Егэ по математике как решать задание 18 егэ: Ваш браузер устарел

Содержание

ЕГЭ по информатике 2022 — Задание 18 (Таблица чисел)

Привет! Мы добрались до 18 задания из ЕГЭ по информатике 2021.

Это задание снова решается с помощью компьютера.

Восемнадцатое задание направлено на обработку вещественных чисел с помощью таблиц. Мы с вами будет использовать программу Excel от компании Microsoft.

Перейдём к к тренировке решения 18 задания из ЕГЭ по информатике 2021.


Задача (Стандартная)

Квадрат разлинован на N×N клеток (1

Откройте файл. Определите максимальную и минимальную денежную сумму, которую может собрать Робот, пройдя из левой нижней клетки в правую верхнюю. В ответ запишите два числа друг за другом без разделительных знаков — сначала максимальную сумму, затем минимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N×N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата.

Пример входных данных:

Для указанных входных данных ответом должна быть пара чисел 35 и 15.

Решение:

Открываем файл к данной задачке.

В начале найдём максимальную сумму.

Выделяем область всех ячеек, где написаны числа, вырезаем её и вставляем на столбец правее. Это нужно для того, чтобы при составлении формулы решения не было ошибок.


Обозначим мысленно ту область, где мы будем составлять наше решение, пропустив одну или две строчки снизу. По размеру область будет такая же.


В каждой ячейке этой области будет лежать максимальная cумма, которую может собрать Робот, дойдя до этой клетки. Т.к. Робот идёт в верхнюю правую клетку, то, соответственно, в ячейке K12 будет находится нужный нам ответ.

Наш Робот идёт из левой нижней клетки. Поэтому формулу, решающую эту задачу, составим сначала для ячейки B21.

Кликаем на ячейку B21 и пишем формулу:


=МАКС(A21;B22)+B10

Примечание: Чтобы в ячейке начать писать формулу, нужно поставить знак «=».

В любую ячейку нашей области можно попасть либо слева, либо снизу (Т.к. составляем формулу для любой ячейки, то не играет роли, что в данная ячейка угловая). Поэтому для ячейки B21 мы берём предыдущий результат — либо из левой ячейки, либо из правой ячейки, в зависимости от того, где собранная сумма больше.

Эту роль исполняет функция МАКС(). Она помогает выбрать откуда нужно идти, чтобы сумма всегда была максимальна.

Плюс, мы должны добавить сумму для данной ячейки к максимальной сумме предыдущей клетки. Поэтому в формулу дописываем ячейку B10

После того, как составили формулу для одной ячейки B21, можно распространить формулу на всю область.

Подносим мышку к правому нижнему углу. Как только появился чёрный крестик, кликаем левую кнопку мыши, и тянем вверх на 10 строчек вверх.


После того, как столбец готов, выделяем этот столбец, и аналогично, распространяем его на всё пространство.


В итоге получается такая картина:


Видим, что в ячейке K12 значение 1298. Это значение нам и нужно.

Аналогичным образом ищется минимальное значение, только в формуле вместо функции МАКС будет использоваться функция МИН.

Минимальное значение получилось 589.


Ответ: 1298589

Посмотрим ещё одну интересную задачу из примерны задач ЕГЭ по информатике нового образца 2021.


Задача (со стенками)

Квадрат разлинован на N × N клеток (1 вправо или вниз. По команде вправо Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде вниз – в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может. Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота. Определите максимальную и минимальную денежные суммы, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в правую нижнюю.

В ответе укажите два числа – сначала максимальную сумму, затем минимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N × N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщенными линиями.

Пример входных данных:


Для указанных входных данных ответом должна быть пара чисел

Решение:

Открываем файл в программе

Excel.

Выделим все ячейки с числами, нажмём «вырезать», используя контекстное меню. Вставим данные на 1 столбец вправо. Это делаем потому, что будем использовать для решения формулу, которая будет обращаться к ячейке слева.

Мысленно представим пространство на 1 строчку ниже, чем область, где находятся числа. Это пространство будет таким же по размерам, как и область с числами. В этом пространстве и будет наше решение.


Отметим особым цветом те ячейки, которые «спрятаны» от движения Робота стенками.


Для этих ячеек будем составлять другие формулы, в отличии от обычных ячеек.

Цвет ячейки можно поменять, нажав на кнопку «Цвет заливки» на главной вкладке программы.

Т.к. Робот направляется из левой верхней ячейки, то мы сначала и напишем формулу для этой ячейки. Пишем для ячейки B22:


=МАКС(B21;A22)+B1

Робот в любую ячейку может прийти либо сверху, либо слева. Для подсчёта максимального количества монет, мы должны выбрать максимальное предыдущее значение. Это и делаем формула. Плюс Робот должен взять монеты с текущей клетки.

Распространим формулу на всё пространство, не трогая закрашенные клетки.


Получается такая картина:


В ячейки для первой закрашенной области, Робот может попасть только сверху! Поэтому пишем формулу для ячейки h35:


=h34+h5

Распространяем формулу по всему закрашенному столбцу.

В ячейки для второй закрашенной области, Робот может попасть только слева! Поэтому пишем формулу для ячейки М39:


=L39+M18

Распространяем формулу по всей закрашенной строчке.

В правом нижнем углу нашего рабочего пространства получается максимальное количество монет, которое может собрать Робот. В ячейке U41

получается число 721.

Чтобы получить минимальную возможную сумму, в главной формуле функцию МАКС нужно заменить на МИН!

Удобно воспользоваться автоматической заменой через Ctrl+F.


Минимальная сумма равна 640.


Ответ:

Задача (Два Робота)

Квадрат разлинован на N×N клеток (2

Два исполнителя – ВЕРХ и НИЗ – существуют на одинаковых полях. Первый имеет две команды – вверх и вправо, второй – вниз и вправо, которые, соответственно, перемещают исполнитель на одну клетку вверх, вниз или вправо. Исполнитель ВЕРХ начинает движение в левой нижней ячейке, исполнитель НИЗ – в левой верхней.


Откройте файл. Какой из исполнителей соберет большее количество монет в результате своей работы, если известно, что каждый из них запрограммирован собрать максимальное количество монет?

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N×N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата.

Пример:


188410
101132
131228
235611
31914115

Для указанных входных данных ответом является комбинация из названия исполнителя и количества собранных монет


ВЕРХ84

Решение:

Перенесём таблицу чисел на один столбец вправо.

Найдём, сколько соберёт монет исполнитель ВЕРХ.

Исполнитель «ВЕРХ» начинает идти с левой нижней клетки. Поэтому первую формулу мы зададим для клетки B27. Эта ячейка является нижней левой клеткой для области, где мы будем составлять решение.

Напишем в ячейке B27:


=МАКС(A27;B28)+B13

Распространим формулу на всё пространство.


Когда исполнитель пройдёт всё поле, в ячейке N15 будет находится ответ. Максимальное количество монет, которое может собрать исполнитель ВЕРХ будет 1743.

Теперь найдём максимальное количество монет, которое может собрать исполнитель НИЗ.

Решать будем аналогичным образом, удалив все следы от предыдущего исполнителя.

Т.к. исполнитель НИЗ стартует с левой верхней клетки, то мы сначала составим формулу для ячейки B15. Эта клетка олицетворяет левую верхнюю ячейку для области, где будет происходить решение.

=МАКС(B14;A15)+B1

В любую ячейку мы можем попасть либо сверху, либо слева. Это не относится к боковым и угловым ячейкам, но формула будет работать и для них.

При составлении максимальной суммы для любой ячейки, мы выбираем максимальное значение суммы из двух предыдущих ячеек + добавляем значение для этой ячейки.

Распространим формулу на всё пространство.


В ячейке N27 будет максимальное значение для исполнителя НИЗ. Получилось 1686.

Видим, что у исполнителя ВЕРХ получилось собрать больше монет.


Ответ: ВЕРХ1743

Задание 18 из реального ЕГЭ по математике 01.06.2018

Задание 18 из реального ЕГЭ по математике 01.06.2018.

Найти все значения ,  при каждом из которых система уравнений

Имеет ровно четыре различных решения.

 

Будем решать задачу графически.

Первое уравнение: произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

То есть первое уравнение равносильно совокупности:

   

Нам удобно выразить через :

   

Или так:

   

В итоге получаем систему:

   

График первого уравнения совокупности представляет собой семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, которые проходят через точку с координатами .

График второго уравнения совокупности представляет собой семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, которые проходят через точку с координатами .

График третьего уравнения представляет собой окружность с центром в начале координат, радиус которой равен 4.

Система имеет ровно четыре решения, если каждая прямая совокупности имеет с окружностью две общие точки.

Изобразим графики всех уравнений на координатной плоскости. Так как мы решили выразить через , вертикальная ось будет ось , а горизонтальная — ось .

Рассмотрим семейство прямых . (1)

Прямые семейства имеют две точки пересечения с окружностью, если расположены в голубой области. Эта область ограничена касательными к окружности, проведенными из точки .

То есть если коэффициент наклона должен быть больше чем   или меньше чем :

или .

Найдем  и .

Из соображения симметрии  ясно, что  .

Рассмотрим прямоугольный треугольник .  — радиус, проведенный к точке касания.

, отсюда

Следовательно, ; .

Отсюда  или .

или  (3)

Рассмотрим семейство прямых . (2)

Прямые семейства имеют две точки пересечения с окружностью, если расположены в зеленой области. Эта область ограничена касательными к окружности, проведенными из точки .

 

То есть коэффициент наклона прямых должен быть больше чем   или меньше чем :

или .

Чтобы найти и рассмотрим прямоугольный треугольник .  — радиус, проведенный к точке касания.

 

Отсюда ; .

Тогда .

Следовательно,  или .

Отсюда получаем:  или . (4)

Кроме того, важно заметить, что семейства прямых (1) и (2) имеют общую прямую, которая проходит через точки и . Уравнение этой прямой :

Значит, если коэффициент наклона равен -1, то система имеет два решения, и этот случай нам не подходит.  Отсюда:

. (5)

Подытожим:

   

 

Ответ: UU

КАК НАУЧИТЬ РЕШАТЬ ЗАДАНИЕ 18 ЕГЭ ПО ИНФОРМАТИКЕ

как научить решать задание 18 егэ по информатике

Перед тем как приступать к решению заданий 18 «Проверка истинности логического выражения» экзаменационной работы по информатике, нужно объяснить (или вспомнить) учащимся, что такое понятие «объединение» и «пересечение» нескольких множеств. И так как задание 18 связано с определением отрезков, то и лучше всего эти понятия объяснять на отрезках. Но связать необходимо эти понятия с понятиями алгебры логики – «конъюнкция» и «дизъюнкция», ну и, конечно же, «инверсия». Приведу это все на примере. Для начала рассмотрим инверсию отрезка, или, проще говоря, отрицание отрезка.

Дан отрезок P=[6,15]. Найти отрезки, которые будут инверсией отрезка P=[6,15]. Рассмотрим координатную прямую (рис. 1):

§

рис. 1

На прямой отмечаем отрезок P (синяя область), тогда понятно, что промежутки не P будут промежутки и (зеленая область) – рис. 1. Обращая внимание, что точки 6 и 15 в инверсию отрезка входить не будут.

Рассмотрим еще пример: даны два отрезка P=[6,15] и Q=[8,25]{приведены те же обозначения, что и в задании ЕГЭ, чтобы учащиеся сразу привыкали к обозначениям}. Найти отрезок, который будет обозначать конъюнкцию (объединение) и дизъюнкцию (пересечение) этих отрезков

Рисуем отрезки на координатной прямой (рис. 2):

15

8

25

рис. 2

Сначала отмечаем области на координатной прямой, которые обозначают отрезки P (синий цвет) и Q (желтый цвет). Затем определяем, какая часть координатной прямой будет служить конъюнкцией этих двух отрезков. Здесь вспоминаем, что конъюнкция – это логическая операция, которая объединяем два простых высказывания в сложное с помощью логической связки «и», и сложное высказывание будет приобретать значение «истина» тогда и только тогда, когда истины оба исходных простых высказывания. Таким образом, получаем, что нужно найти области, где и отрезок P и отрезок Q имеют место, а такая область только одна – отрезок [8,15] (красный цвет). Более подробно исследуем все отрезки прямой, чтобы учащимся было нагляднее и понятнее воспринимать материал, итак:

  1. — на этом промежутке отрезки имеют следующие значения («равно 1» – ставим, если любая точка, взятая в этом промежутке будет принадлежат рассматриваемому отрезку, и «равно 0» – если точка не принадлежит отрезку) P=0, Q=0, следовательно, и конъюнкция этих отрезков будет также равна 0.

  2. — P=1, Q=0, конъюнкция отрезков будет равна 0

  3. — P=1, Q=1, конъюнкция отрезков будет равна 1 – это искомый нами отрезок (красный цвет) – рис. 2

  4. — P=0, Q=1, конъюнкция отрезков будет равна 0

  5. — P=0, Q=0, конъюнкция отрезков будет равна 0

Теперь аналогичным образом разберемся с дизъюнкцией этих отрезков. Опять же обратимся к определению этой логической операции – «дизъюнкцией называется логическая операция, которая в соответствии двум и более логическим высказываниям ставит новое, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих исходных высказываний». То есть другими словами, нам надо найти на координатной прямой такие промежутки, где есть хотя бы один из исходных наших отрезков, этот искомый промежуток будет [6,25] – зеленый цвет (рис. 2). Также разберем каждый из промежутков и покажем, что это действительно так:

  1. — на этом промежутке отрезки имеют следующие P=0, Q=0, следовательно, и дизъюнкция этих отрезков будет также равна 0.

  2. — P=1, Q=0, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток

  3. — P=1, Q=1, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток

  4. — P=0, Q=1, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток

  5. — P=0, Q=0, дизъюнкция отрезков будет равна 0

Объединяя найденные промежутки, получаем что искомый отрезок, обозначающий дизъюнкцию исходных отрезков – это отрезок [6,25] – зеленый цвет (рис. 2).

После разбора данного примера, можно дать учащимся попробовать найти различные сочетания логических операций – дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Например, даны два отрезка P=[-4,10] и Q=[5,30]. Найти отрезок, который будет обозначать следующие логические операции: , , (можно придумать и другие различные сочетания этих логических операций).

  1. решение (рис. 3). Для начала строим координатную прямую и отмечаем на ней отрезки, обозначающие исходные отрезки P=[-4,10] (синяя область) и Q=[5,30] (желтая область). Затем на прямой отмечаем промежутки, которые будут инверсией отрезка P (красные области). А теперь, пользуясь выше разобранным примером, смотрим, какие области будут отвечать за дизъюнкцию инверсии отрезка P и Q. Это будут промежутки и (зеленая область)

рис. 3

  1. решение (рис. 4). Аналогично выше рассмотренному решению строим координатную прямую и отмечаем исходные отрезки. Но в отличие от предыдущего примера, сначала строим инверсию отрезка Q (красные области). Далее вспоминая, как мы искали промежутки, которые будут конъюнкцией двух отрезков, отмечаем тот промежуток, который послужит решением для нашего примера. Это будет (зеленая область) – рис. 4

рис. 4

  1. решение (рис. 5). Решением для данного случая будут области и (10 — зеленая область

рис. 5

Когда разобраны все примеры, то у учащихся не возникнет трудностей с пониманием и решением задания №18 из экзаменационной работы единого государственного экзамена по информатике.

Приведем примеры решений нескольких заданий:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2,42] и Q =[22,62]. Выберите такой отрезок A, что формула

(xA) → ( (x P) → (xQ) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Возможные варианты ответов:

1) [3, 14] 2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]

Решение (рис. 6): чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами — A: x А, P: x P, Q: x Q. Таким образом, получаем следующее выражение с учетом замены: → ( P →)=1. Равенство выражения 1 говорит о том, что какое бы значение переменной х мы не взяли, наше логическое выражение принимает значение 1, то есть на всей числовой прямой. Вспомним некоторые логические законы и равенства и преобразуем наше выражение: =1. В итоге получаем, что нам надо построить дизъюнкцию трех отрезков, два из которых нам известны. Их то мы и построим (рис. 7). Для начала, как и во всех выше приведенных примерах, мы должны построить инверсии отрезков P (оранжевый цвет) и Q (красный цвет). Затем из всего выражения мы можем определить промежутки дизъюнкции =1 (зеленые области рис. 7). Таким образом получаем, что у нас на координатной прямой есть «свободная» часть — . Эту часть прямой и должен перекрыть искомый отрезок А.

рис. 7

Рассмотрим варианты ответов:

  1. [3, 14] – не подходит этот вариант, так как он не принадлежит совсем «свободной» части — (рис. 8)

рис. 8

  1. [23, 32] – не подходит (рис. 9). Казалось бы, этот отрезок принадлежит «свободной» части — , но он не перекрывает его полностью. Остаются пустые части — [22, 23] и [32, 42]. Тем самым это не вариант решения задания.

рис. 9

  1. [43, 54] — случай аналогичен первому варианту. Этот отрезок не входит в «свободной» часть — (рис. 10)

рис. 10

  1. [15, 45]- этот вариант является верным ответом, так как полностью перекрывает «свободную» часть — (рис. 11), даже выходит за ее пределы, но это не противоречит определению дизъюнкции и является решением данного задания.

рис. 11

Можно бесконечно много рассматривать варианты задач на заданную тему, самое главное, я считаю, это дать понять учащимся, как найти области, которые будут являться инверсиями, конъюнкциями и дизъюнкциями отрезков и других множеств.

Задания для решений можно посмотреть на сайте Константина Полякова http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm.

Литература

  1. http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm.

12 математических приемов, которые помогут вам решать задачи без калькулятора | by Andrew Jamieson

Разработайте это в уме

Photo by Crissy Jarvis на Unsplash

1.

Дополнение

Первый прием — упростить задачу, разбив ее на более мелкие части. Например, мы можем переписать

 567 + 432 
= 567 + (400 + 30 + 2)
= 967 + 30 + 2
= 997 + 2
= 999

Часто проще работать с

4 добавив меньшее число, поэтому вместо 131 + 858 поменяйте местами числа

 858 + 131 
= 858 + 100 + 30 + 1
= 989

2.Вычитание

Использование дополнения числа может облегчить вычитание. Дополнение — это разница между исходным числом и круглым числом, скажем, 100, 1000.

Вот несколько примеров сравнения числа и его дополнения со 100:

 67:33, 45:55, 89:11, 3 :97 

Обратите внимание, что вторые цифры в сумме дают 10, а первая цифра в сумме дает 9.

Вот как это может помочь

 721–387 
# дополнение 87 равно 13, поэтому мы можем поменять местами 387 где 400 – 13
-> 721 – (400 – 13)
= 321 – -13
= 321 + 13
= 334

Другой способ – выписать большее число так, чтобы оно заканчивалось на 99. На том же примере:

 721 -> (699 + 22) 
= 699 – 387 + 22
= 312 + 22
= 334
число, сложите цифры и поместите ответ в середину умножаемого числа:

 35 x 11 
-> 3 _ 5
-> 3+5 = 8
-> 3 8 5

Если сумма больше 10, добавьте цифру десятков в следующую колонку слева и запишите цифру единиц в ответе.Например, 4+8 = 12, запишите 2 и перенесите 1 в следующий столбец.

 48 x 11 
-> 4_8
-> 4+8 = 12
-> 4,12,8
-> 528

Процесс немного сложнее для трехзначных и более чисел, но он работает аналогичным образом. На этот раз сохраните первую и последнюю цифру и суммируйте цифры попарно

 725 X 11 
-> 7__5
-> 7_,(7+2=9), (2+5=7), _5
-> 7975 51973 x 11
-> 5__3
-> 5_,(5+1=6),(1+9=10), (9+7=16), (7+3=10), _3
# где сумма больше десяти, мы перемещаем цифру десятков в следующий столбец
-> 5,(6+1),(0+1),(6+1),(0),3
-> 571703

4.

2
# мы прибавляем 3 к 57, так как 60 легче умножать, чем 57, и вычесть 3 из второго 57
-> 60 x 54 + 9
= 3000 + 240 + 9
= 3249

Окончательный пример: когда вы возводите в квадрат число, оканчивающееся на 5, затем округляете одно число в большую сторону. до ближайших 10, другое число до ближайших 10 и добавить 25.2
= 4200 + 25
= 4225

6. Метод сближения

Аналогичный метод работает для умножения близких друг к другу чисел. Формула работает для всех чисел, но она не упрощается, если числа не похожи.

Вот формула. n — «базовое» число

 (n+a)(n+b) = n(n + a + b) + ab 

Пример:

 47 x 43 
= (40 + 7)(40 + 3)
= 40 х (40 + 3 + 7) + (7 х 3)
= (40 х 50) + (7 х 3)
= 2000 + 21
= 2021

В этом примере единицы цифры в сумме дают десять, поэтому наше «базовое» число и множитель — круглые числа (40 и 50).

Вот еще один пример. Уменьшите меньшее число, чтобы получить ближайшее круглое число — наше базовое число, в данном случае 40. Добавьте разницу к большему числу. Умножьте основание и большее число. Наконец, добавьте произведение разницы между исходными числами и базовым числом.

 47 х 42 
= (40 + 7) х (40 + 2)
= (40 + 7 + 2) х 40 + (7 х 2)
= (49 х 40) + (7 х 2)
= (40 х 40) + (40 х 9) + (7 х 2)
= 1600 + 360 + 14
= 1974

Вы также можете округлить до основного числа.Поскольку исходные числа меньше основания, мы добавляем произведение двух отрицательных чисел.

 47 х 42 
= (50 х 39) + (-3 х -8)
= (50 х 30) + (50 х 9) + (-3 х -8)
= 1500 + 450 + 24
= 1974

Это работает и для трехзначных чисел. В этом случае основное число находится между нашими числами, поэтому произведение является отрицательным числом.

 497 х 504 
= (500 – 3) х (500 + 4)
= (500) х (500 + 4 – 3) + (-3 х 4)
= 500 х 501 – 12
= 250 000 + 500 – 12
= 250 488
Фото Sandro Schuh на Unsplash

7.

Упрощение вычислений

Вы можете упростить некоторые уравнения еще до того, как начнете. Например, разделить и делитель, и делимое на два.

 898 / 4 
= 449 / 2
= 224 и ½

Обратите внимание, что при использовании этого метода остаток следует записывать в виде дроби:

 898/4 имеет остаток 2 — делится на 4 
449/2 имеет в остатке 1 — делится на 2

Дробь та же, но абсолютное число другое.

При делении на 5 измените уравнение, умножив его на 2.Гораздо проще делить на 10. Например:

 1753/5 
= 3506 / 10
= 350,6

8. Проверка на делимость

Существует множество способов быстро определить, является ли число фактором.

2 : число четное.

 Пример: 28790 четное число, поэтому оно делится на 2. 

3 : Сумма цифр делится на 3.

 Пример: 1281 -> 1+2+8+1 = 12 
-> 12 кратно 3, поэтому 1281 делится на 3

4 : Последние две цифры делятся на 4. Почему это работает? 100 кратно 4, поэтому нам нужно проверить только две последние цифры.

 Пример: 1472, 72 делится на 4, поэтому 1472 делится на 4. 

5 : число оканчивается на 5 или 0.

 Пример: 575 оканчивается на 5, поэтому оно делится на ноль 

7

7 6 : число четное, и сумма цифр делится на 3. 6 равно 3 x 2, поэтому применяются правила 2 и 3.

 Пример: 774 четно и 7+7+4 = 18 
-> 18 делится на 3, поэтому 774 делится на 6.

7 : Добавьте или вычтите число, кратное 7, к вашему числу, чтобы оно заканчивалось нулем. Отбросьте последнюю цифру с нулем и повторите процесс. Продолжайте, пока не сможете определить, делится ли результат на 7.

 Пример: 2702 добавить 98 (7 x 14) -> 2800, отбросить нули 
-> 28 кратно 7, поэтому 2702 делится на 7.

8 : Последние три цифры делятся на 8.

 Пример: 79256, 256 делится на 8, поэтому 79256 делится на 8. (Альтернативное правило: если цифра сотен  четная  , последние  2  цифр делятся на 8, если цифра сотен  нечетные  , последние  2  цифр  + 4  делятся на 8)  

2 то же правило, что и для 3, но с 9. Если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9.

 Пример: 13671 -> 1+3+6+7+1 = 18 
-> 18 делится на 9, поэтому 13671 делится на 9

10 : число заканчивается на 0.

 Пример: 280 оканчивается на 0, 280 делится на 10 

11 : Аналогичное правило для 3 и 9, начните с правой цифры и поочередно вычитайте и прибавляйте оставшиеся цифры. Если ответ равен нулю или кратен 11, то число делится на 11.

 Пример: 12727 -> 1 - 2 + 7 - 2 + 7 = 11, поэтому 12727 делится на 11. 

Вы можете ознакомьтесь с некоторыми дополнительными методами здесь.

9. Деление больших чисел на 9

 Пример: 
-> 10520/9

Напишите первую цифру над уравнением и напишите «R» (для остатка) над последней цифрой. Добавьте число, которое вы только что написали, и число по диагонали ниже и справа от него. Запишите это новое число во втором месте. Добавьте это число к числу по диагонали ниже и справа. Продолжайте этот процесс, пока не дойдете до R.

Суммируйте числа одного цвета, чтобы получить следующую цифру

Наконец, добавьте последнюю цифру к числу под R, чтобы получить остаток.

 10520/9 
= 1168 R8
или 1168,889

Вот еще пример:

 -> 57423/9 

внизу и справа больше десяти (5+7=12).Ставим единицу над первой цифрой и вычитаем из нее девять . (Мы делим по основанию девять, поэтому мы вычитаем девять, а не десять). Поместите полученное число на вторую позицию (12–9 = 3). Продолжайте тот же процесс.

В этом примере остаток больше 9 (9+3 = 12). Снова переносим единицу выше предыдущей цифры и вычитаем девять из остатка, оставляя три. Теперь добавьте результат и цифры переноса.

 57423 / 9 
= 6380 R3
или 6380. 333
Photo by Alison Pang on Unsplash

10. Переверните вопрос

Проценты являются ассоциативными, поэтому иногда изменение порядка вопросов облегчает вычисления.

 Пример: 
36% от 25
-> равно 25% от 36
-> 25% равно ¼
-> 36/4 = 9
36% от 25 равно 9

11. Дроби

Как вы можете видеть, использование ¼ в последнем примере помогает узнать дроби и то, как они связаны с процентами.

 1/2 = 50 %1/3 = 33,33 %, 2/3 = 66,67 %, 1/4 = 25 %, 3/4 = 75 %1/5 = 20 %, 2/5 = 40 % …1 /6 = 16,67%, 5/6 = 83,33% (2/6 = 1/3, 3/6 = 1/2, 4/6 = 2/3) 1/7 = 14,2857%, 2/7 = 28,5714% , 3/7 = 42,8571 %, 4/7 = 57,1428 % (обратите внимание на повторяющийся шаблон 0,142857) 1/8 = 12,5 %, 3/8 = 37,5 %, 5/8 = 62,5 %, 7/8 = 87,5 %1 /9 = 11,11 %, 2/9 = 22,22 %, 3/9 = 33,33 % … 1/10 = 10 %, 2/10 = 20 % … 1/11 = 9,09 %, 2/11 = 18,18 %, 3/ 11 = 27,27 % … 1/12 = 8,33 %, 5/12 = 41,67 %, 7/12 = 58,33 %, 11/12 = 91,67 % 

12.

Правило 72

Правило 72 позволяет оценить, насколько много лет потребуются инвестиции, чтобы удвоить стоимость при заданном процентном доходе.Он работает путем деления 72 на процент, а ответом является количество лет, которое потребуется, чтобы удвоиться.

 2% -> 72/2 = 36, примерно 36 лет, чтобы удвоить 
8% -> 72/8 = 9, примерно 9 лет, чтобы удвоить 2 — что дает 0,693. Таким образом, правило 69,3 было бы более точным, но 72 легче вычислить.

Существует также правило 114 для утроения инвестиций и правило 144 для четырехкратного увеличения ваших денег.

Я нашел две книги Артура Бенджамина, которые могут быть полезными по этой теме. Многие примеры в этом блоге были вдохновлены этими книгами. Вы можете проверить их здесь.

Пожалуйста, оставьте комментарий, если вы нашли это полезным, или поделитесь другими полезными приемами, с которыми вы столкнулись.

Работа и время – Алгебра среднего уровня

Если Фелиции нужно 4 часа, чтобы покрасить комнату, а ее дочери Кэти — 12 часов, чтобы покрасить ту же комнату, то, работая вместе, они могли бы покрасить комнату за 3 часа.Уравнение, используемое для решения задач этого типа, является одним из обратных уравнений. Выводится следующим образом:

Для этой задачи:

Чтобы превратить это уравнение в решаемое уравнение, найдите общее время, необходимое Фелиции и Кэти, чтобы покрасить комнату. На этот раз это сумма ставок Фелиции и Кати, или:

Карл может убрать комнату за 3 часа. Если его младшая сестра Кира поможет, они смогут убрать его за 2,4 часа. Сколько времени Кире понадобится, чтобы сделать эту работу в одиночку?

Уравнение, которое нужно решить:

Дугу требуется в два раза больше времени, чем Бекки, чтобы завершить проект.Вместе они могут завершить проект за 10 часов. Сколько времени потребуется каждому из них, чтобы завершить проект в одиночку?

Уравнение, которое нужно решить:

Это означает, что время, необходимое Бекки для завершения проекта в одиночку, равно .

Поскольку Дугу требуется в два раза больше времени, чем Бекки, время для Дуга составляет .

Джоуи может построить большой сарай на 10 дней меньше, чем Космо. Если бы они построили его вместе, это заняло бы у них 12 дней. Сколько времени потребуется каждому из них, работающему в одиночку?

Космо может построить большой сарай за 30 или 4 дня.Таким образом, Джоуи может построить сарай за 20 или −6 дней (отказано).

Решение: Cosmo строится 30 дней, а Joey — 20 дней.

Кларк может выполнить работу на один час меньше, чем его ученик. Вместе они выполняют работу за 1 час 12 минут. Сколько времени потребуется каждому из них, работающему в одиночку?

Ученик может выполнить работу либо за час (отказ), либо за 3 часа. Кларк занимает 2 часа.

Раковину можно наполнить через трубу за 5 минут, но чтобы осушить полную раковину, нужно 7 минут.Если и труба, и слив открыты, сколько времени потребуется, чтобы наполнить раковину?

7 минут на слив будут вычтены.

17,5 мин или 17 мин 30 с — это решение

.

Для вопросов с 1 по 8 напишите формулу, определяющую отношение. Не решить!!

  1. Отец Билла может покрасить комнату на 2 часа меньше, чем потребовалось бы Биллу, чтобы покрасить ее. Работая вместе, они могут выполнить работу за 2 часа 24 минуты. Сколько времени потребовалось бы каждому для работы в одиночку?
  2. Из двух подводящих труб меньшей трубе требуется на четыре часа больше времени, чем большей, чтобы наполнить бассейн.Когда обе трубы открыты, бассейн наполняется за три часа сорок пять минут. Если открыта только большая труба, сколько часов потребуется, чтобы наполнить бассейн?
  3. Джек может помыть и отполировать семейную машину на час меньше, чем Боб. Двое работающих вместе могут выполнить работу за 1,2 часа. Сколько времени потребовалось бы каждому, если бы они работали в одиночку?
  4. Если Юсеф может выполнить часть работы в одиночку за 6 дней, а Бриджит может сделать это в одиночку за 4 дня, сколько времени потребуется им двоим, чтобы выполнить работу, работая вместе?
  5. Работая в одиночку, Джон выполняет работу на 8 часов дольше, чем Карлос. Работая вместе, они могут выполнить работу за 3 часа. Сколько времени потребуется каждому, чтобы выполнить работу в одиночку?
  6. Работая в одиночку, Марьям может выполнить часть работы за 3 дня, которую Нур может сделать за 4 дня, а Элана - за 5 дней. Сколько времени им потребуется, чтобы сделать это, работая вместе?
  7. Радж может выполнить работу за 4 дня, а Руби — за половину времени. Сколько времени им потребуется, чтобы выполнить работу вместе?
  8. Цистерну можно наполнить по одной трубе за 20 минут, по другой за 30 минут.За какое время обе трубы вместе наполнят бак?

Для вопросов с 9 по 20 найдите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

  1. Если ученик может выполнить часть работы за 24 дня, а ученик и инструктор вместе могут сделать это за 6 дней, сколько времени потребуется инструктору, чтобы выполнить эту работу в одиночку?
  2. Плотник и его помощник могут выполнить работу за 3,75 дня. Если бы плотник сам мог выполнить работу один за 5 дней, то сколько времени потребовалось бы помощнику, чтобы выполнить эту работу в одиночку?
  3. Если Сэм может выполнить определенную работу за 3 дня, в то время как Фреду потребуется 6 дней, чтобы выполнить ту же работу, сколько времени потребуется им, работая вместе, чтобы выполнить эту работу?
  4. Тим может закончить определенную работу за 10 часов. Его жене Джоанне требуется всего 8 часов, чтобы выполнить ту же работу. Если они будут работать вместе, сколько времени им потребуется, чтобы выполнить работу?
  5. Два человека, работающие вместе, могут выполнить работу за 6 часов. Если один из них работает в два раза быстрее другого, сколько времени потребуется более медленному человеку, работающему в одиночку, чтобы выполнить эту работу?
  6. Если два человека, работая вместе, могут выполнить работу за 3 часа, сколько времени потребуется более быстрому человеку, чтобы выполнить ту же работу, если один из них в 3 раза быстрее другого?
  7. Резервуар для воды можно наполнить через впускную трубу за 8 часов.Выходная труба опорожняет резервуар в два раза дольше. За какое время наполнится бак, если обе трубы будут открыты?
  8. Раковину можно наполнить из крана за 5 минут. Опорожнение раковины при открытом сливе занимает всего 3 минуты. Если раковина полная, а кран и слив открыты, сколько времени потребуется, чтобы опорожнить раковину?
  9. Наполнение бассейна с помощью впускной трубы занимает 10 часов. Через выпускную трубу его можно опорожнить за 15 часов. Если бассейн с самого начала заполнен наполовину, сколько времени потребуется, чтобы наполнить его оттуда, если обе трубы открыты?
  10. Раковина заполнена на ¼, когда кран и слив открыты.Один только кран может наполнить раковину за 6 минут, а чтобы опустошить ее со сливом, требуется 8 минут. Сколько времени понадобится, чтобы заполнить оставшиеся ¾ раковины?
  11. В раковине два крана: один для горячей воды, другой для холодной. Раковину можно наполнить из крана с холодной водой за 3,5 минуты. Если оба крана открыты, раковина наполняется за 2,1 минуты. Сколько времени потребуется, чтобы наполнить раковину при открытом кране с горячей водой?
  12. Резервуар для воды наполняется двумя входными трубами.Труба А может наполнить бак за 4,5 часа, а обе трубы вместе могут наполнить бак за 2 часа. Сколько времени потребуется, чтобы наполнить бак, используя только трубу B?

Ключ ответа 9. 10

Математическая инициатива Кремниевой долины!!!

Математическая инициатива Кремниевой долины!!! Домашняя страница - Математическая инициатива Кремниевой долины!!!

23-й ежегодный Летний коучинговый институт SVMI

 

Улучшение преподавания математики и обучения студентов с 1996 года!

Инициатива по математике Силиконовой долины — это комплексная попытка улучшить преподавание математики и обучение учащихся.

SVMI обслуживает школы и округа Калифорнии и США.

Прокрутите вниз, чтобы узнать больше о том, как стать участником, или перейдите на вкладку «Стать участником», чтобы получить дополнительную информацию о присоединении к сети SVMI.

Предыдущий Следующий

Лос-казино онлайн сын conocidos desde Hace Tiempo Por Sus lucrativos y gratificantes bonos.Pesar де ла creencia популярных, Эстос бонос нет siempre se ofrecen exclusivamente лос miembros действительной де лос mejor paypal казино пункт móvilni сын соло пункт лос грандес apostadores у лос jugadores VIP. Todo lo contrario, la mayoría de los casino en línea ofrecen Hoy en día grandes y bien pagados bonos a los futuros jugadores. En el pasado, antes de que los casino en línea de España y el juego se hicieran Populares y comunes, лос казино necesitaban un medio para mantener su clientela y recompensar a aquellos jugadores que gastaban grandes sumas de dinero y tiempo en sus казино. Pues bien, desde la aparicion de los juegos de azar y loscasino en línea, eso ha cambiado drásticamente. Ахора-лос-казино, especialmente-лос-казино онлайн, compiten con cientos de Casinos diferentes por el tiempo y el dinero de los jugadores, y esto significa que los casinos están obligados a ofrecer a los jugadores potenciales algo para atraer su negocio. Aquí es donde entran en juego las promociones y las bonificaciones. Atrás quedaron los días en que los casino ofrecian a sus clientes Habitaciones de hotel y comidas gratis, al menos en el mundo онлайн.Hoy en día, лос-казино онлайн en España necesitan mantenerse al día, ofreciendo a los jugadores grandes sumas de dinero y otras promociones para atraer el negocio. Нет es raro дие ип казино ofrezca ип боно де bienvenida лос nuevos jugadores. Además, лос-казино necesitan retener в sus jugadores, por lo que, al igual que los casinos tradicionales, ofrecen cualquier cosa sus jugadores fieles. Estas promociones pueden venir en forma de regalos, como viajes gratis, joyas y aparatos electronicos. Грех эмбарго, ла майория де лас весес эс simplemente эль dinero ло дие retiene лос jugadores у Hace дие vuelvan.

Вы важныСтать участником

Инициатива по математике Силиконовой долины состоит из более чем 150 участников в Калифорнии и Соединенных Штатах. Членами являются школьные округа, отдельные школы и образовательные организации. Участники имеют право на большую библиотеку ресурсов, включая рабочие задания и задачи месяца (POM), учебную программу и учебные пособия, итоговые и формирующие оценки, а также возможности профессионального обучения.

Членство в Математической инициативе Силиконовой долины (SVMI)

Пожалуйста, отправьте электронное письмо по адресу [email protected], чтобы получить информацию о том, как стать участником, и/или загрузите заявку участника Инициативы по математике Силиконовой долины на 2022–2023 годы, чтобы получить дополнительную информацию.

 

границ | Требования простых и сложных арифметических задач на язык и когнитивные ресурсы

Введение

В современном математическом образовании арифметические задачи со словами (также называемые вербальными задачами или задачами на рассказ) повсеместно используются в обучении и оценивании. Решение текстовых задач — сложный многоэтапный процесс, включающий взаимодействие различных когнитивных процессов (Verschaffel et al., 2000, 2020). Центральными фазами являются построение мысленной репрезентации проблемной ситуации и преобразование модели этой ситуации в математическую модель, часто в конкретное арифметическое выражение (Kintsch and Greeno, 1985; Cummins et al., 1988; Verschaffel et al., 2000). ). Эти процессы предъявляют требования к языковым способностям, а также к общим когнитивным ресурсам предметной области (Fuchs et al., 2015, 2020; Ван и др., 2016). Однако результаты более опытных решателей текстовых задач показывают, что этапы построения ситуации и математической модели становятся менее важными, возможно, потому, что учащиеся используют более поверхностную стратегию, в значительной степени полагаясь на свои схемы для решения типичных одноэтапных текстовых задач, которые не требуют полного понимания ситуации (Hickendorff, 2013a). Настоящее исследование направлено на рассмотрение этой гипотезы путем расширения предыдущих исследований тремя способами: путем включения учащихся из более широкого возрастного диапазона (с третьего по шестой класс), путем включения более сложных текстовых задач (двухшаговые арифметические задачи и задачи, включающие нерелевантную числовую информацию). , а также путем включения набора показателей индивидуальных различий, которые задействуют понимание языка и общие когнитивные ресурсы предметной области.

Проблемы со словами

Словесные задачи в математическом образовании обычно определяются как вербальное описание проблемной ситуации, в которой возникает один или несколько вопросов, на которые можно ответить, применяя математические операции, изученные в школе, к числовым данным, имеющимся в задаче. ситуации (Verschaffel et al., 2000, 2020). Пример: «На вечеринке 136 человек. Для игры они распределяются на группы по четыре человека.Сколько групп сформировано?» Словесные задачи играют важную роль в математическом образовании по нескольким причинам: они предлагают практику решения прикладных задач и математического моделирования в реальных жизненных ситуациях, они могут мотивировать учащихся к изучению математики, они учат учащихся мыслить творчески и развивают их способности решать задачи, и они могут помочь в развитии новых математических концепций и навыков (Verschaffel et al. , 2000, 2020). Тем не менее, текстовые задачи также являются одними из самых сложных задач, с которыми сталкиваются учащиеся.Поэтому неудивительно, что большое количество исследований было посвящено задачам со словами (недавний обзор см. в Verschaffel et al., 2020).

Одно из направлений исследований сосредоточено на сложном взаимодействии когнитивных процессов, которые играют определенную роль. Модели решения текстовых задач обычно предполагают, что наиболее важными шагами в решении текстовых задач являются построение мысленного представления проблемной ситуации (ситуационной модели) и преобразование этой модели ситуации в математическую модель (Kintsch and Greeno, 1985; Verschaffel). и другие., 2000). Лейсс и др. (2019) эмпирически подтвердили это утверждение, показав, что построение модели ситуации имеет решающее значение для правильного решения текстовых задач и требует значительного времени для решения, в зависимости от лингвистической сложности задач.

Однако Hickendorff (2013a) обнаружил, что учащиеся в конце начальной школы не испытывали дополнительных трудностей при решении текстовых задач по сравнению с их символически представленными аналогами, они не использовали разные стратегии для решения задач, а задачи не отличались друг от друга. отношения с пониманием прочитанного.Это говорит о том, что учащиеся в конце начальной школы не видели реальных различий между текстовыми задачами и их символическими аналогами. Хикендорф (2013a) попытался примирить несоответствие между этими закономерностями и результатами, полученными у младших школьников, путем предварительного объяснения, что взаимосвязь между уровнем опыта учащихся в решении текстовых задач и типом используемых текстовых задач имеет решающее значение. Более опытные решатели словесных задач имеют более развитые когнитивные схемы для решения этих задач (Kintsch and Greeno, 1985).Шестиклассников можно рассматривать как экспертов, обладающих специализированной базой знаний и стратегиями для формирования представления о проблеме и решения проблем сверху вниз с использованием их семантических схем, в то время как неопытные решатели словесных задач больше полагаются на обработку информации снизу вверх (Де Корте и др., 1985). Типичные школьные задачи по математике представляют собой одношаговые арифметические задачи без избыточной информации или вводящих в заблуждение ключевых слов. Опытные решатели словесных задач разработали когнитивные схемы, которые хорошо подходят для таких задач в отношении структуры, роли и цели словесных задач (Verschaffel et al., 2000). Другими словами, шестиклассники, вероятно, стали очень умелыми в выборе подходящей когнитивной схемы на основе реплик в тексте (например, слово «распределенный» сигнализирует об операции «деление») и вставки соответствующей информации из условия задачи в пустое место. слоты (например, вставка 136 и 4 в пустые слоты операции деления).

Доказательства этого подхода, основанного на схемах, получены в исследованиях с использованием непоследовательных словесных задач, где реляционные ключевые слова не согласуются с требуемой арифметической операцией (van der Schoot et al., 2009; Боонен и др., 2013). Другие доказательства получены из исследований с использованием «необычных» словесных задач, таких как «Брайан и Сильвия ходят в одну школу. Брайан живет в 17 км от школы, а Сильвия в 8 км. На каком расстоянии друг от друга живут Брайан и Сильвия?» Эти исследования показывают, что опытные студенты склонны отвечать на эти задачи поверхностно, выбирая наиболее вероятную операцию и вставляя числа в слоты (в примере 17–8 = 9), не принимая реалистичных соображений, таких как то, что Брайан и Сильвия могли бы также живут по разные стороны школы (Verschaffel et al. , 1994, 2020). По словам Verschaffel et al. (2000, стр. 13), учащиеся использовали «правила игры словесного решения задач».

Чтобы преодолеть этот поверхностный подход к решению задач, заключающийся в «раздевании» словесной задачи для поиска и выполнения арифметической операции, «спрятанной» в тексте задачи, словесные задачи можно сделать менее простыми и прямолинейными. Один из способов усложнить текстовые задачи — использовать двухшаговые арифметические задачи, которые нельзя решить с помощью одной математической операции, требуя от учащихся составления и контроля плана шагов решения (Verschaffel et al., 2020). Другой способ — включить ненужную числовую информацию, которую следует игнорировать (Jiménez and Verschaffel, 2014; Wang et al., 2016; Leiss et al., 2019). В обоих случаях учащиеся не могут так легко «пропустить» этап мысленного моделирования, но должны уделить внимание анализу текста, чтобы построить соответствующую модель ситуации и математическую модель.

Таким образом, в настоящее исследование включены как одноэтапные, так и двухэтапные арифметические задачи со словами с нерелевантной числовой информацией и без нее. Включая эти более сложные типы текстовых задач, мы стремимся сделать этапы построения модели ситуации и преобразования ее в математическую модель более заметными. Это должно позволить зафиксировать различные вовлеченные процессы решения проблем и исследовать относительное влияние индивидуальных различий, которые, как было обнаружено, влияют на решение текстовых задач: понимание прочитанного, невербальное мышление и рабочая память (Fuchs et al., 2015).

Понимание прочитанного

Поскольку ключевым фактором в построении адекватной модели ситуации является понимание проблемного текста, неудивительно, что способность понимать прочитанное и решение словесных задач связаны (Pape, 2004; Fuchs et al., 2006, 2015; Вилениус-Туохимаа и др., 2008 г.; Хикендорф, 2013а,б; Лейсс и др., 2019). В детальном качественном анализе процессов решения учащимися математических задач, основанных на реальности, Leiss et al. (2019) обнаружили, что способность учащихся понимать прочитанное положительно связана с построением подходящей модели ситуации и что задания с более высокими требованиями к чтению и ситуации препятствуют построению модели ситуации. Боонен и др. (2013) показали, что связь между пониманием прочитанного и решением текстовых задач частично опосредована навыками реляционной обработки: получением правильных отношений между значимыми для решения элементами из текстовой основы текстовой задачи.Фукс и др. (2015) обнаружили, что решение текстовых проблем требует общих процессов понимания языка и понимания языка, специфичного для словесных проблем.

В нескольких исследованиях изучалось, связано ли понимание прочитанного с решением текстовых задач в большей степени, чем с решением символически представленных арифметических действий. У младших школьников (с первого по третий классы; Fuchs et al., 2006; Hickendorff, 2013b) действительно была обнаружена эта более сильная ассоциация, подтверждающая роль процессов понимания в решении текстовых задач.Однако у шестиклассников (Hickendorff, 2013a) не было дифференциальной связи понимания прочитанного с успеваемостью по двум типам задач. Потенциальным объяснением, опять же, являются поверхностные, основанные на схемах стратегии решения задач, которые используют более опытные учащиеся для решения этих стандартных «наряженных» словесных задач, в которых они на самом деле не стремятся к пониманию текста задачи. В текущем исследовании мы стремимся преодолеть возрастной разрыв между этими существующими исследованиями, используя выборку учащихся третьего-шестого классов, ожидая обнаружить уменьшение степени, в которой понимание прочитанного более тесно связано с решением словесных задач, чем с символическим. арифметика.

Когнитивные ресурсы

Задачи Word требуют не только языковых способностей, но и общих когнитивных ресурсов предметной области. Исследования с учащимися первого-третьего классов выявили несколько когнитивных коррелятов решения текстовых задач, среди которых невербальное мышление и рабочая память кажутся наиболее важными (Wang et al., 2016; Fuchs et al., 2020).

Невербальные рассуждения включают в себя способность делать выводы и применять правила, а также идентифицировать закономерности и отношения (Wang et al., 2016). В словесном решении проблем это важно для нацеливания и организации важной информации, извлечения информации, которая не очевидна сразу, и исключения нерелевантной информации. Ван и др. (2016) обнаружили, что невербальное рассуждение особенно важно при решении текстовых задач с нерелевантной информацией, потому что процесс идентификации схемы и применения жизнеспособной стратегии решения предъявляет высокие требования к способности рассуждать.

Рабочая память предполагает способность одновременно хранить и обрабатывать информацию (Baddeley, 1992).Недавние метаанализы показали, что рабочая память связана с успеваемостью по математике и что связь с решением текстовых задач является одной из самых сильных (Friso-Van Den Bos et al., 2013; Peng et al., 2016). При решении словесных задач он играет роль в хранении и обработке множества фрагментов информации в процессе построения модели ситуации и преобразования ее в математическую модель (Fuchs et al., 2015, 2020; Verschaffel et al., 2020).

Текущее исследование

Решение текстовых задач включает в себя несколько шагов и зависит от нескольких когнитивных процессов.Исследования показывают, что, когда учащиеся проходят начальную школу и, таким образом, становятся более опытными в решении текстовых задач, разница между решением стандартных текстовых задач и их символическими аналогами исчезает. Потенциальное объяснение заключается в том, что опытные ученики решают текстовые задачи более поверхностно, в значительной степени полагаясь на свои когнитивные схемы для семантических структур типичных школьных текстовых задач. Настоящее исследование направлено на то, чтобы проверить это объяснение путем поиска эмпирической поддержки.С этой целью мы исследовали успеваемость учащихся с разным уровнем опыта (третьего-шестого классов) в текстовых задачах разной сложности (одношаговые и двухшаговые задачи, задачи с нерелевантной числовой информацией и без нее). Исследуя разную роль, которую язык (понимание прочитанного) и общие когнитивные ресурсы предметной области (рабочая память и невербальное мышление) играют в задачах разного формата и в разных классах, мы стремимся найти дополнительные доказательства разной важности процессов. .

Исследовательский вопрос 1 касается одношаговой арифметики и фокусируется на разнице между задачами, представленными символически или в виде стандартной текстовой задачи. Мы ожидаем преимущества в производительности для символьных задач над задачами со словами в младших классах, но никакой разницы в старших классах (гипотеза 1а). Соответственно, мы ожидаем, что лингвистические и когнитивные способности будут более сильно коррелировать с успеваемостью над текстовыми задачами, чем с успеваемостью над символическими задачами в младших классах, но не будут иметь дифференциальной связи в старших классах (гипотеза 1b).

Исследовательский вопрос 2 касается стандартных текстовых задач и фокусируется на разнице между одношаговой и двухшаговой арифметикой. Мы ожидаем, что двухэтапные текстовые задачи будут более сложными, чем одноэтапные, особенно в младших классах, где у учащихся менее развиты когнитивные схемы, доступные для двухэтапных задач (гипотеза 2а). Соответственно, мы ожидаем, что лингвистические и когнитивные индивидуальные различия будут сильнее коррелировать с успеваемостью в двухшаговых задачах, чем с успеваемостью в одношаговых задачах со словами, особенно в младших классах (гипотеза 2b).

Исследовательский вопрос 3 посвящен разнице между стандартными и нестандартными текстовыми задачами, которые включают нерелевантную числовую информацию. Добавление нерелевантной информации требует когнитивных ресурсов для подавления нерелевантной информации, требует большего внимания к этапам построения модели ситуации и математической модели и может привести к дополнительным ошибкам из-за ошибочного использования нерелевантной числовой информации. Поэтому мы ожидаем, что нестандартные текстовые задачи будут более сложными, чем одношаговые, особенно для менее опытных учащихся (гипотеза 3а).Соответственно, мы ожидаем, что лингвистические и когнитивные индивидуальные различия (Wang et al., 2016) будут более сильно коррелировать с успеваемостью в нестандартных текстовых задачах, чем с успеваемостью в стандартных текстовых задачах, особенно в младших классах (гипотеза 3b).

Материалы и методы

Участники

Выборка состояла из 444 учащихся (201 мальчик, 211 девочек, 32 недостающих данных) из семи разных школ на западе Нидерландов (30–98 учеников в каждой школе). Среди них был 121 третьеклассник, 116 четвероклассников, 95 пятиклассников и 112 шестиклассников. Протокол исследования был одобрен IRB Института (номер ECPW-2015 115), в нем участвовали только дети с письменного согласия родителей.

В качестве показателя общего уровня достижений по математике и пониманию прочитанного мы собрали самые последние баллы учащихся по субтестам по математике и пониманию прочитанного в системе мониторинга учащихся CITO (Feenstra et al., 2010; Janssen et al., 2010; Уикерс и др., 2011). Это широко используемая система оценивания, которая предусматривает два теста на класс (в середине и в конце учебного года). Это позволяет школам и учителям измерять уровень успеваемости учащихся и их прогресс. Основываясь на национальных репрезентативных нормах, успеваемость учащихся можно разделить на пять квантилей: от 1 (самые низкие 20%) до 5 (самые высокие 20%). В текущей выборке действительные баллы по подтесту успеваемости по математике были получены у 365 учащихся, из них 17. 0% в 1-й категории, 20,0% во 2-й категории, 22,7% в 3-й категории, 18,4% в 4-й категории и 21,9% в 5-й категории. По подтесту на понимание прочитанного 362 ученика получили действительные баллы, из них 20,7% в 1-й категории. , 19,6 % в категории 2, 17,7 % в категории 3, 20,2 % в категории 4 и 21,8 % в категории 5. Эти распределения не отличались по классам ни по математике (χ2 (df = 12) = 15,522, p = 0,214) или понимание прочитанного (χ2 (df=12)=15,025, p =0,240). В целом, выборка достаточно репрезентативна для населения страны с точки зрения уровня достижений как в математике, так и в понимании прочитанного, как в целом, так и по классам.

Материалы

Арифметическая задача

Арифметическое задание состояло из 48 арифметических задач, распределенных по двум буклетам по 24 задачи в каждой. Задачи строились по двум измерениям. Первое измерение представляло собой формат представления с тремя типами: символические (без текста/рассказа), стандартные текстовые задачи и нестандартные текстовые задачи, включая нерелевантное число. Вторым измерением было число операций : одношаговые задачи, требующие только одной арифметической операции (сложение, вычитание, умножение или деление), или двухшаговые задачи, требующие двух арифметических операций (сложение или вычитание в сочетании с умножением или делением).Полное пересечение этих измерений привело бы к шести различным типам задач. Однако двухшаговые задачи в символьном формате не были включены, поскольку это потребовало бы работы со скобками (например, (21–4) × 7), которые не включены в программу математики начальной школы. В таблице 1 представлен обзор пяти типов задач, включенных в арифметическую задачу.

Таблица 1 . Обзор арифметической задачи.

Для одношаговых задач было две задачи на операцию, и для каждой задачи было две численно параллельных версии (т.г., версия и 283+368; версия б 386+238). Таким образом, всего было 4×2×2=16 задач. Все 16 задач были представлены в символьном формате и в виде текстовой задачи: либо в виде стандартной текстовой задачи, либо в виде нестандартной текстовой задачи. Это означает, что студенты решали численно одинаковые задачи дважды, в разных форматах. Чтобы учащиеся не вспомнили задачи и решения, задачи были распределены по двум разным буклетам, которые раздавались в разные дни.В одном и том же буклете никогда не было численно идентичных задач. Например, в буклете А задача версии а была представлена ​​в символьном формате, а версия б - как стандартная текстовая задача, а в буклете Б версия задачи б была представлена ​​в символьном формате, а версия а - как нестандартная. проблема слова. Истории, представленные в задачах с двумя словами, были немного разными, чтобы учащиеся не узнали историю. Например, в одношаговой задаче в таблице 1 велогонка была заменена бегом.Возможные комбинации формата текстовой задачи (стандартной или нестандартной), используемого рассказа и версии задачи (a или b ) были уравновешены для разных версий задач.

Двухшаговые задачи включали комбинацию сложения или вычитания, с одной стороны, и умножения или сложения, с другой. Получившиеся четыре различные комбинации операций были скрещены с двумя разными порядками (сложение/вычитание сначала или умножение/деление сначала), что дало в общей сложности восемь различных задач.Каждая задача была представлена ​​дважды: как стандартная текстовая задача в одном буклете и как нестандартная текстовая задача в другом буклете, опять же с немного разными историями, например, DVD были заменены компьютерными играми в примере из Таблицы 1 и другим использовалось имя.

Существовало 16 различных версий задач, полученных в результате пересечения различных вариантов уравновешивания для одношаговых задач, порядка буклетов (сначала буклет A или сначала B) и порядка задач в каждом буклете (два предварительно заданных порядка, один из которых обратный). другого).Ответы на каждую задачу оценивались как правильные или неправильные. Все шкалы эффективности имели хорошую надежность (альфа Кронбаха>0,80), см. Таблицу 1.

Понимание прочитанного

Мы использовали два разных показателя понимания прочитанного, один из которых основывался на результате чтения, а другой — на процессе. Первым показателем был ранее упомянутый подтест на понимание прочитанного национальной системы мониторинга учащихся CITO (Feenstra et al., 2010; Weekers et al., 2011). В тест были включены различные типы текстов, такие как информационные тексты и художественные тексты, а также различные текстовые жанры, такие как отчеты, письма или стихи.Учащиеся отвечают на задания с несколькими вариантами ответов, включающие вопросы по тексту, на задания, в которых необходимо упорядочить разные предложения, чтобы создать рассказ, и на задания с заполнением пробелов, в которых учащиеся должны выбрать наиболее подходящее предложение. Большинство вопросов касалось содержания и смысла текста, чередуясь с вопросами, касающимися структуры текста. Кроме того, вопросы разработаны таким образом, чтобы опираться на три процесса: понимание, интерпретацию и размышление. Вопросы на размышление не включаются до 4 класса.Валидность и надежность оцениваются как удовлетворительные.

Второй показатель понимания прочитанного включал укороченную версию онлайн-теста на понимание текста с несколькими вариантами ответов (MOCCA; Carlson et al. , 2014). Этот инструмент основан на теориях, которые предполагают, что успешное понимание прочитанного зависит от степени, в которой читатель может развить связное мысленное представление текста посредством разработки модели ситуации, и что каузальные выводы имеют решающее значение (например, Graesser et al., 1994; ван ден Брук и др., 2005). MOCCA был разработан для измерения процессов понимания, которые читатели используют во время чтения , тем самым расширяя возможности большинства традиционных школьных оценок понимания прочитанного, таких как тест CITO, которые фокусируются на продукте, а не на процессе понимания прочитанного. Это бумажно-карандашный тест с множественным выбором, состоящий из нескольких коротких повествовательных текстов из семи предложений. В каждом тексте удаляется шестое предложение, и читатели должны выбрать один из четырех вариантов, чтобы закончить текст.Наилучший вариант требует, чтобы читатель сделал причинно-следственный вывод, который приводит к связному представлению текста. Три альтернативных варианта представляют специфические процессы понимания прочитанного (т. е. перефразирование, локальные мостиковые умозаключения и латеральные связи).

Первоначальный MOCCA, состоящий из 40 текстов, был предложен учащимся третьего–пятого классов (Carlson et al., 2014). Значения альфа Кронбаха для выбора правильного (причинного вывода) варианта были в 0,90 с. В текущем исследовании мы использовали сокращенную версию MOCCA из 20 текстов.Альфа Кронбаха составила 0,86 в текущей выборке. Разделение по классам Альфа Кронбаха составляла 0,81, 0,81, 0,79 и 0,73 для классов с 3 по 6 соответственно.

Когнитивные способности

Стандартные прогрессивные матрицы Raven (Raven SPM, Raven et al., 1992) использовались в качестве меры невербального мышления. Raven SPM состоит из пяти серий по 12 диаграмм или рисунков, в которых отсутствует одна часть. Студенты должны выбрать правильную часть, которая логически завершает диаграмму, из шести или восьми вариантов. Сложность заданий увеличивается по мере прохождения теста. Ответы оцениваются как правильные (1) или неправильные (0). Внутренняя согласованность и достоверность были тщательно изучены и признаны адекватными.

The Monkey Game (Van de Weijer-Bergsma et al., 2016) использовали в качестве меры рабочей памяти. Это самостоятельная компьютеризированная онлайн-задача на определение диапазона слов в обратном направлении. Учащиеся слышат несколько произнесенных слов, которые они должны запомнить и вспомнить в обратном порядке, нажимая на слова, представленные визуально в матрице 3×3.Существует пять уровней возрастающей сложности, определяемых количеством слов, которые необходимо вспомнить в обратном порядке: от двух (уровень 1) до шести (уровень 5). По каждому пункту подсчитывалось, сколько слов было воспроизведено в правильном положении последовательного ряда в обратном направлении. Это было преобразовано в пропорциональное правильное количество баллов за элемент. Например, если в задании было три слова, и учащийся вспомнил два слова в правильном положении в последовательном ряду в обратном направлении, пропорциональный правильный балл по этому заданию составлял 0,667. Надежность правильного соотношения баллов в игре «Обезьянки» оценивалась в выборке учащихся с первого по шестой классы, что дало удовлетворительные значения альфа Кронбаха от 0.78 и 0,85 (Ван де Вейер-Бергсма и др., 2016).

Процедура

Участвующие классы посетил один из семи научных сотрудников, которые раздали материалы и дали инструкции ученикам. В каждом классе было по два занятия с интервалом примерно в неделю. На первом занятии давался первый буклет с арифметической задачей, а также одно или два других измерения: Raven SPM, MOCCA и/или Monkey Game. На занятии 2 второй буклет с арифметической задачей применялся так же, как и оставшиеся измерения.Арифметические задачи Raven SPM и MOCCA выполнялись в классе, где учащиеся работали над задачами самостоятельно, при этом на каждый буклет с 24 задачами было запланировано 35 минут, 20 минут на Raven SPM и 20 минут на MOCCA. Игра «Обезьяна» проводилась индивидуально в течение 10 минут на школьном ноутбуке или компьютере в классе или в тихой комнате за пределами класса.

Анализы

Чтобы ответить на все вопросы исследования, использовались модели многоуровневой логистической регрессии с правильностью ответа на каждую задачу (0/1) в качестве бинарной зависимой переменной и со случайным перехватом между учащимися и между задачами для учета вложенности проблем внутри учащихся. (например, см. Faggeder Auer et al., 2016; Павиас и др., 2016). Анализы проводились с использованием функции glmer в пакете lme4 для R (Bates et al., 2015). Индивидуальные различия измеряют невербальное мышление, рабочую память и два показателя понимания прочитанного, которые были стандартизированы для выборки перед вводом в модели в качестве предикторов. Эффекты предикторов были протестированы с использованием тестов отношения правдоподобия, которые включают статистическую проверку улучшения соответствия модели (логарифмическая вероятность), связанного с включением определенного эффекта.Статистика представляет собой распределение хи-квадрат со степенями свободы, равными количеству параметров, связанных с добавленным эффектом.

Результаты

Описательная статистика показателей представлена ​​в Таблице 2, а результаты арифметических задач также графически представлены на Рисунке 1. По всем показателям между оценками были значимые различия ( p s<0,001). Для понимания прочитанного CITO различия между классами не могли быть проверены, потому что это включало баллы, относящиеся к конкретному классу, основанные на норме.В таблице 3 представлены корреляции между показателями (за исключением понимания прочитанного CITO). Все показатели были значительно коррелированы ( p с<0,001). Два разных измерения понимания прочитанного MOCCA и CITO коррелировали 0,492 в классе 3; 0,507 в 4 классе, 0,384 в 5 классе; и 0,409 в 6 классе ( p с<0,001).

Таблица 2 . Описательная статистика мер: средние и стандартные отклонения (в скобках).

Рисунок 1 .Производительность означает по пяти типам задач по классам.

Таблица 3 . Корреляции между мерами.

Стандартные словесные задачи против символьной задачи

Исследовательский вопрос 1 включает сравнение стандартных одношаговых текстовых задач с их символически представленными аналогами. В таблице 4 показаны этапы построения моделей многоуровневой логистической регрессии. Чтобы проверить гипотезу 1а, необходимо оценить успеваемость учащихся (3, 4, 5 или 6) и формат задачи (словная задача или задача).символический формат) были добавлены в качестве предикторов к пустой модели только со случайными перехватами между учащимися и задачами. Основной эффект оценки был значимым (все попарные различия были значимыми), тогда как основной эффект формата задачи — нет. Эффект взаимодействия между оценкой и форматом задачи был значительным ( p = 0,043). Апостериорные сравнения показали, что было незначительное преимущество в производительности символьных задач в классе 3 ( β = −0.26, z = -0,49) и в 4 классе ( β = -0,11, z = -0,21), что превратилось в незначительное преимущество в производительности текстовых задач в 5 классе ( β =0,15, z =0,28) и в 6 классе ( β =0,14, z =0,28), см. также рис. 1. Это частично подтверждает гипотезу 1а.

Таблица 4 . Статистические тесты для исследовательского вопроса 1: стандартные словесные задачи и символьные задачи.

Чтобы проверить гипотезу 1b, мы проверили каждую индивидуальную меру различия в отдельном цикле анализа, начиная с добавления основного эффекта этой меры (M5), затем проверяя наличие дифференциального эффекта в соответствии с форматом задачи (M6) и, наконец, проверка того, зависел ли этот дифференциальный эффект в соответствии с форматом задачи от оценок учащихся (M7).И показатели понимания прочитанного, и обе когнитивные способности были в значительной степени связаны с успеваемостью по математике, но только невербальное мышление было по-разному связано с решением словесных задач по сравнению с символическими задачами. Как и ожидалось, ассоциация с решением текстовых задач была значительно сильнее, чем ассоциация с решением символических задач: β WP = 0,77, z = 8,60 против β symb = 0,65, z = 9,60. ; z разница =2.02. Однако это дифференциальное отношение не зависело от класса. Таким образом, гипотеза 1b была принята лишь частично: невербальное мышление было сильнее связано с решением задач со словами, чем с решением символических задач во всех классах, но понимание прочитанного и рабочая память не были по-разному связаны с выполнением двух типов задач.

Двухшаговые и одношаговые арифметические словесные задачи

Исследовательский вопрос 2 включает сравнение одношаговых и двухэтапных арифметических задач.В таблице 5 показаны этапы построения моделей многоуровневой логистической регрессии. Чтобы проверить гипотезу 2а, в качестве предикторов пустой модели со случайными перехватами были добавлены оценки учащихся (3, 4, 5 или 6) и количество арифметических шагов (один шаг против двух). Основной эффект степени был значительным, тогда как основной эффект арифметических шагов и эффект взаимодействия между оценкой и арифметическими шагами не были. Таким образом, гипотеза 2а была отвергнута: двухшаговые текстовые задачи не сложнее одношаговых.

Таблица 5 . Статистические тесты для исследовательского вопроса 2: двухэтапные и одноэтапные текстовые задачи.

Чтобы рассмотреть гипотезу 2b, мы снова проверили каждую индивидуальную меру различия в отдельном цикле анализа. И показатели понимания прочитанного, и обе когнитивные способности были в значительной степени связаны с успеваемостью по математике, но два показателя понимания прочитанного были по-разному связаны с решением словесных задач по сравнению с символическими задачами. Как и ожидалось, связь с двухшаговыми арифметическими задачами была значительно сильнее, чем связь с одношаговыми арифметическими задачами для меры CITO ( β 2step = 0.71, z =8,48 против β 1этап =0,52, z =6,35; Z Разница = 2,58, р = 0,010), а также для измерения MOCCA ( β 2STEP = 0,83 и β 1STEP = 0,57; Z = 3,45, р <0,001). Однако это дифференциальное отношение не зависело от класса. Таким образом, гипотеза 2b была принята лишь частично: понимание прочитанного было сильнее связано с решением двухэтапных текстовых задач, чем с решением одноэтапных текстовых задач во всех классах, но рабочая память и невербальное мышление не были по-разному связаны с выполнением двух типов заданий. проблемы во всех классах.

Нестандартные и стандартные задачи Word

Исследовательский вопрос 3 включает сравнение стандартных текстовых задач с нестандартными текстовыми задачами, которые включают нерелевантную числовую информацию. В таблице 6 показаны этапы построения моделей многоуровневой логистической регрессии. Для проверки гипотезы 3а в качестве предикторов были добавлены оценки учащихся (3, 4, 5 или 6), количество арифметических шагов (один шаг против двух) и тип задачи (стандартные или нестандартные текстовые задачи). пустая модель только со случайными перехватами.Основной эффект класса был значительным. В этой модели основной эффект арифметических шагов был значительным ( 90 557 β 90 558 = -0,92, z = -2,73, 90 557 p 90 558 = 0,006) с более низкой производительностью в двухшаговых задачах, чем в одношаговых. Основной эффект типа задачи не был значительным, равно как и взаимодействие между оценкой учащихся и типом задачи. Поэтому гипотеза 3а была отвергнута: нестандартные текстовые задачи с нерелевантной числовой информацией были не сложнее, чем стандартные текстовые задачи.

Таблица 6 . Статистические тесты для исследовательского вопроса 3: нестандартные и стандартные текстовые задачи.

Чтобы рассмотреть гипотезу 3b, мы снова проверили каждую индивидуальную меру различия в отдельном цикле анализа. И показатели понимания прочитанного, и обе когнитивные способности были в значительной степени связаны с успеваемостью по математике, но не по-разному с двумя типами текстовых задач. Таким образом, гипотеза 3b была отвергнута: во всех классах не было дифференциальной связи между показателями индивидуальных различий и успеваемостью при решении стандартных и нестандартных текстовых задач.

Обсуждение

Арифметические задачи со словами требуют нескольких процессов, из которых наиболее важными являются построение модели ситуации текста задачи и преобразование ее в математическую модель. Таким образом, словесные задачи сложнее решать, и они предъявляют дополнительные лингвистические и когнитивные требования по сравнению с арифметическими задачами в символическом формате, как показывают исследования учащихся первого-третьего классов (Fuchs et al., 2006; Hickendorff, 2013b; Wang et al., 2016). ). Тем не менее, исследования показывают, что по мере того, как учащиеся продвигаются в начальной школе и становятся более опытными в решении текстовых задач, эти дополнительные шаги могут оказывать меньшее влияние на их успеваемость и стратегии решения, что, возможно, можно объяснить тем, что они больше полагаются на свои когнитивные схемы для типичных задач. -шаговые арифметические задачи со словами (Hickendorff, 2013a).Текущее исследование рассмотрело эту гипотезу, расширив возрастной диапазон, усложнив текстовые задачи и включив более разнообразный набор индивидуальных различий, задействовав понимание прочитанного и общие когнитивные ресурсы предметной области.

Первый исследовательский вопрос включал сравнение стандартных одношаговых арифметических задач со словами в символьном формате. Результаты показали, что, хотя успеваемость повышалась в разных классах, в каждом классе эти два формата задач были одинаково сложными.Однако незначительное преимущество в производительности символьных задач в 3–4 классах превратилось в незначительное преимущество в производительности стандартных текстовых задач в 5–6 классах. Это значительное снижение преимущества символьных задач в производительности согласуется с нашими ожиданиями, что шаги по построению модели ситуации и преобразованию ее в математическую модель, которые, как ожидается, сделают текстовые задачи относительно сложными, становятся менее заметными, когда учащиеся становятся более опытными в решении задач. решение словесных задач.Из четырех показателей индивидуальных различий только невербальное рассуждение показало более сильную связь с решением задач со словами, чем с решением проблем в символическом формате, что согласуется с ожиданиями. Ожидание, что это зависит от класса, не подтвердилось. Кроме того, рабочая память и два показателя понимания прочитанного не были по-разному связаны с производительностью в двух форматах задач, хотя мы ожидали более сильной связи с решением текстовых задач. В целом, кажется, что между стандартными текстовыми задачами и их аналогами в символическом формате очень мало различий в производительности, а также в их требованиях к когнитивным и языковым ресурсам во всех классах.Это означает, что уже учащимся третьего класса реалистичные истории, представленные в текстовых задачах, кажутся помогающими и не мешающими, когда речь идет о стандартных одношаговых арифметических текстовых задачах, повторяющих результаты Hickendorff (2013a) и распространяющих это на младших школьников.

Другая манипуляция заключалась в том, чтобы усложнить словесные задачи, чтобы уменьшить возможности их решения с помощью поверхностной стратегии «раздевания» словесной задачи для нахождения «спрятанной» арифметической задачи без стремления к пониманию проблемной ситуации в тексте ( Лейсс и др. , 2019; Вершаффель и др., 2020). Задачи усложнялись двумя способами: требованием двухэтапной арифметики (исследовательский вопрос 2) и включением нерелевантной числовой информации (исследовательский вопрос 3). Вопреки нашим ожиданиям, ни одна из двух манипуляций не усложнила задачу. Тем не менее, двухэтапные текстовые задачи были более тесно связаны с двумя показателями понимания прочитанного, чем одноэтапные текстовые задачи, тогда как не было дифференциальных отношений с рабочей памятью и невербальным мышлением.Это говорит о том, что процессы понимания более важны, чем общедоменные когнитивные процессы, при настройке и мониторинге плана шагов решения при решении двухэтапных текстовых задач. Поскольку это происходило в разных классах, гипотеза о том, что языковые требования уменьшаются по мере того, как учащиеся становятся более опытными, не подтвердилась.

Нестандартные текстовые задачи с нерелевантной числовой информацией не предъявляли дополнительных требований к языку или общим ресурсам предметной области, вопреки нашим ожиданиям, но к языку и рабочей памяти соответствовали результатам, полученным у второклассников (Wang et al. , 2016). Это означает, что студентам не мешала дополнительная числовая информация, которую им приходилось игнорировать. В Нидерландах учащиеся, вероятно, сталкиваются с самыми разными реалистичными ситуациями, потому что реалистическое математическое образование (RME) является доминирующим учебным подходом. В RME реалистичные ситуации играют большую роль на протяжении всей учебной траектории, и математизация реальности является важной целью (Gravemeijer and Doorman, 1999; Van den Heuvel et al., 2014). Следовательно, голландские учащиеся, возможно, столкнулись с более широким разнообразием текстовых задач, чем учащиеся из стран с другими подходами к обучению.Дальнейшие исследования могли бы изучить, как голландские студенты решают другие типы нестандартных текстовых задач, такие как нестандартные задачи от Verschaffel et al. (1994) или проблемы с более чем одной частью нерелевантной информации.

Значение для образования

Текущие результаты имеют несколько последствий для теории и обучения. Для теоретических моделей решения текстовых задач важно учитывать уровень опыта решателя задач. Текущее исследование предполагает, что этапы построения модели ситуации и преобразования ее в математическую модель менее важны для учащихся старшего возраста с большим опытом решения текстовых задач, чем показывают исследования с младшими учениками.Связанный с этим вывод заключается в том, что учебный подход, при котором учащихся учат сопоставлять новую проблему с одной из их проблемных схем, может привести к риску того, что учащиеся будут искать «скрытую» проблему, не стремясь к истинному пониманию проблемной ситуации. Важный вопрос заключается в том, в какой степени можно действительно говорить о математизации реальности, которая является одним из краеугольных камней реформы математического образования, такой как RME.

Еще одно следствие связано с ролью процессов понимания, которые кажутся более важными в двухшаговых арифметических задачах, чем в одношаговых арифметических задачах, но не оказывали особого влияния на нестандартные и стандартные задачи. Если исследователи или преподаватели хотят повлиять на процессы понимания при решении текстовых задач, мы рекомендуем использовать многоэтапные арифметические задачи, чтобы усложнить стандартные одношаговые текстовые задачи. И последний пункт обсуждения заключается в том, что текстовые задачи и тесты, в том числе многие текстовые задачи, иногда критикуют за то, что они предъявляют высокие требования к языковым способностям учащихся, тем самым ставя в невыгодное положение учащихся с более низкими языковыми навыками. Однако текущее исследование предполагает, что это не относится к одношаговым арифметическим задачам со словами, вероятно, потому, что лингвистические требования таких задач со словами не так уж сложны для учащихся старших классов начальной школы.

Ограничения

Хотя у методологии исследования есть несколько сильных сторон, включая большой размер выборки и тщательное сопоставление характеристик различных типов проблем, конечно же, есть и ограничения. Первый набор ограничений, связанных с проблемами. Поскольку было невозможно включить двухшаговые арифметические задачи в символьном формате, потому что учащиеся не сталкивались с такими задачами при обучении математике, мы не могли сравнить процессы, связанные с двухшаговыми задачами, с процессами двухшаговой арифметики в символьном формате. формат.Это исследование можно было бы воспроизвести для учащихся в начале среднего образования, где они научились решать такие задачи, и ответить на вопрос, являются ли двухэтапные словесные задачи более сложными, чем двухэтапные арифметические задачи в символьном формате. Еще одним ограничением было то, что лингвистическая сложность задач не отслеживалась, тогда как это влияет на лингвистические требования задач (Абеди и Лорд, 2001).

Второй набор ограничений касается мер.В других исследованиях для одних и тех же конструкций были выбраны разные тесты (Fuchs et al., 2015; Wang et al., 2016), что могло привести к немного отличающимся результатам. Кроме того, существуют и другие когнитивные корреляты решения текстовых задач, которые не были включены в текущее исследование, такие как скорость обработки (Wang et al. , 2016) и тормозной контроль, который все чаще считается важным в изучении математики в целом и в решении проблем со словами (Van Dooren and Inglis, 2015), и для которых было бы особенно интересно оценить его влияние на проблемы с нерелевантной информацией, которую нужно игнорировать.

Последнее ограничение заключается в том, что нет информации о стратегиях решения, которые использовали учащиеся, поскольку оценивался и анализировался только ответ. Следовательно, не существует прямой проверки предлагаемого механизма на то, что этапы построения модели ситуации и преобразования ее в математическую модель менее заметны у старшеклассников, чем предыдущие исследования, о которых сообщалось у младших школьников. Поэтому невозможно исключить другие объяснения, такие как увеличение концептуальных знаний у старших школьников, помогающее в построении математической модели.В будущих исследованиях можно было бы провести качественное исследование меньшего масштаба, в котором учащиеся решают различные типы задач, думая вслух. Такие данные процесса могут дать более глубокое представление о шагах, предпринятых при построении ситуационной и математической модели, а также могут дать результаты для улучшения обучения.

Заключение

Если оставить в стороне ограничения, результаты настоящего исследования согласуются с гипотезой о том, что этапы построения модели ситуации и преобразования ее в математическую модель, а также требования к пониманию языка и общим когнитивным ресурсам предметной области, связанные с этими этапами, менее заметны в у старшеклассников, чем в предыдущих исследованиях у младших школьников.Ученикам с третьего по шестой класс кажется, что им помогает и не мешает поместить арифметическую задачу в рассказ, даже если этот рассказ содержит нерелевантную числовую информацию. Процессы понимания кажутся особенно актуальными в двухшаговых арифметических задачах со словами.

Заявление о доступности данных

Данные, подтверждающие выводы этой статьи, загружены в репозиторий DataVerseNL: https://doi. org/10.34894/7KI4M9. Запросы на дополнительную информацию следует направлять Мариан Хикендорф, [email protected]

Заявление об этике

Исследования с участием людей были рассмотрены и одобрены Комиссией Этик Института образования и детских исследований Лейденского университета. Письменное информированное согласие на участие в этом исследовании было предоставлено законным опекуном/ближайшим родственником участников.

Вклад авторов

MH: концептуализация, методология, формальный анализ, написание - первоначальный проект и написание - обзор и редактирование.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Примечание издателя

Все претензии, изложенные в этой статье, принадлежат исключительно авторам и не обязательно представляют претензии их дочерних организаций или издателя, редакторов и рецензентов. Любой продукт, который может быть оценен в этой статье, или претензии, которые могут быть сделаны его производителем, не гарантируются и не поддерживаются издателем.

Благодарности

Я в долгу перед всеми студентами бакалавриата и научными сотрудниками, которые внесли свой вклад в сбор данных.

Ссылки

Абеди, Дж., и Лорд, К. (2001). Языковой фактор в тестах по математике. Заяв. Изм. Образовательный 14, 219–234. дои: 10.1207/S15324818AME1403_2

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Бейтс Д., Мейхлер М., Болкер Б. и Уокер С. (2015). Пакет lme4. Дж. Стат. ПО 67, 1–91. дои: 10.18637/jss.v067.i01

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Боонен, А. Дж. Х., ван дер Шут, М., ван Весель, Ф., де Врис, М. Х., и Джоллес, Дж. (2013). Что лежит в основе успешного решения текстовых задач? Анализ пути у учащихся шестого класса. Контемп. Образовательный Психол. 38, 271–279. doi: 10.1016/j.cedpsych.2013.05.001

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Карлсон, С.Э., Зайпель, Б., и Макмастер, К. (2014). Разработка новой оценки понимания прочитанного: выявление различий в понимании среди читателей. Учиться. Индивид. Отличаться. 32, 40–53.doi: 10.1016/j.lindif.2014.03.003

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Cummins, D.D., Kintsch, W., Reusser, K., and Weimer, R. (1988). Роль понимания в решении текстовых задач. Познан. Психол. 20, 405–438. дои: 10.1016/0010-0285(88)
-4

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Де Корте, Э., Вершаффель, Л., и Де Вин, Л. (1985). Влияние переформулировки вербальных задач на представления детей о проблемах и решения. Дж. Образовательный. Психол. 77, 460–470. дои: 10.1037/0022-0663.77.4.460

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Фаггингер Ауэр, М.Ф., Хикендорф, М., и ван Путтен, К. М. (2016). Стратегии решения и адаптивность в многозначном делении в эксперименте с выбором / отсутствием выбора: студенческие и учебные факторы. Учиться. Инстр. 41, 52–59. doi: 10.1016/j.learninstruc.2015.09.008

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Финстра, Х., Камфуис, Ф., Кляйнтьес, Ф., и Кром, Р. (2010). Wetenschappelijke verantwoording Begrijpend lezen voor groep 3 tot en met 6 [Тест на понимание прочитанного для 1-4 классов]. CITO, Национальный институт образовательных измерений. Арнем, Нидерланды: CITO

.

Академия Google

Friso-Van Den Bos, I., Van Der Ven, SHG, Kroesbergen, EH, and Van Luit, JEH (2013). Рабочая память и математика у детей младшего школьного возраста: метаанализ. Учеб. Рез. Ред. 10, 29–44.doi: 10.1016/j.edurev.2013.05.003

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Фукс Л.С., Фукс Д., Комптон Д.Л., Гамлетт С.Л. и Ван А.Ю. (2015). Является ли решение словесных задач формой понимания текста? науч. Стад. Читать. 19, 204–223. дои: 10.1080/10888438.2015.1005745

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Fuchs, L.S., Fuchs, D., Compton, D.L., Powell, S.R., Seethaler, P.M., Capizzi, A.M., et al. (2006).Когнитивные корреляты навыков третьего класса в арифметике, алгоритмических вычислениях и арифметических текстовых задачах. Дж. Образовательный. Психол. 98, 29–43. дои: 10.1037/0022-0663.98.1.29

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Фукс, Л.С., Фукс, Д., Ситалер, П.М., и Барнс, Массачусетс (2020). Обращение к роли рабочей памяти в решении математических словесных задач при разработке вмешательства для отстающих учащихся. ЗДМ 52, 87–96. doi: 10.1007/s11858-019-01070-8

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Грессер, А.К., Сингер М. и Том Т. (1994). Генерация вывода. Психология. Ред. 10, 371–395.

Академия Google

Гравемейер, К. , и Швейцар, М. (1999). Контекстные проблемы в реалистическом математическом образовании: курс исчисления на примере. Учеб. Стад. Мат. 39, 111–129. дои: 10.1023/A:1003749919816

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Хикендорф, М. (2013a). Влияние представления многозначных математических задач в реалистичном контексте на решение задач шестиклассников. Познан. Инстр. 31, 314–344. дои: 10.1080/07370008.2013.799167

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Хикендорф, М. (2013b). Языковой фактор в оценках по элементарной математике: вычислительные навыки и решение прикладных задач в многомерной структуре IRT. Заяв. Изм. Образовательный 26, 253–278. дои: 10.1080/08957347.2013.824451

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Янссен Дж., Верхелст Н., Энгелен Р. и Шелтенс Ф.(2010). Wetenschappelijke verantwoording van de toetsen LOVS Rekenen-Wiskunde voor groep 3 to 8. CITO, Национальный институт образовательных измерений. Арнем, Нидерланды: CITO.

Академия Google

Хименес, Л., и Вершаффель, Л. (2014). Разработка у детей решений нестандартных арифметических словесных задач. Revista de Psicodidactica 19, 93–123. doi: 10.1387/RevPsicodiact.7865

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Лейсс, Д., Плат, Дж., и Швипперт, К. (2019). Язык и математика – ключевые факторы, влияющие на процесс понимания в реальных задачах. Матем. Думать. Учить. 21, 131–153. дои: 10.1080/10986065.2019.1570835

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Папе, SJ (2004). Поведение детей среднего школьного возраста при решении проблем: когнитивный анализ с точки зрения понимания прочитанного. Дж. Рез. Мат. Образовательный 35, 187–219. дои: 10.2307/30034912

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Павиас, М., ван ден Брук, П., Хикендорф, М., Бекер, К., и ван Лейенхорст, Л. (2016). Влияние требований социально-когнитивной обработки и структурной важности на повествовательный отзыв: различия между детьми, подростками и взрослыми. Дискурсивный процесс. 53, 488–512. дои: 10.1080/0163853X.2016.1171070

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Пэн, П., Намкунг, Дж., Барнс, М., и Сун, К. (2016). Метаанализ математики и рабочей памяти: сдерживающие эффекты области рабочей памяти, типа математических навыков и характеристик выборки. Дж. Образовательный. Психол. 108, 455–473. doi: 10.1037/edu0000079

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Рэйвен, Дж. К., Корт, Дж. Х., и Рэйвен, Дж. (1992). Стандартные прогрессивные матрицы. Оксфорд, Великобритания: Psychologists Press.

Академия Google

Ван де Вейер-Бергсма, Э., Крусберген, Э. Х., Джолани, С., и Ван Луит, Дж. Э. Х. (2016). Игра «Обезьяна»: компьютеризированное задание на вербальную рабочую память для самостоятельных действий детей младшего школьного возраста. Поведение. Рез. Методы 48, 756–771. doi: 10.3758/s13428-015-0607-y

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

ван ден Брук, П. , Рапп, Д. Н., и Кендеу, П. (2005). Интеграция основанных на памяти и конструкционистских процессов в отчетах о понимании прочитанного. Дискурсивный процесс. 39, 299–316. doi: 10.1080/0163853x.2005.9651685

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Ван ден Хойвель-Панхуизен, М., и Драйверс, П.(2014). «Реалистическое математическое образование», в Энциклопедии математического образования . изд. С. Лерман.

Академия Google

Ван дер Шут, М., Баккер Аркема, А. Х., Хорсли, Т. М., и ван Лисхаут, ECDM (2009). Эффект последовательности зависит от заметности в менее успешных, но не успешных решателях задач: исследование движения глаз у детей младшего школьного возраста. Контемп. Образовательный Психол. 34, 58–66. doi: 10.1016/j.cedpsych.2008.07.002

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Ван Доурен, В.и Инглис, М. (2015). Тормозной контроль в математическом мышлении, обучении и решении задач: обзор. ЗДМ 47, 713–721. doi: 10.1007/s11858-015-0715-2

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Verschaffel, L., De Corte, E., and Lasure, S. (1994). Реалистические соображения в математическом моделировании школьных арифметических текстовых задач. Учиться. Инстр. 4, 273–294. дои: 10.1016/0959-4752(94)

-7

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Вершаффель, Л., Грир, Б., и Де Корте, Э. (2000). Разбираемся в текстовых задачах. Лиссе, Нидерланды: Swets & Zeitlinger.

Академия Google

Вершаффель, Л., Шукайлов, С., Стар, Дж., и Ван Доурен, В. (2020). Словесные задачи в математическом образовании: обзор. ЗДМ 52, 1–16. doi: 10.1007/s11858-020-01130-4

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Вилениус-Туохимаа, П. М., Аунола, К., и Нурми, Дж. (2008). Связь между математическими текстовыми задачами и пониманием прочитанного. Учеб. Психол. 28, 409–426. дои: 10.1080/01443410701708228

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Ван, А.Ю., Фукс, Л.С., и Фукс, Д. (2016). Когнитивные и лингвистические предикторы математических словесных задач с нерелевантной информацией и без нее. Учиться. Индивид. Отличаться. 52, 79–87. doi: 10.1016/j.lindif.2016.10.015

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

Уикерс, А., Гроенен, И., Кляйнтьес, Ф.и Финстра, Х. (2011). Wetenschappelijke verantwoording papieren toetsen Begrijpend lezen voor groep 7 en 8. CITO, Национальный институт образовательных измерений. Арнем, Нидерланды: CITO.

Академия Google

.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.