Домашняя работа по геометрии 11 класс: 10 класс — 18 гдз по геометрии 10‐11 класс Атанасян, Бутузов

Содержание

10 класс — 18 гдз по геометрии 10‐11 класс Атанасян, Бутузов

Условие / 10 класс / 18

18. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка СС₁, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ₁ = 7 см; б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВ₁ = 20 см.

Решебник №1 / 10 класс / 18

Видеорешение / 10 класс / 18

Решебник №2 / 10 класс / 18

Решебник №3 / 10 класс / 18

Решебник №4 / 10 класс / 18

10 класс — 28 гдз по геометрии 10‐11 класс Атанасян, Бутузов

Условие / 10 класс / 28

28. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так ,что длина отрезка DE равна 5 см и BD/DA 2/3. Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.

Решебник №1 / 10 класс / 28

Видеорешение / 10 класс / 28

Решебник №2 / 10 класс / 28

Решебник №3 / 10 класс / 28

Решебник №4 / 10 класс / 28

10 класс — 27 гдз по геометрии 10‐11 класс Атанасян, Бутузов

Условие / 10 класс / 27

27. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ : ВС = 4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости а, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок BE.

Решебник №1 / 10 класс / 27

Видеорешение / 10 класс / 27

Решебник №2 / 10 класс / 27

Решебник №3 / 10 класс / 27

Решебник №4 / 10 класс / 27

Гдз по геометрії 11 клас

Гдз по геометрії 11 клас

Скачать гдз по геометрії 11 клас djvu

09-11-2021

Електронна версія відповідей гдз 11 клас геометрія.  Автор підручника: Роганін О.М. У форматі ЗНО. Тест-контроль Алгебра і початки аналізу + Геометрія 11 клас (2-е видання). Читати далі». Сторінка 1 з ». ПРЕДМЕТИ. Алгебра 11 клас. Англійська мова 11 клас. Астрономія 11 клас. Чем решебник, геометрия, 11 класс, Бевз, отличается от других аналогичных пособий. Сегодня разработано огромное количество разнообразных методических пособий и справочников. Каждый по-своему хороший, в каждом – свои плюсы и недостатки. Но наш решебник под авторством Бевз – это просто идеальный вариант, квинтэссенция именно того помощника в самообучении, который лучше всего поможет не просто сделать домашнее задание, но и разобраться с непонятным теоретическим материалом. Поэтому его используют одиннадцатиклассники, которые не могут сделать домашнее задание, готовятся к итоговой или контрольной.

ГДЗ по геометрии за 11 класс – ответы и решебник. Хотите сдать ЕГЭ по математике на высокий балл? Мечтаете получить в аттестат заслуженную «пятерку» по геометрии? Тогда надо воспользоваться любой помощью, чтобы хорошо разобраться в аксиомах и теоремах, научиться решать задачи, обосновывать построения на плоскости и в пространстве. ГДЗ по геометрии 11 класс – полезный инструмент, который поможет учащимся с разными способностями: Когда предмет дается с трудом, делать домашнюю лучше вместе с решебником. Если одиннадцатиклассники будут разбираться в подробных пояснениях в спокойной обстановке. Одиннадцатый класс завершает курс среднего полного образования. В конце этого года ожидаются так пугающие многих ребят ЕГЭ, на котором в основном и сконцентрировано все внимание. Вследствие этого у школьников наблюдается рассеянность внимания, так как они постоянно отвлекаются от изучения одних предметов в пользу тех, которые ожидаются на экзамене. Геометрия в этом списке стоит особняком, так как с виду простая дисциплина может порой обернуться самой каверзной стороной. Повторив материал предыдущего учебного года, ученики приступают к распознаванию метода координат в пространстве.  В этом прекрасно поможет ГДЗ по геометрии 11 класс. Меню. 1 класс. 2 класс. 3 класс. 4 класс.

Добро пожаловать на мегарешеба — с лучшими ГДЗ по Геометрии за 11 класс. Здесь Вы найдете готовые ответы на домашнюю работу. Смотрите решения и получайте пятерки. Готовые домашние задания, учебники по Геометрии для 11 класса. ГДЗ к учебнику по Геометрии, классы Задачи к урокам геометрии Зив Б.Г. Размер: 6Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Погорелов А.В. Размер: 4Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Погорелов А.В. Размер: 3Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Шарыгин И.Ф. Размер: 3Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, классы (профильный уровень) Калинин А.Ю., Терёшин Д.А. Размер: 10Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии.

Геометрия 10 класс математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия Базовый и углубленный уровень. Авторы: Александров А. Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Издательство: Просвещение   Рисунки, таблицы и графики, которые содержат решебники по геометрии для 11 класса, помогают научиться разбирать задачи, руководствуясь подсказками, либо глядя на образец готового ответа. Выводы, пояснения случаев использования некоторых теорем помогут научиться отвечать устно, подготовиться к предстоящим экзаменам.

действительно. Это было. по клас 11 гдз геометрії извиняюсь, но, по-моему, допускаете ошибку. Могу отстоять

Решебник и ГДЗ по геометрии за 11 класс списывайте онлайн. Чтобы получать правильные ответы и добиться высоких оценок в моє педагогічне кредо презентація, требуется корректно выполнить рисунок. Именно эту часть задания считают самой трудоемкой. В ГДЗ по геометрии 11 класс обязательно есть чертеж. Имея перед глазами наглядную схему, ученик справляется с задачей за 5 минут. Решебник особенно пригодится выпускнику, которого ожидает единый государственный экзамен. Одиннадцатиклассник вынужден помнить формулы и теоремы за все годы учебы. За редким исключением, это непосильная задача. Все Готовые Домашние Задания, Решебники по Геометрии 11 класс | У нас все ГДЗ. Заходи и Спиши!

Выпускной класс самый сложный во всей программе средней школы!На плечи школьников ложатся большие нагрузки — нужно успевать всерьез заниматься всеми предметами одновременно, а это чрезвычайно сложно! Продолжается изучение геометрии, а точнее, стереометрии. И без ГДЗ точно не обойтись, хотя бы, для того, чтобы проверить собственные знания и не схватить двойку по собственной невнимательности или неточности! Если геометрия дается туго и отнимает неоправданно много времени в ущерб другим предметам, тебе нужен решебник ГДЗ! Переписывай готовые задания вдумчиво — с чувством, толком и расстановкой. Решебник, готовые домашние задания (ГДЗ) по геометрии для учащихся 11 класса, авторов Шлыков В.В.  Решебники составлены педагогами, ГДЗ в них максимально подробны и нацелены на помощь в освоении учебных пособий.

Готовая домашняя работа к предмету Геометрия онлайн бесплатно, правильные ответы, решебники и гдз за 11 класс, спиши онлайн с наших готовых домашних заданий скачать історію 6 клас власов получи хорошую оценку на уроке.  Период решительных действий и сложного восхождения к конечно цели школьного обучения – аттестата. Конечно, сейчас стоит подгонять все свои «промахи» и ошибки, в частности, подтянуться по точным наукам, из которых, пожалуй, наибольшего воображения в совокупности с познанием требует геометрия 11 класса. Рішення та відповіді до підручників та завдань для 11 класу з геометрії! Уся готова домашня робота для 11 класу з геометрії на нашому сайті! Постійні оновлення ГДЗ для 11 класу з геометрії!.

ГДЗ з геометрії у 11 класі підтримає майбутнього випускника. Те, що змушує класника шукати сторонньої допомоги у навчанні — це велика відповідальність, що звалилася на плечі школяра. Зараз йому доводиться, окрім виконання ДЗ, готуватися до ЗНО та екзаменів, підтягувати оцінки по усім дисциплінам, повторювати матеріал минулих років, обирати майбутню професію та багато іншого. Не варто піддаватися паніці, адже є готові домашні завдання, які значно спростять ці дії та зроблять їх більш ефективними. На нашому сайті знаходяться всі підручники, розділи з кожного предмету для усіх класів та відпов. ГДЗ (решебники) — подробные готовые домашние задания Геометрия 11 класс.  Постигая науку в м классе, ученик учится понимать значение математики для решения различных задач, исследования явлений в общества и природе, а так же характер процессов, которые происходят. Успешно и эффективно получить знания помогут различные учебные пособия, такие как: Учебники. «Геометрия класс Атанасян», где задания имеют чёткую структуру, краткое и понятное изложение школьного материала, а так же доступность. Задачи имеются к каждому параграфу, именно в них заложен главный принцип развивающего характера. Решебники.

Онлайн решебники ГДЗ авторов Атанасян, Погорелов по геометрии 11 класс бесплатно c пояснениями.  Геометрия в 11 классе очень важна для изучения в средней школе, так как ее задачи входят в состав экзамена ЕГЭ. Но успешно подготовиться без использования решебников по геометрии 11 класс, к сожалению, практически невозможно особенно для тех у кого не сформировало объемное мышление. Одиннадцатиклассники давно уже пользуются решебниками по геометрии и успешно пользуются ими как во время урока, так и при подготовке к домашнему заданию.

Выпускной класс самый сложный во всей программе средней школы!На плечи школьников ложатся большие нагрузки — нужно успевать всерьез заниматься всеми предметами одновременно, а это чрезвычайно сложно! Продолжается изучение геометрии, а точнее, стереометрии. И без ГДЗ точно не обойтись, хотя бы, для того, чтобы проверить собственные знания и не схватить двойку по собственной невнимательности или неточности! Если геометрия дается туго и отнимает неоправданно много времени в ущерб другим предметам, тебе нужен решебник ГДЗ! Переписывай готовые задания вдумчиво — с чувством, толком и расстановкой, и.

стопочку принимай близко сердцу! геометрії гдз 11 клас по топик тебя! Прекрати! этом что-то. Спасибо

Чем решебник, геометрия, біологія науково-методичний журнал класс, Бевз, отличается от других аналогичных пособий. Сегодня разработано огромное количество разнообразных методических пособий и справочников. Каждый по-своему хороший, в каждом – свои плюсы и недостатки. Но відповіді до збірника з геометрії 10 клас мерзляк якір полонський решебник под авторством Бевз – это просто идеальный вариант, квинтэссенция именно того помощника в самообучении, который лучше всего поможет не просто сделать домашнее задание, но и разобраться с непонятным теоретическим материалом. Поэтому его используют одиннадцатиклассники, которые не могут сделать домашнее задание, готовятся к итоговой или контрольной. Избранное / Решебники (ГДЗ) для школьников. ГДЗ к сборнику Ершовой, Голобородько Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса ОНЛАЙН. Решебник к сборнику задач «Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса». Рукопись. — В решебнике представлены подробные решения задач из сборника «Ершова А.П., Годобододько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса.— М.: Илекса, — с» Решены задачи двух уровней сложности: А и Б. Решебник поможет Вам проверить пр.

Решебник по геометрии за 11 класс помогут школьнику быстрее освоиться в сложной программе обучения, которая предусматривает собой 68 учебных часов. Основным плюсом готовых домашних заданий является формирование у старшеклассника целостной системы для планирования самостоятельной работы, которая очень пригодится в ВУЗАх. Получение системы знаний по геометрии поспособствует тому, чтобы школьник с любым уровнем знаний лучше подготовился к скорому ЕГЭ по математике. А в данном случае речь идет о немалом количестве итоговых заданий по геометрии. Готовые домашние задания, учебники по Геометрии для 11 класса. ГДЗ к учебнику по Геометрии, классы Задачи к урокам геометрии Зив Б.Г. Размер: 6Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Погорелов А.В. Размер: 4Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Погорелов А.В. Размер: 3Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, класс Шарыгин И.Ф. Размер: 3Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии, классы (профильный уровень) Калинин А.Ю., Терёшин Д.А. Размер: 10Mb, Категория: Геометрия. ГДЗ к учебнику по Геометрии.

Решебник по геометрии за 11 класс помогут школьнику быстрее освоиться в сложной программе обучения, которая предусматривает собой 68 учебных часов. Основным плюсом готовых домашних заданий является формирование у старшеклассника целостной системы для планирования самостоятельной работы, которая очень пригодится в ВУЗАх. Получение системы знаний по геометрии поспособствует тому, чтобы школьник с любым уровнем знаний лучше подготовился к скорому ЕГЭ по математике. А в данном случае речь идет о немалом количестве итоговых заданий по геометрии. Самые лучшие решебники по Геометрии для 11 класса на Онлайн ГДЗ. С подробным решением задач и удобным интерфейсом.

Готові домашні завдання до Комплексний зошит Геометрія (Рівень стандарту) 11 клас Роганін О.М. вже доступні на нашому сайті. Перегляд в режимі онлайн абсолютно безкоштовно і без реєстрації. ГДЗ Комплексний зошит Геометрія (Рівень стандарту) 11 клас Роганін О.М. Відповіді до Комплексний зошит Геометрія (Академічний рівень) 11 клас Роганін О.М. вже доступні на нашому сайті. Перегляд в режимі онлайн абсолютно безкоштовно і без реєстрації.  ГДЗ Тестовий контроль знань Алгебра Геометрія 11 клас Гальперіна А.Р. ГДЗ до Алгебра і Геометрія 11 клас тест-контроль уже доступні на нашому сайті. Абсолютно безкоштовно в режимі онлайн. Алгебра і Геометрія 11 клас тест-контроль. Мегарешеба — Белорусские ГДЗ и Решебник по Геометрии поможет Вам найти ответ на самое сложное задание для 11 класса. Решай онлайн домашку вместе с нами!

ГДЗ по Геометрии за 11 класс к учебнику школьной программы года.  Геометрия класс математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия Базовый и углубленный уровень. авторы: Александров А. Д. Вернер А.Л. Геометрия 11 класс Углубленный уровень. авторы: Александров А.Д. Вернер А.Л. Геометрия 11 класс контрольно-измерительные материалы. автор: Рурукин А.Н. Геометрия класс Базовый и углубленный уровень. авторы: Бутузов В.Ф. Прасолов В.В. Геометрия 11 класс Базовый уровень.

Решебники по геометрии 11 класс для отличников. И для тех, кто собирается сдавать геометрию при поступлении в вузы. В этом случае ГДЗ по геометрии 11 класс поможет вам проверить свои силы и проконтролировать 2 клас українська мова 2014 выполнения заданий. Любые решебники на портале kanztovarytvorchestvo.ru Высокое качество контента, наличие всех заданий и полное соответствие решебников учебной программе – вот причина популярности нашего портала.

извиняюсь, но, по-моему, клас 11 по гдз геометрії думаю, что допускаете ошибку

ГДЗ Геометрія 11 класс к підручникам и робочим зошитам онлайн — решебники ❤. Смотерть (ответы) відповіді на телефонах и планшетах.  Відповіді Збірник Геометрія 11 клас Мерзляк. ГДЗ. Відповіді Геометрія 11 клас Бевз. ГДЗ. Відповіді Геометрія 11 клас Апостолова. ГДЗ. ПРЕДМЕТЫ. Історія України. Алгебра. Англійська мова (English). Геометрия класс. Тип: Учебник. Авторы: Атанасян, Бутузов, Кадомцев. Издательство: Просвещение. Геометрия класс. Тип: Учебник. Авторы: Погорелов. Издательство: Просвещение. Геометрия 11 українська мова 2 клас вашуленко вправа 395. Тип: Рабочая тетрадь. Авторы: Бутузов, Глазков.

Добро пожаловать на мегарешеба — с курсова робота соціальні служби ГДЗ по Геометрии за 11 класс. Здесь Вы найдете готовые ответы на домашнюю работу. Смотрите решения и получайте пятерки. Лучшие решебники к учебникам по Геометрии за 11 класс, для всех авторов на учебный год.  В данном разделе собраны решебники по учебникам таких авторов, как Атанасян, Глазков, Погорелов. Но мы и учли разнообразие рабочих тетрадей, дидактических материалов Александрова и Зив. Теперь чтобы справиться с задачей любой сложности, не надо пролистывать всю книгу и множество дополнительных пособий, просто открой необходимый решебник и найди номер страницы, который надо проверить или вызвал трудности. Все ГДЗ на одном сайте — это очень удобно. Решебник по Геометрии 11 класс комплексная тетрадь для контроля знаний Уровень стандарта.

Готові домашні завдання (ГДЗ): Геометрія 11 клас. Кращі ГДЗ з геометрії для 11 класу нова програма читати онлайн безкоштовно в електронному вигляді з мобільного телефону, комп’ютера (ПК), планшета. Готова домашня робота онлайн. Геометрія 11 клас Мерзляк Геометрія 11 клас Апостолова. Геометрія 11 клас Бевз (Академічний, профільний рівень). Збірник задач і контрольних робіт Клас 11 клас Мерзляк. Геометрія 11 клас Бевз Тест-контроль Алгебра + Геометрія 11 клас. Гдз клас Погорєлов. ГДЗ для 11 класу. Чем решебник, геометрия, 11 класс, Бевз, отличается от других аналогичных пособий. Сегодня разработано огромное количество разнообразных методических пособий и справочников. Каждый по-своему хороший, в каждом – свои плюсы и недостатки. Но наш решебник под авторством Бевз – это просто идеальный вариант, квинтэссенция именно того помощника в самообучении, который лучше геометрії поможет не просто сделать домашнее задание, но и разобраться с непонятным теоретическим материалом. Поэтому его используют одиннадцатиклассники, которые не могут сделать домашнее задание, готовятся к итоговой или контрольной.

Гдз по Геометрии 11 класс Апостолова Г.В. автор: Апостолова Г.В. Гдз рабочая тетрадь по Геометрии 11 класс Бутузов В.Ф. Базовый и углубленный уровень. авторы: Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Гдз математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия по Геометрии класс Александров А. Д. Базовый и углубленный уровень. авторы: Александров А. Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Гдз по Геометрии 11 класс Александров А.Д. Углубленный уровень. авторы: Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Гдз контрольно-измерительные материалы по Геометрии 11 класс Рурукин А.Н. автор: Рурукин А.Н. Г. Этот решебник написан по учебнику наглядной геометрии Шлыкова, для 11 классов за год. Книга делится на 3 основные раздела.  ГДЗ по геометрии для 11 класса — Шлыков. Авторы. В.В. Шлыков. Год учебника. Глава 1. Многогранники. Глава 2. Объемы многогранников.

Решебники по геометрии 11 класса, в виде краткой справочной информации, расскажут ученикам про объемные тела. Каждое решение в пособиях имеет свой порядковый номер, в соответствии с таким же номером в оригинальном издании (в школьном учебнике по геометрии, рабочей тетради, сборнике задач). К концу 11 класса у школьников максимально разовьется логическое мышление и пространственное воображение, они смогут научно аргументировать ход решения любой задачи. И не малую роль в формировании такой алгоритмической культуры у школьников сыграют ГДЗ по геометрии, которые всегда придут на помощь любому уче.

Рішення та відповіді до підручників та завдань для 11 класу з геометрії! Уся готова домашня робота для 11 класу з геометрії на нашому сайті! Постійні оновлення ГДЗ для 11 класу з геометрії!.

Домашние задания по геометрии для 11 класса | Методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему:

Домашнее задание (призма, пирамида)

  1. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известны ребра: АВ = 35, AD = 12, СС1 = 21. Найдите угол между плоскостями АВС и A1DВ.
  2. Основание пирамиды DАВС – равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 13, АС = 24. Ребро DВ перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла при ребре АС.
  3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АВС и ВСS.
  4. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 6, а двугранный угол при основании равен 600.
  5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а двугранный угол при основании равен 450. Найдите объем пирамиды.

Домашнее задание (призма)

  1. Задание 1.В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

                                                   

2)Задание 2.  Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

                             

3)Задание 3. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

Домашнее задание

1. Задание 1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

         

2. Задание 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

     

3.  Задание 3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого?

               

Домашнее задание

1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

                                                                            

2. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

                                       

3. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

                             

4. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

                            

Домашнее задание

1.  Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

2. Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

3.  Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объем параллелепипеда равен 27. Найдите высоту цилиндра.

4.  В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

                                                 

Домашнее задание по геометрии

1) Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

     

2) Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

                                       

3) Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

                           

Домашнее задание (конус, цилиндр)

1.Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Площадь сечения равна . Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

2.Объём конуса равен 40. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же  вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

3.Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

4.Объём  цилиндра равен 12 см3. Чему равен объём конуса, который имеет такое же основание  и такую же высоту, как и данный цилиндр?

Домашнее задание (конус)

1.Высота конуса равна 8, а диаметр основания – 30. Найдите образующую конуса.

2.Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 20.

3.Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

4.Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 2 раза больше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго конуса равна 18 см2?

Домашнее задание (конус)

1.В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

2.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней?

3.Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 12.

Домашнее задание (цилиндр)

1.В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 32 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости. Если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого?

2.В цилиндрический сосуд налили 3000 см3 воды. Уровень воды при этом достиг высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 3 см. Чему равен объём детали?

3.Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 19,5. Найдите объём параллелепипеда.

Домашнее задание (цилиндр)

1.Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13. Площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, равна 72. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра. (С – 2)

2.Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21, а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.

3.В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Домашнее задание (цилиндр)

1.Объём цилиндра равен 1 см3. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Найдите объём получившегося цилиндра.

2.Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12, а высота  равна 6. Найдите диаметр основания.

3.Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Домашнее задание (шар)

1.Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 8 друг от  друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы, и площадь каждого из них равна 9. Найдите площадь поверхности шара. (С – 2 )

2.Куб вписан в шар радиуса . Найдите площадь поверхности куба.

3.Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объём.

Домашнее задание (шар)

1.Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом 9,5. Найдите его объём.

2.Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом 18. Найдите его объём.

3.Шар объёмом 8 м3 вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Домашнее задание (повторение)

  1. В правильной  четырехугольной пирамиде  SАВСD точка О – центр основания, S – вершина, SО = 54, АС = 144. Найдите боковое ребро SВ.
  2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого  равны 2. Найдите объем параллелепипеда.
  3. Объем цилиндра равен 1 см3. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Найдите объем получившегося цилиндра.
  4. В правильной  треугольной пирамиде  SАВС  К – середина ребра ВС,

S – вершина. Известно, что АВ = 6, а SK = 7. Найдите площадь боковой поверхности.

Домашнее задание (повторение)

  1. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объем.
  2. В правильной  треугольной пирамиде  SАВС   М – середина ребра АВ,

S – вершина. Известно, что ВС = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 18. Найдите длину отрезка  SМ.

  1. В правильной  треугольной пирамиде  SАВС   медианы основания  пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 7, объем пирамиды равен 21. Найдите длину отрезка ОS.
  2. Шар объемом  8 м3 вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Домашнее задание (повторение)

1.Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12, а высота равна 6. Найдите диаметр основания.

2.Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в восемь раз?

3.В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известно, что

ВD1 =, ВВ1 = 3, А1 D1 = 4. Найдите длину ребра АВ.

4.Бильярдный шар весит 360 г. Сколько граммов будет весить шар вдвое меньшего радиуса, сделанный из того же материала?

Домашнее задание (повторение)

1.Высота конуса равна 7, диаметр основания  — 48. Найдите образующую конуса.

2.Кубик весит 10 г. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3 раза больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала?

3.Объем данного правильного тетраэдра равен 64 см3 . Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 2 раза меньше ребра данного тетраэдра.

4.Объем цилиндра равен 12 см3. Чему равен объем конуса, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр?  

Домашнее задание (повторение)

1.В  правильной  треугольной пирамиде  SАВС   медианы основания  пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 9, объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка ОS.

2.В цилиндрический сосуд налили 1700 см3 воды. Уровень воды при этом достиг высоты 10 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали?

3.Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом 17.  Найдите его объем.

4.Высота конуса равна 8, а диаметр основания – 30. Найдите образующую конуса.

Домашнее задание (повторение)

1.Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 20.

2.Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известно, что

ВD1 =, СС1 = 3, В1С1 = . Найдите длину ребра АВ.

4.Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого  равны 5,5. Найдите объем параллелепипеда.

Домашнее задание (повторение)

1.В правильной  треугольной пирамиде  SАВС   L – середина ребра АC,

S – вершина. Известно, что ВС = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2.В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

3.В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 384 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого?

4.Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 2 раза больше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго конуса равна 18 см3?

Домашнее задание

1.Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен . Ответ дайте в градусах.

2. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4.Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

4. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Домашнее задание

1.Найдите периметр четырехугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны .

     

2. Найдите биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны 1.

3. Один угол параллелограмма больше другого на . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

4.  Сумма двух углов параллелограмма равна . Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Контрольные работы по геометрии 11 класс

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 1 по теме:
«Координаты точки и координаты вектора»

Вариант 1

  1. Найдите координаты вектора , если А (5;-1; 3), В (2;-2; 4).

  2. Даны векторы (3; 1;-2) и (1; 4;-3). Найдите .

  3. Изобразите систему координат Охуz и постройте точку А (1;-2;-4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.

Вариант 2

  1. Найдите координаты вектора , если С (6; 3;-2), D (2; 4;-5).

  2. Даны вектора (5;-1; 2) и (3; 2;-4). Найдите .

  3. Изобразите систему координат Охуz и постройте точку В (-2;-3; 4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 1 по теме:
«Координаты точки и координаты вектора»

Вариант 1

  1. Найдите координаты вектора , если А (5;-1; 3), В (2;-2; 4).

  2. Даны векторы (3; 1;-2) и (1; 4;-3). Найдите .

  3. Изобразите систему координат Охуz и постройте точку А (1;-2;-4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.

Вариант 2

  1. Найдите координаты вектора , если С (6; 3;-2), D (2; 4;-5).

  2. Даны вектора (5;-1; 2) и (3; 2;-4). Найдите .

  3. Изобразите систему координат Охуz и постройте точку В (-2;-3; 4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 2 по теме:
«Метод координат в пространстве»

Вариант 1

  1. Вычислите скалярное произведение векторов , если

  2. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Найдите угол между прямыми АД1 и ВМ, где М – середина ребра ДД1.

  3. При движении прямая b отображается на прямую b1, а плоскость — на плоскость 1 и b׀׀1. Докажите, что b1׀׀1.

Вариант 2

  1. Вычислите скалярное произведение векторов , если

  2. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Найдите угол между прямыми АС и ДС1.

  3. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость  — на плоскость 1 и а. Докажите, что а11.

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 2 по теме:
«Метод координат в пространстве»

Вариант 1

  1. Вычислите скалярное произведение векторов , если

  2. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Найдите угол между прямыми АД1 и ВМ, где М – середина ребра ДД1.

  3. При движении прямая b отображается на прямую b1, а плоскость — на плоскость 1 и b׀׀1. Докажите, что b1׀׀1.

Вариант 2

  1. Вычислите скалярное произведение векторов , если

  2. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Найдите угол между прямыми АС и ДС1.

  3. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость  — на плоскость 1 и а. Докажите, что а11.

Контрольная работа №2 по теме: «Метод координат».

Вариант 1

  1. С(-3,2,-4). Найдите сумму расстояний от точки С до оси Ох и точки С до плоскости Оуz.

  2. Известны координаты вершин треугольника С(-2;3;1), Д(2;-4;3), Е(-2;-3;1). ДК – медиана треугольника. Найдите ДК.

  3. При параллельном переносе точка А (-3;4;6) переходит в точку А1 (2;-4;5). Найдите сумму координат точки В1, в которую при этом параллельном переносе переходит точка В(-2;-4;1).

  4. Найдите площадь треугольника АВС, если А (3;0;0), В(0;-4;0), С(0;0;1).

Вариант 2

  1. А(3,-2,-4). Найдите сумму расстояний от точки А до оси Оу и точки А до плоскости Оxz.

  2. Известны координаты вершин треугольника А(2;-1;-3), В(-3;5;2), С(-2;3;-5). ВМ – медиана треугольника. Найдите ВМ.

  3. При параллельном переносе точка М (-3;2;-5) переходит в точку М1 (1;-3;-2). Найдите сумму координат точки К1, в которую при этом параллельном переносе переходит точка К(1;-2;-5).

  4. Найдите площадь треугольника АВС, если А (3;0;0), В(0;-4;0), С(0;0;1).

Контрольная работа №2 по теме: «Метод координат».

Вариант 1

    1. С(-3,2,-4). Найдите сумму расстояний от точки С до оси Ох и точки С до плоскости Оуz.

    2. Известны координаты вершин треугольника С(-2;3;1), Д(2;-4;3), Е(-2;-3;1). ДК – медиана треугольника. Найдите ДК.

    3. При параллельном переносе точка А (-3;4;6) переходит в точку А1 (2;-4;5). Найдите сумму координат точки В1, в которую при этом параллельном переносе переходит точка В(-2;-4;1).

    4. Найдите площадь треугольника АВС, если А (3;0;0), В(0;-4;0), С(0;0;1).

Вариант 2

  1. А(3,-2,-4). Найдите сумму расстояний от точки А до оси Оу и точки А до плоскости Оxz.

  2. Известны координаты вершин треугольника А(2;-1;-3), В(-3;5;2), С(-2;3;-5). ВМ – медиана треугольника. Найдите ВМ.

  3. При параллельном переносе точка М (-3;2;-5) переходит в точку М1 (1;-3;-2). Найдите сумму координат точки К1, в которую при этом параллельном переносе переходит точка К(1;-2;-5).

  4. Найдите площадь треугольника АВС, если А (3;0;0), В(0;-4;0), С(0;0;1).

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 3 по теме:
«Цилиндр, конус и шар»

Вариант 1

  1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16 см2. Найдите площадь поверхности цилиндра.

  2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120. Найдите:
    а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30;
    б)площадь боковой поверхности конуса.

  3. Диаметр шара равен 2т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

Вариант 2

    1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

    2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30. Найдите:
      а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60;
      б) площадь боковой поверхности конуса.

    3. Диаметр шара равен 4т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30 к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 3 по теме:
«Цилиндр, конус и шар»

Вариант 1

  1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16 см2. Найдите площадь поверхности цилиндра.

  2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120. Найдите:
    а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30;
    б)площадь боковой поверхности конуса.

  3. Диаметр шара равен 2т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

Вариант 2

  1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

  2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30. Найдите:
    а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60;
    б) площадь боковой поверхности конуса.

  3. Диаметр шара равен 4т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30 к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 4 по теме:
«Объемы тел»

Вариант 1

  1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60. Найдите объем пирамиды.

  2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45. Найдите объем цилиндра.

Вариант 2

  1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60. Найдите объем пирамиды.

  2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45. Найдите объем конуса.

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 4 по теме:
«Объемы тел»

Вариант 1

  1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60. Найдите объем пирамиды.

  2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45. Найдите объем цилиндра.

Вариант 2

  1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60. Найдите объем пирамиды.

  2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45. Найдите объем конуса.

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 5 по теме:
«Объем шара и площадь сферы»

Вариант 1

  1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60. Найдите отношение объемов конуса и шара.

  2. Объем цилиндра равен 96 см3, площадь его осевого сечения 48 см2. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Вариант 2

  1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

  2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объемов цилиндра и шара.

Геометрия 11 класс

Контрольная работа № 5 по теме:
«Объем шара и площадь сферы»

Вариант 1

  1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60. Найдите отношение объемов конуса и шара.

  2. Объем цилиндра равен 96 см3, площадь его осевого сечения 48 см2. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Вариант 2

  1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

  2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объемов цилиндра и шара.

Геометрия 11 класс

Итоговая контрольная работа

Вариант 1

1. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD сторона основания равна 6, а боковое ребро -5. Найдите:

  1. площадь боковой поверхности пирамиды;

  2. объем пирамиды;

  3. угол наклона боковой грани к плоскости основания;

  4. скалярное произведение векторов ;

  5. площадь описанной около пирамиды сферы;

  6. угол между ВD и плоскостью DMC.

Вариант 2

1. В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна , а боковое ребро -5. Найдите:

  1. площадь боковой поверхности пирамиды;

  2. объем пирамиды;

  3. угол наклона боковой грани к плоскости основания;

  4. скалярное произведение векторов , где Е – середина ВС;

  5. объем вписанного в пирамиду шара;

  6. угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.

Геометрия 11 класс

Итоговая контрольная работа

Вариант 1

1. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD сторона основания равна 6, а боковое ребро -5. Найдите:

  1. площадь боковой поверхности пирамиды;

  2. объем пирамиды;

  3. угол наклона боковой грани к плоскости основания;

  4. скалярное произведение векторов ;

  5. площадь описанной около пирамиды сферы;

  6. угол между ВD и плоскостью DMC.

Вариант 2

1. В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна , а боковое ребро -5. Найдите:

  1. площадь боковой поверхности пирамиды;

  2. объем пирамиды;

  3. угол наклона боковой грани к плоскости основания;

  4. скалярное произведение векторов , где Е – середина ВС;

  5. объем вписанного в пирамиду шара;

  6. угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.

ГДЗ по Геометрии за 10-11 класс: Погорелов А.В.

Решебник по геометрии в 10-11 классах по Погорелову – какие задачи решают школьники

В 10-11 классах российские школьник и постигают сложный раздел геометрии – стереометрию, которая посвящена рассмотрению фигур и тел в пространстве. Далеко не всем школьника м легко дается предмет, в рамках которого знание формул и теорем обеспечивает всего 20% успеха. Остальное – абстрактное мышление, умение анализировать положение объемных тел в пространстве.

При таком раскладе особенно актуальными становятся ГДЗ по геометрии за 10-11 класс Погорелов, составленные на основе версии учебника, изданной в 2009 году. Какие упражнения приведены в онлайн сборнике?

  • На применение базовых аксиом стереометрии;
  • На использование свойств параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей в пространстве, определение величины смежных и вертикальных углов;
  • На построение декартовых векторов в трехмерном пространстве;
  • На определение высот, ребер, углов, площадей поверхности многогранников и тел вращения.

Поскольку в учебнике приведены задания на повторение материала, изученного в 7-9 классах, то школьники накануне экзаменов смогут повторить теоремы, аксиомы планиметрии и особенности их применения на практике.

Домашние задание по геометрии за 10-11 класс на ГДЕ ГДЗ – помощь в подготовке к экзаменам

В старших классах школьники сталкиваются с существенной учебной нагрузкой, которая оставляет на выполнение домашних заданий ограниченное количество времени. Чтобы не проводить за учебниками все свободные часы можно воспользоваться удобными онлайн-решебниками по геометрии 10-11 класса Атанасян, которые позволяют найти решение в один клик.

Как найти ответ на сайте Где Гдз.Ру? Через поисковую строку найти нужный решебник и кликнуть номер задания в таблице. Ресурс предоставляет пользователям массу преимуществ, которые экономят их время и обеспечивают качественное выполнени е домашней работы:

  • база ГДЗ представлена самыми свежими версиями онлайн-сборников ответов и решений;
  • все задачи оформлены в соответствии с требованиями Министерства Образования России;
  • на один номер может приходиться несколько вариантов решения задачи разными способами;
  • пользоваться ответами в равной степени удобно с любого электронного гаджета – телефона, планшета, компьютера.

В дополнение ко всему сайт ГДЕ ГДЗ не забит рекламой и видеороликами, которые запускаются автоматически и заслоняют экран, требуя от пользователей обязательного просмотра. Мы также не перенаправляем пользователей на сторонние сайты, а база ответов доступна в онлайн-режиме круглосуточно, бесплатно и без регистрации.

8.2 Геометрия круга | Евклидова геометрия

Аксиома — это установленный или принятый принцип. В этом разделе приняты следующие аксиомы.

Теоремы (EMBJB)

Теорема — это гипотеза (предложение), истинность которой может быть доказана с помощью принятых математических операций и аргументы. Доказательство — это процесс доказательства правильности теоремы.

Теорема, обратная теореме, противоположна гипотезе и заключению.Например, учитывая теорему «Если \ (A \), то \ (B \)», обратное — «если \ (B \), то \ (A \)».

Если линия проводится из центра окружности перпендикулярно хорде, то она делит хорду пополам.

(Причина: \ (\ perp \) от центра хорды пополам)

Окружность с центром \ (O \) и прямой \ (OP \), перпендикулярной хорде \ (AB \).

\ (AP = PB \)

Рисование \ (OA \) и \ (OB \).2 & \\ \ поэтому AP & = BP & \ конец {массив} \] Следовательно, \ (OP \) делит \ (AB \) пополам.

Альтернативное подтверждение:

В \ (\ треугольник OPA \) и в \ (\ треугольник OPB \), \ [\ begin {array} {rll} O \ hat {P} A & = O \ hat {P} B & (\ text {given} OP \ perp AB) \\ OA & = OB & \ text {(равные радиусы)} \\ OP & = OP & \ text {(общая сторона)} \\ \ поэтому \ треугольник OPA & \ эквив \ треугольник OPB & \ text {(RHS)} \\ \ поэтому AP & = PB & \ конец {массив} \] Следовательно, \ (OP \) делит \ (AB \) пополам.

Если линия проводится от центра круга до середины хорды, то она перпендикулярна к аккорду.

(Причина: линия от центра до середины \ (\ perp \))

Окружность с центром \ (O \) и прямой \ (OP \) до середины \ (P \) на хорде \ (AB \).

\ (ОП \ перп АБ \)

Рисование \ (OA \) и \ (OB \).

В \ (\ треугольник OPA \) и в \ (\ треугольник OPB \), \ [\ begin {array} {rll} OA & = OB & \ text {(равные радиусы)} \\ AP & = PB & \ text {(дано)} \\ OP & = OP & \ text {(общая сторона)} \\ \ поэтому \ треугольник OPA & \ эквив \ треугольник OPB & \ text {(SSS)} \\ \ поэтому O \ hat {P} A & = O \ hat {P} B & \\ \ text {and} O \ hat {P} A + O \ hat {P} B & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {на ул.линия}) \\ \ поэтому O \ hat {P} A = O \ hat {P} B & = \ text {90} \ text {°} & \ конец {массив} \] Следовательно, \ (OP \ perp AB \).

Если провести серединный перпендикуляр хорды, то линия пройдет через центр хорды. круг.

(Причина: \ (\ perp \) биссектриса через центр)

Окружность со средней точкой \ (P \) на хорде \ (AB \).

Линия \ (QP \) нарисована так, что \ (Q \ hat {P} A = Q \ hat {P} B = \ text {90} \ text {°} \).

Линия \ (RP \) нарисована так, что \ (R \ hat {P} A = R \ hat {P} B = \ text {90} \ text {°} \).

Центр окружности \ (O \) лежит на прямой \ (PR \)

Нарисуйте линии \ (QA \) и \ (QB \).

Нарисуйте линии \ (RA \) и \ (RB \).

В \ (\ треугольник QPA \) и в \ (\ треугольник QPB \), \ [\ begin {array} {rll} AP & = PB & \ text {(дано)} \\ QP & = QP & \ text {(общая сторона)} \\ Q \ hat {P} A = Q \ hat {P} B & = \ text {90} \ text {°} & \ text {(given)} \\ \ поэтому \ треугольник QPA & \ эквив \ треугольник QPB & \ text {(SAS)} \\ \ поэтому QA & = QB & \ end {array} \]

Аналогично можно показать, что в \ (\ треугольник RPA \) и в \ (\ треугольник RPB \) \ (RA = RB \). 2 & = \ text {12,75} & \\ \ поэтому OS & = \ text {3,6} & \ конец {массив} \]

Углы, образуемые дугой в центре и на окружности круга

  1. Измерьте углы \ (x \) и \ (y \) на каждом из следующих графиков:

  2. Заполните таблицу:

  3. Используйте свои результаты, чтобы сделать предположение о взаимосвязи между углами, образованными дугой в центр круга и углы на окружности круга.
  4. Теперь нарисуйте три собственных подобных диаграммы и измерьте углы, чтобы проверить свою гипотезу.

Если дуга образует угол в центре круга и на окружности, то угол при центр в два раза больше угла на окружности.

(Причина: \ (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в описании} \))

Окружность с центром \ (O \), дугой \ (AB \), переходящей \ (A \ hat {O} B \) в центр окружности, и \ (A \ hat {P} B \) по окружности.

\ (A \ hat {O} B = 2A \ hat {P} B \)

Draw \ (PO \) расширен до \ (Q \) и пусть \ (A \ hat {O} Q = \ hat {O} _1 \) и \ (B \ hat {O} Q = \ hat {O} _2 \).

\ [\ begin {array} {rll} \ hat {O} _1 & = A \ hat {P} O + P \ hat {A} O & (\ text {ext.} \ angle \ треугольник = \ text {sum int. opp.} \ angle \ text {s}) \\ \ text {and} A \ hat {P} O & = P \ hat {A} O & (\ text {равные радиусы, равнобедренный сустав} \ треугольник APO) \\ \ поэтому \ hat {O} _1 & = A \ hat {P} O + A \ hat {P} O & \\ \ hat {O} _1 & = 2A \ hat {P} O & \ конец {массив} \]

Аналогичным образом мы также можем показать, что \ (\ hat {O} _2 = 2B \ hat {P} O \).

Для первых двух диаграмм, показанных выше, мы имеем следующее: \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {O} B & = \ hat {O} _1 + \ hat {O} _2 & \\ & = 2A \ hat {P} O + 2B \ hat {P} O & \\ & = 2 (A \ hat {P} O + B \ hat {P} O) & \\ \ поэтому A \ hat {O} B & = 2 (A \ hat {P} B) & \ конец {массив} \] И для последней диаграммы: \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {O} B & = \ hat {O} _2 — \ hat {O} _1 & \\ & = 2B \ hat {P} O — 2A \ hat {P} O & \\ & = 2 (B \ hat {P} O — A \ hat {P} O) & \\ \ поэтому A \ hat {O} B & = 2 (A \ hat {P} B) & \ end {array} \]

Рабочий пример 2: Угол в центре окружности в два раза больше угла при окружности

Дан \ (HK \), диаметр окружности, проходящей через центр \ (O \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы и стороны на диаграмме.

Решите относительно \ (a \)

В \ (\ треугольник HJK \): \ [\ begin {array} {rll} H \ hat {O} K & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {on str. Line)} \\ & = 2a & (\ angle \ text {по центру} = 2 \ angle \ text {по окружности}) \\ \ поэтому 2a & = \ text {180} \ text {°} & \\ a & = \ frac {\ text {180} \ text {°}} {2} & \\ & = \ текст {90} \ текст {°} & \ end {array} \]

Заключение

Диаметр круга образует прямой угол на окружности (углы в полукруге).

Угол в центре окружности в два раза больше угла по окружности

Учебное упражнение 8.2

\ [\ begin {array} {rll} b & = 2 \ times \ text {45} \ text {°} & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности}) \\ \ поэтому b & = \ text {90} \ text {°} & \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {rll} c & = \ frac {1} {2} \ times \ text {45} \ text {°} & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at окр.}) \\ \ поэтому c & = \ text {22,5} \ text {°} & \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {rll} d & = 2 \ times \ text {100} \ text {°} & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности}) \\ \ поэтому d & = \ text {200} \ text {°} & \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {rll} e & = \ text {100} \ text {°} — \ text {90} \ text {°} — \ text {35} \ text {°} & (\ angle \ text {in полукруг}) \\ \ поэтому e & = \ text {55} \ text {°} & \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} f & = \ frac {1} {2} \ times \ text {240} \ text {°} & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at окр.}) \\ \ поэтому f & = \ text {120} \ text {°} & \ конец {массив} \]

Сложенные углы в одном сегменте окружности

  1. Измерьте углы \ (a \), \ (b \), \ (c \), \ (d \) и \ (e \) на диаграмме ниже:

  2. Выберите любые две точки на окружности круга и пометьте их \ (A \) и \ (B \).

  3. Нарисуйте \ (AP \) и \ (BP \) и измерьте \ (A \ hat {P} B \).

  4. Нарисуйте \ (AQ \) и \ (BQ \) и измерьте \ (A \ hat {Q} B \).

  5. Что вы наблюдаете? Сделайте предположение об этих типах углов.

Если углы, образуемые хордой окружности, находятся на одной стороне хорды, то углы равны равный.

(Причина: \ (\ angle \) s в том же сегменте)

Круг с центром \ (O \) и точками \ (P \) и \ (Q \) на окружности круга.Дуга \ (AB \) включает \ (A \ hat {P} B \) и \ (A \ hat {Q} B \) в один и тот же сегмент круга.

\ (A \ hat {P} B = A \ hat {Q} B \)

\ [\ begin {array} {rll} A \ hat {O} B & = 2 A \ hat {P} B & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности}) \\ A \ hat {O} B & = 2 A \ hat {Q} B & (\ angle \ text {по центру} = 2 \ angle \ text {по окружности}) \\ \ поэтому 2 A \ hat {P} B & = 2 A \ hat {Q} B & \\ A \ hat {P} B & = A \ hat {Q} B & \ конец {массив} \]

Равные дуги соединяют равные углы

Из приведенной выше теоремы мы можем вывести, что если углы на окружности окружности стянуты дугами равной длины, то и углы равны.На рисунке ниже обратите внимание, что если бы мы переместили два аккорда с помощью на одинаковую длину ближе друг к другу, пока они не перекрываются, у нас была бы такая же ситуация, что и с теоремой выше. Это показывает, что углы, образуемые дугами одинаковой длины, также равны.

Если линейный сегмент имеет равные углы в двух других точках на той же стороне линейного сегмента, то эти четыре точки совпадают (лежат на окружности).

Отрезок \ (AB \), имеющий равные углы в точках \ (P \) и \ (Q \) на одной стороне отрезка \ (AB \).

\ (A \), \ (B \), \ (P \) и \ (Q \) лежат на окружности.

Доказательство противным:

точек на окружности круга: мы знаем, что есть только два возможных варианта относительно данного точка — она ​​либо лежит по окружности, либо нет.

Будем считать, что точка \ (P \) не лежит на окружности.

Нарисуем круг, который разрезает \ (AP \) в \ (R \) и проходит через \ (A \), \ (B \) и \ (Q \).\ [\ begin {array} {rll} A \ hat {Q} B & = A \ hat {R} B & (\ angle \ text {s в том же сегменте}) \\ \ text {but} A \ hat {Q} B & = A \ hat {P} B & (\ text {given}) \\ \ поэтому A \ hat {R} B & = A \ hat {P} B & \\ \ text {but} A \ hat {R} B & = A \ hat {P} B + R \ hat {B} P & (\ text {ext.} \ angle \ треугольник = \ text {sum int. опп.}) \\ \ поэтому R \ hat {B} P & = \ text {0} \ text {°} & \ конец {массив} \] Следовательно, предположение, что круг не проходит через \ (P \), должно быть ложным.

Мы можем заключить, что \ (A \), \ (B \), \ (Q \) и \ (P \) лежат на окружности (\ (A \), \ (B \), \ (Q \) и \ (P \) являются конциклический).

Рабочий пример 3: Конциклические точки

Учитывая \ (FH \ parallel EI \) и \ (E \ hat {I} F = \ text {15} \ text {°} \), определите значение \ (b \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решите относительно \ (b \)

\ [\ begin {array} {rll} H \ hat {F} I & = \ text {15} \ text {°} & (\ text {alt.} \ angle, FH \ parallel EI) \\ \ text {and} b & = H \ hat {F} I & (\ angle \ text {s in same seg.}) \\ \ поэтому b & = \ text {15} \ text {°} & \ конец {массив} \]

Углы в том же сегменте

Учебное упражнение 8.3

\ [\ begin {array} {rll} a & = \ text {21} \ text {°} & (\ angle \ text {s в том же сегменте}) \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} c & = \ text {24} \ text {°} & (\ angle \ text {s в том же сегменте.}) \\ d & = \ text {102} \ text {°} — \ text {24} \ text {°} & (\ text {ext.} \ angle \ треугольник = \ text {sum int. опп.}) \\ \ поэтому d & = \ text {78} \ text {°} & \\ \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} d & = \ hat {N} & (\ text {alt.} \ angle, PO \ parallel QN) \\ \ hat {N} & = \ frac {1} {2} \ times \ text {17} \ text {°} & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {в окружности.}) \\ \ hat {O} & = \ hat {N} & (\ angle \ text {s в том же сегменте.}) \\ \ text {17} \ text {°} & = \ hat {O} + d & (\ text {внешний угол} \ треугольник) \\ \ поэтому 2d & = \ text {17} \ text {°} & \\ \ поэтому d & = \ text {8,5} \ text {°} & (\ text {alt.} \ angle, PO \ parallel QN) \ конец {массив} \]

Учитывая \ (T \ hat {V} S = S \ hat {V} R \), определите значение \ (e \).

\ [\ begin {array} {rll} \ text {In} \ треугольник TRV, \ hat {T} & = \ text {180} \ text {°} — (\ text {80} \ text {°} + \ text {30} \ text {°}) & (\ angle \ text {s сумма} \ треугольник) \\ \ поэтому \ hat {T} & = \ text {70} \ text {°} & \\ \ поэтому e & = \ text {15} \ text {°} + \ text {70} \ text {°} & \\ & = \ текст {85} \ текст {°} & \\ \ конец {массив} \]

Является ли \ (TV \) диаметром круга? Поясните свой ответ.

Нет, поскольку \ (\ text {45} \ text {°} + \ text {35} \ text {°} \ ne \ text {90} \ text {°} \)

Дана окружность с центром \ (O \), \ (WT = TY \) и \ (X \ hat {W} T = \ text {35} \ text {°} \). Определять \ (е \).

\ [\ begin {array} {rll} \ text {In} \ треугольник WTZ & \ text {и in} \ треугольник YTZ, \\ WT & = YT & (\ text {given}) \\ ZT & = ZT & (\ text {общая сторона}) \\ Y \ hat {T} Z = W \ hat {T} Z & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {линия от центра круга до середины}) \\ \ поэтому T \ hat {Z} Y & = T \ hat {Z} W & (\ text {SAS}) \\ T \ hat {Z} Y = T \ hat {Z} W & = f & \\ \ text {And} T \ hat {Z} Y & = \ text {35} \ text {°} & (\ angle \ text {s в том же сегменте.}) \\ \ поэтому T \ hat {Z} W = f & = \ text {35} \ text {°} & \ конец {массив} \]

Циклические четырехугольники

Циклические четырехугольники — это четырехугольники, все четыре вершины которых лежат на окружности окружности. (конциклический).

Циклические четырехугольники

Рассмотрим схемы, приведенные ниже:

Круг \ (\ text {1} \) Круг \ (\ text {2} \) Круг \ (\ text {3} \)
  1. Выполните следующее:

    \ (ABCD \) — вписанный четырехугольник, потому что \ (\ ldots \ ldots \) ​​

  2. Заполните таблицу:

    Круг \ (\ text {1} \) Круг \ (\ text {2} \) Круг \ (\ text {3} \)
    \ (\ hat {A} = \)
    \ (\ hat {B} = \)
    \ (\ hat {C} = \)
    \ (\ hat {D} = \)
    \ (\ hat {A} + \ hat {C} = \)
    \ (\ hat {B} + \ hat {D} = \)
  3. Используйте свои результаты, чтобы сделать предположение о связи между углами вписанных четырехугольников.

Противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.

(Причина: циклический четырехугольник опп. \ (\ Angle \))

Круг с центром \ (O \) с точками \ (A, B, P \) и \ (Q \) на окружности так, что \ (ABPQ \) является циклический четырехугольник.

\ (A \ hat {B} P + A \ hat {Q} P = \ text {180} \ text {°} \) и \ (Q \ hat {A} B + Q \ hat {P} B = \ текст {180} \ текст {°} \)

Рисование \ (AO \) и \ (OP \).Обозначьте \ (\ hat {O} _1 \) и \ (\ hat {O} _2 \). \ [\ begin {array} {rll} \ hat {O} _1 & = 2A \ hat {B} P & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at окруж.}) \\ \ hat {O} _2 & = 2A \ hat {Q} P & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at окруж.}) \\ \ text {и} \ hat {O} _1 + \ hat {O} _2 & = \ text {360} \ text {°} & (\ angle \ text {s around a point}) \\ \ поэтому 2A \ hat {B} P + 2A \ hat {Q} P & = \ text {360} \ text {°} & \\ A \ hat {B} P + A \ hat {Q} P & = \ text {180} \ text {°} & \ конец {массив} \] Точно так же мы можем показать, что \ (Q \ hat {A} B + Q \ hat {P} B = \ text {180} \ text {°} \).

Converse: внутренние противоположные углы четырехугольника

Если внутренние противоположные углы четырехугольника являются дополнительными, то четырехугольник является вписанным.

Внешний угол кругового четырехугольника

Если четырехугольник вписанный, то внешний угол равен внутреннему противоположному углу.

Рабочий пример 4: Противоположные углы вписанного четырехугольника

Дана окружность с центром \ (O \) и вписанный четырехугольник \ (PQRS \).\ (SQ \) нарисован и \ (S \ hat {P} Q = \ text {34} \ text {°} \). Определите значения \ (a \), \ (b \) и \ (c \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решите относительно \ (b \)

\ [\ begin {array} {rll} S \ hat {P} Q + c & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.} \ Angle \ text {s cyclic quad supp.}) \\ \ поэтому c & = \ text {180} \ text {°} — \ text {34} \ text {°} & \\ & = \ текст {146} \ текст {°} & \ конец {массив} \] \ [\ begin {array} {rll} a & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \ конец {массив} \] В \ (\ треугольник PSQ \): \ [\ begin {array} {rll} a + b + \ text {34} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {сумма} \ треугольник) \\ \ поэтому b & = \ text {180} \ text {°} — \ text {90} \ text {°} — \ text {34} \ text {°} & \\ & = \ текст {56} \ текст {°} & \ end {array} \]

Методы доказательства четырехугольника циклический

Есть три способа доказать, что четырехугольник является вписанным четырехугольником:

Метод доказательства Причина
Если \ (\ hat {P} + \ hat {R} = \ text {180} \ text {°} \) или \ (\ hat {S} + \ hat {Q} = \ text {180} \ text {°} \), тогда \ (PQRS \) — циклический квад. опп. внутр. углы доп.
Если \ (\ hat {P} = \ hat {Q} \) или \ (\ hat {S} = \ hat {R} \), то \ (PQRS \) — циклический четырехугольник. углов в том же сег.
Если \ (T \ hat {Q} R = \ hat {S} \), то \ (PQRS \) — циклический четырехугольник. доб. угол равен int. опп. угол

Рабочий пример 5: Доказательство того, что четырехугольник является вписанным четырехугольником

Докажите, что \ (ABDE \) — вписанный четырехугольник.

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Докажите, что \ (ABDE \) — вписанный четырехугольник

\ [\ begin {array} {rll} D \ hat {B} C & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \\ \ text {и} \ hat {E} & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {given}) \\ \ поэтому D \ hat {B} C & = \ hat {E} & \\ \ поэтому ABDE \ text {является циклическим} & \ text {четырехугольником} & \ text {(ext.\ @ \ (\ angle \) равно int. \ @ опп. \ @ \ (\ angle \))} \ конец {массив} \]

Циклические четырехугольники

Учебное упражнение 8.4

\ [\ begin {array} {rll} a + \ text {87} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {противоположные углы циклической четверки. Supp. }) \\ \ поэтому a & = \ text {93} \ text {°} & \\ b + \ text {106} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.углы циклической четверки. супп. }) \\ \ поэтому b & = \ text {74} \ text {°} & \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} a & = H \ hat {I} J & \ angle (\ text {ext. angle cyclic quad = int. opp}) \\ & = \ текст {114} \ текст {°} & \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} \ hat {W} + \ text {86} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.углы циклической четверки. супп. }) \\ \ поэтому \ hat {W} & = \ text {94} \ text {°} & \\ a + \ hat {W} + \ text {57} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {сумма углов} \ треугольник) \\ \ поэтому a & = \ text {29} \ text {°} & \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} A \ hat {M} B & = \ text {32} \ text {°} + D \ hat {B} C & (\ text {внешний угол} \ треугольник = \ text {sum внутр.опп. углы}) \\ \ поэтому \ text {72} \ text {°} & = \ text {32} \ text {°} + D \ hat {B} C & \\ \ поэтому D \ hat {B} C & = \ text {40} \ text {°} & (\ text {сумма углов} \ треугольник) \\ \ поэтому D \ hat {B} C & = D \ hat {A} C & \\ \ text {Следовательно,} ABCD & = \ text {- циклический четырехугольник. } & (\ text {углы в одном сегменте}) \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} \ text {In} \ треугольник ABD, \ quad A \ hat {B} D = A \ hat {D} B & = \ text {35} \ text {°} & (\ angle \ text {s opp.равные стороны}) \\ \ поэтому \ text {35} \ text {°} + \ text {35} \ text {°} + D \ hat {A} B & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {s сумма} \ треугольник) \\ \ поэтому D \ hat {A} B & = \ text {110} \ text {°} & (\ text {сумма углов} \ треугольник) \\ \ text {And} D \ hat {A} B + D \ hat {C} B & = \ text {180} \ text {°} & \\ \ text {Следовательно,} ABCD & = \ text {- циклический четырехугольник. } & (\ text {опп. внутр. углы доп.}) \ конец {массив} \]

Касательная к окружности

Касательная — это линия, которая касается окружности только в одном месте.Радиус круга равен перпендикулярно касательной в точке контакта.

Если две касательные проводятся из одной точки вне окружности, то они равны по длине.

(Причина: касательные от одной точки равны)

Окружность с центром \ (O \) и касательными \ (PA \) и \ (PB \), где \ (A \) и \ (B \) — точки соответственно контакт для двух линий.

В \ (\ треугольник АОП \) и \ (\ треугольник БОП \), \ [\ begin {array} {rll} O \ hat {A} P = O \ hat {B} P & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {tangent} \ perp \ text {radius}) \\ AO & = BO & (\ text {равные радиусы}) \\ OP & = OP & (\ text {общая сторона}) \\ \ поэтому \ треугольник AOP & \ эквив \ треугольник BOP & (\ text {RHS}) \\ \ поэтому AP & = BP & \ end {array} \]

Рабочий пример 6: Касательные из той же точки вне окружности

На схеме ниже \ (AE = \ text {5} \ text {cm} \), \ (AC = \ text {8} \ text {cm} \) и \ (CE = \ text {9} \ text { см}\).Определите значения \ (a \), \ (b \) и \ (c \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решите относительно \ (a \), \ (b \) и \ (c \)

\ [\ begin {array} {rll} AB = AF & = a & (\ text {касательные от} A) \\ EF = ED & = c & (\ text {касательные от} E) \\ CB = CD & = b & (\ text {касательные от} C) \\ \ поэтому AE = a + c & = 5 & \\ \ text {и} AC = a + b & = 8 & \\ \ text {и} CE = b + c & = 9 & \ конец {массив} \]

Решите для неизвестных переменных с помощью системных уравнений

\ [\ begin {array} {rll} а + с & = 5 & \ ldots (1) \\ а + b & = 8 & \ ldots (2) \\ б + с & = 9 & \ ldots (3) \ конец {массив} \]

Вычтите уравнение \ ((1) \) из уравнения \ ((2) \) и затем подставьте в уравнение \ ((3) \):

\ [\ begin {array} {rll} (2) — (1) \ quad b-c & = 8-5 & \\ & = 3 & \\ \ поэтому b & = c + 3 & \\ \ text {Заменить в} (3) \ quad c + 3 + c & = 9 & \\ 2c & = 6 & \\ c & = 3 & \\ \ поэтому a & = 2 & \\ \ text {and} b & = 6 & \ конец {массив} \]

Касательные к окружности

Учебное упражнение 8. 2 & (\ text {Pythagoras, radius perp.2 & = \ текст {6,25} & \\ \ поэтому e & = \ text {2,5} \ text {cm} & \ конец {массив} \]

\ (f = \ text {3} \ text {cm} \)

Теорема о касательной хорде

Рассмотрим схемы, приведенные ниже:

Схема \ (\ text {1} \) Диаграмма \ (\ text {2} \) Диаграмма \ (\ text {3} \)
  1. Измерьте угломером следующие углы и заполните таблицу:

    Диаграмма \ (\ text {1} \) Диаграмма \ (\ text {2} \) Диаграмма \ (\ text {3} \)
    \ (A \ hat {B} C = \)
    \ (\ hat {D} = \)
    \ (\ hat {E} = \)
  2. Используйте свои результаты, чтобы выполнить следующее: угол между касательной к окружности и хордой равен \ (\ ldots \ ldots \) ​​к углу в альтернативном сегменте.

Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной в точке контакта, равен углу хорда проходит в альтернативном сегменте.

(Причина: теорема о загар. Хорде)

Окружность с центром \ (O \) и касательной \ (SR \), касающаяся окружности в точке \ (B \). Хорда \ (AB \) подчиняется \ (\ hat {P} _1 \) и \ (\ hat {Q} _1 \).

  1. \ (A \ hat {B} R = A \ hat {P} B \)
  2. \ (A \ hat {B} S = A \ hat {Q} B \)

Нарисуйте диаметр \ (BT \) и соедините \ (T \) с \ (A \).

Пусть \ (A \ hat {T} B = T_1 \). \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {B} S + A \ hat {B} T & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {tangent} \ perp \ text {radius}) \\ B \ hat {A} T & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \\ \ поэтому A \ hat {B} T + T_1 & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {сумма} \ треугольник BAT) \\ \ поэтому A \ hat {B} S & = T_1 & \\ \ text {but} Q_1 & = T_1 & (\ angle \ text {s в том же сегменте}) \\ \ поэтому Q_1 & = A \ hat {B} S & \ конец {массив} \] \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {B} S + A \ hat {B} R & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {s на ул.линия}) \\ \ hat {Q} _1 + \ hat {P} _1 & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.} \ angle \ text {s cyclic quad. Supp.}) \\ \ поэтому A \ hat {B} S + A \ hat {B} R & = Q_1 + P_1 & \\ \ text {и} A \ hat {B} S & = Q_1 & \\ \ поэтому A \ hat {B} R & = P_1 & \ end {array} \]

Рабочий пример 7: Теорема о касательной хорде

Определите значения \ (h \) и \ (s \).

Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме

Решить относительно \ (h \)

\ [\ begin {array} {rll} O \ hat {Q} S & = S \ hat {R} Q & (\ text {теорема о касательной хорде}) \\ h + \ text {20} \ text {°} & = 4h — \ text {70} \ text {°} & \\ \ text {90} \ text {°} & = 3h & \\ \ поэтому h & = \ text {30} \ text {°} & \ конец {массив} \]

Решить для \ (s \)

\ [\ begin {array} {rll} P \ hat {Q} R & = Q \ hat {S} R & (\ text {теорема о касательной хорде}) \\ s & = 4h & \\ & = 4 (\ текст {30} \ текст {°}) & \\ & = \ текст {120} \ текст {°} & \ конец {массив} \]

Теорема о касательной хорде

Учебное упражнение 8.6

\ [\ begin {array} {rll} a & = \ text {33} \ text {°} & (\ text {tangent-chord}) \\ b & = \ text {33} \ text {°} & (\ text {alt. angles,} OP \ parallel SR) \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} c & = \ text {72} \ text {°} & (\ text {tangent-chord}) \\ d & = \ dfrac {\ text {180} \ text {°} — \ text {72} \ text {°}} {2} & (\ text {равнобедренный треугольник}) \\ & = \ text {54} \ text {°} & (\ text {alt.углы,} OP \ parallel SR) \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} f & = \ text {38} \ text {°} & (\ text {tangent-chord}) \\ g & = \ text {47} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда}) \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} \ hat {O} _1 = \ hat {Q} _1 & = \ text {66} \ text {°} & (\ text {isosceles, касательная-хорда}) \\ \ поэтому l & = \ text {180} \ text {°} — 2 \ times \ text {66} \ text {°} & (\ text {сумма углов} \ треугольник) \\ & = \ текст {48} \ текст {°} & \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} i & = \ text {180} \ text {°} — \ text {101} \ text {°} — \ text {39} \ text {°} & (\ angle \ text {s на ул.линия }) \\ \ поэтому i & = \ text {40} \ text {°} & \\ j & = \ text {101} \ text {°} & (\ text {tangent-chord}) \\ k = i & = \ text {40} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда}) \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} n & = \ text {34} \ text {°} & (\ text {tangent-chord}) \\ o & = \ text {180} \ text {°} — \ text {90} \ text {°} — \ text {34} \ text {°} & (\ text {angles сумма} \ треугольник) \\ \ поэтому o & = \ text {56} \ text {°} & \\ m & = \ text {56} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда}) \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {rll} q & = \ text {52} \ text {°} & (\ text {касательная-хорда}) \\ p & = \ text {90} \ text {°} — \ text {52} \ text {°} & (\ text {tangent perp.радиус}) \\ \ поэтому p & = \ text {38} \ text {°} & \\ r & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \ конец {массив} \]

\ (O \) — центр окружности, а \ (SPT \) — касательная, с \ (OP \ perp ST \). Определите \ (a \), \ (b \) и \ (c \) с указанием причин.

\ [\ begin {array} {rll} a & = \ text {90} \ text {°} — \ text {64} \ text {°} & (\ text {tangent perp.радиус}) \\ & = \ текст {26} \ текст {°} & \\ b & = \ text {64} \ text {°} & (\ text {касательная хорда}) \\ c & = 2 \ times \ text {64} \ text {°} & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности}) \\ & = \ текст {128} \ текст {°} & \\ \ конец {массив} \]

\ (PAL \) касается окружности \ (ABC \).

\ [\ begin {array} {rll} \ hat {A} _1 & = A \ hat {C} B & (\ text {alt.angles}, AP \ parallel BC) \\ A \ hat {C} B & = A \ hat {B} C & (\ angle \ text {s напротив равных сторон}, AB = AC) \\ \ поэтому \ hat {A} _1 & = A \ hat {B} C & \\ \ text {Следовательно} PAL & \ text {является касательной к окружности} ABC & (\ angle \ text {между хордой линии} = \ angle \ text {в alt. сег.}) \ конец {массив} \]

\ (AB \) касается окружности \ (ADP \).

\ [\ begin {array} {rll} \ hat {A} _2 & = \ hat {B} _2 & (\ text {given}) \\ \ text {And} A \ hat {P} B & = \ hat {B} _2 & (\ text {alt. angles}, AP \ parallel BC) \\ \ text {Следовательно} A \ hat {P} B & = \ hat {A} _2 ABC & \\ \ text {Следовательно} AB & \ text {является касательной к окружности} ADP & (\ angle \ text {между хордой линии} = \ angle \ text {в alt. сег.}) \ конец {массив} \]

Converse: теорема о касательной хорде

Если линия, проведенная через конечную точку хорды, образует угол, равный углу, образуемому хордой в альтернативный сегмент, тогда линия является касательной к окружности.

(Причина: \ (\ angle \) между линией и хордой \ (= \ angle \) в альтернативном сегменте)

Рабочий пример 8: Применение теорем

\ (BD \) является касательной к окружности с центром \ (O \) с \ (BO \ perp AD \).

Докажите, что:

  1. \ (CFOE \) — вписанный четырехугольник

  2. \ (FB = BC \)

  3. \ (\ angle A \ hat {O} C = 2 B \ hat {F} C \)

  4. Будет ли \ (DC \) ​​касательной к окружности, проходящей через \ (C, F, O \) и \ (E \)? Мотивируйте свой ответ.

Доказательство \ (CFOE \) представляет собой вписанный четырехугольник, показывая, что противоположные углы являются дополнительными

\ [\ begin {array} {rll} БО & \ perp OD & (\ text {given}) \\ \ поэтому F \ hat {O} E & = \ text {90} \ text {°} & \\ F \ hat {C} E & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \\ \ поэтому CFOE & \ text {является циклическим четырехугольником.} & (\ text {opp.} \ angle \ text {s suppl.}) \ конец {массив} \]

Докажите \ (BFC \) равнобедренный треугольник

Чтобы показать, что \ (FB = BC \), мы сначала докажем, что \ (\ треугольник BFC \) является равнобедренным треугольником, показав, что \ (B \ hat {F} C = B \ hat {C} F \).

\ [\ begin {array} {rll} B \ hat {C} F & = C \ hat {E} O & (\ text {tangent-chord}) \\ C \ hat {E} O & = B \ hat {F} C & (\ text {ext.} \ Angle \ text {cyclic quad.} CFOE) \\ \ поэтому B \ hat {F} C & = B \ hat {C} F \\ \ поэтому FB & = BC & (\ треугольник BFC \ text {isosceles}) \ конец {массив} \]

Докажи \ (A \ hat {O} C = 2 B \ hat {F} C \)

\ [\ begin {array} {rll} A \ hat {O} C & = 2 A \ hat {E} C & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в описании.}) \\ \ text {и} A \ hat {E} C & = B \ hat {F} C & (\ text {ext.} \ angle \ text {cyclic quad.} CFOE) \\ \ поэтому A \ hat {O} C & = 2 B \ hat {F} C \ конец {массив} \]

Определите, является ли \ (DC \) ​​касательной к окружности через \ (C \), \ (F \), \ (O \) и \ (E \)

Доказательство от противного.

Предположим, что \ (DC \) ​​касается окружности, проходящей через точки \ (C \), \ (F \), \ (O \) и \ (E \): \ [\ begin {array} {rll} \ поэтому D \ hat {C} E = C \ hat {O} E \ quad (\ text {касательная-хорда}) \ конец {массив} \] И используя круг с центром \ (O \) и касательной \ (BD \), мы получаем, что: \ [\ begin {array} {rll} D \ hat {C} E & = C \ hat {A} E & (\ text {tangent-chord}) \\ \ text {but} C \ hat {A} E & = \ frac {1} {2} C \ hat {O} E & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at окр.}) \\ \ поэтому D \ hat {C} E & \ ne C \ hat {O} E & \ конец {массив} \] Следовательно, наше предположение неверно, и мы можем заключить, что \ (DC \) ​​не касается окружности. проходя через точки \ (C \), \ (F \), \ (O \) и \ (E \).

Рабочий пример 9: Применение теорем

\ (FD \) проводится параллельно касательной \ (CB \)

Докажите, что:

  1. \ (FADE \) — вписанный четырехугольник

  2. \ (F \ hat {E} A = \ hat {B} \)

Доказательство \ (FADE \) — вписанный четырехугольник с углами в одном отрезке

\ [\ begin {array} {rll} F \ hat {D} C & = D \ hat {C} B & (\ text {alt.} \ angle \ text {s} FD \ parallel CB) \\ \ text {and} D \ hat {C} B & = C \ hat {A} E & (\ text {tangent-chord}) \\ \ поэтому F \ hat {D} C & = C \ hat {A} E \\ \ поэтому FADE & \ text {- циклический четырехугольник.} & (\ angle \ text {s в том же сегменте.}) \ конец {массив} \]

Докажи \ (F \ hat {E} A = \ hat {B} \)

\ [\ begin {array} {rll} F \ hat {D} A & = \ hat {B} & (\ text {correp.} \ Angle \ text {s} FD \ parallel CB) \\ \ text {and} F \ hat {E} A & = F \ hat {D} A & (\ angle \ text {s same seg.\ @ циклический четверной. \ @} FADE) \\ \ поэтому F \ hat {E} A & = \ hat {B} \ конец {массив} \]

Математический факультет | Программа обучения OHS

МАТЕМАТИКА

ПРЕДАЛГЕБРА: 9–12 классы, год = 2 CR, предварительное условие = рекомендация учителя

Студенты будут изучать все основные навыки и концепции, необходимые для успеха в алгебре 1. Охватываемые темы могут включать десятичные дроби, проценты, переменные, алгебраические выражения, формулы, отношения, целые и рациональные числа, наклон, скорость изменения, линейность и некоторые вводные. теория чисел, геометрия, вероятность и статистика.# 3003

АЛГЕБРА 1 АКАДЕМИЧЕСКИЙ: Класс 9–12, год = 2 CR, предварительных требований нет, Утверждено RAI

В этом курсе рассматриваются и расширяются структура и свойства действительных чисел. Навыки решения уравнений и другие знания, полученные в этом курсе, являются основой для всей дальнейшей математической работы (например, многоступенчатые уравнения, линейные уравнения, квадратные уравнения, системы уравнений, статистика, радикалы и полиномы). Эти навыки затем применяются в различных дисциплинах.Студентам следует ожидать ежедневных заданий. # 3006

АЛГЕБРА 1: 9–12 классы, год = 2 CR, предварительных требований нет

Этот курс предназначен для студентов, которым необходимы общие знания алгебры 1 и которые по-прежнему стремятся получить необходимые знания для всей дальнейшей математической работы (например, многоэтапных уравнений, линейных уравнений, квадратичности, статистики, полиномов и систем уравнений). Этот курс охватывает все соответствующие требования учебной программы Iowa Core. Студенты должны обсудить зачисление на этот курс со своим нынешним учителем математики или консультантом, чтобы убедиться, что он будет соответствовать их потребностям.Студентам следует ожидать ежедневных заданий. # 3020

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЧЕТЫ (ПОЧЕТА 9-ГО КЛАССА): 9-й класс, год = 2 CR, предварительное условие = алгебра 1, Утверждено RAI

Этот курс дает студентам опыт, который углубляет понимание математических отношений в евклидовой геометрии. Особое внимание уделяется дедуктивному и индуктивному мышлению, а также исследовательским стратегиям при составлении выводов. Другие исследования включают тригонометрию, вероятность, аналитическую геометрию и неевклидову геометрию.

Этот класс будет охватывать все аспекты формальной геометрии, но больше внимания будет уделяться принципам логики, формализации доказательств и теории геометрии. Задачи этого класса будут иметь высокую степень сложности. Требуются сильные практические знания алгебры. Из-за темпа этого курса очень важна строгая трудовая этика. Студентам следует ожидать ежедневных домашних заданий. Записаться на этот курс можно после изучения алгебры в 8-м классе с отличием или по рекомендации учителя.# 3005

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ: 10–12 классы, год = 2 CR, предварительное условие = алгебра 1 или Rec Teacher Rec, RAI Approved

Этот курс позволяет студентам открывать математические взаимосвязи в евклидовой геометрии, тригонометрии, вероятности и аналитической геометрии, которые будут служить основой для концепций, разработанных в алгебре 2 или других технических исследованиях.

Учащиеся развивают свои способности логического мышления через введение в математическое доказательство.Цели курса включают развитие навыков математического обоснования и обоснования утверждений, а также анализ и систематизацию своих мыслей с использованием геометрических задач на практике.

Требуется сильное рабочее знание алгебры. Для наибольших шансов на успех студенты должны сдать оба семестра по алгебре 1 или иным образом продемонстрировать владение концепциями алгебры перед тем, как приступить к изучению геометрии. Студенты должны уметь решать многоступенчатые уравнения, линейные уравнения, квадратные уравнения и системы уравнений.Студенты также должны уметь упрощать радикалы и множители многочленов. Студентам следует ожидать ежедневных домашних заданий. # 3103

ГЕОМЕТРИЯ: 10–12 классы, год = 2 CR, предварительное условие = ядро ​​алгебры 1 или алгебра 1, Утверждено RAI

Этот курс предназначен для студентов, которым необходимы общие знания геометрии, евклидовой геометрии и вероятности, а также вводные доказательства и тригонометрия, которые будут основой этого курса. Этот курс будет охватывать все соответствующие требования учебной программы Iowa Core.Студенты должны обсудить зачисление на этот курс со своим нынешним учителем математики или консультантом, чтобы убедиться, что он будет соответствовать их потребностям. # 3101

АЛГЕБРА 2 ПОЧЕТА (ПОЧЕТА 10-ГО КЛАССА): 10 класс, год = 2 CR, предварительное условие = геометрия с отличием или геометрия с учителем, Утверждено RAI

Это курс второго уровня в последовательности с отличием. Дополнительные темы по алгебре, тригонометрии, логарифмам, системам уравнений, матрицам, статистике, квадратным уравнениям, расширенному факторингу и мнимым числам.# 3102

АКАДЕМИЧЕСКИЙ УЧАСТОК АЛГЕБРЫ 2: 11–12 классы, год = 2 CR, предварительное условие = геометрия или рекомендация учителя, Утверждено RAI

Этот курс основан на концепциях и навыках Алгебры 1 и, в свою очередь, является основой для более продвинутой математики. Он подчеркивает взаимосвязь чисел и методы решения проблем. Изучается много новых и интересных тем математики. Они включают логарифмы, тригонометрию, статистику и мнимые числа. Домашнее задание требуется на регулярной основе.# 3201

АЛГЕБРА 2: 11–12 классы, год = 2 CR, предварительное условие = ядро ​​геометрии или рекомендация учителя

Этот курс предназначен для студентов, которым необходимы общие знания по алгебре 2. Темы включают статистику, линейные, нелинейные функции, логарифмы, тригонометрию, мнимые числа, а также другое алгебраическое содержание, требуемое Iowa Core. Студенты должны обсудить зачисление на этот курс со своим нынешним учителем математики или консультантом, чтобы убедиться, что он будет соответствовать их потребностям.Домашнее задание требуется на регулярной основе. # 3205

МАТЕМАТИКА 21 ВЕКА: 12 класс, год = 2 CR, предварительное условие = алгебра 2 Ядро

Этот курс предназначен для студентов, интересующихся математикой на четвертом курсе, которые завершили как минимум Geometry Core. Изучите математику 21 века с помощью курса, который применяет математику к реальным жизненным ситуациям. Получите навыки, необходимые для выживания в 21 веке, открывая для себя такие темы, как ссуды, бюджетирование, налоги, консьюмеризм и многое другое.Этот курс основан на подходе к бизнесу и потребителю, что дает вам знания, которые помогут вам добиться успеха в будущем. # 3106

РАСШИРЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНЦЕПЦИИ: 11–12 классы, год = 2 CR, предварительное условие = алгебра 2, Утверждено RAI

Этот курс представляет собой курс высшего уровня, предназначенный для студентов, которые успешно завершили алгебру 2, но не совсем готовы или не соответствуют требованиям для одновременного зачисления в классы Indian Hills. Темы первого семестра будут включать в себя развитие понимания функций на начальном уровне перед вычислением, преобразования функций, полиномиальные, экспоненциальные и логарифмические функции.Темы второго семестра будут включать тригонометрию, матрицы, векторы и статистику. После успешного завершения этого курса студент должен быть готов к занятиям на уровне колледжа. # 3204

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАВЫКИ I: Оценка = 9-12, Год = 2 CR, Предпосылка = Решение группы IEP

Этот курс будет посвящен функциональным математическим навыкам на начальном элементарном уровне. Учебная программа будет включать в себя жизненные навыки, ориентированные на деньги, время, счета и функциональные навыки, необходимые в жизни.# 341, 03412

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАВЫКИ II: Оценка = 9-12, Год = 2 CR, Предпосылка = Решение группы IEP

Этот курс будет направлен на то, чтобы помочь студентам получить базовые математические навыки. Студенты сосредоточатся на основных операциях и навыках, необходимых для выполнения функциональных повседневных жизненных задач. # 450

ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ 1 : оценка = 9–12, год = 2 CR, предварительное условие = решение группы IEP

Этот курс направлен на то, чтобы помочь студентам овладеть навыками алгебры. Студенты этого курса будут работать по модифицированной программе Algebra Core.# 451

ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ: Оценка = 9-12, Год = 2 CR, Предпосылка = Решение группы IEP

Этот курс направлен на то, чтобы помочь студентам овладеть навыками геометрии. Студенты этого курса будут работать по измененной учебной программе Geometry Core. # 452

ВВЕДЕНИЕ В 21 ВЕК МАТЕМАТИКА: Оценка = 11-12, Год = 2 CR, Предпосылки = Группа IEP

декабря

Этот курс предназначен для студентов, изучающих математику 21 века посредством курса, который применяет математику к реальным жизненным ситуациям.Единицы могут включать: обзор основных математических навыков, зарабатывание денег / обращение с деньгами, владение автомобилем, владение домом, уплату налогов, составление бюджета и банковское дело, а также путешествия. # 453


КОЛЛЕДЖ СООБЩЕСТВА ИНДИАН-ХИЛЛЗ


Следующие курсы колледжа Indian Hills Community College предлагаются в качестве одновременного кредита. Успешное завершение любого из этих курсов приведет к получению 1 кредита OHS для получения диплома И кредита колледжа в IHCC. См. Стр. 10 для ознакомления с требованиями к квалификации.Применяются правила дисциплины и посещаемости OHS.

MAT110 MATH ДЛЯ ЛИБЕРАЛЬНЫХ ИСКУССТВ: класс 12, семестр = 1 CR, предварительные условия = требуемые знания, основа алгебры 2, IHCC и OHS Credit, RAI Approved

Это курс гуманитарных наук, предназначенный для студентов с самыми разными математическими знаниями. Упор делается на решение проблем и приложения. Темы включают теорию множеств, логику, вероятность, статистику и потребительскую математику. По крайней мере, одна дополнительная тема будет выбрана из числа основ алгебры или теории голосования.# MAT110

MAT120 COLLEGE ALGEBRA: Grade 11-12, Semester = 1 CR, Prerequisite = Proficiency, Algebra 2, IHCC & OHS Credit, RAI Approved

Этот курс расширяет возможности изучения алгебраических принципов. Темы включают линейные и квадратные уравнения, неравенства, графики отношений и функций, экспоненциальные и логарифмические функции, системы уравнений, матрицы и определители. Студенты будут решать множество реальных прикладных задач, относящихся к этим темам.Студенты должны хорошо владеть алгеброй. Для этого курса рекомендуется владение графическим калькулятором. Назначено ежедневное домашнее задание. # MAT120

MAT125 PRECALCULUS: 11–12 классы, семестр = 1 CR, предварительные условия = необходимые знания, алгебра 2, IHCC & OHS Credit, RAI Approved

Этот курс изучает полиномы, тригонометрию, векторы и другие сложные темы, включая введение в исчисление. После успешного завершения этого курса студент будет хорошо подготовлен к изучению математики или математике в колледже.Для этого курса рекомендуется владение графическим калькулятором. # MAT125

MAT156 СТАТИСТИКА: класс 12, семестр = 1 CR, предварительные условия = требуемый уровень знаний, алгебра 2, IHCC & OHS Credit, RAI Approved

Этот курс предлагается пожилым людям, поступающим в колледж. Он подходит для студентов, планирующих получить специальность в области бизнеса, экономики, а также социальных и социальных наук. Этот курс даст студенту солидный опыт использования и неправильного использования статистики.Студент изучит основы статистических методов и умозаключений с упором на их применение. # MAT156

MAT210 CALCULUS 1: Класс 12, семестр = 1 CR, предварительное условие = требуемый уровень знаний, предварительный расчет, кредит IHCC и OHS, Утверждено RAI

Calculus 1 — курс с отличием; темы включают свойства функций, пределы и дифференциальное исчисление. Особое внимание уделяется концептуальному пониманию и работе с функциями, представленными в графическом, числовом, аналитическом и вербальном виде.Графический калькулятор широко используется. Студентам следует ожидать ежедневных домашних заданий. # MAT210

MAT216 CALCULUS 2: класс 12, семестр = 1 CR, предварительные условия = требуемый уровень квалификации, расчет 1, IHCC & OHS Credit, RAI Approved

Calculus — курс с отличием; темы включают интегральное исчисление, а также введение в дифференциальные уравнения с использованием полей наклона. Особое внимание уделяется концептуальному пониманию и работе с функциями, представленными в графическом, числовом, аналитическом и вербальном виде.Графический калькулятор широко используется. Студентам следует ожидать ежедневных домашних заданий. # MAT216

Шестой класс (11/12) — Детская школа на Бэнк-Стрит

Языкознание:

В литературе учащиеся исследуют, что делает книгу хорошей. Они внимательно читают одну книгу в книжных клубах и занимаются широким кругом самостоятельного чтения, чтобы выбрать книги, которые они хотели бы продвигать на получение награды Bank Street’s Mock Newbery. Наш блок литературы-антиутопии позволяет студентам читать классические и современные книги таких авторов, как Рэй Брэдбери, Урсула К.ЛеГуин, Скотт Вестерфельд и Паоло Бачигалупи. Они анализируют элементы жанра с целью написания собственных рассказов-антиутопий. Ближе к концу года мы переключаемся на историческую фантастику. Мы читаем рассказы о людях, которые выдержали огромные трудности, а также научную литературу о периодах истории, в которых действие романов происходит.

Учебная программа по письму на 11/12 направлена ​​на развитие сильных организаторских и выразительных навыков. Написание в 11/12, как и в предыдущие годы, позволяет студентам творчески выражать себя, а также подготавливает их к написанию формальных литературных эссе, исследовательских работ и аргументов.Учащиеся используют письмо, чтобы подготовиться к обсуждению книги, чтобы выяснить и выразить свои ранние размышления о важных идеях в области социальных исследований и литературы, а также поразмышлять над тем, что они изучают.

Учащиеся также работают над более длинными сочинениями, требующими глубокого пересмотра. Они пишут пояснительные статьи, чтобы описать то, что они узнали, формальные аргументы, чтобы убедить других, и рассказы, чтобы рассказывать истории и развлекать. Наша цель — помочь студентам ясно и красиво выразить свои идеи.Мы объединяем письменные соглашения, использование и структуру предложений в процессе пересмотра. Поскольку их идеи становятся все более сложными, особое внимание в 11/12 уделяется правильному написанию и пунктуации сложных предложений и организации абзацев так, чтобы они были четкими и связными.

Библиотека:

В своей библиотечной работе учащиеся 10/11 и 11/12 участвуют в программе Mock Newbery. Сотрудничая с Центром детской литературы на Бэнк-Стрит, детский библиотекарь собирает в дар современные книги, подходящие для 10/11 и 11/12.Классные учителя адаптируют учебную программу к потребностям своих учеников. Студенты оттачивают и оттачивают свое критическое мышление и навыки публичных выступлений, оценивая и обсуждая книги, имеющие право на имитацию награды Newbery на Bank Street.

Языки мира:

Студентам 11/12 предоставляется выбор: продолжить изучение испанского или начать новое изучение французского. Классы собираются четыре раза в неделю. Дети должны продолжать изучать свой мировой язык в течение трех лет.

В испанской программе дети изучают географию испаноязычного мира. Они опираются на знания испанского, которые они приобрели за годы работы в Bank Street, и продолжают развивать свои навыки. Они расширяют свои языковые знания по таким полезным темам, как одежда, путешествия и еда, исследуя определенные страны. Они создают скетчи, объединяющие изученную грамматику и словарный запас. Пародии отражают реальные жизненные ситуации, соответствующие культурным традициям.Они учатся заказывать и покупать еду, торговаться на рынке, спрашивать дорогу и т. Д. У них есть викторины, а также домашние задания, которые усиливают работу в классе. Таким образом ученики читают и пишут то, что они научились говорить.

В рамках французской программы учащиеся знакомятся с новым языком, развивают слух на французские звуки и приобретают базовый словарный запас и некоторые простые понятия французской грамматики. Темы уроков взяты из детской литературы (рассказы, басни и стихи), аутентичных детских игр и произведений искусства из франкоязычных культур.Недавние уроки были сосредоточены на сказках франкоязычных стран Западной Африки, на исчезающих животных Мадагаскара, а также на народах и местах разных франкоязычных стран. Детей знакомят с разнообразием и культурным богатством франкоговорящих стран. Хотя темы могут различаться, каждый урок содержит один и тот же базовый материал, который детям необходимо знать, чтобы продолжить на французском языке. Студенты знакомятся с чтением и письмом по-французски посредством классных занятий и домашних заданий.

Расчет и аналитическая геометрия II,

TBA
Лучший совет, который я могу вам дать — не позволяйте себе отставать в этом курсе!
В этом и беда.

КАЛЬКУЛЯТОРЫ НЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ДЛЯ ВОПРОСОВ ИЛИ ЭКЗАМЕНОВ.

Домашние задания
Задание № 1 Раздел 7.1 3, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 19, 21, 23, 24, 25, 31, 36, 37, 41, 42
Задание № 2 Раздел 7.2 1, 2, 7, 11, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 45, 57, 59
Задание № 3 Раздел 7.3 1-21 СТРАННЫЙ; 2, 29
Задание № 4 Раздел 7.3 23, 25, 27 Раздел 7.4 1-7 ODD, 8, 13-21 ODD, 25, 29, 31, 33, 37, 39 ODD, 43, 45, 47
Задание № 5 Раздел 7.5 1 — 51 НЕЧЕТ (ИСКЛЮЧАЯ 15, 27, 35, 37, 39, 43, 47); 24, 59, 61, 63, 67, 69, 73
Задание № 6 Раздел 7.7 1, 21, 23, 32, 33
Задание № 7 Раздел 7.8 1, 5, 13 — 29 ODD, 33, 37, 49, 51, 53
Задание № 8 Раздел 11.1 1 — 37 ODD, 53, 55, 57

Задание № 9 Раздел 11.2 9 — 49 ODD, 52 (а), 53, 57
Назначение № 10 Раздел 11.3 3–23 ODD, 31, 32, 33
Задание № 11 Раздел 11.4 1 — 35 НЕЧЕТНЫЙ
Задание № 12 Раздел 11.5 1 — 15 ODD; 21 — 27 ODD (для (27) вычислить ошибку менее 0,0001)
Задание № 13 Раздел 11.6 1 — 19 ODD; 12, 20, 24, 26, 34
Задание № 14 Раздел 11.7 ODD (кроме 29, 35)
Задание № 15 Раздел 11.8 1-29 ODD, 30

Задание № 16 Раздел 11.9 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 20, 25, 27, 29, 31
Задание № 17 Раздел 11.10 1, 4, 5, 6, 11 — 15 ВСЕ, {31, 33 — Найти Маклорена Series}, 41 — 47 ODD, 53, 55, 55
Задание № 18 Раздел 11.11 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17
Задание №19 Раздел 11. 12 1, 5, 9 [13, 14, 15 — только части (a) и (b)]

Назначение № 20 Раздел 10.1 1–13 ODD; 17 — 21 ODD
Задание № 21 Раздел 10.2 1, 3, 5, 7, 11 (не рисовать), 13, 15, 17, 19, 20, 33, 34, 35
Задание № 22 Раздел 8.1 1, 3, 5, 7, 13, 17
Задание № 23 Раздел 8.2 1, 3, 7, 13, 15, 16, 27
Задание № 24 Раздел 10.3 1, 3, 5, 7, 15, 21, 23, 29
Задание № 25 Раздел 10.4 1–31 ODD, 8, 28
Задание № 26 Раздел 10 .4 37 — 49 ODD, 34, 36, 44, 57 — 67 ODD
Задание № 27 Раздел 10.5 1, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 17, 21, 23, 25, 28, 29, 33, 37, 39, 45, 49 (ПРИМЕЧАНИЕ: Не оценивайте все интегралы.)
Задание № 28 Раздел 10.6 1–41 ODD, 16, 42


БЮЛЛЕТЕНЬ ОБЪЯВЛЕНИЙ
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН & nbsp ЧЕТВЕРГ 8-11 утра
141 ЗАЛ ВОЛЕРСА
ПРОБЛЕМНЫЕ СЕССИИ в 245 АХ
ВТОРНИК 4:45 — 6:15
СРЕДА 11:45 — 1:15 и 4:45 — 6:15
ЧАСЫ РАБОТЫ
ПОНЕДЕЛЬНИК 14 — 16 221 АХ
ВТОРНИК 13:30 — 15:00
ОТВЕТЫ НА ОБРАЗЕЦ, ДОСТУПНЫХ ВО ВРЕМЯ ОФИСНЫХ ЧАСОВ ИЛИ НА ПРОБЛЕМНЫХ СЕССИЯХ

Go Math Grade 1 Chapter 11 Answer Key Pdf Трехмерная геометрия — Go Math Answer Key

Пойди по математике в 1-й класс, глава 11, ключ с ответами Pdf: Учащиеся могут научиться думать, разрабатывать стратегии и решать задачи из главы 11 по математике для первого класса, а не просто получать ответы.Учитесь, практикуйтесь, добивайтесь успеха, используя решения для трехмерной геометрии 1-го класса по математике, глава 11. HMH Go Math Grade 1 Answer Key предоставляет полный набор подготовительных ресурсов в одном месте, что позволяет легко переключаться между домом и классом. Наши эксперты используют одни и те же модели и методы решения задач для каждой оценки, чтобы математические концепции оставались с вами и развивали устойчивые знания.

Трехмерная геометрия Go Math Grade 1 Chapter 11 Answer Key Pdf

Go Math Grade 1 Глава 11 Трехмерная геометрия включает вопросы из тестов по главам, повторных тестов, оценок, уроков, домашних заданий и практики и т. Д.Чтобы помочь вам лучше понять концепции, мы предоставили пошаговые решения для всех задач Go Math Solutions для 1-го класса. Фактически, все ответы по трехмерной геометрии Go Math Grade 1 Ch 11 выровнены в соответствии с Учебниками Go Math для 1-го класса. Начните подготовку без промедления и с уверенностью попробуйте сдать экзамен.

Трехмерная геометрия

Урок: 1 Трехмерные фигуры

Урок: 2 Объединение трехмерных фигур

Урок: 3 Создание новых трехмерных фигур

Контрольно-пропускной пункт промежуточного уровня

Lessson: 4 решения проблем • Разбираем трехмерные формы

Урок: 5 двумерных форм на трехмерных формах

Любопытный Джордж

Какие трехмерные формы вы видите в замке из песка?

Ответ:
Конус, цилиндр, куб.

Пояснение:
В вышеупомянутом замке из песка есть много трехмерных форм: конус, цилиндр, куб.

Трехмерная геометрия. Покажи, что ты знаешь

Одинаковые и разные

Обведите похожие предметы.

Вопрос 1.

Ответ:

Пояснение:
В вышеприведенных фигурах 2 кубика. Итак, обведите кубики.

Вопрос 2.

Ответ:

Пояснение:
На фигурах выше 2 конуса.Итак, обведите шишки.

Определить трехмерные формы

Цвет синий. Раскрасьте красный. Раскрасьте желтый.

Вопрос 3.

Ответ:

Пояснение:
Данная форма представляет собой куб, поэтому раскрасьте ее в желтый цвет.

Вопрос 4.

Ответ:

Пояснение:
Данная форма представляет собой круг, поэтому раскрасьте ее в синий цвет.

Вопрос 5.

Ответ:

Пояснение:
Выше приведена цилиндрическая форма.Итак, раскрасьте его в красный цвет.

Сортировать по размеру
Отметьте X на объекте, который не принадлежит.

Вопрос 6.

Ответ:

Пояснение:
В приведенных выше фигурах третья фигура больше по сравнению с другими, поэтому поставьте крестик поперек нее.

Построитель словаря трехмерной геометрии

Visualize It
Напишите слова для обзора, чтобы назвать формы.

Ответ:

Понять словарь

Посмотрите на трехмерные формы.Раскрасьте сферу Раскрасьте куб Раскрасьте цилиндр

Вопрос 1.

Ответ:

Пояснение:
Данная форма представляет собой цилиндр, поэтому раскрасьте ее в зеленый цвет.

Вопрос 2.

Ответ:

Пояснение:
Указанная выше форма — сфера, поэтому раскрасьте ее в синий цвет.

Вопрос 3.

Ответ:

Пояснение:
Данная форма является кубом, поэтому раскрасьте ее в желтый цвет

Игра с трехмерной геометрией: бинго подбора формы

Материалы • 9 • 9 •
Играйте с партнером.По очереди.
1. Один игрок использует. Другой игрок использует.
2. Отжим. Используйте стойку, чтобы покрыть пространство этой формой.
3. Если вы не можете покрыть пространство, ваш ход окончен.
4. Побеждает тот игрок, который первым покроет все свои клетки.

Словарь-игра с трехмерной геометрией

Going Places с GOMATH! слова

Поездка на поезде

Для 2 игроков

Материалы

Как играть
1.Выберите и поставьте на СТАРТ.
2. Бросьте, чтобы повернуть. Переместите столько пространств.
3. Если вы приземлитесь на эти клетки:
Красное пространство Возьмите карту-подсказку. Ответить на вопрос. Если вы правы, переходите к следующему этапу: 1. Верните карту-подсказку в нижнюю часть стопки.
Blue Space Следуйте указаниям на пространстве.
4. Соберите 5 карточек улик. Перемещайтесь по трассе столько раз, сколько вам нужно. Затем следуйте ближайшей к центру дорожке, чтобы добраться до ФИНИШ.
5. Побеждает игрок, первым достигший ФИНИШ.

Способ записи

Отражение
Выберите одну идею. Нарисуйте и напишите об этом.
• Расскажите о двух из этих слов.

• Сравните изогнутую поверхность с плоской поверхностью. Расскажите, чем они похожи и чем отличаются.

Ответ:

Урок 11.1 Трехмерные фигуры

Основной вопрос
Как можно идентифицировать и описывать трехмерные формы?

Слушай и рисуй

Нарисуйте для сортировки трехмерных фигур.

Ответ:

Пояснение:
На картинке выше изображены две разные формы: кубы и сферы.

Разговор по математике
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРАКТИКИ
Обобщение Объясните, как вы сортируете фигуры.

Модель и чертеж

Это трехмерные формы.

Поделиться и показать MATH BOARD

Используйте трехмерные формы. Разберите фигуры на три группы.Назовите и нарисуйте фигуры.

Вопрос 1.
только плоские поверхности

Ответ:

Пояснение:
Прямоугольная призма и куб имеют только плоские поверхности.

Вопрос 2.
только криволинейная поверхность

Ответ:

Пояснение:
Сфера имеет только изогнутую поверхность.

Вопрос 3.
плоские и криволинейные поверхности

Ответ:

Пояснение:
Конус и цилиндр имеют плоские и изогнутые поверхности.

Самостоятельно

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА

Использование моделей Используйте трехмерные формы.
Напишите количество плоских поверхностей для каждой формы.

Вопрос 4.
Прямоугольная призма имеет __ плоских поверхностей.

Ответ:
Прямоугольная призма имеет 6 плоских поверхностей.

Вопрос 5.
Куб имеет __ плоских поверхностей.

Ответ:
Куб имеет 6 плоских поверхностей

Вопрос 6.
Цилиндр имеет __ плоских поверхностей.

Ответ:
Цилиндр имеет 2 плоские поверхности

Вопрос 7.
Сфера имеет __ плоских поверхностей

Ответ:
У сферы 0 плоских поверхностей

ПОДРОБНЕЕ
Напишите название каждой формы.

Вопрос 8.

Вопрос 9.

Ответ:

Пояснение:
Форма конуса указана выше, поэтому напишите конус.

Вопрос 10.

Ответ:

Пояснение:
Вышеупомянутая форма — куб.Итак, напишите куб.

Вопрос 11.

Ответ:

Пояснение:
Выше заданная форма — цилиндр. Итак, напишите цилиндр.

Вопрос 12.

Ответ:

Пояснение:
Приведенная выше форма представляет собой прямоугольную призму. Итак, напишите прямоугольную призму.

Решение проблем • Приложения

Обведите объекты, соответствующие уликам

Вопрос 13.
Келли рисовала объекты с плоскими и изогнутыми поверхностями.

Ответ:

Пояснение:
В приведенных выше объектах обведенные объекты имеют как плоские, так и изогнутые поверхности.

Вопрос 14.
Сэнди нарисовала несколько прямоугольных призм.

Ответ:

Пояснение:
Объекты, обведенные на картинке выше, имеют форму прямоугольных призм.

Вопрос 15.
Сопоставьте каждую форму с группой, к которой она принадлежит

Ответ:

Пояснение:
Конус и цилиндр имеют как плоские, так и изогнутые поверхности, куб и прямоугольная призма имеют только плоские поверхности, а сфера имеет только изогнутую поверхность.

Займите домашнее задание
• Попросите ребенка назвать реальные объекты, имеющие форму сферы, прямоугольной призмы и цилиндра.

Трехмерные формы Домашнее задание и практика 11,1

Трехмерные фигуры

Используйте трехмерные формы. Напишите количество плоских поверхностей для каждой формы.

Вопрос 1.
Цилиндр имеет __ плоских поверхностей.

Ответ:
Цилиндр имеет 2 плоские поверхности.

Вопрос 2.
Прямоугольная призма имеет _ плоские поверхности.

Ответ:
Прямоугольная призма имеет 6 плоских поверхностей.

Вопрос 3.
Конус имеет _ плоскую поверхность.

Ответ:
Конус имеет 1 плоскую поверхность.

Вопрос 4.
Куб имеет _ плоские поверхности.

Ответ:
У куба 6 плоских поверхностей.

Решение проблем

Вопрос 5.
Обведите объект, соответствующий подсказке. Майк находит объект, имеющий только изогнутую поверхность.

Ответ:

Пояснение:
Обведенный объект в приведенных выше объектах является сферой. Сфера имеет только изогнутую поверхность.

Вопрос 6.
WRITE Math
Используйте картинки или слова, чтобы описать конус.

Ответ:

Проверка урока

Вопрос 1.
Обведите фигуру с плоской и изогнутой поверхностями.

Ответ:

Пояснение:
Обведенная выше фигура имеет как плоские, так и изогнутые поверхности.

Вопрос 2.
Обведите фигуру, имеющую только изогнутую поверхность.

Ответ:

Пояснение:
Обведенная выше фигура представляет собой сферу. Сфера имеет только изогнутую поверхность.

Обзор спирали

Вопрос 3.
Считай вперед. Напишите номер, которого не хватает.
109, 110, 111, __, 113

Ответ:
109,110,111,112,113.

Объяснение:
Между заданным номером пропущен номер.Счетчик вперед, 112 идет после 111, так что пропущенное число 112.

Вопрос 4.
Какова сумма 2 и 3? Напишите числовое предложение.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы складываем 2 и 3, получаем 5. Итак, 2 + 3 = 5.

Урок 11.2 Объединение трехмерных фигур

Основной вопрос
Как можно комбинировать трехмерные формы для создания новых форм?
Ответ:
Чтобы создать новые формы с использованием трехмерных фигур, мы должны поместить фигуры выше, ниже или помимо другой формы, чтобы образовалась новая форма.

Слушай и рисуй

Трассировка, чтобы нарисовать новую форму. Напишите название новой формы.

Ответ:

Пояснение:
Указанные выше формы получаются путем объединения двух форм. Новые формы — цилиндр и прямоугольная призма.

Беседа по математике
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРАКТИКИ
Применить Опишите новые формы, которые создали Мэнди и Карл.

Модель и чертеж

Вы можете складывать фигуры вместе, чтобы создать новую фигуру.

Поделиться и показать MATH BOARD

Используйте трехмерные формы.

Ответ:

Пояснение:
В вышеприведенных фигурах обведенные фигуры — это фигуры, полученные путем расчесывания заданных фигур рядом с ними.

Самостоятельно

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА

Attend to Precision
Используйте трехмерные формы.

Ответ:

Пояснение:
В вышеприведенных фигурах обведенные фигуры — это фигуры, полученные путем расчесывания заданных фигур рядом с ними.

Решение проблем • Приложения WRITE Math

GO DEEPER
Обведите фигуры, которые вы можете использовать для моделирования рожка мороженого.

Вопрос 9.

Ответ:

Пояснение:
Круги на приведенных выше фигурах образуют мороженое.

Вопрос 10.
Обведите пути, образующие такую ​​же форму.

Ответ:

Пояснение:
Обведенные выше фигуры представляют собой куб, образованный объединением кубов.

Вопрос 11.
Объединить и.
Выберите все новые формы, которые вы можете сделать.

Ответ:

Пояснение:
Отмеченные формы на рисунке выше образованы путем объединения двух заданных форм: прямоугольной призмы и конуса.

ПРИНИМАЙТЕ ДОМАШНЕЕ МЕРОПРИЯТИЕ
• Попросите ребенка показать вам две разные новые формы, которые он или она может сделать, объединив банку для супа и коробку с хлопьями.

Комбинируйте домашнее задание и практику с трехмерными фигурами 11.2

Используйте трехмерные формы.

Ответ:

Пояснение :.
Обведенные фигуры на картинке выше образованы путем объединения двух заданных фигур помимо них.

Решение проблем

Вопрос 3.
Обведите фигуры, которые вы можете использовать для моделирования кормушки для птиц.

Ответ:

Пояснение:
Конус и цилиндр, обведенные кружком, используются для изготовления модели кормушки для птиц

Вопрос 4.
WRITE Math
Объедините две формы, чтобы создать новую форму. Опишите, как вы складываете фигуры.
_____________
_____________
_____________
_____________

Ответ:
Мы можем соединить фигуры, разместив фигуры одна рядом, над или под другими фигурами.

Проверка урока

Вопрос 1.
Обведите фигуру, которая объединяет и

Ответ:

Пояснение:

Обведенные фигуры на картинке выше образованы путем объединения двух заданных форм — цилиндра и конуса.

Обзор спирали

Вопрос 2.
Напишите сумму. Напишите сколько десятков.
40 + 20 = __ __ десятки

Ответ:
40 + 20 = 60 = 6 десятков

Пояснение:
Когда мы складываем 4 десятка и 2 десятка, получаем 6 десятков.

Вопрос 3.
У Эми 15 мелков. Она дает несколько мелков Джо. Сейчас у нее 9 мелков. Сколько мелков Эми дала Джо? Используйте модель, чтобы собрать

__ мелки

Ответ:
6 мелков

Пояснение:
У Эми 15 мелков.Она дает несколько мелков Джо. Теперь у нее 9 цветных мелков. Если вычесть 9 из 15, мы получим 6. Итак, Эми дала Джо 6 мелков.

Урок 11.3 Создание новых трехмерных фигур

Основной вопрос
Как можно использовать комбинированную форму для создания новых форм?

Слушай и рисуй

Нарисуйте, чтобы скопировать форму.

Обсуждение математики
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРАКТИКИ
Опишите , как рисовать, чтобы скопировать новую форму.

Модель и чертеж

Ответ:

Пояснение:
Повторяя составную форму, мы можем создать форму круга. Мы не можем создать другую форму, потому что она не похожа на заданную форму.

Поделиться и показать MATH BOARD

Использование трехмерных фигур

Ответ:

Пояснение:
В вышеприведенных фигурах обведенные фигуры — это фигуры, полученные путем расчесывания заданных фигур рядом с ними.

Самостоятельно

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА
Используйте бетонную модель
Используйте трехмерные формы.

Ответ:

Пояснение:
В вышеприведенных фигурах обведенные фигуры — это фигуры, полученные путем расчесывания заданных фигур рядом с ними.

Вопрос 7.
ДУМАЙТЕ РАЗУМНО
Посмотрите на форму.
Сколько из них используется для создания формы?

Ответ:

Пояснение:
Данная форма получена путем объединения 2 кубиков 3 раза.

Сколько из них используется для создания формы?

Ответ:

Пояснение:
Данная форма получена путем объединения 1 куба 6 раз.

Займите домашнее задание
• Попросите ребенка объяснить, как он или она решил упражнение 4.

Создание новых трехмерных форм Домашнее задание и практика 11,3

Используйте трехмерные формы.

Ответ:

Пояснение:
В вышеприведенных фигурах обведенные фигуры — это фигуры, полученные путем расчесывания заданных фигур рядом с ними.

Вопрос:

Ответ:

Пояснение:
Указанная выше форма образована повторением данной формы.

Вопрос 4.
WRITE Math
Используйте куб и цилиндр, чтобы построить новую форму. Повторить. Нарисуйте, чтобы показать, как вы можете объединить эти две новые формы, чтобы сделать фигуру большего размера.

Ответ:

Пояснение:
Нарисовав куб и цилиндр и повторив их, мы можем создать более крупную форму, как показано выше.

Проверка урока

Вопрос 1.
Какую новую форму вы можете сделать? Обведите фигуру.

Ответ:

Пояснение:
В приведенных выше фигурах обведенные фигуры — это фигуры, полученные путем расчесывания заданных фигур над ними.

Обзор спирали

Вопрос 2.
Какой факт сложения помогает решить 15 — 6 =? Напишите числовое предложение.
__ + __ = __

Ответ:
6 + 3 = 9

Пояснение:
Складывая 6 и 3, мы получаем сумму 9.Следовательно, сумма 6 и 3 равна 9.

Вопрос 3.
Какой факт удвоения помогает вам решить 5 + 6 = 11?
Обведите числовое предложение.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы складываем 5 и 6, получаем сумму как 11. Факт двойных чисел 5 + 5 = 10 помогает нам решить 5 + 6 = 11.

Трехмерная геометрия Mid-Chapter Check Point

Концепции и навыки

Вопрос 1.
Обведите прямоугольные призмы.

Вопрос 2.
Проведите линию под фигурами, имеющими как плоские, так и изогнутые поверхности.

Ответ:

Пояснение:
Объекты, обведенные кружком на приведенном выше рисунке, имеют как плоские, так и изогнутые поверхности.

Используйте трехмерные формы.

Ответ:

Пояснение:
Обведенный объект на картинке выше образован путем объединения фигур куба и конуса.

Вопрос 4.
ДУМАЙТЕ РАЗУМНЕЕ
Какую новую форму вы можете сделать?

Ответ:

Пояснение:
Когда мы объединяем и повторяем форму, указанную в вопросе, мы получаем третью форму, отмеченную на картинке выше.

Lessson 11.4 Решение проблем • Разбирайте трехмерные формы

Основной вопрос
Как разыгрывание помогает разобрать комбинированные формы?
У Майка есть и. Он выбрал несколько форм, чтобы построить мост. Какие формы использовал Майк, чтобы построить мост?

Разблокировать проблему

Что мне нужно найти?

Какую информацию мне нужно использовать?
У Майка есть эти формы.

Покажите, как решить проблему.

Ответ:

Пояснение:
Вышеупомянутая форма получена путем объединения обведенных в кружок цилиндра и прямоугольной призмы.

ДОМАШНЕЕ СОЕДИНЕНИЕ
• Ваш ребенок изучает, как можно разбирать фигуры. Возможность разбивать фигуры на более мелкие части обеспечивает основу для будущей работы с дробями.

Попробуйте другую проблему

Ким построила этот замок с помощью форм.

Используйте трехмерные формы.Обведите свой ответ.

Вопрос 1.
Какие формы использовала Ким, чтобы построить башню?

Ответ:

Пояснение:
Ким построил башню, соединив конус и цилиндр в обведенных кружками формах.

Вопрос 2.
Какие формы использовала Ким, чтобы построить эту стену?

Ответ:

Пояснение:
Ким построил стену, объединив обведенный кружком куб и прямоугольную призму.

Вопрос 3.
Какие формы использовала Ким, чтобы построить эту стену?

Ответ:

Пояснение:
Ким сделал вышеуказанную стену, объединив цилиндр и куб, обведенные выше.

Вопрос 4.
Какие формы использовала Ким, чтобы построить ворота?

Ответ:

Пояснение:
Ким построил вышеупомянутые ворота, объединив цилиндр обведенной формы и прямоугольную призму.

Обсуждение математики
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРАКТИКИ
Ищите структуру Как узнать, какие формы Ким использовала, чтобы построить башню?

Поделиться и показать MATH BOARD

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА
Анализируйте Используйте трехмерные формы.Обведите свой ответ.

Вопрос 5.
Зак использовал формы, чтобы построить эти ворота. Какие формы использовал Зак?

Ответ:

Пояснение:
Зак построил ворота, используя конус формы в кружке и прямоугольную призму.

Вопрос 6.
Крис использовал формы, чтобы построить эту стену. Какие формы использовал Крис?

Ответ:

Пояснение:
Крис построил вышеуказанную стену, используя цилиндр, куб и прямоугольную призму обведенных фигур.

Вопрос 7.
ДУМАЙТЕ РАЗУМНЕЕ
Роза использует и для постройки башни. Нарисуйте, чтобы показать башню, которую может построить Роза.

Ответ:

Пояснение:
Росконе и цилиндр.а строят башню, используя формы.

Самостоятельно

ПОДРОБНЕЕ
Обведите пути, которые показывают ту же форму.

Вопрос 8.

Ответ:

Пояснение:
Обведенная кружком фигура на рисунках выше представляет собой куб и образована только путем объединения кубиков.

Вопрос 9.
ДУМАЙТЕ РАЗУМНО

Ответ:

Пояснение:
Обведенная кружком фигура на рисунках выше представляет собой куб и образована только путем объединения кубиков.

Вопрос 10.
ДУМАЙТЕ РАЗУМНО
У Шэрон много разных блоков. Она построила эту форму из своих блоков.

Выберите все формы, которые использовала Шэрон.

Ответ:

Пояснение:
Шэрон создала фигуры, используя куб и прямоугольную призму.

ЗАНЯТЬСЯ ДОМАШНИМ ДЕЙСТВИЕМ
• Используйте настоящие предметы, такие как суповая банка (цилиндр) и ящик для хлопьев (прямоугольная призма), чтобы создать форму. Попросите ребенка назвать формы, которые вы использовали.

Решение проблем • Разберите трехмерные фигуры Домашнее задание и практика 11,4

Используйте трехмерные формы.
Обведите свой ответ.

Вопрос 1.
Пако использовал формы для создания этого робота. Обведите фигуры, которые он использовал.

Ответ:

Пояснение:
Пако создал робота, используя цилиндр обведенной формы и прямоугольную призму.

Решение проблем

Вопрос 2.
Обведите пути, которые показывают ту же форму.

Ответ:

Пояснение:
Обведенная кружком фигура на приведенном выше рисунке представляет собой прямоугольную призму, полученную путем комбинирования только прямоугольных призм.

Вопрос 3.
WRITE Math
Нарисуйте дом, сделанный из фигур. Напишите названия фигур, которые вы использовали.

Ответ:

Пояснение:
Я создал a, используя некоторые формы конусов и прямоугольных призм.

Проверка урока

Вопрос 1.
Лара сделала эту рамку для картины. Обведите формы, которые она использовала для создания рамки

Ответ:

Пояснение:
Лара использовала обведенные кружки на картинке выше, чтобы сделать рамку для картины.

Обзор спирали

Вопрос 2.
Сравните каждую пару чисел. Напишите <,> или =.

Ответ:

Пояснение:
На картинке выше мы использовали символы <,> и = для сравнения чисел.
13 меньше 31, поэтому используйте символ <для сравнения
13 равно 13, поэтому используйте символ = для сравнения
31 больше 13, поэтому используйте символ> для сравнения
31 равно 31, поэтому используйте символ = для сравнения.

Вопрос 3.
Вычесть. В чем разница? Написать номер.
60-30 = __

Ответ:
60-30 = 30.

Пояснение:
Когда мы вычитаем 30 из 60, мы получаем 30,3 десятка, из 6 десятков получается 3 десятка. Следовательно, 60-30 = 30.

Урок 11.5 двумерных форм на трехмерных формах

Существенный вопрос
Какие двухмерные формы вы видите на плоских поверхностях трехмерных фигур?

Слушайте и рисуйте

Используйте конус.

Обсуждение математики
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРАКТИКИ
Анализ Какую другую форму вы могли бы использовать, чтобы нарисовать такую ​​же картинку?

Ответ:
Я мог бы использовать круг, чтобы нарисовать такую ​​же картинку.

Модель и чертеж

Обведите плоские поверхности трехмерной формы, чтобы найти двухмерные формы.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерных фигур, мы получаем двухмерные формы: квадрат и прямоугольник.

Поделитесь и покажите MATH BOARD
Используйте трехмерные формы. Обведите контуром плоские поверхности. Обведите фигуры, которые вы рисуете.

Вопрос 1.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерного куба, мы получаем квадратную двумерную форму.

Вопрос 2.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности цилиндра трехмерной формы, мы получаем двумерную форму, которая является кругом.

Вопрос 3.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерной прямоугольной призмы, мы получаем двухмерные формы, а именно квадрат и прямоугольник.

Самостоятельно

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА
Выполнение соединений Обведите объекты, которые вы можете обвести, чтобы нарисовать форму.

Вопрос 4.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерного объекта, который обведен кружком, мы получаем двухмерную форму, которая представляет собой прямоугольник.

Вопрос 5.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерных объектов, которые обведены кружком выше, мы получаем двумерную форму, которая является кругом.

Вопрос 6.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерных объектов, которые обведены кружком выше, мы получаем квадратную двумерную форму.

Вопрос 7.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерного объекта, который обведен кружком, мы получаем двухмерную форму, которая представляет собой прямоугольник.

Вопрос 8.
ДУМАЙТЕ РАЗУМНЕЕ
Нарисуйте форму, которую вы получили бы, если бы вы обрисовали этот объект.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерной формы, которая дана выше, мы получаем двумерную форму, которая является треугольником.

Решение проблем • Приложения

Обведите форму, которую получится выкройка, если вы сложите ее и скрепите скотчем.

Вопрос 9.

Ответ:

Пояснение:
Если сложить данный узор, мы получим трехмерную форму, которая представляет собой прямоугольную призму.

Вопрос 10.

Ответ:

Пояснение:
Если сложить вышеприведенный узор, мы получим трехмерную форму куба.

Вопрос 11.
ДУМАЙТЕ РАЗУМНЕЕ
Кей хочет отследить. Она находит эти объекты. Какой предмет ей следует использовать?

Ответ:

Пояснение:
Ки хочет обвести прямоугольник. Если он обведет плоские поверхности подарочной коробки, которая обведена кружком, он получит прямоугольник двухмерной формы.
Что бы произошло, если бы Кей использовал для обводки формы?

Ответ:

Пояснение:
Если проследить выше заданный объект, он получит двумерную форму, которая является кругом.

Займите домашнее задание
• Соберите несколько трехмерных объектов, таких как коробки, которые имеют форму прямоугольных призм или кубов. Спросите ребенка, какие двухмерные фигуры изображены на этих объектах.

Двумерные формы на трехмерных формах Домашнее задание и практика 11.5

Обведите объекты, которые вы можете обвести, чтобы нарисовать форму.

Вопрос 1.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерных объектов, которые обведены кружком выше, мы получаем двухмерную форму, которая представляет собой прямоугольник.

Вопрос 2.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерных объектов, которые обведены кружком выше, мы получаем двумерную форму, которая является кругом.

Решение проблем

Вопрос 3.
Посмотрите на эту фигуру. Нарисуйте форму, которую вы получили бы, если бы нарисовали этот объект.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерного объекта, который дан выше, мы получаем двумерную форму, которая является кругом.

Вопрос 4.
WRITE Math
Используйте картинки или слова, чтобы объяснить, как бы вы описали формы плоских поверхностей, которые вы можете увидеть на коробке для салфеток.

Ответ:

Проверка урока

Вопрос 1.
Какая плоская поверхность у конуса? Обведите фигуру.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности трехмерного конуса объекта, упомянутого выше, мы получаем двумерную форму, которая является кругом.

Вопрос 2.
Какие плоские поверхности могут иметь прямоугольные призмы? Обведите пару фигур.

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоские поверхности упомянутой выше прямоугольной призмы трехмерного объекта, мы получаем двухмерную форму, которая представляет собой прямоугольник и квадрат.

Обзор спирали

Напишите предложение на вычитание, которое нужно решить.

Вопрос 3.
Джейд имеет 8 книг. Некоторые из них она передает Дане. Сейчас у Джейд 6 книг. Сколько она дала Дане?
__ — __ = __
__ книги

Ответ:
8-6 = 2
2 книги

Пояснение:
У Джейд 8 книг. Некоторые из них она передает Дане. Сейчас у Джейд 6 книг.
8-6 = 2
Следовательно, количество книг, которые она отдаст Дане, равно 2.

Вопрос 4.
Напишите сумму.
3 + 0 = __

Ответ:
3 + 0 = 3

Пояснение:
Если мы сложим любое число с нулем, мы получим ту же сумму, что и добавленное число.

Трехмерная геометрия Глава 11 Обзор / тест

Вопрос 1.
Сопоставьте каждую форму с той группой, к которой она принадлежит.

Ответ:

Пояснение:
Фигуры, имеющие только плоские поверхности, — это куб и прямоугольная призма.
Фигуры, имеющие только изогнутую поверхность, — это сфера.
Фигуры с плоскими и изогнутыми поверхностями — это конус и цилиндр.

Вопрос 2.
Объедините и выберите все новые формы, которые вы можете сделать.

Ответ:

Пояснение:
Отмеченные фигуры на картинке выше могут быть образованы путем соединения фигур куба и цилиндра, указанных выше.

Вопрос 3.
Построить и повторить. Выберите Да или Нет.

Ответ:

Вопрос 4.
Дэймон построил эту форму.

Выберите все формы, которые использовал Деймон.

Ответ:

Пояснение:
Демон использовал куб и конус отмеченных фигур, чтобы построить форму, указанную выше.

Вопрос 5.
Обведите число, которое делает предложение верным

Ответ:

Пояснение:
Когда мы обводим плоскую поверхность трехмерного конуса формы, мы получаем двумерную форму, которая является кругом.

Вопрос 6.
ИДИТЕ ГЛУБНЕЕ ​​
Сара хочет отследить. Она находит эти предметы.

Какой предмет ей следует использовать?

Ответ:

Пояснение:
Когда Сара обведет плоскую поверхность формы, указанной выше, он получит двумерную форму, которая является кругом.

Что бы произошло, если бы она использовала, чтобы обвести фигуру?

Ответ:

Вопрос 7.
Какая форма имеет только 2 плоские поверхности?

Ответ:

Пояснение:
В приведенных выше формах цилиндр отмеченной формы имеет 2 плоские поверхности.

Вопрос 8.
Посмотрите на форму.

Сколько из них используется для создания формы?

Ответ:

Пояснение:
Нам нужно 3, чтобы сделать форму выше.

Вопрос 9.
Эллен построила эту форму.

Какие предметы использовала Эллен? Обведите их.

Ответ:

Пояснение:
Эллен использовала цилиндр и прямоугольную призму, обведенные выше, чтобы построить данную форму.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.