данных тел равны.

    Это утверждение легко вывести из интегральной формулы объема, если расположить систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна плоскости а (рис. 204). Применение интеграла и принципа Кавальери позволяет значительно упростить нахождение формул, выражающих объемы многих важных тел.

    Объем пирамиды и конуса

    В пунктах 15.3 и 15.4 мы установили, что объемы призмы и цилиндра определяются одной и той же формулой:

    Поэтому вполне естественно предположить, что будут совпадать формулы для объемов пирамиды и конуса.

    Теорема (формула объема пирамиды)

    Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

    где — площадь основания пирамиды, h — высота.

    Доказательство:

    Разместим пирамиду в системе координат так, чтобы ось Ох была направлена вдоль высоты, а основание’ принадлежало бы плоскости (рис. 205). Пусть некоторая плоскость параллельна основанию пирамиды и пересекает ее высоту в точке (х;0;0). Обозначим через S(x) площадь сечения пирамиды этой плоскостью. По доказанному в п. 10.2 она отсекает пирамиду, подобную данной. В частности, подобными являются многоугольники основания и сечения. Пусть k — коэффициент подобия. Тогда

    Отсюда

    Применяя теперь для пирамиды интегральную формулу объема, получим:

    Теорема доказана.

    Следствие (формула объема усеченной пирамиды)

    Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

    где h — высота усеченной пирамиды, площади ее оснований.

    Доказательство:

    Дополним данную усеченную пирамиду до полной с высотой Н (рис. 206). Тогда высота дополняющей пирамиды будет равна H-h. Из подобия полной и дополняющей пирамид, площади оснований которых равны соответственно, получаем:

    По аксиомам объема, объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной и дополняющей пирамид. Следовательно,

    Формула доказана.

    Заметим, что при доказательстве теоремы об объеме пирамиды и ее следствия, кроме интегральной формулы объема, мы применили только тот факт, что плоскость, параллельная основанию, отсекает пирамиду, для площади основания S(x) и высоты h-x которой верна формула

    Но эта формула, по доказанному в п. 13.2, также верна и для конуса (рис. 207). Поэтому аналогичными формулам объема и их доказательствам для пирамиды и усеченной пирамиды будут формулы объема и их доказательства для конуса и усеченного конуса.

    Теорема (формула объема конуса)

    Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту:

    где — площадь основания конуса, R — радиус, h — высота.

    Следствие (формула объема усеченного конуса)

    Объем усеченного конуса вычисляется по формуле

    где h — высота усеченного конуса, — площади его оснований, — радиусы его оснований.

    С помощью вписанных и описанных призм мы вывели формулу для объема цилиндра. Подобную связь можно установить также для конусов и пирамид.

    Определение:

    Пирамида называется вписанной в конус, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса.

    При этом конус называется описанным около пирамиды.

    Очевидно, что высоты пирамиды и описанного конуса равны, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса (рис. 208).

    Определение:

    Пирамида называется описанной около конуса, если их вершины совпадают, а основание пирамиды описано около основания конуса.

    При этом конус называется вписанным в пирамиду.

    Очевидно, что высоты пирамиды и вписанного конуса равны, а высоты боковых граней пирамиды являются образующими конуса (рис. 209).

    Рассмотрим правильные л-угольные пирамиды, вписанные в данный конус, и правильные л-угольные пирамиды, описанные около него (рис. 210).

    Если число n сторон оснований этих пирамид неограниченно возрастает, то площади их оснований стремятся к площади круга, лежащего в основании конуса. Следовательно, их объемы стремятся Тогда существуют вписанные в конус и описанные около него пирамиды с объемами, сколь угодно мало отличающимися от

    Из этих рассуждений становится понятным другое обоснование формулы объема конуса

    Объем шара и его частей

    Непосредственно получить только из геометрических рассуждений формулу для объема шара очень сложно. Но с помощью интегральной формулы объема и принципа Кавальери доказательство соответствующих результатов является простым и наглядным.

    Теорема (формула объема шара)

    Объем шара радиуса R вычисляется по формуле

    Доказательство:

    Найдем сначала объем полушара, применив принцип Кавальери.

    Пусть дан полушар Fl радиуса R. На плоскость а, содержащую основание полушара, поставим цилиндр, радиус и высота которого также равны R. В цилиндр впишем конус, вершина которого совпадает с центром основания цилиндра в плоскости а, а основание — с другим основанием цилиндра (рис. 211).

    Сравним объем V1 полушара с объемом V2 тела F2, ограниченного нижним основанием цилиндра и боковыми поверхностями цилиндра и конуса.

    Проведем плоскость , параллельную плоскости а и удаленную от нее на расстояние х . Эта плоскость пересечет данный полушар по кругу радиуса и площади , а тело F2 — по кольцу. Так как осевое сечение конуса является равнобедренным прямоугольным треугольником, внешний радиус кольца равен R, а внутренний — х. Значит, площадь полученного кольца составит и будет равна площади сечения полушара. По принципу Кавальери, объем полушара равен объему тела F2, то есть разности объемов цилиндра и конуса:

    Объем шара вдвое больше объема полушара, следовательно, вычисляется по формуле . Теорема доказана.

    Пример №4

    Сечение шара, удаленное от его центра на 1 см, имеет площадь 8л см2. Найдите объем шара.

    Решение:

    Пусть дан шар с центром О. Сечение шара некоторой плоскостью а является кругом с центром , причем . Так как О удалена от а на 1 см, то = 1 см.

    Пусть точка К сферы, ограничивающей шар, принадлежит данному сечению (рис. 212). Тогда площадь сечения равна , откуда (см). Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:

    По формуле объема шара

    Ответ:

    Найдем теперь объемы частей шара.

    Определение:

    Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.

    На рисунке 213 плоскость сечения, проходящая через точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного плоскости сечения,— высотами сегментов. Так, на рисунке 213 — высота меньшего сегмента, — высота большего сегмента.

    Теорема (формула объема шарового сегмента)

    Объем шарового сегмента вычисляется по формуле

    где R — радиус шара, Н — высота сегмента.

    Доказательство:

    Применим для шарового сегмента интегральную формулу объема.

    Введем декартову систему координат так, чтобы ее начало совпадало с центром шара.

    Тогда часть шара, ограниченная плоскостями , является шаровым сегментом с высотой Н (рис. 214).

    Радиус сечения шарового сегмента плоскостью, пересекающей ось Ох в точке (х;0;0), равен Следовательно, площадь этого сечения По интегральной формуле объема для шарового сегмента получаем:

    Теорема доказана.

    Заметим, что при Н -2R из только что доказанной формулы следует еще один способ нахождения формулы объема шара:

    Определение:

    Шаровым сектором называется тело, ограниченное сферической поверхностью шарового сегмента и боковой поверхностью конуса, основанием которого является основание сегмента, а вершиной — центр шара.

    Очевидно, что если шаровой сегмент меньше полушара, его дополняют конусом для получения шарового сектора; если же шаровой сегмент больше полушара, то для получения шарового сектора конус из него удаляют (рис. 215).

    Теорема (формула объема шарового сектора)

    Объем шарового сектора вычисляется по формуле

    где R — радиус шара, Я — высота соответствующего шарового сегмента.

    Доказательство:

    Рассмотрим случай шарового сектора, высота Я соответствующего шарового сегмента для которого меньше R (рис. 216).

    Тогда его объем равен сумме объема сегмента и объема конуса V2. Следовательно,

    Случай, когда высота Н больше или равна R, рассмотрите самостоятельно.

    Теорема доказана.

    Определение:

    Шаровым слоем (поясом) называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

    Расстояние между этими плоскостями называется высотой шарового слоя, а сечения, ограничивающие слой,— основаниями шарового слоя (рис. 217).

    Заметим, что объем шарового слоя можно вычислить двумя способами:

    1. как разность объемов двух шаровых сегментов;
    2. как разность объема шара и объемов двух сегментов, не входящих в слой.

    Объемы подобных тел

    Из повседневного опыта нам хорошо известно, что при увеличении размеров предмета его объем также увеличивается. Например, легко сравнить объемы двух аквариумов, размеры одного из которых вдвое меньше соответствующих размеров другого (рис. 218): объемы отличаются в 8 раз.

    Кроме того, можно проследить за подобными с коэффициентом k многоугольниками на плоскости. Как известно, их периметры отличаются в k раз, площади — в k2 раз. Естественно предположить, что объемы подобных с коэффициентом k пространственных тел отличаются к3 раз. Проверим это для тел, формулы объема которых нам уже известны.

    Итак, для всех рассмотренных тел верно следующее утверждение: объемы тел, подобных с коэффициентом k, относятся как k3.

    Этот факт верен и для любых простых тел, то есть тел, которые можно разбить на конечное число треугольных пирамид. В частности, любые многогранники, подобные с коэффициентом к, имеют объемы, которые отличаются в k3 раз.

    Пример №5

    Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?

    Решение:

    Пусть дана пирамида с вершиной S и высотой SO. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает SO в точке (рис. 219).

    По условию = Но отсекаемая пирамида подобна данной, причем отношение их высот равно коэффициенту подобия, то есть По свойству объемов подобных тел объем отсекаемой пирамиды в 8 раз меньше объема данной пирамиды. Следовательно, данная плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее объем в отношении 1:7.

    Ответ: 1:7.

    Объемные формулы — вывод, примеры

    Формула объема – это математическое выражение, используемое для нахождения полного пространства (вакуума), занятого любым трехмерным объектом. Давайте подробно разберемся с формулами объема различных трехмерных форм.

    Что такое формула объема?

    Формула, используемая для расчета общей кубической емкости объекта, является формулой его объема. Единица объема трехмерной формы выражается в единицах  3  или кубических единицах.Посмотрите на приведенную ниже диаграмму формул объема, на которой показаны формулы объема соответствующих трехмерных фигур.

    Давайте подробно узнаем об общих формулах объема различных форм.

    Формулы объема трехмерных форм

    Теперь мы знаем, что формула объема используется для вычисления объема трехмерного объекта. В этом разделе мы узнаем о формулах объема с соответствующими размерами различных трехмерных фигур.

    Объемная формула куба

    Формула объема куба зависит от трех сторон куба, где все три стороны равны по размеру.Объем куба – это количество, занимаемое кубом. Общая формула объема куба дается как:

    • Объем куба = a × a × a = a кубических единиц, , где «a» — длина стороны куба.
    • Объем формулы куба с использованием диагонали может быть задан как V = (√3×d 3 )/9, где d – длина диагонали куба.

    Объемная формула прямоугольного параллелепипеда

    Чтобы вычислить объем пространства, заключенного в прямоугольный параллелепипед, мы используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда.Общая формула объема прямоугольного параллелепипеда математически выражается как:

    .
    • Объем прямоугольного параллелепипеда = площадь основания × высота в кубических единицах
    • Площадь основания прямоугольного параллелепипеда = l × b квадратных единиц
    • Следовательно, объем прямоугольного параллелепипеда, V = l × b × h = lbh единицы 3 ,  где «l», «b» и «h» представляют длину, ширину и высоту параллелепипеда.

    Объемная формула конуса

    Чтобы рассчитать объем пространства, занимаемого трехмерным конусом с круглым основанием радиусом r и высотой h, мы используем формулу объема конуса. Общая формула объема конуса выражается как:

    Объем конуса, В = (1/3)πr 2 ч кубических единиц.

    Здесь,

    • ‘r’ радиус основания (окружности) конуса
    • ‘h’ — высота конуса
    • π — константа со значением 22/7 (или) 3,142.

    Формула объема цилиндра

    Формула объема цилиндра используется для определения количества места (вместимости), занимаемого внутри него.Мы знаем, что основанием правильного кругового цилиндра является окружность, а площадь окружности радиуса r равна πr 2 . Таким образом, формула объема цилиндра равна

    .

    Объем цилиндра = πr 2 ч кубических единиц

    Здесь,

    • ‘r’ — радиус основания (окружности) цилиндра
    • ‘h’ — высота цилиндра
    • π — это константа, значение которой равно 22/7 (или) 3,142.

    Таким образом, объем цилиндра прямо пропорционален его высоте и квадрату радиуса. то есть объем цилиндра становится четырехкратным, если радиус цилиндра удваивается.

    Объемная формула сферы

    Футбольный мяч — прекрасный пример, напоминающий форму сферы. Это трехмерный твердый объект с круглой структурой. Количество воздуха, находящегося в шаре, называется объемом шара или шара. Формула объема сферы задается как:

    Объем сферы = (2/3)πr 2 ч
    Если диаметр сферы = 2r
    Следовательно, объем сферы равен (2/3)πr 2 h = (2/3)πr 2 (2r) = (4/3)πr кубических единиц

    Объем сферы равен (4/3)πr кубических единиц

    Здесь,

    • ‘r’ – радиус сферы
    • ‘h’ — высота сферы
    • π — константа, значение которой равно 3.142 или 22/7.

    Формула объема полушария

    Полушарие является половиной сферы, мы можем легко вывести формулу объема полушария, используя формулу объема сферы. Теперь, учитывая, что радиус сферы равен r единиц, а объем сферы равен (4/3)πr 3 .

    Таким образом, объем полушария можно определить как: V = ½ (4/3)πr 3

    Объем полушария = (2/3)πr 3 кубических единиц

    Здесь,

    • ‘r’ – радиус полушария
    • π — константа, значение которой равно 3.142 или 22/7.

    Объемная формула призмы

    Формула объема призмы определяется произведением площади основания и высоты призмы. Это математически выражается как:

    Объем призмы V = B × h единиц 3 .

    Здесь,

    • «B» — базовая площадь в квадратных единицах
    • «h» — высота призмы в единицах.

    Существует семь типов призм в зависимости от формы основания призмы.Формула объема призм зависит от различных оснований призм. Ознакомьтесь с объемом призмы, чтобы понять концепцию формул объема различных призм.

    Формула объема пирамиды

    Объем пирамиды составляет одну треть объема призмы (т. е. их основания и высоты равны ). Таким образом,

    Объем пирамиды(V) = (1/3) (Bh) единиц 3 , где

    • B = площадь основания пирамиды в квадратных единицах
    • h = Высота пирамиды (высота) в единицах

    Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

    Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.

    Забронируйте бесплатный пробный урок

    Примеры формулы объема

    Пример 1: Цилиндрический резервуар   имеет радиус 3 единицы и высоту 8 единиц. Используя формулу объема, найдите объем цилиндра и найдите площадь его поверхности.

    Решение:

    Дано: r = 3 единицы, h = 8 единиц
    При подстановке значений в формулу объема цилиндра имеем
    Объем цилиндра = πr 2 ч
    V = π(3) 2 (8)
    V = π × 9 × 8 90 101 V = 72 π 90 101 Подставив значение π = 3. 14
    V = 72 × 3,14 = 226,08 ед. 3
    Объем цилиндра 226,08 ед. 3

    Пример 2:  Дано, что радиус конуса равен 4 единицам, а высота конуса – 9 единицам. Используя формулу объема, определите объем конуса.

    Решение:

    Дано: радиус = 4 единицы и высота = 9 единиц
    Формула объема конуса = (1/3)πr 2 ч.
    =1/3 × 3,14 × 4 2  × 9
    =1/3 × 452.16
    =150,72 ед. 3
    ∴Объем конуса будет 150,72 ед. 3

    Пример 3: Используя формулу объема куба, найдите объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого 9 дюймов, ширина 7 дюймов, а высота 5 дюймов.

    Решение: Дана длина прямоугольного параллелепипеда = 9 дюймов, ширина прямоугольного параллелепипеда = 7 дюймов и высота прямоугольного параллелепипеда = 5 дюймов.
    Формула объема прямоугольного параллелепипеда = l × b × h 90 101 Подставив значения l, b и h в формулу объема, получим
    V = 9 × 7 × 5
    = 315
    = 315 дюймов 3
    ∴Объем параллелепипеда будет 315 дюймов 2

    Часто задаваемые вопросы по формулам объема

    Какова формула объема для прямоугольного параллелепипеда?

    Формула объема прямоугольного параллелепипеда: l × b × h кубических единиц. Здесь «l», «b» и «h» обозначают длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда.

    Какая связь между формулой объема сферы и полушария?

    Формула объема полушария составляет половину формулы объема шара. Это дается как:
    Объем полусферы = ½ (формула объема сферы) = ½ (4/3)πr 3  = (2/3)πr кубических единиц , где «r» – радиус полушария/сферы.

    Какова формула объема конуса?

    Формула объема конуса математически выражается как V = (1/3)πr 2 ч кубических единиц.Здесь «r» — радиус основания конуса, а «h» — высота конуса.

    Какая связь между формулами объема призмы и пирамиды?

    Формула объема пирамиды составляет 1/3 формулы объема призмы. Это дается как:
    Объем пирамиды = 1/3 (формула объема призмы) = 1/3 (Bh) кубических единиц, где ‘B’ – площадь основания пирамиды/призмы, выраженная в единицах и ‘h’ высота пирамиды/призмы, выраженная в единицах.

    Калькулятор объема

    📐 — Рассчитайте объем куба, коробки, цилиндра, сферы, конуса.

    ..

        Быстрая навигация:

    1. Как рассчитать объем тела?
    2. Объем куба
    3. Объем коробки
    4. Объем цилиндра
    5. Объем сферы
    6. Объем конуса
    7. Объем треугольной призмы
    8. Примеры применения формул объема

        Как рассчитать объем тела?

    В зависимости от конкретного тела существуют разные формулы и разная необходимая информация, необходимая для расчета его объема.Ниже приведены формулы объема для наиболее распространенных типов геометрических тел — все они поддерживаются нашим онлайн-калькулятором объема выше. Все меры должны быть в одних и тех же единицах. Результат всегда в кубических единицах: кубические сантиметры, кубические дюймы, кубические метры, кубические футы, кубические ярды и т. д.

    Расчеты объема полезны во многих науках, в строительных работах и ​​планировании, при перевозке грузов, в контроле климата (например, расчеты кондиционирования воздуха), управлении плавательными бассейнами и многом другом.

        Объем куба

    Формула объема куба: сторона 3 , как показано на рисунке ниже:

    Единственная необходимая информация — это сторона, затем вы берете ее куб и вы нашли объем куба. Это то же самое, что умножить площадь поверхности одной стороны на глубину куба. Для этого типа цифр едва ли нужен калькулятор, чтобы сделать математику.


        Объем ящика

    Чтобы найти объем прямоугольного ящика, используйте формулу высота x ширина x длина , как показано на рисунке ниже:

    Чтобы рассчитать объем коробки или прямоугольного резервуара, вам нужны три измерения: ширина, длина и высота.Их обычно легко измерить из-за регулярности формы. Обозначив одно измерение как глубину или высоту прямоугольной призмы, умножение двух других дает нам площадь поверхности, которую затем необходимо умножить на глубину / высоту, чтобы получить объем. Чтобы рассчитать объем бака другой формы, воспользуйтесь нашим калькулятором объема бака.

        Объем цилиндра

    Формула объема цилиндра: высота x π x (диаметр / 2) 2 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 xr), поэтому по-другому можно записать . высота x π x радиус 2 .Визуал на рисунке ниже:

    Вам нужны два измерения: высота цилиндра и диаметр его основания. Во многих школьных формулах вместо этого дается радиус, но в реальных ситуациях гораздо проще измерить диаметр, чем пытаться точно определить середину круглого основания, чтобы вы могли измерить радиус. Наш калькулятор объема требует, чтобы вы ввели диаметр основания. Через диаметр можно рассчитать площадь поверхности основания, а затем, чтобы получить объем, просто умножить его на высоту цилиндра.


        Объем сферы

    Чтобы найти объем сферы, используйте формулу 4/3 x π x (диаметр / 2) 3 , где (диаметр / 2) — радиус сферы (d = 2 xr), поэтому другая способ записать это 4/3 x π x радиус 3 . Визуально на рисунке ниже:

    То же, что и круг, вам нужно только одно измерение сферы: диаметр или радиус.

        Объем конуса

    Формула объема конуса: (высота x π x (диаметр / 2) 2 ) / 3 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 xr), так что другой способ напишите это (высота x π x радиус 2 ) / 3 , как показано на рисунке ниже:

    Несмотря на довольно сложную форму, вам нужно знать только три измерения, чтобы вычислить объем обычного конуса.Для конусов неправильной формы, которые еще не поддерживаются нашим инструментом, вам также необходимо знать угол конуса.


        Объем треугольной призмы

    Формула объема треугольной призмы: (высота x основание x длина) / 2 , как показано на рисунке ниже:

    Подобно прямоугольным коробкам, вам нужно всего три измерения: высота, основание и длина, чтобы найти объем.

        Примеры применения формул объема

    Вычисления объемов и, следовательно, формулы имеют широкий спектр практических применений. Если вы столкнулись со строительным проектом, работой по отделке дома или некоторыми инженерными задачами, калькулятор поможет вам, если цифра, объем которой вы хотите рассчитать, попадает в любую из вышеперечисленных форм. Сложные фигуры обычно можно разложить, хотя бы приблизительно, на сумму указанных выше основных фигур.

    Если вы хотите выполнить более конкретную задачу, например, рассчитать количество необходимого бетона или количество асфальта, гравия, почвы, песка или мульчи, лучше всего обратиться к каждому из этих инструментов соответственно.

    Объем куба | Формула и как найти (видео)

    Объем куба

    Объем куба — это то, сколько места занимает куб в трех измерениях. Вы можете найти объем любого куба с одним заданным измерением, используя формулу объема куба :

    .

    Объем куба всегда измеряется в кубических единицах, полученных из линейной единицы, данной или используемой для измерения длины стороны.

    Содержание

    1. Объем куба
    2. Что такое куб?
    3. Объем куба Формула
    4. Как найти объем куба
    5. Объем куба Примеры

    Что такое куб?

    Куб представляет собой трехмерное тело с шестью конгруэнтными квадратными гранями, встречающимися под прямым углом, восемью вершинами и двенадцатью сторонами одинаковой длины. Куб является одним из пяти Платоновых тел и также называется шестигранником.

    Каковы размеры куба?

    Куб — это трехмерный объект, поэтому куб имеет три измерения:

    • Длина – Обычно понимается как большее из «плоских» размеров.
    • Ширина – обычно понимается как более короткий из «плоских» размеров.
    • Высота или глубина — Измерение, которое привносит форму в наш трехмерный мир

    Обратите внимание, у нас есть два способа описать третье измерение:

    1. Высота — Используйте этот термин, когда объект возвышается перед вами, как высокое здание.
    2. Глубина — Используйте этот термин, если объект падает под вами, как дыра в земле.

    Нам нужна информация хотя бы об одном из этих трех измерений, чтобы измерить объем куба.

    Объем куба Формула

    Объем формулы куба равен объему, умноженному на длину, умноженную на ширину, и на высоту.

    Это уравнение объема не работает для каждого твердого тела, но оно работает для кубов, прямоугольных призм и параллелепипедов.

    Поскольку все три значения — l, w и h — одинаковы в кубе, простейшая формула объема куба:

    В этом томе уравнения куба s = длина любого ребра.

    Объем всегда измеряется в кубических единицах на основе предоставленных вам линейных единиц. Если вам говорят, что сторона куба имеет длину 3 м, объем измеряется в кубических метрах или м3 (метры в кубе).

    Как найти объем куба

    Чтобы найти объем куба, нужно знать только длину любого ребра.

    Если вам дана длина одной стороны, вы можете найти объем куба, подставив его в одну из формул объема куба:

    • В = л × ш × ч
    • В = с3

    Чтобы измерить пространство, занимаемое кубом, нужно знать длину любого ребра, потому что длины всех сторон куба равны.

    Как найти длину, ширину и высоту по объему

    Что, если вам дан объем куба и вас попросят найти его размеры?

    Если вам дан объем куба и вас просят найти длину ребра, все, что вам нужно сделать, это извлечь кубический корень из объема:

    Ваш ответ больше не будет в кубических единицах; это будет в линейных единицах.

    Что, если у нас есть куб, и нам говорят, что его объем составляет 729 кубических метров. Чтобы найти длину ребра куба:

    с = 729 м33

    с = 9 метров

    Как рассчитать объем, используя площадь

    Вот еще одно испытание. Что если вам скажут площадь одной грани куба? Можете ли вы использовать эту информацию, чтобы найти объем?

    Да, площадь одного лица равна произведению длины лица на ширину.Как только вы найдете ширину или длину, вы можете применить формулу объема:

    1. Найти квадратный корень из заданного измерения площади; это даст вам длину любой стороны, s.
    2. Используйте формулу объема, V = s3, чтобы найти площадь

    Как рассчитать площадь поверхности куба, используя объем

    Если вам дан объем куба, вы можете преобразовать его в длину одной стороны. Затем вы можете использовать длину стороны для расчета общей площади поверхности.

    Используйте длину ребра, чтобы вычислить площадь поверхности одной стороны, затем умножьте эту площадь на 6. Это даст вам общую площадь поверхности куба с использованием объема.

    Что если вам скажут общую площадь поверхности всего куба? Сможете ли вы найти объем?

    Да, общая площадь поверхности включает площади всех шести конгруэнтных граней. Найдите площадь одной грани, а затем выполните шаги, описанные выше, чтобы найти объем:

    1. Разделите заданную общую площадь поверхности на шесть, чтобы получить площадь одной грани
    2. Найдите квадратный корень из площади одной грани, чтобы получить длину любой стороны, с
    3. Используйте формулу объема, V = s3

    Объем куба Примеры

    Если у вас есть трехмерное тело с шестью гранями, а стороны помечены как 4′, 6′ и 8′. Это куб?

    Нет, это прямоугольная призма, потому что метки, опережающие рисунок, показывают разную длину!

    Что, если стороны нашего твердого тела равны 4 футам, 4 футам и 4 футам; это куб?

    Это куб, потому что на этикетках указано, что ширина, длина и высота одинаковы.

    Каков объем куба выше?

    Вы записали V = 43?

    Вы рассчитали V = 64 кубических фута или фут3?

    Давайте посмотрим на другой пример куба со стороной 12 ярдов.Каков его объем?

    В = с3

    В = 123

    V = 1728 кубических ярдов (ярд3)

    Как насчет куба с одной гранью площадью 25 см? Каков объем куба?

    Во-первых, какова длина любого ребра или стороны куба?

    Подумайте: чему равен квадратный корень из 25? Ответ 5, значит:

    с = 25 см

    с = 5 см

    Теперь, когда у вас есть длина стороны, вы можете вычислить объем:

    В = с3

    В = 53

    В = 125 кубических сантиметров, или см3

    Общая площадь поверхности куба составляет 7 776 квадратных дюймов (in2). Каков объем куба?

    Помните, что общая площадь поверхности равна площади всех шести квадратных граней. Разделите общую площадь поверхности на 6, извлеките из нее квадратный корень, затем используйте формулу объема:

    .

    7776 дюймов26 = 1296 дюймов2

    1296 дюймов2 = 36 дюймов

    Теперь мы можем вычислить объем куба:

    В = 363

    В = 46,656 кубических дюймов или дюймов3

    Следующий урок:

    Что такое площадь поверхности

    Формула объема

    Объем трехмерной формы или геометрической фигуры представляет собой количество пространства, которое она содержит.Объем хорошо определен для многих распространенных форм; формулы для некоторых распространенных форм показаны ниже.

    Куб

    Объем, V, куба с ребром, с, составляет:

    В = с 3

    Призма

    Объем V призмы:

    В = Бч

    , где B — площадь основания, а h — высота призмы.

    Прямоугольная призма

    Объем, V, прямоугольной призмы:

    В = лвтч

    , где l — длина, w — ширина, а h — высота прямоугольной призмы.

    Пирамида

    Объем V пирамиды:

    , где B — площадь основания, а h — высота пирамиды.

    Конус

    Объем, V, конуса:

    , где r — радиус основания, а h — высота конуса.

    Цилиндр

    Объем, V, цилиндра составляет:

    В = πr 2 ч

    , где r — радиус основания, а h — высота цилиндра.

    Сфера

    Объем V сферы радиусом r равен:

    Пример:

    Найдите объем прямоугольной призмы ниже.

    Объем прямоугольной призмы:

    V = 5 × 3 × 2 = 30 см 3

    Объем составной фигуры

    Трехмерные составные фигуры — это фигуры, состоящие из двух или более типов фигур. Их объемы можно рассчитать, разбив их на компоненты, рассчитав объемы каждого компонента, а затем просуммировав их, чтобы найти общий объем составной фигуры.

    Пример:

    Зерновой бункер внизу состоит из правильного цилиндра и правильного круглого конуса. Найдите количество зерна в кубических метрах, которое может вместить полный силос.

    Цилиндр имеет радиус 8 м и высоту 10 м. Радиус конуса также равен 8 м, так как он находится на вершине цилиндра, а его высота равна 5 м.

    Объем баллона:

    В цилиндр = π × 8 2 × 10 = 640π м 3

    Объем конуса:

    Объем силоса, V, представляет собой сумму объемов цилиндра и конуса:

    Бункер может вместить 2345.72 кубометра зерна.

    Использование единичного куба для нахождения объема

    Один из способов найти объем фигуры — определить, сколько единичных кубов потребуется, чтобы заполнить фигуру. Единичный куб имеет длину стороны 1 и объем 1.

    Приведенная ниже прямоугольная призма имеет длину 5, ширину 3 и высоту 2.

    Вы можете равномерно сложить 2 слоя единичных кубов, содержащих в общей сложности 15 единичных кубов в каждом, в прямоугольную призму, чтобы найти ее объем в 30 единичных кубов.

    Том

    Можно вычислить масса любого объекта путем умножения плотность материала по объему объекта.Объем объекта – это трехмерное пространство, заняты объектом, и нас учат формулы для вычисления объема некоторых простых трехмерных предметы в средней школе. На этом слайде мы перечисляем некоторые уравнения для вычисление объема объектов, которые часто встречаются в аэрокосмический. Есть аналогичные уравнения для вычисления площадь объектов. Величина аэродинамические силы зависит от площади поверхности объекта, а сила гравитации и определенные термодинамические эффекты зависит от объема предмета.Уравнения для вычисления площади и объема используются каждый день инженеры-конструкторы.

    Простая проверка любой формулы площади или объема является размерной проверкой . Площадь — это двумерное пространство, которое занимает объект. Площадь измеряется вдоль поверхности объекта и имеет размеры длина в квадрате; например, квадратные футы материала или квадратные сантиметры. 2 * ч / 12

    Параболический конус имеет гладкую криволинейную поверхность и острый заостренный носик.На стандартном конусе есть край между носом и цилиндром, который образует тело ракета. Но на параболическом конусе поверхность входит в основание с наклоном, равным нулю. Есть отсутствие ребра между параболическим носовым обтекателем и цилиндрическим корпусом ракеты. Уравнение для объем в два раза pi диаметр d в квадрате умножить на высоту h разделить к пятнадцати;

    В = 2.2*ч/6

    Усеченный конус образуется, если вершина срезана параллельно основанию. Формы усеченного конуса часто встречаются на моделях ракет в виде обтекателей между цилиндрическими участки тела. Уравнение для объем pi умножить на высоту h разделить на двенадцать раз количество: диаметр основания b в квадрате плюс диаметр основания, умноженный на диаметр разреза d плюс диаметр реза в квадрате:

    V = (пи * ч / 12) * (d ^ 2 + d * b + b ^ 2)

    Примечание. Для всех фигур с изогнутыми (круглыми) поверхностями мы используем диаметр круг при выводе объема.Мы не используем радиус, который часто используется в математике. текстовые книги. Причина такого выбора в том, что большинство стандартных инженерных измерений основаны на диаметре, а не на радиусе. Легче точно измерить диаметр круглого объекта, чем для измерения радиуса. Чтобы использовать радиус, вам нужно определить, где лежит центр окружности. Для трубы в центре круга нет материала. Для сферы, до центра нельзя добраться, так как он находится внутри тела.Вы можете преобразовать диаметр в радиус (радиус = диаметр / 2).


    Деятельность:
    Экскурсии с гидом

    Навигация ..


    Домашняя страница руководства для начинающих

    Площадь поверхности и объем трехмерных фигур

    В этом разделе мы вычисляем объем и площадь поверхности трехмерных фигур, таких как кубов , прямоугольных параллелепипедов , призм и цилиндров .

    Куб Объем = x ³
    Площадь поверхности = 6 x ²
    Прямоугольный Объем = xyz
    Площадь поверхности = 2 xy + 2 xz + 2 yz
    Цилиндр Объем = π r ² ч
    Площадь криволинейной поверхности = 2 π rh
    Площадь каждого конца = π r ²
    Общая площадь поверхности = 2 π rh + 2 π r ²
    Призма Призма имеет однородное поперечное сечение
    Объем = площадь поперечного сечения × длина = л

    Упражнения

    Вопрос 5

    На рисунке показан деревянный брусок, в котором просверлено отверстие.Диаметр отверстия 2 см.
    Вычислите объем этого твердого тела, указав правильный ответ с точностью до 2 знаков после запятой.

    см³

    Объем = блок – отверстие = 4 × 6 × 6 – 1² × π × 6 = 144 – 6 π = 125,15 (на 2 д.п.)

    Вопрос 7

    На схеме показано поперечное сечение трубы длиной 50 см.
    Внутренний диаметр трубы 20 см, внешний диаметр 30 см.

    (а)

    (б)

    Общая площадь поверхности = 2 × (15² — 10²) × π + 30 π × 50 + 20 π × 50
    = 250 π + 1500 π + 1000 π = 2750 π
    = 8639,379797 см² = 8640 см² (до 3 кв. футов)
    Вопрос 10

    Цилиндр имеет диаметр 12 см и площадь криволинейной поверхности 132 π или 415 см² (до 3 значащих цифр).

    Вопрос 12

    (а)

    (б)

    В коробке стандартного размера достаточно соли, чтобы заполнить 10 соляных горшков.

    (в)

    Вопрос 13

    (а)

    (б)

    Каков объем этой призмы?

    см³

    Площадь поперечного сечения = × основание × высота = × 6 × 8 = 24 см²

    Объем призмы = площадь поперечного сечения × длина = 24 × 7 = 168 см³

    (в)

    Призмы A и B имеют одинаковую площадь поперечного сечения.

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.