Логарифмы егэ: Ваш браузер устарел

Содержание

12 задание егэ профиля с логарифмами. Логарифмы в заданиях егэ














Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, —
что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Г.Лейбниц

ТИП УРОКА: Закрепление и совершенствование знаний.

  • ДидактическаяПовторить и закрепить свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепить методы решения наибольшего и наименьшего значения функции; совершенствовать применение полученных знаний при решении задач ЕГЭ С1 и С3;
  • РазвивающаяРазвитие логического мышления, памяти, познавательного интереса, продолжить формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать;
  • Воспитательная Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению общаться, прививать аккуратность.

Оборудование: классная доска, компьютер, проектор, экран, карточки с заданиями теста, с заданиями для работы всех обучающихся.

Формы работы: ф ронтальная, индивидуальная, коллективная.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ

3. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

4. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Проанализировать: в каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы.

(В-7-простейшие логарифмические уравнения

В-11-преобразование логарифмических выражений

В-12- задачи физического содержания, связанные с логарифмами

В-15- нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

С-1- тригонометрические уравнения, содержащие логарифм

С-3 – система неравенств, содержащая логарифмическое неравенство)

На данном этапе проводится устная работа, в ходе которой учащиеся не только вспоминают свойства логарифмов, но и выполняют простейшие задания ЕГЭ.

1) Определение логарифма. Какие вы знаете свойства логарифма? (и условия?)

1. log b b = 1
2. log b 1 = 0, 3. log c (ab) = log c a + log c b.
4. log c (a:b) = log c a – log c b.
5. log c (b k) = k * log c

2) Какая функция называется логарифмической? D(у) -?

3) Что такое десятичный логарифм? ()

4) Что такое натуральный логарифм? ()

5) Что такое число е?

6) Чему равна производная от ? ()

7) Чему равна производная от натурального логарифма?

5. УСТНАЯ РАБОТАдля всех обучающихся

Вычислить устно: (задания В-11)

= = = = 152 1 144 -1/2

6. Самостоятельная деятельность учащихся по решению заданий

В-7 с последующей проверкой

Решите уравнения (первые два уравнения проговаривают устно, а остальные решает самостоятельно весь класс и записывает решение в тетрадь):

(Пока ученики работают на месте самостоятельно, к доске выходят 3 ученика и работают по индивидуальным карточкам)

После проверки с места 3-5 уравнений, ребятам предлагается доказать, что уравнение не имеет решения (устно)

7. Решение В-12 — (задачи физического содержания, связанные с логарифмами)

Весь класс решает задачу (у доски 2 человека: 1-й решает вместе с классом, 2-й решает аналогичную задачу самостоятельно)

8. УСТНАЯ РАБОТА (вопросы)

Вспомнить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на промежутке.

Работа на доске и в тетради.

(прототип В15 — ЕГЭ)

9. Мини-тест с самоконтролем.

1 вариант 2 вариант
1. =
2.
3.
4.
5.
6.
Найдите наибольшее значение функции

11.Выступление учащихся в роли экспертов

Ребятам предлагается оценить работу ученика – задание С-1, выполненную на экзаменационном бланке – 0,1,2 баллами (см.презентацию)

12. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Учитель поясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что аналогичные задания были рассмотрены на уроке. Учащиеся внимательно прослушав пояснения учителя, записывают домашнее задание.

ФИПИ (открытый банк заданий: раздел геометрия, 6-я страница)

uztest.ru (преобразование логарифмов)

С3 – задание второй части ЕГЭ

13. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

Сегодня на уроке мы повторили свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепили методы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; рассмотрели задачи физического содержания, связанные с логарифмами; решали задачи С1 и С3, которые предлагаются на ЕГЭ по математике в прототипах В7, В11, В12, В15, С1 и С3.

Выставление оценок.

Главная

Что нужно знать о показательных и логарифмических уравнениях для решения задач ЕГЭ по математике?


Уметь решать показательные и логарифмические уравнения очень важно для успешной сдачи единого государственного экзамена по математике профильного уровня. Важно по двум причинам :

Во-первых , задание № 13 варианта КИМ ЕГЭ пусть нечасто, но все же иногда представляет собой именно такое уравнение, которое нужно не просто решить, но и (аналогично заданию по тригонометрии) выбрать корни уравнения, удовлетворяющие какому-либо условию.

Так, один из вариантов 2017 года включал следующее задание:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

б) Ука­жи­те корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ответ: а) 2; log 2 7 и б) log 2 7.

В другом варианте было такое задание:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 6log 8 2 x – 5log 8 x

+ 1 = 0

б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ответ: а) 2 и 2√2 ; б) 2.

Встречалось и такое:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 2log 3 2 (2cos x ) – 5log 3 (2cos x ) + 2 = 0.

б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [π; 5π/2].

Ответ: а) {π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z} и б) 11π/6; 13π/6.

Во-вторых , изучение методов решения показательных и логарифмических уравнений является хорошей , так как в основных методах решения и уравнений, и неравенств фактически используются одни и те же математические идеи.

Основные методы решения показательных и логарифмических уравнений несложно запомнить, их всего пять: сведение к простейшему уравнению, использование равносильных переходов, введение новых неизвестных, логарифмирование и разложение на множители. Отдельно стоит метод использования свойств показательной, логарифмической и других функций при решении задач: иногда ключом к решению уравнения является область определения, область значений, неотрицательность, ограниченность, четность входящих в него функций.


Как правило, в задаче № 13 встречаются уравнения, требующие применения перечисленных выше пяти основных методов. Каждый из этих методов имеет свои особенности, которые необходимо знать, так как именно их незнание приводит к ошибкам при решении задач.

Какие типичные ошибки совершают экзаменуемые?

Нередко при решении уравнений, содержащих показательно-степенную функцию, школьники забывают рассмотреть один из случаев выполнения равенства. Как известно, уравнения такого вида равносильны совокупности двух систем условий (см. ниже), речь идет о случае, когда a(x ) = 1


Данная ошибка связана с тем, что решая уравнение экзаменуемый формально использует определение показательной функции

(y = ax , a>0, a ≠ 1): при а ≤ 0 показательная функция действительно не определена,

А вот при а = 1 определена, но не является показательной, так как единица в любой действительной степени тождественно равна самой себе. А значит если в рассматриваемом уравнении при а (x ) = 1 возникает верное числовое равенство, то соответствующие значения переменной будут корнями уравнения.

Еще одна ошибка – применение свойств логарифмов без учета области допустимых значений. Например, хорошо знакомое многим свойство «логарифм произведения равен сумме логарифмов», оказывается, имеет обобщение:
log a (f (x )g (x )) = log a │f (x )│ + log a │g(x )│, при f (

x )g (x ) > 0, a > 0, a ≠ 1

Действительно, для того, чтобы было определено выражение в левой части этого равенства, достаточно, чтобы произведение функций f и g было положительным, но сами функции при этом могут быть как одновременно больше, так и одновременно меньше нуля, поэтому при применении данного свойства необходимо использовать понятие модуля.

И таких примеров можно привести немало. Поэтому для эффективного освоения методов решения показательных и логарифмических уравнений лучше всего воспользоваться услугами , который сумеет рассказать о подобных «подводных камнях» на примерах решения соответствующих экзаменационных задач.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно .
Вы можете:

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 13 в экзамене ЕГЭ, задачи на логарифмы, ким ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ профиль математика, Математика профиль, решение уравнений и логарифмов, решение задач на показательные уравнения ЕГЭ, вычисление свойств логарифмов, показательно-степенная функция, задачи по математике профильного уровня, применение свойств логарифмов, решение задач на корни, задачи ЕГЭ 2017 по показательным уравнениям, подготовка к егэ выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

В задании №12 ЕГЭ по математике профильного уровня нам необходимо найти наибольшее или наименьшее значение функции. Для этого необходимо воспользоваться, очевидно, производной. Посмотрим на типовом примере.

Разбор типовых вариантов заданий №12 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найти точку максимума функции y = ln(x+4) 2 +2x+7.

Алгоритм решения:
  1. Находим производную.
  2. Записываем ответ.
Решение:

1. Ищем значения х, при которых логарифм имеет смысл. Для этого решаем неравенство:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен. Решением неравенства будет лишь то значение х, при котором х+4≠ 0, т.е. при х≠-4.

2. Находим производную:

у’=(ln(x+4) 2 + 2x + 7)’

По свойству логарифма получаем:

у’=(ln(x+4) 2)’+(2x)’+(7)’.

По формуле производной сложной функции:

(lnf)’=(1/f)∙f’. У нас f=(x+4) 2

у, = (ln(x+4) 2)’+ 2 + 0 = (1/(x+4) 2)∙((x+4) 2)’ + 2=(1/(x+4) 2 2)∙(х 2 + 8х + 16)’ +2=2(х + 4) /((х + 4) 2) + 2

у’= 2/(х + 4) + 2

3. Приравниваем производную к нулю:

у, = 0 → (2+2∙(х + 4))/(х + 4)=0,

2 +2х +8 =0, 2х + 10 = 0,

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Найдите точку минимума функции y = x – ln(x+6) + 3.

Алгоритм решения:
  1. Определяем область определения функции.
  2. Находим производную.
  3. Определяем, в каких точках производная равна 0.
  4. Исключаем точки, не принадлежащие области определения.
  5. Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет минимум.
  6. Записываем ответ.
Решение:

1. ОДЗ: .

2. Найдем производную функции:

3. Приравниваем полученное выражение к нулю:

4. Получили одну точку x=-5, принадлежащую области определения функции.

5. В этой точке функция имеет экстремум. Проверим, минимум ли это. При х=-4

При х=-5,5 производная функции отрицательна, так как

Значит, точка х=-5 является точкой минимума.

Третий вариант задания (из Ященко, №12)
Алгоритм решения:.
  1. Находим производную.
  2. Определяем, в каких точках производная равна 0.
  3. Исключаем точки, не принадлежащие заданному отрезку.
  4. Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет максимум.
  5. Находим значения функции на концах отрезка.
  6. Ищем среди полученных значений наибольшее.
  7. Записываем ответ.
Решение:

1. Вычисляем производную от функции, получим

Поделитесь статьей с друзьями:

Похожие статьи

Логарифмы. Готовимся к ЕГЭ

Эпиграф к уроку: «Только упорство, труд, настойчивость в любом деле

приносят свои результаты»

Тема: «Логарифмы. Готовимся к ЕГЭ»

Тип урока: урок закрепления материала.

Форма проведения урока: урок-погружение.

Цели урока:

  • повторить определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество;

  • закрепить основные свойства логарифмов;

  • усилить практическую направленность данной темы для качественной подготовки к ЕГЭ;

  • способствовать прочному усвоению материала;

  • способствовать развитию у учащихся навыков самоконтроля.

Оборудование:

  1. Компьютер, проектор, экран.

  2. Логарифмический тренажер на слайдах.

  3. Индивидуальные карточки с заданиями, раздаточный материал.

  4. Презентация учителя «Логарифмы. Готовимся к ЕГЭ».

  5. Тесты на сайте РешуЕГЭ.ru «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические выражения»

Ход урока.

  1. Организационный момент и постановка цели урока.

Вступительное слово учителя: (слайд 1)

  1. Добрый день, ребята. Добрый день, уважаемые коллеги! Мы рады приветствовать вас в нашей школе, на нашем уроке. Сегодня у нас очередной урок по подготовке к ЕГЭ по теме «Логарифмы». Ваша задача дети – показать свои знания, умения и навыки по данной теме.

Начать урок я хочу словами: «Только упорство, труд, настойчивость в любом деле приносят свои результаты».

  1. Психологическая установка на работу.

Сядьте удобно, закройте глаза. Повторяйте про себя за мной:

  • Я в школе на уроке.

  • Сейчас я начну учиться.

  • Я радуюсь этому.

  • Память моя крепка.

  • Я готов к работе.

  • Я работаю!!!

Мы с вами знакомы с логарифмами. Я предлагаю заполнить Вам диагностику по решению заданий с логарифмами «Где Я?»

(результаты внести в таблицу диаграммы и просмотреть результаты диагностики на начало урока) (Слайд 2,3 ).

Каждый из вас определил уровень усвоения темы «Логарифмы» на начало урока. Результаты мы видим на диаграмме. Можно ли за урок подняться выше, мы посмотрим по окончанию урока.

Вам уже известно, с логарифмами мы можем встретится в 4 блоках части B (B5 – логарифмическое уравнение, B9 — преобразования и вычисления, В10 – прикладные задачи, B14 — приложения производной, где в качестве исследуемой может встретится логарифмическая функция) и двух блоках части C (№13, №15).

Преобразование и вычисление выражений, содержащих логарифмы, логарифмические уравнения, неравенства часто вызывают затруднения. Перед нами стоит задача: повторить определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, которые значительно упрощают нахождение значений выражений, содержащих логарифмы, с помощью которых мы будем решать логарифмические уравнения и неравенства.

II. Повторение (Слайды 4-8 )

1. Задание классу (устно): Учитель. Перед вами слайд с понятиями и свойствами логарифмической функции, вам необходимо найти ошибки и исправить. Составьте верное соответствие, и запишите ряд чисел

351742968

2. Логарифмический тренажер (на слайдах).

  1. Вычислите следующие логарифмы:

  1. Вычислите:

;.

  1. Вычислите:

  1. При каких значениях x существует и ?

  1. Почему не имеют смысла выражения и ?

Групповая работа

1. Сильная группа работает над заданиями С1 (10 мин)

2. Слабая группа работает над заданиями теста РешуЕГЭ.ru (20-25 мин)

3. Средняя группа выполняет а) задания на слайде; б) задания с ключом.

А) (по задачам открытого банка ЕГЭ). Найдите значения выражений

;.

А) На доске записаны решения четырёх примеров, но только одно из них верное. Найдите какое, в остальных исправьте ошибки.

1)

2)

3)

4)

Этот прием, пришедший к нам из программирования, состоит в следующем: я буду произносить некоторые утверждения и, если вы согласны со мной, то в тетради ставите «1», если нет – «0». В результате у вас должно получиться число.

  1. Если lg x = lg y, то x = y.

  2. Если , то х = у.

  3. Если 32 = 9, то

  4. Область определения функции промежуток (0; 3,5).

  5. lg7 < 3lg2.

  6. Если , то x > c при 0 < a < 1.

  7. Выражение справедливо для любого х.

Ключ: 101000100.

— А, сейчас ребята, предлагаю Вам выступить в роли экспертов. У каждого на столе лист с решенным заданием С. Три ученика решали одинаковое задание, оцените по предложенным критериям решения учеников. С работой 1 первого ученика работает 1 парта, второго- 2 парта, третьего- 3 парта.

Оцениваем и комментируем у доски. Приглашаются по одному ученику от каждой группы для выступления, ученики с места добавляют свои замечания. Выступающий у доски исправляет ошибки на слайдах в интерактивном режиме, предлагает свою версию решения данного задания.

III. Групповая работа (работа в парах) средняя группа. Эта группа работает по карточкам. Затем у доски представляет свое решение, комментируя его.

Карточка №1.

lg(1 – x2) = lg 2x О.Д.З. (0;1) метод потенцирования. Ответ: х =

Карточка №2

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

log4 (x2 – 7x + 49) = log2 (2x – 7)

Решение: ОДЗ : х >3,5

Преобразим левую часть уравнения, воспользовавшись формулой logab = получим

log2 (x2 – 7x + 49) = log2 (2x – 7)2,

x2 – 7x + 49 = 4x2 – 28x + 49,

3x2 – 21x = 0,

3x (x – 7) = 0

x = 0 или x = 7

так как ОДЗ x> 3,5 , то х=0 не является корнем.

Ответ: 7

Карточка № 3

Дополнительные задания

(просмотреть различные способы решения с помощью документ-камеры)

  1. Самостоятельная дифференцированная работа на сайте «Решу егэ» задачи В5 и В9 (1 ряд)

  2. Проверить результаты «Решу ЕГЭ» на сайте.

  1. Рефлексия.

Попрошу взять листочек с диагностикой «Где Я?» и на другом рисунке отметить свой уровень усвоения данной темы на окончание нашего занятия.

Я думаю, что вы теперь отлично справитесь с Логарифмами на экзамене.

  1. Итог урока: диаграмма по рефлексии, план ликвидации пробелов по данной теме на основе рефлексии.

  2. Домашнее задание: массив задач на Логарифмы с mathege.ru по уровню усвоения данной темы.

  1. Заключительное слово учителя

У великого геометра древности Фалеса спросили:

-Что есть больше всего?.

-Пространство,- ответил Фалес

Что мудрее всего?

-Время.

-Что приятнее всего?

-Достичь желаемого

Через несколько месяцев желания многих из вас сбудутся. Я желаю вам удачи в достижении этих желаний, но не забывайте о том , что желания ваши исполнятся не по волшебству. Вам надо ещё немного потрудиться, бросить все свои силы на подготовку к экзаменам.

Спасибо за сотрудничество.

Логарифмы в заданиях ЕГЭ

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть –
и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели
.

Г.Лейбниц

ТИП УРОКА: Закрепление и совершенствование знаний.

ЦЕЛИ:

  • ДидактическаяПовторить и закрепить свойства  логарифмов; логарифмические уравнения; закрепить методы решения наибольшего и наименьшего значения функции; совершенствовать применение полученных знаний при решении задач ЕГЭ С1 и С3;
  • РазвивающаяРазвитие логического мышления, памяти, познавательного интереса, продолжить формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать;
  • Воспитательная Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению общаться, прививать аккуратность.

Оборудование: классная доска, компьютер, проектор, экран,  карточки с заданиями теста, с заданиями для работы всех обучающихся.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, коллективная.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ

3. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

3. работа личных кабинетов в Интернет (просмотр результатов)

4. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Проанализировать: в каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы.

(В-7-простейшие логарифмические уравнения
В-11-преобразование логарифмических выражений
В-12- задачи физического содержания, связанные с логарифмами
В-15- нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
С-1- тригонометрические уравнения, содержащие логарифм
С-3 – система неравенств, содержащая логарифмическое неравенство)

На данном этапе проводится устная работа, в ходе которой учащиеся не только вспоминают свойства логарифмов, но и выполняют простейшие задания ЕГЭ.

1) Определение логарифма. Какие вы знаете свойства логарифма? (и условия ?)

 

5. УСТНАЯ РАБОТА для всех обучающихся.

Вычислить устно: (задания В-11)

6. Самостоятельная деятельность учащихся по решению заданий.

В-7 с последующей проверкой

Решите уравнения (первые два уравнения проговаривают устно, а остальные решает самостоятельно  весь класс и записывает решение в тетрадь):

После проверки с места 3-5 уравнений, ребятам предлагается доказать, что уравнение не имеет решения (устно)

7. Решение В-12 (задачи физического содержания, связанные с логарифмами).

Весь класс решает задачу (у доски 2 человека: 1-й решает вместе с классом, 2-й решает аналогичную задачу самостоятельно)

8. УСТНАЯ РАБОТА (вопросы)

Вспомнить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на промежутке.

Работа на доске и в тетради.

(прототип В15 — ЕГЭ)

(Пока ученики работают у доски, 4-м учащимся даются карточки с аналогичными заданиями)

9. Мини-тест с самоконтролем.

Тест

Ключи к тесту:

 

№1

№2

№3

№4

№5

№6

Вариант №1

250

49

4

-8

3

8

Вариант №2

63

144

13

-22

7

3

Ребята меняются друг с другом работами и выступают в роли экспертов.

10. Решение заданий С1

Учащиеся выполняют задание, 1 человек работает у доски.

Подробный разбор предложенного задания на доске.

11. Выступление учащихся в роли экспертов.

Ребятам предлагается оценить работу ученика – задание С-1, выполненную на экзаменационном бланке – 0,1,2 баллами (см.презентацию)

12. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

Учитель поясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что аналогичные задания были рассмотрены на уроке. Учащиеся внимательно прослушав пояснения учителя, записывают домашнее задание.

  1. ФИПИ (открытый банк заданий: раздел геометрия, 6-я страница)
  2. uztest.ru (преобразование логарифмов)
  3. С3 – задание второй части ЕГЭ

13. ПОДВЕДЕНИЕ  ИТОГОВ.

Сегодня на уроке мы повторили свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепили методы нахождения  наибольшего и наименьшего значения функции; рассмотрели задачи физического содержания, связанные с логарифмами; решали задачи С1 и С3, которые  предлагаются на ЕГЭ по математике.

Выставление оценок.

Логарифмы ЕГЭ профиль — Онлайн-школа «Прорыв»

В настоящее время вышло немало курсов для подготовки к ЕГЭ по математике. Но большинство из них рассчитано, скорее всего, на читателей с достаточно высоким уровнем математической подготовки.

В связи с этим  возникла идея создать курс, который был бы максимально ориентирован на не очень подготовленного и изощренного в математике слушателя.

Уникальность курса в следующем:
1. Теоретический материал и решение заданий в нем излагаются очень простым языком и настолько подробно, как это обычно делается на репетиторских занятиях;
2. Упражнения для самостоятельного решения уже подобраны таким образом и выстроены в такой последовательности, чтобы при их выполнении относительно быстро приобретались необходимые навыки;
3. В курсе дается только та информация, которая действительно необходима школьникам для успешной подготовки к ЕГЭ. Я считаю нецелесообразным отвлекать внимание учащихся на искусственные, плохо воспринимаемые ими методы.
4. Изучив курс, вы научитесь решать задания с логарифмами № 4, № 7, № 11 и № 14, а это 8 первичных баллов из 31.
5. Помимо показательных и логарифмических уравнений и неравенств, вы дополнительно изучите схему Горнера и модули.
6. В конце курса показаны разборы 22 реальных экзаменационных заданий ЕГЭ по математике.

Как работать с курсом:

  • Изучайте материал в том порядке, в котором он изложен в курсе. Прочитайте теоретический материал к теме, ознакомьтесь с решением демонстрационных примеров, а затем выполняйте упражнения для самостоятельной работы. Сверяйтесь с ответами по каждому заданию.
  • Не оставляйте без внимания ошибочные решения. Обязательно выясните причину ошибки и постарайтесь ее больше не повторять.
  • Не пытайтесь выполнить все задания. На это может уйти много времени. Выполняйте столько заданий по теме, чтобы приобрести уверенный навык. Если задание представляется очень простым, то, возможно, на него тоже не нужно тратить время.
  • При тарифе с обратной связью прикрепляйте сканы с домашним заданием в конце каждого урока, все возникшие вопросы задавайте там же.

Выражения с логарифмами. Задача 9. Единый государственный экзамен, Математика 2021: уроки, тесты, задания.

1. Значение выражения

Сложность: лёгкое

1
2. Преобразование числовых логарифмических выражений

Сложность: лёгкое

1
3. Вычисление десятичного логарифма

Сложность: лёгкое

1
4. Вычисление логарифма

Сложность: лёгкое

1
5. Логарифмическое уравнение, определение логарифма

Сложность: лёгкое

1
6. Использование основного тождества логарифмов

Сложность: среднее

1
7. Определение основания логарифма

Сложность: лёгкое

1

Как решать логарифмы егэ базовый уровень.

Решение логарифмичеких уравнений

В этом видеоуроке мы рассмотрим решение довольно серьезного логарифмического уравнения, в котором не просто требуется найти корни, но и отобрать те из них, которые лежат на заданном отрезке.

Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

Замечание по поводу логарифмический уравнений

Однако из года в год ко мне приходят ученики которые пытаются решать вот такие, прямо скажем, непростые уравнения , но при этом не могут понять: с чего им вообще начинать и как подступиться к логарифмам? Такая проблема может возникнуть даже у сильных, хорошо подготовленных учеников.

В результате многие начинают опасаться этой темы, а то и вовсе считать себя тупыми. Так вот, запомните: если у вас не получается решить такое уравнение, это совершенно не значит, что вы — тупые. Потому что, например, вот с таким уравнением вы справитесь практически устно:

log 2 x = 4

А если это не так, вы сейчас не читали бы этот текст, поскольку были заняты более простыми и приземленными задачами. Конечно, кто-то сейчас возразит: «А какое отношение это простейшее уравнение имеет к нашей здоровой конструкции?» Отвечаю: любое логарифмическое уравнение, каким бы сложным оно ни было, в итоге сводится вот к таким простейшим, устно решаемым конструкциям.

Разумеется, переходить от сложных логарифмических уравнений к более простым нужно не с помощью подбора или танцев с бубном, а по четким, давно определенным правилам, которые так и называются — правила преобразования логарифмических выражений . Зная их, вы без труда разберетесь даже с самыми навороченными уравнениями в ЕГЭ по математике.

И именно об этих правилах мы будем говорить в сегодняшнем уроке. Поехали!

Решение логарифмического уравнения в задаче C1

Итак, решаем уравнение:

В первую очередь, когда речь заходит о логарифмических уравнениях, вспоминаем основную тактику — если можно выразиться, основное правило решения логарифмических уравнений. Заключается оно в следующем:

Теорема о канонической форме. Любое логарифмическое уравнение, что бы в него не входило, какие бы логарифмы, по какому бы основанию, и что бы в себе не c одержали, обязательно нужно привести к уравнению вида:

log a f (x ) = log a g (x )

Если мы посмотрим на наше уравнение, то заметим сразу две проблемы:

  1. Слева у нас стоит сумма двух чисел , одно из которых вообще не является логарифмом.
  2. Справа стоит вполне себе логарифм, однако в его основании стоит корень. А у логарифма слева — просто 2, т.е. основания логарифмов слева и справа различаются.

Итак, мы составили этакий список проблем, которые отделяют наше уравнение от того канонического уравнения , к которому нужно привести любое логарифмическое уравнение в процессе решения. Таким образом, решение нашего уравнения на данном этапе сводится к тому, чтобы устранить описанные выше две проблемы.

Любое логарифмическое уравнение решается быстро и легко, если свести его к канонической форме.

Сумма логарифмов и логарифм произведения

Давайте действовать по порядку. Сначала разберемся с конструкцией, которая стоит слева. Что мы можем сказать про сумму двух логарифмов? Давайте вспомним замечательную формулу:

log a f (x ) + log a g (x ) = log a f (x ) · g (x )

Но стоить учесть, что в нашем случае первое слагаемо вообще не является логарифмом. Значит, нужно представить единицу в виде логарифма по основанию 2 (именно 2, потому что слева стоит логарифм по основанию 2). Как это сделать? Опять вспоминаем замечательную формулу:

a = log b b a

Здесь нужно понимать: когда мы говорим «Любое основание b », то подразумеваем, что b все-таки не может быть произвольным числом. Если мы вставляем какое-то число в логарифм, на него сразу накладываются определенные ограничения , а именно: основание логарифма должно быть больше 0 и не должно быть равно 1. Иначе логарифм просто не имеет смысла. Запишем это:

0

Давайте посмотрим, что происходит в нашем случае:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Теперь перепишем все наше уравнение с учетом этого факта. И сразу же применяем другое правило: сумма логарифмов равна логарифму произведения аргументов. В итоге получим:

Мы получили новое уравнение. Как видим, оно уже гораздо ближе к тому каноническому равнению, к которому мы стремимся. Но есть одна проблема, мы записали ее в виде второго пункта: у наших логарифмов, которые стоят слева и справа, разные основания . Переходим к следующему шагу.

Правила вынесения степеней из логарифма

Итак у логарифма, который стоит слева, основание просто 2, а у логарифма, который стоит справа, в основании присутствует корень. Но и это не является проблемой, если вспомнить, что из оснований из аргументов логарифма можно выносить в степень. Давайте запишем одно из этих правил:

log a b n = n · log a b

Переведя на человеческий язык: можно выносить степень из основания логарифма и ставить ее спереди в качестве множителя. Число n «мигрировало» из логарифма наружу и стало коэффициентом спереди.

С тем же успехом мы можем вынести степень из основания логарифма. Выглядеть это будет так:

Другими словами, если вынести степень из аргумента логарифма, эта степень также пишется в качестве множителя перед логарифмом, но уже не в виде числа, а в виде обратного числа 1/k .

Однако и это еще не все! Мы можем объединить две данные формулы и почить следующую формулу:

Когда степень стоит и в основании, и в аргументе логарифма, мы можем сэкономить время и упростить вычисления, если сразу же вынести степени и из основания, и из аргумента. При этом то, что стояло в аргументе (в нашем случае это коэффициент n ), окажется в числителе. А то, что было степенью у основания, a k , отправится в знаменатель.

И именно эти формулы мы сейчас будем применять для того, чтобы свести наши логарифмы к одному и тому же основанию.

Прежде всего, выберем более-менее красивое основание. Очевидно, что с двойкой в основании намного приятней работать, чем с корнем. Таким образом, давайте попробуем привести второй логарифм к основанию 2. Давайте выпишем этот логарифм отдельно:

Что мы можем здесь сделать? Вспомним формулу степени с рациональным показателем. Другими словами, мы можем записать в корни в качестве степени с рациональным показателем. А затем выносим степень 1/2 и из аргумента, и из основания логарифма. Сокращаем двойки в коэффициентах в числителе и знаменателе, стоящих перед логарифмом:

Наконец, перепишем исходное уравнение с учетом новых коэффициентов:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Мы получили каноническое логарифмическое уравнение. И слева, и справа у нас стоит логарифм по одному и тому же основанию 2. Помимо этих логарифмов никаких коэффициентов, никаких слагаемых ни слева, ни справа нет.

Следственно, мы можем избавиться от знака логарифма. Разумеется, с учетом области определения. Но прежде, чем это сделать, давайте вернемся назад и сделаем небольшое уточнение по поводу дробей.

Деление дроби на дробь: дополнительные соображения

Далеко не всем ученикам понятно, откуда берутся и куда деваются множители перед правым логарифмом. Запишем еще раз:

Давайте разберемся, что такое дробь. Запишем:

А теперь вспоминаем правило деления дробей: чтобы разделить на 1/2 нужно умножить на перевернутую дробь:

Разумеется, для удобства дальнейших вычислений мы можем записать двойку как 2/1 — и именно это мы наблюдаем в качестве второго коэффициента в процессе решения.

Надеюсь, теперь всем понятно, откуда берется второй коэффициент, поэтому переходим непосредственно к решению нашего канонического логарифмического уравнения.

Избавление от знака логарифма

Напоминаю, что сейчас мы можем избавиться от логарифмов и оставить следующее выражение:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Давайте раскроем скобки слева. Получим:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Перенесем все из левой части в правую:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Приведем подобные и получим:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Можем разделить обе части этого уравнения на 2, чтобы упростить коэффициенты, и получим:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Перед нами обычное биквадратное уравнение , и его корни легко считаются через дискриминант. Итак, запишем дискриминант:

D = 81 − 4 · 4 · 2 = 81 − 32 = 49

Прекрасно, Дискриминант «красивый», корень из него равен 7. Все, считаем сами иксы. Но в данном случае корни получатся не x , а x 2 , потому что у нас биквадратное уравнение. Итак, наши варианты:

Обратите внимание: мы извлекали корни, поэтому ответов будет два, т.к. квадрат — функция четная . И если мы напишем лишь корень из двух, то второй корень мы просто потеряем.

Теперь расписываем второй корень нашего биквадратного уравнения:

Опять же, мы извлекаем арифметический квадратный корень из обеих частей нашего уравнения и получаем два корня. Однако помните:

Недостаточно просто приравнять аргументы логарифмов в канонической форме. Помните об области определения!

Итого мы получили четыре корня. Все они действительно являются решениями нашего исходного уравнения. Взгляните: в нашем исходном логарифмическом уравнении внутри логарифмов стоит либо 9x 2 + 5 (эта функция всегда положительна), либо 8x 4 + 14 — она тоже всегда положительна. Следовательно, область определения логарифмов выполняется в любом случае, какой бы корень мы не получили, а это значит, что все четыре корня являются решениями нашего уравнения.

Прекрасно, теперь переходим ко второй части задачи.

Отбор корней логарифмического уравнения на отрезке

Отбираем из наших четырех корней те, которые лежат на отрезке [−1; 8/9]. Возвращаемся к нашим корням, и сейчас будем выполнять их отбор. Для начала предлагаю начертить координатную ось и отметить на ней концы отрезка:

Обе точки будут закрашенные. Т.е. по условию задачи нас интересует заштрихованный отрезок. Теперь давайте разбираться с корнями.

Иррациональные корни

Начнем с иррациональных корней. Заметим, что 8/9

Из этого следует, что корень из двух не попадает в интересующий нас отрезок. Аналогично мы получим и с отрицательным корнем: он меньше, чем −1, т. е. лежит левее интересующего нас отрезка.

Рациональные корни

Остается два корня: x = 1/2 и x = −1/2. Давайте заметим, что левый конец отрезка (−1) — отрицательный, а правый (8/9) — положительный. Следовательно, где-то между этими концами лежит число 0. Корень x = −1/2 будет находиться между −1 и 0, т.е. попадет в окончательный ответ. Аналогично поступаем с корнем x = 1/2. Этот корень также лежит на рассматриваемом отрезке.

Убедиться, что число 8/9 больше, чем 1/2, можно очень просто. Давайте вычтем эти числа друг из друга:

Получили дробь 7/18 > 0, а это по определению означает, что 8/9 > 1/2.

Давайте отметим подходящие корни на оси координат:

Окончательным ответом будут два корня: 1/2 и −1/2.

Сравнение иррациональный чисел: универсальный алгоритм

В заключении хотел бы еще раз вернуться к иррациональным числам. На их примере мы сейчас посмотрим, как сравнивать рациональные и иррациональные величины в математике. Для начала по между ними вот такую галочку V — знак «больше» или «меньше», но мы пока не знаем, в какую сторону он направлен. Запишем:

Зачем вообще нужны какие-то алгоритмы сравнения? Дело в том, что в данной задаче нам очень повезло: в процессе решения возникло разделяющее число 1, про которое мы точно можем сказать:

Однако далеко не всегда вы с ходу увидите такое число. Поэтому давайте попробуем сравнить наши числа «в лоб», напрямую.

Как это делается? Делаем то же самое, что и с обычными неравенствами:

  1. Сначала, если бы у нас где-то были отрицательные коэффициенты, то мы умножили бы обе части неравенства на −1. Разумеется, поменяв при этом знак . Вот такая галочка V изменилась бы на такую — Λ.
  2. Но в нашем случае обе стороны уже положительны, поэтому ничего менять не надо. Что действительно нужно, так это возвести обе части в квадрат , чтобы избавится от радикала.

Если при сравнении иррациональных чисел не удается с ходу подобрать разделяющий элемент, рекомендую выполнять такое сравнение «в лоб» — расписывая как обычное неравенство.

При решении это оформляется вот таким образом:

Теперь это все легко сравнивается. Дело в том, что 64/81

Все, мы получили строгое доказательство, что все числа отмечены на числовой прямой х правильно и именно в той последовательности, в которой они должны быть на самом деле. Вот к такому решению никто не придерется, поэтому запомните: если вы сразу не видите разделяющее число (в нашем случае это 1), то смело выписывайте приведенную выше конструкцию, умножайте, возводите в квадрат — и в итоге вы получите красивое неравенство. Из этого неравенства точно будет понятно, какое число больше, а какое — меньше.

Возвращаясь к нашей задаче, хотелось бы еще раз обратить ваше внимание на то, что мы делали в самом начале при решении нашего уравнения. А именно: мы внимательно посмотрели на наше исходное логарифмическое уравнение и попытались свести его к каноническому логарифмическому уравнению. Где слева и справа стоят только логарифмы — без всяких дополнительных слагаемых, коэффициентов спереди и т. д. Нам нужны не два логарифма по основанию a или b , именно логарифм, равный другому логарифму.

Кроме того, основания логарифмов также должны быть равны. При этом если уравнение составлено грамотно, то с помощью элементарных логарифмических преобразований (сумма логарифмов, преобразование числа в логарифм и т.д.) мы сведем это уравнение именно к каноническому.

Поэтому впредь, когда вы видите логарифмическое равнение, которое не решается сразу «в лоб», не стоит теряться или пробовать подобрать ответ. Достаточно выполнить следующие шаги:

  1. Привести все свободные элементы к логарифму;
  2. Затем эти логарифмы сложить;
  3. В полученной конструкции все логарифмы привести к одному и тому же основанию.

В результате вы получите простое уравнение, которое решается элементарными средствами алгебры из материалов 8—9 класса. В общем, заходите на мой сайт, тренируйтесь решать логарифмы, решайте логарифмические уравнения как я, решайте их лучше меня. А у меня на этом все. С Вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:


Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P. S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

  • основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
  • если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

  • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
  • Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно — уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 — 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень…

Чувствую, сомневаетесь вы… Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Досрочный ЕГЭ 2015. Задание 17

Решите неравенство:

1. Приведем логарифмы к одному основанию. Для этого записываем деятичную дробь в виде обыкновенной: , а затем выносим показатель степени за знак логарифма.

2. Введем замену переменной. Пусть

Получим квадратное уравнение относительно :

По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена:

Нанесем эти точки на числовую ось и расставим знаки. Так как старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, ветви параболы направлены вверх, получаем такие знаки:Неравенство строгое, поэтому точки «выкалываем».

Нас интересует промежуток, на котором трехчлен больше нуля:

Итак, мы получили, что или 

Вернемся к исходной переменной. Получим:

(1)

или (2)

Решим первое неравенство:

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2 и перейдем к равносильной системе (не забываем, что выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля):

Основание логарифма больше единицы, поэтому при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма знак неравенства сохранятся.

Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство системы на своей координатной прямой, а потом совместить решения не одной координатной прямой.

Итак.

Корни квадратного трехчлена в левой части неравенства:

Ветви параболы направлены вниз, поэтому знаки:

Корни квадратного трехчлена в левой части неравенства:

Ветви параболы направлены вниз, поэтому знаки:

Совместим решения неравенств на одной координатной прямой:

Итак, решение  неравенства (1):

Решим неравенство (2):

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2.

Основание логарифма больше единицы, поэтому при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма знак неравенства сохранятся.

Условие на ОДЗ следует из этого неравенства.

Перенесем все слагаемые вправо и приведем подобные члены. Получим:

При отрицательном дискриминанте при любом значении выполняется неравенство , поэтому неравенство не имеет решений.

Итак, ответом к исходному неравенству будет решение неравенства (1):

Ответ:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.



логарифмов в заданиях ЕГЭ. Логарифмы в заданиях ЕГЭ 12 Квесты профиля ЕГЭ с логарифмами














Назад вперед

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в информационных целях и может не давать представление обо всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.

Метод решения хорош, если мы с самого начала можем предвидеть — а потом подтвердить это —
Что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Либниц

Тип урока: закрепление и совершенствование знаний.

  • Дидактический Повторить и закрепить свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепить методы решения наибольшего и наименьшего значения функции; совершенствовать использование полученных знаний при решении заданий ЕГЭ С1 и С3;
  • Разработка Развитие логического мышления, памяти, познавательного интереса, продолжение формирования математической речи и изобразительной культуры, развитие способности к анализу;
  • Образовательный Приучение к эстетическому оформлению записи в тетради, умение общаться, прививать аккуратность.

Оборудование: Классная доска, Компьютер, Проектор, Экран, Карточки с контрольными вопросами, с заданиями для всех обучающихся.

Формы работы: ф ронталь, индивидуальная, коллективная.

ВО ВРЕМЯ ЗАНЯТИЙ

1. Организационный момент

2. Постановка цели

3. Проверка домашнего задания

4. Актуализация знаний

Проанализируйте: в каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы.

(Б-7 простых логарифмических уравнений

B-11-преобразование логарифмических выражений

B-12- Задачи физического содержания, связанные с логарифмами

B-15- Нахождение наибольшей и наименьшей функции

C-1- тригонометрические уравнения, содержащие логарифм

C-3 — система неравенств, содержащая логарифмическое неравенство)

На данном этапе проводится устная работа, в ходе которой учащиеся не только вспоминают свойства логарифмов, но и выполняют простейшие задания ЕГЭ.

1) Определение логарифма. Какие вы знаете свойства логарифмов? (и условия?)

1. Лог ББ = 1
2. Лог Б 1 = 0, 3. Лог С (АВ) = Лог СА + ЛОГ С Б.
4. Лог С (А:В) = Лог СА — ЛОГ С В.
5. Лог С(бк) = К*лог с

2) Какая функция называется логарифмической? Д(у)-?

3) Что такое десятичный логарифм? ()

4) Что такое натуральный логарифм? ()

5) Какое число е?

6) Из чего происходит? ()

7) Что такое производная натурального логарифма?

5.Устные рабочие работы

Рассчитать устно: (задачи в-11)

= = знак равно знак равно 152 1 144 -1/2

6. Самостоятельная деятельность обучающихся по решению

B-7 с последующей проверкой

Решите уравнения (в первую очередь произносятся первые два уравнения, а остальные решает самостоятельно весь класс и записывает решение в тетрадь):

(Пока студенты работают на месте самостоятельно, 3 студента выходят к доске и работают по индивидуальным карточкам)

После проверки из космоса 3-5 уравнений, ребятам предлагается доказать, что уравнение не имеет решения (устно)

7. Решение Б-12 — (задачи физического содержания, связанные с логарифмами)

Задание решает весь класс (у доски 2 человека: 1-й решает вместе с классом, 2-й решает ту же задачу самостоятельно)

8. Устная работа (вопросы)

Вспомнить алгоритм нахождения наибольшей и наименьшей функции функции на отрезке и на интервале.

Работа на доске и в тетради.

(Прототип Б15 — ЕГЭ)

9.Мини-тест с самоконтролем.

1 опция Вариант 2
1. =
2.
3.
4.
5.
6. Найти наибольшее значение функции

11. Исследования студентов в роли экспертов

Ребятам предлагается оценить работу студента — задание С-1, выполненное на экзаменационных бланках — 0,1,2 балла (см. презентацию)

12. Домашнее задание

Учитель объясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что на уроке рассматривались похожие задания. Учащиеся внимательно слушают объяснение учителя, записывают домашнее задание.

ФИПИ (Открыть банк задач: раздел Геометрия, 6-я страница)

uztest.ru (преобразование логарифмов)

С3 — Квест второй части экзамена

13. Подведение итогов

Сегодня на уроке мы повторили свойства логарифмов; логарифмические уравнения; защищенные методы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; рассмотрел проблемы физического содержания, связанные с логарифмами; Решены задачи С1 и С3, которые предлагаются на грани математики в прототипах В7, В11, В12, В15, С1 и С3.

Оценка.

основной

Что нужно знать об показательных и логарифмических уравнениях для решения задач по словесной математике?


Умение решать показательные и логарифмические уравнения очень важно для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня. Важное по двум причинам :

Во первых , Задача №13 варианта Ким Эгэ Пусть нечасто, но все же иногда это просто такое уравнение, которое нужно не решать, но и (аналогично задаче тригонометрии ) выбрать корни уравнения, удовлетворяющие любому условию.

Итак, один из вариантов 2017 года включал следующую задачу:

а) решить уравнение 8 х. – 7 . 4 х. – 2 х. +4 + 112 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

Ответ: а) 2; лог 2 7 и б) лог 2 7.

В другом варианте была такая задача:

а) решить уравнение 6Log 8 2. х. — 5лог 8. х. + 1 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

Ответ: а) 2 и 2√ 2 ; б) 2.

Я встречал это:

а) решить уравнение 2log 3 2 (2cos х ) — 5log 3 (2cos х ) + 2 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Ответ: а) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, kεz) и б) 11π/6; 13π/6.

Во-вторых Изучение методов решения показательных и логарифмических уравнений хорошо, так как в основных методах решения и уравнений, и неравенств фактически используются одни и те же математические идеи.

Основные приемы решения показательных и логарифмических уравнений легко запомнить, их всего пять: приведение к простейшему уравнению, использование эквивалентных переходов, введение новых неизвестных, логарифмирование и разложение множителей. Отдельно стоит метод использования свойств показательной, логарифмической и других функций при решении задач: иногда ключом к решению уравнения является площадь определения, площадь значений, неотрицательность, ограничения, четность включенные в него функции.

Как правило, в задаче № 13 встречаются уравнения, требующие применения пяти основных методов, перечисленных выше. Каждый из этих методов имеет свои особенности, которые необходимо знать, так как именно их незнание приводит к ошибкам при решении задач.

Какие типичные ошибки делают экзамены?

Часто школьники при решении уравнений, содержащих функцию значимой степени, забывают учесть один из случаев равенства. Как известно, уравнения этого вида эквивалентны комбинации двух систем условий (см. ниже), речь идет о случае, когда а ( х. ) = 1


Эта ошибка связана с тем, что при решении рассматриваемого уравнения формально используется определение показательной функции (Y = . aX. ​​ , a > 0, a ≠ 1): при , но ≤ 0 Индикативная функция действительно не определена,

Но когда но = 1 Определено, но не показательно, так как единица в любой действительной степени тождественно равна самой себе. И поэтому, если в рассматриваемом уравнении при , а при ( х. ) = 1 Возникает правильное числовое равенство, тогда соответствующие значения переменной будут корнями уравнения.

Еще одна ошибка — применять свойства логарифмов без учета области допустимых значений. Например, известное свойство «логарифм произведения равен сумме логарифмов», оказывается, имеет обобщение:
log А ( ф. ( х. ) г. ( х. )) = Лог А │ ф. ( х. ) │ + Лог А │G ( х. ) │, когда ф. ( х ) г. ( х ) > 0, а. > 0, а. ≠ 1

Действительно, для того чтобы выражение в левой части этого равенства, достаточно сделать функцию функций ф. и г. Оно было положительным, но сами функции могут быть одновременно и больше, и одновременно меньше нуля, поэтому при применении этого свойства необходимо использовать понятие модуля.

И таких примеров можно привести немало. Поэтому для эффективного освоения методов решения показательных и логарифмических уравнений лучше всего использовать сервисы, которые смогут рассказать о подобных «подводных камнях» на примерах решения соответствующих экзаменационных заданий.

Регулярно путешествуйте для решения проблем

Для начала обучения на портале «1С:Репетитор» достаточно.
Вы можете:

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимых для успешного решения задач.Включите теорию в виде текстов, слайдов и видео, задач с решениями, интерактивных тренажеров, моделей и тестов.

Есть вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решить Задание 13 на ЕГЭ, задачи на логарифмы, Ким Эге 2017, Подготовка к ЭЭГ Профиль Математика, Профиль Математика, решение уравнений и логарифмов, решение задач на демонстрационные уравнения ЕГЭ, вычисление свойств логарифмов, функция значимой степени, задача математики профильного уровня, применение свойств логарифмов, решение задач на корни, задания ЕГЭ 2017 по ориентировочным уравнениям, подготовка к поступлению выпускников ЭО 2018 года в технический вуз.

В задании №12 ЕГЭ по математике профильного уровня нам необходимо найти наибольшую или наименьшую функцию функции. Для этого необходимо воспользоваться производной. Давайте рассмотрим типичный пример.

Разбор типовых вариантов заданий №12 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демо версия 2018)

Найти точку максимума Y = ln(x+4)2+2x+7.

Алгоритм Решения:
  1. Найти производную.
  2. Запишите ответ.
Решение:

1. Ищем значения X, при которых логарифм имеет смысл. Для этого решим неравенство:

Так как квадрат любого числа неотрицательный. Решением неравенства будет только то значение x, при котором x + 4 ≠ 0, т.е. при x ≠ -4.

2. Найдите производную:

u’=(ln(x+4)2+2x+7)’

По свойству логарифмирования получаем:

u’=(ln(x+4)2)’+(2x)’+(7)’.

По формуле производной комплексной функции:

(ЛНФ)’=(1/Ф)∙Ф’. Имеем f = (x + 4) 2

y, = (ln (x + 4) 2) ‘+ 2 + 0 = (1 / (x + 4) 2) ∙ ((x + 4) 2)’ + 2 = (1 / (x + 4) 2 2) ∙ (х 2 + 8х + 16)’+ 2 = 2 (х + 4) / ((х + 4) 2) + 2

и’=2/(х+4)+2

3. Приравнивание производной к нулю:

у, = 0 → (2 + 2 ∙ (х + 4)) / (х + 4) = 0,

2+2х+8=0, 2х+10=0,

Второй вариант задания (от Ященко, № 1)1)

Найти точку минимума функции y = x — ln (x + 6) + 3.

Алгоритм Решения:
  1. Определить функцию определения функции.
  2. Найдите производную.
  3. Определить, в каких точках производная равна 0.
  4. Мы исключаем точки, не принадлежащие области определения.
  5. Среди оставшихся точек ищем значения x, при которых функция имеет минимум.
  6. Запишите ответ.
Решение:

1. ОТЗ:.

2. Найдите производную функцию:

3. Приравнивание полученного выражения к нулю:

4. Получена одна точка х = -5, принадлежащая функции определения функции.

5. В этой точке функция имеет экстремум. Проверьте, является ли он минимальным. При х = -4

При х = -5,5 производная функция отрицательна, т.к.

Итак, точка х = -5 является точкой минимума.

Третий вариант задания (от Ященко, №12)
Решения алгоритма:.
  1. Найти производную.
  2. Определить, в каких точках производная равна 0.
  3. Исключаем точки, не принадлежащие указанному отрезку.
  4. Среди оставшихся точек ищем значения x, при которых функция имеет максимум.
  5. Находим значения функции на концах отрезка.
  6. Ищем среди ценностей наибольшую.
  7. Запишите ответ.
Решение:

1. Вычисляем производную функции, получаем

12 задач егэ профиля с логарифмами. Логарифмы на экзаменах














Назад вперед

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется только в образовательных целях и может не давать представления обо всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.

Метод решения хорош, если мы можем с самого начала предвидеть — и впоследствии подтвердить это, —
что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Г. Лейбниц

ТИП ЗАНЯТИЯ: Закрепление и совершенствование знаний.

  • Дидактический Повторить и закрепить свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепить методы решения наибольшего и наименьшего значения функции; совершенствовать применение полученных знаний при решении задач ЕГЭ С1 и С3;
  • Разработка Развитие логического мышления, памяти, познавательного интереса, продолжить формирование математической речи и графической культуры, развивать способность к анализу;
  • Образовательный Приучать к эстетичному оформлению записей в тетрадях, умению общаться, прививать аккуратность.

Оборудование: классная доска, компьютер, проектор, экран, карточки с тестовыми заданиями, с заданиями для работы всех учащихся.

Формы работы: ф индивидуальная, коллективная.

ВО ВРЕМЯ ЗАНЯТИЙ

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ

3. ПРОВЕРКА ДОМА

4. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Проанализировать: в каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы.

(Б-7-простейшие логарифмические уравнения

B-11 преобразование логарифмических выражений

B-12 — задачи физического содержания, связанные с логарифмами

B-15 — нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

C-1- тригонометрические уравнения, содержащие логарифм

С-3 — система неравенств, содержащая логарифмическое неравенство)

На этом этапе проводится устная работа, в ходе которой учащиеся не только запоминают свойства логарифмов, но и выполняют простейшие задания экзамена.

1) Определение логарифма. Какие вы знаете свойства логарифма? (и условия?)

1.log b b = 1
2.log b 1 = 0, 3. log c (ab) = log c a + log c b.
4.лог с(а:б) = лог с а — лог с б.
5.лог с(б к) = к*лог с

2) Какая функция называется логарифмической? Д(у)-?

3) Что такое десятичный логарифм? ()

4) Что такое натуральный логарифм? ()

5) Какое число е?

6) Что такое производная? ()

7) Что такое производная натурального логарифма?

5.УСТНАЯ РАБОТА для всех учащихся

Рассчитать устно: (задачи Б-11)

= = знак равно знак равно 152 1 144 -1/2

6. Самостоятельная деятельность студентов при решении задач

B-7 с последующей проверкой

Решите уравнения (первые два уравнения проговариваются устно, а остальные решает весь класс самостоятельно и записывает решение в тетрадь):

(Пока студенты работают на месте самостоятельно, 3 студента выходят к доске и работают по индивидуальным карточкам)

После проверки 3-5 уравнений с места, ребятам предлагается доказать, что уравнение не имеет решения (устно)

7. Решение B-12 — (физические задачи, связанные с логарифмами)

Весь класс решает задачу (у доски 2 человека: 1-й решает вместе с классом, 2-й решает ту же задачу самостоятельно)

8. УСТНАЯ РАБОТА (вопросы)

Вспомнить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на промежутке.

Работа на доске и в тетради.

(прототип Б15 — ЕГЭ)

9.Мини-тест с самоконтролем.

1 опция Вариант 2
1. =
2.
3.
4.
5.
6. Найдите наибольшее значение функции

11. Студенты, выступающие в роли экспертов

Детям предлагается оценить работу учащегося — задание С-1, выполненное на экзаменационном бланке — 0,1,2 балла (см. презентацию)

12. ДОМ

Учитель объясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что на уроке рассматривались похожие задания. Учащиеся внимательно слушают объяснения учителя, записывают домашнее задание.

ФИПИ (открытый банк задач: раздел геометрии, 6-я страница)

узтест.ru (логарифмическое преобразование)

С3 — задание второй части экзамена

13. ИТОГИ

Сегодня на уроке мы повторили свойства логарифмов; логарифмические уравнения; фиксированные методы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; рассмотрел проблемы физического содержания, связанные с логарифмами; решали задачи С1 и С3, которые предлагаются на ЕГЭ по математике в прототипах В7, В11, В12, В15, С1 и С3.

Оценка.

дом

Что нужно знать о показательных и логарифмических уравнениях для решения задач на ЕГЭ по математике?


Уметь решать показательные и логарифмические уравнения очень важно для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня. Важно по двум причинам :

Во-первых , задание №13 варианта ЕГЭ КИМ может быть нечастым, но иногда это просто такое уравнение, которое нужно не только решить, но (аналогично заданию в тригонометрия) выбирают корни уравнения, удовлетворяющие любому условию.

Итак, один из вариантов на 2017 год включал следующую задачу:

а) Решите уравнение 8 x – 7 . 4 х – 2 х +4 + 112 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

Ответ: а) 2; log 2 7 и б) log 2 7.

В другом варианте была такая задача:

а) Решите уравнение 6log 8 2 x — 5log 8 x + 1 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

Ответ: а) 2 и 2√ 2 ; б) 2.

Был еще такой:

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cos x ) — 5log 3 (2cos x ) + 2 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Ответ: а) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z) и б) 11π/6; 13π/6.

Во-вторых , изучение методов решения показательных и логарифмических уравнений хорошо, потому что основные математические методы решения как уравнений, так и неравенств фактически используют одни и те же математические идеи.

Основные методы решения показательных и логарифмических уравнений легко запомнить, их всего пять: приведение к простейшему уравнению, использование эквивалентных переходов, введение новых неизвестных, логарифмирование и факторизация. Отдельным методом является использование свойств экспоненциальных, логарифмических и других функций при решении задач: иногда ключом к решению уравнения является область определения, область значений, неотрицательность, ограниченность, четность функций, входящих в Это.

Как правило, в задаче № 13 встречаются уравнения, требующие применения пяти основных методов, перечисленных выше. Каждый из этих методов имеет свои особенности, которые необходимо знать, так как именно их незнание приводит к ошибкам при решении задач.

Какие типичные ошибки допускает экзаменатор?

Часто при решении уравнений, содержащих показательно-степенную функцию, студенты забывают рассмотреть один из случаев равенства. Как известно, уравнения такого рода эквивалентны комбинации двух систем условий (см. ниже), речь идет о случае, когда а ( х ) = 1


Эта ошибка связана с тем, что при решении уравнения испытуемый формально использует определение показательной функции (y = x , a > 0, a ≠ 1): для и ≤ 0 экспоненциальная функция действительно не определена

Но когда и = 1 определено, но не показательно, так как единица в любой действительной степени тождественно равна самой себе. Итак, если в рассматриваемом уравнении для и ( x ) = 1 Если произойдет правильное числовое равенство, то соответствующие значения переменной будут корнями уравнения.

Еще одной ошибкой является использование свойств логарифмов без учета диапазона допустимых значений. Например, известное многим свойство «логарифм произведения равен сумме логарифмов» оказывается имеющим обобщение:
log a ( f ( x ) g ( x )) \ u003d Журнал A │ F ( x ) │ + log a │g ( x ) │, для F ( x ) г ( x )> 0, и > 0, и ≠ 1

Действительно, для определения выражения в левой части этого равенства достаточно, чтобы произведение функций f и г был положительным, но сами функции могут быть одновременно и больше, и меньше нуля, поэтому при применении этого свойства необходимо использовать понятие модуля.

И таких примеров много. Поэтому для эффективного освоения методов решения показательных и логарифмических уравнений лучше всего использовать сервисы, которые смогут рассказать о таких «подводных камнях» на примерах решения соответствующих экзаменационных задач.

Регулярно упражняйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно.
Вы можете:

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач.Они включают теорию в виде текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Вот ключевые фразы, чтобы поисковые системы лучше находили наши советы:
Как решить задание 13 в ЕГЭ, задачи на логарифмы, Ким ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ, профиль математика, профиль математика, решение уравнений и логарифмов, решение задач на показательные уравнения ЕГЭ, вычисление свойств логарифмов, показательная функция, задачи по специализированному уровню математики, применение свойств логарифмов, решение задач на корни, задачи ЕГЭ 2017 год по показательным уравнениям, подготовка к экзаменам выпускников 11 классов 2018 года, поступление в технический вуз.

В задании №12 ЕГЭ по математике профильного уровня нам необходимо найти наибольшее или наименьшее значение функции. Для этого необходимо использовать, очевидно, производную. Давайте рассмотрим типичный пример.

Разбор типовых вариантов заданий №12 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первая версия задания (демо версия 2018)

Найти точку максимума функции y = ln(x+4)2+2x+7.

Алгоритм решения:
  1. Находим производную.
  2. Записываем ответ.
Решение:

1. Ищем значения x, при которых логарифм имеет смысл. Для этого решите неравенство:

Потому что квадрат любого числа неотрицательный. Решением неравенства является только то значение x, при котором x + 4 ≠ 0, т.е. при x ≠ -4.

2. Находим производную:

’=(ln(x+4)2+2x+7)’

По свойству логарифма получаем:

’=(ln(x+4)2)’+(2x)’+(7)’.

По формуле производной сложной функции:

(lnf)’=(1/f)∙f’. Имеем f = (x + 4) 2

y, = (ln (x + 4) 2) ‘+ 2 + 0 = (1 / (x + 4) 2) ∙ ((x + 4) 2)’ + 2 = (1 / (x + 4) 2 2) ∙ (х 2 + 8х + 16)’+ 2 = 2 (х + 4) / ((х + 4) 2) + 2

у’ = 2 / (х + 4) + 2

3. Приравнять производную к нулю:

у, = 0 → (2 + 2 ∙ (х + 4)) / (х + 4) = 0,

2+2х+8=0, 2х+10=0,

Второй вариант задания (от Ященко, № 1)1)

Найти точку минимума функции y = x — ln (x + 6) + 3.

Алгоритм решения:
  1. Определите область действия функции.
  2. Находим производную.
  3. Определяем, в каких точках производная равна 0.
  4. Мы исключаем точки, не принадлежащие области определения.
  5. Среди оставшихся точек ищем значения x, при которых функция имеет минимум.
  6. Записываем ответ.
Решение:

1. ДЛД:.

2. Найдите производную функции:

3. Приравняем полученное выражение к нулю:

4. Получили одну точку x=-5 принадлежащую области определения функции.

5. В этой точке функция имеет экстремум. Проверьте, является ли это минимумом. Когда х = -4

При х = -5,5 производная функции отрицательна, так как

Следовательно, точка х = -5 является точкой минимума.

Третий вариант задания (от Ященко, №12)
Алгоритм решения :.
  1. Находим производную.
  2. Определяем, в каких точках производная равна 0.
  3. Исключаем точки, не принадлежащие данному отрезку.
  4. Среди оставшихся точек ищем значения x, при которых функция имеет максимум.
  5. Находим значения функции на концах отрезка.
  6. Ищем наибольшее среди полученных значений.
  7. Записываем ответ.
Решение:

1. Вычисляем производную функции, получаем

Поделись статьей с друзьями:

Похожие статьи

Подробная информация об ошибке IIS 10.

0 — 404.11

Ошибка HTTP 404.11 — не найдено

Модуль фильтрации запросов настроен на отклонение запроса, содержащего двойную управляющую последовательность.

Наиболее вероятные причины:
  • Запрос содержал двойную escape-последовательность, а фильтрация запросов настроена на веб-сервере для отклонения двойных escape-последовательностей.
Что вы можете попробовать:
  • Проверьте параметр configuration/system.webServer/security/[email protected] в файле applicationhost.config или web.confg.
Подробная информация об ошибке:
5
Модуль RequestFilteringModule
Уведомление Bearlaquest
Handler StaticFile
Код ошибки 0x0000000000
девяносто одна тысяча тридцать два пока не определено девяносто одна тысяча тридцать два пока не определено
Запрошенный URL-адрес    http://search. ebscohost.com:80/login.aspx?direct=true&profile=ehost&scope=site&authtype=crawler&jrnl=17055105&an=150241094&h=fesxdcfpwvyldcgejktjy18tj7wjqitg6wkfsgbvzbjyt9uchdiefl2uctflnroky5mzhmf2gxagufcrdoyong%3d%3d&crl=c
Физический путь C: \ WebApps \ аф-webauth \ Логин. ASPX? прямой = истина & профиль = ehost & Объем = сайта & AuthType = гусеничного & Jrnl = 17055105 & ап = 150241094 & ч = fesxdcfpwvyldcgejktjy18tj7wjqitg6wkfsgbvzbjyt9uchdiefl2uctflnroky5mzhmf2gxagufcrdoyong% 3d% 3d & CRL = с
входа Метод
входа пользователя
Дополнительная информация:
Это функция безопасности.Не изменяйте эту функцию, пока полностью не поняты масштабы изменений. Перед изменением этого значения следует выполнить трассировку сети, чтобы убедиться, что запрос не является вредоносным. Если сервер разрешает двойные управляющие последовательности, измените параметр configuration/system.webServer/security/[email protected] Это может быть вызвано искаженным URL-адресом, отправленным на сервер злоумышленником.

Посмотреть дополнительную информацию »

%PDF-1.4 % 1 0 объект >поток iтекст 4.2.0 от 1T3XTЭто MiKTeX-pdfTeX 2.9.6642 (1.40.19)2019-10-21T09:54:16+03:002022-03-10T16:53:20-08:002022-03-10T16:53:20-08 : 00PScript5.dll Версия 5.2uuid: 5E015697CFF3E

EBD16F08C2B6ECuuid: ada5b942-0def-41da-94a0-4a5431f7a066uuid: 5E015697CFF3E

EBD16F08C2B6EC

  • savedxmp.iid: 90CA3D257D06EA11B882FFD1883377B

    -11-14T06: 51: 55 + 05: 30Adobe Bridge CS6 (Windows) / метаданных

  • приложение/pdf
  • Гоксен Финдик
  • Ибрагим Джанак
  • конечный поток эндообъект 2 0 объект > эндообъект 3 0 объект >поток xXn7W&,Arᓃ/Te9%+45AWyyrəE![ct,kQ%rʠI. ͇r>,F+mDZFySRP4BѨ[D1hGp5GɳֆEz

    x$rAXzz˺?/wV’0O?WMHXܔB+[DyoȑKVE& o1LR>:A

    Поведение при столкновении краев в движении

    Поведение Edge Collision идеально подходит для настройки сложных симуляций движения с объектами, которые не выходят за пределы холста. Объекты с примененным поведением Edge Collision останавливаются или отскакивают после столкновения с краем рамки холста. Например, если вы примените поведение Throw к объекту и установите скорость, чтобы отправить объект к краю кадра, а затем примените Edge Collision, объект отскочит от края кадра в соответствии с параметром Bounce Strength.Столкновение краев не влияет на объекты, превышающие размер холста.

    Угол, под которым объект отскакивает, зависит от угла, под которым он ударяется о край кадра; скорость, с которой он движется после отскоков, задается параметром Сила отскока.

    Важно: По умолчанию поведение Edge Collision использует размер проекта и ограничивающую рамку, чтобы определить, как объект сталкивается с краем холста. Объект отскакивает от правого и левого краев проекта в своей ограничивающей рамке.С группами (частицы, текст и объекты) используется только центр объекта. Вы можете заставить объект двигаться дальше от холста, прежде чем он отскочит, отрегулировав параметры ширины и высоты. Если вы используете это поведение с объектом, у которого альфа-канал меньше, чем его ограничительная рамка, отрегулируйте параметр «Обрезка» в инспекторе свойств объекта, чтобы ограничительная рамка располагалась как можно ближе к краю изображения.

    Настройте это поведение с помощью элементов управления в Инспекторе поведения:

    • Влиять на подобъекты: Флажок, доступный, когда это поведение применяется к объекту, который содержит несколько объектов, таких как группа, эмиттер частиц, репликатор или текстовый слой.Когда этот флажок установлен, все объекты, заключенные в родительском объекте, затрагиваются индивидуально. Когда этот флажок снят, все объекты, заключенные в родительском объекте, затрагиваются поведением вместе.

    • Сила отскока: Ползунок, который устанавливает скорость, с которой объекты перемещаются после столкновения с краем. Значение 0 приводит к полной остановке объектов при столкновении с краем, перпендикулярным направлению движения. Более высокие значения заставляют объект двигаться быстрее после отскока.Этот параметр замедляет объект только в направлении, перпендикулярном отскочившему краю.

    • Активные ребра: Шесть флажков, которые определяют, какие ребра поля столкновения обнаруживаются поведением Edge Collision. Вы можете включать и выключать края в любой комбинации.

      • Левая грань: Определяет левый край для столкновения.

      • Правая грань: Определяет правую кромку для столкновения.

      • Верхняя грань: Определяет верхнюю кромку для столкновения.

      • Нижняя грань: Определяет нижнюю кромку для столкновения.

      • Задняя грань: Определяет заднюю кромку (в пространстве Z) для столкновения.

      • Передняя грань: Определяет переднюю кромку (в пространстве Z) для столкновения.

    • Ширина: Ползунок, который устанавливает ширину (правый и левый края холста), отличную от размера проекта. По умолчанию для ширины задан размер проекта.

    • Высота: Ползунок, который устанавливает высоту (верхний и нижний края), отличную от размера проекта. По умолчанию высота равна размеру проекта.

    • Глубина: Ползунок, который устанавливает глубину (задняя и передняя грани в пространстве Z) для столкновения краев. По умолчанию для параметра «Глубина» установлено значение 100 пикселей.

    Какое основание имеет натуральный логарифм. Понимаем с натуральным логарифмом

    Итак, перед нами отчисления.Если взять число из нижней строки, то можно легко найти степень, в которой надо будет взять двойку, чтобы получить это число. Например, чтобы получить 16, нужно два, чтобы построить четвертую степень. А чтобы получить 64, нужно два построить в шестой степени. Это видно из таблицы.

    А теперь — собственно определение логарифма:

    Логарифм по основанию A из аргумента X — это степень, в которой нужно взять число A, чтобы получить число x.

    Обозначение: Лог А х = b, где А — основание, Х — аргумент, В — собственно, что равно логарифму.

    Например, 2 3 = 8 ⇒ Log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, так как 2 3 = 8). С таким же успехом Log 2 64 = 6, так как 2 6 = 64.

    Операция нахождения логарифма числа по данному основанию называется логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

    2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
    2 4 8 16 32 64
    лог 2 2 = 1 лог 2 4 = 2 лог 2 8 = 3 лог 2 16 = 4 лог 2 32 = 5 лог 2 64 = 6

    К сожалению, не все логарифмы считаются такими простыми. Например, попробуйте найти Log 2 5. Цифры 5 в таблице нет, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке. Потому что 2 2

    Такие числа называются иррациональными: числа после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональный, то лучше его оставить: log 2 5, Log 3 8, log 5 100.

    Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основанием и аргументом). Многие сначала путают, где находится основание, а где аргумент.Во избежание досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

    Перед нами не что иное, как определение логарифма. Помните: логарифм — это степень , в которой надо взять основание, чтобы получить аргумент. Это основа, которая строится в степени — на картинке она выделена красным. Получается, что база всегда внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом уроке — и никакой путаницы не возникает.

    С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т. е.е. Избавьтесь от знака «Бревно». Для начала отметим, что из определения следуют два важных факта:

    1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональности показателя, к которому сводится определение логарифма.
    2. Основание должно отличаться от единицы, так как единица в любой степени остается единицей. Из-за этого вопрос «Сколько нужно возвести агрегат, чтобы получить двойку» лишен смысла.Нет такой степени!

    Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОТЗ). Получается, что нечетный логарифм выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

    Обратите внимание, что никаких ограничений на число B (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: Log 2 0,5 = -1, потому что 0,5 = 2 -1.

    Однако сейчас мы рассматриваем только числовые выражения, где знать логарифм ОТЗ не требуется.Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОТЗ станут обязательными. Ведь в основе и аргументе могут стоять весьма неразумные конструкции, которые обязательно соблюдают указанные выше ограничения.

    Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Он состоит из трех шагов:

    1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большой единицей.Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
    2. Решить относительно переменной B Уравнение: X = A B;
    3. Полученное число B будет ответом.

    Вот и все! Если логарифм иррациональный, он будет виден на первом шаге. Требование, чтобы база была более единой, очень важно: оно снижает вероятность ошибки и значительно упрощает расчеты. Аналогично и с десятичными дробями: если сразу перевести их в обыкновенные, ошибок будет в разы меньше.

    Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

    Задача. Вычислить логарифм: log 5 25

    1. Представить основание и аргумент в виде степени пяти: 5 = 5 1; 25 = 5 2;
    2. Давайте и решим уравнение:
      log 5 25 = B ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

    3. Получил ответ: 2.

    Задача. Вычислить логарифм:

    Задача. Вычислить логарифм: LOG 4 64

    1. Представим основание и аргумент в виде степени двоек: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
    2. Давайте и решим уравнение:
      log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ B = 3;
    3. Получил ответ: 3.

    Задача. Вычислить логарифм: log 16 1

    1. Представим основание и аргумент в виде степени двойки: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
    2. Давайте и решим уравнение:
      log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
    3. Получил ответ: 0.

    Задача. Вычислить логарифм: Log 7 14

    1. Представить основание и аргумент в виде степени семь: 7 = 7 1; 14 В виде степени семь не кажется, так как 7 1
    2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не учитывается;
    3. Ответ без изменений: log 7 14.

    Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два разных множителя, число не является точной степенью.

    Задача. Выясните, являются ли точные степени числа: 8; 48; 81; 35; четырнадцать .

    8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель только один;
    48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — Это не точная степень, так как множителей два: 3 и 2;
    81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
    35 = 7 · 5 — опять не точная степень;
    14 = 7 · 2 — Опять не точная степень;

    Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными градусами.

    Десятичный логарифм

    Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное имя и обозначение.

    Десятичный логарифм из аргумента X является логарифмом, основанным на 10, т. е. степени, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение: LG X.

    Например, ЛГ 10 = 1; lg 100 = 2; ЛГ 1000 = 3 — пр.

    Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найти LG 0,01», знайте: это не опечатка.Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
    LG X = log 10 x

    Все, что верно для обыкновенных логарифмов, верно и для десятичных.

    Натуральный логарифм

    Есть еще один логарифм, имеющий собственное обозначение. В некотором смысле, это даже важнее, чем десятичная дробь. Мы говорим о натуральном логарифме.

    Натуральный логарифм от аргумента X является логарифмом, основанным на Е, т.е. степени, в которую следует возвести число е, чтобы получить число х.Обозначение: LN X.

    Многие спросят: а что еще в числе е? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу только его первые цифры:
    е = 2,718281828459. ..

    Не будем углубляться, что это за номер и зачем он нужен. Только помните, что E — это основание натурального логарифма:
    ln x = log e x

    Таким образом, Ln E = 1; lн е 2 = 2; LN E 16 = 16 — и т. д. С другой стороны, LN 2 — иррациональное число.В общем случае натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, конечно, единиц: ln 1 = 0,

    Для натуральных логарифмов справедливы все правила, верные для обыкновенных логарифмов.

    Логарифмом положительного числа В по основанию А (А > 0, А не равно 1) называют такое число, у которого АС = В: Log АВ = С ⇔ АС = В (А\ u003e 0, A ≠ 1, B > 0)&NBSP&NBSP&NBSP&NBSP&NBSP&NBSP&NBSP&NBSP

    Обратите внимание: логарифм неадекватного числа не определяется.Кроме того, в основании логарифма должно стоять положительное число, не равное 1. Например, если мы возводим в квадрат, то получаем число 4, но это не значит, что логарифм по основанию равен — 2 от 4 равно 2.

    Основное логарифмическое тождество a log ab = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

    Важно, что площади определения правой и левой частей этой формулы разные. Левая часть определяется только при b > 0, a > 0 и a ≠ 1.Правая часть определена в любом b и совершенно не зависит от A. Таким образом, использование основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОТЗ.

    Два очевидных следствия определения логарифма Log AA = 1 (A > 0, A ≠ 1) (3)
    Log A 1 = 0 (A > 0, A ≠ 1) (4) )

    Действительно, при возведении числа А в первую степень мы получим такое же число, что и при возведении его в нулевую степень.

    Логарифм произведения и логарифм частный Лог А (ВС) = Лог АВ + Лог АС (А > 0, А ≠ 1, В > 0, С > 0) (5)

    Лог abc = log ab — log ac (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

    Хочется предостеречь школьников от бездумного применения этих формул при решении логарифмических уравнений и неравенства. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОТЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОТЗ.

    Действительно, выражение Log A (F (X) G (X)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны или когда f (x) и g (x) меньше нуля.

    Преобразуя это выражение в сумму log af(x) + Log AG(x), мы вынуждены ограничиться только случаем, когда f(x) > 0 и g(x) > 0. Имеет место сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, так как может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

    Степень можно сделать для знака логарифма Log A B P = P Log A B (A > 0, A ≠ 1, b > 0) (7)

    И снова хочется призвать к точности. Рассмотрим следующий пример:

    Log A (F(X) 2 = 2 Log AF(X)

    Левая часть равенства определяется, очевидно, при всех значениях F(x), кроме нулевого .Правая часть — только при F(X) > 0!Сделав из логарифма степень, суваим ОТЗ.Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений.Все эти комментарии относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

    Формула перехода на новую базу Log a B = log cb log ca (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

    Тот редкий случай, когда ОТЗ не меняется при конвертации. Если вы грамотно выбрали базу с (положительной и не равной 1), то формула перехода на новую базу абсолютно безопасна.

    Если в качестве нового основания с выбрать число B, то получим важный частный случай формулы (8):

    Log AB = 1 Log BA (A > 0, A ≠ 1, B > 0 , B ≠ 1) (9)

    Несколько простых примеров с логарифмами

    Пример 1.Вычислите: LG2 + LG50.
    Решение. LG2 + LG50 = LG100 = 2. Использовалась формула суммы логарифмов (5) и определение десятичного логарифма.

    Пример 2. Расчет: LG125 / LG5.
    Решение. LG125/LG5 = log 5 125 = 3. Мы воспользовались переходом на новую базу (8).

    Табличные формулы, относящиеся к логарифмам
    A log a b = b (a > 0, a ≠ 1)
    Лог А А = 1 (А > 0, А ≠ 1)
    Лог А 1 = 0 (А > 0, А ≠ 1)
    log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
    Лог А Б С = Лог А Б — Лог А С (А > 0, А ≠ 1, В > 0, С > 0)
    Лог А Б Р = Р Лог А Б (А > 0, А ≠ 1, b > 0)
    Log a B = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)
    Лог А Б = 1 Лог Б А (А > 0, А ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

    Как известно, при умножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (а б * а с = а б + с). Этот математический закон был выведен Архимемой, а позже, в VIII веке, математиком Вирасеном была создана таблица целочисленных показателей. Они служили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой возможности можно найти практически везде, где необходимо упростить громоздкое умножение на простом сложении. Если вы потратите 10 минут на чтение этой статьи, мы объясним вам, что такое логарифмы и как с ними работать. Простой и доступный язык.

    Определение по математике

    Логарифмом является выражение следующего вида: Log АВ = С, то есть логарифм любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «В» по его основанию «А» считается степень «С», в которой необходимо построить основу «А», чтобы в итоге получить значение «б».Логарифм разберем на примерах, например есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Это очень просто, нужно найти такую ​​степень, чтобы из 2 получить 8. Проделав некоторые вычисления в уме, получаем цифру 3! И правильно, потому что 2 в степени 3 дает в ответ цифру 8.

    Разновидности логарифма

    Многим школьникам и школьникам эта тема кажется сложной и непонятной, но на самом деле логарифмы не так страшны, главное понять их смысл и запомнить их свойства и некоторые правила.Различают три отдельных вида логарифмических выражений:

    1. Натуральный логарифм LN A, где основанием является число Эйлера (Е = 2,7).
    2. Десятичное число А, где основанием является число 10.
    3. Логарифм любого числа В по основанию А > 1.

    Каждая из них решается стандартным способом, включающим упрощение, приведение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует помнить об их свойствах и порядке действий при их решении.

    Правила и некоторые ограничения

    В математике существует несколько предельных правил, которые принимаются как аксиомы, т. е. не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, невозможно разделить число на ноль, а также невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы тоже имеют свои правила, следуя которым можно легко научиться работать даже с длинными и слабыми логарифмическими выражениями:

    • основание «А» всегда должно быть больше нуля, и в то же время не быть равным 1, иначе выражение потеряет смысл, потому что «1» и «0» в любой степени всегда равны его значениям;
    • если а > 0, то и b > 0, получается, что оба «С» должны быть больше нуля.

    Как решать логарифмы?

    Например, задача найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую ​​степень, возводя число десять, получаем 100. Это, конечно же, 10 2 = 100.

    А теперь представим это выражение в виде логарифма. Получаем Log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сводятся к тому, чтобы найти, до какой степени надо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

    Для безошибочного определения неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит это так:

    Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если есть технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица градусов. Его могут использовать даже те, кто совсем не разбирается в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание А), верхнее число чисел — значение степени С, в которую возведено число а.На пересечении в ячейках определили значения чисел, являющихся ответом (А С = В). Берем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возводим ее в квадрат, получаем значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все настолько просто и легко, что разберется даже самый настоящий гуманитарий!

    Уравнения и неравенства

    Получается, что при определенных условиях показатель является логарифмом. Следовательно, любые математические числовые выражения можно записать в виде логарифмического равенства.Например, 3 4 = 81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равного четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правило то же: 2 -5 = 1/32 пишем в виде логарифма, получаем Log 2 (1/32) = -5. Одним из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифм». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу после изучения их свойств. А теперь давайте зададимся вопросом, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

    Дан следующий вид: Log 2 (X — 1) > 3 — Является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «x» стоит под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются два значения: логарифм искомого числа по основанию на два больше числа три.

    Самое главное отличие логарифмических уравнений от неравенств состоит в том, что логарифмические уравнения (пример — логарифм 2 х = √9) подразумевают в ответ одно или несколько конкретных числовых значений, тогда как при решении неравенства оба определяются как площадь \ допустимые значения и баллы.нарушение этой функции. В результате в ответе получается не простое количество отдельных чисел, как в ответе уравнения, а непрерывный ряд или набор чисел.

    Основные теоремы о логарифмах

    При решении примитивных задач на нахождение значений логарифма его свойства могут быть не известны. Однако, когда речь идет о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов.С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала рассмотрим каждое свойство более подробно.

    1. Основное тождество выглядит так: а logab = b. Он применяется только при условии, что a больше 0 не равно единице, а b больше нуля.
    2. Логарифм произведений можно представить в виде следующей формулы: log d (S 1 * S 2) = log ds 1 + log d S 2. При этом обязательное условие: D, S 1 и S 2 > 0; A ≠ 1. Можно привести доказательства этой формулы логарифмов с примерами и решениями.Пусть Log As 1 = F 1 и Log AS 2 = F 2, тогда a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаем, что S 1 * S 2 = A F1 * A F2 = A F1 + F2 (свойства степеней), а затем по определению: Log A (S 1 * S 2) = F 1 + F 2 = Log A S1 + Log AS 2, что и требовалось доказать.
    3. Логарифм частного выглядит так: Log A (S 1 / S 2) = Log AS 1 — Log AS 2.
    4. Теорема в виде формулы принимает следующий вид: Log AQ bn = N / Q войти а б.

    Эта формула называется свойством «Логарифм». Она напоминает свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на естественных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

    Пусть Log A B = T получается по a t = b. Если обе части построить в степени m: a tn = b n;

    но так как a tn = (a q) nt/q = b n, следовательно, Log A Q b n = (n * t)/t, то log a Q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

    Примеры задач и неравенств

    Наиболее распространенными типами задач по логарифмам являются примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех заданиях, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в вуз или сдачи вступительных испытаний по математике нужно уметь правильно решать подобные задачи.

    К сожалению, единого плана или схемы решения и определения неизвестного значения логарифма не существует, но к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощение длинных логарифмических выражений позволяет правильно использовать их свойства. Давайте познакомимся с ними.

    При решении одних и тех же логарифмических уравнений следует определять, какой вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или десятичную дробь.

    Вот примеры LN100, LN1026. Их решение сводится к тому, что необходимо определить степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно.Для решений натуральных логарифмов необходимо применять логарифмические тождества или их свойства. Рассмотрим решение логарифмических задач разных типов.

    Как пользоваться формулами логарифмирования: с примерами и решениями

    Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем логарифмирования.

    1. Свойство логарифмичности произведения можно применять в задачах, где необходимо разложить большое значение числа B на более простые множители. Например, Лог 2 4 + Лог 2 128 = лог 2 (4*128) = лог 2 512.Ответ 9.
    2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 Log 2 2 = 1,5 — Как видите, применяя четвертую степень свойства логарифма, удалось решить сложную и беззастенчивое выражение на первый взгляд. Нужно только разложить основание для множителей и потом сделать значение степени из знака логарифма.

    Задания из ЕГЭ

    Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических заданий в ЭЭГ (государственный экзамен для всех выпускников школ).Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части (самые сложные и объемные задания). Экзамен предполагает точное и совершенное знание темы «Натуральные логарифмы».

    Примеры и решения задач взяты из Официальных вариантов ЕГЭ. Посмотрим, как решаются такие задачи.

    Учитывая Log 2 (2x-1) = 4. Решение:
    я переписываю выражение, некоторым его упростителем Log 2 (2x-1) = 2 2, по определению логарифма получаем, что 2x-1 \ u003d 2 4, следовательно, 2х = 17; х = 8. 5.

    • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
    • Все выражения под знаком логарифма указываются как положительные, поэтому, когда я подаю множитель показателя выражения, которое стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, выражение, остающееся под логарифмом, должно быть положительный.

    Это может быть, например, калькулятор из базового набора программ операционной системы Windows.Ссылка на его запуск довольно симпатична в главное меню — открыть его, нажав кнопку «Пуск», затем открыть его раздел «Программы», перейти в подраздел «Стандартные», а затем в раздел «Сервис» и, наконец, щелкните элемент Калькулятор. Можно вместо мышки и перемещений по меню использовать клавиатуру и диалог запуска программы — нажать клавиши Win+R, набрать Calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажать клавишу ENTER.

    Переключить интерфейс калькулятора в расширенный режим, позволяющий реализовать. По умолчанию открывается в «обычном» виде, а нужен «инженерный» или «» (в зависимости от используемой версии ОС). Откройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку.

    Введите аргумент, натуральный нужно вычислить. Это можно сделать как с помощью клавиатуры, так и нажав соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране.

    Нажмите кнопку LN — программа вычислит логарифм на основе Е и покажет результат.

    Воспользуйтесь преимуществами любого из вычислителей в качестве альтернативного расчета значения натурального логарифма.Например, размещенные по адресу http://calc.org.ua. . Его интерфейс предельно прост — есть единственное поле ввода, куда нужно впечатать значение числа, логарифм от которого надо вычислить. Среди кнопок найдите и нажмите ту, на которой написано LN. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ответа, поэтому результат расчета вы получите практически моментально. Единственная особенность, которую следует учитывать, — разделителем между дробной и целой частью вводимого числа здесь должна быть точка, а не точка.

    Термин « логарифм » образовал два греческих слова, одно из которых обозначает «число», а другое — «отношение». Они обозначают математическую операцию вычисления величины переменной (показателя степени), в которой постоянное значение должно быть несомненным (базовым), чтобы получить число, указанное знаком логарифма а. Если основание равно математической константе, называемой числом «Е», то логарифмов называют «натуральными».

    Вам понадобится

    • Доступ в Интернет, Microsoft Office Excel или калькулятор.

    Инструкция

    Воспользуйтесь представленным в Интернете набором -Калькуляторы — это, пожалуй, простой способ расчета натурального а. Мне не приходится искать соответствующий сервис, так как многие поисковики сами имеют встроенные калькуляторы, вполне пригодные для работы с логарифмом ами. Например, зайти на главную страницу крупнейшего сетевого поисковика. Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций здесь нет, просто наберите нужное математическое действие в поле запроса. Скажем, для вычисления логарифма числа 457 по основанию «Е» введите LN 457 — этого будет достаточно, чтобы Google отобразил до восьми знаков после запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.

    Используйте соответствующую встроенную функцию, если необходимость вычисления Натурального значения и логарифма возникает при работе с данными в популярном редакторе таблиц Microsoft Office Excel. Эта особенность называется здесь с помощью общепринятого обозначения такого логарифма и в верхнем регистре — пер.Выделите ячейку, в которой должен отображаться результат расчета, и введите знак равенства — так в этом табличном редакторе следует начинать с ячеек, содержащих раздел «Стандартные» «Все программы» главного меню. Переключите калькулятор в более функциональный режим, нажав комбинацию клавиш Alt+2. Затем введите значение, натуральный логарифм Которое требуется для вычисления, и нажмите кнопку в интерфейсе программы, обозначенную символами LN. Приложение вычислит и отобразит результат.

    Видео по теме

    часто принимают за цифру e. = 2,718281828 . Логарифмы по этому признаку называются натуральными . При выполнении вычислений с натуральными логарифмами принято со знаком л. сущ. , но не лог. ; В то же время 2,718281828 Определяющая база не указана.

    Другими словами, формулировка будет выглядеть так: натуральных логарифмов чисел ч. — Это показатель, в котором нужно оформить номер эл. , Чтобы получить х. .

    Итак, ln (7,389…) = 2, так как e. 2 = 7 389… . Натуральный логарифм самого числа е. = 1, потому что е. 1 = е. , а единица натурального логарифма равна нулю, потому что e. 0 = 1.

    Имя e. определяет предел монотонной ограниченной последовательности

    подсчитал, что e. = 2,7182818284… .

    Очень часто для закрепления в памяти какого-либо числа числа нужного числа связывают с какой-то невыполненной датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е. После запятой увеличится, если отметить, что 1828 год рождения толстого льва!

    На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.

    График натурального логарифма (Функции у =. lN X. ) является следствием графика показателя степени при зеркальном отражении относительно прямого y = x. и имеет вид:

    Натуральный логарифм можно найти для каждого положительного действительного числа. а. как площадь под кривой y. = 1/ х. из 1 до а. .

    Элементарность этой формулировки, состыкованной со многими другими формулами, в которых задействован натуральный логарифм, и послужила причиной образования названия «натуральный».

    Если анализировать натуральный логарифм как действительную функцию допустимой переменной, то появляется обратная функция К экспоненциальной функции, которая сводится к тождествам:

    е пер (А) = А (А > 0)

    пер(е а) = а

    По аналогии со всеми логарифмами натуральный логарифм превращает умножение в сложение, деление в вычитание:

    ЛН. ( xY. ) = ЛН. ( х ) + ЛН. ( г. )

    ЛН. (х/у) = lNX Нью-Йорк

    Логарифм можно найти для каждого положительного основания, не равного единице, а не только для е. Но логарифмы по другим основаниям отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и обычно определяются в терминах натурального логарифма.

    Проанализировали график натурального логарифма, Получаем, что он существует при положительных значениях переменной х. . Он монотонно возрастает на своей области определения.

    Для х. 0 Предел натурального логарифма минус бесконечность ( -∞ ). Доктор х → + ∞ Предел натурального логарифма выполняет плюс бесконечность ( + ∞ ). С большим х. Логарифм увеличивается довольно медленно. Любая мощная функция х А. с положительным показателем а. Извлекает более быстрый логарифм.Натуральный логарифм — монотонно возрастающая функция, поэтому экстремумов нет.

    Использование натуральных логарифмов Очень рационально при сдаче высшей математики. Таким образом, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых в качестве показателя фигурируют неизвестные лица. Применение в вычислениях натурального логарифма позволяет изрядно упростить большое количество математических формул. Логарифмия на основе e. Присутствует при решении значительного числа физических задач и закономерно включается в математическое описание отдельных химических, биологических и других процессов.Таким образом, логарифмы используются для вычисления постоянной распада для известного периода полураспада или для вычисления времени распада при решении задач радиоактивности. Они выступают в ведущей роли во многих разделах математики и практических наук, к ним обращаются в области финансов для решения большого количества задач, в том числе и при расчете сложных процентов.

    логарифмов и счет возраста | Наука4Все

    Я только что закончил читать его книгу «Наука в использовании ненаучных материалов» , когда, к сожалению, Альбер Жаккард, в возрасте 2 лет.06, скончался 11 сентября 2013 г.

    Что? Ему было 2,06?

    Вот как ему нравилось называть свой возраст! И, чтобы воздать должное этому известному генетику и великому популяризатору науки, я решил написать эту статью, чтобы объяснить, как и почему ему нравилось, чтобы возрасты давались именно так!

    Логарифмы и весы

    Прежде чем перейти к подсчету возраста, позвольте мне сначала представить логарифмов , которые являются ключевыми математическими объектами для описания возраста, как это любил делать Альберт Жаккар.х = 100$.

    Решение равно 2, верно?

    Да! Вот почему мы пишем $\log_{10} (100) = 2$.

    Но какой смысл решать такое уравнение?

    Математики любят изучать решения уравнений… Но на практике логарифм — это удивительный инструмент для записи в удобочитаемой форме чрезвычайно больших или чрезвычайно малых чисел. Например, логарифмы всех масштабов Вселенной колеблются только между -35 и 27! Вот что замечательно с логарифмами! Они позволяют охватить все масштабы сложной вселенной двузначными числами! Эти шкалы, полученные с помощью логарифмов, называются логарифмическими шкалами .Для отличного примера посмотрите эту потрясающую анимацию Кэри Хуанга на htwins.net.

    Тот факт, что все масштабы нашей Вселенной лежат в пределах двухзначных логарифмических значений, на самом деле подчеркивает, насколько малы астрономические цифры. Для сравнения, математика и криптография часто имеют дело с гораздо большими числами, логарифмы которых могут равняться миллионам! Узнайте больше об очень больших числах из моего доклада «Путешествие по математике 20-го века».

    Итак, логарифмические шкалы отлично подходят для того, чтобы говорить о масштабах Вселенной?

    Да! Но это не все.На самом деле, это не то место, где они используются больше всего! Многие другие измерения производятся с такими логарифмическими шкалами. 12 раз громче первого! Разобраться в этих больших масштабах легче с логарифмическими масштабами!

    Другим важным примером является измерение концентрации кислоты в воде (pH), как показано в этом замечательном видео Стива Келли на TedEducation:

    Итак, если я правильно понял, логарифмы не обязательно имеют 10-ю систему счисления, верно?

    Да.\alpha$ для $\alpha > 0$. Таким образом, мы часто используем их в качестве эталона для обсуждения небольшого роста. Важным примером этого является фундаментальная теорема о простых числах .

    Какая теорема?

    Теорема о простых числах — это характеристика распределения простых чисел. Впервые обнаруженный Карлом Фридрихом Гауссом, он был позже доказан Адамаром и де ла Валле-Пуссен. В нем говорится, что средний разрыв между последовательными простыми числами растет по мере того, как мы рассматриваем все большие и большие числа, и этот рост аналогичен росту логарифмов. Но вместо моих объяснений послушайте Маркуса дю Сотуа:

    Что меня особенно озадачивает в теореме о простых числах, так это то, что задействованный логарифм на самом деле является натуральным логарифмом, о котором мы поговорим позже! Как вы увидите, определение натурального логарифма не имеет абсолютно никакого отношения к простым числам!

    Другие важные примеры сравнения роста появляются в теории сложности. Об этом можно прочитать, например, в моей статье о распараллеливании.

    Подсчет возраста

    С математической точки зрения способность записывать огромные числа не является новаторским достижением. Это не то, что делает логарифмы важными для математики. Что делает, так это их способность преобразовывать умножения в сложения. И это ключевое свойство логарифмов, которое побудило Альбера Жаккара предложить использовать их для определения возраста.

    Что ты имеешь в виду?

    Альбер Жаккар заметил, что между 25-летней девушкой и 45-летним мужчиной не такая большая разница в возрасте, как между 5-летней девушкой и 25-летним.Эту идею иллюстрирует следующий эпический отрывок из «Друзей», где Моника рассказывает родителям, что встречается с их старым другом Ричардом:

    .

    Хмм.. Забавно! Разница в возрасте, кажется, уменьшается… с возрастом…

    Что ж, если подумать, это не так уж и удивительно. Ведь 25-летний мужчина прожил в 5 раз дольше, чем 5-летняя девушка, а между 45-летним мужчиной и 25-летней девушкой не такое уж большое соотношение.

    То есть вы хотите сказать, что разница в возрасте должна учитываться по возрастному соотношению, а не по… разнице в возрасте?

    Ну, вроде как… Согласно Альберту Жаккару, причина, по которой разница в возрасте не означает того, что она должна означать, заключается в том, что мы используем неправильную единицу измерения возраста!

    Что? Наша мера времени неверна?

    Наша мера времени в порядке. Но что вводит в заблуждение, так это наш способ сказать, сколько нам лет! В частности, правильный способ выражения разницы в возрасте должен скорее соответствовать соотношению количества прожитого времени.

    Как нам это сделать?

    Первым шагом является сравнение времени жизни с соответствующим характерным количеством времени, которое представляет жизнь. Альбер Жаккар любил выбирать продолжительность беременности человека (9 месяцев). Затем он предложил записать количество прожитых нами беременностей в степени 10. И эта степень будет тогда определяться как возраст.Другими словами, возраст теперь определяется как логарифм количества прожитых беременностей. Это соответствует следующим формулам:

    Напомним, что Эпоха в формуле – это то, как определяет ее Альбер Жаккар! Это не то, что мы обычно называем возрастом !

    Итак, сколько лет Монике и Ричарду?

    25-летняя Моника прожила 300 месяцев. Это $300/9 = 33$ продолжительности беременности. Таким образом, ее возраст $\log_{10}(33) \приблизительно 1.52$. Между тем, возраст 45-летнего Ричарда $\log_{10}(45\times 12/9)\приблизительно 1,78$.

    Звучит сложно… Зачем нам это?

    Ну, мы сказали, что важно соотношение количества раз, когда люди были живы, верно? Итак, чтобы сравнить возраст Ричарда и Моники, нам нужно разделить продолжительность жизни Ричарда на продолжительность жизни Моники… И, как по волшебству, мы получим следующее уравнение:

    Итак, соотношение жизней теперь соответствует… фактической разнице в возрасте! Это то, что мы хотели!

    Так какая разница в возрасте между Моникой и Ричардом на момент выхода эпизода и 20 лет назад?

    Разница в возрасте между 25-летней Моникой и 45-летним Ричардом составляет 1 доллар.78-1,52\около 0,26$. За двадцать лет до этого разница в возрасте составляла $\log_{10}(25 \times 12/9) – \log_{10}(5 \times 12/9) = 0,70$. По сравнению с двадцатью годами ранее Моника и Ричард теперь почти ровесники! К тому же, подождите еще 20 лет, и тогда их разница в возрасте составит 0,16…

    . Я знаю, что большинству людей не нравятся десятичные числа. Чтобы исправить это, мы можем выбрать другое основание для логарифма или, проще говоря, умножить все возрасты на 100! И прежде чем вы пойдете и скажете, что это бред, на самом деле это суть закона Вебера-Фехнера!

    Продукты становятся суммами

    Эта способность логарифмов преобразовывать умножение в сложение является ядром его потенциала в математике.До того, как были изобретены компьютеры, это дало мощный способ быстро вычислять огромные умножения, как показано в следующем видео от Numberphile:

    Но с изобретением компьютеров это стало совершенно бесполезным, верно?

    Довольно много! Но это не единственное применение способности логарифмов преобразовывать произведения в суммы. В статистике для настройки моделей один из классических приемов состоит в поиске параметров, которые делают наблюдения наиболее вероятными. Это известно как метод оценки максимального правдоподобия . Это тот, который я использовал для оценки уровней национальных футбольных команд для имитации чемпионатов мира!

    При чем здесь логарифмы?

    Вероятность — это вероятность возникновения большого числа событий. Предполагая, что эти события независимы, вероятность равна произведению вероятностей событий. Тем не менее, чтобы максимизировать вероятность, классический подход состоит в ее дифференциации.И, как вы, наверное, уже поняли, отличить продукт довольно сложно. Прелесть логарифмов в том, что они превращают произведение в сумму, которую бесконечно легче дифференцировать!

    Мораль такова: всякий раз, когда вам нужно дифференцировать сложное произведение, старайтесь вместо этого дифференцировать его логарифм!

    Буду иметь в виду!

    Еще одна область, где логарифмы необходимы, — это теория информации Шеннона и энтропия в термодинамике. В частности, чтобы выразить количество информации, которое может содержать система, Шеннону пришла в голову блестящая идея рассматривать его как логарифм числа состояний, в которых она может находиться.

    Почему это такая замечательная идея?

    Если у вас есть два жестких диска, количество состояний, в которых они могут находиться, является произведением количества состояний, в которых может находиться каждый из них. теперь сумма объемов информации каждого из них! Вот что мы на самом деле имеем в виду, когда говорим, что 1 гигабайт плюс 1 гигабайт равно 2 гигабайтам! За этим простым предложением скрывается всемогущество логарифмов!

    С чисто математической точки зрения эта способность логарифмов преобразовывать произведения в прибавления является фундаментальной связью между двумя операциями.*_+, \times)$ в $(\mathbb R, +)$. На самом деле, логарифм даже дифференцируем, и его обратный тоже, что делает логарифм диффеоморфизмом группы Ли!

    Значит ли это, что мы можем пойти наоборот?

    Да! Другие способы известны как экспоненты . Экспоненты превращают суммы в произведения. Как и логарифмы, экспоненты определяются основанием. Если экспонента и логарифм определены с одним и тем же основанием, то экспонента логарифма и логарифм экспоненты возвращают нас к исходной точке.{\log_{10}(х)} = х$. Геометрически это прекрасное свойство означает, что главная диагональ является осью симметрии между графиками экспонент и графиками логарифмов, как показано на рисунке справа.

    Исчисление и натуральный логарифм

    Область, в которой больше всего стремились логарифмы, — исчисление, особенно дифференциальное и интегральное исчисление.

    Почему?

    Это потому, что примитив $1/x$ — это… логарифм!

    Если вы не знаете, что такое примитив, не пугайтесь! Я все объясню!

    Логарифм? С чего бы это?

    Хе-хе!!! Докажем! Покажем, что примитив $1/x$ преобразует умножение в сложение.Х дх/х$.

    Обратите внимание, что если $X$ на самом деле находится слева от 1, то $Area(1,X)$ является противоположностью площади под кривой между $X$ в $1$. Другими словами, $Площадь(1,Х) = – Площадь(Х,1)$.

    Теперь я хочу, чтобы вы доказали, что $Area(1,X)$ на самом деле является логарифмом $X$!

    Что? Я думал, что я должен был только читать!

    Давай! Это крутое упражнение!

    Я понятия не имею, с чего начать!

    Прочитайте то, что я только что сказал!

    Вы сказали что-то о доказательстве того, что примитив превращает умножение в сложение…

    Да! Что это значит?

    Полагаю, это означает, что я должен доказать, что $Площадь(1,Х\умножить на Y) = Площадь(1,Х) + Площадь(1,Y)$…

    Точно!

    Но как я могу это доказать?

    Когда я застрял, я люблю рисовать…

    Хорошая идея! Позвольте мне нарисовать три области!

    Позвольте мне помочь вам:

    Итак, чтобы доказать $Площадь(1,Х \умножить на Y) = Площадь(1,Х) + Площадь(1,Y)$, вам действительно нужно доказать, что…

    Зеленая область такая же, как синяя!

    Точно! Технически, то, что вы только что использовали, — это соотношение Чазля $Площадь(1, X \times Y) = Площадь(1, Y) + Площадь(Y, XY)$. Затем, вычитая $Area(1,Y)$ в обеих частях приведенного выше уравнения, уравнение, которое нужно доказать, становится $Area(Y, XY) = Area(1,X)$. Это и есть равенство зеленой и синей областей!

    Отлично!

    Но это еще не все…

    Я знаю… Но как мне доказать, что зеленая и синяя области равны?

    Сравните их!

    Хм… Я знаю! Во-первых, синяя область представляет собой горизонтальное растяжение зеленой области в $Y$ раз!

    Точно! Синяя область по горизонтали длиннее в $Y$ раз! А по вертикали?

    Я знаю! Если затем мы сократим зеленую область по вертикали на коэффициент $Y$, ее площадь не изменится!

    Бинго! Вот вам цифра тех операций, о которых вы говорите!

    Справедливости ради нужно еще доказать, что растянутая по горизонтали и сжатая по вертикали зеленая область идеально совпадает с исходной синей областью.Но я оставлю это как домашнее задание!

    Вот почему площади зеленой и синей областей равны… И $Area(1, XY) = Area(1,X) + Area(1,Y)$! Это блестяще!

    Я знаю! Вот почему примитив $1/x$ — это логарифм! Он известен как натуральный логарифм и обычно обозначается как $\ln x = Area(1,x)$. Однако основание этого логарифма — странное число, названное числом Эйлера в честь великого математика Леонарда Эйлера. Он обычно обозначается как $e$ и приблизительно равен $e \ приблизительно 2.7$. Это решение уравнения $Area(1,x) = 1$.

    Но как $\ln$ сравнить с $\log_{10}$?

    Попробуй сам разобраться!

    Давай! Я только что доказал трудную теорему!

    Чтобы узнать, как изменить базу, вы можете просто поиграть с формулами. В итоге вы получите $\log_c x = \log_b x / \log_b c$. Так, в частности, $\ln x = \log_{10} x / \log_{10} e$.

    Силовая серия

    Этот последний раздел будет более техническим… Рекомендуется прочитать мою статью о дифференциальном исчислении и бесконечных рядах.Если вы не знакомы с этими важными темами математики, вы все равно должны быть в состоянии следовать основным идеям.

    Исторически изобретение логарифмов сопровождалось первыми исследованиями бесконечных сумм, также известных как бесконечные ряды . n)$.Это доказывает, что тогда радиус сходимости равен $|c|$, что означает, что начало координат находится на краю диска сходимости.

    Пример трех первых шагов расширения показан ниже:

    Продолжая это до бесконечности, мы теперь можем определить логарифмы почти для всех точек комплексной плоскости! Эта удивительная техника известна как аналитическое продолжение .

    Эта идея аналитического продолжения является важным шагом в гипотезе Римана, одной из проблем премии тысячелетия и самой большой открытой проблемой в теории чисел.

    Достигнем ли мы всех точек комплексной плоскости?

    Некоторые точки будут недостижимы, как бы мы ни старались расширить аналитическое продолжение. Но в случае с логарифмом единственная недостижимая точка — это $0$! Мы говорим, что $0$ — это полюс натурального логарифма.

    Разве у нас не может быть противоречащих друг другу значений логарифма между двумя разложениями?

    К сожалению, да. Дело в том, что каждое расширение действует локально. Каждое расширение находится в согласии с расширениями его соседей.{2ik\pi} = 1$ для всех целых чисел $k$?

    Точно! Фактически натуральный логарифм определен с точностью до $2i\pi$! Вот почему Бернхарду Риману пришла в голову блестящая идея определить натуральный логарифм на своего рода бесконечной винтовой лестнице, а не на комплексной плоскости. Эта лестница известна как риманова поверхность натурального логарифма и объясняется Джейсоном Россом в видеоролике ниже:

    Чтобы получить почти естественный четко определенный натуральный логарифм в комплексной плоскости, математики часто предпочитают разрезать его по запрещенной полулинии, начинающейся в начале координат.Обычно выбирается половина строки отрицательного числа, и мы выбираем определение логарифма, которое дает $\ln 1 = 0$. Затем мы применяем аналитическое продолжение, но запрещаем аналитическому продолжению пересекать запрещенную половину линии. Эти ограничения гарантируют, что разложение натурального логарифма на комплексную плоскость за вычетом запрещенной полупрямой будет четко определенным и уникальным. Это то, что изображено ниже:

    Получаемый таким образом натуральный логарифм таков, что $\ln z$ всегда имеет мнимую часть в $]-\pi, \pi[$.Он известен как главное значение логарифма.

    Подведем итоги

    Основная идея этой статьи заключается в том, что логарифмы представляют собой скрытую структуру между умножениями и сложениями. Это фундаментальное свойство логарифмов, и оно имеет много прямых приложений в вычислениях, исчислении и теории информации. И подсчет возраста… Важным следствием этого свойства является тот факт, что логарифмы могут отображать размер огромных чисел маленькими.x$ конгруэнтно некоторому числу $n$ по модулю $p$. Если $p$ простое число, то этот логарифм корректно определен.

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.