Задание 7 егэ по математике: Задание №7 ЕГЭ по математике профильного уровня с решением

Содержание

Задание №7 ЕГЭ по математике профильного уровня с решением

Производная и первообразные функции


В задании №7 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания функции производной и первообразной. В большинстве случаев достаточно просто определения понятий и понимания значений производной.


Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Алгоритм решения:
  1. Рассматриваем график функции.
  2. Ищем точки, в которых функция убывает.
  3. Подсчитываем их количество.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. На графике функция периодически возрастает, периодически убывает.

2. В тех интелвалах, где функция убывает, производная имеет отрицательные значения.

3. В этих интервалах лежат точки x

3, x4x5x9. Таких точек 4.

Ответ: 4.


Второй вариант задания (из Ященко, №4)

На рисунке изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Алгоритм решения:
  1. Рассматриваем график функции.
  2. Рассматриваем поведение функции в каждой из точек и знак производной в них.
  3. Находим точки в наибольшим значением производной.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Функция имеет несколько промежутков убывания и возрастания.

2. Там, где функция убывает. Производная имеет знак минус. Такие точки есть среди указанных. Но на графике есть точки, в которых функция возрастает. В них производная положительная. Это точки с абсциссами -2 и 2.

3. Рассмотрим график в точках с х=-2 и х=2. В точке х=2 функция круче уходит вверх, значит касательная в этой точке имеет больший угловой коэффициент. Следовательно, в точке с абсциссой 2. Производная имеет наибольшее значение.

Ответ: 2.


Третий вариант задания (из Ященко, №21)

Прямая   является касательной к графику функции  . Найдите а.

Алгоритм решения:
  1. Приравняем уравнения касательной и функции.
  2. Упрощаем полученное равенство.
  3. Находим дискриминант.
  4. Определяем параметр а, при котором решение единственное.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Координаты точки касания удовлетворяют обоим уравнениям: касательной и функции. Поэтому мы можем приравнять уравнения. Получим:

2. Упрощаем равенство, перенеся все слагаемые в одну сторону:

3. В точке касания должно быть одно решение, поэтому дискриминант полученного уравнения должен равняться нулю. Таково условие единственности корня квадратного уравнения.

4. Получаем:

Ответ: 4.

Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

.

Ответ: 3

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

 

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции

, определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется

первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

 

Задание 7 ЕГЭ по математике базового уровня 2021

Если задание выполнено на отлично, то сможешь получить 1 первичный балл.

На решение отводится примерно 8 минут.

Чтобы решить задание 7 по математике базового уровня нужно знать:

  • Линейное уравнение: ax + b =0
  • Квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0.
  • Алгоритм решения квадратного уравнения:
  1. Найти дискриминат по формуле D = b2 — 4ac
  2. Корни вычисляются по формулам:
    a) D b) D = 0, x = -\frac{b}{2a}
    c) D > 0, x = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2a}
  3. Свойства корней
  4. Свойства логарифмов

 

Таблица кубов натуральных чисел от 10 до 99 и степеней чисел 2 и 3
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049

Задание №7 ЕГЭ по математике (профиль).

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Значение производной функции  в точке  равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке. По условию задачи нам дана касательная в точке . Выполним построение, нарисовав прямоугольный треугольник, в котором касательная будет играть роль гипотенузы (см. рисунок ниже).

Тангенс угла наклона гипотенузы (касательной) равно отношению противолежащего катета к прилежащему, т.е. имеем:

.

Ответ: 1,5.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Как известно, значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке к оси OX. На рисунке показана касательная, найдем ее тангенс угла наклона. Для этого выполним построение как показано на рисунке ниже.

С помощью полученного прямоугольного треугольника найдем тангенс угла как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего. По рисунку видим, что длина противолежащего катета равна 2, а прилежащего – 8, таким образом, тангенс угла, а значит и производна в точке  равна

.

Ответ: 0,25.

Задание 7. На рисунке изображён график функции у = f(x) и девять точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек производная функции f(х) отрицательна?

Решение.

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси OX в точке, где берется производная. Можно говорить, что если функция  в точке  возрастает, то ее производная в этой точке положительна, а если убывает, то производная отрицательна. Используя это правило, определим по графику в каких точках производная функции  будет отрицательной. Анализ показывает, что отрицательное значение производной будет получаться в точках:, т.е. в 3 точках.

Ответ: 3.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке к оси OX. Чтобы найти тангенс угла наклона, выполним построение, показанное на рисунке ниже.

Из полученного прямоугольного треугольника находим, что тангенс угла наклона касательной, равный, отношению противолежащего катета к прилежащему, вычисляется как

,

т.е. производная в точке  равна -2.

Ответ: -2.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной к оси OX в этой точке. Для нахождения тангенса угла наклона касательной, выполним построение, показанное на рисунке ниже.

Как известно тангенс угла наклона равен отношению противолежащего катета к прилежащему. По рисунку видим, что длина противолежащего катета равна -2 единицы (минус, т.к. отрезок уходит вниз в отрицательную область), а длина прилежащего катета равна 8. Таким образом, тангенс и значение производной, равно

.

Ответ: -0,25.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Для нахождения значения производной в точке  функции  выполним построение, показанное на рисунке ниже.

Из полученного прямоугольного треугольника найдем тангенс угла наклона к оси OX касательной в точке , получим:

.

Значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной к оси OX.

Ответ: 1,5.

Задание 7. На рисунке изображён график у=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-6; 5). В какой точке отрезка [-2; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение.

Решение.

Значение производной  показывает нам: убывает функция  или возрастает. Если значение производной меньше нуля (ниже оси OX), то функция  убывает, если она выше оси OX (положительна), то функция  возрастает. Можно заметить, что если график производной пересекает ось OX из отрицательной области () в положительную (), то точка  соответствует локальному минимуму функции . Именно это изображено на рисунке в точке .

Итак, мы имеем начальную точку , в которой функция  имеет локальный минимум. Анализируя график производной до точки  видим, что он везде больше 0, значит, функция  на интервале [-2;2] постоянно возрастает и, следовательно, точка максимума на этом интервале будет в точке .

Ответ: 2.

Задание 7. На рисунке изображён график у=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-6; 5). В какой точке отрезка [0; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение.

Решение.

Если производная , то функция  убывает в этой точке. Если , то функция  возрастает в точке . Учитывая это правило, проанализируем график производной на интервале от 0 до 4. Видим, что график производной на этом интервале всюду меньше 0, значит функция  на нем убывает и, следовательно, точка минимума в этом интервале будет находиться в точке .

Ответ: 4.

Задание 7. На рисунке изображён график первообразной у=F(x) некоторой функции у=f(x), определённой на интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-14; -8].

Решение.

По определению первообразная это функция, производная от которой дает исходную функцию , т.е.

.

Нам требуется определить число решений , или, что тоже самое . Значение производной функции равно нулю в точках ее минимума и максимума, следовательно, на графике в диапазоне от -14 до -8 нужно найти все точки минимума и максимума функции . Анализ рисунка показывает, что это точки , т.е. 2 точки.

Ответ: 2.

Задание 7. На рисунке изображён график у = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-10; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9; 8].

Решение.

Из свойств производной функции известно, что если значение производной меньше нуля, то функция убывает, а если производная больше нуля, то функция возрастает. В случаях, когда производная равна нулю , то это точки минимума или максимума функции . Чтобы определить точки максимума, нужно проанализировать график производной до и после точки . Если график функции  пересекает ось OX из положительной области в отрицательную, то точка пересечения (т.е. точка , при которой ) будет точкой максимума функции . Проанализируем график производной в диапазоне [-9;8], и найдем точки максимума. Это точки , т.е. 2 точки.

Ответ: 2.

Задание 7. На рисунке изображён график у=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-19; 2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-17; 1].

Решение.

Точки минимума и максимума функции  соответствуют точкам производной , т.е. точкам, в которых производная пересекает ось OX. Чтобы выделить точки минимума нужно проанализировать как вела себя производная до и после точки . Если она переходит из отрицательной области в положительную, то это будет точка минимума.

Анализ графика производной на рисунке в пределах от -17 до 1 показывает, что точки минимума функции  соответствуют значениям , т.е. двум точкам.

Ответ: 2.

Задание 7. На рисунке изображён график у=f'(x) — производной функции f(х), определённой на интервале (-3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-1; 17].

Решение.

Точки экстремума (минимума и максимума) функции  соответствуют значениям производной  и среди них точками максимума функции  будут те, в которых график производной пересекает ось OX из положительной области в отрицательную.

Проанализируем рисунок, получим, что точки максимума функции  в диапазоне от -1 до 17 соответствуют точкам , т.е. 2 точки.

Ответ: 2.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Значение производной в точке  будет равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке к оси OX. Для определения значения тангенса сделаем построение, показанное на рисунке ниже.

Тангенс угла наклона равен

,

следовательно, производная в точке  равна 0,25.

Ответ: 0,25.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Производная в точке  равна значению тангенса наклона касательной к графику  в точке . Для определения тангенса угла наклона касательной, а значит и производной, выполним построение, показанное на рисунке ниже.

Из построения следует, что тангенс равен

.

Ответ: 1,5.

Задание 7. На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 4). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-7; 0].

Решение.

В точках экстремума функции значение производной равно нулю. Подсчитаем на рисунке число точек, пересекающих ось OX в диапазоне от -7 до 0. Анализ рисунка показывает, что такая точка одна при .

Ответ: -3.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Производная – это тангенс угла наклона касательной в точке  к оси OX. По графику определяем, что тангенс угла наклона (получаем из треугольника см. рисунок ниже), равен

.

Ответ: 0,25.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Выполним построение, достроим прямоугольный треугольник, в котором касательная будет играть роль гипотенузы (см. ниже)

Как известно, производная – это тангенс угла наклона касательной к оси OX. Из треугольника получаем:

.

Ответ: -0,25.

Задание 7. Функция у = f(x) определена на интервале (-5; 6). На рисунке изображён график функции у=f(x). Найдите среди точек  те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

Решение.

Производная – это тангенс угла наклона касательной к оси OX, проведенной в точке взятия производной. Значение производной будет равно нулю в точках максимума и минимума функции (в точках экстремума функции). Найдем такие точки среди точек . Анализ рисунка показывает, что это точки , т.е. 3 точки.

Ответ: 3.

Задание 7. Материальная точка движется прямолинейно по закону

,

где  — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Решение.

Как известно, скорость равна производной от пути по времени, т.е.

.

Тогда в момент времени  скорость была равна

 м/с.

Ответ: 20.

Задание 7. Материальная точка движется прямолинейно по закону

,

где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2 с.

Решение.

Скорость движения – это производная пути по времени. Используем прямолинейный закон движения и продифференцируем его по , получим:

и рассчитаем скорость при :

 м/с.

Ответ: 6.

Задание 7. На рисунке изображён график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке . Касательная задана уравнением . Найдите значение производной функции  в точке .

Решение.

Сначала найдем значение производной функции  в точке . Как известно, значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к оси OX. Нам дано уравнение касательной . Рассчитаем для двух точек  значения , получим:

Таким образом, получаем, что при изменении значения по оси ординат на 2 единицы 3-1=2, график касательной меняется по оси OY на 8-5=3. Следовательно, тангенс наклона касательной к оси OX равен:

.

В задаче нам требуется найти производную для функции . Эта функция возрастает по оси OY в два раза быстрее, чем функция , а значит, и производная будет в два раза больше, т.е.

.

При этом константное смещение на -1 по оси OY не влияет на значение производной.

Ответ: 3.

Задание 7. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 4 м/с?

Решение.

Скорость материальной точки в момент времени  можно найти путем дифференцирования пути  по , получим:

.

По условию задачи нужно найти момент времени , при котором скорость равнялась 4 м/с:

,

откуда

Ответ: 5.

Задание 7. Материальная точка движется прямолинейно по закону

,

где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 43 м/с?

Решение.

Определим закон изменения скорости материальной точки, продифференцировав  по , получим:

.

Необходимо определить момент времени , в который скорость стала равна 43 м/с:

Ответ: 8.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Как известно, производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси OX, проведенной в этой точке. Чтобы вычислить тангенс угла наклона касательной, выполним построение, как показано на рисунке ниже.

Из прямоугольного треугольника получаем

.

Ответ: -1.

Задание 7. На рисунке изображён график функции у=f(x), определённой на интервале (-7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение.

Производная – это тангенс угла наклона касательной к оси OX. Следовательно, производная функции будет отрицательна, если функция  убывает в точке, где берется производная. Анализ рисунка показывает, что на интервале (-7; 7) функция убывает в целых точках:

,

т.е. в 5 точках.

Ответ: 5.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной к оси OX в точке . Для вычисления тангенса, выполним построение, показанное на рисунке ниже.

Из прямоугольного треугольника находим, что тангенс (и что то же самое производная) равен

.

Ответ: -1,25.

Задание 7. На рисунке изображён график некоторой функции у = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определённый интеграл .

Решение.

Интеграл  равен площади фигуры, ограниченной по оси OY функцией , а по оси OX диапазоном от 1 до 6. В соответствии с рисунком эта площадь соответствует площади трапеции или сумме двух площадей: прямоугольника и треугольника.

Площадь прямоугольника равна

,

а площадь треугольника

.

Суммарная площадь всей фигуры, т.е. значение интеграла есть

.

Ответ: 13,5.

Задание 7. На рисунке изображён график функции и десять точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение.

По свойствам производной известно, что производная отрицательна, если в точке  (где берется производная) функция  убывает. Проанализируем график функции  и выберем точки, в которых функция убывает, получим:

,

т.е. 8 точек.

Ответ: 8.

Задание 7. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .

Решение.

Производная в точке  будет равна тангенсу наклона касательной, проведенной в этой точке, к оси OX. Выполним построение

И найдем тангенс угла наклона касательной как отношение противолежащего катета на прилежащий, получим:

.

Ответ: -0,5.

Задание 7. Функция у = f(x) определена на интервале (-3; 5). На рисунке изображён график её производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции у = f(x), которые параллельны прямой у = 3х — 5 или совпадают с ней.

Решение.

Производная равна тангенсу наклона касательной к оси OX в точке, где берется производная. Нам нужно найти тоски, в которых касательная равна или параллельна прямой . Чтобы это условие соблюдалось, необходимо и достаточно, выбрать точки, в которых производная будет равна тангенсу угла наклона прямой  к оси OX. Найдем значение тангенса. Возьмем две точки по OX:  и вычислим , получим:

следовательно, тангенс равен

.

Теперь найдем, сколько точек на графике имеют значение равное 3 по оси OY, т.е. сколько точек пересекает линию .

Получаем 3 точки.

Ответ: 3.

Задача 7 ЕГЭ математика профиль

Раздел заданий Решу ЕГЭ профиль пополняется заданиями с рисунками и пояснениями. Если у Вас возникают вопросы — не стесняйтесь спрашивать в комментариях. Задача 7 ЕГЭ математика профиль не является самым сложным заданием и можно научиться успешно справляться с ней на экзамене.

Задача 7 ЕГЭ математика профиль (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 1 варианта сборника профильных заданий. С положительным направлением оси ОХ наша касательная составляет тупой угол. Значит, ответ точно будет отрицательным. Дальше останется построить прямоугольный треугольник и найти отношение противолежащего катета к прилежащему.

Задача 7 ЕГЭ математика профиль (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 2 варианта сборника профильных заданий. Нужно провести касательные и посмотреть на угол наклона. Если он острый с положительным направлением оси ОХ, значит это то. что нужно в нашей задаче.

Задача 7 (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 3 варианта сборника профильных заданий. Выделяем отрезок от -11 до 4. Когда производная функции отрицательна — сама функция убывает (на рисунке слева минус). Когда производная функции положительна — сама функция возрастает (на рисунке слева плюс). Переход из «минуса» в «плюс» даёт нам точку минимума — это точки 1, 3, 5. Они нам не подходят. А вот точки 2 и 4 — то, что нужно. Там переход из «плюса» в «минус» — то есть функция возрастает, а затем убывает, после точки максимума. Ответ в задаче 2

Задача 7 (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 4 варианта сборника профильных заданий. Выделяем отрезок от -17 до -4. Как и в предыдущей задаче нам нужны точки, в которых происходит смена знака у производной. Они отмечены красными точками. В данном отрезке из 4 штуки. Это и есть точки экстремума. Не путайте, перед вами график производной функции, а не самой функции! У функции точки экстремума были бы в местах перегиба.

Задача 7 (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 5 варианта сборника профильных заданий. Когда производная функции отрицательна — сама функция убывает (на рисунке слева минус). Когда производная функции положительна — сама функция возрастает (на рисунке слева плюс). В отмеченных точках производная положительна и функция возрастает. Их 6 штук.

Задача 7 (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 6 варианта сборника профильных заданий. Решение приведено ниже, под условием на фото.


Задача 7 (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 7 варианта сборника профильных заданий. По аналогии с уже рассмотренными выше задачами. Думаю не особо нужны пояснения, всё видно на решении, единственная точка с координатой 4. Ответ: 4

Задача 7 (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 8 варианта сборника профильных заданий. По аналогии с уже рассмотренными выше задачами. Думаю не особо нужны пояснения, всё видно на решении, тангенс угла наклона равен 1,6.

Задача 7 (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 9 варианта сборника профильных заданий. Раз нам нужно количество точек максимума, то есть точек со сменой знака с «+» на «-» у производной, то на отмеченном отрезке она у нас единственная.

Задача 7 (ЕГЭ-2019. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. И.В. Ященко)

Задача 7 ЕГЭ математика профиль из 10 варианта сборника профильных заданий. Раз нам нужно количество точек, в которых касательная параллельна нашей прямой или совпадает, то нужно провести прямую , равную угловому коэффициенту касательной. У нас угловой коэффициент равен -1, так как прямая y=-x+2 и перед иск стоит именно -1. Строим прямую y=-1 и считаем точки пересечения. Их ровно 6.

Задание 7 ЕГЭ по информатике 2019: практика и теория

Статьи

Среднее общее образование

Информатика

Предлагаем вашему вниманию разбор задания № 7 ЕГЭ 2019 года по информатике и ИКТ. Этот материал содержит пояснения и подробный алгоритм решения, а также рекомендации по использованию справочников и пособий, которые могут понадобиться при подготовке к ЕГЭ.

17 января 2019

Что нового?

В предстоящем ЕГЭ не появилось никаких изменений по сравнению с прошлым годом.

Возможно, вам также будут интересны демоверсии ЕГЭ по математике и физике.

О нововведениях в экзаменационных вариантах по другим предметам читайте в наших новостях.

ЕГЭ-2020. Информатика. Тематические тренировочные задания

Пособие содержит задания, максимально приближенные к реальным, используемым на ЕГЭ, но распределенные по темам в порядке их изучения в 10-11-х классах старшей школы. Работая с книгой, можно последовательно отработать каждую тему, устранить пробелы в знаниях, а также систематизировать изучаемый материал. Такая структура книги поможет эффективнее подготовиться к ЕГЭ.

Купить

Источник: сайт ФИПИ

Демо-КИМ ЕГЭ-2019 по информатике не претерпел никаких изменений по своей структуре по сравнению с 2018 годом. Это значимо упрощает работу педагога и, конечно, уже выстроенный (хочется на это рассчитывать) план подготовки к экзамену обучающегося.

Мы рассмотрим решение предлагаемого проекта (на момент написания статьи – пока еще ПРОЕКТА) КИМ ЕГЭ по информатике.

Часть 1

Ответами к заданиям 1–23 являются число, последовательность букв или цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки, без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.

Задание 7

Дан фрагмент электронной таблицы. Из ячейки C3 в ячейку D4 была скопирована формула. При копировании адреса ячеек в формуле автоматически изменились. Каким стало числовое значение формулы в ячейке D4?


Примечание. Знак $ обозначает абсолютную адресацию.

Ответ: ___________________________.

Решение

При копировании формулы в ячейке D4 мы получаем: =$B$3+E3. Подставив значения, получаем искомый результат:

400+700, т.е. 1100.

Ответ: 1100.

#ADVERTISING_INSERT#

Четырехугольники. ОГЭ (ГИА) задание 11, ЕГЭ задание 7

В этой статье мы рассмотрим решение некоторых прототипов задач из Задания 11 ОГЭ (ГИА) по математике (или Задания 7 ЕГЭ по математике).

Предлагаю вам решить эти задачи самостоятельно, а затем свериться с  решением.

Решение других задач по этой теме смотрите часть 2 

часть 3

Решение.

показать

1 способ.

Квадрат- это частный случай ромба. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Диагонали квадрата равны, следовательно

Ответ: 0,5

2 способ.

Площадь квадрата со стороной равна

Рассмотрим прямоугольный треугольник :

По теореме Пифагора

Вспомним, что мы ищем площадь квадрата, а не его сторону, поэтому нам не нужно искать значение . Подставим значение в формулу площади.

Ответ: 0,5

 

 

Решение.

показать

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Ответ: 24

 

 

Решение.

показать

 

 

Решение.

показать

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов. ( по свойству односторонних углов):

В нашей задаче ∠

Тогда ∠

Ответ: 120

 

 

Решение.

показать

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180 градусов ( по свойству односторонних углов)

Кроме того, в равнобедренной трапеции углы при основании равны.

В нашей задаче данные углы не могут быть углами, прилежащими к одной стороне, так как их сумма равна 140 градусов, а не 180. Следовательно, это углы, прилежащие к основанию. Углы при основании равны, следовательно, каждый угол равен

Угол — острый, нам нужно найти больший угол трапеции, то есть тупой угол — второй угол, прилежащий к боковой стороне. Второй угол равен

Ответ: 110

 

Решение.

показать

 

Решение.

показать

Проведем диагональ . Она разобьет данные четырехугольник на два равных треугольника и (треугольники равны по трем сторонам)

Следовательно,

∠∠

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Поэтому ∠∠

Отсюда 2∠

И ∠

Ответ: 95

 

 

Решение.

показать

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Найдем вторую диагональ ромба.

Вспомним свойства диагоналей ромба.

Диагонали ромба:

1. Взаимно перпендикулярны.

2. Точкой пересечения делятся пополам.

3. Являются биссектрисами углов.

Найдем   по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника :

Отсюда , тогда

Ответ: 24

 

 

Решение.

показать

Так как в условии дан угол между сторонами, будем искать площадь ромба по такой формуле:

Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:

Найдем сторону ромба. Так как стороны ромба равны между собой, чтобы найти длину одной стороны, нужно периметр ромба разделить на 4.

Ответ: 50

 

 

Решение.

показать

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Мы знаем основания трапеции, осталось найти высоту. Опустим высоту из вершины и рассмотрим прямоугольный треугольник :

Из условия мы знаем, что . Нам нужно найти противолежащий катет .

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

То есть .

Отсюда .

Итак:

Ответ: 30

 

 

Решение.

показать

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Мы знаем основания трапеции, осталось найти высоту. Опустим высоту из вершины и рассмотрим прямоугольный треугольник :

Нам нужно найти противолежащий катет .

Противолежащий катет связан с гипотенузой через синус острого угла.

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

В условии дан косинус угла А:

Найдем синус угла А с помощью основного тригонометрического тождества:

отсюда

И решение сводится к предыдущей задаче:

.

Отсюда .

Итак:

Ответ: 30

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Конечная задача 7 — Соотношения и пропорции

Конечная математика

Задача 7

Джейми Коттон

Сценарий

Нога фламинго пропорциональна длине его тела. Фламинго с длиной тела 1,2 фута имеет длина ноги 2,5 фута.

A. Определите с точностью до тысячных длину ноги фламинго, длина тела которого равна 1,4 фута.

Так как отношение длины ноги фламинго к длине его тела остается неизменным для фламинго разной высоты, можно установить следующую пропорцию:

а б

= с d Где: a = длина ноги фламинго A b = длина тела фламинго A c = длина ноги фламинго B d = длина тела фламинго B

Умножив обе части на наименьший общий знаменатель, bd, получим дроби можно очистить.а б = c d

бит ∙ а б

= с d

∙ bd

бит ∙ а б = c d ∙ bd

AD =

до н.э.

В этом сценарии длина тела (b) фламинго A и длина тела (d) фламинго фламинго B равны 1,2 футам и 1,4 футам соответственно, следовательно, основанные на принципе перекрестных произведений для пропорций, перекрестные произведения

ad и bc равны, потому что а б

= с d и b ≠ 0 и d ≠ 0 (Blitzer, 2018).

Учитывая, что: a = 2,5 фута b = 1,2 фута и d = 1,4 фута

Подставьте известные значения вместо a, b, d и найдите неизвестное значение для c.

AD =

до н.э.

2,5 ∙ 1,4 = 1,2 ∙ c заменить известные значения 3.5¿1.2c применить распределительное свойство 3. 1. = 1,2c 1,2 разделите обе стороны на 1.

с = 2.

Следовательно, фламинго с длиной тела 1,4 фута имеет длину ноги 2. ноги.

B. Преобразуйте длину, определенную в части A, из футов (футов) в сантиметры (см).Вокруг ближайшая десятая.

Преобразование английских футов (футов) в метрическую единицу сантиметров (см) можно получить с помощью эквивалента единицы:

1 фут = 30,48 см

Это преобразование является точным измерением (Blitzer, 2018), поэтому с использованием значение, определенное в части A:

Практика: Для тестируемых: Математика: Знание содержания

Для просмотра материалов по другой теме используйте следующее поле со списком.

—Выберите тест Praxis по названию — — — — — — — — — — -Основные академические навыки преподавателей: математика (5732) Основные академические навыки преподавателей: математика (5733) Основные академические навыки преподавателей: чтение ( 5712) Основные академические навыки преподавателей: чтение (5713) Основные академические навыки преподавателей: письмо (5722) Основные академические навыки преподавателей: письмо (5723) — — — — — — — — — — — Сельское хозяйство (5701) Алгебра I ( 5162) Искусство: содержание и анализ (5135) Искусство: знание содержания (5134) Аудиология (5342) Аудиология (5343) Биология: знание содержания (5235) Владение шрифтом Брайля (0633) Бизнес-образование: знание содержания (5101) Химия: знание содержания ( 5245) Китайский (мандаринский диалект): мировой язык (5665) Гражданское образование: знание содержания (5087) Коммуникация и грамотность: чтение (5714) Общение и грамотность: письмо (5724) Информатика (5652) Оценка детей младшего возраста (5026; субтесты 5027 и 5028) Оценка начального образования (5006; субтесты 5007 и 5008) Дошкольное образование (5025) Науки о Земле и космосе: предметные знания (5571) Экономика (5911) Образование детей младшего возраста (5024) Образовательное лидерство: администрация и надзор (5412) Начальное образование: пакет — математика, обществознание и естественные науки (5901) Начальное образование: предметные знания ( 5018) Начальное образование: содержание знаний для преподавания (7811) Начальное образование: учебная программа, обучение и оценка (5017) Начальное образование: несколько предметов (5001) Искусство английского языка: содержание и анализ (5039) Искусство английского языка: знание содержания (5038 ) Английский для носителей других языков (5362) Семейные и потребительские науки (5122) Французский: Мировой язык (5174) Фундаментальные предметы: Знание содержания (5511) Общие науки: Знание содержания (5435) География (5921) Геометрия (5163) Немецкий: Мировой язык (5183) Образование для одаренных детей (5358) Государство / Политология (5931) Здоровье и физическое воспитание: предметные знания (5857) Медицинское просвещение (5551) Междисциплинарное дошкольное образование (5023) Япония se: Мировой язык (5661) Журналистика (5224) Латинский (5601) Специалист по библиотечным СМИ (5311) Маркетинговое образование (5561) Математика (5165) Математика: знание содержания (5161) Средняя школа: знание содержания (5146) Искусство английского языка в средней школе (5047) Математика в средней школе (5164) Математика в средней школе (5169) Наука в средней школе (5440) Наука в средней школе (5442) Социальные науки в средней школе (5089) Музыка: содержание и обучение (5114) Музыка: знание содержания (5113) Музыка : Инструментальные и общие знания (5115) Музыка: вокал и общие знания (5116) PA 4-8 классы Основная оценка (5152) PA 4-8 классы Основная оценка: педагогика (5153) PA 4-8 классы Основная оценка: искусство английского языка и социальные науки (5154) PA 4-8 классы Математика и естественные науки (5155) PA 4-8 классы Концентрация предмета: английский язык (5156) PA 4-8 классы Концентрация предмета: математика (5158) PA 4-8 классы Концентрация предмета : Естественные науки (5159) PA 4-8 классы Концентрация на предметах: Общественные науки (5157) Физические науки Образование: содержание и дизайн (5095) Физическое воспитание: содержание знаний (5091) Физические науки (5485) Физика: содержание знаний (5265) Дошкольное образование (5531) Принципы обучения и преподавания: дошкольное образование (5621) Принципы обучения и Преподавание: классы K-6 (5622) Принципы обучения и преподавания: 5–9 классы (5623) Принципы обучения и преподавания: 7–12 классы (5624) Принципы обучения и преподавания: Консультант профессиональной школы PreK – 12 (5625) (5421) Психология (5391) Чтение для педагогов Вирджинии: начальное и специальное образование (5306) Чтение для педагогов Вирджинии: специалист по чтению (5304) Специалист по чтению (5301) Специалист по чтению (5302) Школьный психолог (5402) Социальные исследования: содержание и интерпретация (5086) Социальные исследования: контентные знания (5081) Социология (5952) Испанский: мировой язык (5195) Специальный редактор: основные знания и приложения (5354) Специальный редактор: базовые знания и умеренные и умеренные приложения (5543) Специальный редактор: основные знания и от серьезного до глубокого d Приложения (5545) Специальное издание: Дошкольное / раннее детство (5691) Специальное издание: Обучение глухих и слабослышащих учащихся (5272) Специальное издание: Обучение речи студентов с языковыми нарушениями (5881) Специальное издание: Обучение студентов с нарушением слуха Behav.Расстройства / Эмот. Нарушения (5372) Специальное издание: обучение студентов с нарушениями обучаемости (5383) Специальное издание: обучение студентов с нарушениями интеллекта (5322) Специальное издание: обучение студентов с нарушениями зрения (5282) Речевая коммуникация: знание содержания (5221) Речь- Языковая патология (5331) Обучение чтению (5204) Обучение чтению: элементарное (5205) Обучение чтению: начальное образование (5203) Обучение чтению: K – 12 (5206) Техническое образование (5051) Театр (5641) История мира и США: знание содержания (5941) Педагогика мировых языков (5841)

Математика: предметные знания (5161)

Видео о подготовке к экзамену

Наши ознакомительные видеоролики с тестами содержат важную информацию, которую вы должны знать, когда готовитесь к тесту.Чтобы узнать, чего ожидать в день теста, как пройти через тест Praxis ® и многое другое, посетите видео библиотеку.

Подготовка к экзамену по цене

  • Интерактивный практический тест

    Математика: знание содержания, интерактивный практический тест
    Используйте этот интерактивный практический тест, чтобы подготовиться к тесту «Математика: знание содержания» (5161). Этот полноценный практический тест позволяет вам попрактиковаться в ответах на один набор аутентичных тестовых вопросов в среде, имитирующей компьютерный тест.Практический тест рассчитан так же, как и настоящий тест, и позволяет вам легко переходить от вопроса к вопросу, чтобы смоделировать то, что вы испытаете в день теста. После завершения теста вы также можете увидеть правильные ответы и объяснения для каждого правильного ответа и просмотреть свои результаты по категориям контента.

    Примечание. Для этого названия теста доступны две версии: Форма 1 и Форма 2. Каждая форма интерактивного практического теста состоит из одного набора практических вопросов. Каждый раз, когда вы проходите пробный тест (Форма 1 или Форма 2), одни и те же вопросы будут появляться в одном и том же порядке.Повторная покупка или повторная покупка одной и той же формы не дает вам других практических вопросов и не меняет порядок их доставки.

Государственные требования — Выберите — Показать AllAlabamaAlaskaAmerican SamoaArkansasCaliforniaColoradoConnecticutDelawareDistrict из ColumbiaGeorgiaGuamHawaiiIdahoIndianaIowaKansasKentuckyLouisianaMaineMarylandMinnesotaMississippiMissouriMontanaNebraskaNevadaNew HampshireNew JerseyNew MexicoNew YorkNorth CarolinaNorth DakotaNorthern Mariana IslandsOhioOklahomaOregonPennsylvaniaRhode IslandSouth CarolinaSouth DakotaTennesseeTexasUS Virgin IslandsUtahVermontVirginiaWashingtonWest VirginiaWisconsinWyomingACSLPAASHACSHBCDODEANASP

Знания по математическому заданию для обучения | SpringerLink

Статьи этого выпуска журнала «Journal of Mathematics Teacher Education» [JMTE] побудили меня задуматься о математических задачах и знаниях учителей о них.Математические задачи занимают центральное место в изучении математики. Например, они могут «дать учащимся стимул задуматься над конкретными концепциями и процедурами, их связями с другими математическими идеями и их применением в реальных условиях» (Национальный совет учителей математики [NCTM] 1991, стр. 24 ). Однако у них нет собственной жизни как инструмента для обучения. Именно учитель и ученики дают им жизнь в зависимости от того, как они интерпретируются и разыгрываются в классе.Учитель имеет решающее значение в формировании жизненной задачи и руководстве деятельностью учащихся, чтобы через них у учащихся была возможность осмысленно заниматься математикой. Учитель мог превратить открытое задание в закрытое или закрытое в открытое. Он или она может относиться к задаче с высоким когнитивным спросом как к задаче низкого уровня или наоборот. Есть несколько факторов, которые могут повлиять на это; например, знание преподавателем содержания, знания учащихся, цель задания, учебная ориентация и убеждения относительно математики.В частности, характер знаний учителей о математических задачах для обучения, вероятно, будет определяющим фактором в их подходе к задачам.

Знание математических задач для преподавания связано с знаниями, необходимыми учителям для (а) выбора и разработки задач, способствующих концептуальному пониманию математики учащимися, поддержки их развития математического мышления и захвата их интереса и любопытства и (б) оптимизировать обучающий потенциал таких задач. Эти знания включают следующее:

  1. 1.

    Понимание природы стоящих задач — например, значительного математического содержания; можно решить несколькими способами; использовать несколько представлений; подключиться к другим важным математическим идеям; требовать от студентов обоснования, интерпретации, предположений; имеют высокий когнитивный спрос (например, NCTM 1991, 2010; Stein et al. 2000).

  2. 2.

    Способность определять, выбирать и создавать задачи, богатые математически с точки зрения содержания, педагогически с точки зрения обеспечения осмысленного и глубокого понимания математики, а также лично для учащихся с точки зрения их интересов и потребностей в обучении.

  3. 3.

    Знание уровней когнитивных требований к задачам (например, Stein et al. 2000) и отношения к целям задачи с точки зрения уровня обучения и понимания математики, которые они могут продвигать.

  4. 4.

    Знание понимания, интересов и опыта учащихся, а также диапазона способов, которыми разные учащиеся изучают математику (NCTM1991, стр.25).

  5. 5.

    Понимание того, как учителя выбирают задания и как они их используют, влияет на то, как учащиеся приходят к пониманию математики, а также к выполнению и применению математики.

  6. 6.

    Знание

, какие аспекты задачи выделить, как организовать и согласовать работу студентов, какие вопросы задать, чтобы бросить вызов тем, у кого разный уровень знаний, и как поддержать студентов, не беря на себя процесс мышления за них и, таким образом, устраняя соревнование.(NCTM 2000, стр. 19).

Знания математических задач для обучения, таким образом, многомерны, и поэтому учителю, вероятно, будет сложно построить без значимого вмешательства, основанного на его или его первоначальном осмыслении задач. В моем опыте работы с учителями математики в старших классах я столкнулся с целым рядом подходов к выбору задач. Например, были учителя, которые задавали задачи с четными (или нечетными) числами, потому что ответы на них были в конце учебника.Были и те, кто намеренно пропускал задачи, требующие неалгоритмического мышления. Были те, кто минимизировал использование словесных задач или максимизировал использование тех, контекст которых соответствовал интересам учащихся. Были те, кто считал исследовательские задания на уровне старшей школы пустой тратой времени и практически не влиял на успеваемость учащихся по математике. В этих действиях или мышлении воплощены убеждения в отношении задач, которые создают препятствия для изучения учащимися математики и усвоения учителями стоящих задач.Такие убеждения усложняют задачу помочь учителям развить значимые знания математических задач для обучения. Пример этого отражен в исследовании Carson (2010), магистерской диссертации, которую я руководил.

Карсон исследовал убеждения учителей математики в старших классах (9–12 классы) относительно исследовательских математических задач при изучении и преподавании математики в старших классах. Пять учителей, которые вызвались участвовать в исследовании, были участниками однодневного семинара по исследовательской учебной деятельности (ELA), который спонсировался их школьной системой и был открыт для всех учителей математики в средней школе.Они не использовали исследовательские задания в своем обучении, но были заинтересованы в их изучении, учитывая, что в ближайшее время будет реализован акцент на исследовании в учебной программе. Карсон вела семинар в качестве консультанта по математике в школьной системе. Семь ELA, использованные на семинаре, предоставили различные примеры исследовательских задач, были непосредственно применимы к темам в учебной программе и могли быть адаптированы к различным классам. Они включали: доказательства шаблонов чисел; исследование закономерностей в треугольнике Паскаля; исследование обратных функций; исследование свойств полиномиальных функций; использование мысленных образов и пространственной памяти для распознавания и воспроизведения геометрических фигур; изучение математики в историях женского математика; и сложение и умножение радикалов посредством визуального представления.Учителя работали над заданием в группах. В конце каждого задания каждый учитель заполнял лист для размышлений с подсказками, которые включали: Что такое математика? Что мы хотим, чтобы студенты заметили? Какова роль учителя? Затем последовало обсуждение и обсуждение в классе.

Один из аспектов результатов был сосредоточен на том, как пять участников думали о ELA после семинара. Интерпретация ELA этими учителями была связана с тем, как они рассматривали участие учеников в их работе и чего они позволяли ученикам достигать в процессе обучения.На основе их убеждений в отношении ELA во время индивидуальных собеседований после семинара были определены четыре связанные темы, касающиеся их убеждений в отношении ELA: ELA ориентированы на учащихся (например, позволяют учащимся изучать математику через открытия вместо того, чтобы им рассказывать концепции, является ли учащимся направлен и допускает совместную работу). ELA может улучшить понимание учащимися математики. ELA может повысить вовлеченность учащихся в изучение математики (например, за счет повышения интереса и удовольствия).ELA может предоставить студентам практический и / или исследовательский опыт.

Несмотря на эти способы просмотра ELA, учителя не изменили своих взглядов на ELA в своей практике. Они рассматривали их как отдельные события в своей практике. Карсон объяснил, что «размышления учителей показали, что текущее и предполагаемое использование ELA должно было происходить в отдельных местах их практики. Похоже, они не перенесли свои взгляды на ELA на то, «как» это может стать доминирующей педагогикой »(стр.149). Хотя задачи, использованные на семинаре, не были масштабными проектами, учителя по-прежнему рассматривали ELA как «тщательно продуманные пакеты», которые требуют много времени на разработку и требуют больше времени на планирование, чем это доступно в рамках их рабочих параметров и среды. Как объяснил один учитель: «Вы действительно должны быть готовы уделять много времени вне школы, потому что вы не собираетесь делать это в школе» (с.150). Они также указали, что не было единого доступного ресурса, который предоставлял бы все ELA, применимые к учебной программе, оправдывая необходимость их создания или поиска.Карсон пришел к выводу, что «существуют ограничительные убеждения, мешающие учителям включать ELA в повседневную практику» (стр. 149). «У них нет глубокого понимания природы ELA, чтобы можно было легко трансформировать практику» (стр. 150). Таким образом, хотя однодневный семинар позволил учителям понять ELA как значимые педагогические инструменты, неудивительно, что им было недостаточно выработать значимые знания задач для обучения в общем виде и противостоять убеждениям, которых они придерживались. оправдано ограничение или отказ от использования ELA в их обучении.Фактически, семинар мог непреднамеренно укрепить их «центральные убеждения» (Green, 1971), которые ограничивают объем задач и то, как они вовлекают учащихся в их выполнение в своих классах. Таким образом, помимо других ограничений этой формы вмешательства, явное следование убеждениям должно быть важным фактором, помогающим учителям преобразовать свое мышление и обучение с помощью ELA.

В общем, привлечения учителей к выполнению стоящих задач может быть недостаточно для их развития знаний по математическим задачам для преподавания, как определено ранее.Такое участие может помочь им понять отдельный аспект этих знаний, но не все компоненты, которые необходимы для полноценной реализации. Как может выглядеть подходящее вмешательство, учитывающее убеждения, требует постоянных исследований с явным акцентом на знание математических задач для обучения. Однако, как показывают исследования в этой области, задания действительно играют ключевую роль в обучении учителей математики. Они обеспечивают значимое вмешательство для расширения знаний и практических навыков учителей.Статьи в этом выпуске JMTE дополнительно подчеркивают важность задач в обучении учителей.

В статье Мелиссы Браун подробно рассматриваются аспекты знания математических задач для преподавания, при этом особое внимание уделяется пониманию учителями выбора и выполнения когнитивно сложных математических задач. Как она объясняет, для улучшения возможностей учащихся изучать математику с пониманием требуется, чтобы учителя математики выбирали и выполняли задачи высокого уровня таким образом, чтобы поддерживать участие учащихся в мышлении и рассуждениях на протяжении учебного эпизода.Статья Раисы Губерман и Розы Лейкин косвенно затрагивает аспекты знания математических задач для обучения, привлекая будущих учителей к решению задач с несколькими решениями. Хотя их внимание сосредоточено на развитии навыков решения проблем, опыт решения этих задач, вероятно, позволил бы будущим учителям осознать природу и значимость таких задач в их обучении. Однако аспект работы, в котором предполагаемые учителя участвовали в оценке уровня интереса и уровня сложности математических задач, более непосредственно связан со знанием задач для обучения.В статье Тони Гау Бартелл, Кори Уэбел, Брайана Боуэна и Нэнси Дайсон речь идет о будущих учителях, которые учатся различать свидетельства концептуального понимания и процедурных знаний, а также особенности, свидетельствующие о концептуальном понимании, и те, которые этого не делают. Хотя это явно не касается задач, доказательства основаны на решениях задач учащимися. Природа таких задач и их отношение к концептуальным и процедурным знаниям имеют значение для знаний задач для обучения.В целом, эти три статьи предлагают содержательные примеры различных вмешательств, чтобы облегчить учителям усвоение заданий и другие способы придать смысл преподаванию математики для более глубокого понимания.

Мелисса Бостон исследовала меры по улучшению преподавания математики в направлении идеалов NCTM. Проект «Повышение уровня подготовки учителей средней математики» (ESP) предоставил учителям средней математики опыт профессионального обучения, ориентированный на выбор и выполнение интеллектуально сложных математических задач.Центральная последовательность действий на семинаре заключалась в том, чтобы привлечь учителей к решению когнитивно сложной математической задачи, проанализировать когнитивные требования задачи и поразмышлять над учебными артефактами (например, работой учащихся) или учебным эпизодом (например, повествованием или видео). кейсы) учителя, использующего задачу на уроке математики. Бостон исследовал связь между опытом учителей в проекте ESP, изменениями в знаниях учителей и наблюдаемыми изменениями в практике преподавания учителей.В частности, она рассмотрела способы, которыми знания учителей о когнитивных требованиях математических задач изменились после их участия в семинаре по профессиональному развитию ESP, и взаимосвязь между изменениями в знаниях учителей познавательных требований математических задач и их опытом обучения в семинар по профессиональному развитию ESP.

Результаты исследования показали, что в конце семинара учителя ESP значительно расширили свои знания о когнитивных потребностях математических задач и имели значительно более высокие знания, чем учителя в контрастной группе.Учителя ESP развили новые идеи о влиянии математических задач на обучение студентов. Появились свидетельства того, что они стали лучше понимать, как задания высокого уровня способствуют учебе учащихся. Однако они часто упускают из виду лежащие в основе математические концепции или связи, встроенные в задачи высокого уровня. В процедурах с заданиями на установление связей половина учителей ESP настаивала на определении наличия процедуры как признака, определяющего уровень когнитивных требований («процедуры = низкий уровень»).Небольшая группа учителей сосредоточилась на тех чертах задачи, которые казались «отсутствующими», например, на реальном контексте или на подсказке для объяснения, и, похоже, рассматривали и то, и другое как необходимые условия для выполнения требований высокого уровня. Однако учителя больше не оценивали уровень спроса на основе предполагаемой сложности математического содержания или навыков. Произошли изменения в их ориентации на свои учебные планы (реформированные или традиционные), которые способствовали выбору учебных заданий высокого уровня в их собственных классах.В целом, исследование представляет собой пример того, как вмешательство, предполагающее понимание уровней когнитивных требований задач, может помочь учителям улучшить свои знания и учебную практику по тем аспектам обучения, которые были связаны с расширением возможностей учащихся для обучения. Он также дает представление о многообещающем подходе, который поможет учителям развивать знания по математическим задачам для обучения.

Раиса Губерман и Роза Лейкин изучали развитие способностей учителей решать проблемы за счет использования задач с несколькими решениями и изменения их взглядов на уровни интереса и сложности задач в курсе решения проблем для будущей начальной школы. учителя математики.Авторы рассматривают задачи с несколькими решениями как задачи, содержащие явное требование для решения проблемы несколькими способами. Различия и сходство между решениями можно проиллюстрировать с помощью: (a) различных представлений математической концепции, (b) различных свойств (определений или теорем) математических понятий из определенной математической темы, или (c) различных математических инструментов и теоремы из разных разделов математики.

Анализ данных включал определение стратегий участников, используемых при решении задач элементарной математики с несколькими решениями, и их способности находить несколько решений проблем, а также определение их оценок уровня интереса и уровня сложности решаемых ими проблем.Ключевой вывод исследования показал, что задачи с несколькими решениями были эффективны, помогая как участникам, которые были хорошо успевающими по математике, так и тем, кто был малоуспевающим, значительно улучшить свои навыки решения проблем. Однако отличники улучшили свои достижения более заметно, чем люди с низкими показателями. Другой ключевой вывод заключался в значительном сдвиге в стратегиях решения участниками для задач с несколькими решениями от в основном стратегий проб и ошибок, используемых в предварительном тесте, к систематическим стратегиям в пост-тестировании.К концу курса участники гибко решали проблемы, меняли используемые представления и применяли более продвинутые стратегии решения проблем.

Наконец, что касается мнений участников об уровне интереса и сложности заданий, результаты показали, что они незначительно изменились как в систематическом (через обсуждение всей группы со сверстниками), так и в ремесленном режиме (через интервьюирование школьников. ). Систематический и ремесленный опыт оказал противоположное влияние (в большинстве случаев) на мнение участников об интересе и сложности проблем.Например, после обсуждения участники с высокими показателями оценили сложность задач ниже, чем до обсуждения, однако после интервью они повысили свои баллы. Корреляция между оценкой участниками сложности проблемы и интересом к проблеме оказалась значительной после решения задач в ходе предварительного тестирования и еще более значимой после опроса школьников. В целом, исследование представляет собой пример того, как вмешательство, включающее несколько задач, может помочь будущим учителям улучшить свои знания в области решения проблем.Он также дает представление о взаимосвязи между их оценкой уровня сложности и уровнем интереса к задачам, которые имеют значение для помощи учителям в развитии знаний по математическим задачам для обучения.

Тоня Гау Бартелл, Кори Уэбел, Брайан Боуэн и Нэнси Дайсон изучали роль, которую знания содержания играют в способности будущих учителей распознавать свидетельства концептуального понимания детьми математики, и влияние вмешательства, направленного на поддержку их в распознавании свидетельств детства. концептуальное понимание математики.Вмешательство было разработано таким образом, чтобы включать примеры, в которых дети использовали правильные процедуры и в которые они включали нерелевантные доказательства, которые можно было принять за доказательства понимания. Это было частью курса, который был направлен на развитие математического понимания будущих учителей ключевых числовых и операционных тем, которые обычно разрабатываются с детьми младших классов. Результаты были сосредоточены на трех областях содержания: сравнение и умножение дробей и вычитание десятичных знаков. Анализ знаний участников об этих концепциях показал, что все участники продемонстрировали некоторые доказательства концептуального понимания вычитания десятичных знаков, большинство продемонстрировали некоторые доказательства концептуального понимания сравнения дробей, но лишь немногие продемонстрировали доказательства концептуального понимания умножение дробей.Независимо от знания содержания, до вмешательства во все три области содержания большинство участников распознавали ответы детей, демонстрирующие концептуальное понимание как таковое, и наиболее охарактеризованные процедурные реакции детей как свидетельство концептуального понимания. Кроме того, знание содержания, по-видимому, поддерживало анализ ответов участников с концептуальными характеристиками только для сравнения содержания фракций. Для сравнения дробей, знание содержания помогло участникам распознать доказательства концептуального понимания детей, но не помогло умножению дробей.

Вмешательство было успешным в отвлечении участников от оценки ответов с концептуальными особенностями и процедурными решениями в качестве доказательства концептуального понимания для вычитания содержания десятичных знаков. Хотя некоторые участники также отошли от оценки таких ответов как свидетельства концептуального понимания умножения содержания фракций, многие по-прежнему рассматривали эти ответы как свидетельство концептуального понимания после вмешательства. Это также верно для анализа процедурных ответов при сравнении содержания фракций.Кроме того, в тех областях, где наблюдался рост анализа участниками математической работы детей, участники также имели тенденцию критиковать ответы детей, предполагая, что ответы с концептуальными особенностями или процедурными решениями были свидетельством того, что ребенок не понимал математику. Авторы пришли к выводу, что содержательные знания необходимы, но недостаточны для поддержки способности будущих учителей распознавать свидетельства концептуального понимания детьми математики.Хотя вмешательство действительно оказалось значительным, тот факт, что даже после вмешательства многие участники считали процедурные ответы или те, которые содержат концептуальные особенности, свидетельством концептуального понимания, указывает на возможность дальнейшего развития.

В этих трех статьях рассказывается о значимых мероприятиях и возможных проблемах, которые помогут учителям улучшить свои знания для преподавания математики. Они имеют значение для педагогического образования по отношению к знаниям математических задач для обучения.Например, все вместе они демонстрируют важность вовлечения учителей не только в решение стоящих задач. Они предполагают, что учителя могут также анализировать когнитивные требования задачи, размышлять над учебными артефактами (например, работой учеников) или учебным эпизодом (например, повествованием или видеоматериалами) учителя, использующего задачу на уроке математики, анализировать проблемы с точки зрения уровня интереса и сложности, участвовать в групповом обсуждении множества решений со сверстниками, проводить собеседование со школьниками о задачах и находить доказательства концептуального понимания детей в их решениях задач.Тем не менее, необходимы постоянные исследования, чтобы определить природу знаний о математических задачах для преподавания в связи с практикой и другими эффективными способами помощи учителям в их развитии.

Ссылки

  1. Карсон, Р. (2010). Мнение учителя математики средней школы в отношении исследовательской учебной деятельности . Неопубликованная магистерская диссертация, Университет Калгари.

  2. Зеленая, Т.(1971). Педагогическая деятельность . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.

    Google Scholar

  3. http://www.nctm.org/uploadedFiles/Research_News_and_Advocacy/Research/Clips_and_Briefs/Research_brief_14_-_Problem_Solving.pdf. Загружено 30 декабря 2012 г.

  4. Национальный совет учителей математики. (1991). Профессиональные стандарты обучения математике . Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

    Google Scholar

  5. Национальный совет учителей математики. (2000). Принципы и стандарты школьной математики . Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

    Google Scholar

  6. Национальный совет учителей математики (апрель 2010 г.). Краткое исследование: Решение проблем.

  7. Штейн, М.К., Смит, М. С., Хеннингсен, М., и Сильвер, Е. А. (2000). Внедрение основанного на стандартах обучения математике: справочник по профессиональному развитию . Нью-Йорк: издательство Teachers College Press.

    Google Scholar

Скачать ссылки

Информация об авторе

Принадлежность

  1. Педагогический факультет, Университет Калгари, 2500 University Drive NW, Calgary, AB, T2N1N4, Canada

    Olive Chapman

Корреспондент

Автор для переписки к Олив Чепмен.

Об этой статье

Цитируйте эту статью

Чепмен О. Знание математических задач для обучения. J Math Teacher Educ 16, 1–6 (2013). https://doi.org/10.1007/s10857-013-9234-7

Ссылка для скачивания

Поиск информации о Smarter Balanced

Обзор

Департамент образования штата Коннектикут стремится к тому, чтобы все учащиеся после окончания средней школы были подготовлены к успешному учебе в колледже и карьере.Оценки Smarter Balanced в Коннектикуте соответствуют основным стандартам Коннектикута по английскому языку, грамотности и математике. Сбалансированная система оценивания, которая включает итоговых оценок , дополнительных промежуточных оценок и формирующих практики оценки , предоставляет инструменты для улучшения преподавания и обучения. В систему оценивания входят:

  • Итоговое оценивание учащихся 3-8 классов состоит из различных частей: компьютерного адаптивного теста (по английскому языку и математике) и задания (по математике).Эту оценку можно использовать для описания достижений учащихся и их роста в рамках оценки программ и систем подотчетности школы, округа и штата.
  • Необязательные промежуточные оценки в фиксированной форме, которые могут проводиться через определенные на месте интервалы. Промежуточные аттестации позволяют учителям проверять успеваемость учеников в течение года, давая им практические результаты, которые будут использоваться при обучении, чтобы помочь ученикам справиться со стандартами подготовки к колледжу и карьере.
  • Веб-сайт «Инструменты для учителей», созданный преподавателями, который включает уроки и упражнения для улучшения обучения, экономии времени на создание уроков и подготовки студентов к поступлению в колледж или карьере. Инструменты для учителей упрощают педагогам поиск стратегий, которые подходят учащимся с различными потребностями, и могут помочь учителям спланировать обучение, включая уроки, мероприятия, учебные стратегии и ссылки на образцы вопросов теста.
  • Централизованная система отчетности, которая предоставляет результаты оценки учителям и администраторам.Отчеты показывают успеваемость учащихся и их продвижение к колледжу и готовность к карьере. Для получения дополнительной информации о новой централизованной системе отчетности посетите серию видеороликов о централизованной системе отчетности на странице «Ресурсы для более сбалансированных результатов».

Важные разумные сбалансированные ресурсы

2021 Административные ресурсы

Практические тесты Smarter Balanced предоставляют возможность учителям, учащимся, родителям и другим заинтересованным сторонам познакомиться с функциями онлайн-тестирования и получить представление о том, как Smarter Balanced оценивает владение учащимися Стандартами Коннектикута.

Образец письма для родителей / опекунов (испанский) — этот образец письма можно использовать для общения с родителями / опекунами перед тестированием.

Smarter Balanced Content Explorer

Smarter Balanced Content Explorer можно использовать для поддержки обучения, интерпретации результатов учащихся и планирования действий, согласованных с требованиями и целями на уровне класса; узнать, как Smarter Balanced оценивает академические стандарты; изучить спектр знаний и навыков для подготовки к колледжу и карьере; и узнайте о разработке тестов с помощью таких ресурсов, как чертежи и критерии оценки.

Чертежи Smarter Balanced Test

Lexile ® и Quantile ® Меры в Коннектикут

Специальные ресурсы населения

Дизайн теста по математике

— Новый меридиан

Итоговые экзамены по математике доступны в 3–8 классах и в старших классах. Учащиеся решают многоступенчатые математические задачи, которые требуют рассуждений и обращаются к реальным ситуациям.Это требует от учащихся математических рассуждений, понимания величин и их взаимосвязей для решения реальных задач и демонстрации своего понимания. Многие предыдущие оценки были сосредоточены в основном только на механической процедуре.

Существуют документы со спецификациями тестов, включая схемы оценок высокого уровня и таблицы доказательств, чтобы помочь преподавателям и широкой общественности лучше понять структуру итоговых оценок штата. Экзамены включают как полную, так и краткую формы New Meridian.

Дескрипторы уровня успеваемости описывают, что типичный учащийся на каждом уровне должен уметь продемонстрировать на основе его / ее владения стандартами уровня своего класса.

Схема высокого уровня по математике определяет общее количество задач и / или элементов для любой данной оценки / оценки курса, типы элементов и значения баллов для каждого из них.

Структура блока аттестации по математике определяет структуру экзаменов по математике, включая количество единиц, время и назначение калькулятора для каждой единицы.

Документ структуры утверждений определяет основное утверждение оценок по математике, а также четыре дополнительных утверждения, в которых будут измеряться достижения учащихся.

Таблицы доказательств

и утверждения доказательств описывают знания и навыки, которые элемент оценивания или задача извлекает у учащихся. Они согласованы непосредственно с Общими основными государственными стандартами и подчеркивают их достижения, особенно в отношении согласованного характера стандартов.

Доказательства

включают информацию о «Разъяснениях, пределах и акцентах», связанных «Математических методах» и «Обозначения калькулятора.”

Доказательства документов

Дескрипторы успеваемости по математике — 3-11 классы

Результаты представлены в соответствии с пятью уровнями успеваемости, которые определяют знания, навыки и практические навыки, которые студенты могут продемонстрировать:

  • Уровень 1: Еще не оправдал ожиданий
  • Уровень 2: Частично оправдал ожидания
  • Уровень 3: Соответствие ожиданиям
  • Уровень 4: оправдал ожидания
  • Уровень 5: Превышение ожиданий

Дескрипторы уровня успеваемости (PLD) указывают, что типичный учащийся на каждом уровне должен уметь продемонстрировать на основе его / ее владения стандартами уровня своего класса.По математике уровни успеваемости на каждом уровне обучения записываются для каждого из четырех утверждений оценки:

  • Основное содержание
  • Дополнительный и вспомогательный контент
  • Рассуждения
  • Моделирование

Уровни производительности в каждой области требований различаются по ряду факторов, согласующихся с включением в Common Core стандартов как для математического содержания, так и для математических практик, а также для Cognitive Complexity Framework for Mathematics.

Дескрипторы уровня успеваемости по шкале оценок

Разъяснение, классификация и выбор подходящих задач для различных типов обучения и оценки

27

Министерство образования Сингапура. (2004). Руководство по оценке неполного среднего образования

по математике. Сингапур: Отдел планирования и разработки учебных программ.

Москкович, Дж. Н. (2002a). Введение в изучение повседневных и академических

математических практик.В Э. Якель (серия ред.) И М. Э. Бреннер и Дж. Н. Москкович

(ред. Монографии), Повседневная и академическая математика в классе (стр. 1-11).

Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

Москкович, Дж. Н. (2002b). Объединение рабочего места и академической математической практики

во время оценивания в классе. В E. Yackel (Series Ed.) И M. E. Brenner & J.

N. Moschkovich (Monography Eds.), Повседневная и академическая математика в классе

(стр.93-110). Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

Национальный совет учителей математики. (1980). Программа действий: Рекомендации

по школьной математике 80-х годов. Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики

.

Национальный совет учителей математики. (1991). Профессиональные стандарты обучения математике

. Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

Нейланд, Дж.(1994). Разработка богатой математической деятельности. В J. Neyland (Ed.), Mathematics

education: A Handbook for Teachers (Vol. 1, pp. 106-122). Веллингтон, Новая Зеландия:

Педагогический колледж Веллингтона.

Ортон, А., и Фробишер, Л. (1996). Понимание преподавания математики. Лондон: Касселл.

Пири, С. (1987). Математические исследования в классе: пособие для учителей.

Бейзингсток, Великобритания: Macmillan.

Поуп Р. (2005).Творчество: теория, история, практика. Лондон: Рутледж.

Рейс Р. Э., Линдквист М. М., Ламбдин Д. В., Смит Н. Л. и Суйдам М. Н. (2004).

Помощь детям в изучении математики (7-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья.

Шенфельд А. Х. (1985). Решение математических задач. Орландо, Флорида: Academic Press.

Шенфельд А. Х. (1988). Когда хорошее преподавание приводит к плохим результатам: Катастрофы курсов математики с «хорошо преподаваемым

».Психолог-педагог, 23, 145-166.

Шеффилд, Л. Дж., Мейснер, Х. и Фунг, П. Ю. (2004, июль). Развитие математических

творческих способностей у детей раннего возраста. Доклад, представленный на Десятом международном конгрессе по математическому образованию

, Копенгаген, Дания.

Сильвер, Э.А. (1994). О постановке математической задачи. Для изучения математики,

14 (1), 19-28.

Саймон, Х.А. (1973). Структура плохо структурированных задач.Искусственный интеллект, 4, 181-

201.

Саймон, Х. А. (1978). Теория обработки информации для решения человеческих проблем. В У. К.

Эстес (ред.), Справочник по обучению и когнитивным процессам (Том 5, стр. 271-295).

Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Сковсмозе, О. (2002). Пейзажи следствия. В Л. Хаггарти (ред.), Преподавание

математики в средних школах (стр. 115-128). Лондон: РутледжФалмер.

Stempien, M., & Borasi, R.(1985). Письменные работы студентов по математике: некоторые идеи и

опытов. Для изучения математики, 5 (3), 14-17.

Таннер, Х. (1989). Представляем расследования. Обучение математике, 127, 20-23.

Тех, К. С., & Ло, К. Ю. (2007). Новая программа дополнительной математики (8-е изд.). Сингапур:

Шинг Ли.

Тех, К. С., Ло, К. Ю., Йео, Дж., И Чоу, И. (2007). Новая учебная программа по математике 1:

Альтернативная оценка и компакт-диск включены.Сингапур: Шинг Ли.

Теонг, С. К. (2002). Исследовательский подход к преподаванию и изучению математики. Педагог математики

, 6 (2), 32-46.

Торранс, Э. П. (1984). Торранс тесты творческого мышления (Новая ред.). Бенсенвилл, Иллинойс:

Служба школьного тестирования.

Оценка по математике и счету

Оценка по математике и счету — это больше, чем просто формирование суждений о способностях учащегося. Он отслеживает понимание учащимся математического языка, концепций и навыков, а также того, что им нужно делать, чтобы добиться успеха.

Для этого требуется:

  • понимание того, как обучение развивается
  • какие навыки и знания необходимы учащимся для прогресса
  • распространенные недоразумения, которые могут задерживать обучение.

Создание строительных лесов для учащихся по математике — первоочередная задача учителей.

Учителям нужна точная информация о том, что каждый ученик уже знает, и при поддержке, что может быть в пределах досягаемости ученика.

На этой странице

Инструменты оценки

Использование инструментов и методов оценки, демонстрирующих мышление учащихся, требует:

  • понимания того, что могут означать различные ответы учащихся.
  • практических идей для удовлетворения выявленных потребностей в обучении.

Оценка на уровне школы также может способствовать формированию четкого представления об учащемся. Примеры оценивания по математике и математике включают:

  • обратная связь и рефлексия
  • самооценка ученика
  • портфолио ученика
  • проверенные инструменты
  • анекдотические свидетельства
  • модерируемые учителем задачи оценки ученика
  • самоанализ ученика, интересы и опросы .

Прогресс в обучении счету

Прогресс в изучении математики в викторианском стиле описывает последовательность наблюдаемых индикаторов все более сложного понимания и навыков по 15 ключевым концепциям математической грамотности.

Прогрессии:

  • дают учителям четкое представление об обучении математике.
  • помогают облегчить профессиональное обучение навыкам счета в школах.

Прогрессивные занятия по математике не являются учебной программой. Обратитесь к Викторианский учебный план: математика для описания содержания и стандартов успеваемости.

Каждый этап обучения включает в себя серию этапов развития, предусмотренных в промежутке. Каждый шаг иллюстрирует наблюдаемый прогресс обучения.Например, количественное определение чисел включает 12 шагов в диапазоне от Базового до Уровня 6, тогда как работа с десятичными числами включает четыре шага в диапазоне от Уровня 4 до Уровня 7.

Чтобы помочь учителям понять и использовать прогрессии обучения математике, каждый прогресс был сопоставлен с Викторианской учебной программой F — 10: Математический континуум. Каждая строка показывает количество шагов в процессе обучения и их отношение к каждому уровню. Что касается математических навыков, то для поддержки использования учителем были добавлены подзаголовки каждого шага.

Ресурсы

Теория и практика оценивания в рамках цикла преподавания и обучения

Рекомендации и советы по качественной практике оценивания. Предоставляет учителям конкретную информацию для удовлетворения потребностей учащихся в обучении.

  • Оценка в принципе — способствует дальнейшему обучению и достижениям, когда практикующий работает совместно с учащимся, семьей учащегося, сверстниками и коллегами для планирования учебной программы.
  • Оценка на практике — практика преподавания и обучения объединяет текущую оценку и обратную связь с высококачественной учебной практикой.
  • Эффективная оценка — предоставляет практикующему специалисту доказательства для принятия решений о следующих этапах программы обучения.
  • Обратная связь и отчетность — определяет уровень понимания учащимся и развития навыков, чтобы спланировать следующие шаги для достижения целей или целей обучения.
  • Анализ и использование данных — включая учащихся в анализ результатов их оценки, что побуждает их брать на себя ответственность за свое обучение, а также устанавливать и реализовывать свои собственные учебные намерения.

Платформа оценки Insight

Платформа Insight Assessment Platform предназначена для помощи учителю в оценке успеваемости всех учащихся и поддерживает более целенаправленные методы преподавания. Доступ к этой онлайн-платформе имеют учителя государственных школ.

Ресурсы, поддержка и инструменты на платформе поддерживают высококачественные методы оценки и предоставляют учителям информацию, которую они могут использовать для удовлетворения потребностей учащихся в обучении по мере их продвижения в процессе обучения.

Строительная математика в средние годы

Ресурс Scaffolding Numeracy in the Middle Years (SNMY) позволяет практикам получить доступ к материалам оценки, Системе обучения и оценки для мультипликативного мышления (LAF), планам обучения, аутентичным задачам и результатам исследований проекта, в котором исследуется новый ориентированный на оценку подход к улучшению результаты учащихся в классе 4-8.

Система обучения и оценки мультипликативного мышления

Система обучения и оценки мультипликативного мышления (LAF) была разработана на основе исследований, проведенных в рамках проекта SNMY.LAF помогает объединить все ключевые идеи, стратегии и представления умножения и деления, необходимые для уверенной работы с целыми числами, дробями, десятичными знаками и процентами в широком диапазоне контекстов. Он связан с разнообразными оценочными заданиями, используемыми для оценки мультипликативного мышления, и содержит подробные советы по применению к обучению.

Оценка распространенных недоразумений

Инструменты оценки распространенных недоразумений (ACM) основаны на серии исследовательских задач Probe Tasks, которые были разработаны в учебных целях для определения потребностей в обучении в Number.Руководство Probe Task Manual включает в себя ряд задач и ресурсов, которые организованы для устранения распространенных недоразумений.

Дополнительные ресурсы

  • VCAA On Demand Testing — Mathematics — ресурсы, в которых тесты предназначены для увязки учебной программы и стандартов.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *