Позиционные системы счисления информатика: Позиционные системы счисления

Содержание

Система счисления. Позиционная система счисления.

Задумывались ли вы над тем, почему при сложении тех или иных чисел получается строго определённое число? А почему мы обходимся всего десятью цифрами? Странные вопросы… Дело в том, что мы привыкли проводить вычисления, используя всего одну и ту же систему счисления. Однако это было так не всегда.


Системой счисления принято называть знаковую систему, в которой были приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают числа, мы называем цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Для любой системы счисления, цифры которые служат для обозначения чисел, называемые узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате операций над узловыми числами.

В Древнем Вавилоне узловыми числами выступали 1,10,60;

Системы счисления отличаются друг от друга выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. В информатике выделяют такие виды систем счисления, как:


  • унарная система;
  • непозиционная система;
  • позиционная система.

Унарная система

В самой древней и простой унарной системе счисления, для записи любых чисел использовался всего лишь один символ — в виде зарубки, выемки, узелка или камушка.

Чем больше зарубок — тем больше число. По сути, эта система является основой любого счёта. Унарная система, по-другому, ещё называется системой бирок.

Если вы думаете, что не пользуетесь этой системой счисления, тогда не считайте на пальцах!


Непозиционная система счисления

Для такой системы счисления количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Примерно в III тысячелетии до н.э. древние египтяне разработали десятичную непозиционную систему счисления, в которой для обозначения узловых чисел 1, 10, 100 использовались символы – иероглифы.

В большинстве непозиционных систем счисления новые числа образуются путём сложения узловых чисел.

Каноническим примером непозиционной системы счисления всегда приводится римская система счисления. В качестве узловых цифр здесь применялись заглавные буквы латинского алфавита:


I = 1,
V = 5,
X = 10,
L = 50,
C = 100,
D = 500,
M = 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает единицу независимо от места в числе.

Однако римская система не может быть полностью непозиционной, так как меньшая цифра, которая стоящая слева перед большей, должна вычитаться из неё:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Непозиционной системой счисления являлась и кириллическая система счисления — система счисления, применяемая на территории Древней Руси до XVIII века, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы.



Позиционная система счисления

В позиционной системе счисления, количественный эквивалент цифры как раз зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления соответствует количеству цифр, которые составляют её алфавит.

Основным примером позиционной системы счисления является десятичная система записи чисел, к которой мы все так уже привыкли с детства, и в которой производим все основные математические вычисления.

Алфавитом десятичной системы являются цифры от 0 до 9. Образование чисел в ней происходит следующим образом: значения цифр умножаются на их «веса» соответствующих разрядов, а затем все полученные значения складываются.

Числительными русского языка, такое значением хорошо отражается, к примеру: «пять-сот семь-десят два».

Основанием позиционной системы счисления является любое натуральное число q>1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0,1,…,q−1, каждое из которых записывается при помощи одного уникального символа; младшей цифрой всегда выступает 0.

Основными преимуществами любой позиционной системы счисления являются простота выполнения арифметических операций и небольшое количество символов, используемых в записи чисел.



Представление числа в позиционной системе счисления

В позиционной системе счисления с основанием q всякое число может быть представлено по формуле (развёрнутая форма записи):


Aq=±(an−1⋅qn−1+an−2⋅qn−2+…+a0⋅q0+a−1⋅q−1+…+a−m⋅q−m).

где:


А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi — «вес» i-го разряда.

Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде:


±an−1an−2…a1a0…a−m

в качестве примера, возьмём десятичное число 21466,12. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме мы переходим сразу к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и суммируя все полученные перемножения:


2⋅104+1⋅103+4⋅102+6⋅101+6⋅100+1⋅10−1+2⋅10−2.

Десятичная система счисления, несмотря на свою универсальность, имеет большой недостаток — она избыточна, так как имеет большой алфавит. Для компьютерной техники наиболее удобной оказалась двоичная система счисления, поэтому мы рассмотрим её в следующем уроке.


Кодирование информации Двоичная система счисления

Позиционные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую

Цель урока: сформировать у учащихся понятия позиционные системы счисления, развернутая запись числа, навыки и умения перевода чисел из любой системы счисления в десятичную, из десятичной в любую другую.

Учащиеся должны знать:

  • какая СС называется позиционной и почему;
  • приводить примеры позиционных СС;
  • развернутую форму записи числа;
  • алгоритмы перевода чисел из одной СС в любую другую СС.

Учащиеся должны уметь:

  • приводить примеры чисел различных позиционных СС, определять основание СС;
  • записывать числа в развернутом виде;
  • переводить числа из десятичной СС в любую другую и из любой СС в десятичную СС.

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, проектор, программа Калькулятор, карточки с заданиями, презентация к уроку – Приложение 1.

Ход урока

I.

Организационный момент (1 мин.)

Слайды 1-2

Сообщение темы, целей и задач урока.

II. Проверка домашней работы (4 мин.)

Дать определение понятий: цифра, число, система счисления, непозиционная СС.

Записать число 2012 в римской СС.

Исправить неверные равенства, переложив с одного места на другое всего одну палочку:

  • VII-V=XI
  • IX-V=VI
  • VI-I=III
  • VIII-III=X

III. Изучение нового материала (14–17 мин.)

Каковы недостатки непозиционных СС? (в записи больших чисел участвует большое количество цифр, невозможно представлять отрицательные и дробные и числа, сложно выполнять арифметические операции).

В связи с этими недостатками непозиционные СС со временем уступили место позиционным СС. Как вы думаете, какая СС счисления называется позиционной?

(Позиционной называется такая СС, в которой количественный «вес» цифры зависит от ее местоположения в записи числа)

Приведите примеры позиционной СС. (Десятичная, двоичная)

Что означает цифра 3 в записи числа 333? (3 – сотни, 3 –десятка, 3 – единицы)

Приведите примеры чисел в десятичной СС. Назовите разряды.

Позиционная СС удобна не только для записи чисел знаками и для выполнения арифметических действий над ними, но и для механического представления, например, счеты. Каждому разряду числа на счетах соответствует своя проволока.

Разряд – это позиция цифры в числе.

Основание позиционной СС – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной СС.

Рассмотрим некоторые СС и заполним таблицу. Слайд 3 Проверим ответы. Слайд 4

В позиционной СС любое число может быть представлено в виде: Слайд 5

Аg =± (an-1gn-1+an-2gn-2+…+a0g0+a-1g-1+a-2g-2+…+a-mg-m) – развернутая форма записи числа.

А – число,
g – основание СС,
аi – цифры данной СС,
n – число разрядов целой части,
m – число разрядов дробной части числа.

Приведем пример: запишем число А10= 45609,02 в развернутом виде.

А10=4·104+5·103+6·10

2+0·101+9·100+0·10-1+2·10-2

Запишите числа в развернутом виде. Слайд 6

Алгоритм перевода чисел из любой СС в десятичную систем счисления. Слайд 7

  1. Представить число в развернутом виде. При этом основание СС должно быть представлено в десятичной СС.
  2. Полученная сумма является значением числа в десятичной СС.

Переведите числа в десятичную СС. Слайд 8

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной СС в любую другую. Слайд 9

  1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой СС до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.
  2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой СС, привести в соответствие с алфавитом новой СС.
  3. Записать число, начиная с последнего остатка.

Рассмотрим пример. Переведем число 9710 в двоичную СС. Слайд 10

  • 97:2=48 (ост. 1)
  • 48:2=24 (ост. 0)
  • 24:2=12 (ост. 0)
  • 12:2=6 (ост. 0)
  • 6:2=3 (ост. 0)
  • 3:2=1 (ост. 1)
  • 9710=11000012

Переведите целые числа из десятичной СС в другие СС. Слайд 11

Алгоритм перевода правильных дробей из десятичной СС в любую другую. Слайд 12.

  1. Последовательно умножаем данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
  2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
  3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Рассмотрим примеры. Слайд 13

Переведем число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления.

  • 0,65625·8=5,25000
  • 0,25·0=2,00000

Получаем: 0,6562510=0,528

Переведем число 0,910 в двоичную систему счисления.

  • 0,9·2=1,8
  • 0,8·2=1,6
  • 0,6·2=1,2 и т.д. Этот процесс можно продолжать бесконечно.

Получаем 0,910=0,1112 с точностью до трех знаков

Чтобы перевести произвольное число, т.е. содержащее целую и дробную части, нужно

отдельно перевести целую часть и отдельно дробную часть. В записи числа полученная целая часть отделяется запятой от дробной.

Переведите правильные дроби из десятичной системы счисления в другие системы счисления. Слайд 14.

IV. Закрепление (17–20 мин.)

Практическая работа. Приложение 2.

Решение задач. Приложение 3.

V. Рефлексия (2 мин.)

Слайд 15.

VI. Домашнее задание (1 мин.)

Слайд 16.

Знать алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Составить свою биографию, записав все числа в двоичной (пятеричной, восьмеричной или любой другой) системе счисления.

Заполнить таблицы. Приложение 4

Для проверки знаний и умений учащихся по теме «Позиционные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую» можно использовать следующие материалы: тест в программе MyТestХ – Приложение 5, самостоятельную работу – Приложение 6, фронтальный опрос – Приложение 7, задания для подготовки к ГИА и ЕГЭ по информатике по теме «Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую» – Приложение 8.

Литература:

  1. Учебник «Информатика и ИКТ» 9 класс Н.Д. Угринович. -3-е изд. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. стр. 75-80.
  2. Универсальные поурочные разработки по информатике. О.Л. Соколова. – Вако, 2008.
  3. Информатика «Тесты» 9-11 класс. Е.В. Полякова. – Волгоград: Учитель. 2008.
  4. Демонстрационные варианты КИМ ЕГЭ и ГИА. www.fipi.ru

Позиционные системы счисления (2) (Реферат)

РАБОТА ПО

ИНФОРМАТИКЕ

ТЕМА «Позиционные системы счисления»

Ученицы

11 класса «А»

Калашниковой Анны

МОСКВА 2004 год

План

  1. Арифметические основы построения ЭВМ

  2. Непозиционные и позиционные системы счисления

  3. Непозиционные системы счисления

  4. Позиционные системы счисления

  5. Системы счисления

  6. Десятичная система счисления

  7. Двоичная система счисления

  8. Восьмеричная система счисления

  9. Шестнадцатиричная система счисления

  10. Перевод из одной системы счисления в другую

  11. Перевод целых чисел

  12. Перевод правильных дробей

  13. Правила перевода из системы счисления в систему счисления

  14. Представление чисел в различных системах счисления

  15. Вопросы и задачи. Ответы и решения.

  16. Средства процессора Word, используемые в данной работе.

  17. Список литературы.

Арифметические основы построения ЭВМ

Непозиционные и позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а
1, а2, а3,….,аn. При этом каждой цифре аi в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В ней количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различных целых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985. Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкая запись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Системы счисления

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различных целых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита данной системы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т.е.

N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 * 100 + a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Для перевода целых чисел из одной системы счисления с основанием S в другую с основанием S1 надо это число последовательно делить на основание S1 новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше S1. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частое дает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют в исходной системе счисления. Например:

37710=1011110012

Перевод правильных дробей

Для перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательно умножать на основание той системы , в которую она переводится, перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого. Например:

0,6875 0,67510=0,100112

* 2

1,3750

* 2

0,7500

* 2

1,5000

* 2

1,0000

При переводе неправильных десятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.

Правила перевода из системы счисления в систему счисления

  1. Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру исходного числа умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

Б)Результат опять умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

В) Процесс перевода заканчивается после прибавления последней самой младшей цифры исходного числа

  1. Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимо делить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор пока последнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат складывается из остатков деления, начиная с последнего.

  2. Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходное число перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением), полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу (деление).

  3. Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойки необходимо:

А) из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа в двоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-х разрядным двоичным значением.

Б) из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числа необходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением.

Представление чисел в различных системах счисления

Системы счислений

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатиричная

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

А

11

1011

13

В

12

1100

14

С

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

Вопросы и задачи. Ответы и решения

  1. Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.

  2. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

  3. Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

  4. Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.

  5. Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.

  6. Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

  7. 2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: 0000012; 1000011111,01012; 1216,048; 29A,516

  8. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 46410; б) 380,187510; в) 115,9410

  • 10000012=1× 26+0× 25+0× 24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1× 20 = 64+1=6510.

  • 1000011111,01012=1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20 + 1×2-2 + 1×2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510.

  • 1216,048=1×83+2×82+1×81+6×80+4× 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,062510.

  • 29A,516= 2×162+9×161+10×160+5×16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,312510.

  • а) 46410  1110100002; б) 380,187510  101111100,00112; в) 115,9410 1110011,11110(2)

Средства процессора Word, используемые в данной работе.

  • Главным средством процессора Word, использованный в этой работе, является форматирование текста. Основной текст расположен «по ширине», заголовки – выравнивание «по центру», остальные части текста – «по левому краю» или «по правому краю».

  • В данной работе было применено форматирование абзацев, изменение шрифтов и стилей, использование списков и использование границ.

  • Также в тексте присутствует таблица, созданная в программе Excel, а затем копированная в данный текст. Этот способ более удобен, чем создание таблиц непосредственно в Word’е.

Список литературы

  • Л.З.Шауцукова, «Основы информатики в вопросах и ответах», Издательский центр «Эль-Фа», Нальчик, 1994

1.4.1 Позиционные системы счисления

Видеоурок: Системы счисления: Позиционные системы счисления

Лекция: Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления

Под позиционными системами счисления понимают такие системы, в которых одна и та же цифра может обозначать различные числа в зависимости от того места, на котором эта цифра стоит.

Давайте рассмотрим основную терминологию для позиционного счисления:


Основание – это количество знаков, которые используются в выбранной системе счисления.


Разряд – это место цифры в некотором числе, чем правее находится цифра в числе, тем меньший у нее разряд.

При записи чисел в различных системах счисления используют развернутую запись числа – это сумма множителей цифр.

Общая формула развернутой записи для произвольной позиционной системы счисления:

X — число;

a — цифры численной записи;
i — индекс;
m — количество разрядов дробной части числа;
n — количество разрядов целой части числа;
q — основание системы счисления.

Например, для записи числа 15,67 в развернутом виде десятичной системы счисления мы получим следующее:

15,67 = 1*101 + 5*100 + 6*10-1 + 10-2.

Если число необходимо записать в систему счисления с основанием большим за 10, то принято использовать буквы. Например, если некоторое число необходимо записать в развернутом виде в шестнадцатеричной системе счисления, то следует использовать следующие знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.


К примеру, запишем число 7А,5В12:

Мы помним, что в двенадцатеричной системе счисления 10=А, 11=В. Учитывая это запишем:

7А,5В12 = В*12-2 + 5*12-1 + А*120+ 7*121

 

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Как уже было сказано в предыдущем вопросе, при необходимости можно перевести число из одной системы счисления в любую другую. Чтобы перевести число из десятичной СС в любую другую, необходимо делить заданное число на основание системы исчисления до тех пор, пока не будет получен нуль.

Все цифры, которые будут получены в результате деления в качестве остатка, необходимо записать последовательно. Запись из последовательных цифры и будет кодированием числа в любую систему исчисления.

Если же необходимо перевести дробное число в произвольную систему исчисления, то наоборот необходимо умножать его на основание до тех пор, пока не получится нуль. Каждую новую целую часть необходимо последовательно записать в запись в новой системе исчисления.


Презентация по информатике по теме: «Позиционные системы счисления»

Непозиционные системы счисления.

Система счисления  — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Число — это некоторая абстрактная сущность для описания количества. Цифры — это знаки, используемые для записи чисел.

системы счисления бывают: 1. позиционные 2.непозиционные 3.смешанные

Непозиционная система счисления  — это система счисления, в которой значение цифры не изменяется в зависимости от ее расположения.

  • При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.
  • В Древности, как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.
  • Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету.
  • Единичная (унарная) система счисления
  • относится к непозиционным системам.

  Но единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления , например:

Позиционные системы счисления — Позиционные системы счисления — Системы счисления — Каталог статей

Позиционные системы счисления


История возникновения

     Большое количество недостатков непозиционных систем счисления привело людей к открытию позиционного принципа. Системы счисления, основанные на позиционном принципе возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилоне), у племени Майя и в Индии.

      В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления — числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков для единицы, и для десятка.Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

      Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними.

      В V веке до нашей эры был введен особый знак — наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля.

     Современная десятичная система счисления возникла приблизительтно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего открытия — цифры «0» для обозначения отсутствующей величины.
      Примерно во II веке до н.э. греки познакомились с вавилонской системой счисления и переняли ее, но числа от 1 до 59 они записывали в своей алфавитной нумерации. Для обозначения нулевого разряда греки стали использовать символ «О» (первая буква греческого слова Ouden — ничто).
      Индийцы познакомились с греческой и вавилонской системой счисления примерно между II и VI вв н.э. В это время индийцы использовали десятичную мультипликативную систему счисления. Они соединили ее с принципами нумерации чисел греческих астрономов.
      С возникшей в Индии десятичной системой счисления первыми познакомились арабы и завезли эту систему в Европу. С начала XII века эта десятичная система счисления получила распространение по всей Европе и получила название арабской. С тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, называют арабскими.

Современные позиционные системы

     Позиционные системы счисления — это системы, в которых количественные значения цифр, используемых для записи чисел, зависят от их положения.

      Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восмеричная и шестнадцатиричная.

      Основными характеристиками позиционной системы счисления являются алфавит цифр и основание.  

     Алфавит системы счисления — это совокупность всех цифр, используемых в системе счисления.
     Основание системы счисления – количество цифр, используемое для представления чисел.
     Основанием может быть любое натуральное число.

     Разряд —  позиция цифры в числе.

Системы счисления — Oxford Reference

Хотя ранние системы счисления не были позиционными, все системы счисления, наиболее часто используемые сегодня, являются позиционными системами: значение числа в такой системе определяется не только цифрами в числе, но и положением в числе. каждую из цифр. Если позиционная система имеет фиксированного Radix (или фиксированной базы ) R , затем каждая цифра A I в любом количестве A N A N-1 . .. A 0 — это целое число в диапазоне от 0 до ( R — 1) И число интерпретируется как A N R N + A N-1 N-1 R R N-1 N-1 + … + A 1 R 1 + A 0 R 0 Так как это многочлен в R такие числа иногда называют многочленными числами .Десятичная и двоичная системы представляют собой системы с фиксированной системой счисления с основанием 10 и 2 соответственно.

A N N N-1 N-1 A 0 7

A N R N N + A N-1 R R N-1 N-1 + … + A 1 R 1 R 1 + A 0 R 0

Фракционные значения могут также быть представлено в фиксированной системе счисления. Таким образом, 0 · A 1 A A N N интерпретируется как A 1 R -1 + A 2 R -2 -2 + … + A N R N N

0 · A 1 A 2 A N

A

1 A 1 R R -1 + A 2 R R -2 + … + A N R N

в смешанный Radix (или смешанный базы ) System , цифры A I в любом количестве A N 3 A N-1 a 0 ложь s в диапазоне от 0 до R i , где R i не одно и то же для каждого i . Число затем интерпретируется как (… ( A N R N- 1 ) + A N-1 ) R N-2 +…+…+ a 1 ) R 0 + a 0 например, 122 дня 17 часов 35 минут 22 секунды равно ((((1×10) + 2) 10 + 2) 24 + 17) 60 + 35) 60 + 22 секунды 7

A N A N-1 A 0

(… ( A N R R 2 N- 1 ) + A N-1 ) R R N-2 + … + … + A 1 ) R 0 + a 0

((((1×10) + 2)10 + 2)24 + 17)60 + 35)60 + 22 секунды

Различные типы систем счисления

Различные типы систем счисления


Система нумерации – это способ представляющие числа. Наиболее часто используемая система нумерации в реальной жизни Десятичная система счисления. Другие системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. система счисления. Каждая система счисления однозначно идентифицируется своим базовым значением или основанием . Основание или основание — это количество цифр в каждом система счисления. Основание или основание — это общая идея позиционной нумерации. система.

 

1. Десятичная система счисления

 

Состоит из 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9(10 цифр).Это старейшая и самая популярная система счисления. используется в нашей повседневной жизни. В позиционной системе счисления каждый десятичный цифра взвешивается относительно ее положения в числе. Это означает, что каждый цифра в числе умножается на 10 в степени, соответствующей этой положение цифры.

Пример


 

2. Двоичная система счисления

В номере только две цифры. Двоичная система, а именно 0 и 1.Числа в двоичной системе представлены по основанию 2, а позиционные множители являются степенями числа 2. Крайний левый бит в двоичном числе называется M ost S значащим B it (MSB), и он имеет наибольшее значение. позиционный вес. Самый правый бит — это L east S значащий B it (LSB) и имеет наименьший бит позиционный вес.


Пример

Двоичная последовательность (1101) 2 имеет десятичный эквивалент:


 

3.Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления использует цифры 0,1,2,3,4,5,6 и 7 (8 цифр). Каждая восьмеричная цифра имеет свое позиционное значение или вес в степени 8.

 

Пример

 

Восьмеричная последовательность (547) 8 имеет десятичный эквивалент:


 

4. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричное число представлен с использованием базы 16. Шестнадцатеричные или шестнадцатеричные числа используются в качестве сокращения форма двоичной последовательности. Эта система используется для представления данных в более компактный способ. Поскольку используется 16 символов, от 0 до F, запись называется шестнадцатеричной. Первые 10 символов такие же, как и в десятичной системе, от 0 до 9 и остальные 6 символов взяты из первых 6 букв алфавита последовательность, от A до F, где A представляет собой 10, B равно 11, C равно 12, D равно 13, E равно 14 и Ф 15 лет.

Таблица 2.2 Двоичный, восьмеричный, шестнадцатеричный эквивалент десятичных чисел


Пример

Шестнадцатеричная последовательность (25) 16 имеет десятичный эквивалент:


 

Что такое система счисления в компьютере?

Система счисления, которую мы используем в компьютерах, является позиционной системой счисления. Позиционное число представляет число в виде последовательности цифр, где значение каждой цифры зависит от ее положения в числе.Позиционное число называется взвешенной системой счисления , поскольку каждая цифра связана с определенным весом .

В этом разделе мы будем изучать только те системы счисления в рамках позиционных систем счисления, которые используются компьютером, т. е. десятичную систему счисления, двоичную систему счисления, шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления.

Содержание: Система счисления в компьютере

  1. Что такое позиционная система счисления?
  2. Десятичные числа
  3. Двоичные числа
  4. Шестнадцатеричные числа
  5. Восьмеричные числа

Что такое позиционная система счисления?

В позиционной системе счисления числа организованы в упорядоченный набор цифр, где значение каждой цифры определяется ее положением в числе и основанием используемой нами системы счисления.

В позиционной системе счисления значение каждой цифры, присутствующей в числе, можно определить с помощью следующих трех факторов.

  1. Разряд, значение которого мы хотим определить.
  2. Позиция цифры в номере.
  3. Основание или основание системы счисления, которую мы используем.

Общая форма любого числа в позиционной системе счисления:

( …………….. A 3 3 2 2 2 2 1 1 A 0 . 4 4 1 2 3 A 4 3 ………………. ) р

Здесь a i — это цифра в числе, значение « i » представляет положение цифры в числе, а r представляет основание или основание системы счисления, в которой она находится. используя для представления числа.

точка, присутствующая между цифрой A 0 0 и A 1 Radix Point и значение номера можно определить на:

…. + 3 3 3 3 + 3 + 2 R 2 + 2 + 3 A + 3 A + 1 3 R 1 + A 0 R 0 + 3 A 3 3 1 3 R -1 + 3 A + 4 2 — 2 + a 3 r -3 +…..

X = Σ i ( a i x r i )

В следующем разделе мы обсудим четыре наиболее распространенные системы счисления в рамках позиционной системы счисления.

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — это система счисления, которую мы используем в нашей повседневной жизни для подсчета и вычисления определенных вещей. Есть 10 цифр, которые мы используем для представления десятичного числа от 0 до 9 (т.д., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Основание или основание десятичного числа равно 10. Давайте посмотрим, как выразить десятичное число 8246.

(8246) 10 = (8 х 1000) + (2 х 100) + (4 х 10) + (6×1)

= (8 х 10 3 ) + (2 х 10 2 ) + (4 х 10 1 ) + (6 х 10 0 )

Как и здесь, в десятичной системе счисления у нас есть основание 10, каждая цифра, присутствующая в числе, умножается на 10, а степень 10 определяется положением соответствующей цифры в числе.

Например, посчитаем положение цифр в числе 8246, тогда цифра 6 на месте единиц, 4 на месте десятков, 2 на месте сотен и 8 на месте тысяч.

Дробное число в десятичной системе также следует тому же принципу, единственное отличие состоит в том, что степень числа 10 отрицательна. Рассмотрим дробное число 0,264

.

(0,264) 10 = (2 х 10 -1 ) + (6 х 10 -2 ) + (4 х 10 -3 )

Цифра в крайней левой части числа называется старшим значащим битом. А цифра в крайней правой части числа называется младшим значащим битом .

В общих чертах представление десятичного числа:

x = {……… .d 4 D 3 D 2 D 1 D 0 D -1 D -2 D -3 …….} 10

   = {…. + D 03 D 3 3 + 3 D 2 2 4 10 2 + 2 + 3 D 1 3 10 1 + D 0 3 10 0 + 3 D 3 3 1 3 10 -1 + 3 D 2 10 — 2 + d 3 10 -3 +…. } 10

X = Σ i ( d i x 10 i )

Если вы можете наблюдать за представлением десятичных чисел, то увидите, что вес каждой позиции в 10 раз превышает значение позиции справа от нее и составляет одну десятую значения позиции слева от нее.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления любое число представляется двумя битами или двумя цифрами, равными 0 и 1.Поскольку двоичная система счисления использует два бита для представления числа, основанием или основанием в двоичной системе является 2.

Теперь давайте посмотрим, как мы можем преобразовать двоичное число в десятичное. Рассмотрим двоичное число 101101 2 . Здесь используется нижний индекс 2, чтобы избежать путаницы между различными системами счисления.

На самом деле нижний индекс 10 используется для представления десятичного числа, нижний индекс H или 16 используется для представления шестнадцатеричных чисел, а нижний индекс 8 используется для представления восьмеричных чисел. Итак, начнем с двоичного числа 101101 2 .

101101 2 = (1 х 2 5 ) + (0 х 2 4 ) + (1 х 2 3 ) + (1 х 2 2 ) + (0 х 2 1) (1 х 2 0 )

= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1

101101 2 = 45 10

Как и в десятичной системе, дробные числа в двоичной системе представлены отрицательной степенью 2. Например, рассмотрим двоичное дробное число:

101.110 2 = (1 x 2 2 ) + (0 x 2 1 ) + (1 x 2 0 ) + (1 x 2 -1 ) + (1 x 2 -2 ) + (0 х 2 -3 )

= 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 +0

= 5,75

Двоичное представление числа:

x = {……… .b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 b -1 b -2 b -3 ……} 2

   = {….+ B 03 B 3 3 2 3 + 3 B 2 2 4 3 2 2 + 2 + 1 1 3 2 1 + B 0 2 0 + 3 B 4 3 1 3 2 -1 + B 2 2 — 2 + б 3 2 -3 +…. } 2

X = Σ i ( b i x 2 i )

Шестнадцатеричная система

Хотя двоичное число более удобно для компьютера, оно все же неудобно для человека. Следовательно, нам нужен компактный метод для представления чисел. Хотя десятичное число может удовлетворить потребность в компактной системе счисления, преобразование двоичного числа в десятичное и наоборот становится утомительным.Вот почему вошла в употребление шестнадцатеричная система счисления.

Как мы знаем, десятичное число использует 10 цифр (0-9) для представления числа, и для представления этих 10 цифр нам требуется 4 двоичных бита. Но проблема в том, что 4 двоичных бита представляют 16 комбинаций, из которых только для 10 комбинаций у нас есть десятичное представление, но как насчет остальных 6 комбинаций.

Итак, для этого мы используем шестнадцатеричную форму. Понять это можно с помощью таблицы ниже:

Теперь вы можете понять, как шестнадцатеричное число представляет компактную форму.

Чтобы понять простоту этой системы, давайте посмотрим, как длинная строка двоичных битов 101010011111 2 легко преобразуется в шестнадцатеричную форму:

Примечание. Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричный формат, сначала сгруппируйте все двоичные биты в наборы из четырех битов, которые также называются полубайтами .

1010 1001 1111

Теперь, когда мы разделили строку двоичных битов на три набора по четыре бита в каждом. Найдите соответствующий символ для каждого набора из таблицы выше, который будет:

.

A9F 16

Преобразование этой двоичной строки в десятичную было бы утомительной работой, но преобразование длинной строки двоичных битов в шестнадцатеричное число выполняется быстрее и проще.А шестнадцатеричное число еще более компактно, чем двоичное.

Теперь давайте посмотрим, как это шестнадцатеричное число может быть преобразовано в десятичное число.

A9F 16 = (A 16 x 16 2 ) + (9 16 x 16 1 ) + (F 16 x 424 000)

= (10 10 x 16 2 ) + (9 10 x 16 1 ) + (15 10 X 16 0 )

= (10 х 256) + (9 х 16) + (15 х 1)

= (2560) + (144) + (15)

= 2719

Восьмеричная система

Восьмеричное число часто использовалось в прошлом. Он использует 8 цифр от 0 до 7 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Основание восьмеричного числа равно 8, а общая форма представления восьмеричного числа:

.

Х = {………. O 4 O 3 4 2 3 O 3 O 1 3 O 0 O -1 O -2 O -3 …….} 8

   = {…. + O 03 O 3 8 3 + 3 O 2 2 3 8 2 + 2 + 1 1 3 8 1 + o 0 8 0 + O 4 3 1 3 8 -1 + O 2 8 — 2 + o 3 8 -3 +…. } 8

X = Σ i ( o i x 8 i 3 ) 7 2 8

Рассмотрим восьмеричное число 467 8 , и мы преобразуем его в десятичное.

467 8   = (4 x 8 2 ) + (6 x 8 1 ) + (7 x 8 0 )

= (256) + (48) + (7)

= 311 10

Итак, это позиционная система счисления, которая используется при работе с компьютером.Среди всего этого шестнадцатеричное число представляет собой компактные числа и упрощает преобразование.

Позиционная система счисления

и примеры » NetworkUstad

В позиционной системе счисления каждый символ представляет различное значение в зависимости от позиции, которую они занимают в числе, и каждая система имеет значение, которое относится к числу, непосредственно стоящему рядом с ним. Суммарное значение позиционного числа равно сумме результирующего значения всех позиций. Десятичная система счисления известна как позиционная система счисления , потому что значение числа зависит от положения цифр.Например, число 12345 имеет совсем другое значение, чем число 54321 , хотя в обоих числах используются одни и те же цифры. Позиция, в которой появляется цифра, влияет на значение этой цифры.

В позиционной системе счисления значение каждой цифры определяется тем, на каком месте она стоит в полном числе. Наименьшее разрядное значение — это крайняя правая позиция , а каждая последующая позиция слева имеет на более высокое разрядное значение .Таким образом, крайняя правая позиция представляет столбец «единицы», следующая позиция представляет столбец «десятки», следующая позиция представляет «сотни», а следующая позиция представляет «тысячи», затем десять тысяч и т. д. Таким образом, число 54321 представляет собой 5 х десять тысяч, 4 х одна тысяча 3 х сто, 2 десятка и 1 х один, тогда как число 12345 представляет 1 х десять тысяч 2 х одна тысяча 3 сотни, 4 х десятки и 5 единиц. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются примерами позиционной системы счисления.

Десятичная позиционная запись

Десятичная позиционная система счисления работает, как описано в таблице на рисунке ниже. Чтобы использовать позиционную систему счисления, сопоставьте данное число с его позиционным значением. Стрелка с левой стороны показывает, что таблица может быть расширена в соответствии с позицией и может выполнять вычисления.

Основание

Термин Radix используется для описания количества цифр, используемых в позиционной системе счисления, или для определения базы позиционной системы счисления.Десятичная система счисления основана на 10, поэтому основание равно 10.

Позиция в

Показывает положение десятичного числа. Позиция начинается справа налево. Таким образом, 0 — это 1-я позиция, 1 — 2-я позиция, 2 — 3-я позиция и так далее. Числа также представляют экспоненциальное значение, которое будет использоваться для вычисления позиционного значения 4-й строки.

Рассчитать

3-я строка вычисляет позиционное значение, беря систему счисления и повышая ее на экспоненциальное значение его позиции.Важно то, что n 0 всегда = 1.

Значение позиции

Первая строка показывает систему счисления или систему счисления. Таким образом, указанное значение слева направо представляет единицы тысяч, сотен, десятков и единиц.

Пример – 12345 и 54321

Двоичная позиционная запись

Двоичная позиционная система счисления также работает аналогично десятичной системе счисления, как показано на рисунке ниже.У него также есть Radix, Position, то есть справа налево; Расчет и позиционное значение, как описано для десятичного числа. Основание для двоичного кода равно 2. Пример также показан ниже

.

Примеры

Преобразование между десятичными и двоичными числами

Преобразование двоичных чисел в десятичные числа (с основанием 2 в основание 10) и обратно является важной концепцией для понимания двоичной системы счисления. Двоичная система счисления является основой для всех компьютеров, цифровых систем, языков программирования, а также важна для понимания IP-адреса и подсети IP-адреса.

Преобразование двоичного кода в десятичный

Для понимания IP-адресации и подсетей сетевой техник должен понимать, как преобразовывать двоичные данные в десятичные и обратно. Существует несколько способов преобразования двоичного числа в десятичное. Здесь мы поймем преобразование из двоичного в десятичное, а затем из десятичного в двоичное.

Двоичное преобразование в десятичное с использованием позиционной записи

Позиционная запись — один из наиболее часто используемых методов преобразования двоичной системы в десятичную.Итак, если у нас есть двоичное число 11000110 2 и мы хотим преобразовать это число в десятичную систему с основанием 10, используя позиционную систему записи.

На рисунке ниже показано преобразование двоичного числа в десятичное, запишите позиционное значение справа налево и справа вниз двоичного числа в следующей строке под позиционными значениями. Затем умножьте двоичные числа во второй строке на соответствующее позиционное значение в первой строке и сложите их, чтобы получить десятичное число, равное 199.

Значение позиции удваивается справа налево. Например, справа налево первое позиционное значение равно 1, следующее позиционное значение равно 2, что удваивается от 1 (значение первой позиции), третье позиционное значение равно 4, что также удваивается от 2 -й позиции. стоимость. Мы можем записать позиционное значение этим методом в соответствии с цифрами двоичного кода.

Следующее двоичное значение: 10111100 Итак, запишите позиционное значение в соответствии с количеством цифр в двоичном значении.А затем напишите двоичные числа под позиционными значениями и сопоставьте их. Теперь, если цифра равна 1, напишите соответствующее позиционное значение под линией, под цифрой. Если цифра равна 0, напишите 0 под чертой, под цифрой и сложите числа, написанные под чертой. Это десятичный эквивалент двоичного числа. См. рисунок ниже.

Теперь мы разобрались с основным преобразованием из двоичного в десятичное, поэтому мы можем попытаться преобразовать двоичный IPv4-адрес в его десятичный эквивалент с точками.Сначала разделите 32 бита адреса IPv4 на четыре 8-битных октета. Затем вычислите двоичное позиционное значение для первого двоичного числа октета и вычислите все остальные.

Например, предположим, что 11110110.10111111.11101011.11011011 — это двоичный адрес IPv4. Вам нужно преобразовать двоичный адрес в десятичный, просто начните с первого октета, как показано на рисунке ниже. Введите 8-битное двоичное число под позиционным значением строки 1, а затем вычислите, чтобы получить десятичное число для первого октета десятичной записи с точками.Затем преобразуйте оставшиеся октеты. И запишите полный IP-адрес в десятичной записи с точками.

  Преобразование десятичного числа в двоичное

Преобразование десятичного числа в двоичное также важно понимать, нам может потребоваться преобразовать десятичный IPv4-адрес с точками в двоичный. Для преобразования из десятичной в двоичную мы также можем использовать таблицу позиционных значений. На рисунке ниже показан процесс преобразования десятичной системы в двоичную. Например, мы хотим преобразовать цифру 246 в двоичную.Шаги для преобразования десятичной системы в двоичную следующие:

Ступень-1

Запишите позиционное значение слева, как показано на рисунке ниже. Если десятичное число ( 242 в нашем случае ) равно или больше старшего бита (128). Если да, добавьте двоичную единицу под позиционным значением 128 и вычтите 128 из десятичного числа (в нашем случае 242 -128 = 114). Если нет, введите двоичный 0 ниже позиционного значения 128.

Ступень-2

Сравните, если остаток ( 114 ) равен или больше, чем следующий старший бит (64). Если да, добавьте двоичную единицу под позиционным значением 64 и вычтите позиционное значение 64 из десятичного числа (в нашем случае 114 -64 = 50 ). Если нет, введите двоичный 0 под позиционным значением 64.

Ступень-3

Сравните, если остаток (50) больше или равен следующему по значимости биту (32).Если да, добавьте двоичную единицу под позиционным значением 32 и вычтите позиционное значение 32 из десятичного числа (в нашем случае 50 -32 = 18 ). Если нет, введите двоичный 0 под позиционным значением 64.

Ступень-4

Сравните, если остаток (18) больше или равен следующему по значимости биту (16). Если да, добавьте двоичную единицу под позиционным значением 16 и вычтите позиционное значение 16 из десятичного числа (в нашем случае 18 -16 = 2 ). Если нет, введите двоичный 0 ниже 16-позиционного значения.

Шаг-5

Сравните напоминание (2) со следующим старшим значащим битом, вы увидите, что остаток меньше значащего значения (80), поэтому добавьте двоичный 0 в 8-позиционное значение и перейдите к следующему позиционному значению. значение, которое равно (4), напоминание также меньше, чем это позиционное значение, поэтому добавьте 0 ниже этого значения позиции и перейдите к следующему значению. Следующим значением является позиционное значение (2). Итак, вычтите напоминание 2 из позиционного значения (2-2 = 0), поместите 0 в последнюю позицию.

Родственные

Введение в позиционную нотацию — Руководство Тайлера

В вычислительной технике вы столкнетесь с различными системами счисления, такими как двоичная и шестнадцатеричная. Эти системы известны как позиционная нотация, но с разными основаниями. В этом руководстве объясняется позиционная система счисления и показано, как преобразовать одну систему, например шестнадцатеричную, в другую.

Позиционное обозначение

Возможно, вы узнали об этом в начальной школе, но важно понимать, как это работает.Десятичная система — это позиционная система счисления с основанием 10. Основание — это количество цифр (символов, представляющих числа) в системе. Десятичная система имеет 10 цифр, от 0 до 9. Двоичная система имеет основание 2 и имеет две цифры, 0 и 1. Каждая позиция в числе имеет разрядное значение, которое определяется его относительным положением и основанием. Например, число 1 в двоичное и десятичное числа означают одно и то же. Число 10 нет. 10 в двоичном формате равно 2 в десятичном. 100 в двоичном формате равно 4 в десятичном.Обратите внимание, как в двоичном формате каждое значение разряда в два раза превышает значение того, что справа от него. Каждое значение места кратно его основанию. Таблица ниже должна прояснить это. Значения в каждой строке представляют собой десятичное значение числа в верхней строке. Обратите внимание, что каждое место кратно основанию.

Номер: 1000 100 10 1
Основание 2 Значение: 8 4 2 1
Основание 10 Значение: 1000 100 10 1
Основание 16 Значение: 4096 256 16 1

Преобразование в десятичное число

Каждый разряд в любом основании преобразуется в десятичный путем умножения десятичного значения каждой цифры на цифру, умноженную на ее разрядное значение. Значение места вычисляется путем возведения основания в степень его положения. Начните с крайнего правого положения и показателя степени 0. Прибавляйте единицу к показателю степени по мере продвижения влево. Как только вы закончите умножать все цифры на разрядные значения, сложите их все, чтобы получить десятичную версию. Давайте поработаем с некоторыми примерами.

Двоичный код в десятичный Пример

Преобразуем четырехзначное двоичное число в десятичное:

.

1011

Шаг 1: вычисление разрядных значений

Четыре цифры, поэтому у нас есть четыре разряда: 2 0 , 2 1 , 2 2 и 2 3 .

2 0 = 1       2 1 = 2       2 2 = 4       2 3 = 8

Шаг 2. Умножьте каждую цифру на соответствующий разряд

1 x 8 = 8       0 x 4 = 0       1 x 2 = 2       1 x 1 = 1

Шаг 3. Сложите результат

8 + 0 + 2 + 1 = 11

Эта таблица ниже должна помочь прояснить взаимосвязь между цифрами и разрядными значениями.

1 0 1 1
2 3 = 8 2 2 = 4 2 1 = 2 2 0 = 1
1 х 8 = 8 0 х 4 = 0 1 х 2 = 2 1 х 1 = 1

Пример шестнадцатеричной системы счисления

Теперь преобразуем шестнадцатеричное число в десятичное:

.

2Б40

Шаг 1: вычисление разрядных значений

16 0 = 1       16 1 = 16       16 2 = 256       16 3 = 4096

Шаг 2. Умножьте каждую цифру на соответствующий разряд

2 x 8192 = 4096       B (11) x 256 = 2816       4 x 16 = 64       0 x 1 = 0

Шаг 3. Сложите результат

8192 + 2816 + 64 + 0 = 11072

2 Б 4 0
2 3 = 4096 2 2 = 256 2 1 = 16 2 0 = 1
2 х 4096 = 8192 В (11) х 256 = 2816 4 х 16 = 64 0 х 1 = 0

Преобразование десятичного числа

Метод 1: использование системы нумерации целей

Приведенные выше примеры могут работать, если вы не возражаете против выполнения операций в той системе счисления, в которую вы конвертируете. Например, я преобразую 123 из десятичного числа в двоичное.

Обратите внимание на то, что в таблице значения разрядов и показатели представлены в двоичном формате.

1 2 3
1010 10 = 1100100 1010 1 = 1010 1010 0 = 1
1 х 1100100 = 1100100 2 (10) х 1010 = 10100 3 (11) х 1 = 11

1100100 + 10100 + 11 = 1111011

Как и большинство людей, я предпочитаю работать с десятичной дробью, поэтому покажу вам другой способ.

Способ 2: разделить на разрядные значения

Давайте снова преобразуем 123 в двоичное число.

Шаг 1. Расчет стоимости места

Найдите значения мест в целевой системе счисления, пока не превысите значение, которое вы конвертируете:

2 0 = 1 2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 2 6 = 64 2 7 = 128

Шаг 2.
Отбросьте наибольшее вычисленное значение места

В данном случае это 2 7 = 128.

Шаг 3: разделите на разрядные значения

Возьмите десятичное число и разделите его на значение наибольшего разряда. Найдите остаток вместо любых дробных значений. Целая часть номера — это старшая значащая цифра вашего номера в целевой системе. Возьмите остаток и разделите его на следующий по величине разряд. Продолжайте делать это, пока у вас не закончатся значения мест.

123 / 64 = 1 остаток 59
59 / 32 = 1 остаток 27
27 / 16 = 1 остаток 11
11 / 8 = 1 остаток 3
3 / 4 = 0 остаток 3
3 / 2 = 1 остаток 1
1 / 1 = 1 остаток 0

Результат: 1111011

Метод 2: шестнадцатеричный пример

Преобразуем 123 в шестнадцатеричное, используя метод 2.

16 0 = 1       16 1 = 16       16 2 = 256

123 / 16 = 7 остаток 11
11 / 1 = 11 (B) остаток 0

Результат: 7B

Ярлыки

Есть несколько сокращений, которые значительно упрощают преобразование между определенными системами счисления.

Шестнадцатеричное в/из двоичного

Шестнадцатеричная цифра может быть представлена ​​четырьмя двоичными цифрами. Используйте это в своих интересах при преобразовании между шестнадцатеричными и двоичными числами.

Преобразовать шестнадцатеричный код в двоичный

Преобразуем F70A3021 в двоичный формат.

Начиная со старшей цифры, преобразовать каждую цифру в четырехзначное двоичное число и объединить результаты. Обычно я конвертирую шестнадцатеричное значение в десятичное, а затем десятичное в двоичное. Я сделал это достаточно там, где я могу сделать это в своей голове, так что это не займет у меня много времени. Вы также можете запомнить двоичные значения для каждой шестнадцатеричной цифры.

F = 1111
7 = 0111
0 = 0000
A = 1010
3 = 0011
0 = 0000
2 = 0010
1 = 0001

Результат: 1111 0111 0000 1010 0011 0000 0010 0001

Двоичный код в шестнадцатеричный

Преобразуем 10110100101 в шестнадцатеричное число.

Этот ярлык почти такой же, как шестнадцатеричный код в двоичный, только обратное преобразование.

Для удобства разбейте десятичное число на группы по четыре, начиная с младшей значащей цифры. Используя ручку и бумагу, я просто провожу линию между группами из четырех цифр.

101 1010 0101

Теперь преобразуйте каждую группу цифр в шестнадцатеричный вид и соедините их.

101 = 5
1010 = А
0101 = 5

Результат: 5A5

Восьмеричное в/из двоичного

Восьмеричный код в двоичный

Работает так же, как преобразование шестнадцатеричной системы в двоичную.Вместо четырех двоичных цифр, представляющих шестнадцатеричную цифру, вы можете представить восьмеричную цифру тремя двоичными цифрами. Преобразуем восьмеричное число 547 в двоичное.

5 = 101
4 = 100
7 = 111

Результат: 101100111

Двоичный код в восьмеричный

Как и при преобразовании двоичного кода в шестнадцатеричный, разделите двоичное число на части, начиная с младшей значащей цифры. Вместо четырехразрядных разделов используйте трехразрядные разделы. Преобразуем 11110101001 в восьмеричное.

11 110 101 001

11 = 3
110 = 6
101 = 5
001 = 1

Результат: 3651

Полезные ресурсы

Калькуляторы в большинстве настольных систем могут конвертировать для вас обычные системы счисления. В этой статье показано, где он находится в Windows. Просто введите номер, а затем щелкните переключатель слева рядом, чтобы преобразовать между базами.

number.webmasters.sk имеет удобный веб-инструмент, который конвертирует между различными системами счисления для вас.

В Википедии есть интересная страница о позиционной записи.
Purple Math содержит серию руководств по основам счисления, которые могут оказаться полезными.

Обсудить

1st PUC Банк вопросов по компьютерным наукам Глава 3 Представление данных

Вы можете загрузить главу 3. Вопросы и ответы по представлению данных, примечания, 1-й банк вопросов по компьютерным наукам PUC с ответами Решения Совета штата Карнатака помогут вам пересмотреть полный учебный план и получить больше баллов на экзаменах.

Карнатака 1st PUC Банк вопросов по компьютерным наукам Глава 3 Представление данных

1st PUC Computer Science Data Representation Один балл Вопросы и ответы

Вопрос 1.
Дайте определение числу или системе счисления.
Ответ:
Это система наименования или представления чисел, как в десятичной системе, так и в двоичной.

Вопрос 2.
Дайте классификацию систем счисления.
Ответ:
Непозиционная система счисления и Позиционная система счисления.

Вопрос 3.
Что такое непозиционная система счисления?
Ответ:
Непозиционная система счисления зависит не от положения числа, а от символов, определяющих значение числа.

Вопрос 4.
Укажите недостаток непозиционной системы счисления.
Ответ:
Непозиционная система счисления не может эффективно выполнять арифметические вычисления.

Вопрос 5.
Что такое позиционная система счисления?
Ответ:
Это система записи чисел, в которой положение цифры влияет на ее значение.

Вопрос 6.
Укажите любые две позиционные системы счисления
Ответ:
Десятичная система счисления и Двоичная система счисления.

Вопрос 7.
Что вы понимаете под основанием системы счисления?
Ответ:
Основание или основание — это количество уникальных цифр, включая ноль, которые позиционная система счисления использует для представления чисел.

Вопрос 8.
Разверните BIT.
Ответ:
Двоичная цифра.

Вопрос 9.
Определить MSB.
Ответ:
Наибольший вес цифры в числе называется старшим значащим битом.

Вопрос 10.
Дайте определение LSB.
Ответ:
Наименьший вес цифры в числе называется наименьшим значащим битом.

Вопрос 11.
Каков вес младшего бита в восьмеричной системе счисления?
Ответ:
Вес младшего бита восьмеричной системы счисления равен 0.

Вопрос 12.
Каков вес старшего бита шестнадцатеричной системы счисления?
Ответ:
Вес старшего разряда в шестнадцатеричной системе счисления равен 15.

Вопрос 13.
Что такое Десятичная система счисления?
Ответ:
Позиционная система счисления, состоящая из 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9), называется десятичной системой счисления. Десятичное число также называют основанием 10, потому что оно состоит из 10 цифр.

Вопрос 14.
Что такое двоичная система счисления?
Ответ:
Позиционная система счисления, в которой есть только 2 цифры, равные 0 и 1, называется двоичной системой счисления, ее также называют основанием 2.

Вопрос 15.
Что такое восьмеричная система счисления?
Ответ:
Позиционная система счисления, состоящая из 8 цифр 0,1,2,3,4,5,6 и 7, называется восьмеричной системой счисления. Его также называют основанием 8.

.

Вопрос 16.
Что такое шестнадцатеричная система счисления?
Ответ:
Позиционная система счисления, состоящая из 16 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E и F, называется шестнадцатеричной. система, которая также называется основанием 16.

Вопрос 17.
Как представляются положительные или отрицательные знаки числа в двоичной системе?
Ответ:
Добавьте дополнительную цифру перед двоичным числом, чтобы указать, является ли число положительным или отрицательным.Эта цифра называется знаковым битом.

Вопрос 18.
Как представляется отрицательное число в двоичной системе счисления?
Ответ:
Отрицательное число представляется в двоичной системе счисления добавлением дополнительной цифры 1 перед двоичным числом.

Вопрос 19.
Расширьте BCD.
Ответ:
Двоично-десятичный код.

Вопрос 20.
Напишите расширение ASCII.
Ответ:
Американский стандартный код обмена информацией.

Вопрос 21.
Расширить EBCDIC?
Ответ:
Расширенный двоично-десятичный код обмена.

Вопрос 22.
Что такое дополнение?
Ответ:
Представление числа со знаком с дополнением до 1 выполняется путем замены всех битов, равных 1, на 0 и всех битов, равных
, на 0 на 1.

Вопрос 23.
Что такое дополнение до двух?
Ответ:
Представление числа со знаком в дополнении до 2 осуществляется путем добавления 1 к представлению числа в дополнении до 1.

1st PUC Computer Science Data Representation Два/три балла Вопросы и ответы

Вопрос 1.
В чем разница между непозиционной системой счисления и позиционной системой счисления?
Ответ:
Непозиционная система счисления состоит из разных символов, и каждый из этих символов представляет значение независимо от его положения.
В позиционной системе счисления каждая цифра получает свое значение по ее положению в цифрах.

Вопрос 2.
Как представляется число в позиционной системе счисления? Привести пример.
Ответ:
Десятичное число 259 представлено как
2 × 10² + 5 × 10 1 + 9 × 10 0
= (2 × 100) + (5 × 10) + (9 × 1)
= 200 + 50 + 9 = 259.

Вопрос 3.
Напишите различные типы позиционной системы счисления.
Ответ:

  • Десятичная система счисления
  • Двоичная система счисления.
  • Восьмеричная система счисления.
  • Шестнадцатеричная система счисления.

Вопрос 4.
В компьютерах используется двоичная система счисления.Почему?
Ответ:
Компьютерные системы используют электронные схемы, которые существуют только в одном из двух состояний, то есть в состоянии «включено» или «выключено». Двоичная система счисления — это метод представления чисел, которые считаются, используя комбинации только двух цифр: нуля (0) и единицы (1).

Вопрос 5.
Для чего используется шестнадцатеричная система счисления?
Ответ:
Большие двоичные цифры не легче запоминать и с ними работать. Но с шестнадцатеричной системой намного проще работать, чем иметь дело с 16 нулями и единицами в двоичной системе.

Вопрос 6.
Что такое дополнение до 1? Привести пример.
Ответ:
Представление числа со знаком с дополнением до 1 выполняется путем замены всех битов, равных 1, на 0 и всех битов, равных
, на 0 на 1. Например, дополнение 1010100 до 1 равно 0101011.

Вопрос 7.
Что такое дополнение до двух? Привести пример.
Ответ:
Представление числа со знаком в дополнении до 2 осуществляется путем добавления 1 к представлению числа в дополнении до 1.Например, число 1010100 в дополнении до 2 равно
. Шаг 1: дополнение 1 в числе 1010100 равно 0101011

.

Вопрос 8.
Что такое компьютерные коды? Привести пример.
Ответ:
Это набор символов для представления символов. Например, большинство компьютеров используют коды ASCII для представления символов.

Вопрос 9.
Почему в компьютерах используется двоичный код?
Ответ:
Термин «двоичный» означает «два». Таким образом, двоичная система счисления — это система чисел, основанная на двух возможных цифрах — 0 и 1.Каждая двоичная цифра или «бит» представляет собой один 0 или 1, что напрямую соответствует одному «переключателю» в цепи. Двоичные коды используются в компьютерах, потому что они используются для представления информации в цифровом мире.

Вопрос 10.
Что такое взвешенный код в двоичной системе счисления?
Ответ:
Взвешенные двоичные коды — это такие двоичные коды, которые подчиняются принципу позиционного веса. Каждая позиция числа представляет определенный вес. Несколько систем кодов используются для обозначения десятичных цифр от 0 до 9.В этих кодах каждая десятичная цифра представлена ​​группой из четырех битов.

Вопрос 11.
Что такое невзвешенные коды? Привести пример.
Ответ:
В этом типе двоичного кода позиционные веса не назначаются. Примерами невзвешенных кодов являются код Эксцесса-3 и код Грея.

Вопрос 13 2)

Вопрос 14.
Напишите восьмеричный эквивалент десятичного числа 65.
Ответ:

Вопрос 15.
Напишите шестнадцатеричный эквивалент десятичного числа 345.
Ответ:

Вопрос 16.
Преобразовать 101101(2) в десятичное число.
Ответ:

32 + 8 + 4 +1 = 45

Вопрос 17.
Преобразовать 101110(2) в восьмеричное число.
Ответ:

Вопрос 18.
Преобразовать 11001010(2) в шестнадцатеричное число.
Ответ:

8 + 4+1 = 13 в шестнадцатеричном формате D 8 + 2 = 10 в шестнадцатеричном формате A
Ответ DA

Вопрос 19.
Преобразование 3257(8) в десятичное число
Ответ:

1536 + 128 + 40 + 7 = 1711(10)

Вопрос 20.
Преобразовать 357(8) в двоичный формат.

Ответ:
011 101 111 (2)

Вопрос 21.
Преобразовать 357 (8) в шестнадцатеричный формат.
Ответ:
Шаг 1: 357 (8) = 011 101 111 (2)
Шаг 2: 11101111 … Группа из 4 двоичных цифр от LSB 1110 (2) 1111 (2)

8 + 4 + 2 = 14 (10) = E (16) 8 + 4+ 2+ 1 = 15 (10) =F (16)
= EF (16)

Вопрос 22.
Преобразование FACE(16) в десятичное число.
Ответ:

61440 + 2560 + 192 + 14 = 64206 (10)

Вопрос 23.
Напишите сумму 1100 (2) и 101 (2)
Ответ:
1100 (2) + 101 (2) = 70 70 9102 1 2 900

Вопрос 24.
Назовите два типа кодов ASCII.
Ответ:
ASCII 7-битный и ASCII 8-битный два типа.

Вопрос 25.
Что такое код EBCDIC?
Ответ:
EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) — это двоичный код для буквенных и цифровых символов, который IBM разработал для своих более крупных операционных систем.В файле EBCDIC каждый буквенный или числовой символ представлен 8-битным двоичным числом. Определено 256 возможных символов (буквы алфавита, цифры и специальные символы).

1-е представление данных PUC по компьютерным наукам Пять баллов Вопросы и ответы

Вопрос 1.
Напишите короткую заметку о количестве систем.
Ответ:
Это система наименования или представления чисел, как в десятичной системе, так и в двоичной. Система счисления в целом подразделяется на два типа. А именно, позиционные и непозиционные системы счисления.
1. Непозиционная система счисления:
Непозиционная система счисления зависит не от положения числа, а от символов, определяющих значение числа. Римское число — это непозиционная система счисления. Непозиционная система счисления не может эффективно использоваться для арифметических вычислений.

2. Позиционная система счисления:
Это система записи чисел, в которой положение цифры влияет на ее значение. Десятичная система счисления и двоичная система счисления являются примерами позиционной системы счисления.Позиционная система счисления может использоваться для эффективного выполнения арифметических вычислений.

Вопрос 2.
Что такое основание или основание системы счисления? Назовите системы счисления в разных системах счисления.
Ответ:
Основание или основание — это количество уникальных цифр, включая ноль, которое система позиционного счисления
использует для представления чисел.

Вопрос 3.
Преобразовать 2567 (10) = (?) (2) = (? ) (8) = ( ? ) (16)
Ответ:
Двоичный эквивалент 2567(10) 101000000111 (2) (2) 3
восьмеричный эквивалент 2567 (10) составляет 5007 (8) 3 2567 (10) Двоина в разбитых в набор из трех битов составляет 101 000 000 000 111
5 (8 ) 0 (8) 0 (8) 7 (8)
Шестнадцатеричный эквивалент числа 2567 (10) — это A07 (16)
25127 90 двоичное число 1 четыре бита 1010 0000 0111
A (16) 0 (16) 7 (16)

Вопрос 4.
Напишите краткую заметку о двоичной арифметике.
Ответ:
Двоичная арифметика является неотъемлемой частью всех цифровых компьютеров и многих других цифровых систем.
1. Двоичное сложение:
Это ключ для двоичного вычитания, умножения, деления. Четыре правила двоичного сложения таковы.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 с битом переноса 1.

2. Двоичное вычитание:
Вычитание и заимствование, эти два слова будут очень часто использоваться для двоичного вычитания.Есть четыре правила бинарной подложки. Четыре правила двоичного вычитания:
0 – 0 = 0
0 – 1 = 0 с заимствованием 1
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0

Вопрос 5.
Напишите заметку о дополнениях в двоичной системе.
Ответ:
Дополнения используются в цифровых компьютерах для упрощения операции вычитания и для логических операций. Два типа дополнений — это дополнение 1 и дополнение 2.
1. Дополнение до 1:
Дополнение числа до 1 находится путем замены всех единиц на 0 и всех нулей на единицы.Это называется дополнением или дополнением до 1. Например, 10101 — это 01010 в дополнении до 1.

2. Дополнение до 2:
Дополнение до 2 для двоичного числа получается путем добавления 1 к младшему значащему биту (LSB) дополнения до 1 числа.
Дополнение до 2 = Дополнение до 1 + 1
Например, 10101 (2)
Дополнение до 1 равно 01010, а
01010 + 1 = 01011 является дополнением до 2.

Вопрос 6.
Объясните вкратце двоичное вычитание с использованием дополнения l.
Ответ:
Вычитание с дополнением до единицы: —
Мы можем вычесть 5-битные двоичные числа 01101 (2) 13 (10) и 01001 (2) 9 (10)
, преобразовав 01 (10) 10) до его отрицательного эквивалента в дополнении до 1 и добавление этого значения к 01101 2 .
1. Во-первых, нам нужно преобразовать 01001 (2) в его отрицательный эквивалент в дополнении до 1.

2. Для этого заменим все 1 на 0 и 0 на 1. Обратите внимание, что самая старшая цифра теперь равна 1, поскольку число отрицательное.

3. Затем мы добавляем полученное отрицательное значение к 01101 2 . Это дает нам результат 100011 2 .

4. Обратите внимание, что наше добавление вызвало бит переполнения. Всякий раз, когда у нас есть бит переполнения в дополнении к 1, мы добавляем этот бит к нашей сумме, чтобы получить правильный ответ. Это дает нам окончательный ответ 00100 2 (или 4 10 ).

Вопрос 7.
Объясните вкратце двоичное вычитание с использованием дополнения до 2.
Ответ:
Вычитание с дополнением до двух: —
Мы можем вычесть 5-битные двоичные числа 01101 2 (13 10 ) и 01001 2 (9 10 1 ) путем преобразования его 011 10 отрицательное 0 в 90 отрицательное 0 в 90 0 . эквивалент в дополнении до 2 и добавление этого значения к 01101 2 .
1. Во-первых, нам нужно преобразовать 01001 2 в его отрицательный эквивалент в дополнении до 2.

2. Для этого сначала меняем все 1 на 0 и наоборот.

3. Затем мы добавляем 1 к числу, чтобы получить отрицательный эквивалент. Обратите внимание, что самая старшая цифра теперь равна 1, поскольку число отрицательное.

4. Затем мы добавляем вычисленное отрицательное значение к 01101 2 . Это дает нам результат 100100 2 . Однако, поскольку мы используем только 5-битные двоичные числа, мы отбрасываем лишний бит слева.

5. Это дает нам окончательный ответ 00100 2 (или 4).

Вопрос 8.
Напишите заметку о коде BCD и Excess-3.
Ответ:
1. Двоично-десятичный код (BCD):
В этом коде каждая десятичная цифра представлена ​​4-битным двоичным числом. BCD — это способ выразить каждую десятичную цифру двоичным кодом. В BCD четырьмя битами мы можем представить шестнадцать чисел (от 0000 до 1111). Но в коде BCD используются только первые десять из них (от 0000 до 1001).Остальные шесть кодовых комбинаций, то есть от 1010 до 1111, недействительны в двоично-десятичном коде. Оправдать

2. Код Excess-3:
Код Excess-3 также называется кодом XS-3. Это невзвешенный код, используемый для выражения десятичных чисел. Кодовые числа избытка-3 получаются из кодовых чисел 8421 BCD, добавляя (0011) 2 или (3) 10 к каждому кодовому слову в 8421. Коды избытка-3 получаются следующим образом:

Вопрос 9.
Напишите заметку по кодам ASCII и EBCDIC.
Ответ:
1.Код ASCII:
ASCII (американский стандартный код для обмена информацией) является наиболее широко используемой системой кодирования для представления данных. ASCII используется на многих персональных компьютерах и миникомпьютерах. ASCII — это 7-битный код, который позволяет использовать 2 7 = 128 различных символов. 128 различных комбинаций, которые могут быть представлены 7 битами, достаточно, чтобы учесть все буквы, цифры и специальные символы. Добавлен восьмибитный. Это позволило представить дополнительные 128 символов. Дополнительные 128 комбинаций используются для таких символов, как Ç ü è ©, ®, Æ и т. д.

2. Код EBCDIC:
(расширенный двоично-десятичный код обмена) Произносится как «eb-suh-dick». Двоичный код для текста, а также связи и управления принтером от IBM. Этот код данных появился в System/360 и до сих пор используется в мэйнфреймах IBM и большинстве компьютеров IBM среднего класса. Это 8-битный код
(256 комбинаций), который хранит в байте один буквенно-цифровой символ или две десятичные цифры.

Системы счисления в компьютере

Системы счисления

Люди используют десятичную (основание 10) и двенадцатеричное (основание 12) системы счисления для счета и измерения (вероятно, потому что у нас 10 пальцев и два больших пальца ноги).В компьютерах используется двоичная система счисления (основание 2), так как они состоят из двоичных цифровых компонентов (известных как транзисторы), работающих в двух состояниях — включенном и выключенном. В вычислениях мы также используем шестнадцатеричную (основание 16) или восьмеричную (основание 8) системы счисления в качестве компактной формы для представления двоичных чисел.

Десятичная система счисления (основание 10):

Десятичная система счисления имеет десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, называемых цифрой с.Это позиционная нотация , например,

 735D = 7×10  2  + 3×10  1  + 5×10  0  

Мы будем обозначать десятичное число с необязательным суффиксом D , если возникает двусмысленность.

Двоичная система счисления (основание 2):

Двоичная система счисления имеет два символа: 0 и 1, называемые битами . Это также позиционная нотация , например,

 10110B = 1×2  4  + 0×2  3  + 1×2  2  + 1×2  1  + 0×2  0  

Мы будем обозначать двоичное число с суффиксом B .Некоторые языки программирования обозначают двоичные числа префиксом 0b (например, 0b1001000 ) или префиксом b с указанными битами (например, b'10001111' ).

Двоичная цифра называется бит . Восемь битов называются байтами (почему 8-битная единица? Наверное, потому что 8=2 3 ).

Шестнадцатеричная система счисления (основание 16):

Шестнадцатеричная система счисления использует 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F, называемых шестнадцатеричными цифрами .Это позиционная нотация , например,

 A3EH = 10×16  2  + 3×16  1  + 14×16  0  

Мы будем обозначать шестнадцатеричное число с суффиксом H . Некоторые компьютерные языки обозначают шестнадцатеричные числа с префиксом 0x (например, 0x1A3C5F ) или префиксом x с шестнадцатеричной цифрой в кавычках (например, x'C3A4D98B' ).

Каждая шестнадцатеричная цифра также называется шестнадцатеричной цифрой . Большинство языков принимают строчные буквы от 'a' до 'f' , а также прописные 'A' до 'F' .

Компьютеры используют двоичную систему в своих внутренних операциях, так как она построена из двоичных цифровых электронных компонентов. Однако запись или чтение длинной последовательности двоичных битов обременительны и подвержены ошибкам. Шестнадцатеричная система используется как компактная форма или сокращенная форма для двоичных битов. Каждая шестнадцатеричная цифра эквивалентна 4 двоичным битам, т.е.т. е., сокращение для 4 бит, следующим образом:

0H (0000B) (0D) 1H (0001B) (1D) 2H (0010B) (2D) 3H (0011B) (3D)
4H (0100B) (4D) 5H (0101B) (5D) 6H (0110B) (6D) 7H (0111B) (7D)
8H (1000B) (8D) 9Н (1001Б) (9Д) АХ (1010B) (10D) БХ (1011Б) (11Д)
CH (1100B) (12D) ДХ (1101Б) (13Д) ЕН (1110В) (14Д) ФХ (1111Б) (15Д)

Преобразование систем счисления

Преобразование из шестнадцатеричной системы в двоичную:

Замените каждую шестнадцатеричную цифру на 4 эквивалентных бита, например,

 A3C5H = 1010 0011 1100 0101B
102AH = 0001 0000 0010 1010B 
Преобразование из двоичного в шестнадцатеричный:

Начиная справа (младший значащий бит), замените каждую группу из 4 битов эквивалентной шестнадцатеричной цифрой, например,

 1001001010B = 0010 0100 1010B = 24AH
10001011001011B = 0010 0010 1100 1011B = 22CBH 

Важно отметить, что шестнадцатеричное число обеспечивает компактную форму или сокращенную форму для представления двоичных битов.

Преобразование из базы
r в десятичную (база 10):

Учитывая n -значное основание r число: dn-1 dn-2 dn-3 ... d3 d2 d1 d0 (основание r), десятичный эквивалент определяется как:

 dn-1 × r  (  n-1) + dn-2 × r  (  n-2) + ... + d1 × r  1  + d0 × r  0  
Преобразование десятичного числа (с основанием 10) в основание
r :

Использовать повторное деление/остаток.Например,

 Чтобы преобразовать 261D в шестнадцатеричный формат:
261/16 частное=16 остаток=5
16/16 частное=1 остаток=0
1/16 частное=0 остаток=1 (частное=0 стоп)
Следовательно, 261D = 105H 

Подсказка : Вы можете использовать Калькулятор Windows для выполнения преобразования чисел, выбрав научный режим (Запустите «Калькулятор» ⇒ Выберите меню «Вид» ⇒ Выберите «Научный» режим).

Упражнения

  1. Преобразование следующих десятичных чисел в двоичных и шестнадцатеричных чисел.
     108; 4848; 9000 
  2. Преобразуйте следующие двоичные числа в шестнадцатеричные и десятичные числа.
     1000011000; 10000000; 101010101010 
  3. Преобразуйте следующие шестнадцатеричные числа в двоичные и десятичные числа.
     АВСДЕ; 1234; 80F 

Вы можете использовать калькулятор Windows ( calc.exe ), чтобы проверить свой ответ, установив его в научный режим (выберите меню «Просмотр» ⇒ выберите «Научный» режим).

Ответы:

  1. 1101100B , 1001011110000B , 10001100101000B , 6CH , 12F0H , 2328H ;
  2. 218Х , 80Х , АААХ , 536Д , 128Д , 2730Д ;
  3. 10101011110011011110B , 1001000110100b , 100000001111B , 724710, , 4660d , 2063d .

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.